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Historias de Matemaacuteticas
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo
Precision on Slide Rules
Jorge Luis Victoria Revista de Investigacioacuten
Volumen VII Nuacutemero 1 pp 129minus148 ISSN 2174-0410
Recepcioacuten 1 Octrsquo16 Aceptacioacuten 1 Marrsquo17
1 de abril de 2017
Resumen
Las reglas de caacutelculo logariacutetmicas han sido durante antildeos el instrumento de caacutelculo preferido por ingenieros y teacutecnicos usaacutendose ampliamente hasta el advenimiento de las calculadoras cientiacuteficas portaacutetiles Hoy diacutea las reglas de caacutelculo ya en desuso estaacuten despertando un renovado intereacutes entre grupos de educadores que redescubren sus muchos valores pedagoacutegicos para la ensentildeanza de las matemaacuteticas A su vez las reglas de caacutelculo son un perfecto ejemplo de matemaacuteticas aplicadas y el uso de las mismas en la ensentildeanza puede ser llevado todaviacutea un paso maacutes allaacute complementaacutendolo con estudios sobre el instrumento en siacute mismo Uno de los teacuterminos universalmente asociados a las Reglas de Caacutelculo es el de ldquoPrecisioacutenrdquo sin embargo generalmente fue usado de manera vaga y meramente intuitiva por lo cual merece un estudio maacutes detallado
El presente artiacuteculo expone una breve resentildea de los distintos aspectos que participan del concepto de precisioacuten de una Regla de Caacutelculo Se enfoca principalmente en analizar las particularidades del error de caacutelculo con escalas y su propagacioacuten dada la especial naturaleza de la Regla de Caacutelculo y de su operacioacuten Posteriormente propone una metodologiacutea general para evaluar y comparar desde lo teoacuterico el desempentildeo de distintas escalas utilizadas en las Reglas de Caacutelculo asiacute como evaluar meacutetodos diferentes de realizar el mismo caacutelculo Finalmente el artiacuteculo presenta ciertas conclusiones generales a tener en cuenta al disentildear o utilizar Reglas de Caacutelculo
Palabras Clave Regla de Caacutelculo Instrumento de Caacutelculo Escala Logariacutetmica Caacutelculo Analoacutegico Precisioacuten
Abstract
Logarithmic slide rules have been for years the calculation instrument preferred by engineers and technicians and widely used until the appearance of the pocket scientific calculators Nowadays the no longer used slide rules are arousing a renewed interest among groups of educators who are rediscovering its many pedagogical values for mathematics teaching In turn the slide rules are a perfect example of applied mathematics and their use in education can still be taken a step further complementing it with studies about the instrument itself One of the words universally associated with them
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is ldquoPrecisionrdquo however it was generally used in a vague and intuitive form so it deserves more detailed study
The present article depicts a brief overview on the different aspects that participate of the concept of precision in a slide rule It focuses on studying the particularities about error in calculations with scales and its propagation given the special nature of the slide rule and its operation Later proposes a general methodology to evaluate and compare from a theoretical point of view the performance of the different scales used in slide rules and to evaluate alternative methods for the same computation Finally this article presents some general conclusions to take into account when designing or using slide rules
Keywords Slide Rule Calculating Instrument Logarithmic Scales Analogic Calculation Precision
1 Introduccioacuten
La regla de caacutelculo (RC) de manera geneacuterica nos permite realizar variadas operaciones
matemaacuteticas a traveacutes seleccionar un valor numeacuterico en alguna de sus escalas desplazando la
reglilla o el cursor operarlo con otros valores seleccionados de igual manera en la misma u
otra escala repetir el proceso seguacuten necesidad y finalmente leer el resultado del caacutelculo
tambieacuten en la misma u otra escala
La incertidumbre en las mediciones con instrumentos es un tema ampliamente estudiado
a traveacutes de los antildeos Tambieacuten son de dominio puacuteblico las leyes que describen la propagacioacuten
de errores de datos a traveacutes de foacutermulas matemaacuteticas y su impacto en el resultado final Sin
embargo no parece estar suficientemente documentado lo que sucede en el caso de las RC
La particularidad de las RC estriba en que eacutestas combinan un funcionamiento como
instrumento imperfecto de medicioacuten con su capacidad de realizar caacutelculos y la
correspondiente propagacioacuten de la incertidumbre a traveacutes de los mismos
Exploraremos brevemente el concepto de precisioacuten en las reglas de caacutelculo a traveacutes de
varios ejemplos poniendo el foco en la buacutesqueda de formas praacutecticas de evaluar las RC sus
escalas sus meacutetodos de caacutelculo y de demostrar o rebatir muchos supuestos populares
2 Precisioacuten de una Regla de Caacutelculo
Por motivos histoacutericos en el uso del vocablo y la particular naturaleza de la Regla de
Caacutelculo (RC) en este texto utilizaremos simplemente la acepcioacuten amplia y coloquial del
teacutermino ldquoprecisioacutenrdquo como la posibilidad de obtener resultados precisos y exactos en los
caacutelculos con este instrumento
A continuacioacuten veremos los grandes factores que afectan la precisioacuten final en un caacutelculo
realizado con RC
21 Precisioacuten Constructiva
El primer elemento a tener en cuenta es la precisioacuten constructiva de la regla Soacutelo lo
introduciremos brevemente sentildealando sus elementos principales
- Construccioacuten soacutelida y estable
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- Bajo y uniforme rozamiento para una colocacioacuten precisa de los valores
- Estabilidad del cursor y deslizamiento suave
- Perfecta alineacioacuten entre las escalas de las diferentes partes del cuerpo de la regla la
reglilla y en el frente y reverso de las mismas
- Perfecta verticalidad del trazo del cursor y sincronizacioacuten entre caras
- Exactitud de las escalas
- Legibilidad de las escalas y facilidad de interpolacioacuten visual
22 Precisioacuten Operativa
Supongamos que hablamos de una regla ideal con una perfecta calidad constructiva
Luego la precisioacuten en un caacutelculo vendraacute dada por varios factores operativos principales
- La habilidad manual y visual del operador para colocar y leer valores en la regla
- La capacidad del operador para interpolar correctamente valores no marcados
directamente en las escalas
- El rango de los valores y resultados Al involucrar el caacutelculo escalas no lineales la
precisioacuten lograda no es la misma para todos los valores
- La acumulacioacuten de los errores en el encadenamiento de caacutelculos
Para cada uno de estos factores constructivos y operativos los fabricantes han tratado de
producir RC que faciliten su reduccioacuten El principal elemento no mecaacutenico de disentildeo de una
RC son sus escalas por lo tanto estudiaremos la forma teoacuterica en que las escalas afectan o
limitan la precisioacuten alcanzada en los caacutelculos
3 La incertidumbre en las Reglas de Caacutelculo
Como ya dijimos la RC requiere un enfoque un poco particular al considerar la
incertidumbre en sus resultados No es exactamente la incertidumbre de lectura de un
instrumento de medicioacuten Tampoco es un mero anaacutelisis de propagacioacuten de incertidumbre de
datos a traveacutes de una expresioacuten matemaacutetica La Regla de caacutelculo de alguna forma hace ambas
cosas mide y calcula simultaacuteneamente entonces veremos coacutemo analizar su incertidumbre
operativa
31 Hipoacutetesis y convenciones
- Dada la alta calidad de las buenas reglas consideraremos despreciables los errores de
la regla en siacute y analizaremos solo los errores de operacioacuten
- El error de interpolacioacuten lineal sobre escalas no lineales resulta insignificante para las
escalas usadas en reglas normales
- El uso de un iacutendice de escala o de la liacutenea de cursor (puntos exactos) conlleva un
error despreciable en relacioacuten al error de ajustar valores intermedios cualesquiera en
las escalas
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- Llamaremos estimacioacuten a todas las operaciones sobre una escala que introduzcan
incertidumbre a saber
Ajustar el cursor a un valor en una escala
Ajustar un valor en una escala moacutevil sobre la liacutenea del cursor
Ajustar un iacutendice de escala sobre un valor de otra escala
Leer en una escala un valor apuntado por el cursor o por un iacutendice
- El nuacutemero de estimaciones es muy importante y usualmente lo llamamos 119951
- Llamamos XE a los valores X representados en una escala E
- Llamamos p a la posicioacuten geomeacutetrica sobre la regla de un determinado valor de una
escala (usualmente distancia al iacutendice 1 de la escala CD)
- Llamamos L a la longitud total de la escala
Figura 1 Regla de bolsillo de alta calidad
4 Incertidumbre Intriacutenseca
Denominaremos incertidumbre intriacutenseca a una medida de la incertidumbre en los
caacutelculos realizados con una RC propiciada por las caracteriacutesticas de las escalas y de los
meacutetodos utilizados Aquiacute la palabra clave es ldquopropiciadordquo y con el concepto de incertidumbre
intriacutenseca cuantificaremos la dificultad que ofrece el instrumento a un operador para obtener
una mejor precisioacuten en los caacutelculos
41 Trazado de escalas
Veremos primero las ecuaciones del trazado de las escalas en la regla
Hallaremos como ejemplo las expresiones para una regla ficticia con las escalas estaacutendar
B S C de una determinada longitud geomeacutetrica L
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Figura 2 Tres ejemplos de escalas en una RC
Escala base C D Un punto cualquiera en la escala etiquetado con el valor 119935119914 deberaacute
dibujarse en la posicioacuten 119953 Por la definicioacuten de la escala logariacutetmica esta posicioacuten seraacute
p = L∙ log XC [ 1 ]
Su inversa XC = 10 p
L [ 2 ]
Escala de Cuadrados A B Un punto cualquiera en la escala etiquetado con el valor 119935119913
deberaacute dibujarse en la posicioacuten 119953 Para referir esta escala a la escala base recordamos la
relacioacuten entre ambas escalas
XB = XC2 rarr XC = radicXB [ 3 ]
p = L ∙ log XC = L ∙ log (radicXB) = L ∙ 1
2 log XB
p = L
2 log XB [ 4 ]
Escala de Senos S (aacutengulos) Un punto de la escala etiquetado con el valor 119935119930 deberaacute
dibujarse en la posicioacuten 119953 Para referir esta escala a la escala base recordamos
XS = arcsen XC rarr XC = sen XS
p = L ∙ log XC = L ∙ log (sen XS)
Como la funcioacuten seno (primer cuadrante) toma valores entre 0 y 1 en la escala S se
introduce un factor de deacutecada 119865119889 = 10 de manera de ajustar los valores leiacutedos a la deacutecada
logariacutetmica correcta En este caso a la deacutecada 1 ndash 10
p = L∙ log(Fd∙XC
)
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p = L∙ log (10 sen XS) [ 5 ]
Su inversa XS= arcsen (10p
L -1) [ 6 ]
Reemplazando los valores de las etiquetas XC= 5 XB= 25 XS= 30ordm en las expresiones [ 1
][ 4 ][ 5 ] correspondientes al ejemplo de la Figura 2 para una escala de Longitud normal
L=250 mm y para el factor de deacutecada de senos habitual Fd=10 comprobamos seguacuten lo
esperado la perfecta alineacioacuten de las marcas
p = 17474 mm
En general Cada valor Xf de la escala para f(x) (referido a x en la escala base) se
representaraacute en la posicioacuten p seguacuten
p = L ∙ log(Fd∙ f-1(Xf)) [ 7 ]
Inversamente la funcioacuten en siacute 119831119839 = 119839 (120783120782
119849 119819
119813119837) [ 8 ]
De esta manera podemos representar en una RC cualquier funcioacuten que nos pueda resultar
uacutetil referida a la escala base (Aunque no siempre habraacute funciones inversas directas)
42 Incertidumbre intriacutenseca de las escalas
En la lectura o colocacioacuten de un valor en una escala la incertidumbre vendraacute dada por un
desplazamiento del punto real respecto del ideal Digamos como ejemplo que al colocar el
cursor sobre un valor en realidad lo estariacuteamos colocando algunas deacutecimas de miliacutemetro a un
lado de la posicioacuten precisa lo que equivale a utilizar un valor diferente
No siendo las escalas lineales el error producido por este desplazamiento no seraacute
constante a lo largo de toda la escala sino seraacute una funcioacuten de la posicioacuten sobre eacutesta Podemos
cuantificar este concepto de ldquoIncertidumbrerdquo mediante un iacutendice que indique la variacioacuten de
los valores Xf de la escala f para un desplazamiento unitario en funcioacuten de la posicioacuten fiacutesica p
De manera que en una escala de mayor incertidumbre intriacutenseca un desplazamiento unitario
del punto de lectura produciraacute un mayor error que en una escala de menor incertidumbre
Esto no es maacutes que la derivada de los valores respecto de la posicioacuten
Definimos la funcioacuten Incertidumbre intriacutenseca 119816119839(119849) de la escala f a
Incertidumbre intriacutenseca If = part Xf
part p
Este iacutendice es un claro indicador de la ldquosensibilidadrdquo de la escala a los errores de
posicionamiento (Siendo siempre pequentildeos entornos la escala puede considerarse lineal)
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421 Incertidumbre intriacutenseca de la escala base
Para la escala base C tendremos sin duda una curva exponencial Partiendo de la ecuacioacuten
[ 2 ] de la escala C
XC = 10 pL rarr I C =
part XC
part p =
part (10 pL)
part p =
1
L (10
pL) ln 10
IC = ln 10
L ∙ (10
pL) [
1
mm ] [ 9 ]
Para otras deacutecadas aplicar el factor de potencia de 10 apropiado
Esta incertidumbre tambieacuten la podemos expresar respecto de los propios valores de la
escala C reemplazando 119953 en la uacuteltima expresioacuten seguacuten [ 1 ]
IC = ln 10
L ∙ XC [
1
mm ] [ 10 ]
422 Incertidumbre relativa de la escala base
Si lo que nos interesa es cuantificar la Incertidumbre relativa i dividiremos la
Incertidumbre absoluta por el valor de lectura de la escala
iC = IC
XC =
ln 10
L [ 11 ]
La Incertidumbre relativa de la Escala Base (C) de una regla de caacutelculo es
constante y soacutelo depende inversamente de la longitud de la escala
423 Incertidumbre intriacutenseca de la escala de senos
Partiendo de la expresioacuten de la escala de senos [ 6 ]
XS= arcsen (10 pL
- 1)
part XS
part p =
part (arcsen (10 pL
-1))
part p =
1
L ∙
10 pL
- 1
radic1- (10 pL
-1)2
∙ ln 10
IS = ln 10
L ∙
10 pL
- 1
radic1 - (10 pL
- 1)2
[ rad
mm] [ 12 ]
Maacutes convenientemente reemplazando 119849 seguacuten [ 5 ] tendremos la incertidumbre en
funcioacuten del aacutengulo
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IS = ln 10
L ∙ tg XS [
rad
mm] [ 13 ]
Lo que muestra a simple vista la tendencia a infinito de la incertidumbre de la escala de
senos al acercarnos a 90ordm
424 Incertidumbre intriacutenseca de escalas LogLog
Para la escala LogLog se deduce de igual manera
LL2 (e01 x) rarr ILL3
= ln 10
L ∙ 10
pL
- 1 ∙ e 10 pL - 1
LL3 (ex) rarr ILL3
= ln 10
L ∙ 10
pL ∙ e 10
pL
Etc
425 Graacuteficos de Incertidumbre de algunas escalas comunes
Figura 3 Incertidumbre escalas usuales
Figura 4 Incertidumbre escalas trigonomeacutetricas
En el graacutefico de la incertidumbre absoluta se aprecia la constancia de la escala logariacutetmica
(que resulta lineal en la regla) Tambieacuten vemos la linealidad de la incertidumbre en la escala
logariacutetmica base C
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Figura 5 Incertidumbre relativa escalas usuales
Figura 6 Incertidumbre relativa esc trigonomeacutetricas
Observamos especialmente la ya sentildealada constancia de la incertidumbre relativa de las
escalas logariacutetmicas la base C y la B que la duplica
43 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones
De la misma manera que para las escalas podemos elaborar un iacutendice que valore coacutemo la
RC propicia el error cuando se ejecuta una operacioacuten dada En este caso la incertidumbre
estaraacute dada por las estimaciones sucesivas de valores en las escalas en combinacioacuten con las
operaciones realizadas recordando que todas las incertidumbres son funciones de la posicioacuten
dentro la escala
431 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones unitarias
Este es el caso de operaciones directas como ser hallar el cuadrado o la raiacutez de un
nuacutemero o el seno de un aacutengulo
Tomemos este uacuteltimo caso Hallar el seno de un aacutengulo implica colocar el valor del aacutengulo
en la escala S y luego leer el seno en la escala base Por ende tendremos que combinar la
incertidumbre de la escala S con la de la escala C
Llamaremos 119868119878119862 a la Incertidumbre de la escala de Senos leiacutedos en la escala C y para
encontrarlo proyectaremos la Incertidumbre de la escala S sobre la escala C y la sumaremos a
la Incertidumbre propia de la escala C para la lectura De igual manera encontraremos la
Incertidumbre de la escala C leiacuteda en la escala S de senos 119868119862119878 para el caso inverso de hallar un
aacutengulo
ISC = IS partXC
partXS + IC y ICS = IC
partXS
partXC + IS
Reemplazando y operando veremos que los iacutendices de incertidumbre tanto para leer
senos como para leer aacutengulos combinando ambas escalas son exactamente el doble de los
iacutendices sencillos de la escala de lectura (En completa concordancia con el anaacutelisis geomeacutetrico
de la acumulacioacuten de los errores de posicionamiento)
ISC = 2 IC y ICS = 2 IS
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La Incertidumbre intriacutenseca de una operacioacuten unitaria estaacute dada soacutelo por la
Incertidumbre de la escala de lectura multiplicada por dos
432 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones encadenadas
Veremos queacute sucede con la incertidumbre al realizar operaciones matemaacuteticas En
primera instancia lo haremos sobre la misma escala para lo cual tomemos por caso una simple
multiplicacioacuten 119911 = 119909 ∙ 119910 Tendremos dos elementos baacutesicos en la Incertidumbre final La
Incertidumbre de la propia multiplicacioacuten dada por la colocacioacuten de los factores y la
Incertidumbre en la lectura del resultado
IM = Ixy + Iz
IM = part(xy)
partp+ Iz = y
partx
partp+ x
party
partp+ Iz
Reemplazando x e y seguacuten [ 2 ]
IM = (10 pYL )
partx
partp+ (10
pXL )
party
partp + Iz
Al trabajar sobre la misma escala CD la funcioacuten de Incertidumbre y su derivada seraacute la
misma para las tres variables Entonces reemplazando las derivadas
IM = (10 pYL )
ln 10
L ∙ (10
pXL ) + (10
pXL )
ln 10
L ∙ (10
pYL ) + Iz
IM = ln 10
L (10
pYL ) (10
pXL ) + (10
pXL ) (10
pYL ) + Iz
IM = 2 ln 10
L (10
pX+ pY
L ) + Iz
Siendo pX
+ pY
= pZ
por el funcionamiento de la RC al multiplicar dos valores (suma de sus
segmentos logariacutetmicos) podemos escribir
IM = 2 ln 10
L (10
pZ
L ) + Iz = 2 Iz + Iz
IM = 3 Iz
Por lo tanto la Incertidumbre intriacutenseca de una multiplicacioacuten queda
determinada uacutenicamente por la Incertidumbre de la escala CD en el punto de
obtencioacuten del resultado multiplicado por el nuacutemero de estimaciones (n)
En general aunque intervengan escalas diferentes (como las escalas LL) la
funcioacuten Incertidumbre intriacutenseca de una operacioacuten estaraacute dada por la
Incertidumbre intriacutenseca de la escala de resultado (IE) multiplicada por la
cantidad de estimaciones (n)
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IOp(p) = n ∙ IE(p) [ 14 ]
Habraacute expresiones equivalentes en funcioacuten de los valores XE de la escala
Esta conclusioacuten estaacute en total concordancia con el anaacutelisis geomeacutetrico de los
desplazamientos de la reglilla con sus correspondientes errores de
posicionamiento
433 Incertidumbre de operaciones con transferencia
Para poder comparar meacutetodos de caacutelculo en general nos faltariacutea analizar los meacutetodos que
incluyen la lectura de un resultado intermedio en una escala y su recolocacioacuten en otra escala
para continuar
Estas operaciones por su variedad deben analizarse caso por caso Entonces en este
artiacuteculo desarrollaremos un caso a modo de ejemplo y de paso analizaremos la conveniencia
de dos meacutetodos alternativos de realizar el mismo caacutelculo Calcularemos con la RC
z = radica ∙ b
Recordemos que las escalas A y B son ideacutenticas entre siacute asiacute como las C y D
Meacutetodo 1
Multiplicar en las escalas de cuadrados AB y leer el resultado directamente en C
+ Gran economiacutea de estimaciones y movimientos
- Operar la multiplicacioacuten en escalas menos precisas
Figura 7Meacutetodo 1 Raiz ( 215 x 240 ) = 227 (sin lectura del producto)
Meacutetodo 2
Multiplicar y leer el producto en las escalas CD
Luego colocar el producto en la escala de cuadrados A y leer el resultado en D
+ Multiplicamos con mayor precisioacuten
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- La lectura intermedia es incoacutemoda y podriacutea empeorar la precisioacuten
Figura 8Meacutetodo 2 Primer Paso 215 x 240 = 516
Figura 9Meacutetodo 2 Segundo Paso Raiz (516) = 227
El meacutetodo 1 es una sencilla operacioacuten encadenada que consta de 3 estimaciones leyendo
finalmente sobre la escala C Su funcioacuten de incertidumbre seraacute seguacuten la expresioacuten [ 14 ]
ajustada para valores de escala y 119899 = 3
IM1(XC) = 3 ∙ IC(XC)
Reemplazando XC=z (resultado final) en [ 10 ] resulta para el meacutetodo 1
IM1(z) = 3 ∙ ln 10
L ∙ z [ 15 ]
Para el meacutetodo 2 primero tendremos que obtener la incertidumbre de la multiplicacioacuten en
la escala C incluyendo la lectura Esta incertidumbre se transfiere a la escala A y luego
debemos propagarla sobre la escala C en su punto de aplicacioacuten Y finalmente agregar la
incertidumbre de la colocacioacuten del valor en A y de la lectura de la raiacutez en la escala C
Para la multiplicacioacuten tendremos 3 estimaciones y para la raiacutez tendremos 2 La
proyeccioacuten se hace sobre el punto XC y la funcioacuten incertidumbre de la multiplicacioacuten se
evaluacutea en XC2 Entonces
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IM2(XC) = partXC
partXA ∙ 3 IC(XC
2) + 2 IC(XC)
Siendo Xc = radicXA y IC(XC) = ln 10
L ∙ XC
IM2(XC) = ln 10
L∙ (3 ∙
1
2 radicXA XC
2 + 2 XC)
IM2(XC) = ln 10
L ∙ (
3
2 XC + 2 XC )
IM2(z) = 35 ∙ ln 10
L ∙ z [ 16 ]
Comparando [ 15 ] y [ 16 ] quedan definitivamente zanjadas las subjetividades sobre cuaacutel
meacutetodo es preferible El meacutetodo 1 ademaacutes de ser maacutes coacutemodo raacutepido y seguro tambieacuten es
algo maacutes preciso (14)
44 Incertidumbre Estadiacutestica de los caacutelculos
En todo lo hecho hasta aquiacute consideramos incertidumbres maacuteximas absolutas lo cual en
la praacutectica no sucede
Para obtener un valor maacutes realista de la incertidumbre y del peso relativo del nuacutemero de
estimaciones sobre el mismo se debe tener en cuenta el concepto estadiacutestico del error Por lo
tanto la estimacioacuten de valores en la regla seguiraacute en cada caso una distribucioacuten normal
centrada en el valor exacto y el error en cada paso seraacute en algunos casos aumentado y en
otros reducido (Suponiendo razonablemente que el operador no lee con sesgos)
El enfoque estadiacutestico queda fuera del alcance de este texto pero utilizando ciertas
simplificaciones podemos asumir que
IEst = radic ( partf
partx)
2
∙ (dx)2 + ( partf
party)
2
∙ (dy)2+hellip
Operando llegamos a que en operaciones encadenadas el factor a aplicar para encontrar
la incertidumbre estadiacutesticamente esperable seraacute radic119951 en lugar de n Tendremos entonces para
un caacutelculo encadenado
IEst = radic n ∙ IE
Siendo n el nuacutemero de estimaciones e IE la funcioacuten de Incertidumbre intriacutenseca de la
escala de lectura Asiacute en la praacutectica se disminuye ligeramente la influencia de la cantidad de
caacutelculos encadenados respecto de la incertidumbre final
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5 Evaluacioacuten comparativa de Escalas y Meacutetodos
La Incertidumbre Intriacutenseca de escalas y meacutetodos es una valoracioacuten objetiva que nos
permite determinar la conveniencia en cuanto a su precisioacuten posible de un meacutetodo de caacutelculo
y sus escalas asociadas
Haremos un ejemplo de evaluacioacuten de meacutetodos y escalas para hallar senos de aacutengulos y
