106

PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

  • Upload
    others

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

������������ ������������������������������ �!�#"%$&��'��(�*),+������#��" - �.�/'0��12���

354

687�9;:=<?>A@/7CB�9;:

DFEHGIEIDKJMLON/PRQSJMLOTVURWRXZY�J\[]P#^`_aTVb\PRcdWeTVL 4Ff�gihkj\l5mnoEHGIEpDKJMLeNaPRQSJMLOTVURWqX/Y�J\[]P#^`_aTVb\PRcdWeTVL 4Ff�gihkj\l5m

Gsr 3 QSTtLeLOPquvLOwxLONaPzy�PR{aJ\cdLeQSPq_|L}wM~�DKJ�LONaPqQ�JMLeT]UqWTV_v{�J\cdLeT�J\[I~�ra[V��[V[]Q�PR_5LwM~�LeNaP�cePR�|raTVcePqQSPq_|LeW�~�wkcLONaP�uaPq�kcePqP�wM~

y�wsU�LOwkc�w\~.��NaT][VwkWew\{aN 4

J�L�LONaP

D8�#GaGZ�`��o^�Gs�����`G����oGs�����}^��}���#���}��������#������Y

D8J 4�gihkjkh

U� D8J\WeWeJ\U�N|raWeP�LeLOWo��_aWdLeTVLOrsLOP�w\~���PqU�Na_awk[Vwk� 4�gih\jkh

GsTV�k_�JMLeraceP#w\~��orsLONawkcy�PR{aJ\cdLeQSPq_|L}wM~�DKJ�LONaPqQ�JMLeT]UqW

DKJ 4�gihkj\h

��PRc�LOTt��PRu 354�2[Vw 4 u8��E���ceP�~�PqLON/PR_

�oWdWewZURT�J�LOP���cew\~�PqWeWdwkc�wM~.��{a{a[]TVPRu,DKJ�LONaPqQ�JMLeT]UqW��NaPqWeT]WoGsra{pPRc�bZT]Wew\c

�oUqURPq{/LOPqu 354y#J\_aT]Pq[��/E� #[]PqTVLeQ�J\_

��N�J\T]cdQ�JM_¡Xa�o{/{a[]TVPRu,DKJMLeNaPRQSJMLeT]URW���wkQ�Q�TVLeLePRP

�oUqURPq{/LOPqu 354GsT]�\raceuar/c}��PR[V�5J\Wdwk_

��NaJ\T]cdQ�J\_;Xay�PR{aJ\cdLeQSPq_|LOJ\[��#cOJ\u/r�JMLOP���wkQ�Q�TVLeLePRP

Page 2: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

������������ ������������������������������ �!��"$#%�'&(����)+*,�������" -.�/��&(��01���354

�o[]J\_ ��uaPR[VQ�JM_

24345�687:9;9;<>=?9;@A9CB4<EDF<HG�IKJC9C6�<>LM9N@�OQPRIK9CB4<>68IK9C7TSHU@VLWPRI>XZY>[�\�[^]�7_L?G�IKJC9C7TI�`�Oa3'`cb/`T`T6�<>LM9�@�Od9CB4<

JC<>eM3�7:JC<>6�<>LM9CU%Of@�Jg9CB4<E=4<Hh�JC<H<+@�ODi@1Sj9;@�JN@�OQk�B'7T`:@VU;@�G�B(X

l #��m��&V��0^�ndoVpcq�r�pcqsq�tvu�wyxHwzp|{~}�p|}K�~t�q�wsp���xHwzt�q�wzo(t�t�p|�~tv}��Hx~���Vt�q�x~}(r��C{m}(r�p�wzp|{~}�}K�V�N�^t�uyq�{~�'uzt�x>�(x~}(r��C{m���V��t��Fuyx>}Mr�{~����xHwzusp���Ct�q��Qp�wzoFwzoVtQ�m{mx~��{>�4q�{m���Kp|}V�%q�tv�~t�uyx>�K{m�Mtv}F�(uz{m�V��tv��q�p�}�}K�V��t�usp|�vx>�Vx~}(x>�|��q�pcq/wzo(x>w��tvuztduyx>pcq�t�rNp|}��Hx>usp�{m�(q/�T{~us��q�K�EwsoVtg��{~us�+{>���~{m}���t��(��x~}V}'�1��p�us�KoV{>���M�K��x>�|t~�^��tv���Ftv���1x>}Mr�{~wzoVtvusqv���{~�V�moV���m�(��tgx>}(qz��t�udwzo(tN���Vtvq�wzp|{~}' ¡¢o(x>wNp|q%wzoVt+��{~}(rVp£wsp�{m}¤}K�V�i�Mtvug{>��x¥uyx>}(rV{~�¦��xHwsuzp��(§¨¡¤t+x~�|qz{¥tC�Kwztv}(r?{~�Vu©wstv�yoV}(p|���Vt�q©wz{Aqz{~�|�~t�x~}¤{m�Mtv}�Vus{~�V�|t��ªp�}¥�N�(�£wsp��Hx>uspcxHwzt%q�wsx>wzpcq�wsp|�vqQ�C{~���i�V}Vpc��xHwstvr�wz{��(q����¥«����Kp|}'�¡¤td�T{~�|��{H�¬wzoVtd�|p£wst�uyxHws�VuztQx~}(ri��{~}(qzpcr�t�u�uyx>}(rV{~�$��xHwsuzpc�Ct�q��Qp£wsoFtv��tv��t�}�wsq/�Tus{~�­q�wsx~}(rVx~usri}V{~us��x>��r�pcq�wsuzp|�V���

wzp|{~}Mq����V�Vwd��t©q�ws�(r��E��{~ust�wzo(x~}�ustvx~�1qs���(x>ust���x>wzusp|��tvqv®���t%r�tvqs�Cusp|�Mt¯�Hx>usp�{m�(qdr�p|q�wzusp|�V��wzp|{~}Mq��T{muduzt��;wsx~}V�~�(�|x~u{muqs�m�Mx>ust~��ustvx>�4{mu��C{m�F�(��t�����xHwsuzpc�Ct�q���ndoVtg��{~}(rVp£wsp�{m}°}K�V�i�Mtvu�r�pcq�wsuzp|�V��wsp�{m}(qdwso(xHw���tgr�t�usp|�~t¯�T{~uQ�cx>us�~t©��xHwsuzpc�Ct�q�Tus{~�ªxF}V{muz��x>�'rVp|q�wzusp��(��wzp|{~}¥��{�r�t��4��{~ust©�~tv}Vt�uyx>�4qzp£ws�(xHwsp�{m}(q����Vp�wzt©�tv���f�ndoVtQr�pcq�wzusp��V�Vwzp|{~}F{>�(wsoVt��C{m}(r�p�wzp|{~}i}��(�N�^t�u�{>�1x¯usx~}(r�{~�$��x>wzusp£�Nr�t�qz��uzp|�^tvq/oV{H�¬��x~}��grVp��mp£wyq�{>�M}K�V��tvuzpc��x~�

�Vustv��p|qzp�{m}±x~uzt¥�|{mq�w�r��(t¥wz{?p��|����{~}(r�p�wzp|{~}(p�}V�¤�QoVtv},qz{~�|�Kp�}(�¤x¤uyx>}(r�{m�²q���q�wztv�²{>�¯��p|}Vtvx~u�tv���(x>wzp|{~}(qv�±³awEx~�|qz{r�t�qz��uzp|�Mt�qdoV{H�Z�|{~}V��x>}°p�wzt�uyxHwsp��mt���t�wzoV{�r¥q��M�yo°xmq�wsoVtg�C{m}H´��V��xHwzt¯�~uyx~rVp�tv}mwdp�wzt�uyxHwsp�{m}+��{~�V�cr+wsx>�mt�ws{��C{~}K�mt�us�~t�T{~u©x�usx~}(r�{~�µqz��q�wst��¥�©³¶}A�(x~u�wsp|���V�|x~u���tFqzoV{H�·wso(xHw%x+��{~}(r�p�wzp|{~}�}K�V�N�^t�u¯�M{m�V}(r��(qztvr��K���~{m}A��tv�V��x>}V}�p|q�C{muzustv�Cwg�T{~ui{~}V�|��¸~¹Kºµ{~��uzt�x>��uyx>}Mr�{~�»��xHwsuzpc�Ct�q��8¡¤t�qz{~�|�~t�x8�Vus{~�V�|t��»�^{mqztvr?�K�W�K��x>�|t+�K��q�o({H�Qp�}V�8wzo(x>wwzo(t°�mt�{m�Ft�wzusp|�+��tvx>}R{>�¯�C{~}Mr�p£wsp�{m}¬}K�V�i�MtvusqF{>�¯uzt�x>�dqz���(x~uzt°��xHwsuzpc�Ct�qN�muz{H��qi��p|�~t°¼(½ ¾m¿>À��ZÁ_ndoVt�x~uzp�wzoV��t�wzpc���tvx~}�pcq©p�}VÂ(}Vp�wzt~�ÄÃRndoVpcq©��t�x~rVq�wz{°wsoVtE�C{m}(�C�|�(qzp�{m}8wzoMxHwgus{~�V�moV���¥�|{~�VŶÆ�À°Ç,¹V½ÉÈ�r�p|�~p�wsq©��xj���Mt��|{mq�w%r��Vt�wz{¥p|����C{m}(r�p�wzp|{~}Vp|}V��{m}¥xj�mt�uyx>�mt��QoVtv}�q�{m���Kp|}V���|x~uz�mt¯�|p|}Vtvx~u�q���q�wztv��qv�ndo(tgq�p�wz�(x>wzp|{~}¥�T{muQusx~}(r�{~� �C{m�F�(��t�����xHwsuzpc�Ct�qpcq�wso(xHw©��{m� Å�Æ À�ÇR¹(½ ¼°r�p��mp£wyq���xj�¥�^ti�|{mq�w�{m}Axj�~tvusx~�~t~��Ê�}V{~wzoVtvu¯x~�V�V�|p|�vxHwzp|{~}Ap|q�wzoMxHw¯wzoVtF�C{~}>´��V�mx>wztN�musxmr�p|t�}�wp�wzt�uyxHwsp�{m}Apcq%x>}?Ë�ÁTÀ'ÌjÃ��(uz{��Ct�qzq¯{m}�xj�~tvusx~�~tm�¯¡¤t�x>�cq�{°{~�Vwsx>p|}�x~}�t��Vx~�;w%r�pcq�wsuzp|�V��wsp�{m}Awso(xHw%�dx~q¯tvq�wzp|��xHwstvr8�K���t�����t��f�¡¢oVtv}Wx�qzx~���V��t+p|q©wyx>�mt�}¤�Tuz{m��x��i�V��wzp|�jx~uzpcxHwstEr�pcq�wsuzp|�V��wsp�{m}'��p�wNpcq%{>�Qp|}�wzt�ustvq�w%wz{A�Mtvu��T{muz�Íwztvq�wsqg{~}?wzo(t

qsx>���V�|tA�C{H�Hx>uspcx>}(��t°��x>wzusp£�4�$¡¤t�r�tvuzp|�~tAxWuzt��C�Vuyq�p|{~}R�T{mu�wzoVt¤r�pcq�wsuzp|�V��wsp�{m}Îx>}(r,��{m�Ftv}�wsqE{~�%wzoVt¤q���x~���|tvq�wt�p|�~tv}K�jx~���(t�{~�MwsoVt��C{H�Hx~uzpcx>}(��t���xHwsuzp��i�Qo(t�}iwzoVt�tv��tv��t�}�wsq�x~uztQx~qsqz�V��tvrNwz{%�^tQp�}(rVt��^t�}(r�tv}�wq�wyx>}(r(x>uyrg}V{muz��x>�cqv�x>}Mr��t�wsx>�(�V�|x>wztQwsoVt�t����Mt��;wzt�r��Hx>�|�Vtvqv��³¶}�wzo(t��cx>}V�m�(x>�mtQ{>�4�N�V��wzp|�Hx>usp|x>wzt�q�wsx>wzpcq�wsp|�vq�����t�r�tvuzp|�~t�x%ustv���Vuyq�p|{~}��T{muwzo(tgr�p|q�wzusp|�V��wzp|{~}MqQx>}(r°��{~��t�}�wyqd{>�/wzoVtgqz��x>�|��t�q�wQt�p|�~tv}K�jx~���(tvq�{>��¡¢p|qzo(x~u�wQ��xHwsuzpc�Ct�q��

Ï B4<>U�7TUN2134G�<HJCÐ17TU;@�J>ÑdÒ�`T@~X1=�Ó+Ô Ï JC<HOf<H9CB4<>LÏ 7:9C`T<�Ñ�ÕiUCUC@^SH7TIK9;<�k�JC@�Of<>UCU;@�Jg@�OdÕiG'G�`T7:<>=?PRIK9CB4<>68IK9C7TSHU

Ö

Page 3: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

������������ ������� ������

P±@VU;9gU;G�<>SH7TI�`�9CB'I�L��1U©h�@¥9;@86+X¤I�=4Ð^7_U;@�J>]1Ói7TS�� Ï JC<HOf<H9CB4<>L�]1O�@�J��iB4@V6»I�G�JC@�G�<HJ¯9CB�I�L��8X�@V3 �¯@V3'`T=5�<N`TIKJCh�<HJ¯9CB'I�L�9CB'7TU�9CB4<>UC7TUHÔQPRI�L(X�h�@^@1=�I�=4Ð17TU;@�JvU�SHIKJC<�IK5�@V349�9CB4<>7TJ�U;9C3'='<>L(9CU"!1ÓF7TS#��9CI$��<>U%I+G/<HJvU;@VL'I�`7TLM9;<HJC<>U;9�9CB'IK9�J�<HG'JC<>U;<>LM9CU�U;@W6°3'S�B¢6�@�J�<�Ô&%FI�6 h�J�IK9;<HOa3'`d9;@WB'7T6 Of@�JE7TL(9;J�@^='3�SH7TL4h?6�<¥9;@WLM3'68<HJ�7TSHI�``T7TL'<>IKJ+I�`:h�<H5'J�I1]dOf@�J°7_L'U;G�7:Jv7TL4h?6�<�I�`T`�I�`:@VL4hW9CB'<��©I>X�]QOf@�J+h�<>L4<HJ�@V3'UC`:XZ68I$�17TL4h±I>ÐKI�7T`TIK5�`:<A9;@R6�<�9CB4<5�<>U;9QLM3�6�<HJ�7TSHI�`1I�L'I�`:X1UC7TUdSj@V6�5�7TL'IK9C7T@VL�`T7:5'J�IKJ�XEI�L'=�Sj@V6�G�349C7_L4hFSj<>LM9;<HJ�7_L�9CB'<('�@VUC9;@VL8IKJC<>I1]MB�7TU�@$)�Sj<�]I�L'=,U;@�6°3'S�B¢6�@�J�<�ÔEÓi7TS��±68I�='<¥6AI�L(X¬3�U;<HOf3�`UC3'h�h�<>U;9C7:@VL'U�9CB'IK9*�¯<>L(9E7_L(9;@¤9CB'7TUF9CB4<>UC7_UNOf@�J+�NB'7TSvB,%�N7T`_`/I�`-�¯I~X^UN5/<�h�J�IK9;<HOa3'`¶]�5�349%7:9g7TUgB�7TU©O�Jv7:<>L'='UCB�7:GA9CB'IK9.%¯B'I~Ð�<+ÐKI�`T34<>=�6�@VUC9HÔ/ 7TL'I�L�SH7TI�`�UC3'G'G�@�JC9NB'I�UF5�<H<>L¬G�JC@~Ð17T=4<>=¬5MX¬I�0i<HJC921 / @V3'L'='IK9C7T@VL / <>`_`:@��NU�B'7:G±I�L�=RI�LRÓ�2 / k�JC<>U43

7T=4<>LM9C7TI�`65�@V3�L4h7%yL(Ð�<>U;9C7ThVIK9;@�J�I��¯IKJv=¬9;@¤6+X�I�=4Ð17TU;@�J>Ô Ï <>SvB'L4@V`:@�hV7_SHI�`T`:X�]�9CB�7TU%9CB4<>UC7_U���@V3�`T=WB'I~Ð�<�5�<H<>L7T6�G�@VUCU�7:5�`:< �N7:9CB'@V34989CB4<RU;@�O�98�¯IKJ�<RG�I�S#�KIKh�<>U�P±Õ Ï ÒÕ9' I�L'=�P±IK9CB4<>6AIK9C7TSHI1].�NB�7TS�B 68I�=4<¬<;:1G�<HJ�7<36�<>LM9CUH]�Sj@V6�G�349CIK9C7:@VL'UH]'I�L�=�G�`:@�9;9C7TL'h8U;@�<>I�U;X�Ô%�B'I>Ð�<�5�<H<>LZ6�@VU;9�Of@�JC9C3'L'IK9;<A9;@¬B'I>Ð�<�5�<H<>LZIK5�`:<¥9;@±=�7TUCSH3'UCUF9CB'7_U*��@�J#�=�N7T9CB?>�IKJCJC<H9;9@'¯7TJ#�^B'@$A�]

�NB4@WU�34h�h�<>U;9;<>=B%�`:@^@C�,7TL(9;@�9CB'<AB'7TU;9;@�J�X±@�O¯9CB4<AUC3'5�Dy<>Sj9�I�L'=¢<>L'Sj@V34JvIKh�<>=Î6�<�9;@RSj@VL(9C7TL^34<7�¯@�J#�17TL4h7TL¢9CB'<8b�<>`T=�ÔE%�I�`TU;@R6�3'UC9E9CB'I�L��F'©7T`T`�P±@�JC9;@VL!O�@�J°B'7TU+�17TL'=¢B'@VU;G�7:9CI�`T7T9�X¢IK9+9CB4< G9:^Of@�J�=�HiL'7TÐ�<HJ�UC7:9zXI¯@V6�G�349C7TL4h�Ò�IK5�@�J�IK9;@�J�X��NB'<HJC<�9CB4<E<>IKJ�`TX�G�IKJ�9%@�O9CB'7_U%JC<>U;<>IKJ�SvBW9;@^@C�?G�`TI�Sj<�Ô%���@V3'`_=�`T7-��<�9;@�<;:1G'JC<>UCUdI�='=�7:9C7:@VL'I�`M9CB'I�L��1U�9;@&I©B'IKJ�`T7T<�PR7TSHS�B4<>`_`T7MI�L�=&%4'©PJ5�@�J#�^9;@��iL70N<>7ThVB(9CUdOf@�J

7TLM9;JC@1='3'SH7TL4hE68<i9;@¥68IK9CB4<>68IK9C7_SHI�`�J�<>U;<>IKJ�S�B�I�L�=AOf@�J�<>L�Sj@V34J�IKhV7TL4h¥6�<i9;@°G�34J�UC34<i6+X�h�J�I�=�3'IK9;<*��@�J#�/]I�L'=RI�`TU;@¤9;@�24B'7K1>34@EL+I$�^349CI�L�7¶]��iB4@E�©I�U�IAh�JC<>IK9�U;@V3'J�Sj<+@�O�7_L'U;G�7:JvIK9C7:@VLW='34Jv7TL4h86�X¬3'L'=4<HJ�h�J�I�='3'IK9;<SHIKJC<H<HJ>ÔM%M�i7T`T`/L4<HÐ�<HJNOf@�JCh�<H9NB'7_U%UCI>X17TL4h89CB�IK9EN;68IK9CB4<>68IK9C7_SHUN7TU%`T7-��<ESH`T7T6�5�7TL4h¥I86�@V3'LM9CI�7TL�ÔPOP±X¤PQ% Ï <;:^G�<HJ�7:<>L�Sj<R�©I�Ug68I�='<F<>L$Dy@mXVIK5�`:<E5^X�ÕF`TIKJ Ï @M@V6�J�<�]��NB4@¥@VL4<E6�@�J�L�7TL4h¥UCB'7:G'G�<>=�6�<EI�`T`

@VL4<?BM3�L'=4JC<>=¢J�@M@�9CU°@�Og9CB4<�@VL4<?BM3'L�=4JC<>=49CBZÒIKhV34<HJCJC<¤G�@V`:X1L4@V687TI�`�I�U¥7:OS%EB'I�=!JC<>e^34<>U;9;<>= 9CB4<>6 5MX68I�7T`�@�Jv=4<HJ>]'I�L'=Q>�7T`�2^9;J�I�L4h4]T�NB4@¥9CI�34hVBM9i6�<EIK5�@V349gSH7:JvSH3'`TI�LM9g68IK9;J�7TSj<>UHÔÒI�U;9H]�5�3'9%OfIKJgOfJC@V6 `:<>I�U;9H]U%S�N7TU�B?9;@8hV7:Ð�<+9CB�I�L��^Ug9;@A6+X?OaI�687T`:X�]��iB4@A='7T=�L'@�9gO�@�JvSj<+6�<E9;@�h�@89;@

6�<>='7_SHI�`�UCS�B'@M@V`�5�349�@�5'9CI�7_L4<>=ÎI�L4@�9CB'<HJ°=4@1Sj9;@�J�7_L¢9CB4<AOaI�687T`TXRI�LMX��©I>X�ÔV%+�¯@V3'`T=Î`T7K��<89;@±9CB'I�L��¢6+X6�@�9CB4<HJ~]h�J�I�L�='6�@�9CB4<HJ>]dI�L'=ZU�7TU;9;<HJ�U+O�@�J°I�`T`Q9CB4<>7:J�UC34G'G�@�JC9H]�I�L�=Î6�XROaIK9CB4<HJ>]��NB4@±U;9CIKJC9;<>= 6�<8<>IKJ�`:X7TL�I86AIK9CB4<>68IK9C7TSHI�`�SHIKJ�<H<HJN5^X�9;<>I�SvB'7TL4hA68<E9;@ASj@VL'L4<>Sj9N9CB4<ELM3�6+5�<HJC<>=�=4@�9CU>]�I�L'=V�NB'@@%W�N7TU�B�Sj@V3'`T=B'I~Ð�<�U;<H<>LV�iB4<HJC<�9CB'7TUS�¯@V3'`T=�`T<>I�=�Ô

X

Page 4: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� �����������

� � �� �� � �

� ��� � ���� ����T��������� � � ���U� � ����� ���Ö ÔTY ÓF3'6�<HJ�7TSHI�`�I�L'I�`:X1UC7TU ÔEÔ�ÔEÔEÔ+Ô�ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔÍY��Ö Ô Ö PR3'`:9C7:ÐKIKJ�7TIK9;<EU;9CIK9C7_U;9C7TSHU ÔEÔEÔ+Ô�ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔÍY! Ö Ô X ÓF3'SH`:<>IKJNG�B(X1UC7TSHUÎÔ�ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ+Ô�ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔÍY>\Ö Ô#" Ï B4<%$i7:<>68I�L'L 1H<H9CIAOf3�L'Sj9C7:@VL Ô�ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔÍY>[Ö Ô'& >FJ�IKG�B�9CB4<H@�JCX Ô+Ô�ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ+Ô�ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔÍY>[Ö Ô' I¯@VLM9;J�7:5�3'9C7:@VL'U¯@�Od9CB'7TU©9CB4<>UC7_U Ô�ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô Ö Y

( ��) ���*���? ����+�T�M� ����� ,� ��� (��X ÔTY $NI�L�=4@V6²68IK9;J�7K:?L4@�9CIK9C7T@VL¬I�L'=?9;<HJ�6A7TL4@V`:@�h�X ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô X �X Ô Ö - I�Sj@�5�7TI�L'U%Of@�Ji68IK9;Jv7<:�OaI�Sj9;@�J�7K1>IK9C7:@VL�UNI�L'= 0FI�IKJi68<>I�UC34JC< ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô X YX Ô X - @V7_L(9g<>`T<>6�<>L(9g='<>L'UC7:9C7:<>U±ÔEÔEÔ+Ô�ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô X "X Ô#" - @V7_L(9g<>7Th�<>L(ÐKI�`T34<E=4<>L�UC7:9C7:<>U Ô+Ô�ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô X X Ô'& '©7T='7TIKh�@VL�I�`T7K1>IK9C7:@VL?@�OQI�>�I�3�UCUC7TI�L�68IK9;Jv7<:RÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô X \

. / �0������ �"�7 � �� �213�T� ) =� � �"�+ �54�) � � ����6 �7 98;:5<>=@?*A .7�"4ÔTY Õ 6�3�`:9C7:ÐKIKJ�7TIK9;<�7TLM9;<Hh�J�I�`�Of@�Jg9CB4<EG�=4O@�OCB�DCE#F ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔG"��"4Ô Ö Ï B4<�G�=4O@�OCB�DCE#F°O�@�J 8;:5<>=@<HA ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔG"'Y"4Ô X Ï B4<�G�=4O@�OCB�DCE#F°O�@�J 8;:5<>=@<JI Y A Ô�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔG" X"4Ô#" Ï B4<�G�=4O@�OCB�DCE#F°O�@�J 8;:5<>=@?*AK: JC<>SH3'J�UC7:@VL A Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔG"L&"4Ô'& k�J�@M@�O�@�O Ï B4<H@�JC<>6M"4Ô X Ô�ÔEÔEÔ+Ô�ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔG"�N

"

Page 5: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

"4Ô' Ï B4<�G�=4O@�OCB�DCE#F°O�@�J 8;:5<>=@<JI Ö A I�L'= 8;:5<>=@<JI X A Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô &1Y"4Ô N 213'6A68IKJCX ÔEÔEÔ+Ô�ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ+Ô�ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô & Ö

� � ���� � ���� �T� � �"�7 � �T ��21 ��� ) � � ) � ��� �3.&^ÔTY ÕFU;X^68G'9;@�9C7TSEUC6AI�`T`:<>U;9©<>7:h�<>LMÐ�I�`_34<EOf@�J 8;:5<>=@?*A ÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô & "&^Ô Ö ÕFU;X^68G'9;@�9C7TS�h�<H@V6�<H9;Jv7TSE6�<>I�L'UN@�OCB�DCE#F+Of@�J 8;:5<>=@?*A ÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô &�[&^Ô X 2168I�`_`:<>U;9%<>7:h�<>LMÐ�I�`_34<�JC<>UC3'`T9CU©O�@�J��8;:5<>=@?*A Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô Ö

� � �� �T �"�E � �� �213�T� ) H � ) � ��� ��. ^ÔTY ÕFU;X^68G'9;@�9C7TSE`TIKJ�h�<>U;9g<>7:h�<>LMÐ�I�`_34<�O�@�J 8J:5<>=@?*A ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô " ^Ô Ö ÕFU;X^68G'9;@�9C7TS�h�<H@V6�<H9;Jv7TSE6�<>I�L'UN@�OCB D�� Of@�J 8;:5<>=@?*A Ô�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô ^Ô X Ò�IKJ�h�<>U;9N<>7:h�<>LMÐKI�`T34<�JC<>UC3�`:9CU©O�@�J �8J:5<>=@?*A Ô�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô �\

� ��� � � � � ��� � ) � 4 � � ���

NMÔTY Ò�7_687:9C7TL4h¥Sj@VL'='7T9C7:@VL�LM3�6+5�<HJg='7TUC9;J�7:5�349C7T@VL'UH]MI�U ?���� Ô�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô �[NMÔ Ö � :4I�Sj9N<;:1G'JC<>U�UC7:@VL'U©Of@�J <�� Ö ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô N ÖNMÔ X DF<>686�<>`��ÉUiSj@VL'='7:9C7T@VL�LM3'6�5�<HJ,Ô�ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô N�"NMÔ#" Ï B4<�9CI�7_`TU%@�O�9CB4<+Sj@VL'='7T9C7:@VL�LM3�6+5�<HJg='7TUC9;J�7:5�349C7T@VL'UµÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô N N

� � ���� ������7��6 B3DCE#F 6 �7 98;:5<>=@?*A � �\^ÔTY I¯@V6�G�349CIK9C7:@VL�@�Od9CB4<E6�@V68<>L(9CUÍÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô \ �\^Ô Ö � :1G�<>Sj9;<>=WÐKI�`T34<>US�NB'<>L ?��><�� � = Y = I�L�= X ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô \ Ö

� � �T������� � ���+ � � �� ��� � �� ������T�T��� ��� � ��� � ����� � ��� � � .[^ÔTY Ï B4<�JvI�L'=4@V6²68IK9;Jv7<:?I�U�U;@^SH7_IK9;<>=V�N7:9CBWI �¯<>7:hVBM9gOa3'L'Sj9C7:@VL ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô \ "[^Ô Ö I©B'IKJvI�Sj9;<HJ�7TU;9C7TS�G�@V`:X1L4@V687_I�` Ô+Ô�ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô \ [^Ô X Ï B4<E68@^=4< ÔEÔEÔ+Ô�ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ+Ô�ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô \�\

� � ������ ��0��� � �L�>�* �T�7 ��T��� ���

� � 4 �� Q�76. "! � �� �� ���13�T� ) � ��(

� � ���� � ) �� �����6(�#� H�* �T�7 ��T��� � �

&

Page 6: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� � � ��� � ����� �

Ö ÔTY Ï B4<E`_7T687:9C7TL'h°=4<>L�UC7:9�X�@�O� � ?�:5?�� ? JC<>I�`68IK9;J�7TSj<>U A ÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô Ö &Ö Ô Ö Ï B4<E`_7T687:9C7TL'h°=4<>L�UC7:9�X�@�O� � ?�:5?�� ? Sj@V6�G�`:<;:W68IK9;J�7TSj<>U A ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô Ö Ö Ô X Ï B4<E`_7T687:9C7TL'h°=4<>L�UC7:9�X�@�OQ`:@�h : � ?*A :5?�� ? JC<>I�`�6AIK9;J�7TSj<>U A ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô Ö NÖ Ô#" Ï B4<E`_7T687:9C7TL'h°=4<>L�UC7:9�X�@�OQ`:@�h : � ?*A :5?�� ? Sj@V6�G�`T<;:?68IK9;Jv7TSj<>U A Ô�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô Ö \Ö Ô'& � :1G�<HJ�7T6�<>LM9CI�`�¬O�@�J & �1] � � �¤68IK9;J�7_Sj<>UH] ?�� N & ÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô Ö [

"4ÔTY Ï B4<E='<>L'UC7:9zX�@�O B3DCE#F°Of@�J 8;: X =@?*A ] ?�� X = " = & =������ = Ö \ Ô�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô & X&^ÔTY Ï B4<E='<>L'UC7:9zX�@�O < B3DCE#F�O�@�J 8;:5<>=@<HA ] <�� Y = Ö = � ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô & &^Ô Ö Ï B4<E='<>L'UC7:9zX�@�O�� < B DCE#F Of@�J 8;:5<>=@<HA ] <�� Y = Ö = � Ô�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô &�N&^Ô X Ï B4<E='<>L'UC7:9zX�@�O B3DCE#F�� Ö < Of@�J 8;:5<>= Ö <HA ] <�� X = [ = Y!& = Ö Y = Ö NÍÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô &�\

^ÔTY Ï B4<�<>68G�7:J�7TSHI�`�SH='O@�O B3D���� < O�@�J 8;:5<>=@<HA ] <�� Y�� � Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+ÔEÔEÔ�ÔEÔEÔ�Ô+Ô &

Page 7: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� �U�+�U� � ���

< LM3'6�5�<HJ%@�OdJC@��NUN7TL�I868IK9;J�7K:? LM3'6�5�<HJ%@�OQSj@V`T3'68L'U%7_L�I868IK9;J�7<: :5<���? I�`K�©I>X1U A��� 9;J�I�L'U;G�@VU;<�@�O ���� 0N<HJ�6A7:9C7TI�L?9;J�I�L'UCG/@VUC<�@�O �B�DCE#F UC68I�`T`:<>UC9%<>7:h�<>L(ÐKI�`T34<�@�OQI86AIK9;J�7<:B D�� `TIKJCh�<>U;9g<>7Th�<>L(ÐKI�`T34<�@�OQI868IK9;Jv7<: Sj@VL'='7:9C7:@VL�L^3'6�5�<HJ%@�OdIA68IK9;J�7<:� � � Y : @�JNI�L±7TL'=4<;: A7T7T= 7TL'=4<HG�<>L'=4<>LM9%I�L'=�7T=4<>LM9C7TSHI�`T`TX�='7TUC9;J�7:5�349;<>=SH=4O SH3'6�3�`TIK9C7:Ð�<+=4<>L�UC7:9�X�Of3�L'Sj9C7:@VL : ='7TUC9;J�7:5�349C7T@VLAOa3'L'Sj9C7:@VL AG�=4O G'JC@�5�IK5�7_`T7:9�X�=4<>L'UC7:9zX�Oa3'L'Sj9C7T@VL :�C= ���+A L4@�J�68I�`�=�7TU;9;J�7:5�349C7:@VL7�i7:9CBW6�<>I�L I�L�=�Ð�IKJv7TI�L'Sj< ���� :�C= ���+A � I�� � = �NB'<HJC< � I�L'= � IKJC<�7T7T= :�C= ��� A� :5<>=@?*A < � ? 68IK9;J�7<:�]��NB4<HJ�<�9CB4< < ? <>`:<>6�<>LM9CUNIKJC<�7T7T= : � = Y A�� :5<>=@?*A < � ? 68IK9;J�7<:�]��NB4<HJ�<�9CB4< < ? <>`:<>6�<>LM9CUNIKJC<�7T7T= � : � = Y A8;:5<>=@?*A < � < 68IK9;J�7<: ����� = �iB4<HJC< � 7TU�� :5<>=@?*A�8J:5<>=@?*A < � < 68IK9;J�7<: ����� = �NB4<HJC< � 7TU �� :5<>=@?*A> G � >�I�3'UCUC7_I�L�@�JC9CB4@�h�@VL'I�`�<>L'U;<>6�5�`:<�Ñ : � I ��� A � Ö = �NB'<HJC< � 7_U�� :5<>=@?*A>*H � >�I�3'UCUC7_I�LW3'L'7:9CIKJ�XA<>L'U;<>6�5�`:<�Ñ : � I ��� A � � \ = �NB4<HJ�< � 7TU �� :5<>=@?*A9;J : � A 9;J�I�Sj< : � A<H9;J : � A <;:^G : 9;J : � A@A��� :�� A 6�3'`T9C7:Ð�IKJv7TIK9;<�hVI�6868I�Oa3'L'Sj9C7T@VL : G�Ô X�Ö A���� :�� A Sj@V6�G�`:<;:�6�3�`:9C7:ÐKIKJ�7TIK9;<�hVI�6868I8Of3'L�Sj9C7:@VL : G�Ô XCX A� ���! #"�$&%' ��( �*) � " �+� % ) : G�ÔC"'Y A,- :�� A �/. (#021 �3,4� : G�ÔC"'Y A,&5 ,- :�� � A �����6,- :��87 ( � AK: G�Ô "'Y A94:"�; % <3=?>*@BAC D : B A � ,B5 : G�ÔC"�N A

N

Page 8: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� ��������� �

� � �� � ��

����������������� �!��"$#&%�'�()�+*,�-���/.0��'1��"324�5'�&#&67 8:9<;<=?>$@BAC>D;<EF>HG<I ���J"D�+KML I LN6O242/2P6

/ @�J©9CB4J�<H<iSj<>LM9C34J�7:<>UH]168IK9CB4<>6AIK9C7TSH7TI�L'U¯U;<>IKJ�SvB4<>=AOf@�J©I�LA<;:4I�Sj9©O�@�J�6°3'`TIEO�@�J¯9CB4<NJ�@M@�9CU�@�O�I+h�<>L'<HJ�I�`G�@V`:X1L4@V687TI�`¶Ô Ï B'<>7:J�<;A/@�J�9CU �¯@V3'`T=¢L4<>Sj<>U�UCIKJ�7T`:XR5�<87TL,ÐKI�7TL�]I�U �¯I�U°UCB4@��NLZ7TL,9CB4<A<>IKJ�`:X,L'7TL4<H9;<H<>LM9CBSj<>LM9C34JCX �NB4<>L $i3�)�L'7 : Y>\1Y X A I�L'=WÕi5�<>` : Y>\ Ö N A 7TL�=4<HG�<>L'=4<>LM9C`:XA=4<>6�@VL�U;9;J�IK9;<>=�9CB4<�3'L'U;@V`:ÐKIK5�7T`_7:9�X8@�Oe^3'7TLM9C7TSHU�7TL�9;<HJv68U�@�O�J�I�=�7TSHI�`TUHÔ $g<>SHI�U;9©7TL�9CB'<N`TI�L4hV3'IKh�<i@�O�`T7TL4<>IKJ�I�`:h�<H5'J�I1]���<F7T686�<>='7_IK9;<>`:X°Sj@VL�SH`T3'=4<9CB4<E`TI�S��?@�OdI�U�7T6�G�`:<F<;:1G'JC<>UCUC7T@VL�O�@�JN9CB4<�<>7:h�<>LMÐ�I�`T3'<>U%@�OQI¥h�<>L4<HJ�I�`�68IK9;Jv7<:/]'I�UN9CB4<HX?IKJC<E9CB4<�JC@^@�9CUg@�OI�LWIKJC5�7:9;J�IKJCX�G/@V`TX^L4@V6A7TI�`¶Ô

Q B'IK9¥7:O���<�JC<>=4<jb�L'<A9CB4<¤G'JC@�5�`T<>6�]�JC<HG�`TI�SH7TL4h Nyh�<>L4<HJ�I�`-OQ�N7:9CB NyJ�I�L'=4@V67OSR Q <?IKJC<?L4@±`T@VL4h�<HJ7TLM9;<HJC<>U;9;<>=·7TLÎ9CB4<�<>7Th�<>L(ÐKI�`T34<>U�@�ONI�LMXZ@VL4<?68IK9;J�7<:6!�9CB4<¤='7TU;9;J�7T5�349C7:@VL'U�I�L�=Î<;:1G�<>Sj9CIK9C7:@VL'U¥IKJC<��NB'IK968IK9;9;<HJFL4@��EÔ�I©I�LV�¯<E<>UCSHIKG�<E9CB4<�SH`T349CS�B'<>Ug@�Od9CB4<�9CB4<H@�JC<>6 @�OQÕN5�<>`�I�L'= $N3�)�L�7/I�L�=�@�5'9CI�7TLWSH`T@VU;<>=Of@�J�6²U;@V`T3'9C7:@VL'U+R±2134JCG'Jv7TUC7TL4hV`TX�](68I�LMX�9C7T68<>U���<�SHI�L�ÔÏ B'<HJC<+IKJC<+6AI�L(XWIKG'G�`T7TSHIK9C7:@VL'U©@�OQJvI�L'=4@V6.<>7:h�<>LMÐKI�`T34<>UHÔ(G�34JgG�@V7TLM9%@�O�=4<HG�IKJ�9C34JC<�]�B4@���<HÐ�<HJ~]��©I�U

9CB4<?=4<>UC7:J�<A9;@¢3'L'=4<HJvU;9CI�L'=Z9CB'<�J�IK9C7T@±@�Og9CB'<¤`TIKJ�h�<>U;9�9;@¢UC6AI�`T`:<>U;9�<>7:h�<>L(ÐKI�`T34<�@�O ����� Of@�J°I,68IK9;J�7K:� Ô Ï B'7TUg7TUg9CB4<�UCe^3'IKJC<+@�OQ9CB4<UT %�"$#�2V�V2V%�"W"C*,'YXZ�J� @�O � �NB�7TS�BW7_Ug@�Of9;<>L±3'UC<>=W9;@�68<>I�UC34JC<+B'@�� 68I�L(X='7:hV7T9CU ��<W687ThVB(98`:@VUC<W34G�@VL L^3'6�<HJv7TSHI�`T`:XÎUC@V`:Ð^7_L4h¢`T7TL4<>IKJ8U;X1U;9;<>68U8@�Oi<>e^3'IK9C7:@VL'U>]�@�J8G�<HJ�B'IKG�U�6�@�JC<7T6�G�@�JC9CI�LM9C`:X�]�B4@��²eM3�7TS#�1`:XÎI�L$7:9;<HJvIK9C7:Ð�<�6�<H9CB4@1=�]�UC3'SvB·I�U�9CB4<�Sj@VL DC34hVIK9;<�h�J�I�='7:<>LM9�7:9;<HJ�IK9C7:@VL�] �N7T`T`Sj@VLMÐ�<HJCh�<�Ô0i@��­='@M<>Ud9CB4<gSj@VL�='7:9C7:@VL¥L^3'6+5�<HJd5�<>B'I>Ð�<%@VLAI>Ð�<HJ�IKh�<�R Ï B'7_Ue^34<>U;9C7:@VL�B�I�Ud5/<H<>L�I�U#��<>=87TL°Ð�IKJv7:@V3'U

Of@�J�68U¯5MXAÐ�@VL�ÓN<>3'6AI�L'L¤<H9©I�`�Ô\[ "([^]�]�'¯7TJ#�^B'@$A±I�L'= >�3'`TIK9C7_[Ä[�]�]�216AI�`:<�[ " Ö ]�]1DF<>6868<>``[cY!&�]�]4I�L'=?68I�L(X

\

Page 9: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

@�9CB4<HJ�U>Ô Ï @ZSHIKG�9C34JC<�I,L4@�9C7:@VL @�O�N;I~Ð�<HJ�IKh�<�]POÎ9CB'<>U;<�I�349CB4@�J�U�SvB4@VU;<�I,G'JC@�5�IK5�7T`T7:9zX,=�7TU;9;J�7:5�349C7:@VL¢Of@�J9CB4<>7:JNJ�I�L'=4@V6²6AIK9;J�7TSj<>UHÔ©ÕiL�U2��<HJvUN3'UC3�I�`T`:X�B�I>Ð�<+9CI$��<>L±9CB4<�O�@�J�6²@�OdI�L±IKG'G'JC@�:17_68IK9;<+5�@V3'L'=?@VL¬9CB4<Sj@VL'='7T9C7:@VL¢LM3�6+5�<HJE='7TUC9;J�7:5�349C7T@VL¬@�J�<;:^G�<>Sj9CIK9C7:@VL�ÔE%sL¢9CB�7TU�9CB4<>UC7_UH]��¯<AU;<H9;9C`:<A6AI�L(XR@�O©9CB4<A7TUCU�34<>U�5MX@�5'9CI�7TL�7TL4h¥<;:1I�Sj9iO�@�Jv6�3'`_I�UHÔÏ B'<¥L'<;:^9�S�B�IKG'9;<HJE@V349C`T7_L4<>UN9CB'<¥B�7TU;9;@�JCX¬I�L�=¢IKG'G�`T7TSHIK9C7T@VL'UN@�O�J�I�L'=4@V6 <>7Th�<>L(ÐKI�`T34<>U�7TL,I?ÐKIKJ�7:<H9�X

@�O�b�<>`T='UHÔdÕ©9%9CB4<�Sj@VL'SH`T3'UC7T@VLA@�O9CB'7TU¯UC34JCÐ�<HX : 21<>Sj9C7:@VL Ö Ô' A ]U�¯<FUC3�6868IKJ�7K1H<F9CB4<�Sj@VLM9;J�7:5�349C7T@VL'U�@�O9CB'7TU9CB4<>UC7_UHÔ

[

Page 10: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� ��������� �

� � ��� �� � � � ��� � � ��� � � ���

� ��� �!�#" ��'0��12�� S������ ��`�a���

Ï B4<8`_7T687:9CIK9C7:@VL�Ui@VL!U;@V`:Ð17TL4h�`TIKJCh�<�U;X^UC9;<>68UE@�O¯<>eM3�IK9C7:@VL'U+IKJ�<ASj@V6�G�349;<HJ�6�<>6�@�JCX¢I�L'=ZUCG/<H<>=�Ô Ï B4<U;G�<H<>= @�ONSj@V6�G�3'9CIK9C7:@VL�]�B4@���<HÐ�<HJ~]¯7TU°L4@�9¥@VL'`:X!6�<>I�UC34JC<>= 5^XÎSH`:@1S#�17TL4h¢B'IKJ�=U�¯IKJC<C!¯7:9¥I�`TU;@¢=4<HG�<>L'='U@VLZL^3'6�<HJ�7_SHI�`QU;9CIK5�7T`T7T9�X�]�I�L'=¢Of@�J+7:9;<HJvIK9C7:Ð�<86�<H9CB4@1='UH]�@VLÎSj@VL(Ð�<HJCh�<>L�Sj<�J�IK9;<>U>Ô %zOW��<8B�I�=ZI�68I�S�B�7TL4<9CB'IK9gG�<HJCOf@�J�6�<>= >�I�3�UCUC7TI�L�<>`_7T687TL'IK9C7T@VLA@VL±I¥J�I�L'=4@V6 ? 5^X ? 6AIK9;J�7<:?O�@�J ? � YK] � � �1] � � �?7TL¢Y! �3�=�7:hV7:9G'JC<>SH7_UC7:@VL �N7:9CB�I�Sj@V68G�349CIK9C7:@VLA9C7T6�<%@�O/@VL4<gX�<>IKJ>]^IKO�9;<HJ�9CB'IK9�X�<>IKJ>]��@V3�`T= ��<iB'I>Ð�<NI�LMX�Sj@�JCJC<>Sj9�=�7:hV7:9CUIK9¥I�`T`4R Q @V3'`T= =4@V345�`T7_L4h�9CB4<AG�JC<>SH7TUC7:@VL!I�L'=ÎIQ�©I�7:9+@�Og98��@RX�<>IKJ�U¥UC3�)¤Sj<�R Q B'IK9¥IK5�@V349�7:9;<HJvIK9C7:Ð�<6�<H9CB4@1='U+R,0i@�� `T@VL4h8=4@ �¯<+L4<H<>=�9;@7�©I�7:9g9;@A@�5'9CI�7TLWSj@VLMÐ�<HJCh�<>L'Sj<�R213�S�B$e^34<>U;9C7:@VL'U¥IKJC<�L4@�98L'<"�EÔB%yL Y>[ "L ^]�Ð�@VL¨Ói<>3'68I�L�L I�L�= B�7TU¥I�UCU;@1SH7TIK9;<>U8UCI�� ? � Y�� �,@VL

9CB4<�B4@�J�7-1H@VL�]4I�L'=?B4@�G�<>=�9;@�3'L�=4<HJ�U;9CI�L'=�9CB4<�L^3'6�<HJ�7TSHI�`�U;9CIK5�7T`T7:9zX8eM34<>UC9C7:@VL�68IK9CB4<>68IK9C7_SHI�`T`:X�Ô Ï @^='I~X�]G�<HJ�B'IKG�U�9CB4<�<>e^3'7:ÐKI�`:<>L(9©L^3'6+5�<HJ©7TU ?�� & �1] � � �1]�5�349¯@V34J%3'L'='<HJ�U;9CI�L'='7_L4h4]V9CB4@V34hVB?OaIKJ©5�<H9;9;<HJ>]47TU©U;9C7T`T`7T6�G�<HJCOf<>Sj9HÔ

Q <�JC<HÐ17:<"�.B4<HJC<¤9CB4< �¯@�J#�Z@�ONÐ�@VL$Ói<>3'68I�L�L!I�L'=·B'7_U�Sj@V`T`T<>IKhV34<>U '©IKJChV68I�L'L�]S>F@V`T='U;9C7_L4<�]�I�L'=P±@VL(9;h�@V6�<HJ�X [ "([�]�]VO�@�JQ9CB'JC<H<%JC<>I�U;@VL'U>Ñ9;@EU;<H9Q9CB'<gU;9CIKh�<%O�@�J�J�I�L'=4@V6 Sj@VL'='7T9C7:@VL¥LM3'6�5�<HJ�UH]�9;@E7T`_`T3'U;9;J�IK9;<B'7TUC9;@�J�7TSHI�`�`:<>UCUC@VL'UH]4I�L'=�9;@�b/`T`�I¥hVIKG±UC3'h�h�<>U;9;<>=W5^X Q 7T`K�17TL'UC@VLH[#&�N ]�Ñ

Ô~ÔHÔCI�`:9CB4@V34hVBÎ9CB4<>7:J�G�IKG�<HJ+=4<>UC<HJCÐ�<>='`:XRJC<>Sj<>7:Ð�<>=?�N7T=4<>U;G�JC<>I�=,JC<>Sj@�hVL'7:9C7T@VL¢Ð�<HJCX,O�<"��B'I>Ð�<5�<H<>LWIK5�`:<�9;@8hV7:Ð�<+IASj@VL'SH7TU;<EU2��<H9CSvB¬@�O�9CB4<E5�I�UC7TU©@�Od9CB4<>7:JgI�L'I�`TX^UC7_UHÔ

Y��

Page 11: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

>�7:Ð�<>L¬9CB4<�=�7<)�SH3'`:9zX�@�OQ<;:19;J�I�Sj9C7TL'hA9CB4<EÐKIKJ�7:@V3�UN7T=4<>I�UNO�J�@V6²9CB4<>7:J.��@�J#�/] � �¯< �i7T`T`�JC<>SHI�U;9i9CB4<>7:JF7T=4<>I�U7TL�6�@^='<HJ�L�L'@�9CIK9C7:@VL�]4UC34G'G�`:X^7_L4h�<>eM3'IK9C7T@VL¤I�L�=AG�IKh�<FJC<HOf<HJC<>L'Sj<>U¯OfJC@V6 [ "([^]/Of@�J¯9CB4<iJ�<>I�=4<HJS�N7TUCB'7_L4h�9;@h�@85�I�S��?9;@89CB4<E@�J�7ThV7TL'I�`�U;@V34JvSj<�Ô>F@V`_='U;9C7TL4<¢I�L'= Ð�@VLªÓi<>3'68I�L'L �ÉU¬I�L'I�`:X1UC7TUW[ "([KS�] "([K=0]�B'I�U�9CB4J�<H<ÎSj@V6�G�@VL4<>LM9CUHѨ9CB4<ZSvB4@V7TSj<Î@�O

I�`:h�@�J�7T9CB'6�]F9CB4<¢JC@V3'L'=�7TL4hÎ<HJ�JC@�J�UH]�I�L'= 9CB4<Z7_6�G�`T7TSHIK9C7T@VL'UHÔ / @�J¬9CB4<>7:JWI�`:h�@�J�7T9CB'6�]F9CB4<HX�6AI�=4<¢9CB4<3'L4Of@�JC9C3'L�IK9;<+S�B4@V7_Sj<�@�O�U;@V`TÐ^7TL'h � ����� 5^X¤Of@�J�687_L4h � � � I�L'=¬U;@V`TÐ^7TL'h�9CB4<+G�@VUC7:9C7TÐ�<+=4<jb�L'7T9;<+U;X1U;9;<>6� � � � � � � � : 9CB4<�N;L'@�J�68I�`�<>e^3'IK9C7:@VL�U#O A Ô Ï B'7TU ��@V3'`_=Z5�<AI�S�B�7:<HÐ�<>=Î5^XZ7TLMÐ�<HJC9C7TL4h � � � I�L'=Î9CB4<>LOf@�J�687TL4h�� � : ���2� A ( � ��� L^3'6�<HJv7TSHI�`T`:X�Ô Q <9�1L4@�� L4@�� 9CB'IK9�9CB'7TU�I�`Th�@�J�7:9CB'6�3'L'L4<>Sj<>UCU�IKJ�7T`:X°UCeM3�IKJC<>U9CB4<�Sj@VL'='7T9C7:@VL?LM3'6�5�<HJ = I�L'=?9CB^3'U©7TU%3'L'UC9CIK5�`:<�Ô %sL¤OaI�Sj9H]�>F@V`T=�U;9C7TL4<�I�L'=?Ð�@VL�Ói<>3'68I�L'L?JC<>Sj@�hVL�7K1H<>=9CB4<�7T6�G�@�JC9CI�L�Sj<�@�Oi9CB4<�Sj@VL'='7:9C7:@VL·L^3'6�5/<HJ � : 9CB4@V34hVB·9CB'<HX!='7T= L4@�9�3'U;<?9CB'7_U�9;<HJv6 A ]�X�<H9�OaI�7T`:<>=!9;@@�5�U;<HJ�Ð�<E9CB'IK9NUCe^3'IKJ�7_L4h�7:9��¯I�Ui3'L'L4<>Sj<>U�UCIKJCX�Ô��Ï B'JC@V34hVB¢IW6�<H9C7_SH3'`:@V3'U�I�SHSj@V3'LM9+@�O¯9CB4<AL^3'6�<HJv7TSHI�`d<HJCJC@�J�U�7_L?>�I�3'UCUC7_I�L¢<>`T7T687_L'IK9C7:@VL�] >F@V`T=�U;9C7TL4<

I�L'=�Ð�@VL¬ÓN<>3'6AI�L'L 5�@V3'L'=4<>=?9CB'<E68IK9;J�7<:?JC<>UC7T=�3'I�`�Sj@V6�G�349;<>=W7_L¤bU:^<>=WG/@V7_L(9%IKJ�7:9CB�6�<H9C7TS�5^X��

� � � � 9 � � � Ö � � ? � (�� = : Ö ÔTY A

�NB4<HJ�< 7TUd9CB4<%5�I�U;<%I�L'=� i7TU�9CB4<gL^3'6�5/<HJd@�O�='7:hV7:9CU>Ô Ï B'<¯OaI�Sj9;@�J ? � IKJC@VU;<%OfJC@V6¦I*�¯@�J�U;9�SHI�UC<gI�L'I�`:X1UC7TU@�O©9CB4<�I�SHSH3�6�3'`_IK9C7:@VLZ@�O©<HJCJC@�JvUHÔ�%yL¢9CB4<>7TJ+`TIK9;<HJ°G�IKG�<HJ>]�9CB4<HX,JC<>=�3'Sj<>=¢9CB4<�OfI�Sj9;@�J Ö � ? � 9;@ Ö � � ? 5MXI�UCUC3�687TL4h�9CB'IK9¯9CB4<i<HJCJC@�J�U�I�SHSH3'6�3�`TIK9;<FUC9CIK9C7TU;9C7TSHI�`T`TX : [ "([K=C]�] � eM3�IK9C7:@VL : [^ÔTY>[ A@A Ô Ï BM3�UH](9CB4<HX�@�5�9CI�7TL4<>=9CB4<E<>UC9C7T68IK9;<

� � � � 9 � � $� Ö � � � ? (�� � : Ö Ô Ö A%yL!@V3'J8UC3'6868IKJ�XZU;@,OfIKJ>] ��<WB'I~Ð�<W=4<>`T7:5�<HJ�IK9;<>`TXZL4@�9�7TL(9;J�@^='3�Sj<>=!I�LMXÎJ�I�L�=4@V6 68IK9;J�7TSj<>U"!©9CB4<?@VL'`TXJ�I�L'='@V68L4<>UCU¯7TL : Ö Ô Ö A 7_U�L4@�9©7TL�9CB4<�68IK9;J�7<: � ]^5�349©7TL89CB4<�I�UCUC3�6�G'9C7:@VL�@�O�U;9CIK9C7TUC9C7TSHI�`�='7TU;9;J�7T5�349C7:@VL'Ud@�O<HJCJC@�JvUHÔ

A��������������������! #"$ %���! '&�(!�)(!*+ -,/.�,0 %�'1 �324����&+��5 #��(!��6+�����7(48:9 ;< 2=9'9>9�(!*+ ?.A@#(!B/.A�/ >��(!��C3.A(! D�A"��������E��"F,+�! #@>���������G9'9>9!&+ #,0 >�/&H���+��(���JIK�����78:LM6+B+(N.������)���O(!*� P�=.A(!���RQS��"S(!*� DB�,+,0 #��.���&���'TE #�U.A6�������BH(! )60��B���&+�V��"W(!*� UC3.A(��!�7XS9U9>9>9�YZ([.A,�,0 '.\�!�](!�J60 R(!*+ _^ `�5BH�! )�A"NCJ #�!�7('1� #XH,+�! >��������5J(!*+ )&H�7aJ@>B��7(!�� >�[@>.�B��� >&

6:8�9>9>9�������b�����5J����C)B��7(=.��+ >�B+�P 'c:B/.A(!�����K��8H��(! >CJ�[9>9>9�;�d�e fg.hiL+,�9Sj>fMk%9l>m �)(!*� #���E@#�! '&+�7('L�n]���&H��(!���+ -.���&ob��op] >B+C3.����3&H��&3�! >C3.\�!�0L�*��'TE >b #�'L�(!*/.A(�(!*� >�7�P�! '.A����+�E"$���P"q���!CJ����5_r]s'rt2uC3.>8

���A(-60 ).�6�������B+(! >�78v.���&v,0 %�!C3.��� #��(!�78�b.A����&H;wd�e fMgA@>hiL�,F9�x�j#f:k%9 m *� %8GTE #�! )CJ #�! >�78�.A(�(! #CJ,+(!����5J(!�JTE�A�!�KTD��(!*w.3CJ��&+ >�TD�7(!*�TD*���@=*�(!*� %83@>�B+�y&z@'.A����8z�BH(V(!*+ -.���.��78H�����>9W����(!*z(!*����DCJ��&+ >�{L�(!*� #8z.'bM���y&H '&z(!*+ [������B� -��"|,+��bM��(!����5H9} m *+���E���E.[�!�B+5*o.'bM #�=.�5� ?�A"�~Wc:B/.\(!�������?dZ��9 xA�$k�.���&KdZ��9 xA��AkDd�e fg�@>hiL�,�9:xx:j\k%9N�H > P(!*+ ?@>��CJCJ >�:(W.A"y(! #�D~Wc�B�.A(!�����dZ�:9�j>�Mk"$�A�D(!*� E��B+��(!�7`/@'.\(!������"$�A�?(=.A�����+5J.���.'bM #�=.�5� 9

