Precis Mathematique

y,,~~.~~~,1Îj~

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11,1-

SOMMAIRE

CHAPITRE 1 - Espaces vectoriels normés1- Topologie des espaces vectoriels normés 7

11-Limite - Continuité - Dérivation 16

111-Complets - Compacts - Connexes 27Exercices-types, Indications, Solutions 38Exercices proposés 45

CHAPITRE 2 - Applications linéairessur les espaces vectoriels normés

1- Continuité des applications linéaires 47

11-Espaces vectoriels de dimension finie 54

Exercices-types, Indications, Solutions 60Exercices proposés 69

CHAPITRE 3 - Fonctions de plusieurs variables réellesCalcul dilTérentiel

1- Applications partielles Dérivées partielles 73

11-Différentielle d'une application de classe el :. 78111-Différentiabilité 88

IV- Fonctions implicites 96

V- Difféomorphismes 99VI- Inégalité des accroissements finis 103

VII- Formule de Taylor-Young, Extremums 105Exercices-types, Indications, Solutions 111Exercices proposés 121

CHAPITRE 4 - Séries numériques et vectorielles1- Généralités 123

11-Séries à termes réels positifs 132

111-Séries absolument convergentes 142

IV- Séries à termes quelconques Semi-convergence 144Exercices-types,Indications, Solutions 150

Exercices proposés 160

CHAPITRE 5 - Suites et séries de fonctions1- L'espace vectoriel normé '!Ji, (A, F) 163

11-Convergence d'une suite ou d'une série de fonctions 164111-Limite - Continuité Intégration - Dérivation 174IV- Méthodes pratiques 181

Exercices-types, Indications, Solutions 191Exercices proposés 205

CHAPITRE 6 c Intégrale corn.pl~mentsI-Intégration d~sfonctions continuès pa/morceàux , . 207'.'-<'." .. '-

Il::''Fôri'~tions de la forme x ~ .['cf": : '.. ;: :: : .. ; , .. : , 216.', . a ~ •.111-.Intégrales impropres et sérieS':, ,".; ,•.....••~, , .. '., : '.' . , 218

'x ..

IV- Fonctions ~eïa forme. x ~Ia.!(x, ~;,dt , ..........•...... : .. : 222Exercices"types, Indications, Solutions t. , : ';"" : 226Exercices proposés ~'. :":',' : .....•. , .:. , J, ......•..••.•••••••• 233

~ 4ITf~:f/~/ RE,', 7 ( ";O:C:ions de plusieurs variables réelles, , Calcul intégral1- Formes différentielles de degré un .

II-Intégrale curviligne .

111-Compacts mesurables. Aire et volume , .

IV- Intégrale d'une fonction sur un compact mesurable de [Rn .

V- Intégrale double - Aire plane .VI- Aire d'un morceau de surface .

VII- Intégrale triple - Calcul de volumes .

VIII- Masse, centre et moment d'inertie , .

Exercices proposés .

IlPITRE 8 - Séries entières1- Définition - Rayon de convergence .

11-Convergence uniforme Continuité de la somme .

111-Séries entières d'une variable réelle, Intégration - Dérivation .

IV- Développement en série entière .

V- Fonctions usuelles d'une variable complexe .

VI- Exponentielle d'un endomorphisme, d'une matrice .

Exercices-types, Indications, Solutions .


IlPITRE 9 - Séries de Fourier1- L'espace préhilbertien D .11-Séries de Fourier , .

111-Développement en série de Fourier .

Exercices-types, Indications, Solutions .

Ji',' ,/"'X:~roposes ,i ••••••••••••••••••••••••••

\PITRE 10-- Equations düJérentielles JL-1- Equations linéaires .

// 11-Equations non linéaires - Théorème de Cauchy-Lipschitz .

Exercices-types, Indications, Solutions : .


235

239

242

245

247255

259

264

272

275281

284

287

300

Q~=>310

321

323

326

332

336346

347

362

370

381

EX " . 383

-[ G. t. O. J:. IClltüphonesi ~l1D.Ini'l>a~ no. 1 11.1-

,- -'--

. ,.2srtl!~ +,11) __,"..h . 1

_ ~I..._ ......• - 1

Chapitre 1

Espaces vectoriels~normes

1- Topologie des espacesvectoriels normés

~=[Fgou iC; E est un Kespace vectoriel.

Définitions :

•••

On appelle nonne sur E une application N : E --+[Fg+ vérifiant, pour tousvecteurs x, y de E et tout scalaire À de ~ :

N(x) = 0 {=? x = 0

N(À x) = IÀI N(x)

N(x + y) oS; N(x) +' N(y)

Le couple (E, N) est un espace vectoriel nonné .

d.2 Distance associée a une norme

d.1

Soit (E, N) un espace vectoriel normé, l'application d définie par:

d : E2 --+[Fg+, (x, y) I-è> d(x, y) = N(x - y)

eSt appelée distance associée ala norme N.

Remarque

Si F est un sous-espace vectoriel de E, la restriction à F de la norme de E est une norme

sur F. (F, N) est un espace vectoriel normé.

On considère désormais un espace vectoriel normé (E, N).

d.3 il La boule ouverte de centre a E E et de rayon r E [Fg+ est:

B(a, r) == {x E E/N(a - x) < r}

ii / La boule fermée de centre a E E et de rayon r E [Fg+, est:

BJ(a, r) = {x E EIN(a - x) oS; r}

iii / La sphère de centre a E E et de rayon r E [Fg+ est:

S(a, r) = {x E E/N(a - x) = r}

Remarque

Les boules ou sphères de centre 0 et de rayon 1 sont appelées boules unité, sphèreunité.

8 Précis d'Analyse Il

dA

On appelle voisinage d'un point a de E toute partie X de E contenant uneboule ouverte de centre a. L'ensemble des voisinages de a est noté 'V(a)

XE 'V(a) {==:?3 r> 0, B(a, r) eX

Remarque

Pour tout réel r> 0, la boule B(a, r) est un voisinage (je a.

d.5 Vôisinag~telatif

Si A est une partie de E et a un point de A, l'intersection avec A d'un voisinageX de a s'appelleYoisrn!;j.geÔ.éadans {l.L'ensemble des voisinages de a dansA est noté 'VA (a)

'VA(a) = {X nA/X E 'V(a)}

Ainsi YE'VA(a) {==:?3r>0, AnB(a,r)cY.

d.6

i / On appelleses points

toute partie X de E qui est voisinage de chacun de

iil On appelleun ouvert de E

X ouvert de E {==:?V X E X, X E 'V(x)

toute partie de E dont le complémentaire dans E est

X fermé de E {==:?E\X ouvert de E

toute partie Y de A, dont 1e complémentaire dans A

d.?

d.S

1

i / Si A est mie partie de E, on appelle toute partie X de A voisinagede chacun de ses points dans A.

X ouvert de A {==:?V X E X, X E 'VA(X)

ii/ On appelleest un ouvert de E .

• Soit X c A, X est un ouvert de A si et seulement si il existe Xl ouvert de E tel queX=AnXl·

• Soit Y c A, Y est un fermé de A si et seulement si il existe Yl fermé de E tel queY=AnYl·

On appelle intérieur d'une partie A de E la réunion de la famille des ouverts

de E inclus dans A. On note A l'intérieur de A.

On appelle adhérence d'une partie A de E l'intersection de la famille desfermés de E contenant A. On note A l'adhérence de A.

C'est le plus petit fermé de E contenant A. Un point de A est dit adhérent à A.

d.9

1

o

C'est le plus grand ouvert de E inclus dans A. Un point de A est dit intérieur à A. \\

1

d.10

On appelle frontière d'une partie A de E l'ensemble, noté Fr(A), formé <les

points de E adhérents à A et à son complémentaire dans E : /Fr(A) = A n E \ A

Chapitre l Espaces vectoriels normés 9

d.11

1

Partie dense

On dit qu'une partie A de E est dense dans E si l'adhérence de A est E : A == E.

On dit qu'une partie B de A est dense dans A si A c B.

d.12

1

Point d'accumulation

On appelle point d'accumulation d'une partie A de E tout point x de E adhé

rent àA\{x}.

Un tel point est caractérisé par le fait que, pour tout voisinage V de x, l'ensemble

A n V\ {x} n'est pas vide ou A n V est infini.

d .13 Point isolé

On appelle point isolé d'une partie A de E tout point a de A possédant un

voisinage V dont l'intersection avec A est le singleton {a} :

a point isolé de A Ç=? 3 V E 'V(a),A n V == {a}

d.14

1

d.15

1

d.16

1

d.17

1

d.18

Partie bomée

Une partie A de E est dite bornée s'il existe une boule de E contenant A.

Diamètre

Soit A une partie non vide et bomée de E. On appelle diamètre de A le réel:

8 (A) == sup{N(x - y)/(x, y) E A2}

Distance d'un point à une partie

On appelle distance d'un point x de E à une partie non vide A de E, le réel:

d(x,A) == inf{N(x - Y)/Y E A}

On appelle distance de deux parties nop vides A et B, le réel

d(A. B) == inf{NCx - y)/x E A, y E B}

Fonction bomée

Soit A un ensemble non vide et (E,N) un espace vectoriel normé.

Une fonctionj : A ---+ E est dite bomée si son imagej(A) est une partie boméede E:

Remarque

L'ensemble CZJ3 (A. E) des fonctions bornées de A dans E est un sous-espace vectoriel de

~, ilest normé par Ilj 1100 == sup N(1(x)).XEA

Si A =1\1 ils'agit de l'espace des suites bornées de E.

d.19 Normes équivalentes

On dit que deux normes NI et N2 sur E sont équivalentes si les fonctions

NI t N2 d'fi . {} t "N2 e NI e mes sur E \ OE son maJorees.

Remarque

Cette définitionpeut se traduire par l'existence de deux réels ex et 13 strictement positifs

tels que ex NI "" N2 ""13 NI·


Exemples - Travaux pratiques

1

de IR- Norme usuelle de iC

•• Norme usuelle de IR : valeur absolue IR---;-IR+, x ~ IxlLes boules sont les intervalles bornés.

• Norme usuelle de iC : le module iC---;-IR+, z ~ Izl

Les boules de iC sont les disques, les sphères de iC sont les cercles.

exemple 2

1 Nature des boules d'un espace vectoriel normé

•• Une boule ouverte est un ouvert de E, elle est convexe.

Pour tout x, y de B(a, r) et t E [0,1], notons z = (1 - t)x + ty et montrons que z E B(a, r).

N(z - a) = N[(l - t)(x - a) + t(y - a),l ~ (1 - t)N(x - a) + tN(y - a) < rcar N(x - a) < 1; N(y - a) < r , (1 - t) > 0 et t> O.

• Une boule fermée est un fermé de E.

Notons C = E \ BJ(u, r) son complémentaire et, pour tout point x de C, notons

R = N(x - a) - r> O. La boule B(x, R) est incluse dans C; en effet, pour chaque y de B(x, R)minorons:

N(a - y) ~ N(a.-,x) - N(x - y) > N(a - x) - R = rl'inégalité N(a - y) > r équivaut à y ~ BJ(a, r).Ainsi, C est voisinage de chacun de ses points, C est un ouvert de E.

• Un point est donc un fermé de E.

• Ces normes sont deux à deux équivalentes (ce qui est le cas dès que l'espace est de dimension

finie), et les inégalités suivantes donnent les coefficients optimaux:

Noo ~ N2 ~ N1 ~ .;nN2 ~ n Noo

sup Ixi!1"'(""11

Voir Algèbre 2

,xn) E (Kn.

sur (Kn par les expressions suivantes:1

N2(X) = (t !Xd2) 2L~l

(Kn attachée au produit scalaire:N2 est la

j

1~"il'

1

1,'1.

Chapitre 1 Espaces vectoriels normés 11

exemple 4

classiques sur l'espace vectoriel il<:[X] des polynômes

= sup lailO""i""n

n

Nl(P) = L laili=O

P = ao + alX + ... + anXn, on définit trois nOrInes sur il<:[X] :1

N2(P) = (t lad2) :2,=0

est la norme préhilbertienne canonique de il<:[X])

•• Ces normes sont comparables en un sens: Noo o<S N2 o<S NI,

pas dans l'autre sens: on montre que les fonctions NN2 et NNI ne sont pas majorées en00 2

leur appliquant la suite de polynômes (Pn)nE N définie par Pn(X) = 1 + X + ... + Xn.

~ N2 NI ~NI(Pn)=n+l, N2(Pn)=yn+l, Noo(Pn)=l, Nx(Pn)=N2(Pn)=vn+1Les normes NI, N2, Nx ne sont pas équivalentes.

• En associant à P sa fonction polynôme, on définit de nouvelles normes sur IK [X] par

les expressions suivantes:

sup IP(t)1tE[O,l]

sup IP(z)1Izl=1

exemple 5

classiques sur l'espace C([O, 1], il<:)des fonctions continues à valeurs dans

cet espace, on définit trois normes par:

Iii III= rI Lf(t)1 dt ,JoIii Ilex:= sup Lf(t)1

tE[O,l]

est la norme préhilbertienne, attachée au produit scalaire sur C([ü,1], IK) :

(fg)1---'7 Vlg) = 11](t)g(t)dt

•• Ces normes sont comparables dans un sens:

Iii III o<S Iii 112o<S Iii 1100 (égalité pour les fonctions constantes)

mais pas dans l'autre sens: on montre que les fonctions i 1---'7 iijii~et li&I:~ ne sontpas majorées en considérant une suite de fonctions Vn)nd'J définie par in(t) = tn.

Le calcul donne Ilin Ilex:= 1

et les suites

1Ilin III = n + 1

Ilin 112 n+ 1nl---'7 --~-

Ilin III - v2n + 1

1Ilin 112 = v2n~1

Ilin lico = v2n + 1et n 1---'7 Ilin 112

ne sont pas majorées.

f. -------------

12

E est un espace vectoriel normé.

p.1

1 Pour tout x et y de E : !N(x) - N(y)1 ~ N(x - y)

p.2

Précis d'Analyse Il

il La réunion d'une famille quelconque de voisinages d'un même point x de Eest un voisinage de x.

ii 1L'intersection de deux voisinages de x est un voisinage de x.~ Toute partie qui contient un voisinage d'un point x de E est aussi un voisinage de x

(conséquence de la définitionde voisinage). Le il en découle.

Prenons deux voisinages U et V d'un même pointx de E- Ilexiste alors deux réels ex et[3>° tels que:

p.3

1

pA

B(x, ex) c U et B(x, (3) c V

Supposons que ex~[3, alors B(x, ex) c B(x, (3) et B(x, ex) c U (î V,

ce qui fait de U (î V un voisinage de x, même si [3~ex bien sûr.

Soit A une partie de E.

A est un ouvert de E si et seulement si: V x E A,::3 r E IR:, B(x, r) cA

CaraGt~I'isationdel'adh~reAêê d'une partie A non vide de E.

Pour tout point x de E, les trois propriétés suivantes sont équivalentes:

il x est adhérent à A: x E A,

ii 1Toute boule de centre x rencontre A : V r> 0, A (î B(x, r) ;t 0,

D

D

iii 1Tout voisinage de x rencontre A : V V E OV(x), A (î V;t 0.~ il =? iil Supposons au contraire, qu'il existe une boule B(x, r) incluse dans E \ A, alors

A est inclus dans le fermé F = E \ B(x, r), ce qui donne x E A.

iil =? iiii Tout voisinage V de x contient une boule B(x, r), donc A (î V:) A (î B(x, r)et A (î V n'est pas vide.

iiii =? il par contraposition. Si x E A, ilexiste un fermé F contenant A et pas x. AlorsE \ F est un voisinage ouvert de x qui ne rencontre pas A.

p.5 Ouverts etfermes1

il E et 0 sont, à la fois, ouverts et fermés de E.

iil • La réunion d'une famill~ quelconque d'ouverts de E est un ouvert de E.• L'intersection d'une famille quelconque de fermés de E est un fermé

deE.

iii 1 • L'intersection de deux parties ouvertes de E est un ouvert de E.• La réunion de deux parties fermées de E est un fermé de E.

p.6 Intérieuretadhérênce Soit A et B deux parties de E.

il Si A c B alorso 0A.cB et Ac B.

o

iil • Si Ac B et A ouvert, alors Ac B

• Si Ac B et B fermé, alors Ac B.


p.? Produit d1espaces vectoriels normes1

Soit (E, N) et (El, NI) deux espaces vectoriels normés.

On définit trois normes classiques sur l'espace produit E x Fi :1

Il (x, Xl) 111 = N(x) + NI(XI) , Il (x, Xl) 112= (N2(x) + d2(x») 2:

Il (x.x) lico = sup (N(x), NI(X»)

Ces trois normes sont deux à deux équivalentes.

~ Aucune difficulté hormis l'inégalité triangulaire de la norme Il.112'

En utilisant les inégalités triangulaires de N et de NI :

N(x + y) ~ N(x) + N(y) et NI (x + y) ~ NI (x) + NI (y)

et l'inégalité triangulaire de ([R2,N2) :

v(a + b)2 + (al + b/)2 ~ va2 + al2 + vb2 + b/2

on obtient:

VN2(x + y) + NI2(XI + yI) ~ VN2(;;)+ N/2(XI) + y'N2(y) + N/2(yl)

L'équivalence de ces normes tient aux inégalités suivantes:

Il (x, Xl) lico ~ Il (x, Xl) 112 ~ Il (x, Xl) 111 ~ v'211 (x, Xl) 112 ~ 211 (x, Xl) licoD

Remarques

1) On définit de façon analogue (par récurrence) des normes équivalentes sur un produit

de plusieurs espaces vectoriels normés, en particulier sur En.

Désormais, tout produit d'espaces vectoriels normés sera muni de l'une de ces normes.

Parties bornées. d'un espace vectoriel normé (E, N)

Soit A et B deux parties non vides de E.

i / Si A c Bet B bornée alors A est bornée et /) (A) ~ /) (B)

2)

p.8

ii / Si A et B sont bornées alors A u B et A + B sont bornées

iii / Si A est bornée alors il est bornée et /) (A) = /) CA)

~ il Si x et y E A alors N(x - y) ~ /) (B) , Ac B( x, /) (E») et /) (A) ~ /) (B)

ii 1Soit (a, x) E A2 et (b, y) E B2. L'inégalité triangulaire donne:

N(x - y) ~ N(x - a) + N(a - b) + N(b - y) ~ /) (A) + N(a - b)+ /) (B)

N(x + y - a - b) ~ N(x - a) + N(y - b) ~ 0 (A)+ /) (B)

C· t d 1 { /) (A u B) ~ /) (A) + d(A, B)+ /) (B)e qUi perme e conc ure () ()/) (A + B) ~ /) A + /) B

iii 1 Soit x et y deux points de A.

Alors, pour tout r> 0, il existe a E An B(x, r) et b E An B(y, r)

L'inégalité triangulaire fonctionne comme en iil :

N(x - y) ~ N(x - a) + N(a - b) + N(b - y) ~ r+ /) (A) + r

Ce qui montre que A est bornée avec /) CA) ~ /) (A) + 2r, pour tout r> 0,

donc /) CA) ~ /) (A) .

.L'inclusion A c A et il donne l'égalité /) (A) = /) CA)D


• Soit E un espace vectoriel muni de deux normes Nl et N2 telles que Nl ~ N2. Notons Bi(a, r)la boule ouverte de centre a et de rayon r définie par la norme Ni pour i = 1 ou 2.

Ces boules vérifient B2(a, r) c Bl(a, r). (Nl(a,x) ~ N2(a,x) < r).Si U est un ouvert de (E, Nl), alors U est aussi un ouvert de (E, N2).

En effet, x étant un point de U il existe un réel r> 0 tel que Bl (x, r) c U,

les inclusions B2(X, r) c Bl(X, r) c U prouvent que U est un voisinage de x dans l'espace

(E, N2).

Supposons que ces deux normes soient équivalentes: il existe a> 0 et [3>0 tels que:

a Nl ~ N2 ~ [3 Nl·

Alors, les espaces vectoriels normés (E, Nl) et CE, N2) ont les mêmes ouverts.

Dans ces conditions, les notions de limite et de continuité coïncident sur ces deux espaces.

• Il suffit de vérifier qu'un point x de la sphère S(a, r) est adhérent à la boule ouverte B(a, r).

Notons y = a+ 1.1 (x - a) l'image de x par l'homothétie de centre a et de rapport fLE ]0,1[.Calculons les deux normes:

II y - a Il =1.1Il x - a II =1.1r et Il y - x Il = II (1- fL)(a - x) Il = (1- fL)ra

Pour tout aE ]0, r[ avec 1 - r <1.1<1, on a 1.1r < r et (1- fL)r <a

et donc y E B(a, r) (î B(x, a).

exemple 8

sous-espaçe \fectoriel

cedeE;'~spa.ce vectoriel norrné.

~er~~e$qn~.(ihérence Fest un sous-espa.ce \téctbriel de E.En déguire ql.l'"Unhyp~rplan est soit fermé soit dense dans E.

• 1) Il s'agit de vérifier que, pour tous x et y de Ji' et ÀE IK, alors x + y E Ji' et À x E F.

La caractérisation de points adhérents à F indique, pour tout r> 0, l'existence de points aet b de F tels que Il x - a Il < r et Il y - a Il < r.

Alors les majorations:

II (x + y) - (a + b) II ~ II x - a Il + Il y - b II < 2r

II À x- À a Il = IÀI·II x - a Il ~ IÀI r

suffisent à prouver que x + yet À x sont adhérents à F.


2) Supposons maintenant que F soit un hyperplan non fermé de E,

c'est dire qu'il existe un point c de If \ F et que la droite lK,cest un supplémentaire de

F (caractérisation d'un hyperplan) : E =lKc EB F signifie que tout vecteur x de E s'écrit

x = lec + y avec le E IK et y E F.

Comme F c If et que If est un sous-espace de E, x = lec + y E F.

Ainsi If = E, F est dense dans E.

exemple 9

Distance à une partie

Soit A une partie non vide de E, espace

A = {x E E/d(x,A) = O}

, \f X,yE E, Id(x,A)- d(y,A)1 ~ Ilx- yll

• 1) L'égalité d(x, A) = 0 se traduit par \f r> 0, 3 a E A, Il x - a Il < r.

Ceci caractérise x E A.

2) Fixons deux points x et y de E. Alors pour tout point z de A:

Il x - z Il - Il y - z Il ~ Il x - y Il (seconde inégalité triangulaire)

d(x, A) - Il y - z Il ~ Il x - y Il (une borne inférieure est un minorant)

d(x,A) - d(y,A) ~ Il x - y Il (elle est le plus petit des minorants)

d(y,A) - d(x,A) ~ Il y - x Il = Il x - y Il (échange de x et y)

Id(x,A) - d(y,A)1 ~ Il x - y Il (± À~I-L =? IÀI ~I-L)

exemple 10

et adhérence d'un convexe

A une partie non vide et convexe d'un espace vectoriel normé E.o _

que A et A sont convexes .

• 1)o

Prenons deux points x et y de A et vérifions que, pour tout réel t E [0,1], le point

z = (1 - t)x + ty est intérieur à A. D'après la propriété 3, il existe r> 0 tel que, pour tout

vecteur u vérifiant Il u Il < r, alors x + u et y + u sont dans A.

Comme A est convexe (1 - t)(x + u) + t(y + u) = z + u est aussi dans A,o

donc B(z, r) c A. Ainsi z est intérieur à A; A est convexe.

2) Reprenons les notations précédentes avec, cette fois-ci, x et y dans A.

Pour tout r> 0, il existe deux points a E An B(x, r) et b E An B(y, r).

Notons c = (1 - t)a + tb et vérifions que, z E B(c, r) :

Il z - cil = Il (1 - t)(z - a) + t(z - b) Il ~ (1 - tlIl z - a Il + tll z - b Il < r

Ainsi z E A, A est convexe.


II - Limite - Continuité - Dérivation

A. Suites

•

•

••

d.20

La notion de suite à valeurs dans un corps If{ a été vue en Analyse 1.

Etant donné un IK-espace vectoriel E, on définit de manière analogue:

les suites de E,: applications de N dans E, notations: u, (un), (Un)N,

l'ensemble des suites de E est noté EN

les suites de E définies à partir d'un certain rang Tl{) EN: applications de [Tl{), +00 [

dans E, notation : (Un)n~no

les opérations sur EN : addition et produit par un scalaire. EN est un IK-espace vectoriel

les suites extraites d'une suite donnée (Un)F\j E EN.

Si E estun espace vectoriel normé, (Un)N E EN est born~e si et seulement si il existe

A E [R* tel que \:j nE N, Il Un Il "" A.

L'ensemble @ (E) des suites bornées de E est un sous-espace vectoriel de EN.

§u.ite~qIlvétg~nte dans un espace vectoriel normé CE, Il .11)

Soit U une suite et a un point de E.

On dit que la suite U a pour limite a, ou converge vers a, si la suite réelle

n f-7> Il Un - a Il a pour limite O.

On écrit alors lim Un = a Ç==} lim Il Un - a Il = 0n~+oo n~+oo

Remarques

1) Une suite convergente a une seule limite.

2) Une suite convergente est bornée.

3) L'ensemble C(S CE) des suites convergentes de E est un sous-espace vectoriel de @ (E).

L'application L: C(S(E) --+ E, x f-7> lim Xn est linéaire.

4) Si la suite U converge vers a alors on peut définir, pour tout n EN: rn = sup Il up - a Ilp~n

On constate que la suite réelle n f-7> rn est positive, décroissante et converge vers O.

d.21

1

§uitéq.eCauchy dans un espace vectoriel normé (E,II .11)

Soit U une suite bornée de E, notons on= sup{11 Up - Uq II/p? n, q? n}.

On dit que U est une suite de Cauchy si la suite réelle (On\"d converge vers O.

Remarques

1) On est le diamètre de la partie An = {up/p? n}.

La suite (An)F\j est décroissante, (On)N aussi.

2) La définition s'écrit traditionnellement:

\:js> 0,3 nE N, \:j p? n, \:j q? n, Il up - Uq Il <s

3) Il est commode aussi d'introduire Sn= sup Il un+p - Un II·

p~nl U est une suite de Cauchy si et seulement si lim Sn= O.n--++oo


d.22 Valeur d'adhérence d'une suiteSoit U une suite de E, espace vectoriel normé.On dit qu'un point a de E est une valeur d'adhérence de la suite U s'il existeune suite extraite de U qui converge vers a.

d.23 Un espace vectoriel normé est dit confplet si, dans cet espace, toute suite de

1 Cauchy est convergente. On dit alors que c'est un

d.24 Une partie A de E est dite complète, A c E, si toute suite de Cauchy formée1 de points de A est convergente dans A.

p.9

il Une suite convergente est une suite de Cauchy.

iil Une suite extraite d'une suite convergente U est convergente et a la mêmelimite.

iiii Une suite extraite d'une suite de Cauchy est encore une suite de Cauchy.

iv 1 Une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence a et, dans ce cas, elleconverge vers a.

~ Pour il, ii! et Iii!, les démonstrations sont analogues à celles vues en Analyse 1,Chapitre 1(propriété 14, théorèmes 17 et 18).Ivl Si a est valeur d'adhérence de la suite de Cauchy (Un), il existe une suite extraite

(~(n» de limite a.La conclusion résulte alors de :

Il Un - a Il ~ Il Un - ~(u) Il + Il ~(U) - a Il

~ sup Il up - Uq Il + Il ~(n) - a Ilp~nq~n

o

p.10Soit A une partie non vide de E, espace vectoriel normé.

il Si une suite de points de A converge dans E, alors sa limite est un point deil, adhérence de A.

ii 1Un point de E est adhérent à A s'il existe une suite de A qui converge vers cepoint.

iii 1A est un fermé de E si et seulement si A contient la limite de toute suiteconvergente de E qui est formée de points de A.

~ il Avec (un) E AN et lim Un = c, écrivons:n---:-+co

o ~ d(c,A) ~ Il c - Un Il et lim Il c - Un Il = 0n-++co

donc d(c, A) = 0 ce qui signifie CE il (cf.exemple 9)

Ii 1Supposons c E il. Donc, pour tout n E F\j*, il existe un poi~t an de A tel que:

Il c - an Il < ~ car A (1 B ( c, ~) n'est pas vide

La suite (an)N converge vers c.

iii 1Cas où A est un fermé de E : utiliser il.

Pour la réciproque, utiliser ii1o


des.suÎtes bornées sur un espace vectoriel normé E, muni de la(.E)~iR+, U f-7>sup Il Un Il.

nEN

Eest complet alors 'lJ3(E)co l'est aussi .

• Notons une suite comme une fonction J E 'lJ3(E), i f-7>JCi) ;

considérons alors une suite de Cauchy (fn)N de Çi]3(E), c'est-à-dire que la suite

n f-7>On=sup IlJn+p - Jn Il:::0 converge vers O.pEN

Comme IIJn+p - Jn [[co = sup IlJn+pCi) - Jn(i) [l, on obtient:iEN

'ï/ i EN, 'ï/ pEN, lfn+pCi) - Jn Ci) 1 ~ On (1)

donc n f-7>JnCi) est une suite de Cauchy de E, E étant complet, elle converge;

notons g(i) = hm Jn(i) pour tout i EN.n--++co

9 est une suite sur E, Ig(i) - Jn(i)[ ~ On (2) (faire p ~ +00 dans (1 )).

9 est bornée: 'ï/ i EN, IgCi)1 ~ IIJo 11+ 00

(fn)N converge vers 9 dans (Çi]3(E), Il .[Ico) car Il 9 - Jn lico ~ On d'après (2).

B. Limite - Continuité d'une fonctionSoit (E, Il.11) et (F.I.I) deux IK-espaces vectoriels normés.

Etant donné D partie non vide E, 'ji (D,F) désigne l'ensemble des applications de Ddans F ou ensemble des fonctions de E dans F, dont l'ensemble de définition est D.

'ji (D, F) est un IK-espace vectoriel pour les opérations usuelles, somme de deux fonctions et produit d'une fonction par un scalaire:

Cf, g) E'ji (D, F)2 J + 9 : x f-7>J(x) + g(x)"-E IK "-J : x f-7>,,-J(x)

Dans le cas particulier où F =IK, on dispose de l'opération produit de deux fonctions et'ji (D, IK) est une IK-algèbre :

Cf, g) E'!F (A, 1K)2 Jg : x f-7>J(x)g(x)

Définitions :

J(U) eV (2)

(3).ou aussi à

d.25 Limite d'une fonction en un point Soit J E'ji (D, F), Ac D et a E A.

On dit que J admet une limite en a suivant A s'il existe un point b de F telque:

'ï/8> 0, 30'> 0, 'ï/ x E A, Ilx- ail <0' =? lf(x) - b[ <8 (1)

On note alors hm J(x) = b.x--+a.xEA

Remarques1) S'il existe b et bl dans F vérifiant (1) alors b = b'

ce qui justifie la notation hm J(x) = bX--+a.XEA

(voir Analyse l, Chapitre III, propriété 1, définition 2).

2) La proposition (1) équivaut à :

'ï/ V EV (b), 3 U EVA (a),

'ï/ V EV (b), J-1(v) EVA (a)


d.26

1

Continuité d'une fonction en un point

f E 3i (D, F) est continue en un point a de D si f admet une limite en asuivant D.

Remarque

La limitedef en a suivant D ne peut être quef(a), (voirAnalyse 1,Chapitre III, théorème

1), f est donc continue en a E D si et seulement si lÏE1f(~) = f(a).XED

Continuité d'une fonction

f E 3i (D, F) est continue sur Ac D sif est continue en tout point de A.

Continuité uniforme

f E 3i (D. F) est uniformément continue sur A c D si :

Ife>O.3coO,If(x,y)EA2·llx-yll<a: =? Lf(x)-f(y)l<e

Remarque

1) Sif: A ~ F est une fonction bornée, on peut définir la fonction:

8: IR+-IR+, h >--">8 (h) = sup{lf(x) - f(y)1 /(x, y) E A2, Il x - y II ~ h}

d.27

1

d.28

1

Cette fonction h est positive décroissante.

L'uniformecontinuité de f sur A est caractérisée par lim 8 (h) = O.h---;.O

2) f reste uniformément continue si on change la norme de E ou celle de F en une normeéquivalente.

d.29 Fonction lipschitzienne

f E 3i (D. F) est dite lipschitzienne sur A c D si l'ensemble

{ Lf(x) - f(y)i . 2.} ..R = Ilx _ yi! /(x. y) E A ,x '* y est maJore.

Si le réel k est un majorant de R ou si k = sup R, on dit quef est lipschitziennede rapport k ou k-lipschitzienne sur A.

~ Dans ces conditions If (x, y) E A2, lf(x) - f(y)l ~ kll x - y Il

d.30 Homéomorphisme

Soit A une partie de E, B une partie de F, etf une bijection de A sur B.

On dit que f est un homéomorphisme si f: A ----;.B et f-1: B ----;.Asont continues.

d.31 Isométrie

Soit A une partie de E, B une partie de F, etf une application de A dans B.

On dit quef est une isométrie si, pour tout couple (x, y) E A2 :

Ilf(y) - f(x) W = Il y - x II

On dit qu'une isométrie conserve la norme.

li'ropriétés :

p.11 Soitf E 3i (D, F) et Ac D. Les propositions suivantes sont équivalentes:

i / f est continue sur A.

ii/ pour tout ouvert V de F,f-1(V) est un ouvert de A

iii / pour tout fermé W de F, f-1 (W) est une fermé de A.

VoirAnalyse 1,Chapitre III, théorème 5 et corollaire.

'20 Précis d'Analyse Il

p.12

Soit] E'!Ji (D, F) et Ac D et les propriétés suivantes:

il] est lipschitzienne sur A de rapport k,

ii 1] est uniformément continue sur A,

iii 1] est continue sur A,

Alors

p.13

o

Soit] E'!Ji (D, F), Ac D et a E A; les propriétés suivantes sont équivalentes

il] admet une limite en a suivant A

iil pour toute suite (an) de A qui converge vers a, la suite (t(an») de Festconvergente.

ll2F VoirAnalyse l, Chapitre III,propriétés 2 et 3,

• il =? iil Notons b = lim ](x) et considérons une suite (an) de A qui convergex--+a,xEA

vers a,

L'hypothèse 'ris> 0, 30'> 0, 'ri x E A (î B(a, 0') =? Lf(x) - bl <s

donne 3 pEN, 'ri n ? p,lI an - a Il <0' =? Lf(an) - bl <s

c'est-à-dire que la suite (t(an») converge vers b,

• iil =? il Si (an) et (a~) sont deux suites de A qui convergent vers a, alors les suites

(t(an») et (t(a~») convergent dans F; vérifions que leurs limites b et bl sont égales,

Pour cela, ilsuffitde mixer les suites (an) et (a~) en notant:

{ c2n = anC2n+l = a~

Alors lim Cn = a et hm ](C2n) = b = hm ](C2n+l) = bl,n-++co n--++co n--++O()

" s'ensuit que b est la seule limitepossible de] en a.

Par l'absurde, si] n'admet pas b pour limiteen a :

3s> 0, 'riO'> 0, 3 Xu E A (î B(a, 0') tel que Lf(Xu) - bl ?s

On peut alors former une suite (an) qui converge vers a :

'ri n E N*, 3 an E A tel que Il an - a Il < ~ et Lf(an) - bl ?sn

sans que la suite (t(an») converge vers b, ce qui est contradictoire,

Remarque

Avec] : A ---t F, a E A et b = lim ](x), on a b E ](A), (d'après la caractérisationx--+a,xEA

de l'adhérence par les suites).

p.14 (F, 1.1) étant complet, soit] E'!Ji (D, F), Ac D et a E A.

Pour que] admette une limite en a suivant A, il faut et il suffit que:

'ris> 0,30'> 0, (x, y) E (A (î B(a, 0'»)2 =? lf(x) - ](y)1 < sC'est le CritèredeCal.1chy pour l'existence d'une limite.

III. -- -~-- --~=,-,


1&' i / L'hypothèse b = lim 1(t) donne:t--+a,tEA

D

10

\je> 0, 3a> 0, \j t E A (1 B(a, a), Lf(t) - bl < "2

d'où par inégalité triangulaire:

\j (x, y) E (A (1 B(a, a)) 2, lf(x) - l(y)1 ~ Lf(x) - bl + Lf(y) - bl < 10

Ce qui prouve que1satisfait au critère de Cauchy,

ii / Pour la réciproque, prenons une suite quelconque (Xn) de A qui converge vers a et

vérifions que (j(Xn)) est une suite de Cauchy:

\je> 0, 3 r E N, \j n ~ r, IXn - al <a

et donc \j (p, q) E N2,p ~ r et q ~ r, donne Lf(xp) - I(Xq)1 <10,

Comme F est complet, la suite de Cauchy (j(Xn)) est convergente.On conclut avec la propriété 13.

•M' 1 P: 15 :prülo:ngement d\me application(F, 1.1)étant complet, soit 1:A --+ F uniformément continue sur A. Alors ilexiste une unique application J : il --+ F continue qui prolonge 1;J estuniformément continue sur A.

J prolonge 1 signifie que JIA = 1·1&' L'uniformecontinuité de1donne l'existence de la fonction:

of : IR+-+IR+, a f-7 of (a) = sup {lf(x) - l(y)I/(x, y) E A2, Il x - y Il ~ a} aveclim of (a) = O.0'--+0

On en déduit que1vérifie le critère de Cauchy en tout point a E A.

En effet, soit 10> 0, il existe a> ° tel que of (a) <10; et pour tout x, y dans B (C' ; ) ,on obtient:

Il x - y II ~ II x - a Il + II y - a II < aLe critère de Cauchy donne l'existence de

et donc lf(x) - l(y)1 ~ of (a) < 10

J(a) = lim l(x)x-+a,xEA

En notant que JCA) = I(A), ilvient:

0I (a) = sup{ V(u) - J(v)I/(u, v) E A2, II u - v II ~a} = of (a)

Alors lim 0f- (a) = ° assure l'uniformecontinuité de J sur A. D0'--+0

p.16 Composition de fonctionsCQPtinnes,Soit E, F, G trois espaces vectoriels normés, A une partie de E, B une partiede G,1 une application de A dans F et 9 une application de B dans G. Si, deplus,I(A) c B, on dispose de l'application composée go 1de A dans G.

il LÜnite Soit a E A un point oùl admet une limite b = hm l(x), alorsx--+a,xEA

b E 13 : supposons que 9 admette une limite en b, c = hm g(y), alors go 1y--+b,YEB

admet c pour limite en a : c = hm go l(x).x-+a,xEA

ii 1 Continuité Si 1 est continue sur A et 9 continue sur B, alors 9 01 estcontinue sur A.

I,,'t


trW i1On sait que b E J(A) et J(A) c B donc b E B.

Utilisonsdeux fois la propriété 3: «suite et limite».

Soit (xn) une suite de A qui converge vers a, alors la suite (j(Xn») de B converge vers

b, et la suite (g (j(Xn»)) converge vers c

ii1 Utiliserla définitionde la continuité en un point et le ilD

p.17 Propriétés des isométries1

Soit (E, Il.11) et (F, 1.1) deux espaces vectoriels normés, A une partie de E, B

une partie de F etJ: A -7 B une isométrie.

il J est lipschitzienne de rapport 1, doncJ est uniformément continue sur A.

ii 1J est injective; si J, de plus, est smjective, J induit une bijection de A sur

B, dont la bijection réciproque J-l : B ~ A est une isométrie ;J est alors un

homéomorphisme de A sur B.

iii 1La composée de deux isométries est une isométrie.

p.18 Opérations sur les limites1

SoitJ : A -7 F, 9 : A ~ F et a E A ainsi que 'il: A-7K

il L'existence de :

u = lim J(x) v = lim g(x)x-a,xEA x~a.xEA

fournit les nouvelles limites:

fL= lim 'il (x)x~a.xEA

lim J(x) + g(x) = u + v et lim 'il (x)J(x) =fL ux----,-a,xEA x---+a,xEA

ii/ Si F = FI x .,. x Fp est un produit d'espaces vectoriels normés et siJ: A -7 F

est donnée par ses applications composantes x f--+ J(x) = (jl(X), ... ,fp(x»),

alors J admet une limite b en a suivant A si et seulement si chaque fi,i E [1,p] admet une limite bi en a suivant A.

Dans ce cas b= (bl,bz.···.bp).

trW il Pour la deuxième formule noter le découpage suivant:

ep (x)J(x)- fL U = [ep (x)- fL] J(x)+ fL [J(x) - u]

pour majorer lep (x)J(x)- fL ul par l'inégalité triangulaire.

ii1 Pour montrer que l'existence de lim J(x) impliquecelle de lim fi(x), pour toutx_a,xEA x~a,xEA

i E [1,p], utiliser la norme sur F définie par:

II(xl,x2,'" ,xp)llx = sup IlXi IIF;l~i~p

L

où Il ·IIF; est la norme sur Fi,

Pour la réciproque, utiliser la norme sur F définie par:p

II(xl,x2···· ,xp)lll = L Il Xi IIF;i=1

D


p.19 Opérations sur les fonctions continues1

i/ C(A, F) ensemble des fonctions continues de A dans F est un sous-espacevectoriel de S!i(A,F).

ii/ C(A, X) est une sous-algèbre de S!i(A, X).

iii/ Sif A ~ F et c;:: A -K sont continues alors <il f : A ~ F est continue.

iv / Sif A - F est continue alors fi :A -IR(, x f--'> lf(x) 1 est continue.

v / Si <p: A -K est continue et ne s'annule pas, alors ~ A --+~ est définie et f(x) = (1I(X),'" ,fp(x)) ,

alors f est continue sur A si et seulement si chaque fi: A --+ Fi estcontinue sur A (1,s; i ,s;pl.

(I:;;)f Ce sont des conséquence des opérations sur les limites.


E et F sont deux espaces vectoriels normés.

exemple 12

: E --+ F continue et A c E.

que, si A est dense dans E, alorsf(A) est dense dansf(E) .

• Nous utiliserons la caractérisation d'une partie dense suivante : A est dense dans E si et

seulement si pour tout U ouvert non vide de E, l'intersection A ([ U n'est pas vide.

Soit V un ouvert de F tel que V ([ f(E) *0.Ils'agit de vérifier que V ([f(A) est non vide aussi.

Par hypothèse, il existe x E E tel que f(x) EV: or,j est continue donc U = f-I(V) est unouvert de E, non vide car ilcontient x.

Comme A est dense dans E, U ([ A est non vide: or feu ([ A) cf(U) ([f(A) et feu) c V,

donc V ([f(A) est non vide.

exemple 13

et 9 deux applications continues de E dans F. Montrer que:

{x E Elf(x) = g(x)} estfermé , B = {x E Elf(x) < g(x)} est ouvert.

• On vérifie que A et B sont les images réciproques respectives par 9 - f du fermé {o} de IRet del'ouvert ]0, +oo[ de IR.

Commef - 9 est continue, A est un fermé de E et B est un ouvert.

D


uniformément continué.

unE) suite de Cauchy dé E.estune suite de Gauchy de F .

• Rappelons la caractérisation de l'uniforme continuité:

lim ~ (h) == ° avec ~ (h) == sup{ lf(y) - f(x)1 /(x, y) E E2, Il y - x Il ,.0:; h}h--O

D'autre part, (xn) E EN est une suite de Cauchy si et seulement si :

lim On== ° avec On== sup{ Il xp - Xq II /p ;3 n, q ;3 n}n---++oo

Avec ces notations, pour p ;3 net q ;3 n, on a lf(Xq) - f(xp)1 ,.o:;~ (On)

Si o~== sup{lf(Xq) - f(xp) 1 /p ;3 n, q ;3 n} alors o~,.o:;~ (On)

donc lim o~== 0, ce qui prouve que (f(xn») est une suite de Cauchy de F.n---++oo N

C. Relation de comparaison au voisinage d'un pointCes relations ont été introduites en Analyse l, Chapitre VII, dans le cadre des fonctionsréelles d'une variable réelle.

E,F, G sont des espaces vectoriels normés de normes notées Il . Il ' I·IF ' 1·1G' A est

une partie de E et a un point de E adhérent à A. Dans le cas où E ==IR;, a est un point

de IR adhérent à A (donc éventuellement a == +ex; ou a == - ex;).

Il. Domination - Prépondérance 1

f et 9 sont des fonctions définies sur A à valeurs dans F et G :

f:A--+F, g:A--+G

Définitions:

1...

d.32

1

d.33

1

1 )

2)

f est dominée par 9 au voisinage de a suivant A, et on notef == Ca (g)

ouf == C (g), lorsque: :3 V E "If A (a), :3ÀE IR;:, 'If x E "If A (e). lf(x) 1 F ,.0:; Ig(x)j G

f est négligeable devant 9 (ou 9 prépondérante devantf), et on note

f == oa(g) ouf == o(g),

lorsque: 'Ife> 0, :3 V E"V~A (a), 'If x E V, lf(x)IF,.o:;e Ig(x)IG

Remarques

Le cas E ==R A ==N, a == +ex; donne les relations de comparaison entre suites à valeurs

dans un espace vectoriel normé.

Les fonctions f et 9 considérées ont un ensemble de définition commun (ici A) mais ne

prennent pas nécessairement leurs valeurs dans le même espace vectoriel (ici F et G).En fait, seules les fonctions normes interviennent:

lflF : A --+R x f--?o lf(x) 1F et Igl G : A --+IR;, x f--?o Ig(x)1G

Doncf == Oa(g) s'interprète en lflF == oa(!gIG)'

En particulier,f == oaCl) signifie lim f(x) == O.x __a.xEA


Il est d'usage courant de comparer, par exemple, une suite complexe ou vectorielle à1 1

une suite réelle. (--. = 0(1) signifie lim -- = 0).n + L n--HCXl n + i

Dans la mesure où les opérations sont légitimes dans les espaces vectoriels considérés,toutes les propriétés de la relation de prépondérance exposées en Analyse 1,ChapitreVII,sont valables.

12. Equivalence 1

] et 9 sont des fonctions définies sur A à valeurs dans le même espace vectoriel normé F.

d .34 ] est équivalente à 9 au voisinage de a suivant A, et on note] ~ g,a

lorsque: ] - 9 = Oa(g)

Remarques1) Pour l'équivalence de fonctions ou de suites, il est impératif que l'espace d'arrivée soit

commun (existence de](x) - g(x), de Un - Un).

2) La relation ~ est une relation d'équivalence sur l'ensemble des fonctions définies auavoisinage de a.

3) Ilest intéressant de traduire] ~ 9 par] = (1+ <p)g avec <p= oa(1).a

D. Dérivation des fonctions d'une variable réelleo

l est un intervalle de IRtel que l *0.

Il. Dérivation 1

d.35 On dit que]: l --+ E est dérivableav.pqintci:é l si l'application

l \ {a} --+ E,x f--+ _1_ r](x) - ](a)] admet une limite en a suivant l \ {a}.x- a ~En cas d'existence, cette limite s'appelledérivéëdefena. on la note

d.36 On dit que]: l --+ E est dérivable a ùrolte \resp. à gaUChe) au pOInt a E 1 SI

l'intervalle I~ = l ri [a, +oo[ (resp. I~ = ln] - 00, aD n'est pas réduit à {a} etsi la restriction de] à I~ (resp. I~D est dérivable en a.Si elle existe, une telle dérivée s'appelle délivÉ~e

de f en a, on la note f~(a) (resp. i!;(a» .

d.37 On dit que] : l --+ E est dérivable (resp. dérivable à droite, à gauche) si]est dérivable (resp. à droite, à gauche) en tout point de I.

On définit alors l'application dérivée def, par:

f : l --+ E,x f--+ f(x)On définit de façon analogue les applications]~ : dérivée à droite,J; : dérivéeà gauche.

1" --.------------------


Remarques1) La dérivabilité reste acquise par changement de la norme en une norme équivalente.

2) f: l ---7 E est dérivable en a si et seulement si pour (tout) J E'V1 (a),JjJ est dérivableen a (la dérivabilité est une propriété locale).

L'existence def(a) équivaut à l'existence et l'égalité def~(a) et def~(a), et dans ce

casf~(a) =f~(a) =f(a).

3) La dérivabilité de f :l ---7 E en a se traduit aussi par:

il existe €E E tel que f(a + h) = f(a)+ € h + o(h) quand h tend vers O.

4) La dérivabilité en un point (resp. sur I) entraîne la continuité en ce point (resp. sur I).

Prbptiétés:

p.20

1

p.21

1

p.22

L'ensemble V(J,E) des applications dérivables de l dans E est un sous-espacevectoriel de C(J, E). L'application «dérivation» : D(J, E) ---7'Je (J, E), f ~ f estlinéaire.

Si E = El x ... x Ep et f E'Je (J, E), alors f est dérivable si et seulement sitoutes les applications composantesJj : l ---7 Ej, (1 ";;j ,,;; p), sont dérivables.

Das ce cas,f{,···,f; sont les applications composantes def.

Si E est de dimension p, muni d'une base (ejh'0"Sp et sif E'Je (J, E) est donnéep

par t ~ f(t) = 'L,Jj(t)ej, alors f est dérivable si et seulement si toutes lesj=l

P

applications coordonnéesfl"",fP le sont et dans ce casf(t) = 'L,Jj/(t)ej.j=l

12. Application de classe cP 1

Définitibns:

d.38

1

Comme dans le cas des fonctions réelles, pour f : l ~ E, on définit parrécurrence les dérivées successives à partir de: f = fOl dérivée d'ordre O.

On note Vn(I, E) l'ensemble des applications de l dans E n fois dérivables.

d.39 Pour p E ~ et f : l ---7 E, on dit que f est de classe cP si f E VP(I, E) avec

fp) : l ~ E continue.On noteCP(I. E) l'ensemble des applications de classe cP de l dans E.

On dit quef: l ---7 E est de classe C·:x) si, pour tout p c ~,f est de classe CP,

Propriétés:

p.23 Pour tout p c ~"', -pP(I,E) et CP(J, E) sont des sous-espaces vectoriels de C(I, E).1

p.24 Formule de LeibnizSif E CP(I, 11<) et 9 E CP(I, E), alors f .9 E CP(I, E) et, pour 0 ,,;;n ,,;;p :

n

(j'. g)(n) = 'L, C~fn-k)g(k)k=O

p.25 Classe d'une composée

1 Sif c CP(I, IR) et 9 c CP(J, E) avecf(J) c J, alors 9 of c CP(I, E).

'-

::hapitre l Espaces vectoriels normés

III - Complets - Compacts - Connexes

A. Propriétés des espaces complets

27

D

La définitiond'un espace vectoriel normé complet est donnée en d.23.

L'espace CR.I.I) est complet.

Le passage d'une norme à une norme équivalente ne modifiepas les suites de Cauchy,ni la nature «complète» de l'espace.

Prqpriétés:

.l'vI' 1 P',26il Soit A une partie fermée d'un espace vectOliel normé complet de E.Alors A est une partie complète de E.

ii 1 Soit A une partie complète de E. Alors A est un fermé de E

I].g' i / Une suite (an)", de Cauchy formée de points de A est une suite de Cauchy de E.

E étant complet, cette suite est convergente, or A est un fermé de E, donc [a limitede lasuite (an)', est dans A.

ii/ Soit (Xn):\ une suite convergente de E formée de points de A.

Alors (Xn)'\ est une suite de Cauchy de E, donc aussi de A.

A étant une partie complète de E, la suite (Xn)', converge dans A.

La propriété 10 iiii prouve que A est fermé de E.

D

p.271

Les espaces !Mn et en sont complets

Notons qu'il s'agit d'espaces produits d'espaces vectoriels normés.

Montrons que C=!M2 est complet; [a généralisation est facile.

Soit n - Zn = Xn + iYn une suite de Cauchy de C, alors [es suites réelles (Xn)r\ et(Yn)7\j sont des suites de Cauchy.

En effet IXn+p - Xnl ~ IZn+p - Znl ~ ôn où 8n= sup IZn+p - ZnlpE,"\;'

et lim ôn= 0 car (zn) est une suite de Cauchy.n---;.-+·::>:)

!M étant complet, les suites (Xn)'J et (Yn)'; convergent dans !M, vers x et y respectivement.

La suite (Zn)r:oi converge vers x + iy (opérations sur les suites convergentes).

Théorème'

-Tf Théorème du point fixe

Soit A une partie complète d'un espace vectoriel normé (E, Il.11) et f uneapplication de A dans A telle que:

il existe un réel k de [O.l[ tel que, pour tout couple (x, y) de A2 :

Ilf(y) - f(x) Il ~ kll Y - x il

Alorsf admet un point fixe a E A, celui-ci est unique et limite de toute suite(Xn)7\j de A définie par:

X(J E A et pour tout nE 1\1: Xn+l = f(Xn)

o


On dit que l'applicationf estcoÇltraqtâtÜe, et que (Xn)N est une sUitè récurreôte asso

ciée àf.

Ir§' La méthode consiste à vérifier que:

i / la suite récurrente (Xn)N est une suite de Cauchy,

ii / sa limite est un point fixe de f,

iii / ce point fixe est unique.

i / Pour tout nE l'J*: Il Xn+l - Xn Il = Ilf(xn) - f(Xn-l) Il ~ ~II Xn - xn-lll

d'où Il Xn+1 ~ xflll ~ knll Xl - XO II par récurrence.p-l

Pour tout p E l'J*, on a xn+p - Xn = LXn+i+l - Xn+ii=O

p-l

d'où Il Xn+p - Xn Il ~ L Il xn+i+1 - Xn+i Ili=O

p-l n

L n+i ket Il xn+p - Xn Il ~ k Il Xl - XO Il ~ --II Xl - XO Il1- ki=O

Comme lim kn = 0, la suite n f-7 sup Il xn+p - Xn II converge vers 0 : la suite (Xn)Nn-++co pE N*

est une suite de Cauchy de A.

ii / A étant une partie complète de E, la suite de Cauchy (Xn)N de A converge vers a E A.

L'applicationf est Iipschitzienne donc continue sur A, d'où:

hm f(xn) = f ( hm xn) c'est-à-dire a = f(a)n---++oo n---++oo

Ainsi a est un point fixe def.

iii / Envisageons deux points fixes a et b def :Il b - a Il = Ilf(b) - f(a) Il ~ kll b - a Il donne 0 ~ (1 - k)11b - a Il ~ 0

donc b = a ;f admet a pour unique point fixe.

d.40

1

B. Parties compactes d'un espace vectoriel norméDéfinition :

Partie compacte

Une partie A d'un espace vectoriel normé est dite compacte si toute suite depoints de A admet une suite extraite qui converge dans A.

Remarques

1) Le passage d'une norme à une norme équivalente conserve la nature compacte d'une

partie.

2) Une partie finie est compacte (théorème des tiroirs)

3) Voir Analyse l, Chapitre Il, Paragraphe V, pour l'étude des compacts de !Kt

Propriétés

p.28 Dans un espace vectoriel normé, une partie compacte est bornée et fermée.1

" .,~r"'''.·,

Chapitre 1 Espaces vectoriels normés

~ Soit A une partie compacte d'un espace vectoriel normé E.

i / Supposons A non bornée et construisons une suite (an)'" de points de A réalisant

il aj - ai Ii ~ 1 pour tout i oF J entiers

La construction est récurrente:

29

D

• il existe ao et al dans A tels que Il ao - al Il ~ 1 car A est non bornée,

• Si ao,"', an-l sont n points deA tels que Il Clj - ai Il ~ 1 pour 0"" i<J "" n - l,Aétant non bornée, elle n'est pas incluse dans B, réunion des boules B(ai, 1), donc il existe

an EA \ B et la famille (ao, ' , ' ,an-l' an) vérifie Il Clj - ai Il ~ 1 pour 0 "" i <J "" n,

Toute suite (a~h" extraite de A vérifie aussi il ~ - a~Il ~ 1 pour i oF J, elle n'est doncpas convergente, ce qui prouve que A n'est pas une partie compacte de E.

Ii / Si A c A alors A est fermée,

Soit x un point adhérent à A, donc limite d'une suite (an)r" formée de points de AA étant compacte, (anh admet une suite extraite (a~h convergente dans A ; mais

toutes les suites extraites de (anh ont la même limite x, donc x E A

D

p.29

1

p.30

Fermé dans un compact

Soit A une partie compacte d'un espace vectoriel normé E.

Si B est une partie fermée de A alors B est aussi une partie compacte de E.

A est compacte donc fermée dans E, alors B est aussi fermée dans E.

Comme BeA, une suite (bnh formée de points de B est une suite de A

Or, A est une partie compacte de E donc il existe une suite (b~),'I: extraite de (bn),~ qui

converge dans A; sa limite est dans B car B est fermée (dans A et dans E).

Produit de compacts

Soit E et F deux espaces vectoriels normés, A une partie compacte de E, Bune partie compacte de F.

Alors A x B est une partie compacte de E x F.

Soit (an', bn) une suite de A x B. A étant une partie compacte de E, il existe une suite

(U;p(n)N extraite de (an)~j qui converge vers un point x de A

La suite (bq;(n)i'; extraite de (bn)i'; est à valeurs dans B, partie compacte de F, et admet

donc aussi une suite extraite (bq;o8(n)):'\; convergente vers un point y de B,

Alors la suite (aq;o8(n)'" est extraite de la suite convergente (U;p(n)i'\1 et converge donc

vers x. Finalement (U;po8(n)' bq;o8(n)) i'\1 est une suite extraite de (an, bn)N qui convergevers (x, y) E A x B.

Ainsi A x B est une partie compacte de E x F.D

t.2 Theorème de Heine

Soit A une partie compacte de E etf : A --+ F une application continue.

Alors f est uniformément continue sur A(VoirAnalyse l, Chapitre III, théorème 8).

ri


~ Raisonnons par l'absurde: dire que f n'est pas uniformément continue sur A c'est dire

que:

3s> 0, \;f n E N*, 3 (xn, Yn) E A2• Il Yn - Xn Il ~ ~ et lf(Yn) - f(xn)1 ~sn

A étant une partie compacte de E, A2 est compacte dans E2,

donc il existe (xq,(n). Y~(n») r:,; extraite de (xn, Yn)N convergente vers (a, b) E A2.

• f étant continue, on a lf(b) - f(a)1 = n~rrco lf (Y~(n)) - f (x~(n)) 1

donc lf(b) - f(a)1 ~s (i)

• d'autre part, IIY~(n) - X~(n)11 ~ ~() donne lim ~ IIY~(n) - Xq;(n)Il = °cr n n~+x·

donc b = a et f(b) =f(a) (il)

Les résultats de (i) et (ii) sont contradictoires.

D

t.3

~

Image continue d'un compact

Soit A une partie compacte de E etf : A ~ F une application continue.

Alorsf(A) est une partie compacte de F.

(VoirAnalyse l, Chapitre III, théorème 6).

A toute suite (Yn)N def(A), on peut associer une suite (Xn)r:,; de A par f(xn) = Yn.

A étant une partie compacte de E, il existe une suite (X~)N extraite de (Xn)r:,; qui converge

vers un point a de A.

f étant continue, la suite (Yit) N = (f(x~)) N' extraite de (Yn)'\j, converge vers

f(a) E f(A).

t.4 Fonction continue sur un compact

Soit A une partie compacte de E etf : A ~ F une application continue.

i! Alors f est bornée et atteint sa borne: il existe a E A tel que:

lf(a)1 = sup lf(X) 1XEA

ü! Cas d'une fonction réellef: A ~iR continue sur A compact.

Alorsf est majorée, minorée, il existe a et b dans A tels que:

f(x) = inf f(x) et f(b) = supf(y)XEA !jE A

D

1.....

~ i / La propriété précédente indique que f(A) est une partie compacte de F, donc bornée

et fermée de F. On dispose donc du réel IlfilA = sup lf(x)l.XEA

Introduisons une suite (Xn)\, de A telle que la suite (lf(xn)l) converge vers Iif liA

(propriété de la borne supérieure).

A étant une partie compacte de E, il existe une suite (x~)'\ extraite de la suite (xn)~, qui

converge vers un point a de A.

La fonction x f-7 lf(x) 1 étant continue en a, on obtient:

n~rrx lf(x~)1 = lf(a)1 donc liA = lf(a)1

ii / Icif(A) est une partie bornée et fermée de R. elle admet un plus petit et un plus grand

élément; c'est le résultat annoncé. (Voir Analyse L Chapitre III. théorème 7).

::::hapitre 1 Espaces vectoriels normés


exemple 15

Cê?mplets et compacts

Dne partie A compacte de E est complète .

• Prenons une suite de Cauchy de E formée de points de A.

Comme A est compacte, cette suite admet une suite extraite (X~)N qui converge dans A.

Or, une suite de Cauchy ayant une suite extraite convergente est elle-même convergente.

Ainsi A est une partie complète de E.

exemple 16

PrOpriétés des compacts emboîtés

sçùt (Xn)r,; une suite décroissante de parties non vides et compactes de E.

MOntrer que l'intersection X = (î Xn est un compact non vide de E

31

• Notons Xn un point de Xn (non vide) pour chaque n E'\j.

Les Xn étant «emboîtés», est une suite du compact Xo, elle admet une suite extraite

(x<p(n)", convergente; notons c sa limite.

Comme Xp est aussi un fermé de E, nous avons l'équivalence:

CEXp {=? d(c,Xp)=O

Or, pour tout n ~ p : 'P (n) ~ p, d(c.Xp) ~ Il c - xcln) \1 et lim Ii c - x..cln) Il = o., n~+x '

Ainsi, CE Xp pour tout pEN, donc X = n Xn n'est pas vide.nE

Une intersection quelconque de fermés de E est un fermé de E, X est un fermé de E inclus dans

le compact Xo, donc X est un compact de E.

Propriétés:

D

p.31

1

Parties compactes de Gin

Une partie de Gin est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.

Rappel

Rappelons que [K=[!:R ou iC et que Gin est normé par 1/ .

Sur un espace vectoriel de dimension finie, deux normes sont équivalentes (cf Chapitre

Il, théorème 5) donc le choix de la norme est indifférent.

Nous savons déjà que tout segment [a, b] de [!:R est compact et que toute partie compactede [Kn est fermée et bornée.

Réciproquement, considérons une partie A de Gin fermée et bornée, il existe donc R E [!:R+

tel que A c [-R, R]n.

Un produit de compacts étant compact, [- R,R]n est un compact de [!:Rn.

Or, une partie fermée incluse dans un compact est elle-même compacte (propriété 29)

donc A est une partie compacte de [Kn

32

IM'lp·32


Soit A une partie compacte de E.

o

i / Pour tout r> 0, il existe une famille finie de boules de rayon r dont la réunioncontient A.

ii / Pour toute famille (Vi)iEI d'ouverts dont la réunion contient A, il existe r> °tel que, pour tout x de A, il existe un ouvert Vi de la famille qui contient laboule B(x, r) :

:3 r> 0, V X E A,:3 i E J, B(x, r) c Vi

iii / Pour toute famille (V;)iEI d'ouverts dont la réunion contient A, il existe unepartie finie J de J telle que:

AcUViiEJ

Il@r' i / Par l'absurde, s'il existe r> ° tel que A ne soit pas réunion d'une famille finie de boulesde rayon r.

Alors, à partir d'un point xo de A, on peut construire, point par point, une suite (Xn)1\I de

A telle que Xn ne soit pas dans la réunion U B(x;, r).O~i<n

Du fait que Il Xj - Xi Il ~ r dès que i *- j, la suite (xn)1\I n'a aucune suite extraiteconvergente, contrairement à l'hypothèse A compact.

ii / Par l'absurde encore, pour tout n E 1'\1*, il existe Xn E A tel que la boule B ( Xn, ~) nesoit incluse dans aucun des ouverts Vi de la famille.

A étant compacte, cette suite (Xn)1\I admet une suite extraite (~(n»)1\1 qui converge versun point a de A.

Il existe Linouvert Vo de la famille (Vi)iEI qui contient a ainsi qu'une boule B(a, r) pourun rayon r> ° convenable, (Vo est ouvert).

Il existe, alors, un entier p tel que:

r 1 rIl a - ~(p) 1\ < 32 et 'P (p) < 32

de sorte que la boule B (~(P)' 'P ~p)) est incluse dans la boule B(a, r) donc aussidans Vo.

Il y a contradiction car, par construction, une telle boule B (xn, ~) n'est incluse dansaucun Vi.

iii / Utilisons iil :3 r> 0, V x E A,:3 i E J, B(x, r) c Vi

puis il notons (Yj)jEJ la famille finie des centres des boules B(Yj, r) dont la réunioncontient A.

Pour chaque Yj il existe un ouvert Vj associé contenant la boule B(Yj, r).

Ainsi B(Yj, r) c Vj et Ac U B(Yj, r) cU Vj.JEJ JEJ

Remarques1) Par passage aux complémentaires, la propriété iii! devient: de toute famille (Fi)iEI de

fermés de E dont l'intersection avec A est vide, on peut extraire une sous-famille finie.dont l'intersection avec A est vide aussi.

2) Cette propriété iiil caractérise les parties compactes de E.


pies ~ Travaux pratiques

Les éléments de E sont des fonctions continues sur le compact [0,1] de ~, elles sont donc

bornées et la norme Il .11 co est définie.

Pour constater que la sphère unité de E est non compacte, il suffit d'exhiber une suite de fonctions

(fn)N, de la sphère unité de E, qui réalise Ilfq - fp lico ;" 1 pour tout couple (p, q) d'entiersdistincts.

En effet, aucune suite extraite de (fn)N ne peut être convergente.

Choisissons ln: E -+C, t f-7 fn(t) = e2in"lTt.

Comme lé"l = 1 pour Ci réel,fn est unitaire.

La formule 1 ei!> - é' 1 = 21 sin f3 ~ Ci 1 donne:

exemple 17

ère non compacte

ace vectoriel E = C([O, 1], C) étant normé pa == sup lf(t)l),tE[O.l]

1l{q(t) - fp(t)[ = 2 [sin(q - p) 'TT tl ~ 2 (égalité si t = 21q _ pl E [0,1])

donc Ilfq - fp Il = 2.

Conclusion

La sphère unité de (C([O, 1, C), Il .llco) est bornée et fermée mais n'est pas compacte. Ceci estl'illustration du théorème de Riesz: pour que la sphère unité d'un espace vectoriel normé E soit

compacte, il faut et il suffit que E soit de dimension finie.

C. Parties connexes IM'I

d.41 Partie connexe

Une partie A de E est dite nOn cOfinexe s'il existe deux ouverts Vo et Vi deE tels que:

{ Von VI =0An Vo",0 et

Ac (Vo U VI)

Dans le cas contraire, la partie A est dite

Remarques

1) Par passage aux complémentaires, on obtient:

{ Fo nFI =0A non connexe ~ il existe Fo et FI fermés de E A n Fo ",0 et A n FI ",0

Ac (Fo u FI)2) Une partie A de E est connexe si A et 0 sont les seules parties de A à la fois ouvertes

et fermées dans A. En particulier, un espace vectoriel normé est connexe.

Il


3) Par définition, la partie vide 0 est connexe, un singleton aussi. Hormis ces deux cas,une partie finie de E est non connexe.

4) La paire P = {O, 1} dans IRest la «caricature il d'un ensemble non connexe. Les partiesde P sont 0, {O}, {1}, {O, 1} ; elles sont ouvertes et fermées dans P.

d.42 arcs

Une partie A de E est dite connexe par arcs si, pour tout couple (x, y) de pointsde A, il existe une application J continue du segment [0,1] de IRà valeursdans A telle que :

J(O) = x et J(l) = y

Remarques

1) On peut comprendre que A est connexe par arcs si, deux points quelconques de Apeuvent être réliés par un chemin continu inclus dans A.

2) Lorsque ce chemin est un segment, A est convexe: une partie convexe est connexe pararcs.

Partie etoilée

Une partie A est dite etoilée s'il existe un point a de A tel que, pour tout x deA, le segment [a, x] est inclus dans A.

Remarques

1) Dans cette définition,un tel point a est appelé centre de A .

2) Une partie étoilée est connexe par arcs car deux points x et y de A sont les extrémitésd'une ligne brisée [x, a, y], a étant un centre de A.

d.43

1

Propriétés:

o

= J-1(0) et

p.33

1

u&

Caractérisation d'une partie connexe

Une partie A de E est connexe si et seulement si toute application continueJ de A dans la paire P = {O, 1} est constante.

Supposons A non connexe c'est-à-dire réunion de deux ouverts Va et VI disjoints nonvides et construisons une applicationJ : A --+ P en associant à tout x de A la valeur:

J(x) = {O si x E Va1 SI X E VICette applicationJ est continue, car les images réciproques parJ des ouverts de P :

0=J-1(0) , Va=r1(O) , VI =J-l(1) A =J-l(p)sont des ouverts de A.

Comme Va et VI sont non vides, J n'est pas constante.

Formulons la réciproque avec les mêmes notations.

S'il existe une application continue J : A --+ P non constante, alors Va

VI = J-1(1) sont deux ouverts non vides et disjoints de A.

Or A = VaU VI, donc A n'est pas connexe.

o

p.34

1

u&

Image continue d'une partie connexe

Soit A une partie connexe de E etJ :A --+ F une application continue.

Alors J(A) est une partie connexe de F.Soit 9 :J(A) --+ P = {O, 1} une application continue.

L'applicationcomposée 9 0 J : A --+ P est continue donc constante car A est connexe.On en déduit que 9 est constante. DoncJ(A) est connexe.

l....-


D

D

D

p.35

p.36

p.37

p.381

Adhérence d'une partie connexe

Soit A une partie connexe de E.

Alors toute partie B telle que Ac BeA est connexe.

En particulier, A est connexe.

Soit] : B -+ P = {O, 1} une application continue.

La restriction de] à A est aussi continue, donc constante car A est connexe.

On dispose alors des inclusions ICA) c](B) c]CA) = ]CA), ce sont des égalités donc] est constante sur B, et par conséquent, B est connexe.

Remarque

L'intérieur d'une partie connexe n'est pas nécessairement connexe imaginer deuxdisques fermés de C tangents extérieurement.

Réunion de parties connexes

Soit CAi)ÜôI une famille non vide de parties connexes de E.

S'il existe une partie Ale qui rencontre toute autre partie Ai de la famille,

alors la réunion R = UAi est connexe.iEl

Remarque

C'est, en particulier, le cas si l'intersection nAi n'est pas vide.iEl

Par contre, on ne peut rien dire quant à l'intersection de deux parties connexes (penserà un cercle et une droite sécante dans le plan).

Soit] : R -+ P = {O, 1} une application continue,] est constante sur chaque partie Ai

(connexe), cette constante est commune car Ai n Ale n'est pas vide.

Donc] est constante, la réunion R est connexe.

Composante connexe

Soit A une partie non vide et a un point de A.Alors la réunion des parties connexes de E qui contiennent {a} et qui sontincluses dans A est une partie connexe de E.

Elle est fermée dans A, c'est la plus grande partie connexe de E contenant{a} et incluse dans A.

On l'appelle composante connexe du point a dans A.

La démonstration découle naturellement de deux propriétés précédentes.

Parties connexes de IR

Les parties connexes de IR sont les intervalles.

Rappel

Un intervalle ouvert non vide est homéomorphe à IR.t

(t f---7 a + et, t f---7 b - e- t, t f---7 a + b~ sont des homéomorphismes de IR surl+e]a, +00[, ] - 00, b[ et ]a, b[ respectivement).

~ i / Un intervalle J de IR est connexe. Notons J = l l'intérieur de J.

Si J =0, alors J =0 ou J est un singleton, donc J est connexe.

Sinon, J est connexe (intervalleouvert non vide homéomorphe à IR) et J c J c J, doncJ est connexe (cf propriété 35).


D

ii / Soit une partie A de IRqui n'est pas un intervalle.

Il existe alors trois réels a, b, e tels que a < b < e, (a, e) E A2 et b Ii'. A

Dans ce cas, A n] - 00, b[= A n] - 00, b] est une partie ouverte et fermée de A

distincte de 0 et de A, donc A n'est pas une partie connexe de IR.

p.39

Soit A une partie de E etf : A -+IR.

On dit que f possède la propriété des valeurs intermédiaires si son imagë

f(A) est un intervalle de IR.

Si A est connexe et f continue, alors f possède la propriété des valeursintermédiaires.

D

IL§

p.40

1

IL§

Corollaire de la propriété 38.

CO!ll1exitépararcs

Soit A une partie de E connexe par arcs, alors A est connexe.

Supposons qu'il existef : A -+ P = {O, 1} continue et non constante, c'est-à-dire qu'il

existe deux points x et y de A tels que f(x) = 0 etf(y) = 1.

Par hypothèse, il existe une application 'l': [0,1] -+ A continue telle que '1' (0) = x et

'1' (1) = y.

Alors l'applicationfo 'l': [0,1] -+ {O, 1} est continue et non constante par construction.

Or, le segment [0,1] est une partie connexe de IR, ce qui est contradictoire avec la

propriété caractéristique des connexes.

1 )

2)

IL§

p.41

1

Remarques

Une courbe paramétrée, image d'une application continue d'un intervalle de IRdans E,

est connexe par arcs donc connexe de E.

La réciproque de la propriété précédente est fausse.

Cependant, elle a lieu dans le cadre de la propriété suivante.

Soit A une partie ouverte et connexe d'un espace vectoriel normé E.

Alors A est connexe par arcs.

L'idée de la démonstration consiste à construire une ligne polygonale joignant deux points

quelconques de A.

Supposons A non vide, notons 'i6s1([0, 1], A) l'ensemble des fonctions continues sur

[0,1] à valeurs dans A et affines par morceaux. Fixons une origine a dans A et consi

dérons la partie:

D = {x E AI 3f E 'i6s1([0, 1],A),f(O) = a,f(l) = x}

Montrons, successivement, que D n'est pas vide, que D est une partie ouverte, puis

fermée de A, que D = A est connexe par arcs.

• D est non vide car il existe une boule ouverte B(a, r) incluse dans A (ouvert). Cette bouleest convexe donc incluse dans D.

• D est un ouvert de A.

Soit b un point de D, il existe donc f E 'i6s1([0, 1], A) : f(O) = a,f(l) = b ainsi qu'une

boule B(b, r) incluse dans A (ouvert).

Pour tout x de cette boule on «raccorde )) l'arc @)précédent au segment [b, x] c B(a, r)

(convexe) de la façon suivante:


1si ° ~ t ~ "2

1"2~t~l{ g(t) = j(2t)

g:[O,l]-+A, t>--'>

g(t) = 2(1 - t)b + (2t - l)x si

9 E 46.s:'1([0, l],A). Ainsi B(b, r) est incluse dans D, D est ouvert.

D est un fermé de A.

Soit (Xn)1\I une suite de D qui converge vers un point y de A, il existe donc une boule

B(y, r) incluse dans A (ouvert) et un entier n tel que Xn E B(y, r).

On raccorde de la même façon l'arc âXn de A au segment [Xn, y].

Donc y E D, D est fermé (caractérisation par les suites).

D est une partie ouverte et fermée non vide de A. Comme A est connexe, D = A.

D est connexe par arcs.

Par définition, pour tout couple (x, y) de rr, les arcs âX et Qi) sont tracés dans A.

On a vu en cours de route comment les raccorder, c'est-à-dire construire une application

continue h : [0,1] -+ A telle que h(O) = x, h ( à) = a, h(l) = y. D

••

•


exemple 1.8

est ()()nne'Xepar arcs, donc connexe.ne sont pas homéomorphes.

et U ne sont pas homéomorphes.

Prenons deux points de 1[:* sous la forme A = aé'- et B = beii3 où a et b E IR~, et et [3E IR.

Contournons l'origine par le chemin suivant:

j : [0,1] -+iC*, t >--'> j(t) = [(1 - t)a + tb]e(1-t)ia+tii3

application continue vérifiantj(O) = A,f(l) = B et lf(t)1 E [a, b] clR~,1[:* n'est cependant pas étoilé.

2) Imaginons une bijectionj de 1[: sur IR.

L'image de la partie connexe e est IR\ {j(O)}, partie non connexe de IR, doncj n'est pascontinue.

3) L'application <p: [0,1] -+ U, t >--'><p(t) = e2hrt est continue, surjective, donc U est une

partie connexe de iC.

L'image de l'intervalle ]0, 1[ par <pest U \ {1}, également partie connexe de iC.

Raisonnons par l'absurde en supposant qu'il existe un homéomorphisme 9 de U sur [0, 1].Notons:

a = g-l (à) et h: U -+ [0,1], Z>--'> h(z) = g(az)z >--'> az induit un homéomorphisme de U sur U, donc h est un homéomorphisme (par

composition).

1Or, h(l) = g(a) ="2 donc j'image par h de la partie connexe U \ {1} est

partie non connexe de IR, c'est une contradiction.

38

Exercices-types


Soit A et B deux parties non vides fermées et

disjointes de E.

1) Trouver une fonction continue f :E ->IR

telle que JjA = O,Jj B = 1.

2) En déduire l'existence de deux ouverts

disjoints U et V de E tels que

AcU,BcV

Ex. 1. 2

Soit A et B deux parties non vides fermées et

disjointes de E.

1) Montrer que, si A est compact, alors

d(A,B) > O.

2) Donner un exemple dans IR, puis dans1R2 où d(A, B) = O.

Ex. 1.3

Montrer que

N :1R2---.1R, (x, y) ~ N(x, y) = sup lx + tyltE[ü,ll

est une norme sur 1R2.

Dessiner la sphère unité.

Ex. 1. 4

Soit A une partie convexe de E.

Montrer que la fonction E ---.IR, x ~ d(x, A) estconvexe.

EX.1.5

x1) Montrer quef : E ---.E,x ~ 1+ Il xii

induit un homéomorphisme de E sur laboule unité.

2) Montrer que f est lipschitzienne et trou

ver le meilleur rapport.

EX.1.6

1) Pour quelles valeurs du réel À définit-on

une norme sur 1R2 par

Nf.. (x, y) = vix2 + 2 À xy + y2 ?

2) Comparer les deux normes Nf.. et NiL'

Ex. 1.7

Soit A une partie de IRP ayant un unique point

d'accumulation a ; montrer que A est dénombrable.

EX.1.8

Soit A un compact de E, (Xn)N une suite de A etL l'ensemble des valeurs d'adhérence de cette

suite. Calculer lim d(xn, L).n-+oo

EX.1.9

Soit A une partie non vide et bornée de E.

1) Montrer que toute demi-droite d'originea dans A rencontre la frontière de A,

2) Montrer que A et Fr(A) ont le même diamètre.

Ex. 1. 10

Soit A une partie non vide de E et f :A ---.IR

k-lipschitzienne.

1) Justifier la définition de 9 : E ---.IR,

x ~ g(x) = sup {J(t) - kll x - t Il}tEA

2) Vérifier que 9 prolonge f et que 9 est

aussi k-lipschitzienne.

Ex. 1. 11

Soit F un sous-espace de dimension finie de E,Fi=E.

1) Montrer que, pour tout x E E, il existe

Xl E F tel que Il x - Xl Il = d(x, F).

2) Montrer qu'il existe x E E \ F tel que

Il x Il = d(x, F).

Ex. 1. 12

Soit K une partie compacte de E.

1) Montrer qu'il existe deux points a et b de

K tels que Il b - a Il =8 (K), diamètre deK.

2) Comment ces deux points se situent-ils

par rapport à la frontière de K ?

Chapitre l Espaces vectoriels normés

Indications

39

Ex. 1.1

1) Utiliser les fonctions

x >--+ d(x, A), x >--+ d(x, B).

2) Utiliser des images réciproquesd'ouverts de iR;.

EX.1.2

1) Par l'absurde.

2) Vérifier que Z est un fermé de iR;.

Penser à une courbe plane ayant une

asymptote.

Ex. 1.3

Expliciter N(x, y) et reconnaître une norme

classique de iR;2.

Ex. 1. 4

Faire un croquis; utiliser la norme de E avant

de passer aux bornes inférieures.

Ex. 1. 5

1) Résoudre l'équation y = J(x) en calcu

lant Il y Il au préalable.

2) Former J(y) - J(x) à l'aide de (y - x) ou

de Ilyll-Ilxll·Pour le meilleur rapport, commencer par

choisir y = O.

Ex. 1. 6

1) Reconnaître une norme euclidienne pourÀ convenable.

2) Chercher les bornes de la fonction

N2~(x, y) sur les droites x = yetNf..

x + y = O.

Présenter A comme réunion dénombrable d'en

sembles finis formés de " couronnes" centrées

en a.

Raisonner par l'absurde en supposant que

( d(xn), L) 1'\1 ne converge pas vers O.

1) Sur une demi-droite d'origine a E A,

considérer le point de A le plus éloigné

de a.

2) A partir de deux points a et b de A définir

deux demi-droites dont l'intersection est

[a, b], puis utiliser 1).

Ex. 1. 10

Savoir qu'une partie non vide majorée de iR; ad

met une borne supérieure, que cette borne est

le plus petit des majorants.

Ex. 1. 11

1) Introduire une suite convenable de F.

2) Considérer x = y - yi.

Ex. 1. 12

1) Introduire une application continue défi

nie sur un compact.

2) Vérifier que a, par exemple, n'est pas

intérieur à K.

40

.------ •••• "-- .,""'~ ••••• • ~ __ u


Solutions des exercices-types

x

1) Notons Ci et [) les fonctions de E dans IRdéfinies par Ci (x) = d(x, A) et [) (x) = d(x, B).

Rappelons que d(x, A) = 0 ~ X E A (car A est fermé)

et que Id(x,A) - d(y,A)1 ~ Il x - y II·

Ainsi, les fonctions Ci et [) sont continues sur E et la fonction Ci + [) ne s'annule pas sur E (car

A et B sont fermés disjoints).

Ceci justifie l'existence et la continuité de la fonction:

d(x, A) ". Ci

f : E -+R x f--é> d(x, A) + d(x, B) c est-a-dlre f = Ci + [)

Il est facile de vérifier que f est à valeurs dans [0,1] et que JjA = 0 , JjB = 1.

2) Notons U=f-1(]-oo,à[) et v=r1(]à,+oo[).Ce sont des ouverts disjoints de E (image réciproque d'ouverts disjoints de IRpar une fonction

continue) et AeU, BeV car A=f-1(0) et B=f-1(1).

1) Si d(A, B) = 0, il existe une suite (an, bn)f\j de A x B telle que lim Il an - bn II = O.n~+co

A étant compact, il existe une suite (~(n»f\j extraite de (an)f\j qui converge, notons c sa limite.

Par inégalité triangulaire:

II c - b<p(n) Il ~ Il c - a<p(n) Il + Il ~(n) - b<p(n) Il d'où n~~CXl Il c - b<p(n) Il = 0

A et B étant fermés, c limite commune des suites (~(n» et (b<p(n» appartient à A Il B, ce quiest contradictoire car A Il B est vide.

2)

• Choississons les deux parties suivantes de IR: A =7L , B = { n - 21nln E N* }

Elles sont fermées et disjointes (IR\ A et IR\ B sont réunions d'ouverts)

et d(A, B) ~ ln - ( n - 21n)1 = 2~ pour tout nE N*, donc d(A, B) = O.

1 IY• Soitf : IR-+R x f--é> f(x) = ~x + 1f est continue. Les deux parties de 1R2 définies B

par:

A = {(x, O)/x EIR} =IR x{O} et A 10

B = { (x,f(x» lx E IR}, graphe de f

sont fermées. En effet, A est produit de fermés de IR,et B est l'image réciproque de {O} par la

fonction continue 1R2-+R (x, y) f--é> f(x) - y)

A Il B =0 (f ne s'annule pas) et 'if x E IR,d(A, B) ~ f(x) donc d(A, B) = o.


Ex. 1. 3

Pour (x, y) E u;g2 donné, la fonction t;-;. x + ty est affine donc monotone, ses extremums sont

atteints aux bornes. Ainsi N(x, y) = sup{[x!, lx + yi}.

{X=x ALe changement de variable IY

Y=x+ycorrespond au changement de base sur u;g2 :

{--+ ~ ---+

I=i-jJ=)L'expression de N dans cette nouvelle base est

N(XI + Y j) = sup(IXI ,IYi);

il s'agit de la norme Nx, de u;g2. '.. ni'.. xLa sphère unité est le parallélogramme

de sommets ± l ± J c'est-à-dire

[, [-2j, -[, -T+2)

EX.1.4

Notations

Soit (x, y) E E2 , (u, v) E A2,

r E ]0,1], {z = (1 - t)x + tyw = (1 - t)u + tu

410rs z - w = (1 - t)(x - u) + t(y - v)

et Il z - w Il "" (1- t)1Ix - u Il + tll y - v Il

d(z, A) "" (1 - t)11x - u Il + tll y - v Il

d(z, A) "" (1 - t)d(x, A) + t dey, A)

1.5

y

~\ Z, ,; 1 X, ,, ' ', ' ', ' '

~

' '

A v~u

(une borne inférieure est un minorant)

(c'est le plus grand des minorants)

1) Pour y = j(x),

B(O, 1).

Il y Il = 1 1,1~ ILIl appartient à [0, 1[, doncj est à valeurs dans la boule unité

xPour y E B(O, 1), résolvons l'équation y = -. -" ".

On obtient Il x Il = 1 ~ ~II~ /1 (défini car Il y Il < 1), puisunique.

x= ~ comme solution

Ainsi j induit un homéomorphisme de E sur B(O, 1) dont l'application réciproque est

B(O, 1)-+ E, y;-;. 1- ~Iy Il (les continuités dej etj-1 découlent des opérations surles fonctions continues, (propriété 19))

y - x + Ilx Ily - Il y Ilx2) Calculons j(y) - j(x) = (1 + Il x Il)(1 + Il y Il)

En écrivant û= Il x Ily - Il y Ilx = Il x lI(y - x) + (II x Il - Il y Il)x

on obtient Il û Il "" Il x II· Il y - x Il + IIIx Il -II y III· Il x Il "" 211x II· Il y - x Il

42

'----.--~~-- •••.••~="".,'-=-".., == IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII!!!!IIIII!!!!I!II.----4I!__ •


, , "" (1 + 211 x Il)[[ y - x Il

AinSI IIJ(Y) - J(x) Il ~ (1 + [[x Il)(1 + [[ y Il)

En permutant x et y ((x, y) ~ IIJ(Y) - f(x) Il est symétrique) puis en faisant la moyenne

arithmétique, il vient:

(1+ [[x Il + Il y 11)11 y - x [[IIJ(y) - J(x) Il "" (1 + Ilx Il)(1 + Il y Il) "" Il y - x Il

J est lipschtzienne de rapport 1.

IIJ(x) Il 1 ,Comme lTXlI = 1 , Il "II -+ 0 (x -+ 0), k = 1 est le rapport optimum,

1.6

{ " --.+ -+

T = t + jv2

J=~j

1) Qx.cx---r + x)) = x2 + 2 À xy + ~ est une forme quadratique sur ~2, il s'agit qu'elle soit

définie positive, Pour des raisons de symétrie, faisons le changement de coordonnées

{ x+y

X = v2 correspondant au changement de base orthonormalex-y

y= v2

(vecteurs propres de la matrice symétrique ( ~ ~ ) )

QA (XI + Y J) = (1+ À)X2 + (1- À)y2

QA est définie positive si et seulement si (1+ À> 0, 1- À> 0) Ç=? ÀE] -1, l[ et dans ce

cas NA = VQ;: est une norme euclidienne sur ~2. (Voir Algèbre 2)

2) Plaçons nous dans le cas -1 <À<f1< 1 et calculons:

2 2 ( )2NA NIL f1 - À)(x - y,. _ .1+ À - 1+ f1 = (1+ À)(l+ f1) ~ 0 avec egallte sur la drOite x - y = O.

. N~ N~ (À - f1)(x + y)2 "" _. _ ,pUIS 1- À - 1- f1 = (1 \ \(1 ,,\ ~ 0 avec egallte sur la drOitex + y = O.

Ainsi pour -1 <À<f1< 1, NA et NIL sont des normes sur ~2, elles sont équivalentes (~2 est

de dimension finie) et:

~ ~NILV I+;J: ""NA "" NILV ~ (coefficients optimum)

Ex. 1.7

Notons, pour tout entier n E l'J,

A ayant un point d'accumulation, ce n'est pas une partie finie de ~p

Bn = { X E ~p / ~ "" Il x - a Il "" n} etB= U Bn.

nEN*

••

Bn est bornée et fermée dans ~P, c'est donc une partie compacte de ~p. AnBn est finie sinon A

aurait un point d'accumulation autre que a.

Ainsi A' = A n B = U (A n Bn) est dénombrable et A = {a} u A' l'est aussi.nEN*

~:I~'t~III~,~IIIIII.lllrn••••••••••••••••••••••••••••••• 1I!!,~itf:i·


Ex. 1.8

A étant compact, la suite (xnh, admet une suite extraite convergente. donc L est non vide.

Supposons que la suite n f-7 d(xn, L) ne converge pas vers 0 :

3s> 0, V N E'\, 3 P ~ N, d(xp.LJ ~s

Ce qui signifie qu'il existe une suite (x~h, extraite de (xnh vérifiant d(x~, L) ~s pour tout n E "c;.

Cette suite de A admet elle-même une suite extraite C,(~) convergente, dont la limite a est valeur

d'adhérence de (x~)"J et aussi de (xnh,. donc a E L, et on obtient la situation:

o <s~ d(x~,L) ~ il x~ - a avec hm Ii x~ - a = 0n---'-+::.>:

C'est contradictoire. Ainsi lim d(xn, L) = O.n-+x

Ex. 1. 9

Rappelons que Fr(A) = ilIÎ E \ A, A et ilont la même frontière et le même diamètre.

1) Tout couple (a, u) formé d'un point a de A et d'un vecteur unitaire u de E définit une

demi-droite a+ IR+ u.La partie l = {t E IR+ / a + tUE A} de lM.est non vide (0 E I) et bornée (8 CI) ~8 (A»,

elle admet donc une borne supérieure T = sup lEI et X = a + Tu E il(I --;-A, t f-7 a + tu est continue).

""X (1) _ 1Pour tout nE,,,, Xn = a + T + Tl U E E \ A car T + Tl 11' l

donc X = lim Xn E E \,A. Ainsi X E ilIÎ E \,A = Fr(A),n---'-+·-:x:;.

toute demi-droite d'origine dans A rencontre la frontière de A.

2) Le 1) prouve que Fr(A) n'est pas vide, et comme Fr(A) c A, on a déjà 8 (Fr(A» ~8 (A).

Supposons que A ait deux points distincts a et b (sinon A = Fr(A».

Sur la droite (ab) il existe deux points c et d de la frontière de A tels que [a, b] c [c, d].

(pour définir le point c utiliser 1) en considérant la demi-droite d'origine a ne contenant pas b)

Alors Il b - a Il ~ Il d - c Il ~8 (Fr(A» et 8 (A) ~8 (Fr(A».

Conclusion: A et Fr(A) ont le même diamètre.

Ex. 1. 10

Pour tE A, XE E, notons h(t, x) = f(t) - kll x - t Il.

Utilisons quef est k-lipschitzienne et l'inégalité triangulaire, pour a dans A, il vient:

fet) - f(a) ~ kll t - a Il ~ kll t - x Il + kll x - a Il

h(t, x) =f(t) - kll x - t Il ~f(a)+ kll x - a Il (1)

Ainsi t f-7 h(t, x) est majorée sur A d'où l'existence de g(x) = sup h(t, x)tEA

Si x E A, on a h(x, x) = f(x) ~ g(x) et h(t, x) ~ f(x) (choisir a = x dans (1)

j'où g(x) =f(x). Ainsi 9 prolongef.

Formons h(t, x) - h(t, y) = k (II t - Y Il - Il t - x Il) ~ kll x - y Il

j'où h(t, x) - g(y) ~ kll x - y Il puis g(x) - g(y) ~ kll x - y Il

SI, par symétrie, Ig(x) - g(y) 1 ~ kll x - y Il.

Ainsi 9 est aussi lipschitzienne de rapport k.

l'

44

or; ••••• ~ •• _~-, ,' ••.•• ~"'''''''''",H


d : E2 -+IR, (x, y) f-'3> d(x, y) = II y - x Il

N(x, y) = II x II + Il y Il, l'application d est lipschitzienne de

1) F étant de dimension finie, toute suite bornée de F admet une suite extraite convergente.

Soit x E E et (Xn)N une suite de F telle que:

hm Il x - Xn Il = d(x, F)n-++oo

La suite réelle (II x - Xn II) N est convergente donc bornée, ce qui entraîne que la suite(Xn)N est elle-même bornée.

Elle admet donc une suite extraite (X~)N convergente de limite x! dans F, car F est fermé.

Alors hm Il x - x~ II = Il x - x' Il = d(x, F).n-++oo

2) SoitYEE\FetylEFtelsque Ily-y/ll=d(y,F).

Posons x = y - y. Comme d(x, F) = dey, F), x vérifie Il x Il = d(x, F).

1) Introduisons l'application distance

La norme choisie sur E2 étant

rapport 1, donc continue:

Id(X, y) - d(x, y)1 ~ Il (Y -y) - (X-x) Il ~ Il Y -yll + II X-x Il = N(X-x, Y -y)

La restriction de d au compact K2 (produit de compacts) est bornée et atteint sa borne (le

diamètre de K par définition) ; il existe deux points a et b de K réalisant:

sup d(x, y) = Il b - a Il =0 (K)(X.Y)EK'2

2) Montrons que a et b sont des points de la frontière de K.o

Fort de l'identité K = K \ Fr(K), un raisonnement par l'absurde consiste à supposer que le

point a, par exemple, est intérieur à K.

\1 existe donc une boule B(a, r) incluse dans K.

~

En supposant a et b distincts (sinon K est un singleton), le point

dans B(a, r) donc dans K et "augmente le diamètre de K" car

rII b - cil = II b - a II + 2 : c'est bien sûr une contradiction.

r b- ac = a - 211 b _ a Il est

r b- ab-c=b-a+-2----

Chapitre l Espaces vectoriels normés

Exercices proposésE désigne un espace vectoriel normé sur K

45

Ex. 1. 1

Montrer que l'on définit une norme sur ~2 par:

IIx+ tyll:V(x, y) = sup ---

tE [ii 1+ tDéterminer et dessiner la sphère unité.

Ex. 1.2

Dans l'espace vectoriel E = dIO, 1], R) normé

par Il.1100' on considère une famille

'f1, ... ,fp) E EP et on définit l'application

eV :~P-+~ par

:V(X1,'" ,xp) = IIZf=l xJi11 x'Donner une condition nécessaire et suffisante

pour que N soit une norme sur ~p

Ex. 1.3

Soit E = C([O, 1], m ; montrer que l'on définit

des normes N1, N2, ... par:

·'h(f) = lf(O)1 + IIf' Ilco,

N2(f) = lf(O)1 + lt(O)1 + 1I1"llx,'"

Comparer ces normes deux à deux.

Ex. 1. 4

Soit E = C1([0, 1], ~) ; montrer que l'on définit

une norme euclidienne sur Epar:

X: E-+~,

EX.1.6

Soit A une partie compacte de E, montrer que

B =u!x.Y)EA2 [x, y] est une partie compactedeE.

Ex. 1.7

Soit A une partie non vide de E; pour tout r> 0,

on pose:

B(A. r) = {x E E/d(x,A) < r}

Montrer que

B(A, r) = U B(x, r), A = nB(A. r).XEA DO

Si A est bornée, calculer le diamètre de B(A, r)en fonction de celui de A.

Ex. 1.8

Soit A une partie compacte de E etf : E -+ E

telle que f(A) c A.

On suppose qu'il existe un point a de A tel que,

pour tout x E A:

x;te a =? Ilf(x) - a Il < Il x - a II·

On définit la suite (Xn)r\, de A par:

XO E A, xn+1 = f(xn).

Montrer que (Xn)i\i converge vers a.

et N : F -+Rf f--'> lf(O)1 + K(f).

Montrer que N est une norme sur F,

Comparer N et Il ·1100'

Ex. 1.10

Soit F l'ensemble des fonctions lipschitziennes

de [0, 1] dans E. On définit l'application:

K:F~~,

EX.1.9

Soit A une partie compacte de E etf : A -+ A

telle que:

'i (x, y) E A2, IIf(y) - f(x) Il = Il y - x Il

Montrer que f est surjective.

1

f f--'> N(f) = k2(Oh,,f 1'2(t) dtrComparer les normes N et Il.llx.

Ex. 1.5

Soit K une partie convexe d'un ~-espace vectoriel E admettant GE comme centre de symé

trie, ne contenant aucune droite, telle que toute

droite passant par GE rencontre K en dehors:Je GE.

Montrer que N : E -+~,

xf--'>N(x)=inf{ÀE~: /~ E K}est une norme sur E.

Montrer que pour cette normeo _

B(OE, 1) = K et Bj(OE' 1) = K.

f f--'> K(f) = supO~x~y~l

lf(y) - f(x)1

y-x

'o· •••• ~ -", ••••••••••••••_~ ~~i~~ __ ~ . ------------- _


lM] Ex. lM]

Soit E un espace vectoriel normé ayant unebase dénombrable.

Montrer que E est complet.

Soit A une partie compacte de E et (Xn)1\I une

suite de A telle que

lim Xn+l - Xn = O.n--++oo

dans E.

14

Soit E un espace vectoriel normé où toute boule

fermée est compacte.

Montrer que E est complet.

EX.1.17 lM]Soit E un IR-espacevectoriel de dimension finie

n ~ 1 et F un sous-espace de E.

Montrer que F est un hyperplan si et seulementsi E \ F est non connexe.

Ex. 1. 16 lM]Soit A une partie compacte de E et (Cn)1\I une

suite décroissante de parties non vides connexes et fermées.

Montrer que l'intersection n Cn est connexe.ncol\l

Montrer que l'ensemble des valeurs

d'adhérence de la suite (Xn)1\I est connexe.

lM]

Soit E un espace vectoriel complet ; on con

sidère une suite (Vn)1\I décroissante d'ouvertsdenses dans E.

Montrer que l'intersection n Vn est densencol\l

Soit E un espace vectoriel complet, j :E --+ E

une application telle que l'une de ses itéréesjP

(p E N*) soit contractante.

Montrer que j admet un point fixe unique.

EX.1.18 lM]Soit E un IR-espacevectoriel de dimension finien~2.

Montrer que toute sphère est connexe .

•...

D

Chapitre Il

Applications linéaires

sur les espaces vectoriels/normes

1- Continuité des applications linéairesE, F, G désignent des espaces vectoriels normés.

Théorèmes:

t.1 Caractérisation des applications linéaires continues

Pour une application linéaire f de E dans F les propriétés suivantes sont

équivalentes:

il f est continue sur E

iil f est continue au point OE

iii 1f est bornée sur la boule unité fermée BJ(OE' 1) _

iv 1 il existe k ? 0 tel que pour tout x de E : Ilf(x) Il ~ kll x Il

vif est lipschitzienne

10? Ilest facile de faire une démonstration circulaire.

il =? iil =? iiii =? ivl =? vi =? il

• Détaillons 'iil =? iiii

En utilisant la continuité en 0E, il existe a> 0, tel que Ilx Il ~a =? Ilf(x) II ~ 1.

Tout vecteur y de la boule unité fermée vérifie Il a y Il = a Ily Il ~ a

1 1 1donc f(y) = -f(a y) donne Ilf(y) Il = -llf(a y) Il ~ -.a a a

Ainsif est bornée sur là boule unité fermée.

• Voyons aussi iiii =? ivl

Exprimons que f est bornée sur la boule unité fermée:

::3 k? 0, 'if x E E, Ilx Il ~ 1 =? Ilf(x) Il ~ ky

Pour tout vecteur non nul y, on a m E BJ(OE,l)

donc 1~(lI~II)II~k et Ilf(y)ll~kllyll·

Sachant que f(O) = 0, l'inégalité Ilf(y) Il ~ kll y II est valable pour tout y de E.

• Les autres implications sont évidentes.

48

t.2

1


Remarques

1) La continuité def E ~ CE, F) reste acquise par le changement d'une norme en une norme

équivalente, dans E comme dans F. Par contre, f peut être continue sur CE, Il .111) et

non continue sur (E, Il.112) quand Il .111 et Il.112 ne sont pas équivalentes.

2) Dans les propriétés du théorème 1, on peut remplacer:

en ii/ le point OE par un autre point de E,

en iii/ la boule unité fermée par toute autre boule de rayon non nul, même ouverte, ou

par une sphère de rayon non nul.

3) Souvent la mise en défaut de la continuité d'une application linéaire f E ~ (E, F) se fait

en exhibant une suite (Xn)N de la boule unité de E telle que la suite (i(xn») N soit nonbornée, ( lim IIf(xn) Il = +00 par exemple).n-++oo

L'ensemble des applications linéaires continues de E dans F est un sous

espace de ~ (E, F) noté

o

Ir%' ~c CE, F) est non vide et stable par l'addition des fonctions et la multiplication d'une

fonction par un scalaire.

• "s'agit bien d'une application linéaire définie sur des espaces vectoriels normés :

'Il: E -+IR, P f-7 pel)

E normé par Il.1100 et IRpar la valeur absolue.

Essayons d'appliquer la remarque 3) précédente.

Notons Pn(X) = l +X + ... +Xn,

on a alors Il Pn 1100 = l et 'Il (Pn) = Pn(l) = n + l

Voilà un exemple d'une suite (Pn)N de la sphère unité dont la suite des images ('Il (Pn») N n'estpas bornée.

L'application linéaire 'Il n'est pas continue sur CE, Il.11(0)'

.••... -",..,..,,,,,,,,,,,,~,,,, ---....------------------------------

Chapitre 2 : Applications linéaires sur les espaces vectoriels normés 49

2

ment de norme

les notations de l'exemple 1 et

q

11 PlI1 == Llad eti=O

\Il: E -fIFt P f-3> P(l)

sur E =~ [X] deux autres

sur (E,II.I12)1

• Ces questions se justifient car les normes Il . 111, Il . 112et Il . 1100 ne sont pas équivalentes.

• L'analogie entre Il P 111et ep (P) se concrétise par:

lep (P)I = IP(l)1 = I~ail ~ ~ lad = Il P 111

ep est bornée sur la boule unité de (E, Il.111) (lep (P)I ~ 1 si Il Pl11 ~ 1)

L'application linéaire ep est continue sur (E, Il .111)

• Reprenons la suite n f-3> Pn(X) = 1 + X + ... + Xn de l'exemple 1 et calculons:

Il Pn 112= vn+l et Pn(1) = n + 1P

Alors Qn = ~ appartient à la boule unité fermée de (E, Il.112)vn+1

tandis que ( ep (Qn») N = ( vn+l) N est une suite réelle non bornée.

Ainsi, l'application linéaire ep est non continue sur (E, Il . 112).

t.3 Norm.ed'un~applicatiol'lliliêaire cOntinue

E et F désignant des espaces vectoriels normés, l'application:

5Ec (E, F) -fR f f-3> Iif Il = sup Ilf(x) Il est une norme sur 5Ec (E, F)Ilxll~l

Remarque

L'existence du réeliif II pourf E 5Ec (E, F) est justifiée par la propriété iii/ du théorème 1.

Notons B la boule unité fermée de E: BJ(OE' 1).

Vérifions les trois critères de définition d'une norme.

•

•

•

Si Iif Il = 0, alors pour tout x E B, Ilf(x) Il = 0 etf(x) = O.

Or, quel que soit y E E, x = 1 +t y Il E B donc f(y) = (1 + Il y Il)f(x) = O..

Conclusion: f = 0 ~ Iif Il = O.

Notons I(j) = {llf(x) Illx E B} c~+ pour f E5Ec (E, F)

Comme I(À f) = IÀI I(j) pour ÀE II<:, on a :

supI(Àf) = IÀI supI(j) c'est-à-dire Il Àfll = IÀlllfl1

Soitf et 9 dans 5Ec (E, F).

Pour tout x de B, on a Ilf(x) + g(x) Il ~ Ilf(x) Il + Il g(x) Il ~ Iif Il + Il 9 IL

donc sup Ilf(x) + g(x) Il ~ Iif Il + Il 9 Il c'est-à-dire IIf + 9 Il ~ Iif Il + Il 9 II·XEB D


Convention

Dès que E et F sont des espaces vectoriels sur lesquels des normes sur E et F ont été

fixées, l'espace vectoriel ::Ec (E, F) est muni de la norme Il .11 précédente.

Cette norme sur ::Ec (E, F) est dépendante des normes choisies sur E et F.t.4

Pour toutf E::Ec (E, F), on a :

. Ilf(x) Il

II Iif Il = sup Ilf(x) Il = sup Ilf(x) II = sup -II-IIIlX Il,,;;1 Ilxll~l XEE\{OE} x

iil Iif Il = min{k E ~+ l'if XE E, Ilf(x) Il ~ kll x Il}

Il'W i / Si f E ::EcCE, F), l'existence de a = sup Ilf(x) IL de b = sup Ilj(x) Il et deIlX Il,,;;1 Ilxll~1

Ilf(x) Il , 1 d th" 1 "t' "') ')c = sup -1-1-1-1 resu te u eoreme , propne es III et IV ,XEE\{Oe} xB désigne toujours la boule unité fermée de E et soit 5 la sphère unité.