reciacuteprocamente usando los tres meacutetodos maacutes frecuentes encontrados en las RC Con escalas S
y C con escalas S y P y con la menos usual escala trigonomeacutetrica diferencial de senos Sd y C
51 Senos con escalas usuales (S y C)
Ya hemos visto la evaluacioacuten del procedimiento usando la escala S de senos (aacutengulos)
estaacutendar en 431
Para facilitar la evaluacioacuten expresaremos la incertidumbre de la escala C [ 10 ] en funcioacuten
de XS recordando que 119883119888 = 10 ∙ sen XS
IC = ln 10
L ∙ 10 ∙ sen XS [ 17 ]
52 Senos con escala pitagoacuterica adicional (S y P)
La escala pitagoacuterica expresa la funcioacuten radic 1 - X2 Por lo tanto si colocamos en la escala C
el valor correspondiente al coseno de un aacutengulo obtendremos en P el valor del seno del
mismo aacutengulo en virtud de la relacioacuten pitagoacuterica Esto es muy uacutetil porque permite hallar con
mayor precisioacuten senos de aacutengulos grandes para los cuales la precisioacuten de la escala C decae
mucho Para hallar el seno de 70ordm por ejemplo indicamos 30ordm en la escala de senos (aacutengulos) y
luego leemos cos(30ordm) = sin(70ordm) en la escala P
Para la escala pitagoacuterica seguimos el mismo proceso que con las escalas anteriores
comenzando con la expresioacuten de la escala P respecto de la escala CD
XP = radic 1 - ( XC
10 )
2
rarr XC = 10 radic 1 - XP2
La posicioacuten sobre la regla seguacuten [ 1 ] p = L ∙ log XC
p = L ∙ (1 + log (1-XP
2)
2)
XP = radic 1- 10 2 ∙ ( p L
- 1)
IP = partXP
part p =
- ln 10
L∙
10 2 ∙ ( p L
- 1)
radic1 - 10 2 ∙ ( p L - 1)
[ 18 ]
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 143
Mejor expresarlo en funcioacuten de XC que es seguacuten [ 2 ] XC = 10 p
L y tambieacuten podemos
descartar el signo que no nos interesa
IP= ln 10
L∙
( XC 10
)2
radic 1 - ( XC 10
)2
[ 19 ]
Todaviacutea seriacutea mejor dado que comparamos la performance para la obtencioacuten de senos de
aacutengulos expresar 119816119823 en funcioacuten del aacutengulo complementario
Siendo XC
10= sen XS = cos Xcomp
IP = ln 10
L ∙
cos2 Xcomp
sin Xcomp [ 20 ]
Figura 10 Escala Pitagoacuterica Seno(80ordm) = P(10ordm) = 09848
53 Senos con escalas trigonomeacutetricas diferenciales (Sd y C)
La escala diferencial de senos se construye seguacuten la expresioacuten
Sd = X
sen X
Luego para obtener el seno de un aacutengulo se despeja
sen x = X
Sd
Siendo expresado X en grados sexagesimales
Lo interesante del meacutetodo es que la misma escala D se aprovecha de 1 a 9 con factor 10
para representar aacutengulos de 10ordm a 90ordm y simultaacuteneamente de 1 a 10 para representar los senos
de 01 a 1 (para la deacutecada base)
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
144 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
Figura 11 Escala de Senos Diferenciales Seno(30ordm) = 05
Para operar se coloca el aacutengulo en grados sobre D luego se divide (resta de segmentos)
por el valor en la escala Sd muy convenientemente colocada en la reglilla para facilidad
operativa Y finalmente se lee el sen X en la misma escala D sobre el iacutendice de la reglilla
Y ahora es doacutende viene lo maacutes praacutectico de nuestras conclusiones Como hemos deducido
en iexclError No se encuentra el origen de la referencia la incertidumbre intriacutenseca de una
operacioacuten sin lecturas intermedias soacutelo depende de la escala de lectura final y no de la de
colocacioacuten del aacutengulo De esta forma no necesitamos preocuparnos de la incoacutemoda funcioacuten
Sd para nada soacutelo nos interesa la escala D ya estudiada Usaremos pues la expresioacuten [ 17 ]
Sin embargo vemos que hay de por medio otra operacioacuten de colocacioacuten de valor en la
escala Sd por lo que aquiacute 119847 seraacute igual a 3 en lugar de 2 empeorando potencialmente la
precisioacuten del valor obtenido
54 Comparacioacuten de los tres meacutetodos de obtencioacuten de Senos de aacutengulos
En el siguiente graacutefico comparamos la Incertidumbre de los tres meacutetodos seguacuten [ 17 ] con
119899 = 2 para S y con 119899 = 3 para Sd y seguacuten [ 20 ] con 119899 = 2 para P
En la Figura 12 vemos claramente que el meacutetodo con escalas S y P se comporta mucho
mejor para aacutengulos grandes que el meacutetodo usual con las escalas S y C Incluso globalmente
logramos algo maacutes de precisioacuten para estos aacutengulos que para los aacutengulos pequentildeoshellip
La posicioacuten de equilibrio se alcanza exactamente para los 45ordm aacutengulo a partir del cual es
conveniente usar la escala P con el aacutengulo complementario
En relacioacuten con el meacutetodo de trigonomeacutetricas diferenciales vemos que la precisioacuten
alcanzable es menor que con las escalas tradicionales debido a la introduccioacuten de la operacioacuten
de divisioacuten (salvo el pequentildeo entorno entre 57ordm y 10ordm que se obtiene en la deacutecada anterior a la
normal resultando maacutes preciso)
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Figura 12 Incertidumbre estadiacutestica para hallar sen(x) por distintos meacutetodos usuales
55 Comparando meacutetodos de obtencioacuten de aacutengulos dado su seno
Para el caso estaacutendar tenemos simplemente la funcioacuten de incertidumbre de la escala S [ 13
] con 119899 = 2
Para el caacutelculo con escala P la ecuacioacuten y 119899 seraacuten los mismos aplicada sobre los aacutengulos
complementarios
Para el caacutelculo con escala inversa Sd (ISd) los aacutengulos se leen tambieacuten sobre la escala C
por lo que corresponde evaluar la incertidumbre de la escala C transformada en escala de
aacutengulos y con 119899 = 3
Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordm
Operacioacuten Con ayuda del cursor se alinea el valor del seno en la escala D y el mismo
valor del seno en la escala ISd como en una divisioacuten (resta de segmentos) el iacutendice de la escala
C apunta al aacutengulo sobre la escala D (multiplicar por 10 en esta deacutecada)
En la Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordmtambieacuten observamos el
aacutengulo 30ordm alineado con 05 en la escala S standard La mayor incertidumbre de la escala S se
ve muy claramente para el intervalo 80ordm - 90ordm en ambas escalas (marcados en verde)
Graficando la incertidumbre para los tres meacutetodos obtenemos la Figura 14
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Figura 14 Incertidumbre estadiacutestica para hallar el arcoseno() por distintos meacutetodos
Vemos claramente que la menor alinealidad de la escala C por siacute sola permite al meacutetodo
de escala inversa de senos diferenciales tener resultados mejores que una regla estaacutendar al
momento de hallar aacutengulos por sus senos Especialmente para aacutengulos grandes y a pesar de
la penalizacioacuten de un 119899 = 3
Sin embargo siempre una regla con escalas S y P produce mejores resultados que las
demaacutes
6 Conclusiones
El meacutetodo de anaacutelisis de las escalas y operaciones a traveacutes de la incertidumbre intriacutenseca
resulta muy uacutetil para evaluar objetivamente la conveniencia de unas escalas y meacutetodos sobre
otros alternativos para mejorar la precisioacuten A su vez el meacutetodo nos permitioacute demostrar
algunos supuestos muy difundidos sobre las RC y rebatir otros con facilidad Entre las
conclusiones notables se destacan
- La incertidumbre intriacutenseca es una funcioacuten que variacutea a lo largo de la escala y puede
escribirse en funcioacuten de la posicioacuten geomeacutetrica de los valores de la escala o de los
valores de otra escala conveniente
- La incertidumbre de una escala es inversamente proporcional a su longitud fiacutesica
- La incertidumbre relativa de una escala logariacutetmica es constante
- La funcioacuten incertidumbre maacutexima absoluta de una operacioacuten con RC sin lectura
intermedia de valores estaacute dada solamente por la incertidumbre de la escala de
lectura final multiplicada por la cantidad de estimaciones 119951 Esta conclusioacuten es vital
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Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 147
porque nos permite prescindir del anaacutelisis de incertidumbre de las escalas que no son
las que usamos para leer el resultado
- Esta funcioacuten incertidumbre se evaluacutea simplemente en el punto de lectura del
resultado final (teniendo en cuenta los cambios de deacutecada pertinentes)
- La incertidumbre estadiacutestica en caacutelculos complejos seraacute menor a la maacutexima y variacutea
seguacuten el factor radic119951
- El nuacutemero 119951 de estimaciones suele ser un factor de gran influencia sobre la
incertidumbre producida en caacutelculos complejos por lo que es muy importante su
reduccioacuten
- Si la operacioacuten contiene lecturas intermedias el caacutelculo de la incertidumbre total no es
directo y debe realizarse agregando la propagacioacuten claacutesica de incertidumbre a traveacutes
de foacutermulas para los valores intermedios leiacutedos y recolocados
- La incidencia de las lecturas y colocaciones de valores intermedios en la
incertidumbre de un caacutelculo complejo puede ser muy importante y en general
conviene que estas operaciones sean evitadas cuando sea posible
- Queda suficientemente claro que las dificultades del problema de la precisioacuten superan
ampliamente la tiacutepica definicioacuten popular de ldquotres diacutegitos significativosrdquo Aunque
por supuesto no queda invalidada como una raacutepida aproximacioacuten al promedio de
precisioacuten para una regla estaacutendar
- Conclusiones Operativas expuestas como ejemplo
Las reglas con escala P son las maacutes precisas para las funciones trigonomeacutetrisas
directas e inversas
Las reglas con escalas trigonomeacutetricas diferenciales mejoran la precisioacuten de
una regla tiacutepica con escala S para las funciones inversas pero son
praacutecticamente ideacutenticas para las funciones directas
Para operaciones como z = radica ∙ b es algo maacutes preciso multiplicar sobre las
escalas cuadraacuteticas A B y leer la raiz en D
7 Agradecimientos
Deseo agradecer al Ing Santiago Higuera de Frutos por su estiacutemulo y apoyo para la
realizacioacuten del presente artiacuteculo y su ayuda para la revisioacuten y presentacioacuten del mismo
Tambieacuten quiero agradecer a los miembros de la agrupacioacuten ARC ldquoAmigos de las reglas de
caacutelculordquo y especialmente a su fundador Jorge Faacutebregas Zazza por su inmensa y desinteresada
tarea
8 Lectura Introductoria
HIGUERA DE FRUTOS Santiago Reglas de Caacutelculo Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Vol
VI Nuacutem 2 Octubre 2016
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
148 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
httpwwwreglasdecalculocom Web de Jorge Faacutebregas Zazza donde se expone su
vasta coleccioacuten de reglas de caacutelculo y manuales en espantildeol y cantidad de recursos uacutetiles
y links para interesados y coleccionistas particularmente un cursillo introductorio sobre
su uso en httpwwwreglasdecalculocomteoriaypracticahtm
Referencias
[1] TAYLOR John Robert An introduction to error analysis 2nd edition caps 3 y 5 University
Science Books California 1997
[2] LINDBERG Vern Uncertainties and error propagation httpsgooglzz0QuJ
Sobre el autor
Nombre Jorge Luis Victoria
Correo Electroacutenico jorgeluisvictoriaricogmailcom
Profesioacuten Profesional Autoacutenomo
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130 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
is ldquoPrecisionrdquo however it was generally used in a vague and intuitive form so it deserves more detailed study
The present article depicts a brief overview on the different aspects that participate of the concept of precision in a slide rule It focuses on studying the particularities about error in calculations with scales and its propagation given the special nature of the slide rule and its operation Later proposes a general methodology to evaluate and compare from a theoretical point of view the performance of the different scales used in slide rules and to evaluate alternative methods for the same computation Finally this article presents some general conclusions to take into account when designing or using slide rules
Keywords Slide Rule Calculating Instrument Logarithmic Scales Analogic Calculation Precision
1 Introduccioacuten
La regla de caacutelculo (RC) de manera geneacuterica nos permite realizar variadas operaciones
matemaacuteticas a traveacutes seleccionar un valor numeacuterico en alguna de sus escalas desplazando la
reglilla o el cursor operarlo con otros valores seleccionados de igual manera en la misma u
otra escala repetir el proceso seguacuten necesidad y finalmente leer el resultado del caacutelculo
tambieacuten en la misma u otra escala
La incertidumbre en las mediciones con instrumentos es un tema ampliamente estudiado
a traveacutes de los antildeos Tambieacuten son de dominio puacuteblico las leyes que describen la propagacioacuten
de errores de datos a traveacutes de foacutermulas matemaacuteticas y su impacto en el resultado final Sin
embargo no parece estar suficientemente documentado lo que sucede en el caso de las RC
La particularidad de las RC estriba en que eacutestas combinan un funcionamiento como
instrumento imperfecto de medicioacuten con su capacidad de realizar caacutelculos y la
correspondiente propagacioacuten de la incertidumbre a traveacutes de los mismos
Exploraremos brevemente el concepto de precisioacuten en las reglas de caacutelculo a traveacutes de
varios ejemplos poniendo el foco en la buacutesqueda de formas praacutecticas de evaluar las RC sus
escalas sus meacutetodos de caacutelculo y de demostrar o rebatir muchos supuestos populares
2 Precisioacuten de una Regla de Caacutelculo
Por motivos histoacutericos en el uso del vocablo y la particular naturaleza de la Regla de
Caacutelculo (RC) en este texto utilizaremos simplemente la acepcioacuten amplia y coloquial del
teacutermino ldquoprecisioacutenrdquo como la posibilidad de obtener resultados precisos y exactos en los
caacutelculos con este instrumento
A continuacioacuten veremos los grandes factores que afectan la precisioacuten final en un caacutelculo
realizado con RC
21 Precisioacuten Constructiva
El primer elemento a tener en cuenta es la precisioacuten constructiva de la regla Soacutelo lo
introduciremos brevemente sentildealando sus elementos principales
- Construccioacuten soacutelida y estable
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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- Bajo y uniforme rozamiento para una colocacioacuten precisa de los valores
- Estabilidad del cursor y deslizamiento suave
- Perfecta alineacioacuten entre las escalas de las diferentes partes del cuerpo de la regla la
reglilla y en el frente y reverso de las mismas
- Perfecta verticalidad del trazo del cursor y sincronizacioacuten entre caras
- Exactitud de las escalas
- Legibilidad de las escalas y facilidad de interpolacioacuten visual
22 Precisioacuten Operativa
Supongamos que hablamos de una regla ideal con una perfecta calidad constructiva
Luego la precisioacuten en un caacutelculo vendraacute dada por varios factores operativos principales
- La habilidad manual y visual del operador para colocar y leer valores en la regla
- La capacidad del operador para interpolar correctamente valores no marcados
directamente en las escalas
- El rango de los valores y resultados Al involucrar el caacutelculo escalas no lineales la
precisioacuten lograda no es la misma para todos los valores
- La acumulacioacuten de los errores en el encadenamiento de caacutelculos
Para cada uno de estos factores constructivos y operativos los fabricantes han tratado de
producir RC que faciliten su reduccioacuten El principal elemento no mecaacutenico de disentildeo de una
RC son sus escalas por lo tanto estudiaremos la forma teoacuterica en que las escalas afectan o
limitan la precisioacuten alcanzada en los caacutelculos
3 La incertidumbre en las Reglas de Caacutelculo
Como ya dijimos la RC requiere un enfoque un poco particular al considerar la
incertidumbre en sus resultados No es exactamente la incertidumbre de lectura de un
instrumento de medicioacuten Tampoco es un mero anaacutelisis de propagacioacuten de incertidumbre de
datos a traveacutes de una expresioacuten matemaacutetica La Regla de caacutelculo de alguna forma hace ambas
cosas mide y calcula simultaacuteneamente entonces veremos coacutemo analizar su incertidumbre
operativa
31 Hipoacutetesis y convenciones
- Dada la alta calidad de las buenas reglas consideraremos despreciables los errores de
la regla en siacute y analizaremos solo los errores de operacioacuten
- El error de interpolacioacuten lineal sobre escalas no lineales resulta insignificante para las
escalas usadas en reglas normales
- El uso de un iacutendice de escala o de la liacutenea de cursor (puntos exactos) conlleva un
error despreciable en relacioacuten al error de ajustar valores intermedios cualesquiera en
las escalas
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- Llamaremos estimacioacuten a todas las operaciones sobre una escala que introduzcan
incertidumbre a saber
Ajustar el cursor a un valor en una escala
Ajustar un valor en una escala moacutevil sobre la liacutenea del cursor
Ajustar un iacutendice de escala sobre un valor de otra escala
Leer en una escala un valor apuntado por el cursor o por un iacutendice
- El nuacutemero de estimaciones es muy importante y usualmente lo llamamos 119951
- Llamamos XE a los valores X representados en una escala E
- Llamamos p a la posicioacuten geomeacutetrica sobre la regla de un determinado valor de una
escala (usualmente distancia al iacutendice 1 de la escala CD)
- Llamamos L a la longitud total de la escala
Figura 1 Regla de bolsillo de alta calidad
4 Incertidumbre Intriacutenseca
Denominaremos incertidumbre intriacutenseca a una medida de la incertidumbre en los
caacutelculos realizados con una RC propiciada por las caracteriacutesticas de las escalas y de los
meacutetodos utilizados Aquiacute la palabra clave es ldquopropiciadordquo y con el concepto de incertidumbre
intriacutenseca cuantificaremos la dificultad que ofrece el instrumento a un operador para obtener
una mejor precisioacuten en los caacutelculos
41 Trazado de escalas
Veremos primero las ecuaciones del trazado de las escalas en la regla
Hallaremos como ejemplo las expresiones para una regla ficticia con las escalas estaacutendar
B S C de una determinada longitud geomeacutetrica L
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Figura 2 Tres ejemplos de escalas en una RC
Escala base C D Un punto cualquiera en la escala etiquetado con el valor 119935119914 deberaacute
dibujarse en la posicioacuten 119953 Por la definicioacuten de la escala logariacutetmica esta posicioacuten seraacute
p = L∙ log XC [ 1 ]
Su inversa XC = 10 p
L [ 2 ]
Escala de Cuadrados A B Un punto cualquiera en la escala etiquetado con el valor 119935119913
deberaacute dibujarse en la posicioacuten 119953 Para referir esta escala a la escala base recordamos la
relacioacuten entre ambas escalas
XB = XC2 rarr XC = radicXB [ 3 ]
p = L ∙ log XC = L ∙ log (radicXB) = L ∙ 1
2 log XB
p = L
2 log XB [ 4 ]
Escala de Senos S (aacutengulos) Un punto de la escala etiquetado con el valor 119935119930 deberaacute
dibujarse en la posicioacuten 119953 Para referir esta escala a la escala base recordamos
XS = arcsen XC rarr XC = sen XS
p = L ∙ log XC = L ∙ log (sen XS)
Como la funcioacuten seno (primer cuadrante) toma valores entre 0 y 1 en la escala S se
introduce un factor de deacutecada 119865119889 = 10 de manera de ajustar los valores leiacutedos a la deacutecada
logariacutetmica correcta En este caso a la deacutecada 1 ndash 10
p = L∙ log(Fd∙XC
)
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134 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
p = L∙ log (10 sen XS) [ 5 ]
Su inversa XS= arcsen (10p
L -1) [ 6 ]
Reemplazando los valores de las etiquetas XC= 5 XB= 25 XS= 30ordm en las expresiones [ 1
][ 4 ][ 5 ] correspondientes al ejemplo de la Figura 2 para una escala de Longitud normal
L=250 mm y para el factor de deacutecada de senos habitual Fd=10 comprobamos seguacuten lo
esperado la perfecta alineacioacuten de las marcas
p = 17474 mm
En general Cada valor Xf de la escala para f(x) (referido a x en la escala base) se
representaraacute en la posicioacuten p seguacuten
p = L ∙ log(Fd∙ f-1(Xf)) [ 7 ]
Inversamente la funcioacuten en siacute 119831119839 = 119839 (120783120782
119849 119819
119813119837) [ 8 ]
De esta manera podemos representar en una RC cualquier funcioacuten que nos pueda resultar
uacutetil referida a la escala base (Aunque no siempre habraacute funciones inversas directas)
42 Incertidumbre intriacutenseca de las escalas
En la lectura o colocacioacuten de un valor en una escala la incertidumbre vendraacute dada por un
desplazamiento del punto real respecto del ideal Digamos como ejemplo que al colocar el
cursor sobre un valor en realidad lo estariacuteamos colocando algunas deacutecimas de miliacutemetro a un
lado de la posicioacuten precisa lo que equivale a utilizar un valor diferente
No siendo las escalas lineales el error producido por este desplazamiento no seraacute
constante a lo largo de toda la escala sino seraacute una funcioacuten de la posicioacuten sobre eacutesta Podemos
cuantificar este concepto de ldquoIncertidumbrerdquo mediante un iacutendice que indique la variacioacuten de
los valores Xf de la escala f para un desplazamiento unitario en funcioacuten de la posicioacuten fiacutesica p
De manera que en una escala de mayor incertidumbre intriacutenseca un desplazamiento unitario
del punto de lectura produciraacute un mayor error que en una escala de menor incertidumbre
Esto no es maacutes que la derivada de los valores respecto de la posicioacuten
Definimos la funcioacuten Incertidumbre intriacutenseca 119816119839(119849) de la escala f a
Incertidumbre intriacutenseca If = part Xf
part p
Este iacutendice es un claro indicador de la ldquosensibilidadrdquo de la escala a los errores de
posicionamiento (Siendo siempre pequentildeos entornos la escala puede considerarse lineal)
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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421 Incertidumbre intriacutenseca de la escala base
Para la escala base C tendremos sin duda una curva exponencial Partiendo de la ecuacioacuten
[ 2 ] de la escala C
XC = 10 pL rarr I C =
part XC
part p =
part (10 pL)
part p =
1
L (10
pL) ln 10
IC = ln 10
L ∙ (10
pL) [
1
mm ] [ 9 ]
Para otras deacutecadas aplicar el factor de potencia de 10 apropiado
Esta incertidumbre tambieacuten la podemos expresar respecto de los propios valores de la
escala C reemplazando 119953 en la uacuteltima expresioacuten seguacuten [ 1 ]
IC = ln 10
L ∙ XC [
1
mm ] [ 10 ]
422 Incertidumbre relativa de la escala base
Si lo que nos interesa es cuantificar la Incertidumbre relativa i dividiremos la
Incertidumbre absoluta por el valor de lectura de la escala
iC = IC
XC =
ln 10
L [ 11 ]
La Incertidumbre relativa de la Escala Base (C) de una regla de caacutelculo es
constante y soacutelo depende inversamente de la longitud de la escala
423 Incertidumbre intriacutenseca de la escala de senos
Partiendo de la expresioacuten de la escala de senos [ 6 ]
XS= arcsen (10 pL
- 1)
part XS
part p =
part (arcsen (10 pL
-1))
part p =
1
L ∙
10 pL
- 1
radic1- (10 pL
-1)2
∙ ln 10
IS = ln 10
L ∙
10 pL
- 1
radic1 - (10 pL
- 1)2
[ rad
mm] [ 12 ]
Maacutes convenientemente reemplazando 119849 seguacuten [ 5 ] tendremos la incertidumbre en
funcioacuten del aacutengulo
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IS = ln 10
L ∙ tg XS [
rad
mm] [ 13 ]
Lo que muestra a simple vista la tendencia a infinito de la incertidumbre de la escala de
senos al acercarnos a 90ordm
424 Incertidumbre intriacutenseca de escalas LogLog
Para la escala LogLog se deduce de igual manera
LL2 (e01 x) rarr ILL3
= ln 10
L ∙ 10
pL
- 1 ∙ e 10 pL - 1
LL3 (ex) rarr ILL3
= ln 10
L ∙ 10
pL ∙ e 10
pL
Etc
425 Graacuteficos de Incertidumbre de algunas escalas comunes
Figura 3 Incertidumbre escalas usuales
Figura 4 Incertidumbre escalas trigonomeacutetricas
En el graacutefico de la incertidumbre absoluta se aprecia la constancia de la escala logariacutetmica
(que resulta lineal en la regla) Tambieacuten vemos la linealidad de la incertidumbre en la escala
logariacutetmica base C
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Figura 5 Incertidumbre relativa escalas usuales
Figura 6 Incertidumbre relativa esc trigonomeacutetricas