Y�Y

Page 12: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

0i@�� 7TU ¤<>U;9C7T6AIK9;<>=�7TL : Ö Ô Ö A R Ï B�7TU�7TUM�NB4<HJ�<iÐ�@VL?Ói<>3'68I�L'L?I�L'=¤B'7TU¯Sj@V`T`:<>IKhV34<>U©7TLM9;JC@1='3'Sj<>=�9CB4<I�UCUC3�6�G'9C7:@VL�@�OQJvI�L'=4@V6 6AIK9;J�7TSj<>UN=�7TU;9;J�7:5�349;<>= �N7:9CB�<>`T<>6�<>L(9CUiOfJC@V6 7_L'=4<HG�<>L'=4<>LM9%L4@�J�68I�`TU>Ô���IKJ�7T@V3'UNyJ�3'`T<>Ug@�O�9CB^3'6�5TO��+IKJC<°hV7:Ð�<>L±O�@�J �NB4<>L¬9CB4<¥68IK9;J�7TSj<>UFIKJC<¥U;@¤=�7TU;9;J�7:5�349;<>=�Ñ ?: [ "([KI�]�]�G�ÔTY " A ] � Y�� ?: [ "([�5C]�]�G�Ô#"�N N A ]�I�L'=$Y�� ?G: [ "([KSB]�]�G�Ô'& & & A Ô Q < �N7T`T`UCB4@��¦7TL,21<>Sj9C7:@VL0NMÔTY¥9CB'IK9�9CB4<¥G'JC@�5�IK5�7T`T7:9C7:<>Ug9CB'IK9R7TUg`:<>U�Ug9CB'I�L ? ] � Y�� ? ]�I�L'=ÎY�� ? Sj@VL(Ð�<HJCh�<¥9;@ : IKG'G'JC@�:17T6AIK9;<>`:X A � � � Ö ]2� � " "4]�I�L'=H� � \ �AJ�<>U;G�<>Sj9C7:Ð�<>`:X�ÔÏ B^3'Ui9CB4<�<>UC9C7T68IK9;<>U�B'I~Ð�<°9CB'<�J�7ThVB(9F@�J�=4<HJ�@�O�68IKhVL�7:9C3'=4<�]/5�349i<HÐ�<>L,9CB4<+b/L'I�`�<>UC9C7T68IK9;<¥@�ONY�� ? �N7T`T`OaI�7T`�O�@�J Ö ���»@�OdJ�I�L'[email protected];J�7TSj<>UHÔÏ @ NyJC<>='3�Sj<Z9CB4<¢G'JC@�5�IK5�7T`T7TUC9C7TS¬3'L�Sj<HJC9CI�7TLM9C7:<>U�9;@¨JC<>I�UC@VL'IK5�`:X UCIKOf<Î`:<HÐ�<>`TUH]PO$7_L 9CB4<>7:JWG�3'5�`T7TUCB'<>=

G�IKG�<HJ�U5[ "([KS(]3"([K=0]�]�>F@V`_='U;9C7TL4<�I�L'=WÐ�@VLWÓN<>3�68I�L'LW68I�='<�9CB4<+I�UCUC3�6�G'9C7:@VL'U¯9CB'IK9

B D�� � Y�� � ?C=B3DCE#F��ªY �^Y�� � ?C= � Y�� ?C=

: Ö Ô X A

�NB4<HJ�<9B�D���I�L�= B�DCE#F�IKJC<�9CB'<�<;:19;JC<>6�<?<>7:h�<>LMÐ�I�`_34<>U°@�O ���2� � : [ "([KSB]�] � e^3'IK9C7:@VL�U : NMÔTY "��(ÔÉI1]Q5�]�I�L'=S A ]��gJ�7:9;9;<>L±7TL�9;<HJ�68Ui@�Od9CB4<+<>7Th�<>L(ÐKI�`T34<>UiJ�IK9CB4<HJi9CB'I�L¬9CB'<�UC7TL'hV3'`TIKJ%ÐKI�`T34<>UHÔ A Ï B'<EJC<>UC3'`T9%O�@�J%B3D��¥7TUJ�7:h�@�J�@V3'UC`:X°G'JC@mÐ�<>=A9;@°B4@V`T= �N7T9CB8G'JC@�5�IK5�7T`T7:9zX+h�JC<>IK9;<HJ©9CB'I�L � � [�[ : [ "([K=C]�] � eM3�IK9C7:@VL : \^Ô£\ A@A ]45�3'9QO�@�J¯9CB4<<>U;9C7T6AIK9;<F@�OCB3DCE#F : �iB'7TS�B��¯<9�i7T`T`�U�B4@�� OaI�7T`TU�O�@�J Ö ����@�O�JvI�L'=4@V6»68IK9;J�7TSj<>U A ]^9CB'<HXAJC<HOf<HJ©9;@¥I@�¯@�J#�A@�O�°ÔT'©IKJChV68I�L'L : N�219CIK9C7TU;9C7TSHI�`='7TU;9;J�7T5�349C7:@VLA@�O�G�JC@�G�<HJ%Ð�I�`T3'<>U#O A �NB'7TSvBWSHI�LWL4@�9N5/<E`T@^SHIK9;<>=�Ô�213'5�U;9C7:9C349C7_L4h : Ö Ô X A 7TL(9;@ : Ö Ô Ö A ]�I�L'=W9CI$�17TL4h�9;<>L,='7:hV7:9gG�JC<>SH7TUC7:@VL�]U��<�@�5'9CI�7TL±9CB'IK9F9CB4<+J�7ThVB(9FB'I�L'=

UC7T='<N@�O : Ö Ô Ö A 7_U¯`T<>UCU¯9CB'I�L?3'L'7:9zXA7:O ? � NK[^Ô�ÕFSj9C3'I�`T`TX�]U>�@V`T='U;9C7TL'<iI�L'=¤Ð�@VL�Ói<>3'68I�L'L?68I�=4<�I°Of3'JC9CB4<HJIKG'G'J�@ :47T68IK9C7:@VL : [ "([K=C]�] � e^3'IK9C7:@VL : [^ÔTY>\�� � A@A I�L�=?@�5'9CI�7TL4<>=WI�Ug@VL4<E@�O�9CB4<>7:J7Ny5�@�9;9;@V6 `T7_L4<>U#O°9CB4<�ÐKI�`T34<? � \ : [ "([K=C]�] � e^3'IK9C7:@VL : [^ÔTY>[^ÔÄ5 A@A ÔÏ B'<AG'J�7_L'SH7:G�I�`d='7:J�<>Sj9+6�<H9CB4@1='U�9;@^='I~X¢O�@�J¥U;@V`:Ð17TL4hW`_7TL4<>IKJ+<>e^3'IK9C7:@VL�U+IKJC< >�I�3'UCU�7TI�LZ<>`T7_687TL'IK9C7:@VL

�N7:9CBAG�IKJC9C7TI�`�G�7:Ð�@�9C7TL'h+I�L'=89CB'<��K$ OaI�Sj9;@�J�7K1>IK9C7:@VL�Ô Ï B'I�L��1U�9;@°9CB4<.�¯@�J#��@�O Q 7T`K�17TL'U;@VL�] ��<FL4@�`T@VL4h�<HJ3'U;< : Ö Ô Ö A 9;@�<>U;9C7T68IK9;<g9CB'<%<HJCJC@�J�UH]�5�349dJ�IK9CB4<HJ �¯<%5�@V3'L'=�9CB4<%JC<>`TIK9C7:Ð�<%<HJ�JC@�JQ@�O�9CB'<gSj@V6�G�349;<>=�U;@V`_349C7:@VL�� 5^X

� � � �� � �� � � � � D :5?*A���� : Ö Ô#" A

� ���CJ #(!��CJ >�|(!*� #�� V #��(!��C3.\(! >�E.\�! V�! %"$ #���! '&O(!�R.��N.��J #XH,0 >@%(=.A(!����o.���&O���CJ #(!��CJ >��.��N.-60�B���&_(!*/.\(N*+���&+�WTD��(!*3*+��5�*�L(!*���B�5�*�B��+��,0 >@>�7`/ >&FL+,+�!�6�.�6+�����7(u8:9� Y4�-(! >�� >,�*+��� W@>��CJC_B��+��@'.A(!����+��&HB+�!����5��?,H�!���M��"Fj'g��gHL��E.\�!5C3.��+�_.A�/&Rn]���&H��(!���+ N���+"q���!CJ '&-CJ (!*/.\( (!*+ #�! �,H�!�6�.�6��78���D���O��B+@%*�&+�:@>B+CJ >�:('9

Y Ö

Page 13: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

0i<HJC< � 7_U���@VIK9C7TL'h$3�G/@V7_L(9¤68I�S�B'7_L4<±<HG�UC7T`:@VL�] 7TUA9CB4<,Sj@VL'='7:9C7:@VL�L^3'6+5�<HJ>]%I�L'= D :5?*A 7_L'SH`T3'=4<>UA9CB4<G�@VUCUC7:5�`:XÎSj@V6�5�7TL4<>=$<;A�<>Sj9CU�@�O�IÎG�@V`:X^L'@V687TI�`©I�L'=�]¯O�@�JV>�I�3'UCU�7TI�L$<>`T7T6A7TL'IK9C7:@VL�]�9CB4<�� �-%�� �/.��B� T ��%��J6'¯@�9CBWOaI�Sj9;@�J�UNIKJ�<E@�O�9;<>L±='7TUC6A7TUCU;<>=¤I�UgG�<>UCUC7_687TU;9C7TSFI�L'=�7:hVL'@�J�IK5�`:<E7TL?G�J�I�Sj9C7TSj<�Ô%yL�Y>[�NK[^]'©7:J��^B4@$A¤I�L'=E>�3'`TIK9C7<[Ä[�]1J�<>UC34JCJC<>Sj9;<>=�>F@V`T='U;9C7_L4<¯I�L�=¥Ð�@VL8ÓN<>3�68I�L'L �ÉUQ6�@1=4<>`¶]�5�349�7_L'Sj@�J23

G�@�J�IK9;<>= Q 7_`K�^7_L'U;@VL �ÉU�5/@V3�L'=�Ô Ï B4<HX8@�5�UC<HJCÐ�<>=¤9CB4<�@�JC9CB4@�h�@VL'I�`�7TLMÐ�IKJv7TI�L'Sj<F@�O�J�I�L'=4@V6»68IK9;Jv7TSj<>UW�N7:9CB7TL'='<HG/<>L�=4<>L(9%L4@�Jv68I�`T`:X¤='7TU;9;J�7T5�349;<>=�<>`:<>6�<>LM9CUiI�L'=WG/<HJ�O�@�J�68<>=�U;<HÐ�<HJ�I�`�L^3'6�<HJv7TSHI�`�<;:^G�<HJ�7_6�<>L(9CU(�N7:9CBJ�I�L'='@V6.LM3'6�5�<HJ©h�<>L4<HJ�IK9;@�J�UgI�L�= � %C21k�Õ.ISL�Ô Ï B4<HX8Oa34JC9CB'<HJ©U�34h�h�<>U;9;<>=�9CB'IK9%JvI�L'[email protected];J�7_Sj<>US�N7:9CBL4@�J�6AI�`�<>`:<>6�<>LM9CUiIKJ�<�L4@�9N7_`T`<3�Sj@VL'='7T9C7:@VL4<>=¤<>L4@V34hVB±O�@�Ji9;<>U;9C7TL4h >�I�3'UCUC7_I�LW<>`T7T6A7TL'IK9C7:@VL?I�L'=¬G'JC@�G�@VU;<>=I86�<H9CB'@^=�9CB�IK9(��@V3�`T=?5�<�ÔG�L�Sj<�IKhVI�7TL,=4J�I��N7TL4hAO�JC@V6 >F@V`T='UC9C7TL4<�I�L�=WÐ�@VL,ÓN<>3�68I�L'L �ÉUi6�@^='<>`¶]�216AI�`:<�]�7TL±I±Y>[�\ "�U;<>6A7TL'IKJ>]

I�U2��<>=¬O�@�J� 7 � : `:@�h A =

9CB4<�<;:^G�<>Sj9;<>=,`:@�hVIKJ�7:9CB�6²@�OQ9CB4<°Sj@VL'='7:9C7:@VL¬LM3'6�5�<HJN@�O ? 5MX ? 6AIK9;J�7TSj<>U9�N7:9CB¬L'@�J�68I�`T`:X?='7TUC9;J�7:5�349;<>=<>`:<>6�<>LM9CUHÔ Ï B'7TUFeM34<>UC9C7:@VL,7TUFG/@VUC<>=±7TL�[ " Ö ]�I�`:@VL'hVUC7T=4<°@�9CB4<HJ�J�I�L'='@V6 I�`:h�@�Jv7:9CB'6 eM3'<>U;9C7:@VL'U : UC3'SvB¢I�UIKJ�7TUC<�7_L�`T7TL4<>IKJ©G'JC@�h�JvI�68687TL4h A �NB'<HJC<�9CB4<EI>Ð�<HJ�IKh�<�9;<>L'='U©9;@85�<�OaIKJg`:<>UCU%Sj@VU;9C`:X¤9CB'I�L�9CB'<+��@�J�UC9gSHI�U;<�ÔÏ @¬3'L'='<HJ�U;9CI�L'=,9CB4<�UC7:hVL'7cb/SHI�L'Sj<¥@�O©`T@�h = JC<>6�<>6�5/<HJ+9CB'IK9E9CB4<ASj@VL�='7:9C7:@VL¢L^3'6�5/<HJESHI�L!I�`TU;@W5�<

=4<jb�L'<>=¬I�Ui9CB4<�UC6AI�`T`:<>U;9NL^3'6�5�<HJ : =4<HG�<>L'='7TL4h�@VL � @VL'`:X A UC3�S�B±9CB'IK9NOf@�JFI�`_` � I�L'=�� � ]�7:O � ��� �I�L'= � :�� I � � A � �CI � � ]'9CB4<>L

� � � � �� � � � � � � � � �� � � � � : Ö Ô'& AÕFUgI8Sj@VL'U;<>e^34<>L'Sj<�]

: `:@�h � � � � � � `:@�h � � � � A � : `:@�h � � � � � � `:@�h � � � � A � `:@�h� �Q B4<>LW9CI$�17TL4h89CB'<+`:@�hVIKJ�7:9CB�6.9;@A9CB4<+5�I�U;<�Y��1]�9CB4<E<>e^3'IK9C7:@VL±IK5/@mÐ�<�B'I�UN9CB4<�7_L(9;<HJCG�JC<H9CIK9C7:@VL�9CB'IK9i9CB4<L^3'6+5�<HJ©@�O�Sj@�JCJ�<>Sj9g='7:hV7:9CU©7TL � SHI�L�='7<A�<HJ©O�J�@V6�9CB'<�L^3'6�5�<HJ¯@�O�Sj@�JCJC<>Sj9g='7ThV7:9CU�7_L � 5MX¤IK9g6�@VU;9%`:@�h� �2168I�`T<�9CB^3'U�SHI�`T`TUF`:@�h ¢9CB4< � %^�+�1% ���$� � T 2O� 2V%�" Ô / @�J+I�L'@�9CB4<HJ�7TL(9;<HJ�G'JC<H9CIK9C7:@VLR@�O�`T@�h��]�Sj@VL'U�7T=4<HJ : Ö Ô#" A�N7:9CB D :5?*A�� YKÔ Ï B4<%`:@�hVIKJv7:9CB'6 @�O�9CB4<%Sj@VL'='7T9C7:@VL¥LM3'6�5�<HJ9CB'<>L¥5/@V3�L'='U�9CB'<¯<;:1G�@VL4<>LM9d7_L�9CB'<¯J�<>`TIK9C7:Ð�<<HJCJC@�J~]^hV7TÐ^7TL'h�I@�^7_L'=8@�ORN@$N7TSvB(9;<HJgUCSHI�`T< O&�iB4<HJC<�I�J�<>`TIK9C7:Ð�<�<HJCJC@�J©@�OU�7K1H< � hV7TÐ�<>U%I°`T@VUCU¯@�O�G'JC<>SH7TU�7:@VLA@�O�1]�I�L'=W<HÐ�<HJCX?9;<>L4O�@V`_=�7TL'SjJC<>I�U;<�7TL?9CB4<�JC<>`TIK9C7TÐ�<E<HJCJC@�JN7_L'SjJC<>6�<>LM9CU%9CB'7TU%68<>I�UC34JC<�5^XRYKÔ

Y X

Page 14: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

%yL­J�<>U;G�@VL'U;<W9;@¨2168I�`:< �ÉU�eM3'<>U;9C7:@VL�]%5�@V3'L'=�U�O�@�J � 7 �¯<HJC<¬@�5�9CI�7TL4<>= 5MX L�@VUC9C`TI�L [ Ö [�]FI�L'= G�S 3L4<>I�L^3 : U;<H< [ " Ö ] A ]6�NB4@¤Of@V3'L'=±9CB'IK9i9CB'<�<;:1G�@VL4<>L(9C7_I�`�@�O�9CB'<°<;:1G�<>Sj9;<>=,`:@�hVIKJ�7:9CB'6 9;@?9CB4<°5�I�U;< . : 7¶ÔÄ<�Ô:]9CB4<Eh�<H@V68<H9;J�7TSE6�<>I�L A UCIK9C7TUyb�<>U%9CB4<�Of@V`T`:@��i7TL4h�7TL4<>e^3'I�`T7:9C7T<>UHÑ

? � 1 ������� ��� � <;:1G : � 7�A � .!? � 1 � � : Ö Ô' A

%yL±2^<>Sj9C7:@VLHNMÔTYK]���<+�i7T`T`/JC<HG�`TI�Sj<�9CB'<>7:Jg5�@V3'L'='UW�N7T9CB?<;:^G : � 7 A� " � & ? I�3:5?*A ÔÏ B'<�hVIKG+5�<H9 �¯<H<>L Ö � X I�L'= & � Ö 7TL�9CB4<�<;:1G�@VL4<>LM9CU�IK5�@~Ð�<�JC<HG'JC<>U;<>LM9CU�I(��@�J�`_=�@�O4='7<A�<HJC<>L'Sj<�7TL�9;<HJv68U

@�OgSj@V6�G�IKJv7TL4hW9CB4<¤I>Ð�<HJ�IKh�<?5�<>B'I~Ð^7:@�J�@�O%9CB4<�Sj@VL$D;34hVIK9;<¤h�J�I�='7T<>L(9°7:9;<HJ�IK9C7:@VL?�N7:9CBZ9CB�IK9+@�O9>�I�3'U�UC7TI�L<>`T7T6A7TL'IK9C7:@VL�Ô Ï @�UC<H<+9CB'7TU>]'I�UCUC3'6�<+9CB4<+Sj@VL'='7T9C7:@VLWL^3'6+5�<HJg@�OQI�JvI�L'=4@V6 6AIK9;J�7<: � 7_U%@�J�=4<HJ ? : ]/I�L'=�¯<©IKG�G�`:XESj@VL DC34hVIK9;<%h�J�I�='7T<>L(9�9;@��©IKJ�='Ud9CB4<%`T7_L4<>IKJ�UCX^U;9;<>6 � � � � � � � � Ô Ï B4<¯L^3'6�5�<HJ@�O�@�G/<HJvIK9C7:@VL'UG�<HJF7T9;<HJ�IK9C7:@VLR7TUNhV7TÐ�<>L±5^X�9CB4<°9 �¯@�68IK9;J�7<:WÐ�<>Sj9;@�J+6°3'`:9C7TG�`T7TSHIK9C7:@VL�UH]'B4<>L'Sj<¥7:9i7_UN@�J�='<HJ ?�� ]6�NB'7T`T<E9CB4<L^3'6+5�<HJF@�O�7:9;<HJvIK9C7:@VL'UF7TUF@�J�=4<HJ�@�O�9CB4<�Sj@VL'='7T9C7:@VL¬L^3'6�5/<HJ�@�O � �NB'7TSvBR7_UN@�J�='<HJ ? : Ô Ï B^3'UF9CB4<°9;@�9CI�`L^3'6+5�<HJQ@�O�@�G�<HJ�IK9C7:@VL'UQ7_UQ@�J�=4<HJ ?�� � : Ô %sO�Q��<HJ�< Ö � X ]M9CB'<>L ��<.��@V3'`_= �^L4@��¨9CB'IK9�Sj@VL$D;34hVIK9;<ih�J�I�='7:<>LM97TU¯5�<H9;9;<HJ%9CB'I�L >�I�3'UCU�7TI�L¤<>`T7T687TL�IK9C7:@VL8Of@�J%J�I�L'=4@V6»68IK9;Jv7TSj<>U"!49CB4<�JC<HÐ�<HJ�UC<R�¯@V3'`T=?B4@V`_=�7:O�B�¯<HJC<%& � Ö ÔG�34J�Sj@VL'SH`T3'UC7T@VL¥9CB'IK9 � YgUCB'@��NU�9CB'IK9�5�@�9CB8IKJC< ?D� @�G�<HJ�IK9C7T@VL'UH](I�L'=89CB4<NS�B'@V7TSj<N@�O�6�<H9CB4@1=87TU�6�@�JC<UC345�9C`:<C!47:9g=4<HG�<>L'='U©@VL�9CB'<EÐ�IKJv7:@V3'U%Sj@VL'U;9CI�LM9CUF7TL(Ð�@V`TÐ�<>=�ÔÏ B'@V34hVB¬6�@VUC9N@�Of9;<>L¬@VL4<°B4<>IKJ�UiIK5/@V3'9N9CB4<+Sj@VL�='7:9C7:@VL±LM3'6�5�<HJN7TL�9CB'<�Sj@VLM9;<;:^9�@�OQ9CB4<+UC<>L'UC7:9C7:Ð17:9zX

@�O�U;@V`:Ð17TL4h�`T7TL4<>IKJQU;X1U;9;<>68U>]M7TL°OaI�Sj9�<HÐ�<HJCX¥G'JC@�5�`T<>6 : I�UQ<;:^G�`TI�7TL4<>=°Oa34JC9CB4<HJ�7TL�L^3'6�<HJv7TSHI�`1I�L'I�`:X1UC7TUd9;<;:19CUUC3'SvB+I�U [ Ö &^] A B'I�UIiSj@VL'='7:9C7T@VLELM3�6+5�<HJ�9CB�IK9�<;:1G'JC<>UCU;<>U9CB4<¯68IKhVL'7cb�SHIK9C7T@VLE@�O49CB4<�JC<>`TIK9C7:Ð�<�@V349;G�349�<HJ�JC@�JhV7:Ð�<>L°9CB4<¯JC<>`TIK9C7:Ð�<%7TL'G�349�<HJCJ�@�J>Ô�k�JC@�5�`:<>6AU�IKJC< 2/�4��� �0%^�B�Z# �NB4<>L�9CB4<%Sj@VL'='7:9C7:@VL�LM3�6+5�<HJd7TU7_L1b�L'7:9;<C!K9CB4<HXIKJC< 24�/��� T %�"$#�2V�V2V%�":� # �iB4<>LA9CB'<FSj@VL'=�7:9C7:@VLAL^3'6�5�<HJ¯7TU¯`TIKJCh�<�Ô�DF<>6868<>``[cY!&�]/<;:1G�`TI�7TL�U�9CB'IK9©9CB4<�7T`T`<3�G�@VU;<>=G'JC@�5�`:<>68U°7TL!I±hV7:Ð�<>L·SH`TI�UCU°@�Of9;<>L·O�@�Jv6 I�L ��� � ��XJ�-��2 T�� ���+2��B�VK ] �iB'7T`:<89CB'<?7_`T`<3�Sj@VL'='7T9C7:@VL4<>=¢G'J�@�5�`:<>68UOf@�J�6ÍI �V*DXB* � ��� ":�J2 � .0X %��+. % % # Ô Ï B'@V34hVB8DF<>686�<>`��ÉU�6�@1=4<>`'7TUQÐ�<HJ�X�h�<>L4<HJ�I�`¶]���<9�N7T`T`1<;:1G�`TI�7TL�7T9�O�@�J�9CB4<SHI�U;<8@�O©JC<>I�`�I�L'=¢Sj@V6�G�`:<;: ? 5^X ? 68IK9;Jv7TSj<>UH]��NB�7TS�B¢SHI�LÎ5/<87_=4<>L(9C7:b�<>= �N7:9CB,9CB4< � 3'SH`T7T=4<>I�L¢UCG�I�Sj<>U� 7 < I�L'= � � 7 < Ô Ï B4<N7T`_`<3�G�@VU;<>=¥68IK9;J�7TSj<>U�`T7:<%@VLAI�UC345�6AI�L'7:Of@V`T=¥=4<jb�L4<>=�5^X�=4<H9 : � A� � � 247TL'Sj<g=4<H9 : � A7TU�IRG�@V`:X1L4@V687TI�`¶]�I�`Th�<H5'J�I�7TS¤h�<H@V6�<H9;<HJ�UAJC<HOf<HJ�9;@Z9CB'7TU¥68I�L'7TO�@V`T= I�U8I�L¨I�`Th�<H5'J�I�7TS¤ÐKIKJ�7:<H9�X�Ô � 7TU�7T`T`<3Sj@VL'='7T9C7:@VL4<>=��NB4<>L¤7:9¯7_UH]^7_L�I¥U;<>L'UC<F9CB�IK9©SHI�L¤5�<�68I�=4<�G'JC<>SH7TUC<�]^SH`:@VUC<F9;@¥9CB'7_U�68I�L�7:O�@V`_=�Ô�%s9%L'IK9C34J�I�`_`:XOf@V`T`:@��iUd9CB'IK9�7T`T`K3�Sj@VL'='7:9C7:@VL'<>=+68IK9;J�7_Sj<>U�`T7:<%7TL�I�9C345�3'`TIKJQL4<>7:hVBM5�@�J�B4@^@^=¥IKJC@V3'L�=¥9CB4<g68I�L'7:Of@V`T=�]�7¶ÔÄ<�Ô:]M9CB4<U;<H9�@�O�G�@V7TLM9CU.�i7:9CB'7TL±I�Sj<HJC9CI�7_LR=�7TU;9CI�L'Sj<°@�O�9CB4<�68I�L'7TO�@V`T=�ÔiDF<>686�<>`�Of@V3'L'=R7:9iSj@VLMÐ�<>L'7:<>LM9�9;@�=4<jb�L4<

Y "

Page 15: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

9CB4<+Sj@VL�='7:9C7:@VL�L^3'6�5/<HJ �� � � � ����� � ( � � � ÔQ 7:9CB B'7TUE6�@1=4<>`¶]dDF<>686�<>`¯Sj@VL'SH`T3'='<>=Z9CB'IK9�O�@�J¥Sj@V6�G�`:<;:Î6AIK9;J�7TSj<>U&�N7:9CBÎL'@�J�68I�`T`:X,='7TUC9;J�7:5�349;<>=

<>`:<>6�<>LM9CU: Y �+� ( � A � 7 < ( �Ö ? � � � � k�J�@�5 : �� � � A � .'� ? � : Y I ?�� � � A � 7 < ( �� � � : Ö Ô N A

0i<+I�`TU;@8Sj@V6�G�349;<>=�9CB4<+`_IKJCh�< � 5�<>B'I~Ð^7T@�J%O�@�JNI�bU:^<>= ? Ñk�JC@�5 : �� � � A � ? :5?�� � Y A� � I�3: Y� � A � : Ö Ô£\ A

Ï B4<N5/@V3�L'='UdhV7:Ð�<>L�7TL : Ö Ô N A IKJC<NL4@�9�Ð�<HJCX¥9C7:hVB(9HÔ / @�J�<;:4I�6�G�`:<�]MO�@�J � � ? I�L'= ? `TIKJ�h�<(��<ih�<H9�I�`:@��¯<HJ5�@V3'L'=Rh�JC@��N7TL4hW`T7-��< . ( � 7 I�L'=¢I�LÎ34G'G�<HJ�5/@V3�L'=Rh�JC@��N7_L4hW`T7K��< . � 7 � %sL 2^<>Sj9C7:@VL0NMÔ X ]���< �N7_`T`='<HJ�7:Ð�<9CB4<E<;:4I�Sj9gJC<>U�3'`:9

� : �� � � A � Y ��: Y � ? � � � A 7 < ( � =OfJC@V6J�NB'7_S�B �¯<+SHI�LWJC<>I�=�7T`:XA=4<HJv7:Ð�<EDF<>686�<>`��ÉUiI�U;X^68G'9;@�9C7TS�JC<>UC3�`:9 : Ö Ô£\ A I�UgIASj@�JC@V`T`TIKJCX�Ô

Q B4<>L¢U;@V`:Ð17TL4h?`T7TL'<>IKJFU;X1U;9;<>68UE5MXF>�I�3'UCUC7_I�L±<>`_7T687TL'IK9C7T@VL �N7:9CBRG�IKJ�9C7TI�` : @�J+Sj@V6�G�`:<H9;< A G�7:Ð�@�9C7TL4h4]9CB4<E9;<HJv6 D :5?*A 7TL : Ö Ô#" A 7TUgI�`-�¯I~X^UiOfI�Sj9;@�J�<>=±I�U�� :5?*A��:5?*A �iB4<HJC<� :5?*A 7TU%9CB4< � �!% � �/. �B� T ��%�� I�L�= ��:5?*A7TUgIAG�@V`:X^L'@V687TI�`¶Ô Ï B4<+��@�JvU;9iSHI�U;<�5�@V3'L'=?Of@�J�� :5?*A 7TU Ö 7 ( � O�@�JiG�IKJC9C7TI�`�G�7:Ð�@�9C7TL4h�I�L'=W7TUiSj@VL Dy<>Sj9C3'JC<>=9;@Z5�< ? Of@�JASj@V6�G�`:<H9;<¬G�7:Ð�@�9C7TL4h4]�5�349 �NB�IK98IK5/@V3'9�9CB4<¬I>Ð�<HJvIKh�<�� :5?*A R / @�J�G�IKJC9C7TI�`©G�7:Ð�@�9C7TL4h4]¯9CB4<h�JC@��g9CB,OfI�Sj9;@�JvU�9CB'IK9�IKG'G�<>IKJF7TL±G'J�I�Sj9C7_Sj<¥IKJ�<¥6°3'SvBRU�68I�`T`:<HJF9CB'I�L Ö 7 ( � ]�5�3'9N9CB4<¥9CB'7TUiG�B4<>L'@V6�<>L4@VLJC<HG'J�<>U;<>L(9CUNI�LW7T6�G�@�JC9CI�LM9©hVIKG¬7TL?@V34Jg3'L�=4<HJ�U;9CI�L'=�7TL4h°@�OG�IKJ�9C7TI�`/G�7:Ð�@�9C7TL4h4Ô $N<>Sj<>L(9C`TX�] Ï JC<HO�<H9CB'<>LWI�L'=21SvB4JC<>7:5�<HJ [ "�N�]NB'I~Ð�<±U;9C3�='7:<>=·9CB'7TU�e^34<>U;9C7T@VL¨I�L'=¨B'I~Ð�<WhV7:Ð�<>L­<HÐ^7T='<>L'Sj<�9CB'IK989CB4<¬h�JC@��g9CB¨OfI�Sj9;@�J?7TUI�L4@�9CB4<HJ%<;:4I�6�G�`T<i@�O�I¥e^3'I�LM9C7:9�X7�iB4@VU;<�I>Ð�<HJ�IKh�<+7_U�OaIKJ©5�<H9;9;<HJ¯9CB�I�L¤7T9CUM�¯@�J�U;9%SHI�U;<�Ô Ï B4JC@V34hVB¤SHIKJC<HOa3'`<;:1G/<HJv7T6�<>LM9CU�I�L'=�9CB4<F5/<HhV7_L'L'7TL4hVUd@�OI+9CB4<H@�J�X�]^9CB'<HX�O�@V3'L�=89CB'IK9¯9CB4<�I>Ð�<HJ�IKh�<�h�JC@��g9CB¤OfI�Sj9;@�JvU�5�<>B'I~Ð�<IKG'G'J�@ :47T68IK9;<>`:X?`T7K��< ?�� 1 ��Of@�JgG�IKJC9C7TI�`�G�7:Ð�@�9C7TL4h�I�L'= ? � 1 � O�@�JNSj@V68G�`:<H9;<EG�7TÐ�@�9C7TL4h4Ô

Y!&

Page 16: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� ��� - �# ��������'0���.�a�%�Z�/�.�����Z�a��12�

ÕFUE7T6�G�@�JC9CI�LM9EI�JC@V`:<�I�U+9CB4<8<>7:h�<>LMÐ�I�`_34<>U�@�O ���2� B'I~Ð�<A7TL¢L^3'6�<HJ�7TSHI�`QI�L�I�`:X^U�7TUH]�9CB4<HXRG�`TI~XRI�LZ<HÐ�<>L6�@�JC<�SjJ�3�SH7TI�`�J�@V`:<�7TL!6°3'`:9C7TÐ�IKJ�7_IK9;<¤U;9CIK9C7_U;9C7TSHUHÔ�I©`_I�UCUC7TSHI�`¯6�3�`:9C7:ÐKIKJ�7TIK9;<?I�L'I�`:X1UC7TU°Sj@VL'UC7T=4<HJvU�JvI�L'=4@V6Ð�<>Sj9;@�J�U���� � � UC3'SvBR9CB'IK9�O�@�JEI�`T` : L4@VL�3�JvI�L'=4@V6 A�� � � � =�� � �¬7TU�I¤3'L'7:ÐKIKJ�7TIK9;<¥L4@�J�6AI�`¶Ô Ï B'7TUF7TU9CB4< < 3�ÐKIKJ�7TIK9;<EL'@�J�68I�`�='7_U;9;J�7:5�3'9C7:@VL��S�N7T9CB�6�<>I�LWI�L'=WSj@mÐ�IKJv7TI�L'Sj<

�� : � A = � :@: � � *A : � �+*A � A �Ï XMG�7_SHI�`T`:X�] ? UCI�68G�`:<>U�OfJC@V6 9CB'7_U�='7TU;9;J�7T5�349C7:@VLRIKJC<ASj@V`T`T<>Sj9;<>=ÎI�U+Sj@V`_3'68L'U�7TL¢I�L < 5MX ? 68IK9;Jv7<: � Ô%s9F7TUN9CB4<>LRL'IK9C34J�I�`9;@�Of@�J�6 9CB4<°J�I�L'=4@V6 68IK9;J�7<: 8 � ����� �NB�7TS�BR7TUNUC@¤7T68G/@�J�9CI�L(9g9CB�IK9F7:9FB'I�U�7:9CU@��iLRL�I�6�<�]�I�� 2O�+. ���J� '���V� 2� ]���L'I�6�<>=RO�@�J - Ô Q 7TUCB�IKJC9H]6�NB4@�b�J�U;9FSj@V6�G�349;<>=R9CB4<9D;@V7TL(9�=4<>L'U�7:9�XW@�O7:9CU%<>`T<>6�<>L(9CUN7TLZY>[ Ö \ [#&�[�]�Ô

Q B4<>L � � = 8 7TURUCI�7T= 9;@ B�I>Ð�<·9CB4< T �J"$�V�!��� � 24�Z.,��� � #�2O�J�V�+2�XJ*0�V2P%�" ]�U;@V6�<H9C7T68<>UR='<>L4@�9;<>=8 � :5?C=� A � %sO�� � =�������= � 7$IKJC<RUCI�6�G�`T<>U�O�J�@V6 IÎ6°3'`:9C7TÐ�IKJ�7_IK9;<¬L4@�J�68I�`N='7TU;9;J�7T5�349C7:@VL�]�9CB4<>L­9CB'< �J��' ��$� � T % � ��� 2V��" T ��'���V� 2� 8 7TU%=4<jb�L4<>=�I�U �7 ( ��� 7"��*� : � " � �� A : � " � �� A � = �iB4<HJC< �� � �7 � 7"��*� � " � I©`:<>IKJ�`TXUCI�6�G�`:<ESj@~ÐKIKJ�7TI�L'Sj<�68IK9;J�7TSj<>UiB'I>Ð�<E9CB'<+Sj<>L(9;JvI�` Q 7_UCB'IKJC9g='7_U;9;J�7:5�3'9C7:@VL�Ô

� 7:h�<>L(ÐKI�`T34<>UF@�O Q 7TU�B'IKJC9�68IK9;J�7TSj<>U*�¯<HJC<¥b�J�UC9FU;9C3�='7:<>=RI�U�OfIKJ�5�I�S��RI�U�Y>[ X [^]��NB4<>L / 7_UCB4<HJ>] 0FUC3�]I�L'=H$g@~XW7_L'=4<HG�<>L'=4<>LM9C`:XASj@V6�G�349;<>=¬9CB'<>7:J D;@V7TL(9i='7TU;9;J�7T5�349C7:@VL¤Of@�J � 9 ��� 217TL'Sj<E9CB'<>L�]�IA`_IKJCh�<+5�@1=4X@�O�`T7:9;<HJ�IK9C3'JC<gB'I�U�<>68<HJCh�<>=A@VLA9CB4<g<>7:h�<>LMÐKI�`T34<>U�@�O Q 7TUCB'IKJ�9�68IK9;J�7TSj<>UHÔ Ï B4<%5�<>U;9�7TLM9;JC@1='3'Sj9C7:@VL'Ud9;@�9CB4<UC345�Dy<>Sj9gIKJC<U[ Ö ]�]H[ X �]�]H[#&�\�] !���<EG�IKJC9C7TSH3'`TIKJv`:X8JC<>Sj@V6868<>L'= [ X ^]�Ô/ @V`_`:@��N7_L4hWÐ�@VLÎÓi<>3'68I�L�L �ÉUE`:<>I�=�]��¯<7�N7T`T`�5�<A6�@VUC9C`:XRSj@VL�Sj<HJ�L4<>=��N7:9CB¢68IK9;J�7_Sj<>U � @�O%<>`:<>6�<>LM9CU

9CB'IK9°IKJC<A7TL'='<HG/<>L�=4<>L(9�U;9CI�L�='IKJ�=ÎL'@�J�68I�`TUHÔ � e^3'7:ÐKI�`:<>LM9C`:X�]��¯<�IKJC<¤7TL(9;<HJ�<>U;9;<>=Î7TLZ9CB4<ASHI�U;<¤7TLF�NB'7_S�B9CB4<+Sj@mÐ�IKJv7TI�L'Sj<+68IK9;Jv7<:?7_U%9CB4<+7T='<>L(9C7:9zX�Ô Q <+UCI~X 8 7_U 8;:5<>=@?*A 7:O 8 � ��� � = �NB4<HJC< � 7TU%I�L < 5MX? 68IK9;J�7K:¤@�Od7TL'=4<HG�<>L'='<>L(9©U;9CI�L'='IKJv=WL4@�J�68I�`_UHÔ

- 3'U;9%I�U%<>7:h�<>LMÐ�I�`_34<>U©@�OI°bU:1<>=�68IK9;J�7K:�hV7:Ð�<E6°3'S�B�7_L4O�@�Jv68IK9C7:@VL?IK5�@V349%7:9CU%3'L'=4<HJv`:X^7_L4h+U;9;J�3�Sj9C34JC<�]<>7:h�<>LMÐ�I�`_34<>UF@�O�UCI�6�G�`:<�Sj@mÐ�IKJ�7_I�L'Sj<868IK9;J�7TSj<>UFhV7:Ð�<�7TL'O�@�J�6AIK9C7:@VL±IK5�@V349F9CB4<¥3'L'=4<HJv`:X^7_L4h8='7TU;9;Jv7:5�349C7:@VL�Ô

� Y4��n[.A�7(!���1 �o@>��.�������@� #X+.�CJ,+�� �LNCJ '.A��B+�! >CJ #��(!�O.A�! �(=.A�M >� ��"[(!*+ K*� >��5�*�(!�J�A"]"$.A(!*� %�!�z.A�/& ������>9�~�.A@%* *� >��5*:(J������A�!C3.����78z&+����(��!��6�B+(! >&FL+6�B+(P(!*+ #�! -.\�! -@>�����! >��.\(!�������?60 #(uTN > >�z(!*+ -*� >��5�*�(D�A"W.)"{.\(!*� #�?.A�/&o(!*�.A(V��"�*����D�����9�>m *+�B+5*���B+CJ #�!��@'.��S.A�/.��78H��(!�D5 >�+ #�=.����783TE�A�!�3TD�7(!*�r]s'r���TN ]`/��&o�7(P@>����bM >���� >�:(P*+ #�! L+.���&o(!*H�!�B�5�*���B+(E(!*+ ?(!*� #�����>L(!�O@>��������&+ %�]r?r]s|9� � G&+ %�!��b z(!*����[�u����:(�&H >�����7(48������H >@%(!��������9 fH9 n]���&+��(!���+ �.��/&�bM��� p] #B�C3.��+��B��� '& (!*����[��������(z&H����(��!��6+B+(!���� (!�

>��(!��C3.A(! � "!$#&%:9��� > U~�c:B�.A(!���� d ��9 'kE��� e fMg�hi9

Y!

Page 17: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

G�L4<&��<>`_`<3�U;9C3'='7T<>=�IKJC<>I�7_U �$� 2/" T 2 �,��� T %�' �0%�":�J"$�/�1��":��� K^� 2O� Ô9%yLWG'Jv7TL'SH7:G�I�`�Sj@V68G/@VL'<>L(9CUFI�L'I�`:X1UC7TUH]�@VL4<JC<"�gJv7:9;<>U%9CB4<+U�I�6�G�`:<>U � 7 7TL�9CB4<E5�I�UC7TU%@�Od9CB4<E<>7Th�<>L(Ð�<>Sj9;@�J�Ui@�O � Ï B'<ESj@V6�G�@VL4<>L(9CUN@�Od9CB4<EÐ�<>Sj9;@�J�U;@Of@�J�6�<>= IKJC<��1L4@��NLÎI�U°9CB4<�G'J�7TL'SH7TG�I�`QSj@V6�G�@VL4<>LM9CU°I�L�=Î9CB4<>7TJ+ÐKIKJ�7TI�L'Sj<>U°IKJC<¤9CB4<A<>7:h�<>LMÐKI�`T34<>U°@�O ÔÕFL4@�9CB4<HJ+7T68G/@�J�9CI�L(9EIKG'G�`T7TSHIK9C7:@VL,@�O¯9CB4<ASj@VL'=�7:9C7:@VL¢L^3'6+5�<HJ�@�O%I?J�I�L'='@V6 68IK9;J�7<:¢7TU�9CB4< � �D.,�B�+2 T 2V�VK� � �J� ]��NB'7_S�B±<HÐ�I�`T3�IK9;<>U�9CB4<�B(X^G�@�9CB4<>UC7TUF9CB'IK9 � B 9 = 7¶ÔÄ<�Ô:]�I�`T`�9CB4<¥<>7:h�<>LMÐKI�`T34<>U�@�O IKJ�<°<>e^3'I�`¶Ô�2^<H<[ X ^]�Of@�JgX�<H9gOa34JC9CB'<HJgIKG'G�`T7TSHIK9C7T@VL'UHÔ%yL I©B'IKG'9;<HJ "4]���<�=4<HJv7:Ð�<FL'<"��J�<>UC3'`:9CU¯Sj@VL'Sj<HJ�L'7_L4h�9CB'<F<;:4I�Sj9g='7TUC9;J�7:5�349C7T@VL�@�O�9CB4<�UC68I�`_`:<>U;9¯<>7:h�<>L�3

ÐKI�`T34<E@�O�I Q 7TU�B'IKJC9N68IK9;Jv7<:�O�JC@V6 8;:5<>=@?*A � Ï B4<>UC<+='7TU;9;Jv7:5�349C7:@VL�U¯SHI�L±5�<+3'U;<>=¬O�@�Ji9;<>U;9CUi@�OQ9CB4<�L^3'`T`BMXMG�@�9CB4<>UC7_U�9CB'IK9�9CB4<8Sj@~ÐKIKJ�7TI�L�Sj<A68IK9;J�7<:¢7TU 9 Ô@%yL¢Sj@V6�5�7TL'IK9C7:@VL=�i7:9CB,JC<>UC3'`T9CU�@VL,9CB4<8`TIKJCh�<>U;9+<>7:h�<>L�3ÐKI�`T34<�]49CB'7TUNSHI�L¬I�`TU;@�5�<E3'UC<>=�O�@�JFI8U;G�B'<HJ�7TSH7:9zXA9;<>U;9NI�UiSHI�LW9CB4<�='7TU;9;J�7T5�349C7:@VL�@�OQDi<>6A6�<>`��ÉUgSj@VL'=�7:9C7:@VLL^3'6+5�<HJg=4<>U�SjJ�7:5�<>=?7TL¬2^<>Sj9C7:@VL Ö ÔTYKÔ217_L'Sj< ��<AIKJ�<�O�@1SH3'UC7TL'h¤@VLZ9CB4<8U;G�<>SH7TI�`QSHI�U;< � 9 = �¯<AIKJC<�J�<Hh�JC<H9;Of3�`T`:X±7ThVL4@�J�7TL4h¤9CB4<�5�<>I�349C7:Oa3'`

9CB4<H@�JCX¬@�O 1H@VL'I�`�G�@V`:X1L4@V687_I�`TUH]U�NB�7TS�B±IKJC<°UCX^6868<H9;J�7TSE6°3'`:9C7:ÐKIKJ�7TIK9;<�G�@V`:X^L'@V687TI�`TU©@�O�9CB'<+<>7:h�<>LMÐ�I�`_34<>U@�O©I�U;X^6A6�<H9;J�7TS¥68IK9;J�7K:/Ô Ï B4<>7:J�L'IK9C34JvI�`Q=4<jb�L'7:9C7T@VL±IKJ�7_U;<>U�O�J�@V6 h�JC@V34G¢JC<HG'J�<>U;<>L(9CIK9C7T@VL¢9CB4<H@�JCXM[ Ö N�]�Ô0iXMG�<HJCh�<H@V6�<H9;Jv7TS¯Of3'L�Sj9C7:@VL'U�@�O/I�68IK9;Jv7<:°IKJChV3�6�<>L(9QIKJC<%9CB'<>L�=4<jb�L4<>=¥7TL°9;<HJ�68Ud@�O�9CB4<>U;<�1H@VL'I�`1G�@V`:X1L4@$3687TI�`_UHÔ Ï B4<�SjJC@��iL'7TL4h�I�S�B�7:<HÐ�<>6�<>LM9N@�O�9CB'7TU©9CB4<H@�JCX?7TU©9CB'IK9H]��i7:9CB?9CB4<>U;<�Oa3'L'Sj9C7:@VL�UH]19CB4<E='7TU;9;Jv7:5�349C7:@VL�U@�O�9CB'<�<>7:h�<>L(ÐKI�`T34<>U�@�O Q 7TUCB'IKJC9�68IK9;J�7_Sj<>U+�N7:9CB,IKJC5�7T9;J�IKJCX¬Sj@mÐ�IKJ�7_I�L'Sj< 9CI$��<AI?G�IKJC9C7_SH3'`TIKJ�`:XWU�7T6�G�`:<Of@�J�6�Ô HiL'O�@�JC9C3�L'IK9;<>`:X�](=4<>UCG�7:9;<%9CB'7TU�68IK9CB4<>68IK9C7TSHI�`�<>`:<HhVI�L'Sj<�]^9CB4<(1H@VL'I�`�G�@V`:X^L'@V687TI�`TUdIKJC<NL'@�9;@�J�7:@V3'UC`TX='7<)¤SH3'`:9¯9;@ASj@V6�G�349;<�Ô

Y+N

Page 18: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� ��� �!��1� �����'���� �`�a��12�

Ï B4<¥e^3'I�L(9C3�6 9CB4<H@�JCX¬G�JC<>='7TSj9CUF9CB'IK9�9CB4<�='7TU�SjJC<H9;<¥<>L4<HJCh�X±`T<HÐ�<>`TU�@�O�I�L¢IK9;@V687_S°L^3'SH`:<>3�UFSj@�J�JC<>U;G�@VL'=9;@Z9CB4<�<>7Th�<>L(ÐKI�`T34<>U�@�O�I!21SvB4J��@V='7_L4h�<HJ¥@�G/<HJvIK9;@�J>Ô HFL4O�@�J�9C3'L'IK9;<>`:X�]�O�@�JAB'<>I>Ð^X·IK9;@V6AUH]�9CB'<W@�G�<HJ�IK9;@�J7TU�9;@^@±Sj@V68G�`:<;:�]�U;@±G�BMX^UC7_SH7TU;9CU�B'I~Ð�<�9CB4<H@�Jv7K1H<>=Z9CB'IK9�9CB4<?24S�B4J��@V=�7TL4h�<HJE@�G�<HJ�IK9;@�J°Sj@V3'`T=Z5�<�JC<HG�`TI�Sj<>=5^X,IWJ�I�L'=4@V6 0i<HJ�687T9C7TI�L¢68IK9;J�7<:�Ô7%s9CUE<>7:h�<>LMÐKI�`T34<>U+�¯@V3'`T=¢9CB'<>L�]7:9+�©I�U+B'@�G/<>=�]�Sj@�JCJC<>U;G�@VL'=,9;@±9CB4<@�5�U;<HJ�Ð�<>=�<>L4<HJCh�X�`:<HÐ�<>`TU>ÔÏ B'@V34hVBA68I�LMX�G'JC@�5�IK5�7T`T7:9zX�='7_U;9;J�7:5�3'9C7:@VL'UdB'I>Ð�<F5�<H<>L8G'J�@�G/@VUC<>=�](9CB4<F6�@VU;9�OfI�6�@V3�U�IKJC<F9CB4<�� �����

�������������������� ����G'JC@�G�@VU;<>=­5MX Q 7:hVL'<HJ �"! [#& "�]�Ô Q <=�N7T`T`g@VL'`:X¨6�<>LM9C7:@VL�9CB4<B>�I�3'UCUC7_I�L­@�JC9CB'@�h�@VL'I�`<>L'U;<>6�5�`:< : > G � A I�L'=?9CB'<&>�I�3'UCUC7_I�L�3'L'7:9CIKJCXA<>L'U;<>6�5�`:< : >*H � A Ô Ï B'<&>�I�3'UCUC7_I�L?@�JC9CB4@�h�@VL'I�`�<>L�U;<>6 35�`:<�SHI�L�5�<�=4<jb�L'<>=�I�U : � I ��� A � Ö = �NB'<HJC<�9CB4<�<>`:<>6�<>LM9CU%@�O � IKJC<E7_L'=4<HG�<>L'=4<>LM9¯UC9CI�L'='IKJ�=�L4@�Jv68I�`TUHÔ%s9dB�I�Ud9CB4<©G'JC@�G�<HJC9�X�@�O�5�<>7TL4h�7TLMÐ�IKJv7TI�L(9d3'L'='<HJ@�JC9CB'@�h�@VL'I�`49;J�I�L'UCO�@�J�6AIK9C7:@VL'UHÔ Ï B4<(>*H � 7TUdI�Sj@V6�G�`:<;:Ð�<HJ�UC7T@VL�9CB'IK9N7TU%7_L(ÐKIKJ�7TI�LM9g3'L'=4<HJg3�L'7:9CIKJCX�9;J�I�L'U;Of@�J�68IK9C7:@VL�UHÔ

Q 7:hVL4<HJ�=4<HJ�7TÐ�<>=Z9CB4< Dy@V7_L(9°<>7:h�<>LMÐ�I�`T3'<¤='7_U;9;J�7:5�3'9C7:@VL,O�@�J°9CB4<>U;<�68IK9;Jv7TSj<>U�7_L Y>[ Ö [#& "�]�Ô Q < �N7T`T`hV7:Ð�<¤I¬SH`:<>I�L4<HJ¥=4<HJ�7TÐ�IK9C7:@VLZO�JC@V6 9CB4<¤6�3'`T9C7:Ð�IKJv7TIK9;<8U;9CIK9C7TU;9C7_SHU�`T7T9;<HJ�IK9C34JC<A7_L!2^<>Sj9C7:@VL X Ô X Ô,0i<�7TU�I�`TU;@JC<>U;G�@VL'U�7:5�`:<�Of@�JQ9CB4<©OaI�6�@V3'U*N;U;<>687<3�SH7TJ�SH`:< O�`TI �+]C�NB'7TSvB�U;9CIK9;<>U�9CB'IK9d9CB4<%B'7TU;9;@�h�JvI�6 Of@�JQ9CB4<©<>7:h�<>LMÐ�I�`_34<>U@�O�I�`TIKJCh�<%J�I�L'='@V6µ68IK9;J�7<:¥7TU�JC@V34hVB'`:X°I�U;<>687<3�SH7TJ�SH`:<�Ô Ï @�5�<%6�@�JC<%G'J�<>SH7TU;<�]V`:<H9 � 5�<©I�JvI�L'=4@V6µ68IK9;J�7K:�N7:9CBÎ7TL'=4<HG�<>L'=4<>LM9�U;9CI�L'='IKJv=ZL4@�J�68I�`�<>`:<>6�<>LM9CUHÔ¤Ò�<H9v� :�� A ='<>L4@�9;<A9CB4<AG'JC@�G�@�JC9C7:@VL,@�O©<>7:h�<>LMÐ�I�`_34<>U@�O : � I ��� A � : Ö � ?*A 9CB�IK9EIKJC<8`:<>UCU�9CB'I�L � Ô Ï B'<¥UC<>687<3�SH7:J�SH`T<°`TI��¦U;9CIK9;<>UE9CB�IK9EI�U ? � � =$#

# 0 � :�� ASj@VLMÐ�<HJCh�<>U¥9;@ �

% : Y � �/�+A � 1 � @VL [ � Y = Y ]�] �±<>`TU;<"�NB4<HJ�<�Ô %sLÎOfI�Sj9H] Q 7:hVL4<HJ°G'JC@mÐ�<>= 9CB'7TU+UC9CIK9;<>6�<>L(9¥Of@�JJ�I�L'='@V6 6AIK9;J�7TSj<>U¥9CB'IK9�IKJC<�6�@�JC<?h�<>L4<HJvI�`©9CB'I�L 9CB4<,> G � ÔQk�JC@�G�<HJ�`:XZL4@�J�6AI�`T7K1H<>=�]d9CB4<�Sj@VL'SH`T3�UC7:@VLIKG'G�`_7:<>U©9;@8J�I�L'='@V6²U;X1686�<H9;J�7TS�68IK9;Jv7TSj<>U(�N7T9CB�7TL'=4<HG�<>L'=4<>LM9¯<>`:<>6�<>LM9CUg9CI$��<>L±O�JC@V6 I�L(X�='7TUC9;J�7:5�349C7T@VL�N7:9CBAb�L'7T9;<F6�@V68<>L(9CUH]46�<>I�L �1]4I�L'=¤ÐKIKJ�7TI�L'Sj<�68IK9CSvB'7TL4h¥9CB4@VU;<�@�O�9CB'< > G � @�J9>*H � Ô�217TL'Sj< Q 7ThVL4<HJ>]Oa34JC9CB4<HJ�G'JC@�h�JC<>UCU¥B'I�U�5�<H<>L·68I�=4<�Sj@VL�Sj<HJ�L'7TL4hR9CB4<?U;<>687<3�SH7TJ�SH`:<A`TI��E]�7TL'SH`_3'='7TL4h�UC7_6�G�`:<HJ�G'JC@^@�OfU°I�L'=U;9;JC<>L'h�9CB4<>L'7TL4h¥@�Od9CB4<+Sj@VLMÐ�<HJCh�<>L'Sj<�Ô �!� : G�L4<+L�7TSj<�<;:1I�68G�`:<E7TU5[cY>[^]�Ô AÏ @Z68IK9CS�B¨<;:^G�<HJ�7T68<>L(9CU �N7T9CB!9CB'<H@�JCX!I�L'=$Sj@VLMÐ�<HJ�U;<>`TX�]�9;@Î6AI$��<�G'JC<>='7TSj9C7T@VL'U+OfJC@V6 9CB4<�9CB'<H@�JCX�]