Ilf(x) II Il ( x ) Il {x }Ona lfXlr= f W et W/XEE\{OE} =5 donc b=c

5 c B donne b ~ a

Pour tout x de B \ {OE}, on a

encore vérifiée pour x = OE d'oùFinalement a = b = c,

Ilf(x) Il ~ II~~~ Il d'où Ilf(x) Il ~ c, inégalitéa ~ c soit aussi a ~ b.

o

c.2

1

ii / sup Ilfll(XI)III est le plus petit majorant de l'ensemble {llfll (XI)IIIlx E E \ {OE}}xEE\{Oe} x x

donc c'est le plus petit des réels positifs k tels que 'if x E E \ {OE}, "~~~ Il ~'k,

Ainsi on obtient c = min{k E ~+ l'if XE E \ {OE}, Ilf(x) Il ~ kll x Il}

donc aussi, puisque f(OE) = OF, c = min {k E ~+ l'if x E E, Ilf(x) II ~ kll x Il}

Corollaires:

c.1 Pour f E::Ec (E, F), on a 'if XE E, Ilf(x) Il ~ Iif 1111x Il1

Soit f E::ECE, F).

S'il existe un réel k tel que, pour tout x de E, Ilf(x) Il ~ kll x Il,

alorsf est continue et Iif II ~ k.Ceci fournit une méthode pratique pour étudier la continuité d'une application linéaire,

Théorème:

l

1.5

1

Il'W

Compositiond'applipa.tions linéaires continues

Soit E, F, G trois espaces vectoriels normés,j E::EcCE,F) et 9 E::Ec(F, G).

Alors gofE::Ec(E,G) et Ilgofll~llgllllfll.

D'après le corollaire 1 précédent:

Il g(y) Il ~ Il 9 1111y Il et Ilf(x) Il ~ Iif 1111x Il

d'où avec y = f(x), on obtient, pour tout x de E 11 9 0 f(x) Il ~ Il 9 1IIIf 1111x Il

Le corollaire 2 donne alors la continuité de 9 0 f avec Il 9 0 f Il ~ Il 9 1IIIf Il o


Méthode

Donnons un plan d'étude de la continuité d'une application linéaire et de la recherche desa norme éventuelle.

On suppose que f est une application linéaire de E dans F où E et F sont des espacesvectoriels normés.

1) Chercher une majoration de Ilf(x) Il par kll x Il pour tout x de E, majoration la plus fine possible,

2) En cas d'échec:

• exhiber une suite (Xn)~; de E\ {OE} qui vérifie. Ilf(xn)Ilhm --- =+=

n--++co Il Xn Il

• et conclure: «<p n'est pas continue )}

3) En cas de succès: Ilf(x) Il "'" kll x Il pour tout XE E,

• on conclut « f est continue et Il fil"'" k »

• pour trouver le réel Il f Il (souvent égal à k lui-même) :

• expliciter un élément x non nul de E réalisant l'égalité Il 'P (x) Il = kll x Il

, d'f h'b . ( ) d E \ {O} .. 'f' l' Ilf(xn) Il• ou a e aut, ex 1 er une sUite Xn NeE qUi ven le lm Il Iln--++oo xn

Ex$tnples - Travaux pratiques

3

1],!R;) l'espace vectoriel réel des fonctions continues de [0,1] dans !R:.

dans E les deux normes classiques :1

111Il,,,, = sup Lf(x) 1 et IIf III = [ lf(t)1 dtxE[O,lJ Jo

et n~~()ns,pour simplifier, E",,::: (E, Il.1100) et El = (E,II.liI).

Considérons ensuite l'endomorphisme 'PE::E(E) défini par'

'P(f)(x) = LX tf(t) dt pour toutjdeE etXE [0,1]et calculer la norme desapplica.tions linéaires:

ça: f f-,>'Pif) , 'Pb: Eco 1 b<p(j) ,'Pc: El --+ Eco, f f-,><p(j)

• La linéarité de l'intégrale fait de 'Pun endomorphisme de E.

• Etude de 'PaE::E (Eco). Objectif: majoration de Ii 'Pa (j) 1100par kliif lico.

r [1 rI 1VfEE,\;jXE[O,1], l'Pa(j)(x)I""'}o tlf(t)ldt""'Jo tlf(t)ldt""'llfllooJo tdt="2llflloo

1 1:)'où Il 'Pa (j) 1100"'" 211f lico. Donc 'Pa est continue et Il 'Pa Il "'" 2'

~ 2 1=our f = 1, 'Pa (j)(x) = !o tdt = 2 ' Iif 1100= 1 , Il 'Pa Cf) 1100= 2

::':onclusion:

_______ • .-_- ~ ••. :...'_c._" ,~~.<.;..~_


• Etude de 'PbE::E (Eco ,El). Majoration de Il 'Pb (f) 111par k211f llco:

r r x2'if f E E, 'if x E [0,1], l'Pb (f)(x) 1~ Jo t lf(t)1 dt ~ IIf lico Jo tdt = Iif lico21 1" x2 1 .

d'où 10 l'Pb (f)(x) 1dx ~ 10 Iif lico 2:' dx= (3llf lico

1Donc 'Pb est continue et Il 'Pb Il ~ 6'

1 1Commef = 1 donne l'égalité Il 'Pb (f) 111= 6' on en déduit Il 'Pb Il = 6'

• Etude de 'PcE::E (El, Eco). Majoration de Il 'Pc (f) Ilco par k311f 111·

1 1

'if f E E, 'if x E [0,1], l'Pc (f)(x) 1 ~ r t lf(t)1 dt ~ r lf(t)1 dt = Iif 111Jo 1 Jo

D'où Il 'Pc (f) lico ~ IIf 111. Donc 'Pcest continue et Il 'Pc Il ~ 1.

L'égalité n'aura pas lieu à cause de la majoration ~, car la différence r1 (1 - t) lf(t)1 dt1 Jo

n'est nulle que sif est nulle.

Il convient de choisir une suite de fonctions adéquate, par exemple,fn(t) = n tn-1,

lx nxn+1

n nAlors 'Pc (fn)(X) = nt dt = --1 ' Ilfn 111= 1 et Il 'Pc (fn) Ilco = ~a n+ n+l.

Comme Ilfn 111 = 1 et lim Il 'Pc (fn) lico = l,n-++oo

on a sup Il 'Pc (f) lico ~ 1 et on peut conclure que Il 'Pc Il = l,111111<;;1

exemple 4

C [X] muni de la norme Il.llco (voir exemple

'1>:E "","p(zo) est uné forme lîri~fl.iré;

la Gontinuité et ca.lculer la llorme eventuelledèlp.

n 1 n 1 n• Pour P = E akXk, on a l'P (p)1 = E akzlf ~ E lzolk Il P llco.

• Cas où lzol < 1.

n k 1-lzoln+1 1

Dans ce cas L lzoi = 1-lzol ~ 1 - lzolk=O

1d'où 'if P EC [X], l'P (P)I ~ 1-lzol ·11 Pllco

1ce qui prouve la continuité de 'Pet l'inégalité Il 'P Il ~ 1 - lzo 1

Soit SEIR;tel que zo = 1 zo 1 ei6, considérons la suite de C [X] de terme général:n

Pn = L e-ik8Xkk=O


Pour tout n E N, on a IIPn Ilx = 1 et

n

<; (Pn) = L lzolk = 1 - [ZO,n+lk~O 1- lzo:

De1

lim <P (Pn) = -1-1-1' on déduit alorsn~+co - ZO,

1sup 1<; (P)I :? --

PII=~l 1-lzol

et finalement1

Il <; il = 1-lzol

• Cas où lzoi :? 1.

Avec la même suite (Pnh, on obtient maintenant

Das ce cas, <pn'est pas continue.

<p (Pn) :? n+ 1 donc lim l<p (Pn)1 = +:x:.n---;.-+,x,

exemple 5

Montrer que si E est un espace de Banach, alors :J',c(E) est aussi un. espace de

• Rappelons qu'un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet.

Voici les étapes et les notations de la démonstration:

•

•

•

•

•

choisir une suite de Cauchy (Jn)"" de :J',c(E),

vérifier que (tn(X))f\i est une suite de Cauchy de E,

noter g(x) = lim fn(x), ce qui définit 9 E EEn-++cx::,

vérifier que 9 est linéaire,

vérifier que 9 est continue,

• et que lim II 9 - fn Il = 0,n---++::v

• puis conclure.

Que (Jn)f\i soit une suite de Cauchy se traduit par:

on= sup Ilfn+p - fn Il vérifie lim on= ° (1)pEf\i n~+co'

Alors, pour tout vecteur x de E Ilfn+p(x) - fn(x) Il ~ Ilfn+p - fn Il . Il x II ~on Il x Il (2)

prouve que (tn(X)) f\I est une suite de Cauchy de E, or E est complet, donc elle converge; ce quipermet de définir g: E -+ E, x ~ lim fn(x).

n-++co

Les opérations sur les limites donnent la linéarité de 9 : 9 E:J',(E).

Par continuité de la norme sur E, l'inégalité (2) donne, en faisant tendre p vers +00 :

V x E E, Il g(x) - fn(x) Il ~on Il x Il (3)

puis l'inégalité triangulaire donne V XE E, Il g(x) Il ~ (1lfn 11+ On) Il X Il,

ce qui assure la continuité de 9 : 9 E:J',c (E).

L'inégalité (3) fournit alors II 9 - fn Il ~On

et compte tenu de (1) lim Il 9 - fn Il = O.n---;.+oo

La suite de Cauchy (Jn)N converge dans (:J',c (E), 11.11), donc:J',c (E) est complet, c'est un espacede Banach.

54

II - Espaces vectorielsde dimension finie

A. Equivalence des normes

Théorèmes:


D

D

t.6

1

~

t.7

1

~

Sur [Kndeux normes quelconques sont équivalentes.

La démonstration suivante ne concerne que le programme M'.

L'équivalence des normes est une relation transitive, il suffit donc de comparer une norme

quelconque N de [Kn à la norme Il .llco de [Kn pour conclure.n

Notons (eih~i~n la base canonique de [Kn et [3= LN(ei) > O.i=l

n

Tout vecteur x de [Kn s'écrivant x = LXiei, on a :i=l

N(x) ~ ~ IXil N(e;) ~ Il x lico (~NCei»)

C'est déjà N(x) ~[3 Il x lico pour tout x de [Kn.

Cela prouve aussi que l'application N :[Kn --+~ est continue sur (Kn, Il .llco); elle est,

en fait, lipschitzienne: IN(y) - N(x)1 ~ N(y - x) ~[3 Il y - x lico

Comme la sphère unité 5 de ([Kn, Il.llco) est compacte car elle est fermée et bornée

(voir Chapitre 1, Propriété 25), il existe aE 5 tel que ex= inf N(x) = N(a).XE5

Etant élément de 5, a n'est pas nul donc N(a) = ex> 0, et pour tout x E 5 : ex~ N(x),

par homothétie, on en déduit: ex Il x lico ~ NCx) pour tout x de [Kn

Equivalence des normes en dimension finie

Deux normes quelconques d'un [K-espacevectoriel de dimension finie sontéquivalentes.

Si E est un IK-espace vectoriel de dimension n, il existe 'f' isomorphisme algébrique de

[Kn sur E.

Alors, Il.11 étant une norme sur E, Il. W : [Kn--+~,x ~ Il 'f' (x) Il est une norme sur

[Kn.

Soit Il ·111 et Il.112 deux normes sur E, les normes Il.II~ et Il .II~ de [Kn qui leurs sont

associées par'f' sont équivalentes, donc, il existe ex> 0 et [3> 0 tels que:

'if x E[Kn, ex Il 'f' (x) 111~ Il 'f' (x) 112~[3 Il 'f' (x) 111

ce qui donne 'if y E E, ex Il y 111~ Il y 112~[3 Il y111'


B. Parties complètes - Parties compactesen dimension finie

Unproduitd'espaces complets est complet et sur iKntoutes les normes sont équivalentesdonc ([~n, Il. W) est complet.

Si (Xn)', est une suite de Cauchy de (E, Il.11), il en est de même pour (<p-1 (xn)) N

dans (iKn, Il. W) donc (ç-1 (xn)) converge.

Soit y = lim <p-1 (xn), en posant x =<p(y), on a Il x - xn Il = Il y- <p-1 (Xn) Wn-+,x

p.11

~

Propriétés:

Soit (E. Il. ) un espace vectoriel normé de dimension finie n, <pun isomorphisme algé-brique de sur E et .Iil la norme sur iKnassociée à Il.11 par <p.

Alors ç est une isométrie de (E, Il . III sur (iKn, Il. W), c'est donc en particulier unhoméomorphisme.

Tout espace vectoriel normé de dimension finie est complet.

donc (xnh, converge avec x = hm Xn.n +co D

D

p.21

p.3

1

•

•

pA1

~

Dans un espace vectoriel normé, tout sous-espace de dimension finie estcomplet donc fermé.

Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, une partie est compactesi et seulement si elle est fermée et bornée. En particulier, toute boule fermée,toute sphère est compacte.

La propriété est connue dans iKn(norme quelconque). On conclut en utilisant que:

ç étant une isométrie, une partie A de (E, Il .11) est bornée si et seulement sÎ <p(A) estbornée dans (iKn, II· W)·

<pétant un homéomorphisme, A est fermée dans (E, Il .11) si et seulement si <p(A) estfermée dans (iKn, II· W)·

De toute suite bornée d'un espace vectoriel de dimension finie on peut extraire une suite convergente.

Une telle suite est à valeurs dans une boule fermée donc compacte.


exemple 6de Riesz

un espace vectoriel normé, la sphère unité est compacte si et seulemsntsiest de dimension finie .

• • Dans un espace de dimension finie, la sphère unité est fermée et bornée, elle estcompacte (propriété 3) .

• Envisageons un espace vectoriel normé E qui ne soit pas de dimension finie et montronsque la sphère unité S de E n'est pas compacte en construisant, point par point, une suite (Un)N

de S telle que:

pour i;t j, Il Uj - Ui Il ~ 1


Une telle suite ne pouvant avoir une suite extraite convergente, la sphère unité S n'est pascompacte.

Supposons déjà connue la famille (U1, UZ,' .. , un) de Sn telle que:

pour 1,.,:;i <j ,.,:;n, Il Uj - U; Il ~ 1Notons F = Vect(u1,' .. , un) le sous-espace engendré par cette famille, F est de dimension

finie, or E ne l'est pas, donc S n'est pas incluse dans F.Prenons alors un vecteur x de S \ F, la distance 0= d(x, F) n'est pas nulle (F est fermé,

x rt F), il existe alors un vecteur y de F réalisant Il x - y Il =0. (voir Chapitre l, Exercices-types1.11 )

Choisissons comme point suivant x- y ES.Un+1 = Il x - y Il

Pour k E {l,·", n}, la différence Un+1 - uk = x ~ y - uk s'écrit Un+1 - Uk = {-(x - z)

avec z = Y+ 0 uk E F et Il x - z Il ~o.

Ainsi Il un+1 - uk Il ~ 1, ce qui établit la construction de la suite (Un)r,j.

C. Continuité des applications linéaires et multilinéaires

t.8

1

~

applications linéaires

Soit E et Fdeux espaces vectoriels nonnés, E étant dl;) dimension finie, toute

application linéaire f E 5E CE,F) est continue.

E étant de dimension finie, les normes sur E sont équivalentes.

Choisissons la norme définie à partir d'une base (u;h>s;;>s;nde Epar:

Iif x;u;11 = sup lx;!;;1 l>S;L>s;n

n

Avec x = LX;u; on a;;1

n

f(x) = L xJ(u;);;1

n

d'oùn

Ilf(x) Il ,.,:;L Ix;1 . Ilf(u;) Il;;1

puis Ilf(x) Il ,.,:;kll x Il en notant k = L Ilf(ui) II.;;1

cette inégalité garantit la continuité de f.D

-

t.g Continuité des applications multilinéaires

Soit El,' .. ,En des espaces vectoriels nonnés de dimension finie, F un autre

espace vectoriel nonné et M :El x ... x En -+ F une application n-linéaire.

Alors M est continue.

~ Pour la clarté de la démonstration limitons-nous au cas n = 2 et El = Ez = E ;

M est alors une application bilinéaire sur E à valeurs dans F.

Choisissons une base (Ul,' .. , up) de E,

une norme sur E: Iltx;u;11 = sup Ix;1.;;1 l>S;L>S;p

une norme sur EZ: Il (x, y) Il = sup(11x Il, Il y Il)·


•

•

Montrons, dans un premier temps, que M est bornée sur une boule unité fermée de E2,

puis, dans un second temps, que cette propriété entraîne la continuité de M.

M est bornée sur la boule unité de E2 .P P

Pour (x, y) E E2 et x = LXiUi, y = LYjUj, la bilinéarité de M donne:i=l j=l

P P

M(x, y) = L L xiYjM(ui, Uj)i=l j=l

P P

et l'inégalité triangulaire Il M(x, y) il "'" L L IXil IYjll1 M(Ui, Uj) Ili=l j=l

P P

En notant k = L L Il M(ui, Uj) Il il vient Il M(x, y) Il "'" kll x 1111y II·

i=l j=l

Sur la boule unité de E2, on a donc Il M(x, y) Il "'" k

M est continue en tout point (a, b) de E2 .

La bilinéarité de M donne, pour tout (x, y) de E2 :

el= M(x, y) - M(a, b) = M(x - a, y) + M(a, y - b)

A présent, majorons el :

Il el Il "'" Il M(x - a, y) Il + Il M(a, y - b) Il "'" kll x - a 1111y Il + kll a 1111y - b Il

En notant h = Il (x, y) - (a, b) Il = sup (II (x - a) Il, Il y - b Il), on obtient:

Il y Il "'" Il b Il + h , Il el Il "'" kh(11a Il + Il b Il + h) et enfin ~~ Il= O. 0


exemple 7rme d'une forme linéaire

El = (IKn, Il.111) , Ez = (IKn, Il.112) , Eco = (1K1î;

hi la forme linéaire sur Ei, i E {l, 2, co}, définie par hi

uler Il hl Il, Il h211et Il hco Il en fonction des scalaires h(ei),' ..s de h dans la base duale de la base canonique (eh' ··,en) dfl

• Notons Cii= h(q) de sorte que le développement de h(x) devient:

(n ) n nh(x) = h EXiei = EXih(eil = ECii Xi

IKn étant de dimension finie la continuité de h est acquise.n

• Norme de hl. Majorons Ih(x)1 à l'aide de Il xiiI = L Ixi!.i=l

En notant Ci= sup ICiil, nous avons Ih(x)1 "'" Ci Il xiiIl~i:S;n

avec égalité pour x = ek où k est tel que Ci= ICikl.

Conclusion: Il hl Il = sup Ih(ei)l·l~i~n

58

• Norme de hco. Majorons 1h(x)1 à l'aide de Ilx 1100= sup IXill~i~n


n (n) nIh(x)1 ~ E lail IXil ~ E lad Ilx 1100avec égalité pour x = E Si ei où aiSi= lailn

Conclusion: Il hcoII = 2:= Ih(ei)l·i=l

1

• Norme de h2. Majorons Ih(x)1 à l'aide de Ilx 112= (~lxiI2) "2.

C'est l'inégalité de Schwarz sur IKn qui donne la majoration:1 1

Ih(x)1 ~ (~laiI2) "2 (~lxiI2) "2

n

avec égalité pour x = 2:= aiei (non nul si h n'est pas la forme nulle).i=l

( n ) ~Conclusion: Il h211= El h(ei)12

exemple 8

Notmèd'une matrice d'une application linéaire

Soitl E9!.(E, Ef) donnée dans des bases (l0h'0~n et (e;h~i~p par la

A = [Ag] E "~Lp.n (IK)

étant normés par:

Il Xl 1100 = II~xie;ll =Il xiiI = lit .\Jejl·1 =t I.\JI et)=1 1 )=1exprimer la norme de1à l'aide des coefficients de la matrice A.

• L'espace E est de dimension finie, donc f est continue. Cherchons une majoration de Ilf(x) 1100

de la forme Mil xiiI'p

Par définition de A, on a f(ej) = 2:= Age;i=l et f(x) =1(t .\Jej) =t (t Ag.\J) e;)=1 !=1 )=1

p

Notons f(x) = 2:= xi e; aveci=l

Posons M = sup IAgI, il vient:l~i""pl'0~n

n

xi = 2:= AgXjj=l

n

pourtouti, Ixil ~2:=IAgll.\J1 ~MllxI11, donc Ill(x)llx ~Mllx111·j=l

On en déduit Iif Il ~ M.

Il existe au moins un couple (k, h) d'entiers tel que IAkhl = M. Alors Ilf(eh) 1100= Mil eh !11'

Conclusion: 111 Il = M = sup IAgliJ

Chapitre 2 : Applications linéaires sur les espaces vectoriels normés

exemple 9

f Quelle que "it la nonne .. '. choisie su.r Jtp OK),il existe un réel f.L tel que:< V(AB)E.ttp . ilABl1 ~f.L IIAIIIIBII

• Dans la mesure où A représente un endomorphisme de Ik;P, par définition:

A = sup IIAXIIxc:<P{O} Ilxll

et le théorème 5 (composition d'applications linéaires continues) donne l'inégalité:

ABli ~ I!AII·IIBII

59

La norme de .tlp (:<) ainsi associée à la norme" .

p

de iKP est Il A Il = sup :L IAul1<;;<;p )=1

Prenons une autre norme de

tels que a . ~ ~f3 Il .

elle est équivalente à la précédente: il existe a et f3> 0

ce qui permet de faire les majorations successives:

IIAB ~f3IIABII ~f3IIAII'IIBII ~ f321IAWIIBWa

Avec I-l= f32 c'est l'inégalité souhaitée IlAB III ~1-l11 A 11/11Bill.a

exemple 10

A E.Hp (K) ; montrer que la série (Chapitre IV de ce livre) de tenne général

est absolument convergente dans l'espace vectoriel normé (A{p (IK), Il .11).

+:0 Anun majorant de sa somme expA = :L 1 en fonction du réel Il A Il.n.

n=û

• Reprenons les notations et le résultat de l'exemple précédent:

Pour tout couple (A, B) de Jlp Œi), IlAB Il ~I-l IlA 1111B Il

Une récurrence directe donne alors:

xn

La convergence et la somme de la série entière de terme général n! (pour tout réel x) sont+cx:;, n

X

connues: eX = :L ,.n.n=O

AnLe critère de comparaison de séries positives assure la convergence absolue de la série :L 1n.et par addition, la majoration souhaitée apparaît :

11+:0 Anll +:0 n-111Ar 1~ ~ ~ ~ I-l n! donc Il expA Il = j1:efLllAII

Dans le cas où I-l= 1, il vient Il expA Il ~ ell Ail

60

Exercices-typesComme dans le cours, E et F désignent des IK-espaces vectoriels normés.


Soit f : E --+ F une application linéaire qui

vérifie la propriété suivante : pour toute suite

(Xn)N qui converge vers OE, la suite (i(xn») Nde F est bornée.

Montrer que f est continue.

On suppose que 11<=IR.

Soitf : E --+ F qui vérifie:

'if (x, y) E E2,f(x + y) = f(x) +f(y)

1) Montrer que sif est continue en 0E alors

f est linéaire.

2) Même question en supposant que f est

bornée sur la boule B/OE' 1).

Soitf et 9 deux endomorphismes de E qui vé

rifient f 0 9 - go f = IdE.

1) Calculer simplementf 0 gn - gn of pour

tout n EN.

2) En déduire quef ou 9 n'est pas continue.

Soit A et B deux matrices de Mp (II<) vérifiant

AB-BA=B

1) Calculer ABn - BnA pour tout nE N.

2) En déduire que B est nilpotente.

Soit C(;', le sous-espace de EN formé des suites

convergentes muni de la norme Il . Il co .

Montrer que l'application:

L ;C(;',--+ E, x = (xn)N f-O> L(x) = lim Xnn-++oo

est une application linéaire continue, en donner

sa norme.

Soit E =IR [X] normé parp

p = ~ aiXi >-711 P lico = sup lail·a ~[O~]

n

On fixe un polynôme L = ~ Âi Xi non nul.i=O

Etablir la continuité de l'application linéaire

<p: E --+ E, P f-O> LP et calculer sa norme.

Ex. 2, 7

Soit E un IK-espace vectoriel normé de dimen

sion finie et U E::E (E) tel que Il u Il ~ 1.

Pour tout n E N, on note un le n ième itéré de

1 d 2 nu et un = --1 (I E +u + u + ... + u ).n+

Montrer que la suite (Un)N converge dans l'es

pace vectoriel normé ::Ec (E) vers un projecteur

p ; déterminer l'image et le noyau de p.

Ex. 2, 8

Soit E un IK-espace vectoriel normé de dimen

sion finie.

Montrer qu'une suite (Un)N d'endomorphismes

de E converge dans ::Ec (E) si et seulement si

pour tout x de E la suite (un (x») N converge

dans (E, Il ·11)·

Ex. 2.9

Soit A E Artp (1[:) diagonalisable (Voir Algèbre 2).

Montrer que l'ensemble des matrices sembla

bles à A est fermé dans Mp (1[:).

Ex. 2.10

1) Soit aE [0,1], vérifier que l'on définit

un endomorphisme Ta sur le IR-espace

vectoriel E = C([O, 1], IR) par 9 = Ta(f)

1 lXoù g(x) = C'I f(t) dt.

x a1

2) E étant normé par IIf 111 = fa lf(t)1 dt,

montrer que Ta est continue si aE [0, l[et dans ce cas, calculer Il Ta Il.


Ex. 2. 11

Soit E = {f E C2([0, 1]. R) (j(O) =f(O) = o}1) Montrer que

Ilf = sup VI(t) + 2j(t) + f(t)!rdO,l]

définit une norme sur E.

2) Montrer qu'il existe un réel a> 0 tel que

x ~ aiifTrouver le meilleur coefficient a.

Ex. 2. 12

Soit E = C([O, 1], 1R1) normé par

Iif Il = sup lf(t)1tE [O,lJ

et cpun élément donné de E.

On considère la forme linéaire ÎI. sur E définie

par ÎI. (j) = fol cp(t)j(t) dt.

Vérifier que ÎI. est continue et calculer sa norme.

Indications

Ex. 2. 1

Etablir la continuité de f en OE à l'aide dessuites.

Ex. 2.2

Etablir f(ÎI. xl =Îl.f(x) pour Îl.E j"\j, Z, (Ji puis R

EX.2.3

1) Vérifier f 0 gn - gn 0 f = ngn-1 parrécurrence.

2) Majorer Il ngn-111 à l'aide de la relationprécédente.

Ex. 2.4

1) Vérifier ABn - Bn A = nBn par récurrence.

2) Majorer Ii nBn Il à l'aide de la relationprécédente.

Ex. 2.5

Majorer Il L(x) Il par Il xlix; réaliser l'égalitécorrespondante.

EX.2.6

Majorer Il LP Ilx par Mil P lico et réaliser l'égalité.

EX.2.7

Vérifier que l'image et le noyau de u - IdE sont

supplémentaires, étudier Un sur l'un et l'autre.

Pour montrer que la condition est suffisante,

utiliser une base de E.

Ex. 2.9

Caractériser un fermé à l'aide de suites.

Utiliser des polynômes annulateurs de A.

Ex. 2. 10

1) Utiliser un équivalent de g(x) quand xtend vers 0+.

2) Choisir fn(x) = n(! - x)n-1 et calculer

Il Ta(jn)111'

Ex. 2. 11

Résoudre dans E l'équation différentielle

fi +2f +f=g

Majorer lf(x) 1par un multiple de Il 9 lico.

Ex. 2. 12

Pour trouver Il ÎI. Il = fo11cp (t)1 dt

écrire cp= cp+ - cp- où :

cp+(x) = sup ( cp(x), 0) et

cp- (x) = sup( - cp(x), 0).et construire une suite de fonctions continues

qui converge simplement versf.

.-'-~.



Par caractérisation d'une application linéaire continue (théorème 1), il suffit de prouver la continuiM de

f en 0E. Il suffit donc d'établir que pour toute suite (Xn):\, de E qui converge vers 0E, la suite (i(xn») l'\j

de Fconverge vers OF. (Voir Chapitre 1: Limite d'une fonction et suites)

A la suite (Xn)r\j, associons la suite (Yn)1'\jdéfinie par:

O· ° Xn. °Yn = SI Xn = , Yn = ~ SI Xn i=

Comme Il Yn Il = ~ ' la suite (Yn)1'\jconverge vers 0E et par hypothèse la suite (i(yn») ~;est

bornée: ::3 MEIR, V n EN, Ilf(Yn) Il ~ M, donc !If(xn) Il ~ M~

Ainsi (i(xn») r\j converge vers 0F,f est continue en OE, donc aussi sur E.

EX.2.2

1) L'égalité Ilf(x + y) - f(x) Il = Il y Il montre que la continuité en 0E entraîne la continuité

(uniforme) sur E.

Fixons un vecteur x de E et notons 9 la fonction de IRdans F définie par g(t) = f(tx).

Elle est continue sur IRet vérifie g(u + v) = g(u) + g(v) pour tout couple (u, v) de réels.

On en déduit que 9 est linéaire: il existe b E F tel que g(t) = tb (voir ci-après).

Ici, b = f(x), (obtenu avec t = 1), et donc f(tx) = if(x) pour tout réel t.

Ainsif est une application linéaire de E dans F.Démonstration résumée de la linéarité de q

Soit G : IR--+F, t -+ G(t) = r g(u) du, donc G(O) = 0, G est de classe el, GI = g..la

i! On vérifie G(u + v) = G(u) + G(v) + ug(v) pour tout (u, v) E 1R2

ii! On en déduit que 9 est de classe el car g(v) = G(l + v) - G(l) - G(v),

iii! On constate que d est constante en dérivant u -+ g(u + v) = g(u) + g(v)

iv! On peut conclure.

2) Notons A la partie de IRsuivante: A = {i\E IR,V X E E,fCf.- x) =i\f(x)}

Montrons successivement que A contient N, 7L,G et IR.

• f(OE) = OF, (x = y = 0E) donc ° E A.

f ((n + l)x) = f(nx) + f(x) donc n E A =? n + 1E A.

Ainsi Ne A. (récurrence)

• f(-x)=-f(x), (y=-x) donc -lEA et 7LeA.

• Pour n E N' : nf ( ~) = f(x) donc f ( ~) = ~f(X),

ce qui conduit à Ge A.

• Le passage de G à IR ne peut s'opérer que par une limite: tout réel i\ est limite d'une suite

rationnelle (i\n)",.

Notons [Ln=i\ - i\n donc hm [Ln= O.n---++cc

tl

1

11

1i


Calculons fil-. x!- I-.J(xl =J(I-.n x+ IJ.nXi - (I-.n + IJ.n)J(X) =J(lJ.n X) - IJ.nJ(X).

Le résultat souhaité J(I-. x) =I-.J(X) équivaut donc à lim J(fLn x) = a;n---.;-+cç

à ce niveau. la continuité deJ en aE suffit pour conclure.

IciJ est bornée sur la boule unité fermée notée B: :3 MEIR, \:j y E B, IIJ(y) Il "'" M

lim IJ.n= a donne \:j<:;E ::::. :3p E '\. \:j n ~ p, Il fLn x Il ""'<:;.n-+:>:

Alors Yn = lJ.<:;nx est dans B, et Ji IJ.nx! = J(<:;Yn) =<:; J(yn) car <:; est rationnel;

donc \:j n ~ p. j(lJ.n ""'<:; I\I.

On en déduit lim J(lJ.n x) = o. JO, xl =I-.J(x), Ilk A.n-+=.->:

Ainsi J est une application linéaire de E dans F.

63

Ex. 2.3

1) Introduisons la suite n H> hn =J 0 gn - gn oJ de 5t (E).

hn+l = (g 0 J + IdE) 0 gn - gn+l 0 J = go (f 0 gn - gn 0 J) + gn

hn+l = go hn + gn et hl = IdE

D'où, par récurrence, hn = ngn-l = Jo gn - gn 0 J pour n E ~r.

2) Supposons, au contraire, Jet 9 continus, ce qui permet d'introduire les normes IIJ Il et Il 9 II·

Nous utiliserons le théorème 5 : norme d'une composée.

D'après le 1), gn = a donne

d'où

"'" gnll "'" IIJllllgllllgn-lll

gnoJl1 "'" 2!IJllllgllllgn-111

gn-l = a (n E i'\r), et donc 9 = a.

Or. par hypothèse, 9 n'est pas nul, 9 n'est donc pas nilpotent et en simplifiant par Il gn-lll -cf- a,

l'inégalité précédente devient n"'" 211JIl 9 Ii pour tout n E I\jX, ce qui est impossible.

Ainsi, l'un au moins des deux endomorphismes n'est pas continu.

Remarques

• Une telle situation exige que E ne soit pas de dimension finie .

• Dans Jlp ([<), l'égalité AB - BA = Ip est impossible, (utiliser tr(AB) = tr(BA)).

EX.2.4

1) Introduisons la suite n H> Cn = ABn - Bn A de Jtp (IK:)

Cn+l = (BA + B)Bn - Bn+l A = B(ABn - BnA) + Bn+1

Cn+l = BCn + Bn+l avec CI = B

d'où, par récurrence, Cn = ABn - Bn A = nBn.

2) Un choix convenable d'une norme sur Jlp (IK:) donne il AB Il "'" IlA 1111 B Il

Appliquons cette majoration à l'égalité du 1) :

Il nBn Il''''' IIABn Il + Il BnA Il''''' 211AIIII Bn Il

Si B n'est pas nilpotente Il Bn Il -cf- a pour tout n

et en simplifiant n "'"211 A Il pour tout n E I\j, ce qui est impossible.

Conclusion: la matrice B est nilpotente.


Rappelons que l'espace vectoriel ÇA(N, E) des suites bornées de E est normé par:

Il x lico = sup II Xn IlnEF\!

On sait que 'i6 est un sous-espace de ÇA(N, E) et que L est linéaire.

L'inégalité : V nE N, IlXn Il ~ Il x lico et la continuité de la norme sur E donnent:

Il L(x) Il ~ llxllco pourtoutxE'i6,

avec égalité pour une suite constante.

Ainsi, L est une application linéaire continue et Il L Il = 1.

Il est clair que 't'est un endomorphisme de E.q n+q

Avec P = L aiXi on a LP = L bkXki=ü k=ü

n

où bk = L Ai ak_ i en convenant quei=ü {J<O

cy = 0 si ~u» q { i< 0

, Ai= 0 si ~ul> nn n

donc vn(x) = x

Majorons Ibkl ~ L lAd· lak-il ~ L lAd ·11 P licoi=ü i=ü

n

donc IILPllco ~ Il LlllIl Pllco avec IILlll = LIAdi=ün

Pour réaliser l'égalité, formons un polynôme P = L fLi Xi tel que le coefficient de Xn dans LPi=ü

n n

soit bn = L AifLn-i= L I/\il· Donc fLn-i= signe (Ai).i=ü i=ü

n

Conclusion: l'endomorphisme 't': P f-'> LP est continu et Il 't' Il = Il Lill = L lAd·i=ü

Notons F = Ker(u - IdE) et G = Im(u - IdE) et vérifions que E = F E9 G.

D'après le théorème du rang (dimE = dimF + dim G) il suffit de vérifier que F ri G = {OE}'

Soit XE F ri G c'est-à-dire XE F : u(x) = x XE G : 3 y E E , x = u(y) - y

On obtient alors, pour tout nE N, un (X) = x , un(x) = un+1(y) - un(y)

n+l( )() u y-yVnX = n+l

Or Ilun+l(Y)-YII ~ Ilulln+l+lli Il ~ ~n+l n+l y n+l

donc V n E N, Il x Il = IlVn(X)11 ~ 211 Y111, on en déduit Il x Il = O.n+

Ainsi F ri G = {OE} et donc E = F E9 G.

On vient de voir que pour XE F : vn(x) = x (suite constante)

n+l( )1 l' 1 . U y - yet que pour x = u(y) - y E G: lm Vn(X) = hm , = 0E.n~+oo n~+oo n+

jj~L _~ ~__


Ainsi, pour tout Z E: E décomposé sous la forme Z = x + Xl avec x E: F, Xl E: G,

la suite vn(z) = vn(x) + Vnexl) converge vers x.

Donc la suite (Vn)', converge simplement, (voir Chapitre V), vers p, projection sur F parallèlement à

G. Montrons que cette convergence a lieu dans l'espace vectoriel normé :i.e (E).

Comme E = F S G et que G est stable par U - IdE, alors U - IdE induit un isomorphisme de G,notons-le 8.

A tout Xl de G correspond un unique y de G tel que Xl = u(y) - y, c'est y =8-1 (Xl) .

. un+1(y) _ yMajorons alors vn(z) - pCz) = vn1z) - X = n + 1

Il ()_ ()il"",2I,YII_211 8-1 (xl)i! "",211 8-11111 111"",2118-111 Il IdE-pli Il IlVnZ PZ, ~ n+l - n~1 ~ n~1 X ~ n~1 Z

car Xl = (IdE -p)(z).

2118-1 1111IdE -p IlAinsi IIVn - pli ~ 1 Il ' et lim Ilvn - pli = 0n + n~+co

La suite (vnh converge vers p dans (:i.e (E), Il.11).

Ex. 2.8

On sait que 'if U E::i.e (E), 'if x E: E, Il u(x) Il ~ Il u 1111 x Il .

• Supposons que la suite (unh, de:te (E) converge vers u dans :te (E)

c'est-à-dire hm Ii Un - U Il = O.n------+x,

Alors, pour tout x E: E, Il Un (x) - u(x) Il ~ Il Un - U il Il x Il et hm Il Un (x) - u(x) Il = O.n---++oc

La suite (un(x») converge donc vers u(x) dans (E, Il.11).

Ici, la dimension finie de E n'intervient que pour la continuité des applications linéaires u et Un, nE: N .

• Supposons que, pour tout x E: E, la suite (un (x») converge et notons v(x) = lim Un(X);~ n~+co

nous disposons d'une application v de E dans E dont la linéarité résulte des théorèmes sur les limites

et de la linéarité des Un :

lim unG\. x+ I-L y) = v(À x+ I-L y) et hm À un(x)+ I-L Un(y) =À v(x)+ J-l v(g).n--++oo n-++x-

Montrons que (Un)i\:j converge vers v dans :i.e (E).

p

Pour cela, prenons une base (el,' .. ,ep) de E et décomposons x = L XWi.i=l

p

Calculons Un (x) - v(x) = LXi [Un(ei) - v(eil]i=l

p

,Duismajorons IIUn(X) - v(x)11~ L Ixi! Ilun(ei) - v(ei)11 ~an Il xllcoi=l

avec Il x lico = sup IXil etl';i.;p

p

an= L Il Un(ei) - v(eilll·i=l

Ainsi Il Un - V Il ~an, or lim an= 0n--++oo

donc hm Il Un - V Il = o.n--++co

_a suite (Un)F\I converge vers v dans ;J;e (E).

66

Ex,2.9

L'espace Mp (C) doit être muni d'une norme, par exemple Il A Il = sup IAull~i-"Sp

l~~p


-1 (1 -n) (1 0) (1 n) (1 n)Xn = Pn APn = 0 1 0 0 0 1 = 0 0 '

~

Pour faire la preuve, il suffit de montrer que, pour toute suite (Xn)N de matrices semblables à A qui

converge dans Mp (C), la limite B est semblable à A (caractérisation d'un fermé par les suites).

Rappelons que X est semblable à A s'il existe P E GLp(C) telle que X = p-1 AP.

Alors, pour tout kEN: Xk = p-1 A k P et, pour tout polynôme Q E C [X] : Q(X) = p-1 Q(A)P.

L'hypothèse A diagonalisable se traduit par l'existence d'un polynôme Q sCÎndédans C [X] ayant ses

racines simples et tel que Q(A) = O.

Alors Xn, étant semblable à A, vérifie Q(Xn) = 0 et lim Xn = B donne Q(B) = 0 (conti-n--++oo

nuité de X >--'3> Q(X) dans .Atlp (C).

En prenant cette fois-ci le polynôme caractéristique de A : XA (x) = det(A - xIp), on a aussi

XA (x) = det(Xn -xIp) (deux matrices semblables ont le même polynôme caratéristique) et le passage

à la limite donne XB (x) = lim det(Xn - xIp) =XA (x).n--++rx)

Les matrices A et B ont le même polynômes caractéristique, elles sont diagonalîsables donc sem

blables à la même matrice diagonale et elles sont semblables.

Ainsi l'ensemble des matrices semblables à A est fermé dans Jltp (C).

Remarque

Cet ensemble n'est pas compact.

Prenons A = (~ ~) E Jtt2 (C) et

la suite (Xn)N est non bornée,

Ex. 2.10

1) Par développement limité au voisinage de 0, on obtient:

f(t) =f(O) + 0(1), rf(t) dt = 4(0) + o(x) et g(x) = x1-O:f(0) + o(x1-a)Jo

Pour exE [0,1[: g(O) = 0, pour ex= 1 : g(O) =f(O).

Ainsi 9 est définie en 0 et continue sur [0, 1]. On vérifie que Ta est une application linéaire de

E dans E, donc un endomorphisme de E.

1,1dx 12) On sait que, pour exE [0, 1[, -----ci: converge et est égale à -1-'o x - ex

1 Inx 1 JI Iif 111Alors Ig(x)1 "" ----ex Lf(t)1 dt "" Œ Iif III et Il 9 III = Ig(x)1 dx "" --

x ,0 x .0 1- ex

1ce qui prouve la continuité de Ta et Il Ta Il "" 1- ex (0 ""ex< 1),

Soitfn E E telle que fn(x) = n(l- x)n-l Alors Ilfn III = 1, etfn "prend toute sa valeur"

près de O.

Déterminons gn = TaVn) :

gn(X) = :a [1- (1- x)n] et IIgn b = 1~ ex - r\l - x)nx-a dxJo

1,1Evaluons an = (1 - x)nx-O: dx ; (an},- est une suite positive décroissante donc con,0

vergente. Avec une intégration par parties, il vient:


1·1 n-1 1-Œ anan_1-an= (l-x) x dx=(l-ex)-

.0 n

Sachant que la série >(an-1 - an) converge, la série L ~ converge aussi.

a À aMais si lim. an =À et À* 0 alors -'2:. ~ - et la série L -'2:. diverge; donc À= O.n--!-'X. n +x n n

67

De1

gn 1 = 1- ex - an ~ TŒ et lim an = 0, on déduitn-+x

l-(1-);fDans le cas Œ= 1, gn = Tllfnl = x

··1 1- tn rIj!gn 1 = /0 --r=t dt et gn 1 =.Jo (1+ t+·

Comme lim gn 1 = +X, Tl n'est pas continue.n-+x

n 1) 1 1. + t - dt = 1 + "2 + ... + ~

Ex. 2. 11

1) Pour tout 9 E (1[0.1]. x), on sait qu'il existe une unique solution dans E à l'équation différentielle linéaire yll + 2yl + y = g. Lorsque 9 = 0, la solution est la fonction nulle.

Retrouvons ces résultats en résolvant l'équation par la méthode de variation des constantes.

L'ensemble des solutions de l'équation homogène yll + 2yl + y = 0 est le sous-espace de

(2([0.1]. xl engendré par x H xe-x et x He-x.A toutf E (2([0,1]. m, on associe un unique couple (u, v) de fonctions de (1([0, 1]. IR) parles relations:

px) = xe-Xu(x) + e-x vCx) , f(x) = (1 - x)e-X u(x) - e-x v(x)Alors f vérifie fi + 2f +f = 9 si et seulement si :

0= xe-Xul(x) + e-Xvl(x) , g(x) = (1 - x)e-Xul(x) - e-Xd(x)c'est-à-dire ul = é"g(x) , z./(x) = -xé" g(x)

donc u(x) = t' etg(t)dt+ À , v(x) = - r tég(t)dt+ f.L.Jo .Jo

et f(x) = t,\x - t)é-Xg(t) dt+(À x+ f.L)e-x.Jo

Comme f(O) =f (0) = 0 <===} u(O) = v(O) = 0 <===} À=f.L=0,

l'unique solution f dans E est x H {X(x - t)et-x g(t) dt..Jo

On retrouve alorsf = 0 si 9 = 0 et donc Iif Il = 0 =} f = O.

Il est facile de vérifier que Il Àf Il = IÀI Iif Il et Ilf1 +f211~ IIf111+ IIf211

pour constater quef H Iif Il est une norme sur E.2) SifEE,ennotant g=fl+2f+f,ona Ilfll=llgll:-::

et f(x) = t,\x - t)et-Xg(t) dt = r ue-Ug(x - u) du (poser u = x - t).Jo .Jo

j'x InXD'où lf(x) 1 ~ ue-u Ig(x - 01 du ~ Il9 Ilx ue-u du

a . a

!r'1 2Ainsi Iif ~ allf Il avec a = ue-u du = 1- -

. a e

rL'égalité est réalisée avec 9 = 1 c'est-à-dire f(x) = .Jo ue-u du = 1 - (1 + x)e-x2

donc a =f(l) = 1 - - est le coefficient optimum.eRemarque: les normes Il .11et Il .11:-:: ne sont pas équivalentes.

-----------_.---_ .•._-_._.- ..~-----------------_._------


Comme À est une application linéaire de E dans IR,À est une forme linéaire.

La majoration de Ill. (ni par un multiple de Iif Il est naturelle:

Ill. (ni ~ 1011<f'(t)1 . lf(t)1 dt ~ kllf Il avec k = 1011<f' (t)1 dt

On en déduit la continuité de À et l'inégalité Il À Il ~ k.Si <f' est de signe constant (positif par exemple) le choix def = 1 donne l'égalité:

À (f) = 101 <f' (t) dt = k

Pour réaliser l'égalité Ill. (f)1 = kllf Il, il faut choisir f tel que f(x) = {1 si <f'(x) ~ 0-1 SI <f' (x) < 0Mais cette fonction n'est pas continue, nous allons donc bâtir une suite (fn)N de fonctions continues

qui converge vers cette fonction.

Pour mettre en évidence les" parties positives et négatives" de <f', introduisons la notation:

<f'+ (x) = sup( <f' (x), 0) et <f'- (x) = sup(- <f'(x), 0)

pour laquelle <f'=<f'+ - <f'- et 1<f'1=<f'+ + <f'-

D'où l'idée de choisir fn=~+ 1

<f' +n

<f'

_ 1<f' +n

(n E N*)

Calculons <f'fn = (<f'+)2+ 1 +

<f' +-n

(<f' -)21

<f' +n

car <f'+' <f'-= O.

Les identitésh2 h--=h-----

h+~ n(h+~)

et 1<f'1=<f'+ + <f'-

n1<f'1

1 1<f'1~ 12+-n n

+ -

lfnl = _<f'_ + _<f'__ =+ 1 _ 1

<f' +- <f' +-n n

avec1

<f'fn = 1<f'1- Ti lfnldonnent

101 1101 1puis À (fn) = I<f'(t)1 dt -- lfn(t)1 dt ~ k - - et Ilfn Il ~ l.a n a n

1Donc Il À Il = sup Ill. (f)1 ~À (fn) ~ k - - pour tout n E NX•

Ilfll~l n

Conclusion: Il À Il = 101 I<f' (t)1 dt.


Exercices proposésE, F désignent des K-espaces vectoriels normés.

69

Ex. 2. 1

Soitf une application linéaire de E dans F telle

quef(x) = o(x) quand x ~ 0E.

Montrer que f est nulle,

Ex. 2.2

Soit (xnh, une suite de E qui converge vers

x E E, et Cfn)nE', une suite de :te CE, F) qui

converge versf dans :te (E, F).

Montrer que la suite (ln (xo)) converge dans E.

Ex, 2.3

Soit E = C([O, 1], !;;I), Cf'E E et T la forme linéaire

(ldéfinie sur Epar TCf) = Jo Cf' (()j(t) dt.

Montrer que, lorsque E est muni d'une norme

classique Il ·111 ou Il ,112, T est continue; calcu

ler sa norme dans chaque cas,

Ex. 2.4

Soit E = C([O, 1],~) muni de la norme Il ' Ilx et

F = {f E El fol f(t) dt = °},Montrer que tout élément f de F admet une

primitive g dans F et que l'application T :f f--c> gest un endomorphisme continu de F,

Calculer Il Til·

EX.2.5

Soit E =~ [X] normé par

1 Pli = sup 1P(t) 1

tE [0.1]

Pour n E N, on note En l'ensemble des poly

nômes unitaires de degré n et an = inf IlPli.PEEn

1) Montrer que an > 0, et que la suite (an)Nest décroissante,

2) Calculer an, al, a2·

Ex,2.6

Soit E = C([ -1, 1],~) normé par:

f 1100 = sup lf(t)1tE[-Ll]

'.1ontrer que la forme linéaire:

.:::E --+Rf f--NP Cf) = (l f(t) dt - f(O)LI::st continue; calculer sa norme,

Ex. 2. 7

SoitK : [0, 1]2 --+~, continue, E = C([O, 1],~)

normé par Iif 1100 = sup lf(t) 1tE[O.l]

1) Montrer que l'on définit un endomor-

phisme T sur Epar

T : E --+ E,j f--c> TCf)

où TCf)(x) = fol K(x, t)j(t) dt.2) Vérifier que T est continu et calculer sa

norme,

Ex. 2.8

1) Montrer qu'une forme linéaire sur un IK

espace vectoriel normé E est continue si

et seulement si son noyau est un fermé

de E,

2) Soit E = IK [X] normé par

Il Plix = sup laklO<;k<;n

n

pour P = L akXk,k=O

Montrer que H = {P E EIP(l) = O} est

dense dans E,

Ex. 2.9

Soit H un hyperplan d'un IK-espace vectoriel

normé E etf une forme linéaire sur E telle que

H = Kerf.

Pour tout x E E, montrer que sif est continue,

lf(x) 1

d(X,H)=~.

Que devient le résultat si f est continue?

Ex. 2, 10

Caractériser les endomorphismes f de ~n tels

que l'image par f de tout ouvert de ~n soit un

ouvert de ~n.

i~

70

Soit E =!R [X] normé par Il Pli = sup lP(x)1xE[-l,l]

et B la boule unité fermée de E.

On suppose qu'il existe P et Q dans B tels que

1 -R = 2(P + Q) soit dans B et vérifie

R(O) = 1, Rk(O) = ° pour k E [l,p - 1]

Montrer que Pet Q vérifient les même? relations

que R.

Ex. 2. 12

Soit E = C([O, 1],!R) normé par

Iif Il = sup Lf(t)1[0,1]

etA= {fE E/f(O) = ° et folf ~ 1}.Montrer que A est une partie fermée de E.

Montrer que, pour toutf E A, on a Iif 1100 > 1.

Calculer inf Iif 1100'fEA

Ex. 2. 13

Soitf E C([O, 1], IR) ; montrer qu'il existe

P E !Rn [X] tel que:

Iif - P 1100 = inf{llf - Q 1100 /Q E!Rn [X]}

Ex. 2. 14

Soit G un sous-groupe additif de !Rn, fermé et

non discret.

Montrer que G contient au moins une droite.


Soit B la boule unité fermée de E (espace vecto

riel normé de dimension finie),j une application

de B dans B telle que:

V (x, y) E B2, Ilf(x) - f(y) Il ~ Ily - xii·Montrer que f admet au moins un point fixe.

Ex. 2. 16

Soitf une application continue de E dans F

(E et F espaces vectoriels normés de dimension

finie) telle que lim Ilf(x) Il = +x.Il x 11--++00

Montrer que l'image par f d'une partie fermée

de E est fermée dans F.

Ex. 2. 17

E et F étant deux espaces vectoriels normés

avec F de dimension finie, soitf une application

linéaire de E dans F.

Montrer que f est continue si et seulement si

son noyau, Kerf, est fermé dans E.

Ex. 2. 18

Soit A une partie convexe compacte de C, d'in

térieur non vide.

Montrer que A est homéomorphe au cercle unitéde iC.

Ex, 2. 19

Montrer que dans l'espace vectoriel normé

Ain (C) :

1) le sous-ensemble formé des matrices

diagonalisables est dense,

2) le groupe linéaire GLn(iC) est dense,

3) en déduire pour toute matrice

A E Ain (C) : det(exp A) = exp(tr(A))

Chapitre III

Fonctionsde plusieurs variables réelles

Calcul différentiel

Introductionnet p sont des entiers naturels non nuls.

Dans ce chapitre on étudie:

• dans le cadre des programmes M, Pet P', des fonctions de [Rn dans [RP,

• dans le cadre du programme M', des fonctions de E dans F, où E et F sont deux

espaces vectoriels normés réels de dimensions finies: dim E = n, dim F = p.Notations:

• Soit "J3n= (el, e2,"', en) et"J3~= (e~, e~, ... , e~) les bases canoniques de [Rn et [RP,

Pour tout x = (Xl, x2,' .. ,xn) de [Rn et tout y = (YI, Y2,' , . , yp) de [RPon a donc:n P

x= LXWi Y= LYJeJi=l j=l

Sif est une fonction de [Rn dans [RPd'ensemble de définition DJ, l'imagef(x) de toutvecteur (XI,X2,'" ,xn) de DJ est usuellement notée f(XI,X2,'" ,xn).

On dit aussi que f est une fonction de n variables réelles,

En notant (fI .12, ... ,fp) les p fonctions composantes def par rapport à 0i\~ ' on a pourP

tout X de DJ: f(x) = (i1(X),f2(X),'" ,fp(x)) = Ljj(x)eJj=l

ou encore

f(XI,X2, ",xn) = (i1(XI,X2' ",Xn),f2(XI,X2, ",xn), .. ,fP(XI,X2, .. ,xn))P

= Ljj(XI,X2, ",Xn)eJj=l

• Les espaces E (dimE = n) et F (dimF = p) étant rapportés aux bases

0i\n= (el,' .. ,en) et 2Î3~=(e~, ... ,e~), une fonctionf : E -+ F d'ensemble de définitionn P

Dr s.ereprésente par 'if X E DJ' x = L Xiei, f(x) = Ljj(x)eJi=l j=l

Les bases 2Î3n de E et 2Î3~de F étant fixées, on peut convenir de noter:n P

X = LXWi = (XI,X2,'" ,xn) et Y = L YjeJ = (YI, Y2,"', yp)x=l j=l

etf se représente alors par 'if x = (Xl,'" Xn) E DJ, f(x) = (f1(X),f2(X), .. ,fp(X))

.-


On dispose ainsi de notations identiques pour les fonctions de E dans F et les fonctionsde IRn dans IRP.

• Les programmes M, P, P' d'une part et M' d'autre part ont une approche différente desnotions de fonctions continûment différentiables :

L'introduction de type M, P, P' est traitée dans les paragraphes 1 et Il, celle de type M'

dans les paragraphes 1 et III.

1- Applications partiellesDérivées partielles

A. Fonctions partielles

d.1 Soitf: IRn-+IRP (resp.f: E -+ F) d'ensemble de définition Vj'

Etant donné a == (al, a2,"', an) élément de Vj, les

sont fa.i :IR-+IRP, t>-7f(al,· .. ,ai_l,t,ai+l, .. ·,an) iE [Ln]Uensemble de définition de fa,i est

Vja.i == {t EIR / (al,'" ,ai-l, t, ai+l,'" ,an) E Vj}'

Remarque

1) Dans le cas d'une fonctionf : E -+ F, E étant rapporté à la base (eih";i,,;n. lesfa.i sont

aussi appelées fOnctîÔl1spartielles en asuivant la base

2) Si Vj est un voisinage de a, alors Vja.i est un voisinage de ai dans IR.

B. Continuité

o

t.1

1

ll&

Sif est continue en a, chacune de ses fonctions partielles fa,i est continueen ai.

Utiliser fa.i(t) ==f(a+ (t - ai)ei)

Remarque importante

Le théorème 1 exprime une condition nécessaire, mais non suffisante, pour que f soitcontinue en a.

- Travaux pratiques

(G,G) def: ~2-+1R définie par:

f(x, y) == 2xy 2 si (x, y) * (0, 0) etf(O, 0) == O.x +y

Chapitre 3: Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel 73

•• Les deux fonctions partielles en (0,0) x f-7 f(x, 0) et y f-7 f(O, y) sont identiquementnulles, donc continues.

1• Pour x 7= 0, on af(x, x) = 2' la restriction de f à la droite [p;u, où U = (l, 1). n'est donc

pas continue en (0,0) et il en est de même pour f.

2

la fonctionf : [p;2-,'-[p; définie par:

x2y ,f(x, y) = ~ SI (x, y) 7= (0,0) etf(O,

x +y

Etudier la continuité en (0,0) des restrictionslci

f est-elle continue en (0, 0) ?

1) Les fonctions partielles en (0,0) : x f-7 f(x, 0) et y f-7 f(O, y) sont nulles, donc continues,

ce qui assure la continuité en (0,0) des restrictions de f aux droites [p;el et [p;e2,

el = (1, 0), e2 = (0, 1).tx

Pour tout x 7=0, on a f(x, tx) = -2--2x + td'où la continuité en (0, 0) de la restriction def à toute droite [p;Ut, avec Ut = (1, t).

Tous les cas ont ainsi été envisagés,

12) Pour tout x 7= 0, on a f(x,~) = 2'

La restriction def à P = {(x, y) E [p;2 jy = ~}, (parabole), n'est donc pas continue en (0,0)

et il en est de même pour f.

C. Dérivées partielles

f est supposée définie sur UGuvertdelRn, (r~sp, de

DéfiJû,tîôi!ls :

------ ~ '.~ d.2 ,Boit a E U et) E [1, n], la) leme pa:rti€~ll~de f en aest, lorsqu'elle

. // existe, la dérivée en aj de la fonction partielle faj.

af

On la note D.J'(a) ou ax:(a).':1

af . f(al,"" aj-l, Clj+ t, Clj+l,"', an) - fCal,"" aj,"', an)-a-(a)= hm ---~-~-~~--------~---~ hO t

t"O

af . f(a + te) - fCa)-a-Ca) = hm -----~ t--+O t

t"O

d.3 Si DJ(a) existe en tout point a de U, on définit la

def sur U par:

D.J' : U -,'- F, a f-7 D.J'(a) ou af

a~U-,'-F,


7fdA

1

IM'ld.5

f est dite de sur U si, pour tout j E [1, n], f admet une /ème\

fonction dérivée partiellebffcontintle

Soitf: E -+ F définie sur U ouvert de E, a E U et u E E, u *- 0E.

On dit que f admet une dériyée en a suivtmt velcteur" si la fonction

fa.u : IR.-+ F, t ~ f(a + tu), définie au voisinage de 0, est dérivable en 0,

f(a + tu) - f(a)c'est-à-dire s'il existe lim ------

t--;-O tuo

Lorsqu'elle existe, cette dérivée est notée Duf(a).

Laj ième dérivée partielle de f en a E U, suivant la base (eih~i~n est donc, lorsqu'elle

existe, la dérivée def en a suivant le vecteur ej.

Propri~té:

p.1 f est entièrement définie par la donnée de ses pfonctions composantesf1, .. ,fpsur '27i\~base canonique de IR.P (resp. base de F).

Pour tout a E U, f admet en q. une j ième dérivée partielle, (1 ~ j ~ n), si etseulement si, pour tout i E [1,P ], Ji admet en a une j ième dérivée partielle,

Piaf P aJi 1

et alors Dff(a) = 2:= D.Jfi.(a)ei ou T(a) = 2:= -(a)eii=l -'0 i=l a Xj

f est de classe c1 sur U si et seulement si , pour tout i E [1, p], Ji est declasse C1 sur U.

D. Dérivées partielles d'ordres supérieursf est supposée définie sur U ouvert de IR.n (resp. de E)

Définition :

d.6 On suppose quef admet sur Uunejième fonction dérivée partielle, 1~j ~ n.

Si Dff admet en a une k ième dérivée partielle Dk (Dff) (a), 1~ k ~ n, o~ dit

que f admet en a une (k,j) ième dérivée partiêll{)sêêQIld{) notée :

a2fDf.. F(a) ou a a (a).Ig-' Xk Xj

2 () a2f a (af)Dky(a) = Dk Dff (a) ou aXk aXj (a) = aXk aXj (a)

On peut alors, comme précédemment, définir, si c'est possible, les fonctions dérivéespartielles secondes, puis, en itérant le procédé, les dérivées partielles et fonctions dérivées partielles triples, quadruples, etc.

Notation:

n.1 1 affXj = ax. = Dff'j

Il _ a2f __a (!L) = D2.fXkXj - aXk aXj - a~ aXj 19

'" ... 1 )

aqf a aq- f(q) - =--

fXjq .. ·Xj2Xjl - aXL ... aX;n a X;. aXjq ( aXjq_l'" aXj2 aXjl

~hapitre 3: Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel 75

Rappelons que J est dite de classe CO sur U si elle est continue sur U.

On dit que J est de classe Ck , (k E f'\t), sur U lorsque, quel que soit

(h ..... Jk) E [1. n]'\ J admet une (he ..... 11) ième fonction dérivée partielleakJ .

a X· ... a x- contmue sur U.')k :JI

On dit que J est de classe COO sur U lorsque, quel que soit k E fiJ, J est declasse Ck sur U.

Définition :

:>d7" .

::l-::xiété.;\

p.2 J: [Rn-+[Rp (resp. E -+ F) est de classe Ck sur U si et seulement si ses p

-t~//fonctions composantes sur la base 0:\~de IR.P (resp. de F) sont de classe Cksur U.

- •...éorème·:

o~ Ce résultat est admis.

1.2 T;lleorèfue de Schwarz

Soit J : [R2-+[R, (resp. J : E ~[R, avec dim E = 2) (x. y) f-'3o J(x, y) admettant,sur U ouvert de [R2, (resp. de E), des fonctions dérivées partielles secondes

a2J a2J--- et ---ax ay ay ax'

Si ces fonctions sont continues en (a, b) E U, on a :

a2Jax ay(a. b) =

:.1 Soit J : [R2-+[RP, (resp. J : E -+ F, avec dim E = 2) (x. y) f-'3o J(x. y) admettantsur U, ouvert de [R2, (resp. de E), des fonctions dérivées partielles secondes

a2J a~--- et ---ax ay ay ax'

2

S· ",' . ) aJ) a jl ces lonctlOns sont contmues en (a. b E U, on a a x a y (a, b = a y a x (a, b)

~ On applique le théorème précédent à chaque composante de].o

:.2 Soit J : [Rn -+IR.P, (resp. J : E -+ F) (Xl.···, xn) f-'3o J(X1 •...• xn) admettantsur U, ouvert de [Rn, (resp. de E), des fonctions dérivées partielles secondes

a2J a2J--- et ---aXj aXk aXk aXj

2 2

Si ces fonctions sont continues en a E U, on a : a a { (a) = a a ~ (a)Xj Xk Xk Xj

On applique le corollaire 1 à: g: (Xko Xj) f-'3o J(X1" . " Xko' .. ,Xj,' .. ,an) 0

Chapitre 3 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel

\Définition :

75

~ d.? Rappelons quef est dite de classe Ca sur U si elle est continue sur U.

On dit que f est de classe Ck , (k E f'\J*), sur U lorsque, quel que soit

(h, ... ,Jk) E [1. n]\ f admet une Vk,' .. ,J1) ième fonction dérivée partielle

okf.. continue sur U.d''<jk ... d.'<j,

On dit que f est de classe ex sur U lorsque, quel que soit kEN, f est declasse Ck sur U.

!Propriété:

p.2 f: [Rn_[Rp Cresp. E ~ F) est de classe Ck sur U si et seulement si ses p

,·,t/ fonctions composantes sur la base 273~de [RP Cresp. de F) sont de classe Cksur U.

Théorème:

t.2 Théorème de Schwarz

Soit f : [R2~[R, (resp. f : E -+[R, avec dim E = 2) (x, y) •.....•f(x, y) admettant,

sur U ouvert de [R2, (resp. de E), des fonctions dérivées partielles secondes

02f 02f

oX oy et oy ox'

Si ces fonctions sont con~~n~e_~_.l"?(a. b) E U, on ~.:a2f a2f

ax ay(a,b)= ay a)a,b).

lQf' Ce résultat est admis.

Corollaires:

D

c.1 Soitf : [R2-+[Rp, (resp. f : E -+ F, avec diillE = 2) (x, y) •.....•f(x, y) admettantsur U, ouvert de [R2, (resp. de E), des fonctions dérivées partielles secondes

a2f a2fax a y et a y ax'

2

Si ces fonctions sont continues en (a, b) E U, on a a:~y(a, b) = a: {)a, b)

On applique le théorème précédent à chaque composante de f.D

D

c.2 Soit f : [Rn ~[RP, (resp. f : E -+ F) (Xl,"" xn) •.....•f(X1, ... ,xn) admettant

sur U, ouvert de [Rn, (resp. de E), des fonctions dérivées partielles secondes

02f 02f--- et ---aXj aXk aXk aXj

2 2

Si ces fonctions sont continues en a E U, on a: o,~ { .. (a) = ",a ~ .. (a)

On applique le corollaire 1 à: g: (Xk,Xj) •.....•f(X1,'" ,Xko'" ,Xj,"', an)

76

",..... ",

<cfi


Sif: [Rn--+[Rp Cresp.f : E --+ F) est de classe Ck sur U,

pour tout (il, i2,···, ik) E [1, n]k et toute permutation cr de [1, k], on a:

akf _ akf

a Xii a Xi2 ... a Xik - a xÎu(1) a XÎu(2)... a XÎuCk)

f étant de classe Ck sur U, tout calcul de fonction dérivée partielle d'ordre inférieur ou

égal à k peut se faire dans un ordre arbitraire, ordre qui n'a donc pas à apparaître dansla notation.

On écrit par exemplea4f

a y2 ax2pour

a4fay axay ax

•de ce calcul ?

,0).

af

d'où axCO, 0) = °x;t 0, fCx, 0) - fCO, 0) = °X

Y ;t 0, f_C_x,_y_)-~fC_O_,y_) = y (~2- ;2)X X +y

A af af

De meme ayCO, 0) = ° , ayCX, 0) = X

d'où afCO )=-y,yax

On en déduit:

1 ( af af)- ~CO y)- ~CO 0) =-1y ax' ax' ,

1 ( af af)x ayCX, 0) - ayCO, 0) = 1,

a2fdonc ay a)0,0)=-1

a2fdonc ax ayCO,O) = 1

Par ailleurs,] admet, évidemment, des dérivées partielles secondes en tout point de

[R2\ {CO,a)}, il résulte donc du théorème de Schwarz que l'une de deux fonctions

a2f a2f .ax ay et ayax estnoncontinueenCO,O),

(en fait, les deux sont non continues par raison d'antisymétrie).

Chapitre 3: Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel

E. Opérations sur les fonctions de classe Ck

Propriétés:

77

p.3 Linéarité des dérivations partielles1

Sif ; [Rn~IR1P (resp. f ; E ~ F) et 9: [Rn---+[Rp (resp. 9 : E ---+ F)

sont de classe Ck sur U, ouvert de [Rn (resp. E),

il en est de même de À f + J-L 9 pour tout (À, J-L) E [R2.

L'ensemble Ck(U, F) des fonctions de [Rn dans [RP (resp. de E dans F) de classe

Ck sur U est un sous-espace vectoriel de '!Ji (U, IR1P) (resp. '!Ji (U, F».

~ C'est immédiat en notant que, pour tout (il, i2,"', ik) E [1, n]k, on a;

'-~a*TxJ+iigrakf =À-.-----D

pA

1

Produit de fonctions de classe Ck

Sif: [Rn---+[R (resp. f ; E ---+[R) et 9; [Rn---+[R (resp. f ; E ---+[R) sont de classe

Ck sur U, la fonction produit f9 est de classe Ck sur U.

Démonstration P.§IJ§9u.r.r§ng~.e~..ulili§'éllJtlefait que;a(fj) a af

ViE [Ln], -a 9 =f a9 +9-a .XL XL XL

Remarque

On a des résultats analogues pour tous les produits usuels;

• une fonction vectorielle par une fonction numérique

D

•••

produit scalaire de deux fonctions vectorielles, (cas où F est euclidien)

produit vectoriel,déterminant.

p.5 Inverse d'une fonction de classe Ck1

Sif; IR1n---+1R1 (resp. f ; E ---+1R1) est de classe Ck sur U et si a est un point de U

tel quef(a) *- 0, il existe V ouvert de [Rn (resp. de E) tel que1

{a} eV cU, 0 E f(V) et J est de classe Ck sur V.

L'existence de V résulte de la CQ.DJii)i.Jitâde·FenQ:'··

. a (1) 1 afOn a de plus V LE [1, n], aXif ==!~~~:i._-.....oce qui permet une démonstration par récurrence.

D

..


II - Différentielle d'une applic~tionde classe el

Ce paragraphe est spécial aux programmes M, P, P'.

A. Différentielle en un pointSoitJ : IRn--+IRPde classe el sur U ouvert de IRn.

d.8 Pour tout a E U, on note dJa l'application linéaire de IRn dans IRP définie par

n ~ .dJa(h) = L -(a)ht pour tout h = (hl, h2, ", hn) de IRn

t=l aXt

L'application dJa est appelée différentielle

Cas particuliern=l

La différentielle de J en a est l'application linéaire de IR dans IRP définie par:

\;f h E IR, dJa(h) = hf(a).

t.3 ! dJa est l'unique application linéaire u de IRn dans IRP telle que:

1 1 J(a + h) =J(a)+ u(h) + o(h) quand h tend vers 0, h E IRn~

alors u = v.

III Montrons que si u E;g (IRn, IRP)et v E;g (IRn, IRP)vérifient quand h E IRn tend vers 0J(a + h) = J(a) + u(h) + o(h)

et J(a + h) = J(a) + v(h) + o(h)Par différence on obtient (u - v)(h) = o(h)

En prenant, en particulier, h = tet, t E IR,1 ~ i ~ n, il vient

t(u - v)(ei) = o(t) donc (u - v)(ei) = 0(1).

On en déduit (u - v)(ei) = O.

Cette égalité étant vraie pour tout i E [l, n], on a finalement u - v = O.

• Montrons que dJa vérifie, quand h E IRn tend vers 0,

J(a + h) = J(a) + dJa(h) + o(h)

Il existe l1E IR: tel que U contienne le pavé

P={XElRn/\;f)E[l,n],IXj-ajl<YJ}j

Pour h E IRntel que a + hEP, soit '0 = L htei 1 ~) ~ n et Va = O.t=l

On a alors, pour tout) E [l, n], '0 = '0-1 + ryej etn

J(a + h) - J(a) = Lf(a + '0) - J(a + 1)-1)j=l

n 1l"Ij aJ"" -(a+'0_1+tej)dto a aKj=l :J


d'où:

n dj .. n 1·1l; [ dj aj Jj(a + h) - j(a) - '\"' hj-,-(a) = '\"' -,-(a + VJ-1 + tejl- -(a) dtL d X· LOd X' a X'j=l j j=l . j j

Considérons sur :;::n et :;::p les normes définies par

79

X! = supl'0~n

v y E8F, Il yll = sup Iydl~i~p

L "t' d aj Pd 1" t da continU!e e -,- sur onneexls ence e:d~'0

On obtient alors:

M· = sup'J rc=[O.h:J

éJj. ,-,-(a + \.)-1 + [ej)

(1.'0avec lim 1'>'Ij = O.h-O

n dj n n

+ h) - ICa) - L hj ax o<S L IhjllvIj o<S i! hll L L'VIj

j=l j j=l jdd'où finalement j(a + h) - ICa) - dja(h) = o(h).

Propriétés:

p.6 Notation différentielle1

Soit (cL,il1~i~n la base duale de la base canonique (ei)l~i~n de [Rn.

VhE?!.n. h=(h1.h2,"·,hn). dxi(h)=hi

n. alAlors dja = L -,-(a)cL'i

i=l dXi

p.l Linéarité de la différe;'tiation1

Soit j ::;::n~:;::p et g: [CRn_MP de classe el sur U, ouvert de [Rn.

Alors, pour tout C\., [1.) E 1R2et tout a EU:

dC'Aj+ [1. g)a =11. dja+ [1. dga

B. Matrice jacobienne

Soitj : Rn~};\p de classe el sur U, ouvert de [Rn.

On note encore ?An= (ejl1'0~n et ?A~= (eD1~i~p.

Définitions:

o

d.9 Pour tout a E U, la matrice de dja par rapport au couple de bases (œn, œ~)

est appelée matrice jacobienne de j en a.

[ aJi JOn la note Jj!a) et on a JJ(a) = a~ (a) EAiLp,n(IR)

i : indice de ligne , j: indice de colonne

aj p aJi 1

En effet dla(ej) = T(a) = L -,-(a)ei.)(; i=l d)(;


d.10 On suppose n = p et 2n~=2nn.

Le déterminant de JjCa), c'est-à-dire aussi le déterminant de dfa est appeléou dél;erlmÙlarlt fClllc·tiOlln€:lde f en a.

Il est noté DŒJ2,··· ,fn) (a)D(X1,X2,··· ,xn)

aux pratiques

matrice jacobienne en a d'une applicationn contenant a, dans les cas suivants:

• 1) Dans le cas n = 1.1 est continûment dérivable en a..

el sur U

detJFCO, 0, 0) = q3 + p3.

On constate que la matrice jacobienne def en a est unicolonne, son unique vecteur colonne

étant le vecteu rl'(a) :

[f{(a)] pJjCa) = : E .Mp,l (IR), l'(a) = ~f( (a)e;

f~(a) 1=1

2) Dans le cas p = l, la matrice jacobienne de f en a est uniligne :

[ af af]Jj(a) = aX1 (a)· .. a Xn (a) E .M1,n (IR)

exemple 5

:1R2 -7~ cleclasse el sur [- a, a]2, (a> 0).

:1R3-7~3, (x, g, Z) f-è> (j(g, z),f(z,

ést de classe el sur [-a, a]3.

pe jacobienne de F en (0, 0, 0) et son

• Chacune des applications composantes de F est de classe el sur [-a, a]3, il en est de même

pour F.

Si l'on pose p = D1f(O, 0) et q = Dzf(O, 0), on trouve:

[0 p q]JF(O, 0, 0) = q ° p

p q °


C. Gradient d'une fonction numérique

81

Rn est supposé muni de sa structure euclidienne canonique, (la base canonique 0iln est

donc orthonormée).

Le produit scalaire de deux vecteurs x et y de [Rinest noté (Xl y).

Soitf : Rn-R une application de classe el sur U, ouvert de [Rn.

Définition :

o

d.11

1

~

Pour tout a E:: U, il existe un unique vecteur de [Rn appelé le gradient de fen a et noté gradf(a) tel que V h E:: Rn. dfa(h) = (gradf(a)lh).

C'est une conséquence du fait que dfa appartient au dual de [Rn qui est canoniquement

isomorphe à Rn, (Voir Algèbre 11- Espaces Euclidiens).

n afLa base canonique de [Rinétant (eih<;i<;n, on a gradf(a) = L -(a)ei

i=l aXi

f;:xemples - Travaux pratiques

exemple 6

ici considéré comme espace affine euclidien.

un point fixé de [Rn, soitf l'application de [Rn dans [R définie par:

f :M f-7 Il Alvr 112

Montrer quef est de classe el sur [Rn.

Calculer gradf(M) en utilisant l'expression def(M) en fonction des coordonnéesdeM.

Retrouver le résultat précédent en calculant d.fw( 11) à partir def(M + 11)- f(M) .

• 1) Soit (al,"" an) et (Xl,"', Xn) les coordonnées respectives de A et M sur la base canon

nique de [Rn. Alors f se définit par f(M) = f(Xl, ... , xn) = L(Xi - a;)2i=l

f est donc de classe el sur [Rn.

af

2) Pour tout i E:: [l, n], -d' = 2(Xi - ai).Xi

n

Donc grad f(M) = L 2(Xi - ai)ei = 2AMi=l

3) f(M + u) - f(M) = IIAM + Li 1[2 -IIAMI12 = 2(AMllI) + II u 112

Or, au voisinage de 0, on a Il Li 112 = o( 11), donc:

f(M + lI) - f(M) = 2(AMlu): o( u)D'après le théorème 3, on déduit de cette formule que dfM est définie par:

V U E::[Rn, dfM( u) = 2(AMI Li)

d'où, par définition du gradient: gradf(M) = 2AM


D. Différentielle d'une application de classe C 1

D

D

d.12

tA1

ll&

•

t.5

ll&

•

•

•

Soitf: [Rn--+IRP de classe el sur U ouvert de [Rn.

La différentielle de f sur U est l'application de U dans 5:E([Rn, [RP) qui, à toutpoint a de U, associe dfa, on la note dJ.

df: U --+5:E([Rn, [RP), a ~ dfa

f : [Rn --+[RP étant de classe el sur U ouvert de [Rn, l'application différentielledf est continue sur U.

ÇiJl,n=(ejh"0~n ÇiJI,~=(eDI~i~p étant les bases canoniques de [Rn et [RP, une base

de 5:E([Rn, [RP) est ('tJy) lsi"'p où 'tJyest l'élément de 5:E([Rn, [RP) défini par:10".'Sn

'v'kE [l,n], 'tJy(el<)=Osib=j 'tJy(ey)=e:

P n afi

On a alors dfa = ""' ""' _t (a) 'tJfj00 ax-i~l j=l 'j

afi

En d'autres termes, les a ~ sont les fonctions composantes de df sur la base ('tJfj),'~~;,

La continuité de ces np fonctions composantes assure la continuité de dj.

Conséquence

Une fonction f :[Rn--+[Rp de classe el sur U ouvert de [Rn sera aussi appelée fonctiondifférentiable sur U.

Soitf: [Rn--+[Rp définie sur U ouvert de [Rn.

S'il existe une application € de U dans 5:E ([Rn, [RP) continue sur U et telle que,pour tout a de U :

(Ç5k) f(a + h) =f(a)+ €(a)(h) + o(h) quand h tend vers 0

alorsf est de classe el sur U avec df =€.

Il suffit de remarquer que la relation f(a + h) - f(a) = eca)(h) + o(h) donne

f(a + tei) - f(a) of=t(a)(ei) + o(h) d'où l'existence de -a-Ca) =€(a)(ei)Xi

Puis on note que la continuité de t assure celle de a ~eca)ei c'est-à-dire de :{i'

Ainsif est de classe el sur U.

Ensuite le théorème 3 donne que, pour tout a de U, dfa = € (a)

ExemplesSi f est constante sur U, la relation (Ç5k) est vérifiée avec t fonction nulle de U dans5:E([Rn, [RP),f est donc continûment différentiable sur U avec df = O.

Sif est la restriction à U d'une application linéaire <F,<FE';t ([Rn, [RP), la relation (Ç5k) estvérifiée avec, pour tout a de U, t (a) ='tJ,f est donc continûment différentiable sur Uavec 'v' a E U, dfa ='tJ.

Sif est la restriction à U d'une application affine e de partie linéaire 'tJ,'tJE';t ([Rn, [RP),

la relation (Ç5k) est vérifiée avec, pour tout a de U, t (a) =<F.

f est donc continûment différentiable sur U avec 'v' a E U, dfa ='tJ.

On notera que, dans chacun des trois exemples précédents, l'application df est constante sur U.


çxemples - Travaux pratiques

exemple 7

Soit f: (r. el f---7 (x, y) = (rcos e, rsin e)

Vélifier quef est de classe c1 sur puis calculer l? matrice jacobienne et lejacobien def en (r. e),

Mêmes questions pour:

f: (I; e, 'f) '-+ (x, y, z) = (rcos 'P cos e, rCGS<p.sine,

• Dans les deux cas, on a affaire à des fonctions de classe C1 puisque leurs composantes sont declasse C1.

1) Premier exemple.

- r sin 'P cos e ]

- r sin 'P sin e

r cos 'P

D(x, y)D(r, e) = detJf(r, e) = r

- r cos 'P sin e

r cos 'P cos eosm 'P

cos 'P cos e

cos <.; sin e

J (r. e) = [c~s e -rsin e]'f sm e rcos e

2) Deuxième exemple.

"1(,8,")= [

D(x. y. z) = detJjCr, e. q:)= ? cos 'PD(r. e, 'P)

E. Composition des applications de classe C 1

Théorème:

t,6 Soit f: lh\n_~p de classe C1 sur U ouvert de ~n

g: ~P-iRq de classe C1 sur Vauvert de ~p tel quef(U) eV.

Alors 9 of : p;n~Rq est de classe c1 sur U avec, pour tout a de U:

d(g oj)a = dgf(a) 0 dfa

~ Posons b =f(a). Les relations:

f(a+h) =f(a) + dfa(h) + oCh) hE~n. a+hE U

g(b+k)=g(b)+d9b(k)+o(k) kE~P. b+kE V

se traduisent par l'existence de deux fonctions:

81 : ~n_~p et 82: P;p-~q

définies respectivement sur

fl1={hE~n ja+hE U} et flF{kE~P jb+kE V} tellesque:

\j h E fl1 , f(a + h) = f(a) + dfa(h)+ ê1 (h)11 h Il ' lim 81 (h) = 0 (1)h--;.O

\j k E fl2 ' g(b + k) = g(b) + dgb(k)+ 82 (k)11 k Il ' lim 82 (k) = 0 (2)k~O

fl2 est un voisinage de 0 dans iRP etf continue en a, donc ilexiste fl~ voisinage de 0dans ~n, fl~ cfl1 tel que \j h E fl~, u(h) = f(a + h) - f(a) E fl2

Avec b+u(h)=f(a+h) et u(h)= dfa(h)+81 (h)lIhll,la relation (2) donne:

\jhEfl~, g(;(a+h)) =g(;(a)) +d9bodfa(h)+83 (h)11hll (3)


" () ( ) Il u(h) I[ou on a pose 103 (h) = dgb 81 (h) + sz u(h) -II-h-II- pour h*-O et 103 (0) = O.

Ilest clair que lim d9b (81 (h)) = 0 , lim Sz (U(h)) = 0h~O h~O

Il u(h) Il Il (h) Ilet d'autre part de -1-1h-II- ~ dfa IThlI + Il SI (h) Il ~ Il dfa Il + Il SI (h) [l,

([1 dfa Il est la norme de l'application linéaire continue dfa)

on déduit que h f-'> Illï~li Il est bornée au voisinage de 0, donc À~ 103 (h) = O.

La relation (3) donne donc 9 af(a + h) = 9 af(a) + dgb a dfaCh) + o(h)

Ilsuffitalors de noter que l'application:

{ qJ : U -+ :f', (IRn-+lRq)a f-'> dgj(a) a dfa

est continue sur U, pour conclure par application du théorème 5 que 9 a f est de classe

CI sur U avec, pour tout a E U, d(g a f)a = dgj(a) a dfa.

La continuité de qJ, en tout point a de U, est conséquence de :

Ildgj(al) a dfa' - dgj(a) a dfall ~ Ildgj(al) - dgj(a) Il Il dfa' Il

+ Ildgj(aJilll dfa - dfa' Il

ainsi que de la continuité de df en a, de dg enf(a) et def en a

Corollaires:

c.1 JacobieriIle d'une fonction composée

On conserve les hypothèses du théorème 6

Pour tout a de U, les matrices jacobiennes vérifient:

Jgoj(a) = Jg(I(a)) Jj(a)

D

c.2 Composition des dérivations partielles

Soit f: IRn-+IRP de classe CI sur U ouvert de IRn et g: IRP-+IR de classeCI sur V ouvert de IRP tel que fCU) c v.

f: (Xl,XZ,'" ,Xn) f-'> (Il(Xl'XZ,'" ,Xn),'" ,jP(Xl,XZ,'" ,xn))

g: (YI, Yz,"', yp) f-'> 9(Yl, Yz,"', yp)

Alors en tout point x = (Xl ,Xz,' .. ,xn) de U, on a, pour tout i E [1, n] :

a 9 a f P a9 ( ) ali~(Xl,XZ,···,Xn)= L ay. fl(X),jZ(x), .. ·,jp(x) ax(Xl,Xz, .. ·,Xn))=1 IJ [

~ C'est une conséquence de l'égalité matricielle Jgoj(x) = Jg (I(x)) Jj(x) où:

[ agaf agaf agaf]Jgoj(x) = ----axI(x), ~(x), .. " a Xn (x) E JirLl,n(IR)

Jg(I(x)) = [aa:l (I(x)). aa~ (I(X)) , aa~ (I(X))] EJLl,p (IR)

[ai; ]Jj(x) = a ~ (x) E clipon (IR)

D


c.3 Composition des différentielles: méthode pratique

Soitf : [Rn~RP de classe CI sur U ouvert de [Rn

et g: [RP~Rq de classe el sur V ouvert de [RPavecf(U) c V.f :x = (Xl, ... , xn) f-7 y = (YI, ... , yp)

g: Y = (YI,"', yp) f-7 Z = (Zl,"', Zq)

Alors, J;, i E [1,p], étant les fonctions composantes de f on a :

P ag n aJ;dg = L -dYi et ViE [l,p], dJ; = L-cbj

. 1 a Yi . 1 aX][= )=

P a 9 n aJ;et d(g 0 f) = L~.-L-.-cbj

. 1 â Yi . 1 dx;[= )= J

On obtient donc d(g 0 f) en remplaçant dans dg les dYi par les dJ;.

cA Différentielle d'un produit, d'un inverse

(2)

Alors il existe V ouvert tel que {a} c V c U

CI sur V avec: V X E V d (}) = ; 1 dfxx f (x)

il Soitf: [Rn-;-[Rp et g: [Rn~[R de classe el sur U ouvert de [Rn.

Alorsfg est de classe CI sur U avec:

V X E U d(jg)x = g(x)dfx +f(x)dgx (1)

ül Soitf: [Rn-;-[R de classe el sur U ouvert de [Rn et a E U tel quef(a) *' O.

1et 0 E f(V), J est de classe

[Rn X [R -;- [Rn

(y, À) f-7 À Y

sont définies par:[Rn X [R -;- [Rn

(u, [L) f-7 À u+ [L Y

(@f' il On sait déjà, voir propriété 4, que fg est de classe el sur U.

D'autre part, on peut écrire fg = Po F avec:

{ F: [Rn ~ [Rn X [RX f-7 (i(x), g(x:») et

Sachant que dFx, XE U et dP(y,À)' (y, À) E [Rn X [R

{dFx: [Rn -;- [Rn X [R ,et {dP(y'À)h f-7 (dfx(h), dgx(h») .

Le théorème 6 donne d(jg)x = dP( ) 0 dFxj(x),g(x)

donc d(jg)x: [Rn-;-[Rn, h f-7 g(x) dfx(h) + dgx(h)f(x)

c.5

1

(@f'•

ii1 On sait déjà, voir propriété 5, qu'il existe V ouvert tel que {a} c V c U, 0 E f(V) et1J de classe el sur U.

La formule annoncée s'obtient, comme ci-dessus, par application du théorème 6, en

.. 1 f 11ll'" 11ll'" 1ecnvant J=Io avec I:lf'ü'-;-lf'ü',tf-7t 0

Composition des fonctions de classe Cm, m ~ 1

Sif : [Rn-;-[Rp est de classe Cm sur U ouvert de [Rnet 9 : [RP-;-[Rq de classe Cmsur V ouvert de [RPtel que feU) c V, alors go f est de classe Cm sur U.

Il suffit de montrer que les composantes (g 0 J)k, 1 <S k <S q, de go f dans la base(ekh,,;k,,;q de [Rq sont de classe Cm.

Or, (g 0 J)k = gk 0 f ;on est donc ramené à démontrer la proposition dans le cas oùq=1.

D

86

•


Procédons par récurrence .Le résultat est acquis pour m = 1.

Supposons la propriété vraie pour les fonctions de classe Cm, et supposons f et g declasse Cm+1.

Leurs fonctions dérivées partielles sont alors de classe Cm, donc, d'après l'hypothèseag

de récurrence, les -a- of sont de classe Cm.Yj

On en déduit que les (: ~ 0 f) :~isont de classe cm, propriété 3, et donc que

a (g 0 f) ~ ( ag ) ajjles ". = L -- of -- sont de classe Cm.~ . aW a~J~l

Ainsi,go f est de classe Cm+1,la propriété annoncée est récurrente.

d'où:af af

ax cos 8 +ay sin 8

Exemples - Travaux pratîques

exemple 8

f: IR;2--;.1R;,(x, y) >--c> f(x, y) de classe C2 sur IR;2

g: IR;2--;.1R;2,(r, 8) >--c> (x, y) = (r cos 8, r sin 8).dérivées partielles premières et secondes de F = f

a2f a2f'" --Z + --2 (Laplacien def) en fonction des

ax ay

Onaici F(r,8) =f(rcos 8,rsin 8)

{ aF

ar -

aF af. af- = --rsm 8 +-rcos 8

a8 ax a yDans ces formules, pour alléger l'écriture, notons:

aF aF af af .ar pour ar(r,8) et ax pour ax(rcos8,rsm8), ...

Le théorème de Schwarz s'applique, et on obtient:a2F a2f a2j a2f

--2 = --2 cos2 8 +2aa sin 8 cos 8 +--9 sin2 8a r ax x y a y-

a2f af af a2j ,)2j8 '8 2.282c 2'88--2 = --a-rcos --a rSln +--2 r SIn - -iJ' a r SIn cosa8 x y ax x y

On en déduit a2F 2a2F aF.-- + r -- + r- = ? .:::.Fa82 ar2 ar

a2fa r a8

,2f+_d_. r2 cos2 8

ay2

af. af a 2f . a 2f 9 ')

= --a sm 8 +-a cos 8 ---2 r sm 8 cos 8 +-'--iJ,-r(cos- 8 - sin~ 8)x y ax dx y.2

cJ .

+~rsm 8 cos 8dy

a2F 1 a2F 1 aF

Donc, pour tout (r,8) E IR;~x IR;: .:::.F = ~ + 2" ~8 + r ard r r d

Chapitre 3 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel 87

(1 ).

la condition:

exemple 9

{ex, y) E ,,,? - if' > O}

déterminer les applications j: U -,-IR:, (x, y) f-!> j(x, y) de classe CI sur U

• éJ2j" a2j, 1

Vlx,ylE L " 2IX,yl- . 2IX,y)= G(IX oy yx2 _y2

donnée j E C2,:=:2, on définit g E e2(R2, IR) par + y, x - y) = j(x, y)') ')

;.rj a-j .Ç , d d'" t' Il d----". - --,) en lonctIon es envees par le es •.f)g.élx- ay~

les solutions de (1).

• d'f" "{' -')1 O} ') j(U+V u-v)1 g est e Inle sur ,/ = 1U. L') E .",,- uv> par: gl,U, v = -2-' -2-

1 (u+ v u- v)

ou encore g = jo ç avec;,;:: lu.vi f-!> lx,y) = -2-' -2- et Cf' est évidemment de

classe ex sur :=:2. Donc g est de classe C2 tout commej (d'après le corollaire 5 précédent).

De jlx. yi = glx + y. x - y), on déduit alors:aj. é/g ag.

-ax1x.y) = aulx+y.X-yl+ éJvIX+y,x-y)

a2J ... 2 .2 .2d g, ,ci g ci g--2 Ix. y) = --? IX+ y.x - y) + 2-.--ci.-(x+ y.x - y) + ~(x+ y,x - y)a x a u- d U v a V-

aj ,ilg ilg. ,-il (x,y) = -.-IX+ y.x - y) - -.-Ix + y.x - yJY dU cil'

a2j , a2g. "a2g a2g

--:2 (x, y) = --') lx + y. x - y) - 2-.--.-(x + y. x - y) + --2 (x + y, x - y)il Y a u- d U d V il v

a2j a2j éJ2gdonc --') (;'C. yl- --') lx. yJ = 4-.--,,-,lu. l'); U = x + y, v = x - Y

axay- dUel'

'P réalisant une bijection de 1.-' = {eu. l') E [:22Iuv> O} sur U, le calcul ci-dessus donne donc. ') . 1

(1)Ç=?V(U,V)E \~ 4 ,d-~ (u.v)= ~ (2)cJ U dV vuv

Remarque fondamentale

Si P est un pavé ouvert de :::22:P = [ x J, et si h E CliP,

il h 1V (x,y) E P, -,-(x, y) = 0 équivaut à l'existence de /( E C (J, iR() telle que:elX

V (x. y) E P. h(x, y) = Je(y) (h est indépendante de x)

car, pour tout (Xl, X2) E [2 et tout y E J, le segment joignant (Xl, y) et (X2, y) est inclus dans P.

On a ici 1.-' = 1.-'1 U 1.-'2 avec VI = C~~)2 et V2 = (R:,;2, pavés de 1R2.

Pour (u, v) E VI, (2) donne successivement, d'après la remarque précédente:

aag (u, v) = ~ + al(U), al E Cl(iR(~,IR) étant arbitraireU 2yug(u, v) = VUV+Al(U) + Bl(V), Al et BI étant arbitraires dans e2(1R:, IR)

Sur V2, (2) donne de même glu, v) = VUU+A2(U)+B2(V), A2 et B2 arbitraires dans C2(1R:, m.En posant Ul = {(x, y) E iR(2 lx - y > 0, x + y > O}, U2 = {(x, y) lx - y < 0, x + y < O}, on endéduit que la solution générale de (1) est définie par:

V (x, y) E Uk' j(x, y) = Vx2 - y2 + Ak(x + y) + Bk(x - y)

Ak et Bk étant arbitraires dans C2(1R' ,IR), JeE {l, 2, 3}.

88

[!!! DifférentiabilitéCe paragraphe est spécial au programme M'.


c'est-à-dire si j(a) = g(a) et

A. Fonction différentiable en un point

Il. Fonction différentiable 1

d.13 Deux fonctionsj et 9 de E dans F définies sur V voisinage de a E E sont dites

tange:rltes e'fia. sij(a):;: g(a) etj(x) ~ g(x) = o(x - a) ql.lql'lg~t~nd vers a,

j(x) - g(x)lim=Ox;;,a Il x - a Il

d.14

1

!kW

t.7

1

f :E ---+ F est définie sur V voisinage de a E E.

f est diteqifférentiable en a s'il existe 'Pa, application affine de E dans F,telle que j et 'Pa soient tangentes en a.

D'après la définition 13, on a alors 'Pa (a) = f(a), donc, si tjJa est la partie linéaire de'Pa, ilvient: V x E E, 'Pa (a + x) = j(a)+ tjJa (x)

j :E ---+ F étant définie sur V voisinage de a E E, j est différentiable en a SI

et seulement si il existe tjJaE:;g (E, F) telle que:

j(a + h) = j(a)+ tjJa (h) + o(h) quand h tend vers O.

Propriétés:

p.8!kW

Sij est différentiable en a,j est continue en a.

E étant de dimension finie, tjJa est continue, d'où lim tjJa (h) = 0h-+O D

D

D

p.91

!kW

p.10

!kW

Sij est différentiable en a,j admet en a une dérivée suivant tout vecteur unon nul de E.

En effet, f(a + tu) = f(a) + t tjJa (u) + o(tu) donne:

j(a + tu) - j(a)lim ------ =tjJa (u) c'est-à-dire DJ(a) =tjJa (u)t_O t

Ml

Sij est différentiable en a, l'application linéaire tjJa est définie de manièreunique.

Elle est dite différentielle de j en a et notée djaPour tout vecteur u non nul de E, on a donc DJ(a) = dfa(u).

E étant rapporté à la base (eih",i",n, on a :

afViE [l, n], tjJa (ei) = D;f(a) = -. -(a)dXi

Ainsi, tjJa est l'unique application linéaire de E dans F définie par:

n n ajV h E E, h = Lhiei tjJa (h) = Lhi-.-(a)

i=l i=l dXi


Notation:

89

n.2 dfa=

D

OÙ (cL'(ih~i~n désigne la base duale de la base (qh~i~n de E, dxi : h ~ hi.

Propriétés:

p.11 Les notions précédentes (fonction différentiable en a, différentielle en a) sont1 invariantes par changement de norme dans E ou F.

~ E (resp. F) étant de dimensions finies, toutes les normes sur E (resp. F) sont équivalentes.

p.12

1

CasoùE= ~

f est différentiable en a si et seulement sif est dérivable en a et alors dfaest définie par V h E~, dfa(h) = h1'(a) ou dfa =1'(a)dx

~ Les deux propositions se traduisent en effet par:

:3 A E F,f(a + h) = f(a) + hA + o(h) (A = l'(a»

çxemples - Travaux pratiques

exemple 10

: E --+ F définie sur un voisinage de a avec f(x) = o(x).

quef est différentiable en O.Calculer dJO .

• Il suffit de constater quef et l'application nulle (de E dans F) sont tangentes en O.

Donc f est différentiable en a avec dfo = O.

exemple 11

la continuité et la différentiabilité de f définie par:

{a si (x, y) = (0,0)f :~2--+R (x, y) ~ xy2 .-2--2 SI(x, y) :;t (0,0)x + LI

• Choisissons une norme sur ~2: (x, y) ~ sup{lxl, Iyl} = h.h3

On a lf(x, y)1 ~ 2 = h. Doncf est continue en (0, 0).h

D

O'X

On a, pour tout 0' réel: f(O' x, x) = ~10' +

f(O' x, x) 0'lim = -2-x-+o X 0' +1

0'doncf admet en (0, 0) une dérivée suivant le vecteur (0', 1): D(a.1Jf(0, 0) = -2-'

0' +10'

Supposons f est différentiable en (0, 0), alors dfco.o)(O', 1) = -2-'0' +1

L'application dfco,o) : ~2--+~ étant linéaire, O'~ --;- est affine; c'est une contradiction.0' +1

Doncf n'est pas différentiable en (0, 0).


n}

f:PI-'J> 11 deE .

• D'après la formule de Taylor-Lagrange:2

'if (x, h) E ~2, 3eE ]0,1[, sin(x + h) - sin x = hcosx - ~ sin(x+ e h) d'où 'if (p, Q) E E2,

f(P+Q)- f(P)= fol [sin (t P(t) + t Q(t)) - sin (t P(t)) ] dt

/1 /1 t2Q2(t)f(P+Q)-f(P)= Jo tQ(t)cos(tP(t)) dt- Jo -2-sin(tP(t)+te (t)Q(t)) dt

L'application L: Q I-'J> fol tQ(t)cos(tP(t)) dt est évidemment linéaire.

( /1 ) i 1Avec, par exemple, Il Q Il = Jo Q2(t) dt , ilvient lt(P + Q) - f(P) - L(Q)I os; zll Q 112

donc f(P + Q) = f(P) + L(Q) + o(Q)

En conclusion, f est différentiable en P avec dfp = L.

Théorème:

t.8 Linéarité de la différentiation

Sif : E --+ F et 9 : E --+ F sont différentiables en a E E, pour tout

(À., 1-")E~2, À.f + 1-"9 est différentiable en a avec:

d(À.f+ 1-" g)a =À. dfa+ 1-" dga

q[a (E, F), ensemble des fonctions de E dans F différentiables en a, est doncun sous-espace de l'espace vectoriel des fonctions définies au voisinage de a.

IŒ'En effet f(a + h) = f(a) + dfa(h) + o(h) avec dfa E;g (E, F)

g(a + h) = g(a) + dga(h) + o(h) avec dga E;g (E, F)donne (À.f+ 1-"g)(a + h) = (À.f+ 1-"g)(a) + (À. dfa+ 1-"dga)(h) + o(h)

avec À. dfa+ 1-"dga E;g (E, F)o

12. Matrice jacobienne 1

Théorème:

t.9 F est rapporté à une base (e()I~;~p, les composantes def sur cette base sontfl,]2,'" ,]p.

f est différentiable en a si et seulement si chaque fi, 1os; i os; p, est différen~tiable en a.

On a alors (dfi)a = (dfa);, c'est-à-dire que la différentielle en a de la i ième

composante de f est la i ième composante de la différentielle en a de J.IŒ' • Sif est différentiable en a, on a f(a + h) - f(a) =Wa (h) + o(h)

Donc, en introduisant les composantes (Wa); de Wa. on obtient:


\:j i E [1. p]. ji.(a + h) - ji.(a) = (t\JaMh) + o(h)

Ainsi,j est différentiable en a avec (dfi)a = (wal; = (dfa);.p

• Inversement, si chaque fi est différentiable en a, posons t\Ja= 2)dfi)aeli=l

On a alorsfla + h) - fia) =Wa (h) + o(h) ; doncf est différentiable en a.

Définitions:

91

o

d.15 Matrice jacobienneSif est clifférentiable en a, la matrice de dfa, par rapport au couple de bases(ejh"0~T1 de E, (eD1~i~p de F respectivement, est appelée matrice jacobiennedef en a.

On la note JjCa) et on a JjCa) = [ ~~ (al]

Ci: indice de ligne ;j : indice de colonne)

af P afiEn effet dfa(ej) = -.-(al = "L -' (a)~.

cL'j . aJ0,=1

E Mp,T1 (IR)

D

d.16 Jacobien,

On suppose E = F, (eih~i~T1 = (ejh"0~T1

Le déterminant de JJ(a) (c'est-à-dire aussi le déterminant de dfa) est appeléjacobien ou déterminant fonctionnel def en a.

On le note

13. Gradient d'une fonction numérique 1

Définition :

d.17 On suppose ici que E est un espace vectoriel euclidien et que F =IR.f: E ~IR étant différentiable en a, il existe un unique vecteur de E appelé legradient def en a et noté gradf(al tel que:

\:j h E E, dfa(h) = (gradf(a) 1 h)

I@f C'est une conséquence du fait que dfa appartient au dual de E qui est canoniquement

isomorphe à E (voir Algèbre 2, Espaces Euclidiens).

Si (ei)l~i~T1 est une base orthonormée de E, on a

.t:Xemples - Travaux pratiques

o

exemple 13 ~

MOntrer que f: E ~R x....." \1 x Il est différentiable sur E \ {O}x

\:j X E E \ {O}, gradf(x) = TIXTf'


• Pour XE E \ {O} et h E E, on a Ilx + h 112 = Ilx 112 + 2(xl h) + Ilh 1121

( (xlh) Ilh112)2donc f(x+ h) = IIxll 1+2--2 + --2

Ilxll Ilxll

.1 uSachant que, au voisinage 0, (1+ u)2 = 1+ "2 + oCu) U E IR

on obtient f(x + h) = f(x) + il~~~+ o(h), f est donc différentiable sur E \ {O}avec

(xlh) " xdfx : h ~ W d ou grad fCx) = TIXlf

B. D!1férentiabilité sur un ouvert

f :E -+ F est dite différentiable sur U ouvert de E si elle est différentiableen tout point de U.

Sif : E -+ Fest différentiable sur U ouvert de E, l'application:

df : U -+::E(E, F), a ~ dfa

est dite application différentielle de f.Sif : E -+ Fest différentiable sur U ouvert de E, elle est dite continûmentdifférentiable sur U si df est continue sur U.

Exemples

• f contante sur U est continûment différentiable sur U : df = O.

• Dans le cas où E =IR.

f est différentiable sur U si et seulement si elle est dérivable sur U.

f est continûment différentiable sur U si et seulement si elle est continûment dérivablec'est-à-dire de classe C1 sur U.

d.18

1

d.19

1

d.201

Ilsuffit,par exemple, de noter que dans ::E (R F), on a :

Ildfa - dfbll = sup Ilh(l(a) -l(b») Il = IllCa) - j'(b) IlIhl~l• Sif est la restriction à U d'une application linéaire c.p, (c.pE::E CE,F»), elle est continûment

différentiable sur U : V a E U, dfa =c.p, df est iciune application constante.

• Sif est la restriction à U d'une application affine e,j est continûment différentiable surU avec: V a E U, dfa =c.p, partie linéaire de e.

Il, Caractérisation des fonctions continûment dîfférentiables 1

E est rapporté à la base (ejh'0~n,Theorèmes:

F est rapporté à la base (ef)hi9'

o

t.10

1

v:%'

f :E -+ F est continûment différentiable sur U ouvert de E si et seulement

si il en est de même pour chacune de ses fonctions composantesf1,f2, ... ,fp.