Observamos especialmente la ya sentildealada constancia de la incertidumbre relativa de las
escalas logariacutetmicas la base C y la B que la duplica
43 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones
De la misma manera que para las escalas podemos elaborar un iacutendice que valore coacutemo la
RC propicia el error cuando se ejecuta una operacioacuten dada En este caso la incertidumbre
estaraacute dada por las estimaciones sucesivas de valores en las escalas en combinacioacuten con las
operaciones realizadas recordando que todas las incertidumbres son funciones de la posicioacuten
dentro la escala
431 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones unitarias
Este es el caso de operaciones directas como ser hallar el cuadrado o la raiacutez de un
nuacutemero o el seno de un aacutengulo
Tomemos este uacuteltimo caso Hallar el seno de un aacutengulo implica colocar el valor del aacutengulo
en la escala S y luego leer el seno en la escala base Por ende tendremos que combinar la
incertidumbre de la escala S con la de la escala C
Llamaremos 119868119878119862 a la Incertidumbre de la escala de Senos leiacutedos en la escala C y para
encontrarlo proyectaremos la Incertidumbre de la escala S sobre la escala C y la sumaremos a
la Incertidumbre propia de la escala C para la lectura De igual manera encontraremos la
Incertidumbre de la escala C leiacuteda en la escala S de senos 119868119862119878 para el caso inverso de hallar un
aacutengulo
ISC = IS partXC
partXS + IC y ICS = IC
partXS
partXC + IS
Reemplazando y operando veremos que los iacutendices de incertidumbre tanto para leer
senos como para leer aacutengulos combinando ambas escalas son exactamente el doble de los
iacutendices sencillos de la escala de lectura (En completa concordancia con el anaacutelisis geomeacutetrico
de la acumulacioacuten de los errores de posicionamiento)
ISC = 2 IC y ICS = 2 IS
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La Incertidumbre intriacutenseca de una operacioacuten unitaria estaacute dada soacutelo por la
Incertidumbre de la escala de lectura multiplicada por dos
432 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones encadenadas
Veremos queacute sucede con la incertidumbre al realizar operaciones matemaacuteticas En
primera instancia lo haremos sobre la misma escala para lo cual tomemos por caso una simple
multiplicacioacuten 119911 = 119909 ∙ 119910 Tendremos dos elementos baacutesicos en la Incertidumbre final La
Incertidumbre de la propia multiplicacioacuten dada por la colocacioacuten de los factores y la
Incertidumbre en la lectura del resultado
IM = Ixy + Iz
IM = part(xy)
partp+ Iz = y
partx
partp+ x
party
partp+ Iz
Reemplazando x e y seguacuten [ 2 ]
IM = (10 pYL )
partx
partp+ (10
pXL )
party
partp + Iz
Al trabajar sobre la misma escala CD la funcioacuten de Incertidumbre y su derivada seraacute la
misma para las tres variables Entonces reemplazando las derivadas
IM = (10 pYL )
ln 10
L ∙ (10
pXL ) + (10
pXL )
ln 10
L ∙ (10
pYL ) + Iz
IM = ln 10
L (10
pYL ) (10
pXL ) + (10
pXL ) (10
pYL ) + Iz
IM = 2 ln 10
L (10
pX+ pY
L ) + Iz
Siendo pX
+ pY
= pZ
por el funcionamiento de la RC al multiplicar dos valores (suma de sus
segmentos logariacutetmicos) podemos escribir
IM = 2 ln 10
L (10
pZ
L ) + Iz = 2 Iz + Iz
IM = 3 Iz
Por lo tanto la Incertidumbre intriacutenseca de una multiplicacioacuten queda
determinada uacutenicamente por la Incertidumbre de la escala CD en el punto de
obtencioacuten del resultado multiplicado por el nuacutemero de estimaciones (n)
En general aunque intervengan escalas diferentes (como las escalas LL) la
funcioacuten Incertidumbre intriacutenseca de una operacioacuten estaraacute dada por la
Incertidumbre intriacutenseca de la escala de resultado (IE) multiplicada por la
cantidad de estimaciones (n)
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 139
IOp(p) = n ∙ IE(p) [ 14 ]
Habraacute expresiones equivalentes en funcioacuten de los valores XE de la escala
Esta conclusioacuten estaacute en total concordancia con el anaacutelisis geomeacutetrico de los
desplazamientos de la reglilla con sus correspondientes errores de
posicionamiento
433 Incertidumbre de operaciones con transferencia
Para poder comparar meacutetodos de caacutelculo en general nos faltariacutea analizar los meacutetodos que
incluyen la lectura de un resultado intermedio en una escala y su recolocacioacuten en otra escala
para continuar
Estas operaciones por su variedad deben analizarse caso por caso Entonces en este
artiacuteculo desarrollaremos un caso a modo de ejemplo y de paso analizaremos la conveniencia
de dos meacutetodos alternativos de realizar el mismo caacutelculo Calcularemos con la RC
z = radica ∙ b
Recordemos que las escalas A y B son ideacutenticas entre siacute asiacute como las C y D
Meacutetodo 1
Multiplicar en las escalas de cuadrados AB y leer el resultado directamente en C
+ Gran economiacutea de estimaciones y movimientos
- Operar la multiplicacioacuten en escalas menos precisas
Figura 7Meacutetodo 1 Raiz ( 215 x 240 ) = 227 (sin lectura del producto)
Meacutetodo 2
Multiplicar y leer el producto en las escalas CD
Luego colocar el producto en la escala de cuadrados A y leer el resultado en D
+ Multiplicamos con mayor precisioacuten
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
140 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
- La lectura intermedia es incoacutemoda y podriacutea empeorar la precisioacuten
Figura 8Meacutetodo 2 Primer Paso 215 x 240 = 516
Figura 9Meacutetodo 2 Segundo Paso Raiz (516) = 227
El meacutetodo 1 es una sencilla operacioacuten encadenada que consta de 3 estimaciones leyendo
finalmente sobre la escala C Su funcioacuten de incertidumbre seraacute seguacuten la expresioacuten [ 14 ]
ajustada para valores de escala y 119899 = 3
IM1(XC) = 3 ∙ IC(XC)
Reemplazando XC=z (resultado final) en [ 10 ] resulta para el meacutetodo 1
IM1(z) = 3 ∙ ln 10
L ∙ z [ 15 ]
Para el meacutetodo 2 primero tendremos que obtener la incertidumbre de la multiplicacioacuten en
la escala C incluyendo la lectura Esta incertidumbre se transfiere a la escala A y luego
debemos propagarla sobre la escala C en su punto de aplicacioacuten Y finalmente agregar la
incertidumbre de la colocacioacuten del valor en A y de la lectura de la raiacutez en la escala C
Para la multiplicacioacuten tendremos 3 estimaciones y para la raiacutez tendremos 2 La
proyeccioacuten se hace sobre el punto XC y la funcioacuten incertidumbre de la multiplicacioacuten se
evaluacutea en XC2 Entonces
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IM2(XC) = partXC
partXA ∙ 3 IC(XC
2) + 2 IC(XC)
Siendo Xc = radicXA y IC(XC) = ln 10
L ∙ XC
IM2(XC) = ln 10
L∙ (3 ∙
1
2 radicXA XC
2 + 2 XC)
IM2(XC) = ln 10
L ∙ (
3
2 XC + 2 XC )
IM2(z) = 35 ∙ ln 10
L ∙ z [ 16 ]
Comparando [ 15 ] y [ 16 ] quedan definitivamente zanjadas las subjetividades sobre cuaacutel
meacutetodo es preferible El meacutetodo 1 ademaacutes de ser maacutes coacutemodo raacutepido y seguro tambieacuten es
algo maacutes preciso (14)
44 Incertidumbre Estadiacutestica de los caacutelculos
En todo lo hecho hasta aquiacute consideramos incertidumbres maacuteximas absolutas lo cual en
la praacutectica no sucede
Para obtener un valor maacutes realista de la incertidumbre y del peso relativo del nuacutemero de
estimaciones sobre el mismo se debe tener en cuenta el concepto estadiacutestico del error Por lo
tanto la estimacioacuten de valores en la regla seguiraacute en cada caso una distribucioacuten normal
centrada en el valor exacto y el error en cada paso seraacute en algunos casos aumentado y en
otros reducido (Suponiendo razonablemente que el operador no lee con sesgos)
El enfoque estadiacutestico queda fuera del alcance de este texto pero utilizando ciertas
simplificaciones podemos asumir que
IEst = radic ( partf
partx)
2
∙ (dx)2 + ( partf
party)
2
∙ (dy)2+hellip
Operando llegamos a que en operaciones encadenadas el factor a aplicar para encontrar
la incertidumbre estadiacutesticamente esperable seraacute radic119951 en lugar de n Tendremos entonces para
un caacutelculo encadenado
IEst = radic n ∙ IE
Siendo n el nuacutemero de estimaciones e IE la funcioacuten de Incertidumbre intriacutenseca de la
escala de lectura Asiacute en la praacutectica se disminuye ligeramente la influencia de la cantidad de
caacutelculos encadenados respecto de la incertidumbre final
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5 Evaluacioacuten comparativa de Escalas y Meacutetodos
La Incertidumbre Intriacutenseca de escalas y meacutetodos es una valoracioacuten objetiva que nos
permite determinar la conveniencia en cuanto a su precisioacuten posible de un meacutetodo de caacutelculo
y sus escalas asociadas
Haremos un ejemplo de evaluacioacuten de meacutetodos y escalas para hallar senos de aacutengulos y
reciacuteprocamente usando los tres meacutetodos maacutes frecuentes encontrados en las RC Con escalas S
y C con escalas S y P y con la menos usual escala trigonomeacutetrica diferencial de senos Sd y C
51 Senos con escalas usuales (S y C)
Ya hemos visto la evaluacioacuten del procedimiento usando la escala S de senos (aacutengulos)
estaacutendar en 431
Para facilitar la evaluacioacuten expresaremos la incertidumbre de la escala C [ 10 ] en funcioacuten
de XS recordando que 119883119888 = 10 ∙ sen XS
IC = ln 10
L ∙ 10 ∙ sen XS [ 17 ]
52 Senos con escala pitagoacuterica adicional (S y P)
La escala pitagoacuterica expresa la funcioacuten radic 1 - X2 Por lo tanto si colocamos en la escala C
el valor correspondiente al coseno de un aacutengulo obtendremos en P el valor del seno del
mismo aacutengulo en virtud de la relacioacuten pitagoacuterica Esto es muy uacutetil porque permite hallar con
mayor precisioacuten senos de aacutengulos grandes para los cuales la precisioacuten de la escala C decae
mucho Para hallar el seno de 70ordm por ejemplo indicamos 30ordm en la escala de senos (aacutengulos) y
luego leemos cos(30ordm) = sin(70ordm) en la escala P
Para la escala pitagoacuterica seguimos el mismo proceso que con las escalas anteriores
comenzando con la expresioacuten de la escala P respecto de la escala CD
XP = radic 1 - ( XC
10 )
2
rarr XC = 10 radic 1 - XP2
La posicioacuten sobre la regla seguacuten [ 1 ] p = L ∙ log XC
p = L ∙ (1 + log (1-XP
2)
2)
XP = radic 1- 10 2 ∙ ( p L
- 1)
IP = partXP
part p =
- ln 10
L∙
10 2 ∙ ( p L
- 1)
radic1 - 10 2 ∙ ( p L - 1)
[ 18 ]
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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Mejor expresarlo en funcioacuten de XC que es seguacuten [ 2 ] XC = 10 p
L y tambieacuten podemos
descartar el signo que no nos interesa
IP= ln 10
L∙
( XC 10
)2
radic 1 - ( XC 10
)2
[ 19 ]
Todaviacutea seriacutea mejor dado que comparamos la performance para la obtencioacuten de senos de
aacutengulos expresar 119816119823 en funcioacuten del aacutengulo complementario
Siendo XC
10= sen XS = cos Xcomp
IP = ln 10
L ∙
cos2 Xcomp
sin Xcomp [ 20 ]
Figura 10 Escala Pitagoacuterica Seno(80ordm) = P(10ordm) = 09848
53 Senos con escalas trigonomeacutetricas diferenciales (Sd y C)
La escala diferencial de senos se construye seguacuten la expresioacuten
Sd = X
sen X
Luego para obtener el seno de un aacutengulo se despeja
sen x = X
Sd
Siendo expresado X en grados sexagesimales
Lo interesante del meacutetodo es que la misma escala D se aprovecha de 1 a 9 con factor 10
para representar aacutengulos de 10ordm a 90ordm y simultaacuteneamente de 1 a 10 para representar los senos
de 01 a 1 (para la deacutecada base)
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
144 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
Figura 11 Escala de Senos Diferenciales Seno(30ordm) = 05
Para operar se coloca el aacutengulo en grados sobre D luego se divide (resta de segmentos)
por el valor en la escala Sd muy convenientemente colocada en la reglilla para facilidad
operativa Y finalmente se lee el sen X en la misma escala D sobre el iacutendice de la reglilla
Y ahora es doacutende viene lo maacutes praacutectico de nuestras conclusiones Como hemos deducido
en iexclError No se encuentra el origen de la referencia la incertidumbre intriacutenseca de una
operacioacuten sin lecturas intermedias soacutelo depende de la escala de lectura final y no de la de
colocacioacuten del aacutengulo De esta forma no necesitamos preocuparnos de la incoacutemoda funcioacuten
Sd para nada soacutelo nos interesa la escala D ya estudiada Usaremos pues la expresioacuten [ 17 ]
Sin embargo vemos que hay de por medio otra operacioacuten de colocacioacuten de valor en la
escala Sd por lo que aquiacute 119847 seraacute igual a 3 en lugar de 2 empeorando potencialmente la
precisioacuten del valor obtenido
54 Comparacioacuten de los tres meacutetodos de obtencioacuten de Senos de aacutengulos
En el siguiente graacutefico comparamos la Incertidumbre de los tres meacutetodos seguacuten [ 17 ] con
119899 = 2 para S y con 119899 = 3 para Sd y seguacuten [ 20 ] con 119899 = 2 para P
En la Figura 12 vemos claramente que el meacutetodo con escalas S y P se comporta mucho
mejor para aacutengulos grandes que el meacutetodo usual con las escalas S y C Incluso globalmente
logramos algo maacutes de precisioacuten para estos aacutengulos que para los aacutengulos pequentildeoshellip
La posicioacuten de equilibrio se alcanza exactamente para los 45ordm aacutengulo a partir del cual es
conveniente usar la escala P con el aacutengulo complementario
En relacioacuten con el meacutetodo de trigonomeacutetricas diferenciales vemos que la precisioacuten
alcanzable es menor que con las escalas tradicionales debido a la introduccioacuten de la operacioacuten
de divisioacuten (salvo el pequentildeo entorno entre 57ordm y 10ordm que se obtiene en la deacutecada anterior a la
normal resultando maacutes preciso)
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Figura 12 Incertidumbre estadiacutestica para hallar sen(x) por distintos meacutetodos usuales
55 Comparando meacutetodos de obtencioacuten de aacutengulos dado su seno
Para el caso estaacutendar tenemos simplemente la funcioacuten de incertidumbre de la escala S [ 13
] con 119899 = 2
Para el caacutelculo con escala P la ecuacioacuten y 119899 seraacuten los mismos aplicada sobre los aacutengulos
complementarios
Para el caacutelculo con escala inversa Sd (ISd) los aacutengulos se leen tambieacuten sobre la escala C
por lo que corresponde evaluar la incertidumbre de la escala C transformada en escala de
aacutengulos y con 119899 = 3
Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordm
Operacioacuten Con ayuda del cursor se alinea el valor del seno en la escala D y el mismo
valor del seno en la escala ISd como en una divisioacuten (resta de segmentos) el iacutendice de la escala
C apunta al aacutengulo sobre la escala D (multiplicar por 10 en esta deacutecada)
En la Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordmtambieacuten observamos el
aacutengulo 30ordm alineado con 05 en la escala S standard La mayor incertidumbre de la escala S se
ve muy claramente para el intervalo 80ordm - 90ordm en ambas escalas (marcados en verde)
Graficando la incertidumbre para los tres meacutetodos obtenemos la Figura 14
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Figura 14 Incertidumbre estadiacutestica para hallar el arcoseno() por distintos meacutetodos
Vemos claramente que la menor alinealidad de la escala C por siacute sola permite al meacutetodo
de escala inversa de senos diferenciales tener resultados mejores que una regla estaacutendar al
momento de hallar aacutengulos por sus senos Especialmente para aacutengulos grandes y a pesar de
la penalizacioacuten de un 119899 = 3
Sin embargo siempre una regla con escalas S y P produce mejores resultados que las
demaacutes
6 Conclusiones
El meacutetodo de anaacutelisis de las escalas y operaciones a traveacutes de la incertidumbre intriacutenseca
resulta muy uacutetil para evaluar objetivamente la conveniencia de unas escalas y meacutetodos sobre
otros alternativos para mejorar la precisioacuten A su vez el meacutetodo nos permitioacute demostrar
algunos supuestos muy difundidos sobre las RC y rebatir otros con facilidad Entre las
conclusiones notables se destacan
- La incertidumbre intriacutenseca es una funcioacuten que variacutea a lo largo de la escala y puede
escribirse en funcioacuten de la posicioacuten geomeacutetrica de los valores de la escala o de los
valores de otra escala conveniente
- La incertidumbre de una escala es inversamente proporcional a su longitud fiacutesica
- La incertidumbre relativa de una escala logariacutetmica es constante
- La funcioacuten incertidumbre maacutexima absoluta de una operacioacuten con RC sin lectura
intermedia de valores estaacute dada solamente por la incertidumbre de la escala de
lectura final multiplicada por la cantidad de estimaciones 119951 Esta conclusioacuten es vital
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 147
porque nos permite prescindir del anaacutelisis de incertidumbre de las escalas que no son
las que usamos para leer el resultado
- Esta funcioacuten incertidumbre se evaluacutea simplemente en el punto de lectura del
resultado final (teniendo en cuenta los cambios de deacutecada pertinentes)
- La incertidumbre estadiacutestica en caacutelculos complejos seraacute menor a la maacutexima y variacutea
seguacuten el factor radic119951
- El nuacutemero 119951 de estimaciones suele ser un factor de gran influencia sobre la
incertidumbre producida en caacutelculos complejos por lo que es muy importante su
reduccioacuten
- Si la operacioacuten contiene lecturas intermedias el caacutelculo de la incertidumbre total no es
directo y debe realizarse agregando la propagacioacuten claacutesica de incertidumbre a traveacutes
de foacutermulas para los valores intermedios leiacutedos y recolocados
- La incidencia de las lecturas y colocaciones de valores intermedios en la
incertidumbre de un caacutelculo complejo puede ser muy importante y en general
conviene que estas operaciones sean evitadas cuando sea posible
- Queda suficientemente claro que las dificultades del problema de la precisioacuten superan
ampliamente la tiacutepica definicioacuten popular de ldquotres diacutegitos significativosrdquo Aunque
por supuesto no queda invalidada como una raacutepida aproximacioacuten al promedio de
precisioacuten para una regla estaacutendar
- Conclusiones Operativas expuestas como ejemplo
Las reglas con escala P son las maacutes precisas para las funciones trigonomeacutetrisas
directas e inversas
Las reglas con escalas trigonomeacutetricas diferenciales mejoran la precisioacuten de
una regla tiacutepica con escala S para las funciones inversas pero son
praacutecticamente ideacutenticas para las funciones directas
Para operaciones como z = radica ∙ b es algo maacutes preciso multiplicar sobre las
escalas cuadraacuteticas A B y leer la raiz en D
7 Agradecimientos
Deseo agradecer al Ing Santiago Higuera de Frutos por su estiacutemulo y apoyo para la
realizacioacuten del presente artiacuteculo y su ayuda para la revisioacuten y presentacioacuten del mismo
Tambieacuten quiero agradecer a los miembros de la agrupacioacuten ARC ldquoAmigos de las reglas de
caacutelculordquo y especialmente a su fundador Jorge Faacutebregas Zazza por su inmensa y desinteresada
tarea
8 Lectura Introductoria
HIGUERA DE FRUTOS Santiago Reglas de Caacutelculo Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Vol
VI Nuacutem 2 Octubre 2016
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148 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
httpwwwreglasdecalculocom Web de Jorge Faacutebregas Zazza donde se expone su
vasta coleccioacuten de reglas de caacutelculo y manuales en espantildeol y cantidad de recursos uacutetiles
y links para interesados y coleccionistas particularmente un cursillo introductorio sobre
su uso en httpwwwreglasdecalculocomteoriaypracticahtm
Referencias
[1] TAYLOR John Robert An introduction to error analysis 2nd edition caps 3 y 5 University
Science Books California 1997
[2] LINDBERG Vern Uncertainties and error propagation httpsgooglzz0QuJ
Sobre el autor
Nombre Jorge Luis Victoria
Correo Electroacutenico jorgeluisvictoriaricogmailcom
Profesioacuten Profesional Autoacutenomo
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 131
- Bajo y uniforme rozamiento para una colocacioacuten precisa de los valores
- Estabilidad del cursor y deslizamiento suave
- Perfecta alineacioacuten entre las escalas de las diferentes partes del cuerpo de la regla la
reglilla y en el frente y reverso de las mismas
- Perfecta verticalidad del trazo del cursor y sincronizacioacuten entre caras
- Exactitud de las escalas
- Legibilidad de las escalas y facilidad de interpolacioacuten visual
22 Precisioacuten Operativa
Supongamos que hablamos de una regla ideal con una perfecta calidad constructiva
Luego la precisioacuten en un caacutelculo vendraacute dada por varios factores operativos principales
- La habilidad manual y visual del operador para colocar y leer valores en la regla
- La capacidad del operador para interpolar correctamente valores no marcados
directamente en las escalas
- El rango de los valores y resultados Al involucrar el caacutelculo escalas no lineales la
precisioacuten lograda no es la misma para todos los valores
- La acumulacioacuten de los errores en el encadenamiento de caacutelculos
Para cada uno de estos factores constructivos y operativos los fabricantes han tratado de
producir RC que faciliten su reduccioacuten El principal elemento no mecaacutenico de disentildeo de una
RC son sus escalas por lo tanto estudiaremos la forma teoacuterica en que las escalas afectan o
limitan la precisioacuten alcanzada en los caacutelculos
3 La incertidumbre en las Reglas de Caacutelculo
Como ya dijimos la RC requiere un enfoque un poco particular al considerar la
incertidumbre en sus resultados No es exactamente la incertidumbre de lectura de un
instrumento de medicioacuten Tampoco es un mero anaacutelisis de propagacioacuten de incertidumbre de
datos a traveacutes de una expresioacuten matemaacutetica La Regla de caacutelculo de alguna forma hace ambas
cosas mide y calcula simultaacuteneamente entonces veremos coacutemo analizar su incertidumbre
operativa
31 Hipoacutetesis y convenciones
- Dada la alta calidad de las buenas reglas consideraremos despreciables los errores de
la regla en siacute y analizaremos solo los errores de operacioacuten
- El error de interpolacioacuten lineal sobre escalas no lineales resulta insignificante para las
escalas usadas en reglas normales
- El uso de un iacutendice de escala o de la liacutenea de cursor (puntos exactos) conlleva un
error despreciable en relacioacuten al error de ajustar valores intermedios cualesquiera en
las escalas
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132 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
- Llamaremos estimacioacuten a todas las operaciones sobre una escala que introduzcan
incertidumbre a saber
Ajustar el cursor a un valor en una escala
Ajustar un valor en una escala moacutevil sobre la liacutenea del cursor
Ajustar un iacutendice de escala sobre un valor de otra escala
Leer en una escala un valor apuntado por el cursor o por un iacutendice
- El nuacutemero de estimaciones es muy importante y usualmente lo llamamos 119951
- Llamamos XE a los valores X representados en una escala E
- Llamamos p a la posicioacuten geomeacutetrica sobre la regla de un determinado valor de una
escala (usualmente distancia al iacutendice 1 de la escala CD)
- Llamamos L a la longitud total de la escala
Figura 1 Regla de bolsillo de alta calidad
4 Incertidumbre Intriacutenseca
Denominaremos incertidumbre intriacutenseca a una medida de la incertidumbre en los
caacutelculos realizados con una RC propiciada por las caracteriacutesticas de las escalas y de los
meacutetodos utilizados Aquiacute la palabra clave es ldquopropiciadordquo y con el concepto de incertidumbre
intriacutenseca cuantificaremos la dificultad que ofrece el instrumento a un operador para obtener
una mejor precisioacuten en los caacutelculos
41 Trazado de escalas
Veremos primero las ecuaciones del trazado de las escalas en la regla
Hallaremos como ejemplo las expresiones para una regla ficticia con las escalas estaacutendar
B S C de una determinada longitud geomeacutetrica L
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Figura 2 Tres ejemplos de escalas en una RC
Escala base C D Un punto cualquiera en la escala etiquetado con el valor 119935119914 deberaacute
dibujarse en la posicioacuten 119953 Por la definicioacuten de la escala logariacutetmica esta posicioacuten seraacute
