Preštevanje spomočjo grup

Primož Šparl

Univerza v Ljubljani, FMF

Matematično raziskovalno srečanje MARS 2008UP FAMNIT, Koper, 24. - 30. avgust 2008

Ogrevanje

Koliko je vseh različnih štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči ali rumeni?

Koliko je vseh različnih štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči, rumeni ali modri?

Koliko je vseh različnih šestnajstkrakih vetrnic, katerih krakiso lahko rdeči, rumeni, modri, zeleni, vijolični, beli ali rjavi?

Koliko je bisernih ogrlic z desetimi biseri, če imamo na voljobele in črne bisere?

Koliko je vseh različnih kock, katerih ploskve so lahko rdeče,rumene ali modre?

Koliko je vseh različnih kock, katerih robovi so lahko rdeči,rumeni, modri ali zeleni?

Koliko je...

Ogrevanje

Koliko je vseh različnih štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči ali rumeni? slika

Koliko je vseh različnih štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči, rumeni ali modri?

Koliko je vseh različnih šestnajstkrakih vetrnic, katerih krakiso lahko rdeči, rumeni, modri, zeleni, vijolični, beli ali rjavi?

Koliko je bisernih ogrlic z desetimi biseri, če imamo na voljobele in črne bisere?

Koliko je vseh različnih kock, katerih ploskve so lahko rdeče,rumene ali modre?

Koliko je vseh različnih kock, katerih robovi so lahko rdeči,rumeni, modri ali zeleni?

Koliko je...

Ogrevanje

Koliko je vseh različnih štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči ali rumeni?

Koliko je vseh različnih štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči, rumeni ali modri?

Koliko je vseh različnih šestnajstkrakih vetrnic, katerih krakiso lahko rdeči, rumeni, modri, zeleni, vijolični, beli ali rjavi?

Koliko je bisernih ogrlic z desetimi biseri, če imamo na voljobele in črne bisere?

Koliko je vseh različnih kock, katerih ploskve so lahko rdeče,rumene ali modre?

Koliko je vseh različnih kock, katerih robovi so lahko rdeči,rumeni, modri ali zeleni?

Koliko je...

Ogrevanje

Koliko je vseh različnih štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči ali rumeni?

Koliko je vseh različnih štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči, rumeni ali modri? slika

Koliko je vseh različnih šestnajstkrakih vetrnic, katerih krakiso lahko rdeči, rumeni, modri, zeleni, vijolični, beli ali rjavi?

Koliko je bisernih ogrlic z desetimi biseri, če imamo na voljobele in črne bisere?

Koliko je vseh različnih kock, katerih ploskve so lahko rdeče,rumene ali modre?

Koliko je vseh različnih kock, katerih robovi so lahko rdeči,rumeni, modri ali zeleni?

Koliko je...

Ogrevanje

Koliko je vseh različnih štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči ali rumeni?

Koliko je vseh različnih štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči, rumeni ali modri?

Koliko je vseh različnih šestnajstkrakih vetrnic, katerih krakiso lahko rdeči, rumeni, modri, zeleni, vijolični, beli ali rjavi?

Koliko je bisernih ogrlic z desetimi biseri, če imamo na voljobele in črne bisere?

Koliko je vseh različnih kock, katerih ploskve so lahko rdeče,rumene ali modre?

Koliko je vseh različnih kock, katerih robovi so lahko rdeči,rumeni, modri ali zeleni?

Koliko je...

Ogrevanje

Koliko je vseh različnih štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči ali rumeni?

Koliko je vseh različnih štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči, rumeni ali modri?

Koliko je vseh različnih šestnajstkrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči, rumeni, modri, zeleni, vijolični, beli ali rjavi? slika

Koliko je bisernih ogrlic z desetimi biseri, če imamo na voljobele in črne bisere?

Koliko je vseh različnih kock, katerih ploskve so lahko rdeče,rumene ali modre?

Koliko je vseh različnih kock, katerih robovi so lahko rdeči,rumeni, modri ali zeleni?

Koliko je...

Ogrevanje

Koliko je vseh različnih štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči ali rumeni?

Koliko je vseh različnih štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči, rumeni ali modri?

Koliko je vseh različnih šestnajstkrakih vetrnic, katerih krakiso lahko rdeči, rumeni, modri, zeleni, vijolični, beli ali rjavi?

Koliko je bisernih ogrlic z desetimi biseri, če imamo na voljobele in črne bisere?

Koliko je vseh različnih kock, katerih ploskve so lahko rdeče,rumene ali modre?

Koliko je vseh različnih kock, katerih robovi so lahko rdeči,rumeni, modri ali zeleni?

Koliko je...

Ogrevanje

Koliko je vseh različnih štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči ali rumeni?

Koliko je vseh različnih štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči, rumeni ali modri?

Koliko je vseh različnih šestnajstkrakih vetrnic, katerih krakiso lahko rdeči, rumeni, modri, zeleni, vijolični, beli ali rjavi?

Koliko je bisernih ogrlic z desetimi biseri, če imamo na voljobele in črne bisere?

Koliko je vseh različnih kock, katerih ploskve so lahko rdeče,rumene ali modre?

Koliko je vseh različnih kock, katerih robovi so lahko rdeči,rumeni, modri ali zeleni?

Koliko je...

Ogrevanje

Koliko je vseh različnih štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči ali rumeni?

Koliko je vseh različnih štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči, rumeni ali modri?

Koliko je vseh različnih šestnajstkrakih vetrnic, katerih krakiso lahko rdeči, rumeni, modri, zeleni, vijolični, beli ali rjavi?

Koliko je bisernih ogrlic z desetimi biseri, če imamo na voljobele in črne bisere?

Koliko je vseh različnih kock, katerih ploskve so lahko rdeče,rumene ali modre?

Koliko je vseh različnih kock, katerih robovi so lahko rdeči,rumeni, modri ali zeleni?

Koliko je...

Ogrevanje

Koliko je vseh različnih štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči ali rumeni?

Koliko je vseh različnih štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči, rumeni ali modri?

Koliko je vseh različnih šestnajstkrakih vetrnic, katerih krakiso lahko rdeči, rumeni, modri, zeleni, vijolični, beli ali rjavi?

Koliko je bisernih ogrlic z desetimi biseri, če imamo na voljobele in črne bisere?