C'est une conséquence du théorème 9


avec:

donc:

n

On a alors: J(a + h) - J(a) = LJ(a + V)) - J(a + V)-1))=1

n aJ nJ(a + h) - J(a) - '"" !-y-Ca) = '"" <Pl (l-y)- <Pl (0)~ ax- ~

)=1 ':J )=1

aJ

<Pl: t f--J> J(a + V)-1 + te)) - tax:(a)':J

L'inégalité des accroissements finis appliquée à <Pl sur [0, hjJ donne:

\ aJ aJ 1

l<p) (h))- <Pl (0)1 ~ l!-YI Mj avec Mj = sup -(a + V)-1 + te)) - -(a)tE [O'/ljJ a Xj a Xj

donc avec, par exemple, Il h Il = sup 1 !-y 1 :

l"'0s;n

Pour que J : E --..;.If{soit différentiable en a, il suffit que J admette sur v,

voisinage de a, n fonctions dérivées partielles aaJ, toutes continues en a.Xj

Il existe 1]> 0 tel que V contienne le pavé P = {x l 'rijE [1, n], IXj - cyl <1]}

)Pour h E E, tel que 'rijE [1, n], 1 !-YI <1], soit V) = Lhiei, 1 ~j ~ n et Va = 0,

i=l

t.11

1

1. n aJ 1 n1(a + h) - J(a) - ~!-y aXj (a) ~ Il h Il ~ Mj

La continuité des dérivées partielles en a donne 'rijE [1, n], lim Mj = 0h~O

n aJd'où J(a + h) - J(a) - '"" !-y-Ca) = o(h).~ ax-

)=1 ':J

o

1.12

1

Pour queJ : E --..;.F soit continûment différentiable sur U ouvert de E, il faut

et il suffit que J admette sur U, n fonctions dérivées partielles (suivant la

base (e)l"'0S;n) continues sur U, c'est-à-dire queJ soit de classe el sur U

• SiJ est différentiable sur U, dJ: U --..;.::E(E,f), a f--J> dJa est continue sur U

si et seulement si Jj: U --..;.Jttlp,n (If{), a f--J> Jj(a) est continue sur U,

o

•

donc si et seulement si 'ri Ci,j) E [1, p] x [ 1, n], aaj; est continue sur U.Xj

L'implication (f continûment dérivable sur U =? J de classe el sur U) en résulte.

Réciproquement, si J est de classe el sur U, J est différentiable sur U d'après les

théorèmes 10 et 11, elle est alors continûment différentiable sur U d'après la conditionnécessaire et suffisante ci-dessus.

o

Conséquences

il SiJ : E --..;.F est de classe el sur U ouvert de E, elle est continue (classe Ca) sur U.

ii 1 Plus généralement, siJ:E --..;.F est de classe Ck+1 sur U, elle est de classe Ck sur U.

~ i 1 est une conséquence du théorème 12 et de la propriété 7

ii 1s'obtient en appliquant il à toutes les dérivées partielles d'ordre k def.


ni

En posant x = (Xl, ",Xm) E E, h = (hl, ", hm), hi = L hy eyj=l

on obtient, pour tout X E E et h E E :m ni al m ni

dfx(h) = LL ax.(x)hy = LLf(X1,··,xi-1,ey,xi+v"xn) hyi=l j=l Y i=l j=l

m

d'où dfx(h) = Lf (Xl' "'Xi-l, h;,Xi+1' .. ,Xn)i=l

2) Applications aux produits usuels

• Produit de n réels: p: IR;n~R (Xl,"" Xn) f--3> X1x2'" Xnn

dpx : (hl, ... , hn) f--3> L xl ... xi-1 hi xi+1 ... Xni=l

• Produit d'un réel et d'un vecteur: p: IR;xE ~ E, (À, x) f--3>À X

dP(À.x) : (f.!., h) f--3>f.!. x+ À h

• Produit scalaire de deux vecteurs de E dans un espace vectoriel euclidien

p : E2 ~IR;, (x, y) f--3> X . Y

dp(x,y) : (h, le) f--3> h . Y + x . le

• Produit mixte de n vecteurs de E espace euclidien orienté de dimension np: En ~R (X1,X2,'" ,xn) f--3> [X1,X2"" ,xn]

n

dPCXl,X2 •. Xn) : (hl,' .. , hn) f--3> L[X1, ... ,xi-1· hi. xi+1 .... ,xn]i=l


2. Compositions des fonctions différentiables

o

E. F G sont trois espaces vectoriels normés de dimensions finies.Sif : E ~ Fest différentiable en a E E et 9 : F --+ G différentiable en b = f(a),

alors go f est différentiable en a et de plus:

d(g of)a = dgla) 0 dfa

Voirparagraphe Il : démonstration du théorème 4.

Théorème:

t.13

Corollaires:

o

E étant rapporté à une base (edl>S:i>s:n, F à une base (eJh"0>S:p et G à (e~)l>S:k>s:q,

sous les hypothèses du théorème 13, on a pour les matrices jacobiennes :

Jgof(a) = Jg (Pa») . Jf(a)

Sif est différentiable (resp. de classe el) sur U ouvert de E et G différentiable(resp. de classe el) sur V ouvert de F tel que feU) c V,

alors go f est différentiable (resp. de classe el) sur U.

Produit et inverse de fonctions différentiables . Considérons les propriétés:• (1) application différentiable en a• (2) application différentiable sur U ouvert de E

• (3) application de classe el sur U ouvert de E

i/Soitf:E--+iR et g:E~F.

Si f et 9 possèdent la propriété (k), k E {1.2.3}, il en est de même del'applicationfg avec d(jg)a = g(a)dfa +f(a)dga

ii / Soit f : E --+iRtelle que f(a) *- 0, si f possède la propriété (k), k E {1. 2, 3},1

il existe un ouvert U, a E U, tel que a 11' feU). Alors J est définie sur U etpossède la propriété (k).

• pour k = 1, d (J) = ---i-dfaa f (a)

• pour k E {2. 3}, V x E U.d (J) = -~dfxx f (x)

~ Voirparagraphe Il.démonstration du corollaire 4 du théorème 6.

c.1

1

c.2

1

c.3

cA Composition des dérivations partielles

Soitf: E --+ F de classe el sur U ouvert de E et 9 : F --+1R de classe el sur Vouvert de F avecf(U) c V.

E et F étant rapportés aux bases (e;)l>S:i>s:n et (eJh0>S:p, on note:• f: (Xl, .... Xn) ,.....,.f(x) = f(Xl ....• Xn) = (YI. Y2 •.... Yp)

avec Yj = J](x) = J](XI ....• Xn) , 1 "'"j "'"P

• 9 : (YI .... ,yp) ,.....,.z

agof ~ ag ( ) aJ]Ona: -a-·-(Xl,X2.···,Xn)= ~~a~ fl(X),J2(X).···,fp(x) ~a~(Xl.X2.···.Xn)x, . Yu' XiJ~l

~ Voirparagraphe Il,démonstration corollaire 2 du théorème 6.o


c.5

o

C.G

1

~

f: E -+ F, X = (XI,X2,'" ,Xn) f--? y = (YI, Y2"', Yp)

g: F -+ G, Y = (YI,Y2,'" ,Yp) f--? Z = (Zl,Z2,'" ,Zq)

f est supposée différentiable sur U et 9 différentiable sur V,f(U) c V.

p a9 n afi.Alors dg = L -dYi , dfi. = L -cbj (V i E [l,p]). l aYi . l ax;[= J= J

P a9 n afi.et d(g 0 f) = L- L -cbj. 1 a Yi . 1 ax;[= J= J

On obtient d(g 0 f) en remplaçant dans dg les dYi par les dfi. (les fi. étant lesfonctions composantes de 1).

fonctions de classe cm , m ~ 1

Sif; E -+ F est de classe Cm sur U ouvert de E et 9 ; F -+ G de classe Cm surV ouvert de F tel quef(U) c V, alors 9 of est de classe Cm sur U.

Voirparagraphe Il, corollaire 5 du théorème 6.

1 IV - Fonctions implicites

Conformément au programme, les théorèmes 14 et 15 sont admis.

t.14

Soitf ; ~n-+~ de classe C1 sur U ouvert de ~n et a E U tel que;

af

f(a) = ° avec -a-Ca) 1= 0, a = (al,' .. , an)xn

•••

Alors il existe :

Q pavé ouvert de ~n-l contenant (al,"', an-l)

ln intervalle ouvert de ~ contenant an

\papplication de classe C1 de Q dans ln

tels que, en notant P le pavé ouvert Q x ln de ~n ;

aiV XE P. -a-(x)1=O (1)Xn

i(X1,"', Xn) = 0 <==} Xn ='P (Xl,"" Xn-1) (2)

2)

V x = (Xl, ... ,xn) E P.

Conséquences

1) La condition (2) donne an ='P (al ..... an-l)

De plus, elle traduit que l'intersection avec P de l'hypersurface

S = {x E ~n / f(X1,' .. ,Xn) = O} est un graphe fonctionnel; celui de \p.

de 'Il

La fonction 9 : (Xl,"', Xn-1) f--? f ((Xl, ... ,xn-l, c.p (Xl, ... , Xn-1)) est identique

ment nulle sur Q. Or, on sait que f et 'Il sont de classe C1, donc, en notant:

'Il (Xl,'" ,Xn-l) = xn, on obtient V (Xl,'" ,Xn-l) E Q, ViE [l, n - 1],

ai a\p ai-a . (XI,,,,,Xn_1,Xn) + -a .(X1"",Xn_I)· -a- (X1"",Xn_I,Xn) =0~ ~ ~


••

•

3)

af

a<D --a-:(Xl,···,xn-l,xn)

a~i(Xl"" ,Xn-l) = --a-;-' --------(Xl,'" ,Xn_l,Xn)aXn

Sif est supposée de classe Ck, k ~ 1, 'P est de classe Ck sur Q.

Fonction implicite définie par un sYî,~m~

Soitf: [Rn X [RP~[RP de classe el sur U ouvert de [Rn X [RP.

f: (Xl,'" ,Xn,Xn+l,'" ,Xn+p)

~ (il (Xl, ... ,Xn+p),f2(Xl"" ,Xn+p),'" ,fP(Xl,'" ,xn+p))

et soit a E U tel quef(a) = 0 avec:

D(,fI, ,fp) (a) = det [ af;. (a)] ;<00D(xn+l' ,Xn+p) a xn+j IO;;io;;p

l"0~p

Alors, il existe:

Q pavé ouvert de [Rn contenant (al, ... , an)

P pavé ouvert de [RP contenant (an+l,' .. ,an+p)

'P application de classe el de Q dans P

tels que, en notant T le pavé ouvert Q X P de [Rn+p,

'VXET, D(D<Jl···fp) )(x);<oO (1)Xn+l ... Xn+p

'V X = (Xl, ... , Xn+p) E T,

f(Xl""Xn,Xn+l,··,Xn+p)=O Ç=? (Xn+l,,,,Xn+p)='P(Xl, .. ,Xn) (2)

Conséquences

1) 'Pl,"', 'Pp désignant les composantes de 'P, (2) s'écrit:

{fl(Xl' ",Xn, ",Xn+p) = 0 {xn+l ='Pl (Xl, ",Xn)

'VxET : Ç=? :..fp(Xl, ",xn, ··,Xn+p) = 0 xn+p ='Pp (Xl, ",xn)

2) La condition (2) donne (an+l,"" an+p) ='P (al,"', an)

De plus, elle traduit que l'intersection avec T de

S = {x E [Rn+p / f(x) = O} est un graphe fonctionnel: celui de 'P.

Calcul des dérivées partielles de 'P

La fonction :

3)

t.15

g: (Xl,'" ,xn) ~f(Xl,'" ,xn,'Pl (Xl,'" ,xn),'" ,'Pp (Xl,'" ,xn))

est identiquement nulle sur Q, or on sait quef et 'P sont de classe el, donc

'V (Xl,'" ,xn) E Q, 'V i E [1, n] (en notant 'Pj (Xl,'" ,Xn) = xn+j' 1 ~j ~ p):

p a'Pj af afL --(Xl, ··,Xn)--(Xl, ",xn,xn+l, ··,Xn+p) + --(Xl, ",xn,xn+lo ",Xn+p) = 0. a~ a~+J' a~)=1

En introduisant les composantes de f, on obtient:

{ ~ a'Pj aA

~ --(Xl, ··,Xn)--(Xl' ",xTl,xn+l, ··,Xn+p). aXi aXn+:J')=1

aA=- aXi(Xl""Xn,Xn+l,",Xn+p)l~k~p


Pour tout (Xl, ... ,Xn) E g, ils'agit là d'un système de Cramer aux inconnues

d'P'

d~ (Xl,"" xn), 1 ~j ~ p,

(le déterminant de ce système est De DCfI, ... ,fp) ) (x).Xn+l,'" ,xn+p

4) Sif est de classe Ck, alors <pest de classe Ck sur g.

- Travaux pratiques

exemple 15 1

1 Montm qu'il existe J, ~-R x ~ y = Jexl de da"e c= au voiainage de 0,

telle quef(O) = 0, définie implicitement par Arctan(xy) + 1 = eX+Y .

'DDéterminer le développement limité à l'ord" 3 de J an voisinage de O.

• g: iR(2---+iR(, (x, y) f--O> Arctan(xy) + 1 - e'C+Y est classe C% sur iR(2. g(O, 0) = °dg _ X x+y éJg_T(x, y) - 2 2 - e donc -.-(0,0) - -1y l+x+y dy

L'existence de f de classe C% résulte du théorème 14 et de sa conséquence 3).

Ilexiste CI.> 0, 'if X E]- CI.,CI.[,f(x) E]- CI.,CI. [ et Arctan(xf(x» + 1 = ex+f(x)

ou encore en [1 + Arctan( xf(x))] = x + f(x)

Etant de classe C% au voisinage de 0,] admet un développement limitéà tout ordre au voisinagede O.

Soit f(x) = ax + bx2 + cx3 + o(x3) le développement limitéd'ordre 3.

On a successivement:

xf(x) = ~ + bx3 + o(x3)

Arctan(xf(x)) = ax2 + bx3 + o(x3)

en [1 + Arctan( xf(x))] = ~ + bx3 + o(x3)

x +f(x) = (a + l)x + b~ + cx3 + o(x3)

x f--O> x +f(x) - en [1 + Arctan( xf(x))] étant identiquement nulle au voisinage de 0,

{a+l=O {a=-1

on en déduit b - a = 0 soit b = -1c-b=O c=-1

et, ainsi, f(x) = -x - ~ - x3 + o(x3) au voisinage de 0

exemple 16 _

Montrer que, au voisinage de (1, 1, 1), l'ensemble f :f: {(x, y, z) E iR(3 / ,..(2 + lf + ~ = 3, x3 + 2x:z - y = 2}

{y =?+~+~-3,x3+2xz-y-2)

f est de classe C=-C sur Ra fil. 1.11 = 0,

D(fl.Jz) _Ii 2y 2z _ 4 ') d DŒ.Jz) (1 1 1) - 6D(y,z) - -1 2x - .\.y+~z onc D(y.z) " -

L'existence de 9 = (ç. ili) de classe ex sur I résulte du théorème 15 et de sa conséquence 4).

{xz+~+~ = 3Pour tout x EO I, avec y =ç (Xl et z =ili (x), on a (1) 3

x +2xz- y = 2

d'où, en dérivant deux fois:

(2) {X + yyl + ZZI = 0~ , 1 et

3.\C' + 2z + 2xz - y = 0

Au point (1. 1. li, on a ç (1) =w Il) = 1

{ ",1 (.11= a ili' (1.1.= bet en posant . Il' '1 •ç (1) = c ili {II = d

b ' (2) {a + b = -1 d" 1 b non 0 tient avec: . _ou a =. = -L-a - 2b = 0

{ c + d = -6 14 4puis avec (3): d'où c= --3' d= --3'c - 2d=-2

Remarque: Le théorème 15 des fonctions implicites a permis d'affirmer qu'autour de (1, 1. 1),

r est le support d'un arc de classe eX,

99

14. 4.De 'PI (1) = 1. 'PI! (1) = - 3' wl (1) = -2, wl! (1) = -"3' on peut deduire [a tangente, lacourbure et le centre de courbure de cet arc au point (1. 1. 1).

v - DifféomorphismesDéfinition :

d.21

1

Soit U un ouvert de E, V un ouvert de F et k un entier naturel non nul.

On dit quef est un Ck-difféomorphisme de U sur V sif est une bijection de

U sur V telle quef soit de classe ek sur U etf-l de classe ek sur V.

o

Propriétés:

p.13 Si f est un ek-difféomorphisme de U ouvert de E sur V ouvert de F, alors,1

pour tout a E U, avec b =frai, dfa est un isomorphisme de E; tel que:

(dfa)-l = dfb1

~ f etf-1 sont continûment différentiables puisque k ~ 1. Alors:

f-10f = Idu donne 'if a E U.dfb-1 0 dfa = IdE

fof-1 = Idv donne 'ifbEOV,dfaodfb1=IdFLa conclusion en résulte.

o

100

p.141

RiF

l5


S'il existef, Ck-difféomorphisme de U ouvert de E sur V ouvert de F, alors:dimE=dimF

En effet, d'après la propriété 12, E et F sont isomorphes.

Si f est Ck-difféomorphisme de U ouvert de E sur V ouvert de F, E étant

rapporté à la base (ei)l~i~n et F à CeDl"0~n, on a, pour tout a E U,

avec b =fCa): JjCa) E GLnCIR), (JjCa») -1 = Jj-1Cb)

A. Propriétés des difféomorphismesE et F sont deux espaces vectoriels normés de même dimension n.

1 M' 1 t.,16 Soit U un ouvert de E, V un ouvert de F etf un homéomorphisme de U sur V.Sif est différentiable en a E U et si dfa est inversible

, t' d' DifI,J2,'" ,Jn) C) 0ces-a-lre D(xl,X2, .. "Xn)a*-,

alors f-l est différentiable en b = fCa).

RiF Pour tout k E F tel que b + k E V, il existe h unique, h E V, tel que:

b+k=fCa+h): h=f-lCb+k)-f-lCb)

En utilisant la différentiabilité de f en a, b + k = fCa + h) donne:

k = fCa + h) - fCa) = dfaCh) + Il h Il e Ch) lim e Ch) = 0h--+O

d'où, puisque dfa est inversible h = df,;lCk) - df,;l (\\ hll e Ch»)Ainsi:

f-lCb + k) - r lCb) = df'; lCk) - Il h Ildf'; lCe Ch»

= df,;lCk) + Il k Il [- il ~ i: dfa-lCe Ch»]Quand k tend vers 0, h tend vers 0 Cparcontinuité def-l), donc e Ch) tend vers 0 et

df'; lCe Ch» également.

Ainsi pour conclure à f-lCb + k) - f-lCb) = df'; lCk) + oCk) il suffit de montrer que

le rapport Ii ~ Il est borné au voisinage de O.

On a Il ~ Il = dfa ( Il ~ Il) + e Ch) et Il ~ Il décrit S sphère unité de E.

Sétant un compact de E (c'est un fermé-borné et E est de dimension finie), par continuité

de x ~ IldfaCx)ll, on a inf IldfaCx)11 = IldfaCXO)11avec XO E SXES

XOnon nul et dfa inversible donnent alors dfaCXO) *- 0, donc IldfaCXO)11> O.

1Pour Il h Il assez petit, on a Ile Ch)11"" zlldfaCXO)11

d'où Ildfa (II ~II) + e Ch)11;;. à IldfaCxo)11

On en déduit par continuité de f-l que, pour tout Il k Il assez petit:

_II h_11 -< _2_Il kll ~ IldfaCXO)11

-La conclusion en résulte. [


D

1.17

1

Soit U un ouvert de E, V un ouvert de F etf un homéomorphisme de U sur V.

Sif est de classe ek sur U, (k ~ 1) et si, quel que soit a E U, dfa est inversible,alorsf-l est de classe ek sur V.

D'après [e théorème 16,1-1 est différentiable sur V avec, pour tout b EV:

(df-l) b = (dfa)-l a =f-l(b)

En considérant les matrices jacobiennes, on a :

. , ,]-lItJj-l(b) = LJj(a) = detJjCa) comJj(a)

Tenant compte de la continuité de b f-7 a =f-l(b) et du fait quef est de classe Ck, on

en déduit que [es fonctions dérivées partielles de f-l sont de classe Ck-l sur V, donc

quef-l est de classe ek

1.18 Théorème d'inversion locale1

Soit U un ouvert de E, f : E - F de classe el sur U et a E U tel que dfa soitinversible.

Alors, il existe Ul ouvert de E avec {a} c Ul c U, tel que la restriction def à Ul coïncide avec un Cl-difféomorphisme de Ul sur fCU1)'

~ C'est un corollaire du théorème 15 des fonctions implicites appliqué au système:

{ ~~:~~ '.,' .. , xn) - !dl = 0fn (Xl· ... , Xn) - !dn = 0

D

D

1.19 Soit U un ouvert de E etf une application injective de classe Ck,(k ~ 1), deU dans F.

Alors, V = feU) est un ouvert et f définit un Ck-difféomorphisme de U dansV si et seulement si , quel que soit a E U, dfa est inversible.Ce théorème est admis,

B. Application aux changements de variables

•

Problème

Soitf : LRn~lR de classe ek, (k ~ 1), sur U ouvert de [Rn :

f : (Xl, .... xn) f-7 !d= f(Xl, ... , xn)

Supposons disposer de c.p: [Rn ~lRn induisant un Ck-difféomorphisme de V sur U :

cp: (Ul,'··, un) f-7 (Xl,··· ,Xn) = ('-Pl (Ul,···, Un),··· ,cpn (Ul,···, Un»)

(ce fait pourra, par exemple, être mis en évidence au moyen du théorème 19).

La fonction g = fo cp est alors de classe Ck sur V et on désire calculer les dérivées

partielles def en fonction de celle de g,

On af = go c.p-l et la difficulté tient au fait que l'on ne sait, en général, pas expliciter-1

cp ,

On pourra, pour calculer les dérivées partielles de cp -l, inverser la matrice J'P(u) :


1 [a\(li ] . ) -1en posant \(I=cP- ona JtjJ(X)= aXj(X) = (J<.F(u)

x = (Xl, ... , Xn) =cP (u), u = (U1, ... , Un)

On utilisera ensuite les formules:

af n ag a\(lj-a-ex) = L -Cul-ex) u =\(1(x)Xi au! aXi

j=l J

• Une autre méthode consiste à écrire les formules:

ag Ln af acpj-, -Cu) = -(xl-Cu) 1"'"i "'" ndUi . axj· au;)=1

et observer qu'il s'agit là, pour tout u E V, d'un sytème de Cramer aux inconnues

aaf (x), 1 "'"j "'"n; le déterminant n'est autre que le jacobien de cP en u.Xj


exemple 17 _

Etude du changement de variable défini par X = r cos e, y = r sin e.cp: (r,e) Ho (x, y) = (r cos e, r sin e) est une bijection de classe CCO sur

V =]0, +oc[x]- TI, + TI [ sur U = iR2\ {(x, O)lx "'" O}.

Sonjacobien est detJ<.F(r,e) = r (cf. exemple 7), donc, par application du théorème19 , cP est un cO:: -difféomorphisme de V sur U.

Etant donnée f : iR2-7iR de classe CI sur U, calculer les dérivées partielles de f enfonction de celles de 9 = f 0 cp .

• • Première méthode

[COS e - r sin e] [ cos e sin 8 ]J'P(r,8) = . d'où Jili(X. y) = sin 8 cos 8sm 8 rcos 8 --- ---

r rar ar a8 sin 8 a8 cos8

Ainsi - = cos 8. -,- = sin 8 . -,- = - -- -,- = --ax dy (Ix r dy r

{af a9 a r a9 a8 agag sin 8

et ax = 7fT ax + as ax = 7fT cos 8 -as-r-af ag ar ag a8 ag. ag cos8ay = aray + as ay = ax sm 8 +as-r-

Remarque: On a allégé la notation en écrivant:

ar a\(11( ) af af. agag .....J'X pour -a-x-x,y, -a-x pour -a-,/x,y), -a-r pour -a-r(r,81, (x.y)=(rcos8,rsm8)• Deuxième méthode

g(r, e) = fer cos 8, r sin 8) c'est-à-dire 9 =fo ç donne:

{ ag af éJf .

-,- = -,- cos 8 +-,- sm 8d r dX d y

ag éJf af-,- = --,-rsin 8 +-,-rcos 8

d8 dx d y

La résolution de ce système permet de retrouver les formules précédentes.

Remarque: on pourra vérifier que ç-1 est définie par:

'fJ-1: U - V (x, y) Ho (-./;>(2 + y2. 2A.rctan ./y )X + V' x2 + y2


VI - Inégalité des accroissements finisThéorème:

103

1.20 Soit U un ouvert de E etf: E - F de classe Ck sur U, k ~ 1.

Pour tout la. bi E [>2 tel que le segment [a, b] = {a + t(b - a) 1 t E

soit inclus dans C, on a flb) - fia) Il oS; Mil b - a Il

où;\1 est un majorant de { dJ.: lx E [a. bJ}.

L'existence de JI résulte de la continuité de X >--7dfx sur le compact [a, b].

Posons h = b - a et soit c: [O. 1] - F t >--7fia + th).

I.Ç est de classe el sur [O. 1] avec:

, .. Tl af .'V r E [0.1]. C (ti = L hi-.-Ia + th) = dfa+th(h)

i=l dXi

ç' étant continue sur [O. 1]. on a flb) - fia) =I.Ç (1)- cp(0) = 101 cpl (t) dt

Or 'V tE [0.1]. 'f' (t) = Ildfa+th(h)'i oS; h Il Ildfa+thll oS; Mil hll

D'où [f(b) - fia) oS; 1\111h,.

ExempleTl

Supposons E muni de la norme X>--7 x 1 = L IXil;=1

1 af ..i·et posons A = sup sup -.-(X)!

los;;os;Tl xdabJ d x, 1

Tl afAlors de dJ,,(h) = L hi-.-(xi on déduit:

i=l dXi

[0,1J}

o

Tl

'V h E E. 'V x E [a. b]. ii cif,,(hJII oS; ALI hil = Ail h IIIi=l

donc 'V x E [a. b]. il dfx Il oS; A et, dans ce cas Ilf(b) - fia) Il oS; Ail b - a Il

Corollaires:

c.i Soit U un ouvert de E etf: E - F de classe ek sur U, k ~ 1.

Soit tE::te lE. F)

Pour tout (a. b) E U2 tel que le segment [a, b] = {a + t(b - a) 1 t E

soit inclus dans U, on a Ilf(b) - f(a)- ((b - a) Il oS; MI! b - a Il

oùMestunmajorantde {lidJc{' Il/xE [a,bJ}.

On appplique le théorème 20 à x >--7f(x)- {'(x).

[0,1J}

o

o

c.2

1

Soit U un ouvert convexe de E etf : E - F de classe el sur U telle qu'il existe

M majorant de {II dJ" Illx E U}, alorsf est lipschitzienne, donc uniformémentcontinue de U.

La convexité de U donne que, pour tout (a, b) E U2, on a [a, b] c U, donc, d'après le

théorème 20: Ilf(b) - fia) Il oS; Mil b - a Il


c.3 On dit que U est étoilé lorsqu'il existe XO E U tel que, pour tout x de U,

[xo,x] c U.

Soit U un ouvert étoilé de E etf une application de U dans F.

f est constante si et seulement si dfx est nulle pour tout x E U.

œ? On sait déjà que sif est constante sur U, elle est continûment différentiable sur U avec

'ri XE U, dfx = O.

La réciproque est une conséquence immédiate du théorème 20 et du fait que

'ri x E U, [XO,x] cU.


o

exemple 18 ~

~.~~"' (a b) Ë~'telque ab * 1, exPri~::~~~~ + Ardan b en fonction de

• 2 a+b. Soit f : IR--+ IR. (a, b) --+ Arctan a + Arctan b - Arctan 1 _ ab

f est continûment différentiable sur l'ouvert U = {(a, b) E 1R2 1 ab *- 1} avec:

'ri (a, b) E u,

On a U = UI U Uz U U3'

af af.a a (a, b) = a b (a. b) = 0 donc d.fia,b) = 0

YI!

2UI = {(a, b) E IR 1 ab < 1} U2

UI

U2 = Ha, b) EIR2 1 ab> 1, a> O}

U3 = {(a, b) E 1R2 1 ab> 1, a < O}

UI, U2 et U3 sont des ouverts comme images

réciproques d'ouverts par des fonctions continues.

\

\

---------...10"-----\ X

U3

Par exemple U2 =<p-I (]l, +x[x]O, +x[) avec <P: R2~R2, (a. b) --+ (ab, a)

1Comme l'application IR: --+iR, t --+ t est convexe, on en déduit que Uz et U3 sont convexes, doncétoilés.

UI est étoilé car, pour tout m = (a. b) E UI, on a

Le corollaire 3 du théorème 20 donne alors que

'ri (a, b) E UI, f(a, b) =f(O, 0) = 0

'ri (a, b) E U2, lim f(a, a) ="Q--++cc'

'ri (a, b) E U3' lim f(a. a) = - "a---'--cx:,

[0, m] CUl-

'ri k E {l, 2, 3}.j est constante sur Uko donc


VII - Formule de Taylor-YoungExtremums

Les fonctions considérées dans ce paragraphe sont à valeurs dans R

A. Formule de Taylor-Young

Théorème:

105

D

t.21 Soit U un ouvert de E etf : E ~R de classe C2 sur U.

a étant un point quelconque de U, on a, lorsque u tend vers 0 :

f(a + u) - fia) =

n of 1 (n a 2f 9 . a2f ) 2'\"' -.-(a)Ui + -2 '\"' -2 (a)ui + 2 '\"' -.--(a)ui!,ij + 0 (II u Il )L d X· L .. L d x a xi=l l i=l d X, l";i,,f,,;n l :J

(Formule de Taylor-Young en a).

u:§"' U étant ouvert il existe r ER: tel que Bo(a, r) c U.

Alors, pour tout U E E tel que u Il < r, le segment [a, a + u] est inclus dans Bo(a, r),donc dans U, et 9 : [0, 1] ~R. t f-c> f(a + tu) est de classe C2 sur [0, 1].

n af .. n n a2fOn a g!(r) = '\"' ui-,-(a + tu) et gll(t) = '\"' '\"' UiUj---(a + tu)L d~ LL a~a~i=l i=l j=l

La formule de Taylor avec reste intégral appliquée à 9 donne:

g(l) - g(O) = gl (0) + 11(1- t)gll (t) dt

= g'(O)+ àd/(O) + r\l - t) (gll(t) - gll(O»)dt.la

n af 1 n n a2fdonc f(a + u) - J(a) = 2:= ui-.-(a) + -22:=2:= UiUj---(a) + R(u). d~ .. a~a~1=1 1=1)=1

avec R(u) = 1\1- t) (gll(t) - d/(o») dt

g'l est continue et t f-c> 1 - t est positive sur [0,1], d'où, d'après la formule de la

moyenne, il existe 8E [0,1] tel que:

r1 1R(u) = (d/(8) - gll(O»).la (1- t)dt soit R(u) = :2 (gll(8) - g'/(O»)1

Avec, par exemple, la norme euclidienne: Il u Il = (t ur) :2, on en déduit:1=1

Il 112 n n 1 a2f a2f 1

IR(u)1 ~ --;- 2:= 2:= --(a+ 8 u) - --(a). l' aXi a~ aXi a~1= )=1

a2f

et la continuité en a des aXi a~ donne alors R(u) = 0 (II u 112)

La formule en résulte.

106

c.1

Précis d'Analyse [1

l?f:1;r:t~I~1.l1ier: dimE = 2 - Notation de Monge

La formule de Taylor-Young s'écrit:

1fCa + h, b + k) - fCa, b) = ph + qk+ 2Crh2 + 2shk + t~) + oCh2 +~)

où on a posé:

af af

p = axCa, b) q = --ay(a, b)

a~ a~ a~r = ~(a, b) s = --a:a(a, b) t = ~(a, b)

dx x y dy

Notation de Monge

B. Extremums relatifs

Rappel

• f: E -71R définie sur D, admet en a E D un extremum (maximum ou minimum)

local (ou relatif) si et seulement si il existe V voisinage de a tel que:

VUE E, a + U E V (î D =? f(a + u) ~ fCa) maximum

VUE E, a + U E V (î D =? fCa + u) ~ fCa) minimum

On parle d'extremum strict si, de plus u'* 0 =? fCa + u) '*fCa).

• Dans tout ce qui suit, U est un ouvert de E .

Il, Conditions nécessaires d'extremum 1

Théorème:

t.22 Soitf : E -71R de classe CI sur U ouvert de E.

Pour quef admette un extremum local en a E U, il est nécessaire Cmais non

suffisant) que dfa = 0, c'est-à-dire ViE [1. n]. ?f (a) = 0dXi

L0f'

n

• U contient un pavé P = II]ai- ex, ai+ ex[.i=l

Sif admet un extremum en a, chaque fonction partie[le :

Xi f-'Jo f(al,···. ai-l,X;' ai+l,···. an) (1 ~ i ~ ni

est dérivable sur ]ai- ex, aH ex[ et admet un extremum en ai, donc:

ViE [Ln], of (a) = 0éiXi

• Ces conditions ne sont pas suffisantes .

. ,fT')L :0 ( •. éif 10 O· - éJf '0 0 - 0En effet, sOltf . ,.." ~"'.' x, y) f-'Jo :oey, on a -,-., ) - -,-1. . )-dX .. c'y

Or,] n'admet pas d'extremum local en CO,0) puisque tout voisinage V de (0, 0) contient

des points pour lequels fCx, y.) > 0 c'est-à-dire f(x, y) > f(O, 0) et des points pour

[esquelsfCx, y) < o.


Définition:

107

d.22 Etant donnéf E C1(U. ::;:),on dit que a E U est un point critique def lorsque1 dfa = O.

12. Conditions suffisantes d'extremum [

Théorèmes:

M' 1 t.23 Soitf: E -::;: de classe C2 sur U et a E U unde f tel que la

forme quad.Tatique qa soit non dégénérée.

n 2 af . a2fqa : U'--'" 2:= ui -_--(a) + 2 2:= UiUj---(a)

. d Xi .. a Xi a Xj[=1 l~[~~n

Si qa est définie positive, f présente un minimum en a.Si qa est définie négative, f présente un maximum en a.Sinonf ne présente en a ni maximum ni minimum: on dit avoir affaire à un

point col.

lE? Dans les deux premiers cas, il s'agit d'un extremum strict.

Pour U oF 0, la formule de Taylor-Young s'écrit ici:

1 (9)f(a + U) - f(a) = 2qa(u) + 0 II U 11-

pu q2 [ (u) ]f(a+ u) -f(a). =+ qaTIUll + 8 (u)où 8: E -::;: est telle que lim 8 Cu) = o.

u-o

• Supposons qa définie postive ou définie négative.

U

Quand U décrit E \ {O}. r--., '1 décrit S sphère unité de E.Ii uiS est un compact (fermé-borné et E est de dimension finie), Iqal est continue sur S,donc il existe v E S tel que Iqdv)1 = inf Iqa(x)1

XES

qa étant définie (positive ou négative), v oF 0 donne qa(V) oF 0, donc:

inf Iqa(x)1 = m> 0XES

De lim 8 (U) = 0 on déduit l'existence de r E~: tel que Il U Il < r =? 18(u)1 < m.u-o

Donc, pour tout Il U Il < r f(a + u) - f(a) = Il u 112[qa (II ~ Il) + 8 (U)]

est du signe de qa, ce qui assure la conclusion.

De plus, on note que dans ces conditions, U oF 0 =? f(a + u) - f(a) oF 0 ; donc, ils'agit d'un extremum strict.

• Supposons qa non dégénérée, non positive et non négative.

Il existe alors v E E \ {O} tel que qa(V) = 1 et W E E \ {O}tel que qa(W) =-l.D'où:

1 1f(a + tu) - f(a) = 2 t2 + o(t2) f(a + tw) - f(a) = - 2 t2 + o(t2)

On en déduit que tout voisinage de a contient des points a + tu en lesquels

f(a + tu) - f(a) > 0 et des pointsf(a + tw) en lesquelsf(a + tw) - f(a) > O.

f ne présente pas d'extremum en a.D


t.24 On suppose dim E = 2.

Soitf : E ~[R de classe e2 sur U et (a, b) E U un point critique de f tel qu'ence point on ait s2 - rt oF- ° (cf. notations de Monge).

• Si s2 - rt < 0, r> ° f présente un minimum en (a, b).

• Si s2 - rt < 0, r < ° f présente un maximum en (a, b).

• Si s2 - rt > 0, (a, b) est un point col pour f, c'est-à-dire que f neprésente en a ni maximum nin minimum.

C'est évidemment un cas particulier du théorème 23

C'est la seule forme figurant dans les programmes autres que M' dans lesquels ce

théorème est admis.


exempl~ 1t!i ~

Etudier les e~Jmums relatifs de :

f : [R2~[R, (x, y) ~ (x _ y)2 + x3 + y3

et de :

=0=0

{ 2(x - y) + 3~ = °-2(x-y)+3if =0

.J9 : [R2 ~[R, (x, y) ~ (x _ y)2 + x4 + y4

f est de classe eex sur [R2.

On commence par déterminer les points critiques def.

{ af

-(x, y) =0ax s'écritaf

ay(x, y) = °

.. ' . { ~+ifce qUi equlvaut a ( ~.2 x - y) + 3x-

On a donc un seul point critique: (O. 0).

D'entrée de jeu,f est donnée sous la forme d'un développement de Taylor-Young:3 3

2 ?2 x +yf(x, y) = (x - y) + o(.r + id) (car" l.im .' ~ = 0)1 Xy,-(Ü.O 1 X . + id

On a donc ici qco.oix, y) = 2(x - y)2 : rgqiO.OI = 1, qiO,OI est dégénérée

(On peut aussi noter que r = t = 2 et s = -2, donc s2 - rt = 0).

Ainsi, on ne peut pas conclure par application du théorème 24

Remarquons alors que f(x. x) = 2x3 est du signe de x, ce qui assure que (0, 0) est un point

col.

2) 9 est de classe eex sur IR.

On trouve un seul point critique: (0, 0), et ici aussi q'O.OI est dégénérée.

De façon évidente, on a \j (x, y) E R2, g(x, y) ~ g(O, 0) = °Donc, 9 présente un minimum en (0, 0) (qui est d'ailleurs un minimum absolu et strict).


exemple 20 ~

1 Etudier les extremums de f :;g2~!R, (x, y) >--7 sinxsin y sin(x + y) .

• f est de classe ex sur R2.

Remarquons d'abord que;

• 'ïI (x. y) E ['(2, f(x+ TI. y) = f(x, y+ TI) = f(x, y)

Donc, sif présente un extremum en (x. y), il en est de même en (x+ 'TT, y) et en

(x, y+ 'TT), et ils sont de même nature.

• 'ïI (x, y) E['(2, fe-x, -y) = -f(x,y)

Donc sif présente un maximum (resp. minimum) en (x, y), elle présente un minimum

(resp. maximum) en (-x, -y).

On peut ainsi se limiter à la recherche des extremums sur [0,;] x [- ;, ;].

D éJf( .. (2 .. af(). (2 )'e axX.y)=Sln. x+y)smy et ayX,y =sm y+x Slnx,

['TT] [ 'TT 'TT] ('TT 'TT)on déduit que les points critiques sur 0'2 x -2'2 sont(O,O)et 3'3 .

• En (0,0), on a f(O, 0) = o.

Or,f(x, x) = sin2 x sin 2x change de signe en a ; (0, 0) est donc un point col.

•(TITI) fi) V3 fi) (TI 'TT)

En 3'3 ,onar=-y3,5=-2,t=~y3,f 3'33V3-8-

donc 52 - rt < ° et r < a :f présente un maximum relatif stric!.

La deuxième remarque préliminaire montre que f présente un minimum relatif strict en

(-;,-;)Remarque

L'étude précédente consiste en la recherche des extremums def situés sur le compact

[TI] [ TI TI]0, 2 x -2' 2 = K et non pas en la recherche des extremums de la restriction def à

K, (pour celle-ci le théorème 24 ne s'appliquerait pas).

Conclusion

('TT TI)f présente en 3' 3 un maximum local strict, c'est un maximum absolu (non strict), sa valeur

3vis ( TI 'TT) 2est -8-' elle est aussi atteinte aux points 3 + n TI, 3 + p TI ,(n,p) EZ'. .

('TT 'TT)La situation est analogue en - 3' -3 pour les minimums de f.


, j :1R3--+1R, (x, y, z) ~ (x + i2)e\'(lf+z'2+1)

• j est de classe COO sur 1R3,et on a :

~~(x, y,z) = [(x + i2)(!f + i2 + 1) + 1] eX(lf+z'2+1)

~~ (x, y, z) = 2xy(x + i2)~(lf+hl)

~~ (x, y, z) = 2z(1 + x2 + d)ex(lf+z'2+1)On en déduit quej admet un seul point critique: (-1,0,0).Développons j à l'ordre 2 au voisinage de (-1, 0, 0).

Avec les notations x = -1 + u, y = v, z = w, r = vu2 + v2 + uP, on obtient:

j(x,y,z) = (-1+u+w2) exp[-1+u-v2-w2+0(?)]

(2)1 2 u 2 2

j(x, y, z) = -e(1- u - w) 1 + u +""2 - v - w + o(?)

j(x,y,z) = _~ (1- ~2 -v2-2tif) +o(?)

1 1( 2 )j(x,y,z) = ~e + e ~ + v2 +2w2 + o(r2)

2

La forme quadratique (u, v, w) ~ ~ +v2+2tif étant définie positive,j présente en (-1, 0, 0)1

un minimum relatif de valeur - -.eMontrons qu'il s'agit en fait d'un minimum absolu.

• j(x, y, z) < 0 impose x + i2 < 0 donc x < 0

• Sur IR::' x 1R2, on a j(x, y, z) ::3 xex avec égalité si et seulement si y = z = O.

1• L'application cp: IR---+IR. x ~ xex atteint un minimum absolu strict en -1 : cp (-1) = - -.e

1• En conséquence, \;f (x, y, z) E 1R3,j(x, y, z) ::3 - e avec égalité si et seulement si

(x, y, z) = (-1,0,0).


Exercices-types

111

Ex. 3.1

Soitf :Jln (~) -[R.X f-7 detX.Montrer que f est de classe el et trouver sadifférentielle.

EX.3.2

Soit E =~n (euclidien) et Eo = E, {Od.On définit l'application:

xf: Eo - Eo,Xf-7 --9.'

Il xll-1) Montrer que f est différentiable ; expri

mer dJ",

2) Vérifier que dJ" est une similitude.

Ex. 3.3

Soitf E Cl(R~) et 9 : [R2_lR définie par

f(x) - f(y) ,g(x, y) = ---- SI x"* Y

x-y

et g(x, x) =f(x)

1) Etudier la continuité de 9 sur [R2.

2) On suppose que fi (a) existe, étudier la

différentiabilité de 9 en (a, a).

Ex. 3.4

Soit D = {(x, y)) E 1R2 lx> O}.

On recherche toutes les fonctionsf E clW, IR)

telles que:

af af

'if (x, y) E D, Xax + yay = 0 (E).

1) Vérifier que 'l': (x, y) f-7 ~ est solution

du problème.

2) Soit 9 E el (R m, montrer que go f est

solution de (E).3) Soit f une solution, montrer alors que

feu, uv) ne dépend que de v.4) Donner l'ensemble des solutions.

Ex. 3.5

Soit '1' et l\J deux fonctions de C2(1R:, IR) etf lafonction:

f: (IR:) 2 --+R (x, y) f-7 VXY '1'( ~ ) +l\J (xy)

a2f a2fMontrer que: x2 ~ - ~ ~ = 0 (1 )

ax ayRéciproque.

EX.3.6

Déterminer f :1R2-+IR de classe el, solution de

l'équation aux dérivées partielles:

9 .2 (af af)X"'+y + xax+yay f=O (1),

Ex. 3.7 ŒD

Soitf E Cl(lRn ,lRn) telle que:

'if (x, y)E IRn x IRn,ll x- y Il eS Ilf(x)-f(y) Il (1)

Montrer que:

1) f est injective,

2) f(lRn) est un fermé,

3) f(lRn) est un ouvert.

Que peut-on en conclure?

Ex. 3. 8 ŒD

Soit U un ouvert connexe de IRn euclidien et

f: U -IR+ de classe el telle que:

'if x E U, Il dfx Il eS kf(x) (k> 0) (1)

1) Montrer que, pour tous points Xl et x2 de

U pouvant être joints par un chemin de

classe el et de longueur e, on a :

f(X2) eS ektf(xl) (2)

2) Montrer que, s'il existe XO E U tel que

f(xo) = 0, alorsf = O.

3) Généraliser au cas où f : U -+IR de

classe el est telle que:

'if x E u, Il dfx Il eS k lf(x)j (3)

Ex. 3. 9

Etudier les extremums de :2

f :1R2_R(x,y) f-7 :a - (cosy)V6a2 -x2(a> 0 donné)

Ex. 3. 10

Soit D = {(x, y) E 1R2 I~ + ~ eS 9}.

Trouver les extremums sur D de f définie par:

f(x, y) = yi x2 + y2 + ~ - 1

(1)

112

Soit f :[R3 --+[R de classe CI sur U ouvert de

[R3 et a = (X{), Yo, zo) un point de U tel que

f(a) = 0 et ~~(a) *- O.

On sait que l'équation f(x, y, z) = 0 définit, au

voisinage de a, z en fonction implicite de

(x, y) : z =<p(x, y) (avec <pde classe CI et

zo =<p(X{), yo»)·

Soit 9 :[R3 --+[R de classe CI au voisinage de a,

montrer que pour que


G :[RZ-+IR, (x, y) f--J> g(x, y, <p (x, y» présente

un extremum local en a, il est nécessaire qu'en

ce point on ait:

ag af af ai-(a)· -(a) = -(a) . -(a)ax az ax azet

ag af af ag-(a) . -(a) = -(a) . -(a)ay az ay az

Application:

Trouver les extremums de

g(x, y, z) = x€nx + y€ny + z€nz

où x, y, z sont liés par x + y + z = 2 a, a> O.

Indications

x = (xy), calculer :f.. en considérant le déy

veloppement de detX suivant la colonne j.

Exprimer dfx(H) en fonction de t comX.

f est le quotient de deux fonctions de classe CI,

le dénominateur ne s'annulant sur Eo.

1) Montrer que g(a+ h, a + k) =l'(x) avecx E [a + h, a + k].

2) Montrer que:

1g(a+x, a+y)-g(a, a)- 2/I(a)(x+y)

= o(vxZ + yZ)

aF3) alleu, v) = 0 sur D donne que Fest

indépendant de u car D est un pavé.

Ex. 3,5

Réciproque: faire le changement de variable

yu=xy, v=x'

Ex.3.ô

Passer en polaires.

Ex.

3) Montrer que dfx est un automorphisme

de [Rn puis utiliser le théorème d'inversion locale.

Ex. 3.8

1) <p: [a, b] paramétrage d'un chemin joi

gnant Xl et Xz. Introduire:

F:t f--J> f( <p (t») exp ( -k fut Il <pl Il)

2) Considérer V = {x E U,j(x) = O}

3) Considérer f2.

EX..3,9

Dj = {(x, y) E [R2 /Ixl "'"aV6}rechercher les extremums def :

o

1) sur Dj 2) sur Fr Dj'

Restreindre le problème à

o "'"x "'"aV6, 0 "'"y ""'TI.

&.3.10

D= {(x, y) E [R2 10 < ~ + if < 9}

Rechercher les extremums def1) sur D 2) sur FrD.

Ex. 3. 11

aG aG ....Calculer a x et ay en fonction des denveesde 9 etf.


Solutions des exercices-typesEx. 3. 1

?

On identifie Jtn (IR) à IRn~par X f-7 (xii)ILj)E[ l,n]2

On note "Iii (X) le cofacteur (i,j) de la matrice X. On note aussi X = t cornX.

1) Dérivées partielles de f.

Soit (i,j) fixé dans [1. n]2.n

113

Le développement de detx suivant les termes de la colonne j donne L:: xl9 "119 (X)k=l

Dans cette expression, les "119' k E [1, n], sont indépendants de xii, d'où l'existence de la

dérivée partielle aa;..: X f-7'fii (X).y

Ces n2 dérivées partielles sont continues car "Iii est une fonction polynôme des coefficients de

X. En conclusion, J est de classe el.

2) Différentielle de f.

Elle s'exprime à l'aide des dérivées partielles deJ : dJx = L:: "Iii (X)dXii(i,j)E[I,n]2

Autrement dit, dJx :Jtn (IR) ~IR, H f-7 L:: "Iii (X)Hii(i,j)E[l,n]2

Sachant que tr(AB) = L:: AiiBji, on trouve dJx(H) = trcXh).(i,j)E[l,n]2

Ex. 3.2

l1) On a J = - avec l = IdE et g: E ~IR, x f-7 Il x 112.9

9 est continûment différentiable sur E, avec:

pour tout x, dgx: E ~IR. h f-7 2(xl h)

D'autre part, 9 ne s'annule pas sur l'ouvert Eo, doncJ est continûment différentiable sur Eo,

l I(x)avec: V x E Eo, dJx = -( ) - ~dgx, (rappelons que DIx = I)9 x g(x)

, ' . h 2(xlh)c est-a-dlre dJx: E ~ E, h f-7 --2 - --4 x.

Ilxll Ilxll

2) Pour tout XE Eo, l'application Sx: E ~ E, Y f-7 Y - 2(xIY~x est la symétrie orthogonaleIlxll

par rapport à l'hyperplan orthogonal à x.

De d h - 1 (h _ 2 (xl h) x) _ Sx(h)ifx( )-~ ~ -~'

Son déduit que dJx = ~ est une similitude (indirecte).

Ilxll


Posons

1) La continuité en (a, b), avec a*- b, est évidente.

Etude en (a, a)

• Pour tout (h, k) E [R2,avec h *- k, on a, d'après le théorème des accroissements finis

(appliqué àJ sur [a + h, a + k]) :

g(a+h,a+k)=f(x) avec xE]a+h,a+k[

• Par définition de g: g(a + h, a + h) =l'(a + h)

• Dans tous les cas, on a donc g(a + h, a + k) =1'(x) x E [a + h, a + k]

et la continuité de 9 en (a, a) résulte de celle de f en a.

a a

2) Montrons que 9 admet en (a, a) des dérivées partielles d' 9 (a, a) et d' 9 (a, a).x y

g(a + x, a) - g(a, a) J(a + x) - J(a) - xf (a)On a ------- =x x

2

Or, d'après la formule de Taylor-Young J(a + x) - J(a) - x1'(a) = ~ JII(a) + o(x2)

g(a+ x, a) - g(a, a) 1 Il ag 1 Ildonc lim. ------- = ~ f (x) et ainsi -d' (a, a) = -2J (a).~O x ~ x

a 1Etant donné la symétrie de 9 : g(x, y) = g(y, x), on a de même a~ (a, a) = 2/11 (a)

En conséquence, si 9 est différentiable en (a, a), on a nécessairement:

1 Il .dgCa.a) = 2/ (a)(dx + dy)

et 9 sera bien différentiable en (a, a) à condition que:

. 11/ (~)g(a + x, a + y) - g(a, a) - 2/ (a)(x + y) = 0 Vx . + y .

1 Ilq; (x, y) = g(a+x. a+ y) - g(a, a) - 2/ (a)(x + y)

• Cas où x = y ; x*-O

Alors q; (x, x) = f (a + x) - f (a) - xfll (a) = o(x) (1)

• Cas où x *- y9.

8 (x)- 8 (y) 1 x-Alors q; (x, y) = x _ y avec 8 (x) =J(a + x) - xf(a) - 2:f/(a)

De 81 (x) =f(a + x) - f(a) - xf/(a) = o(x), on déduit

facilement que, lorsque x et y tendent vers 0 :

8 (x)- 8 (y) = LY 81 (t) dt = 0 ([Y It: dt)

Or 1 {Yltldtl ~ Iy-xl sup Itl ~ [y-xl ~.Jx tElx.y]

donc q; (x, y) = 0 ( Jx2 + y2») (2)

Dans les deux cas (1) et (2), on a donc:

q; (x, y) = 0 ( Jx2 + y2) : 9 est différentiable en (a. a, )


EX.3.4

acp . y a'{ .. 1 l ' ..1) -,-(x. 11) = ---" -,-Ix. 11) = - donc (!;EC (D,~) et venfle (E).

dX CJ XL d Y' CJ x '

2) Si g E CIC~.::;\) alors go '{E CI(D. :::;').

115

agOLÇ~ ' ,f., ( .\ éJç. ,-,-Ix. 11) = g 1(!;x. 11) I-,-Ix. 11)dX ::J \ • - ::J / dX ::J a go <p 1 ( ) éJ<p----ay(x, y) = g <p (x, y) --ay(x, y)

donc go cp vérifie (E).

3) Soitf solution de (E) et FE CIW.::2) définie par F(u, v) =f(u, uv),

alors

donc

aF .. af af.-,-lu. vi = -,-lu. uv) + v-,-(u. uv)clu' . dX . dy

éJr . af. afU-,-( u.v) = U-,-(U, uv) + uv-,-Iu, uv) = 0 car f est solution de (E).

dU' clX' cly

AinsiaF

\;f lu. v) E D, u-,-(u, v) = 0 et donc, c!u

aFalleu. v) = o.

D étant un pavé, il en résulte F(u., v) =--+ g ( ~ ) avec g E CIOt~)

, .. a2f a2fDou 2-9 - J--2= o.

éJx- éJy

2) Soitf une solution de l'équation (1) sur (~~)2, de classe C2.

Il est naturel d'introduire les nouvelles variables: u = xy ety

v -- x'

Plus précisemment, on considère l'application <P:U -7 U, (x, y) >--+ ( xy, ~ ) .

0, v'rif;, 'co '" ,,' coo b;I'o1;O' dootl';,v,,,, ,,' <D-' , U ~ U, (u, cl ~ ( ~,VU;; )et que <Pest CCO -difféomorphisme.

Posons g=fo<p-l ou f=go<P.


Autrement dit \;j (x, y) E U2,j(x, y) = 9 ( xy, ~ ) .

g{es;;e classe c:~t I(ecalc~)1donn: : a9 ( y)

ax(x, y) = Yau xy, x - x2 au xy, x

af ag ( y) 1 ag ( y)ay(x, y) = Xau xy, x + x au xy, x

2 2 2 2 2 2

{ aj(x )_2Y~+J~_~~+JL~

a 2 ,y - 3 av a 2 2 auav 4 a 2x x u x x va2f a2g a2g 1 a2g

--2 (x, y) = ~ --2 + 2-a-a- + 2 --2ay au u v x av

est solution de l'équation

(2)

" 2 a2f a2f y ag a2gdou x --J-=2---4J--

ax2 al x av auava a2

Ainsi 9 est solution sur U de l'équation a~ - 2u au ~v = 0

h : IR:--+IR,U f-7 ~~ (u, v)Pour tout v E IR:, l'application partielle

différentielle linéaire z - 2ui = o.

,... 1 a2g 1 ag(2) s ecnt aussI \;j (u, v) E U, VU au av - 2uvu au = 0

, ,. a ( 1 a g)c est-a-dlre - - - = 0

au VU av

U étant un pavé, ceci équivaut à l'existence de a E el(IR:, IR) tel que:

1 ag

\;j (u, v) E U, vuau = a(v)

d'où, enfin, à l'existence de A et B dans e2(1R:, IR)tels que:

\;f (u, v) E U, g(u, v) = A(v)VU + B(u)

En utilisant <P,il vient finalement \;j (x, y) E U,j(x, y) = A ( ~) vIXY + B(xy).

Ex. 3.6

Afin d'utiliser les coordonnées polaires, cherchons les solutions définies sur:

U=1R2Ü où ~={(X,O)/XEIR_}

L'application C: IR~ xJ- TI,TI [--+ U, (r, 8) f-7 (x. y) = (rcos 8, rsin 8) est un Cl-difféomorphisme.

Posons 9 =fo 0, c'est-à-dire g(r,8) =f(rcos 8, rsin 8)

ag al. al 1 (al al)Nous avons ar = cos 8 ax + sm 8 ay = r Xax + y ay

aL'équation (1) est transformée en (2): r + --!l- . 9 = 0,dr

et s'intègre par ? + g2 = h2(8) (h de classe el).

En prenant pour expression de 8 : 8 = 2 Arctan bx+vx2+y2la relation précédente permet d'expliciter 9 etf.

(x, y) E U


Ex. 3. 7

1) D'après (1) f(x) = f(y) donne x = y.

2) Soit y E f(R,n) : y est limite d'une suite de points de f([Rn).

II existe donc (Xk)kEo'" E (J~n)" telle que y = lim f(Xk).k-++co

La suite (f(Xk)) kE est de Cauchy (car convergente) donc, d'après (1), (Xk)kE N est également

une suite de Cauchy. Rn étant complet, elle converge vers x E [Rn.

A[ors,f étant continue, on a f(x) = hm f(Xk) = y, donc y E f([Rn).k~+x

Ainsi f(R,n) = f(Rn), f(R,n) est fermé.

3)• On sait qu'il existe 8: R,n~Rn telle que:

f(x + h) - f(x) = dfx(h) + Il h Il 8 (h) et lim 8 (h) = 0h--+O

D'après (1), on en déduit Il h il ~ Il dfx(h) Il + Il h 11118 (h) Il

. 1Puisque À~ 8 (h) = 0, i[ existe '1> °tel que Il h Il ~1'] donne Il 8 (h) Il ~ '2

et donc Il dJ,,(h) Il ~ à!1 h II·

Pour tout U E Rn tel que Ii u il = 1, on peut appliquer [e résultat précédent à h =1'] u, et on en

1tire Ii dJ,:Cu) Il ~ '2 d'où dfx(u) '* 0 et dfx E:;g ([Rn) .

• f étant de classe el sur Rn et dfx étant inversib[e en tout point x E [Rn, le théorème

d'inversion locale s'applique en tout point x E [R;n ;

en conséquence, pour tout y = f(x) de f([R;n), il existe un ouvert U contenant x et un ouvert V

contenant y tels quef induise un homéomorphisme de U sur V, on en déduit que V cf([R;n)

et donc que f([Rn) est un voisinage de y puisque V en est un.

Finalement,f([Rn) est un voisinage de chacun de ses points, c'est donc un ouvert de [R;n.

[Rn étant connexe, les conditionsf([R;n) ,*0,f([R;n) ouvert,f([Rn) fermé, donnent f([R;n) =[R;n,

ainsi f est surjective: 4).

De 1) et 4), on conclut alors que f est bijective.

Ex. 3.8

1) Soit cp: [a, b] ~[R;n, t ~<p (t) une paramétrisation du chemin joignant Xl et X2 :

<pE el([a, bl [R;n), <p(a) = Xl, cp (b) = x2, a ~ b

j.bOn a alors t= a Il <pl II·

j.t-k Il cp III

Introduisons F: [a, b] ~[R;+, t ~ f( <p(t)) e . a

La proposition (2) s'écrit F(b) ~ F(a) ; pour l'établir, il suffit donc de montrer que Festdécroissante.

F est de classe el (comme composée de telles fonctions) sur [a, b], avec:

jt-k Il cp 1 Il

'if t E [a, b], F(t) = [d,hCt) (<pl (t)) - kll cpl (t) Ilf(cp (t))] e a

De df'fCt) (<pl (t)) ~ 1 df'f(t) (cpl (t)) 1 ~ Il df'f(t) 1111 cpl (t) Il

on déduit, en utilisant (1), que:

df'fCt)(cp/(t)) ~kll cp/(t)llf(<p(t)) etdoncque F(t)~O d'oùlaconclusîon.

118 Précis d'Analyse "

2) Posons V = {x E Ujj(X) = O}

(i) on a V *0 car )(() E V.(H) montrons que V est un ouvert de U, c'est-à-dire un ouvert de IRn puisque U est lui-mêmeouvert.

Soit x E V, on a x E U et U étant ouvert, il existe ï> 0 tel que B(x, ï) C U.

Pour tout y de B(x, ï), le segment [x, y] est un chemin de classe CI et de longueur t< ï joignant

x et y; ce chemin est contenu dans B(x, ï) donc dans U.

D'après (2), on a alors 0 ~ j(y) ~ ekf.j(x) donc j(y) = 0 car j(x) = 0 (x E V) etj est

à valeurs dans IR+.

On a ainsi établi que, pour tout x de V, il existe ï> 0 tel que B(x, ï) eV: V est un ouvert deIRn donc de U.

(iii) V est un fermé de U. En effet V = U Î\ j-1 ({O} ), j est continue et {O} est un ferméde IR.

U étant connexe, on déduit de (i), (ii) et (iii) que V = U doncj = O.

RemarqueSachant que U est ouvert connexe, U est connexe par arcs et on conclut à l'aide de (2).

1) Sij E C1(U, IR) vérifie (3) alors 9 =j2 E C1(U, IR) vérifie:

V x E U, Il dgx Il ~ 2lcg(x)

Donc s'il existe )(() E U tel que j()({)) = 0, on a 9 = 0 d'après (2), donc j = O.

Ex. 3. 9

• Remarquons que j est définie (et continue) sur un fermé D de 1R2 :

D= {(X,y)EIR2 jlxl ~ aV6}Les résultats exposés au paragraphe VII, B. ne pourront être utilisés que pour la recherche des

extremums appartenant à: D = {(x, y) E 1R2 j Ixl < aV6}• Remarquons, de plus, que x f-+ j(x, y) est paire et y f-+ j(x, y) est paire et périodique de période

2 TI, on peut donc se limiter dans les calculs à (x, y) E P = [0, aV6] x [O. TI].o

1) Extremums sur D~ 0

j est de classe CX sur D, on applique les théorèmes 22 et 24.

o. aj _ x xcosy aj , . _. / 2 ,• On a sur D. -a-ex, y) - -2 + / -.-(x, y) - (sm y)V 6a - xx a. 6a2 _ x2 d Y

52 - ït < 0 et ï > 0

?5--rt>0

?5- - ït < 0 et ï > 0

52 - rt < 0 et ï < 0

(0.0) . (0, ••), (aV2, •.)

a2j '. - xsiny--O--a' (x. y) = ~/ ~~~dx y v6a2-x2

5=0 t=-2a

en (0,0)

en (0, 'TT)

en (0,0),

c

On en déduit que les points critiques sur D Î\ P sont

o a2j 1 6a2cosy• Sur D : ---::-z(x, y) = 2a + 3

dx (6a2 _ ,,?)2

'2j~2 (x, y) = (cos y)V6a2 - x2ay

donc, avec les notations de Monge:

1 1ï = -2 + -----r/i 5 = 0 t = aV6a av6

1 1ï = -2 + -----r/i 5 = 0 t = aV6a av6

1 1ï = -2 - r;:; 5 = 0 t = -aV6a av6

1en (aV2, TI) ï = - 4a


On en déduit queen (0.0)

en (0.0)

en (O. Ti)

en (aV2. Ti)

c'est un minimum de valeur

c'est un minimum de valeur

c'est un point col, on a

c'est un maximum de valeur

f(O. 0) = -aV6f(O, 0) = -aV6

f(O, 'TT) = aV6

m 5af(av2,'TT) = "2Conclusion

Sur D,f présente des maximums locaux aux points ( ±aV2, (2k + 1) 'TT) k E?L,

et présente des minimus locaux aux points (O. 2k Ti) k E?L.

1) Extremums sur la frontière de D.

roc - 3En un point (av6, Yo), on a f(av!6. Yo) = 2" a

et, en posant x=aV6-u (u>O) , Y=Yo+v,ilvient:

3a u/6 I~-( )f(x, y) = "2 - -2- + OIU)- V 2av6 ,lu + Ol/U) (cos Yo + v sin Yo + o(u»)

3aOn en déduit que, si cos YO '" 0, flX, y) - 2 est, pour U et u assez petits, du signe de

-V2aV6/Ucosyo, donc:

• si cos Yo > 0, f atteint un maximum en ( aV6, yo)

• si cos Yo < 0, f atteint un minimum en ( aV6, yo) .Il reste à étudier le cas cos Yo = O. D'après la remarque initiale, il suffit d'étudier le cas

Yo = 2'

Tout voisinage relatif (dans D) de ( aV6. ;) = Acontient un demi-disque ..l de centre A (cf. figure)

qui lui-même contient des demi-disques Dl et D.z

de centre ( aV6, YI) = Al et ( aV6, yz) = Az

avec 0 < YI < ; <Ti.

De cette étude, on déduit que Dl contient des points3a

en lesquelsf(x, y) < "2 et D.z contient des points en lesquels3a

f(x, y) > "2 ; ainsi A est un point col de f.D'après la deuxième remarque initiale, les résultats sont

identiques pour les points ( -aV6, yo) .

oX

aV6

2) Etude globale.

L'image def est aussi celle du compact P = [O. aV6] x [O. 'TT] doncf est bornée et atteint

ses bornes. L'étude précédente a montré que:

s~Pf(x, y) = 52a est atteint aux points (±aV2, (2k + 1) 'TT) k E?L

inff(x. y) = -aV"G est atteint aux points (O. 2k 'TT) k E?LD


est continue sur [R2,de classe el

a= inff et [3= supf.D D

Sur l'ouvert il= {(x, y)/O < x2 + J < 9}, sif atteint un extremum, alors la différentielle def est

nulle en ce point.

La fonction f: [R2-+1R,(x, y) f--') f(x, y) = VX2 + y2 + J - 1sur [R2\ {O}.

Comme D est une partie compacte de [R2,on dispose des bornes

af x af y

Ona -a-= ~ et a= ~+2y.x yx2+y2 y yx2+y2On constate que df ne s'annule pas sur il :les extremums de f sont atteints sur la frontière de il.• Etude en O.

f(x, y) ;3 -1 avec égalité en 0 seulement.

Doncf présente en 0 un minimum absolu strict,f(O, 0) = -l.• Etude sur (C) : x2 + J = 9.

On a f(x, y) = 2 + J E [2,11].

Donc supf = 11 atteint aux points (0, 3) et (0, -3).D

Ex. 3. 11

1) Les points critiques de G sont définis par:

{ ag ag acp

-a (x, y, z) + -a (x, y, z)-a (x, y) = 0x z x z =cp (x, y)

agag acpay(x, y, z) + az(x, y, z)ay(x, y) = 0

La conclusion résulte donc de :

acp--ax(x, y) =

af

h(x, y, z)

af

az(x, y, z)

acp af (ay(x, y) = _ ay x,y,z)af

az(x, y, z)

2) Application

f(x, y, z) = x + y + z - 3 a, l'équation f(x, y, z) = 0 définit évidemment une fonction de (x, y),on peut ici expliciter:

cp: (x, y) f--') z = 3 a -x - y

ce qui permet de faire une étude directe de la recherche des extremums de G:

G: (x, y) f--') xtnx + yeny + (3 a -x - y) .en(3 a -x - y)

Nous allons procéder différemment:

• la condition (1) s'écrit 1 + enx = 1 + en y = 1 +.en z

on en tire x = y = z, G a donc un seul extremum possible: en (a, a, a) .

• Posons alors x =a +U, y =a +v, z =a +w,

la condition x + y + z = 3 a donne u + v + w = O.

{ u u2 2

en(a +u) = en a +- - --2 + oCu )

On obtient a 2 a 2

(a +u) .en(a +u) =a en a +u(1 + €n a) + ; a + oCu2)

• IL 1 2 2 9 9 2 9d'ou g(x, y, z) = 3 a ut a +;ra(u + v + w-) + oCu- + v + ur)

Ainsi, il est clair quef atteint en (a, a, a) un minimum local et strict de valeur 3 a en a.


Exercices proposés

121

Ex. 3. 1

Soit E = ~3 [X] etj E el ([;;;;2 , ;2).

Montrer que F : E -~, P '-" fol Jet, pet»~ dtest de ciasse el sur E. Calculer dF.

Ex. 3.2

E =Jtn (~), montrer quej : E - E,A '-" AtA

est de classe el sur E. Calculer df.

Ex. 3.3

E =Jtn (R).

1) Montrer que j :X ~ X2 est de classeel sur E.

2) Montrer que si X E en (R), djx est un

isomorphisme .

Ex. 3.4

Déterminer jE el(u, R), avec U ouvert de IR2

à préciser, vérifiant:

aj aj(1) -.- - -.- + 3(x - y)j = 0âx dy

en utilisant le changement de variables défini

par: u = xy , v = x + y.

aj . aj(2) 2x ax -y(l+i) ay =0

en utilisant le changement de variables définiu2 + v2 u

par: x = --2- , Y = Li

Ex. 3.5

On pose U =IR2\ {CO, O)}.

Déterminer j E e2(U, R) telle que:

(1) il existe 9 E e2(IR~,~) et h E e2(R~)telles que V (x, y) E U,f(x, y) = g(r)h(8)

avec r = Vx2 + y2,x = r cos 8, Y = r sin 8

(2)

a2j a2jV(x, y)E U,~ (f)= -2 (x, y)+ -2 (x, y)=O.

ax ay

Ex. 3.6

Déterminer j E e2(~"2, IR)telle que:2 2

V (x, y) E IR'2, ~ + a { (x, y) _ i a { (x, y)ax ay

aj aj-yay(x, y) + xax(x, y) = o.

On utilisera le changement de variable défini paru=€nlxl =€nlyl·

Déterminer jE e2(U, ~), avec U ouvert de ~2à préciser, vérifiant:

(1 )

a2j a2j a2j2(i-x)----::-2+2y-a-a-+----::-2-(i-x) = 0dx x y ayen utilisant le changement de variables défini

par ~ = u2 + v2 , y = u + v

. a2j a2j a2j(2) ~ ----::-2 + 3xyTT + 2i ----::-2 = 0ax x y ayen utilisant le changement de variables défini

2x xpar u = - v =-.

y y

EX.3.a

Soitj E eco (R2 , IR)telle que

V x E Rj(x, 0) = O.

Montrer qu'il existe 9 E eco (~2, ~) telle que

V (x, y) E ~2 ,f(x, y) = yg(x, y)

Ex. 3.9

Trouver j E e2(IR~, IR)telle que 9 :IR3---+IRdéfinie par

(x2 + 2)9 : (x, y, z) ~ j ---;- vérifie ~ 9 = O.

Ex. 3.10

Montrer que le système:

{X = cos uchvy = sin ush vdéfinit, au voisinage de tout point

(XO, Ya) = (cos ua ch Va, sin ua sh va), u et v

en fonctions implicites de (x, y).

Calculer ~ u(x, y) et ~ v(x, y),

( a2u a2u)~u=--2+--2

ax ay

122

Soitf E C1(1J;gn,[Rn) telle que

'if x E [Rn, dfx E (i)n ([R)

(groupe orthogonal de [Rn euclidien canonique).

1) Montrer que 'if (x, y) E [Rn X [Rn,

Ilf(x) - f(y) Il ~ Il x - y II·

2) Montrer que f est de classe e2 sur [Rn

(on pourra utiliser le théorème d'inver

sion locale).

3) Montrer que df : x f-;> dfx est constante.

4) Montrer que f est une isométrie de [Rn.

Ex. 3. 12

Soitf E e2([Rn, [R) telle que dfo = 0 et

,2fA = [au] avec au = d (0) est définie

y y aXi a_'jnégative.

1) Prouver qu'il existe (a, r) E [R~2 tel que

'if x E B(O, r),

n afg(x) = LXi-,-(X) ~ _allxI12.

i=l dXi

2) Soit u :[R~[Rn de classe el telle que,

quel que soit t E IR, u' (t) = (grad Du(t)

avec u(O) = XO, x:o E B(O. r).

Montrer que lim u(t) = O.t~+x

Ex. 3. 13

Etudier les extremums de

1) f=[R~2~IR,(x,Y)f-;>xtny+ytnx

2) f:[R2~[R,

(x, y) f-;> ~ - xy + ~ - Vx2 + y2

Ex. 3. 14

u+vCalculer sup 2 2 .

(U.V)E [0.1]2 (1 + u )(1 + v )

Ex. 3. 15

Déterminer les triangles d'aire maximum inscrits

dans un cercle.


Ex. 3. 16

Dans le plan euclidien rapporté à un repère or

thonormé, on donne les points A(1, 0), B(2, 0)

et C(O, 3).

Trouver les droites Ç1 du plan telles que

d(A, Ç1)2 + d(B, m2 + d(C, m2

soit minimale.

Ex. 3. 17

Soit T un triangle du plan euclidien.

Etant donné un point M intérieur à T, on appelle

p, q, r les distances de M aux trois côtés de T.

Trouver M pour que le produit pqr soit maxi

mum.

Ex. 3. 18

Soit D un domaine de [R2 tel que I5 soit compact

et soitf : I5 ~[R telle que

'if (x, y) E D,f(x, y) > 0,

'if (x, y) E Fr D,f(x, y) = 0

f de classe el sur D.

L'espace étant rapporté à un repère orthonormé

(0, T, T, k), montrer que,

pour tout (a, b) E [R2\ Fr D, il existe une sphère

tangente en (a, b, 0) au plan xOy et tangente

au graphe de f.

Ex. 3. 19

Soit E = eO([O, 1], Ji) normé par:

f f-;> Iif Il ex; = sup Lf(x) 1[0.1]

et F = {J E e1([0. 1], R),f(O) = O} normé par

ff-;> ilfllF = sup V(x)![0.1]

Soit 'F: F - E, 'F:f f-;> f2 +f.1) Montrer que 'F est de classe el

2) Montrer que f2 +f = 9 admet dans E

une solution pour Il9 Ilex; assez petit.

(on pourra utiliser le théorème d'inver

sion locale).

Chapitre IV

Séries numériques

et vectorielles

1 1- GénéralitésEdésigne un IK-espace vectoriel normé (IK==~ou iC).

A. Espace vectoriel des séries à valeurs dans E

d.1 Soit (Un)nEN une suite à valeurs dans E.

On appelle série de termeg-énéralun le couple de suites:

n

d.2 La suite (Un)N de tenne général Un ==L Uk est dite suitek=O

1 des .sooonéS de la série de tenne général Un.

d.3 Une série à valeurs dans ~ (resp. dans iC) sera dite réelle (resp. complexe).1

n.1 La série de tenne général Un sera notée L Un.

1

RemarqueUne série L Un est entièrement définie par la donnée de la suite (Un)N (suite dessommes partielles). En effet, on a ua ==Uo et ';f nE N*, Un ==Un - Un-l.

dA Soit (Un)n;;,no une suite à valeurs dans E, définie à partir du rang no E N*.

La série L u~ où (U~)Nest définie par uh ==ui ==... ==~-l ==0, et u~ ==Un

pour n ;;;, no, est encore appelée série de tenne général Un et notée L Un.n;;,no

Pour la suite (U~)N des sommes partielles, on a alors:n

';f nE N, n ;;;, no =? U~ == L Ukk=no


d.S Soit L Un une série à valeurs dans E, la série 2=: Un (qui est du type définin~no

de 2=: Un et

=} U~ = Un - Uno-ln? Il{)V nEN.

en dA) est dite déduite de LUn partTO,fiçàtupe au rang Il{).

Si (Un)nE N et (U~)n~no sont les suites des sommes partielles

2=: Un respectivement, on a :n~no

t.1 L'ensemble S(E) des séries à valeurs dans E est un IK-espacevectoriel.1

~ On vérifie que c'est un sous-espace vectoriel de EN x EN.D

B. Séries convergentes

d.6

1

Une série L Un à valeurs dans E est diteconyerge~te si et seulement si lasuite (Un)N de ses sommes partielles est convergente.Une série non convergente est dite

On appelle sornm.e+00 n

"'"' Un = lim "'"' UkL..,; n--+ +00 ~n=O k=O

d.?

de E défini par

+00

co:nv'er~;eIlteL Un, et on note 2=: Un l'élémentn=O

+00

Dans le cas d'une série 2=: Un convergente, la somme est notée 2=: Un et on a :n~no n=no

+00 n

2=: Un = lim 2=: Ukn--++con=TID k=no

p.1 Cas où E est de dimension finie p.Soit (ei)lE;iE;p une base de E, (Un)nEN une suite de E et (Uh)nEN. Ci E [1. p])

ses suites composantes (v nE N. Un =t u~ei)t=l

La série L Un est convergente si et seulement si les p séries composanteEL uh . (i E [1, p]) sont convergentes.

+00 p (+00 )Alors EUn = f; Eu~ ei

~ En posant

n n

Un = L Uk. U~ = L u~, on ak=O k=O

p

Un = 2=: UAeii=l

Cas particulierUne série L Un à termes complexes est convergente si et seulement si la série de'parties réelles L an et la série des parties imaginaires L bn sont convergentes.

+00 +00 +00

Un = an + ibn. (an. bn) E (R2.Alors 2=:(an + ibn) = 2=: an + iL bn.n=O n=O n=O

=:hapitre 4 : Séries numériques et vectoriellesj,-.,j"-ILO

p.2 Une série L Un E S(E) et une série L Un s'en déduisant par troncaturen;?;no

1 sont de même nature.

p.3 Si deux séries ne différent que par un nombre fini de termes, elles sont de1 même nature.

Application

La nature d'une série L Un ne dépend donc que du comportement de

unppur Il assez grand, on dit que la nature d'une série est une notion asymptotique.

Il. Reste d'une série convergente 1

d.a Etant donnée une série convergente L Un E S(E) et p un entier naturel,n;?:no

p :?o no, on appelle reste d'ordre p de cette série et on note Rp la somme de

la série L Un:n;"p+l

+=

Rp= L Unn=p+l

+00 (P )~ Pour tout p :?o no, on a alors ~ Un = Up + Rp Up = ~ Un D

+00

Soit Rn = L Ukk=n+l

le reste d'ordre n d'une série convergente L Un·n~no

pA Pour tout n :?o no, Un = Rn-l - Rn

1

p.5,:K"1

lim Rn = O~·n--++oo

Remarquep-l

On pourra aussi rencontrer les notations Up = L Unn=T1Q

+00

Rp = LUn.n=p

2. Conditions nécessaires de convergence

D

t.2 Gritèrède Cauchy

Pour qu'une série L Un à valeurs dans E soit convergente, il est nécessaire

que \ISE IR:, 3 NE N, \1 (n,p) E r\:P, n:?o N =?- IlEukll <s

La suite des sommes partielles doit être de Cauchy, on obtient le résultat en notant quen+p

Un+p - Un-l = L Ukk=n

D

126

t.3

1

lrW


Application

La série harmonique ( Un = ~, n ~ 1) diverge. En effet:

U2 - Un = _1_ + _1_ + ... + ~ donc U2 - Un ~ n (~) = ~n n + 1 n + 2 2n n 2n 2

Pour qu'une série L Un à valeurs dans E soit convergente, il est nécessaire

(mais non suffisant) que lim Un = 0n........•..+CXJ

On applique le critère de Cauchy avec p = O.

L'exemple de la série harmonique montre qu'il ne s'agit pas là d'une condition suffisantede convergence.

ApplicationOn utilise ce théorème pour mettre en évidence des divergences, par exemple:

Un = an, a E C, pour 1al ~ 1, Un ne tend pas vers zéro, donc L Un diverge.

Définition:

d.9 Une série dont le terme général ne tend pas vers zéro sera dite

1 grossièrement divergente.

3. Condition nécessaire et suffisante de convergence

Théorème:

D

tA

lrW

Soit E un espace de.Banach et L Un une série à valeurs dans E.

Pour que L Un converge, il faut et il suffit qu'elle vérifie le critère de Cauchy.

Ce qui se traduit par l'une ou l'autre des formulations équivalentes suivantes:

(1) \lsE!RI.:,3NEf:;J,\I(n,p)Er\P,n~N =} IIEUkll<s

(2) ,!!;m sup II~Ukll = 0 ou (ou,!!;m. sup litUkll = 0)n . +co pEN k=n n . +X p""n k=n

E étant complet, la suite (Un)nE converge si et seulement si elle est de Cauchy,

c'est-à-dire \lsE!RI.:,3NEf:;J,\I(n,p)Ef:;J2,n~N =} IIUn+p-Un-lll<s

On obtient ainsi la formulation (1).

L'équivalence entre (1) et (2) est claire dès que l'on note que, Il~ unll < s pour tout

p E f:;J, donne l'existence (dans !RI.) de Sn = sup Il ~ Ukll avec 0 ~ Sn ~ S.pE~j k=n 1

Conséquence pratiquePour montrer qu'une série L Un converge par application du critère de Cauchy, on

s'efforcera de majorer IlEUk!! indépendamment de p (p ~ n) par une suite de limitenulle.

Chapitre 4 : Séries numériques et vectorielles 127

14. Séries absolument convergentes 1

Définition:

d.10 Une série L Un à valeurs dans E est dite absolument convergente si et1 seulement si la série;: Un Il E S(R) est convergente:---

Théorème:

Un exemple est celui de la série harmonique alternée

t.5

1

Soit E un espace de Banach et L Un une série à valeurs dans E.

Pour que L Un soit convergente, il est suffisant mais non nécessaire queL Un soit absolument convergente.Si L Un est absolument convergente, L Il Un Il vérifie le critère de Cauchy,

!i n+p Il n+por, on a ,]II~ uk ~ ~ Il uk Il, donc L Un vérifie aussi le critère de Cauchy etk=n k=n

E étant complet, L Un est convergente (d'après le théorème 4). La condition n'est pasnécessaire car il existe des séries réelles qui sont convergentes et non absolument

convergentes. 0

(_l)n+l~-, nn~l

1 (_l)n+lon sait que'\"' - diverge et on verra plus loin que ~ --- converge (exemple 2).~ n n

n~l n~l

15. Séries semi-convergentes 1

Définition:

d.11 Une série L Un à valeurs dans E est dite semi-convergente si et seulement1 si elle est convergente mais non~bsolument convergente.

C. Suites et séries

On peut, dans certains cas, conclure à la nature d'une série L Un en étudiant directementla suite (Un) de ses sommes partielles. Pratiquement, ceci sera possible lorsqu'on pourra

n

donner de Un = ~ uk une expression simple en fonction de n.k=O


Si a of. 1•

exemple 1 /_/_/_/ _

La série géométri~ue ~ an, a E C, (par convention 'if a E C, aO = 1).n~O

n 1 n+lk -aUn=~a =-.-

k=O


La série géométrique est alors convergente avec

• Pour lai < 1, lim an+1 = 0, doncn-++oo

1hm Un = 1- an-++co

+00 1""' n _La = 1-an=O

• Pour lai;:;. 1, an ne tend pas vers zéro, donc L an est grossièrement divergente.

pie 2

L (_lf+1n~l n

• Sachant que i: = 101 tk-1 dt, (k E N*), il vient:

n (_l)k+1 !n1 ( n k-1) lol 1- (_t)nUn=L--= L(-t) dt= ---dt

k=l k 0 k=l 0 1+ t

Or, r1_d_t =.fn2 et 1 r1_(__t)_ndtl,,; r\ndt=_l_.D'OÙ !Un-tn21,,;_1_1Jo l+t Jo l+t Jo n+1 n+

Ce qui montre que la série harmonique alternée est convergente, de somme:

+:0: (_1)k+1hm Un =L ---= .fn2n--HOO k

k=l

exemple 3

dont le terme général s'écrit Un = hn+1 -

•• Proposition

Soit (hn) une suite de E et (Un) la suite défine par 'ri nE N, Un = hn+1 - hn.

La série de terme général Un est de même nature que la suite (hn)l'\j, et, dans le cas de la+00 +x

convergence, on a ""' Un = ""' (hn+1 - hn) = -ho + lim hn~ ~ n--++oon=O n=O

n

Il suffit de remarquer que 'ri nE N, Un = L Uk = hn+1 - hok=O

• Application : Etude de la série1

L Arctan n2 + n + 1n~O

Onaici 'rInEN,1

Arctan 2 = Arctan(n + 1) - Arctan nn +n+1

'lT

donc, puisque lim Arctan(n + 1) = -2 ' la série proposée converge avec:n-++oo

1 'lT+00

""' Arctan 2 1 = '2L n +n+n=O

Chapitre 4: Séries numériques et vectorielles 129

RemarqueLa proposition précédente s'utilise aussi pour ramener l'étude d'une suite à celle d'unesérie.

n 1Par exemple, la convergence de [a suite de terme général hn = L k - en n, (voir

k=l

Analyse 1, Chapitre VIII, Constante d'Euler), peut se déduire de celle de la série de terme

, ,Ir ( 1)general Un = hn+l - hn = n + 1 - {n 1 + Tl

Convergence que ['on peut établir au moyen de la règle des équivalents comme on le1

verra par la suite: Un - - --9 .2n-

D. Opérations sur les séries)' Un et )' L'n sont deux séries à valeurs dans E et À un scalaire (ÀE IK).

• Si )' Un converge. alors L À Un converge et on a :+::c +x'

L ÀUn =À Lunn=û n=û

• Si L Un et ;: Vn convergent, alors L(un + vn) converge, et on a :+x +x +X'

L(un + L'n) = L Un+ L Vnn=û n=û n=û

• Si )' Un converge et L Vn diverge, alors L(Un + un) diverge.

• Si )' Un et L Vn divergent on ne peut rien dire a priori de L(Un + un).

E. Groupement de termesDéfinition:

d.12 Soit L Un une sélie à valeurs dans E, <p une application strictement

croissante de ~ dans ~ telle que <p (0) = o.

<;Cn+l)-l

La série de terme général Vn = L Uk est dite déduite de L Unk=<;(n)

par groupement des termes ou par sommation par tranches (définies aumoyen de la fonction <p).

Exemple<p: n ~ 2n. Un= U2n+ U2n+l.

L Un et L Vn ne sont pas nécessairement de même nature: par exemple, pour

Un = (_l)n et Un= U2n+ U2n+l,L Un diverge et L Unconverge (série nulle).

Théorèmes:

On conserve les notations de la définition 12.+x +cx:;

t.6 Si L Un converge, alors L Unconverge et L Un= L Un·n=O n=O

Si L Undiverge, alors L Un diverge.

D


lfiF i / La deuxième proposition du théorème est la contraposée de la première.

ii / La première proposition résulte de ce que (Vn), suite des sommes partielles de ~ Un,

est extraite de (Un), suite des sommes partielles de :L Un.

t.7 Si hm Un = 0 et s'il existe M E ~rtel que \;/ n E~. Cf' (n + 1)- Cf' (n) ~ l'II,n-++oo

alors :L Un et :L Un sont de même nature.

lfiF i / D'après le théorème 6, on a déjà: (:L Un converge) =? (:L Un converge)

ii / • Montrons maintenant: (:L Vn converge) =? (:L Un converge)

Lemme

Quel que soit n E~, il existe Pn E~, unique, tel que Cf' (Pn) ~ n <~ (Pn + 1)

De plus, on a hm Pn = +x.n-++x,

• Si pn existe, on a pn = max{p E~. ~ (p) ~ n}, d'où l'unicité.

• Remarquons que, pour tout JeE \', on a ~ (k) ?o k, il en résulte que le sous·ensemble de ~, {p E~, cp (p) ~ n} est majoré par n, comme il est non vide (il contien

0), il admet un plus grand élément, ce qui assure l'existence de pn.P

• En écrivant cp (p) =~ (p)- Cf' (0) = L [ç (Je)- Cf (k - Ii] ~ pA!'k=l

on obtient n <cp (Pn + 1) ~ (Pn + 1)111 donc hm Pn = +X.n-+x

Démonstration de il /

Formons Il Vpn - Un Il =

Ona lim Un=On-++oo

lpCPn+1)-1 ii GIPn+li-1

L Ukll'~ L Iluklik=n+l k=n+l

donc, pour tout nE "'", il existe an = sup ii Upp~n

et hm an = O.n-++oo

En remarquant que cp (Pn + 1) - 1 - n ~ III, on obtient Il Vpn - Un ~ JIan

donc lim Un - Vpn = 0n-++c'>C·

+x

Par ailleurs, en posant V = L Vn, on a n~:rrx Vn = V,n=O

donc, puisque hm pn = +x (d'après le lemme), il vient hm \p" = Iln-++x n-+x --et, finalement hm Un = V.

n----'-+-x


exemple 4 /

1 (_l)n,j1 Un = n + (_I)n, n?o 2

• L Un est de même nature que L Vn, avec:

[~2 n~l

1 1 -1

Vn = U2n + U2n+l = 2n + 1 - 2n = 2n(2n + 1)


exemple 5

cos (zn;)n n~1

• L Un est de même nature que L Un, avec:n~l n~O

- 1 1 1Un = USn+l + U3n+2 + U3n+3 = 2(3n + 1) - 2(3n +2) + 3n + 3

- 9n- 5= 2(3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)

Dans chacun de ces deux exemples, L Un pourra être étudiée au moyen de la règle des

équivalents car Un est de signe constant (cf. Il).

F. Modification de l'ordre des termes

Définitions:

d~13 Soit '> Un une série à valeurs dans E et eT une permutation de N,

\. la sélie :> Un de terme général Un = 110-! n) est dite déduite de L Un parmodificaton de l'ordre des termes ou par ré arrangement (associé à la permutation de Œ).

Remarques

1) Un réarrangement peut modifier la nature d'une série.

Considérons, par exemple, la série harmonique alternée Un = n

On peut réarranger (Un)n~l en une suite (U~)n~l telle que L u~ puisse, par un regrou1

pement de termes, donner une série L Un telle que, pour tout nE N, Un > n + 1.Il suffit en effet de définir (u~) de façon à pouvoir poser:

Uo = 11 1 1 1 1

Ul =-2+3+0+"'+15>21 1 1 1 1

~'2 =-4+17+19+"'+51>3

1 1 1 1Un = - 2n + 2pn + 1 + ... + 2pn+l - 1 > n + 1

etc.

1(L'existence de Pn+l est assurée par le fait que la série L 2k + 1 est divergente).

k?'>pn

n-l 1 1Par construction L Un est divergente car"\"' uk ~ 1+ - + ... + -, d'après leL 2 n

k=O

théorème 6, L u~ est également divergente.

Par modification de l'ordre des termes, on a ainsi transformé une série convergente en

une série divergente.


2) Un réarrangement peut, sans changer la nature, modifier la somme d'une série.

Considérons toujours la série harmonique alternée :[ Un transformée par la modificationde l'ordre des termes en :

/ 1111 1 1 1 1L Un = 1- "2 - =1+ "3 - 6+' + 2n + 1 - 2(2n + 1)- 2(2n + 2)+ 2n + 3- ..n"'l

D'après t.7, L u~ est de même nature et a éventuellement même somme que:n"'l

( 1) 1 (1 1) 1 1 (1 1)~ Un = 1 -"2 - =1+ "3 - 6' - 8+ . - 2(2n + 2) + 2n + 3 - 2(2n + 3) +..

1Or, on constate que L Un = "2 L Un·

n"'l n"'l

1+xEn conséquence, L Un et, donc, L u~ sont convergentes, de somme 2' L Un.

n",l n"'l n=l

Le réarrangement «a divisé la somme par 2))!

d.14

1

Une série :[ Un à valeurs dans E est dite commutative ment convergente

lorsqu'elle est convergente et que toute série :[ Un qui s'en déduit par modi

fication de l'ordre des termes est convergente, de même somme.

Des exemples nous seront fournis par les séries à termes réels positifs et les séries

absolument convergentes dans un espace de Banach.

II - Séries à termes réels positifsRémarqÙespréliminaires

• On a vu que l'on ne change pas la nature d'une série lorsqu'on modifie un nombre fini

de termes. Les résultats qui suivent concernant la nature des séries à termes positifs

sont donc valables pour les séries réelles à termes positifs à partir d'un certain rang .

• Si:[ Un est à termes réels négatifs, à partir d'un certain rang, ~ -Un est de même

nature et est à termes réels positifs à partir d'un certain rang. Le présent paragraphe

permet donc d'étudier les séries réelles de signe ~()!1~~nt à partir d'un certain~ng .

A. Théorème fondamental - Conséquences

Théorèmes :

o

t.8

1

IGF

Pour qu'une série :[ Un à termes réels positifs soit convergente, il faut et il

suffit que la suite (Un):\j de ses sommes partielles soit majorée.

Il suffit de remarquer que (Unh est dans ce cas une suite croissante.

Remarques

On a alors, V n E N, Un ~ U

Dans le cas de la divergence

+x

avec U = LUn·n=O

lim Un = +X.n-'-+x


Conséquences1) Une série '> Un à termes réels positifs, convergente, est commutativement convergente.

l!2F Soit '> L'n déduite de L Un par modification de l'ordre des termes: Un = llv-(n) où cr estune permutation de Pour tout n E "':è, on a :

n n p

\ln = L Vk = L llv-rkl ~ L Uk avec P = max{cr (k), 0 ~ k ~ n}k=O k=O k=O

+x

L Un étant convergente, il en résulte \;/ nE f'ii. Vn ~ L Uk, donc d'aprèsk=O

[e théorème 8, )' Un est convergente avec

+x +:::0

~LUklc=()

+00 +-

En notant que Un = Ucr-lln!' on obtient de même L uk ~ ~k=O /, J

+x

o

2)

Finalement L ule = L vle'k=O le=O

Une série )' Un à termes réels positifs et une série L Un s'en déduisant par sommation

par tranches sont de même nature.

Comparaison d'une série et d'une intégrale

Soit J une application de [a, +x:[ dans IR, (a E IR+), continue par morceaux,

positive et décroissante.

r=La série de terme général Un = J(n) est de même nature de l'intégrale .la f.

RemarqueL'intégration des fonctions continues par morceaux est traitée dans le Chapitre VI.

On compare donc L Unn~T1D

• Un n'a de sens que pour n ? no, où no est le plus petit entier naturel tel que no ? a.

et rx f..la

(1 )

(x? no).

\;/ n ? no + 1, J(n) ~ r J.ln-l

n

Posons Un = L ule' (n? no) ;le=T1D

Rappe[ons que, J étant positive, J:1 converge si et seulement si Fest majorée.

J étant décroissante, on a :

r+1\;/n?no, J(n)?.ln J et

jn+l jnd'où J ~ Un ~ uT1D + J c'est-à-dire F(n + 1) ~ Un ~ uT1D + F(n)

. T1D T1D

Si J:x J converge, F est majorée, donc, d'après l'inégalité (1), (Un)n~T1D est majorée

et le théorème 8 permet de conclure à la convergence de L Un.n~T1(J

•

•

•

•

•Si J~xJ diverge, on a

et L Un diverge.

ln+1lim J = +x:, donc d'après (1), lim Un = +00n----;..+oo no n-++oo "

o

tŒ'

134

•


Applications1

Aièmmann: L -U, (aE IRS)

n~l nSi a"'" 0, la série est grossièrement divergente.

1 ·+x dt

Si a> 0, par application du théorème 9, L -u est de même nature de ln~1n ·1

Formulaire:

I+X dxest de même nature que .' Q , qui est de même. a x([nx)

f.1

f.2

1L -u converge si et seulement si a> 1nn~l

1• Série de Bertrand: L ,,(f3E IRS)

n~2 n(tn n)

1Soit a = sup(2, e-(3),f: x ~ .. R est positive, décroissante sur [a. +x[.

x(tnx)1

Ainsi Ln~l n(tn n)

l+X dtnature que l3 (changement de variable t = tnx) .. {na t

1L "converge si et seulement si f3> 1n~2 n(tn n)

B. Premier théorème de comparaison de séries

Théorème:

t.10 Soit L Un et L Un deux séries à termes réels positifs telles que:'if n E 0"'" Un"'" Un

Alors:

il Pour que L Un converge, il suffit que L l-'n converge, et, dans ce cas,+::>.: +=:-:

'if n E i";. 0 "'" L Uk "'" L L'kk=n k=n

iil Pour que L Un diverge, il suffit que ;> Un diverge.

lB5' Notonsn

Un = L uk etk=O

n

1/n = L vk, on a 'if nE '\. 0 "'" Un "'" 1/n.k=O

il La proposition il est alors conséquence immédiate du théorème 8, et par passage à lap p +:': +x

limite, l'inégalité 0 "'" L uk "'" L vk donne 0 "'" L uk "'" L cie~n ~n ~n ~n

ii 1 D'autre part, si L Un diverge, on a lim Un = +x, donc, de Un "'" \ln, on déduitn-+x

lim Vn = +x et L Vn diverge: c'est la proposition iil. C'n-----'+N l'

Chapitre 4: Séries numériques et vectorielles

Applications

Règle:

135

r.i Critère de Riemann ou règle nO'Un

Soit L Un une sélie à termes réels positifs.

i / Pour que L Un converge, il suffit qu'il existe a> 1 tel que:

Un = 0 ( ~O') (resp. Un = 0 ( ~) quand n tend vers +x

ii/ Pour que L Un diverge, il suffit qu'il existe a~ 1 tel que:

1 1-----ex = o(un) (resp. ---ex= O(Un» quand n tend vers +00n n

~ Si Un = 0 ( ~O' ) ou Un = 0 ( ~O' ) , ilexiste a> a tel que 'cf n E N*, a ~ Un ~ ~

1Or, pour ex> 1, L -----exest convergente, donc, d'après le théorème 10, L Un converge.n

1 1 . aSi -----ex = O(Un) ou -----ex = O(un), ilexiste a> a tel que, 'cf nE N", Un ~ -----ex.

n n n

1Or, pour ex~ 1.L nO' est divergente, donc, d'après le théorème 10, L Un diverge. D

Remarque

Les conditions Un = 0 ( ~O') et Un = 0 ( ~O') se traduisent respectivement parlim nO'Un = a et (UO'un) est bornée d'où le nom de la règle.

n---'-+co

1Exemple: Série de Bertrand: L Q' (a, 13) E 1R2

n;;e2 nO'(€nn)

• Le cas ex= 1 a été étudié précédemment,1 1

noter, que pour j3~ 0, l'inégalité 13 ~ 11peut être utilisée.'." n(fnn)

• Cas 1 <ex: soit '( réel tel que 1 <'«ex.

On a n"Yun = n"Y-O'(1nn)-I3, et, puisque '( - ex< 0,

lim n"Yun=O c'est-à-dire un=o( \) (quel que soit 13).n~+c() n

D'après la règle de Riemann, L Un est convergente.

• Cas ex< 1: on a ici nUn = n1-O'cen n)-I3, et, puisque 1- ex> 0,1

lim nUn = +'X c'est-à-dire - = o(un) (quel que soit 13).n~+w n

D'après la règle de Riemann, L Un est divergente.

=ormulaire :

f.31

L 13 converge si et seulement si (ex> 1) ou (ex= 1 et 13> 1)n;;e2nO'(fnn)


o

Règle:r.2

~

équivalents

Soit I: Un et I: Un deux séries réelles telles que, au voisinage de +x, Un ~ 0

et Un ~ Un. Alors, on a également Un ~ 0 au voisinage de +x et les deuxséries sont de même nature.

On a, lorsque n tend vers +x, Un - Un = O(Un) et Un ~ O.

1Il existe donc no E "'J tel que, pour tout n ~ no, Un - Un1 ~ 2" Un

3donc Un ~ 2"Un et Un ~ 2un. On conclut avec [e théorème 10.

Remarques

1) Cette règle très importante permet de ramener l'étude d'une série (:compliquée» à celled'une série «p[us simp[e». Il sera utile de déterminer ['équivalent [e plus simple possible.La technique de calcul peut utiliser [es développements [imités au sens fort.

2) Cette règle s'applique aux séries de signe constant à partir d'un certain rang.

3) Cette règle est en défaut si les séries comparées ne sont pas de signe constant auvoisinage de +x, (voir exemple 16 deuxième remarque)


exemple 6 ,~~/ _

l'Etude de la série de terme général Un = {/n3 + an - \/n2 + 3. (a ER)

• En développant Un on obtient: Un = ~ (~ - ~) + t) ( ~)

Si a *- ~,un ~ ( ~ - ~) ~ et)" Un diverge (règle des équivalents)

Si a = ~. Un = t) (:3) et; un converge (règle nCiun).

exemple 7

t=-Et d" d l ~. d ' ~ ~ l 1 [, 11+1 " 1·1-1]1 ~tu e' e a sene e terme genera Un = nCi ln + J n - \H - ! n

( ) 1+1 tn n (' l' ( 1\1+1 1+1 1 n -+ 1+-) tn 1+-J(n + 1) n = n n 1 + _ = n e n n ,n;n

Or (1 + ~ ) tn (1 + ~) = (1 + ~) (~+ 0 ( ~ ) ) = ~ + 0 (~) = 0 ( t~n)

= n + tn n + o(tn n)

tn nUn - 2-

nCi

D'après ['étude des séries de Bertrand, L Un converge si et seulement si CD 1.

1+1 tnn+o(tnn) (' tnn ('tnn'))Donc (n + 1) n = n e n n = n 1+ ----rL + 07, .1_1 _ tnn+o( tnn ')De même (n-1) n =ne n ,n. =n-{nn+o(tnnl

1+11-1Fianlement (n+I)'n -(n-li n =2tnn+oCtnnl et

Chapitre 4 : Séries numériques et vectorielles

C. Sommation des relations de comparaison

Théorèmes:

t.11 Soit :L Un et '> L'n deux séries à termes réels telles que:

• '> L'n est à termes positifs à pmiir d'un certain rang

• ~ L'n converge

• Un = alUni quand n tend vers +x.+:..:::

137

i\lors, les restes d'ordre n Rn = L Uk et Tn = L Ule vérifientk=n+1 k=n+1

--.!!~n=o(!n) quand n tend vers +x.[@f' Po~r-tout:; 0, il existe no E; ~'jtel que, pour tout n ~ no, [Uni ~ SUn.

Lasérie '> Un est absolument convergente d'après le premier théorème de comparaison.

i +:-:

Pour tout n ~ no, on a Ik~lc'est-à-dire IRn\ ~S Tn

+::>: +x

~L 1 Uk[ ~S L ukk=n+1 k=n+1

D

Rn - Tn.+r:x=:

t.12 Soit:L Un et )' L'n deux séries à termes réels positifs à partir d'un certainrang telles que:

• :L Un converge

• Un +-=-~ L'n quand n tend vers +x.Alors, :L Un converge également et les restes Rn et Tn vérifient

[@f' On a ici Un - Un = o(L'n). Le théorème 11 s'applique et donne:

~ (un - L'n) = a ( ~ L'n)' c'est-à-dire Rn - Tn = o(Tn)k=n+1 k=n+1


exemple 8+x 1

un équivalent simple de ~? quand n tend vers +xL k~le=n

D

en considérant la série de terme général

en considérant la série de terme général

1 1L'n= ----n n+ 1

n+1 dx

wn=! 2n x

• 1)1 1

Un = n(n + 1)- n2' +x 1 +x (1 1)D'après le théorème 12, on a alors L 2' - L k - k + 1k=n k k=n

+x (1 1)Or ~ k - k+ 1

1n donc

138

2) De __1_ ~;,n+1 cIx ~ ~(n + 1)2 n x2 n2on déduit

1wn~2n


+C0 1 +co l'k+1 cIxD'où, d'après le théorème 12 L 2" ~ L 2Ie=n k Ie=n' le x

+0::. ,laI

Or Li ~= rco cIx = ~Ie=n le x .1n x2 n

donc+co 1 1L k2 ~;:1Ie=n

exemple 9

!1Touve,"n :;:'. i:alent simple quand n tend ver::% 11) de An = '" ----a Œ> 1 2) de Bn = '" (f) )Œ ex> 1Lk Lk1.nk

Ie=n Ie=n

• 1 1n+1cIx 1 1 1n+1 cIx1) De ---~ - ~ - on déduit - - -

(n + 1)C< , n xC< nŒ nC< , n xŒ

et le théorème 12 donne ~ 1c< _ ~ rk+l eL:Ie=n k Ie=n.lle x

Or ~ jk+1 ~ = rco clxIe=n' le x .1 n xC<

1(a _1)nü-1

donc1

ü-1An~ (a-1)n

2) On a de même1 r+1 eL,n(fnn)ü ~.ln x(fnx)Œ

d'où on déduit d'après [e théorème 12+x clx! -ŒBn - x(tnx)'. n

c'est-à-dire

Théorèmes:

1 --,Bn - (a -l)iJnn)

t.13 Soit L Un et ':>' Vn deux séries à termes réels telles que:• L Vn est à termes positifs à partir d'un certain rang

• L Vn diverge

• Un = O(un) quand n tend vers +x,n n

Alors, les sommes partielles Un = L Ule et Vn = L L'le vérifient Un = olYn)Ic=O Ie=O

quand n tend vers +x,

~ Pour tout 8> 0, il existe no E 'c tel que, pour tout n "'" no.

n

En écrivant, pour n"'" no, Un = Un:> + L ulek=no+1

n

8Un ~ 2L'n.

8 '" . 8 8on obtient Uni ~ i Un" + ') L L'k soit aussi 1 Un: ~ Unr,! - ') l'Tl{, + ') vTn-' ~ ....

k=nê+1

Par ai[leurs, on a lim Iln = +xn-+:,:donc hm

n-+:--:

8Un. , - - ITn.