G�BMX^U�7TSH7TU;9CU%B'I~Ð�<+L4<H<>=4<>=±6�@�JC<E7TL'O�@�J�6AIK9C7:@VL�IK5�@V349%9CB4<E<>7:h�<>LMÐKI�`T34<>U%@�Od9CB4<&> G � I�L'= >*H � Ô/2^G�<>SH7cbU3SHI�`T`:X�]M9CB4<HX�B'I>Ð�<F5�<H<>L87TLM9;<HJC<>U;9;<>=¤7TL¥9CB4<iJ�I�L'=4@V6µÐKIKJ�7TIK5�`:<%hV7:Ð17TL4h�9CB4<FU;G�I�SH7TL4hVU�5/<H98��<H<>L¤Sj@VL'U;<>SH3'9C7:Ð�<<>7:h�<>LMÐ�I�`_34<>UHÔ Q B4<>L¤9CB4<�<>7:h�<>L(ÐKI�`T34<>U©IKJC<�G'J�@�G/<HJv`:X�L4@�J�68I�`T7-1H<>=�]M9CB�7TU�JvI�L'=4@V6 Ð�IKJv7TIK5�`:<FB'I�U¯9CB4<�UCI�6�<A�&#����5��� #�?.A�/&�bM����p? >B�C3.A���JTE #�! U��@=*��:����C3.\(! >�D�����NB/&+.�,0 >��(?.A�/&z@#����� '.�5�B� >�].A(('|�!���+@> #(!��F9A A m *+ #�! -*/.A�D >bM >�z60 > >�G.A�K.A�!5�B�CJ >�:(D6�.��� '&�����,H�!���+@>��,��� >�V��" ��(=.\(!����(!��@>.���CJ >@=*/.A����@>�-e �Mx\hZ9

Y>\

Page 19: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

='7TUC9;J�7:5�349C7T@VLZL4@¢68IK9;9;<HJ7�NB'<HJC<�9CB'<¤<>7Th�<>L(ÐKI�`T34<�`T7:<>U¥7TL!9CB4<WU;G�<>Sj9;J�3�6�ÔZP¬@�J�<¤h�<>L'<HJ�I�`T`:X�]�9CB'<HJC<WIKJC<G�BMX^U�7TSHI�`�JC<>I�UC@VL'UF9;@?UC9C3'=4X�9CB4<��^9CB¬<>7Th�<>L(ÐKI�`T34<¥`TIKJCh�<HJ�9CB'I�LRIAhV7TÐ�<>L±<>7Th�<>L(ÐKI�`T34<�]6�1L4@��NLRI�UF9CB4<�� �/.":�Z���-�J� �\� �,� T 2/" ��Ô�ÕFL4@�9CB4<HJE7T6�G�@�JC9CI�LM9�eM3�I�L(9C7:9zX±7TU�9CB'< �0��24� T %�� �-�B� �&�V2V%�" � *," T �V2P%�" ] �NB'7TSvB±hV7TÐ�<>U�9CB4<I>Ð�<HJvIKh�<¥L^3'6�5�<HJN@�Od<>7:h�<>LMÐ�I�`T3'<>Ui7TL¬I�bU:1<>=¬7TLM9;<HJCÐKI�`¶Ô Ï B4<+=�7TU;9;J�7:5�349C7:@VL'U¯@�Od9CB4<>U;<�J�I�L'=4@V6 Ð�IKJ�7_IK5�`:<>UB'I~Ð�<°5�<H<>LRSj@V6�G�349;<>=ROf@�J�9CB4< > G � I�L'=F>*H � 7_L¬9CB4<¥`T7T6A7:9 ? � � � / @�J�Of34J�9CB4<HJF='<H9CI�7T`TUH]���<°JC<HOf<HJ9CB4<EJ�<>I�=4<HJg9;@ [cY X ]�]?[ X &^]�]�I�L'= [ X [�]�Ô � �

� ��� � ���!+ ����" ���#���2�2�/� )��#��1;�������

��3'7T9;<¤J�<>68IKJ#�KIK5�`:X�]¯9CB4<HJC<WIKG'G�<>IKJ�U�9;@Î5/<WI�L­7TL(9C7_68IK9;<WSj@VL'L4<>Sj9C7:@VL¨5/<H98��<H<>L­9CB4<W<>7:h�<>LMÐKI�`T34<>U�@�O�IJ�I�L'='@V6 68IK9;Jv7<:­I�L'=�9CB4< 1H<HJC@VU?@�OE9CB4< $N7:<>6AI�L'L 1H<H9CI·Oa3'L'Sj9C7:@VL�Ô %s9¤B'I�U¤5�<H<>L�Sj@VL Dy<>Sj9C3'JC<>=�9CB'IK9��: �� I B � A B'I�UNJ�<>I�`�JC@^@�9CU%B±5�<>SHI�3'U;<¥U;@V6�<>B4@�� 9CB'<+JC@^@�9CU�Sj@�JCJC<>U;G�@VL'=¬9;@�9CB4<°<>7:h�<>LMÐ�I�`_34<>UN@�O�I�0i<HJ23687:9C7_I�L¬@�G�<HJ�IK9;@�J>Ô G�=�`:X�1"��@ [ X N�]�B'I�UF9;<>U;9;<>=,9CB'7_UiSj@VL D;<>Sj9C34JC<¥9CB4J�@V34hVB±I�L,<>L'@�J�6�@V3'UFSj@V6�G�349CIK9C7T@VL'I�`<;A�@�JC9"!'B4<iSj@V68G�349;<>= N �°6A7T`T`T7:@VL 1H<HJ�@VU¯L'<>IKJW1H<HJ�@°L^3'6�5/<HJFY�� � ! I�L�=�U;<HÐ�<HJvI�`�@�9CB'<HJ©`_IKJCh�<FUC<H9CU�@�O 1H<HJ�@VUI�U7�¯<>`T`¶Ô 0N<¬O�@V3'L�=$9CB'IK989CB4<¬<>7:h�<>L(ÐKI�`T34<>UA@�O�68IK9;J�7TSj<>UAO�JC@V6 9CB4< >*H � : �NB'7TSvB ��<Q�N7T`T`©=4<jb/L4<W7TL2^<>Sj9C7:@VL X ÔTY A 6�@1=4<>`:<>=¥9CB4<.1H<HJC@VU�I�68I$1>7_L4hV`:X@��<>`T`�Ô�'¯X°G�`:@�9;9C7TL4h�9CB'<g9CB4<H@�JC<H9C7TSHI�`�Sj@�JCJC<>`TIK9C7:@VL8Of3'L�Sj9C7:@VL'UI�L'=�9CB'<��^9CBWL4<>IKJC<>UC9NU;G�I�SH7TL'h�Of3'L�Sj9C7:@VL'U : 5'J�7T< ��X�6�<>LM9C7:@VL4<>=¬7TL�9CB4<�G'J�<HÐ^7:@V3�U%U;<>Sj9C7:@VL A O�@�Jg9CB'<@>*H �IKhVI�7TL'UC9FB'7_U;9;@�h�J�I�68UF@�O�@�5�UC<HJCÐ�<>=,='IK9CI¤O�JC@V6 9CB4<@1H<HJC@VU�@�O 1H<H9CI1]�B'<�@�5�UC<HJCÐ�<>=R9CB4<�G�`:@�9CU.�¯<HJC<�L4<>IKJ�`TX7T=4<>LM9C7TSHI�`¶Ô

� � � '������ � �����*' �

$g<>UC<>IKJ�S�B4<HJvUN7TL¤h�J�IKG�B?9CB'<H@�JCX¤IKJ�<�b�L'='7TL'h°7TLM9;<HJC<>U;9C7_L4h�L4<"� G'JC@�5�`T<>68U¯5MX¤I�U2�^7_L4h �NB4<H9CB4<HJgI¥JvI�L'=4@V6h�J�IKG�BÎB'I�U+I±Sj<HJC9CI�7TLZG�JC@�G�<HJC9�X�Ô�2^@V6�<H9C7T6�<>U>]9CB4<>UC<8G'JC@�5�`T<>68U�SHI�LÎ5�<�9;J�I�L�U;O�@�Jv6�<>=Z7TLM9;@¬IWJvI�L'=4@V668IK9;J�7K:¤G'J�@�5�`:<>6 �NB4<HJC<�9CB'<E<>7:h�<>LMÐ�I�`T3'<>U%G�`TI~X¤I�LW7_6�G�@�JC9CI�L(9%J�@V`:<�ÔÕ.h�JvIKG�B!SHI�L 5�<�='<>UCSjJ�7:5�<>=Z5^XZ7:9CU°7TL'SH7T='<>L'Sj<�68IK9;Jv7<:/] � " % ] �NB'7TSvBÎ7TU¤Y¤7:O%Ð�<HJC9C7TSj<>U � I�L'= �¢IKJC<

Sj@VL'L4<>Sj9;<>=¤5^X�I�LA<>=4h�<�]1@�9CB4<HJ��N7TU;< �AÔ�P¬@�J�<Nh�<>L4<HJ�I�`_`:X�]��¯<iSHI�L¤I�`T`:@���IKJ�5�7:9;J�IKJCX°G�@VUC7:9C7:Ð�<i7TL(9;<Hh�<HJvU�Of@�J6°3'`:9C7:G�`T<+<>=4h�<>U�I�L'=¢L4<HhVIK9C7:Ð�<A7_L(9;<Hh�<HJ�UEO�@�JE='7TJC<>Sj9;<>=,h�J�IKG�B'U>Ô&%sO¯7_L'U;9;<>I�=,@�O�I�bU:^<>=,h�JvIKG�B�] �¯<�9CI$��<J�I�L'='@V6.h�J�IKG�B'U>]���<�9CB4<>L¬B'I>Ð�<°I8='7TU;9;Jv7:5�349C7:@VLA@�OdJ�I�L'=4@V6²6AIK9;J�7TSj<>UHÔ

A < ���CJ R��"�(!*����[���7(! #�=.A(!BH�! O���[bM #��8�&H�7aJ@>B��7([(!�o,0 >�+ #(��=.A(! R"$���-(!*+ _�+����Z,+*�8H����@>����('9[� _*���,0 )(!*+���]��B�CJC3.A��8K.���&G(!*+ ���+"q���!C3.A(!�����K�����N*/.A,+(! #� �)TD����� C3.A�M ]�7(V '.����� #�'9

Y>[

Page 20: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

Q 7:hVL4<HJ �ÉUg@�J�7:hV7TL'I�`�G�JC@M@�O�@�OdB'7TU%U;<>687K3�SH7:J�SH`:<�`TI�� B'I�UgI�L¬7TL(9;<HJ�<>U;9C7TL4h87TLM9;<HJCG'J�<H9CIK9C7:@VLW7TL?9CB4<�h�JvIKG�B9CB4<H@�JCX!Sj@VL(9;<;:19HÔ Q 7:hVL'<HJ �ÉU+G�JC@M@�O��©I�U°5�I�U;<>=!@VL!SHI�`_SH3'`TIK9C7TL4h±9;J : ��� A O�@�J¥J�I�L�=4@V6 68IK9;Jv7TSj<>U � I�L'=@�5�U;<HJ�Ð^7TL'hA9CB'IK9F9CB4<>U;<¥9;J�I�Sj<>UH] �iB4<>L±L'@�J�68I�`T7K1H<>=�]�Sj@VLMÐ�<HJCh�<�Ô Ï B4<>U;<¥`T7T6A7:9CUghV7:Ð�<°9CB4<��^9CB,6�@V6�<>LM9F@�O9CB4<?<>7:h�<>LMÐ�I�`_34<W='7TU;9;Jv7:5�349C7:@VLÎUC7TL'Sj< : B � A � 9;J : � � A � ? � %sO � 7TU¥I�L$7TL'SH7T=4<>L�Sj<¤68IK9;Jv7<:Î@�O�I±h�JvIKG�B�]9;J : � � A Sj@V3'LM9CU¥9CB4<?LM3�6+5�<HJ°@�ONG�IK9CB'U¥7TL!9CB4<¤h�J�IKG�B 9CB'IK9¥JC<H9C34JvL!9;@,9CB4<?U;9CIKJC9C7_L4h±G�@V7TLM9HÔ Ï B4< �^9CB6�@V6�<>LM9¯@�O�9CB4<i<>7Th�<>L(ÐKI�`T34<i9CB4<>L�7_U�JC<>`_IK9;<>=A9;@°9CB4<FG'JC@�5�IK5�7_`T7:9�X°9CB'IK9¯I+J�I�L�=4@V6 �©I�`K��@�O�`:<>L'h�9CB �E�N7T`T`JC<H9C34JvL¢9;@R7T9CU+U;9CIKJC9C7_L4hWG�@V7TLM9HÔVI¯@V68G�349CIK9C7:@VLÎ@�O%9CB4<?N;U;<>687K3�SH7:J�SH`:< O : 9CB4<AOa3'L'Sj9C7:@VL�UEI�Sj9C3'I�`T`:X¢IKJC<¤L4@`:@VL4h�<HJQU;<>6A7<3�SH7:J�SH`:<>U A Of@�JdJC<HhV3'`TIKJdh�J�IKG�B�U��©I�UQ=4@VL4<©7TL [ XCX ]�Ô / @�J�I�L°<>U;9C7T6AIK9;<%@�O'9CB4<%U;<>Sj@VL'=¥<>7:h�<>LMÐKI�`T34<@�O�I�J�I�L'='@V6µJC<HhV3'`TIKJ�h�J�IKG�B�]^U;<H<�[cY>\^]�Ô�ÕFL4@�9CB4<HJ�7_L(9;<HJC<>UC9C7TL4h+IKG'G�`T7TSHIK9C7:@VL�SHI�LA5/<%Of@V3'L'=A7TL [cY Ö ]�] �iB4<HJC<9CB4<g<>7Th�<>L(ÐKI�`T34<>U�@�O�I�J�I�L'=4@V6¦h�J�IKG�BAIKJ�<NJC<>`TIK9;<>=A9;@E9CB4<F7T6�G�@�JC9CI�LM9QG'JC@�5�`:<>6¦@�O/h�JvIKG�B�5�7TUC<>Sj9C7:@VL�Ô�2^<H<[cY�YJ]�Of@�JNI8U�34JCÐ�<HX¤@�OJ�I�L�[email protected]�J�IKG�BW9CB4<H@�JCX�Ô

Ö �

Page 21: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� ��� �������a'0��$#���a������� �*)v� �#��� � �����/���

Ï B'7_Ui9CB'<>UC7TUEU;<H9;9C`T<>UE68I�LMXR@�O¯9CB4<8JvI�L'=4@V6 <>7:h�<>LMÐ�I�`_34<8I�L'=ZSj@VL'=�7:9C7:@VL¢L^3'6+5�<HJEe^34<>U;9C7:@VL�U�=4<>UCSjJ�7:5�<>=7TL¤9CB'7TU©SvB'IKG'9;<HJg5^X�=4<HJv7:Ð^7_L4h�9CB'<F<;:4I�Sj9N='7_U;9;J�7:5�3'9C7:@VL'U�I�L�=�<;:1G�<>Sj9CIK9C7:@VL'Ug7_L¤UC@V6�<ESHI�U;<>UgI�L'=�`_7T687:9C7TL'hOf@�J�6�3�`TI�U%7TL�@�9CB4<HJiSHI�U;<>UHÔÕFU�I�L¢I�='='7:9C7:@VL¬9;@?9CB4<¥9CIK5�`:<°@�O�Sj@VL(9;<>LM9CUH]��¯<�L4@��µ7:9;<>6A7K1H<�9CB'<°J�<>UC3'`:9CUi9CB'IK9*��<¥Sj@VL'UC7_=4<HJ�6�@VU;9

7T6�G�@�JC9CI�LM9�I�L'=F�NB'<HJC<¥9CB4<HXRSHI�LÎ5�<°Of@V3'L'=�Ô Q <AJC<>68IKJ#�R9CB'IK9EU;9CIKJC9C7_L4hV�N7:9CB?I©B�IKG'9;<HJ "4]I�`T`QUC9CIK9;<;36�<>LM9CUg`TIK5�<>`:<>=�I�U%9CB'<H@�JC<>68U%JC<HG�JC<>U;<>LM9H]U��<+5/<>`_7:<HÐ�<�]4L4<"� JC<>UC3�`:9CUH]��NB'7T`T<F7T68G/@�J�9CI�L(9©JC<>UC3�`:9CU©O�J�@V6.9CB4<`T7:9;<HJvIK9C34JC<�IKJC<+`TIK5�<>`:<>=�I�UgG'JC@�G�@VUC7:9C7:@VL�UHÔ

� I©@VL'='7:9C7:@VL+LM3'6�5�<HJ='7_U;9;J�7:5�3'9C7:@VLF@�O'`TIKJCh�<�U�eM3'IKJ�<�JC<>I�`^68IK9;J�7TSj<>U��N7:9CB+<>`:<>6�<>LM9CU�OfJC@V6 IiU;9CI�L�='IKJ�=L'@�J�68I�`/='7TU;9;J�7T5�349C7:@VL�Ñ Ï B4<H@�JC<>6 NMÔTYK]4G�Ô �[^Ô / 7:hV34J�< Ö ÔTYK]4G�Ô Ö &�G�`:@�9CU�9CB4<�`T7T687T9C7TL4hE='7TUC9;J�7:5�349C7T@VL@�O � ? I�U ?���� Ô Ï B4<iI>Ð�<HJ�IKh�<E`:@�hVIKJv7:9CB'6µ@�O�9CB4<F='7TU;9;Jv7:5�349C7:@VL¥7TU�I�`TU;@EhV7TÐ�<>L�7TL Ï B4<H@�JC<>6MNMÔTYK]I�L�= / 7:hV34JC< Ö Ô X @VL¬G�Ô Ö N°G�`T@�9CU%9CB4<E='7TUC9;J�7:5�349C7T@VLA@�OQ`:@�h� � ? Ô

� I©@VL'='7:9C7:@VL·L^3'6�5/<HJ�='7_U;9;J�7:5�3'9C7:@VLZ@�OF`TIKJCh�<WUCe^3'IKJC<�Sj@V6�G�`T<;: 68IK9;J�7_Sj<>U �N7:9CB <>`:<>6�<>LM9CU�OfJC@V6 ISj@V68G�`:<;:RUC9CI�L'='IKJ�=,L4@�J�6AI�`�=�7TU;9;J�7:5�349C7:@VL�Ñ Ï B4<H@�J�<>6 NMÔ Ö ]�G�Ô N �1Ô / 7:hV34JC< Ö Ô Ö ]�G�Ô Ö AG�`:@�9CU�9CB4<`_7T687:9C7TL'h°='7_U;9;J�7:5�3'9C7:@VL¤@�O � ? I�U ? � � Ô Ï B4<+I~Ð�<HJ�IKh�<¥`:@�hVIKJ�7:9CB'6²@�O�9CB'<�='7TUC9;J�7:5�349C7T@VL�7TUNI�`TU;@hV7TÐ�<>L¬7TL Ï B'<H@�JC<>6 NMÔ Ö ]�I�L�= / 7ThV34JC< Ö Ô#"A@VLWG�Ô Ö \¥G�`:@�9CUg9CB4<+='7TUC9;J�7:5�349C7T@VL8@�OQ`:@�h� � ? Ô

� I©@VL'='7:9C7:@VLALM3'6�5�<HJ : =4<Hh�<>L4<HJvIK9;< A ='7_U;9;J�7:5�3'9C7:@VL°@�O�`TIKJCh�<NJ�<>I�`'@�J�Sj@V68G�`:<;:�JC<>Sj9CI�L4hV3'`_IKJ¯68IK9;Jv7TSj<>U�i7:9CB?<>`:<>6�<>LM9CUgOfJC@V6²I�J�<>I�`�@�JiSj@V6�G�`:<;:?UC9CI�L'='IKJ�=WL'@�J�68I�`�='7TUC9;J�7:5�349C7T@VL�Ñ Ï B'<H@�JC<>6 NMÔ X ]�G�Ô N^YKÔÏ B4<EI>Ð�<HJ�IKh�<¥`:@�hVIKJ�7T9CB'6.@�O�9CB4<+='7TUC9;J�7:5�349C7T@VLA7TUgI�`_U;@�hV7:Ð�<>LW7TL Ï B4<H@�JC<>6 NMÔ X Ô

� I©@VL'='7:9C7:@VL¤L^3'6+5�<HJ©='7TU;9;Jv7:5�349C7:@VL¥Of@�J%DF<>686�<>`��ÉU©G'J�@�5�`:<>6�@�O�Sj@V6�G�`:<;:¤68IK9;J�7TSj<>U%3'L�7:O�@�Jv68`:X¥='7TU439;Jv7:5�349;<>=?@VL�9CB'<+U;G�B4<HJ�<�Ñ Ï B4<H@�JC<>6 NMÔ NM]�G�Ô N ^Ô

� 2468I�`T`:<>U;9�<>7Th�<>L(ÐKI�`T34<¬=�7TU;9;J�7:5�349C7:@VL!@�OF9CB'<¬68IK9;J�7<: ����� ]S�NB4<HJ�< � 7_U8IZUCe^3'IKJC<¬6AIK9;J�7<: �N7:9CB<>`T<>6�<>L(9CUNO�J�@V6²I�JC<>I�`�UC9CI�L'='IKJ�=�L4@�Jv68I�`�='7TUC9;J�7:5�349C7T@VL�Ñ Ï B'<H@�JC<>6M"4ÔTYK]'G�Ô "'YKÔ

� 2468I�`T`:<>U;9%<>7Th�<>L(ÐKI�`T34<+=�7TU;9;J�7:5�349C7:@VL�@�O�9CB'<+68IK9;J�7<: ����� ]T�NB4<HJC< � 7TUgI�LMX < 5^X ? 6AIK9;J�7<: �N7:9CB<>`T<>6�<>L(9CUNO�J�@V6²I�JC<>I�`�UC9CI�L'='IKJ�=�L4@�Jv68I�`�='7TUC9;J�7:5�349C7T@VL�Ñ Ï B'<H@�JC<>6M"4Ô X ]'G�Ô "L&^Ô

� / @�J�6»@�O�9CB4<�6�@V6�<>LM9CU©@�O�9CB4<FU�68I�`T`:<>U;9�<>7:h�<>LMÐ�I�`T3'<F='7_U;9;J�7:5�3'9C7:@VL¥@�O�9CB4<�68IK9;J�7<: ����� ]�iB4<HJC< �7_U�I�L < 5MX ? 68IK9;J�7K: :5< I�L'= ? L4@�9�5�@�9CB¤<HÐ�<>L A �N7:9CB�<>`:<>6�<>LM9CU¯O�J�@V6 I�JC<>I�`�U;9CI�L'=�IKJ�=�L'@�J�68I�`

Ö Y

Page 22: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

=�7TU;9;J�7:5�349C7:@VL�Ñ Ï B4<H@�JC<>6 \^ÔTYK]�G�Ô�\1YKÔ

� � :^G�<>Sj9;<>=¤UC68I�`T`T<>U;9�<>7:h�<>LMÐ�I�`_34<>U�@�O�9CB4<i68IK9;Jv7<: ����� ]�NB4<HJC< � 7_U�I�L < 5^X ? 68IK9;J�7K: :5< � Ö &^]� � ? � < � Ö & A �N7T9CB¬<>`:<>68<>L(9CU�OfJC@V6 I¤JC<>I�`QU;9CI�L'='IKJv=±L4@�Jv68I�`d='7TU;9;J�7T5�349C7:@VL�Ñ©ÕiG'G�<>L'='7<: 'F]G�Ô�[ X Ô

� ÕiÐ�<HJ�IKh�<¥S�B'IKJvI�Sj9;<HJ�7TU;9C7TSEG/@V`TX^L4@V6A7TI�`TU�@�O�ÐKIKJ�7:@V3�U©J�I�L'=4@V6²6AIK9;J�7TSj<>UHÑ�2^<>Sj9C7T@VL±[^Ô Ö ]'G�Ô�\ ^Ô

Ï B'<HJC<iIKJC<FI�`TU;@�@�9CB4<HJ�J�<>UC3'`:9CU�IK5�@V349�<>7:h�<>LMÐ�I�`T3'<>U�I�L'=�Sj@VL'='7:9C7T@VL8LM3�6+5�<HJ�=�7TU;9;J�7:5�349C7:@VL'UdL4@�9¯6�<>L�39C7:@VL4<>=¬B4<HJC<�Ô

Q <?`T7K��<89;@±9CB'7TL��R9CB'IK9�<>I�S�B @�O©@V34J�=4<>U�SjJ�7:G'9C7:@VL�U�@�O©9CB4<A<>7:h�<>LMÐKI�`T34<>UE@�O%JvI�L'=4@V6 6AIK9;J�7TSj<>U+7_U+I�17TL'=8@�OU;@V`T349C7:@VL�9;@¥9CB4<�eM34<>UC9C7:@VLA9CB�IK9W�¯<FJ�I�7TU;<>=¤7TL�9CB4<Nb�J�U;9¯9 �¯@°G�IKJ�IKh�J�IKG�B'U�@�O�9CB'< / @�J�<"��@�J�=�Ô Q <5�<>`T7:<HÐ�<�]4B4@���<HÐ�<HJ>]49CB�IK9%@V34J%JC<>UC3'`T9�@VL?9CB4<�I>Ð�<HJvIKh�<�UC68I�`_`:<>U;9¯<>7:h�<>L(ÐKI�`T34<�@�O�I Q 7TUCB�IKJC9%68IK9;J�7<:�Sj@V68<>USH`:@VU;<>UC9i7TLWUCG�7:J�7:9%9;@�9CB4<�SH`_I�UCUC7TSHI�`�9CI�U#��@�O�U;<H<"�^7_L4hASj@VL'U;9;Jv3'Sj9C7:5�`:< : �N7:9CBWU;9;JvI�7:hVB(9i<>=4h�<�I�L�=¬Sj@V6�G�I�U�U AU;@V`T3'9C7:@VL'U©9;@8G'J�@�5�`:<>68UHÔ0i<HJC<gIKJC<©9 �¯@E<;:4I�6�G�`:<>U�@�O�@V34JQJC<>UC3'`T9CUHÔÒ�<H9 � 5�<¯I�L < 5^X ? 68IK9;J�7K: �N7:9CB¥7TL'='<HG/<>L�=4<>L(9<>`:<>6�<>LM9CU

OfJC@V6 9CB'<°U;9CI�L�='IKJ�=RL4@�J�68I�`�='7TU;9;Jv7:5�349C7:@VL�Ô©Ò�<H9 8 � ����� ÔR%zO < � ? � Ö &^]�9CB4<°<;:^G�<>Sj9;<>=,ÐKI�`T34<+@�O9CB4<+U�68I�`T`:<>U;9©<>7:h�<>LMÐKI�`T34<�@�O 8 7TU

X � Ö \ & &�N X & X �^Y���N NK\ Ö "�& Ö &V[�N �

G�L�9CB'<�@�9CB4<HJiB'I�L�=�]47:O <��? � Ö NM]�9CB4<�<;:1G�<>Sj9;<>=WÐKI�`T34<E7TU : � ��� � X A ��� = �N7:9CB

� � [ X Y! 1Y+N NK[�NK[�[ "L �\4Y�Y X(Ö�Ö & "

� � "L 1Y��V[ �LN^Y>[ X�ÖCX \4Y Ö [�[�N4Y Ö� � &1Y�Y>\�\�\ "L � "L X \ � � X Y "� �N & �

Ï B4<>UC<EIKJC<�<;:1I�Sj9FI�L'U2�¯<HJ�U%7TL �NB�IK9g687:hVBM9¯5�<ESHI�`T`T<>=�UC7T6�G�`T<>U;9�Of@�J�6�Ô Q <�UCB4@�� 7TL Ï B4<H@�JC<>6²\^ÔTYE9CB'IK9U;@Î`T@VL4h¢I�U < I�L'= ? IKJC<±L4@�9�5�@�9CB$<HÐ�<>L�]©9CB4<�<;:1G/<>Sj9;<>=­Ð�I�`_34<W7TU�I�`K�©I>X1U8<>7:9CB'<HJ87TL·9CB4<WJ�IK9C7T@VL'I�`TU@�JE9CB4<�e^3'I�=4J�IK9C7_S�<;:19;<>L'UC7T@VL¢@�O�9CB'<°JvIK9C7:@VL'I�`TU�Of@�J�6�<>=,5^XRI�=$Dy@V7TL�7TL4h � < Ô Ï B^3'UH]�9CB'<HXRIKJC<�J�@M@�9CU�@�Oe^3'I�=4J�IK9C7TSHU>Ô HiL4Of@�JC9C3'L�IK9;<>`:X�]6�NB4<>L < I�L�= ? IKJC<¥5�@�9CBR<HÐ�<>L�]�I�L,IKJ�SHUC7TL'<�@�O�@VL4<¥@�O�9CB4<¥G�IKJ�I�68<H9;<HJ�UIKG'G�<>IKJ�UH]'I�L�=�9CB4<�<;:1G/<>Sj9CIK9C7T@VL¬7TL?9CB'7_U%SHI�U;<�7TU©G�JC@�5�IK5�`:X¤I�9;J�I�L'U�Sj<>L'=4<>LM9CI�`�LM3�6+5�<HJ>Ô

Ö�Ö

Page 23: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

Ï IK5�`:< Ö ÔTYKѯk�JC@�G�<HJC9C7:<>U©@�O�9CB4<+=�7TU;9;J�7:5�349C7:@VL'U�@�O � ?$N<>I�` I¯@V6�G�`T<;:

6�@1=4< YKÔ N^Y YKÔ' X68<>='7TI�L X Ô' �N Ö Ô#"��

h�<H@V6�Ô�6�<>I�L "4Ô' & Ö Ô' �NIKJ�7T9CB�Ô�6�<>I�L � X Ô'& "� : � ?*A � Y �1Ô � Ö �1Ô � Ö� : � ?*A � Y�� �1Ô£\ � �1Ô£[ � : � ?*A � Y�� � �1Ô£[�\ �1Ô£[�[�[

G�3'J�G'Jv7TL'SH7:G�I�`1h�@VI�`�]1B'@��¯<HÐ�<HJ>]��¯I�U¯9;@¥U;<H9;9C`:<�9CB4<FeM34<>UC9C7:@VL'U¯IK5/@V3'9¯Sj@VL'=�7:9C7:@VLAL^3'6�5�<HJ�U�9CB'IK9W�¯<HJC<J�I�7TUC<>=!5^XÎÐ�@VL­ÓN<>3'6AI�L'L�] '©7:J#�1B4@$Ad]¯2168I�`T<�]�I�L'=·DF<>686�<>`¶Ô : 2^<H<±2^<>Sj9C7:@VL Ö ÔTYKÔ A Ï @R9CB�7TU°<>L'=�] �¯<=4<HJ�7TÐ�<�9CB4<�O�@�Jv6�3'`_I¥9CB'IK9

`_7T67���� : � ? � � A � . ( � 1 0 ( � 1 0 < = : Ö Ô£[ A

�NB4<HJ�<89CB4<�6AIK9;J�7TSj<>U+B�I>Ð�<¤<>`:<>6�<>LM9CU+OfJC@V6 I±U;9CI�L'='IKJv=ÎL4@�J�6AI�`�='7TU;9;Jv7:5�349C7:@VL�Ô / 7:hV34JC< Ö ÔTY�G�`:@�9CU+9CB4<=4<>L'U�7:9�X #

# 0 . ( � 1 0 ( � 1 0 < �N7:9CB,6°3'S�BÎ3'U;<HOa3'`d7TL4Of@�J�68IK9C7:@VL�Ô Ï B4<¥G�@�JC9C7:@VLR@�O¯9CB4<8SH34JCÐ�<8UCB'@��NL,<>L'SH`T@VU;<>UI�LWIKJC<>I¥@�OQ\ �¤]U�iB'7T`:<F9CB4<�5�@V3'L'='IKJv7:<>U�@�O�9CB4<EI�`:9;<HJvL'IK9C7TL4h8UCB�I�=4<>=�I�L'=�3'L'U�B'I�=4<>=¤JC<HhV7:@VL'U%6AIKJ#��@$A9CB4<¥=4<>SH7T`:<>U>ÔiÕ¦SH`:@VUC<°7TL�U;G�<>Sj9C7:@VL¬UCB'@��NUF9CB'IK9F9CB4<¥6�<>='7TI�LR7TUFUC`T7:hVBM9C`:X�`:<>UCUi9CB'I�L X Ô NMÔ Ï B4<¥U;@V`T7T=±=4@�9CU7TL / 7ThV34JC< Ö Ô'&^ÔÉI,UCB4@���@�5�U;<HJCÐ�<>= ='IK9CIWOfJC@V6 Ö &^] � � �±JvI�L'=4@V6 6AIK9;J�7TSj<>U&�N7:9CB ? � N &^Ô Q <?U;<H<�9CB'IK99CB4<HX¬IKh�J�<H<°Ð�<HJ�XV��<>`T`�]/I�L'=±G'JC<>=�7TSj9C7:@VL'UgIK5�@V349F9CB4<°Sj@VL'='7:9C7:@VL±LM3�6+5�<HJ�='7TU;9;J�7T5�349C7:@VL?Of@�JF`_IKJCh�< ? SHI�L5�<�5�I�U;<>=�@VLW9CB4<EG�`:@�9CU>Ô/ 7:hV34J�< Ö Ô Ö G�`:@�9CU�9CB4<?=4<>L'UC7:9zXZI�L'=·=4<>SH7T`:<>U+O�@�J�Sj@V6�G�`:<;:Î68IK9;J�7TSj<>U@�N7T9CBÎ9CB4<¤UCI�6�<�UCSHI�`:<?I�U°9CB4<

G'JC<HÐ17:@V3'UFG�`T@�9HÔ Ï B'7_UiSH34J�Ð�<�]�B4@��¯<HÐ�<HJ>]<>L'SH`:@VU;<>UEI�L¢IKJ�<>I?@�O©[�\ �¤Ô7I¯@V6�G�IKJ�7TL4h¤9CB4<¥9 �¯@¬SH34JCÐ�<>U>]�@VL4<L4@�9C7TSj<>UA9CB4<±U�`:@��¯<HJ�Sj@VLMÐ�<HJCh�<>L'Sj<,@�O�9CB4<W9CI�7_`g@�O�9CB4<¬J�<>I�`N='7TUC9;J�7:5�349C7T@VL�Ô %sL­OfI�Sj9H]%9CB4<±JC<>I�`N='<>L'UC7:9zXSj@VLMÐ�<HJCh�<>UN9;@E1H<HJC@AU;@AU�`:@��N`TXA9CB'IK9N7T9gB'I�UgI�LW7TL4b�L'7:9;<�6�<>I�L�]U�iB'7T`:<F9CB4<+Sj@V6�G�`:<;:?='<>L'UC7:9zX�B'I�UgI�b�L'7:9;<6�<>I�L�Ô

ÖCX

Page 24: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

Ï IK5�`:< Ö ÔTYgIK5�@mÐ�<N`T7TU;9CUdU;@V68<N7TLM9;<HJC<>U;9C7TL4h�G'J�@�G/<HJ�9C7:<>U�@�O/='7_U;9;J�7:5�3'9C7:@VL'U�@�O � ? O�@�JQJC<>I�`�I�L'=�Sj@V6�G�`:<;:68IK9;J�7_Sj<>UHÔÏ B'<¯h�<H@V68<H9;J�7TS%6�<>I�L¥JC<>U�3'`:9�hV7TÐ�<>L�7TL°9CB4<©9CIK5�`:<%U;@V`:Ð�<>U�216AI�`:< �ÉUdG'JC@�5�`T<>6�]$�NB'7T`:<�9CB4< � : � ?*A � Y��

JC<>UC3�`:9�Of@�J©JC<>I�`�68IK9;J�7TSj<>U%UCB'@��NU¯9CB'IK9©Ð�@VL?ÓN<>3�68I�L'L �ÉU¯<>U;9C7T6AIK9;<�I�`_`:@��NU¯Of@�J Ö ����@�O�J�I�L'=4@V6»68IK9;Jv7TSj<>U9;@�B'I>Ð�<8`_IKJCh�<HJ�Sj@VL'='7:9C7:@VLRL^3'6+5�<HJ�U>Ô Q <8U�B4@V3'`T=±6�<>L(9C7T@VL±9CB�IK9�9CB4<�h�<H@V68<H9;J�7TS�6�<>I�LRJC<>UC3�`:9FSHI�L,5�<Sj@V6�G�3'9;<>=ÎOfJC@V6 : Ö Ô£[ A ]�5�349�9CB4<¤JC<>UC3'`:9�=4@M<>U¥L4@�9°J�7:h�@�J�@V3'UC`:X,Of@V`T`:@�� OfJC@V6 9CB�7TU+Sj@V6�G�349CIK9C7:@VL !¯6�@�JC<SHIKJC<AL'<H<>='U�9;@W5�<¥9CI$��<>LÎ5�<>SHI�3'UC<�@�O�9CB4<�`:@�hVIKJ�7:9CB'6WÔ@%yL¢OaI�Sj9H] �¯<ASHI�L¢<;:19;<>L'= 2468I�`:< �ÉU�G'JC@�5�`:<>6 5MXI�U2�17TL4h¥Of@�J%9CB4<E='7TU;9;Jv7:5�349C7:@VLA@�O�`T@�h � ? Ô Q <+G�`:@�9©9CB4<E`T7T6A7:9C7TL4h°='7TU;9;J�7T5�349C7:@VL'U�I�L'=�=4<>SH7T`T<>U¯I�U ?����

Of@�JN`:@�h � ? O�@�JiJC<>I�`�68IK9;Jv7TSj<>Ug7TL / 7:hV34J�< Ö Ô X I�L'=�Of@�JNSj@V6�G�`T<;:?68IK9;Jv7TSj<>UN7TL / 7:hV3'JC< Ö Ô#"4ÔQ <¯Of3'JC9CB4<HJ�JC<>6AIKJ#��9CB'IK96AI�L(X�@�O49CB4<�JC<>UC3'`T9CU�7TLE9CB�7TU�9CB4<>UC7_U�G'JC@mÐ^7_=4<�6�@1=4<>`TU�Of@�JdUC7T687T`_IKJ�eM34<>UC9C7:@VL'U

Of@�JF@�9CB'<HJE='7TU;9;J�7T5�349C7:@VL'U>Ô / @�JE<;:4I�6�G�`T<�] / 7:hV3'JC< Ö Ô'&^ÔÄ5ÎG�`:@�9CUF9CB4<�UCI�6�<�=4<>L'U�7:9�X¬I�U / 7:hV3'JC< Ö Ô'&^ÔÉI1]5�3499CB4<�B'7TUC9;@�h�J�I�6»7TU¯5�I�U;<>=¤@VL?9CB4<�Sj@VL'='7:9C7T@VL�L^3'6�5/<HJvU�@�O Ö &^] � � � N &�5MX N &°68IK9;J�7TSj<>U©OfJC@V6 9CB4<�3'L'7:Of@�J�6='7TUC9;J�7:5�349C7T@VL�[ � Y = Y ]�Ôª217_687T`TIKJ�`TX�] / 7:hV34JC< Ö Ô'&^ÔÉS±7TU�5�I�UC<>=¨@VL¨9CB'<¬Sj@VL'='7:9C7T@VL¨LM3�6+5�<HJ�U¥@�O Ö &^] � � � N &5^X>N &�6AIK9;J�7TSj<>U�OfJC@V6 9CB4<8='7_UCSjJC<H9;<8='7TUC9;J�7:5�349C7T@VL�� � Y = Y��VÔ / 7:hV3'JC< Ö Ô'&^ÔÉ=Î7TU�5�I�U;<>=,@VL¢9CB4<8Sj@VL'=�7:9C7:@VLL^3'6+5�<HJ�UE@�O Ö &^] � � � N &W5MX0N &W6AIK9;J�7TSj<>U�O�JC@V6 9CB4<�3'L�7:O�@�Jv6 ='7TU;9;J�7T5�349C7:@VLM[ � = Y ]W�iB'7TS�BÎB'I�U+L4@VL�3 1H<HJC@6�<>I�L�Ô�ÓN@�9C7TSj<�9CB�IK9R�¯<�L4@�`:@VL4h�<HJE3'UC<�9CB4<�B'7_U;9;@�h�J�I�6 @�O � ? ]�5�349FJ�IK9CB4<HJ>] �

� � � ?D�1 � Ô Ï B^3'UN9CB'<>U;<

68IK9;J�7_Sj<>UgIKJC<+`:<>U�U���<>`_`�Sj@VL'='7:9C7:@VL'<>=�Ô�2^<H<°2^<>Sj9C7:@VL�NMÔTYEOf@�JN6�@�JC<EIK5�@V349%9CB4<>UC<+68IK9;9;<HJ�UHÔ

Ö "

Page 25: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

0 2 4 6 8 10 12 140

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

κ /n

f

/ 7:hV3'JC< Ö ÔTYKÑ Ï B'<�`_7T687:9C7TL'h°=4<>L�UC7:9�X�@�O� � ?�:5?�� ? J�<>I�`�68IK9;J�7TSj<>U A

Ö &

Page 26: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

0 2 4 6 8 10 12 140

0.1

0.2

0.3

0.4

κ /n

f

/ 7:hV3'JC< Ö Ô Ö Ñ Ï B'<E`T7T687:9C7_L4h�=4<>L�UC7:9�X¤@�O� � ? :5?�� ? Sj@V68G�`:<;:�68IK9;J�7TSj<>U A

Ö

Page 27: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

log(κ/n)

f

/ 7ThV34JC< Ö Ô X Ñ Ï B4<�`T7T687:9C7_L4h°='<>L'UC7:9zXA@�OQ`:@�h : � ?*A%:5?�� ? JC<>I�`�68IK9;J�7TSj<>U A

Ö N

Page 28: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

log(κ/n)

f

/ 7ThV34JC< Ö Ô#"4Ñ Ï B4<E`T7T687T9C7TL4h�='<>L'UC7:9zX�@�Od`:@�h : � ?*A :5?�� ? Sj@V6�G�`:<;:?6AIK9;J�7TSj<>U A

Ö \

Page 29: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

0 2 4 6 8 10 12 140

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

κ/n

f

(b) Uniform distribution: [−1, 1]

0 2 4 6 8 10 12 140

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

κ/n

f

(c) Discrete distribution: {−1,1}

0 2 4 6 8 10 12 140

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25(d) Uniform distribution: [0,1]

2κ/√3n3/2

f

0 2 4 6 8 10 12 140

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

κ/n

f

(a) Normal distribution: N(0,1)

/ 7ThV34JC<Ö Ô'&^Ñ

�:^G�<HJ�7_6�

<>L(9CI�`¬O�@�J&�1]����

68IK9;Jv7TSj<>UH]?�

� N&

Ö [

Page 30: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� ��������� �

� � � � ��� � ��� � � � ��� � � � �

� ��� +������#��" " �.�/'0��� �����a�.�a����� ����� �/��'0" ������ ��*� �

%yL±<>`T<>6�<>L(9CIKJ�XRU;9CIK9C7_U;9C7TSHUH]�9CB4<�6�@VUC9�7_6�G�@�JC9CI�L(9�='7TUC9;J�7:5�349C7T@VLW7TU :�C= ���+A ]�9CB4<�L4@�J�68I�`d='7TUC9;J�7:5�349C7T@VL�N7:9CB¥6�<>I�L I�L'=¥ÐKIKJ�7TI�L�Sj< � � Ô Ï B4<%L4@�Jv68I�`1='7TU;9;J�7T5�349C7:@VL�=4<>U;<HJCÐ�<>UQ7:9CUQUCG/<>SH7_I�`MG�`TI�Sj<%7TL°G�IKJC9d5�<>SHI�3'U;<@�O°9CB4<ÎSj<>LM9;J�I�`E`T7T6A7:9�9CB'<H@�JC<>6�]+�NB'7_S�B�]F`:@M@VUC<>`:X�7_L(9;<HJCG�JC<H9;<>=�]�U;9CIK9;<>UW9CB'IK9±`TIKJCh�<ZUC3'6AU?@�O°JvI�L'=4@V6ÐKIKJ�7TIK5�`:<>U©@�Of9;<>LW5�<>B'I~Ð�<+I�Ug7:O�9CB4<HX���<HJ�<+L4@�J�68I�`_`:X�='7_U;9;J�7:5�3'9;<>=�Ô%yL·6�3'`T9C7:Ð�IKJv7TIK9;<¤UC9CIK9C7TU;9C7TSHUH]�9CB4<�6�@VU;9�7T6�G�@�JC9CI�LM9°=�7TU;9;J�7:5�349C7:@VL'UEIKJ�<?='<HJ�7:Ð�<>= O�J�@V6 9CB'<?L'@�J�68I�`¶Ô

ÕihVI�7TL?U;9CIK9C7TU;9C7TSH7_I�L'U�B�I>Ð�<E='7TU�Sj@~Ð�<HJC<>=¤9CB'IK9%6°3'`:9C7:ÐKIKJ�7TIK9;<ih�<>L4<HJ�I�`T7K1>IK9C7T@VL'U¯@�O�9CB4<�L4@�J�68I�`�='7TUC9;J�7:5�349C7T@VL@�Of9;<>LÎUC3�)¤Sj<8O�@�J�9CB4<>7:JE6�@1=4<>`TU>Ô / @V`T`:@��N7TL4h�9CB�7TU�G'J�7_L'SH7:G�`:<�]6�¯<E�N7_`T`�5/<�G�J�7T68IKJ�7_`:XW7TLM9;<HJC<>U;9;<>=Î7_L¢9CB4<Of@V`T`:@��i7TL4h¥JC<>I�`�J�I�L�[email protected];J�7TSj<>Ui=4<HJ�7:Ð�<>[email protected]'<+L4@�J�68I�`�=�7TU;9;J�7:5�349C7:@VL�Ô

� � ) � � � ����� � :5<>=@?*A� < � ? J�I�L�=4@V6�6AIK9;J�7<: �N7:9CB�7TL'=4<HG�<>L'=4<>LM9�I�L'=�7T=4<>LM9C7TSHI�`T`:X�='7_U;9;J�7:5�3'9;<>= : �5� �CA<>`T<>6�<>L(9CU.�NB'7TSvB�IKJC< : � = Y A �

� ��� �� ���� 8;:5<>=@?*A� 2^X1686�<H9;Jv7TS < � < J�I�L'='@V6.68IK9;J�7<: ����� = �NB'<HJC< � 7_U�� :5<>=@?*A � � ) � � � ��� � ���� ���T��� �T� �+��� � 4 �� ���� � ��� 2^X^6A6�<H9;J�7TS <��>< J�I�L'='@V6 68IK9;J�7<: �N7:9CB 7T7T= <>`:<;3

68<>L(9CU¥9CB'IK9�IKJC< : � = �� A @VL!9CB'<?3'G'G�<HJ23�9;J�7TI�L4hV`T<AI�L'= 7T7T=Z<>`T<>6�<>L(9CU¥9CB�IK9¥IKJ�< : � = Y A @VL 9CB4<=�7TIKh�@VL'I�`¶Ô � eM3'7TÐ�I�`:<>LM9C`:X�]47:9g7TU : � I � � A � Ö ]U�iB4<HJC< � 7TU�� :5<>=@<HA ÔÏ B'<>U;<?J�I�L'=4@V6 68IK9;Jv7TSj<>U8B'I~Ð�<WSj@V6�G�`:<;:$I�L'I�`:@�hV34<>U7�NB'7TSvB��¯<V�N7T`_`�I�`TUC@,UC9C3'=4X!7_L ='<HG'9CB�Ô!Ò�<H9

� :�C= � � A JC<HOf<HJg9;@89CB4<+=�7TU;9;J�7:5�349C7:@VL8@�O � I � � ]U�NB4<HJC< � I�L'= � IKJC<E7T7T= :�C= � � A Ô

X �

Page 31: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� ���0� �� ! � � ) � � � ������� :5<>=@?*A�H< � ? J�I�L�[email protected];J�7<: �N7:9CB�7_7T=?<>`:<>6�<>LM9CU��NB'7_S�B�IKJC< � : � = Y A �� ���0� �� ! � ��� �� ���� �8J:5<>=@?*A� 0i<HJ�687T9C7TI�L < � < J�I�L'='@V6.68IK9;J�7<: ����� = �NB4<HJC< � 7TU �� :5<>=@?*A Ô� � ) � � � ��� � � � �+�� �� �*��� �� 4 �� ��� � � � 0i<HJ�687T9C7TI�L < � < J�I�L'=4@V6 68IK9;J�7<:=�N7:9CBZ7_7T=,<>`:<>6�<>LM9CU

9CB�IK9gIKJC< � : � = �� A @VL?9CB4<�34G�G/<HJ#3�9;J�7TI�L4hV`:<iI�L'=?7T7T=�<>`:<>6�<>LM9CU©9CB'IK9%IKJC< : � =�� A @VL¤9CB4<�='7_IKh�@VL'I�`¶Ô

� eM3�7:Ð�I�`T<>L(9C`:X�]47:9g7_U : � I ��� A � � \1]��NB'<HJC< � 7TU �� :5<>=@<HA ÔÏ B'<�IKJC5�7T9;J�IKJCXWL4@�J�6AI�`T7K1>IK9C7:@VL'U.��<HJ�<¥SvB4@VU;<>LR9;@�6�@VU;9�SH`:@VU;<>`:XW6AIK9CS�B,9CB4<¥`T7:9;<HJ�IK9C3'JC< �N7T9CB �NB'7_S�B

�¯< ��<HJ�<EOfI�6A7T`T7TIKJ>Ô

� ��� � ��12��$#������� ) �*' " �.�/'0��� ) ��1;�/��'0� �2�.����������������� ����' " �����a��'��

Ò�7T9;9C`:< �1L4@��iL±9;@�68I�LMXWJC<>UC<>IKJ�S�B4<HJvU�7TL¬`T7_L4<>IKJFI�`Th�<H5'J�I¤7TUN9CB'<�OaI�Sj9�9CB'IK9�9CB4<�OaI�687T`_7TIKJi68IK9;Jv7<:¬OaI�Sj9;@�J237K1>IK9C7:@VL�UH]��NB'7TSvB�SHI�L�5�<�Ð^7:<"�¯<>=WI�UgSvB'I�L4h�<>UN@�OÐKIKJ�7TIK5�`T<>UH]4B'I>Ð�<°UC7T6�G�`T< - I�Sj@�5�7TI�L'UHÔ Ï B4<>U;< - I�Sj@�5�7_I�L'UIKJC<¥3'U;<>=±<;:^9;<>L�UC7:Ð�<>`:X¬7_L¬IKG'G�`_7TSHIK9C7:@VL'Ui@�O�J�I�L'='@V6 68IK9;Jv7TSj<>Ui7_L±6°3'`:9C7:ÐKIKJ�7TIK9;<°U;9CIK9C7TU;9C7_SHUFI�L�=¬G�BMX1UC7TSHUHÔÕFU�I�L±<;:4I�6�G�`T<�]�Sj@VL'UC7T=4<HJ�9CB4<EI©B'@V`:<>U2�^XWOfI�Sj9;@�Jv7K1>IK9C7:@VL � � � � � ] �NB4<HJ�< � 7TU�U;X^6A6�<H9;J�7TS�G�@VUC7:9C7:Ð�<=4<jb�L�7:9;<AI�L'= � 7TU�`:@��¯<HJ°9;J�7TI�L4hV3'`_IKJ �N7:9CB¢G�@VUC7T9C7:Ð�<A='7TIKh�@VL�I�`�<>`:<>6�<>LM9CUHÔ Ï B'7_U�OfI�Sj9;@�Jv7K1>IK9C7:@VL·SHI�LÎ5�<9CB4@V34hVBM9A@�OEI�U�IÎSvB'I�L4h�<R@�O�Ð�IKJ�7_IK5�`:<>U�OfJC@V6 9CB'< ? :5? I Y A � Ö 7TL'=4<HG�<>L'=4<>LM9¥<>`:<>6�<>LM9CUA@�O � 9;@ 9CB4<? :5?HI Y A � Ö G�@�9;<>L(9C7_I�`T`:X¢L4@VL�3 1H<HJC@R<>`:<>6�<>LM9CU°@�O � � Ï B'7TU�S�B'I�L'h�<¤@�ONÐ�IKJ�7_IK5�`:<>U+7_U �¯<>`T`�='<jb�L4<>= UC7TL'Sj<<HÐ�<HJCX¥U;X1686�<H9;J�7TS�G�@VUC7:9C7:Ð�<¯=4<jb�L'7T9;<¯68IK9;Jv7<:�B'I�Ud@VL4<%I�L'=°@VL'`TXE@VL4<.I©B4@V`:<>U#�MX�OaI�Sj9;@�J�7K1>IK9C7:@VL�Ô Q <%JC<>SHI�`T`9CB'IK9N7TO �¯<+S�B'I�L'h�<+ÐKIKJ�7TIK5�`:<>U©OfJC@V6²I¥Ð�<>Sj9;@�J � 9;@AI¥Ð�<>Sj9;@�J � ]'9CB4< - I�Sj@�5�7TI�LW7_U%9CB4<E=4<H9;<HJ�6A7TL'I�LM9

�����������

� � �� � � �����

� � �� � 7

ÔÔÔ ÔÔÔ� �?7� � � �����

� �?7� � 7

�����������

� : X ÔTY A

/ @�JFI�JC<>Sj9CI�L4hV3�`TIKJN68IK9;J�7K: � �N7:9CB < ? 7TL�=4<HG�<>L'=4<>LM9�<>`:<>68<>L(9CUH]�`:<H9, � � "�; % ,&� " %

=4<>L4@�9;<�9CB'<W='7<A�<HJC<>L(9C7_I�`©Ð�@V`T3'6�<?<>`:<>6�<>LM9HÔ / @V`T`T@��N7TL'h�[ X �]�]M�¯<V�N7T`T`¯IK5�3'UC<WL4@�9CIK9C7:@VL$5^X!3'U�7TL4h,9CB4<UCI�6�<¤L4@�9CIK9C7:@VL!9;@±=4<>L'@�9;<A9CB4<�Ð�@V`T3'6�<8<>`T<>6�<>L(9CU�@�Og6�@�JC<�U;G�<>SH7TI�`�68IK9;J�7_Sj<>UHÔ / @�J°<;:1I�6�G�`:<�]�7TO��ª7TU

X Y

Page 32: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

U;X1686�<H9;J�7_S�@�J � 7TUN`:@��¯<HJg9;J�7TI�L'hV3'`TIKJ>]4`:<H9

, � � "� &% , " %

I�L'=, � � "� &% ,�� " % �

%yL�9CB'<>U;<ESHI�U;<>U©9CB4<E='7KA/<HJC<>LM9C7TI�`�G'JC@1='3'Sj9©7TL'SH`T3�=4<>U�@VL'`TX89CB4< ? :5? I Y A � Ö 7TL'='<HG/<>L�=4<>L(9�G�IKJ�I�6�<H9;<HJvUHÔ %zO� 7TUgI8='7_IKh�@VL'I�`�68IK9;J�7<:�]49CB4<>LV�¯<+`:<H9

, � � 7"��*� , B " " �

/ @�J¯@�JC9CB4@�h�@VL�I�`�68IK9;Jv7TSj<>U���] , � �N7T`_`15/<gI+5�7:9�6�@�J�<NSj@V6�G�`T7_SHIK9;<>=�ÔQÒ�<H9�� 5�<gI�L < 5^X ? 68IK9;J�7K: ��N7:9CB���� � � 9 � ÕFU�I�UC345�U;G�I�Sj<�@�O � � 7 ]�9CB'<>U;<868IK9;J�7TSj<>U�Of@�J�6 I�UC345�68I�L'7:Of@V`T= � ; 7 @�O¯='7_6�<>L'UC7:@VL< ? � �� <0:5<�I Y A SHI�`_`:<>=¥9CB4<�� �V2�� � �J�0'��"C2 �J%�� # Ô�Ò�<H9 , � ='<>L4@�9;<%9CB4<©Ð�@V`T3'6�<©<>`:<>68<>L(9Q@VL � ; 7 7_L'='3'Sj<>=5^X�9CB'7_U%<>6+5�<>='=�7TL4h4Ô�%z9NSHI�L¬5�<�U�B4@��NLW9CB'IK9g9CB4<E9;@�9CI�`�Ð�@V`T3'6�<�@�O� � ; 7 7TU

���>�� � , � � Ö

��� � 7 1 ���� :5? � Ö A = : X Ô Ö A

�NB4<HJ�<�9CB4<E6�3�`:9C7:ÐKIKJ�7TIK9;<�hVI�6868I8Of3'L�Sj9C7:@VL�7TU%=4<jb�L'<>=�5MX

��� :�� A � � � � ��( ��� 1 � �"��*� � :�� ��: � � Y A � Ö A � : X Ô X A

/ @�J < � Y =8, �Í7_U%9CB4<�U�34JCOaI�Sj<+<>`:<>6�<>LM9N@�Od9CB4<°U;G�B4<HJ�<+I�L'= : X Ô Ö A JC<>='3�Sj<>Ug9;@A9CB'<�UC34J�OfI�Sj<EÐ�@V`_3'6�<+@�O9CB4<+UCG�B4<HJC<�Ô Q B4<>L <�� ? ] , � � �Q@V`T3�6�< : 7 ; 7 A 7TU©@�O�9;<>L±SHI�`T`:<>=�9CB'<�� 2/" � ��� 2P��"D��� ���&����'�Z�^�+*,� � ÔÏ B'<+6�@VU;9F7T6�G�@�JC9CI�LM9gG'JC@�G�<HJC9zX�@�O 0FI�IKJF68<>I�UC34JC<+7_UN7:9CUi7TL(ÐKIKJ�7TI�L�Sj<E3'L'=4<HJg@�J�9CB4@�h�@VL'I�`9;J�I�L'U;Of@�J23