p = L∙ log XC [ 1 ]
Su inversa XC = 10 p
L [ 2 ]
Escala de Cuadrados A B Un punto cualquiera en la escala etiquetado con el valor 119935119913
deberaacute dibujarse en la posicioacuten 119953 Para referir esta escala a la escala base recordamos la
relacioacuten entre ambas escalas
XB = XC2 rarr XC = radicXB [ 3 ]
p = L ∙ log XC = L ∙ log (radicXB) = L ∙ 1
2 log XB
p = L
2 log XB [ 4 ]
Escala de Senos S (aacutengulos) Un punto de la escala etiquetado con el valor 119935119930 deberaacute
dibujarse en la posicioacuten 119953 Para referir esta escala a la escala base recordamos
XS = arcsen XC rarr XC = sen XS
p = L ∙ log XC = L ∙ log (sen XS)
Como la funcioacuten seno (primer cuadrante) toma valores entre 0 y 1 en la escala S se
introduce un factor de deacutecada 119865119889 = 10 de manera de ajustar los valores leiacutedos a la deacutecada
logariacutetmica correcta En este caso a la deacutecada 1 ndash 10
p = L∙ log(Fd∙XC
)
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134 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
p = L∙ log (10 sen XS) [ 5 ]
Su inversa XS= arcsen (10p
L -1) [ 6 ]
Reemplazando los valores de las etiquetas XC= 5 XB= 25 XS= 30ordm en las expresiones [ 1
][ 4 ][ 5 ] correspondientes al ejemplo de la Figura 2 para una escala de Longitud normal
L=250 mm y para el factor de deacutecada de senos habitual Fd=10 comprobamos seguacuten lo
esperado la perfecta alineacioacuten de las marcas
p = 17474 mm
En general Cada valor Xf de la escala para f(x) (referido a x en la escala base) se
representaraacute en la posicioacuten p seguacuten
p = L ∙ log(Fd∙ f-1(Xf)) [ 7 ]
Inversamente la funcioacuten en siacute 119831119839 = 119839 (120783120782
119849 119819
119813119837) [ 8 ]
De esta manera podemos representar en una RC cualquier funcioacuten que nos pueda resultar
uacutetil referida a la escala base (Aunque no siempre habraacute funciones inversas directas)
42 Incertidumbre intriacutenseca de las escalas
En la lectura o colocacioacuten de un valor en una escala la incertidumbre vendraacute dada por un
desplazamiento del punto real respecto del ideal Digamos como ejemplo que al colocar el
cursor sobre un valor en realidad lo estariacuteamos colocando algunas deacutecimas de miliacutemetro a un
lado de la posicioacuten precisa lo que equivale a utilizar un valor diferente
No siendo las escalas lineales el error producido por este desplazamiento no seraacute
constante a lo largo de toda la escala sino seraacute una funcioacuten de la posicioacuten sobre eacutesta Podemos
cuantificar este concepto de ldquoIncertidumbrerdquo mediante un iacutendice que indique la variacioacuten de
los valores Xf de la escala f para un desplazamiento unitario en funcioacuten de la posicioacuten fiacutesica p
De manera que en una escala de mayor incertidumbre intriacutenseca un desplazamiento unitario
del punto de lectura produciraacute un mayor error que en una escala de menor incertidumbre
Esto no es maacutes que la derivada de los valores respecto de la posicioacuten
Definimos la funcioacuten Incertidumbre intriacutenseca 119816119839(119849) de la escala f a
Incertidumbre intriacutenseca If = part Xf
part p
Este iacutendice es un claro indicador de la ldquosensibilidadrdquo de la escala a los errores de
posicionamiento (Siendo siempre pequentildeos entornos la escala puede considerarse lineal)
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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421 Incertidumbre intriacutenseca de la escala base
Para la escala base C tendremos sin duda una curva exponencial Partiendo de la ecuacioacuten
[ 2 ] de la escala C
XC = 10 pL rarr I C =
part XC
part p =
part (10 pL)
part p =
1
L (10
pL) ln 10
IC = ln 10
L ∙ (10
pL) [
1
mm ] [ 9 ]
Para otras deacutecadas aplicar el factor de potencia de 10 apropiado
Esta incertidumbre tambieacuten la podemos expresar respecto de los propios valores de la
escala C reemplazando 119953 en la uacuteltima expresioacuten seguacuten [ 1 ]
IC = ln 10
L ∙ XC [
1
mm ] [ 10 ]
422 Incertidumbre relativa de la escala base
Si lo que nos interesa es cuantificar la Incertidumbre relativa i dividiremos la
Incertidumbre absoluta por el valor de lectura de la escala
iC = IC
XC =
ln 10
L [ 11 ]
La Incertidumbre relativa de la Escala Base (C) de una regla de caacutelculo es
constante y soacutelo depende inversamente de la longitud de la escala
423 Incertidumbre intriacutenseca de la escala de senos
Partiendo de la expresioacuten de la escala de senos [ 6 ]
XS= arcsen (10 pL
- 1)
part XS
part p =
part (arcsen (10 pL
-1))
part p =
1
L ∙
10 pL
- 1
radic1- (10 pL
-1)2
∙ ln 10
IS = ln 10
L ∙
10 pL
- 1
radic1 - (10 pL
- 1)2
[ rad
mm] [ 12 ]
Maacutes convenientemente reemplazando 119849 seguacuten [ 5 ] tendremos la incertidumbre en
funcioacuten del aacutengulo
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IS = ln 10
L ∙ tg XS [
rad
mm] [ 13 ]
Lo que muestra a simple vista la tendencia a infinito de la incertidumbre de la escala de
senos al acercarnos a 90ordm
424 Incertidumbre intriacutenseca de escalas LogLog
Para la escala LogLog se deduce de igual manera
LL2 (e01 x) rarr ILL3
= ln 10
L ∙ 10
pL
- 1 ∙ e 10 pL - 1
LL3 (ex) rarr ILL3
= ln 10
L ∙ 10
pL ∙ e 10
pL
Etc
425 Graacuteficos de Incertidumbre de algunas escalas comunes
Figura 3 Incertidumbre escalas usuales
Figura 4 Incertidumbre escalas trigonomeacutetricas
En el graacutefico de la incertidumbre absoluta se aprecia la constancia de la escala logariacutetmica
(que resulta lineal en la regla) Tambieacuten vemos la linealidad de la incertidumbre en la escala
logariacutetmica base C
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Figura 5 Incertidumbre relativa escalas usuales
Figura 6 Incertidumbre relativa esc trigonomeacutetricas
Observamos especialmente la ya sentildealada constancia de la incertidumbre relativa de las
escalas logariacutetmicas la base C y la B que la duplica
43 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones
De la misma manera que para las escalas podemos elaborar un iacutendice que valore coacutemo la
RC propicia el error cuando se ejecuta una operacioacuten dada En este caso la incertidumbre
estaraacute dada por las estimaciones sucesivas de valores en las escalas en combinacioacuten con las
operaciones realizadas recordando que todas las incertidumbres son funciones de la posicioacuten
dentro la escala
431 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones unitarias
Este es el caso de operaciones directas como ser hallar el cuadrado o la raiacutez de un
nuacutemero o el seno de un aacutengulo
Tomemos este uacuteltimo caso Hallar el seno de un aacutengulo implica colocar el valor del aacutengulo
en la escala S y luego leer el seno en la escala base Por ende tendremos que combinar la
incertidumbre de la escala S con la de la escala C
Llamaremos 119868119878119862 a la Incertidumbre de la escala de Senos leiacutedos en la escala C y para
encontrarlo proyectaremos la Incertidumbre de la escala S sobre la escala C y la sumaremos a
la Incertidumbre propia de la escala C para la lectura De igual manera encontraremos la
Incertidumbre de la escala C leiacuteda en la escala S de senos 119868119862119878 para el caso inverso de hallar un
aacutengulo
ISC = IS partXC
partXS + IC y ICS = IC
partXS
partXC + IS
Reemplazando y operando veremos que los iacutendices de incertidumbre tanto para leer
senos como para leer aacutengulos combinando ambas escalas son exactamente el doble de los
iacutendices sencillos de la escala de lectura (En completa concordancia con el anaacutelisis geomeacutetrico
de la acumulacioacuten de los errores de posicionamiento)
ISC = 2 IC y ICS = 2 IS
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La Incertidumbre intriacutenseca de una operacioacuten unitaria estaacute dada soacutelo por la
Incertidumbre de la escala de lectura multiplicada por dos
432 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones encadenadas
Veremos queacute sucede con la incertidumbre al realizar operaciones matemaacuteticas En
primera instancia lo haremos sobre la misma escala para lo cual tomemos por caso una simple
multiplicacioacuten 119911 = 119909 ∙ 119910 Tendremos dos elementos baacutesicos en la Incertidumbre final La
Incertidumbre de la propia multiplicacioacuten dada por la colocacioacuten de los factores y la
Incertidumbre en la lectura del resultado
IM = Ixy + Iz
IM = part(xy)
partp+ Iz = y
partx
partp+ x
party
partp+ Iz
Reemplazando x e y seguacuten [ 2 ]
IM = (10 pYL )
partx
partp+ (10
pXL )
party
partp + Iz
Al trabajar sobre la misma escala CD la funcioacuten de Incertidumbre y su derivada seraacute la
misma para las tres variables Entonces reemplazando las derivadas
IM = (10 pYL )
ln 10
L ∙ (10
pXL ) + (10
pXL )
ln 10
L ∙ (10
pYL ) + Iz
IM = ln 10
L (10
pYL ) (10
pXL ) + (10
pXL ) (10
pYL ) + Iz
IM = 2 ln 10
L (10
pX+ pY
L ) + Iz
Siendo pX
+ pY
= pZ
por el funcionamiento de la RC al multiplicar dos valores (suma de sus
segmentos logariacutetmicos) podemos escribir
IM = 2 ln 10
L (10
pZ
L ) + Iz = 2 Iz + Iz
IM = 3 Iz
Por lo tanto la Incertidumbre intriacutenseca de una multiplicacioacuten queda
determinada uacutenicamente por la Incertidumbre de la escala CD en el punto de
obtencioacuten del resultado multiplicado por el nuacutemero de estimaciones (n)
En general aunque intervengan escalas diferentes (como las escalas LL) la
funcioacuten Incertidumbre intriacutenseca de una operacioacuten estaraacute dada por la
Incertidumbre intriacutenseca de la escala de resultado (IE) multiplicada por la
cantidad de estimaciones (n)
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IOp(p) = n ∙ IE(p) [ 14 ]
Habraacute expresiones equivalentes en funcioacuten de los valores XE de la escala
Esta conclusioacuten estaacute en total concordancia con el anaacutelisis geomeacutetrico de los
desplazamientos de la reglilla con sus correspondientes errores de
posicionamiento
433 Incertidumbre de operaciones con transferencia
Para poder comparar meacutetodos de caacutelculo en general nos faltariacutea analizar los meacutetodos que
incluyen la lectura de un resultado intermedio en una escala y su recolocacioacuten en otra escala
para continuar
Estas operaciones por su variedad deben analizarse caso por caso Entonces en este
artiacuteculo desarrollaremos un caso a modo de ejemplo y de paso analizaremos la conveniencia
de dos meacutetodos alternativos de realizar el mismo caacutelculo Calcularemos con la RC
z = radica ∙ b
Recordemos que las escalas A y B son ideacutenticas entre siacute asiacute como las C y D
Meacutetodo 1
Multiplicar en las escalas de cuadrados AB y leer el resultado directamente en C
+ Gran economiacutea de estimaciones y movimientos
- Operar la multiplicacioacuten en escalas menos precisas
Figura 7Meacutetodo 1 Raiz ( 215 x 240 ) = 227 (sin lectura del producto)
Meacutetodo 2
Multiplicar y leer el producto en las escalas CD
Luego colocar el producto en la escala de cuadrados A y leer el resultado en D
+ Multiplicamos con mayor precisioacuten
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- La lectura intermedia es incoacutemoda y podriacutea empeorar la precisioacuten
Figura 8Meacutetodo 2 Primer Paso 215 x 240 = 516
Figura 9Meacutetodo 2 Segundo Paso Raiz (516) = 227
El meacutetodo 1 es una sencilla operacioacuten encadenada que consta de 3 estimaciones leyendo
finalmente sobre la escala C Su funcioacuten de incertidumbre seraacute seguacuten la expresioacuten [ 14 ]
ajustada para valores de escala y 119899 = 3
IM1(XC) = 3 ∙ IC(XC)
Reemplazando XC=z (resultado final) en [ 10 ] resulta para el meacutetodo 1
IM1(z) = 3 ∙ ln 10
L ∙ z [ 15 ]
Para el meacutetodo 2 primero tendremos que obtener la incertidumbre de la multiplicacioacuten en
la escala C incluyendo la lectura Esta incertidumbre se transfiere a la escala A y luego
debemos propagarla sobre la escala C en su punto de aplicacioacuten Y finalmente agregar la
incertidumbre de la colocacioacuten del valor en A y de la lectura de la raiacutez en la escala C
Para la multiplicacioacuten tendremos 3 estimaciones y para la raiacutez tendremos 2 La
proyeccioacuten se hace sobre el punto XC y la funcioacuten incertidumbre de la multiplicacioacuten se
evaluacutea en XC2 Entonces
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IM2(XC) = partXC
partXA ∙ 3 IC(XC
2) + 2 IC(XC)
Siendo Xc = radicXA y IC(XC) = ln 10
L ∙ XC
IM2(XC) = ln 10
L∙ (3 ∙
1
2 radicXA XC
2 + 2 XC)
IM2(XC) = ln 10
L ∙ (
3
2 XC + 2 XC )
IM2(z) = 35 ∙ ln 10
L ∙ z [ 16 ]
Comparando [ 15 ] y [ 16 ] quedan definitivamente zanjadas las subjetividades sobre cuaacutel
meacutetodo es preferible El meacutetodo 1 ademaacutes de ser maacutes coacutemodo raacutepido y seguro tambieacuten es
algo maacutes preciso (14)
44 Incertidumbre Estadiacutestica de los caacutelculos
En todo lo hecho hasta aquiacute consideramos incertidumbres maacuteximas absolutas lo cual en
la praacutectica no sucede
Para obtener un valor maacutes realista de la incertidumbre y del peso relativo del nuacutemero de
estimaciones sobre el mismo se debe tener en cuenta el concepto estadiacutestico del error Por lo
tanto la estimacioacuten de valores en la regla seguiraacute en cada caso una distribucioacuten normal
centrada en el valor exacto y el error en cada paso seraacute en algunos casos aumentado y en
otros reducido (Suponiendo razonablemente que el operador no lee con sesgos)
El enfoque estadiacutestico queda fuera del alcance de este texto pero utilizando ciertas
simplificaciones podemos asumir que
IEst = radic ( partf
partx)
2
∙ (dx)2 + ( partf
party)
2
∙ (dy)2+hellip
Operando llegamos a que en operaciones encadenadas el factor a aplicar para encontrar
la incertidumbre estadiacutesticamente esperable seraacute radic119951 en lugar de n Tendremos entonces para
un caacutelculo encadenado
IEst = radic n ∙ IE
Siendo n el nuacutemero de estimaciones e IE la funcioacuten de Incertidumbre intriacutenseca de la
escala de lectura Asiacute en la praacutectica se disminuye ligeramente la influencia de la cantidad de
caacutelculos encadenados respecto de la incertidumbre final
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5 Evaluacioacuten comparativa de Escalas y Meacutetodos
La Incertidumbre Intriacutenseca de escalas y meacutetodos es una valoracioacuten objetiva que nos
permite determinar la conveniencia en cuanto a su precisioacuten posible de un meacutetodo de caacutelculo
y sus escalas asociadas
Haremos un ejemplo de evaluacioacuten de meacutetodos y escalas para hallar senos de aacutengulos y
reciacuteprocamente usando los tres meacutetodos maacutes frecuentes encontrados en las RC Con escalas S
y C con escalas S y P y con la menos usual escala trigonomeacutetrica diferencial de senos Sd y C
51 Senos con escalas usuales (S y C)
Ya hemos visto la evaluacioacuten del procedimiento usando la escala S de senos (aacutengulos)
estaacutendar en 431
Para facilitar la evaluacioacuten expresaremos la incertidumbre de la escala C [ 10 ] en funcioacuten
de XS recordando que 119883119888 = 10 ∙ sen XS
IC = ln 10
L ∙ 10 ∙ sen XS [ 17 ]
52 Senos con escala pitagoacuterica adicional (S y P)
La escala pitagoacuterica expresa la funcioacuten radic 1 - X2 Por lo tanto si colocamos en la escala C
el valor correspondiente al coseno de un aacutengulo obtendremos en P el valor del seno del
mismo aacutengulo en virtud de la relacioacuten pitagoacuterica Esto es muy uacutetil porque permite hallar con
mayor precisioacuten senos de aacutengulos grandes para los cuales la precisioacuten de la escala C decae
mucho Para hallar el seno de 70ordm por ejemplo indicamos 30ordm en la escala de senos (aacutengulos) y
luego leemos cos(30ordm) = sin(70ordm) en la escala P
Para la escala pitagoacuterica seguimos el mismo proceso que con las escalas anteriores
comenzando con la expresioacuten de la escala P respecto de la escala CD
XP = radic 1 - ( XC
10 )
2
rarr XC = 10 radic 1 - XP2
La posicioacuten sobre la regla seguacuten [ 1 ] p = L ∙ log XC
p = L ∙ (1 + log (1-XP
2)
2)
XP = radic 1- 10 2 ∙ ( p L
- 1)
IP = partXP
part p =
- ln 10
L∙
10 2 ∙ ( p L
- 1)
radic1 - 10 2 ∙ ( p L - 1)
[ 18 ]
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Mejor expresarlo en funcioacuten de XC que es seguacuten [ 2 ] XC = 10 p
L y tambieacuten podemos
descartar el signo que no nos interesa
IP= ln 10
L∙
( XC 10
)2
radic 1 - ( XC 10
)2
[ 19 ]
Todaviacutea seriacutea mejor dado que comparamos la performance para la obtencioacuten de senos de
aacutengulos expresar 119816119823 en funcioacuten del aacutengulo complementario
Siendo XC
10= sen XS = cos Xcomp
IP = ln 10
L ∙
cos2 Xcomp
sin Xcomp [ 20 ]
Figura 10 Escala Pitagoacuterica Seno(80ordm) = P(10ordm) = 09848
53 Senos con escalas trigonomeacutetricas diferenciales (Sd y C)
La escala diferencial de senos se construye seguacuten la expresioacuten
Sd = X
sen X
Luego para obtener el seno de un aacutengulo se despeja
sen x = X
Sd
Siendo expresado X en grados sexagesimales
Lo interesante del meacutetodo es que la misma escala D se aprovecha de 1 a 9 con factor 10
para representar aacutengulos de 10ordm a 90ordm y simultaacuteneamente de 1 a 10 para representar los senos
de 01 a 1 (para la deacutecada base)
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Figura 11 Escala de Senos Diferenciales Seno(30ordm) = 05
Para operar se coloca el aacutengulo en grados sobre D luego se divide (resta de segmentos)
por el valor en la escala Sd muy convenientemente colocada en la reglilla para facilidad
operativa Y finalmente se lee el sen X en la misma escala D sobre el iacutendice de la reglilla
Y ahora es doacutende viene lo maacutes praacutectico de nuestras conclusiones Como hemos deducido
en iexclError No se encuentra el origen de la referencia la incertidumbre intriacutenseca de una
operacioacuten sin lecturas intermedias soacutelo depende de la escala de lectura final y no de la de
colocacioacuten del aacutengulo De esta forma no necesitamos preocuparnos de la incoacutemoda funcioacuten
Sd para nada soacutelo nos interesa la escala D ya estudiada Usaremos pues la expresioacuten [ 17 ]
Sin embargo vemos que hay de por medio otra operacioacuten de colocacioacuten de valor en la
escala Sd por lo que aquiacute 119847 seraacute igual a 3 en lugar de 2 empeorando potencialmente la
precisioacuten del valor obtenido
54 Comparacioacuten de los tres meacutetodos de obtencioacuten de Senos de aacutengulos
En el siguiente graacutefico comparamos la Incertidumbre de los tres meacutetodos seguacuten [ 17 ] con
119899 = 2 para S y con 119899 = 3 para Sd y seguacuten [ 20 ] con 119899 = 2 para P
En la Figura 12 vemos claramente que el meacutetodo con escalas S y P se comporta mucho
mejor para aacutengulos grandes que el meacutetodo usual con las escalas S y C Incluso globalmente
logramos algo maacutes de precisioacuten para estos aacutengulos que para los aacutengulos pequentildeoshellip
La posicioacuten de equilibrio se alcanza exactamente para los 45ordm aacutengulo a partir del cual es
conveniente usar la escala P con el aacutengulo complementario
En relacioacuten con el meacutetodo de trigonomeacutetricas diferenciales vemos que la precisioacuten
alcanzable es menor que con las escalas tradicionales debido a la introduccioacuten de la operacioacuten
de divisioacuten (salvo el pequentildeo entorno entre 57ordm y 10ordm que se obtiene en la deacutecada anterior a la
normal resultando maacutes preciso)
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Figura 12 Incertidumbre estadiacutestica para hallar sen(x) por distintos meacutetodos usuales
55 Comparando meacutetodos de obtencioacuten de aacutengulos dado su seno
Para el caso estaacutendar tenemos simplemente la funcioacuten de incertidumbre de la escala S [ 13
] con 119899 = 2
Para el caacutelculo con escala P la ecuacioacuten y 119899 seraacuten los mismos aplicada sobre los aacutengulos
complementarios
Para el caacutelculo con escala inversa Sd (ISd) los aacutengulos se leen tambieacuten sobre la escala C
por lo que corresponde evaluar la incertidumbre de la escala C transformada en escala de
aacutengulos y con 119899 = 3
Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordm
Operacioacuten Con ayuda del cursor se alinea el valor del seno en la escala D y el mismo
valor del seno en la escala ISd como en una divisioacuten (resta de segmentos) el iacutendice de la escala
C apunta al aacutengulo sobre la escala D (multiplicar por 10 en esta deacutecada)
En la Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordmtambieacuten observamos el
aacutengulo 30ordm alineado con 05 en la escala S standard La mayor incertidumbre de la escala S se
ve muy claramente para el intervalo 80ordm - 90ordm en ambas escalas (marcados en verde)
Graficando la incertidumbre para los tres meacutetodos obtenemos la Figura 14
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Figura 14 Incertidumbre estadiacutestica para hallar el arcoseno() por distintos meacutetodos
Vemos claramente que la menor alinealidad de la escala C por siacute sola permite al meacutetodo
de escala inversa de senos diferenciales tener resultados mejores que una regla estaacutendar al
momento de hallar aacutengulos por sus senos Especialmente para aacutengulos grandes y a pesar de
la penalizacioacuten de un 119899 = 3
Sin embargo siempre una regla con escalas S y P produce mejores resultados que las
demaacutes
6 Conclusiones
El meacutetodo de anaacutelisis de las escalas y operaciones a traveacutes de la incertidumbre intriacutenseca
resulta muy uacutetil para evaluar objetivamente la conveniencia de unas escalas y meacutetodos sobre
otros alternativos para mejorar la precisioacuten A su vez el meacutetodo nos permitioacute demostrar
algunos supuestos muy difundidos sobre las RC y rebatir otros con facilidad Entre las
conclusiones notables se destacan
- La incertidumbre intriacutenseca es una funcioacuten que variacutea a lo largo de la escala y puede
escribirse en funcioacuten de la posicioacuten geomeacutetrica de los valores de la escala o de los
valores de otra escala conveniente
- La incertidumbre de una escala es inversamente proporcional a su longitud fiacutesica
- La incertidumbre relativa de una escala logariacutetmica es constante
- La funcioacuten incertidumbre maacutexima absoluta de una operacioacuten con RC sin lectura
intermedia de valores estaacute dada solamente por la incertidumbre de la escala de
lectura final multiplicada por la cantidad de estimaciones 119951 Esta conclusioacuten es vital
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porque nos permite prescindir del anaacutelisis de incertidumbre de las escalas que no son
las que usamos para leer el resultado
- Esta funcioacuten incertidumbre se evaluacutea simplemente en el punto de lectura del
resultado final (teniendo en cuenta los cambios de deacutecada pertinentes)
- La incertidumbre estadiacutestica en caacutelculos complejos seraacute menor a la maacutexima y variacutea
seguacuten el factor radic119951
- El nuacutemero 119951 de estimaciones suele ser un factor de gran influencia sobre la
incertidumbre producida en caacutelculos complejos por lo que es muy importante su
reduccioacuten
- Si la operacioacuten contiene lecturas intermedias el caacutelculo de la incertidumbre total no es
directo y debe realizarse agregando la propagacioacuten claacutesica de incertidumbre a traveacutes
de foacutermulas para los valores intermedios leiacutedos y recolocados
- La incidencia de las lecturas y colocaciones de valores intermedios en la
incertidumbre de un caacutelculo complejo puede ser muy importante y en general
conviene que estas operaciones sean evitadas cuando sea posible
- Queda suficientemente claro que las dificultades del problema de la precisioacuten superan
ampliamente la tiacutepica definicioacuten popular de ldquotres diacutegitos significativosrdquo Aunque
por supuesto no queda invalidada como una raacutepida aproximacioacuten al promedio de
precisioacuten para una regla estaacutendar
- Conclusiones Operativas expuestas como ejemplo
Las reglas con escala P son las maacutes precisas para las funciones trigonomeacutetrisas
directas e inversas
Las reglas con escalas trigonomeacutetricas diferenciales mejoran la precisioacuten de
una regla tiacutepica con escala S para las funciones inversas pero son
praacutecticamente ideacutenticas para las funciones directas
Para operaciones como z = radica ∙ b es algo maacutes preciso multiplicar sobre las
escalas cuadraacuteticas A B y leer la raiz en D
7 Agradecimientos
Deseo agradecer al Ing Santiago Higuera de Frutos por su estiacutemulo y apoyo para la