1.(1 [ 2 lU)

Vn=0


1': 1':et il existe nI EC, tel que pour tout n ? nl Uno1 - "2 Vno ~ "2 Vn.

Finalement, n ~ max(no. nl) =? 1 Uni ~I': V'n, d'où la conclusion

139

o

t.14 Soit:>' Un et :>'Vn deux séries à termes réels positifs à partir d'un certainrang et telles que:

• ) Vn diverge•

Un ...:...-;:L'n

Alors, :>' Un diverge également et les sommes partielles Un et Vn vérifientUn - Vn.

+x

~ On a ici Un - en = olvn!. Le théorème 13 s'applique et donne:

f(UK - vk) = 0(f VK) c'est-à-dire Un - Vn = o(Vn)K=O K=O "


exemple 10 _

l" Vélific' que, l",-'que n tend ve" +x n ln n - (fn ({n(n + 1)) ~ (n f~ n)'. En déduire un équivalent simple, quand n tend vers +x de ~ ken k

k=2

• Un calcul de développements asymptotiques donne:

tn(tn(n + 1)) - tn(tn n) - nt~ n

1D'après l'étude des séries de Bertrand, ~ -1:- est divergente à termes réels positifs, doncn1.nn

n~2

n 1 n

d'après le théorème 14 on a ~ ktn k - ~ (tntn(k + 1) - tnth k)k=2 K=2

n 1soit """' -{- - ftn (tn(n+ 1») - tntn2] - tn(tnn)L k~nk "

n=2

exemple 11n 1

un équivalent simple, quand n tend vers +x, de ~ -,- _.k=2

• La série de Bertrand ~ el)'" avec Œ< 1 est divergente. _n~2k(nn ~

Œ< 1

1x f-+ x(fnx)O: est décroissante au voisinage de +x, il existe donc no EN tel que, pour tout

1 in+I dx 1n?no ~ ---~--

(n+ l)(tn(n+ 1»0: .n x(enx)O: n(€nn)O:

1 i·n+l dxet on en déduit (e )0: - -e-' - 0:n n n n x( nx)

Soit


n 1 n {k+l dxLe théorème 14 donne alors L k( en k)a ~ L .1k x( en xtk=2 k=2

n 1 {n+l dxL k(enkt ~ .12k=2

D'où encore

n

L 1 .~ ~ (en(n+ 1»l-a - (en2)1-ak=2

(en n)l-a1- 0'

D. Deuxième théorème de comparaison de séries

Théorème:

t.15 Soit L Un et L Un deux séries à termes réels strictement positifs.On suppose qu'il existe no E N tel que :

\f n EN, no~n =?Un+l un+l--~

Un Un

Alors:

i / pour que L Un diverge, il suffit que L Un diverge.

ii / pour que L Un converge, il suffit que L Un converge.

iii / dans le cas ii /, pour tout n ~ no, on a+'X +cx:·

""'. uk ~ Un ""' uk.L-- vnL-k=n k=nn-l

rr= Un II uk+l Uno""" • Ona \fn>no,-= --donc \fn~no,Un~'-UnUno uk Uno

k=no

et les propositions i / et ii / résultent du théorème 10.• Supposons L Un convergente.

Règle:

On a, pour tout k ~ n ~ no, Un d"uk ~ -Vk ouUn

+::-<: +x

""' uk ~ Un L ukL Vnk=n k=n o

r.3 Critère de d'Alembert

Soit L Un une série à termes réels strictement positifs.

i/ S'il existe k E ]0, l[ et no E ['\, tels que \f n E ~'" n ~ no =? Un+l ~ k,Un

alors, L Un converge, et pour tout n ~ no+X kUn""' <° ~Rn = L uk ~ 1_ k

k=n+l

ii / S'il existe no E ['\, tel que \f n E '\;. n ~ no

alors, L Un diverge grossièrement .

=? Un+1 ~ 1.Un '

... / S"l . tEl' Un+l l111 1 eXIse <,= lm --, a orsn---'-+::c~ Un

• si t< 1.L Un converge• si t> 1.L Un diverge grossièrement• si t= 1, on ne peut rien dire.


l0f Introduisons la série géométrique de terme général L'n = len: Vn+1 = le,Vn

i / est conséquence immédiate du théorème 15

ii / résulte de ce que 1 unln~nü est croissante, donc \::! n ~ Tl{) , Un ~ Uno > 0,

141

iii / • Si .(< l, soit le tel que .« le < l, puisque lim Un+1 =(, il existe Tl{) E [\j tel quen~+x Un

\-1 Un+1 J d -- d' . '/V n ~ Tl{). -u ~ c, onc L Un converge apres l"n

• Si.( > l, il existe Tl{) E '\ tel que \::! n ~ Tl{) , un+1 ~ 1, donc L Un divergeUngrossièrement d'après ii/,

• Le cas .(= 1 peut se produire aussi bien avec une série convergente (L :2 )

qu'avec une série divergente (L ~) ,


o

exemple 12 ~ ~ _

•Etudier les séries de termes généraux

1Un = -, etn;

ennlVn= -nn

• _ 1 Un+1 _ 1Un - n!' u;:;- - n+ 1 donc l' Un+1lm - = 0 t\ /'

n~+x Un e L Un converge, ,/

Vn+1 (n) n ( 1) -n 1-n.(n(1+1)• ~-=e -- =e 1+- =e n

Vn n+1 n

, . d' Vn~l 1 (1)c est-a- Ire -'- = 1 + -2 + 0 - .Vn n n

vn~lOn se trouve dans le cas douteux: lim -'- = l,

n---'-+x Un

, , Vn+1 1cependant, on a, au vOIsinage de +x, -- - 1 ~ -2 'Vn n

-.l.~O(l)= e2n ' Tl

donc il existe Tl{) E i'\! tel queVn+1

\::! n ~ Tl{), -- - 1> 0Vn et L Vn diverge.


o

III - Séries absolument convergentesRemarque

Pour étudier l'absolue convergence d'une série L Un à valeurs dans E, on utilisera les

critères développés dans l'étude des séries à termes réels positifs.

En particulier, s'il existe L Un à termes réels positifs convergente telle que Un = o(un)

ou = O(un) quand n tend vers +X, L Un est alors absolument convergente.

1.16 Cas où E est de dimension finie, p.

Soit (eihoS;ioS;pune base de E, (un) une suite de E et (uh) ses suites composantes.La série L Un est absolument convergente si et seulement si les p sériescomposantes L uh sont absolument convergentes.

Il§ E étant de dimension finie, toutes les normes sur E sont équivalentes: la nature d'une

série ne dépend pas de la norme choisie.p p

Utilisons la norme définie par Il x IiI = L IXil avec x = L xiei.i=l i=l

p

On a alors, pour tout n E N, Il Un III = L [u~i donc l'absolue convergence des sériesi=l

L uh donne celle de L Un·

De même, \J i E [l,p],\J n EN,[uh[ oS; IIUnI11' donc l'absolue convergence de

L Un donne celle de chacune des séries L uh, i E [1,p] .

• Cas particulier

Une série L Un à termes complexes est absolument convergente si et seulement si la

série des parties réelles L an et la série des parties imaginaires ~ bn sont absolument

convergente, (un = an + ibn, (an. bn) E ::::12).

o

t.17

1

Il§

t.18

1

Il§

Une série L Un à valeurs dans E, espace de Banach, absolument convergente,est commutativement convergente.Ce résultat est admis.

Uensemble des séries absolument convergentes à valeurs dans E, espace deBanach, est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des séries convergentesà valeurs dans E.

C'est un sous-ensemble non vide (il contient la série nulle) de l'ensemble des séries

convergentes à valeurs dans E d'après le théorème 5, et il est stable par combinaison

linéaire car IIÀ. Un+ f.l Unll oS; ,IUnl + f.l' L'n

Produit de Cauchy des séries complexes

Définition :

d.15

1

Soit L Un et L Un deux séries complexes, on appelle produit de Cauchy den

L Un par L Un, la série L Wn de terme général Wn = L UkL'n-kk=O


Théorèmes:

t.19 Src) muni des trois opérations - somme de deux séries, produit d'une série

1 par un scalaire, produit de Cauchy - est une [>algèbre commutative unitaire.

~ Même démonstration que pour la vérificationde la structure d'algèbre de C [X].D

t.20 Le produit de Cauchy /' Wn de deux séries à termes réels positifs convergentes /' Un et L L'n est une série convergente.

De plus ~ Wn = (.~ un) ('.~ un) .n=O \n=O n=On n n

~ Posons Un = L Uk, \ln = L L'k, HTn = L Wk·~o ~o k~

On a HTn = L UkU(, Tn = {(k. [) E 10""" k """n,O """["""n - k},IdlE T-,

Posons ln = {k E \, 10 """ k """n}, on a Tn cI~ c T2n· A10,Zn) 1

L Un et L Un étant à termes réels positifs, on endéduit:

L unv( """ L ukv( """ L """ukv('ld)E Tc , k,[ lE I; r k,OET2n

c'est-à-dire l'ln""" Un \ln """W2n 01

Wn """Un \ln donne, pour tout n, Wn """ (~Uk) (~Vk)k=O k=O

Donc, d'après le théorème 8, L Wn converge et ~ Wk """ (~Uk) (~Vk)k=O k=O k=O

De Un \ln """W2n, on déduit ensuite (par passage à la limite) :

(~ Uk) (~Vk) """~ wlc- Finalement ~ wk = (~Uk) (~Vk)'k=O k=O k=O k=O k=O k=O D

De plus

n

On a, pour tout n, IWnl """ w~ avec w~ = L IUkl IVn-kl.k=O

L w~ est le produitde Cauchy de L IUnl et de L IVnl qui sont des séries à termes réelspositifs convergentes, donc, d'après le théorème précédent, L w~ est convergente. Ilen résulte que L Wn est absolument convergente,Avec les notations de la démonstration du théorème 20, on a :

Le produit de Cauchy L Wn de deux séries complexes absolument convergentes L Un et L Vn est une série absolument convergente.

~ Wn = (~un) (~vn)n=O n=O n=O

t.21


Or, d'après le théorème 20 :

n~~oo t W~ = (f IUkl) (f [Vkl) = n~~oo (t [Ukl) (t IVkl)k=O k=O k=O k=O k=O

En conséquence lim Wn - Un Vn = 0n---;.-+oo

c'est-à-dire f wk = (f Uk) (f Vk)k=O k=O k=O

- Travaux pratiques

exemple 13

Etant donné z E C, on considère la série de terme général

1) Montrer que ~ un(Z) est absolument convergente.+:0

/;"'

nZun(Z) = n!'

o

2) On pose f(z) = L Un(z). Montrer que l'application f : C--+C ainsi définien=O

vérifie V (z, Z') E C2, f(z + Zl) = f(z)f(z)

• 1) Le critère de d'Alembert donne la convergence de ~ [Un(z)l.

2) D'après le théorème 21, on a :

+:0 (n k m~k)1 2 l' Z Z

V (z, z ) E C, f(z)f(z) = L L, (_)1k. n k.n=O k=O

+:0 1 (n k 1 1 ) +:0 (z + z)n 1

Donc f(z)j(z) = L, Len zCz n-k = L ! =f(z + Z).n. n.n=O k=O n=O

IV - Séries à termes quelconquesSemi-convergence

Les méthodes ci-après seront utilisées pour l'étude de séries dont on n'a pas pu établirl'absolue convergence.

A. Transformation et règle d'Abel

Définition :

d.16 Soit E un espace vectoriel normé, (8n) une suite réelle et (an) une suite de E.n

En posant, pour tout nE ""J, An = L ab on obtient:k=O

n+p n+p~l

V nE rr,V p E l'J. L 8k ak = - 8n An-l + L (8k - 8k+l) Ak+ 8n+p An+pk=n k=n

n+p

On dit alors avoir effectué la transformation d'Abel sur la somme L 8n ank=n


Ona VnE~:r. an=An-An_l' Donc, VnEr:Jx,VpEn+p n+p n+p n+p-I

L 8k ak = L 8k (Ak - Ak-Il = L 8k Ak - L 8k+l Akk=n k=n k=n k=n-I

n+p-I

- 8n An-I + L (8k - 8k+l) Ak+ 8n+p An+pk=n

Règle d'Abel

Soit E un espace de Banach, (8n) une suite réelle et (an) une suite de E telles

que:

i / (8n) est décroissante et lim 8n= 0n-~:..:::

~'-/--- .

.(

;Règle:

n

ii / la suite (AnY. définie par V n E '\, An = L ab est bornée.k=O

Alors la série de terme général. Un =8n an est convergente .

• Il résulte de i 1 que V nE i"'J, 8n? 0 et 8n - 8n+l? 0

et ii1 s'écrit ::3M E Gr. V nE 11An!1 ~ IH.

n+p n+p

• Effectuons la transformation d'Abel sur la somme L Uk = L 8k ak,k=n k=n

n+p

on obtient: Lk=n

n+p-I

~8n liAn-Iii + L (8k - 8k+l) IIAkl1+ 8n+p IIAndlk=n

D

,. 1 n+p Il . ( n+p-I , ')d ou L ukll ~ l'vI 8n + L (8k - 8k+l) + 8n+p = 2M 8nk=n Ir k=n

Puisque lim 8n= 0, cette majoration montre que L Un vérifie le critère de Cauchy,n-----+x

elle est donc convergente (E est complet par hypothèse).


exemple 14 -,

des sériescosne--,,n et

sinnena-• Posons an = cos ne, bn = sin ne .

On a alors

n-I

'\""' n- IL.. (ak + ibk) = '\""' eikS _ 1- einSk=O L..--k=O 1- eC

. nin-Issm-e

= e 2 2. e

srn -2

donc

n-I n-1A '\""' cos -- . nn _ I = L.. ak = 2 e sm "2 e

k=O . eSln2

n-l . n-1B L sln-' nn-I = b _ 2 e sm - ek- 2

k=O . eSln-2


cos n 8La convergence de L --Œ- et

n~l n

1

IBn! ~ celIsm21

et 'if n EN,1

IAnl ~ceIIsm2[

L sinn 8n~l nCi

résulte alors de la règle d'Abel.

inBe• Les séries précédentes sont les parties réelle et imaginaire de la série I: -Ci-· .n

1Pour 8E 2 Tld:, on retrouve la série de Riemann )' ---ci' qui converge si et seulement sina> 1.

Pour 8E iR.\ 2 Tld:,

einB• la série I: -Œ- est absolument convergente si et seulement si a> 1, carn

le;BI = :Ci'

• pour 0 <a~ l, elle est semi-convergente.

• pour a~ 0, elle est grossièrement divergente.

1 sin n 81 1 Il sin n 81 1• Comme ~ ~ nŒ et ~. ~ nCi' pour a> l,

cos n 8 . sin n 8les séries L --Ci-· ~ et L --Ci-· - sont absolument convergentes.n nOn montre qu'elles sont semi-convergentes pour 0 <a~ 1par les inégalités

Icosn8\ cos2n8 1 cos2n8 ',sinn8[ sin2n8 1 cos2n8-- ? Ci = 2 Œ + ') Ci et Ci? Ci - 'f'" - ---.n n ~n n n ~n

(minoration par des séries positives divergentes).

B. Séries alternées

Définition:

d.17 Une sélie réelle I: Un est dite alternée si et seulement si la suite ((-l)nun)1 est de signe constant.

Onaalors: \;fnE~;"un=(-l)n un' ou 'ifnE'·,.Un=l-ll'"l+l Un

N.B. On pose, par convention, (-lP = 1.

l, Critère spécial des séries alternées 1

Règle:

r.5

!~

•

•

Soit )' Un une sélie alternée.

Si la suite (! Un ). décroît et si lim Un = 0, alors, ">' Un conyerge.n--:--::--=-

On peut déduire ce résultat de la règle d'Abel. En effet Un = [-IF 'Un

(1 UnI) est décroissante de limite nulle.n

L(_l)k est le terme général d'une suite bornée (elle prend deux valeurs, 0 et 1).'·:~O

Chapitre 4 : Séries numériques et vectorielles

Autre démonstration

• On montre que les suites de sommes partielles (U2n) et (U2n+l) sont adjacentes.

147

En effet jU2n+l ~ U2ni = u2n+l donc lim (U2n+l - U2n) = 0n-+x

et, si nous supposons que 'if nE Un = (_I)n iUni, on a :

U2n+2 ~ U2n = !U2n+2 ~ U2n+li ,s; 0, donc (U2n) décroîtU2n+3 - U2n+l = - u2n+3. + U2n+2 "" 0, donc (U2n+l) croît(dans l'autre cas, les résultats sont inversés) .

• (U2n) et (U2n+l) sont donc convergentes et ont même limite,et (Un) converge.


D

exemple 15 ~--Exemple important

(_I,nLa série L~, 0:> 0, est convergente d'après le critère spécial des séries alternnées.

12, Majoration de la somme 1

Théorème:

t.2~ Soit L Un une série alternée convergente d'après le critère spécial et U sa/' somme. Alors:

il U est compris entre deux sommes partielles consécutives quelconques,

ii 1 U est du signe de U() et 1 UI ,s; 1 U() l,

iiii Rn désignant le reste d'ordre n, Rn est du signe de Un+l et IRnl,s; IUn+ll.~

i/ résulte de ce que les suites (U2n) et (U2n+l) sont adjacentes.

ii/Dans le cas où un=(~I)nlunl,ona Ul,s;U,s;UO,

d'où 0 ,s; U() + Ul ,s; U ,s; U() et la conclusion.

Dans le cas où Un = (-I)n+llunl, on a Uo,s; u,s; UI.

d'où U() ,s; U ,s; U() + Ul ,s; 0 et la conclusion.

+::X:'

iii/ On applique ii/ à la série L uk (de somme Rn).k~n+l D

148

C. Méthode par éclatement


Un développement asymptotique peut permettre d'écrire [e terme général d'une série

I: Un comme somme de deux ou plusieurs termes correspondant à des séries faciles àétudier.

Exétnples - Travaux pratiques

-=-"

exemple 16

(_I)n

.Jncx + (-I)n'co 0, n ~ 2,

• Comme 1Un 1 - ~, la série I: Un est absolument convergente si et seulement si ex> 2,+X' ~

n2

(-Il" 1 ( 1 )Pour ° <ex~ 2, écrivons au voisinage de +:X::, Un = ~ - 30: + a 3Q'

n2 2n2 n2

La série I: (-~n converge d'après [e critère spécial des séries alternées.n2

Avec(_1)n

Vn = --0:- - Un on an2

1Vn +~ -----S;:;-, (vn) est donc positive au voisinage de +:x::,

2n 2

la règle des équivalents s'applique : )' Vn est de même nature que

1 2I: -----s;x, c'est-à-dire qu'elle converge si et seulement si ex> 3'

n2Conlusion

1>----sa~ 2n 2

donc que

•

•

2pour ° <ex~ 3' I: Un diverge (somme d'une série convergente et d'une série divergente) .

2pour ex> 3' I: Un converge (somme de deux séries convergentes) .

Remarques

• On a limité le développement à deux termes, car. dans le deuxième terme, l'alternance

de signe a disparu, ce qui permet d'uitiliser [a règle des équivalents.

1. (_I)n• Dans le cas ex= 3' on a L Un divergente et I: -'-1- convergente, bien que

nt)

Un - (-11)n la règle des équivalents ne s'applique pas aux séries qui ne sont pas+x _n6

de signe constant au voisinage de +:x:: .


/

~" exemple')7'Un = sin (' sinn)~/n . ,

Au voisinage de +x

n? 1.

(sin n)SIn n~,

Or, ~. 3 _ 3 ~' 1. 3 d 'bln n - "4 bln n - "4 SIn n, onc,

sin n sin n sin 3nUn = --y- - ---sr! + 24n + Lin

n3avec

sin n sin n~ Lin est absolument convergente (règle de Riemann) et les trois séries I: --1- ,I: -n- et

n3sin3n

I: --n- sont convergentes d'après la règle d'Abel, donc I: Un converge.

Remarque

Les séries qui apparaissent dans le développement ne sont jamais de signe constant.

On a donc dû pousser ce développement assez loin pour pouvoir conclure à la nature

de la [(série reste ii par absolue convergence,

D. Méthode par groupement des termesEtant donnée une série I: Un réelle, de signe constant, le théorème 7 peut parfois

permettre de lui associer une série de même nature et de signe constant.


exemple 18

(_1)n( l'n' n? 2.n+ - )

•• Le critère spécial des séries alternées n'est pas vérifié (la suite (1 UnI) N n'étant pasmonotone),

• D'après le théorème 7, I: Un est de même nature que I: Lin avec:1 1 - 1

Lin = U2n + U2n+1 = 2n + 1 - 2n = 2n(2n + 1)-1

Or, Un ~ --2 ' au voisinage de +x, donc I: Lin converge car la règle des équivalents s'applique4nà I: Lin qui est de signe constant.


Exercices-types

Ex. 4. 7

vSoit L Un une série à termes réels positifs.

Discuter la nature de la série L Un

1avec Un = 91+ n-Un

Ex. 4. 2

Soit L Un une série à termes réels positifs.

Démontrer que L Un et L Un sont de mêmenature avec

1Un = Tl (Un + un+1 + ... + U2n-1) .

Soit (Un) une suite décroissante de réels stric

tement positifs telle que la série L U~ ,((xE ~),nconverge.

Calculer 1im nI-a. un.n---..,.+cc.'

Ex. 4. 8

Montrer que la série de terme général

cos(tn n) .Un = __ est divergente.

Ex. 4. 6

Soit LUn une série réelle positive, convergente. Montrer que, au voisinage de +X,

2) Trouver un équivalent de Rn = L f(k)lc=n+1

Ex. 4. 10

Soit f : [1. +x[ - JO. +x[ de classe CI telle

. f(x)que hm -. - = -x.

x-+x f(x)

1) Démontrer que la série de terme général

finl converge,

1· l' Un+1 1lm Un = + X et lm -- = .n----'-+::-<:: n-+::c Un

Soit (un) une suite réelle positive strictement

croissante telle que:

Ex. 4, 11

lorsque n tend vers .fX./

EX.4.9

Etudier la série de terme général1

un = 10 - nP où p est le nombre de chiffres

de l'écriture décimale de n.

EX.4.3

Ex. 4. 5

Soit (un) une suite réJile positive décroissante

et p un entier naturel fixé, p "" 2.

Montrer que L Un est de même nature que

LPnupn.1

Application: Nature de L ' .n(tnnJ'

Un =

Ex. 4. 4

Soit L Un une série à termes positifs, conver

gente, pour n "" 2, on pose:

U1 .en2 + U2 tn3+·· fUn tn(n + 1)ntn ntn(n + 1)

Montrer que L Un converge.

/Soit (Un)nE:'\I* une suite réelle positive. !//

On pose Un = ~(~1, 1\ (t kUIc)'1c=1

Montrer que les séries L Un et L Un sont de

même nature et, qu'en cas de convergence,elles ont même somme.

Pour tout entier n"" -l, on pose Rn = L ulc·lc=n+1

1) Montrer que, pour tout O:EJO.1[, la série

d •• 1 Une terme genera Un = -0.- est con-Rn-1

vergente.

2) Montrer que la série de terme général

Un

Wn = Rn est divergente.

n

"" uic - ulc-1L ---- ~(n Un.1c=1 uic +x

Ex. 4. 12

Soit L Url une série à termes réels strictement

positifs.

Un~l À.

On suppose que -'- = 1 - - + Vn où À.E ~Un n

et '> Vn est une série absolument convergente.


Ex. 4. 13

Etudier la série de terme général

(_lin

Un = C<\A.-,3·n + (-llp,

1 )

2)

3)

r Un~l ÀMontrer que ~n --- = - - + U'n oùUn nL Wn est une série absolument convergente.

En/d&duire qu'il existe A E _ tel que/ A

Un -:-. ----:\' au voisinage de +%.~.'- 1]

Etudfér la série de terme général://_ n 1Un = \' n~TI sin ---=

p=l vP

___ " F~~~n. 4. 14


(-lPncos nUn= -----

ny"n + sin n

Ex. 4. 15 ~>

i 1) Montrer que la suite de terme général:~111

Un = 2n + 1 + 2n + 3 + ... + 4n - 1

(n ~ 1), converge et calculer sa limite e.

2) yeuver, quand n tend vers +co un équi----------

valent de t: - Un.


Indications

1Etudier le cas particulier Un = ---cxnMontrer que:

(2: Un converge) =? (2: l'n diverge)

Ex. 4. 9

Considérer la série )' L'p avec

l'p = ~ Un.lOp-l ~n<10P-I

Puis minorer l'p.

EX.4.2

Comparer les sommes partielles

Etablir une relation simple entre Vn, Un et nl'n.

Vn et U2n-I

EX.4.3

Un et Vn.

1 )

2)

Ex. 4. 10

Il existe a ? 1 tel que

f(x)x ? a =? J(x) ~ -1.En déduire une majoration de J(n),

Montrer que Jin + 1) = G (JCnJî\. ./

EX.4.4 Ex. 4. 11

EX.4.6

EX.4.5

Encadrer Upn+I + Upn+2+' . +Upn+l

1 etComparer n en n {n( n +

Ex. 4. 12

1) Au voisinage de +x :

un+I À , (',' À\2')tn -- = --+vn+O " (Un - -)Un n \. n/

n 12) Utiliser L k =';' + (n n + 0(1)

k=l

Ex. 4. 15

1) Encadrer Un par des intégrales:

Ex. 4. 14

Effectuer un développement asymptotique de

Ex. 4. 13

Dans le cas [3<0' :

1) Etudier l'absolue convergence

2) Pour la semi-convergence, effectuer un

développement asymptotique de Un.

Un-

Remarquer que, lorsque n tend vers +x,un-un-I

tn Un - tn Un-I +-=:: Un-I

et utiliser le critère

n

'""" uko kCi

k=E(R)+l

Ex. 4. 7

Ex. 4. 8

1 1en n - ()-(- . 1\ au voisinage de +x..

1) l'n = (Rn-I - Rn)R-;;Ci

comparer 2: l'n et 2: l'~

1 RI-Ci RI-aavec l'n = n-I - n

1 C Rn-I2) Comparer Wn à Wn = ~n ~

de Cauchy.

Considérer

Montrer que le critère de Cauchy n'est pas sa

tisfait. 2) [-un = L1up+I - Uplp=n



11 ) Etude du cas particulier: Un = ----a. O'E ~"t.. n

153

Pour 0'< 1,

Pour 0'= 1,

Pour 0'> 1,

1::;- Un diverge et Vn ~--:. 2-(, avec 2- 0'> 1donc :L Vn converge .•.--"--n

~ 1 . /L Un diverge et Vn = n + 1donc:L Un diverge. /

:L Un converge et :

1si 1<0'< 2, Vn ~-::.: 2-0: avec 2- 0'< 1donc :L Vn diverge,.. n

si 0'= 2,

si 0'> 2.

1Vn = .2 donc :L Vn diverge,

Un ~ 1donc :L Vn diverge.+x

L'étude de cet exemple montre que l'on ne peut rien dire de :L Vn lorsque :L Un diverge.

2) Montrons que si :L Un converge alors :L Vn diverge.

Supposons :>: Un et :L Un convergentes.

1- --9'

De Vn - 1 + n~unon tire

1- Vn

UnVn=~

d'où

1Or \ÎUnVn"':;.2( Un + vn) montre, d'après le théorème 8, que :L JUnVn est convergente.

On a ainsi obtenu une contradiction, ce qui permet de conclure à la proposition annoncée.

EX.4.2

n

Pour n E f'r, posons Un = L ukk~l

+x

et lorsque ces séries sont convergentes, U = L Ukk~l

On a alors

2n-l

Vn = L QkUkk~l

avec

+':'0

V= LVk'k~l

inf(Jc.n) 1L p

P~l+E(~)1) De inf(k, n) ",:;k, on déduit:

donc

Il en résulte Vn",:; 2U2n-l

Si :L Un est convergente, on a V nE N, U2n-l ",:; U donc Vn",:; 2U.

D'après le théorème 8, la série :L Vn, à termes réels positifs, est convergente.

154 Précis d'Analyse II

1donc ak ;?o 2;'

_1 )

_1 )

k 1 1 ( (k))2 ) Pour 1 o<S k o<S n, on a ak = L p ;?o k k - E "2

P=l+E(~)

n 1Tenant compte de Vn;?o L akuk, il en résulte Vn ;?o 2; Un, c'est-à-dire Un o<S 2Vn.

k=l

Comme au 1), on en déduit que la convergence de L Vn implque celle de ~ Un.

3) On déduit de 1) et 2) que les deux séries sont de même nature.

EX.4.3n n

Posons, pour tout n E l':r, Un = L Un Vn = L Vn, on obtient:k=l k=l

n 1 p n n 1 n n (1 1 ')Vn = L ( 1) L kUk = L kUk L' 1) = L kUk L -- -p p + plp + p p + 1p=l k=l k=l p=k k=1 p=k

n (1 1)donc Vn = L kUk k - n + 1 = Un - nVn·k=l

+x

Si la série L Un converge, l'inégalité 0 o<S Vn o<S Un o<S U = L Un prouve que la série positivek=O

L Vn converge.

De nVn = Un - Vn, on déduit que la suite (nUn) converge, soit A sa limite.

A

Si kt- 0, alors Vn - - ce qui est contradictoire C>' L'n converge)+0:: n

donc 11.=0 et V = lim Vn = lim Un.n~+,::<: n---'-+:·:

Si la série L Un diverge et la série L Un converge, on a lim 'Fn = \' et hm Un = +:xrl-----'+::>:':: n--:-:-.:.:

d'où lim nUn = +:X, ce qui est contradictoire avec (~ Un converge).n---'-+o::;:

Donc, si la série L Un diverge, la série L Un diverge aussi.

Ex. 4.4

1 1 1On a t: {( 1) - -[- - {( 1 . donc d'après la règle des équivalents')' L'n est den n n n n + +x ~n nn ,n + .1 ~

(' 1 1) nmême nature que L Wn avec Wn = tnn - tn(n + 11 L uiJnik + 11

k=l

(il s'agit bien sûr de séries à termes positifs)

n np(1 1 '\Formons Wn = L wp = LL tnp - tn(p + 11 1 uk tnO~ + 11p=2 p=2 k=l . j

n('1 1) n n('1Wn = Ul {ni" .... ~ - t . ' +L uktnU~+ I\L-[--L ~np nlp + 11 mpp=2 . k=2 p=k

1 1L'introduction de ~ - t ( 1 trouve sa justification dans ce calcul, car on a :~nn n n+ )

n ( 1 1 ') 1 1~ tnp - tn(p+ 1) = tnk ---

(1 1 ") n , ,,('1Onadonc Wn=ul{n2 tn2- tn(n+lJ, +Euktnlk+l,1 ,tnk-


et il en résulte puisque les Un sont positifsn [n(1e + 1)

V n ~ 2, Vv'n ~ Ul + L Uk [n le 'lc=2

on obtient V n ~ 2, l,1,!n ~ Ul + S,

[n Ie+ 1

')' Uk [n le converge (règle des équivalents),[nUe + 1.1

Or Ulc [n le -i--=::Uk , donc

-i-:': [n le + 1

et avec S = L Ukk=2

La série ')' Wn à termes positifs est donc convergente (théorème 8) et il en est de même pour L Un,

Ex, 4,5

(Un) étant décroissante, on a, pour tout nE

! n-i-l n\ , (n+l n)(,p ~ p ) Up~:<~ Upr~+l T Up"+2 + ... + Upc+l ~ p - p Upn

X p~1 X

, ' "'" i n+l n\ , , ! n+l n)d ou, pour tout 1\ Eo, L (p - P ) Llp,,+l~ L Uk ~ L lp - p Upnn=O k=2 n=O

n

Posons, pour n ~ 2, Un = L Uk etk=2

La double inégalité précédente s'écrit alors (1-~)('\FY+1 - Ul) ~ Up-\+l ~ (p - l)Vn.

Si L Un converge, on déduit de (1- ~) (YY+l - ul) ~ Up-'+I que la suite (Vn) est majorée et

donc que LpnUpr. converge.

Si L Un diverge alors lim Up-'cl = +X, et on déduit de Up-\+I ~ (p - I)Vn que hm VN = +X,~-+x N-+oo

donc Lpnup" diverge.

1Application: pour Un = . , on a

n([nn)'

1donc L Un converge si et seulement si L )\ converge, c'est-à-dire À> 1.n

Ex. 4. 6

1) Ecrivons Un = (Rn-l " Rn)R;;~l' alors la décroissance de x f--ô> X-Œ, (a> 0), donne

fRn-l 1(Rn-l-Rn)R;;~l ~ Ji x-Œdx donc Un ~ 1- a (R~=~ _R~-Œ)Rn

Puisque 1- a> 0 et n!!.rpoo Rn = 0, la sélle de terme général u~ = R~=~ - R~-Œ estn

convergente, (L d (le) = R~lŒ _R~-Œ tend vers R~lŒ quand n tend vers +x), et l'inégaliték=O

1o ~ Un ~ -1-- u~ donne la convergence de L Un par application du théorème 10.~a

1 l'Rn-l dx2) On a de même Wn = (Rn-l ~ Rn)-R ~ -n ,Rn X

donc Wn ~ w~ avec w~ = €nRn_l ~ €nRn.

La série ) w~ est divergente car hm en Rn = -% donc L Wn diverge (théorème 10).n---;-+x,


Le critère de Cauchy appliqué à la série convergente L u~ montre que la suite de terme généraln

an =

n

'""' UkL., ka

k=E(~)+I

converge vers O. Envisageons alors deux cas selon [e signe de a.

1) Sian ~ [n - E (~ )] ~~ > 0 donc n!iIfoo [n - E ( i)]~:= O.

(n) n n+ 1n - E "2 ="2 ou -2-)

2)

On a, par ailleurs, n - E (-2n) ~.!2: (car+x 2

[ ( n)] Un 1 I-a l' I-adonc n - E -2 ----ex ~ -2 n Un et l.m n Un = O.n +x n~+x

Si q< 0, an ~ [n - E (~ )] ~: Un > 0 et on conclut de la même manière.

Ex. 4.8

Montrons que le critère de Cauchy n'est pas satisfait.

TI c 'TI 21(,Ti~.:!I 2kTi+~Soit k EN. Pour 2k'iT -3 "" -Lnn "" 2k TI +3' c'est-à-dire e 3 "" n "" e 3, on a

1cosœnn) ~ 2'

Posons donc nI = E ( e2kTI- i) ( 2k .,,\n2 = E e '1T+3)et

n2

Sic = L un·n=nl+I

On a alorsn2 - nI

Sk~~'

21 TI 2k TI '7k TI ')k TID CTI--3 1 TI--3 ~ TI+-3 1 - TI+~3e e - < nI "" e et e - < n2 "" e .

on déduit nI ~ e2kTI- i+ 'x'

21c.,,+ orn') ~ e 3-+x

nI _2TI n') - nI -2."donc lim - = e 3 puis lim ---- = 1 - e 3 > 0

k-+cx:· n2 k~+x n2En conséquence, Sk ne tend pas vers 0, d'où la conclusion.

Ex. 4. 9

lOn a pour n ~ 1, 10p-1 "" n "" 10P - 1 donc n < 10P . nP < 10 et Un> O.

Ainsi, [a série L Un est à termes positifs.

Pour p ~ 1, posons vp = L Un : L vp est déduite de L Un par sommation par tranches.IOp-l ~n<10P-I

Ona vp ~ C10P - 10p-l) [la - C10P - 1)~] = 9· loP [1 - 11- 10-PI~]

Posons wp = 9 ·10P [1- C1-1O-P)~]. Lorsque ptend vers +X, on a:

l l (nil-IO-P, lO-P (lO-P) 91 - CI - 10-P)P = 1 - eP' = -- + 0 -- donc wp-

p p ~'- p

La série L wp (à termes positifs) est donc divergente. Puisque vp ~ wp. il en est de même de L vp,et d'après le théorème 6. L Un diverge.


Ex. 4. 10

(1) VAER.3 aE [1,+x[,VxE [l,+x[.x"'" a

1) Prenons A = -1.

L'hypothèsefix)lim - - =-x

x-<·c fixl permet d'écrire:

le>:) ~A=? f(x)

f(n + 1)lim=On-Hx f(n)

f(n) - f(n + 1) ~ f(n),+x

CoX l(t! p>:)Pour tout x "'" a, on a 1 --', dr ~ a - x donc (nf(- ')~a - x,,Œ fir) a

, ÀEn posant À= f(a)eŒ, on obtient, pour tout n "'" a, 0 < f(n) ~ 11' la convergence dee)' f(n) en résulte, (théorème 10 et)' e-n est une série géométrique convergente).

2) De la proposition (1), on déduit:

r+l f(t)(2) VAE?c.3aE [l,+x[,VnEN,n"'"a =? ln f(t)dt~A

;Con+llItJ (Jfn+l))et, puisque -', '-, dr = tn f. ' , (2) traduit que:. n fit) (n)

f(n+ 1)lim tn --- = - x ou encore que

n-+x f(n)

En conséquence, on a Jin + 1) = 0 (I(n)) donc

le théorème 12 donne alors:...I.......,~ ...1...X

Rn = t f(l() +~ t (IOc) - f(k + 1)) c'est-à-direk=n+l k=n+l

Rn ~ f(n + 1)+x

Posons

Ex. 4. 11

Un = tn Un - tn Un-l, (n"'" 1), on a alors:

(Un) Un

Un = tn -- ~ -- - 1Un-l +x Un-l

Un(car -- tend vers 1)

Un-l

L Un et L Un - Un-l sont donc des séries à termes positifs, de même nature.Unn

Par ailleurs, "'. Ulc = (n Un - tn U{)donc L Un est divergente, il en est de même pour L Un - Un-lL Un~l n

'" uk - ulc-let d'après le théorème 12, on a, quand n tend vers +x, L ---- ~.en Un.k=l Uk +:0

Ex. 4. 12

f) un+l ( À )

1) On a w -- = th 1- - + UnUn n

Pour n assez grand, on a 1 Un 1 < 1 donc u~ < 1 Un 1 et L u~ est convergente.

1 Un 1 UnPour tout n "'" 1, on a Tl ~ IUnl donc L Tl est ab:olument convergente.

( À)2 (2 2Àun À)Il en résulte que L Un - Tl = L Un - -n- + n2 est absolument convergente

et finalement L Wn où Wn = .en ( U:~l) + ~ = Un + (') ( (un _ ~ ) 2) est absolu-ment convergente.

158

2) Avec les notations du 1),

(Un) n-l uk+l n-l1en - = L en -- = - À L - + Wn-l où

Ul uk kk=l k=l

n-l

Wn-1=LWkk=l


+'X

Or, Wn-l = W + 0(1) avec W = L wk etk=l

n-11

L k ='1+ €n n+ 0(1) ('f constante d'Euler),k=l

donc Un = ule-;\,Y-i>.€nn+W+O(l)etA

Un ~ )\+,x n où A = ule-kY+ÎF E Ri~.

3)

•

Un .1 1 (1)On a ici -- = vn SIn ;::; = 1 - -6 + 0 ? .Un+l Vn n n-

ALe résultat précédent donne: Un+-:::.: 1 donc L Un diverge.

n6

Ex. 4.13

Si 0'.=[3, Un n'est pas défini lorsque n est impair, Supposons donc 0'.;>=[3.

• Si 0'.<[3,1

Un = nl3 + (_l)nno.

1

nl3 [1 + (_l)nno.-13]

1Vn ~-=: - 2c,-3' elle est donc de même naturen '

1On voit ainsi que Un est défini et positif pour tout n ~ 2, avec de plus Un ."':.13'

7-"- nLa série L Un est donc convergente si et seulement si [3> 1.

. (_l)n

• SI [3<0'., Un = . [ ~nO. 1+ (-ltn -0.1

J

On voit ainsi que Un est défini pour tout n ~ 2 et que )"' Un est une série alternée.

1On a IUn\ ~ ---a lorsque n tend vers +:x:, en conséquence:

+:0 n

pour 0'.> l, L Un est absolument convergente.

pour O'.~ l, L iuni est divergente.

Il reste ainsi à étudier le cas où 0 <O'.~ 1.

On a alors 1 = 1+ (_lp+ln13-û. + oCnl3-C')1+ (_l)nn13-o.

(-If 1 (1 ')donc Un = --Œ- - -2 13+ 0 ~13n n Œ- n-Û.-

La série L (-~n est convergente d'après le critère spécial des séries alternées.n

(_l)nLa série L Un,avec Un= Un- --0.-, est telle quen

1que L -9 -13' c'est-à-dire convergente si et seulement si 2 ex - [3> l, (Vn est de signe constant aun-Œ-

voisinage de +:x:, on peut donc appliquer la règle des équivalents).

Finalement, pour 0 <O'.~ 1:• si 2 0'. - [3~ l, )"'Un diverge (somme d'une série convergente et d'une série divergente)

• si 2 0'. - [3> l,L Un converge (somme de deux séries convergentes)


0:

•Résumons graphiquement les résultats

Absolue convergence : ACT'

sup!o:. 131 > 1Semi-convergence: SCI'

(. f3+1)sup o.~. <0:"S 1Divergence: DJV

Ex. 4. 14

cos n ( 1 )Un développement de Un au voisinage de +x s'écrit Un = (_1)n vn + () n2

cos n ( 1 )En posant Un = Un - (_lin-----;==- on a donc Un = () 2" et L Un est absolument convergente.vn n

En ce qui concerne la sériecos n

L( _l)n-----;==- on peut conclure à la convergence par la règle d'Abel,vn., , . cos n 8, , 1

(voir IV - etude des senes L ~ :le cas present correspondant a 0:= 2.8= 1+ TI).

Finalement L Un converge comme somme de deux séries convergentes.

Ex. 4. 15

1) On a2n-l 1

Un = L 2lc+ 1k=n

,1 [La décroissance de]: j -2' +x ~~,1

tl-'> 2t+1

j,.k+l dt 1 h'/( dtdonne pour tout k ~ 1 -- "S -- "S --

, , .k 2t+1 2k+1 k_12t+1

., l2n dt 1·2n-1 dtdou -- "S un"S --

.n 2t+1 .n_12t+1

1 (4n + 1) 1 (4n - 1)c'est-à-dire - en -- "S Un "S - en --- On en déduit2 2n + 1 2 2n - 1

1lim Un = - €n2.

n-;+::o. 2

1d'où e -Un +~ 64n2

+·x

2) On a L(Up+l - up) =( -Un, cherchons donc un équivalent de u[l+l - Un.p=n

1 1 1Un+1 - Un = 4n + 1 + 4n + 3 - 2n + 1

1 1 2 2 1donc,avecx=4n+2, Un+l-Un= --1+--1-- = 2 et Un+l-Un ~ -3'x - x + x x(x - 1) +00 32n

1 J.n+l dtSachant que 3~, 3' le théorème de sommation des équivalents (cas des sériesn +'X. n t

+'X 1 l+::O dtpositives convergentes) donne L(up+1 - up) -, 32 3p=n +CX:. n t

160

Exercices proposés


EX.4.3

exn8 ) Arccos 1+ nex

Déterminer la nature des séries de terme géné

rai:

1 )

2)

3)

4)

5)

6)

7)

9)

n!

nn

na +(€nn)vn

bn + (y'Tl) €nn ' a > 0, b > O.

€nnn(€n n)n

(vn+l- vn) vn

( €nsh n) n"én€nchn

( ) nCenn)"

4 n-1-Arctan-

'TI n+ 1

(1- _1 )€n"n€nn

(1+ Jn) -nvn

Soit L Un une série à termes réels strictement

positifs. On suppose que

( )tnn

Un+llim n€n-- =t

n---,..+x, Un

(éventuellement t= +x).

1) Montrer que:

si {> e, L Un converge,

si {< e, L Un diverge.

(on pourra comparer L Un et

L ,1 R au moyen du théorème 15)n(€n n)

2) Montrer que, pour t= e, on a un cas dou

teux (considérer les séries

1L R)'

n tn n(.tn en n)

Ex. 4.4

La suite réelle (un) est définie par ua E ]0, 'TI [

et la récurrence Un+l = sin Un.

Etudier les séries :> u~, 0:> O.

EX.4.5

Pour tout n E l'''J', on note J(n) le nombre de

zéros de l'écriture de n en base 10.

( Arctan n ) nU10) Arctan(n+ 1)

EX.4.2

Soit L Un une série à termes réels non nuls

telle que lim Un = O.n--'-+x

Montrer que, s'il existe un nombre réel r E ]0. 1[

tel qu'à partir d'un certain rang no on ait

Un+l-1~-- ~r, alors L Un est convergente.Un

Etudier suivant les valeurs de a E R~, la naturea!lnl

de la série L ------z.n;;,l n

Ex. 4. 6

Montrer qu'il existe une suite réelle (xn) telle

que: \::j n E'\,Xn = Argth(tanxn),

TI

n ••< Xn < n •• +4'Etudier la série de terme général:

••

Un = n'TI +4 - Xn·

2)


Ex. 4. 7

Montrer qu'il existe une suite réelle IXni telle

que: V nE. é(c + Xn - n = 0,

Etudier la série de terme général:

(, b (,' _?Un = Xn - a n n - - n n. ( a. bi E ,'ç.n

EX.4.8

Soit (Un) une suite décroissante de réels stric

tement positifs. Montrer que, s'il existe un en

tier le > 1 tel qu'à partir d'un certain rang no,

leukn ?'o Un pour tout n, la série L Un est di

vergente.

EX.4.9

Soit L an une série réelle positive convergente

de somme A. Montrer que la série de terme1

général bn = (fI ak) Tl est convergente etk=1

que la somme B vérifie B "'" eA.

Ex. 4. 10

La règle de Raabe Duhamel.

Soit L Un une série à termes réels strictement

positifs telle que, au voisinage de +x :

un+l = 1_ ~ + 0 (~)Un n n

1) Montrer que:

si 0'< 1, L Un diverge,

si 0'> 1, L Un converge.

2) En considérant les séries de Bertrand

1L 13' montrer que 0'= 1 est unn(f.n n)cas douteux.

tE?~riesà termes quelconques

Ex. 4. 14

Déterminer la nature des séries de terme géné

rai:

1 )

(_l)nen n + (_l)n

(TI (_l)n)3) tan - + -- - 14 na

(_1)"4) nvln-1

161

Ex. 4. 11

Application de la règle de Raabe Duhamel


:t (,n(leb)Ic(,n bUn = ak=2 où a E et b E IM~.

Dans le cas douteux, on pourra chercher un

équivalent de Un en montrant qu'il existe un réel

À tel que hm (~-i-,- f.n(en n)) =À.n~+x L Ie~nlc

k=2

Ex. 4. 12

1\.Fn = - - (,n n + fn(n - 1)n

+x

1) Montrer que I:Wn converge. Calculern=2

sa somme en fonction de la constante

d'Euler.

2) Montrer que,

+x 1'\" W - -L P +X' 2n

p=n+l

3) En déduire que, quand n ~ +x,

n 1 1 (1)I:-=tnn+'Y+-+o -p 2n np=1

Ex. 4. 13


1 !nI 2 nUn = cr (1 - t) dt

n .0

nvn: 15)

(-1) nsin vn:

vn:+(-l)n6)

cos [TIn2 en ( n ~ 1) ]

TI

7) !n2 n . dxcos XSln nx.0

[ n (_l)k]

8) tn tan t; 21e + 1


9)

17

Ex. 4. 18


(_l)n 1+= dxUn = ~ n xŒ+13 + (_l)nxŒ

z(z - 1) ... (z - n + 1)Un = ,n.

où ZEe avec Re Z > 0, est convergente.

2..= Un avec r+xn""l JI

sin 'TT yinUn = Œ ,CiE ]0,1] (on pourra comparern

sin 'TT \/X-0-' -dxx

Montrer que la série de terme général

+= (_l)k2..= en kk=n

10) (t ~!)(t (~~)k) - 1k=ü k=ü

1+= k lenn11) 2..= (- ~)

k=n

Ex. 4. 15

Etudier la suite de terme général :

n ( (-1t+1)Un = II 1 + Œ ' CiE ]0, l[

p=1 P

Ex. 4. 16

Etudier, suivant les valeurs de (Ci, [3) E !Ri2, la

série de terme général:

Sommes de séries

Ex. 4. 19

Calculer les sommes des séries suivantes, en

montrant leur convergence:

+= n

1) 2..= n4 + n'" + 1n=ü

+X( 1 1 2)2) E vn-1 + Vn+1 -vn

/ 'f n \

+x n - aE \- 1al

4) 2..= -' o. >2l, .a E '.,. a ~ .n(n+ )n=1

5) 2..= 1n=O

6) t /2 (n(sin x) sinn xdxn=O 0

...1..00 Ti

3) t(_1)n]2 cosnxd.\:n=O 0

7) ~ (_Ilen=2 n

Suites et séries

Ex. 4. 20

Etudier la suite de terme général:

n 1Un = 2..= --- - Argsh n

k=l~

Ex. 4. 21

Montrer que la suite de terme général111

un = en+1 + en+2 + ... + e2n - n

converge vers {n 2.

Déterminer la nature de la série de terme générai Un - {n2,

Ex. 4. 22

Etudier la suite réelle définie par:o

1+ Unua = O. Un+l = ------:z-.

Trouver un développement asymptotique à trois

termes de Un. (n - +:x:).

Chapitre V

Suites et séries

de fonctions

Notations

Dans tout ce chapitre, on convient que:

fK= R ou :C, A est un ensemble non vide,

F est un K-rspace vectoriel normé complet, donc un espace de Banach,

::F (A, F) est l'espace vectoriel des applications de A dans F donc '!Ji (A, F) = r,dl (A, F) est le sous-espace de ::F (A, F) formé des applications bornées,

Dans le cadre des programmes M, Pet p', on se limite au cas où F est de dimension finie.Comme F désigne toujours l'espace d'arrivée des fonctions étudiées, et qu'en général

F = IR ou :C, la norme de F sera notée 1.1 .

A toute fonction f E::F (A, F), on associe sa fonction norme notée lfl E'!Ji (A, IR)

définie par A -[Ri, x H> lf(x) 1 '

II- L'espace vectoriel normê C!A(A,F)

Définition :

S'il est nécessaire de préciser A, on notera

L'espace vectoriel normé (dl (A, F), Il .

Théorème:

d.1

1

On appelle norme de la convergence uniforme sur dl (A, F) l'application:

dl (A,F) ~IR. fH> Ilfl[x = suplf(x)1XEA

Ilf II~ = sup lf(x) 1XEA

) est noté ÇfJJx(A, F).

L'espace vectoriel normé ÇfJJx(A, F) est complet.}flt.11

lf'iF Soit (jn)~ une suite de Cauchy de dlx (A, F) :

pour tout nE N, il existe 8n= sup Ilfn~p - fn Il::0pEN

et on a lim 8n= O.n-++oc,

Pour tout x de A, la suite (tn(X)) N est de Cauchy dans F car:

sup lfn+p(x) - fn(x) 1 '-S;8npEN

Or F est complet, donc elle converge :f(x) = lim fn(x), ce qui définitf : A -+ F.n~+oo

Cette fonction est bornée car lfn+p(X) 1 '-S; lfn(x)1 + 8n'-S; Ilfn 1100+ 8n

donne, en faisant tendre p vers +x, lfCx) 1 '-S; [[fn 1100+ 8n.


De même lfn+p(x) - fn(x)1 ~On donne lf(x) - fn(x)1 ~on

et donc IIJ - Jn \\00 ~on. Il en résulte lim IIJ - Jn 1100 = O.n----:-+oo

La suite de fonctions (fn)"'d converge donc vers J dans l'espace 7A00 (A, F).o

II - Convergence d'une suiteou d'une série de fonctions

A. Convergence simple, untforme, normale

Définitions :

d.2 Suite et série de fonctions1

On appelle suite de fonctions une suite (fnh" de terme généralJn E;iF (A, F).

On appelle série de fonctions une série ~ Unde terme général UnE;iF (A, F).n

La suite de fonctions de terme général Sn = LUi est la suite des sommesi=O

partielles de la série de fonctions L Un.

Remarques

1) L'étude d'une série de fonctions L Un peut ainsi se déduire de celle de la suite de

fonctions (Sn)N'

2) Les fonctions Jn doivent avoir un ensemble de définition commun A (A ne dépend pas

de n).

d.3 Convergence simple d'une suite de fonctions

On dit que la suite de fonctions (fn)'"de ;iF (A, F) converge simplement sursi, pour tout x E A, la suite Vn(X») converge dans F.

On appelle limite de la suite Vn)", la fonctionJ de ;iF (A. FI définie par:

J : A - F, X i--7 hm Jn(X)n-+x

dA Convergence simple d'une série de fonctions

On dit que la série L Unde fonctions de ;iF (A. F) converge simplement sursi, pour tout x E A, la série de terme général Un(x) converge dans F.

On appelle somme de la série L Un, la fonction S de ;iF (A. F) définie par:+x

S : A - F, X i--7 L un(.>':)n=O

Il s'agit de la convergence simple sur A de la suite (Sn)'" des sommes partielles de la

série de fonctions L Un·

d.S Convergence uniforme d'une suite de fonctions

On dit que la suite de fonctions Un)'" de ;iF (A, F) converge unifonnéme~t

sur A s'il existe une fonctionJ de .ey (A, F) telle que lim ilJ - Jn cc = O.n---'-+x'

Chapitre 5 : Suites et séries de fonctions 165

Remarques1) Ceci suppose qu'à partir d'un certain rang r, chaque fonctionJ - Jn (n ~ r) est bornée

et que la suite Cf - Jn)n~r converge vers 0 dans élAx (A, F).

2) Dans ce cas, pour tout x de A, Lf(x) - Jn(x) 1 ~ IIJ - Jn Iloc : la suite de fonctionsCfn)', converge simplement sur A versJ, (c.f propriété 1 suivante).

3) Il se peut qu'une suite de fonctions Cfn)N de ;if (A F) converge simplement sur A vers

JE 2F (A, F) et uniformément sur une partie B de A c'est-à-dire lim IIJ - Jn II~ = O.n--++oo

La limiteuniforme de sur B est la restriction deJ à B.

4) Une suite (Jn)', de fonctions bornées (ln E éIA (A, F») qui converge uniformément sur Aa une limiteJ bornée if E éIA (A. F)).

d.6 Convergence uniforme d'une série de fonctii?1:ls

On dit que la série de fonctions L Un de ;if (A, F)n

sur A si la suite de fonctions Sn : n ~ L Ui converge uniformément sur A;=0

Remarques1) Dans ce cas, la série de fonctions :>: Un converge simplement sur A

+x

On dispose de la fonction somme S : A ~ F, x ~ L un(x)n=O

et de la suite de fonctions (Rn)'" de 2F (A, F) (reste d'ordre n) :+%

Rn : A -;- F, x ~ L Uk(X)k=n

2) Dans ces conditions S - Sn = Rn+1 et ilest utile de retenir:

Laconvergence uniforme sur A de la série de fonctions L Un équivaut à la convergenceuniforme sur A de la suite de fonctions (Rn)', vers 0 (fonctionnulle de ;if (A, F)).

Convergence normale d'une série de fonctions

On dit que la série de fonctions L Un de ;if (A, F) converge normalement

sur A si la série réelle de terme général Il Un est convergente.

Remarques

1) Ceci suppose qu'à partir d'un certain rang r, chaque fonction Un (n ~ r) est bornée.

2) La convergence normale est une notion qui ne s'applique qu'aux séries de fonctions.

Propriétés:

p.1

1

~

p.2

1

ConvergenceJ!!?iivYïl18 =? convergenc~_~:p~Pour une suite ou une série de fonctions de 2F (A, F), la convergence uniformesur A entraîne la convergence simple sur A.

C'est l'objet de la remarque 2) de la définition5.

Convergence normale =? convergence uniforme

Si une série de fonctions L Un de gji (A, F) converge normalement sur A alorselle converge uniformément sur A

La série de terme général Il Un , (n ~ r), est convergente:

pour tout x E A, IUn(x)1~ IlUn Ilx

donc, par critère de comparaison de séries positives, la série L Un (x) converge.

C'est la convergence simple sur A de la série de fonctions L Un.


+x

Introduisons les restes d'ordre n de la série réelle L Il Un Ilx, pn= L Il U/c/c=n

+x'

et celui de la série de fonctions L Un, Rn: A ~ F; X f--?>L u/c(x), Majorons :/c=n

""Pn1 n+p 1 n+p n+pE u/c(x) "" EIU/c(X)1 "" EII U/c

d'où IRn(X)1 ""pn , Il Rn ""Pn et

2)

lim Il Rn Ilx = O.n---i-+,x,

Comme la suite de fonctions (Rnh converge uniformément sur A vers 0, la série de

fonctions L Un converge uniformément sur A.

Remarques1) Une série de fonctions L Un de 2F (A. F) peut simultanémant converger:

simplement sur une partie B de A' uniformément sur une partie C de B et normalement

sur une partie D de C.

Il est indispensable de préciser l'ensemble de convergence simple, uniforme, normaled'une suite (ou série) de fonctions.


1

exemple 1 /~

1 Soit (j;,) une ,uit1,!de fonction, de :J (A, Pl qui ronve,"e uni[onn'ment ve" o.Montrer que, pour toute suite CX:n),\'1de A, la suite Vn(Xn») est convergente .

• A partir d'un certain rang r, chaque fonctionfn (n ::;, r) est bornée

et la suite réelle n f--?>Ilfn Ilx = sup Ûn(x)1 converge vers O.XEA

Par comparaison Ûn(xn)1 "" Ilfn Ilx, la suite Vn(xn»)" converge aussi vers O.

exemple 2 ~ .--=-

Soit fn: IR--,.IR. x f--?>fn(x) = _sl_'n_2_1l:_x(InC0) = 0) .••.~llX

iLYMontrer que chaque fonctionfn est bornée (n ::;, 1).

~ ;' Montrer que la slli~~e. fonctions (jn h,* converge simplement sur iR(.c La convergence est-elle uniforme?

• ~t1) La fonction cp: IR--,.!R, tf--?><.p(t)=-t-. (<.p(0)= 1) est continue sur IR et bornée, Il Cf Ilx = 1.

De plus ûn(x)1 "" 1 sl~nxl = !<.p(nx)! "" 1, donc chaque fonction fn est bornée etcontinue.

2) Pour tout x E IR~, ûn(X) 1"" ~l' 1donc hm fn(x) = 0, et commef(O) = 0, la suite den x n-+xfonctions (fnh,* converge simplement sur IR vers ° (fonction nulle).L.--

(Ti) 2 ((Ti))Comme fn 2n = Ti' la suite fn 2n 'i* ne converge pas vers 0, donc la suitede fonctions f(n)~,,* ne converge pas uniformément sur IR, d'après l'exemple précédent.


Méthode

Pour étudier la convergence simple et uniforme d'une suite de fonctions, on pourra suivre

le plan suivant:

1) Etude de chaque fonction fn

• Donner explicitemeot fn: A ~ F, X i-+ fn(x)

L'ensemble de définition A ne doit pas dépendre de n.

• Remarquer la parité, la période, la continuité de fn.

• Dessiner l'allure du graphe de la fonctionfn (n = 1, 2,' .. , 100)

2) Etude de la converqence simple de la suite (fn)N

• Fixer x dans A et étudier la convergence de la suite (Jn(X) ) N'

• Trouver l'ensemble B = {x E AI (fn(x») N converge}

• Expliciter la limite f : B - F, X i-+ fn(x) = lim fn(x)/ 71----7-+0:.'

• Conclure: la suite de fonctions (fnhj converge simplement sur B vers la fonction f.

3 ) Etude de la converqence uniforme de la suite (fnh.

• Expliciter la fonction différence: On=f - fn

On : B ~ F, X i-+ f(x) - fn(x)

Chercher une partie C de B où chaque fonction f - fn est bornée.

Si possible, calculer Iif - fn Il~ = sup lf(x) - fn(x)1XEe

ou trouver une suite réelle majorante (j..I..n)', : V XE C, lf(x) - fn(x)[ ~j..I..n.

Si la suite réelle n i-+ ilf - fn II~(resp j..I..n)converge vers 0,

conclure : la suite de fonctions (fnh, converge uniformément sur C./'•

•

exemple 3

V ( 2)fn : IR~IR, x i-+ fn (x) = inf n, xn ' (n E i\r).

;etudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonctions (fn)j\!' .

• Chaque fonction fn est paire et bornée.Pour tout x E IR,dès que n ?'o 14

2xfn(x) =-n

. donc lim fn(x) = O.71--'-+·:-':':':

Conclusion: la suite de fonctions (fn)o,.

converge simplement sur IRvers 0 (fonction nulle)

Par ailleurs, sup lfn(x)1 = Ilfn 1100 = n.XE ?,

La suite (fn)~, ne converge pas uniformément sur IR;,

fn

x


1+ XZn+l= Z nEl+x n

suite de fonctions (fn)N converge i;limplement sur [R; (versI).Hure des courbes représentatives (cen) et (ce) defn etf.

'l'sa convergence uniforme sur [R; \] - 1 ~ a.~ 1+ a[ pour tout a> O.

• Observons que fn(-l)=O, fn(O)=l et fn(l)=1.

1) Convergence simple

Les courbes (cen)nE N* des fonctions (fn)N ont donc trois points communs:

A=(-l,O) , B=(O,l) , C=(l,l)

X~ gf :[R;-+[R;,

x-lSi Ixl > 1, fn(x) - x et x - fn(x) = -Z-n--

n--++CXJ X + 1xZn(l -x)

Si Ixl < 1, fn(x) - 1 et 1 - fn(x) = Znn--++CXJ l+x

La suite (fn)N converge donc simplement sur [R; vers f définie par:si x<-lsi x = -1si -1< x ~ 1si 1< x

2) Convergence uniforme

f - fn est bornée sur]1, +oo[ et

• Sur x-l x-l 1 o<~

]1, +00[: 0 ~ f(x) - fn(x) = xZn + 1 ~ xZn _ 1 = xZn-l + ... + x + 1 ~ 2n

1sup lf(x) - fn(x)1 ~ 2nXE]1.+:0[

Sur [0,1]:

xZn(l _ x) xZn(1 _ x) xZno ~f(x) - fn(x) = Zn ~ Zn = Zn-ll+x l-x l+x+···+x

f - fn est bornée sur [0, 1]

Prenons maintenant un réel a E ]0, lL

1Ainsi sup lf(x) - f~~ -2 .

[O.+CXJ[ n

La suite (fn)N converge uniformémentsur [0, +00[.

x1

XZn 1~_~ __ 0<

2nxZn-l ~ 2n

y

1sup lf(x) - fn(x)1 ~ -

XE[O.l] 2net

•

• Sur ] - 1 + a, 0]

xZn(l - x) Z Zno ~ f(x) - fn(x) = Zn ~ 2(1 - a) n et hm 2(1 - a) = 01+ x n--++x

(utiliser 1~1-x~2-a<2, O~~n~(l_a)Zn,1

0< --Z-n ~ 1)l+x


3)

• 1)

• Sur ]-x.-1-a]x + 1 2x! 2 2

o ~fn(x) -f{x} = ~ ~ 'ln' ~ ''ln_l et lim, 2 -1 = 0x- + 1 x- Il + al- n-+::c. (1+ a) n

(utiliser -x = ?o 1 + a> 1).

Conclusion: la suite de fonctions (fn)·. converge uniformément sur:] - x. -1 - a] v [-1+ a. +x[ =::: ] - 1- a, -1+ a[

Remarill!§.: Comme sup f(x) - .fr,(x), = 1, il n'y a pas de convergence uniforme surx,,:= 1-1'

~,nisur::: {-1}.

exemple 5

S·' TC TC C' ' ln x (Olt Un: i':'~.~. :c-o; uniX) = (- ) -y nEn'

1) Trouver la partie A de GEoù la suite de fonctions (Un)f\j* converge simplement.La convergence est-elle uniforme sur A ?

2) Trouverla partie B de 'Ii; où la série de fonctions L Un converge simplement., La convergence est-elle uniforme sur B ?

~ouver une partie C de R où la série de fonctions L Un converge normalement.

Etude de la suite de fonctions (un)n"On a Un{O) = 0,

et {pour x < 0 : n~:rp:.=1 unix), = +xpour x> 0: hm Un(X)i = 0~ n-+xConclusion: la suite de fonctions {Un)c ,* converge simplement sur [0, +x[ vers 0 (fonctionnulle).

Cherchons à savoir si la fÇJnctionUn est bornée, et dans ce cas, déterminons Il Un II~·+:):[.

f -xtnn"x -xtnn X1.nnePour x?o 0 et n?o 2.un{x), = -y = xe" = .[, ' , n' nn

Or, la fonction1

y: [0, +x[~[;&. t ~y; (t) = t e-t est bornée (0 ~y; (t) ~cp (1) = e)

y; (xtn n)-f--' donc Un est bornée sur [0, +x[ avec:l.nn

1Un !Ix"~' = sup IUn(x)1 = -- (n?o 2)

xdO.+::d e€n n

Noter que Ul (x) = -x et que ul n'est pas bornée.

Conclusion: la suite de fonctions (unh, converge uniformément sur [0, +x[, vers O.

2) Etude de la série de fonctions L Un

Pour x< 0, un(x) ne tend pas vers zéro donc la série L un(x) diverge.

Pour x = 0, L unCO) est la série nulle, donc convergente.

La série de terme général 1Un(X)1 = I~ est convergente si et seulement si x> 1.n'

Pour x < 0 ~ l, la suite (lun(x)J) décroît vers 0, le théorème des séries alternéess'applique.

Conclusion: la série de fonctions L Un converge simplement sur [0, +00[. \.,.0.--

Introduisons la suite des restes d'ordre n de la série L Un.

Rn : [O,+x[~R+x

x~ ~(_l)k~k=n kX


Le théorème des séries alternées donne la majoration :

1IRn(xll ~ IUn(xll ~ Il Un Il[2;+co[ = e€nn donc la fonction Rn est bornée (n ~ 2),

1Il Rn 11~'+co[ ~ -1}- et la suite (RnlN converge uniformément sur [0, +x[ vers O.e1.nn

Conclusion: la série de fonctions I: Un converge uniformément sur [0, +x[.

3) Etude de la converqence normale de la série I: Un

Comme la série de terme général Il Un !!~,+:0[= e€~ n ne converge pas, la série de

fonctions I: Un n'est pas uniformément convergente sur [0, +x[.

Cependant, pour tout a> 1 et x ~ a: !un(xl! ~ IUn(all ' Il Un

et la série I: 1un(all converge.

= IUn(a)1

Conclusion: Pour tout a> l, la série de fonctions I: Un converge normalement sur [a. +x[.

Méthode

Pour étudier la convergence d'une série de fonctions, on pourra suivre le plan suivant:

Tenant compte des propriétés 1 et 2, on examinera:

1) la convergence normale, 2) la convergence simple, 3) la convergence uniforme

Soit Un le terme général de la série de fonctions Un A ~ F. x f-7 Un (x).

1) Etude de la converqence normale

• Dégager la partie D de A où les fonctions Un sont bornées,

• Trouver une série réelle I: J1.nmajorante: 'r;/XE D.lun(x)! ~J1.~, (J1.n= Il Un II~c est idé,al.

• Si la série I: J1.nest convergente, conclure:

la série de fonctions I: Un converge normalement donc uniformément sur D.

2) Etude de la converqe simple

• Chercher la partie B = {x E AI I: un(x) converge}

• Conclure: la série de fonctions I: Un converge simplement sur B.+=':

elle a pour somme s--;--B - F. x f-7 L UnC"I:)n=O

et pour reste Rn B - F; X f-7 L u/c(x)k=n ~

3) Etude de la converqence uniforme

Il s'agit de trouver une partie C de B sur laquelle la suite (Rn), des restes c~nverge uniformément vers O.

• Chercher une suite majorante (Pnh, : 'r;/x E C. iRn(X)i ~Pn qui converge vers O.

• Conclure: la série de fonctions converge uniformément sur C.

Chapitre 5: Suites et séries de fonctions 171

/--~..

'r---~ .

1 Etudier les con~er~ences no.male, simple et unifo~e des deux séries de fonctionsL Un et T Un defimes sur ]0. 1] par: UnIX) = xn..(n- X et vn(x) = xn tnx

• 1) Ca~ la série )' Unr ~ .. ? ~

IL.-- uo(x) = tn- x. ua est non bornée sur JO.1J. o."· 1· n 2 n' y (xn) , 2Smon, pour n E<, : unCx:) = 2 (x tn X ) = --2- ou 'Il (t) = t tn t,n \ . n

y est bornée sur ]0. 1J Y

4 4D'où 0 <'S UnIX) <'S ~ et Un = ~n e n eConclusion : la série de fonctions T Un est normalement donc uniformément convergente

sur JO.1].

Comme il s'agit d'une série géométrique, on peut expliciter la somme 8 :

-l--'~ c 2

L'"n 2 ~n X\:!xEJO.1[.8(x)= X tn x=-- ,8(1)=01-xn=O

.~série)'Un• Etude de la converqence normale

.VO(x) = tnx, Vo est non bornée sur ]0,1].

" xn tnxn 8 (xn)Sinon, pour nE f'\j : Vn(x) = --- = -- où 8 (t) = ttn t,n n

8 est bornée sur JO.1J : Il 8 II~lJ= ~ = 18 (~) 1 d'où Il Vn II~lJ= ~e'

Conclusion: la série de fonctions L Vn ne converge pas normalement sur ]0, 1].

•

•

Etuâéde la converqence simple

~n(l) = 0 et pour x E]0.1[: vn(x) = xn -l?nx est une suite géométrique convergente.

Conclusion: la série de fonctions L Vn converge simplement sur ]0,1].

Sa somme T est connue: .',-

+c'" tnx

\:!XE ]0. 1L T(x) = L xn -l?nx = 1 _ x • T(l) = 0n=O

Etude de la convergence uniforme

Voyons la suite des restes: (Rn)""

+02 k xn -l?nx\:! x E]O.lL Rn(x) = L x tnx = -1-- Rn(l) = 0-x

k=n

Comme la fonction Rn admet des limites aux bornes de ]0. 1L

hm Rn(x) = 0, hm Rn(x) = -1,x..., 0 x..., 1

Rn est bornée sur ]0.1] mais IlRn II~lJ ::,.,1 ; la suite (Il Rn II~lJ) ne converge pasvers O.

Conclusion: la série de fonctions L Vn ne converge pas uniformément sur ]0. 1].

~..,..,.....~

172

B. Le critère de CauchyRappelons que F est un espace vectoriel normé complet.

Précis d'Analyse 1/

t.2 Critère de Cauchy uniforme pour une suite de fonctions

Pour qu'une suite de fonctions de 2F (A, F) soit uniformément convergentesur A, il faut et il suffit que:

\le> 0,:3 r E N, \1p ~ r,\1 q ~ r,\1 x E A: lfq(x) - fp(x)/ OCSe

Une formulation équivalente de ce critère est:

Pour tout (n,p) E N2, la fonctionfn+p - fn est bornée sur A

et la suite n ~ sup /lfn+p - fn/lx converge vers O.pE'I.

D

~

1 )

2)

t.3

Supposons que la suite (fnh converge uniformément sur A vers f E·'.Ji (A, F) ; alors

à partir d'un certain rang r, pour tout n ~ r, la fonction f - fn est bornée sur A et

hm Ilf - fn/lx = O.n-:-+('Ç· -

La suite (f - fn)~; converge dans '!Ax (A, F), c'est une suite de Cauchy;

en remarquant simplement que: (f - fn) - (f - fn+p) =fn+p - fn

on a l'existence de on= sup Ilfn+p - fnll x avec lim .. On= O.pEe, n~F:0

Supposons que la suite (fnl\ vérifie le critère de Cauchy.

Avec e= 1et r EN associé, on constate que chaque fonction gn = fn - fr (n ~ r)

est bornée: Il gn /1 x ocs1.D'autre part, puisque gn+p - gn = fn+p - fn, le critère de

Cauchy donne l'existence de on= sup Ilgn+p - gnli. avec lim on= O.pE. C'," ~ n----'-+~=

Ainsi (gn)n"",r est une suite de Cauchy de f,x (A, F) , espace vectoriel normé complet;

elle admet donc une limite g.

En notant f=fr+g ona f-fn=g-gn et iLf-fnlx =1:g-gnTIx'

Or lim il g- gn = 0, d'où la convergence uniforme de la suite de fonctions (fnh.n-+xsur A.

Critère de Cauchy uniforme pour une série de fonctions

Pour qu'une série de fonctions L Un de .g;CA. F) converge uniformément sur A,

k~q 1il faut et il suffit \le> 0,:3 r E cc, \1 p ~ r.\1 q ~ p. \1 x E A : IL U//X) , OCSek~p

Autre formulation de ce critère:n+p

Pour tout net p E!'\!, la fonction L uk est bornée, donc il existe:k~n

Iln+p IlSn=~~~IIEUklx etona

hm Sn = O.n-+x

~ Il s'agit exactement du critère de Cauchy uniforme appliqué à la suite de fonctionsn n+p

Sn: n ~ L Ui puisque L uk = Sn+p - Sn-1i~O k~n


o

tA

1

Condition nécessaire de convergence uniforme d'une série de fonctions

Soit ')' Un une série de fonctions de 'Ji (A, F) qui converge uniformément sur

A; alors la suite de fonctions (un)F\j converge uniformément sur A vers O.

Ceci signifie, qu'à partir d'un certain rang r, chaque fonction Un est bornée (n ~ r) et

que la suite réelle n f--i> Il Un Il cc converge vers O.

Comme la série de fonctions L Un converge uniformément sur A,on lui applique le

critère de Cauchy: 1: Un 11= ~8n donne lim Il Un 1100= o.

- .

Exemples - Travaux pro!Js:;rtles

rE ,exem~J:1

Soit . ~1]~!R, x f--i> na xn(1 - x) (n E 1\1').

Trouver les valeurs du réel Œ pour lesquelles la série de fonctions• lement convergente, simplement convergente, uniformément convergente .

• 1) Converqence normale

L'étude de la fonction Un est directe, u~(x) = n"xn-1[n - (n + l)x]

( ) a (l)-n Œ-1sup !un(x)1 = Un ~1 = ~1 1 + _ n[0.1] n+ n+ n n~+x eLa série de terme général Il Un converge si et seulement si Œ< 0 (série de Riemann etcritère des équivalents de séries positives).

Conclusion: la série de fonctions /: Un converge normalement sur [0, 1] si et seulementsi a< O.~

2) Converqence simple

Un(O) = 0 et un(l) = O. Si x EJO. 1[, uTl(x) = o( :2) quand n ~ +x (pour tout ŒEIR()

par critère de prépondérance, la série L Un(X) converge.

Conclusion: la série de fonctions L Un converge simplement sur [O. 1J ('\IŒEIR().

3) Converqence uniforme

Rappelons quena-1

et qu'une condition nécessaire pour la conver-n~+cc e

gence uniforme est lim Il Unll= = 0 (théorème 4) donc nécessairemeQ.U.~<:..ln----'-+x, .

Pour a< 0, la convergence est normale donc uniforme.

Plaçons-nous désormais dans le cas 0 ~Œ< 1. +=

Voyons la suite des restes d'ordre n R1i:tO,lJ ~R x f--i> L kŒxk(1_ x)k=n

Pour mettre en défaut la convergence uniforme, minorons Rn(x) pour 0 < x < 1 :+x

( Œ "\'"' k Œ nRn x) ~ n L x (1 - x) = n xk=n

A supposer que la fonction Rn soit bornée sur [0, 1], cette minoration donne:

IlRnll= ~ nŒ ~ 1La suite (Rn)'~* ne converge pas uniformément sur [0, 1] vers O.

Conclusion: la série de fonctions L Un converge uniformément sur [0, 1J si et seulementsi Œ< 0 (cas de la convergence normale).

174

III - Limite - Continuité

Intégration - Dérivation

A. Limite et convergence uniforme


Ici A désigne une partie non vide d'un espace vectoriel normé de E et c un point adhérentàA : CE A.

Théorèmes:

t.5 Permutation des limitesL//

~f(x)

Soit (fn)C\j une suite de fonctions de 2F(A,F) uniformément convergente sur Avers f telle que, pour tout n EN, fn(x) admet une limite quand x tend vers C

suivant A: Àn= !JEifn(x).XEA

Alors la suite (Àn):\j de F est convergente : À= lim Ànn~+C0

etf admet À pour limite en C suivant A : limf(x) =À.x~cXE A.

Remarques

1) Les hypothèses (traits pleins) et les conclusions (pointillés) de ce théorème se visualisent

sur le diagramme suivant:Convergence

f: ( ) uniforme sur AJn x n ~ +x

X -+ el 'X ~ cXEA :xEA.

Y'Àn •• •• • •• ····n·.::·-tx· .. ·· .... ;> À

2) Dans le cadre de ce théorème il y a permutation des limites:

~~ C~~cJn(x») = n~~x (~~fn(X»)

3) L'existence des Àn= l~fn(x) peut n'être acquise qu'à partir d'un certain rang.XEA

Jr%lf Pour la convergence de la suite (Ành de F, vérifions qu'elle est de Cauchy (en effet, F

est complet). La suite (fnh vérifie sur A le critère de Cauchy uniforme.

Il existe donc on= sup Ilfn+p - fnllx et lim. on= 0PE", n~7X

Pour tout x de A, on a lfn+p(x) - fn(x)! ~8n donc !Àn+p - Àn; ~8n,

(Àn):\j est une suite de Cauchy; notons À= lim Àn.n----,-+x:

En faisant tendre p vers +x dans les inégalités précédentes, il vient:

\1 x E A, lf(x) - fn(X)1 ~on et lÀ - Ànl ~on

La condition lim on= 0 donne \lE;>0,::3 nE N, 0 ~8n~E;n--++cx::

Chapitre 5: Suites et séries de fonctions

Par inégalité triangulaire, on obtient:

f(x)- À.i ~ Lf(x) - fn(x)] + Lfn(X)- À.nl + ]À.n - À.] ~On + Lfn(X)- À.ni + On

8 est donné, n est fixé tel que On ~8, exploitons limfn(x) =À.n :x-cXE A.

::la> O. \;/ x E An B(c. a) fn(X)- À.n] ~8

175

et dans ces conditions Lf(x)- À.I ~ 3 8. Donc limf(x) =À..x cx'=. A D

lim f(x) =À..x-++oc,

t.6 Permutation de limites (cas où A = [a. +x[)

Soit (jn)c~ une suite de fonctions de :Ji ([a. +xE, F) qui converge uniformément

sur [a. +x[ vers].

Si, pour tout n E .\J,fn(x) admet une limite quand x tend vers +CXJ:

À.n= lim fn(x)X--++OO

alors la suite (À.n)c. de F est convergente: À.= lim À.n- n--++oo

etf admet À. pour limite quand x tend vers +00

~ [ciA = [a. +x[ est un intervalle non majoré de IR.

Les remarques et la démonstration précédentes sont valables.

Ilconvient, cependant, de traduire lim fn(x) =À.n par:x-----+x

\;/8> O.::l ME IR+. \;/ X ~ M. Lfn(X)- À.nl ~8D

t.7 Limite terme à terme1

Soit L Un une série de fonctions de :Ji (A, F) qui converge uniformément sur+rx)

A et S sa somme S: A ~ F: X>-i>L un(x)n=O

Si chaque fonction Un a une limite quand x tend vers c suivant A :

Un = ~~ un(x)XEA

+C0

alors la série L Un est convergente et la fonction S admet L Un pour limiten=O

+00

quand x tend vers c suivant A : I:~ S(X) = L UnxcA n=O

Remarquesn

1) C'est [e théorème 5 appliqué à la suite de fonctions >5n)~, Sn = LUi.i=O

+co

2) Dans [e cadre de ce théorème ily permutation de I:~ et de L :XE,A n=O

~~ (~un(x») = ~ (lJ..Tc un(x»)XEA n=O n=O XEA


i

t.8 (cas où A = [a, +x[)

Soit L Un une série de fonctions de cg; ([a, +:xJ[, F) qui converge uniformément ,+0:..

sur [a, +=[, de somme S: [a, +x[ -c- F, X >-+ ~ un(x)n=O

Si chaque fonction Un a une limite quand x tend vers +x : Un = lim Un (x)X----:-+X'

+x

alors la série L Un est convergente et la fonction S admet ~ Un pour limiten=O

+rx

quand x tend vers +x x~~-s S(X) = ~ Un,n=O

B. Continuité et convergence uniformeA désigne une partie non vide d'un espace vectoriel normé E.C(A, F) est l'espace vectoriel des fonctions continues de A dans F,

Théorèmes:

o

riIJE

t.1rf

Continuité d'une limite uniforme: cas d'une suite de fonctions

Soit (fn)N une suite de fonctions de C(A, F) qui converge uniformément sur Aversf : A - F, alorsf est continue sur A, doncf E C(A F).La continuité des fonctions fn à partir d'un certain rang suffit.

La continuité def en un point a de A s'établit par le théorème de permutation des limites(théorème 5): limfn(x) =fn(a) et lim fn(a) =f(a)

X--+Q n---=-+xXEA

Continuité d'une limite uniforme: cas d'une série de fonctions

Soit L Un une série de fonctions de C(A, F) qui converge uniformément sur+y

A, alors sa fonction somme S A - F: x >-+ ~ un(x) est continue surn=O , .

A, donc S E C(A F).

o

n

IJE Appliquer le théorème précédent à la suite de fonctions n r-> Sn = ~ Ui.i=O

ConséquenceLa non continuité de la fonction limite (resp. de la somme) prouve la non convergenceuniforme d'une suite (resp. d'une série) de fonctions.


La suite (fn) converge simplement sur [0, 1] versf:

f : [0,1]-R x>-+ { ° s~XE [0,l[1 SI X = 1Chaque fonctionfn est continue sur [0, IJ etf ne l'est pas.

Donc la suite (fnh" ne converge pas uniformément sur [0.1].

X r-> fn(x) = xn.fn : [O. 1] -[H(,exemple 8 .t~/_"-----------------------~

1 Exemple classiqbe :

•


exemp~ 9

1 Mœ:ltrer que C~a. bl F) est un sous-espace complet de ZAx ([a. bl F) .

• On sait déjà que d3x ([a, bl F) est un espace complet et que C([a, b], F) est un sous-espacevectoriel de d3 ([a. bJ. F),

il reste donc à vérifier que C([a, bJ. F) est fermé dans d3x ([a, bl F).

Utilisons la caractérisation d'un fermé à l'aide d'une suite.

Soit (ln)', une suite de C([a. bJ. F) qui converge versJ dans d3x ([a. bl F). Il s'agit, par définition,

d'une convergence uniforme sur [a, b], donc le théorème 9 garantit la continuité deJ sur [a. b].

Ainsi, JE C([a, b], F).

En conséquence, C([a. bJ. F) est fermé donc complet dans ZAe:v([a. b], F).

exemple 1,/ /~ +e:vn~~-.---~ a

Soit a ER lai < 1 et S: [O.1[~R XI-» L~! 1-x

~ Montrer que S est continue sur [0,1[. n=l

~.•••21 'Trouver un équivalent de S(x) quand x tend 1.•\/ anNous avons affaire à la série de terme général Un: Un: [0.1[ --=...;.IR\, X f-ô> ---nl-x

1) Montrons la convergence normale de L Un sur tout segment [0, b] inclus dans [0.1[.

Pour tout x de [0, b] :

1 ( )1 0< Iain 0< lanl 0< Iain d Il Illü.b] 0< IainUn X ~ 1 _ Ixl n ~ 1 _ Ixl ~ 1 _ b onc Une:v ~ 1 - b

La série géométrique de raison 1al < 1 est convergente, donc la série de terme général

Il Un 11l;;,b] converge.

Conclusion: la série de fonctions L Un converge normalement donc uniformément sur [O. b]pour tout réel b E [0.1[.

Il en résulte fa convergence simple sur [0, 1[, l'existence de la somme+ 'x: na

S : [O. 1[-+IR\, x 1-» L ---n et la continuité de la restriction de S à [0, b] pour toutl-xn=lb E [O. IL donc la continuité de S sur [0, 1[.

En effet, le théorème 10 s'applique sur [0, b] à la série de fonctions continues L Un.

2) ta solution tient à l'identité et à la limite suivantes:

l-x 1---n = n-ll-x l+x+ ... +x

et1- x 1

lim ---n =x-1 1- x nx<1

+x 1- xComme (l-x)S(x) = L ---n an, introduisons lasuite de fonctions de terme générall-xn=l

Un [O.1[~R 1- x nXI-» ---d

l_xn

178

Notons quean

lim Un(x) = -,x_l nx<1


+X'

~.andonc YEt(l - x)S(x) = L n = - €n(1 - a)x<l n=l

La convergence normale sur [0, l[ s'obtient par:

1 ( )1 Iain 1 ln Il [D,l[ 1 lnUn X = n- 1 ,s; a Un = al+x+ .. ,+x

+00 anSachant que, pour lai < 1, L - = - €n(l- a), il suffit d'appliquer le théorème 7: limiten

n=l

terme à terme pour obtenir:+cx:; +oc

E:rt L un(x) = L ~01Un(x)x<1 n=l n=l x<1

Conclusion :

+X an

S(x) = L 1_ an X:-""n=l

€n(l- a)1-x

C. Intégration et convergence uniformeC([a,hl F) désigne toujours l'espace des fonctions continues de [a. b] dans F,

Théorèmes:

t.11 Intégrale d'une limite uniforme d'une suite de fonctions continuesSoit Vnh" une suite de C([a. b]. F) qui converge uniformément sur [a, b] versJ. AlorsJ est continue sur [a, b] et :

(,b j'bJ(t)dt= ~Ty Jn(t)dt>j an, ~~. a

Remarques..

1) La continuité des fonctionsJn n'est utile qu'à partir d'un certain rang avec la convergenceuniforme, elle procure la continuité de J.

Cob

2) Dans le cadre de ce théorème il y a permutation de n~Tx' et de .la

j,b j,b[ lim JnCt) dt = lilIl. JnÎtI dt. a n-+x: n-"'T_'- , a3) Ce théorème exclut toute intégrale généralisée,

I@f' Le résultat se déduit de :

\j'b j,b 1 j'bJ(t)dt- Jn(r)dt,s; ûÎt) - Jn(t) dt,s; ib - a) - Jn'I:.:

, a ' al' a

et n~~" lû - Jnllx = ° 0

t.12 Intégration terme à terme d'une série de fonctions continuesSoit L Un une série de fonctions de C([a. bJ.F.I qui converge uniformémentsur [a, bJ.Alors:

Lb (Êun(r)) dt = Ê (Lbun(r)dt)


Remarques

1) Dans le cadre de ce théorème il y a permutation de lb+C'C

et de L,n=O

2) Ce théorème exclut toute intégrale généralisée.n

~ Il suffit d'appliquer le théorème précédent à la suite de fonctions Sn: n e-+ L Uii=O

D

Exemples - Travaux

x +-x· xne =L nl'

n=O

- , J'l +0:: (_I)n+létablir l'égalité XX dx= L --no n=l n

exemple 1,1".\v

Sachant que, pour tout x réel,

Pour tout x E JO,1], on a+:0 n v n

)( xtnx ,x 'LnxX' = e = L --n-t-'n=O

Introduisons la série de fonctions de terme général Un :

x xn tnn xua = 1 et, pour n EN, un(O) = 0, Un(x) = 1 si x E JO, IJn.

Etablissons la convergence normale sur [0, IJ :

Ix€nxln 1V x E JO, 1], 1 Un(x)1 = 1 ~ -n-In. e n.

1(car sup Ixtnxl = -)

JO,l] e

Il Un 1100 = Iun (~) 1 = eT~n! est le terme général d'une série convergente.

Appliqù'ons le théorème 12 : intégration terme à terme:

ouet la conclusion

Il +00. il (x€nx)nxXdx= L 1 dxo n=O 0 n.

rILe calcul de an = Jo (x €n x)n dx permettra de conclure.

Une intégration par parties donne, pour tout p E NX :

1,1 1·1xn(€nxt dx = -~ xn(€nxt-1 dx d'où

.0 n+l0

180

D. Dérivation et convergence untformeJ désigne un intervalle de lR1non réduit à un point.

e1(I, F) est l'espace des fonctions de J dans F de classe el.


t.13 d'une suite de fonctions

Soit (fnlr\j une suite de fonctions de e1(I, Fl telle que:

• la suite (fn),,,,, converge simplement sur J, versJ: J ~ F

• la suite (f~l,,,,,converge simplement sur J, vers une fonction 9 : J - F, cette

convergence étant uniforme sur tout intervalle compact [a, b] cI.Alorsf est de classe el sur J et f = g.

Remarques

1) La condition "à partir d'un certain rangfn est de classe el sur f' suffit.

2) Dans le cadre de ce théorème, la dérivation et la limitecommutent :

C~T:"fn) f = n~T:"f~

D

~ a étant un point fixé de J, etfn étant de classe el sur J, on a :

'if XE J.jn(X) =fn(a)+L'{f~(t)dt

La convergence uniforme sur [a, x] de la suite (f~h vers 9 donne:

lim ..1Xf~(t)dt=j·X limJ~(tldt d'où 'if XE I, f(xl=f(al+ r"g(tldt.n~+G) a a n~+x Jo

Ilen résulte f E C1(I, Fl avec f = g.

. -

t.14 Dérivation terme à terme1

Soit L Un une série de fonctions de e1(I. F) telle que:

• la série L Un converge simplement sur J,

• la série L u~ converge uniformément sur J sur tout intervalle compact [a, b] cJ.

Alors la fonction somme S : J - F est de classe el sur J avec:

'if x E 1. Sf(xl = L u~(x)n;O

Remarques

1) Ilest utile que toutes les fonctions Un soient de classe el sur J.

2) Dans le cadre de ce théorème la dérivation et la sommation commutent :

(~ un(x») , =t u~(x)n;O n;On

~ Appliquer le théorème précédent à la suite de fonctions Sn: n'-è> LUi.i;O

D


1 IV - Méthodes pratiques

181

Il s'agit d'étudier une fonction réelle d'une variable réelle: limite, équivalent, dérivée,

variation quand la fonction est donnée par une intégrale, une limite de suite de fonctions,une somme de série de fonctions.

Chaque fois, nous décrirons la méthode en traitant simultanément un exemple.

Un deuxième exemple sera donné ensuite sous forme d'exercice.

A. Intégrale dépendant d'un paramètre

Exemples - Travaux pratiques---.L-/

1 ~onti:~i:::~Jtn-te-' g-r-a-le-ge-né.raliSéedéPendanit~'~n ::amètre

...•Justifier la définition de f: R--+C, x f--c> f(x) = --2 dt.·0 l+t

Montrer que f est continue sur R.

• La méthode consiste à :

• introduire la suite de fonctions (fn)'" définie par fn: IR1~C, j.n eixtXf--c> --2 dt·0 l+t

~éfinition defLa fonction <:p:1R12--+C,

• établir la continuité de chaque fn en utilisant les résultats du Chapitre VI

• conclure à la continuité def avec le théorème sur la continuité d'une limite uniforme.

Applicationde la méthode à l'exemple

éU 1(x, 0 f--c> --2 est continue sur 1R12et l<:p (x, 01 = --2l+t l+t

·+x

Donc~pour tout réel x, l'intégrale r <:p(x, t) dt est absolument convergente.Jo

• Convergence simple de (fn) versf

àcquise par définition même de la convergence de l'intégrale:

hm r <:p (x, 0 dt = rC0 <:p (x, t) dtn-+C0lo lo

• Convergence uniforme

1~

n'Ona

Ainsi

1+::<: dt 1+::<: dt 1lf(x) - fn(X)1 ~ --2 ~ :2 = donc Iif - fnn l+t .n t n

lim Iif - fn 1100 = ° et la suite (fnhJ converge uniformément sur 1R1.]1---++':-<::

• ContiJ;luitéde fn

<:pest continue sur lR1x [0, n] donc fn est continue sur lR1par application du théorème sur la

continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre.

182

• Continuité def sur IR

par application du théorème 9: continuité d'une limite uniforme.

Exemple analogue


Etablir la continuité de la fonctl6n1

]0, l[ --+IR,rCO dtx-+Jo tX(t+l)

,

1

exemple 13

I ·..•....•..·..•..D..•..•••.••..••e•.••'•••·.r'~?fi()rid'une intédrale généralisée dépendant d'un paramètre

............................. fo+'co ilMontrer que la fonction f: IR~R x -+ e- cos 2xt dt est de classe CI ..0

Calculer f(x), en déduire f(x) .

•• Définition def

·+x- ·+x

Par convergence de l'intégrale f(x) = f <p(x, t) dt = f .e- il cos 2xt dtJo Jo

• Définition de la suite de fonctions (fn)",

ln Jn 2fn(x) = <p(x,t)dt= e-t cos2xtdt

·0 0

La convergence simple sur IRéquivaut à l'existence def.

• Dérivation de fn

Par le théorème de dérivation sous le signe l ' la fonction <pétant de classe CI sur 1R2,fn est declasse CI sur IRavec:

J.n éJ<p J.n?fi,Cx) = -(x, t)dt = -2 te-ë sin2xtdt

.0 éJ x .0

• Définition de la limite simple de (f~),o

J'+x éJœ l+X 2Soit g: IR~R x -+ -.-' (x. Odt = -2 te-t sin2.\.1:dt

.0 d x .0

La majoration 'if (x, 0 E IR x IR+.I te- t2 sin 2.\.1:1~ te- t2 donne l'absolue convergence de

rx te - il sin(2.\.1:)dt et donc 'if x E K. lim f~x) = g(x).Jo n-+x

• Convergence uniforme sur IRde la suite (f~)"

j+x éJ'fpar majoration du reste intégral (g - f~) (x)= -.-(x. r) dt .

. n dX

Ici Ig(x) - f~(x)1 ~ 2 rx te-t2 isin2xti dt ~ 2 rx te-t2 dt = e-n2ln ln

donc IIg - f~11 . ~ e-n2 et lim 9 - f~ Ilx = 0x n-+x


• Conclusion

par [e théorème 13 : dérivation d'une suite de fonctions

1,+::-:: acof est de classe CI sur Si: et f(x) = -' (x, t) dt

.0 a x

f(x) = -2 1"+::-:: te-[2 sin2.xtdr = i_e-t2 sin 2À1:]+::-:: +2x /+::-:: e-t" cos 2xt dt. 0 ' 0 Jo

9 l+::-:: 2 /TIDonc f(x) = 2,'if(x) , f(x) =À e" avec À=flO) = e-t dt = '"'2.0

., ~ l+::-:: - t2 , V7T \..2

AInSI'ï!XE-"i. e cos2À1:dt=-e'.02

Exemple analogue

Trouver une expression intégrale de la dérivée de [a fonction:

l+C0r:JO.+x[~iH, x>-+ e-ttX-1tdt·0

, B. Equivalent de la somme d'une série defonctions

183


/iexemple 14 ~/~' _

1 Méthode dite " Eq~a!ent au premier terme"

• Une fonction étant donnée sous [a forme d'une série, par exemple:

+::-:: 1f : JO,+x[-iH, x>-+f(x) = L -hs nx

n=l

on cherche un équivalent def(x) quand x tend vers +x.f est somme de la série de fonctions de terme général:

1Un :JO,+x[~R x>-+ -h-s nx

dont la convergence simple tient à ['équivalent Un (x) 2e-nx.n---i-+O:'

1 1Ici, chaque fonction Un: x>-+ -h--' (n ? 2), est négligeable devant Ul(X): x>-+ -hs nx s xquand x tend vers +x.En montrant que leur somme est encore négligeable devant Ul (x) quand x tend vers +00 :

+x

L un(X) =f(x) - Ul(X) = o( Ul(X))n=2

on prouve que f(x) ~ Ul (x).X---i-+OC

+x'

I[ suffit, par conséquent, de majorer L Un(x) par o( Ul(X)).n=2

184

Dans notre exemple,

-nx1 2eUn(x) = sh nx = 1 ~ e-2nx


2-nxe _et pour n ~ 2, 0 ~ un(x) ~ _ -4x (suite géométrique de raison e-x < 1)-e

+00 2e-2xAinsi 0 ~ L un(x) ~ 4 ~ 2e-2x et Ul(X) 2e-x,

n=2 (1 - e- x)(l - e-x) X-Hoa X~+C0

donc[f(x) ~ Ul(X)] = o( Ul(X»)

et enfin +C0 1 2 -x'"""- - eL shnx x~+oon=l

f :]O,l[-+IFR,

Exemple analogue+CX:' 1

Equivalent de L e x quand x tend vers +oc.n=2 n( n n)

exemple 15

1 Méthode dite" Equivalent terme à terme"

• Une fonction étant donnée sous la forme d'une série, par exemple:+x n

X

Xf-i> L-1+ nxn=l

On cherche un équivalent def(x) quand x tend vers 1.

f est somme de la série de' fonctions de terme général:

Un :]O,l[-+1FR,

nX

X f-i> 1+ me

xn-ldont la convergence simple tient à l'équivalent un(x)

n~+,cx: n

Ici, quand x tend vers 1 par valeurs inférieures,1

Un(x) - --1 terme général d'une sériex~l n + , ,-n-l

X

divergente, mais aussi un(x) - -- = vn(x).n-+cx: n

L Vn est une série entière dont la somme est connue (voir Chapitre VIII de ce tome) :

+cx: 1+cx: xn tn(1 ~ x)9 : ]O,l[-+IFR, x f-i> Lvn(x) = - L- = ---x n x

n=l n=l

Notons que g(x) - lin(1 - x)l.x~l

Majorons la différence vn(x) - Un(X) :n-l n-2

\lxE]O,ILO~vn(x)-un(x)= (-~ )~ 7 1)~n +nx nn+

1 1 1 +cx: 1

En écrivant ( 1) = - - --Ion a '""" ( 1 = 1,n n + n n + L nn + )n=l

+cx: +cx: 1on peut sommer 0 ~ L(vn(x) - un(x» ~ L (n n + 1)

n=l n=l

c'est-à-dire 0 ~ g(x) - f(x) ~ 1

1n(n + 1)

Chapitre 5 : Suites et séries de fonctions

Donc [g(x) - f(x)J = 0 (g(x)) , et on peut conclure à f(x) ,- g(x)~ x~l

185

soit encore - Itn(l- x)1x-l

;,'+00 dtCi sont convergentes,l t

Exemple analogue+X n

Trouver un equivalent de 2.:= 2 ') quand x tend vers +x.n=l n + n x

exemple 16 ~

, Méthod/~âite" Comparaison d'une série et d'une intégrale"

• 1) GE6' d'une série réelle

~Ci la méthode est connue, illustrons-la par un exemple simple où les inégalités et les con

vergences de série et d'intégrale sont évidentes.

1Pour a> 1, la série de Riemann 2.:= ex et l'intégrale

n~l n

rx dt 1et de plus, JI 7' = a -1La fonction

1t f-7 CI étant décroissante, on a :t

et du calcul

in+l dt 1 i·n dt(n ~ 1) - ~ - ~ (n ~ 2)

. n tCi nCi n-l tCi

j,+x dt +::0 1 j,+oo dtd'où en sommant Ci ~ 2.:= ex ~ 1+ Ci. l t n=l nIt

1 +00 1 ad'où l'encadrement -- ~ ~ - ~ --a -1 L nCi a-l

n=l

+::0 1 1On en déduit l'équivalent 2.:= Ci - --1n 0:---+1 ex-

n=l 0:>1

Remarque

Les programmes P et P' ne contiennent pas les théorèmes de sommation de relation d'équi

valence. La méthode précédente permet alors de retrouver les résultats de ces théorèmes.

+C0 1Par exemple, un équivalent du reste d'ordre N : RN = 2.:= ex se déduit

n=N n

j+::0 dt +x· 1 1 1+·::0 dtde l'encadrement Ci ~ 2.:= ex ~ ----a + CiN t n=N n N N t

rx dt 1JN 7' = (a _1)NCi-1


2) / Cas d'une série de fonctions

La question se présente, par exemple, de la façon suivante:

+x 1Trouver un équivalent de f(x) = L -h-- quand x tend vers 0, x> 0 ?c nx

n;O

• D'abord présenter le terme général de la série de fonctions:1

Un : JO, +:x::[ -;-IR, x f-7 ch nx

• 1Vérifier la convergence simple sur JO,+x[: -h-- ~ 2e-nxc nx n-.;-+x

La méthode consiste à comparer la somme de la série

+00 1f(x) = L -h-- à la valeur de l'intégralec nx

n;O

Voici les conditions à réunir:

l+x dth(x) = chtx'·0

• 1Pour x> 0 fixé, la fonction 9x : [0, +:x::[-;-IR, X f-7 ch tx est continue, décroissante.

• l+x l'+x iliL'intégrale h(x) = 9x(t)dt = -ho .0 c txun équivalent simples quand x tend vers 0

[ ] +x

,+x dt 2 ~

h(x) = 10 ch tx = :;;:Arctan é" 0

conver~ et possède une limite ou

h(x) =:x (pour x > 0)

• La fonction x f-7 uo(x) est négligeable devant h(x) (x ~ 0)

uo(x) = 1 = a ( ~) quand x - 0

Voici la comparaison proprement dite:

ln+l j,n(n;o 0) 9x(t)dt "'"9x(n) = unC\:) "'" 9(X)(0 dt (n;o 1)

. n n-l

La série et l'intégrale convergent, on peut sommer:

~ jn+l 9(x)(0 dt "'"~ Un(X) "'" UO(x) + ~ ln 9x(t)dtn;O' n n;O n;l' n-l

h(x) "'" f(x) "'" uo(x) + h(x)

La condition UO(x) = o( h(x)) est essentielle pour conclure:

f(x) - h(x)x-o.DO

Exemple analogue

+x 1L chnxn;O

X-L'.o.:>l!

2x

Calculer+x X

lim L ,2 + n2n-+x n;l x


(nEl'\n

On retrouve la méthode de comparaison avec une intégrale sans disposer de la monotonie de la

fontion gx :

1gx : [1, +x[ ---cR t f-7 n

t+ (t - x)

La comparaison se fait alors par l'inégalité de Taylor-Lagrange:

1 1 1 1 Il 11 G(n + 1) - G(n) - G (n) ~ - sup G (t)2 tE[n,n+1]

1 n+1 1 1r gx(t) dt -gx(n) ~ 2 sup Ig~(t)1.1n tE [n,n+1]

On pourra utiliser la démarche suivante:

1) Introduire la série de fonctions de terme général:

l·n+1 ln+1 dtUn : 1R---c1R, x f-7 9x(t) dt =

. n . n t + (t - x)

dont la convergence simple est directement liée à la convergence de l'intégrale

+:0 dt

h(x)= r t+(t-x)-.11

2) Etablir la convergence uniforme sur IRde la série L Un par une bonne majoration (uniforme)

l+:o dtde son reste Rn = --- ~.

. n t + (t - x)

3) Efféctuer également une bonne majoration (uniforme) de la différence:

IUn(x) - Un(x) 1 ~ ~ sup Ig~(t)12 tEln.n+1J

+00

4) Effectuer enfin une majoration (uniforme) du reste L Un(x) à l'aide des 2 majorationsn=N

précédentes.

188

Dans l'exemple proposé, cela nous donne:


11) 9xCt) - 2" et le critère des équivalents de fonctions positives donnent la convergence

t--->+= t

r=de l'intégrale JI 9xCt) dt

rco dt2) 0"'" RnCx) "'" Jn n+Ct-x)2

3) 9~(t) = _ 1+ 2Ct - x)

[t + Ct_ x)2] 2'

1+co dt"'" --- 2-co n + (t ~ x) J+x ~= TI- . -x n + u2 vn:

Séparons les deux termes:1 1 1---2 ""'2""'2'

[t+Ct-x)2] t n

Dans le second terme faisons une" homothétie" t - x = uJt :

2lt-xl

[t+Ct-x)2r

2 1ul Jt 1 2 1ul 1---""'-.--""'-t2(1 + u2)2 tJt 1+ u2 nvn:

1 1 2Au total IIVn- unllx "'" n2 + nvn: "'" nvn:

+0::; +cc; +cc'

4) Par l'identité L unCx) = L(un (x) - vn(x» + L vn(x)n=N n=N n=N

et la majoration [ï= Un(X)1 "'" ï= Il Un - Vnn=N n=N

Il vient IIï=unll ""'~ n~+ ~n=N x n-N

+IIRNllx

1 +x 1Comme la série réelle :L (.; est convergente son reste d'ordre N, L. (.;'tend vers O.nyn.nyn n=T,

Donc hm .11ï= unll .. = 0, c'est la convergence uniforme sur [hg de la série L Un·N--->+x

n=N cc

Remargue

La série :L Un ne converge pas normalement sur IR.

Il Un1 1

= sup 2 = (série harmonique).XE 8. n + (n - x) n

,~


C. Cas des séries alternées

189

Il est intéressant de manipuler des séries alternées L(-l)nan où la suite réelle (an\~converge vers 0 en décroissant.