68IK9C7:@VL�Ô Ï B'7TU%6�<>I�L�U ��� , � � ����� , � =�NB4<HJ�<��Z7TUI�L(X : Ò�<H5�<>U;hV34<©6�<>I�UC34J�IK5�`:< A U;<H9�@�O'@�JC9CB'@�h�@VL'I�`168IK9;J�7TSj<>UH] � 7TU�I�LMXEG�IKJC9C7TSH3�`TIKJ�@�JC9CB'@�h�@VL'I�`68IK9;J�7K:/]1I�L'=��!�$7TU�9CB4<�U;<H9¯@�O�G'JC@1='3'Sj9CU�@�O"� �N7:9CB�<>`:<>6�<>LM9CU©@�O#�iÔ Ï B4<i68<>I�UC34JC< , � � �Q@V`T3'6�< : 7 ; 7 A9CB4<>LR=4<jb�L4<>UiIAG�JC@�5�IK5�7T`_7:9�X?U;G�I�Sj<°@VL¬9CB'<+@�JC9CB4@�h�@VL�I�`�6AIK9;J�7TSj<>U9�NB'7TSvB¬7TUF7TLMÐ�IKJ�7_I�L(9(�i7:9CBWJC<>UCG/<>Sj9i9;@

A%$ #�! L�.���&z����(!*� ] >�:(!���! [(!*+ >�����>L�TN U.��7TP.>8H�V.�����B�CJ '&)( I 9

X�Ö

Page 33: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

@�JC9CB4@�h�@VL�I�`�9;J�I�L'UCO�@�J�6AIK9C7:@VL'UHÔ / @�JiOf3'JC9CB4<HJg=4<H9CI�7T`_UgSj@VL'UC3'`T9 [ X �]�Ô / @�JF7TL4Of@�J�68IK9C7:@VL¤@VLW9CB'<ELM3'68<HJ�7TSHI�`h�<>L4<HJ�IK9C7T@VLW@�O�J�I�L'=4@V6.@�J�9CB4@�h�@VL'I�`�6AIK9;J�7TSj<>Ug='7_U;9;J�7:5�3'9;<>=E�N7T9CBV0iI�IKJF6�<>I�UC34JC<�U;<H< [ X ]I�L'= [ " "�]�Ô/ @�J�Sj@V6�G�`:<;:Î68IK9;J�7TSj<>U>]Q9CB4<AÐ�@V`T3�6�<A<>`:<>68<>L(9CU¥IKJC<¤hV7:Ð�<>L 7TLZ9;<HJ�6AU+@�Og9CB'<�JC<>I�`¯I�L'=!7T68IKhV7TL'IKJ�X

G�IKJC9CU>Ô Ï BM3�U+7:O � 7TU�I¬Sj@V6�G�`T<;:ZJC<>Sj9CI�L4hV3'`TIKJ¥68IK9;J�7K:=�i7:9CB � � ��� I � � � ]d9CB4<>L , � ��, ��� , � � ÔV%zO� � � � I � � � 7_U.0i<HJ�687:9C7TI�L�] , � � , � � , � � Ô�217TL'Sj< � � 7TUiI�L±I�LM9C7TU;X1686�<H9;J�7_S+68IK9;J�7K:/]/7:9CUNÐ�@V`_3'6�<<>`:<>6�<>LM987TU°9CB4<�G'J�@^='3�Sj9�@�OF9CB4< ? :5? � Y A � Ö 7TL'=4<HG�<>L'='<>L(9�Ð�IKJ�7_IK5�`:<>U¥IK5�@~Ð�<W9CB4<�='7_IKh�@VL'I�`¶Ô %zO � 7TUSj@V6�G�`T<;:R`:@���<HJ�9;J�7_I�L4hV3'`TIKJ*�N7:9CBRJC<>I�`�G�@VUC7:9C7TÐ�<°='7_IKh�@VL'I�`TUH]�9CB4<¥Ð�@V`T3�6�<¥<>`:<>6�<>LM9EB'I�U�9CB4<�UCI�6�<¥Of@�J�6I�Ug9CB�IK9gO�@�J90N<HJ�6A7:9C7TI�L�68IK9;J�7_Sj<>UHÔHFL'7:9CIKJCX±68IK9;J�7TSj<>U�IKJC<8I�L�I�`:@�h�@V3'U�9;@?@�JC9CB4@�h�@VL'I�`�68IK9;J�7TSj<>UHÔ�Ò�<H9 �� 5�<°I�L < 5^X ? 68IK9;J�7<:Q�N7:9CB

�� �� � � 9 � ÕFU�IgUC345�G�I�Sj<Q@�O � � � 7 = 9CB'<>U;<�68IK9;J�7_Sj<>U�O�@�Jv6 IgUC345�68I�L'7:Of@V`T= � � ; 7 @�O1='7T6�<>L�UC7:@VL Ö < ? � < ��N7:9CB?Ð�@V`_3'6�<�<>`:<>6�<>LM9 , �� � %s9gSHI�LW5�<EUCB4@��NL � 9CB'IK9g9CB'<�9;@�9CI�`�Ð�@V`T3�6�<�@�O � � ; 7 7TU

���>�� � , �� � Ö

��� � 7���� :5?*A = : X Ô#" A

�NB4<HJ�<�9CB4<ESj@V6�G�`:<;:W6°3'`:9C7:ÐKIKJ�7TIK9;<�hVI�686AI�Of3�L'Sj9C7:@VL 7TUg='<jb�L4<>=?5^X

�� � :��3A� � � � ��( ��� 1 � �"��*� � :�� � � I Y A � : X Ô'& A

Ói@�� 9CB'IK9(�¯<+B'I>Ð�<�=4<jb�L4<>=?9CB4<�='7<A�<HJC<>L(9C7_I�`�Ð�@V`T3'6�<�<>`:<>68<>L(9CUH]��¯<+L4<H<>=W9;@7�^L'@�� B'@�� 9;@89;JvI�L'U43Of@�J�6.5�<H9 �¯<H<>LW9CB4<>6WÔ Ï B4<�9;J�I�L'UCO�@�J�6AIK9C7:@VL'UgIKJC<+hV7:Ð�<>LW7TL?9CB4<+O�@V`T`T@��N7TL'h°9CB'<H@�JC<>6�Ô

� �� � (�� ��� .,� T . ��" � � ��% � � ���+2P�SXJ� � � �J%����/.,� T %�' '%�" �J� T ��%�� 2 ���V2V%�"0��.,� � ��/.,� �B%��/� %��_2/" ��� � �T % XJ2P��"0�

�Z��������� ������ . %�� � �+��K � � � � � , � � Ö � � �"��*� � � � � ( "" " , ���� � � � � , � � � �"��*� � 7 ( "" " , � , ��J2 � �B" � ��� *D� � � � � ��� , � � � "�$&% ) B " � B % ) , � , �

� %�'��$� � ������ ������ . %�� � �+��K � � � � � , � � Ö � � �"��*� � � ��( � " � �" " , ���� � � � �� , � � � �"��*� � � 7 ( � " � �" " , � , ���J2 � �B" � ��� *D��� � �� � �� � , � � � "�$&% : B " � B % A �6, � , ��

� �-% % � Ï B4<8G'JC@^@�O©@�O©9CB4< I©B'@V`:<>U2�^X±OaI�Sj9;@�J�7K1>IK9C7:@VL!JC<>UC3�`:9CUE7TU�G�IKJC9C7TSH3'`TIKJv`:X¬<>I�U;X¢5�<>SHI�3'UC<89CB4< - I�Sj@$3< � -@>�CJ,+B+(! '&J(!*����PbM����B�CJ LH6�BH(D�7(?C)B���(D.A,�,0 '.\�V���z(!*� [���7(! #�=.A(!BH�! 9

XCX

Page 34: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

5�7TI�L±68IK9;J�7<:W7TUF7:9CU;<>`TOd3'G'G�<HJg9;J�7TI�L4hV3�`TIKJ>Ô Ï B4<°Ò �ÍI�L'=W<>7:h�<>LMÐKI�`T34<�='<>Sj@V6�G�@VUC7:9C7:@VL¬JC<>UC3'`:9CUiIKJC<¥6�@�JC<Sj@V6�G�`_7TSHIK9;<>=�Ô�2^<H<1[ X ^]�O�@�J%I¥SH`:<>IKJ©<;:1G/@VU�7:9C7:@VL�@VL¤B'@�� 9;@�=4<HJ�7:Ð�<F9CB4<>U;<�JC<>U�3'`:9CU¯7TLA9CB'<iJC<>I�`�SHI�U;<�Ô Ï B4<Sj@V6�G�`T<;:?I%B4@V`:<>U2�^X,OfI�Sj9;@�J�7-1>IK9C7:@VL·IKG'G�<>IKJ�U+7TL [ Ö�Ö ]�Ô Q <¤B�I>Ð�<?L4@�9�U;<H<>L!9CB4<¤Sj@V6�G�`:<;:ZÒ �²JC<>UC3�`:9E7TL9CB4<¤`T7:9;<HJ�IK9C34J�<8I�L'=Î=4<HJv7:Ð�<>=Z7:9EOf@�J+@V3'J�U;<>`:Ð�<>UH]�5�349 �N7T`T`dL4@�9�hV7:Ð�<A9CB4<�=4<H9CI�7T`TU�B4<HJC<�Ô Ï B4<8<>7:h�<>LMÐKI�`T34<Of@�J�6�3�`TI�U©O�@�JiJC<>I�`�I�L'=�Sj@V68G�`:<;:�68IK9;J�7TSj<>UiIKG'G�<>IKJN7TLW[ X &^]�I�L'= [#& "�]�ÔÏ B'<�Ò �ªO�@�J�6°3'`TI�U%B'@V`T=AOf@�J%JC<>Sj9CI�L4hV3�`TIKJg68IK9;J�7TSj<>U>]'U;@¥9CB'IK9g7:O � 7TU < 5^X ? ]49CB'<>L � : �� A 7TU < 5MX

? I�L'= � 7TU < 5MX < Ô Ï @868I$��<�9CB'<F<>7Th�<>L(ÐKI�`T34<�OaI�Sj9;@�J�7K1>IK9C7:@VL�3'L�7TeM3'<�]��¯<�I�UCUC3'6�<�9CB'IK9%9CB'<�=�7TIKh�@VL'I�`<>`:<>6�<>LM9CU°@�O � IKJC<�@�Jv=4<HJC<>=!O�JC@V6 h�JC<>IK9;<>U;9¥9;@,`:<>I�U;9¥I�L'=!9CB'IK9�9CB'<8b�J�UC9+JC@���@�O�� : �� A 7TU+JC<>I�`©I�L'=L4@VL�3�L'<HhVIK9C7:Ð�<�Ô Ï BM3'U�9CB'<8<>7:h�<>LMÐ�<>Sj9;@�J¥6AIK9;J�7TSj<>U �.@VL'`:XR@^SHSH3'GMX¢I�G'J�@�G/@�J�9C7:@VL Ö (#� @�O©9CB4<8Ð�@V`_3'6�<@�O%9CB4<W2^9C7:<HOf<>`�68I�L'7TO�@V`T=�]I�L'=!9CB4<A<>7Th�<>L(Ð�<>Sj9;@�J868IK9;Jv7TSj<>U �� @1SHSH34G^XÎI¬UC3'5�68I�L'7:Of@V`T=,@�O%9CB4<¤3'L'7:9CIKJ�X68I�L'7TO�@V`T=�Ô Q <?IKJC<?L4@�9�Sj@VL�Sj<HJ�L4<>= �N7:9CBZUC<H9CU�@�Og68<>I�UC34JC<�1H<HJC@4]�UC3'SvB!I�U°9CB4<¤U;<H9�@�Og6AIK9;J�7TSj<>U&�N7:9CB6°3'`:9C7:G�`T<i<>7:h�<>LMÐKI�`T34<>UHÔ

� ��� � ���d��� �� ���" �������#�����a���������

ÕFU�I�`:J�<>I�=4X¨6�<>LM9C7:@VL4<>=�]g9CB'<±68IK9;J�7K:­='7TU;9;J�7T5�349C7:@VL'U¥7TL 9CB'7TUA9CB4<>UC7TU�IKJC<,=4<HJ�7:Ð�<>= O�J�@V6 9CB4<±OfI�6A7T`T7TIKJ3'L'7TÐ�IKJ�7_IK9;<�L'@�J�68I�`�='7TUC9;J�7:5�349C7T@VL�] :�C= ���+A ]U�N7:9CB?G�JC@�5�IK5�7T`_7:9�XA='<>L'UC7:9zX�Oa3'L'Sj9C7:@VL : G�=4O A

: Ö � � � A ( � 1 � <;:1G : � :�� �+*A �Ö � � A �

Ï @WSj@VL'U;9;J�3'Sj9�9CB'<.D;@V7TLM9�<>`:<>6�<>LM9E=4<>L'UC7:9C7T<>UiOf@�J�J�I�L'='@V6 68IK9;J�7TSj<>U*�N7T9CBR7_L'=4<HG�<>L'=4<>LM9i<>`T<>6�<>L(9CU>]�@VL4<UC7T68G�`:XE9CI$��<>U�9CB4<%G'JC@1='3'Sj9d@�O/9CB4<N=4<>L�UC7:9C7:<>U�@�O�9CB4<g7TL'='<HG/<>L�=4<>L(9�<>`:<>6�<>LM9CUHÔ Q <NL'@�9;<g9CB'IK9�9;J : ����� A �� " ; % � �" %�I�L'=,9CB�IK9 ����� : ��� � A 7_U�3'L'S�B�I�L4h�<>==�NB4<>L � 7TU�6�3'`T9C7:G�`T7:<>=¬5MXRI�L¢@�JC9CB4@�h�@VL�I�` : 3'L'7:9CIKJ�X A68IK9;J�7K:/Ô Ï B^3'UH]

� � �0� ( � ��� .,� � %�2/"D�)# �J"0� 2/�V2�� � �B%�� �/.,��2/"$#�2 T �&� � #U�-��"$#&%�' '���V� 2 T � �����-�

� :5<>=@?*A : Ö � A (#� 7 1 � <H9;J :�� �� ����� A����� Ö ( 7 1 � � ( 7 � 7 � ��� 1 �><H9;J :�� �� � �+A�� :5<>=@?*A : Ö � A (#� 7 <H9;J :�� �� ����� A���� Ö 7 � 7 ( ��� 1 � � ( 7 < 1 � <H9;J :�� � �+A

X "

Page 35: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

�`.,�B�-� <H9;J : � A � <;:^G : 9;J : � A@A 6��F* �J�/.,�B�+'%�� ��� �/.,� � � #�24� �V� 2�XJ*0�V2V%�"0� ���-� 2/" � ��� 2P��"D� *,"$#S�B� %�� �/.,% � %�":���� *,"C2V����� K � �V�!��"0� �B%�� '1�&�V2V%�"C�J6Ï B'<A<>`:<>6�<>LM9CU�@�OgI Q 7TUCB'IKJ�9+68IK9;J�7<:ÎIKJ�<Ah�<>L4<HJ�I�`_`:XZL4@�9�7_L'=4<HG�<>L'=4<>LM9H]I�L'=Î9CBM3�U+9CB4< Dy@V7_L(9°='7TU43

9;J�7:5�349C7:@VLR7TU�6�@�JC<�Sj@V6�G�`_7TSHIK9;<>=�Ô / @V`T`:@��N7TL4h [ X �]�] �¯<8Sj@V6�G�349;<87T9�7_L±98��@±U;9;<HG�U�3'UC7_L4h 9CB4<8Ò � I�L'=I©B4@V`T<>U2�MX�Of@�J�6°3'`TI�UF7TL Ï B4<H@�JC<>6 X ÔTY¥I�L'=¬9CB'<.D;@V7TLM9N<>`:<>68<>L(9�=4<>L'U�7:9�X�Of@�J � :5<>=@?*A hV7TÐ�<>LR7_L±Ò�<>6868IX ÔTYKÔ Ï B4<�O�@V`_`:@��N7_L4h�='7TIKh�J�I�6»@V349C`_7TL4<>U©9CB4<+SHI�`_SH3'`TIK9C7:@VL�Ô

� � �

������������ 8

� � � �

8 � � � �8 � ��� �

Ï B'<89;@�G : B4@�Jv7K1H@VL(9CI�` A IKJCJC@��ÍG'JC@ D;<>Sj9CU � @VLM9;@¬9CB4<�U;G�I�Sj<A@�O%34G�G/<HJ�9;Jv7TI�L4hV3'`TIKJE6AIK9;J�7TSj<>UHÔ�%sLM9;<;3h�J�IK9C7TL'h�9CB4< �µSj@V68G/@VL'<>L(9g@mÐ�<HJN9CB4<¥2^9C7:<HOf<>`�68I�L'7:Of@V`T=?hV7:Ð�<>U%9CB�IK9g9CB4<SD;@V7TLM9g=4<>L'UC7:9zX�@�O � 7_U

Ö ��(#� 7 1 ���� :5? � Ö A <H9;J :��YÖ � �

� A �"��*� � 7 ( "" " �

Ï B'7_Ug7TUg<>U�U;<>L(9C7_I�`T`:X¤9CB4<�=4<>Sj@V68G/@VU�7:9C7:@VL¬=�34<E9;@�'©IKJC9C`T<H9;9 [#&^]��NB'7TSvBWU;9CIK9;<>UF9CB'IK9i9CB4<+<>`:<>68<>L(9CU � " % IKJC<7TL'='<HG/<>L�=4<>L(9H] � �" "Q7TU �7 ( " � �H]�I�L'=�9CB'<�@$A�3�='7_IKh�@VL'I�`�<>`:<>68<>L(9CUgIKJ�<+U;9CI�L'='IKJv=WL4@�J�68I�`_UHÔÏ B'<+J�7:hVBM9 : Ð�<HJ�9C7TSHI�` A IKJCJC@�� 7_UNI�@VL4<;3�9;@$3�@VL4<868IKGR@�O � @VL(9;@?9CB4<¥U;G�I�Sj<°@�O�U;X1686�<H9;Jv7TS+68IK9;Jv7TSj<>UHÔ

��7TI°9CB4< - I�Sj@�5�7_I�L?@�O�9CB4<&I©B'@V`:<>U2�^X8OfI�Sj9;@�Jv7K1>IK9C7:@VLW7TL Ï B'<H@�JC<>6 X ÔTYK]U�¯<ESHI�L�=4<HJ�7:Ð�<�9CB4<WD;@V7TLM9©='<>L'UC7:9zX@�Od9CB4<�<>`:<>6�<>LM9CUgOf@�JNI�J�<>I�` Q 7_UCB'IKJC9g68IK9;Jv7<:/Ô Ï B4<�Sj@V6�G�`:<;:�SHI�U;<�7_U%I�L'I�`:@�h�@V3'UHÔ Ï BM3�UH]

� � �0� ( � � � .,� � %�2/"D�)# �J"0� 2/�VK % � �/.,�1�B� �B'�B"D�/��% ��� '���V� 2� �+�-%�' 8J:5<>=@?*A 2O�Y

Ö � 7 1 � � � :5? � Ö A <H9;J :��YÖ 8 A : =4<H9 8 A �

7 (#��( ��� 1 � = : X Ô' A

X &

Page 36: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

�`.S2/� � �B%�� �Y'���V� 2� �+�-%�' �8J:5<>=@?*A � 2/� 2O�Y

Ö � 7 ���� :5?*A <H9;J :��YÖ 8 A : =4<H9 8 A

7 (#� � : X Ô N A

Õ SH34J�7:@V3�Ui@�5�U;<HJCÐKIK9C7:@VLZ7TU�9CB'IK9+�iB4<>L ? � < 7TLR9CB4<8Sj@V6�G�`T<;:,SHI�U;<�]@�J ? � < I Y�7_L±9CB'<�JC<>I�`SHI�U;<�]M9CB4<g=4<H9 8 9;<HJ�6µÐKI�L'7TUCB'<>UH]VI�L'=¥9CB^3'Ud9CB4<%@$A�3�='7TIKh�@VL'I�`4G�IKJ�I�6�<H9;<HJ�U�IKJ�<N7TL'=4<HG�<>L'='<>L(9�I�UC7T=4<©OfJC@V69CB4<+Sj@VL�U;9;J�I�7TLM9%9CB'IK9g9CB4<�68IK9;J�7<:¤5/<�G�@VUC7T9C7:Ð�<�U;<>687<3�=4<jb/L'7:9;<�Ô

� ��� � ���d��� ������������ ����%�#�����a���a�����

0i<HJC< �¯<+SHI�`TSH3'`TIK9;<�9CB'<SDy@V7_L(9g=4<>L�UC7:9C7:<>U¯@�Od<>7:h�<>LMÐ�I�`T3'<>U%O�@�JNJC<>I�`�I�L'=WSj@V68G�`:<;: Q 7TU�B'IKJC9%68IK9;J�7TSj<>UiI�L'=>�I�3'U�UC7TI�L¨<>L�U;<>6+5�`:<>UHÔ Q <±5�<>`T7:<HÐ�<¬9CB'7TU87TUA9CB4<Wb�J�U;9�9C7T6�<±9CB'IK9�I�`_`%9CB4<>U;<RSHI�`TSH3'`TIK9C7:@VL�UAB'I~Ð�<±5�<H<>LhVIK9CB4<HJC<>=±7TL?@VL4<EG�`TI�Sj<EI�L'=�hV7:Ð�<>L¬I�UNSj@�JC@V`T`_IKJ�7:<>U©@�Od9CB4<EUCI�6�<+9CB4<H@�JC<>6�Ô �

� �� � (�� � �H�B���/.,� � � ��� � K�'�'Y� �V�+2 T � < �0< '���V� 2� � . � � � � � %�2/"D��#S�B"0�+2V�VK � *," T �V2P%�" D : � A�`.S2 T . 2O�12/" � ���+2P��"D�\* ":#S�J�Y%��J�/. % � %�"$��� �+2/' 24� ��� 2/�VK3�V�!��"0� �B%�� '1�&�V2V%�"C�J6 � .,�B" �/.,� � %�2/"D� #S�B"0�+2V�VK % ��/.0�< �B2 � �J" � ��� *C�J��% � � � B � � B � � ����� ��B � 2O�

� � < 1 �� � :5< � Ö A D : � A "�$&% : B " � B % A � : X Ô£\ A

I � �H24"C� � � �S# � � 2O� ���J� ' 2/�V2P��" ��"$# D : � A 2O� 2/" � ��� 2P��"D�N* ":#S�J� *,"C2V����� K5�+2/' 24� ��� 2/�VK �V�-��"0� �B%�� '���V2V%�"0� � �/.,�B"�/.,� � %�2/"D�)# �J"0� 2/�VK 2O� � � � ��( ����� � :5<HA D : � A "�$&% : B " � B % A � � : X ԣ[ A

� �-% % � Ï B4<+G'J�@M@�OdOf@�JNJC<>I�`68IK9;J�7TSj<>UiO�@V`_`:@��NUNO�J�@V6 Ï B4<H@�J�<>6 X ÔTY�5MXW7TLM9;<Hh�J�IK9C7TL'h89CB4< ��Sj@V6�G�@VL4<>LM97TLÎ9CB4<A<>7:h�<>LMÐKI�`T34< - I�Sj@�5�7TI�L�]Q7¶ÔÄ<�Ô:]Q6°3'`:9C7:G�`TX^7TL'h�5^X¢9CB4<AÐ�@V`_3'6�<8@�O� 7 ; 7 I�L'=Î9CB4<>LÎ=�7:Ð^7_='7TL4h?5^X Ö � =UC7TL�Sj<7��<�I�UCUC3'6�<A9CB4<�b�J�UC9EJC@���@�O �²7TU�L4@VL�3�L4<HhVIK9C7TÐ�<�Ô Ï B4<8Sj@V6�G�`:<;:¢G'J�@M@�O%7TUEI�L�I�`:@�h�@V3'UH]�5�349+�¯<6°3'U;9g='7:Ð17T=4<F5^X : Ö � A � Of@�Jg9CB4<+IKJC5�7:9;J�IKJCX�G�B'I�U;<>U%@�O�9CB4< < <>`T<>6�<>L(9CUN7TL�9CB4<�b�JvU;9%JC@��ª@�O ���Ô� �7 ������5�� �� (�� ��� .,� � %�2/"D�)#S�J"0� 2/�V2�� �5% � �/.,���J2 � �B" � ��� *D� � B � � ����� � B � % � �/.,�5�+K�' 'Y�B�V� 2 T � ���J� ' 2 �

l>m *+ [�! '.���@'.��� �L/*��'TN >bM #�'LH���VTN >����@#�Ab #�! '&���� e 'Ahi9

X

Page 37: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

�V2P��"���-��"$#&%�' '���V� 2 T � ��# � � ":�Z#U24" � � T �V2P%�"��S6��U���-�8J:5<>=@?*A

� � <��� :5< � Ö A � � :5? � Ö A <;:1G :��

YÖ�� B " A B � 7 (#��( ��� 1 �" "�$&% : B " � B % A : X ÔTY�� A

�����Y

Ö 7 1 � � 7"��*� � : � � Ö A <;:1G :��YÖ � B �" A "�$&% : B " � B % A : X ÔTY�Y A

�8 :5<>=@?*A Ö (#� 7 � � � ��( ����� � :5?*A �� � :5<HA <;:1G :��

YÖ � B " A B 7 (#�" "�$&% : B " � B % A � : X ÔTY Ö A

��� �Ö 7 � 7 ( ��� 1 �� 7 1 � � 7"��*� � : � A <;:1G :�� � B �" A "�$&% : B " � B % A � = : X ÔTY X A

�`.,�B�-� �/.,� *,"C� �SXZ�B� �Z#3�+*,'�� ��"$# �$�-% #�* T �/� � *," �+�-%�' � � Y ��% < 6 �<%�� �/.0� � 24�Z. ���J� T �^�B�J� �5�/.S24� 24��/.,� � %�24"$� #�24� �V� 2PXB*,�V2P%�" % � �/.,� "$%�" � ":� � ���V2 � � �J2 � �B" � ��� *D� � � �`.S2/� � �B%�� �/.,� � ��* �Z� 2V��"��J"C�B�J'YXB� �J� ���/.0��J2 � �B" � ��� *D� � '��K XZ����"CK��`.,�B�-�Y%�" �/.,��� � ���N� 2/":� 6

Ï B'< D;@V7TL(9©=4<>L'U�7:9�X¥Of@�J¯9CB'<N<>7:h�<>LMÐ�I�`_34<>U¯@�O�JC<>I�` Q 7TU�B'IKJC9�6AIK9;J�7TSj<>UM�¯I�U©=4<HJ�7TÐ�<>=�7TLA9CB4JC<H<�7TL'=4<HG�<>L�3=4<>LM9�G�IKG�<HJ�Ui7_L Y>[ X [¤5^X / 7TU�B4<HJ>] 0iU�3�]�I�L'= $g@~X�Ô - I�6�<>U�7_L!Y>[ �WSj@V68G�349;<>=R9CB4<9Dy@V7_L(9�='7TUC9;J�7:5�349C7T@VLOf@�Jg9CB4<E6�@�JC<�h�<>L'<HJ�I�`�SHI�U;<�@�OdIKJC5�7:9;JvIKJCX�Sj@mÐ�IKJ�7_I�L'Sj<+68IK9;J�7_Sj<>UHÔ¯2^<H<Y[ Ö N�]�Of@�JgJC<HOf<HJC<>L'Sj<>UNI�L'=�I�UC34JCÐ�<HX@�OQU;@V6�<�@�O�9CB'<+JC<>`TIK9;<>=±B'7TU;9;@�J�X¤7TL¬6�3'`T9C7:Ð�IKJv7TIK9;<EU;9CIK9C7TU;9C7_SHUHÔ Ï B4<�<>e^3'7:ÐKI�`:<>L(9iSHI�`TSH3'`TIK9C7:@VL�Ug7TL�G�BMX1UC7TSHU�¯<HJC<�b�J�UC9¯G�<HJCOf@�J�6�<>=?5^X Q 7ThVL4<HJN7TL¢Y>[ Ö [#& "�]�Ô

X N

Page 38: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� � � ���������������� �� �2�.�a�������*) � � �����/�a����� " �.�a'0���

Ï B4<gUC9CI�L'='IKJ�=�6�<H9CB4@1= : ='34<g9;@ >F@V`T345AI�L�=ELEI�B'I�L A O�@�J¯Sj@V6�G�349C7TL'h�9CB4<NUC7TL'hV3'`TIKJQÐKI�`T34<>UQ@�O�I�h�<>L'<HJ�I�`68IK9;J�7K: � 7TU%9;@8b�J�U;9%JC<>=�3'Sj<E7:9g9;@85�7T='7TIKh�@VL'I�`�Of@�J�6.9CB'JC@V34hVB�@�JC9CB'@�h�@VL'I�`�9;J�I�L�U;O�@�Jv68IK9C7:@VL'UHÔ %zO � 7TUgIJ�I�L'='@V6 >�I�3'UCUC7_I�L¢68IK9;J�7<:�]�9CB4<�JC<>U�3'`:9C7TL4h¤J�I�L'='@V6 5�7T='7TIKh�@VL�I�`�6AIK9;J�7<:±9CI$��<>U�I�G�IKJC9C7_SH3'`TIKJ�`:XWU�7T6�G�`:<Of@�J�6�Ô

� �� � (�� ( I � � 2O� � :5<>=@?*A � �/.,�J" � 24� %��J�/. % � %�"$���/� K � 24' 2/� ������% ��" < XBK ? '���V� 2�

���������

�?7 � ����� �� ��( � � 7 ( � � �6 6 6 6 6 6 666 666

� � � 7 ( � ��( ��� � ����� �

����������= : X ÔTY " A

�`.,�B�-� �8�% ��"$# � �% ���-�W#�2O�J�V�+2�XJ*0� �Z# �^� � � ��� 2V�SXB� �J���_2V�/. � # � � � �Z�J� % � �+� �Z�Z#&%�' � 2V6V� 6 �" ��6 � � .0��J� �J'Y�B"D�/� .,�J� � ��� �1���/�<"$%�" � ":� � ���V2 � � ��"$#U24":#S� �0�B"$#S�B"D��6

Ï B'<�7T=4<>IN@�O'9CB4<¯G'JC@^@�O47TU�9;@FG�<HJCOf@�J�6 9CB4<©U;9CI�L'=�IKJ�= 0i@V3'U;<>B4@V`_=4<HJ9;JvI�L'U;Of@�J�68IK9C7:@VL'U@VL�9CB4<�JvI�L'=4@V668IK9;J�7K:/Ô¬2^<H< [ "'YJ]�@�J [ "(\^]�Of@�J�=4<H9CI�7_`TUHÔ,I¯@V6�G�3'9C7TL4h�9CB4<AU�7TL4hV3'`TIKJ+Ð�I�`T3'<>UE@�O%IW5�7_='7TIKh�@VL'I�`�6AIK9;J�7<:Z7TU6°3'S�B?`:<>UCU¯Sj@VU;9C`:XA9CB'I�L�Sj@V68G�349C7TL4h�9CB4<>6 O�@�J©I¥=4<>L'U;<F68IK9;J�7<: :� :5? � A @�G�<HJ�IK9C7T@VL'U�7_L8G'J�I�Sj9C7_Sj<�]^JvIK9CB4<HJ9CB'I�L � :5?D�!A@A ]�UC@W9CB'7TU�9CB'<H@�JC<>6 SHI�LÎ5�<83'U;<>=¢9;@RU;G�<H<>=Z34GZJ�I�L�=4@V6 68IK9;J�7K:R<;:1G�<HJ�7T6�<>LM9CU�@VLÎ`_IKJCh�<HJ68IK9;J�7_Sj<>U : 9CB4@V34hVB,��<+=�7T=?L4@�9%b�L'=?9CB'<EL4<H<>=�9;@A=4@�U;@87TL?9CB4<+Sj@V3'J�U;<E@�O�9CB'7TUS�¯@�J#� A Ô

Q <°I�`TU;@8B'I~Ð�<+9CB4<ESj@V6�G�`:<;:?I�L�I�`:@�hV34<�] � �� � (�� . I � � 2O� �� :5<>=@?*A � �/.,�J" � 24� *,"C2/�����+2/� K �+2/' 24� ������%U��" < XJK ? '���V� 2�

���������

� � 7 � ����� �� � � ��( ��� � � � 7 ( ��� � �6 6 6 6 6 6 666 666

� � � � � 7 ( � ��( ��� � � ����� �

����������= : X ÔTY!& A

�`.,�B�-� �/.0��"$%������V2P%�" 24���^�524" � .,�Z%��-�B' �S6 � 6}� >@'.A���S(!*/.\(D(!*� �� < &+����(��!��6�B+(!�����K���?&H #`/�+ '&�.A�P(!*� -&H����(��!��6+B+(!����K�A"��J��B�CJ�E�A"|�!c�B�.A�! >�D�A" ��(=.���&�.A�=&z�����!C3.A���>9

X \

Page 39: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

/ J�@V6�9CB'<>U;<i9CB'<H@�JC<>68UH]��¯<FSHI�L¤7T686�<>=�7TIK9;<>`:X¥@�5'9CI�7TL�9CB4<�7TL(9;<HJ�<>U;9C7TL4hEOaI�Sj9CU©9CB'IK9¯9CB4<i='<H9;<HJ�687TL'I�LM9@�O�IZ68IK9;J�7<: O�J�@V6 8;:5<>=@?*A B'I�U�9CB4<¬=�7TU;9;J�7:5�349C7:@VL �7 �7 ( � ����� �7 (#� � � � : Ï B4<WL4@�9CIK9C7:@VL¨JC<HO�<HJvU�9;@9CB4<8='7_U;9;J�7:5�3'9C7:@VLW@�O�9CB4<�G'JC@1='3'Sj9�@�O�JvI�L'=4@V6 ÐKIKJ�7TIK5�`:<>UR�N7T9CB,9CB4<�7TL'='7TSHIK9;<>= � =�7TU;9;J�7:5�349C7:@VL'UHÔ A / @�JI868IK9;Jv7<:¤OfJC@V6 �8J:5<>=@?*A = 9CB'<E=4<H9;<HJ�687TL�I�L(9gB'I�UN9CB4<E='7TUC9;J�7:5�349C7T@VL �� 7 �� � 7 ( ��� ����� �� � 7 ( � ��( ��� � � 217TL'Sj<9CB4<�<;:1G/<>Sj9;<>=?ÐKI�`T34<�@�O�I�JvI�L'=4@V6 Ð�IKJv7TIK5�`:<R�N7:9CB?='7TUC9;J�7:5�349C7T@VL �

�7_U �/]��¯<�@�5'9CI�7TL?9CB'IK9©9CB4<�<;:1G�<>Sj9;<>=

ÐKI�`T34<�@�O�9CB4<+=4<H9;<HJ�6A7TL'I�LM9g7TU 7��� 7 (#� � � 7TL?9CB4<EJ�<>I�`�SHI�U;<+I�L'= Ö � 7��

� 7 (#� � � 7TL?9CB4<ESj@V68G�`:<;:�SHI�U;<�ÔGF9CB'<HJ+68IK9;J�7<:RJC<>='3'Sj9C7T@VL'U�@�O�>�I�3'UCUC7TI�L¢6AIK9;J�7TSj<>UEI�`TUC@WB'I>Ð�<¤UC7T6�G�`T<�Of@�J�68UHÔ Q <A68<>L(9C7:@VL'<>=¢9CB4<

'©IKJC9C`:<H9;9g=4<>Sj@V68G/@VU�7:9C7:@VL?7TL 2^<>Sj9C7:@VL X Ô X �NB�7TS�B¤hV7:Ð�<>U©9CB4<E=�7TU;9;J�7:5�349C7:@VL�@�O � I�L'=�� 7:O�9CB'<�6AIK9;J�7<: �7TU�OfI�Sj9;@�JC<>=¤I�U¯I�L8@�JC9CB4@�h�@VL�I�`�68IK9;Jv7<: � 9C7_6�<>U�I�L�34G'G�<HJ�9;J�7TI�L'hV3'`TIKJ�68IK9;Jv7<:��¥Ô Ï B'7TUQJC<>U�3'`:9�B'I�=�I�`TU;@5�<H<>L¤@�5�U;<HJCÐ�<>=?5^XE'©7:J#�1B4@$A±I�L'= >�3�`TIK9C7?[Ä[�]�Ô Ï B4<�U;9CI�L'='IKJv=�6�<H9CB'@^=¤Of@�JgSj@V6�G�349C7TL'h+9CB4<�<>7:h�<>LMÐ�I�`_34<>U@�OgIWh�<>L'<HJ�I�`�UCX^6868<H9;J�7TS868IK9;Jv7<: � 7TUE9;@±b�J�U;9+JC<>='3'Sj<¤7:9E9;@R9;J�7T='7TIKh�@VL�I�`QO�@�Jv6 9CB4JC@V3'hVBÎ@�JC9CB'@�h�@VL'I�`UC7T6A7T`TIKJ�7:9zX¥9;J�I�L'U;Of@�J�68IK9C7:@VL�UHÔ %zO���<�=4@°9CB'7TU¯Of@�J©I°J�I�L�=4@V6»U;X^6A6�<H9;J�7TSF68IK9;J�7<:�9CB'IK9%7TU¯O�JC@V6 9CB4< > G �@�J&>*H � ]�9CB4<¥JC<>U�3'`:9C7TL4h¤J�I�L'='@V6 9;Jv7T='7TIKh�@VL'I�`d68IK9;Jv7<:±I�`TU;@?9CI$��<>U�I?G�IKJC9C7TSH3'`_IKJ�`:X�UC7T6�G�`:<+Of@�J�6 �NB'7_S�B7TU%6�<>LM9C7:@VL4<>=¬7TLW[ "(\�]�Ô

X [

Page 40: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� ��������� �� � � � � � � � ��� ����� � � � � � � � ��� ������ �����

��� ������������ � U"!"# �%$'& ! �%(*) U (,+ ! �����.- !"# �0/1�2�0�%3,�0)5476,89&�� U (,+�:;� U � 6 #<! /16 !"# �9=.� U � 6>4,��$?�@�0)BAC) (>DE)F�9) ! � # / U(,+HG@(*) 6,8JI?(*8 X ) (*/1�96,8 U�KML7N*O 6,) �P�9) ! � # / U (,+�QR+S6UT26,) UVKML1Y.OXW $'& ! D��Y� 604,�Y)�( !FU �@�0)P6,) X =@8%( U �0�Z+S( # /�.-[I # � UCU �9(*) U �\) ! � �]8\� ! � # 6 ! & # �,^`_a) ! � � U =b� 67I ! � #0W D��]DE�\898'�9) ! �@3 # 6 ! � ! ����c"(*�9) ! �0�93,�0)d476,89&��e� � U<!"# �%$'& ! �9(*)(,+ # �06,8J:f� U � 6 #<! /16 !"# �9=.� Ug! (�(,$ ! 6,�9) ! ���V�.-[6,= !ih[jak : I # (,$'67$l�989� !zX � �0) U � !zX +m& ) = ! �9(*)lno(,+ ! � � U /p6,898%� U"!�0�%3,�0)54U6,8\&��,^eq�( # =.(*)d4,�0)'�%�0) =.� W D�� # �@D # � ! �r+s( # /V& 896 : L ^ Y@N ni+S( #g! � �V�0�93,�0)d476,89&�� U�tvu]wyx@x@xzw{t�|}w~N6 U � |�� �[�7����������� ��� � |��%� u t ��U� � � | � u��� ��S�5� : t �?� t � n�� tvuzx@x@x � t | = :S� ^ Y nDE��� # � � � u|�� �����¡  �¢¤£ |�¥a¦ |��9� u5§ : ? �©¨?ª Y  n § : < ��¨�ª Y  n x :S� ^   n«r¬®­ ¯ °²±�³"´?µ"¶�·�¸zµb·�´�¹�µbºg´?¹�»E¸v·�³¤¼0½i¸¾´?¿Y¹ÁÀ�Â�¼Ã½E¼ÅÄ�Æ]Ç�ÈÉ U �9)�3 U;X /1/�� !"#�X,W � ! � U �06 U;XÊ! ( U �@�r$ X �9) ! �@3 # 6 ! �9)�3 :S� ^ Y n ! � 6 !i! ����I # (,$l67$'�989� !zX ���0) U � !�X +m& ) = ! �%(*)Ë+S( #! ��� U /16,898%� U"! �0�%3,�0)5476,89&�� t ÌHÍMÎ � U

Ï �0Ð�Ñ Ò : t n � � |�� �:5< � Y n®Ó t � � � | � u��s¥a¦ � � � ¥a¦

� N

Page 41: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� ����� � � ����� ���� � � � ¥a¦ �u� �s�5� � � � u� t �?� t � � � u��9� u : t �?� t n t � � � | � u��\¥a¦� � t � =DE��� # � � � ��� : t u = x@x@x = t | � u n�� t ��� t��*x�� ( ! �9=.� ! � 6 ! D�� # �0/�(>4,�0� ! ���E6 # $l� !"# 6 #CX ( # ��� # �\)�3e(*) ! ��� t �6,) �Z=.( #b# � U I?(*) � �9) 3*8 X � �%4[�9���0� ! ���r���0) U � !zX $ X :5< � Y n®Ó x�� (�D W I?� # +S( # /1�9) 3 ! ���r=b� 6,)�3,�r(,+`4U6 # �\67$'8%� U� � � t �?� tvW D���(,$ ! 6,�\)�����������! #"%$'&#(*) h[j"k,+ak.- (*)./103254647)1/ - )98;:<)9=�>?254A@�) t ÌHÍMÎ +ak 2B032 -%C 8ED k1C+ 0 8;:GF>=@? n 8H/� |�� �

:GF �JI n®Ó tLK �7��� �� � � � |o¥a¦#��� �#� �M| � u��9� u : � �'ª t n K �,�#� �� N ��O = :S� ^ L n

P (*) C ) N �RQËu� �S�5� � | � u � �¡� � � TS �<O � �VU : � u n x@x@x �VU : � � � u n S �VU : � n � � � �XW ¥a¦ � � S 2�= jY- (Z)[8G= - )9\: C 2 - 8 + = - 2?]^)1/ h 4;2^_`) + >5) C.- (*) h*+ /18 - 8G>5) +�C1- (�2�= - S � | � ua ��� : � u = x@x@x = � | � u nb� � � w N��<c_ ! �7d ! ���1�9) ! �@3 # 6,8��9) ! ���18%�0/p/16Ë67$�(�4,� ! � 6 ! D���DE�7d<� ! ( &') ��� # d ! 6,)'�v^�:Ã�p� 6>4,�p)�( ! d"�@�0) ! ����Iv��+�.-[I # �edfd"�0�B�9) ! � �Hd�+S( # / �9) ! ���289� ! � # 6 ! & # �,^hgi(>D��@4,� #0W 6�d ! � � # �ed ! (,+ ! � �7d�=®� 67I ! � # �98989&�d !"# 6 ! �ed WJ! � �7d+S( # / �7d�=.(*)54,�0) �%�0) ! +S( # (,$ ! 6,�9)'�9)�3 ! �����.-�6,= ! Iv��+�^«r¬i jf¿Y¹ÁÀ�Â�¼Ã½E¼ÅÄ Æ]Ç�È ¼0½E¸Rk lnmpoVm'q�����Y=@6�d"� F � ? �7d ! ���V=@6�d<�V(,+��9) ! � # �ed !g! (�4,(*) � �0& /16,)') W�r � # AC��(5s W 6,) �ut[/16,8%� W 6�d]���ed<= # �9$��0�P�9)tC�0= ! �%(*)   ^ I ^]_a) ! � �Hdi=@6�d"� W?! ���Y�9) ! �@3 # 6,8`�9) :S� ^ L n ! & # )Xd�(*& !i! (hd<6 ! �7d<+6v ! ���Y� �Es?� # �0) ! �96,8J�ew5& 6 ! �9(*) +S( #! ��� � # �9=.(*/p�?+S& )'= ! �%(*)v^xzy ��{�|?���} ~"�$ u &#(*) h[jak�+ak.- (*)./103254647)1/ - )98;:<)9=�>?254A@�) +"k 2B0[2 -%C 8;D k1C�+ 0 8;:GF>=F n 86/

Ï �0Ð�Ñ Ò : t n � F�   ¢ § � F ª�I  £ t � u�¥a¦ � � � |�¥a¦?� : F ��I  = � I  = t��   n x��(*)�=�� � N 25= j���� I S - (*)�& C 8%_ + 0�8 k @*=�_ - 8 + = S � : � = � =f� n = 86/ - (Z)B@�=�8%�e@X)[/ + 4�@ - 8 + = -�+�� @*0�0�) CZ� /)f�e@X2 - 8 + = � � ¦9�� � ¦ ª : � � � n � �� � � � � � N = :S� ^ � n���������1� �1�?�`� ¡X¡��?¢���¢�£¥¤`¦¨§5©�¢ª�Z�n«�¡��?¦¨¬*¡��?¢�¬�¦¨¬�­9¤`®¨®?¬%¡¯¤f¡�¢�£°¢�§�¡�¬*®T¤`±�¢�®¨¢©�¤`¬Z¡��?¢��n��¢�£°¬*��¢�²���¢�¬�¢�§�¡X§?¢ª³3��¢�¬�� ®´¡�¬�µZ¶G£°²��n��¡¯¤`§�¡��¢�¬�� ®¨¡�¬�«����1£·¡��?¢¸®¨¦´¡�¢ª�¯¤f¡�� ��¢¹¤n��¢¹®T¤`±�¢ª®T¢�©º¤`¬~² ���`²��1¬�¦´¡�¦¨�1§ ¬�µ

� I

Page 42: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

/92 - 8H/ k�� 8G=<: � : � = � = N n � § : I�� � n � § : Ioª � � � n 25= j � : � = � =�� n � NXc� C+e+ak � � ! � : t n � � � ��� �M

| � u��9� u : � � ª t n � u�¥a¦ N �<O x� & # 3,(*6,85�Hd ! (ºd<��(>D ! � 6 ! � : t��   n#db6 ! �7d��'�ed :S� ^ � n®^`:Ã��DE�\898*)��@�0�r6i89� !"! 8%��/�( # ��)�( ! 6 ! �%(*)v^ � � ! N �� N ¦DE��� # � ��� Q | � u�%� ¦ � u � � � 6,) � N ¦ � Q ¦1� �s�5� � | � u � �?� � � ^oq & #b! ��� #0W 8%� !EÏ� � �� � � � : � �oª t n � 6,) � � � Q | � u�9��� : � �?ª t nb� �� ^ � 6�d ! 8;v W 8%� ! ��O � �^U : � u n x@x@x �^U : � | � u n]6,) �Ã��O ¦ � �^U : � ¦ n x@x@x �^U : � | � u n®^r �08%(>D}D����.-[I # �ednd � W ��� W 6,) � ��� � &Xd<�\)�3 ! �'�7de)�( ! 6 ! �%(*)v^��g898 ! ���1�\) ! �@3 # 6 ! �9(*)Xd�6 # ��(�4,� # � | � ua W 6,) �dv[/1/�� !"# vË�7d�&Xd<�0�ÊDE���0)ËI?(^dfd<�9$'8%�,^

� � � u N ��O� � � � F �JI  � Ï�� � ��� �u ¦ N ��O� � � � :GF �JI n :GF �   n� � Ï � � � ��u Ï � � � ��¦ �� N �<O ª L� :GF ��I n � Ï � � ����u ¦ N �<O x

t[�9)'=.� u � : t ª � u n Ï � � � � �u ¦7W D���� 604,�� � � � u®Ï�� � � � �u ¦ N �<O ª t � Ï�� � � ��u ¦ N ��O� �   tF �JI � � ª � Ï u"� � ��u ¦ N ��O� �   tF �JI � � ª � Ï ¦ � � ��u ¦@� �XW � ¥a¦ N � � u ��O ¦� �   tF �JI � � �   � Ï ¦ � � � �u ¦ �� � u � � �XW � ¥a¦ � N � � u ��O ¦� �   tF �JI � � ª   � �� � u � Ï ¦ � � � �u � ��� �XW � ¥a¦ ¦ N ¦ � � u �<O ¦�x

�����]896�d ! 89�9) �i�7d ! ��� # �ed<&'8 ! (,+ �9) ! �@3 # 6 ! �%(*)�$<v2I'6 #<! d@^���� �g� �;s�� # �0) ! �96 ! �%(*)23*�%4,�ed ! � # �@� ! � # /�d W d"( ! � 6 !� � �   tF �JI � � ª � � Ï � � � ��u ¦ N �<O � L � Ï u"� � ��u ¦ N �<O ª   :GF �   n � � u� u � � ¦ Ï � � � � �u ¦ N �<O

� � :   t ª�� n ���F ��I � L � Ï u"� ����u ¦ N ��O ª   :GF �   n � � u� u � � ¦ Ï � � � � �u ¦ N ��O x :S� ^��*n�  

Page 43: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

_a)d4,�ed ! �93*6 ! �9)�31�06,=®�Z(,+ ! ��� 67$?(>4,� ! D�(2�9) ! �@3 # 6,87d W D�� �l)'�� Ï u"� ����u ¦ N �<O � � Ï � � � � �u ¦ N �<O � t � Ï � � ����u ¦ N ��O = :S� ^��*n

6,) �� � u� u � � ¦ Ï�� � � ��u ¦ N �<O � � � u : � ¦ ª t n� u � � ¦ Ï�� � � ��u Ï�� � � ��¦ � N �<O� t � � u� u � � ¦ Ï�� � � ��u Ï�� � � ��¦ � N �<O =

$?�0=@6,&Xd"� W � W �W � �XW � �7d�6,) ! ���¯dv[/1/�� !"# �\=7^H:Ã� =@6,) &Xd<� ! � � �9���0) ! � ! v W �W � �XW � ª W �W � �XW � � I 6,) �hdv[/1/�� !"# v ! (�9) ! �@3 # 6 ! � ! �'�7d�896�d ! �.-[I # �edfdb�%(*)v^H:Ã��(,$ ! 6,�\)� � u� u � � ¦ Ï � � � ��u ¦ N O � t � � u� u � � ¦ Ï � � � � �u Ï � � � � �¦ � N O� t   � Ï�� � � ��u Ï�� � � ��¦ �� N O x :S� ^��,n

:Ã�zd<&�$�d ! � ! & ! � :S� ^��*n�6,)'� :S� ^��,n��\) ! ( :S� ^��*n W�# �@I'8\6,=@�9)�3 ! ��� �\) ! �@3 # 6,8Hd�DE� ! � ! �����.-[I # �edfd<�9(*)Xdo+s( # ���6,) � ��� � W 6,) � ��) 6,898;v # �edb=@6,8%� � � t��   ! (Ê(,$ ! 6,�9)¤�ew5& 6 ! �9(*) :S� ^ � n®^ �g898 D��1)�(>D )��@�0�Ã�Hd � : N ngDE� �\=b�� 6�dr6,)©�9) ! �@3 # 6,) �©(,+ ! ���1+S( # / :S� ^ I n�DE� ! � F 6,) � ? # �@I'896,=.�0�Ã$�v F � I 6,) � F ª I ^Yt[�9)'=.� :S� ^ I n�9) ! �@3 # 6 ! �ed ! ( I W D�� � 6>4,� � : N n � � � u| � u"� | a u :GF �JI n®Ó W 6,) �P=@8%�06 # 8;v � : � n � N ^o������=.(*)Xd ! 6,) !i! � # /�9) ! ��� I?� +¡�7d ! ���0) � |E� |� | � u"� | a u § :GF �   ª I n§ : L^�   n � F  | � u�¥a¦ § :GF n§ :GF �   n � F�   ¢ § � F ª�I  £ =6,) � ! � � ! ���@( # �0/Á�Hd�I # (�4,�0�v^«r¬�� jf¿Y¹ÁÀ�Â�¼Ã½E¼ÅÄ Æ]Ç�È ¼0½E¸Rk lnmpoVm ��q� d�D�� # �0/16 # A,�0�F6 !�! ���2�0) �Ã(,+ tC�0= ! �%(*) L ^   W �%+ ? � F ª I ! ���p�08%�0/��0) ! d (,+ ! ���1:f�7d<�'6 #<! /16 !"# �%-6 # �p�\) ���@I?�0) ���0) ! 6�d<�9����+ # (*/ ! � �p=.(*)Xd !"# 6,�\) ! (,+oI?(^d<� ! �94,�1��� �l) � ! �0) �edfd@^p���'�7de8%�06,�Xd ! ( 6ZI'6 #b! �9=@& 896 #d<�9/1I'89�9=@� ! vp�9) ! ��� db/16,898%�ed ! �0�93,�0)d476,89&���� �Hd !"# �%$'& ! �%(*)v^

� L

Page 44: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

xzy ��{�|?���} ~"��p&#(*) h[jak.+ak - (*) /10[2�4647)1/ - )�8E:�)9=X>5254�@�) +ak 23032 -%C 8;D k`C+ 0 8;:GF>=F ªJI n 8H/ Ï �0Ð�Ñ Ò : t n �| ¦ � � � |�¥a¦ S 8 c ) c S F t ÌHÍMÎ 86/z)fD h*+ =�)�= - 8%2�464 �Ëj 8H/ -%C 8��9@ - ) jVc� C+e+ak :f���0) ? � F ª I W�! ��� �9) ! �@3 # 6,8��\) :S� ^ L n��7d��9)'���@I?�0) ���0) ! (,+ tzx _�) +m6,= !@W ( ! ��� #p! �'6,) ! ���=.(*)Xd ! 6,) !@W�! ���g(*) 8;v ! � # / �7d � � � |�¥a¦ x �����]=.(*)Xd ! 6,) ! /V&Xd !�! ���0)�$?� F �   +s( #�! ���g+s( # /r& 8\6 ! (Y$?�i6rI?� +�^:f���0) F � I ! �'�7d # �ed<& 8 ! �Hd !"# �%4[�96,8 W $'& ! � ! �Hd¥d<& # I # �7d<�9) 3 ! � 6 ! � ! �Hd !"# &��e+S( # 6,898 F ^

�,�

Page 45: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

«r¬ « jf¿Y¹ÁÀ�Â�¼Ã½E¼ÅÄ Æ]Ç�È ¼0½E¸Rk lnmpo��zq���¸v¹���±Y¸��?µ<½gº�_a) ! ���p896�d !�! D�( d"�0= ! �9(*)Xd W D��13*6>4,�2�.-[I'89�\=@� ! +s( # /r& 8\6�de+s( # ! ���pIv��+�(,+ t ÌHÍMÎ Di���0) ? � F �7d N ( # I ^_a)�tC�0= ! �%(*) � ^��1D�� 3*�94,�V6,) �.-[6,= ! �.-CI # �edfd<�%(*) DE���0) ? � F �7d   ( #eLCW $'& ! )�(p�.-�6,= ! �.-CI # �edfd<�%(*)Xdi6 # �A[)�(>DE)Z+s( # ( ! � � # =@6�d"�ed@^����5&�d W D�� +s(*& )'�Ê� ! )��0=.�edfd<6 # v ! (���� # �%4,�e6 # �0=@& # d<�%(*)Ë+S( #�! ��� � �0)Xd<� ! �%�ed0^��� ��+s(*8\8%(>DE�\)�3 ! ���@( # �0/ �7d�(*) ��(,+ ! ���EI # �9) =@�%Il6,8C=.(*) !"# �%$l& ! �%(*)XdH(,+ ! � �Hd ! ���ed<�Hd@^J:Ã�ºd ! 6 ! �]� ! �9) ! � �7dd"�0= ! �%(*)P6,) �ËI # (�4,�r� ! �9) ! � � )��.- ! ^xzy ��{�|?���} ~"� &#(*) h[jak +ak - (*) /103254647)1/ - )98;:<)�=X>?254A@�) +ak 2 032 -%C 8ED k`C+ 0 8J:GF>=@? n 86/� |�� ��t � � � | � u��\¥a¦ � � � |�¥a¦ : t n = P (*) C )

: t n �� ����� |�� � : t n 8 k ? � F 86/ +0j*j S�e|�� � : t n � : t n ª � |E� � : t n � � : t n 8 k ? � F 86/z)9>�)9= c

�z) C ) � : t n 86/ - (*) & C 8%_ + 0�8 k @�=�_ - 8 + = � : | � u¦ = � u¦ = � ¦ n S 25= j � � : t n 8H/b8 - / j ) C 8G>?2 - 86>�) S � | � u� � : | a u¦ = u¦ = � ¦ n x&#(*) )nD h�C )1/`/`8 + =Z/�� |�� � : t n = �e|�� � : t n = 25= j � |E� � : t n 2 C ) hZ+ 4 � = + 0z8�254�/ P 8 - ( C 2 - 8 + =�254�_ + )��J_�8�)9= - / P (<8%_�(2 C ) j ) - ) C 0�8G=�) j � �3C )f_e@ C /`8 + =Z/º:�8G>5)9= �n)�4 + P c &#(*)�_ + =Z/ - 25= - � |E� � 8H/� |�� � ��� F   | � | � �7�s¥a¦ § :@:GF ª�I n �   n§ : I �   n