realizacioacuten del presente artiacuteculo y su ayuda para la revisioacuten y presentacioacuten del mismo
Tambieacuten quiero agradecer a los miembros de la agrupacioacuten ARC ldquoAmigos de las reglas de
caacutelculordquo y especialmente a su fundador Jorge Faacutebregas Zazza por su inmensa y desinteresada
tarea
8 Lectura Introductoria
HIGUERA DE FRUTOS Santiago Reglas de Caacutelculo Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Vol
VI Nuacutem 2 Octubre 2016
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
148 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
httpwwwreglasdecalculocom Web de Jorge Faacutebregas Zazza donde se expone su
vasta coleccioacuten de reglas de caacutelculo y manuales en espantildeol y cantidad de recursos uacutetiles
y links para interesados y coleccionistas particularmente un cursillo introductorio sobre
su uso en httpwwwreglasdecalculocomteoriaypracticahtm
Referencias
[1] TAYLOR John Robert An introduction to error analysis 2nd edition caps 3 y 5 University
Science Books California 1997
[2] LINDBERG Vern Uncertainties and error propagation httpsgooglzz0QuJ
Sobre el autor
Nombre Jorge Luis Victoria
Correo Electroacutenico jorgeluisvictoriaricogmailcom
Profesioacuten Profesional Autoacutenomo
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
132 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
- Llamaremos estimacioacuten a todas las operaciones sobre una escala que introduzcan
incertidumbre a saber
Ajustar el cursor a un valor en una escala
Ajustar un valor en una escala moacutevil sobre la liacutenea del cursor
Ajustar un iacutendice de escala sobre un valor de otra escala
Leer en una escala un valor apuntado por el cursor o por un iacutendice
- El nuacutemero de estimaciones es muy importante y usualmente lo llamamos 119951
- Llamamos XE a los valores X representados en una escala E
- Llamamos p a la posicioacuten geomeacutetrica sobre la regla de un determinado valor de una
escala (usualmente distancia al iacutendice 1 de la escala CD)
- Llamamos L a la longitud total de la escala
Figura 1 Regla de bolsillo de alta calidad
4 Incertidumbre Intriacutenseca
Denominaremos incertidumbre intriacutenseca a una medida de la incertidumbre en los
caacutelculos realizados con una RC propiciada por las caracteriacutesticas de las escalas y de los
meacutetodos utilizados Aquiacute la palabra clave es ldquopropiciadordquo y con el concepto de incertidumbre
intriacutenseca cuantificaremos la dificultad que ofrece el instrumento a un operador para obtener
una mejor precisioacuten en los caacutelculos
41 Trazado de escalas
Veremos primero las ecuaciones del trazado de las escalas en la regla
Hallaremos como ejemplo las expresiones para una regla ficticia con las escalas estaacutendar
B S C de una determinada longitud geomeacutetrica L
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Figura 2 Tres ejemplos de escalas en una RC
Escala base C D Un punto cualquiera en la escala etiquetado con el valor 119935119914 deberaacute
dibujarse en la posicioacuten 119953 Por la definicioacuten de la escala logariacutetmica esta posicioacuten seraacute
p = L∙ log XC [ 1 ]
Su inversa XC = 10 p
L [ 2 ]
Escala de Cuadrados A B Un punto cualquiera en la escala etiquetado con el valor 119935119913
deberaacute dibujarse en la posicioacuten 119953 Para referir esta escala a la escala base recordamos la
relacioacuten entre ambas escalas
XB = XC2 rarr XC = radicXB [ 3 ]
p = L ∙ log XC = L ∙ log (radicXB) = L ∙ 1
2 log XB
p = L
2 log XB [ 4 ]
Escala de Senos S (aacutengulos) Un punto de la escala etiquetado con el valor 119935119930 deberaacute
dibujarse en la posicioacuten 119953 Para referir esta escala a la escala base recordamos
XS = arcsen XC rarr XC = sen XS
p = L ∙ log XC = L ∙ log (sen XS)
Como la funcioacuten seno (primer cuadrante) toma valores entre 0 y 1 en la escala S se
introduce un factor de deacutecada 119865119889 = 10 de manera de ajustar los valores leiacutedos a la deacutecada
logariacutetmica correcta En este caso a la deacutecada 1 ndash 10
p = L∙ log(Fd∙XC
)
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p = L∙ log (10 sen XS) [ 5 ]
Su inversa XS= arcsen (10p
L -1) [ 6 ]
Reemplazando los valores de las etiquetas XC= 5 XB= 25 XS= 30ordm en las expresiones [ 1
][ 4 ][ 5 ] correspondientes al ejemplo de la Figura 2 para una escala de Longitud normal
L=250 mm y para el factor de deacutecada de senos habitual Fd=10 comprobamos seguacuten lo
esperado la perfecta alineacioacuten de las marcas
p = 17474 mm
En general Cada valor Xf de la escala para f(x) (referido a x en la escala base) se
representaraacute en la posicioacuten p seguacuten
p = L ∙ log(Fd∙ f-1(Xf)) [ 7 ]
Inversamente la funcioacuten en siacute 119831119839 = 119839 (120783120782
119849 119819
119813119837) [ 8 ]
De esta manera podemos representar en una RC cualquier funcioacuten que nos pueda resultar
uacutetil referida a la escala base (Aunque no siempre habraacute funciones inversas directas)
42 Incertidumbre intriacutenseca de las escalas
En la lectura o colocacioacuten de un valor en una escala la incertidumbre vendraacute dada por un
desplazamiento del punto real respecto del ideal Digamos como ejemplo que al colocar el
cursor sobre un valor en realidad lo estariacuteamos colocando algunas deacutecimas de miliacutemetro a un
lado de la posicioacuten precisa lo que equivale a utilizar un valor diferente
No siendo las escalas lineales el error producido por este desplazamiento no seraacute
constante a lo largo de toda la escala sino seraacute una funcioacuten de la posicioacuten sobre eacutesta Podemos
cuantificar este concepto de ldquoIncertidumbrerdquo mediante un iacutendice que indique la variacioacuten de
los valores Xf de la escala f para un desplazamiento unitario en funcioacuten de la posicioacuten fiacutesica p
De manera que en una escala de mayor incertidumbre intriacutenseca un desplazamiento unitario
del punto de lectura produciraacute un mayor error que en una escala de menor incertidumbre
Esto no es maacutes que la derivada de los valores respecto de la posicioacuten
Definimos la funcioacuten Incertidumbre intriacutenseca 119816119839(119849) de la escala f a
Incertidumbre intriacutenseca If = part Xf
part p
Este iacutendice es un claro indicador de la ldquosensibilidadrdquo de la escala a los errores de
posicionamiento (Siendo siempre pequentildeos entornos la escala puede considerarse lineal)
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421 Incertidumbre intriacutenseca de la escala base
Para la escala base C tendremos sin duda una curva exponencial Partiendo de la ecuacioacuten
[ 2 ] de la escala C
XC = 10 pL rarr I C =
part XC
part p =
part (10 pL)
part p =
1
L (10
pL) ln 10
IC = ln 10
L ∙ (10
pL) [
1
mm ] [ 9 ]
Para otras deacutecadas aplicar el factor de potencia de 10 apropiado
Esta incertidumbre tambieacuten la podemos expresar respecto de los propios valores de la
escala C reemplazando 119953 en la uacuteltima expresioacuten seguacuten [ 1 ]
IC = ln 10
L ∙ XC [
1
mm ] [ 10 ]
422 Incertidumbre relativa de la escala base
Si lo que nos interesa es cuantificar la Incertidumbre relativa i dividiremos la
Incertidumbre absoluta por el valor de lectura de la escala
iC = IC
XC =
ln 10
L [ 11 ]
La Incertidumbre relativa de la Escala Base (C) de una regla de caacutelculo es
constante y soacutelo depende inversamente de la longitud de la escala
423 Incertidumbre intriacutenseca de la escala de senos
Partiendo de la expresioacuten de la escala de senos [ 6 ]
XS= arcsen (10 pL
- 1)
part XS
part p =
part (arcsen (10 pL
-1))
part p =
1
L ∙
10 pL
- 1
radic1- (10 pL
-1)2
∙ ln 10
IS = ln 10
L ∙
10 pL
- 1
radic1 - (10 pL
- 1)2
[ rad
mm] [ 12 ]
Maacutes convenientemente reemplazando 119849 seguacuten [ 5 ] tendremos la incertidumbre en
funcioacuten del aacutengulo
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IS = ln 10
L ∙ tg XS [
rad
mm] [ 13 ]
Lo que muestra a simple vista la tendencia a infinito de la incertidumbre de la escala de
senos al acercarnos a 90ordm
424 Incertidumbre intriacutenseca de escalas LogLog
Para la escala LogLog se deduce de igual manera
LL2 (e01 x) rarr ILL3
= ln 10
L ∙ 10
pL
- 1 ∙ e 10 pL - 1
LL3 (ex) rarr ILL3
= ln 10
L ∙ 10
pL ∙ e 10
pL
Etc
425 Graacuteficos de Incertidumbre de algunas escalas comunes
Figura 3 Incertidumbre escalas usuales
Figura 4 Incertidumbre escalas trigonomeacutetricas
En el graacutefico de la incertidumbre absoluta se aprecia la constancia de la escala logariacutetmica
(que resulta lineal en la regla) Tambieacuten vemos la linealidad de la incertidumbre en la escala
logariacutetmica base C
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Figura 5 Incertidumbre relativa escalas usuales
Figura 6 Incertidumbre relativa esc trigonomeacutetricas
Observamos especialmente la ya sentildealada constancia de la incertidumbre relativa de las
escalas logariacutetmicas la base C y la B que la duplica
43 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones
De la misma manera que para las escalas podemos elaborar un iacutendice que valore coacutemo la
RC propicia el error cuando se ejecuta una operacioacuten dada En este caso la incertidumbre
estaraacute dada por las estimaciones sucesivas de valores en las escalas en combinacioacuten con las
operaciones realizadas recordando que todas las incertidumbres son funciones de la posicioacuten
dentro la escala
431 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones unitarias
Este es el caso de operaciones directas como ser hallar el cuadrado o la raiacutez de un
nuacutemero o el seno de un aacutengulo
Tomemos este uacuteltimo caso Hallar el seno de un aacutengulo implica colocar el valor del aacutengulo
en la escala S y luego leer el seno en la escala base Por ende tendremos que combinar la
incertidumbre de la escala S con la de la escala C
Llamaremos 119868119878119862 a la Incertidumbre de la escala de Senos leiacutedos en la escala C y para
encontrarlo proyectaremos la Incertidumbre de la escala S sobre la escala C y la sumaremos a
la Incertidumbre propia de la escala C para la lectura De igual manera encontraremos la
Incertidumbre de la escala C leiacuteda en la escala S de senos 119868119862119878 para el caso inverso de hallar un
aacutengulo
ISC = IS partXC
partXS + IC y ICS = IC
partXS
partXC + IS
Reemplazando y operando veremos que los iacutendices de incertidumbre tanto para leer
senos como para leer aacutengulos combinando ambas escalas son exactamente el doble de los
iacutendices sencillos de la escala de lectura (En completa concordancia con el anaacutelisis geomeacutetrico
de la acumulacioacuten de los errores de posicionamiento)
ISC = 2 IC y ICS = 2 IS
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La Incertidumbre intriacutenseca de una operacioacuten unitaria estaacute dada soacutelo por la
Incertidumbre de la escala de lectura multiplicada por dos
432 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones encadenadas
Veremos queacute sucede con la incertidumbre al realizar operaciones matemaacuteticas En
primera instancia lo haremos sobre la misma escala para lo cual tomemos por caso una simple
multiplicacioacuten 119911 = 119909 ∙ 119910 Tendremos dos elementos baacutesicos en la Incertidumbre final La
Incertidumbre de la propia multiplicacioacuten dada por la colocacioacuten de los factores y la
Incertidumbre en la lectura del resultado
IM = Ixy + Iz
IM = part(xy)
partp+ Iz = y
partx
partp+ x
party
partp+ Iz
Reemplazando x e y seguacuten [ 2 ]
IM = (10 pYL )
partx
partp+ (10
pXL )
party
partp + Iz
Al trabajar sobre la misma escala CD la funcioacuten de Incertidumbre y su derivada seraacute la
misma para las tres variables Entonces reemplazando las derivadas
IM = (10 pYL )
ln 10
L ∙ (10
pXL ) + (10
pXL )
ln 10
L ∙ (10
pYL ) + Iz
IM = ln 10
L (10
pYL ) (10
pXL ) + (10
pXL ) (10
pYL ) + Iz
IM = 2 ln 10
L (10
pX+ pY
L ) + Iz
Siendo pX
+ pY
= pZ
por el funcionamiento de la RC al multiplicar dos valores (suma de sus
segmentos logariacutetmicos) podemos escribir
IM = 2 ln 10
L (10
pZ
L ) + Iz = 2 Iz + Iz
IM = 3 Iz
Por lo tanto la Incertidumbre intriacutenseca de una multiplicacioacuten queda
determinada uacutenicamente por la Incertidumbre de la escala CD en el punto de
obtencioacuten del resultado multiplicado por el nuacutemero de estimaciones (n)
En general aunque intervengan escalas diferentes (como las escalas LL) la
funcioacuten Incertidumbre intriacutenseca de una operacioacuten estaraacute dada por la
Incertidumbre intriacutenseca de la escala de resultado (IE) multiplicada por la
cantidad de estimaciones (n)
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IOp(p) = n ∙ IE(p) [ 14 ]
Habraacute expresiones equivalentes en funcioacuten de los valores XE de la escala
Esta conclusioacuten estaacute en total concordancia con el anaacutelisis geomeacutetrico de los
desplazamientos de la reglilla con sus correspondientes errores de
posicionamiento
433 Incertidumbre de operaciones con transferencia
Para poder comparar meacutetodos de caacutelculo en general nos faltariacutea analizar los meacutetodos que
incluyen la lectura de un resultado intermedio en una escala y su recolocacioacuten en otra escala
para continuar
Estas operaciones por su variedad deben analizarse caso por caso Entonces en este
artiacuteculo desarrollaremos un caso a modo de ejemplo y de paso analizaremos la conveniencia
de dos meacutetodos alternativos de realizar el mismo caacutelculo Calcularemos con la RC
z = radica ∙ b
Recordemos que las escalas A y B son ideacutenticas entre siacute asiacute como las C y D
Meacutetodo 1
Multiplicar en las escalas de cuadrados AB y leer el resultado directamente en C
+ Gran economiacutea de estimaciones y movimientos
- Operar la multiplicacioacuten en escalas menos precisas
Figura 7Meacutetodo 1 Raiz ( 215 x 240 ) = 227 (sin lectura del producto)
Meacutetodo 2
Multiplicar y leer el producto en las escalas CD
Luego colocar el producto en la escala de cuadrados A y leer el resultado en D
+ Multiplicamos con mayor precisioacuten
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- La lectura intermedia es incoacutemoda y podriacutea empeorar la precisioacuten
Figura 8Meacutetodo 2 Primer Paso 215 x 240 = 516
Figura 9Meacutetodo 2 Segundo Paso Raiz (516) = 227
El meacutetodo 1 es una sencilla operacioacuten encadenada que consta de 3 estimaciones leyendo
finalmente sobre la escala C Su funcioacuten de incertidumbre seraacute seguacuten la expresioacuten [ 14 ]
ajustada para valores de escala y 119899 = 3
IM1(XC) = 3 ∙ IC(XC)
Reemplazando XC=z (resultado final) en [ 10 ] resulta para el meacutetodo 1
IM1(z) = 3 ∙ ln 10
L ∙ z [ 15 ]
Para el meacutetodo 2 primero tendremos que obtener la incertidumbre de la multiplicacioacuten en
la escala C incluyendo la lectura Esta incertidumbre se transfiere a la escala A y luego
debemos propagarla sobre la escala C en su punto de aplicacioacuten Y finalmente agregar la
incertidumbre de la colocacioacuten del valor en A y de la lectura de la raiacutez en la escala C
Para la multiplicacioacuten tendremos 3 estimaciones y para la raiacutez tendremos 2 La
proyeccioacuten se hace sobre el punto XC y la funcioacuten incertidumbre de la multiplicacioacuten se
evaluacutea en XC2 Entonces
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IM2(XC) = partXC
partXA ∙ 3 IC(XC
2) + 2 IC(XC)
Siendo Xc = radicXA y IC(XC) = ln 10
L ∙ XC
IM2(XC) = ln 10
L∙ (3 ∙
1
2 radicXA XC
2 + 2 XC)
IM2(XC) = ln 10
L ∙ (
3
2 XC + 2 XC )
IM2(z) = 35 ∙ ln 10
L ∙ z [ 16 ]
Comparando [ 15 ] y [ 16 ] quedan definitivamente zanjadas las subjetividades sobre cuaacutel
meacutetodo es preferible El meacutetodo 1 ademaacutes de ser maacutes coacutemodo raacutepido y seguro tambieacuten es
algo maacutes preciso (14)
44 Incertidumbre Estadiacutestica de los caacutelculos
En todo lo hecho hasta aquiacute consideramos incertidumbres maacuteximas absolutas lo cual en
la praacutectica no sucede
Para obtener un valor maacutes realista de la incertidumbre y del peso relativo del nuacutemero de
estimaciones sobre el mismo se debe tener en cuenta el concepto estadiacutestico del error Por lo
tanto la estimacioacuten de valores en la regla seguiraacute en cada caso una distribucioacuten normal
centrada en el valor exacto y el error en cada paso seraacute en algunos casos aumentado y en
otros reducido (Suponiendo razonablemente que el operador no lee con sesgos)
El enfoque estadiacutestico queda fuera del alcance de este texto pero utilizando ciertas
simplificaciones podemos asumir que
IEst = radic ( partf
partx)
2
∙ (dx)2 + ( partf
party)
2
∙ (dy)2+hellip
Operando llegamos a que en operaciones encadenadas el factor a aplicar para encontrar
la incertidumbre estadiacutesticamente esperable seraacute radic119951 en lugar de n Tendremos entonces para
un caacutelculo encadenado
IEst = radic n ∙ IE
Siendo n el nuacutemero de estimaciones e IE la funcioacuten de Incertidumbre intriacutenseca de la
escala de lectura Asiacute en la praacutectica se disminuye ligeramente la influencia de la cantidad de
caacutelculos encadenados respecto de la incertidumbre final
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5 Evaluacioacuten comparativa de Escalas y Meacutetodos
La Incertidumbre Intriacutenseca de escalas y meacutetodos es una valoracioacuten objetiva que nos
permite determinar la conveniencia en cuanto a su precisioacuten posible de un meacutetodo de caacutelculo
y sus escalas asociadas
Haremos un ejemplo de evaluacioacuten de meacutetodos y escalas para hallar senos de aacutengulos y
reciacuteprocamente usando los tres meacutetodos maacutes frecuentes encontrados en las RC Con escalas S
y C con escalas S y P y con la menos usual escala trigonomeacutetrica diferencial de senos Sd y C
51 Senos con escalas usuales (S y C)
Ya hemos visto la evaluacioacuten del procedimiento usando la escala S de senos (aacutengulos)
estaacutendar en 431
Para facilitar la evaluacioacuten expresaremos la incertidumbre de la escala C [ 10 ] en funcioacuten
de XS recordando que 119883119888 = 10 ∙ sen XS
IC = ln 10
L ∙ 10 ∙ sen XS [ 17 ]
52 Senos con escala pitagoacuterica adicional (S y P)
La escala pitagoacuterica expresa la funcioacuten radic 1 - X2 Por lo tanto si colocamos en la escala C
el valor correspondiente al coseno de un aacutengulo obtendremos en P el valor del seno del
mismo aacutengulo en virtud de la relacioacuten pitagoacuterica Esto es muy uacutetil porque permite hallar con
mayor precisioacuten senos de aacutengulos grandes para los cuales la precisioacuten de la escala C decae
mucho Para hallar el seno de 70ordm por ejemplo indicamos 30ordm en la escala de senos (aacutengulos) y
luego leemos cos(30ordm) = sin(70ordm) en la escala P
Para la escala pitagoacuterica seguimos el mismo proceso que con las escalas anteriores
comenzando con la expresioacuten de la escala P respecto de la escala CD
XP = radic 1 - ( XC
10 )
2
rarr XC = 10 radic 1 - XP2
La posicioacuten sobre la regla seguacuten [ 1 ] p = L ∙ log XC
p = L ∙ (1 + log (1-XP
2)
2)
XP = radic 1- 10 2 ∙ ( p L
- 1)
IP = partXP
part p =
- ln 10
L∙
10 2 ∙ ( p L
- 1)
radic1 - 10 2 ∙ ( p L - 1)
[ 18 ]
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Mejor expresarlo en funcioacuten de XC que es seguacuten [ 2 ] XC = 10 p
L y tambieacuten podemos
descartar el signo que no nos interesa
IP= ln 10
L∙
( XC 10
)2
radic 1 - ( XC 10
)2
[ 19 ]
Todaviacutea seriacutea mejor dado que comparamos la performance para la obtencioacuten de senos de
aacutengulos expresar 119816119823 en funcioacuten del aacutengulo complementario
Siendo XC
10= sen XS = cos Xcomp
IP = ln 10
L ∙
cos2 Xcomp
sin Xcomp [ 20 ]
Figura 10 Escala Pitagoacuterica Seno(80ordm) = P(10ordm) = 09848
53 Senos con escalas trigonomeacutetricas diferenciales (Sd y C)
La escala diferencial de senos se construye seguacuten la expresioacuten
Sd = X
sen X
Luego para obtener el seno de un aacutengulo se despeja
sen x = X
Sd
Siendo expresado X en grados sexagesimales
Lo interesante del meacutetodo es que la misma escala D se aprovecha de 1 a 9 con factor 10
para representar aacutengulos de 10ordm a 90ordm y simultaacuteneamente de 1 a 10 para representar los senos
de 01 a 1 (para la deacutecada base)
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Figura 11 Escala de Senos Diferenciales Seno(30ordm) = 05
Para operar se coloca el aacutengulo en grados sobre D luego se divide (resta de segmentos)
por el valor en la escala Sd muy convenientemente colocada en la reglilla para facilidad
operativa Y finalmente se lee el sen X en la misma escala D sobre el iacutendice de la reglilla
Y ahora es doacutende viene lo maacutes praacutectico de nuestras conclusiones Como hemos deducido
en iexclError No se encuentra el origen de la referencia la incertidumbre intriacutenseca de una
operacioacuten sin lecturas intermedias soacutelo depende de la escala de lectura final y no de la de
colocacioacuten del aacutengulo De esta forma no necesitamos preocuparnos de la incoacutemoda funcioacuten
Sd para nada soacutelo nos interesa la escala D ya estudiada Usaremos pues la expresioacuten [ 17 ]
Sin embargo vemos que hay de por medio otra operacioacuten de colocacioacuten de valor en la
escala Sd por lo que aquiacute 119847 seraacute igual a 3 en lugar de 2 empeorando potencialmente la
precisioacuten del valor obtenido
54 Comparacioacuten de los tres meacutetodos de obtencioacuten de Senos de aacutengulos
En el siguiente graacutefico comparamos la Incertidumbre de los tres meacutetodos seguacuten [ 17 ] con
119899 = 2 para S y con 119899 = 3 para Sd y seguacuten [ 20 ] con 119899 = 2 para P
En la Figura 12 vemos claramente que el meacutetodo con escalas S y P se comporta mucho
mejor para aacutengulos grandes que el meacutetodo usual con las escalas S y C Incluso globalmente
logramos algo maacutes de precisioacuten para estos aacutengulos que para los aacutengulos pequentildeoshellip
La posicioacuten de equilibrio se alcanza exactamente para los 45ordm aacutengulo a partir del cual es
conveniente usar la escala P con el aacutengulo complementario
En relacioacuten con el meacutetodo de trigonomeacutetricas diferenciales vemos que la precisioacuten
alcanzable es menor que con las escalas tradicionales debido a la introduccioacuten de la operacioacuten
de divisioacuten (salvo el pequentildeo entorno entre 57ordm y 10ordm que se obtiene en la deacutecada anterior a la
normal resultando maacutes preciso)
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Figura 12 Incertidumbre estadiacutestica para hallar sen(x) por distintos meacutetodos usuales
55 Comparando meacutetodos de obtencioacuten de aacutengulos dado su seno
Para el caso estaacutendar tenemos simplemente la funcioacuten de incertidumbre de la escala S [ 13
] con 119899 = 2
Para el caacutelculo con escala P la ecuacioacuten y 119899 seraacuten los mismos aplicada sobre los aacutengulos
complementarios
Para el caacutelculo con escala inversa Sd (ISd) los aacutengulos se leen tambieacuten sobre la escala C
por lo que corresponde evaluar la incertidumbre de la escala C transformada en escala de
aacutengulos y con 119899 = 3
Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordm
Operacioacuten Con ayuda del cursor se alinea el valor del seno en la escala D y el mismo
valor del seno en la escala ISd como en una divisioacuten (resta de segmentos) el iacutendice de la escala
C apunta al aacutengulo sobre la escala D (multiplicar por 10 en esta deacutecada)
En la Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordmtambieacuten observamos el
aacutengulo 30ordm alineado con 05 en la escala S standard La mayor incertidumbre de la escala S se
ve muy claramente para el intervalo 80ordm - 90ordm en ambas escalas (marcados en verde)
Graficando la incertidumbre para los tres meacutetodos obtenemos la Figura 14
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Figura 14 Incertidumbre estadiacutestica para hallar el arcoseno() por distintos meacutetodos
Vemos claramente que la menor alinealidad de la escala C por siacute sola permite al meacutetodo
de escala inversa de senos diferenciales tener resultados mejores que una regla estaacutendar al
momento de hallar aacutengulos por sus senos Especialmente para aacutengulos grandes y a pesar de
la penalizacioacuten de un 119899 = 3
Sin embargo siempre una regla con escalas S y P produce mejores resultados que las
demaacutes
6 Conclusiones
El meacutetodo de anaacutelisis de las escalas y operaciones a traveacutes de la incertidumbre intriacutenseca
resulta muy uacutetil para evaluar objetivamente la conveniencia de unas escalas y meacutetodos sobre