Koliko je vseh različnih kock, katerih ploskve so lahko rdeče,rumene ali modre?

Koliko je vseh različnih kock, katerih robovi so lahko rdeči,rumeni, modri ali zeleni?

Koliko je...

Permutacijske grupe

Množico vseh permutacij oziroma premešanj elementovmnožice X označimo z SX .

Če je n = |X |, lahko seveda SX identificiramo s simetričnogrupo Sn.

Včasih nas ne zanima cela grupa SX , temveč le kake njenepodmnožice.

Tistim podmnožicam G ⊆ SX , za katere velja

vsebujejo identitetoza vsaka g1, g2 ∈ G je tudi g1g2 ∈ Gza vsak g ∈ G je tudi g−1 ∈ G

pravimo permutacijske grupe.

Primeri:

Grupa rotacij štirikrake vetrnice.Grupa “simetrij ogrlice”.Grupa togih simetrij kocke.

Permutacijske grupe

Množico vseh permutacij oziroma premešanj elementovmnožice X označimo z SX .

Če je n = |X |, lahko seveda SX identificiramo s simetričnogrupo Sn.

Včasih nas ne zanima cela grupa SX , temveč le kake njenepodmnožice.

Tistim podmnožicam G ⊆ SX , za katere velja

vsebujejo identitetoza vsaka g1, g2 ∈ G je tudi g1g2 ∈ Gza vsak g ∈ G je tudi g−1 ∈ G

pravimo permutacijske grupe.

Primeri:

Grupa rotacij štirikrake vetrnice.Grupa “simetrij ogrlice”.Grupa togih simetrij kocke.

Permutacijske grupe

Množico vseh permutacij oziroma premešanj elementovmnožice X označimo z SX .

Če je n = |X |, lahko seveda SX identificiramo s simetričnogrupo Sn.

Včasih nas ne zanima cela grupa SX , temveč le kake njenepodmnožice.

Tistim podmnožicam G ⊆ SX , za katere velja

vsebujejo identitetoza vsaka g1, g2 ∈ G je tudi g1g2 ∈ Gza vsak g ∈ G je tudi g−1 ∈ G

pravimo permutacijske grupe.

Primeri:

Grupa rotacij štirikrake vetrnice.Grupa “simetrij ogrlice”.Grupa togih simetrij kocke.

Permutacijske grupe

Množico vseh permutacij oziroma premešanj elementovmnožice X označimo z SX .

Če je n = |X |, lahko seveda SX identificiramo s simetričnogrupo Sn.

Včasih nas ne zanima cela grupa SX , temveč le kake njenepodmnožice.

Tistim podmnožicam G ⊆ SX , za katere veljavsebujejo identitetoza vsaka g1, g2 ∈ G je tudi g1g2 ∈ Gza vsak g ∈ G je tudi g−1 ∈ G

pravimo permutacijske grupe.

Primeri:

Grupa rotacij štirikrake vetrnice.Grupa “simetrij ogrlice”.Grupa togih simetrij kocke.

Permutacijske grupe

Množico vseh permutacij oziroma premešanj elementovmnožice X označimo z SX .

Če je n = |X |, lahko seveda SX identificiramo s simetričnogrupo Sn.

Včasih nas ne zanima cela grupa SX , temveč le kake njenepodmnožice.

Tistim podmnožicam G ⊆ SX , za katere veljavsebujejo identitetoza vsaka g1, g2 ∈ G je tudi g1g2 ∈ Gza vsak g ∈ G je tudi g−1 ∈ G

pravimo permutacijske grupe.

Primeri:

Grupa rotacij štirikrake vetrnice.Grupa “simetrij ogrlice”.Grupa togih simetrij kocke.

Orbite in stabilizatorji

Naj bo G permutacijska grupa, ki deluje na množici X in najbo x ∈ X .

Množico vseh elementov grupe G , ki pribijejo x , označimo zGx in ji pravimo stabilizator točke x . Tudi Gx je grupa.

Množico vseh točk y v katere je moč z elementi grupe Gpreslikati točko x označimo z OrbG (x) in jo imenujemo orbitatočke x pri delovanju grupe G .

Množica X razpade na disjunktno unijo orbit.

Izkaže se, da je med stabilizatorjem in orbito točke nekapovezava. slika

Orbite in stabilizatorji

Naj bo G permutacijska grupa, ki deluje na množici X in najbo x ∈ X .Množico vseh elementov grupe G , ki pribijejo x , označimo zGx in ji pravimo stabilizator točke x . Tudi Gx je grupa.

Množico vseh točk y v katere je moč z elementi grupe Gpreslikati točko x označimo z OrbG (x) in jo imenujemo orbitatočke x pri delovanju grupe G .

Množica X razpade na disjunktno unijo orbit.

Izkaže se, da je med stabilizatorjem in orbito točke nekapovezava. slika

Orbite in stabilizatorji

Naj bo G permutacijska grupa, ki deluje na množici X in najbo x ∈ X .Množico vseh elementov grupe G , ki pribijejo x , označimo zGx in ji pravimo stabilizator točke x . Tudi Gx je grupa.

Množico vseh točk y v katere je moč z elementi grupe Gpreslikati točko x označimo z OrbG (x) in jo imenujemo orbitatočke x pri delovanju grupe G .

Množica X razpade na disjunktno unijo orbit.

Izkaže se, da je med stabilizatorjem in orbito točke nekapovezava. slika

Orbite in stabilizatorji

Naj bo G permutacijska grupa, ki deluje na množici X in najbo x ∈ X .Množico vseh elementov grupe G , ki pribijejo x , označimo zGx in ji pravimo stabilizator točke x . Tudi Gx je grupa.

Množico vseh točk y v katere je moč z elementi grupe Gpreslikati točko x označimo z OrbG (x) in jo imenujemo orbitatočke x pri delovanju grupe G .

Množica X razpade na disjunktno unijo orbit.

Izkaže se, da je med stabilizatorjem in orbito točke nekapovezava. slika

Orbite in stabilizatorji

Naj bo G permutacijska grupa, ki deluje na množici X in najbo x ∈ X .Množico vseh elementov grupe G , ki pribijejo x , označimo zGx in ji pravimo stabilizator točke x . Tudi Gx je grupa.