On utilise les propriétés suivantes:

+x

i lia série converge S = ~ (_l)n an (critère spécial des séries alternées)n=O

+x

ii Ile reste d'ordre N. RN = ~ (-l)nan vérifie IRNI ~ aNn=!\T

iii 1 on connaît son signe: RN = (_l)N IRNI Ra ~ S ~ ao - al.

Pour une série de fonctions L( -l)nun(x) :

• la propriété il fournit la convergence simple,

• la propriété iil fournit la convergence uniforme Il RN

On connaît la somme

• la propriété iiii donne des encadrements, limites ou équivalents

Décrivons deux méthodes sur un même exemple:

+x ()Soit J: [O,+x[~R X >-7 ~(_l)n-Itn l+~

Il s'agit de trouver un équivalent deJ(xl quand x tend vers 0, puis quand x tend vers +00.

Le caractère alterné de la série de fonctions L(-l)n-Iun(x) est clair et,

pour tout x fixé dans [0, +x [,la suite réelle n>-7 un(x) = tn(1 + ~) décroît vers O.

• Pour le comportement de J(x) quand x tend vers 0, on pense à " l'équivalent terme àterme"

+x (_l)n-l~--=tn2,n=l

d'où le résultat probable J(x) - x tn 2.x-+O

La méthode s'appuie sur le théorème de limite terme à terme appliqué à la fonction:

J(x) +x (_l)n-l ( x)X = ~ x tn 1+ -; (x> 0)n=l

Le théorème des séries alternées s'applique toujours et la propriété iil fournit la conver

gence uniforme sur ]0, +x[ :

1~N

Le théorème limite terme à terme donne


J(x) +:::c(_I)n-llim - = '" --x-;-o X L n

n=l

c'est le résultat prévu ~(_I)n-l en (1+~) ~ xenz,L n x-;-on=l

• Pour le comportement de J(x) quand x tend vers +oc, on va appliquer la méthode dite

" équivalent à la moitié du premier terme"

Cette méthode est liée à la transformation suivante:+00 +~

J(x) = L(-I)n-lun(x) = Ul(X) + L(-I)nun+1(x)n=l n=l

Ul(X) +:::c n 1J(x) = -Z-+L(-I) - [Un(X)-Un+1(x)]

n=l§.i le théorème des séries alternées peut encore s'appliquer, (décroissance de la suite

n Ho un(x) - un+1(x) (1 ), la propriété iiii donne l'encadrement:

Ul (x)o ~J(x) - -2- ~[Ul(X) - U2(X)]

soit ici 0 ~J(x) - en(: + 1) ~ en(x + 1) - en ( ~ + 1) = en (2~:~)~en2

et la conclusion ~ (_I)n-l en (1 + ;) x-;--::c: _e_~_x,n=l

Remarque importante pour (1)

La décroissance de la suite n Ho Vn = Un - un+l

dépend du signe de vn-l - Vn = un-l - 2un + Un+l

E " t 1 ( ) Un-l + Un+l 't 1 . 'd l 'tn ecnvan 2" Vn-l - Vn = 2 - Un, on VOl que a convexite e a SUI en Ho Un suffit pour assurer cette décroissance.

Conséquence pratique

x étant fixé dans l'intervalle d'étude, on étudie la convexité de la fonction' gx : t Ho Ut(x).

Dans l'exemple proposé x> 0, gx: [1, +x[ -;-!R, t Ho en (1+ ~)i 1 1 1 1

on obtient gx(t) = -t -, - -t et d/:(t) = 2 - --.-9 > 0 d'où la conclusion.+x t (t+xr

Exemple analogue+'x x

Soit J(x) = L(_I)n-l Arctan Tl'n=l

Trouver un équivalent de J(x) :

1) quand x tend vers 0,

2) quand x tend vers +x,

,"


Exercices-types

191

(x E!R:)

//__ EX.5.1,

Montrer que: \)

11 ,,2tn t . tn(l - t) dt = 2 - -

o 6

Ex. 5. 2

1 ) / Justifier la définition et la continuité de la

/ fonction:

+x

X ~ LArctan(n + x) - Arctan n'1=0

?/l Trouver une expression simple de

f(x + 1) - f(x)

8) Déterminer un équivalent def(x) quand

x tend vers +X, puis vers -x.Ex. 5. 3 À

1) Justifier la définition de la fonction:

+X 1f :IR:~IR,x ~ L - cosn xsinnxn

'1=1

2) Montrer que f est de classe el sur

IR\"Z' ; calculer f.

3) En déduireI

Ex. 5.4

'1 (k) '1Calculer n~r;?:vL n

k=O

Ex. 5. 5 ~

Calculer n~~C0 ( 1 + ~) '1 pour Z E iC.

Ex. 5. 6

Soit A E .ûtp (lK), montrer que:

( A)n +xAnlim Ip + - = L -1Tl-d0: n n.

'1=0

Ex. 5. 7 *-/

Soit (an)'" une suite complexe qui convergevers O.

1) Justifier la définition de :

IÎ' +=--:> an nf :IR~L,x~ L IXn.'1=0

2) Montrer que f(x) = o(eX) quand x tend

vers +oc.

EX.5.8

1) Soit (an)N une suite réelle positive crois'1

sante et An = L(-l)kak.k=O

Montrer que a "'"(_1)'1 An "'" an

2 ) En déduire la convergence uniforme sur

IR de la série de fonctions de terme gé

(_l)nnnéral Un : iR~!R:,x ~ ~n +x

Ex. 5. 9

Montrer que:

l+X sinxte-t __ dt = Arctanx

.0 t

Ex. 5. 10

Soit (Pn)"" une suite de polynômes de IK [X]

qui converge uniformément sur IR: vers

J E 2F (IR, IK).

Que dire de la suite des degrés de Pn, de la

limiteJ?

Ex. 5. 11

1) Etablir la convergence uniforme de}asuite de fonctions :

Jn : [0, 1] ~IR, x ~ e-nx - (1 - x)n

2) Que dire de la série de fonctions LJn ?

Ex. 5.12

Soit E = C1([0, 1], IK), le IK-espace vectoriel

des fonctions de [0, 1] dans IK de classe el.1) Montrer que l'on définit une norme par:

E --;-iR,J ~ N(f) = lf(O)! + sup l((t)1tE [0,1]

2) L'espace (E, N) est-il complet?

] :]0, +=[----;-IR,

192

1) Justifier la définition et la continuité de la

fonction:

+cv (_l)nx>-+ L--n+x

n=O

2) Trouver un équivalent de ](x)

a) quand x tend vers 0,

b) quand x tend vers +cc.

1 tX-1

3) Etablir l'égalité ](x) = r -1- dtJo + t

4) Retrouver les équivalents du 2).


Ex. 5. 14

A toute fonction] c C([O, 1], IR), on associe la

suite de polynômes

n k (k) k n-kBn(f)(x) = ~ Cn] ~ x (1 - x)

1) Déterminer Bn(f) pour

]: x>-+ 1,

] : x >-+ x,

]:x>-+x2

2) Calculer 9n(X) =

n ( )2

k k . k n-kLCn ~ - X • x (1 - x)k=O

Indications

Ex. 5. 1

Utiliser les deux sommes de séries suivantes:

+::0 tn

° ~ t < 1, €n(l - t) = - L Tln=l

2 +::0 1'TI" ~et - = L.. 2"6 nn=l

EX.5.2

1) Appliquer le théorème" continuité d'une[imite uniforme ".

2) Former Un(X+l)-Un+l(X) puis sommer.

3) Comparer une série à une intégrale généralisée.

Ex. 5.3

Appliquer soigneusement [e théorème de dérivation terme à terme.

Ex. 5.4

Ecrire:

n ()n n (' )n, xS(n)=L ~ =L 1-~ =tLj(n)k=O )=0 )=0

et appliquer le théorème de limite terme à terme.

Ex. 5.5

( ) n n k +x

Z , k Z

Ecrire 1+ Tl = L Cn nk = L uk(n)k=O k=O

et appliquer le théorème de limite terme à terme.


Ex. '5. 6

Utiliser l'exponentielle d'une matrice:

+:cc: An~ =L, (voir Chapitre VIII)n.

n=O

Ecrire:

( A)n n Ak +:x:Ip + Tl = L C~ nk = L Uk(n)k=O k=O

Appliquer le théorème de limite terme à terme.

Il s'agit d'une copie conforme de l'exercice précédent

Ex. 5. 7

Etablir la convergence uniforme sur JO,+x[ de+cx:::

la série de fonctions L a7xne-xn.n=O

EX.5.8

1) Par récurrence

n2) La suite n >--è> -2--2 est d'abord croisn +x

sante puis décroissante.

Ex. 5.9

Utiliser la série de fonctions:

+C0 (n+l sin ntf(x) = L Jr e-t __ dtont

pour calculerf (x).

Ex. 5. 10

A partir d'un certain rang chaque fonction

Pn+l - Pn est bornée.

193

Ex. 5. 11

1) Etudier fn et trouver un majorant ou équi

valent de Ilfn Il:cc:·

2) Etudier la continuité de la somme+.::;(:.

X>--è> Lfn(x).n=O

Ex. 5. 12

Application directe du théorème" dérivation etlimite uniforme"

Ex. 5. 13

1) L'équivalent en 0 est le premier terme,

l'équivalent en +00 est la moitié du premier terme.

N-l 1- (_I)NtN2) Utiliser L (_I)ntn =

n=O

13) Utiliser f(x + 1) + f(x) = x'

Ex. 5. 14

Introduire la fonction:n

t>--è> L C~ ektxk(1 - x)n-kk=O

et ses dérivées.

Evaluer la différence:

f(x) - BnV)(x) =

~ C~ ~(X) - f (~) ] xk(1 - xt-k

en distinguant les deux ensembles:

{ k/ 1 ~ - xl <11 } et { k/ 1 kn - xl ~Œ}



+x

I=:L 1 \n=l n(n + 1)2 \

La fonction j: [0, 1] --+~,J(t) = ten t· .en(1 - t) si ° < t < 1.1(0) = 0.1(1) = ° est continue et

positive. l'existence de l'intégrale l = fol .en ten(1 - t) dt en résulte.

tnj est la somme de la série de fonctions de terme général Un: [0, 1] ~R t f-'> --.en tn

Etablissons la convergence normale sur [0, 1] :

1 tn.en tn 1avec sup Ix.enxl = -, en écrivant unCt) = ---2- ? 0, il vient Il Un 11~·1]= -----Z,qui est

tE[O.l] e n enle terme général d'une série de Riemann convergente.

Le théorème 12 " intégration terme à terme" s'applique:

rI [+CC ] += rI rI +x rI tn.en tJo ~Un(t) dt= ~Jo un(t)dt , Jo .enten(l- t)dt= ~- .la -n-dtUne intégration par parties donne:

1·1 [tn+1]1 11 tn 1V n ? 1, - tn .en t dt = - --1 .en t + --1 dt = ---2' donc. a n + o' a n + (n + 1)

1 1 1 1D'autre part ---- = - - -- - ---

, n(n + 1)2 n n + 1 (n + 1)2

NIN 1 N+1 1 N+1 1 1 N+l 1donc L 2 = :L n - :L n - :L -:2 = 1 - N + 1 - :L -:2

n=l n(n + 1) n=l n=2 n=2 n n=2 n

j.1 +x 1 ~2Finalement .en t .en(1 - t) dt = 1 - :L -:2 = 2 - i·a n=2 n

Ex. 5.2

1) La fonctionj se présente comme somme de la série de terme général:

Un : ~~~, X --+ Arctan(n + x) - Arctann

Chaque fonction Un est de classe el sur ;g,

L'inégalité des accroissements finis donne la majoration:

° ~Œ~~,~-Œ

o ~ Arctan ~ - Arctan Œ ~ ---91+ Œ~

lx! adonc sur [-a, a], (a> 0), IUn(X)1 ~ ' " ,2 ~ --~1+ (n - lx!) (n - a

eta

II[-a.a] ~ 2Il un C0 (n _ a)

a---2 étant le terme général d'une série convergente, la majoration précédente donne la(n - a)convergence normale sur [-a, a] de L Un.

Ainsi la série L Un converge simplement sur R (j est donc continue sur R) et uniformément

sur [-a, a] (j est donc continue sur] - a, aD pour tout réel a> O.

Finalement j est continue sur Ri.


2) La simplification par Arctan(n + 1 + x) donne:

Un (x + 1) - Un+l (x) = Arctan(n + 1) - Arctan nJI.:

d'où [a somme partielle ~ ( un(x + 1) - Un+l(X») = Arctan(N + 1)n=O

et en faisant tendre N vers +X, il vient f(x + 1) - [f(x) - uo(x)] = ;,

195

Pour tout x E R, f(x + 1) - f(x) = ; - Arctanx,

3) Appliquons [a méthode" comparaison à une intégrale ",

A x fixé dans :;:;;:,associons la fonction 9x: t f--è> Arctan(t + x) - Arctan t continue,

10+00positive, décroissante et telle que ['intégrale généralisée h(x) = 9x(t) dt existe.

,0

x([e critère d'équivalents de fonctions positives s'applique 9x(t) ~ --2)

t-HOO 1+ t

Il convient d'évaluer h(x) = fo+x [ArctanCt + x) - Arctan t] dt.Par la relation de Chasles et par [a translation U = t + x :

J,A j'X+A l·AhA (x) = [Arctan(t + x) - Arctan t] dt = Arctan Udu - Arctan t dt

·0 . x ·0·x+A ·x

hA(X) = f Arctantdt- f ArctantdtJA Jo

TI lX l'x 1et h(x) = hm hA(x) = -x - Arctan t dt = Arctan - dtA~+x 2 0 0 t

Faisons tendre x vers +X, et utilisons le théorème d'intégration des relations d'équivalence

pour les intégrales divergentes de fonctions positives:

1 1 ~,X 1 1x dtArctan -t· ~ - donne Arctan ---dt ~ - donc h(x) ~ en xt~+oo t 1 t x_+x. 1 t +00

Comparons maintenant la série et l'intégrale:

jn+l i·n(n EN), 9x(t) dt ~ Un(x) = 9x(t) ~ 9x(t) dt, (n EN')

n ' n-l

et par sommation (l'intégrale et la série convergent) :

roo9xCt) dt ~ ~ un(x) ~ uo(x) + rx 9x(t) dth =0 hh(x) ~ f(x) ~ h(x) + Arctanx

Comme h(x) ~ enx et+x'

TI

Arctan x +~ 2' on en déduit:

f - h = o(h) et donc f(x) ~ enx+C>;J

Fixons x dans 1R1=- et gardons [a fonction 9x: t f--è> Arctan(t + x) - Arctan t continue,

mais ici, négative et croissante.

La méthode précédente s'applique encore avec la même définition de h(x) et des inégalités

changées de sens:

r r+1.Jn-l 9x(t) dt ~ un(X) ~ J n 9x(t) dtEn sommant, on obtient uo(x) + h(x) ~ f(x) ~ h(x).


quand x tend vers -cc :Attention à l'équivalent de71 (Xh(x) = -i-x- Jo Arctantdt

(X 71on a maintenant Jo Arctan tdt x~--0O -2x et h(x) x~--0O 71x

Là encore uo(x) = Arctanx = 0(h(X)) donc f(x) -:0 71x.

1) Etudions la série de fonctions de terme général Un: ~--+R1 .

X f-'> - cosn X SIn nxn

Chaque fonction Un est impaire de classe CI sur ~, et de période 71.

La série Z Un converge simplement sur ~ :

Un(O) = Un(7T)= 0 et pour x E]O, 71[, IUn(x)1 ~ Icosxlnn

(majoration par une série géométrique de raison Icosxl < 1).

Elle a pour somme la fonctionf, impaire et 7T-périodique :

+00 1f :~--+~, X f-'> L -;:;.cosn x sin nx

n=l

2) Un calcul simple donne u~(x) = cosn-l cos(n + l)x.

] 71 [La série Z u~ est normalement convergente sur [a, 71-a] pour tout a E O.2car lu~(x)1 ~ lcosxln-l ~ Icosaln-l donc Il u~(x) 11~·7T-a] ~ Icosaln-l

et la série géométrique de raison Icos al est convergente.

Le théorème de " dérivation terme à terme" s'applique: la restriction def à [a, 'iT - a] est de

classe CI, donc f est de classe CI sur ]a. 'iT- a[ pour tout a E ] 0, ; [, donc f est de classe

CI sur ]0, 71[et compte tenu de la période 7T,f est de classe CI sur IR\'iTZ avec:+x

j' (x) = L cosn-l cos(n + l)xn=l

j' (x)

j'ex)

Le calcul utilise cos(n + l)x = Re ei(n+l)x

R (~ n-l iin+lJX)e L cos xe'

n=l

Re e2L" L" = Re (~Lë_e_L"~_')1- cos x . e ~- - cos xj'ex) = -1 pour tout x EIR\'iTZ

3) Comme f est de classe CI sur l'intervalle ]0, 'iT[, il existe un réel C tel que f(x) = C - x.

or,f(;) =0 donc f(x) = ; -x pour tout x E]O,'iT [.

On complète la description def sachant qu'elle est 'iT-périodique et nulle en tout point de 'iTZ.

Observer quef n'est pas continue sur IR.

Chapitre 5 : Suites et séries de fonctions

EX.5.4

n (k) n n ( . ) n +xL'égalité S(n) = I: ~ = I: 1 - ~ = I: uin)1e=0 )=0 )=0

se justifie par la définition de la série de fonctions L Uj de ;iF (N" , IR)où :

197

si J"'" n

si n ""'J

La convergence normale S'jr r'\r de cette série de fonctions résulte de :

sup uin) = lim. Uj(n) = e-) = IIUjliconE~'~* n-+x

Pour cela étudions la fonction if): ]j, +x[ --+R x J-+ x en ( 1 - ~ )

Calculons if)! (x) = tn (1 - L) +L = - en (1+L) +L ~0 (utiliser en(l+ u) "'" u).x X-j X-j X-j

Ainsi la fonction if) est croissante, la suite n J-+ Uj(n) = e'l)n) est croissante et

Il U) Ilx = lim u'j·(n) = e-)n---'oo+x

La convergence normale sur N' de la série de fonctions L u) permet d'opérer la limite terme à terme

+œ +x'

lim S(n) = """ lim Uj( n) = """ e-) = _e_n-+·co L n-;.+x L e - 1)=0 )=0

Ex. 5.5

Fixons z dans C et appliquons la formule du binôme:

( ) n n le +.co

Z le z

1+ Tl = I: Cn nie = I: uk(n)k=O 1e=0

en introduisant la série de fonctions L Un de ;iF (N'" , C), telle que:

k zle n(n - 1)· .. (n - k + 1) zkuk(n) = Cn k = le . -kl si k "'"n , ule(n) = 0 si n < kn n .

La convergence normale sur N'" de cette série L ule résulte de :

!IUkllco = sup (1-~) ... (1- k-l) IzllenE [Ie.+co [ n. n k!

Le théorème de limite terme à terme peut donc s'appliquer:

et Iz[1eLk'! est convergente.

C'est-à -dire

+OC' +':::0

n~~co I: uk(n) = I: n~%o ule(n)k=O k=O

( ) n += le

lim 1+':' ="""~=é.n-;.+= n L k!k=O


Il convient d'abord de munir l'espace vectoriel J&Lp (IK) d'une norme.

Le choix est arbitraire car Mp (IK) est de dimension finie, prenons une norme d'algèbre qui vérifie:

IIABII "" IIAIIIIBII etdonc IIAnl1 "" IIAlln pourtoutnEN

Nous reconnaissons dans l'énoncé la définition de l'exponentielle d'une matrice:

expA = ~ A~ (série absolument convergente Il A~ Il "" Il A 11\n. n. n.n=ü

La matrice étant fixée dans J&Lp (IK), utilisons la formule du bînome :

(A) n n Ak +:0Ip + 11 = L C~ k = L Uk(n)

k=ü n n=ü

en introduisant la série de fonctions de 2F (N' , Jtp (IK)), de terme général Uk :

k AkUk(n) = Cn k si le "" n et Uk(n) = ° si n < len

Le résultat tient à la convergence normale et à une limite terme à terme:

n(n-l)···(n- le-l) IIAkl1 IIAllkIl Uk(n)11 "" nk Tc! "" I{!donne sup Il Ukll:o = Il Uk(n)11 "" Il A;I k ,

nEN* le,

+e<) +CX:.

n~~'0 L Uk(n) = L n~~:o Uk(n)k=ü k=O

la convergence normale sur N' de la série de fonctions L U/c en résulte.

AkComme lim Uk(n) = -, ' l'application du théorème" limite terme à terme" donne:n--;.+:o le.

(A) n +x Akdonc lim Ip + - = '" 1 = exp An~+x n L le.

k=ü

Ex. 5. 7

La suite (an)f\J est convergente donc bornée. Il sera utile de noter Mn = sup lail et d'observeri~n

que la suite réelle (Mnh, est positive, décroissante et qu'elle converge vers O.

1 ) L'existence de J tient à l'absolue convergence de

(puis critère de comparaison des séries positives)

+x xn

eX = L n!n=O ~

car la~tlIxnl

"" M0---n:!

2) Comme+:X::' anxn _

e-xJ(x) = '" __ ,_e-x, introduisons la série de fonctions:L n,n=O

Un [O.+x[~C. an n -xX f--> --,- X en.

Nous avons déjà la convergence simple et la somme, établissons la convergence uniforme sur

[0,+::>0[,+x k

'" akx .le reste d'ordre n est Rn: [0, +x[-:c, x f--> L __ ,_e-xlek=n

.. ,+x laki k -x +:0 xke-xet une majoration 1 Rn(X)1 "" L -,-x e ' "" ;'VInL --,-""Mnle le.

k=n k=n

Ainsi Il Rn Ilx = sup IRn(x)! "" Mn donc hm Rn Ilx = O.XE[O.+X[ n--;.+x


Appliquons le théorème" limite terme à terme" :

La suite (Rn)', converge uniformément sur [0, +x[ vers 0, donc la série de fonctions :L Un

converge uniformément sur [0, +x[.

hm [~un(x)] = ~ [ hm Un(x)]x~+x L- L-.x~+oo

n~O n~O

c'est-à-dire lime-"'1(x) = 0 donc f(x) = o(e-") quand x - +xx----,-+x

EX.5.8

1) Montrons par récurrence le couple de relations: (Hn) [An[ = (-l)nAn et [Ani ~ an

Comme Ao = an, la relation (Ho) est acquise.

Supposons (Hn) aGquise pour tout entier n et partons de l'égalité

An+l = An + (-1)n+lan+1 donc (_l)n+lAn+l = an+l - (-l)nAn

et d'après (Hn), (_l)n+lAn+l = an+l -IAni ~ an -IAnl ~ 0

C'est [An+li = (_l)n+lAn+l et aussi IAn+ll ~ an+l donc (Hn+l).

2) Etudions pour x fixé dans lKÎ~la fonction: 9x: [0, +x[--+Rt

t>---'> --2't2 + x

Nous avons

d'où les variations

t 0 X +00

9x(t) 0

1'"/ 2x

0

1Cela donne ~~~ 1 9x(t) [ = 2x'

Etudions à présent la suiten

n>---'> 1 Un(X)[ = -2 --2 = 9x(n).n +x

1 1Nous avons Iun(:d[ ~ [Un(O)i = n donc Il Un[[x = n'ce qui indique la non convergence normale sur IRde la série :L Un.

Cependant la suite (~) est décroissante, donc par application du théorème desn +x n~xséries alternées, la série de fonctions :L Un converge simplement sur IR.

+:-0 nIntroduisons le reste d'ordre N: RN: lKÎ--+R x >---'> ~(-1)n-2--2

n~N n +xPour la convergence uniforme sur IR; de la suite (RN)NEI\J* vers 0, cherchons à établir:

1sup IRN(x)1 ~ -XEu;l N

Pour cela, distinguons deux cas suivant la place de x par rapport à N.

• Si Ixl ~ N, la suite (lun(x)l) . étant décroissante, le théorème des séries alternées fournitn"",N

11RN(X) 1 ~ IUN(x)1~ Il UN'1::0= fi

• Si N < [xl, notons M = E(lxl) et décomposons RN(X) :M +'::0

RN(X) = ~(_l)n IUn(x)1+ ~ (_l)n IUn(x)1= A + Bn~N n~M+l

La suite (lun(x)l) étant croissante, le résultat du 1) fournit:N~n~M


n~M

lAI = (_I)M 2.)-I)n IUn(X)1 oS: IUM(x)1 oS: Il uMn~N

Comme B=RM+1(x),ona IBI=(-I)M+IBet:

1 1=-:::::;-

M N

1 1IRM+l(x)1 oS: IUM+1(x)1 oS: Il UM+l = M + 1 oS: N

Il est intéressant d'observer que A et B sont de signes opposés.

1Or lAI oS: N et

1 1IBI oS: N donc IRN(x)1 = lA + BI = liAI - IBII oS: N

1Ainsi IIRNII= oS: N' donc la série de fonctions L Un converge uniformément sur 1Ft

Ex. 5.9

Voici les étapes et les notations de la solution proposée:

1) Définition des fonctions :

x>--'> r+x e-t cosxtdtJog:~-~,l+x sinxt

f: ~~~, X>--'> e-t __ dt. 0 t

jn+l sinxtet Un :~~R X>--'> e-t--dt

n t2) Preuve de la convergence normale sur ~ de la série de fonctions L u~

+C()

3) Calcul de J'(x) = L u~(x)n~O

4) Calcul de f(x).

Détaillons chaque étape:

1) Soit <p: ~ x ~+~~, (x, t) >--'> e-t sinxtta

<pest continue ainsi que a:: (x, t) >--'> e- t cos .xt.

En fait, <pest de classe ex sur [R2. Pour le voir il suffit d'écrire:

<p(x, t) = xe- t e (xt) où e est la fonction de classe ex sur R définie par:

SIn Ue (0) = 1 et e (u)= -u- pour tout u"* 0

1 a<.r; 1Par ailleurs, I<p(x, t)1 oS: Ixl e-t et . a.~(x. t) oS: e-t,

donc, par comparaison de fonctions positives, les intégrales suivantes existent:

l+X sin t j'+xf(x) = e-t __ dt et g(x) = e-t cos.xtdr

. 0 t . 0

2) Le théorème de dérivation sous le signe J s'applique à Un: u~(x) = Ln+l e- t COs.:\.1:dt

j.n+l j.n+lAlors lu~(x)1 oS: e-t dt donne u~ x oS: e-t dt .. n . n

Or la série L jn+1 e-t dt est convergente (~ jn+l e-t dt = l+x e-t dr = 1) donc. n n~O n . 0

L u~ est normalement convergente.


1f/(x) = --2l+x

3) Le théorème de dérivation terme à terme s'applique :f est de classe el sur IR: et:

f(x) = ~ u~C'd = rx e-t cosxtdtn=O .la

Le calcul se fait à l'aide de l'exponentielle complexe:

.' x [ (Ai-1Jt] +X'f(x) = r~Re el,èi-1Jt dt = Re _e_.__.la XL - 1

a

j.+x sinxt4) Avecf(O) = 0 on en déduit: f(x) = Arctanx = e-t __ dl:.

a t

Ex, 5, 10

k-1

Pk = Pr + L ann=T

Par addition,

Il existe un rang r à partir duquel toutes les fonctions I - Pn, (n "'" r), sont bornées sur IR: , donc

Pn+1 - Pn = if - Pn) - if - Pn+1) est bornée, (n "'" r), sur IR:.

Les seules fonctions polynômes bornées sur IR: sont les constantes donc:

Pn+1 - Pn ~ an.E IK (n"'" r)k-1

p/c(x) = Pr(X) + Lan.n=r

Comme la suite le H> Pk(X) est convergente,+x

la série L an est convergente et f(x) = Pr(x) + L ann"3r n=T

Conclusion: la suite des degrés de Pn est stationnaire, mieux, pour tout n "'" r, Pn - Pr est un

polynôme constant, la limitei est un polynôme.

1x

0 - an 1n

gn(X) 0/""0""-1

fn(x)

0/ bn""e-n

Ex. 5, 11

1) Etudions les variations de fn :

f~(x) = ne-nA [(1- x)n-1eTl.Y - 1]

avec gn(X) = (1- x)n-1enA - 1

g~(x) = (1 - x)n-2enA(1 - nx)

De cette étude il résulte Ilfn Ilx = bn =fn(an)

où an est caractérisé par gn(an) = (1- an)n-1enan - 1= 0

En remplaçant (1 - an)n par (1 - an)e- nan dans bn, il vient:

-na (nane-naTl) 1 ( -t 1)bn = ane Tl = _ ,,; - car sup te =-

ne tE[O,l] e1 .

Ainsi Ilfn Ilx ,,; ne et la suite de fonction ifn)~ converge uniformément vers O.

2) La convergence simple de la série de fonctions Lfn est claire. In(O) = 0 et pour x E]O, 1], il

s'agit de deux séries géométriques de raison e-x et (1 - x).

Donnons un équivalent de S(x) quand x tend vers 0 :

+x 1La somme S = LIn est définie par SeO) = 0 et pour XE [0, 1] : S(x) = -- _1-e

n=O

e-x-1+x 1

S(x) = ( -x) ~ '21-e x

1x

S n'est pas continue en O. Le théorème" continuité et limite uniforme" étant mis en défaut, la

série Lfn ne converge pas uniformément sur [0, 1].


1) Ecrivons N(f) = lf(O)1 + Ncx:,(f/) où Nx(g) = sup Ig(t)1tEIO,I]

Il est alors facile de vérifier que N est une norme sur E.

Remarque

Onadeplus,pourtoutfEE, \:fxE[O,I] f(x)=f(O)+ r/(t)dtJo

d'où lf(x) 1 ~ lf(O)1 + Nx (fI) et Nx (f) ~ N(f).

2) Soit (fn)i'\j une suite de Cauchy de CE,N) : On = sup N (Jn+p - fn) existe etpE:\\

lim on= O.n---:-+,x

Posons Eo = C([O, 1], IK).

La remarque du 1) donne Nx(fn+p - fn) ~ N(fn+p - fn) ~on

donc la suite (fn)~; vérifie le critère de Cauchy uniforme. De ce fait, elle est convergente dans

(Eo, N'X) ) ; notons f sa limite.

De même, on a Nx (f~+p - f~) ~On donc la suite (f~h converge dans (Eo, N'X»).

Le théorème" dérivation et limite uniforme" s'applique: f est de classe CI sur [0, 1], f étant

la limite uniforme de (f~)~J'

Ainsi on a lim lfCO) - fn(O)1 = ° et lim Nx (fI - f~) = 0n---:-+x n~+x

donc lim N(f - fn) = ° ce qui prouve que la suite (fn)\, converge dans (E. N) ;n-++C0

(E, N) est donc complet.

Remarque: Comparons les normes N et N'X. On a déjà vu que

Cependant, l'exemple de la suite (xnh, prouve que l'application

majorée. Les deux normes ne sont pas équivalentes.

Ex. 5. 13

N'X (f) ~ N(f).

Mf) ,f >--?> N'X (f) n est pas

_1 ]

1 11) Soit Un :]O,+x[~IR, x>--?>n+x ua = x'

La suite n>--?>un(x) décroît vers 0, le théorème des séries alternées donne la définition def et

la convergence uniforme sur ]0, +x[ par majoration du reste d'ordre N :

+'X (_I)n 1 1RN(X) = L -- IRx(x)i ~ -.,--, ~ 0 hm Rx 'X = °n+x II, +x 1\ '\-+'X

n=N

La convergence uniforme d'une série de fonctions continues donne la continuité de la somme.

2) a) L'équivalent quand x tend vers ° est le premier terme:

1lf(x) - ua(x)i = IRI (x)' ~ 1 , f(x) -

o x

b) Quand x tend vers +x, la méthode" équivalent à la moitié du premier terme" s'applique.

En pratique, il convient de la décrire soigneusement.

1 +x (_I)n 1 +x n [ 1f(x) = x + L -n-+-x-'+-1 = 2x + L(-I) -n-+-x-n=O n=O

1 +x I_l)nf(x) = 2x + L

n=O

1Pour tout réel x> 0, la suite n>--?>vn(x) = (n + x)(n + x + 1) décroît vers 0, le théorèmedes séries alternées s'applique:


3)

1 1 1o ~ j(x) - 2x ~ -x-(x-+-1-)d'où f(x) +~, 2x

Exploitons l'identité 1 ~ t = 1 - t + t2 + ' , , + (_l)N -1tN-1 + (_l)N tN

t",-1 N-1 ,.tN+x-1l+t = L(~lftn+x+1+(-1)N1+""t pourx>O et tE [0,1]

n=O

j'l tX-1 N-1 j'l . 11 tN+x+1-dt= L(-l)n tn+x-1dt+(_1)N --dto 1+ t n=O 0 ,0 1+ t

Il'1tX-1 d 1~(-1)nI11rllJ+x+1d 11 N+x+1d 1-- t- L-- = --- t"'" t t""'

,0 1+ t n=On + x ,0 1+ t ,oN

j'l e:-1 +:0 (_l)nD'où: - dt = L --o l+t n+xn=O

14) Sous forme intégrale, la relation J(x + 1) + J(x) = - est évidente, ainsi que la continuitéx

deJ sur ]0, +:x:[ (intégrale dépendant d'un paramètre),

Ainsi lim fJ(x) - ~] =J(1) = en2 et J(x) ~ ~,X--;-O L x 0 xSous sa forme intégraleJ apparaît comme décroissante, donc:

12J(x + 1) "'"J(x + 1) +J(x) = - "'" 2J(x) ,x

12x ""'J(x) "'" 1

1et J(x) +:::0 2x

Ex, 5, 14

1) Considérons pour x donné dans [0, 1] la fonction:

n n

cp: IR~IR. t f-+ L C~ ektxle(1_ x)n-Ie = [éx + (1 - x)]1e=0

n

intéressante pour ses dérivées en 0: cp(p) (0) = L C~ kPxle(1 - x)n-Ie1e=0

1 (0) Il (0)Ainsi Bn(l) =cp (0), Bn(X) = -cp-- et Bn(X2) = ~n nLes dérivées de cp en 0 s'obtiennent par développement limité:

[ 1 ] n . t2cp (t) = 1+ xt + 2xt2 + o(t2) = 1+ nxt + (nx + n(n - 1)x2)2 + o(t2)

ce qui donne directement les trois résultats:

Bn(l) = 1 , Bn(X) = x Bn(X2) = ~ + x(l - x)

(k )2 k2 k2) Le développement - - x = 2 - 2 - x + x2 donne:n n n

n ( )2

le k le n-Ie 2 2

L Cn -;:;- X x (1 - x) = Bn(X ) - 2xBn(X) + x Bn(l)1e=0

( ) x(l - x)gn X = n

3) Pour établir la convergence uniforme de (Bn(f)) N versJ, formons la différence:


(f ~ ek r ( k) ] k n- kl(x) ~ Bn )(x) = 8 n ~(x) - 1 ~ x (1 - x)

Fixons ë> 0, a> °et pour XE [0, 1], considérons la partition de [0, n] formée de :

ln = { kl 1 ~ - xl <a} , Jn = { kl 1 ~ - xl ~a}Faisons intervenir l'uniforme continuité de1sur [0, 1] : pour tout h> 0, il existe:

o (h) = sup{lf(u) - l(v)1 I(u, v) E [0,1]2, lu- vi < h} et on a lim 0 (h) = °h~O

Ainsi Un = L e~l ,(x) - 1(~)1 xk(l - x)n- k ~o (a) L e~xk(l - x)n- k ~o (a)~~ ~ ~~

Pour majorer Vn = L e~l ,(x) - 1(~)1 xk(l - x)n-klCEJn ~

n ( )2

k k x(l - x) 1exploitons gn(X) = L en ~ - x xk(1 - x)n-k = n ~ 4n

k=O

1~ ~2 (~-xr

~(X) - 1 ( ~ ) 1 ~ 2111

I~-xl ~a soit

= sup lf(t)1 en écrivant[0,1]

L e~xk(1 - x)n- kkEJn

Ainsi Vn ~ 2111

Nous utiliserons aussi 111

en observant que, pour k E Jn,

Vn ~ 211111x '""" ek (~ _ x) 2 xk(l_ x)n-kci L n nkEJn

0< 211111x () 0< IllllxVn ~ ------:r- gn X ~ --2a 2na

Rassemblons ces deux majorations: lf(x) - Bn(f)(x)1 ~ Un + Vn ~o (a) + 111 Il ~2na

" est possible de choisir a tel que 0 (a) ~; puis Tl;; EN tel que 'if n ~ Tl;; : 111Il ~ ~;2na

pour conclure à: 'ifë> 0,:3 Tl;; E N, 'if n ~ Tl;; , 111-Bn(f) Ilx = sup lf(x) - Bn(f)(x)1 ~ëXE[O,I]

Ce qui traduit l'uniforme convergence sur [0,1] de la suite de p~lynômes (Bn(f») vers lafonctionf.

Chapitre 5 : SÙites et séries de fonctions

Exercices proposés

Ex. 5. 1

205

Soit

x+nfn : [0, +cx:[ -,-IR;, X >--+ AI-ctan 1 + nx

Montrer que la suite de fonctions (fn)~~ converge

uniformément sur [O~+cx:[.

__ Ex. 5.2

sin nxSoitfn : IR;-,-R x >--+ --.-

nSU1-X.

(prolongée par continuité en 0).

Etablir la convergence simple de la suite de

fonctions (fn),,"* sur IR;,

La convergence est-elle uniforme sur IR; ?

Trouver sup Lf(x)l.XE ?l,nE :»~*

Ex. 5.3

( 2)-nSoitfn : IR;-,-R x >--+ 1 + xn

Monter que la suite (fn),,* converge uniformément sur IR;.

EX.5.4

1

Soitfn : IR;-,-IR;,fn(X) = ( 1 )ntn 1- nx

si x Ë [0, ~ ] ,fn(X) = ° si x E [0, ~ J.

Montrer que la suite (fn)N* converge uniformément sur IR;.

EX.5.5

Soit Pn : [-1, 1] ~IR;,x >--+

et Q(x) = fox Pn(u) du.

Montrer que la suite de polynômes (Qn)N con

verge uniformément sur [-1, 1] vers Ixl.

Soit Pn : [0, 1] -,-IR; la suite de polynômes don

née par récurrence:

Po = 0, Pn+1(X) = Pn(x) + ~ (x - P~(x)) .

Etablir les inégalités

2y'X° ""y'X - Pn(x) "" ---.2+ ny'X

En déduire la convergence uniforme de la suite

(Pn)N sur [0, 1].

Ex.5.?

Soit u : ~P-,-IR;, (p, q) >--+ u(p, q) une suite

double qui converge uniformément par rapport

à q E rJ avec lim u(p, q) = aq et simplementp-;-+cv

par rapport à p E rJ avec lim u(p, q) = bp.q---;.-+,:x;.

Montrer que les suites (aq)qE N et (bp)pE N convergent et ont même limite.

Ex. 5.8

Soitfn : [a, b] -,-IR; continue telle que la suite de

fonctions (fn\,," converge simplement sur [a, b]

vers f continue.

La suite (fn) étant croissante (fn "" fn+1), mon

trer qu'elle converge uniformément sur [a, b].

Ex. 5.9

Soitfn : [-1, 1] -,-IR; telle que

° < Ixl "" 1 =} lf(x) 1 < Ixi-

On définit une suite de fonctions (fn)N par

fo(x) = x etfn+1(X) =f(in(x)).

Montrer qu'elle converge uniformément sur

[-1, 1]vers la fonction nulle.

Ex. 5. 10

Montrer que:

+cç 1 1lim L -1 - - - ='( (constante d'Euler).x~o n=l n +x X

Ex. 5. 11

10+.00 it 1Calculerf(x)= - e-xt-=--=-dto t

définie pour x> O.

3)

206

Trouver un équivalent quand x tend vers 0 de

chacune des fonctions suivantes :

+00 11) x~L-

n=O1+ n-x+00

2) x~ Le-xvnn=O

+00 ( 1)n-13) x~L--=-

n=l 11.

Ex. 5. 13



+oc

"\'""" n21) x~ LXn=O+cc

2) x ~ L xn .en 11.

n=ln

+00 nx3) x~ L 1_xnn=l

Ex. 5.14



+cc xn

1) x~ L 1+x2nn=l+00

"\'""" n 1 x2) x ~ L(-l) - Arctan-;:;:n=l

+00 X

3) x~ L2-2x +11.n=l

+00 1 x4) x~ L -;:;:th-;:;:

n=l

Ex. 5. 15

+00 1 .en x

Montrer que L x + en x-+:co ~.n=l


Ex. 5. 16

H'" e-nx"Soitf:IR-+Rx~ L-2-'

n=O11.+ 1Montrer que f est de classe el sur IR.

Ex. 5. 17

Etablir pour tout tE] - 1, l[ les égalités suivantes:

+00 tn +00 (_1)n-1tn

1) L 1+ tn = Ln=l n=l

+co ntn +co tn2) L-n=L

n=l 1- t n=l

Ex. 5. 18

Etablir les égalités suivantes:

1) r00 tnthxdx = _ ~ __ 1)0 n=O(211.+ 1)

2) r00 ~:ntxdx= ~ ~) 0 e - 1 n=l t + 11.

1+00cos tx ~ (-1)n(2n + 1)--dx=2L --o chx t2 + (211.+ 1)2n=O

Ex. 5. 19

Soit (an)~ une suite réelle croissante non ma

jorée ; établir l'égalité:

.Ion (~(_l)ne-a:nx) dx = ~ (_:~n.n=O n=O

Ex. 5.20

+00 sin2 xSoitf: 1R-IR,x ~ L-2- .1(0)=0.

--n=1/n x1) Montrer que, pour tout x> 0 et 11. E .~x:

1o ~fn(x) ~ 11.)(+TlX

2) Montrer que f est bornée, continue sur

J!.x, non continue 'en O.

Ex. 5. 21

+00 -nlx2+Y'1

Soitf:R2~R.(x,y)~ 2: xe 2n=l 11.

Montrer que f est de classe el sur

ChapHre VI

Intégrale

compléments

1- Intégration des fonctions continuespar morceaux

En Analyse l, Chapitres VII et IX, nous avons étudié l'intégration des fonctions réelles oucomplexes continues sur un intervalle compact [a. bJ de R.

On se propose icid'étendre cette notion d'intégrale aux fonctions continues par morceauxà valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie.

A. Fonctions continues par morceauxE est un espace vectoriel normé.

Définitions:

d.1 Soit la. b], a < b, un intervalle compact de RUne fonction f : la, bJ ~ E est dite continue par morceaux s'il existe unesubdivision (c)O"0~n de la, bJ telle que, pour tout) E [1, n], la restriction def à ]ej-l, Cj[ soit continue et admette une limite à droite en Cj-l et une limiteà gauche en Cj.

Une telle subdivision est dite adaptée àf. elle contient les points de discontinuité de f(ilYen a un nombre fini).

L'ensemble des fonctions de la, bJ dans E continues par morceaux est un sous-espacevectoriel de ':J (la. bJ. E) ; on le note c{ll (la. bJ. E).

Sif EJt ([a.bJ.E).f est bornée et la fonction Ilfll : x f--O> Ilf(x)Il appartient àJL (la, bJ. IRD.

d,2 Soit l un intervalle de 1Rl.

Une fonctionf : l ~ E est dite continue par morceaux lorsque la restriction

Ji[a.b] à tout intervalle compact [a, bJ inclus dans l est continue par morceaux(sur [a, b]).

d.3 Une fonction f : [a. b] ~ E est dite en escalier s'il existe une subdivision

(cj)O"0~n de la. b] telle que, pour tout) E [1. n], la restriction def à ]ej-l, Cjlsoit constante.

Uensemble des applications en escalier de [a. b] dans E est un sous-espacevectoriel de J{ (la, bJ. E) ; on le note ~ (la, bJ. E).


p.11

.Ail ([a, b], E) est un sous-espace vectoriel de ''ZJ!,([a, b], E) espace des fonctionsbornées de [a, b] dans E.

L'espace 'ZJ!,([a, b], E) normé par la norme de la convergence uniforme Il .

'lAoo ([a, b], E).

est noté

p.2 Si E est de dimension finie, n ~ 1, soit (eih~i~n une base de E etJ un élément

de ':Ji ([a, b], E) de composantesJl,"',fn sur (eih~i~n'

Alors J est continue par morceaux si et seulement si chacune des fonctions

fi est continue par morceaux.

D

~ En effet,J est continue (resp. admet une limite) en x si et seulement si chaque fi est

continue (resp. admet une limite)en x.

Pl3

Toute fonctionJ ; [a, b] - E continue sur [a, b] est limite uniforme d'une suite

de fonctions en escalier sur [a, b], c'est-à-dire que dans l'espace 'ZJ!,x ([a, b], E) :

C([a, b], E) c '(€ ([a. b], E)

~ J est uniformément continue sur [a, b], donc, à tout n EN on peut associer ŒnEIR:

A Œn> 0, on associe pEN' tel que

tel que \j (x, y) E [a, b]2,1

lx - yi ~Œn =? lf(x) - J(y)1 ~ n + 1

b- a ( )~- ~Œn et Cfn= CjjE[O.p]'p

DAinsi J = lim Çn dans & '" ([a, b], E).n-+x

b-aCj = a+j~-, subdivision régulière de [a, b], puis on définit la fonction CPE'(€([a, b], E)P

par \j jE [0, P - 1], \j XE [Cj, Cj+l[, <pn(x) =J(cj) , <pn(b) =J(b)

. 1Par construction, on a \j x E [a, b], IIJ(x)- 'Pn (x) Il ~ n + 1

donc IIJ- ([;n Il,,, ~ _1_., ' . n+ 1

Pl4

~

Toute fonction J ; [a, b] - E continue par morceaux sur [a. b] est limiteuniforme d'une suite de fonctions en escalier sur [a. b].

C'est-à-dire que dans l'espace 13", ([a. b]. E): jl ([a. b], E) c '(€([a, b], E)

SoitJ EAil ([a. b], E) et (Cj)jE [O,n] une subdivision adaptée;

pourtoutj E [0, n-1], la restriction deJ à]ej' Cj+l[ est prolongeable en une application

continue fj: [Cj' Cj+l] - E.

D'après la propriété 3, à tout n E on peut associer une fonction 'Fj.n: [Cj' Cj+l] - E

telle que \j X E [ej' Cj+Ù Ilfj(x)- 'Fj.n (x)1~-

n+1

J- ÇnCette fonction 'Pn réalise 'PnE'(€([a. bJ) et

Alors, soit 'Pn: [a, b] -+ E définie par:

\j jE [0, n], 'Pn (c) =J(c), \j jE [0, n - 1], \j t E]ej. Cj+l[. 'Pn (t) ='Fj.n (t)1

'" ~ n+ l'Ainsi,on a lim 'Fn= J dans &", ([a. b]. El.n-+x D

---------------------------------Chapitre 6: Intégrale compléments

B. Intégrale d'une fonction scalairecontinue par morceaux

209

Soit [a. b] un intervalle compact de R et f : [a. b] -71K continue par morèeawcD-=

(Cj~E [O.n] étant une subdivision de [a, b] adaptée à f, pour tout) E [0, n - 1],soit Ji le prolongement par continuité sur [Cj. Cj+1] de la restriction de f à ]ej' Cj+1[ et

I(a-.f) = 't1jC'"'Jij=o . s'

• On vérifie que Ii,a.fi est indépendant du choix de la subdivision adaptée a .

• Sif est continue sur [a. b], une subdivision de [a, b] adaptée àf est a= (a, b),,·b

et on a I(a.J) = j f.·a

On peut donc poser la définition suivante:

Définition:

dA On appelle intégrale def s1.lr{d,et on note ibf, le scalaire

n

8j= LPijei,i=l

Cas particulier

Sif E 1" ([a, b], 1<), chaque Ji est constante, égale à '0, on obtient alors:.b n-1

j f = L Aj (cj+1 - c)a j=O

C. Intégrale d'une fonction vectoriellecontinue par morceaux

Soit E un Kespace vectoriel normé de dimension finie (dîmE = n ~ 1), [a, b] unintervalle compact de IR etf E cil ([a, b], E).

Etant donné deux bases (eil1o<Sio<Sn et (8iho<Sio<Sn de E, soit Cfi.ho<Sio<Sn (resp. ('Pi)lo<Sio<Sn)

la famille des fonctions coordonnées def sur la base (eiho<Sio<Sn (resp. (8il1o<Sio<Sn)'

Alors, pour tout i E [1, n ],Ji E cil ([a, b], IK) (resp. 'PiE c(il ([a, b], IK) et on a :

n ( 'b) n ( b )L j Ji ei = L j 'Pi 8ii=l . a i=l a

En effet, P = [Pij] étant la matrice de passage de (eil1o<Sio<Sn à (8il1o<Sio<Sn,n

on a, pour tout i E [ 1,n], Ji = L Pij 'Pj et, pour toutj E [1, n],j=l

j.b n j.bdonc Ji = L Pij 'Pj (par linéarité de l'intégrale d'une fonction réelle ou com-. a j=l' a

plexe)

puis t (jb Ji) eii=l . a

~ (LbJi) ei

~ (ibJi) ei

210

d.5


Pour j EJIil ([a, b], E) de composantesjl,' ··,fn sur une base (e;)l~i~n de E,

jb n (j'b)on appelle Întégrale de j sur [a. b] et on note j, le vecteur L fi q

. a ~l a

Conséquences

1) (1. ilest une base de :c considérée comme IR espace vectoriel.

{b (b.bLa définitionprécédente nous redonne .J a j = .J a (Rej) + i.la (Imj)2) Soit j une fonction en escalier sur [a, bJ : j E~ ([a, bJ. E) et (j"= (Cj)jE [O,n] une

subdivision de [a, bJ adaptée àf. Sur chaque intervalle ]0' Cj+lU E [0, n - 1], j estb n-l

constante, égale à Àj,ÀjE E. Alors 1j = L (Cj+l - cjl Àj.. a j=O

D. Propriétés

~ Conséquences de la définition ii

Nous regroupons ci-après les propriétés qui, pour la plupart, se déduisent des propriétés analogues vues dans le cadre de l'intégration des fonctions continues par simpleapplication de la définition5. Elles sont alors données sans démonstration.

j.bp.5 L'application j :JIil ([a, bJ. E) -+ E,f f--'> a j est linéaire.1

p.61

Pour toutj EJL ([a,bJ. E), r j = _ jb f.Jb . a

Remarque

jaCas où a = b: a f = 0,

p.7 Relation de Chasles1

l étant un intervalle de ;:; etf E il (I. El, pour tout (a. b. C)E 13 :

('Cf= (bf+ Cocfa . a ./b

PI8

PI9

p.10

Si a< b, si E =IR et sif EJI ([a, bJ.;:;) est positive sur [a. bJ,b

alors l f ~O.

Si a < b, si E =IR et sif et g sont éléments de ..11ira. bJ. :=:) vérifiant j ~g,b b

alors !f ~ { g .. a .J a

jbSi a cF b, si E =)i;, sij est continue et positive sur [a. bJ et si f = 0,·a

alorsj est la fonction nulle sur [a, bJ.

Chapitre 6: Intégrale compléments 211

Remarque

Cette propriété - déjà énoncée en Analyse 1- ne s'étend 'pas aux fonctions continues

par morceaux. Penser à l'exemple d'une fonction en escalier:

fia) = 1. flb) = 1 , f(x) = 0 pour x EO]a, b[

(bf est nulle alors quef est positive non nulle.

'. a

p.11 SiE=RetsifEOJll[a.bl. alors libfl~libLfII.

Si a < b, cette inégalité devient lib fi ~ ib Lfl·

p.12 Inégalité de Schwarz

1 b 12 b bSoitf et 9 dans Jill ([a, bl.lK) avec K =IR ou iC. i f9 ~ i lfl2 i 1912

b

~ i / Si IK=IR,la démonstration, vue en Analyse l, qui repose sur le fait que ÀI-O> i (À 9 + 9)2est, pour a < b, une fonction polynôme qui ne prend que des valeurs positives, restevalable.

ii / Si :<=C, il suffit d'observer que

et que les fonctions lfj et 191 étant réelles, on a

P.13 Inégalité de Minkowski1

Soitf et 9 dans Jl ([a, b], IK), G<=IRou C, avec a ~ b.

~ i / Si IK=IR, la démonstration vue en Analyse 1reste valable.

ii / Si IK=C, il suffit de noter que llb lf + 9j2 ~ llb (lfl + j91) 2

j'b ~'b ~~bet que, d'après le cas où IK=IR da (lfl + 191)2 ~ V J a lfl2 + V Ja 1912

p.14 Inégalité de la moyenne1

Soitf et p dans Jt ([a, bl.lR) avec a < b et p positive.

Alors, en posant m = inf f(x) et M = sup f(x),XE[a,b] xE[a.b]

jb jb jbon a m p ~ pf ~ M P

·a·Q a

D

D


p.15

((iF

Soit p dans M ([a, b], IR) positive etJ dans CrEa, b], IR).

rb rbAlors, il existe e E [a, b] tel que .J a pJ =J(e) .J a p

Pour les propriétés 14 et 15, les démonstrations vues en Analyse 1 restent valables. 0

Remarque

La formule de la moyenne est vraie avec l'hypothèse: p de signe constant sur [a, b].

12. Propriétés complémentaires 1

p.16

1

((iF

SoitJ E Jl ([a, b], IR) et (fp)~j une suite de fonctions de Jl ([a, b], IR) convergeant

Ib jbuniformément vers J sur [a, b]. Alors J = lim '. Jp. a p-+x a

Il suffit de noter que:

libJ - .Iob Jpl = libJ - Jpl ~ 1.lob lf - Jp,f ~ Ib - alllJ - Jp Ilx o

o

p.17 SoitJ E •.H ([a, b], E) et (fphc une suite de fonctions de jL ([a, b], E) convergeant

1 jb jbuniformément versJ sur [a, b]. Alors J = lim Jp.a p_+xo a

((iF

Introduisons les parties réelles et imaginaires deJ etJp, (p E 1\1) :

J = U + iv , Jp = up + ivp , u, v, up, vp sont éléments de jl ([a, b], IR)

Alors (up)f\j, (resp. (vp)f\j), converge uniformément vers u, (resp. v).

La propriété précédente donne:

Ib Ib Jb jb jb IbU = lim, up et v = lim, vp d'où J = lim, Jp .

. a p-+x.a a p--x.a .a n-+x.a

2éme cas: E est un K-espace vectoriel normé de dimension finie

(ej)l'0~n étant une base fixée de E, on introduit les fonctions coordonnées de J etJp,n n

(p E 1\1), sur cette base: J = LI ej Jp = LJiejj=l j=l

les]l etA sont des éléments de .Il ([a. b]. :<),

Alors, pour tout) E [1, n], (J~)p",' converge uniformément vers Jj sur [a, b].La propriété précédente 16 si C{=:::i. ou le 1 el' cas si :<=:::: donnent:

jb rb ··b j.b\j) E [1, n], . a 1 = p~T--...:.Ja Ji d'où .Ja J = p~r;?c:. a fp.

Remarque

Les propriétés 16 et 17 s'appliquent en particulier pour toute suite (yp J. de fonctions

en escalier sur [a, b] convergeant uniformément versJ sur [a. b].


Soit cil ([a, bl. E) avec a < b.

La nonne sur E étant notée 1\ .

p.18

il : [a. bJ -,,;L x f-+

, on définit la fonction IIJ Il E Al ([a, bl.~) par

1: j.b JbAlors i ~ IIJ II·

i· a . a

La propriété se vérifie facilement pour une fonction en escalier.

i / SiJ E'€ ([a. bl. E), cr= (cjIO'0~p étant une subdivision adaptée àJ, on a:

.b p-l .b p-l

J J = L(Cj+l - ej) ÎI.j et J = L(Cj+l - ÎI.j Il. a j=O a j=O

où À,j est la valeur constante prise parJ sur Jej. Cj+1[

Par inégalité triangulaire, on obtient:

c'est-à-dire

ii / Dans le cas général,] est limite uniforme d'une suite ('Pk)f\I de fonctions en escalier sur

[a, b], et l'inégalité:

\;/ x E [a, bl. IIIJ(X) Il -II 'Pk (x) III ~ IIJ(x)- 'Pk (x) Il ~ IIJ- 'Pk

montre que IIJ Il est limite uniforme de (II 'Pk Il)· .

Jb Jblim _ 'Pk= J etk~+x a . a

La propriété annoncée résulte alors de \;/ Je E N, Il.lb 'Pk Il ~ fab Il

k~~-ç .lb Il 'Pk Il = .lb IIJ Il

'Pk Il

o

lim jbJ(X)Sinnxdx=On--:,.+co a

Remarque

Dans le cas ou E =C, en introduisant les parties réelles et imaginaires u et v de

( b ) 2 ('b) 2 (b ) 2JE JL ([a, b]. C), on obtient fa u + fa v ~ fa J u2 + if

SoitJ E Al ([a, bl. E).

AlorsJ est bornée sur [a. bJ et

C'est un corollaire des propriétés 18 et 11.


/exemple 1

de Leo&sgue

a et b réels, a< b, etJ: [a. bJ f-+Clontinue par morceaux.

j.blim _ J(x)eÎ11.X dx = 0n----,.+x. a

b

En déduire que n~~-ç fa J(x) cos nx dx = 0,


• 1) Principe

jC)+1 inxhm _ '0 e dx = ° donc

n---,..+x. eJ

b) Dans le cas général, soit (<Pkh

versj: lim Ilj- <Pk Il,, = 0,k-++co

a) On vérifie la propriété pour j fonction en escalier,

b) dans le cas général, on introduit une suite de fonctions en escalier convergeant unifor

mément vers j, la propriété s'obtient alors par passage à la limite.

Application

a) Envisageons d'abord le cas où j est contante sur [a, bJ: \/ x E [a, bJ,J(x) =À,

jb, À( 'b ')Alors a j(x)elnX dx = in eln - elna

Ij'b . 1 21ÀI jb.donc j(x)e[/1)( dx ~ -- et lim ~ j(x)e[/1)( dx = °. a n n---,-+,x. a

Si j est en escalier sur [a, b], il existe Œ= (cj)O'0~p subdivision de [a, bJ telle que j soit

constante (égale à '0) sur chaque intervalle ]ej, Cj+l[,) E [O,p - 1].

Alors fb j(x)ein)( dx = ~ ()+1 '0 ei/1)( dx:,.J a j=O .J c)

Or d'après l'étude précédente, pour tout) E [0, P - 1],

j'binx

hm ~ j(x)e dx = °rL--,.+X. a

une suite de ~ ([a, b], e) convergeant uniformément

8

Pour tout 8> 0, il existe kEN tel que Ilj - <Pk Il::0 ~ 2(b _ a)'

jb fb j.bDonc en écrivant j(x)einx dx = (j(x)- <Pk (x)) ei/1)( dx+ <Pk (x)einx d..\éa . a a

il vient, pour tout nE N, ILbj(x)einx dxl ~ ; + .!ab <Pk (x)ei/1)( dx

!'bk étant ainsi fixé, on a n~Tx. a <Pk (x)ei/1)( dx = °

donc, il existe no E'\: tel que, pour tout n ~ no, I/ab <Pk (x)einx dxl ~ ;,

1 ·,bFinalement \/8> O. :3 no E,cJ, n ~ no =? .1 jex)einë dx ~ 8i- a

C'est la conclusion,

2) On démontre de même quej'bh~~ jex)e-inë dx = °

n---,-+~'_. aÎIlx - frLy:e - e

sin nx = ---~-.et

ÏTL\: - in\':e + e---.-cos nx =et la conclusion résulte de 2

Remarquer que sij est réelle, le 1) suffit pour conclure.

Chapitre 6: Intégrale compléments

3, Sommes, de Riemann

Etant donné1E .11 ([a. bJ. E l, a < b, soit CJ=(Xk)O<s;k<s;nune subdivision de [a, bJ.

Pour tout le E [O. n - 1], on choisit ck E [XIe. XIe+lJ.

Définition:

215

n-l

d,G La somme L {-'hl - XJeif(ck 1 est appelée somme de Riemann relativek=O

à CJet à Ick)O<S;k<s;n-l'

Théorème:

Le réelt.1 sup ,-'hl - XIeI, est appelé le pas de la subdivision CJ,O<s;k<S;n-l

Alors, pour tout ê> 0, il existe 1]> ° tel que, quelle que soit la subdivision CJet

quelle que soit la famille (CJc)O<s;k<s;nassociée à cette subdivision, on ait:

ICJI~ 1] =? Ilib1- };(Xk+l - xkl[(cJc)11 < ê

(bOn interprète ce résultat en disant que .J a 1est la limite, quand ICJItend vers 0, desn-l

sommes de R'iemann LC\:k+l - XJe)j(Ck),k=O

~ Démontrons ce résultat dans le cas oùl est continue sur [a, bJ.

n-l {b n-l (x/.,]Posons R(CJ) =L (Xk+l - xk)fick), on a alors j( 1- R(CJ) =L j,' ,- (f(x)-llck))dxk=O . a k=O' Xk

Par uniforme continuité de1sur [a, bJ. à ê> 0, on peut associer 1]> ° tel que, pour tout

(X,X/)E [a,b]2,!x_x/j ~1] =?- Ill(x)-fex)11 ~ b~a'

Alors si ICJI~1], pour tout le E [0, n - 1]et tout XE [Xk, Xk+Ü on a lx - ckl ~1]

êdonc Ill(x) - llck) Il ~ b _ a

On en déduit Il:k+1 (fix) - l(ck)) d..\':11~

ê (xk+l - Xk)b-a

DNous admettons ce résultat lorsque1est seulement continue par morceaux,

Remarque

Cela reste valable dans le cas a > b, avec CJ=(Xn)O<s;Jc<s;n subdivision décroissante de[a,bJ.

Conséquence

Si CJest une subdivision régulière, on retrouve la situation envisagée en Analyse 1,

étendue au cas des fonctions vectorielles continues par morceaux:

b_an-l jbn~~ -n- Ll(CJcl = 1k=O a

En particulier:

b-a n-l ~ b-a) j'b b-a n ~ b-a) j'bhm -- LI a+le-- = 1, hm -- LI a+le-- = 1

n--++::c n k=O n, a n_+::c' n Jc=l n .' a

216

[!! Fonctions de la formeE est un iii-espace vectoriel normé de dimension finie.


x~.Lxf

A. Primitives d'une fonction continue sur un intervalle

t.2

((\)f

o

Soit J un intervalle de IR tel que J *0.Etant donné f ECU, E) et a un point fixé quelconque dans J, la fonction

F: J ~ E, x f-3> jXf est de classe CI sur J : F E c1U. E), F est une primitive·adef sur J, c'est l'unique primitive def sur J qui s'annule en a.

Le résultat est connu dans le cas où E = IRou E = C (Analyse 1).

Dans le cas général, il suffit de constater que, sif1' ... .]n sont les composantes def sur·x

une base (eih~i~n de E, celles de F sont FI.' " Fn avec Fi: J - E, x f-3> j fi·a

puis que chaque Fi est de classe CI avec Fi = fi.o

Conséquences

Comme dans le cas des fonctions réelles ou complexes, il en résulte que:

1) Sif E C([a, b],E) et si P est une primitive def sur [a, bJ:

j'b J.b l bf = P(b) - pra) ce que l'on note f = [F(X)!. a . a ...J a

jb .Exemple: Pour tout WE !R" {O}, . a eiwX dx = ~ (eiwa _ eiwb)·.b

2) Sif E C1([a. bJ. E), .la f = fib) - f(a).

3) Comme dans le cas des fonctions réelles, pour f E C(J. El, .1f(x) elx représente uneprimitive non précisée def sur J.

t.3 Inégalité des accroissements finis pour un couple de fonctions de classe CI

Soitf E C1([a, bJ,E) et 9 E C1([a. bJ, ';:)telles que:

v X E [a. b]. ~ dix)

Alors, si a < b, on a

((\)f Ilf(b) - f(a) Ii = Ilibf1:

- f(al ~ g(b) - glaJ.

jb~ g/ = g(b) - blal.'c a o

Remarque

Si a> b, on obtient iif(bJ - fia) ~ glaJ - gl bl

donc, dans tous les cas - fiai ~ ,glbi - geai


B. Intégration par parties

Les résultats suivants se justifient comme dans le cas des fonctions réelles.

Théorèmes:

217

t.4 Formule d'intégration par parties pour une intégrale définie

1 jb c b jbSoitf E Cl([a. bJ. EJ et 9 E Cl([a. bJ. K) . a l 9 = lf(x)9(x)L - . a fgl

t.5 Formule de Taylor avec reste intégral

n. (b _ a)k. j.b (b _ x)nSoitf E Cn+1([a. bJ. Ei. f(b) = L k! j kl(a) + ,fn+l(x) dxk=O a

Corollaire:

c.i Inégalité de Taylor-Lagrange

. n' 1 Il';-'' (b - a)kjkJ Il (b - a)n+l n+lSOIt f E C T ([a, b], E). f(b) - 6 k! (a) ~ (n + 1)! Iif 1100

t.6 Formule d'intégration par parties pour une intégrale indéfinie

1 Soit J un intervalle de ~,f E CIU. E) et 9 E Clu. iK) Il 9 = fg ~ Ifd

C. Changement de variablesComme dans le cas des fonctions réelles, on obtient:

Théorème:

t. 7 Soit cpE Cl([O', 13],iK), [A, B] =cp ([0', 13]) et f E CrEA, BJ. E).

1 (y(l?» (f3Alors I,JŒ) f(x)dx =.lŒ f( cp (t)) cpl (t)dt

D. Cas des fonctions continues par morceaux

Théorème:

t.8o

Soit J un intervalle de iK tel que J ,,=0.

Etant donnée f E J{ U.E) et a un point fixé quelconque dans J, la fonction

F : x f-7> lX f est continue sur J et admet en tout point une dérivée à droitesi x ,,= sup J et une dérivée à gauche si x ,,= inf J.

Pour tout x E J, il existe [a, b], intervalle compact voisinage de x dans J, et, pour tout

h E IRtel que x + h E [a, b], on a :

r+hF(x+h)-F(X)=.lx f donc IIF(x+h)-F(x)11 ~ Ihlllfll[;;,b]La continuité de F en x en résulte.


• Si x "* sup J, puisque f est continue par morceaux, f admet en x une limite à droite

notée f(x + 0). Alors, pour tout h tel que h> 0 et [x, x + h] c J, il existe:

Il!- f(x + O)II[x.x+hJ = sup Ilf(t) - f(x + 0) IltE [x,x+h]

et on a hm Iif - f(x + 0) 11~·x+ll] = O.11--+0

11>0

x+h

Ainsi, en écrivant F(x + h) - F(x) - hf(x + 0) = L (i(t) - f(x + 0») dt

on obtient IlF(x + h) - F(x) - hf(x + 0) Il ~ Ihl Iif - f(x + 0) 11~·,Y+hJ

et donc, quand h tend vers 0, F(x + h) - F(x) - hf(x + 0) = o(h), ce qui nous donne

l'existence de F~/x) = f(x + 0).

• On montre de même que si x"* inf J, il existe F!J(x) =f(x - 0) = limf(x - h)11-0h>O

D

·b

si et seulement si! ilf Il.~a

Conséquence

En tout point x oùf est continue, F est dérivable avec F(x) =f(x).

III - Intégrales impropres et séries

A. Intégrales impropres d'une fonctioncontinue par morceaux

E est toujours un espace vectoriel normé de dimension finie.

La notion d'intégrale impropre (ou généralisée) développée en Analyse l , dans le cadre

des fonctions réelles continues, s'étend sans modification au cas des fonctions vecto

rielles continues par morceaux.

Définitions:

d.? Soit (a, b) ER xR, a."* b, etf E .Il ([a. b[. E).

j.bOn dit que l'intégrale impropre. a f est convergente lorsque

!.bF : [a. b[ ~ E. x -ô> f admet une limite {E E quand x tend vers b. On note" a

{= jb f.·a

Noter que, pour tout x E [a. b], f est continue par morceaux sur [a. xl. ce qui assure

l'existence de j'xI.·a

d.8 Avec les mêmes hypothèses que ci-dessus, soit la fonction

lifll: [a. b[-::2.x-ô>

!.bL'intégrale f est dite absolument convergente" a

est convergente.


Théorème:

On dispose du critère de Cauchy.

D

lim Ô (x) = O.x~b

j'bEtant donné (a. b! c::;:; X ~ etl c Ill[a. bL El, l'intégrale 1est convergente·a

si et seulement si \:18> 0.:3 cc [a. b[. \:1 lx. y) c [co b[2, Il iY111 ~8

IIsuffit de remarquer que E étant complet, la fonction 1:[a. b[ ~ E, x H> .f~ë1admet une limite en b si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy, et que

j.yF(y) - FIx) = f.."x

Une formulation équivalente de ce critère est:

Pour tout x c [a. b[. il existe Ô (x) = sup IllY 111 etyElx.b[ Jx

t.g

Conséquence

j.bSi . a 1est absolument convergente alors elle est convergente.

j.bdonc si

·a

En effet, IliY ~ iY Iii

lbil vérifie le critère de Cauchy, il en est de même pour J a f. D

Théorème:

D

Pour les fonctions réelles positives, on dispose toujours du théorème fondamental:

t.1 0 Etant donné (a, b) E ~ x IR,a < b, et 1 E Jl ([a. bL iR1)avec 1 positive sur [a, b[,

l'intégrale .fab1est convergente si et seulement si F : [a, b[ ~iR1, x H> lX 1estmajorée.

~ En effet, F est toujours une fonction croissante.

Donc les critères de comparaison établis en Analyse 1 restent tous valables.

B. Intégrales deJonctions de signe constant

Théorème:

t.11 Soit a E iR1,1: [a, +x[ ~~ continue par morceaux sur [a, +x[ et positive,

(Xn)nE une suite croissante d'éléments de [a, +x[ telle que lim Xn = +00.n-++co

Alors r001est de même nature que la série de terme général Un = rn+ll.la J~.+C'(::;

~ il supposons.fa 1 convergente, alors rx 1JXi]

est convergente.

En posant J = 1+001, on a lim rI = J,Xi] x~+x JXi] n-l lXnor Un = L Uk = J x 1k=O Xi]


donc, puisque lim Xn = +ex, on en déduit lim Un = J.n~+œ' n~+oo

Ainsi :z Un est convergente avec ~ Un = J+:'0 f.n=O Xo

ii / Supposons i+xJ divergente, alors ;:00J diverge.

J étant positive, on a lim ~ rJ = +x, comme ci-dessus on en déduitx~+x, 1"D

lim Un = +ex. Ainsi, :z Un est divergente.n---;-+,:;c

Remarque

L'hypothèse (xnlf\j croissante a pour conséquence que :z Un est à termes positifs.

Dans la pratique, le résultat précédent permet de ramener l'étude de certaines intégrales

de fonctions positives à celles de séries à termes positifs.


k exet21 Nature de' ; r~ dx 2Jo 1 + chxsin x

• J: x f-è> 1 . 2 est continue et positive sur [0, +x[,1 + chxsm x

donc /+X J est de même nature que :z Un avec Un = j.(n+liô f.h =La suite (xnl choisie ici correspond aux zéros de sin x, le fait que sin2 x s'annule en chaque

point n 'TI" rend impossible une majoration efficace de J, valable sur [O. +x[, et permettant de

conclure à la convergence de rx f.Jo

On a, pour tout n E: ,~, lln+llô dxo ~ Un ~ ---n-ô---. nô e 2

1 +? sin x

On en déduit

x n'j"j"e ecar chx ~ "2 ~ 2 sur [n '" (n + 1) ,,].

/.o. du\;f n E: !~, 0 ~ Un ~ 2e-no. -no.. 2 (poser x = u + n ,,)·,0 2e + sm u

Or J'''' du fr' ~ du-nTi .2 =2 - -no. .2 (carsini,,-u!=sinu)o 2e + sm u . 0 2e + sm u

et, sur [O. ;] .

2 .o ~ -u ~ smu,

'TI"

donc/.:ry: du /"05- du

- ------ ~ - ------n -nô .. ;> 4 9·,O.4e +Sln-u.O -nô u-

2e +~ïT


d'où, finalement

soit11_ [ (' '/2 11_')] ~ ~2 11

ç - ')" U\ . ')" JI --TI

o ~ UI1~" v2e ~ Arctan ~e~ 0 ~ ne 2

n_ TI

La série L e- 2" étant convergente (série géométrique de raison e- 2), la série L UI1 (à termes

positifs) converge également et r' ,',J est convergente,Jo

C. Cas général

Théorème:

t.12 Soit a E:;:;, l == [a, +x [,J : l -, E une fonction continue par morceaux sur l,CX:I1)I1E', une suite d'éléments de l, strictement croissante telle que

liT, XI1 == +x. Lorsque li~, j.xn+1 == 0,n---,.,x n---'-+_~,xn

l'intégrale rj et la série de terme général UI1.la

nature.

11-1

~ i / Si l'intégrale converge, la série converge car L ulclc=O

lorsque n tend vers +x,j,X" J tend vers rcv J, .\'il J Xc

ii / Si la série converge,

Pour tout x E [XO, +x[, il existe nx E ,\1 unique tel que x E [Xl1x' Xl1x+1[,

et de x< xl1x+1, on déduit lim xn-+1 == +x,x--..;-+x J:

nx +x

Donc x!i~ L Ulc == L ulc c'est-à-direlc=O lc=O

D'autre part, Il.J~~!II~ L~<ur Il ~ .l::X+1 ur Il tend vers 0 lorsque x tend vers +00,

ainsi r+x J converge etl\'il

DeJX J == jX"X J + jX J il résulte alors.xo . ,\'{) . Xnx

o

Remarque

J étant réelle de signe non constant au voisinage de +00, le résultat précédent sera

souvent utilisé avec pour (xn) la suite (quand elle existe) des points où J change de

signe,

222

EXE~mpIE~s- Travaux pratiques


exemple 3

[0, +x[ ~lR\, continue par morceaux, décroisante avec lim <p(x) = O.X---:-+;~K)

l'intégrale rx <p(x) sin x dx est convergente.Jo

• Vérifions que les hypothèses du théorème précédent sont satisfaites avec f(x) =<p(x) sin x.

f est continue par morceaux sur [0, +x[, avec Xn = n TI, la suite (xn) est strictement croissante

et lim Xn = +X.n-----.+x

{"n+1 tn+1hr tn+1hrEnfin JXn lfl = .ln 1<p (x) sin xl dx o<S .ln" <p (x) dx o<STI<p (n TI)

(noter que <pest nécessairement positive),

on a lim. <p(n TI) = 0, par suite lim. rIT+1 lf(x)1 el.\:: = 0, d'où la conclusion.n~TX n-+xJ~

IV - Fonctions de la forme

A. Continuité

Théorème:

X r--7> LX f(x,t) dt

l'espace vectoriel normé E. Alors la fonction

t.13 Soit P un pavé de :;n etf une fonction continue sur P x [a. b] à valeurs dans

j.bF : P - E, x ~ . a f(x, t) àtest continue sur P.

l0"f' Soit.'C(JE P, montrons que F est continue en .'C(J.

Il existe un pavé compact Q c P, un voisinage de .'C(Jdans P, la fonction f est alors

continue sur le compact K = Q x [a. b] de :;n~ldonc uniformément continue sur ce

compact. En conséquence 'd8E ohp O.'d (Ix. ti.I:!. el) E K2 :

, ," 8! x-:': o<Sll et it-e o<Slll => flx.tJ-f(x!. o<S -b--, 1· - a

Il résulte de la proposition précédente que. pour tout x E Q, si x -.'C(J Il o<Sll, alors:

'd [E [a. b]. flx. [1- fi.'C(J.8

o<S b-a

et donc··b

1 !J'X. [1 - fi·'C(J·.. a

~b

d[ o<S Iflx. tl- fi.'C(J.1,j a

dt o<S 8

On a ainsi montré que:

'd8>0·:Jll>0.'dXE Q. X-.'C(J o<Sll =? Flxl- o<S8

c'est-à-dire que la restriction de F à Q est continue en .'C(J.

Puisque Q est un voisinage de .'C(Jdans p, F est continue en .'C(J.D


B. Dérivation

J est un intervalle de :=: tel que J cF Z.

Théorème:

223

En conséquence

t.14 Soitf une fonction de J)< [a. bJdans l'espace vectoriel normé E telle que, pourtout x de J, la fonction partielle t '-J> fi x. ri soit continue sur [a. bJ.

Si f possède une dérivée partielle ~if continue sur J [a. bJ, la fonctionriX

b

F : x f-'> j' flx. t) dt est de classe CI sur J avec:·a

·b af

Vx E I. FI(x) = j -,-(X. t)dt.a dx

~ Etant donné x quelconque dans J, la fonction t f-'> f(x, t) est continue sur [a, b], ce qui

j.bassure l'existence de . a f(x, t) dt.

il Envisageons d'abord le cas où E = IR.

Soit alors _\{j E J et (a. [3) E tel que [a. [3J c J soit un voisinage de xo dans J, la

Iffonction ~ est continue sur le compact K = [a. r:lJ x [a, bJ de [Riz, donc uniformémentdx fJ

continue sur ce compact.

( 1 l ')::hl> 0, V (x. t), (x . t) E

, Il \) 1 af af 1 IlE

et ,t - t ~I] =? -,-(x. t) - ~,-(x . t) ~--1 dx' dx b - a1

Pour h E iR tel que _\(j + h E [a, [3], la formule des accroissements finis appliqués à la

fonction x f-'> f(t) sur le segment [_\{j, _\(j + hJ donne l'existence de 8E JO. l[ tel que:

Iff(xo + h. t) - f(xo. t) = h~(xo+ 8 h, t)dX

En imposant jhl ~I], on a alors:

1 jb V 1

F(xo + h) - F(XO) - h ~C\{j. t)dta dx

1 l·b af af 1

= h -,-(XO+ 8 h, t) - -,-(XO. t) dt ~ Ihl E.0 dx dx

j.b afIl en résulte que F est dérivable en xo avec F (XO) = -,- (XO, t) dt

a dx

ii 1 Dans le cas où E est un espace vectoriel - de dimension finie - quelconque.n n

En rapportant E à une base (eill~i~n et en posantf = Lliei, on obtient F = L Fieii=l i=l

b

avec V x E J, Fi(X) = .Ia li(x, t) dt

D'après l'étude du premier cas, pour tout XO E J, chaque fonction composante Fi est

jb aj;dérivable en XO avec F[(XO) = -,-(XO, t)dt

. a dx


On en déduit que F est dérivable en xo avec:

n lbaf; lbafFC"O) = 2=: e, -,-'(xo, t)dt = -,-(XO, t)dti=l . a dx . a iJx

iii! La continuité de F sur l résulte alors de l'application du théorème 13.o

o

C. Intégration

Théorème:

t.15 f étant une fonction continue sur l x [a, b] à valeurs dans l'espace vectorielnormé E, on a, pour tout (a, 13)E [R;2tel que [a. 13]el:

l~(fab f(x, t) dt) dx = fab (l~f(x, t) dx ) dt

u& On remarquera d'abord que, d'après le théorème 13, les fonctions:

j.b 1~F: x f-7 f(x, t)dt et G: t f-7 . f(x. t)dxa . Œ

sont continues sur [a, 13]et [a. b] respectivement, ce qui assure l'existence de

l~ lblŒ F(x) dx et la G(t)dt

Considérons alors les fonctions :

Hl [a, 13] --+ E U f-7 lU F(x) dx

Hz : [a, 13]--+ E U f-7 fab (lU f(x. t) dx) dt

F étant continue sur [a, 13],Hl est de classe el sur [a. 13]avec

'if U E [a, 13], H~(u) = F(u).

l'uPour la même raison, la fonction K: (u. t) f-7 fix, t) eL, admet sur [a, 13]x [a, b]'. Œ

aKune dérivée partielle -,- : (LL t) f-7 feu. t) qui est continue sur [a. 13]x [a, b].

dU .

Par application du théorème 13, pour u E [a. 13]la fonction partielle t f-7 .lU f(x. t) dt

est continue sur [a. b]. On déduit alors du théorème 14 que Hz est de classe el sur

[a, 13]avec:

j.b élK j.b'if u E [a, 13].Hb(ui = -,~(u. t)dt = flu. t)dt = F(u)

~ .a dU .aIl résulte de ceci qu'il existe une constante )cE E telle que:

'if u E [a. 13]. H2(ul = HIIU)+ )c

et, comme H2(a) = Hl (a) = 0, on a finalement )c= 0 et la formule annoncée.

Remarque

On évitera de se précipiter aveuglément sur ces théorèmes dans certaines situations

simples.

Chapitre 6 : Intégrale compléments 225

\0 Exemples1) j est continue sur S:, pour faire apparaître les propriétés de :

fb jb+XF: x ~ jix + r) dr il suffit d'écrire F(x) = j(u) du (poser u = x + t) .

. a a+x

j'b2) j est continue sur ::::,pour étudier F: x ~ a j(t)cos(x + t) dt on peut noter que

j.b fbF(x) = cOS.Y a jl[l cos r dr - sin x. a j(t) sin t dt.


exemple 4

1 Soit f'"~ tC",(x.;n')d'.Montrer quel ;annule une fois et une seule sur [;, 11'] .

• La fonction cp: (x. e) ~ cos(xsin e) est continue sur [R2 et pourvue de dérivées partielles

continues sur Ji2, donc j est de classe el sur R d'après le théorème 14, avec:

1"ék; !r-'"V X E-:::;'.flx! = -.-' (x. e)d e = - sin e sin(xsin e)d e

.0 ax .0

Pourtout(x,e)E [O.•• i.onaxsineE [O.•. J,donc sin(xsine)?O et f(x)~o.

Plus précisement on af(O) = 0 et pour x EJO.•. J,la fonction e~ sin e sin(xsin e) est

continue, positive, non identiquement nulle sur [O.•. J,

donc r sin e sin(x sin e) de> 0 et flx) < O.Jo

Ainsi,] est strictement décroissante sur [0, •.].

j ( ;) = fa" cos ( ; sin e) d e est strictement positife car e ~ cos ( ; sin e) est continue, positive, non identiquement nulle sur [0, •. ].

j( ••) = j'" cos(-rrsin e)d e = l~cos(•• sin e)d e+ ;: cos(TI sin e)d eo 0 . ~

1'22 cos(Ti sin e) d e·0

(poser u =TI - e dans la deuxième intégrale)

Sur [0, ;],onasine> : edonc TI? •• sine?2e et cos(TIsine)~cos2e.

L'inégalité précédente est stricte sur] 0, ; [ d'où:

j(TI) < 2 fa~ cos2 e d e c'est-à-dire j(TI) < 0

'TT 'TI"

Finalement, j réalise un homéomorphisme décroissant de [2'TI] sur [t( 2),j( TI)] et, puisque

o E lf( ; ),j( TI)[, il existe a EJ ;, TI [ unique tel que j(a) = O.


Montrer que f(x) a un argument constant sur

[a,b].

Ex. 6. 6

et F(x) = r tn(l - 2x cos 6 +x2) d 6

Jo /Ex. 6.5 '

1,+::-: 1 - cos t,Etudier f :x >-+ .~ e-t dt. 0 t

Calculer f.

Exercices-types

vEx. 6. 2

SoitfE

Iibfi = ib Ifl (1).

j+::-: <lx:Nature de 9

o (1 +x~)vlsinxl

Ex. 6.3 /

•+::-: [ (l)EIXI]Nature de .Jo tn 1 + - xC< <lx

a> 0, E(x) désigne la partie entière de x,

EX.6.4 V/Calculer, pour Ixl < 1, l'intégrale:

I(x) = r d_6Jo 1-2xcos6+x

j''IT 2(x - cos 6)En déduire f(x) = ~ d 6

o 1-2xcos6+x

Calculer

2 /'~ . 2 2f(x,y)=-= tn(xsin 6+ycos 6)d6Il 'J 0

pour (x. y) E R~. (x. y) * (0.0) .

Ex. 6. 7

/'+::-: , sinxSoit F ::J~R. F(a) = e-C<x __ cL'C/ 0 x

\1 ) IQuel est l'ense~ble de définition, de conV ;inuité de F ?

2'tzJ))Jion ~r que F est dérivable sur ]0. +XJ[.V . j+::-: sinx "3) n déduire -,- cL'C = -2 ..0 x

IndicationsEX.6.4

j'b-i8

Avec 6= arg a f et 9 = fe ,

lb rb(1)s'écrit a g= Ja Igl·

Il Y a problème de convergence en chaque point

n'Ti, nE N. Introduire la série de terme général

j,(n+l)'IT <lxUn = 2

. n'IT (1 + x )vlsinxl

Dériver F.

EX.6.5

Introduire la suite de fonctions fn :

_/,n 1- cos L'C -tfn : x >-+ 0 e dt,~o cEx,6.6

Calculer les dérivées partielles de F,

Ex. 6,7Ex. 6. 3

Il Y a trois problèmes de convergence.

En +x, commencer par effectuer un dévelop

pement limité.

Introduire la série de fonctions '>' Un

/'" n~l •• ~in XUn(O:I = e-C<x_" __ ' cL'C,

'0 n•• X

Pour tout a~ 0, L Un(O:! est alternée.



227

. ·b . b (b) 1 ·b 1Posons 8=arg(.Ja j) et g=je-i8. Alors l g= l j e-i8= l j.

rb rbD'autre part, j =!g donc la condition (1) s'écrit Ja 9 = Ja [gl (2).

j.bEn considérant la partie réelle, on en déduit . a (igl - Re(g)) = ° (3).

La fonction ig - ReCg) étant positive et continue sur [a, b], la relation (3) donne Igl- Re(g) = O.

Il en résulte \:j x E [a. b]. arg gix) = ° et donc \:j x E [a, b], argj(x) =8.

Ex. 6.2

1 .j :x f-7. 9.~ est continue11+x-h/ismx'

U Jk TI, (k + 1) TI [, cette intégrale est une infinité de/(E

fois impropre. Il s'agit d'établir l'existence pour tout a E JO, +x[ de F(a) = ra j et d'étudier leJo

comportement de F au voisinage de +x .

• Au voisinage de chaque point k ", (le E. . Ale 1

on a jix) - J. ,(A/(= 2 9.)\1 ,le TI -xl 1 + k "

donc toutes les intégrales sont convergentes car de

1·1dumême nature que ---;= .

. a Vu• Problème dû à l'intervalle non borné.

j étant positive, rXj est de même nature que la série de terme général Un = tn+1ljh J=(cf. théorème 11).

Or, on a, pour tout n E i\JX ,

1 j.in+l!" dx A lin+1J" dx 10'" dt° ~ Un ~ 2 _2 !. = 2 2 avec A= . = --.n " . n•. Vlslllxl n" n•. Vlsmxl· a vsm t(poser x = t + n ,,), ce qui montre que A ne dépend pas de n.

Il en résulte que L Un et donc r:c j sont convergentes.Jo

EX.6.3

( (_I)EiX))j: x f-7 en 1 + xŒ est continue sur les intervalles Jn, n + 1[, (n E i\J) et continue à droite

en tout point n :?o 2. De plus, elle admet une limite à gauche en tout point n :?o 1, elle est donc continue

par morceaux sur ]1, +x[ et sur JO, 1].

Il Y trois problèmes d'intégrales impropres à étudier.


1 h'+xlf(x) 1 ~ ----et donc f converge absolument si et

x .2

• voiisinlâQIa /

( 1) ·1 \/Sur ]0,1[, f(x) = en 1 + xCi. donc f(x) - - a enx quand x tend vers 0 et .10 f converge.

(par exemple :f(x) = 0 ( Jx) au voisinage de 0) .

• MUVUISIHaU" de 1 à droite

Sur]1,2[, f(x) = en ( 1 - :Ci.) = tn(xCi. - 1) - tnxO: donc f(x) x-=l tn(xCi. - 1).

En posant x = 1 + u, on a xO: ~ 1 =a U + o(u) d'où tn(xCi. - 1) - enta u) ~ tn u.

Ainsi rf est convergente (comme (2 en(x - 1) dx).JI JI

• Au voisinage de +ex

(_l)E(x) 1 ( 1 )f(x) = Ci. - ~ + 0 2'CY etx 2x x

seulement si a> 1.VSupposons désormais 0 <a ~ 1.

(_lpxI 1Posons g(x) = 0:- f(x), on a g(x) ~ -9-.

x +x 2x~Ci.

9 est donc de signe constant quand x tend vers +x, la règle des équivalents s'applique:

1+00 9 est de même nature que 1+00 xC;: donc convergente pour a> à.

l·+O0(_l)E(x)Pour l'étude de Ci. dx, introduisons la série de terme général:

. 2 X

j.n+l (_l)E(X) n l·n+1 eix.'Un= Ci. dx=(-l) ----a:

. n X .n X

La série L Un est alternée par construction.

iUnl ~ 10: donc hm Un = 0n n-+x

IUn+1l-IUnl = r+1 ( __ 1_'_0:- 10:) ei" < 0 donc ([Uni) >9 décroîtJ n (x + 1) x . n~_

Le critère spécial des séries alternées donne alors la convergence de L Un et la convergence de

1+00(_l)E(x)--Ci.- dx en résulte avec le théorème 12 .

. 2 x

h·+oo 1Finalement f converge pour a> "2 (somme de deux intégrales convergentes)·2

1et diverge pour 0 <a~ "2 (somme d'une intégrale convergente et d'une intégrale divergente).

En conclusion (+x f converge lorsque a> à (il n'y a absolue convergence que pour a> 1).Jo

TI

I(x) = -2"1-x

Pour x cF O. on a


EX.6.4

Notons d'abord que 1 - 2x cos El +x2 ne s'annule pas pour 8E [O,TI].') ') . ')

En effet, 1 - 2xcos El +x- = lX - cos 8~ s~n-:.Jl_

donc 1 - 2x cos 8 +x2 = 0 exige sin 8= 0 et x = cos 8,

donc 8", 0(,,) et x = ::t: 1, ce qui est exclu.

1Ainsi, ç: (x. 8) ;-? .) est continue sur J - 1.1[x [0, TI],

1- 2xcos 8 +x-

ce qui assure l'existence (et la continuité, d'après le théorème 13, de l sur J - 1, 1[).

Pour le calcul de Ilx1, effectuons le changement de variable défini par t = tan;, 8 E [0, ; [

(donc 8 = 2 A.l'ctan t. tE [0, +x[). On obtient:

·+x dt 2 [ (l+X)]+COI(x) = 2 f ? 2 2= --2 A.rctan t -- d'où

Jo (l-x)- + t (1+x) 1-x 1-x 0

Calcul def

2(x - U,I 1 x2 - 1 1? = -:: + --, - ---?---1+ x- - 2!L\: X x 1+ x- - 2!L"(

10"(1 x--1 1 ) "x--1donc f(xi = - --::+ _?--,-? d 8 = --=- + _?_, -I(x) = 0

. 0 x x 1 + x- - 2x cos 8 x x..

Pour x = 0, f(O) = -2 r' cos 8 d 8 = 0.~0

Calcul de F :

229

La fonction ell: (x. 8) ;-? tn(l - 2xcos 8 +,~) est continue sur J - 1.1[xJO, TI], et possède uneélell

dérivée partielle éI x continue sur J - 1. 1[x [O. ,,], donc le théorème 14 s'applique, et on a :

l" élell ln" x - cos 8'rIxEJ-l,l[, F(x)= -.-(x.8)d8=2 ~d8

·0 dx 0 1-2xcos8+x

c'est-à-dire 'ri x EJ - 1.1[, F(x) = f(x) = O.

Il en résulte 'ri x EJ - 1. 1[, F(x) = f(O) = 0

Autre calcul de F :

fr'X U - cos 8tn(1- 2xcos 8 +~) = 2 ~ du

o 1 - 2u cos 8 +u

donc F(x) = r d 8 (' 2 u - cos 8 ,~duJo Jo 1-2ucos8+u

Par application du théorème 15, on a alors:

fr'X 1" u - cos 8 lXF(x) = du 2 2 d 8 = feu) du = 0o 0 1 - 2u cos 8 + u 0

230

v( 1 - cogf-x 1 )Les fonctions 'Pl: IR(-+R 'Pl (x) = xZ si x*- 0, 'Pl (0) = Z

et 'PZ:IR(z-+R 'PZ(t, x) = xZe-t sont continues sur IR(et IR(Zrespectivement.


Z 1 - cos(tx)Donc la fonction 'P:IR(-+IR(définie par cp(t, x) = n e- t si t *- 0

t

Zxet 'P (O,x) = 2 est

continue sur IR(zcar cp(t, x) =CPI(tx) CPZ(t, x)

Il en résulte que, quel que soit x EIR(,t -+cP(t, x) est continue, donc localement intégrable sur [0, +:)0[,

D'autre part, on a 'if x E IR(,'if t ? j2, 0 ~cP (t, x) ~ e-t, il en résulte que, quel que soit x E IR(,

rC0Jo 'P (t, x) dt est convergente, Ainsif est définie sur R

Continuité

Considérons la suite de fonctions vn )', définie par:

j,n 1 - cos t.,'{ j,n'ifnEl~,'ifxEIR(, fnC'{)= ? e-tdt= cp(t,x)dtor· 0

Pour tout n E~, cPest continue sur [O. n]x R doncfn est continue sur R.

On a évidemment 'if x E iR,f(x) = hm fn(x) : vn)', converge simplement versf sur R.n---'-+x

D'autrepart,ona 'ifn?2, O~f(x)-fnC'{)= tx cp(t,x)dt~ tx e-tdt=e-nln ln

ainsi 'if n? 2, Iif - fn = sup !f(x) - fn(x)1 ~ e-n donc hm Iif - fn x = 0:XE:=:' n---;-+C'\::

la suite vn)N converge uniformément vers f sur IR(,f est donc continue sur lPicomme limite uniformed'une suite de fonctions continues,

éJcp 00 Z éJiL, 0 sin t.,'{ éJiL'Padmet une dérivée partielle -.- continue sur R , (-.-' (t. Xl = __ e-t si t *- 0,-.-' (O.x) = x)dx ' dx' r ' dx

donc, quel que soit n,fn est de classe el sur:;:: avecj',n sin t.,'{

'if XE:;::. f~(XI= --e-tdt.,0 r

1 j'+x sin t.,'{ J'TxLamajoration 'ifXEIR(, ---e-tdr ~ e-tdr=e-n

o t . n, (n? 1)

montre que V~)N converge uniformément sur:;:: vers la fonction(TX sin t.,'{x -+ Ir e-t dt.,.0 r

j'TX sin t.,'{Il en résulte quef est de classe el sur:;:: avec 'if XE :;::,f'x) = __ e-t dt

. 0 t

Le même raisonnement montre que f est de classe e2 sur:;:: avec:

'ifXEiR(, f/ix)= ("":'·Cosit.,'{le-tdtJo

Calcul def

On a fil (x) = rx Re e( -l+ix)t dt = Re (_1_. )'Jo l-L'{1

--01+ x-

donc f(x) = Arctanx / 1(0 ?(car f(O)=O)et fCx)=xA.rctanx-z n1l+rl (car f(O) = 0),


Ex. 6. 6

231

Si x> 0 et y > O,px. y) est une intégrale de Riemann. Si x ou y est nul, par exemple y = 0, alors

l~tn(xSin2e+ycoS2e)de= ".(nx+2 r~tnsinede=-~t'n2 (calcul classique)Jo 2 Jo 2

x . ydonc J(:'-'_~)=-~~4' DemêmeJ,O.Y.1=tn4·

On se limite pour la suite à x> (J:7J > G,

Le changement de variable e = ; - t donne J(x. y) = J(y, x)

y étant fixé, y > 0, la fonction ç: (x. e) f-7 tn(x sin2 e +y cos2 e) est de classe CI sur

]O.+:x.[>< [o. ;] donc F:Xf-7 :. r~ <p(x,e)de est de classe CI sur]O,+oo[-" II Jo

2 l~GU; 2 J'~ sin2 eavec P(x) = -= - ~(x, e) de = - . 2 2 de" . 0 èJ x TI 0 X SIn e + y cos e

2 J'+cs t2donc P(x) = -= 9 9 dt (t = tan e)

"0 (xt~ + y)(l + r)

t2 1(1 y)Pour x * y, . 9 ,,_ 9. = -.-- . -9-- - -9- X - Y . C + 1 .,-7.-+ y .

2

donc P(x) = ,,(x _ y)

l+cs dt 1

TI Y

2-:.\=.0 9 Yc+x

1x-y

J. duIl en résulte F(x) = tn lx - yi - 2vIY ~ (u = vIX), u - Y

puis F(x) = 2 tn( vIX + VfJ) + c, résultat encore valable pour x = y puisque F est continue sur

JO, +:x.[.

En tenant compte de la continuité de F en y, il vient c = F(y) - 2 t'n(2v/Y)

(vIX+VfJ)Alors F(y) = J(y, y) = tn y donne c = - 21n2 et J(x, y) = 2.en 2 .

Ex. 6. 7

1) a)

et

. SInxLes fonctions lp: u;g-R <p(x) = -- si x * 0, lp (0) = 1x

ljJ: 1R2~R ljJ (0:, x) = e-CiX sont continues sur u;get u;g2respectivement.

? Ci" sinx 2Donc J : 1R~-RJ(o:, x) = e- . -x- si x * 0,](0:,0) = 1 est continue sur IR ,car J =tjJ . 'P.

r sin tCeci assure l'existence, pour tout x ~ 0, de J e-Cit __ dt.o t

1 sInxl .'• Pour 0:> 0, l'inégalité e-CiX-x- ~ e-CiX et la convergence de

1+00 sin xdonnent l'absolue convergence de e-CiX __ dx .

.0 x


• l+C0sinxon obtient l'intégrale bien connue -- clx

. a xqui est semi-convergente .

(voir Analyse 1,Chapitre X) .

• , l'inégalité:

h·(2n+lhT e-cd 2e-2cm" e-2an"-- sin t dt "" ---- avec lim ---- = +x

2n" t (2n + 1) 'TI' n-+C() (2n + 1) 'TI'

montre que f+x e_at_s_in_tdt ne vérifie pas le critère de Cauchy. Donc elle diverge.Jo tAinsi, F est définie sur [0, +x[.

+-:0j.(n+l)" sin xb) Pour tout aE [0, +x[, on a F(a) = ~. n" e-ax-x- clx donc F est somme de

j.(n+l)" .. sin xla série de fonctions de terme général Un: af-7> e-ax -- clx.

n" X

Chaque Un est continue sur IR cari est continue sur 1R2.

On constate que, pour tout a"" 0, 2:= un(a) vérifie le critère des séries alternées, il en résulte:

I+X 1 1VaE [0, +x[, V nE!';J, Luk(a) ~ IUn(a)[ ~ Tlk=n

+x

En conséquence, la suite des restes (Rn)" (Rn: af-7>Luk(a)), converge uniformément versk=n

° sur [0, +x[. La série 2:= Un converge donc uniformément sur [0, +x[ et F est continue.

2) D'après le théorème 14, les fonctions Un sont de classe CI sur IRavec:

jen+l)" ai j.(n+l)"VaEIR,u~(a)= n" --a;(a,x)clx=- n" e-axsinxclxPour tout a> °fixé et tout aE [a, +00[, on a :

lu~(a)1 ~'TI' e-an" donc Il u~ Il [;;,+x [ ~'TI' e-an"

et la convergence de 2:= e-an" donne la convergence normale, donc uniforme, de 2:= Un sur

[a, +00[. Ainsi, F est de classe CI sur [a, +x[.

Ceci étant vrai pour tout a> 0, F est de classe CI sur JO, +x[ avec:

Va> O,F(a) = I:u~(a) = - ['+x e-QX sinxcbcn=O Jo

3) On calcule F/(x) pour a> O .

-1

. .+X .. [el-Q+ilt] +xF/(x) = lm j _el-Q+l!t dt = lm -.--. = -?-o ex -l 0 a- +1

Il en résulte VaE IR:, F(a) =À - Arctan ex (À constante réelle)

et puisque F est continue en 0, F(a) = F(O) - .Â..rctan a.

Enfin la majoration [F(a)1 ~ rx e-QX elx donne lF(a)[ ~ ~ et donc hm F(a) = O.Jo a a-+x

'TI'

On en déduit F(O) = 2 c'est-à-dire j+x sinx "-- eL\: =

.0 x 2


Exercices proposésE désigne un espace vectoriel normé de dimension finie.

Ex. 6. 1

233

Soit J E.l1 ([0.1].::;:) positive ou nulle, telle

/.1que J > 0 et A un polynôme réel tel que

.0

eJo A2J = O.

Montrer que A est le polynôme nul.

Ex. 6.2

SoitJE CO([a, bJ. ~+) et cpECO([a, bJ. ~),a<b.

Montrer que libJ(t)ei'fCt) dtl "" .lbJ(t) dt

Ex. 6.3

SoitJ E.ll ([0, 1]. El.

rICalculer ~~ x Jy ~ t~' dt ..\.>0 . X

Ex. 6.4

SoitJ E.ll ([0,1]. E).

11 /cJ(t)Calculer lim ~ dtk;;;oO . a /c + t

Ex. 6. 5

Décomposer en éléments simples la fraction ran-1nx

tionnelle un(x) = xn _ 1

!n2" dtEn déduire ---il. ° x- e

Ex. 6. 6

1 n (2n) (n)Calculer lim - LE - - 2E -n-+x n /c /c

k=l

Ex. 6. 7

SoitJ E C2(~, ~), trouver la classe de

11X9 E CO(R~) telle que 'ri x * 0, g(x) = - Jx. a

SoitJ E C=(R IR) et 9 : IR-+IR telle que:

g(x) = J_(_x_)_-_J_(O_)si x * 0, g(O) =f(O).x

rI1) Montrer que 'ri x E IR, g(x) = Jo f (xt) dt.

En déduire que 9 est de classe C= sur IR.

2) Calculer gCn)(O), n EN.

9

En comparant à une série, étudier la nature des

intégrales:

Ex. 6. 10

Etudier la nature des intégrales:

~.+x sin t1 ) -_--=--=--==== dt, 0' ~ O.

. 0 V t + ta cos t

1'+x en Il - xl cosC€n x)2) a dx

o x (1+ x)

3) l+x (-1 + e~E(X)-l) dx

4) r00 xa sin (fn(x3 + x)) dxJo

234

Etudier la nature de la série de terme général

sin(TI 01)Un = Œ , aE]O, 1] en comparant avecn

/+00 sine TI vIX)l'intégrale et dx

1 X

Soitj EM ([0, +::X::[,~) positive.

1) On suppose j décroissante et fo+x jconvergente. Montrer que

lim j(x)=O puis que lim xj(x)=O.X~+N x~+~

(Considérer .L:/ et /:x j).2

2) On suppose rx j convergente, peutJo

on en déduire lim j = 0 ?X----;'-+·:0

Montrer qu'il existe (xn) E ~'C telle que

lim Xn = +::x:: et lim xnf(Xn) = O.n----:-+·x n----:-+·::x;

Ex. 6. 13

Soitj E Jt (]O, 1[, E) telle que l'intégrale

loTI j(sin x) dx soit convergente. Montrer que

loTI xj(sin x) dx est convergente et que l'on a

lTI TI j'"xj(sin x) dx = - j(sin x) dxa 2 a

Soit j E M ([0, +00[, E) telle que rx j conJo

verge. Calculer:

1iX !nt1) lim - dt Jeu) du

X-++OO x a a

1 r2) l~ x2 Jo tf(t)dt.x>(}

Ex.

Soitj E C2(~2,~) telle que:

a2j a2j:::'j= --2 +--2 =0

ax ay

Montrer que l'application:

F : r C-ô> l2" j(r cos e, r sin e) d eJoest constante.


Ex. 6. 16

Calculer:

1= .10+20 e-ŒX Cio" cos(x sin e) de) dx

quand elle existe (aE ~).

Ex. 6. 17

·1 e-K(1+t2)

Soitj :~--+R x C-ô> 1 ~ dtJo 1+ t

l'X _t2et 9 :~--+~, x C-ô> e dt.

·0

Exprimer j en fonction de g.

En déduire lo+x e- t2 dt.

Ex, 6, 18

Existence et calcul des intégrales:

l+20 tn(1 + t2)---9-dt et

,0 1+ rrx _t_n_(a_2_+_9_t2_)dt (a> 0)Jo 1+ r

Ex, 6. 19

Ensemble de définition et calcul de :

101 tX - 1j(x) = -c- - dt. a ~nt

Ex. 6.20

Ensemble de définition et calcul de :

J+X eitj(x. y) = ..9 9 dt.

-x (t- yr +x-

Ex. 6. 21

Montrer que, pour tout x E [q+ :

j"+x sin t . l'+x e-''([--dt= --dt.