otros alternativos para mejorar la precisioacuten A su vez el meacutetodo nos permitioacute demostrar
algunos supuestos muy difundidos sobre las RC y rebatir otros con facilidad Entre las
conclusiones notables se destacan
- La incertidumbre intriacutenseca es una funcioacuten que variacutea a lo largo de la escala y puede
escribirse en funcioacuten de la posicioacuten geomeacutetrica de los valores de la escala o de los
valores de otra escala conveniente
- La incertidumbre de una escala es inversamente proporcional a su longitud fiacutesica
- La incertidumbre relativa de una escala logariacutetmica es constante
- La funcioacuten incertidumbre maacutexima absoluta de una operacioacuten con RC sin lectura
intermedia de valores estaacute dada solamente por la incertidumbre de la escala de
lectura final multiplicada por la cantidad de estimaciones 119951 Esta conclusioacuten es vital
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porque nos permite prescindir del anaacutelisis de incertidumbre de las escalas que no son
las que usamos para leer el resultado
- Esta funcioacuten incertidumbre se evaluacutea simplemente en el punto de lectura del
resultado final (teniendo en cuenta los cambios de deacutecada pertinentes)
- La incertidumbre estadiacutestica en caacutelculos complejos seraacute menor a la maacutexima y variacutea
seguacuten el factor radic119951
- El nuacutemero 119951 de estimaciones suele ser un factor de gran influencia sobre la
incertidumbre producida en caacutelculos complejos por lo que es muy importante su
reduccioacuten
- Si la operacioacuten contiene lecturas intermedias el caacutelculo de la incertidumbre total no es
directo y debe realizarse agregando la propagacioacuten claacutesica de incertidumbre a traveacutes
de foacutermulas para los valores intermedios leiacutedos y recolocados
- La incidencia de las lecturas y colocaciones de valores intermedios en la
incertidumbre de un caacutelculo complejo puede ser muy importante y en general
conviene que estas operaciones sean evitadas cuando sea posible
- Queda suficientemente claro que las dificultades del problema de la precisioacuten superan
ampliamente la tiacutepica definicioacuten popular de ldquotres diacutegitos significativosrdquo Aunque
por supuesto no queda invalidada como una raacutepida aproximacioacuten al promedio de
precisioacuten para una regla estaacutendar
- Conclusiones Operativas expuestas como ejemplo
Las reglas con escala P son las maacutes precisas para las funciones trigonomeacutetrisas
directas e inversas
Las reglas con escalas trigonomeacutetricas diferenciales mejoran la precisioacuten de
una regla tiacutepica con escala S para las funciones inversas pero son
praacutecticamente ideacutenticas para las funciones directas
Para operaciones como z = radica ∙ b es algo maacutes preciso multiplicar sobre las
escalas cuadraacuteticas A B y leer la raiz en D
7 Agradecimientos
Deseo agradecer al Ing Santiago Higuera de Frutos por su estiacutemulo y apoyo para la
realizacioacuten del presente artiacuteculo y su ayuda para la revisioacuten y presentacioacuten del mismo
Tambieacuten quiero agradecer a los miembros de la agrupacioacuten ARC ldquoAmigos de las reglas de
caacutelculordquo y especialmente a su fundador Jorge Faacutebregas Zazza por su inmensa y desinteresada
tarea
8 Lectura Introductoria
HIGUERA DE FRUTOS Santiago Reglas de Caacutelculo Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Vol
VI Nuacutem 2 Octubre 2016
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
148 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
httpwwwreglasdecalculocom Web de Jorge Faacutebregas Zazza donde se expone su
vasta coleccioacuten de reglas de caacutelculo y manuales en espantildeol y cantidad de recursos uacutetiles
y links para interesados y coleccionistas particularmente un cursillo introductorio sobre
su uso en httpwwwreglasdecalculocomteoriaypracticahtm
Referencias
[1] TAYLOR John Robert An introduction to error analysis 2nd edition caps 3 y 5 University
Science Books California 1997
[2] LINDBERG Vern Uncertainties and error propagation httpsgooglzz0QuJ
Sobre el autor
Nombre Jorge Luis Victoria
Correo Electroacutenico jorgeluisvictoriaricogmailcom
Profesioacuten Profesional Autoacutenomo
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 133
Figura 2 Tres ejemplos de escalas en una RC
Escala base C D Un punto cualquiera en la escala etiquetado con el valor 119935119914 deberaacute
dibujarse en la posicioacuten 119953 Por la definicioacuten de la escala logariacutetmica esta posicioacuten seraacute
p = L∙ log XC [ 1 ]
Su inversa XC = 10 p
L [ 2 ]
Escala de Cuadrados A B Un punto cualquiera en la escala etiquetado con el valor 119935119913
deberaacute dibujarse en la posicioacuten 119953 Para referir esta escala a la escala base recordamos la
relacioacuten entre ambas escalas
XB = XC2 rarr XC = radicXB [ 3 ]
p = L ∙ log XC = L ∙ log (radicXB) = L ∙ 1
2 log XB
p = L
2 log XB [ 4 ]
Escala de Senos S (aacutengulos) Un punto de la escala etiquetado con el valor 119935119930 deberaacute
dibujarse en la posicioacuten 119953 Para referir esta escala a la escala base recordamos
XS = arcsen XC rarr XC = sen XS
p = L ∙ log XC = L ∙ log (sen XS)
Como la funcioacuten seno (primer cuadrante) toma valores entre 0 y 1 en la escala S se
introduce un factor de deacutecada 119865119889 = 10 de manera de ajustar los valores leiacutedos a la deacutecada
logariacutetmica correcta En este caso a la deacutecada 1 ndash 10
p = L∙ log(Fd∙XC
)
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p = L∙ log (10 sen XS) [ 5 ]
Su inversa XS= arcsen (10p
L -1) [ 6 ]
Reemplazando los valores de las etiquetas XC= 5 XB= 25 XS= 30ordm en las expresiones [ 1
][ 4 ][ 5 ] correspondientes al ejemplo de la Figura 2 para una escala de Longitud normal
L=250 mm y para el factor de deacutecada de senos habitual Fd=10 comprobamos seguacuten lo
esperado la perfecta alineacioacuten de las marcas
p = 17474 mm
En general Cada valor Xf de la escala para f(x) (referido a x en la escala base) se
representaraacute en la posicioacuten p seguacuten
p = L ∙ log(Fd∙ f-1(Xf)) [ 7 ]
Inversamente la funcioacuten en siacute 119831119839 = 119839 (120783120782
119849 119819
119813119837) [ 8 ]
De esta manera podemos representar en una RC cualquier funcioacuten que nos pueda resultar
uacutetil referida a la escala base (Aunque no siempre habraacute funciones inversas directas)
42 Incertidumbre intriacutenseca de las escalas
En la lectura o colocacioacuten de un valor en una escala la incertidumbre vendraacute dada por un
desplazamiento del punto real respecto del ideal Digamos como ejemplo que al colocar el
cursor sobre un valor en realidad lo estariacuteamos colocando algunas deacutecimas de miliacutemetro a un
lado de la posicioacuten precisa lo que equivale a utilizar un valor diferente
No siendo las escalas lineales el error producido por este desplazamiento no seraacute
constante a lo largo de toda la escala sino seraacute una funcioacuten de la posicioacuten sobre eacutesta Podemos
cuantificar este concepto de ldquoIncertidumbrerdquo mediante un iacutendice que indique la variacioacuten de
los valores Xf de la escala f para un desplazamiento unitario en funcioacuten de la posicioacuten fiacutesica p
De manera que en una escala de mayor incertidumbre intriacutenseca un desplazamiento unitario
del punto de lectura produciraacute un mayor error que en una escala de menor incertidumbre
Esto no es maacutes que la derivada de los valores respecto de la posicioacuten
Definimos la funcioacuten Incertidumbre intriacutenseca 119816119839(119849) de la escala f a
Incertidumbre intriacutenseca If = part Xf
part p
Este iacutendice es un claro indicador de la ldquosensibilidadrdquo de la escala a los errores de
posicionamiento (Siendo siempre pequentildeos entornos la escala puede considerarse lineal)
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421 Incertidumbre intriacutenseca de la escala base
Para la escala base C tendremos sin duda una curva exponencial Partiendo de la ecuacioacuten
[ 2 ] de la escala C
XC = 10 pL rarr I C =
part XC
part p =
part (10 pL)
part p =
1
L (10
pL) ln 10
IC = ln 10
L ∙ (10
pL) [
1
mm ] [ 9 ]
Para otras deacutecadas aplicar el factor de potencia de 10 apropiado
Esta incertidumbre tambieacuten la podemos expresar respecto de los propios valores de la
escala C reemplazando 119953 en la uacuteltima expresioacuten seguacuten [ 1 ]
IC = ln 10
L ∙ XC [
1
mm ] [ 10 ]
422 Incertidumbre relativa de la escala base
Si lo que nos interesa es cuantificar la Incertidumbre relativa i dividiremos la
Incertidumbre absoluta por el valor de lectura de la escala
iC = IC
XC =
ln 10
L [ 11 ]
La Incertidumbre relativa de la Escala Base (C) de una regla de caacutelculo es
constante y soacutelo depende inversamente de la longitud de la escala
423 Incertidumbre intriacutenseca de la escala de senos
Partiendo de la expresioacuten de la escala de senos [ 6 ]
XS= arcsen (10 pL
- 1)
part XS
part p =
part (arcsen (10 pL
-1))
part p =
1
L ∙
10 pL
- 1
radic1- (10 pL
-1)2
∙ ln 10
IS = ln 10
L ∙
10 pL
- 1
radic1 - (10 pL
- 1)2
[ rad
mm] [ 12 ]
Maacutes convenientemente reemplazando 119849 seguacuten [ 5 ] tendremos la incertidumbre en
funcioacuten del aacutengulo
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IS = ln 10
L ∙ tg XS [
rad
mm] [ 13 ]
Lo que muestra a simple vista la tendencia a infinito de la incertidumbre de la escala de
senos al acercarnos a 90ordm
424 Incertidumbre intriacutenseca de escalas LogLog
Para la escala LogLog se deduce de igual manera
LL2 (e01 x) rarr ILL3
= ln 10
L ∙ 10
pL
- 1 ∙ e 10 pL - 1
LL3 (ex) rarr ILL3
= ln 10
L ∙ 10
pL ∙ e 10
pL
Etc
425 Graacuteficos de Incertidumbre de algunas escalas comunes
Figura 3 Incertidumbre escalas usuales
Figura 4 Incertidumbre escalas trigonomeacutetricas
En el graacutefico de la incertidumbre absoluta se aprecia la constancia de la escala logariacutetmica
(que resulta lineal en la regla) Tambieacuten vemos la linealidad de la incertidumbre en la escala
logariacutetmica base C
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Figura 5 Incertidumbre relativa escalas usuales
Figura 6 Incertidumbre relativa esc trigonomeacutetricas
Observamos especialmente la ya sentildealada constancia de la incertidumbre relativa de las
escalas logariacutetmicas la base C y la B que la duplica
43 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones
De la misma manera que para las escalas podemos elaborar un iacutendice que valore coacutemo la
RC propicia el error cuando se ejecuta una operacioacuten dada En este caso la incertidumbre
estaraacute dada por las estimaciones sucesivas de valores en las escalas en combinacioacuten con las
operaciones realizadas recordando que todas las incertidumbres son funciones de la posicioacuten
dentro la escala
431 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones unitarias
Este es el caso de operaciones directas como ser hallar el cuadrado o la raiacutez de un
nuacutemero o el seno de un aacutengulo
Tomemos este uacuteltimo caso Hallar el seno de un aacutengulo implica colocar el valor del aacutengulo
en la escala S y luego leer el seno en la escala base Por ende tendremos que combinar la
incertidumbre de la escala S con la de la escala C
Llamaremos 119868119878119862 a la Incertidumbre de la escala de Senos leiacutedos en la escala C y para
encontrarlo proyectaremos la Incertidumbre de la escala S sobre la escala C y la sumaremos a
la Incertidumbre propia de la escala C para la lectura De igual manera encontraremos la
Incertidumbre de la escala C leiacuteda en la escala S de senos 119868119862119878 para el caso inverso de hallar un
aacutengulo
ISC = IS partXC
partXS + IC y ICS = IC
partXS
partXC + IS
Reemplazando y operando veremos que los iacutendices de incertidumbre tanto para leer
senos como para leer aacutengulos combinando ambas escalas son exactamente el doble de los
iacutendices sencillos de la escala de lectura (En completa concordancia con el anaacutelisis geomeacutetrico
de la acumulacioacuten de los errores de posicionamiento)
ISC = 2 IC y ICS = 2 IS
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La Incertidumbre intriacutenseca de una operacioacuten unitaria estaacute dada soacutelo por la
Incertidumbre de la escala de lectura multiplicada por dos
432 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones encadenadas
Veremos queacute sucede con la incertidumbre al realizar operaciones matemaacuteticas En
primera instancia lo haremos sobre la misma escala para lo cual tomemos por caso una simple
multiplicacioacuten 119911 = 119909 ∙ 119910 Tendremos dos elementos baacutesicos en la Incertidumbre final La
Incertidumbre de la propia multiplicacioacuten dada por la colocacioacuten de los factores y la
Incertidumbre en la lectura del resultado
IM = Ixy + Iz
IM = part(xy)
partp+ Iz = y
partx
partp+ x
party
partp+ Iz
Reemplazando x e y seguacuten [ 2 ]
IM = (10 pYL )
partx
partp+ (10
pXL )
party
partp + Iz
Al trabajar sobre la misma escala CD la funcioacuten de Incertidumbre y su derivada seraacute la
misma para las tres variables Entonces reemplazando las derivadas
IM = (10 pYL )
ln 10
L ∙ (10
pXL ) + (10
pXL )
ln 10
L ∙ (10
pYL ) + Iz
IM = ln 10
L (10
pYL ) (10
pXL ) + (10
pXL ) (10
pYL ) + Iz
IM = 2 ln 10
L (10
pX+ pY
L ) + Iz
Siendo pX
+ pY
= pZ
por el funcionamiento de la RC al multiplicar dos valores (suma de sus
segmentos logariacutetmicos) podemos escribir
IM = 2 ln 10
L (10
pZ
L ) + Iz = 2 Iz + Iz
IM = 3 Iz
Por lo tanto la Incertidumbre intriacutenseca de una multiplicacioacuten queda
determinada uacutenicamente por la Incertidumbre de la escala CD en el punto de
obtencioacuten del resultado multiplicado por el nuacutemero de estimaciones (n)
En general aunque intervengan escalas diferentes (como las escalas LL) la
funcioacuten Incertidumbre intriacutenseca de una operacioacuten estaraacute dada por la
Incertidumbre intriacutenseca de la escala de resultado (IE) multiplicada por la
cantidad de estimaciones (n)
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IOp(p) = n ∙ IE(p) [ 14 ]
Habraacute expresiones equivalentes en funcioacuten de los valores XE de la escala
Esta conclusioacuten estaacute en total concordancia con el anaacutelisis geomeacutetrico de los
desplazamientos de la reglilla con sus correspondientes errores de
posicionamiento
433 Incertidumbre de operaciones con transferencia
Para poder comparar meacutetodos de caacutelculo en general nos faltariacutea analizar los meacutetodos que
incluyen la lectura de un resultado intermedio en una escala y su recolocacioacuten en otra escala
para continuar
Estas operaciones por su variedad deben analizarse caso por caso Entonces en este
artiacuteculo desarrollaremos un caso a modo de ejemplo y de paso analizaremos la conveniencia
de dos meacutetodos alternativos de realizar el mismo caacutelculo Calcularemos con la RC
z = radica ∙ b
Recordemos que las escalas A y B son ideacutenticas entre siacute asiacute como las C y D
Meacutetodo 1
Multiplicar en las escalas de cuadrados AB y leer el resultado directamente en C
+ Gran economiacutea de estimaciones y movimientos
- Operar la multiplicacioacuten en escalas menos precisas
Figura 7Meacutetodo 1 Raiz ( 215 x 240 ) = 227 (sin lectura del producto)
Meacutetodo 2
Multiplicar y leer el producto en las escalas CD
Luego colocar el producto en la escala de cuadrados A y leer el resultado en D
+ Multiplicamos con mayor precisioacuten
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- La lectura intermedia es incoacutemoda y podriacutea empeorar la precisioacuten
Figura 8Meacutetodo 2 Primer Paso 215 x 240 = 516
Figura 9Meacutetodo 2 Segundo Paso Raiz (516) = 227
El meacutetodo 1 es una sencilla operacioacuten encadenada que consta de 3 estimaciones leyendo
finalmente sobre la escala C Su funcioacuten de incertidumbre seraacute seguacuten la expresioacuten [ 14 ]
ajustada para valores de escala y 119899 = 3
IM1(XC) = 3 ∙ IC(XC)
Reemplazando XC=z (resultado final) en [ 10 ] resulta para el meacutetodo 1
IM1(z) = 3 ∙ ln 10
L ∙ z [ 15 ]
Para el meacutetodo 2 primero tendremos que obtener la incertidumbre de la multiplicacioacuten en
la escala C incluyendo la lectura Esta incertidumbre se transfiere a la escala A y luego
debemos propagarla sobre la escala C en su punto de aplicacioacuten Y finalmente agregar la
incertidumbre de la colocacioacuten del valor en A y de la lectura de la raiacutez en la escala C
Para la multiplicacioacuten tendremos 3 estimaciones y para la raiacutez tendremos 2 La
proyeccioacuten se hace sobre el punto XC y la funcioacuten incertidumbre de la multiplicacioacuten se
evaluacutea en XC2 Entonces
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IM2(XC) = partXC
partXA ∙ 3 IC(XC
2) + 2 IC(XC)
Siendo Xc = radicXA y IC(XC) = ln 10
L ∙ XC
IM2(XC) = ln 10
L∙ (3 ∙
1
2 radicXA XC
2 + 2 XC)
IM2(XC) = ln 10
L ∙ (
3
2 XC + 2 XC )
IM2(z) = 35 ∙ ln 10
L ∙ z [ 16 ]
Comparando [ 15 ] y [ 16 ] quedan definitivamente zanjadas las subjetividades sobre cuaacutel
meacutetodo es preferible El meacutetodo 1 ademaacutes de ser maacutes coacutemodo raacutepido y seguro tambieacuten es
algo maacutes preciso (14)
44 Incertidumbre Estadiacutestica de los caacutelculos
En todo lo hecho hasta aquiacute consideramos incertidumbres maacuteximas absolutas lo cual en
la praacutectica no sucede
Para obtener un valor maacutes realista de la incertidumbre y del peso relativo del nuacutemero de
estimaciones sobre el mismo se debe tener en cuenta el concepto estadiacutestico del error Por lo
tanto la estimacioacuten de valores en la regla seguiraacute en cada caso una distribucioacuten normal
centrada en el valor exacto y el error en cada paso seraacute en algunos casos aumentado y en
otros reducido (Suponiendo razonablemente que el operador no lee con sesgos)
El enfoque estadiacutestico queda fuera del alcance de este texto pero utilizando ciertas
simplificaciones podemos asumir que
IEst = radic ( partf
partx)
2
∙ (dx)2 + ( partf
party)
2
∙ (dy)2+hellip
Operando llegamos a que en operaciones encadenadas el factor a aplicar para encontrar
la incertidumbre estadiacutesticamente esperable seraacute radic119951 en lugar de n Tendremos entonces para
un caacutelculo encadenado
IEst = radic n ∙ IE
Siendo n el nuacutemero de estimaciones e IE la funcioacuten de Incertidumbre intriacutenseca de la
escala de lectura Asiacute en la praacutectica se disminuye ligeramente la influencia de la cantidad de
caacutelculos encadenados respecto de la incertidumbre final
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5 Evaluacioacuten comparativa de Escalas y Meacutetodos
La Incertidumbre Intriacutenseca de escalas y meacutetodos es una valoracioacuten objetiva que nos
permite determinar la conveniencia en cuanto a su precisioacuten posible de un meacutetodo de caacutelculo
y sus escalas asociadas
Haremos un ejemplo de evaluacioacuten de meacutetodos y escalas para hallar senos de aacutengulos y
reciacuteprocamente usando los tres meacutetodos maacutes frecuentes encontrados en las RC Con escalas S
y C con escalas S y P y con la menos usual escala trigonomeacutetrica diferencial de senos Sd y C
51 Senos con escalas usuales (S y C)
Ya hemos visto la evaluacioacuten del procedimiento usando la escala S de senos (aacutengulos)
estaacutendar en 431
Para facilitar la evaluacioacuten expresaremos la incertidumbre de la escala C [ 10 ] en funcioacuten
de XS recordando que 119883119888 = 10 ∙ sen XS
IC = ln 10
L ∙ 10 ∙ sen XS [ 17 ]
52 Senos con escala pitagoacuterica adicional (S y P)
La escala pitagoacuterica expresa la funcioacuten radic 1 - X2 Por lo tanto si colocamos en la escala C
el valor correspondiente al coseno de un aacutengulo obtendremos en P el valor del seno del
mismo aacutengulo en virtud de la relacioacuten pitagoacuterica Esto es muy uacutetil porque permite hallar con
mayor precisioacuten senos de aacutengulos grandes para los cuales la precisioacuten de la escala C decae
mucho Para hallar el seno de 70ordm por ejemplo indicamos 30ordm en la escala de senos (aacutengulos) y
luego leemos cos(30ordm) = sin(70ordm) en la escala P
Para la escala pitagoacuterica seguimos el mismo proceso que con las escalas anteriores
comenzando con la expresioacuten de la escala P respecto de la escala CD
XP = radic 1 - ( XC
10 )
2
rarr XC = 10 radic 1 - XP2
La posicioacuten sobre la regla seguacuten [ 1 ] p = L ∙ log XC
p = L ∙ (1 + log (1-XP
2)
2)
XP = radic 1- 10 2 ∙ ( p L
- 1)
IP = partXP
part p =
- ln 10
L∙
10 2 ∙ ( p L
- 1)
radic1 - 10 2 ∙ ( p L - 1)
[ 18 ]
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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Mejor expresarlo en funcioacuten de XC que es seguacuten [ 2 ] XC = 10 p
L y tambieacuten podemos
descartar el signo que no nos interesa
IP= ln 10
L∙
( XC 10
)2
radic 1 - ( XC 10
)2
[ 19 ]
Todaviacutea seriacutea mejor dado que comparamos la performance para la obtencioacuten de senos de
aacutengulos expresar 119816119823 en funcioacuten del aacutengulo complementario
Siendo XC
10= sen XS = cos Xcomp
IP = ln 10
L ∙
cos2 Xcomp
sin Xcomp [ 20 ]
Figura 10 Escala Pitagoacuterica Seno(80ordm) = P(10ordm) = 09848
53 Senos con escalas trigonomeacutetricas diferenciales (Sd y C)
La escala diferencial de senos se construye seguacuten la expresioacuten
Sd = X
sen X
Luego para obtener el seno de un aacutengulo se despeja
sen x = X
Sd
Siendo expresado X en grados sexagesimales
Lo interesante del meacutetodo es que la misma escala D se aprovecha de 1 a 9 con factor 10
para representar aacutengulos de 10ordm a 90ordm y simultaacuteneamente de 1 a 10 para representar los senos
de 01 a 1 (para la deacutecada base)
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Figura 11 Escala de Senos Diferenciales Seno(30ordm) = 05
Para operar se coloca el aacutengulo en grados sobre D luego se divide (resta de segmentos)
por el valor en la escala Sd muy convenientemente colocada en la reglilla para facilidad
operativa Y finalmente se lee el sen X en la misma escala D sobre el iacutendice de la reglilla
Y ahora es doacutende viene lo maacutes praacutectico de nuestras conclusiones Como hemos deducido
en iexclError No se encuentra el origen de la referencia la incertidumbre intriacutenseca de una
operacioacuten sin lecturas intermedias soacutelo depende de la escala de lectura final y no de la de
colocacioacuten del aacutengulo De esta forma no necesitamos preocuparnos de la incoacutemoda funcioacuten
Sd para nada soacutelo nos interesa la escala D ya estudiada Usaremos pues la expresioacuten [ 17 ]
Sin embargo vemos que hay de por medio otra operacioacuten de colocacioacuten de valor en la
escala Sd por lo que aquiacute 119847 seraacute igual a 3 en lugar de 2 empeorando potencialmente la
precisioacuten del valor obtenido
54 Comparacioacuten de los tres meacutetodos de obtencioacuten de Senos de aacutengulos
En el siguiente graacutefico comparamos la Incertidumbre de los tres meacutetodos seguacuten [ 17 ] con
119899 = 2 para S y con 119899 = 3 para Sd y seguacuten [ 20 ] con 119899 = 2 para P
En la Figura 12 vemos claramente que el meacutetodo con escalas S y P se comporta mucho
mejor para aacutengulos grandes que el meacutetodo usual con las escalas S y C Incluso globalmente
logramos algo maacutes de precisioacuten para estos aacutengulos que para los aacutengulos pequentildeoshellip
La posicioacuten de equilibrio se alcanza exactamente para los 45ordm aacutengulo a partir del cual es
conveniente usar la escala P con el aacutengulo complementario
En relacioacuten con el meacutetodo de trigonomeacutetricas diferenciales vemos que la precisioacuten
alcanzable es menor que con las escalas tradicionales debido a la introduccioacuten de la operacioacuten
de divisioacuten (salvo el pequentildeo entorno entre 57ordm y 10ordm que se obtiene en la deacutecada anterior a la
normal resultando maacutes preciso)
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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Figura 12 Incertidumbre estadiacutestica para hallar sen(x) por distintos meacutetodos usuales
55 Comparando meacutetodos de obtencioacuten de aacutengulos dado su seno
Para el caso estaacutendar tenemos simplemente la funcioacuten de incertidumbre de la escala S [ 13
] con 119899 = 2
Para el caacutelculo con escala P la ecuacioacuten y 119899 seraacuten los mismos aplicada sobre los aacutengulos
complementarios
Para el caacutelculo con escala inversa Sd (ISd) los aacutengulos se leen tambieacuten sobre la escala C
por lo que corresponde evaluar la incertidumbre de la escala C transformada en escala de