� � |��®� u § :�� �   n§ :@:GF ª � n �   n =P (*) C ) ���   |�¥a¦ � u 8 k ? � F 86/ +0j*j 25= j   � u�¥a¦ 8 k ? � F 86/z)9>�)9= c� )��i=@6,)14,� # �%+GvY$<v�=.(*& ) ! �9)�3rI?(>D�� # d�(,+ ¢ 6,) �   ! � 6 ! � |�� � �7d # 6 ! �9(*) 6,8�DE���0) ? 6,) � F � 604,�g(,I I?(^d<� ! �I'6 # � ! v,^ _�+ F 6,)'� ? 6 # �Ê�@4,�0) W � |�� �   u�¥a¦ �7d # 6 ! �9(*) 6,8 W Di� �98%�Ê�%+ F 6,) � ? 6 # �Z([� � W � |�� � :   ¢ n u�¥a¦ �7d# 6 ! �%(*)'6,8 ^������e� # �9=.(*/1�?+m& ) = ! �%(*) � : � = � =f� n��7d ! ����=.(*)���&��0) ! �<vCI�� # 3,�@(*/�� !"# �9=]+m& ) = ! �%(*)Ê� �ed<= # �%$?�0�Ë�9)� � 67I ! � # I L (,+ K I O 6,) � � � 67I ! � # � � (,+ K � LUO ^��� � ���@3 # �@�r(,+ � |�� � �7d u¦ :GF �JI n :5? � F �JI n = DE� �98%� ! ���r���@3 # �@�edi(,+ �e|�� � : t n�6,) �Y� |�� � : t n�6 # �6 ! /1(^d ! u¦ :GF � I n :5? � F n®^°gi� # �r6 # � ! ��� # �0=@& # d<�%(*)Z+s( # /V& 896�dE+s( # =.(*/�I'& ! �\)�3 � |�� �'W 3*�%4,�0) � |�� � � ¦7W( # �e|�� � 6,) �h� |�� �'W 3*�%4,�0) �]|E� � � ¦ 6,)'�h� |E� � � ¦ �

� �

Page 46: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

��������|����G{��¯{�|� �� � � =�� � � � = �������� � � � � {��������� � � |�� � � ¦q�( # ¨ � I ! ( F �JI� � � � : t ª ? ��¨ n � � � u �   tF �è � �� � u ª t : ¨¡�JI n ? �©¨¡�JIF ��¨ � � � ¦

� |�� � � � � | � u � � ������ ���� �"! �e|�� � � ¦� |�� � � ¦$#q�( # ¨ � I ! ( F �JI� � � � : t ª ? ��¨ n � � � u �   tF �è � �� � u ª t : ¨¡�JI n ? �©¨¡�JIF ��¨ � � � ¦

� IF ��¨�%&' N | � u¦  t t ª�I)(+*, � � � u =! �e|�� �� |E� � # � � ��| � u-.��0/��6�1��^���e���2�� |�� | a u � I = �]|E� | � I = 6,)'� � |�� | � N[x

:Ã�2+s(*& )'�Ã� ! 4,� # vÃ=.(*)d4,�0)'�%�0) ! ! (P=.(*/�I'& ! � ! ���ed"�1I?(*8;v[)�(*/1�96,8Hd : 6,)'��6,87d"( ! � �1/�(*/��0) ! d�(,+ ! ���� �7d !"# �%$'& ! �9(*)1���ed<= # �9$��0�2�9) � � 67I ! � # � n�&Xd<�\)�3 ! ��� dv[/r$�(*8\�9=�I'6,=bAU673,�43¤6 ! ���0/16 ! �\=@6 K � N7O ^������53¤6 ! � ��0/16 ! �9=@61I # (,3 # 6,/3dE67I I?�06 # �9) �iI I?�0) � � - �r^

� �

Page 47: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

«r¬�� � ¸v½�½E¼�½i¼�jf¿Y¹�½E¸v¹�° «V¬ ���� �@( # �0/ � ^ L �HdEI # (>4,�0�¤$<vP=.(*/ $'�\) �9)�3 ! � �V8%�0/p/16�dg(,+ ! � �7d d"�0= ! �%(*)v^]:Ã�Y$?�@3*�9)Z$�v �9) !"# ([� & =@�9)�3d"(*/��,d<�9/�I'8\�%+6v[�9)�3r)�( ! 6 ! �%(*)Z+S( #�! ����/V& 8 ! �94U6 # �\6 ! ���9) ! �@3 # 6,87d ! � 6 ! 6 # �e(,+`�\) ! � # �ed ! ^

�h��� �� / �G{� ~"�$���) -�� � � � � � ��� �M Ï : t n N ��O =

P (*) C ) - (*),8G= - )�: C 25= j1Ï : t n 8H/: � u ª t n� x@x@x : � � ª t n�� �� �� - ) C 0z/ : � � a u ª t n� � u x@x@x : � � a ��ª t n� � u

� �� �� - ) C 0z/ : � � a � a u ª t n� � ¦ x@x@x : � | ª t n� � ¦� �� �| � � � � � u - ) C 0z/ x

��@ C9- (*) CYj )��L=�) - (*) +®h ) C 2 -�+5C� � � � K O � � � ��� �M Ï : t n N �<O x

� ( ! �9=.� ! �'6 ! 3*�%4,�0)F6PI'6 # 6,/�� ! � # F : DE�'�9=b�©D���(*/1� ! + # (*/ ! ����)�( ! 6 ! �%(*)ln W � � � � �7d 6P+S&') = ! �%(*)Ã(,+ t ^:Ã�hd"(*/�� ! �9/1�ed�/167A,� ! � �7dr�.-CI'8\�9=@� ! $�v�D # � ! �9)�3 � � � � : t n x ������d<&�$�db= # �%I ! d ¨ 6,)'� � 6,) � ! �����\/�I'89�9=@� !I'6 # 6,/1� ! � # F �©¨ � � � I 3*�%4,� ! ���Y)5&'/ $?� # (,+ ! � # /3di(,+R���@3 # �@��� W � ��I W 6,)'��� �   # �ed"I?�0= ! �%4,�08;v,^����� ! ( ! 6,8J)5&'/ $?� # (,+ d<& =®� ! � # /3d��Hd : ¨ n ª :�� n ª :GF ��¨J� � � I n � F �JI ^_a) ! � �7d�) ( ! 6 ! �%(*) W D�� =@6,) # �@D # � ! � :S� ^ L n�6�dÏ �0Ð�Ñ Ò : t n ��� |�� � t � � � |�¥a¦ ��| � u"� � : t n = :S� ^ � n

DE��� # ��� � � � | � u¦ 6,) � � |E� � � � |�� �X� :GF �JI n®Ó%^_ ! �7d�6,8 # �06,�Zv¤(,$54[�%(*&Xde+ # (*/ :S� ^ L n�( # :S� ^ � n ! � 6 ! �%+ ? � F �7d�6,)Ã([� ���9) ! �@3,� #0WJ! ���0) � | � u"� � �7d�6I?(*8;v[)�(*/1�96,8 ^`��� �Hdo+S6,= ! Do6�d�(,$�d"� # 4,�0�Z&Xdb�9)�3Y( ! ��� # /1� ! ��(C��d��9) KML7N,O 6,) � KML � O ^��� �Z�9) ! �@3 # 6,87d�D�� 6 # � 67$?(*& !1! (B=.(*/�I'& ! � 67I'I��06 # =.(*/�I'89�9=@6 ! �0� W $'& !V! � � )��.- ! 8%�0/1/16Ã/p67A,�ed�.-[I'89�9=@� ! � (>DRdfvC/1/1� !"# vÃ=@6,)©$?�p&Xd<�0� ! ( d<�\/�I'89�%+Gv ! ���0/Z^ É d<�9) 3Ydv[/1/�� !"# vÃ�7d�6,)©(*89� !"# �9=<A DE� �\=b�Do6�dE/�(^d !�# �0=.�0) ! 8;vËI?(,I'& 8\6 # �%G@�0�Ë�9) ! � �7d�=.(*) ! �.- ! �9) K � O ^���������! #" � � ) (�25>�)

� � � � K ��� O � ����� � a u"� � � u � t � � � � 8 k ¨ � ��� ¨?ª ��=� � � � a u � t � � � � 8 k ¨?ª � � � � F x :S� ^��*n

� �

Page 48: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� k[- (*) - ) C 0,/ : ��� ª t n 25= j : ��� ª t n (�25>�) - (*)3/�250�)B)nD h*+ =�)9= - 86= - (*)�86= - )¯: C 254�/��¯8 c ) c S � +�- ( � 25= j��k 25464 P 8 - (V8G= + =�) +ak,- (*)�_�4 + /�) j 86= - ) C >?254�/ K I = ¨ O S K ¨�ª�I = ¨zª � O S +�CrK ¨?ª � ª�I =F ��I O�� S - (*)�=� � � � ���������� � ����� � N = :S� ^ I N n�� � � ������ � ����� � I  ��� � � = :S� ^ I�I n� � � �� � ¦���� � ����� � � � � � K ��� O*x :S� ^ I   n

� C+e+ak � w5&'6 ! �%(*) :S� ^��*n �Hdr89� !"! 8%�2/�( # � ! � 6,) ! ����d ! 6 ! �0/��0) ! � � � : � � ª t n � t ^¤��� ���9) ! �@3 # 6,8��9):S� ^ I N nR4U6,)'�7d<���edbd<�9) =.� ! � �i�9) ! �@3 # 6,) �2�7dR6,) ! �7dv[/1/�� !"# �\=��9) ��� 6,) � ��� ^H�����g�9) ! �@3 # 6,8'�9) :S� ^ I�I n�+S(*898%(�D d+ # (*/ ! � �V�9� �0) ! � ! v W��W � �XW�� ª W �W��s�XW � � I 6,)'� dv[/1/�� !"# v,^i�����V�9) ! �@3 # 6,8J�\) :S� ^ I   ni+S(*898%(>D dE+ # (*/ :S� ^ I N n6,) � ! � ���9���0) ! � ! v W ��W��@�XW � � ��� � W��nW �W��.�XW � ^_a) ! ���Z)��.- ! 8%�0/1/16 W D��Ê3*�%4,�ÊI # �089�9/1�\) 6 # v # �0=@& #<# �0) =.� # �0896 ! �%(*)�dr+S( # =.(*/�Il& ! �9)�3 � � � � ^B:Ã� d<6ev� I # �08\�9/1�9) 6 # v��e$?�0=@6,&Xd<�iD��]DE�9898�d<��( #<! 8;v # �@I'896,=.�g(*& # � # d !�# �0896 ! �9(*)pDE� ! ��6Y/�( # �i�.T2=@�9�0) !o# �0=@& #b# �0) =.��9)54,(*8%4[�9)�3���� # �%476 ! �%4,�ed�(,+ ! ��� # �08%�@4U6,) ! I?(*8;v[)�(*/1�96,87d0^���������! #"� &#(*),8G= - )�: C 2�4T/ � � � � /92 - 86/ k ��- (*) C )n_�@ C1C )�=�_`) C )94;2 - 8 + =Z/

� � � � � : t ª   � ª � ª   � ª   n � � � u"� � a u � t : � ª   : � ��I n"n � � � u"� � ª : ¨¡��I n t � � � ¦ � � a ¦ = :S� ^ I L n� �� � � � � u� � | � � � u = :S� ^ I � n

P (*) C ) �1� F ��¨¡� � �JI c� C+e+ak �E���Bd"�0=.(*)'�©�ewC& 6 ! �%(*)B�7d �9/p/��0� �96 ! �1+ # (*/��g� �l) � ! �%(*) � ^ I ^ �¡(¤I # (�4,� :S� ^ I L n W D���$��@3*�\)Ã$<v(,$�d"� # 4C�9) 3

� � � � � t � � � u"� � a u ª � � � u"� � a u K � � O =$�v # �@I'896,=@�\)�3 ¨ DE� ! � ¨l� I 6,) � � DE� ! � � ª I �\) :S� ^��*n®^�:Ã�]=®��(C(^d"� ! ���g4U6 # �\67$'8%� � � +S( # 6,)Ë�9) ! �@3 # 6 ! �%(*)$�v1I'6 #<! do�9) ! ���e�9) ! �@3 # 6,8 � � � u"� � a u K � � OXx �E��� # �08%�@4U6,) !o! � # /3d�+S( #�! �'�7dR476 # �967$l8%�g�'604,� ! ���]+s( # / �   : � �dªt n � u Q �S� � � �®� ��� � ¦���� W � � �XW � ¥a¦ x �]&�� ! ( ! ����+m6,= ! ( # d (,+ � ¦� 6,) � � �XW � ¥a¦ WU! � ���9) ! �@3 # 6,) �V476,) �7d<� �ed¡6 !`! ����0) ��I?(*�9) ! d W 6,) �rD��o)��@�0�V(*) 8;v�=.(*/�Il& ! � �� W ��� : � �'ª t n � u Q � ��� ��� � ¦�! � �XW � ¥a¦ ^ t��9) =.� �� W � � �.� ��� �� �

Page 49: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� �?� ��� � : � �v� ��� n = D���=.(*) =@89& � �� � � � � t � � � u"� � a u ª   % '   � � � u"� � a u ª : � �JI n � � � u"� � K � � a � O ª�� ������ � � � u"� � a u � �� ��� ��� � (, =� : t ª   � ª   n � � � u"� � a u �   t : � � I n � � � u"� � ª   � ������ � � � u"� � a u � �� � � ��� �(,$ ! 6,�9)'�9)�3 ! ��� ! � # / +s( # � � � u"� � K � � a � O + # (*/ :S� ^��*n®^

� 6�d ! 8;v W D�� =@6,89=@& 8\6 ! �  � � � u"� � a u � �� ��� ��� � � �����

�����

t � � � ¦ � � a ¦ �%+ I � ��� ¨ =� � � u"� � a u �%+ ¨ � � � ¨?ª � =  � � � u"� � a u � t � � � u"� � �%+ ¨?ª � � ��� F x

�����ed<�1�ew5&'6 ! �%(*)Xdr+s(*8989(>D + # (*/ � �0/1/16 � ^   ^Z������� # d ! �ewC& 6 ! �%(*)F=@6,)©$?�1��� # �94,�0��$�vÃI'& 8989�\)�32(*& ! 6+m6,= ! ( # (,+ : ��� ª t n�6,) �2&�d<�9)�3e$?( ! � :S� ^ I N nR6,)'� :S� ^ I�I n®^��E��� d"�0=.(*)'�2=@6�d"�]�7d :S� ^ I�I n��.-�6,= ! 8;v,^R�J(r� � # �%4,�! ��� 8\6�d ! =@6�d"� W D���I'& 8\8l(*& ! 6Y+S6,= ! ( # (,+ � �'ª tZ! (1(,$ ! 6,�9)   � � � u"� � W �� M��W � M�� �XW � � ª   t � � � u"� ��� W � M��W � M�� �XW � x�g)p6,8%3,( # � ! � /y=@6,)p$?��$'6�d"�0�p(*) :S� ^ I L n�$?�0=@6,&Xd"�i� ! 6,898%(�D dH+S( #�# �0�'& = ! �%(*)�(,+ ! ��� � # d ! �\) ���.- ¨ & ) ! �98D�� # �06,=®� N ^ �����0) :S� ^ I � nV6,898%(>D d &Xd ! ( # �0� & =.� � ! ( � � I x �E�5&Xd :S� ^ I L nr6,) � :S� ^ I � nr3*�94,�2&Xd ! ���/��06,)Xd ! (Y=.(*/�I'& ! � � � � � $�v # �0� & =@�\)�3 � !�! ( ! ���]=@6�d"�g(,+ � u� � | � u � � ( # � ��� � | � u � � ^H_a) � �0/1/16 � ^�� W D��i3*�%4,��.-[I # �edfd<�9(*)Xdo+s( #E! ���ed"� �9)'� ! �96,8?=@6�d"�ed@^

���������! #"E � k ¨?ª � � F � I ��8 c ) c S F ��¨¡� � �JI��� � S - (*)�=� � � � � : t ª   � ª � ª   n � � � u"� � a u �   t� ª�I �� t � � � u"� � a u ª t : ¨¡� I n : I�ª   �� ª�I n � � � ¦ � � a ¦ x

� C+e+ak �E����I # (,I?� #<! v ! � 6 ! ¨�ª � � F � I /��06,)�d : + # (*/ �g� �l) � ! �%(*) � ^ I n ! � 6 ! ! ���B�9) ! �@3 # 6,) �� 6�d¤�.-[I�(*) �0) ! d � 6,) � � �RI W $'& ! )�(;�.-CI?(*)��0) ! d � �   ^ � �0/1/p6 � ^ L 3*�%4,�ed � � � � �9) ! � # /�dP(,+� � � u"� � a u = � � � u"� � = 6,)'� � � � ¦ � � a ¦ x t��9) =.� : ¨R� I n ª ���� F � I W D���)��@�0� ! ( �.-[I # �edfd ! � �7d ! � # / � �Es?� # ��0) ! 8;v¤�9+�D��p6 # � ! (¤� 604,�p6 # �0=@& # d<�9(*) DE� ! �Ã)�(Ê�.-[I?(*)��0) ! d (,+ � �   ^1:Ã�p&Xd<� ! ����(,$�d"� # 4U6 ! �%(*) ! � 6 !DE���0) F �©¨¡� � � I � N[W�� t �� � u"� � a u � : ¨J�JI n�� ��� � ¦ � � a ¦ ª :�� ª�I n : � �JI n �� � u"� � =� �

Page 50: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

DE� �\=b�Ë=.(*/��ed�+ # (*/ � �Es?� # �0) ! �96 ! �9)�3Y& ) ��� #�! �����9) ! �@3 # 6,8�d<�%3*)z^ � (*/ $l�9) �9)�3 ! � �7d�DE� ! � � �0/p/16 � ^ LCW ! ���8%�0/1/p6��7doI # (�4,�0�v^���������! #"���� /n/`@*0�).86= j @X_ - 8G>5)94 �B- (*2 -

� ��� � ��� ��� � : t n � : t n ªg� : t n ��� : t n =k�+5CiN � ¨ � � ¨ 25= j ¨ � ª � � � F � I S P (*) C ) - (*) � � � 25= j i� � 2 C ) h*+ 4 � = + 0�8%2�4T/ S 25= j � 25= j � � 2 C )2?/ 8G=J&#(*) +5C )90�� c� Vc � k ¨vª � � F ��I = - (Z)9= P ) (�25>5)

� � � : t ª ? ��¨ n � � � u �   tF ��¨ � �� � u ª t : ¨J�JI n ? ��¨¡��IF ��¨ � � � ¦ � F � I  :GF ��¨ n � � u = � � : t ª ? �©¨ n � � u �   tF ��¨ �� � u ª t : ¨J�JI n ? ��¨z��IF ��¨ � � ¦ �   t � � � u ª : t ª I n g� � uF ��¨ x

� C+e+ak �E� �7dÊ+S(*898%(�D d � � # �0= ! 8;v;+ # (*/ � �0/1/p6 � ^ � 6,)'� ! ���B�'�Es�� # �0) ! �96,8��ew5& 6 ! �9(*) d<6 ! �7d �'�0�$�v � �  t � � � � : t ª�I n � � � | � u¦ � � N ^ : tC�@� I L ^ I ^ I �\) K I O n®^���������! #"�� � +�C ? � F +>j*j S - (*),86=�8 - 8�254�_`2?/�) � � I 8H/.2B0�@*4 - 8 h 47) +ak 2 �~2�:�@�) C1C ) hZ+ 4 � = + 0z8�254 S

� u� � | � u � � � F ¨ Ó  :GF ª�I n®Ó�� � | a ¦ � � �� : � t n =25= j � � �� : � � n � � �| � ��� � a � � |�� � | 86/ - (*) :<)�=�) C 254A8�� ) j �~2e:^@�) C1C ) h*+ 4 � = + 0�8%2�4 c � +5C ? � F )9>5)�= S @</186=�:- (*)[= +�- 2 - 8 + = +"k �#)�0�0[2�� c�� S - (Z)z86=�8 - 8�254 _n2?/e) � � I �   86/�2h_ + 0 ��86=�2 - 8 + = +ak �~2e:^@X) C`C ) h*+ 4 � = + 0�8%254�/25= j & C 8%_ + 0�8 k @*=�_ - 8 + =Z/ S

� ��� � | � u � � � � � � ªg� � � =� � � § :@:GF ª I n �   n ¨ Ó:GF �JI n®Ó �   ¢ � � | a u � � �� : � t n =g� � �   t § :@:GF ª�I n �   n ¨ Ó:GF �JI n :GF � I n®Ó �   ¢ � � | a ¦ � � �� � u : � t n =

� C+e+ak �E� �7d��7doI # (>4,�0�Z$�vË�9) � & = ! �9(*)v^Hq # (*/ :S� ^ � n�6,) �Z��� �@( # �0/ � ^   W�u�� | � u � � �| � u"� � � F � � u|�� | a u �   x

� N

Page 51: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

:Ã� ! ���0) I # (C=.�@�0� $�v �9) � & = ! �9(*) &Xd<�9) 3 � �0/1/16 � ^ � 6,)'� ! D�(Å�9���0) ! � ! �%�edp+s( # � 673*&�� #b# � I?(*8;v[)�(*/1���6,87d�� t � � a ¦<�� � ¦ : � t n ª : � ª�Ioª t n � � a u��� � u : � t n � ? � � �� : � t ni6,) � �� � � � �� : � t n � � � a u��� � u : � t n x ��� �7d=.(*/�I'89� ! �ed ! ���e([� �Z=@6�d"�,^q�( # ? � F �7do�@4,�0) W D��r)�( ! ��+ # (*/ :S� ^ � n�6,)'�Z�����@( # �0/ � ^ I�u�¥a¦�� | � u � � � u�¥a¦| � u"� � � F § :GF n  | � u�¥a¦ § :GF �   n � x

�i3*6,�9) W D��2=.(*) ! �9)C&��1$�vÃ�9) � & = ! �9(*)¤&�d<�9)�3 � �0/1/16 � ^�� 6,) � ! ��� ! D�(¤�9���0) ! � ! �%�ed�67$?(�4,�p+S( # � 673*& � #<# �I?(*8;v[)�(*/1�96,87d0^«r¬�� jf¿Y¹ÁÀ�Â�¼Ã½E¼ÅÄ Æ]Ç�È ¼0½E¸Rk lnmpoVm ��¸q©·�ºY k lnm o^m �� q�����eIv��+¡(,+ t ÌHÍMÎ Di���0) ? � F �   6,)'� L +s(*8\8%(>D d�+ # (*/ � �0/1/16 � ^��C^� {�| { 1 1G�X|�� ~"�$'&#(*) h[jak�+ak.- (*)./103254647)1/ - )�8E:�)9=X>5254A@X) +ak 2�032 -%C 8;D k`C+ 0 :GF>=F ª   n = 8H/Ï � Ð�Ñ Ò : t n � § : | a u¦ n�   ¢ � � ¦<�| � u : � t n � : F �JI  = � I  = t   n ª t   � � � �| � ¦ : � t n � : F ª�I  = I  = t   n � x&#(*) h[j"kz+ak - (*)./103254647)1/ - )98;:<)9=�>?254A@�) +"k 2B0[2 -%C 8;D k1C�+ 0 :GF>=F ª L n = 8H/

Ï �0Ð�Ñ Ò : t n � I  :GF ª�I n � � � �| � u : � t n x

� I

Page 52: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

«r¬�� �r±�° ° ·�¸��:Ã�Y89�7d ! 6,8\8 ! ���rIv��+��¨d�DE�'�9=b� D��VAC) (>D¾�.-[6,= ! 8;vP�9) � 67$'8%� � ^ I ^ �g! � � # Iv��+��¨dE=@6,)¤$?� =.(*/�Il& ! �0�P&�d<�9)�3! ��� # �0=@& # d<�9(*)�+s( # /r& 8\6�d�3*�%4,�0)��9)�t[�0= ! �%(*) � ^ � ^�_a) �iI I?�0) � �%- � W D��EI # (>4[�9��� 3¤6 ! ���0/16 ! �9=@6rI # (,3 # 6,/3d+S( # d<& =®�Z=.(*/�I'& ! 6 ! �9(*)Xd@^

�J67$'89� � ^ I �������eIv��+¡(,+ t ÌHÍMÎ �Hdo3*�%4,�0)Z$�v t � � � | � u��s¥a¦ � � � |�¥a¦�� : t n®^? � F � : t nN |¦ ��� � ��� � |o�� � |o¥a¦<� � : | � u¦ = � u¦ = t��   nI F �    � � � M �� �

¦�� � � � ¦<�| � u : � t n � : | � u¦ = � u¦ = � ¦ n ª � ¦ � � � �| � ¦ : � t n � : | a u¦ = u¦ = � ¦ n L u¦ � | a u�� � � � �| � u : � t n��� ��I?� +��¨d]+s( # F � L 3*�%4,�p6 # �@I # �ed"�0) ! 6 ! �%4,�2�98\89&Xd !"# 6 ! �9(*)P(,+ ! ��� ! � �13,�0)�� # 6,8�=@6�d"�,^�q`�%3*& # � � ^ II'8%( ! d ! ��� � �Hd !"# �%$'& ! �%(*)�+S& )'= ! �%(*)Xd�+S( # F � L 6,) � ? � L ="�3= x@x@x =   � ^ � )��r/1�%3*� ! �9/1/��0�'�96 ! �08;vË)�( ! �9=.�! � 6 !o! ���e� �7d !"# �%$'& ! �9(*)�3,� ! doDE�9��� # 6�d ? 3,� ! d�896 # 3,� # ^ � d"I?�0=@�96,8l=@6�d<�e(,+J�9) ! � # �ed ! (C=@=@& # doDE���0) F � ? x��� �Hd =@6�d<�E�7d`& )C&Xd<& 6,8[�9) ! � 6 !�! � ��I?� +'�7d`�9) �l)'� ! ��6 !�N[W DE� �989�R+S( # ? � F ª�I � ! 4U6,) �Hd<���ed`6 !RN ^ �i) ( ! ��� #& )C&Xd<& 6,8z+s�06 ! & # �rDE� �0) F � ? �7d ! � 6 !g! ���rIv��+H/�(*) ( ! (*) �9=@6,898;vÊ���0= # �06�d<�9)�3 W DE� �989��+s( # ? � F ª I � !�7do$?�0898��¯db� 67I?�0�v^

�  

Page 53: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

λ min

5 10 15 20

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

f

n=3

n=28

0

q`�%3*& # � � ^ I ��������� �0)Xd<� ! vp(,+ t ÌHÍMÎ +s( # : L =@? n W ? � L ="�3= � = x@x@x =   �

� L

Page 54: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� ��������� �

��� �Á� ��� ���������F� � ����� �������� � ������� �H����]¬®­ ¯ � �r° Àr´�½�´?µ � ��° ·�³b³<¹ � ´ ¹Rµ<»i¹Rº]¶�·�³b±Y¹ ¼0½i¸Rk lnm o �zq_a) ! � �7d,d"�0= ! �%(*) W D��2��� # �94,� ! ����89�9/1� ! �\)�3��'�7d !"# �%$l& ! �%(*)¤(,+ F t�ÌHÍMÎ DE� �0) F � ? 6,) � F! � ^Ê:Ã�+m& #<! ��� #g# �@4[�%�@D¾6 # �edb& 8 ! $�v�t[�\8%4,� # d ! �0�9) K � I OH! � 6 ! 3*�%4,�ed ! ����89�9/1� ! �9)�31� �7d !"# �%$'& ! �9(*)Ë(,+ t ÌHÍMÎ � F DE���0)F 6,) � ? 3,( ! (Ê�9) ��) � ! vÊDi� ! �P6 � -[�0� # 6 ! �%(�^ �E��� � # d ! � �7d !"# �9$'& ! �%(*)Z� �ed<= # �%$?�ed ! � �V$?�0� 6>4C�9( # (,+ ! ���d</16,8\8%�ed ! d<�9) 3*& 896 # 4U6,8\&���(,+�6 # 6,) ��(*/ dfw5&'6 # �1/16 !"# � - + # (*/�" :GF>=F n W DE� �\8%� ! � ��d"�0=.(*) �B���ed<= # �%$?�ed! ����$?�0� 6>4C�9( # +s( # 6p896 # 3,� # �0= ! 6,)�3*&'896 #E# 6,)'��(*/ /16 !"# � -Ë+ # (*/�" :GF>=@? n®^q # (*/Á�����@( # �0/ � ^ I W D�� =@6,)Z��� # �%4,� ! ����+S(*898%(�DE�9)�3[d !"# (*) 31=.(*)d4,� # 3,�0)'=.� # �edb& 8 ! ^xzy ��{�|?��� ��"�$'&#(*) h[jak +ak F t ÌHÍMÎ S P (*) C ) t ÌHÍMÎ 86/ - (*)�/10[2�4647)1/ - )98;:<)9=�>?254A@�) +ak 2 032 -%C 8ED k`C+ 0 :GF>=F n _ + =X>�) C :<)1/ hZ+ 86= - P 8H/e) -�+

Ï : � n � I�ª � �  � � � � � W ¥a¦ a W � =2?/ F� � c� C+e+ak q # (*/Á��� �@( # �0/ � ^ I W'! � ��Iv��+z(,+ � � F t ÌHÍMÎ �Hd

ÏU| : � n �$# F  ¢ § � F ª I  £ � � u�¥a¦ � �XW ¥a¦ � : F �JI  = � I  = �  F n x

� �

Page 55: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

������8\�9/1� ! (,+ ÏU| : � no6�d F� � +S(*898%(�D do+ # (*/ t ! � # 8\�9)�3 �¨d�+s( # /r& 8\6V6,)'�89�9/|�� �   ¢ � u�¥a¦ § : F ª    n � : F �JI  = � I  = �  F n � : I�ª � � n � � W =

DE� �\=b�Ê�7d�6Y476 # �96 ! �9(*)Ê(,+J�ewC& 6 ! �%(*) I L ^ L ^ L �9) K I O ^��� �V=.(*)54,� # 3,�0) =.�13*�94,�0)Ã�9)P�E���@( # �0/ �C^ I �7dg4,� # v +m6�d ! ^�q`�%3*& # � �C^ I I'89( ! d Ï | : � n Wv! �������0)Xdb� ! vZ(,+F t ÌHÍMÎ +s( # F � ? Di� ! � F � I =   = 6,) � � ^��]�%4,�0) ! � ��I # (0-��9/1� ! v©(,+ ! ���ed"�Z=@& # 4,�ed�� ! D�(*& 89�Å$?�I?(*�9) ! 8%�edfd ! (ÊI'8%( ! 6,)Vv¤(,+ ! �����9) ! � # /��0�'�96 ! ��=@& # 4,�ed@Ó q`�%3*& # ���C^   I'8%( ! d ! �������0)Xd<� ! v (,+ � F t ÌHÍMÎ 6,87d"(+S( # F � I =   = 6,)'� � ^�������� �0)Xd<� ! v2(,+ � F t ÌHÍMÎ � 6�d�476,) �7db� �9)�3�d<8%(,I?��6 !�! ���e( # �%3*�9)Ë+S( # 6,898 F ^:f���0) F �� ? W�! � �.d</16,8989�ed ! �0�%3,�0)54U6,89& �eD�6�di���ed<= # �%$?�0��$�vht[�\8%4,� # d ! �0�9) K � I O ^ |?{��¹{��� / �G{ ��"�$ � k F 2�= j ? - )�= jz-�+ 8G= �¹=�8 - � 86=�/`@X_�(32 P 2 �z- (�2 - F � ? - )9= j / -�+ 2,4A860�8 -���BK N = I O S- (*)�= t ÌHÍMÎ k9+�C :GF>=@? n /�2 - 8H/ ��)1/ uI? t ÌHÍMÎ � � : I�� � � n ¦ x : �C^ I n

� d`6,)r�.-�6,/�I'89� W �9+�D�� ! 67A,� ? �   F D�� �l) � ! � 6 !Rt ÌHÍMÎ � ? =.(*)54,� # 3,�ed�6,8\/�(^d ! d<& # �08;v ! ( L^�   � �  ��N[x N �¤6�d ?� � x q`�%3*& # � �C^ L I'8%( ! d ! ����� �0)Xd<� ! vÃ(,+ ? t ÌHÍMÎ +S( # :GF>=   F n +s( # F � L = � = I � =   I =   � x:f���0) F �   � ! � � ���0)Xd<� ! vË�7d°w5&'� ! ��) 6 #<# (�D�^ ¦

���#¢��¤n®¨®�¡��5¤f¡��%¤`®¨£°�`¬%¡ ¬�����¢����1§��9¢ª���`¢�§��ª¢��[£°¢¤`§ ¬ ¡��5¤f¡ �`§?®���¤�¬�¢ª¡ �`«¹£°¢¤n¬�� ��¢����`« ¡�� ¢º¬�¢ ���?¢ª§���¢�¬¥�n«¹�`���³~¦¨§?�£¥¤n¡���¦���¢ª¬~³~¦´¡�� � !#"$���1§��9¢ ���1¦¨§?��¡���% ©���¢�¬~§?�n¡~�5¤ �9¢¸¡��?¦¨¬�²����1²�¢ª��¡&��µ�(' ���5¤f¡�¦T�`§*),+�µ.- /��5¤n¬�±�¢�¢�§0���`����¢(�ª¡�¢© �`§ 1º¤���- +e­324�5�46b«A���`£�¡��?¢��`��¦¨�1¦¨§?¤`®7�9¢ª��¬�¦¨�1§¥³~�?¦��¯� ��¢¤`© �� 8 Ð�Ñ Ò ¤n¬�®¨¢ª«A¡~�?¤`§5©¬�¦T© ¢1µ:9z¢�¡��5¤n§�;0<1�1� § =��?© ¬��`§ �`«?>��`��¡�¢ª®@>�¢ª¡G³��`�A;e¬�«E�`�~¡�� ¦T¬B���n����¢��ª¡�¦¨�1§Vµ� �

Page 56: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

mλmin

m=1

∞m=

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

f

q`�%3*& # � �C^ I ����� �����0)Xd<� ! v2(,+ F t ÌHÍMÎ +S( # :GF>=F n W F � I =   =��

� �

Page 57: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f

mλ min

m=1

∞m=

q`�%3*& # � �C^   �����������0)Xdb� ! v�(,+ � F t ÌHÍMÎ +s( # :GF>=F n W F � I =   =��

� �

Page 58: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

20

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

20

minλ

f

/2mminλ

f

/2m

m=27

m= ∞

q �93*& # � �C^ L ���E���e���0)Xd<� ! v2(,+ t ÌHÍMÎ �   F +S( # :GF>=   F n W F � L = � = I � =   I =   �

� �

Page 59: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

�]¬i ¯ � �r° Àr´�½�´?µ �Á»E¹�½g° ¹`´?¸zµ �Á° ¹�·�º � ½E¼FÄ Æ]Ç È ¼0½i¸Rk lnm o �zq:f���0) ? � F>= �9)Xd"I?�0= ! �%(*)](,+ ! ����I # (,$'67$'�98\� ! vg���0)Xd<� ! v]3*�%4,�0) �9)e�E���@( # �0/ � ^ I d<��(�D d ! � 6 !�� : I �,t ÌHÍMÎ nz�7d�9) ��) � ! ��+s( # 6,898 F Wd! ��(*&�3*�YD���DE�9898�d<��(�D �9)3tC�0= ! �%(*) � ^   ! � 6 !�� : t ÌHÍMÎ n � N[x � � � F +S( # F 896 # 3,�,^`_a) ! � �7dd"�0= ! �%(*) W D���=@6,89=@&'896 ! � � : 8%(,3 t ÌHÍMÎ n W DE��(^d<�g�.-[I?(*)��0) ! �96,8v�7d ! ���]3,�@(*/�� !"# �\=�/��06,)Ê(,+ ! ���e� �7d !"# �%$'& ! �%(*)z^��� �Hd°w5& 6,) ! � ! v2�0) ! � # dE�\) ! ( ! ��� �@4U6,89&'6 ! �%(*)Ê(,+ � : 8%(,3��ln�3*�94,�0)Z�9) � � 67I ! � # �5^:Ã��$?�@3*�9)eDE� ! � 6 ! �0=b�') �9=@6,8 # �ed<& 8 ! =.(*)'=.� # ) �9)�3 ! � ��& ) �9+s( # /�\) ! �@3 # 67$l�989� ! vi(,+ ! ��� # 6,) ��(*/ 4U6 # �\67$'8%�ed8%(,3 : t ÌHÍMÎ n®^ : tC�@� K � O I¡^   � I +S( #�! ������� �l)'� ! �%(*)�(,+H& ) �%+S( # / �9) ! �@3 # 67$'�989� ! v,^ n��������� ��"%$'&#(*) C 25= j^+ 0 >52 C 8%2 ��4;)9/ � | � 89(,3 : t�ÌHÍMÎ n P (*) C ) t ÌHÍMÎ 86/ - (*)[/`03254G4;)9/ - )�8E:�)9=X>5254A@X) +ak 2032 -%C 8ED k1C+ 0 :GF>=F n S 0 ��� S � S c�c�c S 2 C )z@*=X8 k9+5C 0�4 � 86= - )�: C 2 ��4;) c� C+e+ak �E���g�'� T2=@& 8 ! �9�ed�DE� ! � ! ���e8%(,3*6 # � ! � /y+m& ) = ! �9(*)p([=@=@& # )��06 #�N 6,) �Ë)��06 # � ^������]=.(*) � � ! �%(*)p(,+& ) �9+s( # / �9) ! �@3 # 67$'�98\� ! v ! ���0) $?�0=.(*/��ed W +s( # 6,8\8�� � N�! ��� # ���.-[�7d ! dg6ËI?(^d<� ! �%4,�V)C& /r$?� # � : DE� �9=®� DE�9898$?� d</16,898SnR6,)'�Z6YI?(^d<� ! �%4,��)C& /r$�� # : DE� �\=b�ÊDE�\898�$��e896 # 3,��n d<& =®� ! � 6 ! +S( # F d<&[T�=@�%�0) ! 87v2896 # 3,�

� 8%(,3 � ÏU| : � n�� � � � =

DE��� # � ! ��� �9) ! �@3 # 6 ! �%(*)P�7d�(>4,� #g! ��� ! D�(2�9) ! � # 476,87d K N = � O 6,) � K =�� O ^ gi� # � ÏU| : � no�7d�6�di�9) ! ��� I # (C(,+(,+z�����@( # �0/ �C^ I ^�q�( # � � I W 8%(,3 � ÏU| : � n � �1� � u�¥a¦ 8%(,3 � +S( # F d<&[T2=@�%�0) ! 8;vY896 # 3,�,^bt[�\) =.� �1� � u�¥a¦ 8%(,3 ��7d��\) ! �@3 # 67$l8%� W D��r=@6,) =®��(C(^d"� � ! (�/167A,� ! ���r�9) ! �@3 # 6,8z+ # (*/ N1! ( � $��,d</16,898%� #�! �'6,)�� �   ^o�����r896 # 3,�� $?�0� 6>4C�9( # =@6,)Ê$?�e�@4,�0) /�( # ���06�d<�98;v2$?(*& ) ���0�v^xzy ��{�|?��� ��"�� � kit�ÌHÍMÎ 86/ - (*)./`03254G4;)9/ - )98;:<)�=X>?2�4�@�) +ak 2B032 -%C 8ED k1C+ 0 :GF>=F n = - (*)9=u2?/ F� �

� : 8%(,3 :GF t ÌHÍMÎ n"n �   � �   � u�¥a¦ � �u � � u�¥a¦�� �� ª�I � � � �.I x � � � � � x@x@x = : �C^   n

P (*) C ) � � N[x � � �   86/�� @*4;) C*� /._ + =X/ - 25= -�c� C+e+ak É d<�9) 3 ! ��� )�( ! 6 ! �%(*)Z(,+`�E���@( # �0/ �C^ I Wl! ����)5&'/ $?� # D��.d"�@�@AÊ�7d

89�\/|�� � � �� 8%(,3 � ÏU| : � n�� � xq # (*/ ! � �gI # �@4C�9(*&Xdo8%�0/1/16 W D��]=@6,)Ê�\) ! � # =®� 6,)�3,� ! ���e�9) ! �@3 # 6 ! �%(*)Ë6,) � ! � �]8\�9/1� ! db�9) =.� ! ���]+S& )'= ! �%(*)Xd

� �

Page 60: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

8%(,3 � ÏU| : � no6 # ��& ) �9+s( # /p8;vp�9) ! �@3 # 67$'8%�,^H:Ã� ! ���0)Ê(,$ ! 6,�\)� ��

8%(,3 � I�ª � �  � � � � � W ¥a¦ a W � � � x��� �Hd��9) ! �@3 # 6,8?=@6,)Ë$?�g/p6,) �%I'& 8\6 ! �0�p�9) ! ( ! ���e�9) ! �@3 # 6,8l3*�94,�0)Ê�9) : �C^   n�&�d<�9)�3r�ew5& 6 ! �9(*) � ^ L,L I ^ I �9) K   LUOXW$'& ! D���A[)�(>D~(,+ )�(Bd<�9/�I'89� # +S( # /Ê^H_a) ! � �Hdo+s( # / W ��(>D��@4,� #0W )C& /�� # �9=@6,8v�9) ! �@3 # 6 ! �%(*)Z�7d !"# �%4[�96,8 ^:Ã��)�(>D ! & # ) ! ( # �0= ! 6,)�3*& 896 # /16 !"# �9=.�ed@^�_a) ! ���p896�d ! d"�0= ! �%(*) W D���/��0) ! �%(*)��0� ! � 6 ! �%+ F 6,) � ?! �0) � ! (1�9) �l) � ! v1�9)�d<& =b�Ê6VDo6ev ! � 6 ! F � ? ! �0) �Xd ! (16Y89�9/p� ! ��W�! ���0) u| t ÌHÍMÎ � � : I�� � � n ¦ ^��E�5&Xd�D���.-[I��0= !xzy ��{�|?��� ��"� � k�t ÌHÍMÎ 8H/ - (Z) /`03254G4;)9/ - )98;:<)�=X>?2�4�@�) +ak 2z032 -%C 8;D�/�2 - 86/ k � 8G=<: - (Z) _ + = j 8 - 8 + =Z/ +ak � C�+ h*+ \/`8 - 8 + = �^c � S - (*)9=

� : 8%(,3 t ÌHÍMÎ � ? n � 8%(,3 : I�� � � n ¦ ª�� : I n x� C+e+ak q # (*/ Q # (,I�(^db� ! �%(*) �C^ I W � ! �7dºd<&[T2=@�9�0) !g! (Ê4,� # �%+Gv ! � 6 !e! ���Y476 # �967$'89�ed t ÌHÍMÎ5� ? 6 # ��& )'�%+s( # /18;v�9) ! �@3 # 67$'8%�,^ � � !�� � t ÌHÍMÎ5� ? x �i8\8�D��¤/V&Xd ! =b���0=bA �7d ! � 6 ! +s( # d"(*/�� ��6,) ���©���@I?�0) � �9) 3Ã(*) ��W����8%(,3 � Ï : � n�� � 6,) � � �� 8%(,3 � Ï : � n�� � 476,) �7d<�Ê6�d F>=@? � ^q`� # d ! D���$?(*& )'� Ï �>Ð�Ñ Ò : t n xÏ � Ð�Ñ Ò : t n � � |E� �[t �� � � � | � u�� � � � � ����� � � � ��� ���� �

� �� ��s�5� : t �?� t � n | � u��9� u : t �?� t n t ��U� � � | � u��� � t ��

� |E� �[t �� � � � | � u�� � � � � � � � �7� ����� ���� �� �� ��S�5� : t �?� t � n | � u��9� u t �� � � � | a u��� � t �� � |E� �� | � u"� � a u t �� � � � | � u�� � � � ¥a¦ =6,) �Ê+ # (*/ :S� ^   n W � |�� �� | � u"� � a u � ¢ ��   ������ � � | a u�� § : � a u¦ n§ :GF �   n § : � � | a u¦ n § : � � | a ¦¦ n x:Ã� ! ���0)Z� 6>4,� W +S( # � � I�� �lW

N w ����8%(,3 � Ï : � n�� � w � �5� |� � a u"� | � u ?]�� � � � | a u�� ���� 8%(,3 � � �� � � � | � u�� � � � W ¥a¦ � �

� N

Page 61: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� !�� � �? : I�� � n ¦ £ u � � � � � # �,¥a¦ x

� d ! �9/16 ! �9) 3 ! ��� ! 6,�\8R�7d�/V& =®�©�06�d<�9� # ^ � � !�� � 604,� ! ����� �7d !"# �9$'& ! �%(*)�� ¦� a | � u � ? ^ �g=@=.( # � �9) 3 ! (: L ^ I � n W D��g=@6,)Ë��� �l) �E6 I # (,$'67$'�98\� ! v�d"I'6,=.�]�9)1Di� �9=b� � � �?W 6,) �2� ! �7d�6,d !"# 6,�%3*� ! +S( # Do6 # ��6�dvC/1I ! ( ! �9=6,) 6,8;v*d<�7d ! (Bd<��(>D ! � 6 !�! ��� ! 6,�\8?4U6,) �Hd<���ed�6�d ? � ^

� I

Page 62: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

�]¬�� �r° ·�³b³<¹ � ´ ¹Rµb»E¹Rº]¶�·�³®±Y¹Á¸v¹��?±�³a´ �¾¼>½E¸ �k l`mpo��zq3¤6,)Vv1(,+ ! � � # �edb& 8 ! d ! �'6 ! D�� # �i� � # �%4,�0�2+s( # :GF>=@? nH� 6>4,� d !"# 6,�%3*� ! +S( # Do6 # ��6,) 6,8%(,3*&��ed�+S( # � :GF>=@? nDE� �\=b�ËD�� 89�7d ! ��� # �,^��� �Yca(*�\) ! � �Hd !"# �%$'& ! �%(*)F(,+ ! � �Z�0�%3,�0)54U6,89& �ed1(,+ � :GF>=@? n�D�6�dp3*�%4,�0) �\) L ^ I N ^;:Ã� # �@D # � ! � ! ���� �7d !"# �%$'& ! �9(*)2�9) ! � ��=.(*)d4,�0) �9�0) ! +s( # /

� |�� � � � �� � �� � ��� � |��9� u t � � |� ��s�5� : t � � t � n ¦ � t u x@x@x � t | = : �C^ L nDE��� # �

� � u|�� � �   |R� |��9� ud§ :5? ��¨vª�I n § :GF ��¨�ª�I n x : �C^ � n:f� ! �Z6,)Z67I I # (,I # �96 ! � !"# 6,)Xd"+S( # /16 ! �%(*)Ê6,) �YdvC/p/�� !"# v�D���(,$ ! 6,�9) ! � 6 !�! � �eI?� +¡(,+ t ÌHÍMÎ �7d

� |�� �:GF � I n®Ó t � � | � � � |o¥a¦ � � ��� �M

| � u��9� u : � �'ª t n � � | N ¦ �<O = : �C^��*nDE��� # � N � Q u� �s�5� � | � u : � �l� � � n W �<O � �^U : � u n x@x@x �^U : � � � u n W �VU : � n � � ¦ � �XW ¥a¦ W 6,)'� ! �����9) ! �@3 # 6 �! �%(*) ! 67A,�ediI'896,=.�e(�4,� #i! � �eI�(^db� ! �%4,�e( #<! � 6,) !@W � | � ua x � (*/�I'6 # � :S� ^ L n®^��� �V476 # �967$l8%� t (*) 8;v 67I'I��06 # diDi� ! � �9)¤6ËI?(*8;vC) (*/1�96,8z+m6,= ! ( # �9) ! �����9) ! �@3 # 6,8H�9) : �C^��*n®^����C&Xd ! ���=.(*/�I'89�.-�4,� # db�%(*)Ê(,+`�����@( # �0/ � ^ L �7d��9)Ë+m6,= ! d<�\/�I'8%� #o! � 6,) ! � � # �06,8v4,� # d<�9(*)v^xzy ��{�|?��� ��"; &#(*) h[jak +akb- (Z)L/`03254G4;)9/ - )98;:<)�=X>?2�4�@�) +ak 2 032 -%C 8;D k`C+ 0 � :GF>=@? n 86/ � |�� ��t � � | � � � |�¥a¦ � |�� � : t n =P (*) C ) � |E� � 8H/.2�_ + =X/ - 25= - 2�= j � |E� � : t n 86/.2 h*+ 4 � = + 0�8%254 +akVj )�: C )`) :5? � F n :GF �JI n x:Ã� �'604,��)�( ! D�( # A,�0�Ê(*& !�! � � # �0=@& # d<�%(*) ! � 6 !�! � �ed"�eI?(*8;vC) (*/1�96,87d�d<6 ! �7d"+Gv W $'& !o! �����9)'� ! �96,8'=@6�d<� �7d!"# �%4[�96,8 ^xzy ��{�|?��� ��" �p&#(*) j 86/ -%C 8 ��@ - 8 + = +"kb- (*)L/10[2�4647)1/ - )98;:<)9=�>?254A@�) +ak 2 032 -%C 8ED k1C+ 0 :GF>=F n 86/ Ï � Ð�Ñ Ò : t n �| ¦ � � � |�¥a¦ S 8 c ) c S F t ÌHÍMÎ 86/z)fD h*+ =�)�= - 8%2�464 �Ëj 8H/ -%C 8��9@ - ) jVc� C+e+ak �E���]I # (C(,+¡�7do�.-�6,= ! 8;v ! ��� db6,/��e6�d ! � 6 ! (,+ �E���@( # �0/ � ^   ^R_ ! �7d�I�� # � 67I�d d<& # I # �7d<�9) 3 ! � 6 !�! ���=@6�d"� F � ? �7d°d"(1/V& =b� db�9/�I'8%� # +S( #�# 6,) � (*/ =.(*/�I'8%�.-Ê/16 !"# �9=.�ed ! � 6,)Z� ! �7do+S( #�# �06,8z/p6 !"# �9=.�ed@^�q # (*/! � �7do+S( # /V& 896YD�� �9/1/1�0� �96 ! �08;v1(,$ ! 6,�9)

�  

Page 63: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� {�| { 1 1G�X|�� ��"�$'&#(*).)nD h )n_ - ) j 4 + :V2 C 8 - (<0 +ak - (Z) /`03254G47)1/ - )�8E:�)9=X>5254A@X) +ak 2�032 -%C 8;D k1C�+ 0 � :GF>=F n 86/� : 89(,3 :GF t ÌHÍMÎ n"n � 89(,3   � � � N[x I�I � � L�x@x@x,x� C+e+ak �E����67I I # (,I # �96 ! ���9) ! �@3 # 6,8z�7d � w5&'6 ! �%(*) � ^ L �   �\) K   LUO ^:Ã��)�(>D ! & # ) ! ( ! � �p=@6�d"�1(,+�896 # 3,� # �0= ! 6,)�3*& 896 # =.(*/�I'8%�.-Ã/16 !"# �\=.�ed@^2��� � # �ed<& 8 ! (,+ t[�9894,� # d ! �0�9): Q # (,I�(^db� ! �%(*) �C^ I n��'6�d�6�=.(*/�I'8%�.-Ê4,� # db�%(*)�� |?{��¹{��� / �G{ ��"�� � k F 2�= j ? - )�= jz-�+ 8G= �¹=�8 - � 86=�/`@X_�(32 P 2 �z- (�2 - F � ? - )9= j / -�+ 2,4A860�8 -���BK N = I O S- (*)�= t ÌHÍMÎ k9+�C � :GF>=@? n /�2 - 8H/ ��)1/

IF t ÌHÍMÎ � �   : I�� � � n ¦ x : �C^��*n� d��9) ! � � # �06,8z=@6�d"� Wl! ���e�.-CI?�0= ! �0�P8%(,3*6 # � ! � /Á��(5�edE)�( ! /1�7d"$?�0� 6>4,� W d"(1D�� =.(*) =@89&'�����

xzy ��{�|?��� ��"�� � k � 8H/,2B032 -%C 8ED�/92 - 86/ k � 86=<: - (Z)�_ + = j 8 - 8 + =Z/ +"k � C+®h*+ /18 - 8 + = �^c � S - (*)9=� : 8%(,3 t ÌHÍMÎ � ? n � 8%(,3 : I�� � � n ¦ ª�� : I n x

� L

Page 64: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� ��������� �

� � ��������� � ���� ������� � ����� � ������e¬®­ ¯ � �r° Àr´�½�´?µ �²³<·�¸v»E¹ � ´ ¹Rµ<»i¹Rº]¶�·�³b±Y¹ ¼0½i¸Rk lnm o �zq�����g896 # 3,�ed ! �0�%3,�0)54U6,8\&��i(,+J6 :f�7d<� 6 #b! /16 !"# � - : ( #o! ���g8\6 # 3,�ed ! d<�9)�3*& 8\6 # 476,89&��E(,+J6 �]6,&�dfd<�96,)�/16 !"# � -'n�7d�/V& =b� �06�d<�%� #�! (2���ed<= # �%$?� ! � 6,) ! � � d</16,898%�ed ! �0�%3,�0)d476,89&��,^R_�)ËI'6 #b! �9=@& 896 #0W � ! �Hd�)�(p8%(*)�3,� # )��0=.�edfd<6 # v! (Ë� �7d ! �9) 3*& �7d<�Ë$?� ! D��@�0) ! ���Y=@6�d"�ed F � ? 6,) � F �� ? x � dgD��Y� �9�P�9)PQ # (,I?(^d<� ! �%(*) �C^ I W D��VDE�7d<� ! (! 67A,�]896 # 3,�E/16 !"# �9=.�ed :GF>=@? n +S( # DE� �\=b� F � ? ! �0)'�Xd ! (r6r89�9/1� ! ��BK N = I O ^�:Ã�g=.(>4,� #o! ���E=@6�d"� F � ?$�v ! 67A[�9)�3 � � I ^�:Ã�r� 604,�V6,)�( ! ��� #�# �edb& 8 ! + # (*/ t[�9894,� # d ! �0�9) K � I OXW |?{��¹{��� / �G{���"�$ � k F 2�= j ? - )�= jz-�+ 8G= �¹=�8 - � 86=�/`@X_�(32 P 2 �z- (�2 - F � ? - )9= j / -�+ 2,4A860�8 -���BK N = I O S- (*)�= t Ì���� k9+5C :GF>=@? n /92 - 8H/ ��)1/

I? t Ì���� � : I�ª � � n ¦ x : �C^ I n_ ! �7dE�9) ! � # �ed ! �9)�3 ! (�=b���0=bAPQ # (,I?(^d<� ! �%(*) �C^ I �.-CI?� # �\/��0) ! 6,8\8;v,^�� 67AC�\)�3 � � I :GF � ? W'! � � I # (,I?( �d<� ! �9(*) d ! 6 ! �ed ! �'6 ! u| t Ì���� =.(*)54,� # 3,�ed��9) I # (,$'67$l�989� ! v ! ( � ^]:f� ! � F � I N,N[W D��Y=.(*/�I'& ! �0� t Ì���� � F+S( # I N,N,N /16 !"# �9=.�ed@^iq`�%3*& # � �C^ I I'8%( ! d ! ���V�0/�I'� # �\=@6,8¡� �7d !"# �%$'& ! �9(*)2+m& ) = ! �9(*) W DE�'�9=b�¤�7d wC& � ! �V=@8%(^d"� ! (63d ! �@I +S& )'= ! �%(*)ËDE� ! �hd ! �@I¤6 ! � ^

� �

Page 65: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

λmax

/m

F

q`�%3*& # � �C^ I �������e�0/1I'� # �9=@6,8?=@��+ (,+ t ���� � F +s( # :GF>=F n W F � I N,N

� �

Page 66: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

�e¬i ¯ � �r° Àr´�½�´?µ �Á»E¹�½g° ¹`´?¸zµ �Á° ¹�·�º � ½E¼FÄ Æ�� � ¼>½E¸ k lnmpo��zq������)��.- !J! ���@( # �0/{3*�%4,�ed ! ���R3,�@(*/�� !"# �9=R/��06,)r(,+ t Ì���� �9)�6,)V6,) 6,8%(,3,(*&�dJ/16,)')�� #z! ( ! ���RDo6ev���� �@( # �0/�C^   (,$ ! 6,�9)Xd ! ���p3,�@(*/�� !"# �9=2/1�06,)�(,+ t ÌHÍMÎ ^Z��� �Hd��7d W (,+�=.(*& # d"� W`! Di�9=.� ! ���23,�@(*/�� !"# �9=�/��06,)B(,+ ! ���896 # 3,�ed ! d<�9)�3*&'896 # 4U6,89& �e(,+ ! ���r=.( #<# �ed"I?(*) � �\)�3 �e6,&Xdfd<�96,) /16 !"# � -?^xzy ��{�|?��� ��"�$ � k F 25= j ? - )�= jh-�+ 8G= �¹=�8 - � 86=u/`@X_9( 2 P 2 ��- (*2 - F � ? - )9= j / -�+ 2�4A8G0z8 - � � K N = I O S- (*)�=