Množico vseh točk y v katere je moč z elementi grupe Gpreslikati točko x označimo z OrbG (x) in jo imenujemo orbitatočke x pri delovanju grupe G .

Množica X razpade na disjunktno unijo orbit.

Izkaže se, da je med stabilizatorjem in orbito točke nekapovezava. slika

Orbite in stabilizatorji

Lema

Naj bo G končna permutacijska grupa na množici X . Tedaj zavsak x ∈ X velja |G | = |Gx | · |OrbG (x)|.

Znamo sestaviti dokaz?

Najprej opazimo tole:

Če je g1(x) = g2(x),je x = (g−11 g2)(x), torej je g

−11 g2 ∈ Gx

in zato je g2 = g1g za nek g ∈ Gx .Obratno, če je g2 = g1g za nek g ∈ Gx ,je g2(x) = (g1g)(x) = g1(x).Torej, natanko po |Gx | elementov grupe G preslika x v istotočko.

Ker elementi grupe G preslikajo x v natanko |OrbG (x)|različnih točk, je s tem dokaz končan.

Orbite in stabilizatorji

Lema

Naj bo G končna permutacijska grupa na množici X . Tedaj zavsak x ∈ X velja |G | = |Gx | · |OrbG (x)|.

Znamo sestaviti dokaz?

Najprej opazimo tole:

Če je g1(x) = g2(x),je x = (g−11 g2)(x), torej je g

−11 g2 ∈ Gx

in zato je g2 = g1g za nek g ∈ Gx .Obratno, če je g2 = g1g za nek g ∈ Gx ,je g2(x) = (g1g)(x) = g1(x).Torej, natanko po |Gx | elementov grupe G preslika x v istotočko.

Ker elementi grupe G preslikajo x v natanko |OrbG (x)|različnih točk, je s tem dokaz končan.

Orbite in stabilizatorji

Lema

Naj bo G končna permutacijska grupa na množici X . Tedaj zavsak x ∈ X velja |G | = |Gx | · |OrbG (x)|.

Znamo sestaviti dokaz?

Najprej opazimo tole:

Če je g1(x) = g2(x),je x = (g−11 g2)(x), torej je g

−11 g2 ∈ Gx

in zato je g2 = g1g za nek g ∈ Gx .Obratno, če je g2 = g1g za nek g ∈ Gx ,je g2(x) = (g1g)(x) = g1(x).Torej, natanko po |Gx | elementov grupe G preslika x v istotočko.

Ker elementi grupe G preslikajo x v natanko |OrbG (x)|različnih točk, je s tem dokaz končan.

Orbite in stabilizatorji

Lema

Naj bo G končna permutacijska grupa na množici X . Tedaj zavsak x ∈ X velja |G | = |Gx | · |OrbG (x)|.

Znamo sestaviti dokaz?

Najprej opazimo tole:

Če je g1(x) = g2(x),

je x = (g−11 g2)(x), torej je g−11 g2 ∈ Gx

in zato je g2 = g1g za nek g ∈ Gx .Obratno, če je g2 = g1g za nek g ∈ Gx ,je g2(x) = (g1g)(x) = g1(x).Torej, natanko po |Gx | elementov grupe G preslika x v istotočko.

Ker elementi grupe G preslikajo x v natanko |OrbG (x)|različnih točk, je s tem dokaz končan.

Orbite in stabilizatorji

Lema

Naj bo G končna permutacijska grupa na množici X . Tedaj zavsak x ∈ X velja |G | = |Gx | · |OrbG (x)|.

Znamo sestaviti dokaz?

Najprej opazimo tole:

Če je g1(x) = g2(x),je x = (g−11 g2)(x), torej je g

−11 g2 ∈ Gx

in zato je g2 = g1g za nek g ∈ Gx .Obratno, če je g2 = g1g za nek g ∈ Gx ,je g2(x) = (g1g)(x) = g1(x).Torej, natanko po |Gx | elementov grupe G preslika x v istotočko.

Ker elementi grupe G preslikajo x v natanko |OrbG (x)|različnih točk, je s tem dokaz končan.

Orbite in stabilizatorji

Lema

Naj bo G končna permutacijska grupa na množici X . Tedaj zavsak x ∈ X velja |G | = |Gx | · |OrbG (x)|.

Znamo sestaviti dokaz?

Najprej opazimo tole:

Če je g1(x) = g2(x),je x = (g−11 g2)(x), torej je g

−11 g2 ∈ Gx

in zato je g2 = g1g za nek g ∈ Gx .

Obratno, če je g2 = g1g za nek g ∈ Gx ,je g2(x) = (g1g)(x) = g1(x).Torej, natanko po |Gx | elementov grupe G preslika x v istotočko.

Ker elementi grupe G preslikajo x v natanko |OrbG (x)|različnih točk, je s tem dokaz končan.

Orbite in stabilizatorji

Lema

Naj bo G končna permutacijska grupa na množici X . Tedaj zavsak x ∈ X velja |G | = |Gx | · |OrbG (x)|.

Znamo sestaviti dokaz?

Najprej opazimo tole:

Če je g1(x) = g2(x),je x = (g−11 g2)(x), torej je g

−11 g2 ∈ Gx

in zato je g2 = g1g za nek g ∈ Gx .Obratno, če je g2 = g1g za nek g ∈ Gx ,

je g2(x) = (g1g)(x) = g1(x).Torej, natanko po |Gx | elementov grupe G preslika x v istotočko.

Ker elementi grupe G preslikajo x v natanko |OrbG (x)|različnih točk, je s tem dokaz končan.

Orbite in stabilizatorji

Lema

Naj bo G končna permutacijska grupa na množici X . Tedaj zavsak x ∈ X velja |G | = |Gx | · |OrbG (x)|.

Znamo sestaviti dokaz?

Najprej opazimo tole:

Če je g1(x) = g2(x),je x = (g−11 g2)(x), torej je g

−11 g2 ∈ Gx

in zato je g2 = g1g za nek g ∈ Gx .Obratno, če je g2 = g1g za nek g ∈ Gx ,je g2(x) = (g1g)(x) = g1(x).

Torej, natanko po |Gx | elementov grupe G preslika x v istotočko.

Ker elementi grupe G preslikajo x v natanko |OrbG (x)|različnih točk, je s tem dokaz končan.

