Práctica 5Teorema de la divergencia,

Teorema de la divergencia

Figura 7.1:

de , a través de .

Teorema de Gauss (o Teorema de la divergencia)

Sea suave y una región tipo IV acotada por la cual es una superficie cerrada y

orientada. Entonces se cumple que:

Vamos a analizar la notación en el resultado final del Teorema de Gauss.

Primer miembro: o simplemente

Segundo miembro: es la integral de superficie del campo vectorial , y se puede escribir como

notación

De modo que en los ejercicios presentaremos el Teorema de Gauss como:

con y

Teorema: Ley de Gauss.

Se tiene un sólido tipo IV en sea y Entonces se cumple que si

Este teorema se conoce vulgarmente como Teorema de Gauss sobre un sólido cerrado y acotado con un hueco ensu interior.

7.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1Sea la región de acotada por la semi-esfera dada por y

orientada con normal exterior. Verificar el Teorema de la divergencia.

Soluciónes suave puesto que sus componentes son funciones polinómicas en es una región tipo I y tipo

II, es tipo IV en acotada por con la superficie de la semi-esfera y el disco

76

Figura 7.1:

de , a través de .

Teorema de Gauss (o Teorema de la divergencia)

Sea suave y una región tipo IV acotada por la cual es una superficie cerrada y

orientada. Entonces se cumple que:

Vamos a analizar la notación en el resultado final del Teorema de Gauss.

Primer miembro: o simplemente

Segundo miembro: es la integral de superficie del campo vectorial , y se puede escribir como

notación

De modo que en los ejercicios presentaremos el Teorema de Gauss como:

con y

Teorema: Ley de Gauss.

Se tiene un sólido tipo IV en sea y Entonces se cumple que si

Este teorema se conoce vulgarmente como Teorema de Gauss sobre un sólido cerrado y acotado con un hueco ensu interior.

7.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1Sea la región de acotada por la semi-esfera dada por y

orientada con normal exterior. Verificar el Teorema de la divergencia.

Soluciónes suave puesto que sus componentes son funciones polinómicas en es una región tipo I y tipo

II, es tipo IV en acotada por con la superficie de la semi-esfera y el disco

76

Problema 1.

Nota: Este ejercicio se coloca en el capítulo correspondiente al Teorema de Gauss, por ser parte de la demostracióndel mismo.

Solución

Designemos cara superior de cara inferior y las caras laterales. Por lo tanto,

(puesto que )

por ser por hipótesis tipo II en

Ahora bien,

con lo cual se concluye la demostración. Sólo resta observar que hemos usado, según la notación acordada en este

libro: reemplazando a en donde las comillas indican que se ha tomado

la orientación adecuada.

Problema 4

Sea el sólido interior al cilindro de ecuación entre los planos dados porrespectivamente. Suponer que está orientada hacia el exterior de Sea

usar el Teorema de Gauss para calcular

Solución

puesto que sus componentes son combinaciones de polinomios y exponenciales en (ver fig. 7.4).

es obviamente región tipo IV, suave, acotada por superficie cerrada y orientada. Por lo tanto,se cumple el Teorema de Gauss:

La segunda y tercera integral deben ser nulas puesto que si se recuerda, de MA las coordenadas del

centroide de son y como en este caso, pero

tiene que ser La cuarta integral

79Figura 7.4:

Por lo tanto,

Ahora bien,

Problema 5

Sea conSuponer que se orienta exteriormente mediante el campo vectorial (de vectores normales).

Sea Calcular

Solución

Es obvio que es una superficie cerrada y orientada formada por la parte superior de la superficie esférica:y el disco Por lo tanto, es el borde de una semi-esfera sólida,

Además, por ser sus componentes funciones polinómicas en Es lógico, entonces, utilizar el

Teorema de Gauss, en lugar de sumar dos integrales de superficie. Así que:

La experiencia acumulada por el alumno sobre MA le debe indicar que lo más útil es pasar a coordenadas

esféricas.

Por lo tanto,

80

Nota: Este ejercicio se coloca en el capítulo correspondiente al Teorema de Gauss, por ser parte de la demostracióndel mismo.

Solución

Designemos cara superior de cara inferior y las caras laterales. Por lo tanto,

(puesto que )

por ser por hipótesis tipo II en

Ahora bien,

con lo cual se concluye la demostración. Sólo resta observar que hemos usado, según la notación acordada en este

libro: reemplazando a en donde las comillas indican que se ha tomado

la orientación adecuada.