.0 x+t .0 l+t2

(Vérifier que les deux fonctions sont solutions

'/ 1 rrcxde y' + y = - sur ,h;(+)x

Ex. 6.22

••Q cos tx

Calculer ha(x) = 1 --2 dt en fonction de.Jo 1+ t

l'X sin tq;(x) = --dt. a t

l'+x cos txEn déduire --2 dt.·0 l+t

Chapitre VII

Fonctionsde plusieurs variables réelles

Calcul intégral

Dans ce chapitre, E désigne l'espace [Rn (n E N*) muni de sa structure affine canonique.

On note B = (el, e2,"', en) la base canonique de [Rn.

On dispose d'un espace vectoriel normé en munissant [Rn de sa structure euclidienne

canonique.

1- Formes différentielles de degré unU désigne un ouvert de E. Le dual de E est noté EX.

Définition :

d.1 On appelle forme différentielle sur U, toute application de U dans E*.

1

Remarques

1) Sif: U --+[Rest de classe el, sa différentielle df : U --+ E* est une forme différentielle.

2) L'espace EX est un espace vectoriel normé ; on peut donc parler de forme différentiellecontinue, de forme différentielle de classe Ck

Notations:

n.1 La base de E*, duale de B, est notée B* = (dx1, dx2,' .. ,dxn).

1

n.2 Une forme différentielle w sur U est caractérisée par ses fonctions coordon-nées (P1,P2,'" ,Pn) dans la base B*(Fj : U --+[R).

n

Ainsi, pour tout x de U : w (x) = LFj(x)c1.xj)=1

n

où w (x) est la forme linéaire w (x) E -+IR, y >-7 W (x) . y = LYjFj(x))=1

n

n.3 On dit que w = LFjc1.xj est l'écriture canonique de w.)=1

nA

1

Pour n = 2, on écrit souventPour n = 3, on écrit souvent

w= Pdx+ Qdy

w = Pdx + Qdy + Rdz.


d.2 forme différentiellen

On dit que la forme différentielle sur U, W = LFjdXj est de classe ck,)=1

(k E Nu {x}), si les n applications Pl, P2, ... ,Pn : U -IR sont de classe Ck.

n.5 On note nk (U) l'ensemble des formes différentielles de classe Ck sur U; c'est1 un IR-espace vectoriel.

Défihitions :

d.3 Forme différentielle exacte1

Une forme différentielle WE nk (U) est dite exacte sur U s'il existe une appli-cationf : U -."IRde classe Ck+1 dont la différentielle est w: df = w.

L'applicationf s'appelle une primitive de w sur u.dA Forme différentielle fermée

n

Une forme différentielle de classe Ck sur U, (k ? 1), w = L FjdXj est dite)=1

fermée si: 'if (i,j) E [1. n]2,a p. a Pi_J __a Xi - aX]

(sur U)

pr9prÎé.~$§:

p.1 Une condition nécessaire pour qu'une forme différentielle de classe el,n

W = LFjdXj EnI (U), soit exacte sur U est d'être fermée sur U.)=1

~ Si west exacte, ilexiste f : U -IR de classe C2 telle que df = w

. éif. élFj él2fdonc 'if JE [l,n].Pj·= -.- et 'if LE [1.n].-.- = ..

dXj . d~ d~dXj

Ilsuffitalors d'appliquer le théorème de Schwarz (Chapitre III,théorème 2).

Noter que cette condition n'est pas suffisante (voirexemple 1).D

IM'lp·2

1

~

Soit W une forme différentielle de classe el sur un ouvert étoilé U.

Alors, west exacte si et seulement si ù) est fermée.

Supposons que U soit étoilé par rapport à l'origine (onse ramène à ce cas partranslation).n

On définitalors l'application lp: U x [O. IJ -:;:. (x. t) f-ô> w (tx) . x = L -'9p)(tx))=1

(Noter que L'C E [O,xJ cU.)

Elle est continue et. pour tout t E [0.1], l'application partielle U -:;:, x f-ô>lp (x. t) estéle .. n éiP'

de classe el avec 'if i E [1. n], ~(x. LI = P[ltx) +L t..'9~(t..'C1dX, ÔX[)=1

Chapitre 7 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral 237

a n OP'

Sachant que west fermée sur U, on peut écrire +(x, t) = Pi(tx) + L 1Xj-,-' (t'C)u~ dX:J'j~l

et constater qu'il s'agit de la dérivée de t f--+tPi(tx).1

Introduisons alors l'application J: U -2. x f--+la 'P (x, t) dt

Le théorème de dérivation sous le signe somme s'applique ( :~i') élJ '" il élc " r 1Ux[O.l] d'où -,-lxl= -,-' (x.tldt= ltPi(tx)] =Pi (x), dXi 0 dXi 0

Ainsi, west exacte, J est une primitivede w sur U.


est continue sur

D

exemple 1

Soit U = \ {(O. O)} et (ù la forme différentielle définie sur U par

, ", xdy - ycL-...:(ù IX, y) = 9 9

x-+y-

1) Vérifier que (ù est de classe el et fermée sur U.

2) On suppose que (ù est exacte sur U, il existe donc F E e2(u, [8) telle que, pour

tout (x. y) E U, (ù (x. yi = dFix.Y1

Etant donné V = x Ret 9: V - U, (r,8) f--+(reos e, rsin 8l,

on pose G=Fo9, G:(r,8)f--+F(reos8.rsin8)

Calculer dG et en déduire qu'il existe À.E R tel que V (r, e) E V, G(r, 8) = 8 + À..

3) Relever une contradiction dans les résultats précédents et conclure.

• 1)

2)

o ( x) 0 (~)Vérifications immédiates: 0 x x2 + l = 0 Y x2 + y2

2 2Y -x

= 2 22(x + y )

dFircosS.rsinSI 0 d 'PlrS>

(ù (reos e, rsin e) ° d 'PlrS)

reos 8 (sin e dr + reos e d e) - rsin e (cos 8 dr - rsin 8 d 8)?

d8

Donc G(r, 8) = e + À. , À.E IR.

3) L'égalité F(reos 8, rsin 8) = e + À., pour tout (r,8) E!Ri: x !Ri, est absurde. (pour r fixé,

elle donne l'égalité d'une fonction 2 TI-périodiqueavec une fonction non périodique).

En conclusion, (ù n'est pas exacte sur U. On constate que le théorème de Poincaré ne

s'applique pas ici,car l'ouvert U n'est pas étoilé.

pour primitive sur U


2

U = [R2\ 6 où 6 = {(x, O)/x ~ O} est un ouvert étoilé.

la forme différentielle w définie sur U par w (x, y) = y~ - x~yx +y

f :(x.y)f---'> Arctan ---y-x+Jx2+y2

On vérifie que U est étoilé par rapport à tout point A = (a, 0) où a> O.

Pour tout (x, y) E U on a x + -j x2 + y2 > 0 et on obtient sans difficulté:

'if (x, y) E U. d.fix.y) = W (x, y) Noter que l'on a tan( 2f(x, y»)

yx

aR apax = '7iZ

exemple 3Soit w une forme différentielle de classe CI sur U.

On dit que l'application 'P: U ~[R est un facteur intégrant de w si la forme différentielle 'PW est exacte sur U.

Exemple

*3 y+z z+x x+yU = (IR+'), montrer que w: (x. y, z) f---'> -- dx + -- dy + -- dz. x y zadmet un facteur intégrant de la forme (x, y, z) f---'> 'P (xyz) où 'PE CI (IR~,IR).

• 1) Comme U est convexe, il suffit de vérifier que la forme différentielle 'PW est fermée,

Notons 'PW = Pdx + Qdy + Rdz ; 'PW est fermée si :

ap aQ aQ aR--ay=iiJ( az= ay

{ ap 1 1

-a- = x 'P (xyz) + z(y + z) 'P (xyz)Ona: y

aQ 1-a- = - 'P (xyz) + z(z + x) 'PI (xyz)X Y

L ". l" d (y - x) [() 1 • ] 0a premlere ega Ite on ne -----xy- O. y (tl + t <pl It) = 0 ou1

Y (t) = t

(1) af =Y2+zax x yz

sont successivement équivalentes à :

y+z z+x x+yAinsi Wl = -2- dx + --2- dy + --2 dz est exacte.

x yz xy z ,'-yz

Soit alors,f : U ~[R une primitive de Wl sur U, les conditions:

af _ z + x éif.,---- --9- -,-dy ,'-y-z dZ

x+y--9.'-yz-

y+zHA.1 éD\1(2) f(x, y, z) = ---+ À. (y, z)

-,- - ---ry-élz=

9xyz dy y-zyz-

y+z

1(3) f(x, y, z) = ---+ À. (y, z)

À. (y. z) = -- +KKE~xyz

yz

x+y+zLes primitives de Wl sur U sont donc de la forme IX. y, zl f---'> - ---- + K

,'-yz

Chapitre 7 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral

1 II - Intégrale curviligneDéfinition:

239

d.5 Soit (ù une forme différentielle continue sur U ouvert de E et '1= ([a. bJ,q;)unarc compact continu et de classe el par morceaux dont le support r est inclusdans L'.

On appelle intégmle curviligne de w le le réel:

l.w = .lb w (q; W) . [q;' W] dt

Remarques

1) L'application [a. b] ~R. t ~ w ( q; W) . [q;' (t)] est continue par morceaux.

2) Dans le cas n = 2, w = Pdx + Qdy EDO (U)

et q;: [a. b] ~ U. t ~ q; (t) = (x(t), y(t))

On a l w = .lb [x/(t)p(x(t), y(t)) + y/(t)Q(xW. y(t))] dt

Propriétés:

p.3 Relation de Chasles1

Avec les notations précédentes et, pour e E ]a. bL introduisons les arcs com-pacts de classe el par morceaux: '1a.c= ([a, c] q;),'1c.b= ([e, b],q;),'1='1 a.b

1 j. j'Alors w = w + w.

'Ya.b . "ICLC • "(c.b

Cette formule se généralise à un nombre fini de points de ]a, b[.

Elle permet le calcul de l w lorsque '1 a des points anguleux.

pA Changement de paramétrisation1

Ajoutons aux données précédentes celle d'un autre arc paramétré

'1/= ([e, d], q;0 el, où e est un el-difféomorphisme de [e, d] sur [a, b].

Al j. j { 8= 1 si e est croissantors w =8 w avec

. -y' . -y 8= -1 si e est décroissant

!kiF On constate que '1/ est compact continu, de classe el par morceaux et de même support

r que '1, il est inclus dans U.

Plaçons-nous dans le cas particulier où '1 est de classe el, (le cas général s'en déduira

à l'aide de la relation de Chasles).

Le changement de variable t = e (u) donne:

.b ·e-l(b)l w (q;(t)) .[q;I(t)]dt=h_l(a) w (q;oe(u)). [q;1(e(u))]

d'où l w =8 id w (q; 0 e (u)) . [(q;0 el/tu)] du =8.l w

e' (u) du

o

240

p.5

1

p.6


Remarque

Soitr+ l'arc orienté définipar le choixd'un représentant '/, la propriété précédente montreque deux représentants de r+ donnent la même intégrale curviligne; celle-ci sera notée

r w. Si r_désigne l'arc déduit de r+ par changement d'orientation, on a :ir+

1 w-- r wiL ir+L'intégrale curviligne de w le long d'une courbe r dont l'orientation n'est pas précisée,n'est définie qu'à un signe près.

Si r est une courbe fermée orientée, l'intégrale curviligne r w ne dépendir

pas de l'origine choisie sur r.

Pour U et r donnés, l'application w1-'> r west une forme linéaire sur no (U).ir

Théorème:

D

t.1

u:w

Soit w une forme différentielle exacte sur U,J une primitive de w.

Pour toute courbe orientée r d'origine A, d'extrémité B incluse dans U, on a :

l w =J(B) - J(A)

Noter que le résultat ne dépend que des points A et B.

Soit '/= ([a, bJ. 'l') un représentant de r, A ='1' (a), B ='1' (b).

Plaçons-nous dans le cas où '/ est de classe el, (le cas général s'en déduit à l'aide dela relation de Chasles).

De w = dJ, on tire w ('P (t)) . ['PI (t)] = diq)(t)['P1 (t)] = (fa cp)/(t)

d'où l w = ib(fa '1')1(t) dt = Jo '1' (b) - Jo '1' (a) = JŒ) - J(A).

!2 2ir y dx + x dy lorsque r est l'une des courbes sui-

x2 +2 2

x y

2) a2 + b2 ~

x2 y2 2x3) a2 + b2 - a =0

a> O. b> 0

1) Paramétrisation de rl: x2 + if - ay = O.

[ " " ] n2 ( ) ... 9-2'2 -l". tl-'>Ml t, x=acostsmt. y=aSln-t

h· 9 9 a3 [" [ .. ,) .. " a3y- dx+x- dy = 4 (1- cos2t)- cos2r+ sm3 2r. dr = ---. r, ..0 - 4


2) Paramétrisation de

Il xdy - yd.xw = 2 2

X + y

[-",,,J_:;::2, [C-3>M21[1, x=aCOSL y=bsint

l? ? j"" - '), 3 ? 3]1re iF dx + x- dy = , _" _-ab- sm' [+ a- b cos t dt = 0?, ?

1X - a)- !Y - b)-3) Paramétrisation de r3 : ? + .) - 2 = 0,a~ b-

[-T.',,,J-:;::2, 8C-3>"V3181,x=a(1+v2cos8), y=b(1+V2sin8)

r·) ? j'+" [ .) ln ' ln, 2ir 3 y- dx + x- dy = , _" - ab- v 2 sm 8 (1 + v 2 sm 8)

+a2bV2COS8(1+V2COS8)2] d8

fr 2 ?Y dx+:c dy = 4" ab(a - b)

, r3

exemple 5

(:1 1 fr' , (x - y) dx+ (x + y) dy rI" t' d ta cu el' W ou W = , 2 2 ,et, e carre onen e e somme sr x + y

consécutifs A = la, a) B = (-a, a) C = (-a, al D = (a, -a) (a> 0)

• La forme différentielle west de classe c= sur U =;;:2 {W,OI},

• 1 il i xdx + ydyElle se decompose en w = w + ùJ avec éù = ? '/

x- + y-

i 1 1 ~?

On constate que west exacte sur L': w = '2 d tn(x + if')

donc t wl= 0 et l l iiw- W

, r ' r Wll a été étudiée dans l'exemple 1,

• elle est exacte sur Ul = {(x, y) E:;::2 lx *- O}

Wll = d Arctan l{x

B

rA

• elle est exacte sur U2 = {(x, y) EX

Wll= -dArctany

C

01 1 x

D

EcrivonsCo ! Ir Ir h

If Jf Il 1/ 1/w= w + w + w + w.!r .PB .Bé .CD ,i5À

Ona[ ]B [ ]x=-a

'H X x.!~w = - Arctan y = - Arctan aAB A x=a

T.'

2

Ir Il Ir Il ~., Il T.'On trouve de même_ w = _ w = ,_, w = 2',Be ' CD ,DA

Ainsi r w= r WII=2T.',ir ir

On remarquera que ce calcul montre que w n'est pas exacte sur U bien qu'étant fermée,

242

6


+xdy+ydz où r est le cercle (supposé orienté) d'équations:

x + y + z = a , x2 + lf + ~ = a2

• La projection orthogonale de r sur le plan Q>-yest l'ellipse d'équations:

z = 0 , x2 + ; + >-y - a(x + y) = 0

( 2a) 2 2 4a2La deuxième équation s'écrit 3 x + y - :3 + (x - y) - 3 = 0

a . ax=3(1+cost)+ /3 sint

a aOn obtient pour paramétrisation de r [0,2 TIJ _iRi3, t rè> < Y = 3(1 + cos t) - /3 sin t

az = 3(1 - 2 cos t)

h' 2 TI a2r étant orienté par cette paramétrisation, on obtient z dx + x dy +y dz = - --r;:-'·r V3

III - Compacts mesurablesAire et volume

Définitions :

d.6 Pavé

On dit qu'une partie P de IR\n est un pavé si P = 0

ou s'il existe a = (al, ... , an), b = (bl, ... , bn) dans sgn tels que:n

P = TI [aj' bjJ = {(Xl,'" ,xn) E~n / 'if jE [1, n],)j E [cy, bjJ}j=l

(p est alors dit pavé d'extrémités {a, b}J.

Remarques

1) Un point de IR\n est un pavé (cas a = b).

2) Un pavé est une partie fermée-bornée de ::::n, donc compacte.

3) L'intérieur d'un pavé P d'extrémités {a. b} est:n

p = TI Jcy, bj[ dit pavé ouvert d'extrémités {a. b}.j=l

4)

d.?

o

P est vide si et seulement si il existe jE [1, n] tel que cy = bj-

L'intersection de deux pavés est un pavé.

Mesure d'un pavé

On appelle mesure d'un pavé P de ::::n d'extrémités {a. b} le réel positif:n

/J- (P) = TI bj - aJi

j=l

Si P =O, on pose /J- (P) = O.


1 )

2)

d.8

RemarquesUn pavé est de mesure nulle si et seulement si son intérieur est vide:Soit Pl et P2 deux pavés de ::en. On a Pl C P2 =} fL (Pl) ~fL (P2)

Ivlesure d'une réunion finie de pavés

i! Soit Pl et P2 deux pavés de ~n, on appelle mesure de leur réunion le réel:/J. (Pl 0 P2i ==/J. (PIJ+ /J. (P2)- fL (Pl n P2)

ii! On définit alors par itération la mesure d'une réunion finie de pavés.

Remarques1) Dans ii. on a /J. (Pl U P2) ~ SUP{fL (Pl), fL (P2)} ~ o.

2) L'ensemble J' des réunions finies de pavés de [R;nest stable par intersection et réunionfinies. Les éléments de J' sont donc des compacts de [R;n.

On dispose alors d'une application fL: 0"-+[R;+ vérifiant pour tout (X, y) E 0"2 :

• X C Y =} fL (X) ~fL (y)• fL (X U Y) ==fL (xl+ fL (Y)- fL (X n Y)

o 0

• X \ Y E 0"et fL (X \ y) ==fL (X)- fL (X n y)o

• fL (X) == 0 ~ X ==0o

• Si P est un pavé, sa frontière Ô P ==P \ P appartient à J' et /J. (ô P) ==o.

d.9 Parties négligeables

On dit qu'une partie X de ~n est négligeable si, pour tout 2> 0, il existe une

suite (PIc)c" de pavés de ~n telle que Xc U Pk etk",

Remarques1) Si X est une partie négligeable, alors toute partie de X est négligeable.

2) Une réunion dénombrable de parties négligeables est négligeable.3 ) Un point, une partie finie ou dénombrable sont négligeables.

4) Une réunion finie de pavés est négligeable si elle est d'intérieur vide ou si elle est demesure nulle.

2)

d.11

Compacts mesurables

Un compact X de :sn est dit mesurable si sa frontière Ô X est négligeable.

On note .1Le l'ensemble des compacts mesurables de [R;n.

Remarques1) Soit X et Y deux compacts mesurables de [R;n, en notant [R;n \ X == Xe, on a :

Ô (X n y) == (ô X n Y) u (X nÔ Y) et Ô (X u y) c (0 X n ye) U (xe no Y)d'où Ô (X n Y) CÔ X uÔ Y et Ô (X u Y) CÔ X uÔ Y.

Ainsi,X n Y et X u Y sont des compacts mesurables.

Un pavé, une réunion finie de pavés sont des compacts mesurables :2l'cj/;Le.

L'ensemble JLe est stable par intersection et réunion finies.

Mesure d'un compact mesurable X de [R;n.

Soit 2l'x la famille des réunions finies de pavés inclus dans X ;

alors {/J. (S)/S E2l'X} est une partie non vide majorée de [R;(elle contient 0 car 0E 0"x et, si P est un pavé contenant X (il en existe car Xest borné), pour tout S E2l'x, on a Sc X C P et fL (S) ~fL (P))

Ainsi {/J. (S)/S E0'x} admet une borne supérieure appelée mesure de X etnotée fL (X): /J. (X) == SUP{fL (S)/S E0' (X)}

d.10

1


Remarques

1) Cette définition appliquée à un pavé ou à une réunion finie de pavés coïncide avec les

définitions 8 et 9 correspondantes.

2) Pour un compact mesurable X, on a les équivalences des trois cas suivants:

il X est négligeable, iii X est de mesure nulle, iiii X est d'intérieur vide.

3) On dispose alors d'une application f.L : ALe~[R+ vérifiant pour tout (X, y) de Jt~ :

• X c Y =? f.L (X) '-'Sf.L (Y)

• f.L (X u Y) =f.L (X)+ f.L (Y)- f.L (X (1 Y)o 0

• X \ Y E ALe et f.L (X \ y) =f.L (X)- f.L (X (1 y)

d.12 Un compact mesurable de [R2est dit quarrable. La mesure d'une partie

1 quarrable X de [R2est appelée aire de X et notée si.(X) .

d.13 Uncompactmesurable de [R3est dit cubable. La mesure d'une partie cubable

1 X de 1R13est appelée volume de X et notée "("(X) .


exemple 7

[a, b] -+lR1continue,a < b.

le graphe de [,,;; {ex,f(x»fx E [a, b]}est une partie négligeable de

• Utilisons l'uniforme continuité de J :

\;fe> 0, 3a> 0, \;f (x, y) E [a, bJ2, lx - yi '-'Sa =? l[(x) - J(y)'

b- aFixons alors n E N* tel que -- '-'Sa et la subdivision de [a, bJ formée des pointsn

b- aCj = a+j-n-' (0 '-'Sj'-'S ni

Pour jE [1, n], notons FJ le pavé [Cj-l. Cj] >< [J(Cjl~ 8.flcj)+ s],n

on vérife alors que fc U1]j=l

b _ a nOr l'aire de 1] est si. (FJ) = 2 8 -n-' donc 2:= .-:111]1= 28 (b - al

j=l

Ceci prouve que f, graphe deJ, est une partie négligeable de ~2

Remarque

On montre de la même façon le résultat suivant:

Si ..1 est un compact de [R2 et si J :..l~[R; est continue: alors le graphe de J est une partie

négligeable de ~3.

Ce résultat permet d'établir qu'une boule fermée de ~n euclidien est un compact mesurable.


exemple 8

~sure d'une courbe

• Soit r une courbe de Fin. (n ~ 2), support d'un arc paramétré compact et de classe CI parmorceaux. On montre alors que r est une partie négligeable de [Rn (compact mesurable d'intérieurvide). Ce résultat tombe en défaut si l'on suppose l'arc seulement continu. En effet, il existe une

application continue et surjective de [0.1] sur [O.1] x [0,1], la courbe correspondante a pouraire 1 (courbe de Peano).

IV - Intégrale d'une fonctionsur un compact mesurable de [Rn

..l désigne un compact mesurable de [Rn.

A. Définitions

d.14 On appelle partage de ..l toute famille finie Œ= (~)l'0~p de compacts mesup

l'ables de ~n telle que ..l= U ..lj et \:j Ci.j) E [1. p]2, i * j =? f-L (;iin;ij) = 0j=l

On note ;y j, l'ensemble des partages de ..l (il est non vide car il contient le singleton (;i)).

d.15 Sommes de Darboux

Soitf : ..l-~ une application bornée. A un partage Œ= (~h'0~p de..l, on

associe les réels: m=inff. 1\J=supf. \:j jE [1.p], T71j=inff. Mj=supfj, j, j,j j,j

p p

pms d(Œ) = L mj /..l (..lj) D(Œ) = L 1'\1j /..l (..lj)j=l j=l

appelées respectivement sommes de Darboux inférieure et supérieure.

RemarquesAvec ces notations, on a les relations suivantes:

p

1) /..l (..l) = L /..l (..lj) . m /..l C..l) ~ d(Œ) ~ D(Œ) ~ M /..l el).j=l

2) Les ensembles {d(Œ)/ ŒE J' j,} et {D(Œ)/ ŒE J' j,} sont des parties bornées de [R ;

on peut introduire leurs bornes supérieure et inférieure respectives:

s(f) = sup{ dCŒ)/ ŒE J' j,} . SV) = inf{D(Œ)/ ŒE 2P j,}

d.16 Fonction intégrable

Une application bornéef : ..l-R est dite intégrable si SV) = SV) et, dans ce

cas, le réel SV) = SV) est appelé intégrale de f sur;i et noté

Remarque

Lorsquef == 1, l'intégrale sur ;i donne la mesure de~.

Des règles pratiques de calcul des intégrales doubles ou triples j~f découlent lesméthodes de calcul de la mesure de ;i, aire ou volume.

246

B. Propriétés

Précis d'Analyse "

p.?

1

p.8

Une application bornéef : .1~[R;est intégrable si et seulement si :

\:18> 0, ::lm= 7P -1, 0 ~ D(Œ) - d(Œ) ~8

il L'ensemble des fonctions réelles intégrables sur ..1,noté 1"(.1),est un sousespace vectoriel de 2F (.1,[R;).

iil L'application 1"(..1)-7[R;.jf--ôo l f est une forme linéaire ..1-1

p.9 il Toute application continue de .1 dans [R;est intégrable.1

ii 1Soit f et 9 : ..1-7[R;,intégrables; alors les applications suivantes sont inté-

grables: lfl inf(f g) , sup(f g) , fg

p.10 Soitf et 9 : ..1-[R;intégrables.1

ilf?cO =? lf?cO , f~g =?

iil Il fi ~ llfl ~f.L (.1)sup Ilf(x) II·.1-1.1-1 xd

iii 1 f.L (.1)= 0 =? if = o.

l f ~ J' g ..1-1 . -1

p.11 Soit.11 et.12 deux compacts mesurables etf :.11u.12-7[R;intégrable.1

Alors, f est intégrable sur .11et .12et :

l f= l f+ l f- l f.1-11u!l2 .1-11 .1-12 .1-11~-12

et, si f.L (.11(\.12)= 0: .l'U-12 f = i,f + .l2 f

p.12 moyenne: Théorème de la moyenne

il Soitf : .1-7[R;intégrable, on af.L (..1). inff ~ l f ~f.L (..1). supf-1.1-1 -1

iil Si.1 est connexe,j : .1-7[R;continue, 9 : ..1-R intégrable positive:

il existe a E.1tel que l f = frai f.L (..1).1-1

il existe b E ~ tel que l fg = f(b) J g ..1!l . -1

p.13 Inégalités de Schwarz et de Minkowski1

Soitf et 9 : ..1~[R;intégrables.

(lfgr ~Clf) Cll)

1 1 1

[.l(f + g)2r ~Clf) 2 + Cll) 2


C. Intégrale d'une fonctionà valeurs dans un espace vectoriel

E désigne un :<-espace vectoriel normé de dimension finiep ? 1.

Définitions:

247

d.17 Soitf: .1-::::: une application bornée. On dit quef est intégrable sur.1 si lesdeux applications Reif! et Im!f) : .1-?- sont intégrables sur Ll.

On définit alors l'intégrale de f sur .1 par: .l f = .l Re(f) + i.l Im(f)

d.18 Soitf:.1- E une application bornée, B = (eJ)l'0~p une base de E et (jJh'0~ples fonctions coordonnées de f dans cette base. On dit que f est intégrable

sur .1 si toutes les applications li : .1-C (1 ~j ~ p) sont intégrables sur .1.

On définit alors l'intégrale de f sur .1 par: .lf =t (.lli) eJ

Remarques

1) On vérifie que l'intégrabillté de f :.1~ E ne dépend pas de la base choisie, ainsi quel'intégrale de f.

2) Les propriétés 9, 10 il, 12 restent valables (mutatis mutandis).

3) Enonçons une propriété de majoration. Pourf :.1- E, intégrable, alors l'application:

est intégrable, et ~.l II ~fJ. (.1) ~~~ Ilf(x) Il

1 V - Intégrale double - Aire planeNotations:

n.6 L'intégrale sur un compact quarrable .1 de :qz, de f :.1- E, s'appelle une

intégrale double, on la note r f = r r f(x, y) dx dy.1::, Jj::,

(x et y sont des variables dites muettes).

n.7 L'aire de .1 (mesure de .1) est notée sI (.1), elle se calcule en choisissantf == 1 :

1 cel (.1) = fI dx dy

A. Théorème de Fubini

t.2 Soitf :.1~ E continue.

il Cas où.1 est un pavé . .1= [a, b] x [c, dJ. a ~ b et c ~ d.

flf(X, y) dxdy = fab [ld f(x, y) dY] dx = ld [fab f(x, y) dx] dy.

iil .1= {(x, y) E IR;2la ~ x ~ b, u(x) ~ y ~ v(x)}, où u, v: [a,b] -IR; sont continues.

hI' jb [JV(Xl ]f(x, y) dx dy = .. f(x, y) dy dx.. ::' a . U(Xl


Désormais, on ne considère que des fonctions continues,

Remarques

1) Pour tout (x, y) E [a, bJ x [c, dl, les applications partielles de j sont continues, ce qui

justife l'existence des intégrales simples:

J'd jb j'~~j(x, y) dy, j(x, y) dx , j(x, y) dy,C a ,~~

Ainsi, le calcul d'une intégrale double se fait à l'aide d'intégrales simples.

2) Si dans le cas il, j se décompose en j(x, y) = g(x) h(y), on a :

JI g(x) h(y) dxdy = [ibg(x) dX] [id h(y) dY]

3) On montre que le compact ~ décrit en iil est mesurable.

Dans la suite, un tel compact sera décrit par: ~: a ~ x ~ b, u(x) ~ Y ~ v(x)

On obtient un résultat analogue en permutant les rôles des variables x et y.

Définitions :

d.19 Compact élémentaire

On appelle compact élémentaire une partie ~ de 1R2 pouvant être définie

simultanément par ~: a ~ x ~ b, u(x) ~ y ~ v(x)

ou par ~: c ~ y ~ d, r(y) ~ x ~ sCy)

où u, v : [a, bJ -+IR et r. s : [c, dJ -+IR sont continues et de classe el par morceaux.

Le théorème de Fubini donne alors:

i1 J'b [jV(X) ] J'd [jS(Y) ]j(x, y) dx dy = j(x, y) dy dx = . j(x. y) dx dyLi. ,a ,u(x) ,C . Tl yi

d.20 On appelle compact simple une réunion finie et connexe de

1 compacts élémentaires.

dr--g, ........•

: ~,,

,el- - -,- - --

d ". SJmm. nn_

.• 8'0~ /

c _nnn

,,\

b ,.adi.....Ô;i.@- n_ ~ l .

____?.:m .n*--~ ,

2 :..C~ -

o7

bo ab01 ab

C "nn

d"----

0] a

figure 1 figure 2 figure 3 figure 4

Remarques

1) Dans la définition 20 d'un compact élémentaire. (figures 1,2 et 3) , on a:

a=inf{xjCx,Y)E~} b=sup{xj(X.Y)E~}

c = inf{yjCx, y) E~} d = sup{yj!x. yi E.l}

2) La frontière de ~ est une courbe de classe el par morceaux.

Elle est conventionnellement orientée par la paramétrisation :


x=(1- t)a+ tb

}t E [O,IJY

=u(x)

x

=b

}tE [L2JY

=(2 - t)u(b) + (t - l)v(b)

-? <

[0,4J -_"ê-. t·'-'7 X=(t - 2)a + (3 - t)b

}t E [2,3JY

=v(x)

x

=a

}tE [3,4JY

=(t - 3)u(a) + (4 - t)v(a)

On note 8+..:lIa frontière de ..:lainsi orientée.

3) La frontière d'un compact simple, (figure 4), sera orientée par les frontières orientées

des compacts élémentaires qui le composent.

L'orientation de 8..:lest indiquée par des flèches sur les schémas.


exemple 9

1 Calculer JI yX elx ely où c?, : ° < a ~ x ~ b, 0 ~ y ~ 1.

• Ici ..:l= [a. bJ x [O. IJ est un pavé, etf : ..:l-;:::. (x. y) f-7 !J" est continue.

On peut utiliser le théorème de Fubini, mais le choix pour l'ordre d'intégration n'est pas indifférent.Le calcul donne:

si YEJO,l[

si y = °si Y = 1

rI 1'if (x. y) E..:l: .la yX dy = x + 1{ yb _ ya

..ibyX elx: = ° tnyb- a

rr c,b[r1] rb elx b+lAinsi JJ."y"clxdy= la .la yXdy eL\:= .la x;1 =tna+l

~Z j.1 b a

" y - you bien !J clx dy = tn dy.~. ..\. a Y

Le calcul de la dernière intégrale peut se faire (la fonction sous le signe somme a un prolongement

continu sur [0, IJ) mais pas à l'aide de primitive.

exemple 10

~ Cakuler Il xy dxdy, où" e,t la partie du plan limitée pa' le, pambol"•.•.tions y = :>? et x = if' .

• On a ici ..:l: ° ~x ~ 1, x2 ~ Y ~ lXLe calcul s'écrit:

( ) 9 -) [3 6]1

.. 1.yX ·1 x- xD X x

r r xy dx dy = r x j y dy clx = r (- - =--- clx = - - -Il..\. .1a X2 .1a 2 2 6 12 0

250

y


1rr ÀY dxdy = 12Il.::.

B.Changementdevanabœs

x

1. Formule du changement de variables dans les intégrales doubles

Soit U et V deux ouverts de J;{L, (Ç: U - V une application de classe el, D et.3. deux

compacts quarrables tels que D c U, .3.c V, (Ç (D) =.3.. On suppose, de plus, que

l'ensemble des points de .3.qui ont plusieurs antécédents dans D est négligeable.

L'application cp: D --+.3.,(u. v) f-7 (x, y) définit un changement de variables; le jacobien

d ' D(x, y) . d 't l' t' t' d D d fil)e cp, note D(u, v)' ln UI une app Ica Ion con Inue e ans "".

Avec ces notations, on a la formule:

Jf f(,X, yldx dy == .'.r f(x(u, v), yeu, v») 1 Di(X.~'))1 du dv11.::. ln ' 1 D,u. [; 1

Noter la présence de la valeur absolue du jacobien de (Ç.

12. Applications 1

al Coordonnées polaires

cp: J;{2_;;:.2. (r. 8) >-> lx. yi = Ir cos 8. r sin 81

.. D(x. y) i cos 8 -rsin 8Le jacoblen de cp est -D( 81 = 1. = r.r., i sm 8 r cos 8

La formule du changement de variables s'écrit alors:

lif(X, y) dxdy = l/Df( rcos 8. r sin 8) irl dr d8

Remarque

Il est souvent judicieux de choisir D pour que r reste positif (quitte à faire un partage de

.3.et utiliser la relation de Chasles).

b) Coordonnées elliptiques

(Ç:

Le jacobien de ç est

(u, 8) f-7 (x. yi = (au cos 8. bu sin 81

D(x. y) = 1 acos 8 -ausin 8 = abu.D(u.8l ! bsin 8 bucos 8



il]IX, yi cb:dy = IID](aucos 8. bu sin 8) labu[ du d8

Cl Cas d'une application affine

y : :=:2_;~2 est une bijection affine

Le jacobien de c est le réel det LI ç) où LCcp) désigne la partie linéaire de cp,

Application

Si D est un compact quarrable, q; (D) est un compact quarrable dont l'aire est:

3l. [q; (D)] =$ (D) IdetL(cp)1

251

Cas particuliersc homothétie de rapport ÀE [FR*:

y affinité de rapport fLE [FR*:

ç isométrie de [FR2


$ Ccp (D)] = 111.12 $ (D)

$ Ccp (D)] = 1 fLl $ (D)

sI [q; (D)] =$ (D)

exemple 11

1 Calculm- f f = ; 2 dx dy où 1 e~t Je di,quo fc,'m é de cent,c (0,0) et deJJ", l+x +y

rayon l,

• Il est naturel d'utiliser les coordonnées polaires:

? 2..1: X- + y ~ 1

YT

D : 0 ~ r ~ 1. 0 ~8~ 2 ÎÏ

811\

hh1

L'ensemble des points de ..1 qui ont plusieurs antécédents dans D est:

A:O~x~l

Le calcul de l'intégrale double s'écrit:

y = 0, il est négligeable

lh' r (io2'iT) (1'1 r )l = ~ dr d8= d 8 -2 dr.. D1+r ,0 ,ol+r

• l =TI' fn2


il) dxdy où!l est le disque elliptique fermé donné par:

2 2X Y2+2~1, (a>O,b>O)a b

• Il est naturel d'utiliser les coordonnées elliptiques:2 2

x y!l: 2 + 2 ~ 1 , D: 0 ~ u ~ 1,0 ~8~ 2 11"a b

Le calcul de l'intégrale double s'écrit:

rr 2 2 2 2 2 . 2l = JJD(a u cos 8 +b u sm 8)abudu d8

l·1 i·2'ITab u3 du· (a2 cos2 8 +b2 sin2 8) de

. 0 . 0

11" ab(a2 + b2)4Noter que l est le moment d'inertie du disque !l par rapport à son centre.

exemple 13

Ji (x + y) dx dy où !l: VX + JY ~ LvI - x + vI - y ~ 1,

!l est limité par deux arcs de parabole et admet le point (~, ~) pour centre de symétrie.

Transformons l'intégrale à l'aide du changement de variable défini par la rotation:

2 2 1 u-v 1 u+v'P : IR ---;IR, (u, v) 1--» X = "2 + V2 ,y = "2 + V2

2 9-1 - 1 1 2v - 1 1- 2v-On trouve 'P (!l) = D : - ~ v ~ - --~- ~ u ~ ---V2 V2 2v2 2V2

puis l = il (1 + uV2) du dv (le jacobien de q;est 1).

yi

A

'v

1

\ 1°)

u

x

Des raisons de symétrie (par rapport à la droite d'équation u = 0) donnent:

lir' 9u vl2 du dv = 0 et donc l =::1 (DI =:J (..l) = ~.. D


C. Formule de Green-RiemannCalcul d'aires planes

253

Théorème:

t.3 Soit ~ un compact simple de :=;;2 et w == Pdx + Qdy une forme différentielle declasse el sur un ouvert contenant ~,

h' j'''(aQOn a alors P dx + Q dy == ! J -,--,0+", ,.J", dx

Application au calcul d'aires planes

Soit ~ un compact simple de 1R2et D son image en coordonnées polaires,

1) sa (A) == JI

2) sI (A) == r x dy == _ r.J 0+ '" Jo+j,


exemple 14

~. Aire d'une arche de CYClo·,.'de. ~ est le campa. et simple limité par l'axe Ox/etl'arcparamétré 'Y: [O,2TI]~iR;2, tH(x,y)= (aCt-sint),a(l-cost»)

•

exemple 15

limitée par la cardioïde d'équation polaire r == a(1 + cos 6),

•

l, ~'2"2 ,)

sa (~) = - y dx = a (1 - cos tt dt0+'" . a

,11(A) == 3 TI a2

(noter que l'orientation de 8Acorrespond à l'orientation de 'Ydans le sens des t décroissants)

1h a2 j"sa (A) == 2" r2 d6= 2 (1+ cos 6)2 d6ü+D . -TI2

sa (A) = 3 ~ a

Ày

2a"- -------------

y

x21Ta

x


de Descartes x3 + y3 - 3axy = O.

• il est le compact dont la frontière est l'arc:YI ü+il

(On notera que, avec y = tx :

2 (3at )[0, +00[-+[1;1; ,t -+ x = 1 + t3 . Y = tx

:il (il)

xdy-y dx = x2 dt)

1 r 2 ga2 rc:0 t2 dt= "2 Jo+j, x dt = 2.10 (1 + t3)2

3a2=2

x

exemple 17 ~

de deux façons différentes l'intégrale double:

l = JI (2x3 - y) dxdy

• 1) A l'aide du changement de variable

2 2x y

il : x ~ 0, y ~ 0, -"-Z+ 2' - 1 ~ 0a b

{X = aucos 8y = bu sin 8

.)

P = y~2

"o ~ U ~ 1 0 ~8~-

. 2

4xQ=Z

é!P

dY = y

[b2 4 ]

. 9 .•. a 4

2 sm-81-asmSJ+2cos 8(bcos8 d8

1= jjD(2a3u3cos38-bUSin8)abUdUd8 , D

1T( 2)'224 3 ab

1= fa Sa bcos 8 -3 sin 8 d82

4 4 ab1= 15a b- 3

2) A l'aide de la formule Green-Riemann:

!.2 = 2x3éJx

. y2 x4 .:!':

l = r - dx + _ dy = r 2Jo+j, 2 2 .la

24 4 ab

1= 15a b- 3


1 VI - Aire d'un morceau de surface

255

On considère dans ce paragraphe, l'espace E ==::;:;3 euclidien, orienté, muni de sa struc

ture affine canonique, 10, !, j , le ,1 est un repère orthonormé direct.

A. Définitions

d.21 Morceau de surface1

On considère une nappe paramétrée F : U ~::;:;3 (L' ouyert de ::;:;:2,F applicationde classe el).

A un compact quarrable...1 dans U, on associe la partie :[ == F(...1! du supportde la nappe appelée morceau de surface.

d.22 Aire du morceau de surface :[

On appelle aire du morceau de surface :[ de représentation paramétrique

(...1.F), l'intégrale doublesI (:[) == Il

éJF éJF-- fi --II dudv

éJu éJv

Remarques

1) On montre que l'intégrale ne dépend pas de la paramétrisation choisie.

2) On dispose des propriétés habituelles de l'intégrale double .

. éJF éJF

3) Il est frequent que les vecteurs éIu et éIv soient orthogonaux:

et dans ce casélF élF--A--élu élu

B. Cas particuliers

l, Cas d'une poramétrisation cartésienne

F:U~!R3, (x,Y)f-'Joo+X!+YJ +z(x,y)k

éJz éJz

En utilisant les notations de Monge, p == -,-, q == :;-, il vient:dx uy

éJF

éJx==i+plc

éJF

EJij==j+qlcéJ F A éI,F Il == VI + p:2 + q2élx dy

si CL) == .Jl/l + p2 + q2 dxdy


12, Cas d'une surface de révolution 1

n,81 ----;-

Nous utiliserons le repère orthonormé Cu, u ,k) défini par:

u(t) = cos tT + sin t j ! -U (t) = - sin tT + cos t j

Les surfaces de révolution considérées sont d'axe (0, k),

Surtace de révolution donnée par une méridienne

F: Ix [R-c[R3, (t, e) f--'> 0 + r(t)u(e) + z(t) k

oFEit = r'u + z'k

oF- -'éJ8 =ru

Ces vecteurs sont orthogonaux doncoF oFEit /\---;F = Ir' Vr'2 + z"2

si C:L)=Jllrl Jr'2 + zl2 dt deDans le cas d'une zone de révolu

tion, surface de révolution engen

drée par une demi-méridienne fai

sant un tour complet autour de l'axe,

l'aire est donnée par:

sa (:2) = 2 Ti" 1r r ds

Intégrale curviligne le long de r, s

abscisse curviligne de r, r distance

d'un point de r a l'axe de révolution,

(r ç 0),

13, Cas d'une surface cylindrique,

F: Ix [R-c[R3, (t, z) f--'> 0 + f(t)T + g(t)j + zk oùf et 9 sont de classe CI sur l,

y

r

-l,z

~

air·,x/'

r: tf--'> O+f(t)[ +g(t))

est une base droite du cylindre,

notons s une abscisse curviligne de r,

sa (2::) = JI \/1'2 + gl2 dtdz = r zds..~ if



exemple 18

1 Aire de la portion du paraboloide z = ;; nu.i se pr.ojettexOy suivant le quart de disque .l: x ~ O. y ~ O.~ + if' ~ a2

• La surface est donnée par une équation cartésienne: calculons:

257

le plan

élz yp = élx = Ci

1 9 2 2 2+ p- + q = 1+ x + ya2

Nous utilisons les coordonnées polaires et le compact: D; 0 ~ r ~ a

:;il»)

r l.1 x2 + y2 fI ~.iJ.è. ~ 1 + ~ dxdy = JJD·~ 1 + ~rdr de

; [~' (1 + ::) ~[7i a6 r=

-6-12v2-1)

exemple 19 ~

1... Aire de la pmiion du pamboloide de. ré\.'OIUtiOn~ + if' = 2pz qui se projette orthogo

nalement sur le plan xOy suivant une boucle de lemniscate de Bernouilli :'j'j" 7ï ~-4 ~e~ 4 . 0 ~ r ~ py cos 2 e

2

• Paramétrons le paraboloïde en coordonnées cylindriques: F: (r. e) Ho 0 + ru + ;p kdF

dr

r~u+-Icp

dF

---a:J = ru'

258 , Précis d'Analyse Il

•Une demi-méridienne est le cercle r paramétré par

3 ~ ~[O,2'TT]--+1R. ,<pf--c>O+Ca+Rcos<p)) +Rsin<p k

Une abscisse curviligne est s = R <p.

sflC2:)

sfl C2:)

(2'IT2 'IT )0 Ca + R cos <p)ds

2'TT (2'ITCa+Rcos<p)Rd<p)04 'TT2 aR

x

o

/)y

O<R<a

exemple 21

[.Aire de surfaces associées à un hélicoïde droit .

• 1) F1:lR.xlR.--+1R.3,Ct,8)f--c>O+at17+h8k ..11: 0 ~ t ~ 1, ° ~8~ ;

a F 1-----at = au

aF 1 . 1

--as- = mu + h kz

a F 1 a F 111 = aVa2t2, + h2ai!\ a8

sfl (2:1) = fil av/ a2t2 + h2 dt d8

sfl (2:1) = : ( av a2 + h2 + h2 Argsh ~ )

x

y

2) F2:1R. x 1R.--+1R.3,(z, 8) f--c>0 + a 17 + zk ..12: 0 ~8~ ~'. 0 ~ z ~ h 8

a F2 ----+- = kaz

a F2-- - /a8 - au

éI F2é.lz

a F') il

~I=a2

sfl c:2) = fI adz d8= ah ~2 If Â2


exemple 22

1 Aire de la fenêtre de Viviani, pm'tinn de la aphère de centce 0 do rayon n, intérieareau cylindre d'équation _.? + lf - ax = O .

• Utilisons les coordonnées sphériques F:::: ;.- ~_3 • (8. eç) H> 0 + a cos cp u + a sin y k

y

él F 2~_. -- = a co::, yéiç

- -

(if (7J

4a: .1(10 ~ d 8 ';)/8 - cos Cf d cp4a~ . 2 - 1

élF

7i i7. î'i a F _f a F . --+ ----,-..1: --2 ~8~ ",. 8! ~.<:: ~ ",. -0--..8 = acos <:: u . -.-'.- = -aslncp u + acoscp le:::. , • j L rJ 'rJIf

AZ

1 VII ln tégrale tripIeNotations:

Calcul de volumes 1

n.9 L'intégrale sur un compact cubable ..1 de Rio, de f :..1~ E s'appelle une

intégrale triple, on la note .lf = .J!J~f(x. y. z) dx dy dz(x. y. z) sont des variables dites muettes)

n.10 Le volume de ..1(mesure de ..1) est noté CF (..1), il se calcule en choisissantf == 1

1 r (..1)= .fil dxdydzOn suppose désormais f continue.

A. Théorème de FubinitA il Cas OÙ..1 est un pavé . ..1= [a. al] x [b. bl] x [c.c']

.fll f(x. y. z) dx dy dz = .faal [.lb! (lei f(x. y. z) dZ) dY] dx

iil Cas OÙ..1: (x, y) E D. u(x. y) ~ z ~ v(x. y), avec D compact quarrable de 1R2,

u et v : D ~IM continues.

ffI f(x. y, z) d.x·dy dz = fI [!L'(~.y) f(x. y. z) dZ] dx dyJJJ j, JJ D . ui x.y)

iii 1 Cas où ..1: a ~ z ~ b. (x. y) E D(z), avec, pour tout z E [a, b], D(z) compactquarrable de 1R2.

fI f(x. y. z) dx dy dz = J.b [fI f(x. y. z) dx dY] dz.1.) j, . a J J D(z)


Remarques

1) Les applications partielles dej en tout point sont continues, ce qui justifie l'existence des

intégrales simples ou doubles,

2) Dans il, on peut permuter l'ordre des intégrations,

Dans le cas oùj(x, y, z) = 0' (x) [5 (y) '1 (z), on a :

III 0' (x) [5 (y)'{ (z) clxdydz= [.lai 0' (x) dX] [.lbl [5 (Y)dY] [,lei '1 (Z)dZ]

3) Le cas iil est appelé sommation par piles

Le cas iiii est appelé sommation par tranches

Z

Z = v(x, y)

Z = u(x, y)

o

cr=v y

Sommation par piles Sommation par tranches

y

) dx dy dz où .i: :? + J + .; ~ a2 .

• Utilisons une sommation par piles avec D: x2 + J ~a2,

l = ff 2(x2 + y2)j a2 _ x2 - y2 clxdy = 2 rf 1 r2,./a2 - r2rdr de~D .iD

à l'aide des coordonnées polaires, D: 0 ~ r ~ a, 0 ~e~ 2 "', on obtient

(moment d'inertie d'une boule par rapport à un de ses diamètres)

8", 5l = 15 a

Où .i = [0,1]3 .

exemple 24 - _

1 Calculer l = liL x2yexyzclxclydz

• L'ordre d'intégration n'est pas indifférent:

I= II [.f x(eÀ1j -l)dY] /,1, >: • 5dx = le' - 1 - x) dx = e - -

2",0


Utilisons une sommation par tranches avec D(z) : lx + IY "'"1 - ,fi.Notons que D(z) se déduit de DiOl par l'homothétie de centre (0,0), de rapport (1 - Iii,autrement dit J1Dz cL'édy = jj~o,l1- \/'2)4 cL'édy = il - /2)4 SI1(D(O»

exemple 25

1 Calculer l = .Jjj~z dx dy dz

•où ~: vIX + yIY + ,fi "'"1.

On a:,1 1

.el iDiOl1 = 1 i1- \/~}2 dx = ~ , .'. Jo' A 6

z

1D(z)d'où

l

B. Changement de variables

D(O)

1y

1. Formule du changement de variables dans les intégrales triples

Soit U et V deux ouverts de [;'3, <,s: U - V une application de classe el, D et

~ deux compacts cubables tels que D c U, ~c V, CF (D) =~. On suppose, de plus,

que l'ensemble des points de ~ qui ont plusieurs antécédents dans D est nég[igeable.

L'application CF: D ~~, (u, v, w) f-7 (x. y, z) définit un changement de variables; [e

jacobien de c, Je, est aussi noté g:x, y, z),. il induit une application continue de D dans.. ,U,V,w'R. Avec ces notations, on a [a formule:

fil f(x, y, z) dx dy dz =

((fi D(x, y, z) 1

JJjD f( x(u, v, w), yeu, v, w), z(u, v, w») . D(u, v, w)

Noter [a présence de [a valeur absolue du jacobien de <p.

\2. Applications 1

al Coordonnées cvlindriques <p: iR3~iR3, (r, e, z) f-7 (x, y, z) = (reas e, rsin e, z)

.. D(x, y, z)Le jacoblen de <pest D( e ) = r.r, ,zLa formule du changement de variables s'écrit alors:

f/lf(X, y, z) dxdydz = jfLf(reas e, rsin e, z) Irl dr de dz


b) Coordonnées sphériques

cp: [Fg3--.;-[Fg3, (r, e,<p) ~ (x, y, z) = (rcos e cos cp,rsin e cos <p,rsin <pl

Le jacobien de cpest:

D( ) \ cos e cos cp -r sin e cos <p -r cos e sin <p

x,y,z 2

D(r, e, cp) = sin e cos <p rcos e cos <p -r sin e sin <p1 = r cos <p.sin <p 0 r cos cp


.fIi j(x, y, z) el\: dy dz =

.fl/Dj(r cos e cos <p,r sin e cos cp,r sin <p)r2Icos cpldr de dcp

c) Coordonnées ellipsoïdlques

<p: [Fg3--.;-[Fg3, (u, e, <pl ~ (x, y. z) = (au cos e cos <p,bu sin e cos <p,cusin <pl

.' D(x, y, z) 9

Le jacoblen de <pest D( e ) = abc u- cos <p.u, ,<p.


.fll j(x, y, z) dx dy dz =

.fl/Dj(aucos e cos cp,bu sin e cos cp,cu sin cp)abcu2lcos cpldu de dcp

d) Cas d'une application affine cp: [Fg3--.;-[Fg3 bijection affine

Le jacobien de cpest detL(cp), où L(cp) désigne la partie linéaire de cp, Il est constant.

ApplicationSi D est un compact cubable, cp(D) l'es! aussi, son volume est

"If [cp (D)] ="If (D) Idet L(cp)1

Cas particulierscphomothétie de rapport ÀE [Fg"': 'F [cp (D)] = IÀ[3 l' (D)

cpisométrie de [Fg3 10 [ où"• Utilisons les coordonnées ellipsoïdiques :

D: 0 ~ u ~ 1, 0 ~e~ 2 To, - ; ~<p~ ;

fff 2 2 . 2 '/l = JJJD C u sm <p.abcu- cos <pdu de d<p

4 TI abc315

Le même calcul donne le volume de l'ellipsoïde ..1 (resp. d'une sphère ..1/ de rayon a) :

r (..1) = J' dxdydz = (JI abcu2 cos ç du de d<p. .1 JJ J D

.. 4 To abc "! 4 31 (..1) = 3 (resp. 1 1..1 1 = "3 'i7 a )

-


z = uvw

exemple 27 ~

1 Calouler 1 = ffL,",y"z'(1 ~x - y - zt dxdy dz où (p_ q_" s) E N4 etci: x ~ 0, y ~ 0, z ~ 0, x + y + z ~ 1

• Utilisons le changement de variables défini par x + y + z = u, y + z = uv,

L'image de .1 est D = [0, 1J3, le jacobien est Drx, y, z} = u2v,D(u,v.w)

Remarque1

On en déduit que le volume du tétraèdre Ll, (p = q = r = s = 0), If (Ll) = "6' ainsi que sesmoments d'inertie par rapport aux plans ou axes de coordonnées,

exemple 28 ~

~'~;~:~:::nl:P"'iie du 'ylind" x' + if - ax ~ 0 intérleureà la ,phé,-ede cent" 0• Utilisons les coordonnées cylindriques, L'image réciproque de .1 est:

•••• '1 ~D:-2~e~2' O~r~acose. Iz ~Va"-r"

OV" (à) = .!Jj~rdr de dz = L~[.laCOS8 2ri a2 - r2 dr] de

If (Ll) = 2~3 L: (1-lsin3 el) de2

OV" (Ll) = 4~3 ( ; _ ~)

exemple 29

1 Volume engendré par la rotation d'une plaque plane .1 (compact quarrable de !R;2 de,>rrontière orientée f) par rotation autour d'une droite D de son plan, D ne traversant

i pas Ll.

• Utilisons les coordonnées cylindriques,

Le compact cubable B est ici caractérisé par 0 ~e~ 2 '" (r, z) E.1,

Of (B) = fjlB dxdydz = 12"[.il rdrdz] de= 2 •• /1rdrdz

264

et, en utilisant la formule de Green-Riemann:

"V (B) =10 [r2 dz

Application


D

ttJIci, la plaque Ll est un disque de frontière f :r = a + R cos (j), z = R sin (j), 0 ~ R < a

'Y (B)

'Y (B)

10 [r2 dz

10 fo2"(a + Rcos<p)2Rcos(j) d(j)2 2210 aR

---t@zrrR.>1 a

i~

VIII- Masse, centre et moment d'inertieE désigne l'espace affine euclidien orienté Rn, (n = 1,2,3), muni d'un repère orthonormé

direct (0, T, T) ou (0, T, T, k)

A. Définitions

d.23 Systèrnematériel

On appelle système matériel de E tout couple (S, (T)où S est un compact deE et (Tune application continue de S dans IR+ appelée répartition deou

d.24

1

d.25

il

iil

Lorsque la densité d'un système matériel (S. (Tlest une fonction constante,le sytème est dit homogène

Un système matériel (S. (T)est appelé:

si S est un compact cubable de

si S est un morceau de surface de

iiii

iv 1

si S est un compact quarrable de ~2,

si S est un arc continu de classe el par morceaux de ou de :=23.

d.26 i 1 La masse du solide (S, (T), estle réel positif M(S) = Jjfs (T(x, y, zl dx dy

ii 1 La masse de la plaque gauche (1. (T)dont une représentation paramétrique

lZ' ( \ [1 élF élF!iest C.l, F), est le réel positif M("2:) = (T\ F(u, u) 1 ! -.- /\ -.-11 du du.. :' JidU dUI

iii 1La masse de la plaque plane (.~,(T), est le réel positif M(ilj = il (T(x, yliv 1 La masse du fil (f, (T)dont s est une abscisse curviligne, est le réel posi

tif M(f) = [ (Tds (intégrale curviligne le long de r orientée suivant les scroissants).


x2a

Remarques

1) SoitJ: [a. bJ - E de classe CICa < b) une paramétrisation d'une courbe r.

L'abscisse curviligne positive est s: [a. bJ ~~+, t f-'> sCO = it Il.1 (U)ll du

La masse du fillT, (J') est: kIff) = ib(J' (JCO) Il.1 COll d.t

2) Lorsque le système matériel est homogène, on note encore (J' la valeur de la fonctionCT : la masse s'écrit alors, dans chaque cas:

5 solide de volume r (5) AI(S) =(J'T (5)

2 plaque gauche d'aire sI (2) M(2.) = CT,el (2:)

j, plaque plane d'aire :il (j,) M(j,) = CT:;1 0)r fil de longueur e (r) M(r)= CTt (f)

d.27 S,ymétrie mécaniqueSoit H une variété affine de E (point, droite ou plan), <p la symétrie orthogonale par rapport à H. On dit que H est élément de symétrie mécanique d'unsystème matériel (S, CT) si: <p (5) = 5 et (J' 0 <p = (J'.

Lorsque le système est homogène, la deuxième condition est acquise, on dit que H est

élément de symétrie géométrique de S.


exemple 30

1 Calculer la ma"e du fi] (f. cr " de la plaque ln,"J, où[ est la "",dio'de d:équation••polaire r = a(1 +. co..s el. (a..•..> 0.), j, le compact quarrable de frontière r, et (J' la densité. 11'-1'définie par (J' UV!.I= Ci : OM , .

• 1) Cas du fil.

Une paramétrisation de r est [- 11',11'J~~2, ef-'>J(8) = 0 + a(l + cos e)17

Le calcul donne:

fie) = -asin e 17 + a(l + cos e)v, Il.1 (e)\\ = 2acos; y

Men = LT~(J' (J(e)) lil(e)l\ de

jTi e 32M(r) = (1 + cos e)2acos - de= -a

-Ti 2 3

jTi eNoter que la longueur de r est t (r) = -Ti 2acos 2 de= Sa.

2) Cas d'une plaque.

Nous utiliserons les coordonnées polaires.

6. est associé au compact D: - 11'~e~11', ° ~ r ~ a(l + cos e)

rr rr r j1T a2M(j,) = Il j, CT (x, y) dxdy = JJD Ci.rdr de= -Ti 3(1 +cos e)3 de

5 JTi a2 3M(6.) = '311'a2. L'aire de 6. est: :il (6.) = . -Ti 2(1 + cos e)2 de= '2 11'a2.


d'une plaque gauche homogène (2;1U2,2. (T) et du solide (S. (T) de, où 2,2 est la portion de sphère de centre 0 et de rayon a, et 41 la

ne de révolution d'axe Oz et de demi-angle au sommet ex,précisés par

• 1) Cas de la plaque.

2,1 {FI : (r, e) ~ 0 + r(u sin ex+k cos ex)~l 0 ~ r ~ a. 0 ~e~ 2 TI

{ F2 (e. cp)~ 0 + a(u cos cp+ k sin cp)2,2 TI TI

~2 0~e~ 2 TI. 2- ex~cp~ 2

~ ~ Il 1\ ~ ~

aFI aFI . aF2 aF2 9

ar fi ---a8 = rsmex. 1---a8 fi ~II = a~coslp

M(2,I) = (I cr rsinex dr de. M(2,2) = fI cr a2 cosq; de dq;)) -'1 Il-"2

M(2,I) = crTI a2 sin ex. M(42) = 2 ŒTI a2(1 - cos ex)

M(2,IU2,2) = M(II) + M(2,2) =ŒTI a2(2 + sin ex-2cos ex)

2 .2 9 2 9 9 9 22) Cas du solide. S: x + y + z:- ~ a. x- + 7J - z:- tan ex~ 0

S est défini en coordonnées sphériques par:

x

y

Si : 0 ~ r ~ a, 0 ~e~ 2 TI,TI2- ex~cp~ TI2

M(S) = (fI Œ eL\"dy dz = j(ff} cr r2 cos cpdr de d q;IJJs . Ils

2 ŒTI a3

M(S) = 3 (1 - cos a)

B. Centre d'inertie d'un système matériel

Définitions :

d.28 On appelle centre d'inertie (ou de gTavité) d'un système matériel fini

(fLi. AihE;iE;p où Al .... ,Ap sont des points de E et fll.· '. flp des réels strictement positifs, le barycentre du système pondéré correspondant:

1 p p

G = M L fli Ai où !VI = L flibl bl

Remarquep

Comme la masse M = L fli du système n'est pas nulle (j,I > 01. le barycentre existe.i=l

Si [e système est homogène (fll= '" =flpl, le centre d'inertie est l'isobarycentre des p

points AI-··· _Ap.


d.29 On définit le centre d'inertie d'un sytème matériel de masse non nulle dansles quatre cas habituels de la façon suivante:

i / Cas d'un solide IS. (J 1 de masse .1{ISI = .1!r (J (x, y, z) dx dy dz,

G = 0 + ~1J~Si/Ir (J lX. y. zlOP(x, y, z) dx dy dz

où OP : 5 - E. Ix. y, zi -+ X T + y j + z le ,

ii/ Cas d'une plaque gauche (I, (J) de masse ,\IIII > O.

1 11' ( .\ - j éI F éI FG = 0 + ~ (J Flu, v) 1OFIu. V) '1·-.-.---'. -ii dudv

.MI~).,..\ j c'U CIL'

où F : j,- E. lU. v) -+ F(u, v) est une paramétrisation de I.

iii/ Cas d'une plaque plane (J., (J) de masse M(J.) > O.

G = 0 + M~J.) .JI (J (x, y)OP(x, y) dx dy

où OP : J.~ E, (x, y) >-7 X T + y j.iv / Cas d'un fil ([. (J) de masse M(f) > O.

1 ob

G = 0 + Mln.la (J (FIt)) OF(t) , F'wll dtoù F: [a, bJ - E est une paramétrisation de r.Remarques

1) Dans chaque cas, le centre d'inertie est défini par ses coordonnées

(0', [3,T) : G = 0+ 0' T + [3 j + T le

Celles-ci S'obtiennent en remplaçant la fonction vectorielle de l'intégrale par la fonctioncoordonnée correspondante. Pour une plaque plane homogène, on a :

0'= M~j,) .JI (J x dx dy , [3= TVI~j,) .JI (J y dx dy2) Le centre d'inertie d'un système matériel homogène est indépendant de la valeur de la

densité (J> O.

Propriétés:

p.i4 Soit H une variété affine de H et (S, (J) un système matériel inclus dans H

1 (5 cH), alors le centre d'inertie de (S, (J) appartient à H.

p.i5 Si une variété affine H est élément de symétrie mécanique d'un système1 matériel (S, (J), alors le centre d'inertie de (S, (J) appartient à H.



1(t) = aCl - cos t)f + a sin tl y c:L

111 (t)\1 = 2a sin ~

fZTI te Cf) = Jo 2asin"2 dt = Sa o

Ll

a'iT

r

xZao

Notons Gr = 0+ a T + 13Jle centre d'inertie de r.La droite Cfl) d'équation x = a Ti est axe de symétrie de r ;comme r est homogène c:L estaxe de symétrie mécanique du fil, donc a= a Ti.On a alors:

1 f 1 fZo t 4a 4a~13= tCf)Jryds=SaJo aCl-cost)2asin"2dt=3' Gr=0+aTiT+3J

2) Cas de la plaque. L'aire de ;}. a été calculée dans l'exemple 14: el (;}.)= 3 Ti a2

Notons G-" = 0+ 'Y T + 0J le centre d'inertie de la plaque.

Comme SJ est aussi élément de symétrie mécanique de la plaque, G est situé sur Q, "1= a Ti.On a donc: .

1 ff 1 f l0= $ (;}.) Jl-" y dxdy = s1 0) J8-""-2 dx, (d'après la formule de Green-Riemann)

1 !oZO? 5a _ 5a-0= --Z 'te (1 - cos tr a(1 - cos t) dt = El ' G-" = 0 + a Ti i + Er J3Tia .0

exemple 33iner le centre d'inertie d'une zone sphérique homogène 2; et du solide

,limité par cette zone et les deux plans parallèles la définissant .

• 1) Cas de la zone.

;}'~1R3, (e, cp) ~ 0 + a(u cos ç +k sin ç)

;Z2

,-,z

----

/ ~--

II TI-2 ~CP1 ~CP~CP2~ 2o ~e~ 2 Ti,{F :;}. :

$ C2;)= i aZ cos 'P de d'P

$= 2 Ti aZ(sin 'PZ - sin 'Pl) = 2" a(z2 - Zl)

Pour des raisons de symétrie, le centre d'inertie ~

de 2; est situé sur l'axe Oz: ~ = 0+ 'Y leOn a:

1 ff Z .'Y = $ C2;)J J t. a cos 'P . a sm 'P de d cp

3Tia . Z . Z 1

'Y = .s:1 (2;)Csm 'Pz - sm 'Pl) = 2(Zl + Z2)1 ---+

G(2.) = 0 + 2(Zl + zz) le

/ 01 ~

\ ----------

x 1---<----- -- Zl -k: \~~ .y

2) Cas du solide S. xZ + yZ + ~ ~ aZ, Zl ~ z ~ Z2

V (S) = (f f dx dy dz =Ti fZ2 (aZ - i) dz (sommation par tranches)JJJs JZ1

, 2 ." (3 3) ". - 9 i.) ')')-î (S)="a(zz-zlJ-3 22-z1 =3{Z2-Z1 3a--V~ï+Z1Z2+Z2/_


Pour des raisons de symétrie, le centre de gravité Cs de S est situé sur l'axe Oz :

1 - ,1 lr l TI rz 2 9Cs=O+'1 k. Ona ';'= 'l'(SI./.J.Jszd.x:dydz= y(S)'/Zl z(a -z-)dz229

! 3 2a - Zl - z2I=4(Zl+Z2) 2 2 23a - zl - zlz2 - z2

C. Moments d'inertie

Définition:

269

d .30 Soit H une variété affine de E (point, droite, plan). On définit le momentd'inertie d'un système matériel par rapport à H dans chacun des cas suivants:

i! Cas d'un solide (S, cr) IH = .I.IA (J (P)(PCp; H) dx dydz

P = 0 + x T + y j + z k, d(P' H) distance de P à H.

ü! Cas d'une plaque gauche (1. cr)"

l', , '9 'l" a F a FIH = If cr (F(U, v»)d-(P,H! ,,-. - t\ -. -II dudv.J::. / [dU dv

où F :..1- E, (u, v) f-? P = F(u. v) est une paramétrisation de 2:.

üi! Cas d'une plaque plane (..1.cr) IH = /L cr (P)d2(P' H) dxdyP=O+xT+yJ

iv / Cas d'un fil (r, cr)IH = if cr (P)d2(P' H) ds

P point générique de r.Remarques

• Dans chaque cas, le moment d'inertie par rapport à H est un réel positif indépendant du

repère, de l'orientation de E.

• Pour la plaque gauche ou pour le fil, IH ne dépend pas de la paramétrisation choisie.

Théorèmes:

t.5

1

Soit H et HI deux variétés affines perpendiculaires ; les moments d'inertied'un système matéliel par rapport à H, HI et Hu HI vélifient :

IH + IHI = IHnHI

Conséquences

• Soit Q une droite, P et pl deux plans perpendiculaires contenant Q.

On a Ip + Ipt = IJ:.

• Soit P, p, pl trois plans deux à deux perpendiculaires, 0 leur point commun.

On a Ip + Ipt + Ipll = la.

• Soit Cfl, Cfll, Cflll trois droites deux à deux orthogonales, concourantes au point O.

On a Ig + Igi +Igli = 2Io.


1.6

Soit (S, u) un système matériel, G son centre d'inertie, H une variété affinede E et HG la variété affine parallèle passant par G.

On a alors IH = IHG + Md2 M masse de s, d distance de H et HG.

Cas particuliers

1) Plaque qauche de révolution homoqèneSoit r une courbe plane, compacte,

de classe el par morceaux, orientée par une

abscisse curviligne s. '2l est une droite du

plan r, ne traversant pas r.2: est la surface

engendrée par la rotation de r autour de 9:.

L'aire, le centre d'inertie, le moment d'inertie

de la plaque gauche homogène 2: (de den

sité 1) sont donnés par:

sI (2:) = 2 TI r r ds ..ir ( 2TI ~ •. )_G = 0 + ~. (, rz ds le .cJ.~).r 1.è" = 2 TI r r3 ds.ir

le),

h1

iPoo

G

k

où r = d(P' D), distance du point générique P de r à l'axe de révolution '1= (O.

2) Solide de révolution homoqène

r est une courbe plane, fermée de classe elpar morceaux, frontière d'un compact quar

rable ~. 9: est une droite du plan ~, ne tra

versant pas ~. S est l'ensemble engendré

par la rotation de ~ autour de 9:.

Le volume, le centre d'inertie, le moment

d'inertie du solide homogène S (de densité

1) sont donnés par:

v (S) =TI r r2 dz ..ir( TI ~.~ )-G = 0 + ~.' r- z dz .. le-, IS.I r TI l -1

1.è" = - r dz2 ..r


exemple 34 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

1 :::::::'~::: :::::": à~n:~i=:'un: ::que elliptique homogène

• Soit 9: une droite passant par 0, centre de ~: 9:= 0+ ~ II. où II = Ci T + (3 j + 1 le est un

vecteur unitaire. La distance d'un point P à la droite 9: est dlP''1) = OP /. II 1

Avec P=O+xT+yj E~,ona d2(p,9:!=CCiy-(3x.12+1.'?+lfl,,:,2


Utilisons les coordonnées elliptiques:!~9. ~l'] = Œd-U'.;[)dxdy

'j'il - , ,) . ,) 2 - '), ') 2] 3,.J..l!Œl(abSmS-13acosSJ-+la-cos l::I+b-sm-S)-y abu dudSavec :..'>/: 0 ~ u ~ 1. 0 ~S~ 2 <7

Œ<7 ab :? 9 ,) ,) ,9 0. 9'

Le calcul donne I-;; = --4- lb- cC +a- 13- +1a- + b-) -y-_ ,c'J. (:..'» = TI ab, M(~) = ŒTi" abLe théorème de Huygens donne alors le moment d'inertie de:..'>par rapport à une droite ne passant

pas par 0, Il est facile, à partir de l'], de trouver les moments d'inertie de :..'>par rapport aux axesde coordonnées ou au centre de :..'>,Ecrivons-les en fonction de la masse IvI = Œ'IT ab:

b2 a2 a2 + b2 a2 + b2

Iox = M 4 ' IOy = M 4' Ioz = M--4- Io = 111--4-

y

AZ,

exemple 35

1 Cen"" d';nertie, moment d'rne,-tie pac rapport à "TI axe de la partie d'un pa,raboloïde de révolution comprise entre son sommet et un plan perpendiculaire àson axe dont la distance au sommet est ~ (p étant le paramètre des méridiennes) .

• Il s'agit de la plaque gauche homogène de support l :? ? P

I: x- + !F = 2pz, 0 ~ z ~ '2 paramétrée par?

3 r--F : :..'>~:R' ,(r, S) è-7 0 + rLi + 2p leavec:..'>: 0 ~S~ 2 TI, 0 ~ r ~ p

r--2"\1,r- ,. 2~

si (I) = .JI r~ 1 + p2 dr dS , :;1. (I) = -ip2(2V2 - 1)Le centre d'inertie de l est sur l'axe de révolution:

1 il' FG2G=O+cle c= si(2:) zr 1+2'drdS avec"..l P

, 2 TI p3(v2 + 1) ,. 5 + 3v2 _On obtient c = 15 si (I) d ou G = 0 + 35 pkLe moment d'inertie de Œ par rapport à l'axe de révolution est:

f~G 4 ;;:;

. 3 r 4 TI P Œ (v 2 + 1)IOz= rI Œr 1+2'dr dS=2pcM(I)= 15JJ..l p

272

Exercices proposésAVEC INDICATIONS DE SOLUTIONS


On considère la forme différentielle w sur [R2 w = (y3 - 6xlf') eL\:+ (3xlf' - 6x2y) dy

Soit l = [A, B], segment de [R2,A = (1,2), B = (3,4) et r un des demi-cercles de diamètre [A, Bl

Calculer les intégrales curvilignes [' w et [' w.JI Jf

Indication: west exacte [' w= [' w= -236J[A,B] Jf

Ex. 7.2

On considère la forme différentielle w sur U = [R2\ {O, O} :-y

w = ~ [(x sinx - ycosx)dx + (xcosx + y sin X)dy]x + y

et r la courbe orientée formée des demi-cercles de centre ty0, de rayons a et b (0 < a < b) et des segments [A, B]et [AI, Hl

Calculer l'intégrale curviligne I(a, b) = 1r wCalculer lim I(a, b)

a-+O

b_+=

1·+00sin tEn déduire l'intégrale -- dt.

. 0 tIndication: west exacte sur U.

({ 'ITXCalculer l = J J!l sin 2y dx dyoù Ll : 1 "'" x "'" 4, yIX "'" y "'" inf(x, 2)

Indication: Ll= LlluLl2, l = :3 ( ; + 1)

~ y = xYI _

2L--------------- / ":'Q, :.11 -

l

?Y =x

x"4

Calculer l = .Il via2 - x2 - y2 dx dy :ù ..:.est le disque fermé de centre ( ~. 0 )aIndication: Coordonnées polaires, l = 9(3" -4)

aet de rayon "2'

Calculer

Ex. 7.5

l = JI ( 1 - :: - ~:) dx dy'IT

Indication: Coordonnées elliptiques, l = 2 ab.

? '). x- y-

ou ..:.: :2 +:2 "'"1a b


Ex. 7. 6

1~9 9 • ,) 9 9 .2

Calculer l =. J. (x- + y- ) el..: dy OU(' 3~ x- +) y- ~ 2ax.. 'C" + y ~ 2ayIndication: Coordonnées polaires, 1= .-T - 2 a4.

Ex. 7. 7

hf ? 9 4 i .) 9Calculer 1= x([ + y- ) el..: dy où ~: x + Y' +:c - y- ~ 1

.. J.

Indication: Pour des raisons de symétrie, on trouve l = O.

273

EX.7.8

f·. dxdy 9 9Calculer l = j .? où ~: [xl ~ .'C" + y- ~ 1.. J. (1 + x2 + y2 ). ,

Indication: l = 4 fIl = ; (V2 - 1)

Ex. 7.9

Déterminer le centre d'inertie de la plaque plane homogène de support :

9 92.2 9~: (K' + y-) + y - x~ ~ O,x ~ °

Indication : ~ est limitée par une lemniscate de Bernouilli :

~ TIV2~r = V cos 2 e, G= 0 + -8- i

x

Ex. 7. 10

Calculer 1=.l1 (3x2 + l) dxdy où ~: ~ + t} ~ 1, (x - 1)2 + t} ~ 1, y ~ O.

5 TI 9)3Indication: l = 6 - -8-'

Ex. 7.11

/1 ( 1 X), 1= Jo eX + ~ e

Trouver une série dont la somme est l = r r xyexy dx dy.JJ[O,l]2

En déduire la valeur des intégrales l et J = fol tfn t· et dt.

+cv 1 +cv 1Indication: l = 2...:: 2 = e - 1 - 2...:: --,

n=O (n + 2) n! p=1 P . p.

dx, J =-1

Ex. 7. 12

Calculer 1= JI exp (x3 .:y3) dxdy où ~: t} - 2px ~ 0, x2 - 2py ~ 0,

à l'aide du changement de variable x = u2v, y = uv2.

Indication: l = ~ (e2P _ 1) 2


(x + y) dxdy dz où 1l: x;?o 0, y;?o 0, Z ;?o 0, x'2 + il ~ 1, ° ~ z ~ X2 + y2

Indication: Changement de variables linéaire: u = x + y + z, v = y + z, w = z

TI a4 ( 1 1)Indication: V = -4 Zl - Z2

2Indication: l = "5'

CalculerI= fil. ( )(i )dxdydz où 1l:x;?oO,y;?oO,z;?oO,x+y+z~1.JJJ:; y+z x+y+z 11=3'4

Ex. 7. 15

Calculer l = .IiI cos(a x+ 13y+ '/ z) dx dy dz où 1l: ~YZ+ il + ~ ~ 1.

Indication: Pour (a, 13,'/) *- (0,0,0), r = ..j a2 + 132+ ,/2, changement de variables lié à un change-

1 4TIment de base orthonormée tel que Z = -(a x+ 13y+ '/ z) , 1= -3 (sin r - r cos r)r r

Ex. 7. 16

Trouver le volume de 1l: 3x2 + 31 + 4~ - 2xy + 2xz + 2yz ~ 1.

_ X2 y2 Z2Indication: Le volume de l'ellipsoïde d'équation réduite q(OM) = 2 + 2 + 2 ~ 1 estabc4TI 4TI. Ti J2-3 abc= .JdciA' ou A est la matrice de la forme quadratique q. D'où If (1l) = ~'3 detA 3v3

Déterminer le centre d'inertie de la piaque gauche homogène définie par:

12:: x2 + il + ~ = 1, x;?o 0, y;?o 0, z;?o 2

(2 .,13) ~ ~ 3~Indication: Coordonnées sphériques, G = 0 + "3 - 2 TI (i + j ) + "4 le

Déterminer l'aire de la portion de sphère (de centre 0 et de rayon a) délimitée par le pian yOz et le

a8cylindre droit de directrice la spirale d'Archimède, r = ----:;;:-' ° ~8~Ti, du plan xOy,

Indication: Coordonnées sphériques, A = 2 TI a2 (1 - :),

Ex. 7. 19

Volume et centre d'inertie du solide homogène défini par 0< Zl ~ Z "" Z2 ; z(x2 + il) ~ a2x2

G = 0 + ~ zl + z2 T + zl z2 {Tl Z24 Zl Z2 Zl - Z2 Zl

Chapitre VIII

Séries

entières

On rappelle que [e symbole IKdésigne IRou iC.

1 1- Définition - Rayon de convergenceDéfinition :

d.1 Une série entière d'une variable complexe (resp. d'une variable réelle) estune sélie de fonctions ;: Un pour laquelle il existe une suite complexe (an)

telle que chaque Un (n E "e)soit définie par Un: C~C. Z f--» anzn

(resp. Un : ~~c. x f--» anxn). Une telle sélie sera notée L anzn .

Remarque

Dans [e cas d'une variable réelle, si [a suite (an)' est réelle, on obtient une série entièreréelle d'une variable réelle.

Exemples

• ;: zn : V n E "\. an = 1

• L ZZn+l : V nE a2n = O. a2n+l = 1

zn 1· L .:ao = O. V n E '\j\ {O. 1}. an = -(-n(n - 1) n n-

n'?<2

A. Opérations sur les séries entières

• La somme de deux séries entières L anZn et L bnzn est la série entière associée à

la suite (an + bnh~: L anzn + L bnzn = L(an + bn)zn

• Le produit d'une série entière L anzn par un scalaire À.E iC est la série entière asso

ciée à [a suite (À. anh: À. L anzn = L(À. an)zn

• Le produit de deux séries entières L anZn et L bnzn est [a série entière associée àn

la suite (cnh, avec V n EN. en = L akbn-k :k~O

(L anzn) (Lbnzn) == L (~akbn"- ,,)


• L'ensemble des séries entières d'une variable complexe (resp. réelle) est, pour ces trois

lois, une iC-algèbre commutative.

• Le sous-ensemble formé des séries entières réelles d'une variable réelle, est une IR

algèbre commutative.

B. Rayon de convergence

d.2 Soit L anzn une série entière d'une variable complexe ou réelle.

L'ensemble J = {r EIR+/ Lian 1 rn converge} est un intervalle de IR+conte-nantO. --

La _lJor_ne_~l,lp_ériEèu_rede J, dans IR", est appelée le rayon de convergence deL an zn . On le note p= sup J

~ J est non vide car 0 E J.

Si r est dans J, on a [O.r] c J, donc J est bien un intervalle de IR+contenant O.

Remarques

L'intervalleJ peut être de la forme:

• J = {O} et dans ce cas le rayon de convergence est p= O. Exemple: L nnzn .

. 2Pour tout r> 0, avec Vn = nnrn, on a Vn > 2n des que n> r

donc lim Vn = +00 et L Vn est a fortioridivergente.n---;.-+oo

• J = [0, +00[, et dans ce cas le rayon de convergence est infini,on écrit p= +'X.n

Z

Exemple: L n!nr

Pour tout r> 0, avec Vn = " on an.Vn+l

lim -- = 0, donc L Vn converge.n-+x Un

• J = [0, p [, pEIR~. Exemple: L zn.

La série géométrique l' rn. r E ;2+, converge si et seulement si r < l, donc J = [0, 1[.

Ici p= 1.

• J = [0, pl, pE IR: .

nZ

Exemple: L :2'n"'l n

n

Pour tout r> l, avec Vn = r 2' on a hm Vn = +'X, donc L Vn diverge.n n-+:..:::

1 -Pour tout r E [0,1], on a Vn ~ ---c;, donc L Vn converge. Donc, J = [0.1]. Icip= 1.

n-

d.3 Soit l'anzn une série entière d'une variable complexe (resp. réelle) de

rayon p.

L'ensemble Dp = {zEiC /[z[ < p} (resp. Dp = {ZEF: (z < p} =]- p.p [)

est appelé disque ouvert (resp. intervalle ouvert) de convergence.

~ On notera que Dp est vide lorsque p= O.

Chapitre 8 : Séries entières

Théorèmes:

277

o

t.i

1

t.2

1

Soit L anZn une série entière d'une variable complexe ou réel[e de rayon p,

La série L anZn est absolument convergente pour tout z E Dp.

.~

Lemme d'Abel

Soit ro > 0, si la suite ( an r[))nE est majorée, alors, quel que soit r E [0, ro[,

la série Lan: rn est convergente.

S'il existe A > ° tel que V n E r~,[anl r[) ~ A, alors

V r E [0, ro[, V nE N.lanl rn ~ A (~) n

et la convergence de [a série Lian 1 rn (à termes réels positifs) résulte de ce[le de [ar

série géométrique de raison - < 1.ro

o

t.3 Pour tout z EC, (resp. z E IR), tel que [zl > p, la suite (anZn)nEN est non bornée,

1 donc la série L anZn est grossièrement divergente.

lBi'f' Soit z EK tel quez > p et ri E~+ tel que p< ri < izl.

Par définitionde p, la série Lan. r n est divergente.

Supposons que la suite ( anZn 1 )nE soit majorée alors, d'après le lemme d'Abel, [a

série L [an i r n serait convergente ce qui est exclu. La conclusion en résulte.

C. Calcul du rayon de convergence

Théorème:

t.4 Soit L anZn une série entière d'une variable complexe - ou réelle -, son rayonde convergence p est défini par :

i/p=sup{lzl,zEC,~:an[[z[n converge}'

ii/ p= sup{lz[ ,z E CL anzn converge}

iii/ p= sup{[zl. z E C, (anZn)nE est bornée}

iv/p=sup{lz[,zEC, lim anzn=O}n-......;..+c'C

lBi'f' i/ par définitionde p

ii/ iii/ et Iv /

pour Izi < p, L anzn converge donc lim anZn = 0 et (anZn)nEN est bornée.n---'-+:::x:

pour [z[ > p, (anZn)nE

diverge.est non bornée donc cette suite ne tend pas vers 0 et L anzn

o

Remarques

• Dans les cas simples, on pourra utiliser [e critère de d'Alembert pour étudier L rani rn


• Le rayon de convergence d'une série entière L anzn, dont tous les coefficients ak sont

nuls à partir d'un certain rang p, est +X. Dans ce cas, la suite des sommes partiellesp

est constante à partir du rang p : \;f n ? p, Sn(Z) = L akzk ,k=O

on dit qu'il s'agit d'une série entière polynôme.


exemple 1

Déterminer le rayon de convergence de la série ~ anzn dans les cas suivants:

On pose Un = anzn , Vn = !Un! où Z E ex.

2 ( 1). 11) fnvn=nfnlzl+n tn 1-/1 =n(tn!z!-l)-Z+o(l)

Ainsi, Un tend vers 0 si et seulement si !zl < e donc p= e.

_ (n -1) n2an- -n-

n7ïan =tan- 7

sIn nan = n

(n? 1)

(n? 1)

(n? 0)

(n? 1).

Vn+l

Vn2) (n + 1) Izi l' Vn+l _ izi _ 8<=="~~~~~, lm -- - -, donc p- .

4v(2n + 1)(2n + 2) n_ü: Vn 8

1 n •• l[ •• 2 •• 3 •.3) Quand n décrit 1\1, tan 7 ! prend quatre valeurs distinctes: 0,tan T'tan 7' tan 7'Donc\;fnEI\I,0~lunl~lzlntan3: et lim un=OpourtoutzEetelque!z!<1.

, n-...:...:>:

lim Vn = O.n-+xdonne

D'autre part, pour Izl = 1, !Uïn+l[ = tan -: ne tend pas vers 0 quand n tend vers +x,1

donc Un ne tend pas vers 0, En conclusion, p= sup {z , Z E:::, n~:rp:.:an zn = O} = 1.

4) OnaO~vn~ Iznj donc Izl<1n

1 1 l' Izln d' 'l"Pour IZ] > , on a lm -- = +x et,autre part, on salt que a sUite n f--'> sm n nen---'-+x; n

( , , 1 ni)SIn ni z

converge pas vers 0, il en est donc de même pour .' ~ nE'. *

Ainsi, p= sup {Iz! ,z E e, n~IJ:1" anzn = O} = 1.


/

exe~2~ sup~e ~ue la série entière)"' anzn a un rayon p> O.1 ~

i n! "1 '""'anZ 'nfi .! l, antrer que L ----n! a un rayon l m .

279

• PosonsP

R = 2' on a lim an Rn = O.n-+x

Pour tout z E:=:. avec T =z, on an

ŒnZ

----n!

nT

Or, Rn 1 est d'après [a règle de d'Alembert, [e terme général d'une série convergente,n.

donc

nT

lim -n- = 0n-+x R n!

nanZ

et. finalement liT. --,- = O.n-.x n.

D

anLe rayon de convergence de L -,zn est +x.n.

D. Opérations et rayon de convergence

Théorèmes:

t.5 Soit L an.z: et )"' bnzn ~ux séries entières d'u.ne variable complexe - ouréelle - de rayon de convergence respectifs Pl e,t P2'; ~Q.f.S :

i / Le rayon de convergence P de la série somme )(an + bn)zn vérifie:

• lorsque Pl"'P2 : P= inf(PI. P2)

• lorsque Pl =P2 : P~PI

Donc, dans tous les cas, P~ inf(PI· P2).

ii / Pour tout Îl.E }(\ {O}. L anzn et L ÎI. anzn ont le même rayon de convergence.

n

iii / Le rayon de convergence pl de la série produit L CnZn.Cn= L, a)(bn_)()(=0

vérifie pl ~ inf(PI. P2).

((i5' i / Pour z E Th, tel que Izl < inf(PI. P2). L(an + bn)zn est absolument convergente comme

somme de deux séries absolument convergentes. Donc P~ inf(pI, P2)·

Si Pl < P2, pour z E lK,tel que Pl < [zl < P2, L(an + bn)zn est divergente comme somme

d'une série convergente et d'une série divergente. Donc, ici. P= inf(PI. P2).

ii/ La mu[tiplication par un scalaire non nul ne modifie pas [a nature d'une série numérique.

iii/ Même raisonnement qu'en i / en utilisant que le produit de deux séries absolument

convergentes est absolument convergente. (cf. Chapitre IV, théorème 21)

Remarques

1) Dans le cas où Pl =P2, le rayon P de la série somme peut être tel que P> Pl.

Considérer, par exemple, L ( ~ + 1) zn et L ( ~! - 1) zn dont le rayon de convergence est égal à 1, la série somme a un rayon de convergence infini.

1· a2n+l: - 2lm --, - .n-+-:..:: a2n+2


2) Un cas particulier:

Si Pl =P2 et si les suites (an)r~ et (bn),c sont telles que \;f nE N, anbn = 0, alors la

série somme a pour rayon P=PI=P2.

Dans cette situation, nous dirons que les séries L anzn et L bnzn dont disjointes: sian est non nul, bn est nul et réciproquement.

Pour r > Pl, la suite (1 an 1 rn) est non majorée.

Or, dans ce cas, lan + bnl = lanl + Ibnl, donc (Ian + bnl rn) est non majorée, et on en

déduit P~ Pl.

On conclut avec le théorème 5 i 1.

t.6 Soit L an zn et L bnzn deux séries entières d'une variable complexe - ou

réelle - de rayons de convergence respectifs Pl et P2. Alors:

i / Quel que soit (À, /-l) E ['(", pour tout z E}<:' tel que lzl < inf(PI. P2), on a :+x +x +x

L::(À an+ /-l bn)zn =À L:: anZn+ /-l L:: bnznn=O n=O n=O

ii / Pour tout z E [~tel que !Zi < inf(PI, P2), on a:

~ (f akbn-k) zn = (~anzn) (~bnZn')n=O k=O n=O n=O

EX~rBPles - Travaux pratiques

, . - t" t Il l' 1 U2n 1 1ne sene en 18re e e que n~~'X: a2n+l: =

de convergence.

1 U2n 1 1 a9n' lD l, l' - ~ 1 2e lm -- = lm --! = ,

n-++co a2n+2 n-++co a2n+3

on déduit que les deux séries L a2n~n et L a2n+2~n+1 ont le même rayon de convergenceP= v2.

L anzn étant somme de ces deux séries disjointes, son rayon de convergence est encore P= J2.

exemple 4

1 Avec les notations du théorème 5 Hi/, trouver un exemple où pl> inf(PI. P2)'

• Le produit des deux séries entières 1- z, (série entière polynôme), et '> zn est 1.

On a PI= +x . P2= 1 . p/= +X.

Chapitre 8: Séries entières

II - Convergence uniformeContinuité de la somme

A. Etude dans le disque ouvert de convergence

Théorèmes:

281

o

t.7

1

Une série entière d'une variable complexe - ou réelle - ~ anzn est normale

ment - donc uniformément - convergente sur tout disque compact DR inclus

dans le disque ouvert de convergence Dp : ° "'"R r,

t.8 La somme f d'une série entière de rayon p> ° est une fonction continue sur

1 le disque ouvert de convergence.

lB1f Soit ZO E Dp, il existe R E tel que izol < R < p.

La restrictionfR def à DR est continue sur DR, car, d'après le théorème 7, il s'agit de la

somme d'une série, uniformément convergente sur DR, de fonctions continues sur DR

(fonctions polynômes).

DR étant un voisinage de ZO dans la continuité de fR en ZO donne celle de f en zo'O

Remarque

Une série entière de rayon de convergence p n'est en général pas uniformément con

vergente sur le disque Dp.

Soit, par exemple, la série entière d'une variable réelle L xn. On a ici Dp =] - 1, 1[.

On sait, (voir Chapitre V, théorème 4), que si une série de fonctions L Un converge

uniformément sur une partie A, alors le terme général tend uniformément vers ° sur A :

hm Ii Un x = o.n---'-+x

Dans l'exemple proposé, Un: X f-7 xn, on a Ilunll;:;-l.l[ = 1, la convergence n'est doncpas uniforme sur] - 1, 1[.

B. Etude sur le bord du disque de convergenceNous nous limiterons ici aux séries entières réelles d'une variable réelle.

Théoremes:~.,.

t.9

1

Soit L anxn une série entière réelle d'une variable réelle de rayon pE IR:.

Si Lan pn Cresp. L anC- p)n) converge, la série est uniformément conver

gente sur [0, p] Cresp. sur [0, - pl

lB1f i / En posant bn = an pn, on se ramène au cas d'une série entière L bnxn dont le rayon

de convergence est 1.

D


+cc

La série L bn est convergente, notons rn = L bk son reste d'ordre n et introduisonsk=n

Sn= sup Inl ; la suite (snhJ est décroissante de limite nulle.i~n

n+p

Majorons Sn,p(x) = L bkxk , pour tout x E [0,1], au moyen d'une transformationk=n

d'Abel: avec bk = rk - rial, on obtient:

n+p THP n+p+1

Sn.p(X) = L (rk - rial) xk = L rk'\)c - L rkxk-1k=n k=n k=n+1

n+p

_ '""' ()e k-1) ,n-1 n+pSn,p(X) - L ne x - x + rnX - rn+p+1Xk=n

n+p

1 ( )1 '""'( k-1 k) n-1 n~pSn,p x ~ Sn L x - x + Sn X + Sn X 'k=n

ISn,p(x)1 ~ 2 Sn xn-1 ~ 2 Sn

En faisant tendre p vers +:X, on en déduit /Rn(X)1 = I~bkxkl ~ 2 Snk=n

Donc IIRnllx ~ 2 Sn , hm IIRnllx = 0 et la convergence de ;: bnxn est~ n----,...+x ~

uniforme sur [O. 1],

il / Dans le cas où L an( - p)n converge, on se ramène au cas précédent en considérant

la série entière LC-l)nanxn.

Remarques

Dans la pratique, on peut souvent mettre en évidence la convergence uniforme sur [0, p]

(quand Lan pn converge) par des méthodes directes élémentaires. Ce sera le cas

lorsque:

1) Lian 1pn est convergente: )' anxn est alors normalement convergente sur [O. p].

2) Lan pn est alternée, convergente d'après le critère spécial des séries alternées.

Pour tout x E [0, pl. L anxn vérifie alors ce critère, donc:

+x 1

'""' kV XE [O,p]. L akx 1 ~ lanlxn ~ [an pnk=n 1

et la conclusion résulte de lim an pn= O../ n---i-+'x

t.10

1

~

Soit L anxn une série entière réelle d'une variable réelle de rayon p> O. Si

Lan pn (resp, )' an(- p)n) converge, la somme de cette série est continue en

p Cresp. en - pl,

C'est un corollaire du théorème 9



exemple 5

Etudier la continuité des fonctions définies par:

283

1) f :R-R.

2) 9 :R-R.

+:'.::: n .

3) h' p~" , '. x sm!n cd.~'" ·ü"\S.. )(1---3> L -----n=l n

/ŒEiR\7TZ. V

• 1)1

1

1 1La série L --:2 étant convergente.

n~l nest continue sur [-1. 1].

= ]x], le rayon de convergence est donc p= 1.

,xnL 2 est normalement convergente sur [-1, 1J etfn~l n

2) , le rayon de convergence est donc p= 1.

3)

•

•

La série L (_l)n+l est convergente. d'après le critère spécial des séries alternées.n

(_l)n+lD'après la remarque 2 ) précédente. L xn est uniformément convergente surn

n~l

[0, 1J et 9 est continue sur [O. 1]. En -1, la série diverge.

Finalement, 9 est continue sur J - 1, 1].

xn sin(n a)Wn = --n-

!x,n . ( IXln)Pour Ixl < 1, la série L+converge, il en est de même de L Iwn], Iwnl ~ 11

n~l n~l

, . l' ]xr . (' ()) dPour Ixl > 1, on a lm -- = +X, or, la sUite SIn n a nE ne ten pas vers °n---'-+x n

(car aE iR\7TZ) , donc (Wn)nE ne tend pas vers O. En conclusion p= 1.

. . . '" sin(n a) '" (_l)n sin(n a) '" sin n(a + 7T)Par ailleurs, les senes ~ n et ~ n = ~ n

sont convergentes, d'après la règle d'Abel (voir Chapitre IV, exemple 14)

xn sin(n a) .Il résulte donc du théroème 9que L ----- est uniformement convergente sur [ -1, IlnAinsi, 9 est continue sur [-1, 1].


III - Séries entières d'une variable réelleIntégration - Dérivation

A. Intégration

t.11

~

t.12

~

•

•

Soit L anxn une série entière d'une variable réelle de rayon P> O.

Pour tout x réel tel que ° < [xl < p, on a :

r (~antn) dt = ~ (" antn dt = ~ an xn+~Jo n=O - ~ n=oJo n=O ,,~+.C'est une conséquence immédiate de la convergence normale, donc uniforme de la série

proposée sur [0, x] (cf. théorème 7).

Si L anxn est une série entière d'une variable réelle de rayon p, la sérien+l

entière L an~1 ' qui est déduite de L anxn par intégration terme à terme,n+a le même rayon de convergence p.

n+lxSi Pl est le rayon de convergence de L an --1 :n+

lorsque P> 0, on a Pl ~P, en corollaire du théorème 11,

lorsque P= 0, on a bien sûr Pl ~ O .

Supposons Pl> P, il existe alors des réels 'A et 'AI tels que P < 'AI< 'A< Pl.

La série L an1 'An+l étant convergente, il existe II-I E R+ tel que:n+

, 1 an n~ll'i nE,~". [--l'A' ~ 111

1 n+On en déduit:

, ( ') n+l ( 1) n+l

, 'n lan[ n+ln+1 'A [,,1. 'A

'inEf':J lan'A I=--'A -- - ~-(n+1)-, n + 1 'AI 'A 'AI 'A

( 1) n+lOr, (n + 1)~ est, d'après la règle de d'Alembert, le terme général d'une série

convergente, donc Lian l 'A'n est convergente : c'est en contradiction avec 'AI> p.

On en conclut que Pl =p.

Remarque

o

n+lxLes deux séries L anxn et L an--1 ont le même intervalle ouvert de convergence,n+mais elles peuvent avoir des comportements différents au bord de cet intervalle.

n-l n

,x ,xPar exemple, L -- diverge pour x = 1 mais L ? converge pour x = 1.n n-n~l n~l



285

exemple 6 .

1 Monkerque l::EJ ···1.11

Pour tout x EJ - 1. 1[, on a1 ~X

1+ x = L(-l)nxnn=O

(série géométrique).

Par application du théorème 11, on en déduit:

,·x dt +x . n xn+1 +x n 1Xn\:fxEJ-1.1[, (n(1+X)=j -=L(-l) --=L(-l) --.o l+t n+1 n. n=O n=l

n

On a vu, dans l'exemple 5, que la somme de la série entière I)_l)n+l xn est continue sur

+x (_l)n-l +x ,n

J - 1. 1], donc L' n = l~ L ': = l~ t'n(l + x) = (n 2n= 1 ."\.<1 n= 1 x<1

+:'>: xn

d'où, finalement \:fx EJ - 1. 1], (n(1 + x) = L (_l)n-l-;-n=l

Remargue

La validité de la formule précédente en x = 1 peut être établie directement, sans recours au

théorème 9. (voir chapitre IV, exemple 2)

exemple 7

~ Montmque Vxe[-l, Il2n+l+x X

Arctanx = 2)-lt 2n+ 1n=O

(série géométrique).1 +x

Pour tout x EJ - 1.1[, on a ~ = '(_ltx2n1+x~ Ln=O

Par application du théorème 11, on en déduit:

·x dt +x x2n+l

\:fx EJ - 1,1[, Arctanx = ! --2 = L(-l)n_-Jo l+t n=O 2n+12n+l

X

La série I)_l)n 2n + 1 est uniformément convergente sur[O, l]et sur [-1, OJpar application de

+x (_l)n +x x2n+1 'TI'

la remarque 2) du théorème 9, donc' -2 1 = hm '(-1)n-2 1 = limArctanx = -4L n + x~l L n + x~ln=O x<1 n=û x<1

+00 (_l)n+l 'TI'

De même' -. -- = - -4 d'où, finalementL 2n+ 1n=O

+00 x2n+1\:fx E [-1, 1J,Arctanx = L(-l)n_ 2n+ 1

n=O

286

B. Dérivation


dA Etant donné une série entière d'une variable réelle L anxn :

• La série dérivée première est 2...= n anXn-l = 2...= (n + l)an+lXnn~l n~O

• La série dérivée deuxième est2...= n(n - 1)anxn-2 = 2...= (n + 2)(n + 1)an+2Xnn~2 n~O

• Pour pEN' , la série dérivée p ième est:

. n-p (n+ p)~ n2...= n(n - 1) ... (n - p + l)anx = 2...= --,- an+pxn.n~p n~O

Théorèmes:

D

t.13

1

[tE

Si une sene entière d'une variable réelle a pour rayon de convergence p,

toutes ses séries dérivées ont aussi pour rayon de convergence p.

En remarquant que 2...= anXn se déduit de 2...= n anxn-l par intégration terme à termen~l n~l

puis en appliquant le théorème 12, on voit qu'une série entière d'une variable réelle et

sa série dérivée première ont même rayon de convergence.

La conclusion résulte alors de ce que la série dérivée r k + 1) ième est la série dérivée

première de la série dérivée k ième .

4 Soit '> anxn une série entière d'une variable réelle de rayon P> 0,1 sa sommeet, pour tout p E , Jp la somme de la série dérivée p ième . On a alors:

V nE. V X E]- p. P LJpIX' =fPrxi

Relation que l'on peut écrire:

+x dP dP ('+x ')V P E . V X E J- p. P [. 2...= dxP (anxn) = cL\:P 2...= anxnn=O ,n=O .

On dit encore que la dérivation s'effectue terme à terme.

[tE,-o,'\.

D'aprèslethéorème11,ona VXE]-p.p[. JI;': 1= !Jl1tldr" '. 0

JI étant continue sur]- p. p [, on en déduit j'IXi;'':!iiXJ .. ~Une récurrence immédiate donne la conclusion pour les défivées p ièmes .

D

t.15

j

La sommeJ d'une série entière L anXn de rayon p> 0 est indéfiniment dériln)(O)

vable sur]- p, p [et V nE N, an = --, -n,C'est un corollaire du théorème 14.

t.16 Soit ~ anxn et L bnxn deux séries entières d'une variable réelle de rayonsrespectifs p et pl non nuls.

Supposons 0 < p ~ pl. S'il existe 0:, 0 < 0: < P tel que:+x +x

V X E]- 0:.0: [.2...= anxn = 2...= bnxn alors V nE '0. an = bn.n=O n=O


+x

~ En effet. on a V x EJ~ Œ. Œ [. LIan ~ bn)xn = o.n=O

" ,. ln)(O)Donc, dapres le theoreme 15, V nE". an - bn = ------n:!

oùf est la fonction nulle sur J- Œ. Œ [, donc V n E!\J. an - bn = °

287

D

Application pratiquePour montrer qU'une fonction 9 : :=.-:=. est de classe ex au voisinage V d'un pointa E?, il suffit d'exhiber une série entière dont la somme coïncide avec x f--'> g(a + x)sur \7.


~ exempleS / tMontrer que g, prolongement par continuité de x f--'> x ~-; sur ]0,+co[ est de classe':""

i ex sur JO. +x[.

• On a ici g(1I = 1. Le seul problème est bien sûr en 1, Posons, pour tout u EJ - 1,1[,

tnll + u) .flu)=gll+uJ. Onaainsi,pouruoFO. flu)= u et f(O)=1.

-i---::-C nU

On déduit de ['exemple 6 que VU EJ - 1.1[. flu) = Li.-l)n_-l n+.~ .. n=O

f est donc de classe C': sur J - 1. l[ et 9 est de classe ex sur JO.2[,

Finalement 9 E Cc': 1]0. +x[, :='i,

IV - Développement en série entière

A. Fonctions développables /Définitions:

d.5 Soitf : :<-::: définie au voisinage de O.

On dit que f est développable en série entière en 0 (ou à l'origine) si et

seulement ,si il existe une série entière L anzn de rayon p non nul et un

voisinage U de 0 tels que Vz E U.f(z) = L anznn=O

~ On notera que l'on a nécessairement U c Dp n Def(f) où Def(f) est l'ensemble dedéfinition def.

d.6 Soitf : :(-C définie au voisinage de ZOo

On dit que f est développable en série entière en ZO si et seulement si

9 : z ~ f(ZQ + z) est développable en série entière à l'~riS'iIl,e,donc si et seulement si il existe une série entière L anzn de

+co-

et un voisinage U de ZO tel que Vz E U. fez) = Lan (z - zofn=O


Exemple1

f :iC-+iC, z -+ 1 _ z est développable en série entière à l'origine.+x

En effet, pour tout Z E iCtel que Izi < 1, on a f(z) = L zn.n=O

p.1 La définition 6 ramène tout problème de développement en série entière à1 un problème de développement en série entière à l'origine.