Orbite in stabilizatorji

Lema

Naj bo G končna permutacijska grupa na množici X . Tedaj zavsak x ∈ X velja |G | = |Gx | · |OrbG (x)|.

Znamo sestaviti dokaz?

Najprej opazimo tole:

Če je g1(x) = g2(x),je x = (g−11 g2)(x), torej je g

−11 g2 ∈ Gx

in zato je g2 = g1g za nek g ∈ Gx .Obratno, če je g2 = g1g za nek g ∈ Gx ,je g2(x) = (g1g)(x) = g1(x).Torej, natanko po |Gx | elementov grupe G preslika x v istotočko.

Ker elementi grupe G preslikajo x v natanko |OrbG (x)|različnih točk, je s tem dokaz končan.

Orbite in stabilizatorji

Lema

Naj bo G končna permutacijska grupa na množici X . Tedaj zavsak x ∈ X velja |G | = |Gx | · |OrbG (x)|.

Znamo sestaviti dokaz?

Najprej opazimo tole:

Če je g1(x) = g2(x),je x = (g−11 g2)(x), torej je g

−11 g2 ∈ Gx

in zato je g2 = g1g za nek g ∈ Gx .Obratno, če je g2 = g1g za nek g ∈ Gx ,je g2(x) = (g1g)(x) = g1(x).Torej, natanko po |Gx | elementov grupe G preslika x v istotočko.

Ker elementi grupe G preslikajo x v natanko |OrbG (x)|različnih točk, je s tem dokaz končan.

Uporabnost?

Ali znamo poiskati grupo G togih simetrij kocke?

Po lemi je |G | = |G1| · |OrbG (1)|.Očitno je |OrbG (1)| = 8.S ponovno uporabo leme dobimo |G1| = |G1,2| · |OrbG1(2)|.Ker je |OrbG1(2)| = 3 in je |G1,2| = 1, je torej |G | = 24.

Uporabnost?

Ali znamo poiskati grupo G togih simetrij kocke?

Po lemi je |G | = |G1| · |OrbG (1)|.

Očitno je |OrbG (1)| = 8.S ponovno uporabo leme dobimo |G1| = |G1,2| · |OrbG1(2)|.Ker je |OrbG1(2)| = 3 in je |G1,2| = 1, je torej |G | = 24.

Uporabnost?

Ali znamo poiskati grupo G togih simetrij kocke?

Po lemi je |G | = |G1| · |OrbG (1)|.Očitno je |OrbG (1)| = 8.

S ponovno uporabo leme dobimo |G1| = |G1,2| · |OrbG1(2)|.Ker je |OrbG1(2)| = 3 in je |G1,2| = 1, je torej |G | = 24.

Uporabnost?

Ali znamo poiskati grupo G togih simetrij kocke?

Po lemi je |G | = |G1| · |OrbG (1)|.Očitno je |OrbG (1)| = 8.S ponovno uporabo leme dobimo |G1| = |G1,2| · |OrbG1(2)|.

Ker je |OrbG1(2)| = 3 in je |G1,2| = 1, je torej |G | = 24.

Uporabnost?

Ali znamo poiskati grupo G togih simetrij kocke?

Po lemi je |G | = |G1| · |OrbG (1)|.Očitno je |OrbG (1)| = 8.S ponovno uporabo leme dobimo |G1| = |G1,2| · |OrbG1(2)|.Ker je |OrbG1(2)| = 3 in je |G1,2| = 1, je torej |G | = 24.

Uporabnost?

Ali znamo poiskati grupo togih simetrij kocke?

V G imamo

identiteto,6 rotacij za 90◦ oziroma 270◦ oblike (1 2 3 4)(5 6 7 8),3 rotacije za 180◦ oblike (1 3)(2 4)(5 7)(6 8),8 rotacij za 120◦ oziroma 240◦ oblike (1)(2 4 5)(3 8 6)(7) in6 rotacij za 180◦ oblike (1 5)(2 8)(3 7)(4 6).

Uporabnost?

Ali znamo poiskati grupo togih simetrij kocke?

V G imamo

identiteto,

6 rotacij za 90◦ oziroma 270◦ oblike (1 2 3 4)(5 6 7 8),3 rotacije za 180◦ oblike (1 3)(2 4)(5 7)(6 8),8 rotacij za 120◦ oziroma 240◦ oblike (1)(2 4 5)(3 8 6)(7) in6 rotacij za 180◦ oblike (1 5)(2 8)(3 7)(4 6).

Uporabnost?

Ali znamo poiskati grupo togih simetrij kocke?

V G imamo

identiteto,6 rotacij za 90◦ oziroma 270◦ oblike (1 2 3 4)(5 6 7 8),

3 rotacije za 180◦ oblike (1 3)(2 4)(5 7)(6 8),8 rotacij za 120◦ oziroma 240◦ oblike (1)(2 4 5)(3 8 6)(7) in6 rotacij za 180◦ oblike (1 5)(2 8)(3 7)(4 6).

Uporabnost?

Ali znamo poiskati grupo togih simetrij kocke?

V G imamo

identiteto,6 rotacij za 90◦ oziroma 270◦ oblike (1 2 3 4)(5 6 7 8),3 rotacije za 180◦ oblike (1 3)(2 4)(5 7)(6 8),

8 rotacij za 120◦ oziroma 240◦ oblike (1)(2 4 5)(3 8 6)(7) in6 rotacij za 180◦ oblike (1 5)(2 8)(3 7)(4 6).

Uporabnost?

Ali znamo poiskati grupo togih simetrij kocke?

V G imamo

identiteto,6 rotacij za 90◦ oziroma 270◦ oblike (1 2 3 4)(5 6 7 8),3 rotacije za 180◦ oblike (1 3)(2 4)(5 7)(6 8),8 rotacij za 120◦ oziroma 240◦ oblike (1)(2 4 5)(3 8 6)(7) in

6 rotacij za 180◦ oblike (1 5)(2 8)(3 7)(4 6).

Uporabnost?

Ali znamo poiskati grupo togih simetrij kocke?

V G imamo

identiteto,6 rotacij za 90◦ oziroma 270◦ oblike (1 2 3 4)(5 6 7 8),3 rotacije za 180◦ oblike (1 3)(2 4)(5 7)(6 8),8 rotacij za 120◦ oziroma 240◦ oblike (1)(2 4 5)(3 8 6)(7) in6 rotacij za 180◦ oblike (1 5)(2 8)(3 7)(4 6).