Problema 4

Sea el sólido interior al cilindro de ecuación entre los planos dados porrespectivamente. Suponer que está orientada hacia el exterior de Sea

usar el Teorema de Gauss para calcular

Solución

puesto que sus componentes son combinaciones de polinomios y exponenciales en (ver fig. 7.4).

es obviamente región tipo IV, suave, acotada por superficie cerrada y orientada. Por lo tanto,se cumple el Teorema de Gauss:

La segunda y tercera integral deben ser nulas puesto que si se recuerda, de MA las coordenadas del

centroide de son y como en este caso, pero

tiene que ser La cuarta integral

79

Nota: Este ejercicio se coloca en el capítulo correspondiente al Teorema de Gauss, por ser parte de la demostracióndel mismo.

Solución

Designemos cara superior de cara inferior y las caras laterales. Por lo tanto,

(puesto que )

por ser por hipótesis tipo II en

Ahora bien,

con lo cual se concluye la demostración. Sólo resta observar que hemos usado, según la notación acordada en este

libro: reemplazando a en donde las comillas indican que se ha tomado

la orientación adecuada.

Problema 4

Sea el sólido interior al cilindro de ecuación entre los planos dados porrespectivamente. Suponer que está orientada hacia el exterior de Sea

usar el Teorema de Gauss para calcular

Solución

puesto que sus componentes son combinaciones de polinomios y exponenciales en (ver fig. 7.4).

es obviamente región tipo IV, suave, acotada por superficie cerrada y orientada. Por lo tanto,se cumple el Teorema de Gauss:

La segunda y tercera integral deben ser nulas puesto que si se recuerda, de MA las coordenadas del

centroide de son y como en este caso, pero

tiene que ser La cuarta integral

79

Nota: Este ejercicio se coloca en el capítulo correspondiente al Teorema de Gauss, por ser parte de la demostracióndel mismo.

Solución

Designemos cara superior de cara inferior y las caras laterales. Por lo tanto,

(puesto que )

por ser por hipótesis tipo II en

Ahora bien,

con lo cual se concluye la demostración. Sólo resta observar que hemos usado, según la notación acordada en este

libro: reemplazando a en donde las comillas indican que se ha tomado

la orientación adecuada.

Problema 4

Sea el sólido interior al cilindro de ecuación entre los planos dados porrespectivamente. Suponer que está orientada hacia el exterior de Sea

usar el Teorema de Gauss para calcular

Solución

puesto que sus componentes son combinaciones de polinomios y exponenciales en (ver fig. 7.4).

es obviamente región tipo IV, suave, acotada por superficie cerrada y orientada. Por lo tanto,se cumple el Teorema de Gauss:

La segunda y tercera integral deben ser nulas puesto que si se recuerda, de MA las coordenadas del

centroide de son y como en este caso, pero

tiene que ser La cuarta integral

79

Figura 7.4:

Por lo tanto,

Ahora bien,

Problema 5

Sea conSuponer que se orienta exteriormente mediante el campo vectorial (de vectores normales).

Sea Calcular

Solución

Es obvio que es una superficie cerrada y orientada formada por la parte superior de la superficie esférica:y el disco Por lo tanto, es el borde de una semi-esfera sólida,

Además, por ser sus componentes funciones polinómicas en Es lógico, entonces, utilizar el

Teorema de Gauss, en lugar de sumar dos integrales de superficie. Así que:

La experiencia acumulada por el alumno sobre MA le debe indicar que lo más útil es pasar a coordenadas

esféricas.

Por lo tanto,

80

Problema 2.

Figura 7.4:

Por lo tanto,

Ahora bien,

Problema 5

Sea conSuponer que se orienta exteriormente mediante el campo vectorial (de vectores normales).

Sea Calcular

Solución

Es obvio que es una superficie cerrada y orientada formada por la parte superior de la superficie esférica:y el disco Por lo tanto, es el borde de una semi-esfera sólida,

Además, por ser sus componentes funciones polinómicas en Es lógico, entonces, utilizar el

Teorema de Gauss, en lugar de sumar dos integrales de superficie. Así que:

La experiencia acumulada por el alumno sobre MA le debe indicar que lo más útil es pasar a coordenadas

esféricas.

Por lo tanto,

80

Figura 7.4:

Por lo tanto,

Ahora bien,

Problema 5

Sea conSuponer que se orienta exteriormente mediante el campo vectorial (de vectores normales).