aacutengulos y con 119899 = 3
Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordm
Operacioacuten Con ayuda del cursor se alinea el valor del seno en la escala D y el mismo
valor del seno en la escala ISd como en una divisioacuten (resta de segmentos) el iacutendice de la escala
C apunta al aacutengulo sobre la escala D (multiplicar por 10 en esta deacutecada)
En la Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordmtambieacuten observamos el
aacutengulo 30ordm alineado con 05 en la escala S standard La mayor incertidumbre de la escala S se
ve muy claramente para el intervalo 80ordm - 90ordm en ambas escalas (marcados en verde)
Graficando la incertidumbre para los tres meacutetodos obtenemos la Figura 14
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Figura 14 Incertidumbre estadiacutestica para hallar el arcoseno() por distintos meacutetodos
Vemos claramente que la menor alinealidad de la escala C por siacute sola permite al meacutetodo
de escala inversa de senos diferenciales tener resultados mejores que una regla estaacutendar al
momento de hallar aacutengulos por sus senos Especialmente para aacutengulos grandes y a pesar de
la penalizacioacuten de un 119899 = 3
Sin embargo siempre una regla con escalas S y P produce mejores resultados que las
demaacutes
6 Conclusiones
El meacutetodo de anaacutelisis de las escalas y operaciones a traveacutes de la incertidumbre intriacutenseca
resulta muy uacutetil para evaluar objetivamente la conveniencia de unas escalas y meacutetodos sobre
otros alternativos para mejorar la precisioacuten A su vez el meacutetodo nos permitioacute demostrar
algunos supuestos muy difundidos sobre las RC y rebatir otros con facilidad Entre las
conclusiones notables se destacan
- La incertidumbre intriacutenseca es una funcioacuten que variacutea a lo largo de la escala y puede
escribirse en funcioacuten de la posicioacuten geomeacutetrica de los valores de la escala o de los
valores de otra escala conveniente
- La incertidumbre de una escala es inversamente proporcional a su longitud fiacutesica
- La incertidumbre relativa de una escala logariacutetmica es constante
- La funcioacuten incertidumbre maacutexima absoluta de una operacioacuten con RC sin lectura
intermedia de valores estaacute dada solamente por la incertidumbre de la escala de
lectura final multiplicada por la cantidad de estimaciones 119951 Esta conclusioacuten es vital
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porque nos permite prescindir del anaacutelisis de incertidumbre de las escalas que no son
las que usamos para leer el resultado
- Esta funcioacuten incertidumbre se evaluacutea simplemente en el punto de lectura del
resultado final (teniendo en cuenta los cambios de deacutecada pertinentes)
- La incertidumbre estadiacutestica en caacutelculos complejos seraacute menor a la maacutexima y variacutea
seguacuten el factor radic119951
- El nuacutemero 119951 de estimaciones suele ser un factor de gran influencia sobre la
incertidumbre producida en caacutelculos complejos por lo que es muy importante su
reduccioacuten
- Si la operacioacuten contiene lecturas intermedias el caacutelculo de la incertidumbre total no es
directo y debe realizarse agregando la propagacioacuten claacutesica de incertidumbre a traveacutes
de foacutermulas para los valores intermedios leiacutedos y recolocados
- La incidencia de las lecturas y colocaciones de valores intermedios en la
incertidumbre de un caacutelculo complejo puede ser muy importante y en general
conviene que estas operaciones sean evitadas cuando sea posible
- Queda suficientemente claro que las dificultades del problema de la precisioacuten superan
ampliamente la tiacutepica definicioacuten popular de ldquotres diacutegitos significativosrdquo Aunque
por supuesto no queda invalidada como una raacutepida aproximacioacuten al promedio de
precisioacuten para una regla estaacutendar
- Conclusiones Operativas expuestas como ejemplo
Las reglas con escala P son las maacutes precisas para las funciones trigonomeacutetrisas
directas e inversas
Las reglas con escalas trigonomeacutetricas diferenciales mejoran la precisioacuten de
una regla tiacutepica con escala S para las funciones inversas pero son
praacutecticamente ideacutenticas para las funciones directas
Para operaciones como z = radica ∙ b es algo maacutes preciso multiplicar sobre las
escalas cuadraacuteticas A B y leer la raiz en D
7 Agradecimientos
Deseo agradecer al Ing Santiago Higuera de Frutos por su estiacutemulo y apoyo para la
realizacioacuten del presente artiacuteculo y su ayuda para la revisioacuten y presentacioacuten del mismo
Tambieacuten quiero agradecer a los miembros de la agrupacioacuten ARC ldquoAmigos de las reglas de
caacutelculordquo y especialmente a su fundador Jorge Faacutebregas Zazza por su inmensa y desinteresada
tarea
8 Lectura Introductoria
HIGUERA DE FRUTOS Santiago Reglas de Caacutelculo Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Vol
VI Nuacutem 2 Octubre 2016
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httpwwwreglasdecalculocom Web de Jorge Faacutebregas Zazza donde se expone su
vasta coleccioacuten de reglas de caacutelculo y manuales en espantildeol y cantidad de recursos uacutetiles
y links para interesados y coleccionistas particularmente un cursillo introductorio sobre
su uso en httpwwwreglasdecalculocomteoriaypracticahtm
Referencias
[1] TAYLOR John Robert An introduction to error analysis 2nd edition caps 3 y 5 University
Science Books California 1997
[2] LINDBERG Vern Uncertainties and error propagation httpsgooglzz0QuJ
Sobre el autor
Nombre Jorge Luis Victoria
Correo Electroacutenico jorgeluisvictoriaricogmailcom
Profesioacuten Profesional Autoacutenomo
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p = L∙ log (10 sen XS) [ 5 ]
Su inversa XS= arcsen (10p
L -1) [ 6 ]
Reemplazando los valores de las etiquetas XC= 5 XB= 25 XS= 30ordm en las expresiones [ 1
][ 4 ][ 5 ] correspondientes al ejemplo de la Figura 2 para una escala de Longitud normal
L=250 mm y para el factor de deacutecada de senos habitual Fd=10 comprobamos seguacuten lo
esperado la perfecta alineacioacuten de las marcas
p = 17474 mm
En general Cada valor Xf de la escala para f(x) (referido a x en la escala base) se
representaraacute en la posicioacuten p seguacuten
p = L ∙ log(Fd∙ f-1(Xf)) [ 7 ]
Inversamente la funcioacuten en siacute 119831119839 = 119839 (120783120782
119849 119819
119813119837) [ 8 ]
De esta manera podemos representar en una RC cualquier funcioacuten que nos pueda resultar
uacutetil referida a la escala base (Aunque no siempre habraacute funciones inversas directas)
42 Incertidumbre intriacutenseca de las escalas
En la lectura o colocacioacuten de un valor en una escala la incertidumbre vendraacute dada por un
desplazamiento del punto real respecto del ideal Digamos como ejemplo que al colocar el
cursor sobre un valor en realidad lo estariacuteamos colocando algunas deacutecimas de miliacutemetro a un
lado de la posicioacuten precisa lo que equivale a utilizar un valor diferente
No siendo las escalas lineales el error producido por este desplazamiento no seraacute
constante a lo largo de toda la escala sino seraacute una funcioacuten de la posicioacuten sobre eacutesta Podemos
cuantificar este concepto de ldquoIncertidumbrerdquo mediante un iacutendice que indique la variacioacuten de
los valores Xf de la escala f para un desplazamiento unitario en funcioacuten de la posicioacuten fiacutesica p
De manera que en una escala de mayor incertidumbre intriacutenseca un desplazamiento unitario
del punto de lectura produciraacute un mayor error que en una escala de menor incertidumbre
Esto no es maacutes que la derivada de los valores respecto de la posicioacuten
Definimos la funcioacuten Incertidumbre intriacutenseca 119816119839(119849) de la escala f a
Incertidumbre intriacutenseca If = part Xf
part p
Este iacutendice es un claro indicador de la ldquosensibilidadrdquo de la escala a los errores de
posicionamiento (Siendo siempre pequentildeos entornos la escala puede considerarse lineal)
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421 Incertidumbre intriacutenseca de la escala base
Para la escala base C tendremos sin duda una curva exponencial Partiendo de la ecuacioacuten
[ 2 ] de la escala C
XC = 10 pL rarr I C =
part XC
part p =
part (10 pL)
part p =
1
L (10
pL) ln 10
IC = ln 10
L ∙ (10
pL) [
1
mm ] [ 9 ]
Para otras deacutecadas aplicar el factor de potencia de 10 apropiado
Esta incertidumbre tambieacuten la podemos expresar respecto de los propios valores de la
escala C reemplazando 119953 en la uacuteltima expresioacuten seguacuten [ 1 ]
IC = ln 10
L ∙ XC [
1
mm ] [ 10 ]
422 Incertidumbre relativa de la escala base
Si lo que nos interesa es cuantificar la Incertidumbre relativa i dividiremos la
Incertidumbre absoluta por el valor de lectura de la escala
iC = IC
XC =
ln 10
L [ 11 ]
La Incertidumbre relativa de la Escala Base (C) de una regla de caacutelculo es
constante y soacutelo depende inversamente de la longitud de la escala
423 Incertidumbre intriacutenseca de la escala de senos
Partiendo de la expresioacuten de la escala de senos [ 6 ]
XS= arcsen (10 pL
- 1)
part XS
part p =
part (arcsen (10 pL
-1))
part p =
1
L ∙
10 pL
- 1
radic1- (10 pL
-1)2
∙ ln 10
IS = ln 10
L ∙
10 pL
- 1
radic1 - (10 pL
- 1)2
[ rad
mm] [ 12 ]
Maacutes convenientemente reemplazando 119849 seguacuten [ 5 ] tendremos la incertidumbre en
funcioacuten del aacutengulo
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IS = ln 10
L ∙ tg XS [
rad
mm] [ 13 ]
Lo que muestra a simple vista la tendencia a infinito de la incertidumbre de la escala de
senos al acercarnos a 90ordm
424 Incertidumbre intriacutenseca de escalas LogLog
Para la escala LogLog se deduce de igual manera
LL2 (e01 x) rarr ILL3
= ln 10
L ∙ 10
pL
- 1 ∙ e 10 pL - 1
LL3 (ex) rarr ILL3
= ln 10
L ∙ 10
pL ∙ e 10
pL
Etc
425 Graacuteficos de Incertidumbre de algunas escalas comunes
Figura 3 Incertidumbre escalas usuales
Figura 4 Incertidumbre escalas trigonomeacutetricas
En el graacutefico de la incertidumbre absoluta se aprecia la constancia de la escala logariacutetmica
(que resulta lineal en la regla) Tambieacuten vemos la linealidad de la incertidumbre en la escala
logariacutetmica base C
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Figura 5 Incertidumbre relativa escalas usuales
Figura 6 Incertidumbre relativa esc trigonomeacutetricas
Observamos especialmente la ya sentildealada constancia de la incertidumbre relativa de las
escalas logariacutetmicas la base C y la B que la duplica
43 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones
De la misma manera que para las escalas podemos elaborar un iacutendice que valore coacutemo la
RC propicia el error cuando se ejecuta una operacioacuten dada En este caso la incertidumbre
estaraacute dada por las estimaciones sucesivas de valores en las escalas en combinacioacuten con las
operaciones realizadas recordando que todas las incertidumbres son funciones de la posicioacuten
dentro la escala
431 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones unitarias
Este es el caso de operaciones directas como ser hallar el cuadrado o la raiacutez de un
nuacutemero o el seno de un aacutengulo
Tomemos este uacuteltimo caso Hallar el seno de un aacutengulo implica colocar el valor del aacutengulo
en la escala S y luego leer el seno en la escala base Por ende tendremos que combinar la
incertidumbre de la escala S con la de la escala C
Llamaremos 119868119878119862 a la Incertidumbre de la escala de Senos leiacutedos en la escala C y para
encontrarlo proyectaremos la Incertidumbre de la escala S sobre la escala C y la sumaremos a
la Incertidumbre propia de la escala C para la lectura De igual manera encontraremos la
Incertidumbre de la escala C leiacuteda en la escala S de senos 119868119862119878 para el caso inverso de hallar un
aacutengulo
ISC = IS partXC
partXS + IC y ICS = IC
partXS
partXC + IS
Reemplazando y operando veremos que los iacutendices de incertidumbre tanto para leer
senos como para leer aacutengulos combinando ambas escalas son exactamente el doble de los
iacutendices sencillos de la escala de lectura (En completa concordancia con el anaacutelisis geomeacutetrico
de la acumulacioacuten de los errores de posicionamiento)
ISC = 2 IC y ICS = 2 IS
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La Incertidumbre intriacutenseca de una operacioacuten unitaria estaacute dada soacutelo por la
Incertidumbre de la escala de lectura multiplicada por dos
432 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones encadenadas
Veremos queacute sucede con la incertidumbre al realizar operaciones matemaacuteticas En
primera instancia lo haremos sobre la misma escala para lo cual tomemos por caso una simple
multiplicacioacuten 119911 = 119909 ∙ 119910 Tendremos dos elementos baacutesicos en la Incertidumbre final La
Incertidumbre de la propia multiplicacioacuten dada por la colocacioacuten de los factores y la
Incertidumbre en la lectura del resultado
IM = Ixy + Iz
IM = part(xy)
partp+ Iz = y
partx
partp+ x
party
partp+ Iz
Reemplazando x e y seguacuten [ 2 ]
IM = (10 pYL )
partx
partp+ (10
pXL )
party
partp + Iz
Al trabajar sobre la misma escala CD la funcioacuten de Incertidumbre y su derivada seraacute la
misma para las tres variables Entonces reemplazando las derivadas
IM = (10 pYL )
ln 10
L ∙ (10
pXL ) + (10
pXL )
ln 10
L ∙ (10
pYL ) + Iz
IM = ln 10
L (10
pYL ) (10
pXL ) + (10
pXL ) (10
pYL ) + Iz
IM = 2 ln 10
L (10
pX+ pY
L ) + Iz
Siendo pX
+ pY
= pZ
por el funcionamiento de la RC al multiplicar dos valores (suma de sus
segmentos logariacutetmicos) podemos escribir
IM = 2 ln 10
L (10
pZ
L ) + Iz = 2 Iz + Iz
IM = 3 Iz
Por lo tanto la Incertidumbre intriacutenseca de una multiplicacioacuten queda
determinada uacutenicamente por la Incertidumbre de la escala CD en el punto de
obtencioacuten del resultado multiplicado por el nuacutemero de estimaciones (n)
En general aunque intervengan escalas diferentes (como las escalas LL) la
funcioacuten Incertidumbre intriacutenseca de una operacioacuten estaraacute dada por la
Incertidumbre intriacutenseca de la escala de resultado (IE) multiplicada por la
cantidad de estimaciones (n)
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IOp(p) = n ∙ IE(p) [ 14 ]
Habraacute expresiones equivalentes en funcioacuten de los valores XE de la escala
Esta conclusioacuten estaacute en total concordancia con el anaacutelisis geomeacutetrico de los
desplazamientos de la reglilla con sus correspondientes errores de
posicionamiento
433 Incertidumbre de operaciones con transferencia
Para poder comparar meacutetodos de caacutelculo en general nos faltariacutea analizar los meacutetodos que
incluyen la lectura de un resultado intermedio en una escala y su recolocacioacuten en otra escala
para continuar
Estas operaciones por su variedad deben analizarse caso por caso Entonces en este
artiacuteculo desarrollaremos un caso a modo de ejemplo y de paso analizaremos la conveniencia
de dos meacutetodos alternativos de realizar el mismo caacutelculo Calcularemos con la RC
z = radica ∙ b
Recordemos que las escalas A y B son ideacutenticas entre siacute asiacute como las C y D
Meacutetodo 1
Multiplicar en las escalas de cuadrados AB y leer el resultado directamente en C
+ Gran economiacutea de estimaciones y movimientos
- Operar la multiplicacioacuten en escalas menos precisas
Figura 7Meacutetodo 1 Raiz ( 215 x 240 ) = 227 (sin lectura del producto)
Meacutetodo 2
Multiplicar y leer el producto en las escalas CD
Luego colocar el producto en la escala de cuadrados A y leer el resultado en D
+ Multiplicamos con mayor precisioacuten
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- La lectura intermedia es incoacutemoda y podriacutea empeorar la precisioacuten
Figura 8Meacutetodo 2 Primer Paso 215 x 240 = 516
Figura 9Meacutetodo 2 Segundo Paso Raiz (516) = 227
El meacutetodo 1 es una sencilla operacioacuten encadenada que consta de 3 estimaciones leyendo
finalmente sobre la escala C Su funcioacuten de incertidumbre seraacute seguacuten la expresioacuten [ 14 ]
ajustada para valores de escala y 119899 = 3
IM1(XC) = 3 ∙ IC(XC)
Reemplazando XC=z (resultado final) en [ 10 ] resulta para el meacutetodo 1
IM1(z) = 3 ∙ ln 10
L ∙ z [ 15 ]
Para el meacutetodo 2 primero tendremos que obtener la incertidumbre de la multiplicacioacuten en
la escala C incluyendo la lectura Esta incertidumbre se transfiere a la escala A y luego
debemos propagarla sobre la escala C en su punto de aplicacioacuten Y finalmente agregar la
incertidumbre de la colocacioacuten del valor en A y de la lectura de la raiacutez en la escala C
Para la multiplicacioacuten tendremos 3 estimaciones y para la raiacutez tendremos 2 La
proyeccioacuten se hace sobre el punto XC y la funcioacuten incertidumbre de la multiplicacioacuten se
evaluacutea en XC2 Entonces
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IM2(XC) = partXC
partXA ∙ 3 IC(XC
2) + 2 IC(XC)
Siendo Xc = radicXA y IC(XC) = ln 10
L ∙ XC
IM2(XC) = ln 10
L∙ (3 ∙
1
2 radicXA XC
2 + 2 XC)
IM2(XC) = ln 10
L ∙ (
3
2 XC + 2 XC )
IM2(z) = 35 ∙ ln 10
L ∙ z [ 16 ]
Comparando [ 15 ] y [ 16 ] quedan definitivamente zanjadas las subjetividades sobre cuaacutel
meacutetodo es preferible El meacutetodo 1 ademaacutes de ser maacutes coacutemodo raacutepido y seguro tambieacuten es
algo maacutes preciso (14)
44 Incertidumbre Estadiacutestica de los caacutelculos
En todo lo hecho hasta aquiacute consideramos incertidumbres maacuteximas absolutas lo cual en
la praacutectica no sucede
Para obtener un valor maacutes realista de la incertidumbre y del peso relativo del nuacutemero de
estimaciones sobre el mismo se debe tener en cuenta el concepto estadiacutestico del error Por lo
tanto la estimacioacuten de valores en la regla seguiraacute en cada caso una distribucioacuten normal
centrada en el valor exacto y el error en cada paso seraacute en algunos casos aumentado y en
otros reducido (Suponiendo razonablemente que el operador no lee con sesgos)
El enfoque estadiacutestico queda fuera del alcance de este texto pero utilizando ciertas
simplificaciones podemos asumir que
IEst = radic ( partf
partx)
2
∙ (dx)2 + ( partf
party)
2
∙ (dy)2+hellip
Operando llegamos a que en operaciones encadenadas el factor a aplicar para encontrar
la incertidumbre estadiacutesticamente esperable seraacute radic119951 en lugar de n Tendremos entonces para
un caacutelculo encadenado
IEst = radic n ∙ IE
Siendo n el nuacutemero de estimaciones e IE la funcioacuten de Incertidumbre intriacutenseca de la
escala de lectura Asiacute en la praacutectica se disminuye ligeramente la influencia de la cantidad de
caacutelculos encadenados respecto de la incertidumbre final
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5 Evaluacioacuten comparativa de Escalas y Meacutetodos
La Incertidumbre Intriacutenseca de escalas y meacutetodos es una valoracioacuten objetiva que nos
permite determinar la conveniencia en cuanto a su precisioacuten posible de un meacutetodo de caacutelculo
y sus escalas asociadas
Haremos un ejemplo de evaluacioacuten de meacutetodos y escalas para hallar senos de aacutengulos y
reciacuteprocamente usando los tres meacutetodos maacutes frecuentes encontrados en las RC Con escalas S
y C con escalas S y P y con la menos usual escala trigonomeacutetrica diferencial de senos Sd y C
51 Senos con escalas usuales (S y C)
Ya hemos visto la evaluacioacuten del procedimiento usando la escala S de senos (aacutengulos)
estaacutendar en 431
Para facilitar la evaluacioacuten expresaremos la incertidumbre de la escala C [ 10 ] en funcioacuten
de XS recordando que 119883119888 = 10 ∙ sen XS
IC = ln 10
L ∙ 10 ∙ sen XS [ 17 ]
52 Senos con escala pitagoacuterica adicional (S y P)
La escala pitagoacuterica expresa la funcioacuten radic 1 - X2 Por lo tanto si colocamos en la escala C
el valor correspondiente al coseno de un aacutengulo obtendremos en P el valor del seno del
mismo aacutengulo en virtud de la relacioacuten pitagoacuterica Esto es muy uacutetil porque permite hallar con
mayor precisioacuten senos de aacutengulos grandes para los cuales la precisioacuten de la escala C decae
mucho Para hallar el seno de 70ordm por ejemplo indicamos 30ordm en la escala de senos (aacutengulos) y
luego leemos cos(30ordm) = sin(70ordm) en la escala P
Para la escala pitagoacuterica seguimos el mismo proceso que con las escalas anteriores
comenzando con la expresioacuten de la escala P respecto de la escala CD
XP = radic 1 - ( XC
10 )
2
rarr XC = 10 radic 1 - XP2
La posicioacuten sobre la regla seguacuten [ 1 ] p = L ∙ log XC
p = L ∙ (1 + log (1-XP
2)
2)
XP = radic 1- 10 2 ∙ ( p L
- 1)
IP = partXP
part p =
- ln 10
L∙
10 2 ∙ ( p L
- 1)
radic1 - 10 2 ∙ ( p L - 1)
[ 18 ]
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Mejor expresarlo en funcioacuten de XC que es seguacuten [ 2 ] XC = 10 p
L y tambieacuten podemos
descartar el signo que no nos interesa
IP= ln 10
L∙
( XC 10
)2
radic 1 - ( XC 10
)2
[ 19 ]
Todaviacutea seriacutea mejor dado que comparamos la performance para la obtencioacuten de senos de
aacutengulos expresar 119816119823 en funcioacuten del aacutengulo complementario
Siendo XC
10= sen XS = cos Xcomp
IP = ln 10
L ∙
cos2 Xcomp
sin Xcomp [ 20 ]
Figura 10 Escala Pitagoacuterica Seno(80ordm) = P(10ordm) = 09848
53 Senos con escalas trigonomeacutetricas diferenciales (Sd y C)
La escala diferencial de senos se construye seguacuten la expresioacuten
Sd = X
sen X
Luego para obtener el seno de un aacutengulo se despeja
sen x = X
Sd
Siendo expresado X en grados sexagesimales
Lo interesante del meacutetodo es que la misma escala D se aprovecha de 1 a 9 con factor 10
para representar aacutengulos de 10ordm a 90ordm y simultaacuteneamente de 1 a 10 para representar los senos
de 01 a 1 (para la deacutecada base)
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Figura 11 Escala de Senos Diferenciales Seno(30ordm) = 05
Para operar se coloca el aacutengulo en grados sobre D luego se divide (resta de segmentos)
por el valor en la escala Sd muy convenientemente colocada en la reglilla para facilidad
operativa Y finalmente se lee el sen X en la misma escala D sobre el iacutendice de la reglilla
Y ahora es doacutende viene lo maacutes praacutectico de nuestras conclusiones Como hemos deducido
en iexclError No se encuentra el origen de la referencia la incertidumbre intriacutenseca de una
operacioacuten sin lecturas intermedias soacutelo depende de la escala de lectura final y no de la de
colocacioacuten del aacutengulo De esta forma no necesitamos preocuparnos de la incoacutemoda funcioacuten
Sd para nada soacutelo nos interesa la escala D ya estudiada Usaremos pues la expresioacuten [ 17 ]
Sin embargo vemos que hay de por medio otra operacioacuten de colocacioacuten de valor en la
escala Sd por lo que aquiacute 119847 seraacute igual a 3 en lugar de 2 empeorando potencialmente la
precisioacuten del valor obtenido
54 Comparacioacuten de los tres meacutetodos de obtencioacuten de Senos de aacutengulos
En el siguiente graacutefico comparamos la Incertidumbre de los tres meacutetodos seguacuten [ 17 ] con
119899 = 2 para S y con 119899 = 3 para Sd y seguacuten [ 20 ] con 119899 = 2 para P
En la Figura 12 vemos claramente que el meacutetodo con escalas S y P se comporta mucho
mejor para aacutengulos grandes que el meacutetodo usual con las escalas S y C Incluso globalmente
logramos algo maacutes de precisioacuten para estos aacutengulos que para los aacutengulos pequentildeoshellip
La posicioacuten de equilibrio se alcanza exactamente para los 45ordm aacutengulo a partir del cual es
conveniente usar la escala P con el aacutengulo complementario
En relacioacuten con el meacutetodo de trigonomeacutetricas diferenciales vemos que la precisioacuten
alcanzable es menor que con las escalas tradicionales debido a la introduccioacuten de la operacioacuten
de divisioacuten (salvo el pequentildeo entorno entre 57ordm y 10ordm que se obtiene en la deacutecada anterior a la
normal resultando maacutes preciso)
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Figura 12 Incertidumbre estadiacutestica para hallar sen(x) por distintos meacutetodos usuales
55 Comparando meacutetodos de obtencioacuten de aacutengulos dado su seno
Para el caso estaacutendar tenemos simplemente la funcioacuten de incertidumbre de la escala S [ 13
] con 119899 = 2
Para el caacutelculo con escala P la ecuacioacuten y 119899 seraacuten los mismos aplicada sobre los aacutengulos
complementarios
Para el caacutelculo con escala inversa Sd (ISd) los aacutengulos se leen tambieacuten sobre la escala C