Število orbit

Lema

Naj bo G končna permutacijska grupa na množici X . Tedaj ještevilo njenih orbit (pri delovanju na množici X ) enako

1

|G |∑g∈G|Fix(g)|,

kjer je Fix(g) = {x ∈ X : g(x) = x}.

Poǐsčimo dokaz:

Potrebno je le določiti moč množiceS = {(g , x) ∈ G × X : g(x) = x} na dva različna načina.Po eni strani je |S | =

∑g∈G |Fix(g)|.

Število orbit

Lema

Naj bo G končna permutacijska grupa na množici X . Tedaj ještevilo njenih orbit (pri delovanju na množici X ) enako

1

|G |∑g∈G|Fix(g)|,

kjer je Fix(g) = {x ∈ X : g(x) = x}.

Poǐsčimo dokaz:

Potrebno je le določiti moč množiceS = {(g , x) ∈ G × X : g(x) = x} na dva različna načina.Po eni strani je |S | =

∑g∈G |Fix(g)|.

Število orbit

Lema

Naj bo G končna permutacijska grupa na množici X . Tedaj ještevilo njenih orbit (pri delovanju na množici X ) enako

1

|G |∑g∈G|Fix(g)|,

kjer je Fix(g) = {x ∈ X : g(x) = x}.

Poǐsčimo dokaz:

Potrebno je le določiti moč množiceS = {(g , x) ∈ G × X : g(x) = x} na dva različna načina.

Po eni strani je |S | =∑

g∈G |Fix(g)|.

Število orbit

Lema

Naj bo G končna permutacijska grupa na množici X . Tedaj ještevilo njenih orbit (pri delovanju na množici X ) enako

1

|G |∑g∈G|Fix(g)|,

kjer je Fix(g) = {x ∈ X : g(x) = x}.

Poǐsčimo dokaz:

Potrebno je le določiti moč množiceS = {(g , x) ∈ G × X : g(x) = x} na dva različna načina.Po eni strani je |S | =

∑g∈G |Fix(g)|.

Število orbit

Po drugi strani je |S | =∑

x∈X |Gx |.

Če z N označimo število orbit in le-te označimo zO1,O2, . . . ,ON , dobimo∑

x∈X |Gx | =∑

x∈O1 |Gx |+∑

x∈O2 |Gx |+ · · ·+∑

x∈ON |Gx |=

∑x∈O1

|G ||O1| +

∑x∈O2

|G ||O2| + · · ·+

∑x∈ON

|G ||ON |

= |O1| · |G ||O1| + |O2| ·|G ||O2| + · · ·+ |ON | ·

|G ||ON |

= |G |+ |G |+ · · ·+ |G | = N · |G |

Torej∑

g∈G |Fix(g)| = N · |G |. S tem je dokaz končan.Sedaj se končno lahko lotimo štetja.

Število orbit

Po drugi strani je |S | =∑

x∈X |Gx |.Če z N označimo število orbit in le-te označimo zO1,O2, . . . ,ON , dobimo∑

x∈X |Gx | =∑

x∈O1 |Gx |+∑

x∈O2 |Gx |+ · · ·+∑

x∈ON |Gx |=

∑x∈O1

|G ||O1| +

∑x∈O2

|G ||O2| + · · ·+

∑x∈ON

|G ||ON |

= |O1| · |G ||O1| + |O2| ·|G ||O2| + · · ·+ |ON | ·

|G ||ON |

= |G |+ |G |+ · · ·+ |G | = N · |G |

Torej∑

g∈G |Fix(g)| = N · |G |. S tem je dokaz končan.Sedaj se končno lahko lotimo štetja.

Število orbit

Po drugi strani je |S | =∑

x∈X |Gx |.Če z N označimo število orbit in le-te označimo zO1,O2, . . . ,ON , dobimo∑

x∈X |Gx | =∑

x∈O1 |Gx |+∑

x∈O2 |Gx |+ · · ·+∑

x∈ON |Gx |=

∑x∈O1

|G ||O1| +

∑x∈O2

|G ||O2| + · · ·+

∑x∈ON

|G ||ON |

= |O1| · |G ||O1| + |O2| ·|G ||O2| + · · ·+ |ON | ·

|G ||ON |

= |G |+ |G |+ · · ·+ |G | = N · |G |

Torej∑

g∈G |Fix(g)| = N · |G |. S tem je dokaz končan.

Sedaj se končno lahko lotimo štetja.

Število orbit

Po drugi strani je |S | =∑

x∈X |Gx |.Če z N označimo število orbit in le-te označimo zO1,O2, . . . ,ON , dobimo∑

x∈X |Gx | =∑

x∈O1 |Gx |+∑

x∈O2 |Gx |+ · · ·+∑

x∈ON |Gx |=

∑x∈O1

|G ||O1| +

∑x∈O2

|G ||O2| + · · ·+

∑x∈ON

|G ||ON |

= |O1| · |G ||O1| + |O2| ·|G ||O2| + · · ·+ |ON | ·

|G ||ON |

= |G |+ |G |+ · · ·+ |G | = N · |G |

Torej∑

g∈G |Fix(g)| = N · |G |. S tem je dokaz končan.Sedaj se končno lahko lotimo štetja.

Štirikrake vetrnice

Oglejmo si najprej primer štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči, rumeni ali modri.

Množica X bo množica vseh “oštevilčenih vetrnic”, ki imatorej 34 = 81 elementov. slika

Grupa togih simetrij štirikrake vetrnice jeG = {id , (1 2 3 4), (1 3)(2 4), (1 4 3 2)}.Po lemi je število orbit enako

34 + 3 + 9 + 3

4= 24.

V resnici znamo sedaj izračunati kar število štirikrakih vetrnic,za katerih krake imamo na voljo n različnih barv.

Le-teh je po lemi

n4 + n + n2 + n

4=

n · (n3 + n + 2)4

.

Tako že z osmimi barvami dobimo več kot 1000 različnihvetrnic, natančno 1044 jih je.

Štirikrake vetrnice

Oglejmo si najprej primer štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči, rumeni ali modri.