Sea Calcular

Solución

Es obvio que es una superficie cerrada y orientada formada por la parte superior de la superficie esférica:y el disco Por lo tanto, es el borde de una semi-esfera sólida,

Además, por ser sus componentes funciones polinómicas en Es lógico, entonces, utilizar el

Teorema de Gauss, en lugar de sumar dos integrales de superficie. Así que:

La experiencia acumulada por el alumno sobre MA le debe indicar que lo más útil es pasar a coordenadas

esféricas.

Por lo tanto,

80

Figura 7.4:

Por lo tanto,

Ahora bien,

Problema 5

Sea conSuponer que se orienta exteriormente mediante el campo vectorial (de vectores normales).

Sea Calcular

Solución

Es obvio que es una superficie cerrada y orientada formada por la parte superior de la superficie esférica:y el disco Por lo tanto, es el borde de una semi-esfera sólida,

Además, por ser sus componentes funciones polinómicas en Es lógico, entonces, utilizar el

Teorema de Gauss, en lugar de sumar dos integrales de superficie. Así que:

La experiencia acumulada por el alumno sobre MA le debe indicar que lo más útil es pasar a coordenadas

esféricas.

Por lo tanto,

80

Figura 7.4:

Por lo tanto,

Ahora bien,

Problema 5

Sea conSuponer que se orienta exteriormente mediante el campo vectorial (de vectores normales).

Sea Calcular

Solución

Es obvio que es una superficie cerrada y orientada formada por la parte superior de la superficie esférica:y el disco Por lo tanto, es el borde de una semi-esfera sólida,

Además, por ser sus componentes funciones polinómicas en Es lógico, entonces, utilizar el

Teorema de Gauss, en lugar de sumar dos integrales de superficie. Así que:

La experiencia acumulada por el alumno sobre MA le debe indicar que lo más útil es pasar a coordenadas

esféricas.

Por lo tanto,

80

Problema 3.Problema 6

Sea con una superficie cerrada, orientada con la normal exterior,

además es el borde de un sólido cerrado .

(a) Demuestre que el volumen

(b) Utilice el resultado anterior para demostrar que el volumen de una esfera de radio es

Solución

Verifique primero las condiciones del Teorema de Gauss.

(a) Ahora,

(b) Según (a)

puesto que para la esfera de radio

y

Por lo tanto,

Problema 7

Sea el sólido comprendido dentro del paralelepípedo y fuera del cilindro

Sea Hallar flujo de hacia afuera de .

Solución

Verificar condiciones del Teorema de Gauss.

(ver fig. 7.5) Por lo tanto,

Figura 7.5:

81

Problema 6

Sea con una superficie cerrada, orientada con la normal exterior,

además es el borde de un sólido cerrado .

(a) Demuestre que el volumen

(b) Utilice el resultado anterior para demostrar que el volumen de una esfera de radio es

Solución

Verifique primero las condiciones del Teorema de Gauss.

(a) Ahora,

(b) Según (a)

puesto que para la esfera de radio

y

Por lo tanto,

Problema 7

Sea el sólido comprendido dentro del paralelepípedo y fuera del cilindro

Sea Hallar flujo de hacia afuera de .

Solución

Verificar condiciones del Teorema de Gauss.

(ver fig. 7.5) Por lo tanto,

Figura 7.5:

81

Problema 6

Sea con una superficie cerrada, orientada con la normal exterior,

además es el borde de un sólido cerrado .

(a) Demuestre que el volumen

(b) Utilice el resultado anterior para demostrar que el volumen de una esfera de radio es

Solución

Verifique primero las condiciones del Teorema de Gauss.

(a) Ahora,

(b) Según (a)

puesto que para la esfera de radio

y

Por lo tanto,

Problema 7

Sea el sólido comprendido dentro del paralelepípedo y fuera del cilindro

Sea Hallar flujo de hacia afuera de .

Solución

Verificar condiciones del Teorema de Gauss.

(ver fig. 7.5) Por lo tanto,

Figura 7.5:

81

Problema 4.

Problema 6

Sea con una superficie cerrada, orientada con la normal exterior,

además es el borde de un sólido cerrado .

(a) Demuestre que el volumen

(b) Utilice el resultado anterior para demostrar que el volumen de una esfera de radio es

Solución

Verifique primero las condiciones del Teorema de Gauss.

(a) Ahora,

(b) Según (a)

puesto que para la esfera de radio

y

Por lo tanto,

Problema 7

Sea el sólido comprendido dentro del paralelepípedo y fuera del cilindro

Sea Hallar flujo de hacia afuera de .

Solución

Verificar condiciones del Teorema de Gauss.