Dans la suite, nous pourrons nous limiterà des développements à l'origine

p.2 Sif et g, fonctions de G<dans iC,sont développables en série entière à l'origine,il en est de même de Àf+ jJ.. g pour tout (À, jJ..) E et defg.

L'ensemble des fonctions développables en série entière à l'origine est doncune iC-algèbre (sous-algèbre des fonctions de [-i dans C définie au voisinagede 0).

C'est un corollaire du théorème 6.

B. Développement des fonctions de ~ dans te

Théorème:

t.1?

1

Sif: iR~C est développable en série entière à l'origine,f est de classe C=" au

.. dOt tt " t ""' ln)(O) nvOlsrnage e e ce e sene es ~ --, -x .n.C'est un corollaire du théorème 15.

Définition :

d.? Etant donnéf :R~C de classe ex au voisinage de a E?c, on appelle série

jnJ•d l," '. ""' (ai ( nef en a, a sene entlere ~ ~.x - al .

j'n'IO)Dans le cas où a = 0, L __,_xn est dite série de Mac Lam'Ïn def.n.

t.18

1

t.19

1

Si f :lR-+iCest développable en série entière à l'origine (resp. en a), ce développement est unique: c'est la série de :'Iac Laurin de f (resp. la série deTaylor de f en a).

Si f :iR-+iCest développable en série entière à l'origine (resp. en a), toutesses dérivées le sont également.

Exemple de fonction de classe ex non développable en série entière1

Considérons f : IR-+IRdéfinie par f(x) = e- -;? si x * 0 etflOl = O.

On établit, par récurrence, que f est de classe ex sur ?c avec:

P (xl _l'inE~,'ixEW, j'n,(x)= ~3n e .Y-. j'nJ(O)=O

X

où Pn est un polynôme (de degré 2n - 2).

Chapitre 8: Séries entières 289

La série de Mac Laurin dej est donc la série nulle et il n'existe aucun voisinage de 0 sur

+x jn'(Ollequel on ait jlx) = L --,-._xn puisque j ne s'annule qu'en O.n.

1 n=Ol Les conditions: (<1 est de classe CX au voisinage de O)} et «la série de Mac Laurin deja un rayon non nul» ne sont donc pas suffisantes pour assurer que j est développable(:;

,::. en série entière à l'origine.

C. Développements obtenus par laformule de Mac LanrinSoitj : R-C de classe CX sur V =J - a, al, (a> 0), telle que la série de Mac Laurin

ait un rayon p non nul.

j 1. Utilisation de l'inégalité de Taylor-Lagrange l.....xXl/ 1/n-l k

Pour tout n E\,' et tout x E V, posons Rnex) =jex) - L ;jk)eo)-_~ k.k~O

On sait que !Rnex)'! ~ '-'f sup 1.(n)et)1 c'est-à-dire IRnex)i ~ IX1,nIIjn) 11~'x]n. tE[O,X] ~ n.

Par définition, pour que j soit développable en série entière à l'origine, il faut et il suffit

qu'il existe Œ> 0 tel que V x E J- Œ. Ci [, lim Rnex) = 0n-+:<:

Une condition suffisante est donc qu'il existe Ci> 0, et M E IR+tels que:

V n EN.V x EJ- Ci,Ci [, vn'ex)[ ~ M

En effet, on a alors V x E J- Ci, Ci [, lim Rnex) = 0n----i-+x.

ancar M-, est le terme général d'une série convergente.n,

2. Utilisation de la formule de Taylor avec reste intégral

Ona

Par définition, pour que j soit développable en série entière à l'origine, il

lx ex - t)n-lqu'il existe Ci> 0 tel que V x E J- Ci, Ci [, lim f __ ,\1 jn)(t) dt = 0

n~+cc 0

lx ex- tt-1 (Noter que l'on a Rnex) = l ,\1 jn)et) dt

·0

Applications

1) Cosinus

La série de Mac Laurin est2n

+00 X

Le-l)n e2n)!n~O

de rayon p= +00.

290

La condition suffisante du l,s'applique. En effet:

( ) ( 71)'if x E IR,'if n EN, cos·n x = cos x + n2

+x 2nx

Ainsi 'if xE!R, cosx= L(-1)n(2n)!n=O

2) Sinus


donc Icos(n) x\ ~ 1

+x 2n+l

'Ç'"' xComme ci-dessus, on obtient 'if x E IR. sin x = L (_l)n_n=O

3) Exponentielle népérienne

+x xnLa série de Mac Laurin est L---,de rayon p= +:x..n,

n=O

Pour tout x réel, l'inégalité de Taylor-Lagrange sur [O. x] donne [RnCx)! ~ Ixl,n elxl.n.. ln

La conclusion en résulte car pour tout x E K, ~ tend vers 0 comme terme généraln.d'une série convergente.

'if x E!R;,+-x, xn

e:" = L n!n=O

4) f: x ~ (1 + x)CY. , O:E :Ri

• f est de classe ex sur] - 1. +:x.[.

'if nE NX, 'if XE] - 1.+x[,fn)(x) =a (0:-1), ... ,(a ~n + 11(1+ x)o:- n

• La série de Mac Laurin def est donc:

+x a(a-1) ... (0:-n+1)1 + L 1 xn de rayon p= 1n.

n=l

• Pour tout XE] - 1. +:x.[, le reste intégral d'ordre n de la formule de Mac Laurin sur [0, x]

0:(ex-1) ... (ex-n)j·x. 1est Rn(x) = 1 (x - [ln(1 + t)o:-n- dt

n.. 0

Etant donné que p= 1. on se limite à X < 1 et on a :

. )nl\x _ t)n(1 + t)o:-n-l dt = r (.x- t (1 + tf-1 dtJo ./0 1H

Ix-tl . x-tOr, 'if tE [0, x], 1 + t 1 ~ (étudier les variations de t '-7 1 + t)' donc:

l ,n

[RnCx)1 ~ 10: (ex -1)··· (0: -n)! '~'! A(x)

où on a posé A(x) = 1.!c:\1 + t)',,-l dtl (A(x) ne dépend pas de n).

Pour tout XE] - 1.1[, la (ex-1)· .. (a -n)j Ixlln est, d'après le critère de d'Alembertn.le terme général d'une série convergente, donc il tend vers 0, donc lim Rn(x) = O.n-+xOn retiendra

'if XE] - 1, 1[,+x Œ(a-11"'(Œ-n+1)

(1 + x)o: = 1 + 'Ç'"" . xn (rayon p= 1)L- nln=l


D. Autres méthodes de développement

l, Intégration de développements connus

On applique les théorèmes 11 et 12,

1 +xPartant de Vx",J-l,l[, l+x=LC-l)nxn, Cp=l)

n=O

on a déjà obtenu par cette méthode (voir exemple 6) :

291

+x n

'\""' 1xV X EJ- 1. 1[, (n(l + x) = L./ _l)n- - (p= 1)nn=l

On a vu que cette formule est encore valable pour x = 1. Une conséquence immédiate+C'0 xn

est V x E J - 1. 1[, t'n(1 - x) = - L- (p= 1)nn=l

• De manière analogue, on a obtenu (cf, exemple 7) :+x 2n+l

'\""' .n XVX ",J - 1,1[, Arctanx = L.(-ll -2-n+ln=O

Formule encore valable pour x = 1 et x = -1.

(p= 1)

• 1 +xPartant de V x'" J - 1,1[, --2 = L x2n, Cp=1) et

1- x n=O Argthx= r ~Jo 1- t2

On obtient+::>:= 2n+l~ x

VXEJ-l,1[, Argthx=L2n+1 (p=l)n=O

2, Dérivation de développements connus

On applique les théorèmes 1.13 et t.14,

1 +:0

• Partant de V x '" J- 1. 1[, 1 _ x = L xn, (p= 1)n=O

et 1 _ 1 dP-1 ( 1 )n - (p _ 1)[ ~-l 1 _ x P E l'\J'''

on obtient:

V x EJ_ 1 1[ 1 _ ~ n(n - 1), , , (n - p + 2)•• ,. ,n - L. ,d' xn-p+1n=p-l

1 +éXl

ou encore .n = '\""' CP-1 nL. n+p-lxn=O

(p= 1)

Remarque

On peut obtenir ce résultat sur iC (utile pour les fractions rationnelles) soit par dérivation

de t >--+ 1 ~ tz soit par récurrence et produit de séries entières.


3. Combinaison linéaire de développements connus

• 1'if x E IR, ch x = "2 (eX + e - Xl

On en déduit:+cc 2nx

x E~.chx = L (2n)! (p= +x)n=O

1shx="2 (eX - e-X).

+00 x2n+1

'if x ElR,shx= ~ (2n+ 1)1 (p= +x)

1• 'ifxE]-l,l[, Argthx= "2 [{n(1+x)-{n(l-x)]

On peut ainsi retrouver le développement de Argth à partir de ceux de x >---'> {n(1 + x) etX>---'> {n(l- x).

• Il faut prendre garde au fait que lorsque l'on fait une combinaison linéaire de deux séries

entières de même rayon de convergence, le rayon final est a priori supérieur ou égal à p,

sur chaque exemple une étude supplémentaire sera alors nécessaire pour en donner lavaleur précise.

14. Produit de développements connus 1

•+:x:: n

"\"' n 1x'ifxE]-l,l[, {n(l+x)=L...,(-I) - ~ (p=l)n=l

1 +cc

1 +x = L(-I)nxn (p= 1)n=O

{n(1 +x) ~ n 1 ( 1 1 1) nOnendéduit'ifXE]-I.I[, 1. __ =L...,(-I) - 1+'2+3+"'+-;:;: X

n=l

Le rayon de cette série est a priori supérieur ou égal à 1. Il suffit de constater que

( 1 1 1)1+ "2 + "3 + ... + 11 ne tend pas vers 0 pour conclure que ce rayon est égal à 1.

5. Utilisation d'une équation différentielle

Soitf : ~--+~ de classe ex- au voisinage de O.

Supposons avoir exhibé une éqy,ation différentielle (E) et un intervalle ouvert l contenanto tels que la restriction de f à l soit l'unique solution de (E) sur l vérifiant certainesconditions initiales.

Supposons avoir déterminé une série entière I: anxn de rayon p> 0 dont la somme est

solution de (E) sur]- p, p [ vérifiant les mêmes conditions initiales.+cc

On a alors 'if x E l n]- p, p [, f(x) = L anxnn=O

• Considérons, par exemple, la fonction exponentielle exp: x >---'> e'.exp est l'unique solution sur ~ de (E) : y - y = 0 telle que f(O) = 1.

Soit I: anxn une série entière de rayon p non nul.

Pour que sa somme S soit solution de (E) sur]- p, p [. il faut et il suffit que

Chapitre 8 : Séries entières 293

+x +x

'if x E]- p. P [. L(n + l)an-i-lXn = L anxn c'est-à-dire, par unicité du dévelop-n~O n~O

pement en série entière quand il existe: 'if nE '\J, (n + l)an+l = an (1).

Remarquons que la relation (1) permet de calculer p avant d'avoir déterminé la suite(an)' *. En effet, on obtient:

,n-i-l .' 1 a xn+ll

an-i-lx.x ,""x' n+lpour x"" 0, n = --1 donc, pour tout x E Ji , hm n = 0anX n + n~+co anX

et p= +x.

De (1), on déduit 'if n E'\"

D'autre part, la condition SeO) = 1 donne ao = 1.

Ainsi. il existe une série entière et une seule de rayon p> 0 dont la somme S est solution+00 xn

de (E) sur]- p. p [ et vérifie SeO) = 1, c'est LI de rayon p= +oc.n~O n.

Conséquence: 'if x ER.

\\

Remarque

Il apparaît que la méthode est exploitable avec des équations différentielles linéaires

(d'ordre n = 1,2 en général) : ao(x) yi ni + al (x) yi n-l) + ... + an(x) y = b(x)

dont les coefficients ai(x), 0 ~ i ~ n, sont polynomîaux (simples) et dont on connaît

un développement en série entière à l'origine du second membre b(x).


exemple 9

1 Déterminer le développement en série entière à l'origine de f: x I-è> Arcsinx .

• Méthode: On développe f (x) = 1 puis on intègre.V1- x2

1Le développement de u I-è> ~ s'éorit :v1+u

1 _1 +x nI x 3 x ... x 2n - 1 un'ifuE]-l,l[, ~=(l+u) 2=1+L(-1) n !vI + u 2 n...n~l

1 +x n (2n)! nou encore 'if U E] - 1,1[, ~ = L(-l) 2 2 U (p= 1)v 1 + U n~O 2 n(n!)

1 +x (2n)!

On en déduit 'if XE] - 1,1[, ~ = L 2n ! 2x2n (p= 1)1 - x n~O 2 (n.)

Par application des théorèmes 11 et 12, on en déduit:

lx dt +x (2n)! x2n+l'if XE] - 1, 1[, Arcsinx = J1'=t2 = L 2 2 -- (p= 1)o 1 - t2 n~O 2 n(n!) 2n + 1


aEIR\ {(2k + 1) TI, k d'}

e développement en série entière à l'origine de :

(l+X a)fi: x ~ AIctan 1 _ x tan 2

, /V

a- 2'

• fa est de classe CCXJ sur J - Xl, 1[.

Remarquons que 'VaE IR\ {(2k + 1) TI, k E d'}, on a fa+2TI = fa etf-a = -fa.

On peut donc limiter l'étude à aE [0, TI [.

D'autre part, fo = 0 : on se limite finalement à aE JO, TI [.

1 sin aPour tout x E J - ex, 1[, on a fa(x) =2x - 2xcos a +1

Le développement de la fonction rationnelle f~ va s'obtenir en décomposant en éléments simple

dans iC (X) :

1 sin a 1 (1 1)fa (x) = . ( . ) = -2' -w - [a(x_e[a) x_e-[a l x-e x-e-

l ( ia -ia)

1 e efa(x) = 2i 1- xe[a - 1- xe-la

1 +:0

Pour tout z E iC tel que Izi < 1, on a 1 _ z = Lznn=O

donc 'V x E IR tel que [xl < 1 :

1 (+00 +00 )f~(x) = 2i L xne(n+1)ia - L xne-(n+l)ia

n=O n=O+00

f~(x) = L xn sin(n + 1) an=O

Comme somme de deux séries de rayon 1, cette série a un rayon p~ 1.

Puisque aE JO, TI [, la suite (sin n a)nE ne tend pas 0, donc cette série diverge pour x = 1, et

finalement, p= 1.

Par intégration, on obtient ensuite:+X' n+l

X

'V x EJ - 1, 1[, faC,) - faJO) = L --1 sin(n + 1)a (p= 1)n+n=O

+x n

a ~xdonc, avec aEJO,TI [, 'V x EJ - 1, 1[, fa(x) = 2 + Ln sin n an=l

En effet, ; E ] 0, ; [, donc faCO) = AIctan (tan ; )

La formule reste valable pour a= 0 et pour aE J- Ti. 0[.

Pour aE J(2p - 1) Ti, (2p + 1) Ti [, on a fa = fa-2pTI avec a -2p ••E J- ••.•• [,

a +:0 xndonc 'V x E J - 1. 1[, fcJx) = 2 - p •• +Ln sin n a.

n=l

Chapitre 8: Séries entières/1

295

exemple 11

1 Déterminer le développement en série entière à l'origine de f: x f--i> tn(l + x- 2_~) .

• On a 1 + x - 2x2 = (1 - x)(l + 2x), donc] est définie sur ] -~.1 [ = Iet, 'd x E I, ](x) = (n(l - x) + (n(1 + 2x).

Du développement connu de x f--i> (n(1 + x), on déduit:

~xn'd XE] - 1, 1[, (n(l - x) = - L - (p= 1)nn~l

] 1 1] +::v (2x)n 1'd x E -2' 2 ' tn(l + 2x) = L(-l)n-I-n~ (p= 2)n=l

] 1 1[ +x (_1)n-12n - 1 1donc 'd x E -2' 2' ](x) = L n xn (p= 2)n=l

Noter que le rayon de la série somme est ici ~ = inf ( ~, 1) car les deux séries initiales ont des1

rayons différents: 2 et 1.

exemple 12

1 Déterminer le développement en série entière à l'origine de ]: x f--i> (Arcsinx)2 .

• ] est de classe C::V sur] - 1, 1[.

f ArcsinxPour tout XE] - 1,1[, ] (x) = 2g(x) avec g(x) = ~. 1- x2

Nous allons développer 9 par la méthode de l'équation différentielle.

f 1 x ArcsinxOn a 'dXE]- 1, 1[, 9 (x) = --2 + --2 ~1-x 1-x 1-x2

Donc 9 est l'unique solution sur] - 1. 1[ de (E) (1 - :l'Ji! - xy = l, vérifiant la condition

y(O) = 0 -'~_ ...~_..--_."

Soit L an :cn une série entière de rayon p> 0 et de somme 8.

Pour que 8 soit solution de (E) sur]- p, p] et vérifie 8(0) = 0, il faut et il suffit que:+c:..;:;, +00

00=0 et 'dXE]-p,p[, (1-:l')Lnanxn-I-xLanxn=ln~O n~O

+00 +CX:',

c'est-à-dire 00 = 0 et 'd x E]- p, P L L(n + l)an+IXn - L(n + lfanxn+l'~ 1n~O n=O

c'est-à-dire 00 = 0, al = 1 et 'd n? 1, (n + l)an+1 - nan_l = 0

La relation 'd n ? 1, (n + l)an+1 = nan-l :

•

•

avec 00 = 0 donne 'd pEN, a2p = 0

22p( 1)22 x x x 2p p .avec al = 1 donne 'd pEN, a2p+1= 3 x 5 x x 2p + 1 = (2p + 1)!


. Q2p+l 2p . Q2p+1• enfin, donne -- = -2 1 donc hm -- = 1Q2p-l P + p-Hoo Q2p-l

22p( 1)2

et le rayon de convergence de 2:= (2p fI)! x2p+1 est p= 1.

Ainsi, il existe une série entière et une seule de rayon non nul et dont la somme vérife seo) = 0

et est solution de (E) sur l'intervalle ouvert de convergence.

+00 22p(pl)2

Il s'agit de :L:.: (2p + ~)! x2p+1 (p= 1)p=o

On en déduit alors 'd XE] - 1,1[, g(x) = S(x) et par intégration:

{X +:0 22p+1( 1)2'd XE] - 1,1[, (Arcsin x)2 = 2 Jo g(t) dt =:L:.: ln ... ~'\1 x2p+2 (p= 1)o p=o

E. Sommation des séries entières

Il s'agit, en utilisant les résultats établis dans le paragraphe précédent, d'exprimer la

somme d'une série entière au moyen des fonctions usuelles.

C'est le problème inverse de celui du d§Y~8Pftment en_série~.eo!ières.

Exemptes --Travaux pratiques

. 1 Un+l(X) 1

hm --- =0n-+x Un(x)

+00 nxn x E IR.:L:.: (2n + 1)!n=û

exemple 13

n

• Posons Un(X) = (2:: 1)!

* 1 Un+l(X) 1 IxlPour tout x E IR , un(x) = 2n(2n + 3) donc

et le rayon de convergence est p= +x.

1 (2n + 1) -- 1 n 1 ( xn xn)On a 'd nE N, Un(X) ="2 (2n + 1)! x ="2 (2n)! - (2n + 1)!

+00 nxn 1 (+x xn +x xn )donc 'd x E IR, S(x) = ~ (2n + 1)! ="2 ~ (2n)! -- E (2n + 1)!(toutes ces séries ont un rayon infini)

(+00 2n 1+x 2n+l)

1 U U

• Pour x> 0, en posant U = yIX: S(x) ="2 E (2n)! -- ~ E (2n + 1)!

1 ( sh u) 1 ( sh vix)donc S(x) ="2 chU - Il = ~ chyIX -- vix

Chapitre 8: Séries entières 297

donc

1 ( sin u) 1( _S(x) ="2 cos u - -u- ="2 cos v-x- Sin-h)-h

pour x>O

pour x< 0

• Pour x = 0, il est immédiat que SeO) = 0

On remarquera que ce calcul montre que la fonction S définie sur [R par:

{ S(x) = ~ (cos v=x _ Si~~)S(O) = 0

S(x) = ~ (ChVX- Si~)est de classe e'X sur lR, ce quCfi;est pas une évidence a priori.//

exemple 14 ,(

f Calouler ~ _n_2_:_4_+ n_4_-_1 . :~

n2 + 4n - 1xnPosons un(X) = n + 4 n!

Pour tout x E [Rx, on donc

et le rayon de convergence est p= +x.

xn xn Xn d3 ( xn+3 )Pour tout n ~ 1, un(x) = (n _ 1)! - (n + 4)n! = (n - 1)! - dx3 (n + 4)1

+'X n2 + 4n _ 1xn +'X xn d3 (+'X xn+3 )On en déduit S(x) = ~ n + 4 n! = ~ (n _ 1)! - dx3 ~ (n + 4)!

(toutes ces séries ont un rayon infini)

+,x n +x' n

'""' X '""' X xPour tout x E [R, L -( _ 1)1 = xLI = x e' ~n=l n . n=O n.

+x xn+3 1 (+'X xn) 1 ( x2 x3 x4)Pour tout x E [R* , '\"' --- = - '""' - = - ? - 1 - x - - - - - -L (n + 4)! x L n! x 2 6 24

n=l n=5

eX 1 x x2 x3-----1------- '0_ .. x 2 6 24

d3 (+00 xn+3 ) ( 1 3 6 6 ) 6 1d'où d7 ~ (n + 4)1 = eX x - x2 + x3 - x4 + x4 - 4:

. * x( 1 3 6 6) 6 1Finalement 'if x E [R ,S(x) = e x - - + 2 - 3 + 4 - 4 + 4:x x x x x

et, d'autre part, S(O) = o.

298

v


• Rayon de convergence: [e critère de d'Alembert donne immédiatement p= +x.+C0 x3n

Posons "il x E IR, S(x) = L (3n)!n=O

Par dérivations successives, on obtient pour tout x réel :+C0 3n-l +::0 3n-2 +::0 3n-3 +cc 3n

l """' XII """' XII l """' X """' XS (x) = D (3n _ 1)! ' S (x) = D (3n _ 2)! ' S (x) = D (3n _ 3)! = D (3n)!n=1 n=1 n=1 n=O

S est donc la solution sur IR;de ['équation différentielle (E) : ylll - Y = 0 vérifiant les conditions

initiales y(O) = 1, yi (0) = 0, yll (0) = O.

L'équation caractéristique de (E) s'écrit r3 - 1 = 0 et admet donc pour racine 1,) eti.On en déduit qu'il existe (il., [h, v) E C3 tel que "il x E IR;, S(x) =iI. eX+ [h é'<+ v ePx

{ iI.+[h+v = 1 1Les conditions initiales donnent alors il. +) [h +i v = 0 On en tire iI.=[h=v="3iI.+i [h+)v = 0 ~c

1 . '. ·2 eX 2 -?': (vis)Etfina[ement "iIXEIR;, S(X)="3(eX+eiX:eiX)=S+"3e 2 cos XT/7exemple 16

+::0 (_I)nL 4n+ln=O \/

• La série proposée converge d'après le critère spécial des séries alternées.

• Introduisons la série entière4n+l

nXL(-I) 4n+ 1n~O

On établit facilement que son rayon est-EJjcritère de d'Alembert).

Nous nous trouvons dans les conditions d'applications du théorème 9, remarque 2) : cette série

converge uniformément sur [0, 1], sa somme S est donc continue sur [0, IJ et on a :

+::0 (-lt +00 x4n+1

"""' -- = lim ,,"",(-I)n-4 1 c'est-à-dire S(I) = limS(x).D 4n + 1 x~l D n + x-1n=O x<1 n=O x<1

lx dtdonc S(x) = --4 et ainsi. 0 1+ t

•

•

+x· .x .x +x

Pour ~_~.~..:.g,on a S(x) = L (_I)n fa t4n dt =.10L (_I)nt4n dtn=O n=O

+C0 (_I)n r dt /1 dtL 4n + 1 = ~0îJo 1+ t4 = Jo 1+ t4n=û xd

1La décomposition en éléments simples de --4 s'écrit:1+ t

(théorème 11)

1 1 t+V21+ t4 - 2v2 t2 + tv2 + 1

1 t-v2--;='9 ,

2v2 C - tV2 + 1


/,1 t-V2 i'-l u+V2En posant t = - u, on obtient 9 r- dt = 2 V2 du, d'où:·0 c-t\/2+1 ·0 u +u 2+1

299

{1 dtJo 1+ r±

{1 dtJo 1+r±

1 "1 t + y/2-J ---dt2v2 -1 tZ+tv'2+1

1 {1 2t+ \/2 1 }.1 dt

412 .1-1 tZ uY/2 + 1 + 4" -1 ( \/2) Z 1t+ 2 + 2

~: exemple 17Calculer ~. _ 1

n=O

Introduisons alors la série entière

1 [. (9- )11 1; .=]1rn tn 1 c + tv2 + 1 J + ~ iATctan(h!2 + 1)4v2 \ -1 2v2' -1

1 '/+ \/2 1 - - 1rn tn ~ + -.'- A.Tctan(v2 + 1) + fuctan( J2 - 1).4v2 2-v2 2\(2 J

1 - "rn tn( v2 + II + rn2v 2 4v 2

1 "On a utilisé J2 - 1 = -.--- qui donne aussi fuctan( J2 + 1) + fuctan( J2 - 1) = 2\/2+1

+x (-lt 1 TI

D'où, finalement I: -4 1 = ~ tn(1 + 12.) + rnn+ 2V2 .' 4v2n=O /

/fI!)

1 1• Il est clair que la série proposée converge car 0 < (Ç,~ ,0\1Ç,~ 1':\ < 36n2

1 1( 1 1)On a 'if n EN. ,~ o,,~ ~, = 3" 6n + 2 - 6n + 5

+'X 1 1 +x (1 1) 1 +x (_I)ndonc ~ (6n + 2)(6n + 5) = "3~ 6n + 2 - 6n + 5 ="3 ~ 3n + 23n+2

I: n x(-1) -3n+2n~O

Nous nous trouvons dans les conditions d'application du théorème 9, remarque 2), cette série

converge uniformément sur [0.1], sa somme S est donc continue sur [O. 1] et on a :

+x (_I)n +x x3n+2

'" -- = lim '"(_I)n __L 3n+ 2 x-l L 3n+2n=O ~l n=O

Comme dans l'exemple 16, pour Ixl < 1, on a ~ (_I)n x3n+2 = r ~(_I)nt3n+1 dtL 3n+2 Jo Ln=O n=O

,. +00 (-lt _ {1 ~ = ~ (~_ tn2)dou I: 3n+2 - Jo l+t3 3 V3n=O

+00 1 -~(~-en2)Finalement I: (6n + 2)(6n + 5) - 9 V3n=O

300

v - Fonctions usuellesd'une variable complexe

A. Fonctions exponentielles complexes


d.8+::0 zn

La fonction exp: c~c, z f-? L 1 est appelée fonctionn.n=O

exponentielle complexe.

+,x xnOn sait que, pour tout x réel, eX = L l' la fonction ainsi définie est donc un prolonn.

n=O

gement de l'exponentielle réelle, ce qui permet de noter, pour tout Z E C. exp(z) = eZ•

Propriétés:

p.3 z f-? é est une fonction continue de C dans C-

I (c'est la somme d'une série entière de rayon p= +cx:).

pA i/If (Zl.Z2) EC2.é1é2 =eZ1+Z21

ii/ If Z E C. eZ ;'" 0

iii / exp : Z f-? é est un morphisme du groupe (C, +) dans le groupe (C, x)

1iv / If Z E C, e-z = ----ze

v/If Z EC, If n EZ.(é)n = enz

p.5 et argument de é

1 ex+iy = eX(cosy+ i sin y) lél = eReizJ argé = Im(z)

~ Posons Z = x + iy, (x, y) E , on a é = é" eiy

En revenant à la définition:

. +00 (.)n +::0 (. J2p +::0 Ci )2p+l

i e!y - '" ~ - '" ~ + '" . y~ - ~ n! - L (2p)1 L -(2-p-+-1J-·:n=O n=O n=O

+00 2p +::0 2p+l

eiy = "'(-lf-y- + i"'(-lf-.!:!.& (2p)! Lp=o p=o

ilvient donc eiy = cos y + i sin yD

p.61

Equation é = aEC

~ Posons Z = x + iy. (x. y) E [R2

D'après la propriété (5) é = a équivaut à é" = al. y = argial(mod 2 •.).

donc z = {niai + iarga + 2ik •. , k EL'.

Les solutions de cette équation sont appelées les logarithmes de a.

D


Application

é = é équivaut à é -z = 1 donc à z! = Z + 2UcTI, k EL,

le noyau de la fonction exponentielle est 2i ,Œ.

p.7 Fonction exponentielle imaginaire

1 C'est par définition Cf: :::2-0. x H é"Cf est un morphisme de (:::2, +.1 sur ("0. x) où "0= {z E L,lzl = 1}

Cf est surjectif mais non injectif: Ker Cf= 2 ,TZ.


exemple 18 _

1 Théorème de relèvementSoit u : l ---'"QJ de classe el. Montrer qu'il existe e : l ---'"IR de classe el tel que u = ei8 .

• Pour a E I, on sait qu'il existe b E [Rréalisant u(a) = eib.

Comme u ne s'annule pas, on dispose d'applications de classe el définies par:

•j'X Ul(t)v:I-C,XHib+ -,-) dt aveca u(t

v(a) = ib.

• w:I_C,xHu(x)e-L'IX) avec wl=(ul-ud)e-L'=O et w(a)=u(a)e-ib=1.

Donc west constante de valeur 1 et u = é'. Comme u est à valeurs dans QJ, v est à valeurs

dans i IR, Le résultat est obtenu avec l'application e = - iv.

Remarque1u

Si u est de classe en, (n:3 1), alors 8 est de classe en; en effet, e/= -i-.u

B. Fonctions circulaires et hyperboliques complexes

Définition :

z -ze + e

z -ze - e

ZH 2

ZH 2

, -izelZ - e

ZH~

sh

ch

SIn

Les applications de C dans iC:iz - iz +::0 2n

e +e '\'"" n zcos Z H ~ = L(-I) (2n)!n=O+::0 2n+l

'\'"" n zL(-I) --n=O+0:.' 2n

Z

L (2n)!n=O+'::0 2n+l

L Zn=O

sont respectivement appelées cosinus, sinus, cosinus hyberbolique et sinushyperbolique. Ce sont des prolongements des fonctions réelles connues sousles mêmes dénominations.

d.9

302

Propriétés:

p.8 Ce sont des applications continues de 1[: dans iC.

1


p.9

1

p.10

1

'ï! z E iC. ch iz = cos zsh iz = isin z

'ï!ZEc'chz+ shz = eZ

cos z + i sin z = eiz

cos iz = chzsin iz = ishz

ch z - sh z = e- Z

cosz- isinz= e-izch2 z - sh2 Z = 1cos2 z + sin2 z = 1

p.11 Toutes les formules de la trigonométrie circulaire ou hyperbolique, établies1 dans le champ réel, restent valables.

p.12 La propriété 9 permet de passer des formules de la trigonométrie hyperbo-1 lique aux formules de la trigonométrie circulaire ou inversement.

Exemple

On sait que cos(z + z') = cos z cos Zl - sin z sin Zl

donc ch(z + z') = cos(iz + iz') = cos iz cos iz' - sin iz sin izl = ch zchZ + sh z sh Zl

Théorème:

1.20 Pour tout (z, zo) E 1[:2, on a :

(1) cos z = cos zo Ç==? z = zo + 2k 71 ou(2) sinz = sinzo Ç==? z = zo + 2k 71 ou(3) chz=chzo Ç==? z=zo+2ik7T ou(4) shz = shzo Ç==? z = zo + 2ik 71 ou

z=-zo+2k7T

z =71-zo + 2k 71z=-zo+2ik7T

z = i 71-zo + 2ik 71

kE71

kE71

kE71

kE71

lk!F i / (1) s'écrit eiz + e-iz = eizD+ e-izD, soit en posant X = eiz et XO = eizD:

1 1 ') ( 1)X + X = XO + XO ou encore X- - X XO + XO + 1 = 0

1Les racines de cette équation du second degré sont évidentes, il s'agit de XO et XO .

Ainsi(1) donne eiz = zizDdonc z = ZO +2k •• ou eiz = e- izDdonc z = - ZO +2k 71.

ii/ (2) s'écrit cos ( ; - z) = cos ( ; - zo) et donne donc:

71 71 . 12 - z = 2 - ZO + 2k 71 SOit z = ZO + 2k •• ou

71 71 ..2 - z = -2 + ZO + 2k 71 salt z =•• -ZO + 2k' ••.

iii/ (3) s'écrit cos iz = cos izo et donne donc:

iz = izo + 2k 71 soit z = ZO + 2ikl 71 ou

iz = -izo + 2k 71 soit z = -ZO + 2ik! ••.

iv/ (4) s'écrit sin iz = sin izo et donne donc:

iz = izo + 2k •• soit z = ZO + 2ikl 71 ou

iz =71-izo + 2k •• soit z = i 71-ZO + 2i1c' ••.D


Corollaires:

303

c.1 Les fonctions cos et sin sont périodiques, l'ensemble de leurs périodes est1 2 ,,2.

c.2 Les fonctions ch et sh sont périodiques, l'ensemble de leurs périodes est 2i TiL.

1

c.3 cos z = 0 <==? Z = ; Cmod,,) , sin z = 0 <==? Z = 0 (mod'lT)1 -

cA ch z = 0 <==? Z = i ; (mod i ,,) , sh z = 0 <==? Z = 0 (modi 'lT)1

Définition :

d.10 Tangente et tangente hyperbolique

L •.. d ~ d iC sin h sh . l 'es lonctIons e vans : tan = - et t = -h sont respectIvement appe eescos c

tangente complexe et tangente hyperbolique complexe.

~, { " } eiz _ e - iz e2iz - 1"ï/ZEu\ ')+leTi!leEL , tanz=. 12 -12 =. 2ix~ LCe +e ) L(e +1)

{Ti _ } eZ _ e - Z e2z - 1"ï/ZES\ i-2+ikTi!leEL. . thz= Z -z =-9z--e + e e~ + 1

Propriétés:

p.13 taniz=ithz, thiz=itanz

1

p. 14 tan z = tan zo <==? z = zo + leTi le EL

1 th z = th zo <==? z = zo + ileTi le EL


exemple 19 ~

1 Pom z = x + ty, (x, yl E~',caloul ecen fono, tion de (x, y) :Icoszl, Isinzj. jchzl, Ishzl

.1) Ona cosz=cos(x+iy)=cosxchy-isinxshy

d'où Icoszl2 = cos2 xch2 y + sin2 xsh2 y = cos2 x + sh2 y = ch2 y - sin2 x

2) Ona sinz=cos(z- ;) d'où ISinzI2=sin2x+sh2y=ch2y-cos2x

3) Ona

4) Ona

chz = cos iz = cos(-y + ix) d'où Ichzl2 = cos2 y + sh2 x = ch2 x - sin2 y

shz=-isiniz d'où Ishzl =sin2y+sh2x=ch2x-cos2y

304

20


sin z = V2, (z E C).

• Soit z E C une solution, posons u = eiz, on obtient:

sinz= :i (u-~) =V2 , u2-2iV2u-1=O d'où UE {iCV2+1),i(V2-1)}

. (!I. TI

Si U = elZ = i(V2+ 1) = (V2+ l)e 2, alors il existe le E Z' tel que z = 2 +2k TI -i€n(V2+ 1).

Si U = eiz = i( V2 - 1), il existe h E Z' tel que:

TI TI

Z = 2 + 2h TI -i€n(V2 - 1) = 2 + 2h TI +i€n(V2 + 1)

On vérifie ensuite que toutes ces valeurs conviennent (on constate qu'elles sont conjuguées deux

à deux).

Pour tout z E C, écrivons:1- sin3 z - cos3 z = sin2 z - sin3 z + cos2 Z - cos3 z

1- sin3 z - cos3 z = (1 - cos2 z)(l - sin z) + (1 - sin2 z)(l - cos z)

1- sin3 z - cos3 z = (1 - cos z)(l - sin z)(2 + sin z + cos z)

Les solutions sont donc les complexes vérifiant:

cos z = 1 ou sin z = 1 ou 2 + sin z + cos z = 0

exemple 21

1 Résoudre dans IR: et dans C l'équation

•sin 3 z + cos3 z = 1.

• cos z = 1 équivaut à z E 2 TIZ'

• sinz = 1 TI

équivaut à z E 2 + 2 TIZ'

• 2 + sin z + cos z = 0 s'écritsin (z+ :)

= -V2

et d'après l'exemple précédent, équivaut à :

3TI

z = -4 + 2k TI +i€n(V2 + 1), le EZ' ou 3TI lnZ = - 4 + 2h TI - itn( v 2 + 1), h E Z'

à l'origine la fonctionf : C~iC, z ~ é sin z

• Comme produit de deux fonctions développables en séries entières de rayon de convergence

infini, f est développable en série entière de rayon infini.

1 .. 1 +:0 znEcrivons fez) = ----;[eC1+t)Z- eC1-l)z] = ----;'\"' [(1+ On - (1- On] -2L 2L L n!

n=ü

De (1+ 0 = V2e(i et (1 - i) = V2e -ii,1 ln nTI2i [(1+ On - (1- On] = (v2)n sin 4 et

on déduit:+x

fez) = '\"' (h)n . n TI znL sm -.-n=O 4 ni


n = 4p + 1

n = 4p

n = 4p+2

si

si

si

1(-If

n ïT 1-

Notons que sin -4- = (;'2)p(-If~ si n=4p+3

v2 ~+x (-1)P22p , l_lf22p+1 (_1)P22p+1

d,' j' 'J - , '4p+l 4p+2 ' 4p+3ou \z - L (4 1" z + -(4--2-'-z + (4 3)1 z, p + ). P + J. p + .p=o

VI - Exponentielle d'un endomorphisme,d'une matrice

Cette section ne concerne que le programme M'

E désigne ici un :<-espace vectoriel normé de dimension finie n ~ 1.

A. Définitions

Définitions:

d.11 Pour tout U E LIE), la série L ~~est convergente, sa somme est dite'·X'

exponentielle de u et notée eU ou exp u: eU =t~~fl=O

Dans L(E), on a, pour tout (u, v), Il u 0 v Il "'" Il u 1111 v Il.

Donc, pour tout u E LIE) et tout kEN, Il uk Il "'" Il u Ilk.

La série réelle L Il ~ilk étant convergente, la majoration précédente assure l'absolue

ukconvergence de L kl' donc sa convergence. (L(E) est complet car de dimension finie.)

Notons au passage que l'on obtient Il eU Il "'" ell u Il_ k

df'12i_~pour toute matrice A E .Vifl(IK), la série L ~ est co::e~:nte, sa somme estdite exponentielle de A et notée ~ ou expA: ~ = L1k.

k=O

• Si A ~ Il A Il est une norme d'algèbre sur .Vifl(~)' on a :

pour tout A E },/t fl(lK) et tout kEN, Il A k Il "'" Il A Il k

Comme en définition 11, la convergence de la série réelle L Il~rassure l'absolue

Akconvergence, donc la convergence de L kl'

J.:. (eih<;i<;fl étant une base fixée de E, pour tout A E .Vifl(IK), il existe u E L(E) unique., tel que A = matCei) u.

m Ak (m k)On a alors \;f n EN, L 1 = mat L;-k. Cei) k.

k=O k=O


Ak k

On peut donc aussi dire que la convergence de :L TI résulte de celle de :L %! :

Exemples

Pour tout ÂE 1ft eÀ1n = èIn (en particulier eO = ln),

Pour tout (ÂI, Â2"'" Ân) E [Rn:

exp [diag(ÂI, Â2,' . , ,Ân)] = diag (eÀ1, eÀ2, ' . , ,eÀn)f :

+00 Ak . (+,00 uk)Lkf=%~t Lkfn=O k=O

ou ~ = mat(eil eU

\ .~.

B. Théorèmes

Théorèmes:

D

L'application exp : LCE)~ LCE), u 1--7 eU (resp. exp : .Vin(iK) - .Vin(iK),

A 1--7 ~) est continue sur LCE)(resp. sur .Vi n ([kC)).

Soit u et v dans L(E) tels que Il u Il < R.11v Il < R, avec R E R+.

On a alors 'ïI le E l'>r. Il uk - vk Il "" leRk-lll u - v Il

La propriété est en effet vraie à l'ordre 1. Si on la suppose vraie à l'ordre le - 1, on

obtient: uk - vk = uk-l 0 (u - v) + (uk-l - vk-l) 0 v

donc Il uk - vk Il'''' Il uk-llili u - l'II + Il ule-l - l'le-III Il l'II

et, d'après l'hypothèse de récurrence:

Iluk-vkll ""Rk-Illu_vll+(le_l)RIe-1 u-vc'est-à-dire Il uk - vk Il "" leRk-lll u - v Il : la propriété est récurrente.

• Conséquence:

1 +x k kll +x Rk-lIl eU - eV Il = L u I~ v "" Il u - L' L Ile _ H~O ~l

c'est-à-dire Il eU - eL' "" u - L' t!< La conclusion en résulte.

••

t.21

1

t.22 U E L(E) (resp. A E . Vin(!:)) étant fixé, l'application [ 1--7 eW de :< dans L(E)

1 (resp. t 1--7 etA de r< dans .\'''Inl!:)) est continue sur >c,

C'est un corollaire du théorème 21,

t.23 Si u et v (resp. A et E) sont deux éléments permutables de DE) (resp. de1 .Vin(iK)), on a: eUH' = eU eL' (resp. tT"+B = tT" eB)

2m Iu+ V/( (' m Ui) (m uj)

~ Montrons que Dm(u, v) = L 1 - L ~ L -:,- tend vers 0 quandle. L J.k=O i=O ,)=0

m tend vers +00, le théorème en résultera.

ui J ui Jana Dmlu,v)= '\"' --- '\"' --.. 0 '1" 0 .",L J. L J.

O$;i+j~2m g~;.:~(Puisque u 0 u = u 0 u, on a pu développer (u + L-ile par la formule du binôme)


Ainsim-l Ule 2m-le vl m-l J 2m-j Ule

Dm(u,V!=Li L -;;-+L-;;- L 1le J. J. k.le=O j=m~l j=O le=m+l

ell u'HI L" = el] u]1 el vii

'iDmCU.m-l U 2m-le v ij m-l v'Y 2m-j~,-, _, +'-' ,L k! L f L j! Lle=O j=m+l j=O k=m+l

~f (IIU :! v )le _ (f ~!II;) (f II~!I~)bO ~O FOLa conclusion résulte alors de :

')m 1 1" leL-. U +, V,,,)lim '. ,

m~+:x: k!le=O

c'est-à-dire !jDmlu.

1.24

1

1.25

1

m~~:x: (f Il~!II;)m~rrC0 (f II~t)!=o )=0On pourra faire le parallèle entre cette démonstration et l'étude du produit de Cauchy de

deux séries numériques absolument convergentes (cf. chapitre 4 de ce tome, théorèmes

20 et 21).

Pour tout u E .cCE) Cresp. A E .VlnCIIi)), eU, Cresp. ~), est inversible avec:

Ceurl = e-u Cresp. C~)-l = e-A)

C'est un corollaire du théorème 23 avec eO = IdE (resp. eO = ln).

U E .cCE) Cresp. A E .VlnCc{)) étant fixée, l'application t >---+ etu de IR dans .cCE)

(resp. t>---+ é" de R dans .VlnCK)) est de classe el sur R de dérivée:

t >-i> U 0 etu (resp. t >---+ AetA)

tleule tleAle

Considérons la série LA avecA : t >---+ ~ (resp.A : t >---+ ~).

On a ici affaire à une série d'applications dérivables sur iR, à valeurs dans l'espace de

Banach .cCE) (resp .. VlnCIIi)), convergente sur IRdont la série dérivée est normalement,

donc uniformément, convergente sur tout segment [-a, a] de iR.

Remarque

'i U E .cCE), 'i t E iR,'i kEN. (tu)le 0 U = U 0 (tU) le, donc U 0 etu = etu 0 u.

C. Calcul de exp(A) - A E Mn (Di)

On suppose que XA, polynôme caractéristique de A, est scindé dans iii [X] :p

XA CX) = II(À; - X)mi, CÀl. À2' ... , Àp) étant les valeurs propres distinctes de A.i=l

Remarque

Après avoir étudié deux cas particuliers, nous n'envisagerons ici que des méthodesutilisant une réduction effective de A.

Nous verrons en Algèbre Il, (Réduction des endomorphismes et des matrices), un calcul

ne nécessitant pas de réduction effective.

308

1. Deux cas particuliers 1

al A est nilpotente d'indice r

On sait que 1 ~ r ~ n, alors

"

~X

~=~Ak ~k=û Je!


bl A a une seule valeur propre ÎI.

ÎI. est alors d'ordre n et on a A =ÎI. In + N où N est nilpotente.

Das ce cas, In et N étant permutables, on obtient:

n-l Nk~ = é1n . ~ = éIn '" L Je!

k=û

12. A est diagonalisable 1

soitn-l

~ = eÀ ~ (A- ÎI. In)kk=û Je! .

Il existe Q E.2n (ni) telle que Q-IAQ = diag(/-ll, /-l2, ... , /-ln) où le n-uplet

(/-ll, /-l2, ... , /-ln) est formé des Îl.i, 1 ~ i ~ p, chaque Îl.i étant repété un nombre de fois

égal à son ordre de multiplicité: mi.

On a alors V JeE N, Q-IAQ = diag (/-lf, /-l~,"" /-l~)

d" {Q-.I. ~Q==cliag(.efL.~,#1.,_· •.,efLn)ou ..... --

~ = Q diag ( efL1 , efL2 , ..• , efLn) Q-I

13. Cas général 1

On sait que E =nin est somme directe des sous-espaces caractéristiques Fi, 1 ~ i ~ p,

de l'endomorphisme u canoniquement associé à A: Fi = Ker (u- Îl.i IdE) m,.

La détermination effective de ces sous-espaces permet de construire une matrice

Al

Q E.2n (ni) telle que Q-I AQ =A2 (0)

eJ

(0) Ap

avec Vi E [l,p],AiE } ..1m,(!;<). Ni = Ai- Îl.i Imi étant nilpotente d'indice Ti ~ mi.

(Q est la matrice de passage de la base canonique à une base obtenue comme « ré

union »de bases des Fi).

[~l

_ ~2 (0)

On a alors Q I~Q = (0)

. mi-1 (Ai- Îl.i Im,)ket, d'après le deuxième cas particulier, é"i = eÀ' ~. 1 cole

k=O


Exemples - Travaux pratiquesL

-2e + 2e16 ]

3 - 2e _ e16

3 + 2e + e16

2e - 2e16

3 + 2e + e16

3 - 2e - e16

["

-5

-:] E M3(~)A= -;

3

-3

On a XA (x) = det(A - XIs) = X(1 - X)lX - 16)

A est diagonalisable dans. \/(s(:=2)(trois valeurs propres distinctes).

On trouve p-l AP = diag(O, 1, 16) avec'

[0 1 2]p = 1 1 -1

1 -1 1D'où ~ = p diag(1, e, e16 )p-l, soit:

1 [ 2e + 4e16~ ="6 2e- 2e16

-2e + 2e16

//

j: exempl~23 \7/V

Calculer exp A pour

•

j: exemple 24 [S -1 -5]Calculer ~ pour A = -2 3 1

4 -1 -1• ?On trouve XA (X) = (2 - X)(X - 4)-.

1 Soit E = ~s et u E .c(E) tel que A = mat u, B = (el. e?, es) étant la base canonique de E. OnB . ~

trouve:

Ker(u - 2 IdE) = Vect(el + e2 + es) , Ker(u - 4 IdE) = Vect(el - e2 + es)

Ainsi dim Ker(u - 4 IdE) < 2: u n'est pas diagonalisable.

Pour trouver le sous-espace caractéristique Ker(u - 4 IdE)2, on calcule:

[-2 2 4](A - 4Id = -2 2 4

-2 2 4

D'où Ker(u - 4 IdE)2 = Vect(el - e2 + es, el + e2).

Posonse~=el+e2+es, e~=el-e2+es, e3=el+e2,

BI = (e~,e~,e3)est une base de E telle que:

u(e~) = 2él, u(e~) = 4~, u(e3) = u(el) + u(e2) = 7el + e2 + 3es = 4e3 + 3e~

[2 0 O]~' [ 1 1 1]Donc ITf3EJ-t u = 0 4 3 = Q-l AQ avec Q = 1 -1 1

o 0 4 1 1 0

[4 3] [1 3] [e2 0 0 ]Alors exp = é donc ~ = Q 0 é 3é Q-l

0401 ooé

[-e2+9é e2-é 2e2-Sé]Finalement ~ = à _e2 - 5é e2 + é 2e2 + 4é

-e2+7é e2-é 2e2-6é

310

Exercices-types


///'V'

v/7Soit I: anzn une série entière de rayon de con

vergence p telle que V nE N, an E IR:.

Que peut-on dire du rayon de convergence pl

de la série entière I: a~zn, (~IR)?

Ex. 8. 2

Soit I: anzn une sérvergence p.

n

Pour tout n E N, on pose Sn = L ak,k=O

que peut-on dire du rayon de convergence de

I: Snzn?

Ex. 8. 3

1 1Soitf :]- TI,O[u]O,'iT [--+lR,x~ -.- --.Slnx xMontrer que f est prolongeable par continuité

en O. Soit 9 ce prolongement, montrer que 9 estde classe CCO sur ]- TI, TI [.

1Ex. 8: 4

Soit a E IR: étf E CX (] - a, al, IR) telle que:

V nE N, V XE] - a, a[,fn)(x) ;" O.

Montrer que:+c<: n

"'"""" X ln)VXE]-a,aLf(x)=L...,f (0).n.n=O

1) Montrer que la fonction

f :] - ;, ; [ --+ IR, X ~ tan x

] TI TI [est l'unique solution sur - '2' '2 de

l'équation différenti~UEJL~~_~,,"V';'2) En déduire que f est développable en

série entière à l'origine.

Ex. 8.6

/,+1 dx IRCalculer I(a) = ---)-V"1====:'2 ' a E .. -l(a-x -x

En déduire, pour tout nE N.

1+1 xndxbn='_l ~

Ex. 8. 7

+Cv 1 TI2

En admettant que L 2 = (5' calculer:n=l n

il t'n(1 + x + ... + xn) *l = -------- dx, nE N .

o

Ex. 8.8

Soit (bn)N une suite à valeurs dans IR: telle

que I: bn diverge et telle que la série entière

de la variable réelle x, I: bnxn ait pour rayon

de convergence 1.

Soit (anhj une suite réelle telle que

anlim - = S EIR.

n~+x bn

1) On note:+:;0 +:"(>

f(x) = L anxn , g(x) = L bnxn.n=O n=O

f(x)Montrer que lim - = S.

~;::;1g(x)

2) Application: soit Cl'E IR:.

Montrer l'e;x:istencedans IR: de+x

~0i(1-x)O: L no:-1xn.x<l n=l

Ex. 8. 9

Déterminer le rayon de convergence p de la série entière de la variable réelle x:

1

"'"""" n, 2n+1L... 1.3 ..... (2n + l)xn~O .

Montrer que la fonction somme f est solution

d'une équation différentielle du premier ordre.

En déduire une expression explicite de f.

Ex. 8. 10

Soit (Un)p, la suite réelle définie par ua = 1 etn

V nE N, Un+l = L UkUn_kk=O

Calculer Un en fonction de n.


Indications

311

Ex. 8. 1

Distinguer les cas 0'> 0 et 0'< O.

Utiliser pl = sup{ r E:Ki+ / lim a~rn = O}n---'--j-:x:

Ex. 8. 6

Iia) a un sens pour

Pour ai > 1 et xi ~ 1.

> 1, I(-a) = -I(a)

Ex. 8.2

'if n ~ 1. an = Sn - Sn- 1.

L Snzn est le produit de Cauchy de L anznpar ~ zn.

EX.8.3

Ecrire 9 comme le quotient de deux fonctions declasse ex avec un dénominateur ne s'annulant

pas sur J- ",,, [.EX.8.4

Ecrire la formule de Taylor-Lagrange avec reste

intégral :j(x) = Sn(x) + Rn(x!.n lex

Sn(x) = L 'k/lel(O)le=O

fr'x (x - On in+l!.,Rn(x) = ! j (r) dt..0 n.

Pour x EJO, al, la suite (Sn(X)) est croissante

majorée. Etablir alors que pour 0 < x < y < aRn(x) Rn(y) , .'

o ~ n+r ~ n+r' pUiS en dedulre quex y

lim Rn(x) = 0n---'-+x

Ex. 8. 5

[ " [Pour tout XE 0, 2 ,la série de Mac-Laurin

de j est à termes positifs.

Vérifier que la somme de cette série est solution

.2 ] " ,,[de il = 1 + y sur - 2' 2 .

1 +x xna -x = L n+l

n=O a

Ex. 8. 7

l = __ n_l1 €n(l - u)n+1 ----du.0 u

('1 €n(l - u)Jo u du =

J'l-" +x un-1lim - L --du,-0 0 npo' n==l

Ex. 8. 8

1) Montrer que lim g(x) = +:x.x-1x<1

2) Développer en série entière

x f-7 (1 - xl-a et appliquer le 1).

EX.8.9

Pour trouver l'équation différentielle, partir des

relations:

(2n + 3)an+l = (n + l)an

(2n + 3)an+1X2n+2 = (n + 1)anX2n+2

Ex. 8. 10

+.:<:;.

Introduirej(x) = L Unxnn=O

Montrer que j(x) est solution d'une équation du

second degré.

312

• Cas où



1Pour r E IRtel que 0 < r <p'" on a 0 < rœ p"', la suite ( anr ~ ) ~ ne tend pas vers zéro, la suite (a~rn) non plus. Donc ~.

Finalement, pl =p"'. Noter que ce résultat est valable pour p= 0 : pl = 0 et pour p= +oc : pl = +x .• Cas où a< 0

Supposons p> O.

Pour r E IRtel que r >p"', on a1

r'" <p doncn

lim anra = 0 etn--++;x

lim a~rn = +x.n-.;..+(:x:::

Ceci montre que pl ~p"'. Voyons sur un exemple que l'inégalité peut être stricte:

Zn 1 1 '" -'" l '"

aZn = 2 ,aZn+l = 2Zn+1 donne p= 2:' p = 2 ,p = 2 <p.

Le résultat précédent n'est évidemment pas valable pour p= 0 (0'" n'a pas de sens). Dans ce cas, toutest possible; exemples:

aZn = (2n)Zn ,

an = nn donne

aZn = (2n)Zn

_ 1 1

aZn+l - Zn+l donne p=p = 0,(2n + 1)

p= 0, pl = +cc,

aZn+l = 1 donne p= 0, pl = 1.

Notons pl le rayon de convergence de L Snzn et supposons p/~ 0 .

Soit alors z E iC tel que Izi <pl: L Snzn est convergente ainsi que L Sn_lZn = zL Snzn,n~O n~l n~O

donc, en notant que 'il n ~ 1, anzn = Snzn - Sn_lZn, on conclut que L anzn converge.

Ceci montre que p~p/.

D'après ce qui précède, p= 0 exige pl = O. Supposons maintenant p> 0 .

En observant que L Snzn n'est autre que le produit de Cauchy des deux séries entières L anZn et

L zn, de rayons respectifs pet 1, on obtient & inf(l, p) (cf. théorème 5).

E'n-éonclusion : on a dans tous les cas iJ;1(:c:p) ~p~~,Remarques ~-------------"'J

1) pour p~ 1 : la formule précédente donne pl =p.

2) pour p> 1 :

• on peut avoir1 1

p = 1. Exemple: an = 1 alors p= +oc etn. hm Sn = e doncn----'-+::>:

p/= 1.

• on peut avoir1

pl =p. Exemple: aZn = 2Zn

1aZn+l = - ~ alors p= 2

2-n

"" 1et pour tout n E ~, 8?n = -Z-- 2 nSZn+l = 0 donc pl = 2.


Ex. 8.3

, xAu voisinage de 0, j(x) ~ 6' on pose donc glO) = O.

313

• Soit u définie sur R par u(x) = x - SlllX;1 po

~_ urx;=Oetu(O)=O

u est développable en série entière de rayon p= +x. :

elle est donc de classe ex sur R.

VXER.+co

u(x) = 2)-lf+1 x2p-1p=l

• Soit v définie sur ~ parSlllX

v(x) = -----:x- pour x ;=0 et v(O) = 1.

+x x2p Uv est développable en série entière de rayon p= +x.: V x ER v(x) = :2.)-If ----

p=O

elle est donc de classe ex sur R.

Pour tout XE J- 'Ti, 'Ti [, on a

Ex. 8.4

u .v(x) ;=0, donc 9 = - est egalement de classe eco sur J- 'Ti, 'Ti [.

V

lx (x - ttRn(x) = -ln+1)(t) dto n!

• La formule est vraie pour x = O.

• Pour tout x EJ- a, al, la formule de Taylor avec reste intégral donne:n k

"'"" X jlelf(x) = Sn(x) + Rn(x) avec Sn(x) = L 1 (0) etk;k=O

De l'hypothèse V nE N, V tE J - a, al. ln)(t) ~ 0, on déduit:

VnEN,VxEJO,a[, Rn(x)~O d'où Sn(x)~f(x)

Pour tout x EJO,al. la suite (Sn(X)) est donc convergente car croissante et majorée (par f(x)) ;

il en résulte que (Rn (x)) est également convergente.

n+1 1.1On a d'autre part, V n E N, V X EJ - a. al. Rn(x) = ~ (1 - u)nln+1)(xu) dun.. 0

la fonction fn+l) étant croissante, (fln+2) positive), on en déduit que:

Rn(x) 1 il n In+1) .X f-i> ----n:iT = -;:;-r (1 - u) J (xu) du est croissante sur J - a, a[ \ {O}.x n. 0

Pour tout x EJO,al. fixons y tel que 0 < x < y < a, on a alors:

( ) n+1

Rn(x) Rn(Y) xo ~ ----n:iT ~ ----n:iT donc 0 ~ Rn(x) ~ - Rn(Y)

x y Y

( ) n+1Lorsque n tend vers +cx:, Rn(Y) admet une limite et ~ tend vers 0 donc Rn(x) tend vers 0 et+co n

f(x) = n~rpco Sn(x) = L :/n)(O).n=O

Pour tout x EJ - a, 0[, on a :

1 1n+1 1 1 1n+1 1IRn(x)1 = ~ r (1 - utln+1)(xu) du ~ _X__ ln+1)(O) r (1 - u)n du~ h ~ h


1 In+lainsi IRn(x)1 ~ C:+ l)!fn+l)(O), donc n!.!.~vRn(x) = 0, car on vient de voir que, pour tout

tn .tE ]0, aL la série de terme général ,fnJ(O) est convergente.n.

+:;.;) n

Finalement 't/ x E] - a, a[, 1(x) = L ;fnl(O).n,n~O

Ex. 8. 5

1) Notons que1 est solution sur J = ] - ;, ; [ de l'équation différentielle (E):!! = 1+ lf'.1

Soit 'Il une solution de (E) sur J, on a ~ = 1 donc il existe .K{J E ~ tel que1+ cp

] TI TI['t/ x E J, Arctan cp (x) = x - Xb ; la fonction Arctan prenant ses valeurs dans J = - 2' 2 'il vient: 't/ x E J, x - .K{J E J et donc _\'.Q = ° ;ainsi cp (x) = tanx.

On en déduit que1 est l'unique solution de (E) sur 1.

p

2) Def = 1 +12,on déduit, pour tout p E .R0x ,jP+ll = L C;fkJ/P-kJ (formule de Leibniz).k~O

Une récurrence immédiate donne alors 't/ XE [0, ; [, 't/ p E R0,jP!(x) ~ O.

En écrivant la formule de Mac Laurin avec reste de Lagrange:P k p+l

'\"' x (k) x (p+1l.1(x) = L ki1 (0)+ (p + 1)!1 Cc) 0< c < xk~O

[ [pkon obtient 't/XE 0,; .'t/pEN,L;jk!(0)~1Ix)k.

k~O

kxce qui assure la convergence de la série de terme général positif -/ 1 j /ci(O).e

Ainsi la série de Mac Laurin de1a un rayon de convergence supérieur ou égal à ;• C' /c

~x l/csoit <P: J -+~ telle que 't/ x E J, <p (x) = L -/ J '(0).ek~O

1 (k

3) Posons, pour tout kEN, ak = k!f )(0 J,

p

on a ao = 0, al = 1 et 't/ p ~ l,fp+ll(O) =!p + ll!ap+l = L C; k!a/clp - k)!ap_kk~O

p

donc 't/ p ~ l,(p + l)ap+l = L akap_ /c./c~O

De 't/ x E J, <p (x) = f apxP , <pl (x) = f papxP-l , <p2 (x) = f (t a/cap_ le) xP,p~o p~l p~o k~O

on déduit alors 't/ x E 1. <pl (x) = 1+ <pz (x). Ainsi <p=1d'après 1).


4) Le raisonnement précédent montre que le rayon de convergence p de la série de Mac Laurin

de j est supérieur ou égal à ~'.

Cette série est divergente pour x = ;. En effet si elle était convergente, on aurait

[] ( . n

ÎÏ Ii 'n TI'

V X E - 2 ':2 . ianxn = anX ~ an 2) et la série serait normalement conver-

[ " ,,] '\' n TIgente sur - 2 . 2 ,donc la fonction q,: x '-J> L anX serait continue à gauche en :2

n=O

] " ,,[ TIet la fonction j, restriction de q, à - 2 '2 admettrait une limite finie en 2 !

Donc; on a finalement p=; .

Ex. 8. 6

1) Pour a E;:;, posons

ja est [-1, l[ \ {a}.

1ja(X) = , ~' l'ensemble de définition et de continuité deCa - x) 1- x2

Posons x = cos e, eE [0, TIJ

·1 , 1• Si a E [-1, 1], l'intégrale 1-1 jaC>:)dx est divergente: jaCX) ~ a _ x pour x < a et

1ja(x) ~ a _ x pour x> a.

• Si a il [-1, 1], l'intégrale est convergente: au voisinage de l,jaC>:) = 0 ( )11_ x) , et

au voisinage de -l.fa(x) = 0 ( J/+ x)·

Remarquons que I(-a) = /.1 dx = {-1 d_u = -I(a). -1 (-a - x)V1- x2 JI (a - u)~

Calcul de I(a) La remarque précédente permet de se limiter au cas où a E]1, +x[ .

. t e '1 .pUiS t = an 2' 1 vient:

I(a)= {Ti de -2 r:0 d~ = __ 2_ [ArctantJ_a_+-r~=--TI-' _.la a-cose .la a-1+t2(a+1) va2-1 a-la va2-1

Pour a < -1, on a doncTI

I(a) = -I(-a) = ~

2) Calcul de bn. n-1 k n1 x x

Avec 1 al > 1, on a, pour tout x E [-1, 1J et tout Tl E l'\:r, a _ x = ~ ak+1 + an(a _ x)k=ü

n-1 1 f·1 xk 1 fI xndxd'où I(a) = ~ ak+1 -1 ~ dx+ an. -1 (a _ x)V1- x2k=ü

1 fI xn dx [I(a)1En posant Rn = -----n ------ on obtient IRnl ~ ~a .-l(a-x)~


donc lim Rn = 0 etn--++oo

n-1 bk +C0 bnI(a) = lim L hl = L n+1

n--Ho;:;, k=O a n=Oa

Remarque

Nous venons de justifier, sans recours aux théorèmes généraux, l'intégration terme à terme sur+co xn

[-l,l]delasérie fa(x)=L n+1~'n=Oa 1-x-On peut procéder différemment:

1_e2

• On sait que I(a) = lim f fa(x) dx.e~O. -1+e2

est normale-Sur [-1+ e2, 1- e2], la série de terme généralXn

Un(x) = n+1 ~1a Yl-X1

ment convergente car 'i XE [-1+ e2, 1- e2], 1 un(x)1 ~ an+1 e

1_82 +0;:; 1 1_,2 xn dx

On a donc / Ja(X)dx = L an+1 11+e2 ~.-l+e- n=O

1 .1_e2 xn dx

• Posons alors vn(e) = an+1 1-1+e2 VI _ x2'

•

on a,1 ·1_e2 xn dx 1 fI dx'i n EN,'ieE [0,1], 11+e2 ~ ~. -1 ~ =TI,

TI

donc 1 Vn(e)1 ~ n+1' la série de fonctions de terme général Vn est donc normalementaconvergente sur [0,1] ; puisqu'il s'agit de fonctions continues sur [0,1], on en déduit que

+00

e f-7 L vn(e) est continue sur [0, 1].n=O

+x +x +:c bn• Finalement I(a) = lim L vn(e) = L vn(O) = L n+1

e~O n=O n=O n=Oa1

Ecrivons maintenant le développement en série entière de c f-7 r----;:;'y'l-c'"1 +0;:; (2n): 2n

'i CE] - 1, 1[, ~ = '\""' 9n 9 C1 - c2 ~ 2- (n:)-

n-O +0;:;',

1 1ï TI C ~ (2n). 2n+1Pour a> 1, on a C = -- E]O, 1[, donc: I(a) = ~1 = ~1 2 =1ï L 22n( 1)" Ca y'a-- y l-C~ n=O n,

+00

Comme d'autre part, I(a) = L bncn+1, par unicité du développement en série entière, onn=O

/1 x2n (2nJ:déduit: 'i n EN, b2n = ~d..'C = 9 9 1ï-1 1- x2 2-n(n:t1 2n+1

bzn+1 = / ~ dx = 0, (intégrale d'une fonction impaire sur [-1, 1]).-1 \ 1-x2


Ex. 8. 7

317

• Posonsf(x) = tn(l + x + ... + xn)X f est continue sur JO.1J et f(x) ~ 1,

a

tn(l - x) ~ t'n(1 _ x)x 1

•

ce qui assure l'existence de J.

• On a 1 - xn+1 = il + x + + xn)il - x)

donc V x E [0.1[, tnil + x + + xn) = tn(l - xn+1) - tn(l - x).

{1 tnil - xl tn(1 - x)L'intégrale Jo x dx est convergente (.~~ ---- = -1) et

1·1 tn(l - xn+1)donc ----- eL\: est également convergente,

.0 x

/.1 tn(l _ xn+1) /1 [n(1 - x)etona 1= ----- dx- ---- dx.

. a x .,0 x

11 tn(l - xn+1) 1 l·l t'n(1 - u)En posant u = xn+1, on obtient -----dx = --1 ---- du,0 x n+ a u

n 1'1 tn(l - u)d'où J = --- ---- du

n+1 0 u

1,1 tn(l- u) ),.1-8 tn(1- u) 11-8+x un-1De ----du = hm ---- du = - hm ~ -- du,. 0 u '~o . a u e~O • 0 n=l n

n-1uen tenant compte de la convergence normale sur [0, 1- eJ (eEJO,1J) de la série entière ~ -n-'

n",l

on déduit Il tn(l - u) . +:.: (1- e)n---~ du = - hm ~ ---.a u ,-0 L n200 n=ln

~xOr, la série entière L 2n"'l n

est normalement convergente sur [-1, 1], sa somme est donc continue

11 tn(l - u) +x 1 .••.2sur [-1, 1] et finalement u du=- ~ 2 =-6a n=l n

2n TI

En conclusion: J = n + 1 6'Ex. 8.8

1 )

• Montrons que hm g(x) = +x (1).x-lx<1

no

Par hypothèse sur L bn, à tout A> 0, on peut associer no EN tel que ~ bk ~ 2A.k=O

no no

On a hm ~ bkXk = ~ bk ~ 2A, il existe donc 'lE ]0, 1[ tel que:x-+lk=O k=O

no +00 no

V x E]1- 'l, 1[, ~ bkXk ~ A. Donc ~ bkXk > ~ bkXk ~ A.k=O k=O k=O

Finalement V A> 0, 3'1> 0, V x E]1- '1,1[, g(x) ~ A : c'est (1).


• Montrons que le rayon de convergence p de L anxn vérifie p~ 1 (2);

L bnxn ayant pour rayon 1, pour tout x E!Ritel que [xl < 1, on a lim bnxn = 0n---'-+x

donc lim , anxn = 0 (anxn = banbnxn et lim an = S) (2) en résulte.n-++co n n~+:o bn

• f(x)

Supposons S = 0 et montrons que lim -( ) = O._~~1 9 X

lim an = 0 donc, à tout 8> 0, on peut associer no E ~ tel que, pour tout n ~ no, on aitn-HCO' bn

8

lanl "" 2:bn.

TlD-1

ATlD = L ranin=O

On en déduit, V x EJO, 1[, 1 f anxnl "" ; f bnxn"" ig(x),n=TlD n=TlD

. If(X) 1 ATlD 8pUIS g(x) "" g(x) + 2: avec

TlD-1 +x

(écrire Lf(x) 1= 1 L anxn + L anxnl "" ATlD + ;g(x»)n=O n=TlD

D'après (1), il existe T]EJO, 1[ tel que V x E]1- T],1[,0 "" ;~) "" ;.

Finalement (V8E !Ri~)(3T]E!R~)(V x E]1- T],1[, Ifix~ 1 <8) c'est-à-dire lim f((X» = o.9 x X::-,' 9 X

• f(x)

Cas général, montrons que lim -( ) = S.\~119 X

Posons a~ = an - Sbn. on a

f

anlim - = 0

n--++x bn

donc

+x

. f(x) - Sg(x) = 0 (""' a~xn =f(xJ - Sg(xJ),hm () Lx--+1 9 X n=Ox<1

c'est-à-dire lim f(x) = SHl g(x) .

x<1

2) Application

On a+CO a (a +1)· .. (a +n - 1)

(1 - xl-a = 1 + L , xn série de rayon p= 1.n,n=l

Posons bn = na-1 > 0, la série L bn diverge car 1- a< 1et la série entière L bnxn an~l n~l

pour rayon 1, (utiliser le critère de d'Alembert).

n-1 ( )Un = II ,1 +--==-k=l le

Puis avec

a(a+1) ... (a+n-1) an an-1(' a)En posant an = ~, ' on a -b = ---ccII 1 + -n n lek=l

n-1 ' ); il vient tn Un = L tn ( 1 + :k=l . '

• Au voisinage de O. on a tn(1 + x) = x + CJ(,,? J.


il existe donc une suite 'V1c)e" telle que(" Œ \ Œ{n ,1 + k) = k + Vic avec

319

+x

La série ') L'ic est convergente et, en notant F = L Vic, on a, quand n tend vers +x,lc=l

n-l

L L'1c= \T + aGI.Ic=l

n-l 1• Par ailleurs "'" - =.(n n+ '1 + c,III ('1 constante d'Euler)L k ,"

Ic=l

• d'où finalement, {n Un =Œ .(n n+ Œ,! + \' + oG)

ce qui donne Un +~c ne, eŒ'i+,e et enfin. an Œ'/+ l'hm - =Œ e .

n-+x bn

D'après le 1), on a alors

Ex. 8. 9

+x 1~in~11- X)ŒL nŒ-lxn = _e-Œ'I- v E [Fg~, c'est la conclusion.~-. Ci

x<1 n=l

De an+l _ n + 1an - 2n + S

Posons an=l·S·n!

x2

= 2" et p= J2.+:~

ln /- ""'" 9n~1PourxEJ~v2,\2[,ona: l\xJ=Lan['n=O

+=..::.

f(x) = L(2n + 1)anX2n,n=O

et la relation (2n + S)an+l = (n + l)an. n ~ 0, donne successivement:

+x +x

L (2n + S)an+1X2n+2 = L (n + 1)anX2n+2n=O n=O

+x 2 +x +~

"'" ,9n X "'" ,2n x "'" 2n+lL (2n + l)anx- = 2" L (2n + l)anx +"2 L anxn=l n=O n=O

21 X 1 X

1 (x) ~ 1= '21 (x) + 21(x)

d'où (x2 - 2)f(x) + 4(x) + 2 = 0

1 apparaît comme l'unique solution sur l =] - J2. J2[ de l'équation différentielle

(E) (x2 - 2)y' + À1}+ 2 = 0 vérifiant y(O) = O. (cf. Analyse 1, chapitre 11).

À.

L'équation homogène associée (H) (.>? -2)y' + À1}= 0 a pour solution générale sur l :x f-;> ~ 2-x2La méthode de variation de la constante conduit à la solution générale sur l :

x f-;> 1 [2 Arcsin ( h) + ~]

et la condition 1(0) = 0 donne V XE] - J2, J2L l(x) = ~Arcsin ( h)

320Précis d'Analyse Il

1) Supposons que le rayon de convergence p de la série entière L Unxn soit non nul et posonsn;:'û

+CX)

v X E]- p, P [,f(x) = L Unxn.n=û

+CX::'

On a alors V x E]- p, P [,f2(x) = L UnXn avecn=û

n

Un= L ukun_k = un+lk=û

f(O) = 1

+.;:X)

donc >if2(x) = L Un+lXn+1 = f(x) - ua c'est-à-dire xf2(x) - f(x) + 1= O.n=û

1- vI - 4x 1+ vI - 4xIl en résulte f(x) = 2x ou f(x) = 2x '

f devant être continue en 0 avec f(O) = 1, la seule possibilité est:

I-Vl- 4xV x E]- p, P [\ {O},f(x) =

] 1[ 1- vI - 4x2) Considérons donc la fonction f définie sur -ex;, 4 par f(x) = " si x*-O

etf(O) = 1. On vérifie facilement que f est continue en O.

1• x ~ vI - 4x est développable en série entière de rayon p= 4 :

+00 (2n _ 2)! xn

vI - 4x = 1 - 2L ( _1)' 1n . n.n=l

] 1 1[ +00 (2n)!xnd'où VXE -4'4 ' f(x)=L

n=û

] 1 1[ 2 (2n)!• fvérifiant VXE -4'4 ,xf (x)-f(x)+1 =O,enposant an= ~I(~, 1\l,le

n

calcul du 1) montre que: ao = 1 et \j nE N, an+l = L akan-kk=û

donc \j nE N,(2n)!

Un = an = n!(n + 1)!

Chapitre IX

Séries

de Fourier

II- L'espace préhilbertien DDéfinitions:

d.1 On note D le t::-espace vectoriel formé de l'ensemble des applications

f: R~[:, 2 ,,-périodiques, continues par morceaux et qui vérifient pour

1"tout x réel: fex) = 2 lfex + 0) + fex - O)J

Remarques

1) On rappelle quef : R~C est continue par morceaux sif est continue par morceaux sur

tout segment [a, bJ de R.

2) Si f : IR:~C est 2 "'périodique, alors f est continue par morceaux si et seulement si f

est continue par morceaux sur [0.2 TI].

Dans ce cas, f n'a qu'un nombre fini de points de discontinuité sur [0,2 TI].

3) Toute fonction f :R~C, continue par morceaux admet en tout point x de IR:une limite àdroite notéefex + 0) et une limite à gauche notéefex - 0).

4) Soitf: IR:~C, 2,,'périodique, continue par morceaux.

On lui associe une fonction] : R-+C de l'espace D en posant, pour tout réel x :

]ex) = ~ [fex + 0) + fex - 0)]

Sur tout segment [a, bJ de R,f etf ne différent qu'en un nombre fini de points.

Quitte à changer f en f, on considère que la fonction f est dans D.

5) Toute fonction f de l'espace D est bornée. On note IIf lico = sup lfex) 1XEIRi

6) Soit 9 : R-+C, T-périodique, continue par morceaux.

On lui associe une fonctionf de D définie par V x ER, fex) = 9 ( 2T"x)

324

d.2


On définit un produit scalaire sur D par:

1 i2'IT~ ~C, if, g) >---+ (flg) = -2 ](x) g(x) dxTI . a

Muni de ce produit scalaire, D est un espace préhilbertien complexe, la norme

d'une fonctionJ de D est notée IIJ IID, elle est définie par:

IIJ II~ = 21~ r2'IT Lf(x)12 dxIl .Jo

D

l0f Cette définition est justifiée par le fait que, si J E D vérifie r2'IT lf(x)12 dx = 0, alors.la

J = 0 (fonction nulle de D).

En effet, il existe une subdivision (tk)O~k~p de [0, 2 TI] telle que la restriction deJ à tout

intervalle ]tk-l' tkL 1 ~ k ~ p, admette un prolongement continu]k sur [tk-l' tk],

donc tel que: Jk(tk-l) = J(tk-l + 0) et Jk(tk) = J(tk - 0).

(k rt/(.Comme JI Lf(x)12 dx = JI llk(x)12 el.\:: = 0, la fonction continue]k est nulle sur. tk-1 tk_1

[tk-l, tk], doncJ est nulle sur ]tk-l' tk[ etJ(tk_l + 0) = J(tk - 0) = o. (1 ~ k ~ p)

CommeJ est dans D: J(tk) = ~[j(tk + 0) +J(tk - 0)] = 0 (1 ~ k ~ P - 1).

De plusJ étant 2 TI-périodique, to = 0, tp = 2 TI donneJ(tp + 0) =J(to + 0)

etJ(O) =J(2 TI) = ~ [J(tp - 0) +J(to + 0)] = O.

DoncJ est nulle sur [0,2 TI], et par 2 TI-périodicitéJ est nulle sur R

Théorèmes:

t.1

1

l0f

t,2

orthonormale{~Tl)tlÊ 7L

Pour tout n E /l, on définit une fonction en de D par en(x) = él.'(.

Alors (en)nd' est une famille orthonormale de l'espace préhilbertien D.

Chaque fonction en: IR---'.C, X >---+ en(x) = einx est continue, 2TI-périodique

1 [.2'IT il _ 1'( {1 si P = qet on a (e le ) = - e q p. dx =

p q 2 TI . a 0 si P 1= q

n

Pour toute fonctionJ de D et tout n de '\ : L (ekLf)12 ~ IIJ II~k=-n

D

l0f Le sous-espace En = Vect(ekLn~k~n étant de dimension finie, il admet dans Dun

supplémentaire orthogonal.

(ekL n~k~n étant une base orthonormée de En. la projection orthogonale de J sur Enn

est Sn(f) = L (ekLf)ek, (voir Algèbre Il, Espaces préhilbertiens).k=-n

La décomposition J = Sn(f) + [J - Snlj)] avec SnCf) E En, [J - SnCJ)] E Efi et le

théorème de Pythagore donnent alors: lif~ = Il SnCf) !i~+ - Sn(f) li~n

d'où Il SnCf) il~ = L J(ekLf)12 ~ lif !I~ avec égalité si et seulement sif E En. [k=-n

Chapitre 9 : Séries de Fourier

Corollaire:

325

c.1

1

Soitf E D ; les séries de termes généraux !(enlf)12 et l(e-nlf)f2 sont conver-

genteset lim (enj)=O. hm (e_n (1=0n~+x n-+x

on constate que Q E D.

Théorème:

t.3 Lemme de Lebesgue

Soitf: [a. bJ -C, continue par morceaux. Alors, t étant réel:

j'b jb. - - iL\: . iL\:

[~~.: , a flx)e ci.\': = 0 t2.1~v a f(x)e dx = 0

~ Pour une démonstration, voir le chapitre VI de ce tome: Compléments sur l'intégrale,

exemple 1

Corollaire:

c.1 Les suites de termes généraux :

j.b jb jb j'bf(x)einx dx. f(x)e - inx cix. flx) cos n:, ci.\':. sin nx dx. a . a . a . a

convergent vers O.


exemple 1

Polynômes trigonométriques

(en)nEZ est une famille libre de .FeR tC), elle engendre un sous-espace dont les élé

ments sont appelés polynômes trigonométriques.

Que peut-on diTe des nombres réels ou complexes al, .... an. bl. ' ... bn tels que lan

fonction Q: 1R~tC, x f--o'> Lak cos kx + bk sin kx soit constante?k=l

• Dans l'espace préhilbertien D, (en)nEiZ est une famille orthonormale, elle est donc libre.

En écrivant Q(x) = ~ t (ak - ibk) eikx + 1ak + ibk) e- ikx,k=l

1 n

Si Q est constante, on a Q =Àeo et donc Àeo = 2 L (ak - ibk) ek + (ak + ibk) e_kk=l

d'où on tire V k E [l, n], ak - ibk = ak + ibk = O.

Conclusion al = ' .. = an = bl = .. , = bn = O.


1 II - Séries de Fourier

d.3 Coefficients de Fourier

Soitf: IR-7C,2TI-périodique, continue par morceaux.On appelle coefficients de Fourier exponentiels def les nombres complexes:

1 J.2'IT .Cn(J) = -2 f(x)e-mx dx (n EiL)TI' 0

On appelle coefficients de Fourier trigonométriques les nombres complexes:

1 J2'IT 1 12'ITan(J)=-;:;; f(x)cosnx<:L'C, bn(J)=- f(x)sinnxdx (nEN)

Il 0 'TI. 0

Remarque

Si] est l'élément de D associé àf (cf. définition 1, remarque 4»,] et] ont les mêmes

coefficients de Fourier. Cn(J) = cnrj) = (enlf)

d.4 Série trigonométriqueOn appelle série trigonométrique associée à une famille (cn)nEZ: de C, lasérie de fonctions de .:F(IR, C) dont le terme général Un est défini par LlO = Co

(fonction constante) et Un: IR-C, x f-7 Cnein.'( + c-ne-inx (n EN')

d.5 Série de Fourier

Soitf : IRi-C, 2TI-péliodique, continue par morceaux.

On appelle série de Fourier def la série trigonométrique associée à la famille

(cn(J») nEZ des coefficients de Fourier def·

Elle est parfois notée LCn(J)einx.nEZ:

Propriétés:

En particulier ao = 2co et bo = O.

Soitf : IR-C une fonction 2 TI-périodique, continue par morceaux etf l'élément de D

associé àJ.On note (cn)z la famille de ses coefficients de Fourier exponentiels

(an)l\j, (bn)1\j les suites de ses coefficients de Fourier trigonométriques.

Les coefficients de Fourier de f sont liés par les relations:bn = ir,cn - C_nJ (n E

1 lCi+2" .

tnX

Cn = 2 TI . a: f(x)e - <:L'C

1 j'"an = - f(x) cos nx d'C.n _•..•

an = Cn + C-n

En particulier

Pour tout réel Ci

I-

bn = --= /'" j(X) sin n:, clx" -Sif est une fonction réelle, alors an et bn sont réels (n E 'o).

21'"Sif est paire : an = --= f(x) cosm: d:c bn = O.Il • 0

') .,,,

Sif est impaire: an = O. bn = :. 1 f(x) sin nx d'C.l! .la

p.2

p.3

l


p;4 Le terme général de la série de Fourier def est:Un : ?:-=:, x;-+ cneiJlx + c_ne-irn: == an cos nx + bn sin TV':

327

En particulier

p.51

~

p.6

Les quatre suites complexes (Cn!' ,Ic- n j." (an).,. (bn)I\J convergent vers O.

Conséquence du Lemme de Lebesgue ou bien de Cn == (-en!!) dans D.

Soit A l'ensemble de convergence simple de la série de Fourier def.

Sa fonction somme est définie par:

S A ~ "'"' L'lX - inx S()' el{) ~, b .: -·~.X;-+CO+LCne +C-ne ou x =='2+Lancosnx+ nS1nnxn=l n=l

On note par convention sexY ==

n=-C<)

Cneinx

L'ensemble A est stable par toute translation x f-7 x + 2k 11. (k EZ), et S est2 'iT- péliodique.

Théorèmes:

tA On considère une série trigonométIique de terme général:

Un : ?:-=:, x;-+ Cnein.x + c_ne-irn: == an cos Tl.\: + bn sin Tl.\:

Les propliétés suivantes sont équivalentes:

i / La série de terme général Un est normalement convergente sur !);I.

ii/ Les séries de termes généraux Cn et C-n sont absolument convergentes.

iii/ Les sélies de termes généraux an et bn sont absolument convergentes.~

il=?- iilcarCn == (enIUn),doncCn! oS sup [Un(X)1XE?ii/=?-

iii/caran == Cn + C-netbn ==Cn-c-n)

doncian! oS [Cn[ + [c-n!etbnl oS ICnl + ! c_ ni

iiii =?-ilcarsup !Un(X): oS [ani + Ibnl

XE?'

o

t.5 Si la série trigonométrique de terme général Un: x;-+ CneirL'( + c_ne-inx

converge uniformément sur !);l,alors:

i/ sa sommef est 21ï-périodique et continue sur!);l

ii / la famille des coefficients de Fomier exponentiels de f est (cn);z.

~ i / Applicationdu théorème de continuité d'une limiteuniforme de fonctions continues.

ii/ Pour tout p E Z, la série de fonctions de terme général: Vn : !);I--..;.iC,x f-7 Un(x)e-ipx

est uniformément convergente sur!);lcar 1 ~ vn(x)1 == 1 ~ un(x)I, d'où on déduit quen=N n=N

la suite de ses restes d'ordre N converge uniformément vers 0 sur !);I.

Le théorème d'intégration terme à terme s'applique:

1 {27C (+GO .) +Ncp(f) == (eplf) == 211 Jo ~ un(x)e-'PX dx == ~(eplun) == cp 0


t.6 On considère une famille réelle (Cn)nd' telle que les suites (cn)N et (c-n)N

soient décroissantes et de limite nulle, alors la série trigonométrique associée

converge simplement sur ~\ 2 Tid' et uniformément sur tout segment inclusdans ~\ 2 Tid'. Sa somme est continue sur ~\ 2 Tid'.

l0f La démonstration découle directement du lemme suivant

1.1 Si (cn)N est une suite réelle décroissante de limite nulle, alors la série de

fonctions de terme général Zn: ~~iC. X f--?> Cneinx

converge simplement sur ~\ 2 Tid', uniformément sur [ex, 2 Ti - ex] pour tout

exE]0, Ti [. De plus sa somme est continue sur ~\ 2 Tid'.

l0fn

Soit An (X) = L eiJex. Pour tout X E ~ \ 2 Tid', on ak~O

An(x) _ ein~ sin(n + 1)':::_ 2. x

SIn -2

donc IAn(x)! ~ M(x) avec1

M(X)=-!. xl'sm2

Par une transformation d'Abel, on obtient, pour tout (n, p) EN" x N :n+p n+p

Sn,p(X) = L CkeiJcx = L ck (Ak(X) - Ak-I (x))k~n k~n

n+p-I

Sn,p(x) = -CnAn_I(X) + L (Ck - ChI) Ak(x) + Cn+pAn+p(x).k~n

donc \Sn,p(X)! ~ 2cnM(x) (car pour tout kEN. ck ~ 0 et ck - ck+I ~ 0)

Ilen résulte:

i/V x E~\ 2 Tid',

in+p 1

ikx

sup IL Cke ~ 2cnM(x)pEo k~n

ii/V xE~\2Tid',

o

In+p 1

donc n~TéXJ su~ L Ckeikx! = 0 (car n!:!:.T:", ck = 0) et la série ')' ckeik..c convergepEI~ k~n 1

d'après le critère de Cauchy (cf. Chapitre IV,théorème 4).

I+X 1

ik..c

IRn(x)\ = E cke ~ 2cnM(x)

] . 1et, pour tout x E [ex, 2 Ti - ex • on a 0 ~ M(x) ~ M avec M = -- . "SIn -

2

Donc IIRnll~,27T-"] ~ 2cnM, ce qui assure lim Rn;I~,27T-Ci] = 0, et donc la con-- n---'-+x ~

vergence uniforme sur [ex, 2 Ti - ex] de la série ')' Zn.

Ceci étant vrai pour tout exE ]0, Ti L on en déduit que la somme est continue sur ]0. 2 Ti [,

donc aussi sur SR\ 2 TiL par périodicité.

Chapitre 9: Séries de Fourier


329

1 exemple2

! Soitf E D. Montrer que la série de terme général ~cn(f) est absolument conver1

1 gente. Que peut-on dire des séries analogues?

1 L'inégalité 2ab'-S; a2 + b2 donne 1 ~cn(f)1 '-S; :2 + :cn(f)12. La conclusion résulte doncde la convergence des séries de termes généraux :2 et [cn(f)12 (utiliser cn(f) = (enlf) et le

, corollaire du théorème 2).

De même, les séries I: ~c-nif). I: ~an(f) et I: ~bn(f) sont absolument convergentes.n n n

1Une relation telle que an(f) +~ tn n est donc impossible.

exemple 3

1 So;t f ,~~~,2 ••-périod;que, COD•.t.•ID.' ue par morceaux et monotone sur JO,2 Ti [.Montrer que la suite ( nbn(f») ,,;_ est bornée.

1 12TISupposons f décroissante sur JO,2 " [ et considèrons bn(f) = Ti f(x) sin nx dx·0

Par la relation de Chasles, on a1 2n-1 (hl)E

bn(f) = - L r n f(x) sin nxdx" k=O .J k*

puis:E2n-1 (k )

1 n k Ti

bn(f)= Ti r L(-l)f ~+t sinntdtJo k=O

1 rE [n-l (2P ) (2P+ 1 )]bn(f) = Ti.Jo n ~f Tl 7T +t - f -n- Ti +t sin ntdt

1 * [n-l (2P) (2P+2)]O'-S; bn(f) '-S; Ti.1o ~f Tl Ti - f -n- Ti sin ntdt

2O'-S; bn(f) '-S; -[[(0) - f(2 Ti)J

n'TT jê!. 2car n sin nt dt = -

o n l;

La suite (nbn)N- est donc bornée.

330

4

et de classe cP (p EN).

tout n Er : cn(f) = (~)P Cn (fP») .

• Une intégration par parties donne, pour tout n de 7r :

1 l .] 2'IT 1 1·2'IT .2 TI cn(f) = --;- f(x)e-mx + -;- f(x)e-LfD:: d..,

ln ° ln °1

Ce qui se lit cn(f) = -;-cn(fl). Le résultat demandé s'établit par récurrence.ln

Remarque: On en déduit cn(f) = a ( ~p) quand [ni - x.Relation encore valable sif est cP par morceaux.

exemple 5

Soitf E D, (ak)i\j. (bk)N ses coefficients de Fourier.Montrer que, pour tout x réel et n E NX :


U

n 1 1'IT sin(2n + 1)2i +L ale cos kx + blc sin kx = 9 _ -----[f(x + u) + f(x - u)) du,... Il 0 U1c;1 sin-

2

Calculer1'IT

. usm(2n+ 1)2----du.

usin-

2

• A partir des expressions alc = ~ .l~+:fit) cos kt dt et analogues pour ble la somme par-n

tielle de la série de Fourier def Sn(X) = i + Lak cos kx + blc sin Ie-"I: s'écrit:k;l

1 l'x+'IT [1 n ]Sn(x) = TI "2 + L cos k(x - t) f(t)dt

X-'IT 1c;1

1 J'IT (1 n )Sn(x) = TI - + Lcos ku f(x + u) du (avec t = x + u)

-'IT 2 kd

j'IT JO r rOEn découpant -'IT = -'IT + Jo et en changeant u en -u dans J _,,' on obtient:

1 !n'IT (1 n )Sn(x) = TI "2 + L cos ku [[(x + u) + flx - u)] du.0 kd

Avec 2 sin ~ cos ku = sin(2k + 1)~ - sin(2k - 1)~ la somme s'écrit:

1" n

2: + Lcos lru. =b1

usin(2n + 1)

2u

2sin 2

pour tout u E ]0. ,,]

Chapitre 9 : Séries de Fourier 331

u

1 l-;; sinl2n + 1).2donc Sn(x)= -2 _ -----[f(x + u) +J(x- u)] duIl.0 . U

SIn -2

U

.-;;sinl2n + 1'9Le choix deJ = 1 donne 1 ~ du ="la . u

sm2car, dans ce cas, tous [es coefficients sont nuls excepté Go = 2.

f

x-2 "

jI~~~exeq;re 6

SoitJ E D définie par Jix) = ,,;x sur ]0,2" [.Déterminer les coefficients de Fourier trigonométriques de f.Etudier la convergence de la série de Fourier def.

• Voici [a représentation graphique deJ : iR--+lR, 2 'iT-périodique :

-;;ty2"

• Montrons que J est impaire.

" -ySi x E IR\ 2 ,,2, il existe k E2 et y E]0, 2 'iT [ tels que x = 2k " +y donc J(x) = J(y) = -2-

On ade plus, -x = ~2(k+ 1)" +2" ~y avec 2" -y E]0,2 'iT [

'Ti" -ydonc f(-x) =J(2" -y) = --2-

Ainsi J(-x)=-J(x) pourxEh\\2'iT2.

En conséquence, on aJ(O + 0) = -J(O - 0) doncJ(O) = ° et

par périodicité J(x) = ° pour x E 2 'iT2.

• Comme J est impaire: an = ° (n EN) et2l" 'iT-X

bn = - -- sinnxdx'iT a 2

Par intégration par parties pour n E i~~ :

1 [ cos nx] " 1 ln"bn= -- ('iT -x)--- - - cosnxdx

'iT non 'iT a

1bn =-;:;.

slnnxLa série de Fourier deJ a pour terme général Un:IR-IR, x f-?> --n-'La suite (bnhJ* étant réelle, décroissante et de limite nulle, [e théorème 6 s'applique: la série deFourier deJ converge simplement sur IR, (un(x) = °sur 2'iT2), et uniformément sur [ex, 2 'iT- ex]

pour tout (XE]0, 'iTl

Remarque: Le théorème de Jordan-Dirich[et (1. 7) va nous donner l'égalité :+eXl .

'iT-X ~ smnx-2- = D -n- pour xE]O,2 'iT [.n=l


III - Développement en série de Fourier

d.6 On dit qu'une fonctionf : ~-7~ ,2 'ir-périodique, continue par morceaux est

1 développable en série de Fourier sif est somme de sa série de Fourier.

Théôrèmes :

t.7 Théorème de Jordan-Dirichlet1

Soitf : ~-7C, 2'ir-périodique, de classe el par morceaux.

i / Alors la série de Fourier de J converge sur ~ et pour tout réel x, on a :

1 +x +:02 [{(x + 0) +f(x - O)J= i + L an cosx + bn sinx = L cneinx

n=l n=-x

ii / Si, de plus, f est continue sur ~, alors la série converge normalement sur ~

et a pour somme la fonctionj.

~ Ici an, bn. Cn.C-n sont les coefficients de Fourier def et:+x +x

"\""" -inx "\""" inx -inxL cne = CO + L cne + c_nen=-,x n=l

i / Soit Sn(x) la somme partielle d'ordre n au point x :n

Sn(x) = i + L ak cos kx + bk sin kx, D'après l'exemple 5, on a :k=l

u

1 10" sin(2n+ 1)2"Sn(x) = 2 ~ ---[{(x+u) +J(x- u)J du" 0 . uSIn -

2

. ,u

1 J'" sm(2n+l)-,_ 2

TI, 0 du = 1., uSIn

2

Par différence, on obtient:1

Sn (x) - 2 [{(x + 0) +f(x - O)J =

u

1 J'" sin(2n + 1)'9-2 ~ [{(x + u) - f(x + 0) - f(x - u) - f(x - O)JduTI 0 . u

sm2

f de classe el par morceaux donne l'existence des limites:1

ex= lim -[((x + u) - f(x + O)J etu........•o uu>O

1[3= lim -[((x - u) - f(x - O)J

li-O u;.;>(\

. [J '" ',' f(x+u)-f(x+O)+f(x-u)-f(x-O)La fonction g: 0, TI -7,"--" g(X) = --------------, u2 sin 2

si u *' 0 et g(O) =ex + [3,est alors continue par morceaux sur [0, TIl

Le lemme de Lebesgue appliqué à :

Sn(x) - ~[((x + 0) +f(x - 0)] = ~ fa" glu) sin(2n + 1)~ du s'écrit


1hI? ~Sn(X) - -') [t(x + 0) + f(x - 01J = 0 C'est le résultat du 1).n-,x -..

333

ii / Si f est continue sur Gi.,il existe une unique fonction de D vérifiant h(x) =f (x) en tout

1 1r ]point oùf est dérivable et h(xi="2 E~~ !fCx+u)- f(x) +f(x- u) - f(x) sinon.:.J'

1On montre que le résultat de l'exemple 4 s'applique: cnCf) = -;- cn(h)Ln

ce qui est le terme général d'une série absolument convergente, (exemple 2).

Le théorème 4 donne la conclusion.o

t.8 Egalité de Parseval

Soitf : R-C , 2,,-périodique, continue par morceaux.

Alors les séries de termes généraux lanl2 , Ibnl2 ,lcnl2 ,lcnl2 sont conver-

1 .)- 1 12 +:x: l ,2 1 b 12 +co

r-" 2 CI{) - anl + n 2gentes et: 2" Ir lf(x) 1 dx = -4- + L 2 = L ICnl'·,0 n=l n=-co

~ Conformément au programme, la démonstration est admise.

t.g Pour toutf E D, la suite SnCf) des sommes partielles de sa série de Fourier,

1 converge vers f dans (D, II .n

~ Soitf un élément de D. Alors SnCf) = L ckCf)ek est sa projection orthogonale surk=-n

En = Vect(ek)_no;;;ko;;;n (car ckCf) = (eklfJ)·

La démonstration du théorème 2 a fait apparaître:

ilb = Il SnCf) ilb + Iif - SnCf) Ilb

L'égalité de Parseval s'interprète par lim II SnCf) Ilb = Iif Ilb·n-----+:x:

Donc hm Iif - SnCf) IID = 0n-+x o

On dit que la série de Fourier de f converge vers f en moyenne quadratique ou pour

la norme de la moyenne quadratique.

Développement des fonctions T-périodiques

Sif :[R~C est T-périodique et continue par morceaux, la fonction 9 : x H> f ( :: )

est 2 ,,-périodique et continue par morceaux.

,Les coefficients de Fourier def sont par définition ceux de 9 :

1 1270 (TX ) in" 1 J.T - 2i7OnucnCf) = cn(g) = 2 ~ f -2 e- dx = - feule T du. ".0 TI T.o

2 rT 2" nuanCf) = an(g) = T Jo f(u) cos -T- du

21·T 2 TI nubnCf) = bn(g) = T feu) sin -- du.0 TDans les conditions du théorème de Jordan-Dirichlet, on obtient, pour tout x réel:

1 ( ) +00 2i7Onx CI{) Cf) +:x: 2 TI nx 2 TI nx"2 f(x + 0) + f(x - 0) = L cnCf)e T = -2- +L anCf) cos -T- + bnCf) sin -T-=-00 =1

334



+00 1L4\n=l n

exemple 7

définie par l(x) = x(2 TI -x) pour tout x E ]0,2 TI [.

en série de Fourier. En déduire les sommes des séries:

+cü 1. +Xl 1 +cü 1 += (_I)n-lL 4 Lz L 2 L-n=O(2n + 1) n=l n n=a(2n + 1) n=l n

• Une fonction de D est caractérisée par sa restriction à ]0,2 TI [.

Ici 1(0) = 1(0 + 0) = 1(2 TI -0)] = O. Donc1 est continue sur IR.

La restriction de1à [O.2 TI] est C= , donc1est ex par morceaux.

La courbe représentative de1est formée d'arcs de paraboles:

y

TI2

-TI TI 3TI

• Calculons les coefficients trigonométriques de j.

2 !nT<1est paire, donc bn = a (n E~) et an = - l(x) cos nx dx.

TI. a

2 !nT< 2 [ x3] 4 TI2

ao = - x(2 TI -x) dx = - TI x2 - - ao = --TI.a TI 3 3

2 j'T< .. 2 'iT 4 !nT<an = - x(2 TI -x) cos nx dx = -- [x(2 TI -x) sin nx] - - (", -x) sin nXdxTIa nTI a n"'.a

4 [ ] T< 4 !nT< 4an = -2- (TI -x) cos nx + -2- cos nxdx an = -z (n E ~")nTI a nTI.a n

• Développement en série de Fourier de j.Comme 1est continue sur IR et de classe el par morceaux, le théorème de Jordan-Dirichlet

prouve que1est développable en série de Fourier:

+cc 2 2 +x snx·ao '\' '" coV x ERl(x) = "2 + Dancosnx+ bnsinnx = -3- - 4 L~n=l n=l

La convergence normale sur IR est évidente.

• Calcul des sommes de séries.

Exploitons l'égalité de Parseval :

1 /.2" 2 OÔ +x a~ + b~-2 1(x)dx= -4 +L--'" . a n=l 2

donne8 ",4 4 ",4 +x 115 =g+8L4

n=l n

Chapitre 9.: Séries de Fourier

Pour p > 1, nous utiliserons les égalités:

+:--= 1 ~X 1 1 +x 1 1 +x 1LnP = Li2k - 1;P + i2k)P = L(2n + If + 2P L nPn=l k=l . n=O n=l

335

~x 1pour obtenir L·· ;p =

n=Oi2n + 1+:': 1 ïï4 +=-= 1 TI4

Ainsi L ---:i = 90 et L -± = 96n=ln n=O'2n+lJ

La somme de la série de Fourier de f au point x = ° donne:

-:-:<: lTi2 +x 1L '7 = (3 et donc L -- ~n=l n- n=O(2n + 1)

+x (_1)n-1 112

De même, x =11donne L 2 = 12n=l n

211

8

~ exempleSDéduire de l'exemple précédent les sommes ~e séries:

~x 1 +x 1 +x l-l~Le L 6 L--.~n=l n n=Ol2n + Il n=O(2n + 1)

• La convergence normale sur R de la série de Fourier def (exemple 7) permet, par intégration

terme à terme, de définir une fonction 9 de D par:

lx ( 2 112) +x sin nx9 :R-R. x f-7 jlt) - -3- dt = -4L --3-. a . n=l n

9 est somme d'une série trigonométrique normalement convergente sur IRqui fournit directement4

les coefficients de Fourier trigonométriques de 9 : anlg) = ° . bn(g) = - 3' (cf. théorème 5)n

Le calcul donne l'expression de 9 sur [0,211] g(x) = - ~(x3 - 3 11x2 + 2112 x)

11

() 3 +x sin n- +x ( l)nTI TI" 7T ,_ 2,-Le choix de x = - donne 9 - = - - = -4 L --- = -4 L --- ~2 2 8 n=l n3 n=O(2n + 1)

+x l-l)n 113

d'où la somme L 3 = 32n=O(2n + 1)

1 {2" 1+20L'égalité de Parseval appliquée à g: 2 TI .la g2(x)dx ="2 ~ b~(g) conduit à:

1 12"1 16 61.13 229 11 322

2 ~ -(x - 311X + 211 xt dx = -9- (2u - 3u + u) du" . a 9 . a

+x· 1 2 611 2 6 1"" 11 6 5 4 3 2 TIpuis Le = -9- (4u - 12u + 13u - 6u + u ) du = -9- . 210n=l n a

+x 1 TI6 +·x 1 'IT6

d'où L-!,- et L---=-n=l n6 945 n=O(')n -'- 1)6 960

336

Exercices-types


(2)

\/Montrer qu'il existe une suite réelle (an)nE N

+co

telle que 'if x E IR. Isin xl = Lan sin2 nx.

/n=l

__ Ex.9.2 \ /Soitf E el(lR, IR), 2 'TT~Ùriodique,

r2TItelle que Jo f(t) dt = O.

Montrer que fo2TI f2(t) dt ~ fo2TI i2(t) dt.

Dans quel cas y-a-t-il égalité?

__ EX.9.3 ~

Trouver le développement en série de Fourier

1de f: 1R-c1R, x ~ h (a> 0).cosx+ c a

EX.v/Développer en série de Fourier la fonction

2 'TT-périodique définie sur]- 'TT,'TT]par

f(x) = cos exx avec exEIR\]:'.

En déduir~:

....1)1) ;1~E IR\'TTZ,/ 1 +00 2xcotan x = x + L 2 2 9 (1)

n=l x - n 'TT

2)/'if x E]- 'TT,'TTL

\~/ +00 ( 2)sin x = x II 1- ; 2

n=l n 'TT

EX.9.5

Soit a> 0 et nE 1'\1. On pose:

1+00sin(2n + l)x -axln = . e dx

o Slnx

Calculer lim ln.n-++·::x:,

Ex. 9. 6

+CD (x_k)2

Etudierf:x~ L e--2~t- (bO)k=-oo

1) Montrer que f est de classe el sur IR.

2 ) Montrer que f est I-périodique.

Calculer les coefficients de Fourier def.

Ex. 9.7

1) Vérifier 'if tE [- 'TT,'TT],

2 +00 t2 'TT """"" n cos n (1)t =S+4L.}-) --2-

n=l net 'if t E]- 'TT,'TT[,

+00 sin nt

t = 2 L(-l)n+l_n- (2)n=l

2) Soit a> 0, montrer qu'il existe

f E e2([ - 'TT,'TT],IR),

+00 n cos ntf(t) = L(-l) -2--2

n=l n + aFormer une équation différentielle véri

fiée par f.