Množica X bo množica vseh “oštevilčenih vetrnic”, ki imatorej 34 = 81 elementov. slika

Grupa togih simetrij štirikrake vetrnice jeG = {id , (1 2 3 4), (1 3)(2 4), (1 4 3 2)}.Po lemi je število orbit enako

34 + 3 + 9 + 3

4= 24.

V resnici znamo sedaj izračunati kar število štirikrakih vetrnic,za katerih krake imamo na voljo n različnih barv.

Le-teh je po lemi

n4 + n + n2 + n

4=

n · (n3 + n + 2)4

.

Tako že z osmimi barvami dobimo več kot 1000 različnihvetrnic, natančno 1044 jih je.

Štirikrake vetrnice

Oglejmo si najprej primer štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči, rumeni ali modri.

Množica X bo množica vseh “oštevilčenih vetrnic”, ki imatorej 34 = 81 elementov. slika

Grupa togih simetrij štirikrake vetrnice jeG = {id , (1 2 3 4), (1 3)(2 4), (1 4 3 2)}.

Po lemi je število orbit enako

34 + 3 + 9 + 3

4= 24.

V resnici znamo sedaj izračunati kar število štirikrakih vetrnic,za katerih krake imamo na voljo n različnih barv.

Le-teh je po lemi

n4 + n + n2 + n

4=

n · (n3 + n + 2)4

.

Tako že z osmimi barvami dobimo več kot 1000 različnihvetrnic, natančno 1044 jih je.

Štirikrake vetrnice

Oglejmo si najprej primer štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči, rumeni ali modri.

Množica X bo množica vseh “oštevilčenih vetrnic”, ki imatorej 34 = 81 elementov. slika

Grupa togih simetrij štirikrake vetrnice jeG = {id , (1 2 3 4), (1 3)(2 4), (1 4 3 2)}.Po lemi je število orbit enako

34 + 3 + 9 + 3

4= 24.

V resnici znamo sedaj izračunati kar število štirikrakih vetrnic,za katerih krake imamo na voljo n različnih barv.

Le-teh je po lemi

n4 + n + n2 + n

4=

n · (n3 + n + 2)4

.

Tako že z osmimi barvami dobimo več kot 1000 različnihvetrnic, natančno 1044 jih je.

Štirikrake vetrnice

Oglejmo si najprej primer štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči, rumeni ali modri.

Množica X bo množica vseh “oštevilčenih vetrnic”, ki imatorej 34 = 81 elementov. slika

Grupa togih simetrij štirikrake vetrnice jeG = {id , (1 2 3 4), (1 3)(2 4), (1 4 3 2)}.Po lemi je število orbit enako

34 + 3 + 9 + 3

4= 24.

V resnici znamo sedaj izračunati kar število štirikrakih vetrnic,za katerih krake imamo na voljo n različnih barv.

Le-teh je po lemi

n4 + n + n2 + n

4=

n · (n3 + n + 2)4

.

Tako že z osmimi barvami dobimo več kot 1000 različnihvetrnic, natančno 1044 jih je.

Štirikrake vetrnice

Oglejmo si najprej primer štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči, rumeni ali modri.

Množica X bo množica vseh “oštevilčenih vetrnic”, ki imatorej 34 = 81 elementov. slika

Grupa togih simetrij štirikrake vetrnice jeG = {id , (1 2 3 4), (1 3)(2 4), (1 4 3 2)}.Po lemi je število orbit enako

34 + 3 + 9 + 3

4= 24.

V resnici znamo sedaj izračunati kar število štirikrakih vetrnic,za katerih krake imamo na voljo n različnih barv.

Le-teh je po lemi

n4 + n + n2 + n

4=

n · (n3 + n + 2)4

.

Tako že z osmimi barvami dobimo več kot 1000 različnihvetrnic, natančno 1044 jih je.

Štirikrake vetrnice

Oglejmo si najprej primer štirikrakih vetrnic, katerih kraki solahko rdeči, rumeni ali modri.

Množica X bo množica vseh “oštevilčenih vetrnic”, ki imatorej 34 = 81 elementov. slika

Grupa togih simetrij štirikrake vetrnice jeG = {id , (1 2 3 4), (1 3)(2 4), (1 4 3 2)}.Po lemi je število orbit enako

34 + 3 + 9 + 3

4= 24.

V resnici znamo sedaj izračunati kar število štirikrakih vetrnic,za katerih krake imamo na voljo n različnih barv.

Le-teh je po lemi

n4 + n + n2 + n

4=

n · (n3 + n + 2)4

.

Tako že z osmimi barvami dobimo več kot 1000 različnihvetrnic, natančno 1044 jih je.

Šestnajstkrake vetrnice

Oglejmo si še tisti primer z začetka, torej šestnajstkrakevetrnice s kraki do sedem barv.

Množica “oštevilčenih vetrnic” X ima sedaj 716 elementov.

Grupa togih simetrij šestnajstkrake vetrnice pa ima 16elementov in sicer

identiteto,8 16-ciklov,4 elemente oblike (1 3 5 7 9 11 13 15)(2 4 6 8 10 12 14 16),2 elementa oblike (1 5 9 13)(2 6 10 14)(3 7 11 15)(4 8 12 16) inelement (1 9)(2 10)(3 11)(4 12)(5 13)(6 14)(7 15)(8 16).

Lema torej pove, da je vseh različnih vetrnic

716 + 8 · 7 + 4 · 72 + 2 · 74 + 78

16= 2 077 058 521 216.

Šestnajstkrake vetrnice

Oglejmo si še tisti primer z začetka, torej šestnajstkrakevetrnice s kraki do sedem barv.

Množica “oštevilčenih vetrnic” X ima sedaj 716 elementov.

Grupa togih simetrij šestnajstkrake vetrnice pa ima 16elementov in sicer

identiteto,8 16-ciklov,4 elemente oblike (1 3 5 7 9 11 13 15)(2 4 6 8 10 12 14 16),2 elementa oblike (1 5 9 13)(2 6 10 14)(3 7 11 15)(4 8 12 16) inelement (1 9)(2 10)(3 11)(4 12)(5 13)(6 14)(7 15)(8 16).

Lema torej pove, da je vseh različnih vetrnic

716 + 8 · 7 + 4 · 72 + 2 · 74 + 78

16= 2 077 058 521 216.