(ver fig. 7.5) Por lo tanto,

Figura 7.5:

81

Problema 6

Sea con una superficie cerrada, orientada con la normal exterior,

además es el borde de un sólido cerrado .

(a) Demuestre que el volumen

(b) Utilice el resultado anterior para demostrar que el volumen de una esfera de radio es

Solución

Verifique primero las condiciones del Teorema de Gauss.

(a) Ahora,

(b) Según (a)

puesto que para la esfera de radio

y

Por lo tanto,

Problema 7

Sea el sólido comprendido dentro del paralelepípedo y fuera del cilindro

Sea Hallar flujo de hacia afuera de .

Solución

Verificar condiciones del Teorema de Gauss.

(ver fig. 7.5) Por lo tanto,

Figura 7.5:

81

Nota: veces (el área de un cuarto de cuadrado menos el área del sector circular) (ver fig. 7.6).

Figura 7.6:

* Recordar las fórmulas del centroide de un sólido vistas en MA

Problema 8

Sea con

Suponer que se orienta exteriormente mediante el campo vectorial (de vectores normales).

Sea calcular

Solución

Verificar condiciones del Teorema de Gauss (ver fig. 7.7).

Nota: Se proyectó sobre el plano .

82

Nota: veces (el área de un cuarto de cuadrado menos el área del sector circular) (ver fig. 7.6).

Figura 7.6:

* Recordar las fórmulas del centroide de un sólido vistas en MA

Problema 8

Sea con

Suponer que se orienta exteriormente mediante el campo vectorial (de vectores normales).

Sea calcular

Solución

Verificar condiciones del Teorema de Gauss (ver fig. 7.7).

Nota: Se proyectó sobre el plano .

82

Nota: veces (el área de un cuarto de cuadrado menos el área del sector circular) (ver fig. 7.6).

Figura 7.6:

* Recordar las fórmulas del centroide de un sólido vistas en MA

Problema 8

Sea con

Suponer que se orienta exteriormente mediante el campo vectorial (de vectores normales).

Sea calcular

Solución

Verificar condiciones del Teorema de Gauss (ver fig. 7.7).

Nota: Se proyectó sobre el plano .

82

Nota: veces (el área de un cuarto de cuadrado menos el área del sector circular) (ver fig. 7.6).

Figura 7.6:

* Recordar las fórmulas del centroide de un sólido vistas en MA

Problema 8

Sea con

Suponer que se orienta exteriormente mediante el campo vectorial (de vectores normales).

Sea calcular

Solución

Verificar condiciones del Teorema de Gauss (ver fig. 7.7).

Nota: Se proyectó sobre el plano .

82

Donde

Ley de Gauss

Sea M una region simetrica elemental en R3. Entonces, si (0, 0, 0) /! !M ,tenemos:

!!

!M

r · nr3

dS

donde

r(x, y, z) = xi + yj + zk

r(x, y, z) =!

x2 + y2 + z2

y

0si(0, 0, 0) /! M=

4!si(0, 0, 0) ! M

Figura 7.1:

de , a través de .

Teorema de Gauss (o Teorema de la divergencia)

Sea suave y una región tipo IV acotada por la cual es una superficie cerrada y

orientada. Entonces se cumple que:

Vamos a analizar la notación en el resultado final del Teorema de Gauss.

Primer miembro: o simplemente

Segundo miembro: es la integral de superficie del campo vectorial , y se puede escribir como

notación

De modo que en los ejercicios presentaremos el Teorema de Gauss como:

con y

Teorema: Ley de Gauss.

Se tiene un sólido tipo IV en sea y Entonces se cumple que si

Este teorema se conoce vulgarmente como Teorema de Gauss sobre un sólido cerrado y acotado con un hueco ensu interior.

7.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1Sea la región de acotada por la semi-esfera dada por y

orientada con normal exterior. Verificar el Teorema de la divergencia.

Soluciónes suave puesto que sus componentes son funciones polinómicas en es una región tipo I y tipo

II, es tipo IV en acotada por con la superficie de la semi-esfera y el disco

76

r0

Teorema de la Divergencia

!!

!M

r · nr3

dS =!!!

M! ·

" rr3

#

si (0, 0, 0) /!M " rr3

campo C1

! ·! r

r3

"= 0

! ·! r

r3

"= 0"

##

!M

r · nr3

dS = 0

Figura 7.1:

de , a través de .