� : 89(,3 t Ì���� � ? n � 8%(,3 : I�ª � � n ¦ ª � : I n x� C+e+ak q`� # d ! D�� $�(*&') � ! ����Iv��+z(,+H/16U- WlÏ � Ð���� : t n`�Ï � Ð���� : � n �

� |E� �� | � u"� � � u � ���� � a | � � � � �XW ¥a¦ � ¢ u�¥a¦   � � K �,��§ :5? �   n § :GF �   n � ���� � a | � � � � �XW ¥a¦ x : �C^   n��� �Hdi$?(*& )'� Do6�d���� # �94,�0� +s( # F � ? �9) K � � O $�vP/16,)'�%I'& 896 ! �\)�3 :S� ^ I n®^1��� ��db6,/�� ! �0=b� )'�7w5& �ed]D�( # A/�( # � 3,�0)�� # 6,898;v,^� (>D 8%� ! � ���0)�( ! � t Ì���� � ? W 6,) � 89� !pÏ : � n =�� : � nr$?� ! ���Z=.( #<# �ed"I?(*) �'�9)�3 I # (,$'67$'�98\� ! v©� �0)Xd<� ! v+m& ) = ! �%(*)Ê6,) � =@& /r&'896 ! �%4,�����0)Xdb� ! v�+S&') = ! �%(*)v^`:Ã��$ # �067AË& I � : 8%(,3 � n � � ��

8%(,3 � Ï : � n�� � �9) ! ( ! � # �@��9) ! �@3 # 6,87d�� � ��ª � ��ª � ��+S( # 476,89&��edR(,+ ��6,)'� � ���@I?�0) �'�9)�3](*) ��W $l& ! )�( ! ? ^ r v � �0/1/16 � ^ I WC! � �i/1�9�'� 8%���9) ! �@3 # 6,8'67I'I # (*6,=b� �ed8%(,3 : I�ª � � n ¦ W 6,) �ÊD���I # ([=.�@�0� ! (�d<� (>D ! � 6 !E! ����( ! ��� # �9) ! �@3 # 6,87do4U6,)'�7d<�Ê�9) ! ���r89�9/1� ! ^

/��@� $ � � ��

� � !�� $?� ! ��� # 6,) � (*/ 476 # �967$'89�2��� �l) �0�©$�v u� : � ¦� ª � ¦| � u n®^ � (*)Xd<�9� � # �9)�3 ! � � � # d ! =.(*89&'/1)©(,+: L ^ I � ngD���� 604,�� � �� ¦ � t Ì���� w � ¦� ª � ¦| � u W � ^M�,^ � w � ^e_ ! +s(*8\8%(>D d ! � 6 ! � : � n � ���3: � n®^_a) ! �@3 # 6 ! �\)�31$�v2I'6 #b! d W

NYw � u�8%(,3 � Ï : � n�� � � � � u

� : � n� � � w � � u�

����: � n� � � � � u�8%(,3 � Ï �3: � n�� � x

����� ! � # /3d 89(,3 � ����: � n]6,) �B8%(,3 � � : � ngI # (C�'& =.�0�Ã$�v ! � �p�9) ! �@3 # 6 ! �%(*)�$�v I'6 #<! d 4U6,) �Hd<��6�d � N ^�����V+S( # /�� # =@6,) $?�r4,� # � �'�0�¤$<v &�d<�9)�3 ! ���V+S6,= !e! � 6 ! � � 6�d ! ����� �7d !"# �%$'& ! �9(*) ? � u � ¦� a | � u W 6,) � ! ���896 !"! � # +s(*8989(>D do+ # (*/ ! ��� +s( # /1� # ^� �

Page 67: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

�J(P=.(*/�Il8%� ! � ! � �26 # 3*& /1�0) ! D�� ! 67A,� F � F � W 6,) �©89� ! �©� ? ª F � � I W d<( ! � 6 !�� � 6�d ! ���� �7d !"# �%$'& ! �9(*) � ¦� � ? W 6,) � Ï �,: � n � � �,¥a¦<� � �� � � ¥a¦<� � � ¥a¦ � u � � � W ¥a¦ ^������0) WN�w � �

�8%(,3 � Ï � : � n�� � w :5? �   n � ¥a¦§ : � �   n ���

�: 8%(,3 � n � � ¥a¦ � u � : � �I�ª � n � ¥a¦ x

gi� # � ! ��� � �\) � �9=@6 ! �ed ! � 6 ! (*) 8;v ! � ���.-CI?(*)��0) ! �96,8`$?�0� 604[�%( # �Hd]A,�@I ! 6�d ? � ^ : � (*/�I'& ! �9)�3 ! ���6�dv[/�I ! ( ! �9=�dE(,+ ! � �7d��9) ! �@3 # 6,8¡�Hd # (*& ! �9) �g$l& ! )�( ! (,$C4C�9(*&Xd@^��¾3,(C(C� # �@+s� # �0) =.� �7d K � OXW =b� 67I ! � # �C^ n r v=b� (5(^d<�\)�316,)Vv � � : I�ª � n �7�,W D�� � 6>4,� ! ����� �ed<� # �0� # �edb& 8 ! ^ /��@� � � � ��q�( #Ã! � � db�9)�3*& 896 # � ! vf(,+ ! ���Å8%(,3*6 # � ! � /�6 ! � D��F&�d"� � �0/1/16 � ^   WY! ���F+S6,= ! ! � 6 !�Ï : � n �? Ï � Ð���� :5? � n W 6,) �Ê63d ! 6,)'� 6 # �Z6�dv[/�I ! ( ! �\=e6,) 6,8;v*d<�7d@^q�( # � � I�ª ��W

� ��

Ï : � nU8%(,3 � � � � � ��

� Ï : � n�� � � � �� �,¥a¦ :S� � � ? n Ï � Ð���� :   � n�� �

�¦� ¢ u�¥a¦§ :5? �   n § :GF �Z�   n � �� �,¥a¦ � K M � K � �� � �XW � �

� : � � � : � �dn u a � � � � n �,¥a¦ xgi� # ��673*6,�\) W � �\) � �9=@6 ! �ed ! � 6 ! (*) 8;v ! �����.-CI?(*)��0) ! �96,8�$?�0� 604[�%( # �7d�A,�@I ! 6�d ?� � ^ r v ! 67AC�\)�3 �: ���@I?�0) � �\)�3r(*) � n db&[T2=@�%�0) ! 8;v28\6 # 3,� W D�� =.(*) =@89& � �ºd ! �@I   ^

� �

Page 68: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

�e¬�� �Z·�¸v»i¹��'´ ¹Rµb»E¹Rºe¶o·�³®±Y¹²¸v¹ ��±�³"´ �¾¼0½E¸ �k lnmpo��zq_a)ztC�0= ! �%(*) �C^ LCW D���(,$ ! 6,�9)��0� ! ����6,)'6,8%(,3*&��edJ(,+ ! ���bd</p6,898%�ed ! �0�93,�0)d476,89&�� # �ed<& 8 ! d¡+s( # =.(*/�I'8%�.- /16 !"# �9=.�ed@^gi� # �oD��o��( ! ����db6,/��o+s( #`! ���o896 # 3,�ed ! �0�%3,�0)54U6,8\&�� # �ed<& 8 ! d@^ É )'89�%A,� ! � � db/16,898%�ed ! �0�%3,�0)54U6,89& ��=@6�d"� Wd! ��� # �6 # � ) (3d<& # I # �7d"�edo��� # � W 6,) �ZD���(*/p� !�! ����I # (5(,+%d@^ |?{��¹{��� / �G{���"�� � k F 25= j ? - )�= j�-�+ 86= �¹=X8 - � 8G=Y/1@X_9( 2 P 2 ��- (�2 - F � ? - )�= j / -�+ 2B4A860�8 - � S - (*)�=t Ì���� k�+5C � :GF>=@? n /92 - 86/ ��)9/ IF t Ì���� �   : Ioª � � n ¦ x : �C^ L nxzy ��{�|?��� ��"�� �h8 - ( - (*)�25/n/`@*0 h�- 8 + =Z/ +ak � C+®h*+ /18 - 8 + =�� c � S

� : 89(,3 t Ì���� � ? n � 8%(,3   : I�ª � � n ¦ ª � : I n x

� �

Page 69: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� ��������� �

� �� � ���� � � � �Á� ��]¬®­ � µ®° µ"´?µbºY» �H½iºYÂ1µ"´?µb½iº º�±�°���¹�¸ Â1µ �'´�¸zµ���±r´?µ<½gº ���2· � � �

:f� ! � ! ��� ! ���@( # v�(,+ ! ���.db/16,898%�ed ! 6,) � 896 # 3,�ed ! �0�%3,�0)5476,89&���(,+ :;�Hd<� 6 #<! /16 !"# �9=.�ed�)�(�D{���@4,�08%(,I?�0� W D��=@6,)¤���ed<= # �%$?� ! ���V89�9/1� ! �\)�3V=.(*)'� � ! �%(*)Z)C& /r$?� # � �7d !"# �%$'& ! �9(*)p(,+�/16 !"# �9=.�ed�+ # (*/ " :5?C=@? no6,) � �" :5?C=@? n®^:Ã�r=.(*)�d<�9��� #�! ���e+S(*898%(�DE�9)�3 ! ���@( # �0/ ! (1$?�e(*)���(,+ ! ����I # �9) =@�%Il6,8l=.(*) !"# �%$'& ! �%(*)Xd�(,+ ! � �7d ! ���ed<�Hd��xzy ��{�|?��� ��"�$ � k � 86/ - (*)�_ + = j 8 - 8 + = =X@*0 �n) C�+ak 2�032 -%C 8;D k1C+ 0 " :5?C=@? n S - (*)9= - (Z) h[jak�+ak � � ?_ + =X>5) C :�)1/ h*+ 8G= - P 86/�) -�+B- (Z) h[jak Ï : � n �   � ª �� � � � ¦<¥ W7� ¦<¥ W �2?/ ? � x���+5C ) + >5) C S

� : 8%(,3 ��n � 8%(,3 ? ª � ª � : I n2?/ ? � S P (*) C ) � � I x � L � c� C+e+ak q # (*/ Q # (,I?(^d<� ! �%(*) �C^ I W D��pA[)�(�D u� t�Ì���� � � W 6,) �B�����@( # �0/ �C^ I 3*�94,�ed ! ����89�9/1� ! �9)�3Ë� �7d��!"# �%$l& ! �%(*)�+S( # ? t�ÌHÍMÎ ^¤��� �2� �7d !"# �%$'& ! �9(*)Ã(,+ ! ��� # 6 ! �%(¤(,+ ! ���ed"��wC& 6,) ! � ! �%�ed W � ¦ � ? ¦ W =.(*)54,� # 3,�ed�$�v©6d ! 6,) �'6 # �¤I # (,$'67$'�\89� ! vZ6 # 3*& /��0) ! ^r������67I I # (,I # �96 ! �Y=b�'6,)�3,��(,+�476 # �967$l8%�edE3*�94,�ed ! ����89�9/1� ! �9)�31Iv��+�(,+� � ? ^2�����Y�.-CI?�0= ! �0�B8%(,3*6 # � ! � / # �ed<& 8 ! +S(*898%(>D de+ # (*/ �����@( # �0/ �C^   6,) �Ã�����@( # �0/ �C^ I ^2� 67AC�\)�3 ! ����.-[I�(*) �0) ! �96,8 W D��e(,$ ! 6,�\)Ê�.-CI : 8%(,3 : ��n"n � � x � � ? ª�� :5? n®^

� �

Page 70: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� {�| { 1 1G�X|�� ��"�$ � k � 8H/ - (Z)�_ + = j 8 - 8 + =�=X@*0 �n) C,+ak 2B032 -%C 8ED k1C+ 0 " :5?C=@? n S - (*)9=8\�9/�3� � � : � � ? � � n � � � ¦<¥ W7� ¦<¥ W � xq`�%3*& # �   ^ I I'8%( ! d ! ����Iv��+d3*�94,�0)��9)���� �@( # �0/ �5^ I ^Hq`�%3*& # �   ^��C^ 6i�7dz6�� �Hd ! (,3 # 6,/$'6�d<�0�e(*) 3 �H� � � r=.(*/�I'& ! 6 ! �%(*)Xde(,+ ! ���1=.(*) � � ! �9(*)Ã)5& /r$?� # dg(,+   � W N,N,N /16 !"# �9=.�ed�DE� ! �Ã�9�9�P�08%�0/��0) ! de+ # (*/ 6hd ! 6,)'� 6 # �)�( # /p6,8H� �7d !"# �9$'& ! �%(*)PDE� ! � ? � ���C^2��� �1� 6 ! 6Yd<& I I?( #<!i! � �p=@896,�9/ ! �'6 !�! ����+S( # /r&'896�d��9)Ã��� �@( # �0/

�5^ I 6,) � � ( # (*89896 # v �5^ I D�( # AÊ4,� # vÊD��0898v+S( #i# �06�d"(*) 67$'8;vË896 # 3,�r4U6,8\&��ed�(,+ ? ^oq`�%3*& # �   ^��C^M$Ã6,) � q �93*& # �  ^��C^ =Ã6 # �Ã� �7d ! (,3 # 6,/3dÊ6,87d"(F$'6�d"�0�;(*) ! ���Ã=.(*) �'� ! �%(*);)5& /r$?� # d2(,+   � W N,N,N /16 !"# �9=.�edËDE� ! � ? � ���6,) �Å�9�9�©�08%�0/��0) ! dY+ # (*/ ! � �Ë&') �%+S( # / � �Hd !"# �%$'& ! �%(*) K �.I = I O 6,) � ! ���Ê� �Hd<= # � ! �Ë� �7d !"# �9$'& ! �%(*) � �,I = I �*W# �ed"I?�0= ! �%4,�087v,^]�E���r� 6 ! 6�d<& 3,3,�ed !]! � 6 ! �����@( # �0/ �5^ I �7d # (,$'&Xd ! & ) ��� # =b� 6,) 3,�ede(,+R� �7d !"# �%$'& ! �9(*)ËDE� ! �/��06,) N ^P:Ã�Ë� 6>4,�Ë6PI'6 #<! �\6,8�I # (C(,+ ! � 6 ! D��Ë��(,I?� ! (Ã=.(*/�I'89� ! � ! � 6 !V! � �7dr�7d.d<( W $'& ! +S( # )�(>D W D��DE�98\8~d ! 6 ! � ! � �7dE6�d]=.(*)Uc"�0= ! & # �,^i:Ã�rDi�9898z6,87d<(Bd ! 6 ! �Y6�d]=.(*)Uca�0= ! & # � ! � �r� �7d !"# �%$'& ! �9(*)Ë(,+ ! ���r=.(*) �'� ! �%(*))C& / $?� # DE� �0) ! ��� /��06,)Z�Hd�)�( !�N ^� { � ��� /��#|?� ��"�$ � k � 8H/ - (Z)[_ + = j 8 - 8 + = =X@*0 �`) C�+ak 2�032 -%C 8ED P 8 - ( 868 j )947)90�)9= - / - (�2 - (�2�>5)�0�)n25= N25= j �¹=�8 - )�>?2 C 8�25=�_1) S - (*)�= - (Z) h[jak�+ak � � ? _ + =X>5) C :�)1/ h*+ 8G= - P 86/�) -�+ - (*) h[jak :�8G>5)9= 86= &#(*) +5C )�0�� c � c��@ C9- (*) C 0 +5C ) S 8 k � 86/ - (*)�_ + = j 8 - 8 + =�=X@*0 �`) C,+"k 2B0[2 -%C 8;D P 8 - ( 868 j )947)90�)9= - / - (*2 - (�25>5),0�)n25= U 25= j/ - 2�= j 2 C"j j )�>�8�2 - 8 + = � S - (Z)9= - (*) h[j"k�+ak ¦

�� � ? � ¥a¦ 254�/ + _ + =X>5) C :�)1/ hZ+ 86= - P 8H/e) -�+ - (*) h[jak :�8G>5)�=�8G=&#(*) +5C )�0�� c � c��� �V=.(*)Uc"�0= ! & # ��=@6,) $?�r&') ��� # d ! (C([�P�9) ! & � ! �94,�08;vÊ6�di+S(*898%(�D d@^e����� � # d ! d ! 6 ! �0/��0) ! d<6�v�d ! � 6 ! +S( #896 # 3,� ? W 6,)VvÊ� �Hd !"# �%$'& ! �%(*)pDi� ! �Z/��06,) N $?�0� 604,�edg89�%A,��61) ( # /16,8z� �Hd !"# �%$'& ! �%(*)pDi� ! �Z/��06,) N ^����'�7d��7d# �0896 ! �0� ! ( ! � �i=.�0) !"# 6,8?89�9/1� !`! ���@( # �0/Ê^������ d"�0=.(*) ��d ! 6 ! �0/��0) ! �7dR$'6�d"�0�2(*) ! ���i+S6,= !�! � 6 !�! ���i8\6 # 3,�ed !d<�9) 3*& 896 # 4U6,8\&���(,+�6 # 6,) ��(*/ /p6 !"# � -PDi� ! � �08%�0/��0) ! d ! � 6 ! � 604,�p/1�06,)uU �7dºU ? W Di� �98%� ! ����d</p6,898%�ed !d<�9) 3*& 896 # 4U6,8\&���67I I?�06 # d ! (1(*)'8;v2���@I?�0) �Ë(*) ! ���.d ! 6,) �'6 # �Ê���@4[�96 ! �%(*) W )�( !E! ����/��06,)v^q`�%3*& # �   ^��C^ �P�98989&�d !"# 6 ! �ed�DE� 6 ! � 67I I?�0)Xd�DE� �0)2D�� ! 67A,� ! ����=.(*)'� � ! �%(*)Ë)C& / $?� # (,+ 6�/16 !"# � -�DE� ! ��9�9���08%�0/��0) ! d W $'& ! 6i)�(*) �XG@� # (g/1�06,)v^�gi� # � ! �����'�7d ! (,3 # 6,/¾�7dJ$'6�d"�0�r(*)   � W N,N,N d<6,/1I'8%�edJ(,+ ! ��� # 6,) ��(*/476 # �967$'8%� ¦

� � � ? � ¥a¦ W DE��� # � ! ���Ë/16 !"# �9=.�edY� 6>4,�Ê�9�9�Ã�08%�0/1�0) ! dV+ # (*/ ! ����&') �%+S( # / � �7d !"# �%$'& ! �9(*) K N = I O6,) � ? � ���C^:Ã� ! & # )Ê)�(�D ! ( ! ��� =@6�d<��(,+H=.(*/�I'8%�.-Ê/16 !"# �9=.�ed0^� N

Page 71: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

xzy ��{�|?��� ��"�� � k � 86/ - (*)�_ + = j 8 - 8 + = =X@*0 �n) C�+ak 2�032 -%C 8;D k1C+ 0 �" :5?C=@? n S - (*)9= - (Z) h[jak�+ak � � ?_ + =X>5) C :�)1/ h*+ 8G= - P 86/�) -�+B- (Z) h[jak Ï : � n � �� � � � � ¥ W �2?/ ? � x���+5C ) + >5) C S� : 8%(,3 �ln � 8%(,3 ? ª I  � ª 8%(,3   ª � : I n � 8%(,3 ? ª N[x � �  

2?/ ? � c� C+e+ak �E���eIv��+¡+S(*898%(�D d�+ # (*/ �����@( # �0/�d��C^��16,) � �C^   W DE� �\8%� ! � ���.-CI?�0= ! �0�Z89(,3*6 # � ! � / +S(*898%(�D do+ # (*/�����@( # �0/3d��C^���6,) � �C^   ^� {�| { 1 1G�X|�� ��"�� � k � 8H/ - (Z)�_ + = j 8 - 8 + =�=X@*0 �n) C,+ak 2B032 -%C 8ED k1C+ 0 �" :5?C=@? n S - (*)9=u2?/ ? �

� : � � ? � � n � � � � ¥ W � x��� � # �0= ! 6,)�3*& 896 # /16 !"# � - # �ed<& 8 ! �Hd

xzy ��{�|?��� ��"� � k � 8H/ - (*) _ + = j 8 - 8 + =J=X@*0 �n) Ch+"k 2!032 -%C 8;D k1C�+ 0 " :GF>=@? n +5C �" :GF>=@? n S P (*) C ) Fj ) h )9= j / + = ? 86=�/`@X_9(u2 P 2 �Y- (�2 - 89�9/ � � � F � ? � � �fK N = I O = - (*)�= � _ + =X>5) C :�)1/�254A0 + / - /`@ C )�4 � -�+u a �u � � 2?/ ? � c ��+5C ) + >5) C S� : 8%(,3��ln � 8%(,3 I�ª � �I�� � � ª � : I n

2?/ ? � c��� �Ë=.(*)54,� # 3,�0) =.� +s(*8989(>D d !"# �%4[�96,8987vÃ+ # (*/ Q # (,I?(^d<� ! �%(*)Xd �C^ I W �C^   W �C^ I W 6,) � �C^   ^F��� ���.-[I?�0= ! �0�8%(,3*6 # � ! � /Á(,+ ! � �V=.(*) �'� ! �%(*)¤)5& /r$?� # +S(*898%(�D dE+ # (*/ �����@( # �0/�d �C^ L 6,) � �C^��2+s( #�t ÌHÍMÎ 6,) �¤�����@( # �0/3d

�C^ I 6,) � �C^   +S( #gt Ì���� ^

� I

Page 72: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

�]¬i ���r· � ´ ¹��VÀY¸v¹�� ��µb½iº � ¼0½i¸ m � �

_ ! �7d�I?(^dfdb�%$'8%� ! (2�\) ! �@3 # 6 ! � :S� ^ I nE6,) � : �C^ L nE673*6,�9)Xd !i! ��� =.(*) �'� ! �%(*)Z)C& /r$�� #i! (p3,� !i! ��� �.-�6,= ! �'�7d !"# ���$'& ! �9(*)Xd�(,+ ! ����=.(*)'� � ! �%(*)Ê)C& /r$�� # d�(,+ # �06,8v6,) � =.(*/�I'8%�.-   � ? /p6 !"# �9=.�ed@^H:Ã�.d<I'6 # � ! ��� # �06,� � #�! ������ ! 6,�98Hd�6,) �Vc<&Xd ! 3*�%4,� ! � � # �ed<& 8 ! d0^��� �eI?� +¡(,+ ! ��� =.(*) � � ! �%(*)Ê)5&'/ $?� # (,+`/16 !"# �9=.�edE+ # (*/ " :   =@? no�7dÏ : � n � :5? ��I n   � � u � ¦ � I: � ¦ ª�I n � � � � ¦ x : �5^ I n:f���0) ! ��� /p6 !"# �9=.�ed�6 # � + # (*/ �" :   =@? n W'! ��� I?� +z(,+ ! ����=.(*) � � ! �9(*)Ê)5& /r$?� # �7d

Ï : � n �   § :   ? n§ :5? n § :5? ��I n � ¦a� � � : � ¦ �JI n ¦: � ¦ ª�I n ¦a� x : �5^   n:Ã�e=@6,)Ë&Xd"� : �5^ I nR6,)'� : �5^   n ! (V�@4U6,8\& 6 ! � ! � �g�9) ! �@3 # 6,87d�3*�%4[�9)�3 ! � �i�.-[I?�0= ! �0��=.(*)'� � ! �%(*)2)5& /r$?� # d@^����� # �ed<& 8 ! �7dxzy ��{�|?��� ��"; � k � 8H/ - (*)�_ + = j 8 - 8 + =�=X@*0 �n) Cz+ak 2B032 -%C 8;D k1C�+ 0 " :   =@? n S - (*)9=

� : 8%(,3��ln � I  � ¢ § : � � u¦ n§ :5? �   n x� k - (*),032 -%C 8EDh8H/ k1C�+ 0 �" :   =@? n S - (*)9=� : 8%(,3 �ln � 8%(,3   ª I  � � � u�

� � ¦ I� � !   �� # I� ��I x

:Ã�V=@6,)Z6,87d"(1(,$ ! 6,�9) ! ���e�.-�6,= ! � �Hd !"# �%$'& ! �%(*)p+S( #�! ��� db/16,898%� # 6,) � ! ��� 896 # 3,� # �0�%3,�0)d476,89&��ede�xzy ��{�|?��� ��" � � ket ÌHÍMÎ 25= j�t Ì���� 2 C ) - (Z)B)nD -%C )90�)B)�8E:�)9=X>5254A@X)9/ +ak 2h032 -%C 8;D k1C+ 0 :   =@? n 25= j��j )�= +�- )1/ :5? �JI n �   S - (*)�= - (*) h[jak�+akit ÌHÍMÎ 86/Ï �0Ð�Ñ Ò : t n �

� �5� ¦0� � ���   tC� � � ¥a¦ ª   :   � � t n § : � = t��   n��25= j�- (Z) h[jak,+ak]t Ì���� 8H/

Ï � Ð���� : t n �� �d� ¦@� � � ¥a¦ t � u �   t � � � ¥a¦ �   :   � � t n � : � = t��   n � x

�  

Page 73: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� d<�9/p�9896 #�# �ed<& 8 ! +S( # � :   =@? n�=.(*& 8\�Ë$���=@6,8\=@& 896 ! �0�v^

� L

Page 74: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

�]¬�� � ¹R° ° ¹R³�� � �H½iºYÂ1µ"´?µ<½gº º�±�°��2¹R¸� d2/��0) ! �%(*)��0� �9)�tC�0= ! �9(*)   ^ I W �g�0/1/1�08 K I � O � 6�dp$?�@�0) �9) ! � # �ed ! �0� �\) ! ���P�'�7d !"# �%$l& ! �%(*)F(,+ ��� � � �� � � u ¦ DE� �0) � �7d�" :5?C=@? n`( # �" :5?C=@? n®^ � dR/��0) ! �%(*)��0�p�9)BtC�0= ! �%(*)   ^   W5! �'�7d�=.(*) � � ! �%(*)�)5&'/ $?� #� 6�dg$?�@�0) &Xd"�0�P+s( # 6�d"I'��� # �9=@� ! v ! �ed ! �9)P/V& 8 ! �94U6 # � ! �,d ! 6 ! �7d ! �9=�d@^ �g�0/1/��08`(,$�d"� # 4,�0� ! �'6 !g! � �Y�'�7d !"# ���$'& ! �9(*)Xdg(,+ ! ���ed<� # 6,) ��(*/ /16 !"# �9=.�ed W DE���0)Ã=.(*)�d<�9��� # �0� 6�de�089�0/��0) ! d�(,+ � � � 6,) � � ¦a� � W d"I'��� # �\=@6,898;vdv[/1/�� !"# �\=�6�d 6 # � ! ���p=.(*) � � ! �%(*)�)C& / $?� # d � � ^�q & #<! ��� # /�( # � W¡! ���p=.(*)'� � ! �%(*)�)C& /r$?� # �7d d<=@6,89�p�9) �476 # �96,) !@W d"( ! � � # ���\)B)�(¤8%(^dfdY�9)©3,�0)�� # 6,89� ! v©�9)F6�dfd<& /p�9)�3 ! � 6 ! � �7dV� �7d !"# �%$'& ! �0�©& ) �%+S( # /18;v¤(*) ! ���& ) � ! d<I'��� # � � �� � I ^2_ ! # �0/16,�9)Xd ! (¤& ) ��� # d ! 6,) � ! ���p� �Hd !"# �%$'& ! �%(*) (,+ � � u ¦7W ( # �ew5& �94U6,8%�0) ! 8;v W! ��� �'�7d !"# �%$l& ! �%(*)1(,+ ! ��� db/16,898%�ed ! db�9)�3*& 896 # 476,89&��e(,+ � ^:Ã��&Xd"� ! ���zdb6,/�� ! ���@( # v ! � 6 ! D��V&Xd"�0� ! (p(,$ ! 6,�9) ! ���V� �7d !"# �9$'& ! �%(*)Ë(,+ ! ����d</16,8\8%�ed ! �0�%3,�0)5476,89&��(,+R:f�7d<�'6 #<! 3¤6 !"# �9=.�ed0^r�J(Ë/p67A,� ! � �7d]=.(*) = # � ! � W 89� ! � $?� ! ��� # 6,) ��(*/�/16 !"# �%- � ��� W DE� � # � � �7d6 # �06,8J/16 !"# � -Ê& ) �9+s( # /p8;v1� �7d !"# �%$'& ! �0��(*) ! � � & ) � ! d"Il��� # ���9) � � � ^ � � ! � �;$?� � � W DE� � # � � �7d�6=.(*/�I'89�.-Ë/16 !"# � -�Di� �9=b�Ê=@6,) $?� ! � (*&�3*� ! (,+`6�dE& ) �%+S( # /18;v2� �7d !"# �9$'& ! �0�2(*) ! ��� & )'� ! d"I'��� # �e�9) � ¦a� � ^��������� ��"%$'&#(*)�� + 8G= -�j )9=Z/18 - ��+ak.- (*)[)�4;)�03)�= - / +ak 2B032 -%C 8ED k`C+ 0 � 86/ h�C�+ h*+5C9- 8 + =�254 -�+

� : !"# : n � I n : ��� ! n � u�¥a¦ =P (V8G4;) k�+5C � � 8 - 86/ h�C�+ h*+5C9- 8 + =�254 -�+

� : !"# : � n �JI n =P (*) C ) � 8H/ - (*)� .8 C 2V_ j )94 - 2 k @*=�_ - 8 + = c� C+e+ak t��9) =.� � �7dÊ& ) �9+s( # /p8;v � �7d !"# �%$'& ! �0� (*) ! � �ud"I'��� # � W � ! dYca(*�9) ! ���0)Xdb� ! vf�7dÊI # (,I�( #b! �%(*) 6,8 ! (� : !"# : � ��� n �·I n��9) ! ��� # �06,8z=@6�d<��6,) � � : !"# : � �� n �·I n��9) ! ���e=.(*/�Il8%�.-Ë=@6�d<�,^�:Ã� ! ���0)ËI?� # +S( # / ! ���d<6,/�� ! D�( �¯d ! �@IZ=@6,89=@&'896 ! �%(*)��9) � �9=@6 ! �0�2�9) ! ���g�'�9673 # 6,/}$��@+S( # � � �0/1/16 L ^   6,) �p(,$ ! 6,�9) ! ���i�9)'� �9=@6 ! �0�# �ed<&'8 ! d@^R_a)Ê+m6,= !@W � ! D�(*& 8\�Ê$?� )�(p/�( # � � � T2=@&'8 !o! (2=.(*)Xd<�\��� # F $�v ? /16 !"# �9=.�edEDE��(^d"� F ? �08%�0/��0) ! d6 # � &') �%+S( # /18;v1� �Hd !"# �%$'& ! �0�2(*) ! ����& ) � ! d"Il��� # �,^q # (*/ ! � �7d�89�0/1/16�6,) �Z�E���@( # �0/ L ^   W D�� =.(*)'=@89& ��� |?{��¹{��� / �G{ ��"�$'&#(*)�� + 86= -gj )�=Z/`8 - ��+ak3- (*) ? )98;:<)9=�>?254A@�)1/ +ak S tvu�w x@x@xHw}t�� S � ��%� u t � � I S86/ h�C�+®hZ+5C1- 8 + =�2�4 -�+ Q ��9� u t � u�¥a¦� Q �S�5� : t � � t � n P (V8G4;) - (*)�� + 8G= -gj )9=Z/18 - � +"k3- (*)�)98;:<)9=�>?254A@�)1/ +ak � 86/h�C+®h*+5C9- 8 + =�254 -�+ Q �S�5� : t �?� t � n ¦ x

� �

Page 75: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

��� �g67$?(>4,� # �edb& 8 ! +S( #o! ��� # �06,8?=@6�d"�e�7do� &�� ! ( r 6 #<! 8%� !"! : I � � I no6,)'� # �@+S� # �0� ! (��9) K � N7OXW DE��� # � ! ����9) ! �@3 # 6,87d�6 # �e�@476,89& 6 ! �0� �9) ! � # /3do(,+ ! D�(p� �9/1�0)Xd<�%(*) 6,8��9) ! �@3 # 6,87d@^H:Ã� DE�9898�&Xd"�e6,)Z6,8 ! � # ) 6 ! ��/�� ! ��([�! (1(,$ ! 6,�\)Z6,)Ê�.-[I # �edfd<�9(*)Ë+s( #�! � �eI?� +¡(,+ t ÌHÍMÎ ^ � ( ! �9=.� ! � 6 !gt ÌHÍMÎ =@6,) )�( ! �.-[=.�@�0� I � ? d<�9) =.� ! ���,d<& /(,+ ! ��� ? �0�%3,�0)54U6,8\&��ed��7d I ^��������� ��" �p&#(*) h[j"k,+ak.- (*)./103254647)1/ - )98;:<)9=�>?254A@�) t ÌHÍMÎ +ak 86/ h�C+®h*+5C9- 8 + =�254 -�+

t � u�¥a¦#�� K � �� N � � u��%� u � : � �'ª t n � u�¥a¦ � � � ��� = : �5^ L n

P (*) C ) N � QZu� �s�5� � � � u � ��� � � TS - (*)�8G= - )�: C 2 - 8 + = - 2?]�)9/ h 4;2^_`) + >5) C�- (*)b/1860 h 47)fD � � � u� ��� : � u = x@x@x = � � � u nb�� � w N = � � � u�9� u � � � I�� ? t�� S 25= j ��� 86/ - (*),> + 4�@*0�)[)947)90�)�= -�+ = - (<8H/ /1860 h 47)fD c�� 8G0z8G4;2 C 4 � S - (*) h�jakz+ak- (*)./10[2�4647)1/ - )�8E:�)9=X>5254A@X) t ÌHÍMÎ +ak 86/ h�C+®h*+5C9- 8 + =�254 -�+�� K � �� N ¦ � � u��9� u � ¦� ��� x : �5^ � n

:Ã����(�)�( ! A[)�(�D � (>D ! (2I?� # +S( # / ! � �V�9) ! �@3 # 6,8 ! (Ë(,$ ! 6,�9)¤6�d<�9/1I'8%� # �.-[I # �ednd<�%(*)Z+S( #g! ���V�'�7d !"# ���$'& ! �9(*)Ë+s( # W $'& ! +s( # � W ! �����\) ! �@3 # 6,8J�7d # �0896 ! �94,�08;v2�06�dfv��xzy ��{�|?��� ��"�� &#(*) h[jak�+ak,- (Z)./`03254G4;)9/ - )98;:<)�=X>?2�4�@�) +ak 2h_ + 0 h 47)fDh032 -%C 8;D j )��L=�) j � � � � S P (*) C )� 86/ @�=�8 k�+5C 0z4 �Êj 8H/ -%C 8��9@ - ) jh+ = - (*)./ h (Z) C ) � �� � I S 8H/Ï �0Ð�Ñ Ò : t n � :5? � � ? n : I�� ? � n � � � ¦ x� C+e+ak :Ã��/167A,� ! ���2=b� 6,)�3,�p(,+�476 # �967$l8%�ed � � � : Ig� ? t n � � 6,) �Ã�'�7d<=.(>4,� #r! � 6 !�! ���1�\) ! �@3 # 6,8 : �5^ � n$?�0=.(*/��ed : I�� ? t n � � � ¦ ! �9/��ed�6�w5&'6,) ! � ! v ! � 6 ! �7d��9) ���@I?�0) � �0) ! (,+ t ^���� � ? ¦ �   +S6,= ! ( # do(,+ : I�� ? t n� 6>4,� ! ���e+S(*898%(>Di�9)�3V( # �%3*�9)Xde� ? ¦ � L ? ª   + # (*/ N ¦ W   ? �   + # (*/ Q � ¦� W 6,) � ? �   + # (*/ ! ���e4,(*8\& /���08%�0/��0) ! ^��E�5&Xd ! � ��Iv��+J�7d�6p=.(*)Xd ! 6,) !E! �9/��ed : I�� ? � n � � � ¦ ^ � 6�d ! 8;v W ! ��� =.(*)�d ! 6,) ! �7d�=b� (^d"�0) d<( ! � 6 !! ��� �\) ! �@3 # 6,8z(*) K N = I � ? O �7d�&') � ! v,^� {�| { 1 1G�X|�� ��"� � krt ÌHÍMÎ 86/ - (*)3/`03254G4;)9/ - )98;:<)9=�>?254A@�) +"k 2 _ + 0 h 4;)nD!032 -%C 8ED j ) �¹=�) j � � � � P (*) C )� 86/ @�=�8 k�+5C 0z4 �Êj 8H/ -%C 8��9@ - ) jh+ = - (*)./ h (Z) C ) � �� � I = - (*)�=

� : t ÌHÍMÎ w � n � : I�� ? � n � � � u = N�� � � I � ? x���

Page 76: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

:Ã� ! ���0)Ê(,$ ! 6,�9) 6,)Ê�.-[6,= ! +s( # /r& 8\6r+S( #�! ���r� �7d !"# �9$'& ! �%(*) ! � 6 ! �g�0/1/��08z�ed ! �9/16 ! �0� Wxzy ��{�|?��� ��" � � k ��� 86/ �)�0z0�)�4 � /�_ + = j 8 - 8 + =·=X@*0 �n) C�+ak 2 _ + 0 h 47)fD�032 -%C 8ED � - (�2 - 86/[@�=�8 k�+5C 0z4 �j 86/ -%C 8 ��@ - ) jh+ = - (*)./ h (*) C ) � �� � I = - (*)9=

� : ��� w � n � Io� : I�� ? � � ¦ n � � � u = � � � ? x� C+e+ak �E� �7do+S(*898%(>D do+ # (*/ ! ����I # �@4[�%(*&Xd�=.( # (*89896 # v�d<�9) =.� � ¦ � � I �,t ÌHÍMÎ ^

� �

Page 77: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

�]¬ « jf¿Y¹ ´?·�µb³ � ½i¼ ´?¿Y¹ �H½gºYÂ1µa´vµ<½iº º�±�° ��¹�¸ Â1µ � ´?¸zµ ��±r´?µb½iº �_a) ! � ��I # �@4C�9(*&Xd�d"�0= ! �%(*)Xd W D��Z���edb= # �%$?�0� ! ���Ê$?�0� 6>4C�9( # (,+ ! ���Ê=.(*) � � ! �9(*)B)C& /r$�� # dr$l& ! db6,�9�Å89� !"! 8%�67$?(*& !g! ���rI # (,$'67$'�98\� ! v ! � 6 ! 62/16 !"# � - DE� ! �P628\6 # 3,�V=.(*)'� � ! �%(*)¤)5&'/ $?� # /p6evP67I'I��06 # ^ gi� # �rD��YDE�989867I I # (0-��9/16 ! � ! ����=.(*) � � ! �%(*) )5& /r$?� # dg+s( # dfw5&'6 # ��/16 !"# �9=.�ede�9) ( # ��� #e! (Ê3,� ! 6�d"�0)Xd"��(,+ ! ��� ! 6,�987d](,+! ��� �'�7d !"# �%$l& ! �%(*)Xd@^��� � # �Ê6 # �Ê+s(*& #V# 6,) ��(*/ =.(*) � � ! �9(*)F)C& /r$?� # d ! � 6 ! D�� ��) �B�\) ! � # �ed ! �9)�3�^ � � ! � 6,) � �� � �0)�( ! �! ���   � )�( # / =.(*) � � ! �9(*)Ê)5& /r$?� # d�(,+ /p6 !"# �9=.�ed�+ # (*/ " :5?C=@? n�6,)'� �" :5?C=@? n # �ed"I?�0= ! �%4,�087v,^bt[�9) =.�]D�� 6 # �(*) 8;vÊ=.(*)Xdb�9��� # �9) 3 ? � ? /16 !"# �9=.�ediD��V(*/1� !i! ���r� �@I��0)'���0) =.��(*) ? �9) ! ���V) ( ! 6 ! �%(*)v^E��� ��( ! ��� #]! D�(=.(*) � � ! �%(*) )C& /r$�� # dE6 # � ! ��� �g�0/1/1�08J=.(*) �'� ! �%(*) )C& /r$?� # dE��� ��)��0� �9)!tC�0= ! �%(*) �5^ L ^ � � ! � � 6,) � �������0)�( ! � ! �����g�0/1/��08�=.(*) � � ! �%(*)Ã)C& /r$?� # �9) ! ��� # �06,8�6,) ��=.(*/�Il8%�.- =@6�d<�edr6�dr67$�(�4,�,^p:Ã��=b� 6 #<!r! ���=.(*) � � ! �%(*)Z)C& / $?� # dE6,) � # �0896 ! � ! ���0/ ! ( ! � ���0�%3,�0)54U6,89& �edE(,+ ! ���V=.( #<# �ed"I?(*) �'�9)�3Y:;�Hd<� 6 #<! /p6 !"# � -Z�9)! ��� ! 67$l8%�e$?�08%(>D�^

" :5?C=@? n �" :5?C=@? n� ��� � Ð�����>Ð�Ñ Ò �� ��� � Ð�����0Ð�Ñ Ò��� � # � � ��0Ð�Ñ Ò ���� � # � � ��0Ð�Ñ Ò_a) ! ��� ! 67$'8%�ed ! � 6 ! +s(*8989(>D W D���=.(*)Xdb�7d ! �0) ! 8;v�&Xd"� ! ����67$?(>4,�o( # � � # �9)�3Z� # �06,854*d@^U=.(*/1I'8%�.- �9) ! ����=.(*89&'/1)Xd6,) �   � ) ( # / 4*d@^ �g�0/1/��08 �¨dE)�( # / �9) ! � � # (>D d0^��� �Y)C& /r$?� # d]�9) ! ��� ! 67$'8%�Y$?�08%(>D 6 # � ! � �V476,89&��ed ! �'6 !e! �����9) � �9=@6 ! �0�¤�.-[I # �edfdb�%(*)Xd]=.(*)d4,� # 3,� ! (6,89/�(^d ! d<& # �08;v�6�d ? � ^

� �

Page 78: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

:5?C=@? n � :5?C=@? nu� t ���� � �

u� � � ��9� u t � I  ����� � # d !�# (>D �7d : �C^ I nE6,) � : �C^ L n®^E�E���.d"�0=.(*) � # (�D¾�7dE��� # �%4,�0� + # (*/ ! ���r8\60D~(,+�8\6 # 3,� )C& / $?� # di6,) �! ���i(,$�d"� # 476 ! �%(*) ! � 6 !R! ��� !"# 6,=.�g(,+z6 :f�7d<� 6 #b! /16 !"# � -1� 6�d ! ��� � ¦� � � �7d !"# �9$'& ! �%(*)Y�9) ! ��� # �06,8�=@6�d"�]6,) �! ��� � ¦¦a� � �9) ! ���]=.(*/�I'8%�.-�=@6�d"�,^����@Il896,=@�9)�3 ! ���ed"�]=.(*)d4,� # 3,�0) =.� # �ed<&'8 ! dRDi� ! �p�ewC& 6,89� ! v W D��]��� �l) �i+S(*& #67I I # (0-��9/16 ! � =.(*) �'� ! �%(*)Ë)5&'/ $?� # d��

" :5?C=@? n �" :5?C=@? n� � � � � ��0Ð�Ñ Ò �� � � � �

��0Ð�Ñ Ò� � � � � � ��0Ð�Ñ Ò �� � � � � ¦a� ��0Ð�Ñ Ò�����ed<� 67I I # (>-[�\/16 ! �r=.(*) �'� ! �%(*)Z)C& /r$�� # d�6 # �r� � �l)��0�ÊDE� ! � ! ����I?(*�9) ! (,+`4[�%�@D ! � 6 !i! ���r)C& /�� # 6 ! ( # d6 # � /1� # �08;v2) ( # /16,89�%G0�\)�3Y+S6,= ! ( # d0^ : tC�@� K � � O Iz^ I � I ^ n�]� # �0= ! 87vZ+ # (*/ ! ���Y��� �l)'� ! �%(*)Ê(,+ ! � �ed"��=.(*) � � ! �%(*)P)5&'/ $?� # diD��Y� 6>4,� ! � �r+S(*898%(�DE�9)�3]c<&Xd ! � �l=@6 ! �%(*)(,+`(*& # 67I I # (0-��9/16 ! �%(*)��

��������� ��"� � / ? � S � � � � S ��� � � � � S �� � �� � S 25= j �� � � �� � � 25464�_ + =X>�) C :<)�254A0 + / - /1@ C )�4 ��-�+ I c��� �p67I I # (>-[�\/16 ! �p=.(*) � � ! �%(*)�)C& / $?� # d�(*) 8;v ���@I?�0) �Ã(*) t ÌHÍMÎ ^Ë���C&Xd�� ! $��0=.(*/1�edr)��0=.�ednd<6 # v ! (�9)54,�ed ! �%3*6 ! � ! ���eI # (,$'67$l�989� ! v ! � 6 !gt ÌHÍMÎ �7d°db/16,898 ^��������� ��"E � / t N S � : t ÌHÍMÎ �t n�� � t ? 8 k (*2?/ - (*) j 86/ -%C 8��9@ - 8 + = :5?C=@? n 25= j � : t ÌHÍMÎ �t n�� t ? �   8 k (�2?/ - (Z) j 8H/ -%C 8��9@ - 8 + = � :5?C=@? n c� C+e+ak �E��� # �06,8 # �ed<&'8 ! =.(*/��edg+ # (*/²6,)'6,8;v5G0�\)�3 ! ���r+s( # /r& 8\613*�%4,�0)¤�9) �E���@( # �0/ � ^ I ^i�����V=.(*/�I'8%�.-# �ed<&'8 ! �7d !"# �%4[�96,8�d<�9)'=.� ? t ÌHÍMÎ � 6�d ! ����� �Hd !"# �%$'& ! �%(*) � ¦¦ 6,=@=.( # � �9) 3 ! (p�����@( # �0/ �C^��C^

� �

Page 79: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

xzy ��{�|?��� ��"�� �º/ � � S " :5?C=@? n �" :5?C=@? n� : � � � � n �   ? � � � : �� � � � n�� � ? ¦ � � ¦� : � � � � � n � ? � ¥a¦ � � � : �� � � � � n�� ? � � � ¦

� C+e+ak � (*/ $'�\)�� ! ���.d</p6,898 t $?�0� 6>4C�9( # ���ed<= # �9$��0�Ë�9) � �0/1/16 �5^ � DE� ! � ! ���r��� �l) � ! �9(*)Xd�(,+J(*& # =.(*) �� � ! �9(*)Ê)5& /r$?� # d@^H����� # �ed<& 8 ! do+S(*898%(�D + # (*/ ! ����(,$C4C�%(*&�d�=b� 6,) 3,��(,+`4U6 # �\67$'8%�ed@^_a) ! ����=.(*/�I'8%�.- �i�0/p/��08H=@6�d"� W D���=@6,)�=.(*/�I'6 # �Y(*& #]# �edb& 8 ! dgDE� ! � ! ��(^d"�YA[)�(>Di) +s( #]! ���Y�.-�6,= !=.(*) � � ! �%(*)©)C& /r$�� # ^ :Ã�Ê� 604,�Ë+S( # 6,8\8 ? W � : �� � � � n � :5? � � ? n � � ¦ 6�d � � W DE� �\8%��D��Ê� 6>4,�� : �� � � � � n�� ? � � � ¦ 6�d � � x �������'�Es�� # �0) =.���7d�)��@3*89�93*�%$'8%�g+s( # 6,898v$'& ! 4,� # vhd</p6,898 ? ^

� �

Page 80: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� ��������� �

��� � ��� ��� ��� ��� ����� �R� ����� ¬®­ f½i° À�±r´?·�´?µb½iº ½i¼Ã´?¿Y¹²° ½i° ¹Rºg´ �q # (*/ ! ���Ë+S( # / (,+ ! ����I?� +�(,+ t�ÌHÍMÎ 3*�%4,�0)Å�9)F�����@( # �0/ � ^ LCW D��Ë=@6,)F(,$ ! 6,�9)F�.-CI?�0= ! �0�F476,89&��edY6,) �( ! ��� # /�(*/��0) ! d�(,+ ! ��� � �7d !"# �%$'& ! �9(*)p�9)Ê=@8%(^d<�0�Z+S( # / �9) ! � # /�d�(,+ �<vCI�� # 3,�@(*/�� !"# �9=e+m& ) = ! �9(*)Xd@^ � � !