Šestnajstkrake vetrnice

Oglejmo si še tisti primer z začetka, torej šestnajstkrakevetrnice s kraki do sedem barv.

Množica “oštevilčenih vetrnic” X ima sedaj 716 elementov.

Grupa togih simetrij šestnajstkrake vetrnice pa ima 16elementov in sicer

identiteto,8 16-ciklov,4 elemente oblike (1 3 5 7 9 11 13 15)(2 4 6 8 10 12 14 16),2 elementa oblike (1 5 9 13)(2 6 10 14)(3 7 11 15)(4 8 12 16) inelement (1 9)(2 10)(3 11)(4 12)(5 13)(6 14)(7 15)(8 16).

Lema torej pove, da je vseh različnih vetrnic

716 + 8 · 7 + 4 · 72 + 2 · 74 + 78

16= 2 077 058 521 216.

Šestnajstkrake vetrnice

Oglejmo si še tisti primer z začetka, torej šestnajstkrakevetrnice s kraki do sedem barv.

Množica “oštevilčenih vetrnic” X ima sedaj 716 elementov.

Grupa togih simetrij šestnajstkrake vetrnice pa ima 16elementov in sicer

identiteto,8 16-ciklov,4 elemente oblike (1 3 5 7 9 11 13 15)(2 4 6 8 10 12 14 16),2 elementa oblike (1 5 9 13)(2 6 10 14)(3 7 11 15)(4 8 12 16) inelement (1 9)(2 10)(3 11)(4 12)(5 13)(6 14)(7 15)(8 16).

Lema torej pove, da je vseh različnih vetrnic

716 + 8 · 7 + 4 · 72 + 2 · 74 + 78

16= 2 077 058 521 216.

Biserne ogrlice

Preštejmo biserne ogrlice z 10 biseri, ki so lahko beli ali črni.

Množica “oštevilčenih ogrlic” X ima 210 = 1024 elementov.

S pomočjo naše prve leme ugotovimo, da ima grupa togihsimetrij naše ogrlice 2 · 10 = 20 elementov in sicer: slika

identiteto,4 10-cikle,4 rotacije oblike (1 3 5 7 9)(2 4 6 8 10),eno rotacijo za 180◦ oblike (1 6)(2 7)(3 8)(4 9)(5 10),5 zrcaljenj preko točke oblike (1)(2 10)(3 9)(4 8)(5 7)(6) in5 zrcaljenj preko simetrale točk oblike(1 10)(2 9)(3 8)(4 7)(5 6).

Lema torej pove, da je vseh različnih ogrlic

210 + 4 · 2 + 4 · 22 + 25 + 5 · 26 + 5 · 25

20= 78.

Če imamo na voljo bisere štirih barv, je različnih ogrlic kar53764.

Biserne ogrlice

Preštejmo biserne ogrlice z 10 biseri, ki so lahko beli ali črni.

Množica “oštevilčenih ogrlic” X ima 210 = 1024 elementov.

S pomočjo naše prve leme ugotovimo, da ima grupa togihsimetrij naše ogrlice 2 · 10 = 20 elementov in sicer: slika

identiteto,4 10-cikle,4 rotacije oblike (1 3 5 7 9)(2 4 6 8 10),eno rotacijo za 180◦ oblike (1 6)(2 7)(3 8)(4 9)(5 10),5 zrcaljenj preko točke oblike (1)(2 10)(3 9)(4 8)(5 7)(6) in5 zrcaljenj preko simetrale točk oblike(1 10)(2 9)(3 8)(4 7)(5 6).

Lema torej pove, da je vseh različnih ogrlic

210 + 4 · 2 + 4 · 22 + 25 + 5 · 26 + 5 · 25

20= 78.

Če imamo na voljo bisere štirih barv, je različnih ogrlic kar53764.

Biserne ogrlice

Preštejmo biserne ogrlice z 10 biseri, ki so lahko beli ali črni.

Množica “oštevilčenih ogrlic” X ima 210 = 1024 elementov.

S pomočjo naše prve leme ugotovimo, da ima grupa togihsimetrij naše ogrlice 2 · 10 = 20 elementov in sicer: slika

identiteto,4 10-cikle,4 rotacije oblike (1 3 5 7 9)(2 4 6 8 10),eno rotacijo za 180◦ oblike (1 6)(2 7)(3 8)(4 9)(5 10),5 zrcaljenj preko točke oblike (1)(2 10)(3 9)(4 8)(5 7)(6) in5 zrcaljenj preko simetrale točk oblike(1 10)(2 9)(3 8)(4 7)(5 6).

Lema torej pove, da je vseh različnih ogrlic

210 + 4 · 2 + 4 · 22 + 25 + 5 · 26 + 5 · 25

20= 78.

Če imamo na voljo bisere štirih barv, je različnih ogrlic kar53764.

Biserne ogrlice

Preštejmo biserne ogrlice z 10 biseri, ki so lahko beli ali črni.

Množica “oštevilčenih ogrlic” X ima 210 = 1024 elementov.

S pomočjo naše prve leme ugotovimo, da ima grupa togihsimetrij naše ogrlice 2 · 10 = 20 elementov in sicer: slika

identiteto,4 10-cikle,4 rotacije oblike (1 3 5 7 9)(2 4 6 8 10),eno rotacijo za 180◦ oblike (1 6)(2 7)(3 8)(4 9)(5 10),5 zrcaljenj preko točke oblike (1)(2 10)(3 9)(4 8)(5 7)(6) in5 zrcaljenj preko simetrale točk oblike(1 10)(2 9)(3 8)(4 7)(5 6).

Lema torej pove, da je vseh različnih ogrlic

210 + 4 · 2 + 4 · 22 + 25 + 5 · 26 + 5 · 25

20= 78.

Če imamo na voljo bisere štirih barv, je različnih ogrlic kar53764.

Biserne ogrlice

Preštejmo biserne ogrlice z 10 biseri, ki so lahko beli ali črni.

Množica “oštevilčenih ogrlic” X ima 210 = 1024 elementov.