Teorema de Gauss (o Teorema de la divergencia)

Sea suave y una región tipo IV acotada por la cual es una superficie cerrada y

orientada. Entonces se cumple que:

Vamos a analizar la notación en el resultado final del Teorema de Gauss.

Primer miembro: o simplemente

Segundo miembro: es la integral de superficie del campo vectorial , y se puede escribir como

notación

De modo que en los ejercicios presentaremos el Teorema de Gauss como:

con y

Teorema: Ley de Gauss.

Se tiene un sólido tipo IV en sea y Entonces se cumple que si

Este teorema se conoce vulgarmente como Teorema de Gauss sobre un sólido cerrado y acotado con un hueco ensu interior.

7.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1Sea la región de acotada por la semi-esfera dada por y

orientada con normal exterior. Verificar el Teorema de la divergencia.

Soluciónes suave puesto que sus componentes son funciones polinómicas en es una región tipo I y tipo

II, es tipo IV en acotada por con la superficie de la semi-esfera y el disco

76

r0

si (0, 0, 0) !M " rr3

Figura 7.1:

de , a través de .

Teorema de Gauss (o Teorema de la divergencia)

Sea suave y una región tipo IV acotada por la cual es una superficie cerrada y

orientada. Entonces se cumple que:

Vamos a analizar la notación en el resultado final del Teorema de Gauss.

Primer miembro: o simplemente

Segundo miembro: es la integral de superficie del campo vectorial , y se puede escribir como

notación

De modo que en los ejercicios presentaremos el Teorema de Gauss como:

con y

Teorema: Ley de Gauss.

Se tiene un sólido tipo IV en sea y Entonces se cumple que si

Este teorema se conoce vulgarmente como Teorema de Gauss sobre un sólido cerrado y acotado con un hueco ensu interior.

7.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1Sea la región de acotada por la semi-esfera dada por y

orientada con normal exterior. Verificar el Teorema de la divergencia.

Soluciónes suave puesto que sus componentes son funciones polinómicas en es una región tipo I y tipo

II, es tipo IV en acotada por con la superficie de la semi-esfera y el disco

76

r0

!!

S

r · nr3

dS =!!!

W! ·

" rr3

#= 0

! ·! r

r3

"= 0 en W

Entonces:

!!

S

r · nr3

dS = 0

si (0, 0, 0) !M " rr3

Figura 7.1:

de , a través de .

Teorema de Gauss (o Teorema de la divergencia)

Sea suave y una región tipo IV acotada por la cual es una superficie cerrada y

orientada. Entonces se cumple que:

Vamos a analizar la notación en el resultado final del Teorema de Gauss.

Primer miembro: o simplemente

Segundo miembro: es la integral de superficie del campo vectorial , y se puede escribir como

notación

De modo que en los ejercicios presentaremos el Teorema de Gauss como:

con y

Teorema: Ley de Gauss.

Se tiene un sólido tipo IV en sea y Entonces se cumple que si

Este teorema se conoce vulgarmente como Teorema de Gauss sobre un sólido cerrado y acotado con un hueco ensu interior.

7.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1Sea la región de acotada por la semi-esfera dada por y

orientada con normal exterior. Verificar el Teorema de la divergencia.

Soluciónes suave puesto que sus componentes son funciones polinómicas en es una región tipo I y tipo

II, es tipo IV en acotada por con la superficie de la semi-esfera y el disco

76

r0

r = !

!!

S

r · nr3

dS =!!!

W! ·

" rr3

#= 0

! ·! r

r3

"= 0 en W

Entonces:

!!

S

r · nr3

dS =!!

!M

r · nr3

dS +!!

!N

r · nr3

dS

!!

!M

r · nr3

dS +!!

!N

r · nr3

dS = 0

!!

!M

r · nr3

dS = !!!

!N

r · nr3

dS

En N se tiene n = !rr, con r = !

Entonces

!!!

!N

r · nr3

dS =!!

!N

!2

!4dS =

1!2

!!

!NdS

!!

!NdS = 4!"2

donde

finalmente

!!!

!N

r · nr3

dS = 4!

Recordando la relación entre los vectores normales

!!

!M

r · nr3

dS = 4!

!!

!M

r · nr3

dS = !!!

!N

r · nr3

dS

Consideremos el potencial escalar

!(x, y, z) =Q

4"r=

Q

4"!

x2 + y2 + z2

y el campo asociado

E = !"!(x, y, z) =Q

4"

rr3

del problema anterior encontramos

!!

S

r · nr3

dS =!!!

W! ·

" rr3

#dV = Q

Ley de Gauss