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Grados en Ingeniería en Tecnologías Industriales,

Ingeniería Eléctrica,

Ingeniería en Electrónica Industrial y Automática

e Ingeniería Mecánica

Práctica de variables aleatorias (modelos)

1. OBJETIVOS En esta práctica veremos cómo calcular probabilidades y cuantiles asociados a una distribución de probabilidad prefijada, cómo obtener una representación gráfica de una función de distribución y de densidad y cómo generar observaciones (pseudo)aleatorias de dichos modelos, con especial énfasis en las distribuciones Normal y Binomial. Para calcular probabilidades y cuantiles de una distribución de probabilidad dada:

• Elegimos la distribución.

• Introducimos sus parámetros.

• Marcamos el tipo de cálculo.

• Con el botón derecho, en OPCIONES DE VENTANA, introducimos el valor o valores de interés de la variable.

2. SELECCIÓN DEL MODELO Mediante GRAFICAR \ DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD se nos abre un menú que presenta todas las distribuciones manejadas por Statgraphics®

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En la primera columna se recogen las distribuciones discretas, ordenadas alfabéticamente según su nombre en inglés. Las tres columnas restantes son variables continuas, también ordenadas alfabéticamente según su nombre en inglés. Por defecto aparece seleccionada la distribución normal, que depende de dos parámetros:

media y desviación típica σ, que son los que nos pide el programa. Podemos definir hasta 5 distribuciones del mismo modelo.

3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Una vez fijados los parámetros de la distribución, el programa permite las siguientes tablas y gráficos

En las gráficas siguientes se representan las funciones de densidad y distribución (probabilidad

acumulada) de cinco distribuciones normales, N(,σ2). A saber: N(0,12), N(0, 0,52), N(0, 22), N(1,12) y N(-1, 12)

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Statgraphics® ordena los parámetros de forma inversa

a como lo hacemos nosotros (primero probabilidad de

éxito, p, y luego número de ensayos, n).

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En las gráficas siguientes aparecen representadas las funciones de probabilidad y distribución de tres distribuciones binomiales, B(n, p). A saber; B(20, 0.2), B(10, 0.4) y B(20, 0.5).

4. PROBABILIDADES Y CUANTILES Para cualquiera de los modelos de probabilidad manejados por el programa, definidos con parámetros cualesquiera, podemos obtener las probabilidades de que una variable aleatoria tome un valor menor o mayor que uno dado. Además, para las distribuciones discretas obtenemos la probabilidad de que la variable aleatoria sea igual al valor dado, y para las discretas, la función de densidad evaluada en dicho valor.

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Variables aleatorias continuas: distribución normal Dada una variable aleatoria X, con distribución N(1, 22), calcule las probabilidades P(X>2) y P(X>2) Construimos la variable con GRAFICAR \ DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD, seleccionando el modelo e introduciendo sus parámetros. En el cuadro de diálogo correspondiente a Tablas y Gráficos marcamos Resumen del Análisis (que muestra la distribución y los parámetros seleccionados) y Distribuciones Acumuladas. Haciendo clic con el botón derecho del ratón en la ventana de resultados correspondiente a la distribución acumulada y seleccionando Opciones de Ventana, introducimos el valor del que nos

interesa obtener las diversas probabilidades (en este caso, el valor 2). Observe que pueden fijarse hasta cinco valores.

Una vez que hemos aceptado, obtenemos los valores deseados.

De esta manera: P(X<2)= 0.691464 P(X>2)= 0.308536 La función de densidad evaluada en 2 (no la probabilidad en 2) es 0.176033.