En déduire une expression de f.

3 ) Existence et calcul de

+x nsin ntL(-lt+I-2--2 tE [- 'TT,'TTln=l n + a

Chapitre 9: Séries de Fourier 337

Ex. 9.8

AL(R. C) est l'ensemble des fonctions] : R~C

continues par morceaux sur IR.

Soit D l'ensemble des fonctions] E ciL Œ. C),

2rr- périodique telles que

1[ ,'i x E P?.,f(x) = 2" ](x + 0) +](x - O)J

Soit] E D et L Cn(j)ein-c la série de FouriernE!!'

def.

1) Montrer que 'i x ER

2) Etablir'i xE]O,rr]:

+:<: .

'\""' sm ll..-'C -L- ll-Xrl~l n -~

+x 1 "fï2

3) En déduire L? = (3rl~l n~

Indications

Ex, 9. 4

2) PourxE]O,rr[etaE]O,TIC,

+00 2tla série L -__

n~l t - n 'TT

s'intègre terme à terme sur [a, x].

Ex. 9.2

Utiliser l'égalité de Parseval et les relations entreles coefficents de Fourier de] et de f.

Ex. 9.3

1Ecrire cos x + ch a =

1 (a -a)sna elXe+ ea - elXe+ e-a

et utiliser des développements en série entièrepour obtenir] comme somme d'une série

trigonométrique.

Il reste à prouver que c'est bien la série de Fourier de f.

1) Considérer d'abord le cas x E [0,2 'TT].

1+00 2.Calculer cp (x) = _ x e- U +2mxu du

au moyen d'une équation différentielle.

pour montrer

Ex.9.5

Ex. 9. 7

Ex,9,8

Ex.9,6

Remarquer que:

sin(2n + 1)x Ln 2ikx. = eSlnxk~-n

(t2 2)Considérer ](t) - 4 - ~2.

que] est de classe C2 sur IR.

En découpant l'intervalle d'intégration [0, +CXJ[

en U [2p TI,2(p + 1) TI], faire apparaître unepE"

série de Fourier.

= -1

Ex. 9.1

+02 (1 1)~ 2n+ 1- 2n-1



an(f)n~2

[sinxl

Isinxl

[sinxl

f : x f--?> Isinxl est continue sur tR1, de classe CI par morceaux, donc, d'après le théorème deJordan-Dirichlet, la série de Fourier def converge en tout point x de ~, sa somme étant égale àfCx).

2 ln''''f est paire donc 'tj nE N, bn(f) = 0 , an(f) = --;:::- fex) cos nxdx.

Il . 0

2 Ir'" 4 1 1"O{)(f)=- sinxdx=- al(f)=- sin2xdx=0TI,a TI 'iTo

~r sin x cos nx dx = ~ ('" rsinCn + l)x - sinCn - l)x] dxTI Jo Ti Jo L

_ 1 (1_C_1)n+l C_1)n-l_1)an(f) - TI n + 1 + n - 1

2 ('1 1) .Pour n pair: a2p(f) = TI 2p + 1 - 2p _ 1 ,pour n impair: a2p+1(f) = O.

Ainsi 'tj x E ~' +x 2 (1 1)"Isinx[ = - + ~ - --- - --- cos2nxTI L TI 2n + 1 2n - 1

n=l

2 2 +x (1 1) 4 +x (1 1) . 9TI + TI L 2n + 1 - 2n - 1 - TI L 2n + 1 - 2n _ 1 smnx

n=l n=l •

8 +x sin2 nxTIL

n=l

8 +x sin2 x

T1L~n=l

cos nt dt

=Oî

+:.:

~ ? r ? 9 lL n- ! aTi(j) + brMl[n=l' J

1 /2" 1 /CcarO{)(f) =T1 Jo fCt)dt = TI (JI 2 TI) - fi 0))

EX.9.2

Notons an(f), bn(f), (resp. an(fl), bn(fl)), les coefficients de Fourier deI (resp. def).

/2'" . [fCt). J 2", 1 (2", .Ona: TI an(f) = Jo f(t)cosntdt= -nsmnt 0 -;'./0 Iet)smntdt

. 1. _/donc anlj'I = -nbnU )

[ J 2"

.2", fC [1 . 1 ·2"TI bn(f) = / fCt) sin nt dt = - -n cos nt +;. /Jo 0 Jo

1 .,donc br.lf) = nan If )

f etf étant continues, on a, d'après l'égalité de Parseval :

~ /2'" f2Ct)dt = f ra~(f) + b~(f)] CcarO{)lf) = ~ /2'" jiridt = 01jJ .la n==l ~ Ti .la

~ .l2" /2(t) dt = a'6t) +f [a~(fl) + b;(fll]n=l

1 l2'IT /TI f2Ct)dt. 0

102TI

'2 2 2

o f =TI (À + fL )


Cas d'égalité

La relation /2TI f2(t) dt = r2TIf2(t) dt s'écrit:Jo Jo+;x;

:2)n2 - 1) [a~(f) + b~(f)] = 0 donc 'd n ~ 2. an(f) = bn(f) = O.n~2

f étant de classe el, elle est développable en série de Fourier et on a alors:m +x . l

'd x E 1R,f(x) = ao2 + L [an(fJ cos nx + bn(f) sin nxjn~l

f(x) = al (f) cos x + bl (f) sin x

·2TI r2TIAinsi, l'égalité 10 f2 = Jo /2 nécessite f de la forme x ~À cos x+ fL sin x.

La réciproque est évidente: on a alors:

12TI2 2 2

o f =TI (À + fL) et

Ex. 9. 3

339

1 2eixPour tout x E IR, h = l">C 2ix .cos x + cal + 2e ch a + e

Sachant que 1+2eix ch a+ e2ix = (é'é + ea) (eix + e-a), une décompostion en éléments simples

donne 1__ = -hl (lXea a _ lXe-a_a).s a e +e e +e

. ea 1 + cc. n nix -naECrivons lX a = ix -a = L(-l) e . e

e + e 1 + e . e n~O

(somme d'une progression géométrique dont le module de la raison est [eix-al = e-a < 1)-Œ -Œ -ÎX +X'

.• e e· e ~()n-l -nix -naECrivons de meme ix -a = -a -ix = 0 -1 e . ee + e 1 + e . e n~l

1 1 [ +00 .. ]On en déduit cosx + cha = sha 1 + L(_l)ne-na( enlX + e-nlX)n~l -

1 1 +00 2(_1)ne-na-. - = sh a + L - cos nx

n=l

Il reste à prouver que l'on a bien obtenu la série de Fourier def.

Puisque f est paire, pour tout pEN, bp(f) = 0 et

2 1TI 2 loTi (+00 )ap(f) = - f(t) cospx dx = --h- 1 + 2L(_l)n e- na cos nx cos px dx

TI 0 TI sa. 0 n=l


Comme la série de terme général Un : IR--+R x f--3> (_l)n e- na cos nx cospx est normalement con

vergente sur IR (II U lico = e- na), l'intégration précédente s'effectue terme à terme et on obtient:

2 l'1T 4 +co 1o'1Tap(J) = --;;;:sna cos px dx +--h- ~(_l)ne-na cos nxcospxdx'!T s a 0 '!T S a n=l . 0

2donc ap(J) = -h (-lJP e-pa pour tout pEN.s aAinsi, on a bien obtenu le développement def en série de Fourier.

Remarque: ce développement donne les intégrales

EX.9.4

1o'1T cos nx '!T n na---- dx= --(-1) e-

. 0 cos x + ch a sh a

1) pour x ='!T, le développement (0) donne

f étant paire, nous avons:

l'1T n2 ex sin '!Tex'<InEN,bn(J)=O et '!Tan(J)=2 cosexxcosnxdx=(-l) 2o ex -n

f est de classe CI par morceaux, donc le théorème de Jordan-Dirichlet s'applique:

sin '!Tex ~ n 2 ex sin '!Tex'<1x E IR,j(x) = -~- + L)-l) 2 2 cos nx (0)Ilex n=l '!T (ex -n)

1 +x 2 ex

cotan '!Tex= '!Tex + ~ 2 2n=l '!T (ex -n)

1 +x 2xd'où '<IxEIRS\'!T1',cotanx=-+~ 2 2 0 (1)

x n=l x - n '!T

(avec x ='!Tex, exÈ l' équivaut à x È '!T1')

2) (2) est vraie pour x = 0, il reste donc à la vérifier pour x E]O, '!T [,

] '!T [Un tel x étant fixé, soit a E 0, 2 tel que a < x <TI -a (donc a < x et a <TI -x).

1 2t 1 2 TI

Pour tout n "" 1, sup 9 2 2 ~ 9 9 2tECa,'1T-a] r - n TI n- TI- -(TI -a)

et2'!T 2TI

2 2 ( )2 -.22'n '1T - 'TI -Œ +oc n 'TT

2tOn en déduit que la série de terme général Un t f--3> 2 2 ~ est normalement donct -n TI

uniformément convergente sur [a, TI -a] et d'après (1) :

lx ( 1) +x j'x 2tcotan t - - dt = ~2 2 ~ dt

a t n=l' a t - n TI

.. +x 2 2 2

sIn x slna '\'" n,,-xc'est-à-dire en -- - en -- = Lfn 0 9 0X a n=l n- TI- -a-

sinx sin a +::xJ ( x2) +x ( a2)en ~ - en - = "" en 1 - -. - - '\'" (n 1 - -- (2.0)x aL 22 L 22

n=l n '7T n=l " n 'TT

(ces deux séries sont convergentes)

( 2'Etudions maintenant la série de fonctions de terme général Un : t f--3> (n 1 - 2t~2) .n "


1 ( t2) 1 ( t2)Soit b fixé, b E]0, TI [, V tE [0,b], tn 1- ~ = - en 1- ~n TI n TI

( 2'or Cf (t) = - en 1- 2t _2) est croissante sur [0, b]n "

341

donc len (1- n::2) 1 ~ lin (1- ):2) 1

1 ( b2) 1 b2et puisque en 1- ~ - ~, on en déduit que L Vn converge normalement surn TI n TI

[0, b] et donc que sa somme est continue.

+:0 ( a2) sin aAinsi, hm L en 1- 22 = 0 et puisque lim en -- = °

a~O n=l n TI a~O a

sinx +00 ( x2)la relation (2.0) donnne en -x- = L en 1- 22

n=l n TI

. +00 ( 2 )

Slnx xd'où on déduit -x- = II 1- 22 .

n=l n TI

EX.9.S

Pour tout XE IR1\TIZ,on asin(2n + l)x

Slnx

i(2n+l)x - i(2n+1)xe -eIX -lXe - e

n

k=-n

2ikxe

sin(2n + l)x .. , " .La fonction]n : x >--7 • est donc prolongeable par continUite sur R Ti-periodique et telleSlnxque V x ER l{n(X)! ~ 2n+ 1.

On en déduit que V x ER lt'n(x)e-axl ~ (2n + l)e-ax et donc que In = fo+x ]n(x)e-ax dx estune intrégale absolument convergente.

{+oo n, 1 (+co n . _ auDe plus, In = Jo L' e2[kxe-ax dx = "2.Jo L e[kue 2 duo k=-n 0 k=-n

au

A ce stade, introduisons l'application g, 2 TI-périodique, définie sur [0, 2 TI [par g( u) = e- """2 et

découpons [0, +cc[ en U [2p TI,2(p + 1) TI] pour faire apparaître la série de Fourier de g.pE~~

1+:0 (n (2(p+1J-rr, au)On obtient ainsi In = "2 L L J~ eiku-"""2 dun=O k=- n' 2p'IT

Le changement de variable u = 2p TI +v donne:

12(P+1)'ITiku- au a- j'2'IT ikv- au a-e 2 du=e-P" e 2 dv=2TIe-P "Ck(g)

2p'IT 0

+00 a~ TI Sn ndonc In =TI Sn '\"" e- p •• = _ avec Sn = '\"" Ck(9).DI-a .. D

p=O - e k=-n

9 étant C1 par morceaux, le théorème de Jordan-Dirichlet s'applique:

g(O + 0) + g(O - 0) 1 (a'IT) TI a TIlim Sn = 2 = -2 1+ e-, donc hm In = -2 cath-2n~+~, n~+co

342

Remarque:

1 (+oo n iku- auL'expression ln = 2" Jo L e 2 duk=-n


n1 n

donne ln = 2" L _1_ [eiku- '1U] +:0k=-nik_~ 0

2

1L a- 2ik

k=-n

D'où en regroupant les termes conjuguésn 2a1,ln = Ci + L a2 + 4k

k=l

2a a 2aPuisque 2 2 - -2' la série L 2 ,9 converge et on aa + 4k +:0 2k a + 4k

En comparant au résultat trouvé initialement, on en déduit:

~ +f 2 2a 2 = ; cath a;k=l a + 4k

EX.9.6

1) Etude de la fonction f

1 +00 2ahm ln = - +' 2 2n-HX a La +4k

k=l

(X-ki2

Etudions la série de fonctions de terme général uk:~~~, x f-7 e - -2-t-Pour tout x réel fixé, quand k tend vers +x, on a :

Uk(X) = 0 (1~2) et u_ k(x) = 0 ( :2)donc les séries de termes généraux Uk(X) et u_ k(X) sont convergentes.

+%

On définit alors la fonction J: IR--+R x f-7 UO(x) + L(Uk(X) + U_k(X»)k=l

+x;

qui s'écrit aussi J(x) = Lk=-x·

_ (x_k)2e2-t

Montrons que J est de classe CI sur IR en établissant l'uniforme convergence des séries de

fonctions de termes généraux u~ et u~ k sur [- a, a] pour tout a> O.

1 1 x - k - u:-Id 1 a + k - (a-k)2Pour k> a, on a: V x E [-a. a], 1 uk(x)1 = -t-e 2r ~ -t-e 2t

donc, quand k tend vers +x, Il uf( lit- a.a] = 0 (~) , ce qui assure la convergence normale. k-

de L u;( sur [-a, a],

Même résultat pour u~ k car u_ k(X) = Uk( -x).

2) Calcul des coefficients de Fourier de f

De la relation Uk(X + 1) = Uk_l(X), on déduit J(x + 1) = J(x) :J est I-périodique.

il -2i'7illXPour n E 7l, on pose Cn = J(x)e dx

. 0

La convergence normale donc uniforme uniforme sur [O. 1] permet d'écrire:

0, = fo' c~x_'>:-k? )

e ----zt-2iï7rLX"+x ,1 Ix_k2.

dx = Lire - ----zt-21'7iT1XeL\:k=_x'O

Chapitre 9: Séries de Fourier 343

(poser y = k - x)

1 )

2)

+00 k il._ .+x'; .9'-

d" - '" 1 -2I+2,,,nYd -( -2rT~",nYdou Cn - Ley - e y1 k-1 ·~-x(=-00

ou encore Cn = V2t J~+~ e-u2+2i"nu,/2r du .

. . ~ ~ ;.+x _u2~2iIntroduisons la fonction 'l': L-i-'~, x H> . _ xe' nxu duev

et la suite de fonctions CfN: R~C, x H> j" e-u2+2in:Ül du-N

La classe el sur 1R2 de (x, u) H> e-u2+2in.XU donne la classe CI sur !Pi de CfN avec:

. (N _u2 2inxu<p~ (x) = 2mLN ue + du

j+oo 2 .En introduisant l'intégrale absolument convergente g(x) = -00 2inue-u +2,nxudx, on a:

! (+oo u2 N2Ig(x)- Cf!N(x)1 ,s;4n lN ue- du = 2ne-

ce qui prouve que la suite (<p~)N" N converge uniformément vers 9 sur IR.

La fonction Cf!est donc de classe CI sur IR avec Cf!!= 9

j+x. 2 [? ]+C0 j+X 2! ( ) 2' e-u +2inxu d . -u"-2inxu 2 2 . -u +2inxu dCf!x= Lnu U=Lne .-nx e u-00 -oc .-x

Cf!!(x) = -2n2x Cf!(x) (équation linéaire homogène du premier ordre)

On en déduit Cf!(x) = Cf' (0)e-n2x avec Cf (0) = .l+~ e-u2 du = .JIT.

Comme Cn = V2t Cf' (Ti V2t), on obtient les coefficients de Fourier de] :

Cn= V2Ti t e-2n2,,2t (n EZ)

] étant de classe CI sur IR, le théorème de Jordan-Dirichlet s'applique:

+x (x- k)2 +,X . +'00 ?' •

L e-----zr = L Cne2l.Tr= = L V2Ti t e-2n-,,2t+2'''=k=-,x n=-(X) n=-'::G'

Ex. 9. 7

La fonction 9 : IR---+IR, 2 Ti-périodique et telle que 'if t E [- Ti.,TiJ, g(O = t2 est continue sur IR,

de classe CI par morceaux. Elle est donc développable en série de Fourier, ce qui donne (1).

De même, gl : IR---+IR, 2 Ti-périodique, telle que 'if t E J- Ti, TiJ,g(O = t est continue par

morceaux sur IR et dérivable sur IR\ {(2k + 1) Ti}. Par application du théorème de Jordan

Dirichlet, on obtient (2).

, . , , cos nt ,La sene de terme general Un : t H> (_l)n -2 --2 est normalement convergente sur IR, d'oun +aon déduit l'existence et la continuité de f.

Pour tout t E [- Ti, Ti], formons:

t2 Ti2 +00 a2 cos nth(t)=](t)-4+T2=L(-1)n+1 22 2 d'après (1)

n=l n (n + a )2

. n a cos ntet SOit un(t): tH> (-1) 2 2 2

n (n + a )

On vérifie que I: Un, I: U~, I: U~ sont normalement convergentes sur IR donc h et par con

séquent] sont de classe C2 sur [- Ti, Ti].

344 Précis d'Analyse

1 +00 a2 cos nt 2 1On obtient fl/(t) - "2 = ~(_l)rt 2 2 = a J(t) doncf est solution de If - a2y = "2

rt=l n + a

1d'où on déduitf(t) = - ~+ Àch at+ fLsh at,f étant paire, il vient fL= a2a

1doncf(t) = --2+ Àchat.2a

+00 2 .

~ n a SIn nt t l '11Dej'U)=ail.sht=L)-l) 2 2 +2,ondéduitf('lT)=aÀsha'lT=2n=l n(n + a )

'11 '11chat 1d'où À= ~ h et enfin f(t) = 2 h - -2as '11a as a '11 2a

3) Le calcul précédent a donné, pour tout t E [- '11,'11]:+x 2 .

1 _ '11sh at _ t ~ n a sm ntf (t) - ., h ~ - "2 + L ../-1) 2 2sa" rt=l n(n + a )

+00 sin nt [ a2] +'00 n sin ntd'où,d'après (2),1'(t) = ~(_l)n+l __ 1- -2--2 = ~(-l)n+1-2--2

rt=l n n + a n=l n + a

EX.9.8

1 )

• Envisageons d'abord le cas où x E [0,2 '11].

On sait (voir théorème 9) que dans l'espace D muni de la norme de la moyenne quadratique

la suite (Sn)r\j des sommes partielles de la série de Fourier de f, converge vers f :n

'" ikxSn(x) = D ck(f)e 'n~~" Iif - Sn IID = ak=- n

Pour tout x E [0,2 '11], on a les majorations successives:

Ir fU) dt - r Sn(t) dtl ~ r lfU) - Sn(t)1 dt ~ (2Ti lf(t) - Sn(t)1 dtJo Jo Jo Jo

1

.fo2Ti lf(t) - Sn(t)! dt ~ (2'11 .102Ti lf(t) - Sn(t)i2 dt) '2 (Inégalité de Cauchy-Schwarz)

Donc 1 fox f - fox Sni ~ ~ Ilf - SnilD

et il résulte du rappel que lim (" Sn = (Xfn-++oo Jo .Jo

lx n InXPuisque Sn = ~ ck(f) eikt dt, ce résultat se lit encore:a k=-n . a

+00 .x X

n~x cn(f) fa eint dt = fa f• Soit maintenant x réel quelconque.

(x) 1 1Alors avec p = E 2'11 ' X = 2p'lT +x . où x E [0.2" [.


f étant 2To-périodique, on a :

lx p-l l2Ck+lhr lX 1'2.. l,xi lx1f = I:: + f = p f + f = 2p To co(f)+ f,, 0 k=O ' 2krr 2p •• ' 0 0 ' 0

-Xl +x .Xl

L'étude du premier cas donne l f = I:: Cn(f) J eÙ1t dt,0 n=-x 0

x +x .Xl

donc l f = 2p Toco(f) + I:: cn(f) j eÙ1rdto n=-x 0

.Xf x

En constatant que 10 eint dt = 10 eÙ1t dt pour n ;fi. °Xl X

et que 2p To+ fa dt = fo dt = x,

(X +00 Xon conclut à Jo f = I:: cn(f) l0 eint dt.o n=-oo 0

345

'TT -x2) La fonctionf: IR-+IR, 2 'TT-périodiquetelle que :f(O) = °et V x E]O, 2 'TT[,f(x) = -2-

est élément de D et est somme de sa série de Fourier, d'après le théorème de Jordan-Dirichlet:

V X E IR,f(x) = ~ sin nxn=l n

En appliquant le résultat du 1), on obtient donc:

V x E IR, ('" f(t) dt = ~ t' _sl_'~_n_tdt = ~ _l_-_c_o_s_nx_Jo n=l Jo n=l n+x 1- cos nx 'TT x2

donc, pour x E [0,2 To], I:: 2 = 2x - 4n=l n

3) La formule précédente au point x =1ï donne:

+00 2 1ï2 +0;: 1 'TT2

~ (2k + 1)2 =""4 c'est-à-dire ~ (2n + 1)2 =8+00 1 +00 1 1+00 1

Avec I:: 2 = I:: 2 + =1 I:: 2' on en déduitn=l n n=O(2n + 1) n=l n

346

Exercices proposés


Soit a E IR, 1 al < 1.

Développer en série de Fourier la fonction:

f: IR-+IR, x H> Arctan (~I_a_si_n_x_)- acosx

Ex. 9.2+0,:) •SIn nx

1) Calculer f(x) = L -nn=O

2) Soit 9 : IR-+IR, impaire, 2 TI-périodique,continue telle que

\;/x E [0, IJ, g(x) = -'f(I),

\;/x E [1, TI], g(x) = f(x).

En utilisant g, montrer que

+cc sin 2 n +x: sin n'""-=L-6 n2 nn=l n=l

+x: sin2 nCalculer L --4

n=l n

EX.9.3

Développer en série entière à l'origine

l_x2ft : IR~IR, x H> 21+ x - 2xcos r

(TI )En déduire pour CiE IR \ 2+ TIL la série de

1Fourier de la fonction g01 : t H>

1'" cos ntEn déduire pour nE N, ln = V3 dta 2- 3 cos t

EX.9.4

Développer en série de Fourier f et 9 :

f(x) = éOSx cos(sin x), g(x) = eCos x sin (sin x)

/,2"En déduire ln = eCos t cos(sin t - nt) dt et

·0

{2TiJn = Jo eCos t cos(sin t + nt) dt

Ex. 9.5

+x: 1Calculer f(8) = L -cosn 8 sin n 8.n

n=l

Développer f en série de Fourier.

EX.9.6

1) Développer en série de Fourier

f: IR~IR, t H> Isin tl.

2) Soit

E = {g E CO (IR, IR), 9 2T1-périodique}

et n l'application définie sur Epar:

\;/ 9 E E,\;/ x EIR,

Q (g)(x) = ;:>(X - Og(t) dt

Montrer que nE:J; (E). Trouver les va

leurs propres et sous-espaces propresde n.

Ex. 9. 7

Montrer que y" + y eit = ° (E) admet des

solutions de période 2 TI.

Préciser l'ensemble de ces solutions.

Ex.9.8

Trouver les fonctionsf E CX:(IR, !Rn,

2 TI-périodiques telles que

\;/ x E R.j(2x) = 2 sin;~((x).

Ex. 9.9

Trouver les fonctions f E ex: (]~.Cl,

2 TI-périodiques pour lesquelles il existe Î\.E IR~

et 1\,f E R:: tels que

\;/ nE N, \;/X ER, Vni(z)j "" l'vI Î\. n.

Ex. 9. 10

Soit D = {z E C / z' "" 1}, U un ouvert de 1R2

contenant D etf E e2(u. Rl. On suppose que

f est harmonique, c'est-à-dire que

02f éJ2fj" f = --9 + ~ = ° dans D.

oX- ély~

Calculer {2Ti f2(rei8) d 8 en fonction des coefJo

fic'Ients de Fourier de 9 : 8H> fi eiB ).

Chapitre X

Equations différentielles

Compléments

1 1- Equations linéairesE désigne un IK-espace vectoriel normé de dimension finie n ~ 1.

A. Etude theorique

Il. Définitions 1

d.1 Aux applications continues a : J -:1; (E), b : J ~ E on associe l'équation1 différentielle, dite linéaire du premier ordre: (L): x' = a(t) . x + b(t)

d.2 On appelle équation homogène associée à (L) l'équation différentielle:

1 (H) : x' = a(t) . x

Remarques

1) L'image du vecteur x de E par l'endomorphisme a(t) est, ici, notée a(t) . x.

2) Le théorème 2 suivant assure l'existence de solutions de (L) et de (H) sur l'intervalle I.

On note alors SeL) et S(H) l'ensemble des solutions sur J de (L) et (H) respectivement.

3) On rappelle qu'une solution de (L) est une application dérivable J : J -i- E telle que:

'if t E J,f(t) = a(t)J(t) + b(t)

4) On constate que toute solution de (L) est de classe CI sur J.

12. Théorèmes 1

au

t.1

1

Théorème de Cauchy-Lipschitz-linéaire

Pour tout (ta, XO) E J x E, l'équation (L) admet une unique solutionproblème de Cauchy en (ta, XO).

Démonstration admise.

'Ce résultat s'applique aussi à l'équation (H). Les solutions de (L) sur J sont maximales.


t.2 Structure de l'ensemble des solutions

il L'ensemble 5tH) des solutions de (H) est un sous-espace vectoriel de C1(I, E)isomorphe à E.

iil L'ensemble SeL) des solutions de (L) est un sous-espace affine de C1(I, E), dedirection 5tH).

lBf' i! Il est clair que 5tH) est un sous-espace de C1CI, E). Pour iD E l fixé, le théorème 1indique que l'application x H> x(iD) est un isomorphisme de 5tH) sur E.

D

ii! L'existence de solutions de (L) sur l donne SeL) *0, si] et g sont deux d'entre elles,on vérifie que] - g E 5tH).

t.3 Base de S(H)

il Soit êJt= (hl, ... , hn) un n-uplet de solutions de (H).

Pour tout t E I, le rang du système êJt de 5tH) est égal au rang du systèmeêJt (t) = (hl (t), .... hn(t)) de E.

D

ii 1 Si êJt est une base de 5tH), pour toute solution h de (H), il existe

(al,"" an) E llin tel que h =a1 hl + ... + an hn.

Soit Jt= (hl,"" hn) une base de SCH) et k E {O,l}.

Pour tout] E Cle(I,E), il existe n applications U1, ... , Un de Cle(I, iii), définiesde manière unique par ] = u1 hl + ... + unhn

lBf' Introduisons une base J',= (e)l'0oS;n de E et les applications coordonnées de] dansn

cette base: 'i tE I,f(t) = L,Jj(t)ej , 'ij E [1. n].Jj E CleCI,E)j=l

D'après le théorème 3, pour tout t E I, Jt (t) = (h1(t),. " hn(t)) est une base de E,la matrice de passage de J', à ';JC (t) est inversible, on la note:

W(t) = matJ) (h1Cr) ..... hnCt))

On dispose ainsi d'applications de classe C1 de l dans 52n (X) :

W: rH> W(t) et vr1: t'-+ [W(tl]-l

Pour tout t E l fixé, l'existence et l'unicité de (U1(tl .... , unit)) correspond à unchangement de coordonnées, dont l'écriture matricielle est:

[ u1(t)] [Nt)]: ... = [IV(t!r1 :.UnIr) ]nCt)

Les n-applications U1, ... , Un de l dans K ainsi définies sont de classe Cie

t.4

1

t.5 Méthode de variation des constantes Avec les notations du théorème 4.

il L'application] = u1hl +... +unhn est solution de l'équation (L) si et seulement

si u~hl + ... + u~hn = b.

iil D'après le théorème 4, l'application b E C°iT.E) s'écrit de façon unique:

b = V1h1 + ... + Vnhn L) E CoU.E)

La condition du il s'exprime donc par: 'i jE [l, n], uJ = L).

Chapitre 10: Equations différentielles Compléments 349

Les deux solutions

lfiF i / Sachant que hl,' .. , hn sont solutions de (H), la dérivée de j = u1h1 + ... + unhn

s'écrit \;J tE I,f'(t) = u~(t)h1(t) + ... + u~(t)hn(t) + a(t) .j(OD'autre part.] est solution de (L) si et seulement si : \;J t E I,J'(t) = aU) .j(t) + b(t)

ii / Le résultat, conséquence directe de ce qui précède, signifie que la connaissance d'une

base de S(H) ramène la résolution de l'équation (L) à des calculs de primitives.

13, Système différentiel 1

Il s'agit de l'écriture matricielle de l'équation linéaire (L).

Etant donnée une base '& = (eJ)l"'0~n de E, aux applications a et b sont associées les

applications A: I -dtn (IK) et B: I -+Altn,l (IK), où, pour tout t E I, A(t) et B(t)sont les matrices de a(t) et b(t) dans la base '&.

On appelle alors système différentiel l'équation différentielle notée: X' = A(t)X + B(t)

dont les fonctions inconnues X sont à valeurs dans .AJtn.1 (IK).

Inversement, à un tel système différentiel on associe canoniquement une équation diffé

rentielle linéaire sur IKn au moyen de la base canonique de IKn.

Les théorèmes précédents s'appliquent (mutatis mutandis) aux systèmes différentiels.


exemple 1

I-~'~·dl t' dif"" t' 1 {Xl = 2tx - Y + tcos t

esou •••re e sys eme leren le : 1 .Y =x+2ty+tsmt

(Effectuer dans le systèm; homogène le changement de fonctions inconnues définipar u =.xe-f, v = ye-t ).

• Ici, E =1R.2 et I =IR..

L ' h' ., (H) {Xl = 2tx - Ye systeme omogene associe est 1

y = x + 2ty

Le changement indiqué donne {u; = - vv = u

[c~s] et [- Sin] de ce système fournissent les deux solutions hlSIn COS

. [et2 cast] [ __et2 Sint]et h2 de (H) sUivantes: \;J t E IR., h1(t) = t2. h2(t) = t2e SIn t e COSt

Comme elles sont indépendantes, (hl, h2) est une base de S(H).

La méthode de variation des constantes consiste à trouver deux applications W1 et W2 de C1(IR.,IR.)

telles que j = W1h1 + W2h2 soit solution du système.

On constate que [t c~s t] = te-t2 h1(t) et, par conséquent, w~(t) = te-t2 , w~U) = 0t smt

Il existe donc (a, [3) E 1R.2tel que:

{ 2 1( 1 2) X = (a COSt-- [3sin t)et --"2 cos tj(t) = a --2e-t h1(t)+ [3 h2(t) 2 1

Y = (a sin t+ [3 cos t)et --"2 sin t


On trouve donc:

exemple 2 .

1 Retrollyerl\'l ~ésultat de l'exemple précédent en utilisant la nouvelle fonction inconnue Z;=.X +ty .

• Le système devient, par le changement indiqué, l'équation différentielle linéaire d'ordre 1 suivante

(L) Zl;= (2t + Oz + teit

Le nouveau changement de fonction inconnue défini par z ;= ueit transforme l'équationen ul ;= 2tu+ t.

L'équation homogème a pour solution générale IR-C. t f-JoÀ et" (ÀE C)

1 (, 2 1) tUne solution particulière est t f-Jo - 2' D'où la solution générale de (L): IR~C, t f-Jo ~ et - 2 e'Le couple formé des parties réelle et imaginaire donne la solution trouvée précédemment.

B. Equations linéaires à coefficients constantsEtude théorique. (Programme M')

Il s'agit des équations (L) : Xl ;= a . x + b(t), (H): Xl ;= a .x où a E 5t (E) et b E CCI,

Il, Etude de (H) - Cas particulier 1

• Plaçons-nous dans le cas où E ;=en et où l'endomorphisme a n'a qu'une seule valeurpropre À. On sait alors que l'endomorphisme c;= a- À IdE est nilpotent.

Notons r son indice: cr;= 0, cr-1 * O .

• Soit u une solution de (H) sur IR; introduisons l'application v définie par:v = e-fJu ~ u = eÀ[v

Alors d = a· u donne eM(d + À v) = eÀta . v.

Ainsi, l'est solution sur IRde l'équation 1,/ = c· Id

Une récurrence immédiate montre que l'est de classe Cc~ et que v ri = cr . V = O.

Il existe donc r vecteurs de E, L'O.VI ..... L'r-l tels que:

\;f [ E:=2.vi [1 = Vo + [q + ... + [r-lVr_l

Par identification, on prouve que l'est solution de y = c· Id si et seulement si :

1\;fleE [1.r-1].L'le=7Cc'Vle-l

(. {-l r l') ~ [le levtt) = IdE Hc + ... + ir _ 11: c - . Vo = L le: c . Vo.. ~o

et

r-l

H, /(u(t) = e L [ Cile

le=O

où on a posé1 ,.

Ci/(= le: c" . Vo E E.

Remarques1) Etant donné que l'on a r "" n, ce calcul montre que l'ensemble des solutions - sur :=2- de

l'équation y = c· Id est un sous-espace de l'espace vectoriel des fonctions polynômesà coefficients dans E, de degré inférieur ou égal à n - 1.

2) Le calcul précédent donne:

\;f [E:=2. dr) = etC . l'o. W.[I = e[ c+Àld",' . Va = eW . va

Chapitre 10: Equations différentielles Compléments

2, Cas général 1

351

Toujours avec E =Cn, on désigne par J'l, .... Àq les valeurs propres distinctes de a,par NI, ... ,Nq les sous-espaces caractéristiques correspondants; chacun est stable

par a, et, pour tout) E [1, q], a induit un endomorphisme Oj de Nj, l'endomorphisme

Cj = Oj- Àj Idj'S est nilpotent ; soit Tj son indice,

On note Pl,'" ,pq les projecteurs associés à la somme directe E = NI EB '" EB Nq.

Soit U une solution sur R de l'équation Xl = a, x

Onpose V)E [l.q]. Uj=Pj'u (doncu=ul+' '+Uq),

On effectue alors le changement de fonction inconnue défini par v = VI + ... + Vq

où Vj = e-À.jtUj,

On vérifie que V) E [1, q], uJ = Oj' Uj' vJ = Cj' Vj'D'après l'étude précédente, il existe alors y = YI + . , . + Yq E E tel que:

( 0-1 r 1)V tE IR, vit) = IdNj +tCj + ' .. + (Tj _ l)! Cjr , Yj

1J-l

On en déduit V t E IR,Uj(t) = èjt L tk Œjk où on a posék=O

Remarques

1) Pour tout) E [1, q], on a T) ~ dim l\Tj = 1T1j où 1T1j est l'ordre de multiplicité de la

valeur propre Àj,

On peut donc écrire V tE:Ri, uit) = eÀ.jtPj(t) où Pj est un polynôme à coefficients

dans Nj (donc dans E) de degré inférieur ou égal à 1T1j - 1.q

Alors V t E IR,u(t) = L eÀ.jtPj(t)j=l

2) Le calcul précédent donne, pour tout) E [1, q] :

V tE IR,Vj(t) = etc) . Yj donc V t E IR,u(t) = eta , y

3, Utilisation d'exponentielle d'endomorphisme; Etude de (H) et (L)

Rappels et notations

Pour tout t E IR,on note eta l'endomorphisme exp(ta),

On rappelle que a et eta commutent, que l'application 1R~;:e (E), t H> eta est dérivable,

avec (eta) 1 = a 0 eta De plus, eta est inversible avec ( eta) -1 = e- ta

Etude de (H) Xl = a . x

• Soit U une solution de (H) sur IR; par dérivation il vient:

(e-ta,u)1 =e-ta·ul_e-taoa,u=O

Il existe donc ua E E tel que V t E IR,e-ta , u = ua.

Ainsi, on a nécessairement u: IR~ E, t H> eta . ua,

Il convient alors de vérifier qu'il s'agit d'une solution de (H) sur IR,

• Pour tout (ID, X(J) E IR xE, l'unique solution au problème de Cauchy en ce point est

IR--+ E, t H> e(t- to)a . X(J.


Xl ;:: a .x + b(t)

Soit u une solution de (L) sur I.

Introduisons l'application v définie par v = e-ta . u ~ u = éa. v.

Elle est dérivable et v' = e-ta. ul - e-ta 0 a· u = e-ta. b(t)

Pour ID E I, on obtient:

'if tE I, v(t) = it e-sa. b(s) ds+va (va E E, Va = v(ID»

d'où uCt) = eta . (va + ite-sa . b(s) dS) .

• Pour tout (ID, xo) EIx E, l'unique solution au problème de Cauchy en ce point est:

{tI r-+ E, t>-+ eCt-tJla. XO + Jt{j eCt-s)a. b(s) ds

C. Systèmes dffférentiels à coefficients constantsEtude pratique

Il s'agit des systèmes: (L): Xl = AX + B(t) . (H): Xl = AX

où A EJin (iii) et B : I r-+Jtn.l (iii) est continue.

Il, A est diagonalisable 1

Il existe alors P E52n (lK) tel que p-l AP = D = diag(ÂI .... ,Ân)

On effectue le changement de fonction inconnue défini par:

y = p-l X ~ X = py

qui aboutit aux nouveaux systèmes différentiels:

(LI) : yi = DY + P-IB(t)(Hl) : yi = DY .

Chaque ligne de (LI) est une équation différentielle linéaire du premier ordre

Yi =Âi Yi + Ciet) dont la solution générale s'écrit: 'if tE I. Yi =[3i èt+ 'Yi (t)

La solution générale de (L) s'obtient par X = pY.

Remarques

1) En notant CI, C2, ... ,Cn les colonnes de P (ou vecteurs propres de A), la solution

générale de (H) s'écrit: t r-+[3l e'" t CI + [32 e"2 t C2 + ... + [3n e"" t Cn

2) Il est visible que l'ensemble S(H) des solutions de (H) est un espace vectoriel dedimension n (formé de fonctions de classe eX)

3) Noter que la résolution du système (H) peut se faire pour I =R et qu'elle n'exige pas lecalcul de p-l.

4) L'ensemble SeL) des solutions de (L) est un sous-espace affine de elu. Jln.l (X» dedirection S(H).

5) Dans le cas où iii = IR. et A diagonalisable dans Jln C::::).

Si X est une solution de (L) à valeurs dans Jln.l C::::l,les applications Rerx) et Im(X)(obtenues en considérant les applications parties réelles et imaginaires de chaque ligne)sont solutions de (L) à valeurs dans Jln.l (::2).

6) Pour tout (ID,Xo) E Ix Jln.l (l<), il Y a unicité au problème de Cauchy en ce point.


12. Cas général 1

Si le polynôme caractéristique de la matrice A est scindé (ce qui est le cas en considérant

A dans JLtn (0), il existe P E 52n (}i) tel que p-1 AP = T : matrice triangulaire

supérieure. On effectue alors le changement de fonction inconnue défini par:

Z = p-1 X ~ X = PZ

qui aboutit aux nouveaux systèmes différentiels:

(Lz) : ZI=TZ+P-1B(t)

(H2) : Zl = TZLa dernière ligne de (Lz) est une équation différentielle linéaire du premier ordre

z~ =Ân Zn + Cn(t)

Une fois fixée une solution de cette équation, la ligne précédente devient une équationdifférentielle de fonction inconnue Zn-1. De proche en proche, chaque ligne apparaîtcomme une équation différentielle du premier ordre (une seule fonction inconnue pourchacune). On obtient ainsi la solution générale du système (Lz) (éventuellement l'unique

solution au problème de Cauchy en un point arbitraire (to, 2{) E Ix Mn.1 (IK».

3. Utilisation des résultats de l'étude théorique

On s'intéresse à (H).

•

•

q

La solution générale de (H) s'écrit J f-'7 LeÀjt Ij(t))=1

où Â1,' .. ,Âq sont les valeurs propres de A et les Ij des fonctions polynômes, à

coefficients dans JvLn.1 (e), telles que Y J E [1, q TI, deg Ij ~ TTlj - 1 (TTlj étant l'ordre

de multiplicité de Âj). On peut alors déterminer les Ij en procédant par identification.

D'après l'étude théorique, chaque fonction t f-'7 eÀjt Ij(t) est solution de (H) sur IR

on déterminera donc séparemment Pl, P2,' .. ,Pq .

1 M' 1 Le calcul de etA donne une autre méthode de résolution de (H) .


exemple 3

~' 'd' 1 t' dif"" t' 1 '1 { Xl = 3x - y + cos t• esou re e sys eme leren le ree ./ .!:J =x+y+2smt

• L . ". { Xl - yi = 2(x - y) + cos t - 2 sin te systeme s ecrit . / .!:J = x+y+.2smt

La résolution de ul = 2u + cos t - 2 sin t (équation linéaire scalaire d'ordre 1) donne

u =Â e2t + sin t

{X-if :Â e2t + sin t

2y+ Â e2t + 3 sin t

La résolution de ri = 2y+ Â ~t + 3 sin t donne:

- . 3 1y =)0.~~ fL)e2t_ S(cos t + 2 sint) d'où x = (Ât+ fL + Â)e2t-S(3 cos t + sin t)

Moralité: il peut être utile de regarder le système proposé avant de se lancer dans les calculs.

Le système équivaut donc à

354

exerTlple 4


[ 1 1 0]différentiel réel X' = AX où A = -1 2 1 E Al3 (IR)

1 0 1

• Donnons deux méthodes de résolution.

1) Cherchons l'ensemble Sc des solutions à valeurs dans C, (il contient S:;o, ensemble des

solutions à valeurs dans IR). Le polynôme caractéristique de A est (2 - T) [(T - 1)2 + 1].Les valeurs propres complexes de A sont 2. 1 + i. 1 - i.

Le"ect,"" pCOp'"aooociè"o"""pect;"meot, ~ = [U ,'2 = [J ,0," [-:']

[1 1 1]Posons P = 1 i. -f. Nous avons p-l AP = D = diag(2, 1 + i, 1 - il.1 -[ [Le changement de fonction inconnue défini par X = py donne le nouveau système:

{yi = 2Ylyi = DY ~ = (1+ i:92

Y3 = (1- [IY3

Il existe donc ((jl, (j2, (j3) EC3 tel que:

{Xl =(jl e2t+ (j2 ell+ilt+ ~3 ell-i1t

Yl =~l e2t

{ Y2 =(j2 e(l+i)t {==? x2 =(jl e2t + i (j2 e(l+O.t - i (j3 e(l- 0 tY3 =(j3 e(l- Otx3 =(jl e2t - i (j2 e(l+i)t + i (j3 e(l- i) t

En écrivant X =~l e2tcl + (j2 e(1+Otc2+ (j3 ell-iltc3' on constate que S:; est un C-espace vectoriel de dimension 3 dont une base est (Vl. v2. U3) donnée par:

Vl(t) = e2tq , V2(t) = e(l+Otc2 . V3(t) = e,l-iltc3 = V2(r)

Une autre base de S:; est (Ul' U2. U3) donnée par:

[COS t ] [ sin t ]ul(t)=è2tq. U2(t) =Re (V2(t)) =et -sint, u3(rJ=Im =et cast

SIn t - cos tCette base étant formée de solutions à valeurs réelles. S:=, est l'ensemble des combinaisonslinéaires réelles de Ul. U2. U3 donc S:= est un ?c-espace vectoriel de dimension 3 dont une

base est (Ul . U2, us).

La solution générale du système différentiel réel proposé est donc:

[ 1] [ cos t ] [ sin t ]X=cqe2t 1 +Œ2et -~int +0'3é cast (0'1.0'2.0'3)E

1 SIn t - cos t2) En utilisant les parties réelles et imaginaires des vecteurs c2 et c3, on obtient une base d'un

plan de 1R3stable par A. Introduisons donc les matrices:

[1 1 0] [2 0 0]Q = 1 0 1 B = Q-l AQ = 0 1 1

1 0 -1 0 -1 1

Le changement de fonction inconnue défini par X = QZ donne le nouveau système:

{ 2i = 221Z' = BZ {==? ~ = 22 + 23

23 = -22 + 23


La première ligne est une équation différentielle dont la solution générale est:

21 : iR-R, t f-70: e2t

L'application w = 22 + ÎZs vérifie wl = (1 ~ Ow,

Il existe donc ÀEiCtel que V tER w(t) = Àe1l-iit,

A \ R' b' 29 = Re(w) = et(~ cos t+ '/ sin t)vec JI. = f-' +t ,/, on 0 tient: -2S = Im(w) = et('/ cos t- f5 sin t)

La solution du système proposé s'obtient par X = QZ :

Xl = 0: e2t + é(f5 cos t+ '/ sin t)X2 = 0: e2t + etc - f5 sin t+ '/ cos t)Xs =0: e2t + é(f5 sin t- '/ cos t)

On retrouve le résultat du 1): X = 0: Ul + f5 u2 + '/ uS·

355

Voyons deux méthodes différentes pour étudier ce système.

1) A ce système correspond un système différentiel d'ordre 1 sur rr;g4 :

[X [0 0 1 0]

l ,y 0001X = AX ou X = 1 A =

X 0 -1 1 1

yi -1 0 1 1

Le polynôme caractéristique de A est (T - l)s(T + 1).

On constate que A - I4 est de rang 2; A n'est donc pas diagonalisable.

Désignons par JJ = (el, e2, eS, e4) la base canonique de rr;g4. En cherchant les vecteurspropres de A, nous sommes amenés à introduire les vecteurs suivants:

{ Vl = el + eS AVl = Vl

V2 = el + e2 + eS + e4 AV2 = V2

~=-~+~ A~=~+~V4 = el - e2 - eS + e4 AV4 = - V4

[1 1 -1 1] [1 0 0 0]

On en déduit P = 0 1 0 -1 B = p-l AP = 0 1 1 01 1 0 -1 0 0 1 0

o 1 1 1 0 0 0 -1

Le changement de fonction inconnue défini par X = PY donne le nouveau système:

{yi = Yl { Yl =f5l et

yi = BY ou Y7 = Y2 + ys Y2 = (t f5~ + (52)etYs = Ys YS =f5s e

Y~ = -Y4 Y4 =f54 e-t

d" {x = (t f5s + f5l + f52 - f5s)et+ f54 e-tou t tY = (t f5s + (52)e - f54 e-

exemple 5

1 Résoudre le système différentiel d'ordre 2

•{Xii = Xl + y' _ yyll =x +yl-x

2) Le changement de fonctions inconnues défini par (u = x + y, v = x - y) donne le nouveau

, {ul - 2ul + u = 0 f ' d d ' . 1'" l' d' d 2systeme Il orme e eux equatlons mealres sca aires or rev -v = 0

à coefficients constants (voir Analyse 1, chapitre Il).

{ t f..--'

. " ,. u = (0' t+ 0' )eLeurs solutions generales s'eCrivent 1 t 2 _ t

v = aS e + 0'4 eOn retrouve alors la solution du 1).

356

exemple 6


[ ° 2 21

ne différentiel réel (H): Xi = AX où A = -1 2 2-1 1 3

• Donnons deux méthodes de résolution.

1) Le polynôme caractéristique de A est -(T - l)(T - 2)2

[-1 2 2] [-2 2 2]

On pose BI = A - l = -1 1 2 Bz = A - 21 = -1 ° 2-1 1 2 -1 1 1

Comme Bz est de rang 2, la matrice A n'est pas diagonalisable. Cherchons la solution

générale de (H) en calculant la matrice exp(tA).

Notons (el, ez, e3) la base canonique de E = 1R13et a l'endomorphisme de E de matrice Adans cette base.

[0 -2 21Le calcul donne B~ = (A - 21)z = 0 0 0

o -1 1Les sous-espaces caractéristiques de A sont:

• NI la droite vectorielle engendrée par wl = 2el + es

• Nz le plan d'équation -y + z = 0 dont une base est (wz, ws) avec Wz = el, W3 = ez + e3

L'endomorphisme al de NI induit par a est IdNi ; ici CI = al - IdN1 = O.

L'endomorphisme az de Nz induit par a a pour matrice dans la base (W2. ws):

A = [ 0 4]z -1 4

[-2 4] 9Posons Cz = A9 - 2h = . Nous avons C; = 0 ;~ ~ -1 2 "

d'où exp( tCz) = 1z+ tCz = [1- 2 t 4 t ]-t 1 + 2t

et exp(tAz) = exp[2tIz + tCz] = eZt. exp(tCz),

La matrice de l'endomorphisme exp(ta) dans la base (WI. U'z. U's) est donc:

[ e[ 0 0]o (1 - 2t)eZ[ .. 4teZ.[o - reZt il + 2tleZt

Le changement de base donne la matrice:

[(1 - 2t)eZt 2e2t - 2er (4t - 2)e2t + 2é]exp(tA) = _te2t eZ[ 2te2t

_ te2t eZt _ et e[ + 2te2t

L'pp,;,atloo ~~U!', t ~ ~p(tA), [~] copc',,"e '"'01"'0' ,','cole de (Hl2) La solution générale de (H) est a priori de la forme:

[X] [al] [ta2 + as]t f---;> Y = et bl + e2t toz + 03z cr tcz + Cs


• 00 dètocmtoe a, ,b; , c, poo, q"' t ~ e' [E] ,ott ,,' """ de (H)

{al = 2bl + 2qOn est conduit au système bl = -al + 2bl + 2q

el = -al + bl + 3eldont la solution générale est al = 2 À , bl = 0 , q = À

357

avec (a, b, e, d) E ~4.

p-1AP = [~ ~]

X = x - y et Y = 2x + y (d'après

• L'écriture précédente met en évidence une base de (H).

• On retrouve le résultat de la première méthode en posant:

À=~Yo+ZO 1-L=-X()+2ZO, v=Yo

c'est-à-dire X() = 2 À - I-L+2 v , Yo = v , ZO = À + v.

exemple 7, .r/

~ L/'/ { Xii = 3x + + etRésoudre le système différentiel Il y 2tY = 2x+2y+ e

• Le polynôme caractéristique de la matrice A = [~ ~] est T2 - 5T + 4 = (T - l)(T - 4)

Les calculs de diagonalisation donnent:

p = [1 1] p-l = ~ [1 -1]-2 l' 3 2 1

A une solution (x, y) sur ~, on associe les applications

les lignes de p-l).Ainsi, (X, Y) est solution du système (formé d'équations différentielles) :

{XII = X + et _ e2tyll = 4Y + 2et + e2t

{IlX = aet + be-t + -tet __ e2t

La solution générale est 2 3t 2

Y = ce2t + de-2t + 4e2t - set1

{X = -(X + Y)On conclut à l'aide des relations i

y = S(-2X + Y)

358

D. Equations Linéaires scalairesd'ordre deux

Il s'agit des équations différentielles:

(L) : Xii + a(t)xl + b(t)x = c(t)


(H) : Xii + a(t)xl + b(t)x = 0

où a, b, c sont des applications continues de l dans K la fonction inconnue (de la variable

t) étant à valeurs dans KRemarque

Nous nous proposons ici de préciser les propriétés de ces équations en liaison avec

l'étude des systèmes différentiels. Le cas des équations à coefficients constants a été

traité en Analyse 1.

l, Système différentiel d'ordre un associé

Avec E = 1K2,éventuellement identifié à JL2.1 ([Ii), on dispose de la bijection:

e: C2(I, IK) ~ CI(I, E). x r--i> X = [:1]Aux équations différentielles (L) et (H) correspondent les systèmes différentiels:

(LI) : Xl = A(t)X + B(t) (Hl) : Xl = ACt)X

où A:I~'i(E),tr--i> [-~(t) -~(t)] , B:I--+E,tr--i> [c~t)]'

Théorèmes:

o

t.6

1

lIE'

Théorème de Cauchy-Lipschitz-linéaire

Pour tout (ta, X() , xb) E Ix 1K2,il existe une solution unique sur l de (L) (resp.

de (H» au problème de Cauchy en ce point.

Le théorème 1 assure l'existence d'une solution F de (LI) ou de (Hl): F E CI(I, E)

vérifiant F( ta) = [:~].

Par la bijection réciproque de e, on obtient une solutionf de (L) ou de (H): f E C2(I, IK)

vérifiant f(ta) = X{J.f(t{j) = xh·

Désormais, on entend par solution de (L) ou de (H), les solutions sur l'intervalle l de

définition de ces équations.

t.7 Structtlréd,es solutions de (L) et de (H)

L'ensemble S(H) des solutions de (H) est un sous-espace vectoriel de dimen

sion 2 du IK-espace vectoriel C2([. :<).

L'ensemble SeL) des solutions de (L) est un sous-espace affine de C2(I, IK) dedirection S(H).

lIE' Conséquence du théorème 2.


12, Méthode de variation des constantes 1

359

•

•

•

•

Des deux théorèmes précédents, on déduit :

Pour tout to E l, l'application suivante est un isomorphisme:

S(H) ~:K:2. h>-> (h(to), h/(to))

Soit hl et h2 deux solutions de (H), pour tout tEl, le rang de (hl, h2) est égal au rang

. [ hl (t) h2(t))de la matrice: W(t) = hî (t) hf.z(t) E Jt2 (X)

Soit (hl, h2) une base de (H) : pour tout] E C2([, X), il existe un unique couple (Ul, U2)

d'applications de ClU, iK) tel que: ] = ul hl + u2h2 , f = ul hî + u2h!;, (1)

Ce qui fournit uî hl + ub,h2 = O.

Avec les notations et les hypothèses précédentes, on peut énoncer:

] E C2([, iK) est une solution de (L) si et seulement si le couple (Ul, U2) qui vient de lui

être associé par (1) vérifie: uîhi+u2h2± = c (2)

Les deux dernières équations forment un système linéaire aux inconnues uJ.,ub,

h2c hIC [hl h2)dont la solution est uî = - - , ub, = - où w = det , 1

W W hl h2

La solution générale de (L) s'écrit:

('t c(u)t>-> ahl(t) + bh2(t) +.Jû) w(u) (hl(U)h2(t) - h2(U)hl(t)) du

3, Méthode ramenant à une équation du premier ordre

Théorème:

t.8 Si <pest une solution de (H) ne s'annulant pas sur J, il existe une équation

linéaire du premier ordre (LI) (resp. (H')) telle que, pour tout] E C2([, iK),]

est solution de (L) (resp. de (H)) si et seulement si gl dérivée de 9 =] est<p

solution de (LI) (resp (HI)) sur I.On retiendra que le changement de fonction inconnue défini par x = y <p

ramène à la résolution d'une équation du premier ordre en z = y'.

JkiF Cette méthode a été exposée dans le cadre des équations à coefficients constants

(Analyse 1,chapitre XI, propriété 11).

Le calcul est strictement identique:

] est solution de (L) (resp. de (H)) si et seulement si h = gl est solution sur Ide:

1 ( <pl (t)) c(t)z + z a(t) + 2 <p(t) = <p(t) (resp, = 0)

360

"--~"",,,,~-

Travaux pratiques


ex:§mpl~ 8n-cl'une série entière

les solutions développables en série entière de l'équation différentielle(H) : txll + 2Xl - tx = 0

déduire les autres solutions.1

• 1) Soit L antn une série entière de rayon p> 0 et de sommeJ.n~O

J est solution de (H) sur J- p, p [ si et seulement si :+x +x +x

'ri t EJ- p, P [, L n(n - l)antn-l + 2 L nantn-l - L antn+l = 0n=O n=O n=O

+x

soit al +L [en + 2)(n + 3)an+2 - an] tn+l = 0n=O

ou encore al = 0 et 'ri n ~ 0, (n + 2)(n + 3)an+2 - an = 0 (Ji)

La relation (:zR) et le critère de d'Alembert donnent p= +x. Donc la somme d'une série entière

dont les coefficients vérifient (Ji) est solution de (H) sur R

Î\

De (211),on déduit 'ri nE!\!, a2n+l = 0, a2n = (2n + 1)) (avec Î\= ao).

Ainsi les solutions de (H) développables en série entière sont les fonctions:

+x t2n sh t

f\ : t f-'>Î\ L (2n + 1)! c'est-à-dire f\(t) = Î\ -t-'n=O

. 2) L'équation (H) satisfait aux conditions du théorème de Cauchy-Lipschitz-linéaire sur les

intervalles J - x, O[ et JO, +x[.Transformons (H) par le changement de fonction inconnue défini sur J - x. O[ ou sur JO, +x [

sh tpar x= y-t-.On trouve que x est solution de (H) si et seulement si yi! sh t + 2y ch t = 0

Î\ ch t ch t sh td'où on déduit yi = -2- . Y= a-h t + b puis x= a-t- + b-.-sh t s t

x ~x ch t sh tLes solutions de (H)sur [Fg+ ou sur c~_ sont: t f-'> a-t- + b-t- (a.b) E

sh tOn vérifie que les solutions sur R sont: t f-'> b-t-,

exemple 9

I~)Trouver les solutions de l'équation différe.ntielle (H,) : t2x// - 2e x + 2x = 0 de laforme t f-'> Itl"', CiE R

2) En déduire la résolution de (L) : t2:/1 - 20/ + 2x = t4 cos t - 1.

• 1) (H) est une équation d'Euler. Elle vérifie les conditions du théorème de Cauchy-Lipschitz-

1 linéaire sur les intervalles Il =J - x, O[ et h =JO. +x[.


On trouve que sur chacun de ces intervalles, les solutions de la forme suggérée par l'énoncé

sont t è--3> 1 tl et t è--3> 1t12. On en déduit que les fonctions hl : t è--3> t et h2 : t è--3> t2 sontsolutions de (H) sur IR (et a fortiori sur h et 12)'

2) La méthode de superposition des solutions, (voir Analyse l, chapitre 11, propriété 9), peut

s'appliquer avec pour seconds membres CI = -1et C2 = t4 cos t.

1L'équation (LI) associée à q admet sur !}~ la solution t è--3> -"2'Pour l'équation (Lz) associée à c2, appliquons la méthode de variation des constantes.

On trouve 1 hl h2/ = t2.h~ ~

Pour tout f E C2(Ik' IR), k = 1ou 2, il existe un unique couple (u, v) E CI(Ik' IR) tel que

f = uhl + Vh2 ,1' = uh~ + v~ etf est solution de (Lz) sur 1k si et seulement si :

tul + t2d = 0 , ul + 2td = t2 cos t

On en déduit successivement:

ul = - t2 cos t d = t cos t

u = - t2 sin t - 2 t cos t + 2 sin t+ À , v = t sin t + cos t+ fL

f(t) = 2tsin t - t2 cos t+ À t+ fL t2

1D'où les solutions sur 1k, k E {1, 2} : t è--3>À t+ fL t2 - "2 + 2t sin t - t2 cos t.

On pourra vérifier que ce sont aussi les solutions sur IR. Donc l'ensemble des solutions de

(L) sur IR est aussi un sous-espace affine de dimension 2 de C2(1R, IR), ce que ne permet

pas de prévoir le théorème de Cauchy-Lipschitz.

exemple 10 ~

Soit! un intervalle de IR,p E CoU, Ili), q E C°(I, [k;), (E) : ~t+ py + qy = O.

1) Soitf une solution non nulle de (E) sur 1, montrer que l'ensemble des zéros de

lest fini (éventuellement vide) ou dénombrable.

2) Soitf et 9 deux solutions de (E) sur 1 telles que:

'if XE 1, WCf, g)(x) = 1 ~((X)) g~X)1 = 0f x 9 (x)

MQlltrer que le système Cf, g) est lié .

• 1) Montrons que Z = {x E 1/f(x) = O} est vide ou formé de points isolés.

Supposons Z ,,=0 et soit XO E Z (donc f(O) = 0). Si XO est point d'accumulation de Z, il

existe une suite (Zn)è\j de points deux à deux distincts de Z telle que XO = lim Zn et on an-++co

fl() l' f(zn) - f(xo)alors: XO = lm -----n-dCO Zn - XO

Ainsif(xo) = o,1'(XO) = 0 et par unicité pour le problème de Cauchy en xo,f est nulle, ce

qui est exclu. Le point XO est donc isolé.

On en déduit que pour tout intervalle compact [a, b] cI, Z () l est fini (ou vide).

(en effet, s'il était infini, il admettrait un point d'accumulation XO d'après le théorème de

Bolzano-Weierstrass, et par continuité def sur [a, b] cI, on auraitf(xo) = 0)

Or 1est réunion finie ou dénombrable d'intervalles compacts [a, b], donc Z () 1est dénombrable ou vide.

362

2)

•


Premier cas: I est un intervalle compact [a, b]

Si Z Îl I est non vide, il existe une subdivision (ale)ooSleoSn de [a, b] (ao = a, an = b) telle

que Z Îl I c {aic/O ~ le ~ n},1

Sur Ile = ]ale, alc+l[, 9 est solution de !l - j- y = 0 d'où 9 = Ale j, (AIeE IK).

Par continuité de 91 etf en ale, on obtient AIe-l f (ale) = Ale f(aiJ pour tout le E [1, n-l]j étant non nulle,f(O) = 0 exige f (ale) 1= 0 donc AIe= AIe-l

Ainsi il existe AE IK,\;/ le E [0, n - 1], AIe= 1 d'où 9 = Aj.

Ce résultat est évident si Z Îl I est vide.

• Cas général

Le premier cas montre qu'il existe AE IK tel que, pour tout [a, b] E l, 9 = Aj sur [a, bl

Il en résulte clairement 9 = Aj sur I.

II - Equations non linéairesThéorèmes de Cauchy - Lipschitz

Théorèmes:

t.g Théorème de Cauchy - Lipschitz d'ordre un

Soit il un ouvert de etj : il--;-[R;une application de classe el,

Pour tout point C\'{), yo) de il, l'équation différentielle d'ordre un(E) : yi =j(x, y) admet une unique solution maximale <.? : I -"2 vérifiant

'P (X{)) = yo, l'intervalle I est ouvert.

t.10 Théorème de Cauchy - Lipschitz d'ordre deux

Soit il un ouvert de etj: il-"2 une application de classe el,Pour tout point (XO' Yo, yS) de il, l'équation différentielle d'ordre deux(E) : yll =j(x, y. yi) admet une unique solution maximale 'P : I-"2

vérifiant 'P (X{)) = Yo, (/ C\'{)) = yS, l'intervalle I est ouvert.

~ Les démonstrations de ces théorèmes sont hors programme.

Remarques

1) Rappelons qu'une solution <.? : I -:=i de (El : yi = j(x. y) avec j E elen.:R) vérifie

pour tout x El: (x, 'P(x)) En et ,/ (xl = j (x. <.? IXi) . Donc <.? est de classe e2 sur I.

Cette remarque s'applique aussi à l'ordre deux où on obtient <.? de classe e3 sur I.

2) Dans le cas de l'équation (E) : yi = jfx. yJ avec jE elm. :=i), par tout point C\'{). YO) de

il «passe »une solution et une seule, les courbes intégrales ne se coupent donc jamais.

Dans le cas de l'équation (E) : yf = jex. y. yi avec j E elm. :=i), par tout élément

(X{). Yo. yS) de n, (appelé élément de contact), ::passe une solution ; deux courbesintégrales passant par le point C\'{). yO i ont des tangentes distinctes en ce point.

3) L'ensemble (Ix. y) Eil /j(x. yi = O} est le lieu des points à tangente ii horizontale) des

courbes intégrales de (E) : y = j(x. y).


Pour obtenir une équation de l'ensemble des points d'inflexion, annuler:

363

••

1 aj ajy = -d' (x. y) +j(x, y)-a (x, y) = 0x y

La représentation graphique de ces deux ensembles permet de dessiner les courbes

intégrales à l'aide du signe de !ci et de yi.

4) Lorsque la fonction nulle est solution de l'équation:

(E) : y =j(x, y) avecj E Cl(Q, IR), pour toute autre solution CI, cp) :'if x E J,f(x) et O.

(E) : yi =j(x, y, y) avecj E ClCQ,IR), pour toute autre solution CI, cp),

( 1 \'if x E J, j(x),f (x)) et (0, 0).

S) Si n= R2 et y :]a, b[ -IR; est une fonction croissante, solution maximale de (E) :

yi =j(x, y), alors lim y(x) = +X.x-bx<b

En effet, envisageons le cas d'une limite finie e = lim y(x), (seule autre possibilité pourx--+b

x<b

une fonction croissante), alors y admet un prolongement dérivable en b par y(b) = e,

yi (b) = j(b, e).

Comme (b, e) E n, (ici n=1R;2), la solution maximale z : J -R de (E) passant par (b, e)

prolonge strictement y , ce qui est contradictoire pour une solution maximale.

6) Dans tout ce qui suit, pour simplifier le langage, on convient que l'expression: cp est

solution de (E), signifie en fait que: cp est solution maximale de (E).

Exemptes - Travaux pratiques

exemple 11

Etude de l'équation différentielle (E) : y = sin y.

1) Déterminer les solutions constantes de (E) et montrer que les autres solutionssont strictement monotones.

2) OIl considère la solution cp: R_R vérifiant cp (0) = ;.

Mqntrer que cp(x) ='17 - cp(-x).

Tro1.lver l'expression de cp(x) ; retrouver le résultat précédent par le calcul.

Dessiner sa courbe crs. A-t-elle un centre de symétrie?

3) Mq;ntrer que toutes les courbes intégrales non rectilignes sont isométriqt1e~à(~,

• Le théorème de Cauchy - Lipschitz d'ordre un s'applique: j :R2 -IR. (x, y) >-'> sin y

j est de classe CI Nous venons de montrer que toutes les solutions maximales sont définiessur R.

1) Solutions constantes de (E) Yk: R-IR, x >-'> k'17 (k E Z).

Pour toute autre solution, sin y ne s'annule pas, (les courbes intégrales sont deux à deuxdisjointes, cf. Remarques 2) ).

Chaque courbe est tracée dans une bande: k '17< Y < (k + 1) '17.

2) Comme cpl (-x) = sin cp (-x) = sin ['17 - cp (-x)]], la fonction e : iR1-1R, x >-'> '17 - cp (-x)'17

est aussi solution de (E) et vérifie e (0) = 2"' L'unicité d'une telle solution exige e = cp.


_______________________Til~ _D'après 1), la fonction cpest à valeurs dans

]0,7T [.

D'où le calcul:

1 ( )1

cp CP. cp

1= sincp = tntan2 tntan2=x

cp(x) = 2 Arctan eX

iS

o x

1 7T

Avec Arctan Li = 2 - Arctan u pour u> 0, on obtient cp(-x) = 7T - cp(x).

( 7T)Le point A 0, 2 est centre de symétrie de iS.

3) Soit \[F une solution quelconque, il existe p E ~ tel que \[F (IR) c]p TI, (p + 1) 7T [ et le calcul

montre qu'il existe a E IR tel que \[F (a) = p TI + ;.Par unicité pour le problème de Cauchy:

• si p est pair (p = 2k), \[F est la fonction x f-i> 2k TI + Cf (x - a),

• si p est impair (p = 2k + 1), \[F est la fonction x f-i> 2k TI + TI - Cf (x - a).

On en déduit que iS,±" courbe intégrale de \[F, se déduit de '€, soit dans une translation de

vecteur aT + 2k TI ), soit dans le produit d'une translation de vecteur aT + (2k + 1) 'Ti )

et de la symétrie par rapport à Ox.

exemple 12

1 Décrire les courbes intégrales de CE) : Y = Arcsinxy .

• ['Ti 'Ti] 1La fonction Arcsin : [-1. 1] ~ - 2' 2 est continue, bijective. impaire, de classe e sur

] - 1, 1[. Le signe de Arcsin.\.y est celui de xy.

Ecrivons (E) : yi = f(x, y) avec f : D-IR, (x, y) f-i> A.rcsin.\.y, D étant l'ouvert de }il'" défini par

Ixyl < 1.

Le théorème de Cauchy - Lipschitz s'applique if est el sur D).

Pour tout (XO, Yo) E D, il existe une unique solution maximale: ç : J -2, vérifiant Cf (XO) = Yo,

J est ouvert.

1 )La fonction nulle est solution de CE) sur 2. Toute

autre solution ne s'annule pas (Remarques 4) ).

Soit cp : J ....-,.IR l'une d'elles; alors - cp est solution

sur J (symétrie par rapport à (Oy).

\[F: x f-i> cp(- x) est solution sur - J, avec

-J = {x E IR I-x E I} (symétrie par rapport à Ox).

Si ° E J, la fonction Cf est paire; en effet. les courbes

f\de Cf et de \[F ont un point commun lO. ç (0)), elles

co'rncident donc (Remarques 2) ).

À.y.

~

.~./'-. T )

-_/()~'"-. 01 '.

1

,,! x';"~ ----<' j "> //-

.~./

1~


2) Le lieu des points à « tangente horizontale » est l'axe Oy ; yi a le signe de KY.1

Les courbes ont une concavité constante car dl == JY + KY a le signe de y qui ne1- x2y2

s'annule pas (Remarques 3) ).

b' r ---Yo r - C/1'" ,-_1 1 1 _

xXDblYo

y

o

Toute solution non nulle est définie sur un intervalle] - b, b[

avec b E IR,elle admet un prolongement dérivable sur [- b, b],

elle est paire.

Soit 'P une solution sur la, b[.

Supposons 0 il la, b[. Quitte à remplacer 'P par - 'P eVou 'P

par 'li': x ~ 'P (-x), on peut supposer ° < a ° sur

la, b[ (b E IR+).

Alors on a 'PI> ° sur la, b[ ; 'P est strictement croissante. En supposant a:3 0, on constate

que 'P est prolongeable sur [a, b[ par une fonction de classe CI sur [a, b[ et vérifiant (E) sur[a, b[.

3)

Ceci contredit le caractère maximal de 'P, donc 0 E]a, b[ et d'après 1), 'P est définie sur

] - b, b[ et paire.

Soit maintenant, XO E]O, b[ et yO =='P(XO)·

1 1Pour tout x de ]XO, b[,on a KYo < x 'P (x) < 1 donc x < - et b est fini: b ~ -

Yo Yo

1'P est croissante et majorée par - sur ]XO, b[, il existe donc bl == lim 'P (x). Le point

XO x~b

(b, b/) n'appartient pas à D sinon 'P serait strictement prolongeable par la solution maximale1 TI

passant par (b, b/) donc bl == -b et lim 'PI (x) == -2 .x~b

exemple 13 _

I(E):.~= tan y. Thouverla solution qui vérifie y(l) == : •

• Pour appliquer le théorème de Cauchy - Lipschitz, introduisons l'ouvert D de 1R2 :

D==]O,+oo[x ] - ;, ; [. L'application]: D-R (x, y) ~ _ta_;_yest de classe CI.

L'équation (El): d == ta; y admet une unique solution maximale 'P: J -+IR vérifiant 'P(1) == :

et {(x, 'P(x)/x E I} cD.

La détermination de 'P ne pose pas de problème:

(sin 'P) 1 [1 .]\;f X E J, -x- 1 == x2 x 'P cos 'P - SIn 'P ==°

il existe donc un réel il. tel que sin 'P ==il. x, et 'P (1) ==: donne

x

d'où 'P(x) == Arcsin V2 ce qui exige J c]O, V2[.x 1

Il est facile de vérifier que [0, V2[--+R x ~ Arcsin V2 est solution de (E) avec 'PI (0) == V2'


tanyLes solutions de l'équation (El) : yi = - x

] 7T 7T[sur!Y =] - 00, O[x - 2' 2 s'obtiennent de la

même façon: y = Arcsin Àx,

Une telle solution prolonge la fonction '1' précédente si et

1seulement si À= h

-V2

4Y2 j ----1

x

x

(y ~ À x et '1' (x) x.:::. 0 h)x--;-o

Conclusion: la solution maximale de (E) vérifiant y(l) = ; est:

xy: ] - h, h[-[R{, x 1-7 Arcsin h

y(O) = 1. yl(O) = O.

exemple 14 _

~: yyll = 1+ y12. Trouver la solution de (.E) sur [R{ qui vérifie1 En déduire toutes les autres solutions de (E) .

• 1) Remarques sur l'équation (E)

Soit y : l --+[R{ une solution de (E), alors x 1-7 --y(x) , X 1-7 y(x- IJ.) et x I-7À y ( ~ )

sont aussi des solutions. Observons que, d'après (E), y ne s'annule pas, on est en fait

.,. d Il 1 + y2ramene a resou re y = -2-'

2) Application du théorème de Cauchy - Lipschitz d'ordre deux19

Avec l'ouvert 0= [R{ x [R{x x ];g de [R{3 et la fonctionj: D-R, (x, y. yi) 1-7 1 +yy ~,

de classe el sur D, pour tout <-'<o. Yo, Yo) E D, il existe une unique solution maximale de12

(E) Il 1+ y . 'f' t·) 1 (. 1: y = --y-, ven lan cplxa = Yo, cp -'<0) = Yo'

Il est visible que la solution demandée est x 1-7 ch x, définie sur E, donc, d'après les

remarques préliminaires, toute fonction:

est solution sur E

(-'<o. Yo· Yo) E D

Yo ArgshyoIJ.= -'<0 -- r----

, '2V' 1+ Yo

par identification, on constate que pour À= ~ et, 19

VI + yo-

la fonction 'lJtÀ'f-l vérifie aussi 'lIÀ.f-l (XO) = Yo et 'lI~'f-l <-'<0) = !lo'

Donc par unicité pour le problème de Cauchy, on a cp='lI".f-l et cp est solution sur ~,

. x- IJ. px'lJtÀ.f-l' X 1-7À ch -À- (ÀE cù, IJ.E

Soit alors cp la solution (maximale) telle que:

cp(XO) = yO ' <i/ <-'<0) = Yo


À.

\;fxE]b,c[,<p(x)= , et

exemple 15 _

Soit l'équation différentielle (E): Yi/ -2y/2-1' = 0, <p:1 --!-IR\ une solution maximale

non nulle et Z = {x E Il <p(x) = O} l'ensemble des zéros de <p.

l) Montrer que si Z est non vide, c'est un intervalle fermé.

Pour ce faire, vérifier, en considérant .fub ('P<pl)' que, pour tout couple (a, b) E Z2,on a [a, b] c Z.

1

2) En utilisant 'l'= ~, relever une contradiction. Qu'en résulte-t-il pour~.?cp

3) Donner toutes les solutions de (E) .

• 9' j.b /2 '2 [ 1]b1) <p étant solution de (E) sur 1, on a (cp<pl)' = <p~ +3 cp 2 donc a <p +3 <p = <p<p a = O.

<p2 +3 c.p'2 étant continue positive, il en résulte 'P2 +3 'P'2= 0 et donc 'P= 0 sur [a, b]. Ainsi,

[a, b] c Z, et Z est un intervalle.

Z est un fermé de 1car c'est l'image réciproque de {O} par la fonction continue 'P.

2) Puisque 'P est non nulle, on a Z '* 1et l'un des deux intervalles complémentaires de Z dans

1 est non vide. Par exemple, b = sup Z < sup 1 = C et alors \;f x E ]b, C[, c.p(x) '* o.

. . 2. 'l'I (x)On en dedult que \;f XE ]b, C[, 'l'I (x) ='l' (x) + l d'ou 2 = 1'l' (x) + 1

et il existe /-l réel tel que Arctan'fl (x) = x- /-l donc 'fi (x) = ~(~} = tan(x- /-l).

Finalement, il existe À. réel tel que:

] 'TI' 'TI' [X-/-lE -2'2

À.

Z étant fermé dans 1, on a b E Z donc <p(b) = 0 et lim ( ) = 0,x~b cos x- /-lxob

ce qui est évidemment impossible. En conclusion, Z = O.

3) Le calcul précédent fournit la solution générale de (E) :

] 'TI' 'TI' [ À.

/-l-2' /-l+2 --!-IR\, x ~ --.-

Les exemples précédents font apparaître dans l'étude de l'équation différentielle des

étapes précises; essayons de les distinguer dans le paragraphe suivant.

Plan d'étude d'une équation différentielle d = (x, LI)

1) Remarques sur l'équation elle-même

• reconnaître un type classique (équation incomplète en x ou en y, homogène, de Bernouilli, de

Riccati ... )

• signaler les solutions qui se déduisent d'une autre, (x ~ y(x- /-l) x ~ y(-x) ,

x ~À. y ( ~) ... ) ainsi que les transformations géométriques correspondantes liant lescourbes intégrales, (translation, symétrie, homothétie· .. )

• Appliquer le théorème de Cauchy - Lipschitz en précisant un ouvert il de 1R\2 sur lequel

(x, y) ~ f(x, y) est de classe el. La frontière de il donne les points éventuels de raccordement.


2) Calcul

Au besoin en se limitant à une résolution locale de façon à ne soulever aucune difficulté théo

rique, appliquer la méthode (exposée en Analyse 1)associée au type de l'équation différentielle.

3) Premier bilan

• A l'aide du calcul précédent, présenter des solutions de (E).

• Indiquer les solutions qui s'en déduisent (synthèse de 1) et 2)).

4) Analyse

• En considérant une solution <p:l -IFR de (E), déduire de l'étude précédente des propriétés

de <p.Si l'étude est assez fine, on est en mesure de cerner d'assez près toutes les solutions

possibles du problème.

5) Synthèse

Présenter toutes les solutions maximales.

6) Courbes intéqrales

Dessiner une courbe intégrale de chaque type rencontré en 5).

Les lieux des points à tangente horizontale et des points d'inflexion peuvent être utiles au tracédes courbes.

7) Résolution du problème de Cauchy

En chaque point (XO, YO) du plan, indiquer les courbes intégrales qui y passent (utiliser 1), 5) et

6)).

Remarques

• La séquence 1),2),3) ne constitue qu'une résolution partielle de l'équation.

• L'analyse 4) est souvent délicate.

• L'étude de certaines équations se fait parfois sans résolution, les étapes 1),4),6) sont seulesconcernées.

exemple 16 ~

~ s'inspirant du plan d'étude précédent,1 étudier l'équation différentielle (E) : x2y' + i = 2_<y .

• 1) Remarques sur l'équation elle-même

(E) est une équation homogène; c'est aussi une équation de Bernouilli.

La fonction nulle est solution sur M, ainsi que l'identité x f--'> x.

(x)Si y : l --+IFR est une solution, pour tout ÀE ~x. x '--'7À y )\. est aussi solution de (E).

La famille des courbes intégrales est invariante par homothétie de centre O.

Théorème de Cauchy - Lipschitz

. * ~ 2,\.1} - l ..Il s'applique sur l'ouvert n= IFR+ x IR avec J: D-:t. (x. y) '--'7 9 ,ainSI quex-sur ni = IFR=- x IFR.

Puisque si y est solution de (E), X '--'7 -y( -x) est aussi une solution, on peut se limiter à l'étudesurn.

2) 4) Calcul et analyse

Soit y: l -IR une solution non nulle de (E)

?

1 2,\.1} - y- sur l c JO. +x[.y = x2


x

y

I=]O,v [

i =]0, +oo[

1=] /-L, +x[

sur IR, x f-'> 0 , X f-'> X , X f-'> { X ~ 1 si x ~ 0o si x? 0

2 {O si x ~ 0sur] - 00, 1[, x f-'> ~,x f-'> x2x - -- si 0 ~ x ~ 1x-1

2xsur ]1, +00[, x f-'> x _ 17) Résolution du problème de Cauchy

Soit Mo = (XO, Yo) un point du plan.

Si XO = yO "* 0, Mo est sur la droite y = x, seule courbe intégrale passant par Mo.

Cherchons où doit se trouver Mo pour qu'une fonction YiL du type (M) soit solution au problèmede Cauchy en Mo. Les conditions sont:

x5 XO(YO - XO)Yo = -- et 0 </-L< XO donc /-L= ----- et Yo > 0

XO+/-L ~

La même étude peut se faire pour chaque type de solution.

A une homothétie de centre 0 près, les solutions maximales de(E) sont:

Alors la fonction t: l -7[J;t X f-'> y(x) est dérivable.x

y = xt , yi = xtl + t = 2t - ? xtl = t(l - t)Le théorème de Cauchy - Lipschitz s'applique à nouveau sur n pour l'équation différentielle

(Et) : e = t(l - t)xLes fonctions constantes tl : x f-'> 0 et t2 : x f-'> 1 sont solutions de (Et) (donc (E) admet lessolutions YI : x f-'> 0 et Y2 : x f-'> x qui sont définies sur IR). Pour toute autre solution, toujoursd'après le théorème de Cauchy - Lipschitz, t(l - t) ne s'annule pas, le calcul se poursuit:

1 e e tl

x = t(l - t) = T + 1- tt x x

il existe un réel À non nul tel que 1 _ t = 1\ donc t = x+ À'

Distinguons les trois cas possibles:t x x x2

L) : 0 < t < 1, 1 _ t = 1\ avec À> 0 , t = x+ À YI.. = x+ À

t x x x2

M) : 1 < t , -t 1 = - avec /-L> 0, t = ~- YiL = --- /-L x- /-L x- /-L

-t x x x2

N) : t < 0 '1 _ t = v avec v> 0 , t = x- v Yv = x- vEtude des raccords en x = O. Seuls les cas (L) et (N) sont candidats.

Les fonctions YI.. et Yv admettent un prolongement dérivable y(O) = 0, d (0) = 0 (courbestangente en 0 à Ox).

Les solutions définies sur un intervalle de] - x, O[ se déduisent des précédentes par

x f-'> -y(-x) (symétrie par rapport à 0), celles qui se prolongent en 0 se raccordent avec unequelconque des solutions YI.., Yv ou y = O.

5) 6) Synthèse et courbes intéqrales2

Dessinons l'hyperbole Cf:; : y = ~1x-dont les branches sont des courbes intégrales.

370

Exercices-types

Précis d'Analyse 1/

10. 1

Soit q E CO([O, +x[, IFR) telle que rx Iql.10

converge.

1) f étant une solution bornée sur [0, +x[,

de (L) : !JI + qy = 0, étudier limf.+,x

2) Montrer que (L) a des solutions bornées.

Ex. 10.2

Résoudre l'équation différentielle (H) :

X2!J1 - 4xyl + (x2 + 6)y = O.

Quelle est la dimension de l'espace vectoriel

des solutions sur IFR?

Ex. 10.3

[4 0 2 0]

o 4 0 2Soit A la matrice 2 0 4 0

o 2 0 4

1) Résoudre le système différentiel

dxdt =AX (1)

2) Calculer exp A.

Ex. 10.4 ŒiJ

Soit <p:IFR-+IFR-+Ju'n (!FR) dérivable sur LS.Démon

trer l'équivalence des propriétés suivantes:

(i) <p(0) = ln et V x E!FR. <pl (x) = <pl (0) Y (x).

(ii) V (x, y) E 1FR2, <p (x + y) = <p (x) y (y) et

V x E IFR,det[<p (x)] oF O.

Ex. 10.5

Soit (E) : yi = ~ + x et soitf la solution maxi

male telle quef(O) = O.

1) Montrer quef est développable en sérieentière.

2) Montrer quef est définie sur un intervalle

majoré.

Ex. 10.6

(E) : yi = ~ + x. Courbes intégrales.

1) Dessiner le lieu des points à tangenteshorizontales et celui des pointsd'inflexion.

2) Dans chaque région délimitée par les

courbes précédentes, indiquer le signede yi et de !JI.

3) En déduire le tracé des courbes intégrales.

Ex. 10. 7

1 x+ Y(E): y = --.x-y

Trouver la solution maximale vérifiantf(O) = O.En déduire les autres solutions.

Reconnaître les courbes intégrales.

Ex. 10. 8

(E) : _,-yi = 1 - 1.1) Symétrie des courbes intégrales.

2) Déterminer les solutions maximales définies sur l cLS:.

3) En déduire toutes les solutions de (E).

Ex. 10.9

(E) : yi + .'-y + y2 = O.

1) Montrer qu'aucune solution ne s'annnulesauf une.

2) Exprimer toutes les solutions positivesde (El.

3) Etudier les branches infinies des courbes

intégrales.

Ex. 10. 10

Soit y : l -LS la solution de l'équation dif

férentielle (E): 2!J! = 1 - 31 telle que

ylO! = O. !/(Oi = O.

1) Justifier son existence et vérifier que y

est une fonction paire,

2) Décrire cette solution lorsque x E [O. a]

. /.1 .. duou a= .~~··0 vw1-

3) Montrer que y est définie sur LSet périodique,


Indications

Ex.

Chercher les solutions développables en sérieentière.

1) Montrer d'abord que liml existe.+rx;,

2) Supposer que YI et Y2 sont deux solu

tions bornées et étudier z = YiY2 - Y~YI

Ex. 10. 8

Equations à variables séparables.

Ex. 10. 7

Exploiter le théorème de Cauchy - Lipschitz;

introduire t = }L.xUtiliser des homothéties de centre O.

Reconnaître l'équation polaire des courbes in

tégrales.

3Ex.

2) Exprimer de deux façons la solution aux

conditions initiales xl (0), X2(0), X3(0),

X4(0).

10. 4

Utiliser les propriétés de l'exponentielle de ma

trice vues dans le chapitre VIII.

Ex. 10.5

1) Procéder par identification

(~ anxn) 1 = X + (~ anxn) 2n=ü n=ü

et vérifier que la suite (an)i\j est bornée.

2) Si x ~ 1, il ~ ~ + 1.

Ex.

Appliquer le théorème de Cauchy - Lipschitz.

Reconnaître une équation de Bernouilli ;

1poser z = -.

Y

Ex. 10. 10

1) Appliquer le théorème de Cauchy - Lipschitz d'ordre deux.

Considérer la fonction x >--'7 y(-x).

2) Multiplier les deux membres de (E) par

yi

3) Etudier la fonction



1) Pourtoutx~O,onaf(x)=f(O)+ rfl=f(O)- rqf ..Jo .Jo

Posons M = Iif II~:+:;O[,alors, V x E [0, +00[, 1 q(x)f(x) 1 '-S M Iq(x)1

donc la convergence de 1+00 Iql donne celle de l+x Iqfl ,

et il en résulte que lim t" qf existe, donc qu'il existe e= lim,l.x----:- + cc' Jo +CX)

Notons maintenant que V x ~ OJ(x) =f(O) + rl..Jo

Si e était non nul, on aurait x.!.i:~"0 .fox l = ±oo (avec le signe de e) etf serait non bornée.

Donc e= liml = O.+cx:.'

2) L'ensemble @L des solutions bornées de L est un sous-espace vectoriel de SeL).

Si YI et Y2 sont deux éléments de (@Û on a YI Y2 - Y~ YI = 0 c'est-à-dire (Y~ Y2 - Y~YI i = O.

On en déduit que YlY2 - Y2Yl est constante sur [0, +x[, or d'après le 1), lim Y~Y2 - Y~Yl = 0,+xdonc cette constante est nulle.

Ainsi, on a sur [0, +00[, Y~Y2 - Y~Yl = 0 et le couple (YI, Y2) est lié.

On en déduit dim @L'-S 1, donc SeL) \:zAL est non vide, c'est-à-dire qu'il existe des solutionsnon bornées.

Ex. 10.2

L'équation (H) vérifie les conditions du théorème de Cauchy-Lipschitz-linéaire sur les intervalles

h = ] - 00, O[ et I2 = ]0, +00[.

Chacun des espaces Sle(H) : ensemble des solutions de (H) sur Ile, (k = 1ou 2), est de dimension

2. Cherchons les solutions développables en série entière.

Soit L anxn une série entière de rayon p> 0 et de somme f.n~O

f est solution de (H) sur ]- p, p [ si et seulement si :+x +x

V X E]- p, P [, L(n - 2)(n - 3)anxn + L anXn = 0n=O n=O

donc si et seulement si ao = 0, al = ° et V n ~ 4, (n - 2)(n - 3)Œn + Œn-2 = 0 (d'L).

De la relation (d'L) on déduit: p= +00 et

\-1 "" 1 _(l)n-l Œ2 _ (l)n-l Œ3v n ~ , Œ2n - - (2n _ 2)1 Œ2n+l - - (2n - l)!

Il en résulte que les solutions développables en série entière sont les fonctions:

f =Àfl + fl.f2 (À, fl.) E lRP

+X' 2n +:c 2n+l

'\"" n-l x 2 '. '\"" .n-l X 2 .avecfl(x) = L...,.(-I) (2 2)' = x cosx , f2(X) = L...,.(-I) (1 = X smxn - ; 2n- 1).=1 =1

chacun des couples (1l!hJ2IIk)' (k = 1ou 2), est libre et constitue donc une base de Sk(H).

Ainsi Sle(H) est l'ensemble des fonctions x f-'>À,..? cosx+ fl. x2 sinx (À. fl.) E :;;g2.


On vérifie facilement que toute fonctionf telle que:

f(x) =À. x2 cosx+ fL x2 sinx si x "" 0 , f(x) =À.I x2 cosx+ fLl x2 sinx si x ~ 0

est solution sur R

L'espace SIR(H) des solutions de (H) sur IR est donc de dimension 4, une base en est Cfr,J2,JS,J4)avec:

fl(X) = x2 cosx si x "" 0, fl(X) = 0 si x ~ 0, f2(X) = 0 si x "" 0, f2(X) = x2 cosx si x ~ 0

fs(x) = x2 sinx si x "" 0, fs(x) = 0 si x ~ 0, f4(X) = 0 si x "" 0, f4(X) = x2 sinx si x ~ 0

1) Posons X = [~~]. Le système (1) s'écrit: { x~ = 4XI + 2xsXs Xs = 2XI + 4xsX4

Le système (1') est équivalent à:

{Xl + X3 = 6(XI + xs) c'est-à-direxl - Xs = 2(XI - xs) { Ul = 6ud = 2v (avec u = Xl + Xs , v = xl - xs)

On en déduit u = À. étet Xl = ex e6t + [3 e2t ,

v = fL e2t (À., fL) E 1R2

Xs = ex e6t~ [3 e2t (ex, [3) E 1R2.

On a de même pour le système (1") X2 = 'f e6t+ 8 e2t , X4 = 'f ét_ 8 e2t

2) La solution du système (1) aux conditions initiales Xl (0), X2(0), xs(O), X4(0) s'écrit:

on en déduit

10.4

1 ) (H)

Posons cpl (0) = A E .Mn(lR) ; la fonction vectorielle cp, à valeurs dans l'espace vectoriel

.Mn (IR) (de dimension n2 sur IR), est solution de l'équation différentielle linéaire et homogène

cpl = A cp (1) et vérifie de plus cp (0) = ln.

On sait qu'une telle équation différentielle admet une solution unique, pour les conditions initiales

imposées, de la forme cp: x f-c> exp(xA).

D'après les propriétés de l'exponentielle de matrices (voir chapitre VIII), on a :

\j (x, y) E 1R2, exp (x + Y)A) = exp(xA) exp(yA) et exp(xA) E 52n (IR).

La proposition (ii) en résulte.

374

2)


On a, pour x E 1R1: <p(X + 0) = <p(X) <p(0) = <p(X).

<p(x) étant inversible, pour tout XE 1R1, on obtient immédiatement <p(0) = ln.

Fixons alors x E lR1. On a pour h E lR1 : <p (x + h) = <p (x) <p (h) = <p (h) <p (x)

<p(x + h)- <p(x) <p(h) - ln () <p(h)- <p(0) ()et h = h <p x = h <p x

En passant à la limite lorsque h tend vers 0, <pétant dérivable sur 1R1, on en déduit:

<p' (x) = <p' (0) <p(x)

Ex. 10.5

Le théorème de Cauchy - Lipschitz s'applique en tout point de 1R12, ce qui justifie l'existence et l'unicité

de f : l --+1R1 telle que f(O) = 0 avec l ouvert, (f solution maximale).

1) Considérons une série entière de rayon de convergence p> 0 de somme:+x

9 : J- p, p [ ~1R1,X >-+ ~ anxnn=ü

Examinons les conditions nécessaires pour que 9 soit solution de (E) sur J- p, p [ :+X'

g(O) = 0 , g'(x) = g2(x) + x , ao = 0 , al = 2 , g'(X) = ~(n + l)an+IXnn=ü

et par produit de séries entières: gZ(x) = f ('I3 akan-k) xnn=Z k=l

d'où par identification de séries entières de rayon non nul:

1 1 n-lao = 0, al = 0, az = 2' an+l = n+ 1 ~ akan-k' (n ~ 2)

k=l

Ces relations déterminent une unique suite (an)~,~.

Comme 0 ~ an ~ 1, (par récurrence), le rayon de la série entière ;: anxn vérifie p~ 1 et

le calcul précédent prouve que 9 est solution de (E) sur J- p, p [

D'après le théorème de Cauchy - Lipschitz, f prolonge g, donc f est développable en sérieentière.

2) Supposons l'intervalle l non majoré et exploitons l'inégalité x ~ 1 dans yi = ~ + x.

j' JX j'(t) JXSur [1, xJ el, j'ex) ~ f2(x) + 1, -2-- ~ 1, 9 .' dt ~ dtf + 1 l r(t) + 1 . l

Arctanf(x) - Arctanf(1) ~ x - 1 , x ~ 1 + ;

Ceci exige que l soit majoré. Soit b la borne supérieure de l. Alors limf(x) = +:x.x-bx<b

En effet, f est croissante sur [0, b[ et s'il existe une limite c = limf(x), la solution de (E)x-b.wb

passant par le point (b, c) prolonge strictement f, ce qui est impossible puisque (I,f) estsolution maximale.


Ex. 10.6

Cet exercice prolonge le précédent.

Le théorème de Cauchy - Lipschitz s'applique en tout point de [R;2,les courbes intégrales sont donc

disjointes.

1) Lieu des points à tangentes horizontales: if: y2 + x = 0

Lieu des points d'inflexion: il se déduit du calcul

Il 1 3 .2 1Y = 2yy + 1= 2y + 2xy + 1 ce: x = -y - 2y

La courbe Cf? est une parabole asymptote à la courbe C(i.

En traversant if, d change de signe, de même pour C(i et yll

if et C(S définissent quatre régions, la figure ci-après indique le signe de (d, yll) dans chaque

région.

2) Le tracé des courbes intégrales se fait à l'aide des signes de yi et yll (croisance et concavité).

L:exercice 5 montre que chaque courbe intégrale admet "à droite" à une asymptote d'équationx = b.

10.7

Le théorème de Cauchy - Lipschitz s'applique sur chaque ouvert n: y - x > 0 et ni: y - x < O.

Notons y : l ---+[R; la solution maximale de (E) vérifiant y(ü) = l, tracée dans n et posons

l = l (1] - 00, O[ , II = l (1]0, +x[

1+ td = (xt/ = xtl + t = 1_ t

Sur l ou ll, la fonction t : x ---+ !t est dérivable, le calcul donne:x2

1 1+ txt=l_t

1 1-t.e- = 2x 1+ t

eArctan t

et pour x E II :x = ÀII ~ donc ÀI < Ü et1+ t2

donc il existe j.,l et Àll réels non nuls tels que:Arctan t

Ile

pourxE l :x=À --~--VI + t2


d'oùÀ/=-e~, ÀII=e-~

x

ni

ny

'If

'11.11 e2t(x) x:o x

X>Û

'If-2

1 e ~ xpuis À 1 t(x)1 x_o

x<o

o

De t = Ji, on déduit t(x) ~ 1x x-+O xd'où lim t(x) = -co , lim t(x) = +oc

x_o x~ox<û ~O

Exprimons la solution sous forme paramétrée à l'aide de 6 = Arctan t.

TI TI

En notant que y - x > 0 donne, pour x < 0, t < 1 donc -2 <6< 4' et pour x> 0, t> 1 doncTI TI

4 < 6 < 2' on obtient les paramétrages :

{ ~+e

X = -e: cos 6~+e

y = -e2 sin 6

TI TI--<6<- et

2 4{ e TI

x = e -:: cos 6e- -"y=e 2sin6

TI TI- <6<4 2

lx = _eŒ sin a

y = eŒ cos a

a=6-;TI

-4 <a< 0

Changeons à nouveau de paramètres:

{X = -e'f sin \fl

y = e'f cos \fl

\fl= ;+6 et3TI

0<\fl<4"

0_'. ] TI 3 TI [d'où une représentation polaire de la courbe: M = 0 + é u (\p), \pE -4' 4"

1

où Il (\fl) = - sin \fl T + cos \p j .

Courbes intégrali?s

La courbe de la solution (l, y) est une spirale logarithmique limitée à deux tangentes verticales.

L'équation étant homogène, pour tout ÀE IMx, x >--+ Ày ( ~) est solution de (E) sur

X

lÀ = {x E lM / >:. E I}, en particulier x >--+ -y( -x) est solution sur -l = L l, l'étude sur fi se déduitde l'étude sur n par symétrie par rapport à O.

La frontière commune de net ni est la droite y = x, lieu des points à tangentes verticales des courbes

intégrales (pas de raccord possible).

Noter que le lieu des points à tangentes horizontales est y + x = O.


Ex.

1) (E) est une équation à variables séparables.

Notons l'existence de deux solutions constantes sur !FR: y = 1 et y = -1.

377

Si Y est solution de (E) sur J, z : x f-'> y( -x) est solution sur J' = {x E!FR / - X E I}.

1- 22) La fonction] : (x, y)f-'> --y- est de classe CI sur n= !FR: x !FR,donc le théorème de Cauchyx

1 2- Lipschitz s'applique, sur n, à l'équation (E') : y' = ~. x

Pour tout (X(J, YO) E n, il existe une unique solution maximale de (E') 'P: J -+!FR vérifiant

'P (X(J) = Yo

Pour YO = 1 (ou -1), il ne peut s'agir que des solutions constantes (restreintes à !FR:); les

autres solutions ne prennent donc jamais la valeur 1ou -1., 1

Soit 'P: J -+!FR une telle solution, alors ~ = -1- 'P x

Dans le cas ~ 1<'P< 1,il existe un réel À> °tel que:

1 1+ 'P x"2 en1- 'P= en1\ et

Dans le cas <p<~1 ou dans le cas 'P> 1, il existe f-L>° tel que:

1 -2--2 = 'Pl - avec 'Pl (x) = -2--

x-f-L f-L x-1définie sur ]1, +oo[

x2_ À2

(2) : ]0, +00 [-+ IFR,x f-'> ~X + 1\

x2+ f-L2(3): ]0, f-L [-+IFR, X f-'> ~

x-f-L

définie sur ]0, l[

(x) x2-1= 'P2 1\ avec 'P2 (x) = x2 + 1

(x) x2+1= 'P3 - avec 'P3 (x) = ~

f-L x - 1

y

--n----i~--nn---~

(3)i:

3) Les solutions maximales de (E') définies sur J c!FR"'-- se déduisent des précédentes par

X f-'> y( -x). Les courbes intégrales correspondantes sont symétriques des précédentes par

rapport à l'axe Gy.

Les solutions maximales de (E) définies sur un intervalle K contenant 0 proviennent du raccord

de 'P2 ( ~) ou 'P3 ( : ) ou y = -1pour x> 0 et de 'P2 ( - ~, ) ou 'P3 ( - :,) ou y = -1pour x < ° avec en ° les valeurs y(O) = -1 et 11 (0) = O.


Sans tenir compte des symétries par rapport à Oy, voici les courbes possibles:

__n n n m }l ~ _m nm m nn mll ~

y=-l

--- ------------ y1

!i1

-1

+nn __

x

'P3( -;Jec

Ex. 10, 9

x

'!d-;)ec

o

'P3(~)ec

xy=-l

o

(j;3(~), ec

(E) est une équation de Bernouilli. La fonction nulle est solution sur R

Le théorème de Cauchy - Lipschitz s'applique sur !RiZ:y' = -xy - Jcar la fonctionf: !Riz~R (x, y) >-+ -xy - J est de classe CI sur !RiZ,

Si Y : J ~!Ri est une solution non nulle de (E), alors y ne s'annule pas, De plus, x >-+ -y( -x) est1

solution sur -J (symétrie par rapport à 0), L'équation (E) peut alors s'écrire Y9 + :: + 1 = O.y~ y

La fonction z = ~ est dérivable (Zl = ~l) et vérifie z' - xz = 1 (équation linéaire),

x2 Jé2.x [2

On en déduit z =À e2 + e2 ( e- 2 dt.la

.x t2

Introduisons la fonction 9 : !Ri-1Ri, x >-+ ( e- 2 dt ..la

Elle est impaire, croissante, de classe C''' et bornée:

lim g(x) = rx e- ~ dt = \ /2"x-+x .la V ,- ,-- [11-/ ÎÏ Il

g(C)I= ]-V2'V2

Comme la fonction z : x >-+ ef (ÎI. +g(.>::)) ne s'annule pas sur J, suivant la valeur du réel ÎI., plusieurstypes de solutions de (E) se présentent, décrivons celles qui sont strictement positives,


•SiÀ>~

avecr:;fL=À - V 2 > 0, on obtient une solution sur lR1:

•SiÀ=~ '

hfJ- : x f-7 ·x f2

f1. +.lx e-z dt

est solution sur 1R1.

•r:; r:;Si -y 2 <À< Y 2

Courbes intégrales

avec À= -g(a), on obtient une solution sur] a, +=[ :

Etudions les branches infinies:

-2x

• Toutes ces solutions vérifient y(x) Ke - 2 donc lim y(x) = O.x-----+x' X---':-+X'

• Une double intégration par parties donne:

jx _ f _~ (1 1 ( 1))~e 2 dt = e 2 -;: + 3 + 0 3. -x x xquand x tend vers -DC

d'où ho(x) = -x - ~ + 0 ( ~) : quand x tend vers -:x:;, la droite y = -x est asymptote.

x

Lieu des points à tangentes horizontales: la droite x + y = O.


1) Application du théorème de Cauchy - Lipschitz d'ordre deux:

f: ~3-+R (x, y, y) ~ à (1 - 3y2)

f est de classe el. Il existe une unique solution maximale y : J -+~ vérifiant y(O) = 0 etyi (0) = 0 ; J est ouvert.

Soitt={xE~/-xEI} et z:t-+Rx~y(-x).

On vérifie que z est solution de (E) sur t, avec z(O) = i (0) = 0, d'après le théorème deCauchy - Lipschitz, il en résulte que z = y, t = J.

Ainsi y est une fonction paire.

2) Une première intégration se fait en multipliant par y :2yyl = yi - 3Jy donne y/2 = Y - y3 (car y(O) = yl(O) = 0)

Comme y(l - J) ~ 0, y(I) est un intervalle inclus dans J - cx;, -lJ u [0,1], et puisqu'ilcontient 0, on a finalement y(I) c [0, 1].

Comme yI! (0) = -21, on a y (x) ~ :::2' il existe donc a> ° tel que, pour tout x E JO, a L yi (x) > 0x-+o

et donc1

yl(x)=Vy(1-y2), J Y =1y(1-y2) r yi (t) IoY(Œ) du, Jo --;====- dt = -----;===-·0 Jy(t)(1-y2(t)) . 0 Vu(1-u2) =a

101 duSachant que l'intégrale a = est convergente, on a aoS; a.

o Vu(l- u2)

En choisissant a= sup{x ~ °Iy (t) > 0 pour tout t E JO, xE}, y est croissante sur [0, a [,majorée donc 13=lim y(x) existe.

X---;-Œ

Le théorème de Cauchy - Lipschitz s'applique au point xo =a, Yo =13,y~ = Vf3 (1- (32)doncaE J (ouvert), y se prolonge au-delà de a.Comme a est une borne supérieure, on a yi (a) = 0, y(a) = 1et a= a.Ce dernier point tient à la croissance stricte de la fonction:

jy duh: [0, 1J - [0, a], Y ~ X = h(Y) = _

o Vu(1- u2)

1dérivable sur JO, 1[: hl (Y) = / ; h est une bijection.\ Y(l- y2)

loyiX) du ()Ainsi, pour x E [0, a], y(x) est donné par x = ----==== = h y(x) autrement dit

o Vu(1- u2)

y(x) = h-l(x).Ay

~····~i~·····~10 a 2a x

La fonction y est désormais connue sur [-a, a] (y est paire).

Elle se prolonge au-delà puisque (E) a une solution au point C'CQ = a, Yo = 1, Yo = 0).La fonction z : x ~ y(x - 2a) est solution de (E) (équation incomplète en x) , elle vérifez(a) = y(-a) = y(a) = 1,i(a) = yl(-a) = O.Par unicité du problème de Cauchy en (xo. Yo. y~) = (a. 1, 0), les fonctions y et z sont identiques: y(x) = y(x - 2a).

Ainsi y est définie sur ~ et de période 2a.

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