S pomočjo naše prve leme ugotovimo, da ima grupa togihsimetrij naše ogrlice 2 · 10 = 20 elementov in sicer: slika

identiteto,4 10-cikle,4 rotacije oblike (1 3 5 7 9)(2 4 6 8 10),eno rotacijo za 180◦ oblike (1 6)(2 7)(3 8)(4 9)(5 10),5 zrcaljenj preko točke oblike (1)(2 10)(3 9)(4 8)(5 7)(6) in5 zrcaljenj preko simetrale točk oblike(1 10)(2 9)(3 8)(4 7)(5 6).

Lema torej pove, da je vseh različnih ogrlic

210 + 4 · 2 + 4 · 22 + 25 + 5 · 26 + 5 · 25

20= 78.

Če imamo na voljo bisere štirih barv, je različnih ogrlic kar53764.

Kocke

Oglejmo si še kocke, katerih ploskve so lahko rdeče, rumeneali modre.

Množica “oštevilčenih kock” X ima 36 = 729 elementov.

Grupo togih simetrij že poznamo - ima 24 elementov in sicer:

identiteto,6 rotacij za 90◦ oziroma 270◦ oblike (1 2 3 4)(5 6 7 8),3 rotacije za 180◦ oblike (1 3)(2 4)(5 7)(6 8),8 rotacij za 120◦ oziroma 240◦ oblike (1)(2 4 5)(3 8 6)(7) in6 rotacij za 180◦ oblike (1 5)(2 8)(3 7)(4 6).

Lema torej pove, da je število različnih kock slika

36 + 6 · 33 + 3 · 34 + 8 · 32 + 6 · 33

24= 57.

Kocke

Oglejmo si še kocke, katerih ploskve so lahko rdeče, rumeneali modre.

Množica “oštevilčenih kock” X ima 36 = 729 elementov.

Grupo togih simetrij že poznamo - ima 24 elementov in sicer:

identiteto,6 rotacij za 90◦ oziroma 270◦ oblike (1 2 3 4)(5 6 7 8),3 rotacije za 180◦ oblike (1 3)(2 4)(5 7)(6 8),8 rotacij za 120◦ oziroma 240◦ oblike (1)(2 4 5)(3 8 6)(7) in6 rotacij za 180◦ oblike (1 5)(2 8)(3 7)(4 6).

Lema torej pove, da je število različnih kock slika

36 + 6 · 33 + 3 · 34 + 8 · 32 + 6 · 33

24= 57.

Kocke

Oglejmo si še kocke, katerih ploskve so lahko rdeče, rumeneali modre.

Množica “oštevilčenih kock” X ima 36 = 729 elementov.

Grupo togih simetrij že poznamo - ima 24 elementov in sicer:

identiteto,6 rotacij za 90◦ oziroma 270◦ oblike (1 2 3 4)(5 6 7 8),3 rotacije za 180◦ oblike (1 3)(2 4)(5 7)(6 8),8 rotacij za 120◦ oziroma 240◦ oblike (1)(2 4 5)(3 8 6)(7) in6 rotacij za 180◦ oblike (1 5)(2 8)(3 7)(4 6).

Lema torej pove, da je število različnih kock slika

36 + 6 · 33 + 3 · 34 + 8 · 32 + 6 · 33

24= 57.

Kocke

Oglejmo si še kocke, katerih ploskve so lahko rdeče, rumeneali modre.

Množica “oštevilčenih kock” X ima 36 = 729 elementov.

Grupo togih simetrij že poznamo - ima 24 elementov in sicer:

identiteto,6 rotacij za 90◦ oziroma 270◦ oblike (1 2 3 4)(5 6 7 8),3 rotacije za 180◦ oblike (1 3)(2 4)(5 7)(6 8),8 rotacij za 120◦ oziroma 240◦ oblike (1)(2 4 5)(3 8 6)(7) in6 rotacij za 180◦ oblike (1 5)(2 8)(3 7)(4 6).

Lema torej pove, da je število različnih kock slika

36 + 6 · 33 + 3 · 34 + 8 · 32 + 6 · 33

24= 57.

Kocke

Kaj pa kocke, katerih robovi so lahko rdeči, rumeni, modri alizeleni?

Množica “oštevilčenih kock” X ima sedaj 412 elementov.

Lema torej pove, da imamo

412 + 6 · 43 + 3 · 46 + 8 · 44 + 6 · 47

24= 703 760.

Kocke

Kaj pa kocke, katerih robovi so lahko rdeči, rumeni, modri alizeleni?

Množica “oštevilčenih kock” X ima sedaj 412 elementov.

Lema torej pove, da imamo

412 + 6 · 43 + 3 · 46 + 8 · 44 + 6 · 47

24= 703 760.

Kocke

Kaj pa kocke, katerih robovi so lahko rdeči, rumeni, modri alizeleni?

Množica “oštevilčenih kock” X ima sedaj 412 elementov.

Lema torej pove, da imamo

412 + 6 · 43 + 3 · 46 + 8 · 44 + 6 · 47

24= 703 760.

Kocke

Za konec še tabela:

n pl(n) rob(n)

1 1 12 10 2183 57 22 8154 240 703 7605 800 10 194 2506 2 226 90 775 5667 5 390 576 941 7788 11 712 2 863 870 0809 23 355 11 769 161 895

10 43 450 41 669 295 250

n - število barv na voljo

pl(n) - število različnih kock, katerih ploskve so obarvane zbarvami 1, 2, 3, . . . , n.

rob(n) - število različnih kock, katerih robovi so obarvani zbarvami 1, 2, 3, . . . , n.

In naprej...

Lahko s to metodo rešimo tudi še bolj zapletene problemepreštevanja?

Raje uporabimo Pólya-jevo teorijo. (György Pólya 1887–1985)

A o tem morda kdaj drugič.

In naprej...

Lahko s to metodo rešimo tudi še bolj zapletene problemepreštevanja?

Raje uporabimo Pólya-jevo teorijo. (György Pólya 1887–1985)

A o tem morda kdaj drugič.

Hitro ugotovimo, da je možnosti šest.

Z nekaj dalǰsim premislekom ugotovimo, da je tokrat vetrnic 24.

Slike seveda ni...težko bi namreč nanjo spravili vseh2 077 058 521 216 > 2 · 1012 možnosti.

Dva primera permutacijskih grup in orbite pri njunem delovanju.

Štirikrake vetrnice:

Biserna ogrlica z desetimi biseri:

Kocka:

Dodatek