� � �  F £ a u § : � ª�I n =Ï :%� n � ¦ � u : F �JI  =f� ª�I �   =F �   ª � ª L^�   = Ii�JI � F n = :%� n � ¦ � u : F ª�I  =f� ª�I �   =F �   ª � ª L^�   = Ii�JI � F n x

�����0) W� ��

t � � � |�¥a¦ � t � � =� ��

t � � � |o¥a¦?� : F �JI  = � I  = t   n�� t � � § : � ª��¦ n§ : � ª | ¦ ª   n Ï : � ª I  n =� ��

t�� � � |o¥a¦ �� t � : F �JI  = � I  = t   n�� t � � F �JI� � § : � ª �¦ n§ : � ª | ¦ ª   n : � ª I  n x�����ed<�Y�\) ! �@3 # 6,8Hdg=@6,)�$<vP(,$ ! 6,�9)��0�¤$�v ! 67A[�9)�3 � 67I'8\6,=.� !"# 6,)Xd"+S( # /3d]6,) � �9) ! � # =b�'6,)�3*�9)�3 ! ���Y( # ��� # (,+�9) ! �@3 # 6 ! �%(*)v^Yt[�\) =.�p�9) ! �@3 # 6 ! �%(*)Xd (,+ ! � �7de+S( # / 6 # �2��([=@& /��0) ! �0�©�\) K   LUO : d<�@�p+S( # /r&'896 �5^��   I ^��*n W D��/�� # �087v�89�Hd !o! ��� # �ed<& 8 ! d@^:Ã� � � # �%4,�0�Z6Y+m& #<! ��� # d<� ! (,+ +S( # /V& 896�d ! � 6 ! 6,898%(>D d�&Xd ! ( # �0� &'=.� ! �����VvCI?� # 3,�@(*/�� !"# �\=]+S& )'= ! �%(*)Xd� N

Page 81: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

Ï :%� no6,)'� :%� n��\) ! (p6[db�9/�I'8%� # +S( # /Ê^��������� �~"%$'&#(*)�( �®h ) C :<) + 0�) -%C 8%_ k @*=�_ - 8 + =Z/ j )��¹=�) j 2 � + >�)�_`25= �`)3_ + 0 h @ - ) j @�/186=<: - (*) k�+ 4G4 + P 86=<:k�+5C 0�@*4;2?/Ï : � n � � :   �JI � F n : � ª :GF ª�I n �   n Ï : � �JI n � : � ª :GF �JI n �   n : � ª :GF ª�I n �   n: � �JI �   n : � ª�I n : IE�JI � F n Ï : � �   n = : � n � :   � �JI�ª : I�� � n � F n : � ª :GF ª I n �   n : � ��I n � : � ª :GF ��I n �   n : � ª :GF ª I n �   n

� : � � I �   n : IE�JI � F n : � �   n =Ï : �.I n � F �JI  : I��JI � F n � � | � u��\¥a¦ :@:GF � I n �  �� L^�  �� I]�JI � F n =Ï : N n � :GF ª�I n � F �   F>= : N n � F ª�I  : I��JI � F n � � | a u��\¥a¦ :@:GF ª I n �  �� I �  �� I]�JI � F n = : I n � F0:GF ª L nF �JI : : N n � :GF ª�I n �   � F n =

P (*) C ) j )9= +^- )1/ - (*),8G=�_ + 0 h 4;) - )��º) - 2 k @*=�_ - 8 + = S : U ����� � n c� C+e+ak �E��(*&�3*� ! ��� # �e6 # ��/16,)<v # �0896 ! �%(*)Xd<�'�%I�dR�\)d4,(*8%4[�9)�3V�VvCI?� # 3,�@(*/�� !"# �\=i+m& ) = ! �9(*)Xd : K I O 6,) � K � LUO n WD���� 6>4,��)�( ! d"�@�0)V6,)Vve(,+ ! ��� ! D�( ! � # / # �0=@& #<# �0) =.�ed 89�7d ! �0� �9) ! ����89� ! � # 6 ! & # �R6,) �r��� # �%4,�0� ! ���R+S( # /V& 896�d(*& # d<�08%4,�ed@^�������� � # �%476 ! �%(*)Xdo(,+H6,898 ! ���ed"� +s( # /V& 896�d�6 # � ! �0� �%(*&Xd W 6,) �ÊD���(*/1� !�! ���0/Z^_�+ F �7dE([� � W�! ��� ! D�( r � ! 62+m& ) = ! �9(*)Xdi=@6,)¤$?�V�.-CI # �edfd"�0�¤�9) ! � �V+S( # /�� ª � F Di��� # ���Ã6,)'� 6 # � # 6 ! �%(*) 6,8 ^ : tC�@�p+s( # /V& 896 � � � � � I N �9) K � L,O n®^p����(*&�3*��D��p� (Z)�( !�# �@D # � ! � ! ����+S( # /r&'896Ê��� # � W � ! �7d&Xd"�0� �9) ! ���43¤6 ! ���0/16 ! �9=@6pI # (,3 # 6,/3dE�9) �EI'I��0)'� � - �r^:Ã�V=.(*) =@89& ���]+ # (*/ ! ���ed<��+s( # /r& 8\6�d�6,) �Ê�����@( # �0/ � ^ L�! � 6 !xzy ��{�|?��� ��"�$ � k F 25= j ? 2 C ) +ak[+®h*hZ+ /`8 - ) h 2 C 8 - � S - (*)�=�254G4 - (Z)�0 + 0�)9= - / +ak�- (*) h[jak3+ak�t ÌHÍMÎ 2 C )C 2 - 8 + =�254 c � k F 2�= j ? 2 C ) +0j*j S - (*).0 + 03)�= - / - 2?]^) - (Z) k9+5C 0 � ª� � F P (Z) C ) � 25= j 2 C ) C 2 - 8 + =�254 c

� ) �V/1�93*� ! D�(*) � � # Di� 6 ! �'67I I?�0)Xd�DE� �0) F 6,) � ? 6 # �Y�@4,�0)v^]_a) ! � �Hdi=@6�d"� Wv! � � r � ! 6�+S&') = ! �%(*)67$?(>4,��=@6,)V$?�R�.-[I # �edfd"�0�V�9) ! � # /3d ! � 6 ! �9)d4,(*894,��6,)V6 # =�d<�9) � : tC�@� � � � � � I�I �9) K � LUO n®^Lt[�9) =.��3¤6 ! ���0/16 ! �\=@6�7d�=@67I'67$l8%��(,+`=@6,89=@& 896 ! �9) 3 ! ��� r � ! 61+m& ) = ! �%(*) W D�� d<6>D{)�( # �06�d<(*) ! (1�.-[I'8%(*� !�! �'�7doI?(^dfd<�%$'�\89� ! v,^

�*I

Page 82: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

¬i ���VÀ�¹�� ´�¹R ¶o·�³®±Y¹����¾¿Y¹Rº ��� m ��� o �oe·�ºY �

_a) ! ���hd"I?�0=@�96,8o=@6�d"�ed ? � F � N = I = 6,) � L : $'& ! )�( !   n W D��Z�'604,� ! ���Ê�.-�6,= ! �.-CI?�0= ! �0� 476,89&��edY(,+! ����d</16,8989�ed ! �0�93,�0)d476,89&���(,+E6¤/16 !"# � -©+ # (*/�" :GF>=@? n®^ � 67$'8%� � ^ I 8\�7d ! d ! ���ed"�Ë�.-CI?�0= ! �0�F476,89&��edY6,) �! ���0� # 6�dfvC/�I ! ( ! �9=�d@^ �����Ë�.-[I?�0= ! �0� 4U6,8\&��Z�9) ! �@3 # 6,8o+s( # ? � F � I �7d !"# �%4[�96,8�+ # (*/ �����@( # �0/ � ^   W�J67$'89� � ^ I � � : t ÌHÍMÎ no+s( # ? � F � N = I = 6,) � L? � F � : t ÌHÍMÎ n F� �

N � | � | a u�� � | a � � ¦ � u : | � u¦ = �¦ � | a �¦ � I�� u| n � � � : L^�   = �,I �   = I �   n � F � N[x � � � � � N � � FI   � F   � FL � : � M �� n| � � | a u�� ¦ � u : I�� F>= L

��� �   � F n : � ¦ ��I n � F � � x L � � N � � � F

DE� �\8%�2Di���0) ? � F � N ( #2LCW�! � �Z�9) ! �@3 # 6,87d�=@6,) $?�Ë+s(*& )'�F�\) K   LUO ^ �����Ê6�dv[/�I ! ( ! �9=�d16 # �Z/�(^d !# �06,� �\8;v�=@6,89=@& 896 ! �0��+ # (*/ ! � �g�9) ! �@3 # 6,8l+s( # /3dR+S( #o! ���]�VvCI?� # 3,�@(*/�� !"# �9=E+S&') = ! �%(*)Xd@^HQ`6 #<! �9=@&'896 # 8;v�&Xd"�@+m& 8+S( # /r&'896�dY6 # � � N � L � L : DE�'�9=b�Å� 6�d�6 ! v5I?(,3 # 67I'�'�9=@6,8�� #<# ( # �9)F(*& # �0� � ! �%(*)ln 6,) � � � � L �����9) K � LUO ^F:Ã�=.(*& 89�Ë&Xd<� ! � �ºdb6,/��e+s( # /r& 8\6�d ! (�+m& #<! � � # ��� # �%4,�]�.-[6,= ! �.-[I # �ednd<�%(*)Xd�+s( # 6,8\8l(,+ ! ����/�(*/��0) ! do(,+ ! � �ed"�� �7d !"# �%$'& ! �9(*)Xd W $l& ! �9) ! ���ed"� ! 67$'89�ed W D��Ê=.(*) ! �0) ! (*& # d"�08%4,�edVDE� ! �F/�� # �087v ! �����.-CI?�0= ! �0�Å476,89&��,^ :Ã�A[)�(>D;(,+¡)�(zd<�9/�I'89��+s( # /V& 896 +s( #�! ���i�.-CI?�0= ! �0��4U6,8\&��i�9) ! �@3 # 6,8lDE���0) ? � F �   W 6,) �2D��i$?�089�%�@4,� ! � 6 !� ! /16�vÊ)�( ! $?�e(,$ ! 6,�9) 67$'89��6�d�61�<v5I?� # 3,�@(*/�� !"# �9=]+S&') = ! �%(*)Ê(,+ (*)���476 # �967$'89�,^� 67$'8%� � ^   W 3*�%4,�ed �'4,�Y=.( #<# �0= ! � �%3*� ! dE+S( #]! ���r�.-[I?�0= ! �0� 4U6,8\&��r+S( # ? � F ^i:Ã�16,8Hd"(2I?� # +S( # /��0�¤6+S�@D 3 �H� � � r �.-[I?� # �9/��0) ! d]DE� ! � I N,N,N ? � ? /16 !"# �9=.�ed@^Y:Ã�1+S(*& ) � ! v5I'�\=@6,898;v ! � 6 ! 604,� # 673*�9) 3 ! ���� 6 ! 6�+ # (*/ I N,N,N /16 !"# �9=.�ed�D�(*& 8\�Ê3*�%4,� 6 ! $?�ed !�! D�(2� �%3*� ! d W Di� �9=b�ËD����9) =@8\& ���0�Ë�9) ! ��� ! 67$l8%�,^�iI I?�0) � � - r 3*�%4,�ed ! � ���.-CI?�0= ! �0��476,89&��ed`(,+ t ÌHÍMÎ +S( # F �   �e6,)'� F � ? �   �C^H:Ã�E=.(*/�Il& ! �0� ! ����.-�6,= ! �.-CI # �edfd<�%(*)Xdºdv[/r$�(*8\�9=@6,898;vÊ6,) � ! ���0) 6�d"A,�0� 3¤6 ! ���0/16 ! �\=@6 ! (Ë=.(*/1I'& ! � ! ����)5&'/�� # �9=@6,8 476,89&��ed! (  ,  � �0=@�9/16,8vI'8\6,=.�ed@^H:Ã� ! ���0) # (*& ) ���0� ! � ��6,)Xd"D�� # d ! ( ! �0)P���0=@�9/16,8?I'8\6,=.�ed@^��� ���.-CI?�0= ! �0�24U6,8\&���+S( # � -[�0� F �HdR6�dv[/�I ! ( ! �9= ! ( ? 6�d ? � x �������.-[I'896,) 6 ! �9(*)p�7d ! � � � 6>D (,+

� 6 # 3,� � &'/ $?� # d@^�q ( # 896 # 3,� ? W�! ��� /16 !"# �%- u� � ��� � 6�dE� �9673,(*) 6,8v�089�0/��0) ! dEDE� �9=®�Ê6 # � 6,89/1(^d ! d<& # �087vI db�9) =.� ! � �ed"� �08%�0/1�0) ! d]6 # � ! ���r/��06,)�dE(,+ ? �9) ���@I?�0) ���0) ! 476 # �967$'8%�ed�DE� ! � /1�06,) 476,89&�� I ^ t[�9/1�\896 # 8;v

�  

Page 83: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

�J67$l8%� � ^   � � : t ÌHÍMÎ n�DE���0) F � ?F � : t ÌHÍMÎ n �.-[I?� # �9/��0) ! 6,8I I ^ N,N,N,N,N I ^ N I  N ^ �   �   N N ^ � �L N ^   � � � � N ^   �� N ^ I � L � � N ^   N� N ^ I � I � � N ^ I �� N ^ I   �,� L N ^ I  � N ^ I N � � � N ^ I N� N ^ N � I � I N N ^ N � I� N ^ N � N � N � N ^ N � NI N N ^ N �   L,L � N ^ N �   LI N,N N ^ N,N � �   N �I N,N,N N ^ N,N,N � � � � �I N,N,N,N N ^ N,N,N,N � � � � �

! ����(5s � � �9673,(*)'6,8v�08%�0/��0) ! dE6 # ��/1�06,)Xd�(,+ ? �9) ���@I?�0) � �0) ! 4U6 # �967$'8%�edoDE� ! �Ê/��06,)Z476,89&�� N ^

� L

Page 84: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� ��������� �

� � � ��� � � �;����� � � � � ��� ��� ��� � ���� ����� ��� � ��� �

:Ã�����ed<= # �9$����9) ! �'�7dJ=®� 67I ! � # d"(*/1���9) ! � # �ed ! �\)�3 # �08\6 ! �%(*)Xd<� �9I�dz$?� ! D��@�0) # 6,) ��(*/¾/16 !"# �\=.�ed 6,)'�r( #b! ��(,3 �(*) 6,8 I?(*8;v[)�(*/1�96,87d0^g:Ã�3db��(>D ! � 6 ! :f�7d<� 6 #b! /16 !"# �9=.�ede6 # ��6�dfd"([=@�96 ! �0� DE� ! � � 673*&�� #<# �VI?(*8;vC) (*/1�96,87d WDE� �\8%� �]6,&Xdfdb�96,) �0)Xd"�0/r$'8%�ed26 # �P6�dnd"(C=@�\6 ! �0� DE� ! � gE� # /1� ! � I?(*8;v[)�(*/1�\6,87d@^ ��� � 89�7d ! D�(*& 89� )�( ! $?�=.(*/�I'89� ! ��DE� ! ��(*& !�! � � ! � � # �hd"� ! (,+H=@896�dnd<�9=@6,8?I?(*8;v[)�(*/1�96,87d W5! ���d6,=.(,$'�vI?(*8;v[)�(*/1�96,8Hd@^ �E����v26 # �r6,87d"(6�dfd"([=@�96 ! �0� DE� ! �Ë�0�%3,�0)54U6,8\&��ed�(,+H6�=@896�dfdE(,+ # 6,)'��(*/ /16 !"# �\=.�ed�DE� �9=®�ËD�� DE�9898?���ed<= # �%$?�,^� ¬®­ jf¿Y¹ ¸v·�ºYÂ�½g° ° ·�´?¸zµ � · � ��½ ��µ<·�´?¹� � µa´?¿ · �f¹Rµb»i¿g´ ¼>±�º � ´vµ<½iº:Ã� # �0=@6,8\8 ! � 6 ! �%+ � : � n��7d�6�) (*) � )��@3*6 ! �%4,��+m& ) = ! �9(*)2(*) 6 : I�(^dnd<�%$'8;v1�\) �l) � ! ��n��9) ! � # 4U6,8 K � = �bOXW ! ���0)ËD��=@6,) � � �l)��e63d"�ewC&��0) =.��(,+ ( #<! ��(,3,(*)'6,8zI?(*8;v[)�(*/1�96,87d � � : � n�(,+H���@3 # �@� ? $<v ! ��� =.(*) �'� ! �%(*)

� �� � : � n � � : � n � : � n�� � � N = �%+ � �� ? x

����� ! � # �@��=@896�dfd<�\=@6,8vD��0�93*� ! +m& ) = ! �9(*)Ê=@896�dfd"�ed�6 # �� : � n K � = �<O � � : � n� 673*&�� #<# � � � �XW � �BK N =�� n � � �� : � ngi� # /1� ! � � �XW � � � : � � =�� n � � : � nd6,=.(,$'� : I�� � n : I�ª � n � �BK �.I = I O � � � �� : � n x

� �

Page 85: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

��� # (*&�3*�Z6p8\�9)��06 # =®� 6,)�3,�V(,+`4U6 # �\67$'8%�ed W D��Y/16evZ6,87d<(2��� �l) � � 673*&�� #b# � W gi� # /1� ! � W 6,) � *6,=.(,$'�¡I�(*87v �)�(*/1�\6,87do(*)Ê( ! ��� # �9) ! � # 4U6,87d�6�dED��08\8 ^:Ã� 6 # � )�(�D # �06,�Xv ! (B��� �l) � ! ��� # 6,) � (*/�/16 !"# �%-Å6�dfd<(C=@�96 ! �0� DE� ! � 6�D��0�%3*� ! +S& )'= ! �%(*)v^ � � !� : � nV$?�Z6 D��0�93*� ! +m& ) = ! �9(*)Å(*) 6,) �9) ! � # 476,8 K � = �bOXW 6,) � 8%� !�� $?� ! � � d"� ! (,+ºdvC/p/�� !"# �9=Ê/16 !"# �9=.�edDE��(^d<��d"I?�0= !"# & / �7d��9)Xdb�9��� ! � �7dr�9) ! � # 4U6,8 ^Ëq�( # � ���iWJ! ����d<=@6,896 # +S& )'= ! �%(*)Ã(,+�6 /p6 !"# � -Ã6 # 3*& /��0) !Ï : � n � � � ! : � : � n"ng�7diD��0898�� ��� �l) �0�P6,) �¤�7dg�9)54U6 # �\6,) ! & ) ��� # ( #<! ��(,3,(*) 6,8 db�9/1�9896 # � ! v !"# 6,)Xd<+s( # /p6 ! �%(*)Xd(,+ � ^ r vÊ)�( # /16,89�9G0�9)�3 � d"( ! � 6 ! ��

Ï : � n�� � � I =D�� =@6,) =.(*)Xdb�9��� #�� ! (p$���61I # (,$'67$'�\89� ! v3d<I'6,=.�,^R:Ã� ! � �0)Z�9) !"# (C�'& =.��h��� �� / �G{���"�$ � k � : � n 8H/b2 P )�8E:�( -Uk @*=�_ - 8 + = + = K � = �bO S 25= j�� 8H/ - (*) h�C+ �f2 �98G4�8 - � / h 2V_`) +"k / � 0�0�) -%C 8%_032 -%C 8%_1)1/ P ( + /e) )98;:<)�=X>?254A@�)1/¥2 C ) 86= K � = �bO P 8 - ( - (*) h�C+ �f2 �98G4�8 - � 0�)n2?/`@ C ) j )1/�_ C 8 �`) j 2 � + >5) S P )°/�2 �,- (*2 -- (*),032 -%C 8%_1)1/.8G= � (�25>5) - (Z) C 25= j^+ 0 032 -%C 8;D j 86/ -%C 8��9@ - 8 + =�2?/n/ + _�8�2 - ) j P 8 - ( � : � n c:Ã�Y�9/1/��0� �\6 ! �08;vÊ� 604,� ! ���Y6,) 6,8%(,3,(*&Xd]��� �l)'� ! �%(*)Ë+S( # gi� # /1� ! �\6,) /16 !"# �\=.�ed W Di� �9=b� D��VDE�98\8z6,87d"(�&Xd"�,^_a) ! ���g+S(*898%(>Di�9)�3 W D��gDE�9898l)�( ! $?�g=.(*) =.� # )��0��DE� ! �pDE��� ! ��� # � : � n�� 6�d�$��@�0)�)�( # /p6,89�%G@�0� W 6,) �pD��]DE�98986,898%(�D +S( # 89�9)��06 # =®� 6,)�3,�edE(,+ 476 # �967$l8%�ed�6�d�D��0898 ^xzy ��{�|?������"�$'&#(*) C )f2�4Z2�= j _ + 0 h 47)fD �h8H/`(�2 C9- 032 -%C 8ED j 86/ -%C 8��9@ - 8 + =Z/°2 C ) 2?/n/ + _�8�2 - ) j P 8 - ( � C )9/9_`254;) j ��~2�:�@�) C1C ) P )98;:5( -Ck @�=�_ - 8 + =Z/ S P (V8G4;) - (*)¥25@�/n/18%2�=�)9=Z/e)90 �947)1/ 2 C ).2?/n/ + _�8�2 - ) j P 8 - ( � C )9/9_`254;) j � �,) C 0�8 - )P )98;:5( -'k @*=�_ - 8 + =Z/ c� C+e+ak q # (*/ � �0/1/16 L ^   W �%+ � �7d :GF>=@? n = ! ���0)   � �Hdp6�dfd"([=@�96 ! �0� DE� ! � ! � � � 673*& � #<# � D��0�%3*� !+m& ) = ! �%(*) � � � � | � u��\¥a¦ � �XW = DE� �\8%�e�%+ � �7d � :GF>=@? n ! ���0)   � �7d�6�dfd"([=@�96 ! �0�ZDi� ! � ! ��� � 673*&�� #<# �eD��0�%3*� !+m& ) = ! �%(*) � � � | � �XW x q # (*/ � �0/1/16 L ^ I W �%+ � �7di+ # (*/ ! ��� "�� � = ! � �0) �   � �7dg6�dfd"([=@�96 ! �0� DE� ! � ! ���gi� # /1� ! ��D��0�%3*� ! +S& )'= ! �%(*) W DE� �989�V�%+ � �7d]+ # (*/ ! ��� " � � = ! ���0)Ã� ! �7de6�dfd"([=@�96 ! �0�ÃDi� ! � ! ���3gE� # /1� ! �D��0�%3*� ! +S& )'= ! �%(*)v^��� �e(*) 8;v26 !"! �0/1I ! 6 !�! � �eAC�9)'�2(,+`3,�0)�� # 6,89� ! v�3*�%4,�0)Z�\)��i� ��) � ! �%(*) �C^ I (,+`DE�'�9=b�ËD�� 6 # ��6>D�6 # �V�7d! ����d<��( #<! 6 #<! �9=@8%� KML   OXW DE� �9=®� =.(*/�Il6 # �ed ! ��� # 6,)'��(*/{/p6 !"# �9=.�ed 6�dfd"([=@�96 ! �0�VDE� ! �.gi� # /1� ! �RI?(*8;v[)�(*/1�96,87dDE� ! � ! ��(^d"�Y6�dfd"([=@�96 ! �0�¤DE� ! � � �@3,�0) � # � I?(*8;v[)�(*/1�96,8Hd@^���� 6 ! :;�Hd<� 6 #<! /16 !"# �9=.�edg6 # �Y6�dfd"([=@�96 ! �0�¤DE� ! �� 673*& � #<# ��I?(*8;v[)�(*/1�96,8Hd�67I I?�06 # d ! (p� 604,�r)��@4,� # $?�@�0)Ê(,$�d<� # 4,�0�v^

� �

Page 86: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� ¬i ¿Y·�¸v· � ´�¹�¸zµ � ´vµ �²À�½g³��rºY½g° µ<·�³� )��2=.(*/�I'6,= ! D�6�v ! (P6,898 ! ���1�0�%3,�0)54U6,8\&��ed (,+�6P/16 !"# � -��7d ! � # (*&�3*��� ! d =b�'6 # 6,= ! � # �7d ! �\=1I?(*8;v[)�(*/1�96,8 W� � :�� n � ��� ! :�� � � � n x q�( # 6 # 6,) ��(*/ /16 !"# �%- ��W D���=@6,)Z6�d"A�+s( #E! ���e604,� # 673,�Y=b� 6 # 6,= ! � # �7d ! �9=]I?(*8;v[)�( �/1�96,8 W � :�� n � � : � � :�� n"n x �E��� # (5( ! do(,+ ! � �7d�I?(*8;vC) (*/1�96,8 D��0898?���ed"� # 4,� ! (�$?�]=.(*)Xd<�9� � # �0�Ë6 ! v5Il�9=@6,8�d"� !(,+z�0�%3,�0)5476,89&��ed�+s( #�! ��� # 6,) ��(*/}/16 !"# � -p6 ! � 6,) �v^LtC(r+S6 # 6�d�D��gA[)�(>D W[! ��� # �ed<& 8 ! dR�9) ! � �7dbd"�0= ! �%(*)Ë6 # �)��@D�^q�( #�# 6,) ��(*/ ? $<v ? gi� # /1� ! �96,)2/16 !"# �9=.�edo6�dfd<(C=@�96 ! �0��DE� ! �p6rD��0�%3*� ! +S&') = ! �%(*) � : � n W[! ���]604,� # 673,�=b�'6 # 6,= ! � # �7d ! �\=ÊI?(*8;vC) (*/1�96,8o�7d ! ���Z) �\=.�ed !�# �ed<& 8 ! � ! =.(*& 89�Å$?�

�� ! �7d ! ��� ( #<! ��(,3,(*) 6,8�I?(*8;v[)�(*/1�\6,8�(,+���@3 # �@� ? ��� �l)��0�Ë$�v � : � n`�

xzy ��{�|?������"�� �#) - 2 C 25= jV+ 0 ? � � ? �,) C 0�8 - 8%25=�0[2 -%C 8;D � �`)[2?/`/ + _e8%2 - ) j P 8 - (�2 P )�8E:�( -?k @�=�_ - 8 + =� c &#(*)�= - (*)[25>�) C 2e:<)�_9(�2 C 2^_ - ) C 8H/ - 8%_ h*+ 4 � = + 0�8�254 8H/ - (*)z0 + =X8�_ +5C9- ( + : + =�254 h*+ 4 � = + 0�8�254 +ak�j )�: C )`) ?j ) �¹=�) j � ��- (*) P )�8E:�( -'k @*=�_ - 8 + = � c� C+e+ak �E� �7d�+s(*8\8%(>D do�9/p/��0� �96 ! �08;v�+ # (*/ ��� �@( # �0/ L ^   : L ^��*n W'! ���]+m6,= !�! � 6 !�! ���e=b�'6 # 6,= ! � # �7d ! �\=]I�(*87v �)�(*/1�\6,8v�7d���� �l)��0� ! (1$?�]/1(*) �9= W 6,) � ! � ��+s(*8\8%(>DE�\)�3rD��0898��XA[)�(�DE)Ê+S( # /r&'896V+ # (*/ K � � O � |?{��¹{��� / �G{ ��"�$ �#) - � : � n �n)z2 P )98;:5( -�k @*=�_ - 8 + = + =u25=!86= - ) C >5254 K � = �bOXx &#(*)9=

� � :�� n � �� � ��� K ���9� u :�� � t � n ��S�5� : t � � t � n ¦ ���9� u � : t � n�� t �j ) �¹=�)1/ +�C1- ( + : + =�2�4 hZ+ 4 � = + 0z8�254�/ +"krj )�: C )`) ? P 8 - ( P )98;:5( -lk @�=�_ - 8 + = � cq # (*/Á�����@( # �0/3d �C^ I 6,) ���C^   W D�� � 604,�

� {�| { 1 1G�X|�� ��"�$'&#(*)!25>�) C 2e:<)�_�(�2 C 2^_ - ) C 86/ - 8�_ hZ+ 4 � = + 0z8�254�/ k�+5C 0[2 -%C 8�_`)9/ k`C+ 0 � :GF>=@? n 25= j - (Z)�� ��2 C )

� :GF>=@? n �� � || : � �   n

�� � � � : � n xq�( #`# �06,8�dv[/1/�� !"# �\=�/16 !"# �9=.�ed W D���&')�+s( #b! & ) 6 ! �08;ve��(g)�( ! � 6>4,��6�d 3,�0)�� # 6,856 ! ���@( # v�6�d`�9)���� �@( # �0/�C^   W�! ��(*&�3*�ËD��]$?�089�%�@4,� ! � �7d�D�(*&'89��$��]6V+ # & � ! +m& 8 ! (,I'�\=i(,+J+S& #<! ��� #�# �ed"�06 # =®�v^�_a)2Il6 #<! �9=@& 896 #>W � ! D�(*& 89�

� �

Page 87: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

$?�e4,� # vË&Xd"�@+m& 8 ! (p& ) � � # d ! 6,) �� ��� �� :�� n � �

� � ��� K ���9� u :�� � t � n ��S�5� t � � t � � ���%� u : � : t � n�� t � n : �C^ I n+S( # 6 # $'� !"# 6 # v � = �ed"I?�0=@�96,898;v � � I ^�_ ! �7dEI?(^dfdb�%$'8%� W ��(>D��@4,� #0Wz! (Ê=.(*/�Il& ! � � ��� �� :�� n�Di���0) ! ���rD��0�%3*� !+m& ) = ! �%(*) � : � n��Hdo(*)���(,+ ! ��� =@896�dfdb�9=@6,8?D��0�93*� ! +m& ) = ! �9(*)Xd����������� �~"%$'&#(*) h*+ 4 � = + 0�8�254 � ��� �� :�� n j ) �¹=�) j 8G= ��� c � � 86/ h�C+®h*+5C9- 8 + =�254 -�+

� � �� � � �� :�� n 8 k � : � n � : I�� � n : I�ª � n (*) K �.I = I O =� � � �� : ¦

�� n 8 k � : � n � � � �XW (*) K N =�� O =

� � : � ¦�� n 8 k � : � n � � �XW � (*) K � � =�� O =

P (*) C ) � � � �.IRª   : � ª�I n ��� 25= j � � � �.I�ª   : � ª�I n ����x� C+e+ak �E��� *6,=.(,$'� # �ed<& 8 ! 67I I?�06 # de�9) K � O ^���� � � 673*&�� #<# �16,)'��gE� # /p� ! � # �ed<& 8 ! dg� (Z)�( ! 67I I?�06 # �9)! ����89� ! � # 6 ! & # � W $'& ! =@6,)B$������ # �%4,�0�©+ # (*/ ! ��� *6,=.(,$'� # �ed<& 8 ! &Xd<�9) 3 � wC& 6 ! �%(*)Xd : �C^ L ^ � nV6,) � : �C^��C^ L n�9) K � � O ^Å:Ã�Z� 6>4,� ��� # �%4,�0� 6,) 6,8 ! � # ) 6 ! �%4,�ÊI # (5(,+i(,+ ! � �HdV89�0/1/16¤$<vB4,� # �%+GvC�\)�3 ! � 6 ! �9)F�06,=b� =@6�d"� W! ���Z/V& 8 ! �%476 # �96 ! �Z�\) ! �@3 # 6,8°db6 ! �7d��'�ed ! � �Z� �Es?� # �0) ! �\6,8o�ew5& 6 ! �9(*) +s( #p! ���ÊI?(*8;vC) (*/1�96,8 ^Å�����ed"�ÊI # (5(,+%d6 # ��d<�9/1�\896 # �9) ��604,( #]! ( ! � �rI # (5(,+`D��r3*6>4,�V(,+������@( # �0/ � ^ I W d"(pD��r(*/p� !E! ���0/Z^�:Ã�[d<&Xd"I?�0= ! 6Bv,� !d<�9/1I'8%� # I # (5(,+'(,+ ! � �7d 8%�0/1/16g/1�%3*� ! $���(,$ ! 6,�9) �0�r$�v ! 67A[�9)�3 ! ��� � 67I'8\6,=.� !"# 6,)Xd"+S( # /{�\) � W $?�0=@6,&Xd"� ! ���=@896�dfdb�9=@6,8v( #<! ��(,3,(*)'6,8¡I?(*8;v[)�(*/1�96,8Hd��'604,�,db�9/�I'8%� � 67I'896,=.� !"# 6,)�d"+s( # /3d W ! ��(*& 3*�ÊD��V� 604,�V)�( ! I'& # d<&��0�! � �7d��\���06[^:Ã��)�(�D =.(*)�d<�9��� # 6,)�( ! ��� # d"� ! (,+ # 6,) � (*/²/16 !"# �9=.�ed ! � 6 ! 6 # �7d"�r�\) ! ���Y/V& 8 ! �%476 # �96 ! � 6,)'6,8;v�db�7dE(,+476 # �96,) =.� : 3 � � �� �en®^ � � ! � $?�Y6Ë/16 !"# � -¤+ # (*/ :GF>=@? u ni6,) � $?�V+ # (*/ :GF>=@? ¦ n®^r��� �0) D��DE�98\8~d<6ev ! ���V/p6 !"# � -� ��� : � ª n � u �Hd :GF>=@? u =@? ¦ n®^ t��9) =.�� � : � ª � � u n � u = � ! �7diI?(^d<� ! �%4,���� �l)'� ! �ÊDE� ! � 6,898��0�%3,�0)54U6,8\&��ed1(*) ! ��� �9) ! � # 476,8 K N = I OXx _ ! �7dp=@89�06,)�� #p! (BD�( # A Di� ! � ! ����dvC/p/�� !"# �9=/16 !"# �%- � � � � u�¥a¦ � u�¥a¦ W DE� �9=®�Å� 6�d ! ��� d<6,/��Ë�0�%3,�0)54U6,8\&��ed�6,) �Å�7dY�9)54U6 # �\6,) ! & ) ��� # ( #<! � (,3,(*) 6,8d<�9/p�9896 # � ! v !"# 6,)Xd"+S( # /16 ! �9(*)Xd@^Y�����ica(*�\) ! ���0)�d<� ! vP(,+ ! �����089�0/��0) ! d�(,+ ! ��� # 6,) ��(*/ /16 !"# �%- � =@6,)Ã$?�3*�%4,�0)Ã6�d � ��� ! � : � niDE� � # � � : � n � � ���� � � � | � u�� : Ii� � n ���� � � � | � u�� ^ : tC�@� K   OXW I¡^ �   �C^ nB���5&�d ! � �ed"�/16 !"# �\=.�ed�6 # � 6�dfd<(C=@�96 ! �0� DE� ! � ! ��� *6,=.(,$'�vD��0�%3*� ! +m& ) = ! �%(*) # �edb=@6,8%�0� ! ( ! ���r�9) ! � # 4U6,8 K N = I OXxxzy ��{�|?������"� &#(*)[25>�) C 2e:<)�_9(�2 C 2^_ - ) C 8H/ - 8%_ h*+ 4 � = + 0�8%254�/ k9+�C 032 -%C 8%_1)1/ k`C+ 0 :GF>=@? n S - (*) � � S

� �

Page 88: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

25= j :GF>=@? u =@? ¦ n 2 C ) :GF>=@? n � � � � |o�| : � n� � � � : � n :GF>=@? u =@? ¦ n � � � � � |�� � � � |��| : I��   � n

� C+e+ak �E���eI # (C(,+J+S(*898%(�D do+ # (*/ � �0/p/16 �C^ I 6,) � �����@( # �0/ �C^ I ^��� �e+s(*8989(>DE�9) 3 3 �H� � � r �9)�d !"# & = ! �%(*)�d�3*�94,� 63d<�9/1I'8%�gD�6�v ! ( ! �ed !�! ���ed<��+s( # /r& 8\6�d������������������ �������

����������������������� �"!#�$�%�%���&!'� (��%�)�*!+ �%�,()���.-/�10�0)0�02�3�)�����4���5�76$�"!8���:9<;�=��>��?��2/�"!@�����%����?4������A2�����B!��4���+ �%�,()���.-/�10�0)0�02�3�)�����4���5�76$�"!8������=%�5�!@�$���4�$�%?%�����%A5�����"!C�4���+ �%�,()���.-/�10�0)0�02�3�)�����4���5�76$�"!8������=%�5�!@D��)���4���5��6$�"!FE��4DG=HD*)!��()�%��(�?4� �)�%A5�H��IJ�H�K?�E����B!������_a) ! � � ! � # �@�g=@6�d<�ed�$?�08%(>DfD��]8\�7d ! ) ( # /16,89�%G@�0� # �ed<&'8 ! dR(,+ ! ��� 3 �H� � � r �.-[I?� # �9/��0) ! (*) ! ���e8%�@+ ! 6,) �! ����=.(C�.T2=@�%�0) ! dH(,+ ! ��� !"# & ��I?(*8;v[)�(*/1�\6,87d : )�( # /16,89�%G@�0� ! (e$?���9) ! �@3,� # d®nJ(*) ! � � # �%3*� ! ^`�����o=.(C�.T2=@�%�0) ! d6 # ��D # � !"! �0)hd"�ewC&��0) ! �96,898;v2DE� ! � ! � 6 ! (,+ ! �����'�%3*���ed ! ( # � � #�! � # / �9) ! � � � # d !�# (>D�^

�z) C 0�8 - ) �#2e:�@�) C`C ) �#)�:�)9= j�C )�)� �ML �$� � L � ( � L

I   � ^ N I   � � I ^ N � I L � L   ^ N L � L  � L ^�� N � �C^ N � � � I�I � � �C^ L � I   N I  

� I L,L �5^   � I L �,� � � � N ^ � � � �   I � � � N ^�� I � � L    �5^ � N � L7N,N ^�� � L � N � I�I � � N ^ L � I�I � � NL,L � N ^�� L,L � N �   � � N �C^ � �   � � N,N � I � � ^   �   N,N�   �C^ � N � I  ,  �C^ L �   �   N � � � � ^�� � ��� �

� I � � �C^�� � I � � N � L,L � �   ^ I � L �   � N � �C^�� � �L � ^ � N � � L7N ^ � � N � N � I ^ N I� ¬�� jf¿Y¹Á° ½�Â�¹�g)�( ! ��� # )�( ! �%(*)�(,+ ! � �g/�(^d ! 8\�%A,�08;v1� �7d !"# �%$'& ! �9(*)�(,+ ! ���]�0�%3,�0)54U6,8\&��edo�7d�3*�%4,�0)�$<v ! � �ºd<� ! (,+J)5& /r$?� # d! � 6 ! /16U-[�\/1�%G@� ! ���`c"(*�9) ! ���0)Xdb� ! vV+S&') = ! �%(*)v^ É )'89�%A,� ! ���g=b� 6 # 6,= ! � # �7d ! �9=�I?(*8;v[)�(*/1�\6,8[4C�%�@DEI�(*�\) ! DE� �\=b�

� �

Page 89: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

D��e$��08\�%�@4,� ! (p$��])��@D W�! �'�7do� 6�do$?�@�0)Ê)�( ! �9=.�0�Ë$�v ! ���eI'�<v*d<�9=@�7d ! d�+S( #�! ���e=@6�d"�ed�(,+ ! ��� � � � 6,) � ! ���� É � ^:Ã�zd ! 6 #<! DE� ! �Ê6,)�( ! ��� # I # (,I�(^db� ! �%(*)�+ # (*/ K � � O ^ |?{��¹{��� / �G{ ��"��p&#(*)./�) -�+"kgt � - (*2 - 0[2�D�8G0z8���) - (*)[)fD h�C )9/n/18 + =

� : tvu = x@x@x = t � n � ���9� u � : t � n ��S�5� t �?� t � =P (*) C ) � : � n 86/!2��Z2^_ + �98 S �~2�:�@�) C1C ) S +�C �z) C 0�8 - ) P )98;:5( -ok @*=�_ - 8 + = S 8H/h:�8G>5)�= � �·- (*) C�+e+^- / +ak 2�=+5C9- ( + : + =�254 h*+ 4 � = + 0�8�254 P 8 - ( C )1/ h )f_ - -�+�- (*)./�250�) - �®h ) +ak P )�8E:�( -'k @*=�_ - 8 + = c

tC�@� : K � � OXW I¡^ I � N n�+s( #�! ���e��� ! 6,�\87d # �0896 ! �9)�3 ! ���]D��0�%3*� ! +m& ) = ! �%(*) � : � n�DE� ! � ! ���]( #<! ��(,3,(*)'6,8?I�(*87v �)�(*/1�\6,8?DE��(^d"� # (C( ! d�I # (>4[�9��� ! ��� /p6U-[�9/V& /Ê^��� �i=.(*) =@89&�d<�%(*) ! (r$?� # �06,=b���0�Ë�7d ! ���g+s(*8989(>DE�9) 3 ! 67$'8%�]89�7d ! �\)�3 ! ���g( #<! ��(,3,(*) 6,8�I?(*8;v[)�(*/1�96,8�Di��(^d"�# (C( ! dE/16U-��9/1�9G@� ! � �oca(*�\) ! ���0)�d<� ! v2(,+ ! �����0�%3,�0)54U6,8\&��ed W DE���0) ! � � # � �7d�61/p6U-[�9/V& /Ê^ :GF>=@? n � � � � | � ¦<�| : � n

� :GF>=@? n � � � � | � u��| : � �   n� � � � � : � n� É � � � : � n x:Ã� ��) � � ! =@& # �%(*&Xd ! � 6 !e! � �Y/1(C���16,)'�P�.-[I?�0= ! �0��=b�'6 # 6,= ! � # �7d ! �\=YI�(*87vC)�(*/p�96,8J�'�Es�� # d<8\�%3*� ! 87v �9)! ���e:f�7d<� 6 #b! =@6�d"� W $'& ! 6 # ���.-[6,= ! 87vË�\���0) ! �\=@6,8?+s( #�! � �*�]6,&Xdfdb�96,)Ë�0)Xd"�0/r$'8%�ed@^��E� �7d�/167A,�edi&XdoD�(*)'��� #DE��� ! � � #2! ��� # (C( ! d�(,+.gE� # /1� ! �¤I�(*87vC)�(*/p�96,87d1/16�vJd"(*/��0� (>D�$?� # �08\6 ! �0� ! ( ! ���¤$?�0� 604[�%( # (,+ ! ���

�E�9�0/16,) )ËG@� ! 61+m& ) = ! �9(*)v^ : tC�@�ztC�0= ! �%(*)   ^ � ^ n

� �

Page 90: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� � � ��������� �

� ��� � � � � ��� � � � ��������� �

� & # 3¤6 ! ���0/16 ! �\=@6 I # (,3 # 6,/�dÊ+s( # =.(*/�I'& ! �9) 3 ! � ��� �7d !"# �9$'& ! �%(*) (,+ ! � �ud</16,898%�ed ! �0�93,�0)d476,89&��Ã(,+�6:f�7d<� 6 #<! /16 !"# � -¤6,) � ! � �V/�(*/1�0) ! d](,+ ! � �V� �Hd !"# �%$'& ! �%(*)Ê+S(*898%(>D ^i:Ã��� 6>4,��d<�@I'6 # 6 ! �0� ! ���V�@4,�0)Ã6,) �([� �©=@6�d"�ed WH! ��(*&�3*� ! � ��v�=.(*& 89�©�\)�+m6,= ! $?�p/�� # 3,�0�B�9) ! ( (*) � # (*& ! �9)��1DE� ! �ud"(*/�� � _�+ �Yd ! 6 ! �0/��0) ! d0^É d"� # d¥d<� (*& 89�Ë$?�e=@6 # �@+S&'8z)�( !�! ( !"# v ! (p=@6,8\=@& 896 ! ��$?( ! �Z=@6�d"�edi6 ! (*) =.��Di� ! � ! ���ed"��I # (,3 # 6,/3d@^

� N

Page 91: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������! �����"���#���$%����#%��&���������������������������������������������������� �%'�(��)�) ������������������������������������������������ *��������)�����+��� ,�-�.�/ ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

021 3546�%3�798;: 021 246��7�:�<�� 1 ��:�:� = >?4@>+4A ����&CB 1;D ��E54��� 1 '�>�7�:�F5GH� 1 F�7: 0I1 J46�%'�K�79G� 1 ��3�7L8;:�� 1 ��7�:���M 0 ����) 1 �N��=���'������ 1 ��'�>�7%'�K���-O�P+'����CQ 1 � 1 ��'�>@794���7

=�R����'�>��?���6�%'���'�>���-5�S+'�������� 1 ��'�K�7�79G� 1 '�>�7 �C7�7

& 1 3546�%3�798;:CUT�#���)���&�� 16V ���+� 16W -�K�7�- V ���+� 1 � W =CX��-�K�794 D�W 4NK54;�%'� E�7%�K�Y?�PJ�Z>C=C+'�� ��-�K�'�>��

���\[�����&��%��������]���"^+�� �����_���` L�SJ46�+�`���+�������� 1 3546�%3546]�3�7L8;:�& 1 J46��7%��[��������%��&���������a������ 1P0J1 J46��7L4b��7Lc

d ��e%��� 1 �NK�-�X��Y?�;]�=�B%= >C=O�f�%'�+'�>���-�K%� V �@�+� 1 ]�=�B�= >C=O�6��'@+'�>���-�K�7L4 D BI4bF94��P+' >��X�f�%'C+'�>���-�K�E�7

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������! �����"���#���$%����#%��&���������������������������������������������������� �%'�U������� ������������������������������������������������ *��������)�����+��� ,�-�.�/ ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���^g���#��\h��&��� 0 �����������#�)���#���) 0 ����#_��� 0 ����i��%��?��������j�����)\k_���)�����&�#%�Ce���)l���_[�"%� 0 ����#�m9Gnh��\)����%�����`��"�� 0 ����#`e�i`o����

���^��:Cp���o 1 354P+3�798;: D >?4;F�E

��h%��e�i���h%� 1 +3�7�: D�D FO4��S+'�>���-�K�E54 D K��O4N��= >�E�E

���^�qr(���o 1 3546�%3�798;:�o 1 246��7�: A ����&CB 16D ��E54

��� 1 '�>�7�: D FO4bF�E5Gs� 1 F�7�:�o 1 J46�%'�K�79G� 1 ��3�7L8;:�� 1 ��7�:���M 0 ����) 1 �N��=��%'������ 1 ��'�>@7�'�K���-R�P+'����@Q 1 � 1 ��' >�794N��7=��5����'�>��X���6�%'���'�>���-R�P+'�������� 1 ��'�K�7�'���h%��e�i���h%� 1 %7LcN� 1 ��'%>C7�-5�P+'����C79G

� 1 '�>�7 �C7

���\[�����&��%��������]���"^+�� �����_���t 9�PJ46�+�`���+�������� 1 354P+3546]�3�7L8;:����@ 0 ������i 1 & 1 J4P�7��U��o�#�� 1 �bK�-�u��Y+�NK�]�= >��C7l��# 1 J4;]�=C+-�K�7O�;]�= >���� 1 J4;]�7�7+�������� 1 3546�%3546]�3�7L8;:5�6T�#%����� 1 o 1 24;��7�79G����Z 0 ������i 1 & 1 J46��7��R�

[�����������&���������a������ 1 o 1 J4f��7 1�1 >@7�794N��7Lcd ��e%��� 1 ��o�#�� 1 �NK�-�X��Y?�NK�]�=�K�B%=���'� = >��C7���# 1 J4;]�=�B%=��%-�K�7O�;]�=�B%=O�f��'�u��-�K�=�>��C� 1 J46]�=�B%=O�6��'@u��-�K�794

D BI4;FO4��P+'%>��X�6�%'@u��-�K54Z>�E�7

� I

Page 92: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

'R�P+'�>���-�m%��[��������%��&���������a%����� 1 o 1 J46��7 1�1 K�7�794N��7Icd ��e%��� 1 ��o�#�� 1 �NK�-�X��Y?�NK�]�=�K�B%=���'� = >���7���# 1 J46]�=�B%=��%-�K�7(� 1 J46]�=�B%=O�f�%'�u��-�K�794

D BI4;FO4��P+'%>��X�6�%'@u��-�K54Z>�E�7 �C7��

���^ ��!��������������"��\����M��_�����������!)�����������]�=�B�=��%-�K_�����# 1 +354N��3�7L8;:���# 1 J4N��7�: V ��� � 1 ��= >C'C+-�K�7 V �@�+� 1 ��=5��'� = >���-�K�7�- V ���?� 1 +-�K�=���=O��'� =�,���-�K�7

& 1 354P+3�798;:C V ��� � 1 �P =�>���-�K�7l-���o�#�� 1 K�T���7& 1 3546�%3�798;:CUT�#���)���&�� 16V ���+� 16W -�K�7�- V ���+� 1 � W =CX��-�K�794 D�W 4NK54;�%'� E�7%����o�#�� 1 K�YX�PJ�S+'��+��'�>���7

��� d "��������#��`��"��\�����)`��������&��%����������������&����������54 h�"����!(���\��)�)��"���i_��#��_&��� 0 ������)_��M���&�����iO4 ����"���#�h���������"���i_��#������������C�����#�+�`��� A ������������ 1 +354N'%>�7L8;:�� 1 J4N'�>@7�:�<�� 1 ��������j 1 �794

�P+'�>���-�K �@>�'�>C-�u��Y?�b'5�P+'�>���-�K%� A ����� 1 >�'�>�-@J4��P+'%>���-�K54;,�-�K�794���@ 0 ������i 1 �S+'�>���-�Kl��o�#�� 1 �@>C'�>�-�u��Y?�N'5�P '�>����C7p����� 1 �b'�>���Y W ���P+'�,%��-�K%���6- W �;-5���P+'�,���-�K�' W ����@>�'���o�#�� 1 RY+�N'5�NK W =�,����C7���-5� W =�,�-�K��X4 D�W 4bFO4��P?'�,���-�K�E�7�7�7

� 1 +354bF�7 8;:\� 1 J4bF�7�: �S = >�������o�#�� 1 �7�-�K�-@� 1 +354fB%3�7L8;:�� 1 J4fB�7�:U���Z 0 ������i 1

�fBI�NK�'%>�-�u�X� B%=O�P =�>���-�K%��� 1 J4fB%'�>�7%'5�fB�=9�P+'�>���-�K%�X�6B%=O�S+= >���-�K���� 1 4fB�'�K�7+��-���fB�'�>C-�K%�X�@>C'�>�-�u�?�fB%= >����C7

� 1 +354bF�7L8;:�� 1 J4bF�7�:�<�� 1 �������%j 1 %794�P = >���-�K �@>�'�>C-�u��Y?�b'5���P =�>���-�K%��� A ����� 1 >�'�>C-�J4��P�= >���-�KR4@>�-�K�7O4���@ 0 ������i 1 �S = >���-�Kl��o�#�� 1 �@>C'�>�-�u��Y?�N'5�P�= >����C7p����� 1 �b'�>���Y W ���P+'�>���-�K%���6- W �;-5���P+' >���-�K�' W ����@>�'���o�#�� 1 RY+�N'5�NK W = >����C7���-5� W =�>�-�K��X4 D�W 4bFO4��P?'%>���-�K�E�7�7�7

� 1 +354@>@7L8;:�� 1 J4@>�7�:5�;� 1 J4;F�7�'5�P�= >���-O�NK���o�#�� 1 %7+��� J�P+=�,���-O�P+'%>��� 1 +354fB%3�7L8;:�� 1 J4fB�7�:U���Z 0 ������i 1

���NK�B�'%>C=O�@>�'CB?��-�u�?�fB%=O�P�= >���-�K��C� 1 J4fB%' >�7�'5�fB�=5�P+' >���-�K��X�fB%=O� �= >���-�K%��� 1 J4fB�'�K�7 ��-�fBI�fB�'%>�-�K%�X�Z>�'�>�-�X���C7

���

Page 93: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� � � ��������� �

� � � ��� ��� �� � � ����� � � ��� ���

������������� ���!�#"�$&%('*),+.-0/2143657���!398 :;�=<>/23�1.5@?A$2B =@? -C/D143 �FE B E �4G �4H�IKJ E ?FL B E �4GNMPORQ ��������S�=<RT��U3��V:;1.57W��(�!�=IX�!1 ��� <Y8SZ.H�8\[]:U�4H^�_W�� �4:;�=<��4H�I`� Q �=HX: Q 14W�Wa�=Ib�!1#�!�=H`I�8SZ.8S��<���/2�!�U3R� Q �VI��=:U8 57�4�Wc1.8 H^�UdPe0H�� 8Sf4��<!���4H�I���3YI7HN��5g�U3Y8h:U�4�(:U�4� :U��� ����8S1.H�<Ui.Tj� Q �4Ig� Q �R�;klWc�=:;�!�=I7m��4� �(�=<*8 Hg�4H#�;kl�4:;�j<!nl5>�c1.� 8 :/2143Y5Xi��4H�IX� Q ��<R8 ��T�1.���hI Q �=m4�63��=o^��8S3��=Ib� 8S�!���S�C5g143Y�VT�143Yfp�!1#:;1.57W��(�!�#qUJ4Jp<�8SZ.H�8\[a:U�4Hr��I�8SZ.8 ��<Ud

s4t

Page 94: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� ����� � ����� � ����� �� ������������������ � ��������������������� � ���������������������� ������������� � ���������������������� � �������������� �������������������� � ���������������������� � �������� ���!��������� ����������������������� � ������������!�������� � ������������������� ��������������������� � ��������������������� � ������������������������ �������������� � ���������������������� � ����������������������� �"�������������������� � ��� ����� ���#��������� �� ��������������������� ���������������������� �� �"�������������������� ��� ��� ����� �������������

�� ���������������$����� ��� �"��������������������� ��� �"����������$�������� ���������������������� ��� �������� ������������� ��� �"������������������

��� ��������������������� ��� �������� �������� � ��� ����������������������� ���������������������� ��� ��������������������� � ��� ������������������������ ����������������������� ��� ���������������������� ��� �������������������������� � ��������������������� ��� ����������������������� ��� ������������������������� �����������$�%��������� ��� ��������������������� ��� ������$� ��!���������� �������������&�������� ��� ��������'���(��������� ��� ������������������������� � ������������&��������� ��� � ������������������� � �� ������������������������ � ��������������������� �� ����������������������� ��� ��������������������� ���"� ���������������� ��� � ��������������������� ��� ��)���������������������� � ���������������������� ��� � ��������� ���(��������� ��� ���$���������������������

��� � ����������������������� ��� � ������������!������� �� ���)���������������������� � ��������������������� �� ���"� ���������(�������� ��� ���)����������&���������� � ������������&�������� ��� � ��������� ������������ ��� ���)� ���������*����������� � ���������������������� ��� � ���������������������� ��� ���+����������������������� � ��������������������� ��� � ���������������$����� ��� ���+����������%������������ ���������������������� ��� � ���������������������� ��� ���)�����������������

� ����� � ����� � ������ �������� ������������ � �����������#�$������ � ���������������������� �� ���������� � ���������������������� � ������������,���������� ������������*������� � ������������������ � � ������������!������ �� ������������������ � ��������������������� �� ����������������$� � �������� ������������ �� ������������������� ��� ��������� �������������

�� ��������������������� ��� ��������������������� ��� ��� ���������!����������� ��� ��������������� ��� ��� �������������#�������� ��� �������������#������������ �������������-����� ��� ��� �������������(������ � ��� ��������������������� ���� ��� ����������������� ��� ������������!��������� ��� ������������������������ ���������������������� ��� ��������������������� ��� ��������������������� �

��� �"��������������������� ��� �"���������������� ��� ������������������������� ���������������������� ��� �"�������������������� ��� �"�����������!������������ ���������������������� ��� ��������������������� ��� �"������������������������ �����������&��������� ��� ��������� ���(�������� �� �������$����������������� ����������������������� �� ����������������������� ��� ������������������������ ��������� ��-��������� ��� ���������������������� ��� ������������������������ ������������������� ��� ��� �������������������� ��� ������������������������ �����������&��������� ��� ������������(��������� �� ������������������������� ��� ���������������� �� �������������,�������� ��� ����������������������� � �����������&�������� ��� ����������������������� ��� ��� ������������������

��� � �����������-��������� ��� �������������������� ��� ������������������������� ����� ���������������� ��� � �� ����'��(������� � ��� ������������������������� � ��������������������� ��� ����������������������� ��� ��)�������� �������������� � ��������� ��*���� ��� ��� �������������#�������� �� ��)�����������&���������� � ���������������������� �� � ���������������������� ��� ���$� ���������������'��� ���"�����������*��������� ��� � �����������!������� ��� ���)�������� *���������

s�.

Page 95: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� ����� � ����� � ������� ������� ����������� � ������������������� �� ���������������������� �������������� �� ���������������������� ��� �������������

�� �� ����� ���%��������� ��� �� �$���������������� ��� ��������������������� ������������-�������� ��� �������������������� ��� ���������������������� �������������������� ��� �����������#������� ��� ������������������������� �������������*��������� ��� ������������(�������� ��� ������������������������ �����������&��������� ��� ��������� ���������� ��� ��� ��������(����������� �������� ������������ ��� ����������������������� ��� ������������������������ ��� ���������-����� ��� ��� �������������������� ��� �������� ���(������� ���� �������������%�������� ��� ���������������������� ��� ��� �������������������

��� ����������������������� ��� �������'������������� �� �������������(������������ �������������������� �� ��� ������������������� ��� �������������!��������� �"�����������&��������� ��� ��������������������� ��� ������������������������ �"�������������������� ��� �"�������������������� ��� �"��������������������� ��������������������� ��� �"��������������������� �� �"� ���������!������������ ��������������������� �� ����������������������� ��� �"�������������������� ��������� ��� �������� ��� ���������������������� ��� ��� ������� ������������ �������������-�������� ��� ���������������������� ��� ��������� ���!������������ ���������������������� ��� ����������������������� ��� ������������������������� �����������&��������� ��� ���������������������� ��� �����������������������

��� ������������������ �� ��� ������$������������� �� ������������������������ �����������-�������� �� ����������������������� ��� ������������������������� ��������� ������������ ��� ���������������������� ��� �����������������$� ���� � �������������������� ��� ��� ����� ����������'� ��� �������������#������������ � �����������*��������� ��� � �������������������� �� ��� �������������������� ������������������������ �� � ������������������� ��� ��������� ������������

� ������� � ���'� � � ���������� �����������-��������� ��� ��������������������� ��� ���������������������� �������� ���%��������� ��� ���������������������� ��� ������������������������ �������������������� ��� �������������������� ��� ������������������������ �������������������� ��� �� ����������������� ��� �� ���������#���������� �������� ������������ ��� ����������(�������� ��� ������������������������ ������������-��������� ��� �������������������� ��� ������������!���������� ��������������������� ��� ��������������������� ��� ������������������������ �������������������� ��� ��� ������������������� �� ��������� ��������������� ��������� ������������ �� ��������� ������������� ��� ����������������������� ���������������������� ��� ��������������������� ��� ���������������������

��� ���������������������� ��� ��� ������������������� ��� ������������#������������ ����������������������� ��� ��������������������� �� ������������������������� ����������������������� �� ����������������������� ��� ������������!��������� ��������� ����������$� ��� ���������������������� ��� ������������������������� �"������������������� ��� ����������������������� ��� ����������������$�������� �"�����������*��������� ��� �"������������������� ��� �"��������������������� ��������������������� ��� �"�����������,�$������� ��� �"����������������������� ����������������������� ��� ���������������������� �� �"����$������������������ ��������������������� �� ����������������������� ��� �������������#����������� ��� ����������������� ��� �������������������� ��� �����������������������

��� ������������������� ��� �������������!�������� ��� �������������������������� ��� ���������%�������� ��� ������������������� � �� ������������������������� �������������%��������� �� ����������������������� ��� ������������������������ ��� ��������&������� ��� ��������������������� � ��� ������������(������������ ������$� ���-��������� ��� ��� ���������(��������� ��� ����������#������������ ��� ����������������� ��� ���������������������� ��� �������������������� �

s4G

Page 96: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� ������� � ���'� � � ���������� �������������������� ��� ������������������� ��� ��������������������� ���������������������� ��� ���������������������� ��� ������������������ ������������������ ��� ��� �������������������� ��� ������������������������ �� ����������������� ��� �� ���������������� ��� �������������������� ���� �����������������'��� ��� �����������#������� � �� �����$� ���!������� ���� �����������*���� ��� �� ������������!�������� ��� ������������#����������� ����������&��������� ��� ��������������������� ��� ����������������������� ������������%��$����� ��� ���������������������� ��� �������������(����������� ������������������'��� ��� ��� ����� ���������� �� ��� �$��������������� ���� �������������%�������� �� ���������������������'� ��� ����������������������

�� ��������������������� ��� ��������������������� ��� ������������������������ ��� ����������������� ��� ����������������������� ��� ������������(������������ �������������*�������� ��� ���������������������� ��� ������������������������� �����������&�������� ��� �������������������� ��� ������������������������ ������$� ����������� ��� ��������������������� �� ������������������������ ���������������������� �� ������������#�������� ��� ����������������������� �"������������������� ��� �"�������������������� ��� ����������������������� �"�������������������� ��� �"� ���������������� ��� �"���������������������� ��������������������� ��� �"������� ������������ �� �"����������������������� ����������������������� �� ������������(������� ��� ��������������������

�� ��������������������� ��� ����������������������� ��� ��� ��������������� ���� ��������� ������������� ��� ���������������������� ��� �������������!������������ ��������������������� ��� ��������� ����������� ��� �������������������� ���� ��������� ������������� ��� ��������������������� ��� ������������������������� �����������$�%�������� ��� ���������������������� �� ������������!����������� ���������������������� �� ��������������������� �$� ����������������������

� ������� � ���'� � � ���������� ����$� ����������� ��� ��������������������� ��� ����������������������� �����������&�������� ��� ���������������������� �� ������������������������ ��������������������� �� �������� ����������� ��� ��������������������� ������������*��������� ��� ���������������������� ��� ����������������������� �������������������� ��� �� ������������������ ��� �� ����� �������������� �����������*��������� ��� ������������,��������� �� ����������������������� �����������&�������� �� ��������������������� ��� ��������������������� ������������������ �� ��� �������������������� ��� ���������������������� ������������*�������� ��� ����������������$����� ��� ������������������������� ������������������ ��� ��� �������������#�������� ��� ��� ����� �����������

��� ��������������������� ��� ������������������� � ��� �������������������������� �������$� ������������ ��� ������������������� �� �������������!������������ ��� �����������������$� �� �������������������� ��� ������������������������ ������������������� ��� ���������������������� ��� �������������#��������� ��������������������� ��� ������������!�������� ��� ������������!����������� �������������%������� ��� ��������������������� �� �������������������������� �����������&�������� �� �������������!��������� ��� ��� �������������������� �"���������-�������� ��� �������������#�������� ��� ���������������������� �"� ����������������� ��� �"�����������!������� � ��� �"���������(����������� �"������������������ ��� �"�����������#��������� ��� �"� ������������������

��� ��������������������� ��� �"������������������� ��� �"����������������������� ������������&��������� ��� ���������������������� �� ��������� ���������������� ���������������������� �� ��������������������� � �$� ������������������������ ������������%��������� �$� �����������(��������� ��� �����������������������$� ��������������������� ��� �������������������� ��� ������������������������ ������������&������� ��� ��������������������� ��� ������������(��������

s��

Page 97: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� ������ � ������� � ��������� �������������������� ��� ��������������������� ��� ����������!����������� ������������� ��� �������������������� ��� �������������������� �������������������� ��� �������� ������������ �� ������������������������� ������������������� �� �������������������� ��� ����������������������� �� ��������*��������� ��� �� ������������������ ��� �� ��������#�����'���� �����������&������� ��� �������������������� � ��� ����������������������� ����������� �������� ��� ��������������������� ��� ���������������������� ������������������� ��� ��������������������� ��� ������������������������� ����������������������� ��� ������������������� �� ������������������ ���� ����������������������� �� ��������������������� ��� �����������������$� �

�� ����������������������� ��� ������������������ � ��� ���������������������� ������������*������� ��� �������� ������������� ��� �������������(������������ �������������-��������� ��� ������������(�������� �� �������������������������� ��� �$��������������� �� ������������(��������� ��� �������������,���������� �������������-��������� ��� ����������������������� ��� ������������(������������ �������������%��������� ��� ���������������������� ��� ��������� ���(����$� ���� ������������������ ��� �������������(��������� ��� ������������������������ ��������������������� ��� ��� ����� ��������� ��� �������������������� ���� ���������������� �� ��� ���������������������� �� �������������������������� �"������������������� �� �"������������������� �$� ���������������������

�� �"������������������ �$� �"� �������������� ��� �"���������������������$� �"��������������������� ��� �"��������������������� ��� �"����������������� ���� ���������������������� ��� �������������!��������� ��� �"���������������������� �������������*��������� ��� �������������������� ��� ������������������������ ������������%��������� ��� ��������� ������������ ��� �������� ��������$� ���� ��� ������&��������� ��� �������������!�������� ��� ��������������������

� ������� � ������� � ���������� ����������*��������� �� ��������������������� ��� ��������������������� ��������������������� ��� ��������������������� ��� ���������������� ���������������������� ��� �������������������� ��� ������������#�$���������� ���������������������� ��� �������������������� � ��� ����������!����������� ��������������������� ��� �����������#��������� ��� ������������!��������� ������������-�������� ��� �����������(��������� �� �� �������������������� �������������������� �� ������������(��������� ��� ����������������������� �����������%�������� ��� �������������������� ��� ���������������������� ��������������������� ��� ������������(��������� ��� ����������������$� ���� ���������������������� ��� �����������������$� � �� ����������������������

��� ��� ��������-�������� �� ��������������������� ��� ������������������������ �������������-��������� ��� �������������!������� � ��� �������������������������� ��������������������� ��� �����������!��$����� ��� ������������!����������� ���������������������� ��� �������� ������������ ��� ������������������������� ��� �$�������%��������� ��� ���������������������� ��� �������������������������� �������������*��������� ��� ���������������������� �� ��������� ������������� ������������������ �� �� ��������������������� �$� ������������������������� ����������������������� �$� �������������,��������� ��� ����������������������$� ��������������������� ��� ��� ������������������ ��� ������������������������� �������������%�������� ��� ���������������������� ��� �������������#���������

��� �"��������������������� ��� �"�������#��������� ��� �������������������������� �"��������� �������� ��� �"����������(��������� ��� �"������� ���!���������� �"��������������������� ��� �"�����������(�������� ��� �"����������������������� ����������������������� ��� �������������������� ��� �"����������,������������ ������������������� ��� ��� ��������������������� ��� ����������������������� ���������������������� ��� �������������������� � �� ����������������������

s��

Page 98: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� ����������� �

�� ��� � � ��� � � �� � � ������� ��� �

���VZ.8Sm4� Q �U3��V� /2�UT <��45gW�� �01.���!W��(��<�/23�1.5 � Q ���F��� Q �=57����8h:U�73�1.�(��8hH(�=<Ud��(143 �;k(�45gW�� �4i(T��C[aH�I�� Q ���� �"!$#&%('*) 8 <�� Q �C1439I(�U3��=IXW��48 3�14/PWc1.�SnlH(1.578h�4� <

+*, !�'*-/.0% , '*1/2/2�34'5% , %(6*-/!7- , 27298;:�3467<71�676 , 67'7172/298;:5=>6?3@./671/271/.7</1/27298;:5=>!�36/6*2�6727</17-/2/2A8*:B= , 34!7./1/'72/17-/-7298*:B=('?3@'/'*-/-/!/'/6*298*:B=>1C3D1�65%E1�6B%>298;:5=E<F3' , 2�' , 298;:5=>-C3@!�'7.7</2A8*:5=E.F3G%><71/2A8*:5=7%>2C3@'7-98;:5=7%/%H34:5=7%(6I#

J 6*./2/'7. , !/2 , 2/2A8*: J 6 , '7-/-7< , -/-/27298;:5=(6 J %>2/65%E-/</272/-72/298;:5=E! J 67<71/</'71 , -/27298*:B= , J' , '/'/6*./172/298;:5=>' J -�6 , . , <�6*298;:5=>1 J ./</'72�'B%>2A8*:5=E< J -7./!/.7</2A8*:5=E- J 1�6*!/<7298*:B=>. J!0%E./298;:5=7%>2 J %7%>298;:5=7%/% J 6�8*:5=7%(67K

ORQ �=<!� :;143Y3��=<!Wc1.H�I �!1�� Q � Wc1.�SnlH(1.578h�4� <MLONQPSRUT �4H�IWVXNQPSRUT6I��=<�:;3Y8S�c�=I 8hH ORQ �U143��=5ZYNd q�d ORQ � :;1.H�[<!���4H^��\]NQPSRUTg8 <014�����48 H(�=I �Nn � n^W]8 H(Z_^ �`!$#&%(';) �4H�I T�� []H�I � Q ����\QNQPSRUTba $cY(d -fe R"gih>j Ylq G�� ��� Y � J � Y�J4J4J(d�(3�1.5 ORQ �U143��=5 . d t i Tj� H(1 T�flH(1 T � Q � I�8 <!�!3Y8 ���(��8S1.Hb14/ � Q �6<�57�4�h�S�=<!� �=8 Z4�=Hrm��4� �(� /D143V?A$ t = q G - M ���:;1.��� I�H(1 T 3��=�4I�8 �Sn W�� 14��� Q �CI�8h<!�!3Y8S������8S1.H 143RI(�U3Y8Sm4� �4H^n#o^���4Hr��8S� n#14/ 8hHr�!�U3��=<��j/23�1.5A� Q � I�8 <!�!398S���(��8S1.H d

����14�����48 H(�=I � Q � [�3Y<!� �4H�IV<��=:;1.H�IV5g1.5g�=H^��< �Nn0� nNW�8 H(Zlk %nm k0oEk0p(qAr �"!$#&%('�#&%E) �4H�Isk 6*m k5o>k5ptqAr �`!�#u%('I#f6;) d���g/ �(3�� Q �U3 H^��5g�U3Y8 :U�4� � nX14�����48 H(�=IF� Q �g5g�=�4H��4H�IFm���3Y8 �4H�:;� �!1b�!�=H W�� �4:;�=< �Nn`� n^W�8hH(Zbk m7v � k %w#u%E27) ix m*vy� k 6 J k %7=(6�#&%>2*) d O Q � 3��=<����S��<RT��U3��

, -/'7.7-/1/!7</27<�'7!k %zmG% , J�J/J/J7J/J7J/J/J7J/J7J/J/J7J/J7J/J/J7J,/, 27</.7- , 6*!/2 ,�{ �*| r �`!7)%>1/'/'*!�'7!/67</'7./1/6/'k 6}m46B%>2 J�J/J7J/J7J/J/J7J/J7J/J/J7J/J7J/J/J7J/J1/15%/%E./</17! , '71 { �7| r �`!*)

st~

Page 99: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

k m@<��i1/! , 17!/!�6*1/!x m@<��]%>17-/-72�'7-7-/-� H��R:U�4H#�4� <!1>14�����48 Hgm4�U3�n W�3Y�=:U8 <!��m��4� �(�=<*/2143 � Q �RWc�U3Y:;�=H^����Z4� Wc1.8 H^��<*14/c� Q � I�8 <!�!3Y8S�]�(��8S1.H d ORQ 8 <*8 <

W���3���8h:U��� ��3Y�Sn#�=�4<!nbT Q �=H ?XL B 8 <_1lI�IX<�8hH�:;��� ��� Q �=57����8 :U�7T 8 � �aWc�U3�/D14395� Q �V8 H^�!�UZ43Y����8S1.HX�!1714�����48 H� Q �b:U��5 ��� ����8Sm4��I(�=H�<�8S� n / ��H�:;��8S1.H d ORQ �=H T 8S� Q � Q ��:;1.575#�4H�Iz�P8hH�I��R1N14�Ui�� ��� Q �=57����8 :U�FT 8 � �*[]H�I� Q �VWc�U3Y:;�=H^����Z4�VWc1.8 H^���!1#��3���8 �!3Y��3�n#W�3��=:U8 <�8S1.H d

s4s

Page 100: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� ��� ��� ����� � � ���

� q� � d� ��3Y�45g1 T 8S� �V�4H�I�� d�>d��N�!�UZ.��H i(�=I�<=dSi������������������ �"!#��$&%(')*��$&+-,.��/10324��,5$&+6� ��798;: 1 m4�U3�<��(�A[�h8 :U����8S1.H�<Ui>= �UT@? 143�fai q s�� Jld

� Y�� O d,� d� H�I(�U3Y<!1.H iBAC�EDF�($-G�>�H2�,5$&+I� �J$K�L!M24/K$&+ON� G.+P��$K'RQ�$O��$&+S75$&+-,.��/(A��;��/UT�7V+S798�W41 Q Hp� 8 �S�UnYXZ�l1.H�<Ui= �UT[? 143�fai q s4Gt~ d

� t � O d,� d�0H�I(�U3Y<�1.H i��9d � � fN8 H i^�4H�I]\ d_^ d�e0H�I(�U3 Q 8h� � i�^0�=H��U3Y����8S1.HX14/P3Y�4H�I(1.5143Y� Q 14Z41.H��4� 57���!398 :;�=<UiQ�D`A�!ba�c;Q(,d+Oc;Q�$O��$ c"ef� )LghcHi�$ q st~�� -9i � Y G5j � Y s d

� . �lk7dm 1.5714�!1(i�Wr�4:;14��8�Wc1.�SnlH(1.578 �4�h<P�4<Y<!1N:U8h���!�=I#T 8 � Q �N�=�S�c�U3�ZC8 H^�!�UZ43Y�4� <Ui�Q�D`A�!na�co!#��$&%1cBAC�;��/Kc�p i$ q st~�� -9i G�.rG5jNG�.rs d

� G � � d��adfq_��3���� �U�!�Ui � H � Q �X� Q �U143�n 14/C<!������8h<!��8 :U�4��3��UZ43Y�=<�<�8S1.H ifrsG�>,5chtLcsQ��>,5cfu���+S�H��cfv4w $ q s4t4t -9iY � J j Y ~4t d

� � �yx d �KdHq��=H�I(�U3 �4H�I#�ad�6d � 3Y<V�=��Z(i(AL�(N���z,'5�E!#��$&%(')*��$&+-,.��/"!#' $&%H���B7��&��G{Q(,d+6'�H$&+S7|$&7������Eu}��~m+P��H'9'.Gd7�8B�F:5^03Y�=T [K� 8 �h� i�= �UT�? 143�fai q s��(~ d

� � �l<Pd;q_8 �h� 8 H(Z.<�� �Un4i�rsG���o�>�4+S/P+O$�T����z��!#'���7�2�G'58HW.1 Q Hb� 8h�S�Un�X��N1.H�<Ui�= �UT[? 143�fai q s���s d� ~ �yx dHq_8 H(Z Q �45XiH0HF�4<!nN57W��!14��8 : �;kNW]�4H�<�8S1.H /D143 � Q � I�8 <��!3Y8S���(��8 1.Hb14/ � Q � �=8SZ4�=H^m �4� ���=< 14/�� t �Nn t

� 8 < Q ��3��R57���!3Y8\kci�A����1c�!���$&%�cHQ�$O��$ c(�mwb$ q s�� Y.-9iPq .rst~5j q G J � d� s �y^ d�q_8S3�f Q 1�� �4H�I��ad�^ ���h����8 im� <!14�!3�14W�8h: I�8h<!�!3Y8S������8S1.H�< 14/ �!�=<��_5#���!3Y8 :;�=<Ui(a�c�A�g;gz/Ocm!#��$&%1c�rs%oT�7V+-,d7|c

wo��$ q s���s -9iPq .*~5j q G�� d� qUJ �l\ d�q_� ��5 �4H�I �Kdh� Q �(� i1� m��4� ������8hH(ZX3Y����8S1.H��4� /2��H�:;��8S1.H�<9� 8 H([]H�8S�!� W�3��=:U8h<�8S1.H�8 < [aH�8S�!�7:;1.<!� �4H�I

�!39�4:;�������S�V1.H`� m4�U3Y��Z4�4i1Q�D`A�!�a�c�ef� )�gf2>$ czp v�$ q st~�� -9i tt~�. jNt4st~ d� q4q�lq0d;qj1.� � 14����4<Ui�tC���z��� )n��G.�9g1%�7�8;0:U�4I(�=578 :�< 3��=<�<Ui;\ 1.H�I(1.H i q st~4G d� quY�� �>d�q0doq�14W�W��4H��lio� 8 Z4�=Hrm��4� �(�=< �4H�I Z43Y��W Q ��8 <!�=:;��8S1.H1� �4H7� m4�U3Y��Z4�][ :U�4<!� �4H��4�Snl<�8 <Ui�rfG���,5co�Bim$&%yDFusu}u

QBT>)Lgh� 7V+�24)�� ��0(��24������$&+6� ��7�� �Ref� )Lgf2�$K'.G�Q(,d+6'��,' $ q st~�� -9i Y ~ J j Y ~4G d� q t � O d�>d�qj3�1NI�n4i"W(d � �S143��=<UihW(d�<Pd ��3��=H�: Q i�<Pd�6d � �=� �S1(i">d�< �4H�I(�Un4i �4H�I��ad_�ad � d ��1.H(Z(i � �4H�I(1.5b[

5#���!3Y8\k#W Q nl<�8 :U<9�(<!Wc�=:;�!3Y��5�4H�IX<��!3��=H(Z4� QE� ��:;��������8S1.H�<Ui�t�' N�c>!#�>��'.Gd�]r}%4T�7V+-,d7Cv4wp$ q st~ q -9i tt~4G5j. ��s d

� q . ��W�d��RdBxj1 Q �=H io�>dBkC�=<!�!�=H i.�4H�IEx0d �Kdo= �UT 57�4H i.�=I�<UdSiot�������� )�!#��$-Gd+-,'7������E��%('+�GfA�g�gz/P+-,.��$&+6� ��7� es� �($K')Lgh��G.� G T]!#��$&%(')*��$&+-,d7Lvo���=i(05g�U3Y8h:U�4H � ��� Q �=5#����8 :U�4���l1N:U8S�U� n4i;< 3Y1 ml8 I(�=H�:;�4i1  st~�� d

 UJ4J

Page 101: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

�   G ��W�d�:0�=5757�=� i O Q � W�3�14������8 �h8S� n � Q ����� H^��57�U3Y8 :U�4�a�4H��4�Snl<�8 <�W�3�14���S�=5A8 <jI�8��p:U���S�Uim!#��$&%(')*��$&+-,d7C� �es� )Lgf2>$O��$&+6� ��vo�b$F  st~t~ -9i .�.rs5j .*~ Jld

�   � �l6d�� I(�=� 5#�4H is� 8 Z4�=Hrm��4� �(�=<��4H�I :;1.H�I�8S��8S1.H�H^��5>�c�U3Y<#14/C3Y�4H�I(1.5 57���!3Y8 :;�=<=i�Q�DFA�! a�cs!#��$-Gd+��A��;��/Oc>A�g�gz/Kc���$F  st~t~ -9i G�.rt5jNG�� Jld

�   � �l6d�� I(�=� 5#�4H i ORQ � I�8 <��!3Y8S���(��8 1.Hg�4H�Ip571.5g�=Hr��<j14/ � Q �0<�5#�4� �S�=<!���=8SZ4�=Hrm��4� �(�014/ �63Y�4H�I(1.5A57���!3Y8Sk14/P� 8 < Q ��3���� n^Wc�4i�<Y�(��578S�!�!�=Ib�!1�Q�D`A�! a�c;Q(,d+Oc;Qz$O��$ c3ef� )Lghc

�   ~ ��W�d �(398S�=I�57�4H i�W(d�kV� Q H ij�4H�I � d����U�=57�U3���=I�8 i � H � Q �F<!�=:;1.H�I �=8SZ4�=H^m �4�h�(� 14/C3Y�4H�I(1.5 3Y�UZ.��� ��3Z439��W Q <Ui�rsG��,5c���p975$sALe�!bQmT�)Lgh� 7V+K24) � � ��%H'9��GFTJ� �Ref� )�gf2>$&+S��~`$F  st~4s -9d

�   s ��� d5����(3��=I�8 �4H�I�W�d(kC1.57�5�1.<Ui ORQ �V�=8SZ4�=H^m �4� ���=< 14/*3Y�4H�I(1.5 <!nl575g�U�!398 :V57���!3Y8h:;�=<Ui�ef� )��4+S�(��$K��Gd+-,.�pp$F  st~   -9i Y t4t ["Y .  �d

� Y�J �y�cd�^0�=57�4H i� � 8 578S� � Q �U143��=5 /D143 � Q �_H(143Y5 14/�3Y�4H�I(1.5 5#���!3Y8 :;�=<Ui�AC�;�1c5rsG���>cmiC$F  st~ Jr-9i7Y G Y j Y �  �d� Y� �y^ d��>d"^ 1.� �(�K�4H�IMx0d �jd m �4H \ 1.�4H i3!���$-Gd+� ef� )�gf2>$O��$&+6� ��7=i�W41 Q H�<L� 14W�fl8 H�<Ce0H�8Sm4�U39<�8S� n#< 3Y�=<�<Ui

q_�4�S��8h5g143��4i1  st~4t d� YtY��l=6d �VdC^ 1^1lI�57�4H iC�l������8 <!��8 :U�4�C�4H��4� nN<�8h<b���4<!�=I 1.H � :;�U3����48hH 56���S��8Sm���3Y8 ���!��:;1.5gW��S�;k�^ �4��<Y<�8 �4H

I�8 <!�!3Y8S�]�(��8S1.H ic$- H`8hHr�!3�1lI���:;��8 1.H]-9i>AC����c>!���$&%1cHQ�$O��$ c�w �`$F  s��4t -9i�  G Y j   � � d� Y t ��� d_�ad1^03Y�4I�< Q �!�UnlH��4H�I��9d,� d �Rn�� Q 8Sfaif�;�>�4/I'�� �sD`�H$K'd~oG.��/S7�83Q�'.G.+6'7�81����� rfG�>�H2�,5$&7�8 . � Q �=I dSiz0:U�>[

I��=578 :{< 3��=<Y<Ui;= �UT[? 143�fai�  s��4G d� Y . � �>d�: d>^ ��W����>�4H�IE: d_�ad�<Pd � 8 : Q ��3YI�<Uim� nNWa�U3YZ4�U1.5g�U�!3Y8 : /2��H�:;��8S1.H�< 14/ <Y:U�4� ��3j5#���!3Y8\k#��3�Z.��57�=Hr�_��3��

�;klW�3��=<Y<�8S���S��8 H#�!�U3Y57< 14/ :U� �4<�<�8 :U�4� Q nNWc�U3�Z4�U1.5g�U�!3Y8h:�/2��H�:;��8S1.H�<UiBQ�D`A�! a�co!#��$&%1c�AC�(��/Oc�p�6$F  st~4G -9i~4G Y j/~4Gt~ d

� Y G �l<Pd�� �=H(398 :U8 imu}7V7.'�H$&+P��/S7}� � ��24)�'.Gd+&,.��/;A��;��/UT�7V+S7��f+K$&%Yrf��,`�B' $�eh��/-,�24/P��$K��G�� ')�� ��7|$-G.��$&+I� ��7�8�W.1 Q H� 8 �S�Un�X��N1.H�<Ui>= �UT�? 143�f]i3  st~ YNd

� Y � �l6d O d;Wr�45g�=<Ui�= 143Y57�4� 5 ���S��8Sm���3Y8 ���!�C�4H��4�Snl<�8 <_�4H�Ib� Q �C143�� Q 14Z41.H��4� Z43Y1.�(W i>AC�;�1c�!���$&%1cHQ�$O��$ c��Bv$F  s4G�. -9i . J j ��G d

� Y � �l6d O doW.�457�=<Ui4:08h<!�!3Y8S������8S1.H�< 14/]57���!3Y8\k>m���3Y8 ���!�=<*�4H�I �h���!�=Hr� 3�1N14��<*I(�U3Y8Sm4�=I /23�1.5�H(143Y57�4�l<��457W��S�=<UiA����1c>!#��$&%1c(Qz$O��$ c�w4v�$F  s���. -9i . ��G5jNG J> �d

� Y ~ �l: d�W41.H�<�<�1.H i��N1.5g� � 8 578S� � Q �U143Y�=57<#/2143#� Q �`�=8SZ4�=H^m �4� ���=<714/V� <��457W��S� :;1 m ��3Y8h�4H�:;� 57���!398\kaiRa�c! 24/O$&+KN� Gd+6��$K'�A��;��/Oczp|� $F  st~ Y.-9i�  jNtt~ d

� Y s �l� d�kC1.<!��� �4H i�= ��57�U3Y8 :U�4� � 8hH(�=��3��4�SZ4�U��3Y�7�4H�I`56���S��8Sm���3Y8 �4H^�j�4H��4� nN<�8h<Ui�H(�Um4�U3RW������ 8 < Q �=I d� t J �l<Pd �>d�kV3Y8 < Q H��48 � Q �4H�I O d_x0dzx Q �=H(Z(i � HF� Q � �;kl�4:;�VI�8 <!�!3Y8S�]�(��8S1.H�<�14/j� Q �g<�57�4�h�S�=<!�03�1^14��< 14/�� Q �

� 8 < Q ��3��R57���!3Y8\kb��<�8 H�Zl�U1.H��4� Wc1.�SnlH(1.578 �4� <=iBA����1c�D�c�!���$&%�c(Q�$O��$ c;�Bw�$F  s��   -9i Y s4t5j Y s4G d� t  �l<Pd �>d1kC3Y8 < Q H��48 � Q �4H�I O d_x0d�x Q �=H(Z(i � HF� Q �g�;k(�4:;�VI�8 <!�!398S���(��8S1.H�<R14/ � Q � �;kl�!3��=5g�g3Y1^14��< 14/j� Q �

� 8 < Q ��3��R�4H�I ��C= ��� 57���!3Y8h:;�=<Ui�a�c�! 24/O$&+KN� Gd+6��$K'�A��;��/Oczpp$F  s��   -9i" UJ ~5j  4  � d� t Y��l�6d_�ad�\ ��� i4x�� �4<�< 14/��=H�<!�=56���S�=<P8 H6� Q �j<�������8 <!��8 :U�4�N� Q �U143�n>14/��=H(�U3�Z4n7[ �S�Um4�=�l<!Wc�=:;�!3Y�li�a�c�!���$&%1c�r}%4T�7|c

vb$F  s���. -9i � �4t5j � �t~ d

 UJ> 

Page 102: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� t4t �lq0d�: d*�F:9kV�=n4i ORQ �_�;kNWc�=:;�!�=Ig�=8 Z4�=Hrm��4� �(�RI�8h<!�!3Y8S������8S1.HV14/c�C� ��3�Z4�_3��UZ.���h��3*Z43Y��W Q i��3+S�('�� GhAC/�~�'���G.�A�g�gz/Kc>�B��$F  st~   -9i Y�J t5j Y�  � d

� t�. � � d�6d �F��3Y:;�=H(f41 �4H�I \ d�>d�< �4<!���(3=i�: 8 <!�!3Y8 ���(��8S1.H�<714/>�=8SZ4�=H^m �4�h�(�=<#/2143X<!1.5g��<!�U��<�14/>39�4H�I(1.55#���!3Y8 :;�=<Ui;!#��$&%1c��hQ�Q�t��OQz�>��Gd��+�� pp$F  s���� -9i .rG��|j .*~4t d

� t4G � � d�\ d � � Q ���li�t�������� )�!���$-Gd+&,'7������ $&%H'JQ�$O��$&+S75$&+-,.��/���%('9��G T � ��u}�('.G ~�T��"' N5'/S7�8� :U�4I��=578 :< 3��=<�<Ui�= �UT@? 143Yf]i�  s���� d

� t�� � �>d W(d/� ��8 3 Q �=�4I imA�7Kgh'5,5$&7�� �z!M24/K$&+ON� G.+P��$K'RQ�$O��$&+S75$&+-,.��/��h%('9��GFTo8�W.1 Q H7� 8 �S�Un*XZ�N1.H�<Ui�= �UT ? 143�fai  st~ YNd

� t�� �l6d � d � I��Sn��Uf41(i ORQ �Y UJ h�� [&� Q �U�U3Y1714/ � Q � � 8S�=57�4H�H��U�U���#/2��H�:;��8S1.Hb�4H�I � J7578h� � 8S1.H#14/P8S��< H(�=8SZ Q [�c143Y<=iN�!1#�a�CW]�(��� 8 < Q �=I d

� tt~ ��� d � �Sfl8 H �4H�I �cd�=>d � 1 n4i � H�56���S��8Sm���3Y8 ���!�7I�8 <��!3Y8S���(��8 1.H`� Q �U143�n4i"AC�;�1c�!���$&%1c�Q�$O��$ c��BvF$F  s4G�. -9it Y s5jNt4t4s d

� t4s �yx d��Rd�< 143Y�!�U3=iCQ�$O��$&+S7|$&+&,.��/y�h%('9��Gd+6'7 � ��Q4gh'5,5$-G.����0�/K2�,5$V2m��$&+6� ��7�8� :U�4I��=578 :#< 3��=<Y<Ui�= �UT ? 143�fai  s��4G d

� . J � �jd W�d��l: Q ����3Y57�4H�H i><Pd �VdHkC3Y8 < Q H��48 � Q i(�4H�I�>d�k7dHx Q ���!�!14W��4I Q n.� n4i � HX� Q �6I�8 <!�!3Y8S�]�(��8S1.H�<�14/*� Q �39����8S1.< 14/ � Q �X�;kl�!3��=5g�X3Y1^14��< �!1�� Q �b�!3Y�4:;� 14/ � Q �b� 8 < Q ��3��g57���!398\kai�a�c"! 24/O$&+KN� Gd+6��$K'YA��;��/Oc}w$F  s���t -9i .�.rG5j .rG4t d

� .  ��W�d,� d��l8h�Sm4�U3Y<!�!�=8 H i ORQ �F<�5#�4� �S�=<!���=8SZ4�=H^m �4� ���F14/ � � ��3�Z4�][ I�8h5g�=H�<�8S1.H��4� � 8 < Q ��3Y��57���!398\kai�A����1crsG���>czp w�$F  st~4G -9i�  t���. j   t��t~ d

� . Y��y�cd1�(57�4�S�4i � HF� Q �g� �p:U8S�=H�:;n 14/��4� Z4143Y8S� Q 57< 14/j�4H��4�Snl<�8 <Ui�24/S/OcHA�)�'.G5c�!���$&%�c�Q���,5cU8sp w $F  st~4G -9i~��|j  uY� �d

� .rt ��W�d��NW]�4H�8S�U3��4H�I�kgd�q0d � � I Q �45XimA���A�$&/P��7R� �10324��,5$&+6� ��798�� �=578 <!W Q �U3��C<��(��� 8 < Q 8 H(Z(i�� �4< Q 8hH(Z4�!1.H i  st~�� d

� .�. �y^ d,� d��N�!�UT_��3��Ui ORQ � � �p:U8S�=H^� Z4�=H��U3Y����8S1.Hp14/ 3Y�4H�I(1.5 143�� Q 14Z41.H��4�a57���!3Y8 :;�=<�T 8S� Q �4Hp��W�W]� 8 :U����8S1.H�!1p:;1.H�I�8S��8S1.Hb�=<���8 57���!143Y<Ui�Q�D`A�! a�c ��24)�'.G5c>A��;��/Oczp��6$F  st~ Jr-9i . J t5j . J s d

� .rG � O d��l�(Z.8 n.�457�li � H>� Q �_I�8 <��!3Y8S���(��8 1.H 14/�� Q �_� ��3�Z4�=<!� � ���!�=H^�P3Y1^14�P14/�� Q �_:;1 m���3Y8 �4H�:;��57���!398\kai AC�;�;��/S7!#��$&%1c(Qz$O��$ c�w4ib$F  s���� -9i� 4  .*~5j  4  G  �d

� . � �y^ d ���U�UZ�1(i� �G5$&%(�5~�� �;��/Brh� /�T>�(� )*+P��/S7�8|05g�U3Y8 :U�4H � ��� Q �=5#����8 :U�4���N1l:U8S�U� n4i�< 3Y1 ml8 I(�=H�:;�4i �>d �9dSiB  s4t4s d� . � �l\ d�=>d O 3��U/D�U� Q �=H �4H�I �Vd_�cdz�l: Q 3��=8S�c�U3=i( m4�U3Y��Z4�][ :U�4<��7<!������8 � 8 � nX14/}^ �4��<Y<�8 �4H �=� 8 578 H�����8S1.H i(Q�DFAC!

a�c>!���$-G.+���A��;��/Oc>A�g�gz/Kc\i(�!1#��W�Wc�=��3=d� .*~ �l�6d �jd O 3Y14�!�!�U3=is� 8 Z4�=Hrm��4� �(�XI�8 <��!3Y8S���(��8 1.H�<C14/ � ��3�Z4�]� �U39578S��8 �4H 57���!3Y8h:;�=<��*� 8 Z.H(�U3�� <g<!�=578 [ :U8S3Y:U�S�

�h�=T �4H�I �g� Q �U143��=5 14/hkV�4:�i5� �(39I(1N:Yf]i��4H�I����U�UZ�1(i(AL�(N�����,'7R+S�]!#��$&%1c1v �X$F  st~�. -9i ���|j/~ YNd� .rs ��W�d^m41.H�= �=��57�4H�H izef� /P/6'5,5$K'5������Gd��7�8��(� /Oc(v�� � '7V+�~m� � �}ef� )�gf2>$K'.Gd7�81��%('9��GFT � �1Al2�$K� )*��$O�y�����

��24)�'.G.+-,.��/�AC�;��/�T>7V+P7�8�>d��6d O �4��� i(�=I dSi�<P�U3�Z.�45g1.H i(= �UT[? 143Yf]i�  s��4t d $ ORQ �U3��C��3��>/D1.�(3�3Y�=�S�Um �4H^�W]��Wa�U39<_T 8S� Q :;1.�4�(� Q 1439<�q_��3�Z.57�4H�H iH^01.� I�<���8 H(�4i(�4H�I � 1.Hr�!Z41.57�U3�n4dz�l�U�CW���Z4�=<L  jNt YNi . Y�  jNG�� YNd -

 UJ;Y

Page 103: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� .rs � � �6d��>d�^01.� I�<���8 H(� �4H�I W(d�m41.H = �=��57�4H�H i � H � Q � W�398 H�:U8SW�� �=<614/6� ��3�Z4� <Y:U�4�S� :;1.5gW]�(��8 H(Z5#�4: Q 8 H��=<Ui�H(�Um4�U3 W]�(��� 8 < Q �=I d� .rs ��� � d1q_��3�Z.5#�4H�H i1: d � 1.Hr�!Z41.5g�U3Yn4i �4H�I W�dcm41.H = �=��57�4H�H i��N1.�h�(��8S1.HF14/j�h8 H(�=��3V<!nl<!�!�=57<C14/Q 8SZ Q 143YI(�U3=i�H��Um4�U3 W��(�]� 8 < Q �=I d� .rs :�h�6d��>dz^01.� I�<!��8hH(�V�4H�I�W�d�m41.HJ= �=��57�4H�H i;=0��5g�U3Y8 :U�4� 8 Hrm4�U3Y��8 H(Zg14/ 57���!3Y8h:;�=<R14/ Q 8SZ Q 1439I(�U3=iA�)�'.G5c>!#��$&%1c�Q���,5c �24/P/Oc(v4w�$F  s�. � -9i" UJ;Y�  j  UJ s4s d� .rs I>�3�>d��6dH^01.�hI�<!��8 H(�V�4H�IJW(d(m41.H�= �=��5#�4H�H i�=0��5g�U3Y8 :U�4� 8hHrm4�U3���8hH(Z 14/ 5#���!3Y8 :;�=<�14/ Q 8SZ Q 1439I(�U3=i�d�9i�A�)�'.G5c>!#��$&%1c(Q��>,5c�rsG��,5c�� $F  s4G   -9i"  ~t~5j Y�J;YNd

� G J �lk7d,� d � �4: Q �!�U3=i ORQ �g<!�!3Y1.H(Z`� 8 578 ��< 14/j3Y�4H�I�1.5 57���!3Y8\k <!Wc�=:;�!3Y�b/D1436<��45gW��S�g57���!398 :;�=<C14/_8 H�I(�][Wc�=H�I��=Hr�_�=�S�=5g�=H^��<Ui;A����1c>rsG���>c #$F  s��(~ -9i�  j   ~ d

� G  �l=6da���=8 <�<Uiz^ d,� dc� �4<�8h�Sf41 T <�fN8 iH�>da��13��=H�8 ��f41 T <!fl8 i �4H�I � d1� Q ��� i; m4�U3Y��Z4�g:;1.H�I�8S��8S1.H H^��5>�c�U3/2143 <!1.� mN8 H�Z �h8 H(�=��3��=oN������8S1.H�<Ui �3+S�('�� G�A�/�~�'���G��i4w�$F  st~�� -9i ��s5j  UJ;YNd

� G Y��l� d�<Pd � 8SZ.H(�U3=ifx Q ��39�4:;�!�U3Y8 <!��8 :#m4�=:;�!143Y< 14/R�c143YI(�U3Y�=I 57���!398 :;�=<>T 8S� Q 8hHl[]H�8S�!�7I�8 5g�=H�<�8 1.H�<Ui�A����1c!#��$&%1c |� $F  s4G4G -9i G�.*~5jNG���. d

� G4t �l� d�<Pd]� 8SZ.H(�U3=i � H � Q �6I�8 <��!3Y8S���(��8 1.Hp14/*� Q �63�1N14��< 14/ :;�U3����48 HF<!nN5#5g�U�!3Y8 :V5#���!3Y8 :;�=<Ui�AC�;�1c�!#��$&%1c�� $F  s4Gt~ -9i t Y G5jNt Y � d

� G�. �l� d�<Pd]� 8SZ.H(�U3=i�: 8 <!�!3Y8 ���(��8S1.H`�h�=T <0/2143 � Q � 3�1N14��<014/��p3Y�4H�I(1.5 � �U39578S�!�=�4H 57���!3Y8\kciP$F  s�� Y.-9i [�3Y<!�W]�(��� 8 < Q �=I#8 H � t4s �&i(W d .�. � d

� G4G �l� d�<Pd�� 8 Z.H(�U3=i�� �4H�I(1.5 57���!3Y8h:;�=<R8 HbW Q nN<Y8 :U<Ui(Q�DFAC! t�' N +6' � ��$F  s���� -9i"  j Y t d� G�� ��W�d��>d�� 8 � fN8 H�<!1.H i1��%('CAC/�~�'���G.��+-,�u}+�~�'�(N���/K2m'�rsG���4/6')`i(x_� ��3��=H�I�1.HE< 3��=<�<Ui � kN/2143YI i1  s��4G d� G�� ��W�d��>d�� 8 � fN8 H�<!1.H i�� 3�3�143R�4H��4�SnN<Y8 <_3��Uml8 <!�!�=I i>DF��7|$ c>!#��$&%1c�A�g�gz/Oc>�4�`$F  st~�� -9ih  s Y j Y�J4Jld� Gt~ �y�cd(� 8 � fN<Ui>!#��$&%(')*��$&+-,.��/hQ�$O��$&+S75$&+-,d7Ui;W41 Q Hb� 8 � �Un�X �l1.H�<Ui�= �UT[? 143�fai�  s���� d� G4s ��W�d�� 8 < Q ��3��Ui ORQ �VZ4�=H��U3Y�4� 8��U�=I W�3�1lI���:;� 5g1.57�=Hr�0I�8 <!�!3Y8 ���(��8S1.Hb8 H`<Y�45gW��S�=< /D3�1.5��#H(143957�4� 5 ��� [

��8 m ��3Y8h���!�CWa14W]��� ����8S1.H i �+6� )�' $-G.+����y���|A $F  s Y ~ -9i t Y j .rt d� � J �y�cd(��1.�S/D39�45Xi;!#��$&%(')*��$&+-,.�NiH I�I�8 <!1.H�[&���=<�� �UnE<��(��� 8 < Q 8 H(Z(i � �=I(Tj1^1lI�x_8S� n4i(x�6i�  st~t~ d

 UJ t

Page 104: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

��� �A�

�a�=�&i�=6d��6dSi ~0� 5g1.<!�R<���3��V:;1.Hrm4�U3YZ4�=H�:;�4i G�.0<�<!1l:U8 ���!�=Ig143�� Q 14Z41.H��4�(Wc1.�SnNH�1.578 �4� < 14/ � 3Y�4H�[

I�1.5 57���!3Y8\kci ~   j/~��q_��3�Z.57�4H�H i � dSi3 uY

$�������� ���>m41.H = �=��57�4H�HX�U� �4�&d -q_��3����S�U�!�Ui0�Kd_�adSi � Yq_��3����S�U�!� I��=:;1.5gWc1.<�8S��8S1.H i t4G i t4sqj�U���7/ ��H�:;��8S1.H il8hH�:;1.5gW��S�U�!�4i �(~q_8 I�8 ��Z41.H��4� 8��=����8S1.Hb14/ ��^ �4��<Y<�8 �4H`57���!398\kai tt~q_8S3�f Q 1�� i(^ dSi5Y jNt i ~ i0Y t

�4H�I�^ ��� ����8 i(�cdSi1  t i t4s:UI(/ i �x Q �4H�Z4�*14/Nm���3Y8 ���]�S�=<c/D143 57���!3Y8\k0/2�4:;�!143Y8S�=����8S1.H�<Ui

t  �i t4tx Q ��39�4:;�!�U3Y8 <!��8 :>Wc1.�SnNH�1.578 �4�c14/ �p3Y�4H�I(1.5�57�>[

�!398\kai ~4t5j/~4Gx Q 8 [ <�o^����3��CI�8 <!�!3Y8 ���(��8S1.H i tt~x Q 1.� �=<!f^np/2�4:;�!14398��=����8S1.H i t  

: Q �4H(Z4�>14/Pm���3Y8 �����S�=<_/2143=i t4txj1.5gW]�S�;k]^ �4��<�<�8 �4H`5#���!3Y8\k

:;1.H�I�8S��8S1.HXHN��5>�c�U3�14/ i �4sxj1.5gW]�S�;k�5 ���S��8Sm���3Y8 ���!�CZ.�45#57�g/ ��H�:;��8S1.H i t4txj1.5gW]�S�;kp3Y�4H�I(1.5 57���!3Y8Sk

I(�;[aH�8S��8S1.H�14/*:;1.5gW��S�;kJ^ �4��<Y<�8 �4H i t  I(�;[aH�8S��8S1.H�14/*:;1.5gW��S�;kb� 8 < Q ��3��Ui t  I(�;[aH�8S��8S1.HK14/{^ �4��<Y<�8 �4H e H�8 ����3�n � H�<!�=5b[

�]�S�4i t  xj1.5gW]�S�;k#� 8 < Q ��3���57���!398\kai t  �i t4G5jNt�� i � J j �  �i

��� i ~4t i ~��<�5#�4� �S�=<!���=8SZ4�=H^m��4� �(�C14/ i � J j �  � ��3YZ4�=<!�R�=8SZ4�=H^m �4�h�(�C14/ i ���

xj1.H�I�8S��8S1.HbH^��5>�c�U3=i1 4 �4<!nl5gW��!14��8h:VI�8 <!�!398S���(��8S1.H i/Y t5j Y � i ���|j �4s:;1.5gW]�S�;k�39�4H�I(1.5 57���!398\kai �4sI(�;[aH�8S��8S1.H i ~ i�  t:0�=575g�=� � <Ui�  . i �   j � �

I�8h<!�!3Y8S������8S1.H#14/ i5Y t5j Y � i ���|j � �:0�=575g�=� � <Ui3  . i �   j ��t� Q �>�S14Z.��398S� Q 5XiBY �|j Y ~

Z4�U1.5g�U�!398 :>5g�=�4H`14/ i5Y t5j Y . i ��� i �4s5j � J14/*�gW�3Y14���S�=5Xiz  .���48 �h<�14/ i �. j � �

xj1.H����(Z.���!�VZ439�4I�8S�=H^�R8S�!�U3Y����8S1.H i0YNi ~ i�  .xj1 m ��3Y8h�4H�:;�>57���!3Y8SkaiBYNi�  � i t��:0�=:U8 �S�=< /D143R� Q �

:;1.H�I�8S��8S1.HXHN��5>�c�U3=iBY t�S14Z#14/ � Q �6:;1.H�I�8S��8S1.HXHN��56�c�U3=i9Y .

:0�=575g�=� iHW(dSiBYNi ~ i�  . j   G i�  � i0Y t i �   j � �:0�=H�<�8S� nb/2��H�:;��8S1.H

$��������������������������� !���"�h-:0�U�!�U3Y578 H��4Hr�R14/*�*^ �4��<�<�8 �4H`5#���!3Y8\kci t4s: 8��c�U3��=Hr��8h�4� m41.� ��5g�C�=� �=5g�=Hr�Ui t   jNt4t: 8 <�:;3��U�!�6I�8 <!�!3Y8 ���(��8S1.H i�Y . i0Y s i �t~: 8 <!�!3Y8 ���(��8S1.H

$��������������������������� !���"�h-� 8 Z4�=Hrm��4� �(�VI(�=:;1.57Wa1.<Y8S��8S1.H

: Q �4H(Z4�>14/Pm���3Y8 �����S�=<_/2143=i t4t�f�V��<��x�kgi1  t� 3Y3�143 �4H��4�Snl<�8 <_14/f^ �4��<Y<�8 �4HX�=� 8h578 H�����8S1.H

m41.H�= �=��5#�4H�HX�=<!��8 5#���!�4i� 4 �*klWc�=:;�!�=I`m��4� �(� 14/

�S14Z.��398S� Q 5$����#��^0�U1.5g�U�!398 :>5g�=�4H j �;klWa�=:;�!�=I �S14Z([

��398S� Q 5p-<�5#�4� �S�=<!� �=8 Z4�=Hrm��4� �(��14/��R� 8 < Q ��3Y� 57���!3Y8\kciYtYNi � �|j/~ Jli s J jNs�.

�*klWc1.H(�=H^��8 �4��I�8 <!�!398S���(��8S1.H 14/ <�57�4� �S�=<��g�=8SZ4�=H�[m��4� �(�=<=i .rt i � J

^ �4�S�!1.H iB�jdSi�  �^ �4��<Y<�8 �4HX�=� 8h578 H�����8S1.H iH UJli� uY j   .

Z43�1 TR� Q / �4:;�!143=i" uYNi�  Gm41.H�= �=��5#�4H�HX�U3�3�143 �=<!��8 57���!�4i� 4 � 8 �Sfl8 H�<!1.H��U3�3Y143R�c1.��H�I iz uY

 UJ .

Page 105: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

^ �4��<Y<�8 �4HX�=H�<��=5>��� �=<^ �4��<�<�8 �4H � 3�� Q 14Z41.H��4�1��H�<!�=56���S�

: Q ��39�4:;�!�U3Y8 <!��8 :VWa1.� nNH(1.5#8 �4�a14/ i ~4t5j/~4GI(�;[]H�8 ��8S1.H i�  ~ i t J� 1.8hHr���=8SZ4�=H^m��4� �(�>I(�=H�<�8S� n4i t��5jNt��� 1.8hHr���=�S�=57�=Hr� I��=H�<�8S� n4i t�. jNt4G5g1lI(�X14/ �=8SZ4�=Hrm��4� �(�`I�8 <!�!3Y8S�]�(��8S1.H i ~4G5j~��

3��=I���:;��8 1.Hb�!17�!3Y8 I�8h��Z41.H��4�c/D14395Xi t4s^ �4��<�<�8 �4H`e0H�8S����3Yn�� H�<!�=5>�]�S�

: Q ��39�4:;�!�U3Y8 <!��8 :VWa1.� nNH(1.5#8 �4�a14/ i ~4t5j/~4GI(�;[]H�8 ��8S1.H i t J� 1.8hHr���=8SZ4�=H^m��4� �(�>I(�=H�<�8S� n4i t��5jNt��� 1.8hHr���=�S�=57�=Hr� I��=H�<�8S� n4i t�. jNt4G5g1lI(�X14/ �=8SZ4�=Hrm��4� �(�`I�8 <!�!3Y8S�]�(��8S1.H i ~4G5j~��

8 HXHN��:U�S�=��3 W Q nl<�8 :U<=i�  ~5j   s^ �4��<Y<�8 �4H`57���!398 :;�=<

:;1.H�I�8S��8S1.HXHN��5>�c�U3�14/ i ���|j �4sI(�;[aH�8S��8S1.H i t JI(�U�!�U39578 H��4H^��14/ i t4s/ �4:;�!143Y8��=����8S1.H�<R14/ i tt~

^0�U1.5g�U�!398 :V5g�=�4H j �;kNWc�=:;�!�=I � 14Z.��3Y8S� Q 514/*:;1.H�I�8 ��8S1.HXH^��5>�c�U3Y<Uiz  t i ��� i �4s5j � J14/*� ��3�Z4�=<����=8SZ4�=Hrm��4� �(�

14/sxj1.5gW��S�;k�� 8h< Q ��3��R57���!398 :;�=<Ui ���14/ � 8 < Q ��3���57���!3Y8 :;�=<=i � YNi ��. j �4G

14/*<�57�4�h�S�=<!�_�=8SZ4�=H^m �4� ���14/sxj1.5gW��S�;k�� 8h< Q ��3��R57���!398 :;�=<Ui � J j �  14/ � 8 < Q ��3���57���!3Y8 :;�=<=i Gt~5jNG4s

^ � �$������C^C�4��<�<�8 �4H � 3�� Q 14Z41.H��4�1��H�<!�=56���S� -

^01.� I�<!��8 H(�4i>�6d��>d$������ m41.HJ= �=��57�4H�H`�U� �4� d -

^01.� ��� i(^ d��6dSi tt~^03Y��W Q � Q �U143�n4i�  s^03�1 TR� Q / �4:;�!143=i� uYNi"  G^ e��

$������C^C�4��<�<�8 �4HXe0H�8S����3YnE��H�<!�=56���S� -�0�4��3 $ 8 H^m ��398 �4Hr�9-j57�=�4<��(3��4i t Y

:;1.5gW]�S�;kai t4t� �U3Y578S�!�CWc1.�SnlH(1.578 �4�&i ~   j/~��� n^Wc�U3�Z4�U1.5g�U�!398 :C/ ��H�:;��8S1.H�<=i � �|j �(~8 8 I i � i t J jNt  �i �t~� H�:U8 I(�=H�:;�V5#���!3Y8\kci�  s� H�:;1.5gW��S�U�!� qj�U���#/2��H�:;��8S1.H i �(~

W.�4:;14�]8 Wc1.�SnNH�1.578 �4� i ~   j/~4GW.�4:;14�]8 �4H�<�/2143 57���!3Y8Sk�/ �4:;�!143Y8��=����8S1.H�<Ui t  �i t4tW41.8hHr� �=8SZ4�=Hrm��4� �(� I(�=H�<Y8S��8S�=<�14/ 39�4H�I(1.5 5#���!3Y8 [

:;�=<=i t��5jNt��W41.8hHr���=�S�=57�=Hr�RI(�=H�<�8S��8S�=<j14/P3Y�4H�I(1.5 57���!398 :;�=<Ui

t�. jNt4GkV� Q �4H i(� dSi tt~kV��fl�(���4H�8 i(�cdSi tkC1.<!���h�4H i��RdSi�  tkV��5#5g�U3�� <_�=oN������8S1.H i .  \ ��Z.���U3�3��VWc1.�SnlH(1.578 �4�&i .rs i ~   j/~��\ ��3YZ4�=<!� �=8SZ4�=H^m��4� �(�C14/P� 8 < Q ��3��R57���!3Y8h:;�=<

�4<!nl5gW��!14��8h:U<R14/ i � Y:;1.5gW]�S�;k�� 8 < Q ��3��R57���!3Y8 :;�=<=i ���Z4�U1.5g�U�!398 :>5g�=�4H`14/ i � YNi ��. j �4G

\ � T 14/h\ ��3YZ4�L= ��5>�c�U3Y<Ui ��s\ �UZ4�=H�I(3��VWc1.�SnlH(1.578 �4�&i ~4G\ 1.<Y<R14/ H^��57�U3Y8 :U�4�cW�3��=:U8h<�8S1.H i9YNi ~ i� UJ j  4 �i�  t\�� I(�=:;1.5gWc1.<�8S��8S1.H

: Q �4H(Z4�>14/Pm���3Y8 �����S�=<_/2143=i t4t14/*��^ �4��<�<�8 �4HX57���!398\kai t4G i t4s

��C= ��� 6i ~�.�F��� Q �=57����8 :U�li t i .rG i �(~5j ��s i ~��|j/~4s i s4G5jNs���� O \��q0i t i �t~ i ��s�F8 :U: Q �=�h� 8 i;x0d�6dSi t� 1NI(�>14/ 3Y�4H�I(1.5 57���!3Y8Sk��=8SZ4�=H^m��4� �(�=<Ui ~4G5j/~��� 1.5g�=Hr��<P14/l� 8 < Q ��3�� <�57�4� �S�=<�� �=8SZ4�=Hrm��4� �(��I�8 <i[�!398S���(��8S1.H�<

$������f�l57�4�h�S�=<!� �=8SZ4�=H^m��4� �(�j14/�� 8h< Q ��3��P57�>[�!398 :;�=<9-

� 143��!1.H i(k7d,� dSi t�F���S��8Sm���3Y8 ���!�V�4H��4� nN<�8h<$������ �F���S��8Sm���3Y8 ���!�C<!������8 <���8 :U<9-

�F���S��8Sm���3Y8 ���!�CZ.�4575#�g/2��H�:;��8S1.H i t Y:;1.5gW]�S�;kai t4t�F���S��8Sm���3Y8 ���!�VH(143957�4� I�8 <!�!398S���(��8S1.H i(  ��F���S��8Sm���3Y8 ���!�V<!������8h<!��8 :U<3Y�4H�I(1.5 57���!3Y8h:;�=<R8 H i1  �5j   � i t Jli �  

= 143Y57�4� I�8h<!�!3Y8S������8S1.H i t Jli t�.=0��:U�S�=��3RW Q nl<�8 :U<

3Y�4H�I(1.5 57���!3Y8h:;�=<R8 H i1  ~5j   s=0��5g�U3Y8 :U�4� �4H��4�SnN<Y8 <

3Y�4H�I(1.5 57���!3Y8h:;�=<R8 H i1 UJ j   G� :UH(�=�4HN� i;6dSi�  t

 UJ G

Page 106: PRcdWeTVL J L LONaP - MIT Mathematicsedelman/thesis/thesis.pdf · p±@vu;9gu;g sh7ti ` 9cb'i l 1u©h @¥9;@86+x¤i =4Ð^7_u;@ j>]1Ói7ts Ï jc

� I�� nB�Uf41(i�6d �KdSi"  s� �Sfl8 H i�� dSi5Y� 3�� Q 14Z41.H��4� 8 H^m ��398 �4H�:;�4i1  t i�  ~ i t�.

14/h�0�4��3 5g�=�4<���3��4i t YW I(/ i �

$�������� ��� � �������!� ��� ���� �"�"�h-< / � �p�4H i . J< 398 H�:U8SW��4�a:;1.5gWc1.H(�=H^��< �4H��4� nN<�8h<Uiz  �< 3Y14������8 � 8 � n#I(�=H�<�8S� n�/ ��H�:;��8S1.H

$��������������������������� !���"�h-� � I(�=:;1.5gWc1.<�8S��8S1.H

$�� �#��\���I(�=:;1.57Wa1.<Y8S��8S1.H]-� �4H�I(1.5 57���!3Y8SkbI(�;[aH�8S��8S1.H�<=i t J� �4H�I(1.5 57���!3Y8Sk��=8SZ4�=H^m��4� �(�=<

Z43Y��W Q � Q �U143�nb�4H�I i1  s5 ���S��8Sm���3Y8 ���!�C<!������8h<!��8 :U< �4H�I i1  �5j   �HN��:U�S�=��3RW Q nl<�8 :U<��4H�I i1  ~5j   sHN��5g�U3Y8h:U�4� �4H��4�Snl<�8 <��4H�I i1 UJ j   G143�� Q 14Z41.H��4� Wc1.�SnlH(1.578 �4�h<��4H�I i ~   j/~��� 8S�=57�4H�H��U�U���#/2��H�:;��8S1.HX�4H�I i1  s

� �4H�I(1.5 57���!3Y8Sk��!1.8 H^�RI(�=H�<�8S��8 �=<�=8SZ4�=H^m��4� �(�=<Ui t��5jNt���=�S�=57�=Hr��<Ui t4t5jNt�.

�R�=:;���4H�Z.��� ��3 5#���!3Y8\kci t  xj1.57W��S�;kci �  �i ��� i �4s^ �4��<�<�8 �4H

:;1.H�I�8S��8 1.HXH^��56�c�U3�14/ i �t~� ��3�Z4�=<!� <�8 H(Z.���h��3jm��4� �(�C14/ i � YNi ��. j �4G<�57�4� � �=<!�R<�8 H(Z.��� ��3_m �4� ���C14/ i G�. i Gt~5jNG4s

\ � I��=:;1.5gWc1.<�8S��8S1.H : Q �4H(Z4�b14/ m ��3Y8h�����S�=<Uit4t

�R�=:U��3Y<�8S1.Hb/2143 <�57�4�h�S�=<!�_�=8SZ4�=H^m �4� ���VI(�=H�<�8S� n#14/� 8 < Q ��3��R57���!3Y8 :;�=<=i .�. j .rs

� 8 �=57�4H�H��U�U���7/ ��H�:;��8 1.H iz  s i ~��� � �pH�8 i�<PdSi ~�l: Q 3��=8S�c�U3=i �Vd_�cdSi1  G�N�=578 [ :U8S3Y:U�S�C� � TVi1  ~ i0Y�J�l8 � m4�U3Y<!�!�=8 H i>W(d,� dSi G�.�l57�4� �4i(�adSiBYNi ~ i�  t i Y t5j Y .�l57�4�h�S�=<!�_�=8SZ4�=H^m �4� ���C14/P� 8 < Q ��3��R57���!3Y8 :;�=<

�4<!nl5gW��!14��8h:U<R14/ i G4t5jNG��:;1.5gW]�S�;k�� 8 < Q ��3��R57���!3Y8 :;�=<=i � J j �  I(�=H�<�8S� n�14/ i . J jNG YNi G4G i G��?XL B�a Jli .   j .rt i G  

?XL B�a  �i .rt i G  ?XL B�a�YNi G J jNG  ?XL B�a t i G J jNG  3��=:U�(3Y<Y8S1.Hb/D143 i .�. j .rs<���575#��3�np14/ i G  

Z4�U1.5g�U�!398 :>5g�=�4H`14/ i Gt~5jNG4s5g1.57�=Hr��< 14/ i .rG i � �|j/~ J

�NW Q �U3Y8 :U8S� n#�!�=<!�Ui�  � i �  �N��8S�U/2�=� 57�4H�8S/D1.�hI i t Y�N�!3Y�4H�Z(iH^ dSi tO �48 � <�14/*:;1.H�I�8 ��8S1.H`HN��5>�c�U3RI�8h<!�!3Y8S������8S1.H�<UiAY t i

�. j � �O 1^1.5g3Y�4i;>dSi tO 3��U/D�U� Q �=H i;\ d�=6dSi t i�  GO 3Y8 :;1.578c/ ��H�:;��8S1.H i .  �i .�.

I(�;[aH�8S��8S1.H i .  e0H�8S/2143Y5 I�8 <!�!398S���(��8S1.H i/Y . i0Y s i �t~� 1.� ��57�

14/s�N��8S�U/2�=� 57�4H�8 /D1.� I i t Y14/*:;1.5gW�� �;k �N��8 �U/D�=� 57�4H�8S/D1.�hI i t4t

� 1.� ��57�V�=�S�=5g�=H^��<Ui t   jNt4tm41.H = �=��57�4H�H i>W�d(�U�R�4� dSiBYNi ~ i� UJ j   t i"  � i5Y t5jY .� 8SZ.H(�U3=i;� d�<PdSi�  ~ i t��

<!�=5#8 [ :U8S3Y:U�S�V�h�=TVi1  ~ i5Y�J� 8 �Sfl8 H�<!1.H i>W(d��6dSi� UJli" uYE[d  t� 8 < Q ��3��R5#���!3Y8\k

: Q ��3Y�4:;�!�U3Y8 <���8 :CWc1.�SnlH(1.578 �4�a14/ i ~4t5j/~4G:;1.5gW]�S�;k

$����#��xj1.5gW]�S�;kp� 8 < Q ��3Y�R57���!3Y8\k�-I(�;[aH�8S��8S1.H iz  � i t J�!1.8 H^���=8SZ4�=Hrm��4� �(�6I(�=H�<�8S� n4i t��5jNt���!1.8 H^���=�S�=5g�=H^� I(�=H�<�8 � n4i t�. jNt4G� ��3YZ4�=<!�R�=8SZ4�=H^m �4�h�(�C14/

$����#��\ ��3YZ4�=<!� �=8SZ4�=H^m �4�h�(�*14/l� 8 < Q ��3�� 57�>[�!398 :;�=<9-

5g1lI(�C14/ �=8SZ4�=H^m �4�h�(�VI�8 <!�!398S���(��8S1.H i ~4G5j/~��5g1.57�=Hr��< 14/ <Y57�4� �S�=<!�_�=8SZ4�=H^m��4� �(�

$����#���l57�4�h�S�=<!�X�=8SZ4�=H^m �4�h�(� 14/ � 8h< Q ��3��5#���!3Y8 :;�=<9-

<�5#�4� �S�=<!���=8SZ4�=H^m��4� �(�C14/$����#���l57�4�h�S�=<!�X�=8SZ4�=H^m �4�h�(� 14/ � 8h< Q ��3��

5#���!3Y8 :;�=<9-�a1.H��4� Wa1.� nNH(1.5#8 �4� <Ui�  � i . J

 UJ �