La función cuantil (función acumulada inversa) la obtenemos seleccionando en Tablas y Gráficos la casilla Distribuciones Acumuladas Inversas, una vez hemos fijado el modelo y los parámetros. Por defecto, Statgraphics® nos proporciona los percentiles 0.01, 0.1, 0.5 (mediana), 0.9 y 0.99. Para calcular cualquier otro, abrimos el menú contextual de la ventana de resultados correspondiente a la FDA Inversa y seleccionamos Opciones de Ventana. Así, el percentil 0.01 de una variable aleatoria X con una distribución N(1,22) es -3,6527. Es decir: P(X<-3.6527)= 0.01. La interpretación de cualquier otro cuantil es análoga a ésta.

El botón derecho del ratón abre un menú contextual.

Dependiendo dónde se encuentre el puntero, aparecen

distintas opciones.

P(X=2)= 0 porque

en funciones continuas

la probabilidad de cada punto es nula

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Variables aleatorias discretas: distribución binomial Cuando trabajamos con una distribución discreta y queremos obtener la probabilidad de que una variable aleatoria cumpla una condición expresada mediante una desigualdad, debemos observar cuidadosamente si la desigualdad es estricta o no. Así, si X sigue una distribución binomial B(10, 0.1) las probabilidade𝑠 𝑃(𝑋 < 1) y 𝑃(𝑋 ≤ 1) son distintas. Para obtenerlas, seleccionamos en el menú correspondiente la distribución Binomial, cuyos parámetros fijados por defecto son precisamente probabilidad de éxito p=0.1 y número de ensayos n=10. Marcamos Distribuciones Acumuladas, hacemos clic con el botón derecho del ratón sobre la parte de la ventana de resultados correspondiente a la Distribución Acumulada, seleccionamos Opciones de Ventana y fijamos el valor 1 para obtener: Es decir:

𝑃(𝑋 < 1) = 0.348678 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 < 1) = 0.348678 + 0.38742 = 0.736098 De otra manera:

𝑃(𝑋 ≤ 1) = 1 − 𝑃(𝑋 < 1)= 1 − 0.38742= 0.736098

5. GENERACIÓN DE NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS Los números generados por un ordenador mediante un algoritmo completamente determinista nunca serán aleatorios (obtenidos completamente al azar), sino, a lo sumo, podrán tener apariencia de aleatorios; por ello lo más correcto es referirse a ellos como números pseudoaleatorios. No obstante, por economía en el término, hablaremos de números aleatorios y de generación de los mismos. Fijado cualquier modelo de distribución con los parámetros deseados (cf. Sección 2) podemos seleccionar Números Aleatorios, con lo que el programa nos permitirá obtener 100 observaciones aleatorias del modelo prefijado.

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Para generar una muestra de observaciones con un tamaño distinto de 100, hacemos clic con el botón derecho del ratón en la parte de la ventana de resultados correspondiente a los Números Aleatorios, seleccionamos Opciones de Ventana y escribimos otro tamaño. Para finalizar la generación de las observaciones aleatorias (y guardarlas), hacemos clic en el icono “guardar” de la barra de herramientas del análisis (rodeado por una circunferencia roja en la imagen inferior).

Debemos indicar al programa dónde guardar las observaciones que acabamos de generar. Para ello activamos Números Aleatorios para Dist. 1 y le indicamos (a la derecha) que los guarde en la Hoja de Datos que deseamos (habitualmente la A, que es la primera)

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Una vez guardadas las observaciones que hemos generado, podemos trabajar libremente con la variable (columna) recién creada y realizar cualquier tipo de análisis estadístico.

Una manera alternativa para generar observaciones aleatorias es HERRAMIENTAS \ SIMULACIONES MONTE CARLO \ GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS Esta herramienta nos permite generar hasta 15 muestras simultáneamente, de la misma o distintas distribuciones, y el tamaño por defecto son 10 000 datos.

¿Dónde están mis números aleatorios?

El programa los guarda por defecto en la Hoja B. Si no

ha cambiado esa opción, búsquelos ahí.

¿Tampoco están? Probablemente olvidó marcar la

casilla de verificación Números Aleatorios para Dist. 1.

¡De nada!