por lo que corresponde evaluar la incertidumbre de la escala C transformada en escala de
aacutengulos y con 119899 = 3
Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordm
Operacioacuten Con ayuda del cursor se alinea el valor del seno en la escala D y el mismo
valor del seno en la escala ISd como en una divisioacuten (resta de segmentos) el iacutendice de la escala
C apunta al aacutengulo sobre la escala D (multiplicar por 10 en esta deacutecada)
En la Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordmtambieacuten observamos el
aacutengulo 30ordm alineado con 05 en la escala S standard La mayor incertidumbre de la escala S se
ve muy claramente para el intervalo 80ordm - 90ordm en ambas escalas (marcados en verde)
Graficando la incertidumbre para los tres meacutetodos obtenemos la Figura 14
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Figura 14 Incertidumbre estadiacutestica para hallar el arcoseno() por distintos meacutetodos
Vemos claramente que la menor alinealidad de la escala C por siacute sola permite al meacutetodo
de escala inversa de senos diferenciales tener resultados mejores que una regla estaacutendar al
momento de hallar aacutengulos por sus senos Especialmente para aacutengulos grandes y a pesar de
la penalizacioacuten de un 119899 = 3
Sin embargo siempre una regla con escalas S y P produce mejores resultados que las
demaacutes
6 Conclusiones
El meacutetodo de anaacutelisis de las escalas y operaciones a traveacutes de la incertidumbre intriacutenseca
resulta muy uacutetil para evaluar objetivamente la conveniencia de unas escalas y meacutetodos sobre
otros alternativos para mejorar la precisioacuten A su vez el meacutetodo nos permitioacute demostrar
algunos supuestos muy difundidos sobre las RC y rebatir otros con facilidad Entre las
conclusiones notables se destacan
- La incertidumbre intriacutenseca es una funcioacuten que variacutea a lo largo de la escala y puede
escribirse en funcioacuten de la posicioacuten geomeacutetrica de los valores de la escala o de los
valores de otra escala conveniente
- La incertidumbre de una escala es inversamente proporcional a su longitud fiacutesica
- La incertidumbre relativa de una escala logariacutetmica es constante
- La funcioacuten incertidumbre maacutexima absoluta de una operacioacuten con RC sin lectura
intermedia de valores estaacute dada solamente por la incertidumbre de la escala de
lectura final multiplicada por la cantidad de estimaciones 119951 Esta conclusioacuten es vital
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 147
porque nos permite prescindir del anaacutelisis de incertidumbre de las escalas que no son
las que usamos para leer el resultado
- Esta funcioacuten incertidumbre se evaluacutea simplemente en el punto de lectura del
resultado final (teniendo en cuenta los cambios de deacutecada pertinentes)
- La incertidumbre estadiacutestica en caacutelculos complejos seraacute menor a la maacutexima y variacutea
seguacuten el factor radic119951
- El nuacutemero 119951 de estimaciones suele ser un factor de gran influencia sobre la
incertidumbre producida en caacutelculos complejos por lo que es muy importante su
reduccioacuten
- Si la operacioacuten contiene lecturas intermedias el caacutelculo de la incertidumbre total no es
directo y debe realizarse agregando la propagacioacuten claacutesica de incertidumbre a traveacutes
de foacutermulas para los valores intermedios leiacutedos y recolocados
- La incidencia de las lecturas y colocaciones de valores intermedios en la
incertidumbre de un caacutelculo complejo puede ser muy importante y en general
conviene que estas operaciones sean evitadas cuando sea posible
- Queda suficientemente claro que las dificultades del problema de la precisioacuten superan
ampliamente la tiacutepica definicioacuten popular de ldquotres diacutegitos significativosrdquo Aunque
por supuesto no queda invalidada como una raacutepida aproximacioacuten al promedio de
precisioacuten para una regla estaacutendar
- Conclusiones Operativas expuestas como ejemplo
Las reglas con escala P son las maacutes precisas para las funciones trigonomeacutetrisas
directas e inversas
Las reglas con escalas trigonomeacutetricas diferenciales mejoran la precisioacuten de
una regla tiacutepica con escala S para las funciones inversas pero son
praacutecticamente ideacutenticas para las funciones directas
Para operaciones como z = radica ∙ b es algo maacutes preciso multiplicar sobre las
escalas cuadraacuteticas A B y leer la raiz en D
7 Agradecimientos
Deseo agradecer al Ing Santiago Higuera de Frutos por su estiacutemulo y apoyo para la
realizacioacuten del presente artiacuteculo y su ayuda para la revisioacuten y presentacioacuten del mismo
Tambieacuten quiero agradecer a los miembros de la agrupacioacuten ARC ldquoAmigos de las reglas de
caacutelculordquo y especialmente a su fundador Jorge Faacutebregas Zazza por su inmensa y desinteresada
tarea
8 Lectura Introductoria
HIGUERA DE FRUTOS Santiago Reglas de Caacutelculo Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Vol
VI Nuacutem 2 Octubre 2016
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
148 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
httpwwwreglasdecalculocom Web de Jorge Faacutebregas Zazza donde se expone su
vasta coleccioacuten de reglas de caacutelculo y manuales en espantildeol y cantidad de recursos uacutetiles
y links para interesados y coleccionistas particularmente un cursillo introductorio sobre
su uso en httpwwwreglasdecalculocomteoriaypracticahtm
Referencias
[1] TAYLOR John Robert An introduction to error analysis 2nd edition caps 3 y 5 University
Science Books California 1997
[2] LINDBERG Vern Uncertainties and error propagation httpsgooglzz0QuJ
Sobre el autor
Nombre Jorge Luis Victoria
Correo Electroacutenico jorgeluisvictoriaricogmailcom
Profesioacuten Profesional Autoacutenomo
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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421 Incertidumbre intriacutenseca de la escala base
Para la escala base C tendremos sin duda una curva exponencial Partiendo de la ecuacioacuten
[ 2 ] de la escala C
XC = 10 pL rarr I C =
part XC
part p =
part (10 pL)
part p =
1
L (10
pL) ln 10
IC = ln 10
L ∙ (10
pL) [
1
mm ] [ 9 ]
Para otras deacutecadas aplicar el factor de potencia de 10 apropiado
Esta incertidumbre tambieacuten la podemos expresar respecto de los propios valores de la
escala C reemplazando 119953 en la uacuteltima expresioacuten seguacuten [ 1 ]
IC = ln 10
L ∙ XC [
1
mm ] [ 10 ]
422 Incertidumbre relativa de la escala base
Si lo que nos interesa es cuantificar la Incertidumbre relativa i dividiremos la
Incertidumbre absoluta por el valor de lectura de la escala
iC = IC
XC =
ln 10
L [ 11 ]
La Incertidumbre relativa de la Escala Base (C) de una regla de caacutelculo es
constante y soacutelo depende inversamente de la longitud de la escala
423 Incertidumbre intriacutenseca de la escala de senos
Partiendo de la expresioacuten de la escala de senos [ 6 ]
XS= arcsen (10 pL
- 1)
part XS
part p =
part (arcsen (10 pL
-1))
part p =
1
L ∙
10 pL
- 1
radic1- (10 pL
-1)2
∙ ln 10
IS = ln 10
L ∙
10 pL
- 1
radic1 - (10 pL
- 1)2
[ rad
mm] [ 12 ]
Maacutes convenientemente reemplazando 119849 seguacuten [ 5 ] tendremos la incertidumbre en
funcioacuten del aacutengulo
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IS = ln 10
L ∙ tg XS [
rad
mm] [ 13 ]
Lo que muestra a simple vista la tendencia a infinito de la incertidumbre de la escala de
senos al acercarnos a 90ordm
424 Incertidumbre intriacutenseca de escalas LogLog
Para la escala LogLog se deduce de igual manera
LL2 (e01 x) rarr ILL3
= ln 10
L ∙ 10
pL
- 1 ∙ e 10 pL - 1
LL3 (ex) rarr ILL3
= ln 10
L ∙ 10
pL ∙ e 10
pL
Etc
425 Graacuteficos de Incertidumbre de algunas escalas comunes
Figura 3 Incertidumbre escalas usuales
Figura 4 Incertidumbre escalas trigonomeacutetricas
En el graacutefico de la incertidumbre absoluta se aprecia la constancia de la escala logariacutetmica
(que resulta lineal en la regla) Tambieacuten vemos la linealidad de la incertidumbre en la escala
logariacutetmica base C
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Figura 5 Incertidumbre relativa escalas usuales
Figura 6 Incertidumbre relativa esc trigonomeacutetricas
Observamos especialmente la ya sentildealada constancia de la incertidumbre relativa de las
escalas logariacutetmicas la base C y la B que la duplica
43 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones
De la misma manera que para las escalas podemos elaborar un iacutendice que valore coacutemo la
RC propicia el error cuando se ejecuta una operacioacuten dada En este caso la incertidumbre
estaraacute dada por las estimaciones sucesivas de valores en las escalas en combinacioacuten con las
operaciones realizadas recordando que todas las incertidumbres son funciones de la posicioacuten
dentro la escala
431 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones unitarias
Este es el caso de operaciones directas como ser hallar el cuadrado o la raiacutez de un
nuacutemero o el seno de un aacutengulo
Tomemos este uacuteltimo caso Hallar el seno de un aacutengulo implica colocar el valor del aacutengulo
en la escala S y luego leer el seno en la escala base Por ende tendremos que combinar la
incertidumbre de la escala S con la de la escala C
Llamaremos 119868119878119862 a la Incertidumbre de la escala de Senos leiacutedos en la escala C y para
encontrarlo proyectaremos la Incertidumbre de la escala S sobre la escala C y la sumaremos a
la Incertidumbre propia de la escala C para la lectura De igual manera encontraremos la
Incertidumbre de la escala C leiacuteda en la escala S de senos 119868119862119878 para el caso inverso de hallar un
aacutengulo
ISC = IS partXC
partXS + IC y ICS = IC
partXS
partXC + IS
Reemplazando y operando veremos que los iacutendices de incertidumbre tanto para leer
senos como para leer aacutengulos combinando ambas escalas son exactamente el doble de los
iacutendices sencillos de la escala de lectura (En completa concordancia con el anaacutelisis geomeacutetrico
de la acumulacioacuten de los errores de posicionamiento)
ISC = 2 IC y ICS = 2 IS
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La Incertidumbre intriacutenseca de una operacioacuten unitaria estaacute dada soacutelo por la
Incertidumbre de la escala de lectura multiplicada por dos
432 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones encadenadas
Veremos queacute sucede con la incertidumbre al realizar operaciones matemaacuteticas En
primera instancia lo haremos sobre la misma escala para lo cual tomemos por caso una simple
multiplicacioacuten 119911 = 119909 ∙ 119910 Tendremos dos elementos baacutesicos en la Incertidumbre final La
Incertidumbre de la propia multiplicacioacuten dada por la colocacioacuten de los factores y la
Incertidumbre en la lectura del resultado
IM = Ixy + Iz
IM = part(xy)
partp+ Iz = y
partx
partp+ x
party
partp+ Iz
Reemplazando x e y seguacuten [ 2 ]
IM = (10 pYL )
partx
partp+ (10
pXL )
party
partp + Iz
Al trabajar sobre la misma escala CD la funcioacuten de Incertidumbre y su derivada seraacute la
misma para las tres variables Entonces reemplazando las derivadas
IM = (10 pYL )
ln 10
L ∙ (10
pXL ) + (10
pXL )
ln 10
L ∙ (10
pYL ) + Iz
IM = ln 10
L (10
pYL ) (10
pXL ) + (10
pXL ) (10
pYL ) + Iz
IM = 2 ln 10
L (10
pX+ pY
L ) + Iz
Siendo pX
+ pY
= pZ
por el funcionamiento de la RC al multiplicar dos valores (suma de sus
segmentos logariacutetmicos) podemos escribir
IM = 2 ln 10
L (10
pZ
L ) + Iz = 2 Iz + Iz
IM = 3 Iz
Por lo tanto la Incertidumbre intriacutenseca de una multiplicacioacuten queda
determinada uacutenicamente por la Incertidumbre de la escala CD en el punto de
obtencioacuten del resultado multiplicado por el nuacutemero de estimaciones (n)
En general aunque intervengan escalas diferentes (como las escalas LL) la
funcioacuten Incertidumbre intriacutenseca de una operacioacuten estaraacute dada por la
Incertidumbre intriacutenseca de la escala de resultado (IE) multiplicada por la
cantidad de estimaciones (n)
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IOp(p) = n ∙ IE(p) [ 14 ]
Habraacute expresiones equivalentes en funcioacuten de los valores XE de la escala
Esta conclusioacuten estaacute en total concordancia con el anaacutelisis geomeacutetrico de los
desplazamientos de la reglilla con sus correspondientes errores de
posicionamiento
433 Incertidumbre de operaciones con transferencia
Para poder comparar meacutetodos de caacutelculo en general nos faltariacutea analizar los meacutetodos que
incluyen la lectura de un resultado intermedio en una escala y su recolocacioacuten en otra escala
para continuar
Estas operaciones por su variedad deben analizarse caso por caso Entonces en este
artiacuteculo desarrollaremos un caso a modo de ejemplo y de paso analizaremos la conveniencia
de dos meacutetodos alternativos de realizar el mismo caacutelculo Calcularemos con la RC
z = radica ∙ b
Recordemos que las escalas A y B son ideacutenticas entre siacute asiacute como las C y D
Meacutetodo 1
Multiplicar en las escalas de cuadrados AB y leer el resultado directamente en C
+ Gran economiacutea de estimaciones y movimientos
- Operar la multiplicacioacuten en escalas menos precisas
Figura 7Meacutetodo 1 Raiz ( 215 x 240 ) = 227 (sin lectura del producto)
Meacutetodo 2
Multiplicar y leer el producto en las escalas CD
Luego colocar el producto en la escala de cuadrados A y leer el resultado en D
+ Multiplicamos con mayor precisioacuten
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- La lectura intermedia es incoacutemoda y podriacutea empeorar la precisioacuten
Figura 8Meacutetodo 2 Primer Paso 215 x 240 = 516
Figura 9Meacutetodo 2 Segundo Paso Raiz (516) = 227
El meacutetodo 1 es una sencilla operacioacuten encadenada que consta de 3 estimaciones leyendo
finalmente sobre la escala C Su funcioacuten de incertidumbre seraacute seguacuten la expresioacuten [ 14 ]
ajustada para valores de escala y 119899 = 3
IM1(XC) = 3 ∙ IC(XC)
Reemplazando XC=z (resultado final) en [ 10 ] resulta para el meacutetodo 1
IM1(z) = 3 ∙ ln 10
L ∙ z [ 15 ]
Para el meacutetodo 2 primero tendremos que obtener la incertidumbre de la multiplicacioacuten en
la escala C incluyendo la lectura Esta incertidumbre se transfiere a la escala A y luego
debemos propagarla sobre la escala C en su punto de aplicacioacuten Y finalmente agregar la
incertidumbre de la colocacioacuten del valor en A y de la lectura de la raiacutez en la escala C
Para la multiplicacioacuten tendremos 3 estimaciones y para la raiacutez tendremos 2 La
proyeccioacuten se hace sobre el punto XC y la funcioacuten incertidumbre de la multiplicacioacuten se
evaluacutea en XC2 Entonces
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IM2(XC) = partXC
partXA ∙ 3 IC(XC
2) + 2 IC(XC)
Siendo Xc = radicXA y IC(XC) = ln 10
L ∙ XC
IM2(XC) = ln 10
L∙ (3 ∙
1
2 radicXA XC
2 + 2 XC)
IM2(XC) = ln 10
L ∙ (
3
2 XC + 2 XC )
IM2(z) = 35 ∙ ln 10
L ∙ z [ 16 ]
Comparando [ 15 ] y [ 16 ] quedan definitivamente zanjadas las subjetividades sobre cuaacutel
meacutetodo es preferible El meacutetodo 1 ademaacutes de ser maacutes coacutemodo raacutepido y seguro tambieacuten es
algo maacutes preciso (14)
44 Incertidumbre Estadiacutestica de los caacutelculos
En todo lo hecho hasta aquiacute consideramos incertidumbres maacuteximas absolutas lo cual en
la praacutectica no sucede
Para obtener un valor maacutes realista de la incertidumbre y del peso relativo del nuacutemero de
estimaciones sobre el mismo se debe tener en cuenta el concepto estadiacutestico del error Por lo
tanto la estimacioacuten de valores en la regla seguiraacute en cada caso una distribucioacuten normal
centrada en el valor exacto y el error en cada paso seraacute en algunos casos aumentado y en
otros reducido (Suponiendo razonablemente que el operador no lee con sesgos)
El enfoque estadiacutestico queda fuera del alcance de este texto pero utilizando ciertas
simplificaciones podemos asumir que
IEst = radic ( partf
partx)
2
∙ (dx)2 + ( partf
party)
2
∙ (dy)2+hellip
Operando llegamos a que en operaciones encadenadas el factor a aplicar para encontrar
la incertidumbre estadiacutesticamente esperable seraacute radic119951 en lugar de n Tendremos entonces para
un caacutelculo encadenado
IEst = radic n ∙ IE
Siendo n el nuacutemero de estimaciones e IE la funcioacuten de Incertidumbre intriacutenseca de la
escala de lectura Asiacute en la praacutectica se disminuye ligeramente la influencia de la cantidad de
caacutelculos encadenados respecto de la incertidumbre final
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5 Evaluacioacuten comparativa de Escalas y Meacutetodos
La Incertidumbre Intriacutenseca de escalas y meacutetodos es una valoracioacuten objetiva que nos
permite determinar la conveniencia en cuanto a su precisioacuten posible de un meacutetodo de caacutelculo
y sus escalas asociadas
Haremos un ejemplo de evaluacioacuten de meacutetodos y escalas para hallar senos de aacutengulos y
reciacuteprocamente usando los tres meacutetodos maacutes frecuentes encontrados en las RC Con escalas S
y C con escalas S y P y con la menos usual escala trigonomeacutetrica diferencial de senos Sd y C
51 Senos con escalas usuales (S y C)
Ya hemos visto la evaluacioacuten del procedimiento usando la escala S de senos (aacutengulos)
estaacutendar en 431
Para facilitar la evaluacioacuten expresaremos la incertidumbre de la escala C [ 10 ] en funcioacuten
de XS recordando que 119883119888 = 10 ∙ sen XS
IC = ln 10
L ∙ 10 ∙ sen XS [ 17 ]
52 Senos con escala pitagoacuterica adicional (S y P)
La escala pitagoacuterica expresa la funcioacuten radic 1 - X2 Por lo tanto si colocamos en la escala C
el valor correspondiente al coseno de un aacutengulo obtendremos en P el valor del seno del
mismo aacutengulo en virtud de la relacioacuten pitagoacuterica Esto es muy uacutetil porque permite hallar con
mayor precisioacuten senos de aacutengulos grandes para los cuales la precisioacuten de la escala C decae
mucho Para hallar el seno de 70ordm por ejemplo indicamos 30ordm en la escala de senos (aacutengulos) y
luego leemos cos(30ordm) = sin(70ordm) en la escala P
Para la escala pitagoacuterica seguimos el mismo proceso que con las escalas anteriores
comenzando con la expresioacuten de la escala P respecto de la escala CD
XP = radic 1 - ( XC
10 )
2
rarr XC = 10 radic 1 - XP2
La posicioacuten sobre la regla seguacuten [ 1 ] p = L ∙ log XC
p = L ∙ (1 + log (1-XP
2)
2)
XP = radic 1- 10 2 ∙ ( p L
- 1)
IP = partXP
part p =
- ln 10
L∙
10 2 ∙ ( p L
- 1)
radic1 - 10 2 ∙ ( p L - 1)
[ 18 ]
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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Mejor expresarlo en funcioacuten de XC que es seguacuten [ 2 ] XC = 10 p
L y tambieacuten podemos
descartar el signo que no nos interesa
IP= ln 10
L∙
( XC 10
)2
radic 1 - ( XC 10
)2
[ 19 ]
Todaviacutea seriacutea mejor dado que comparamos la performance para la obtencioacuten de senos de
aacutengulos expresar 119816119823 en funcioacuten del aacutengulo complementario
Siendo XC
10= sen XS = cos Xcomp
IP = ln 10
L ∙
cos2 Xcomp
sin Xcomp [ 20 ]
Figura 10 Escala Pitagoacuterica Seno(80ordm) = P(10ordm) = 09848
53 Senos con escalas trigonomeacutetricas diferenciales (Sd y C)
La escala diferencial de senos se construye seguacuten la expresioacuten
Sd = X
sen X
Luego para obtener el seno de un aacutengulo se despeja
sen x = X
Sd
Siendo expresado X en grados sexagesimales
Lo interesante del meacutetodo es que la misma escala D se aprovecha de 1 a 9 con factor 10
para representar aacutengulos de 10ordm a 90ordm y simultaacuteneamente de 1 a 10 para representar los senos
de 01 a 1 (para la deacutecada base)
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Figura 11 Escala de Senos Diferenciales Seno(30ordm) = 05
Para operar se coloca el aacutengulo en grados sobre D luego se divide (resta de segmentos)
por el valor en la escala Sd muy convenientemente colocada en la reglilla para facilidad
operativa Y finalmente se lee el sen X en la misma escala D sobre el iacutendice de la reglilla
Y ahora es doacutende viene lo maacutes praacutectico de nuestras conclusiones Como hemos deducido
en iexclError No se encuentra el origen de la referencia la incertidumbre intriacutenseca de una
operacioacuten sin lecturas intermedias soacutelo depende de la escala de lectura final y no de la de
colocacioacuten del aacutengulo De esta forma no necesitamos preocuparnos de la incoacutemoda funcioacuten
Sd para nada soacutelo nos interesa la escala D ya estudiada Usaremos pues la expresioacuten [ 17 ]
Sin embargo vemos que hay de por medio otra operacioacuten de colocacioacuten de valor en la
escala Sd por lo que aquiacute 119847 seraacute igual a 3 en lugar de 2 empeorando potencialmente la
precisioacuten del valor obtenido
54 Comparacioacuten de los tres meacutetodos de obtencioacuten de Senos de aacutengulos
En el siguiente graacutefico comparamos la Incertidumbre de los tres meacutetodos seguacuten [ 17 ] con
119899 = 2 para S y con 119899 = 3 para Sd y seguacuten [ 20 ] con 119899 = 2 para P
En la Figura 12 vemos claramente que el meacutetodo con escalas S y P se comporta mucho
mejor para aacutengulos grandes que el meacutetodo usual con las escalas S y C Incluso globalmente
logramos algo maacutes de precisioacuten para estos aacutengulos que para los aacutengulos pequentildeoshellip
La posicioacuten de equilibrio se alcanza exactamente para los 45ordm aacutengulo a partir del cual es
conveniente usar la escala P con el aacutengulo complementario
En relacioacuten con el meacutetodo de trigonomeacutetricas diferenciales vemos que la precisioacuten
alcanzable es menor que con las escalas tradicionales debido a la introduccioacuten de la operacioacuten
de divisioacuten (salvo el pequentildeo entorno entre 57ordm y 10ordm que se obtiene en la deacutecada anterior a la
normal resultando maacutes preciso)
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Figura 12 Incertidumbre estadiacutestica para hallar sen(x) por distintos meacutetodos usuales
55 Comparando meacutetodos de obtencioacuten de aacutengulos dado su seno
Para el caso estaacutendar tenemos simplemente la funcioacuten de incertidumbre de la escala S [ 13
] con 119899 = 2
Para el caacutelculo con escala P la ecuacioacuten y 119899 seraacuten los mismos aplicada sobre los aacutengulos
complementarios
Para el caacutelculo con escala inversa Sd (ISd) los aacutengulos se leen tambieacuten sobre la escala C
por lo que corresponde evaluar la incertidumbre de la escala C transformada en escala de
aacutengulos y con 119899 = 3
Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordm
Operacioacuten Con ayuda del cursor se alinea el valor del seno en la escala D y el mismo
valor del seno en la escala ISd como en una divisioacuten (resta de segmentos) el iacutendice de la escala
C apunta al aacutengulo sobre la escala D (multiplicar por 10 en esta deacutecada)
En la Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordmtambieacuten observamos el
aacutengulo 30ordm alineado con 05 en la escala S standard La mayor incertidumbre de la escala S se
ve muy claramente para el intervalo 80ordm - 90ordm en ambas escalas (marcados en verde)
Graficando la incertidumbre para los tres meacutetodos obtenemos la Figura 14
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Figura 14 Incertidumbre estadiacutestica para hallar el arcoseno() por distintos meacutetodos
Vemos claramente que la menor alinealidad de la escala C por siacute sola permite al meacutetodo
de escala inversa de senos diferenciales tener resultados mejores que una regla estaacutendar al
momento de hallar aacutengulos por sus senos Especialmente para aacutengulos grandes y a pesar de
la penalizacioacuten de un 119899 = 3
Sin embargo siempre una regla con escalas S y P produce mejores resultados que las
demaacutes
6 Conclusiones
El meacutetodo de anaacutelisis de las escalas y operaciones a traveacutes de la incertidumbre intriacutenseca
resulta muy uacutetil para evaluar objetivamente la conveniencia de unas escalas y meacutetodos sobre
otros alternativos para mejorar la precisioacuten A su vez el meacutetodo nos permitioacute demostrar
algunos supuestos muy difundidos sobre las RC y rebatir otros con facilidad Entre las
conclusiones notables se destacan
- La incertidumbre intriacutenseca es una funcioacuten que variacutea a lo largo de la escala y puede
escribirse en funcioacuten de la posicioacuten geomeacutetrica de los valores de la escala o de los
valores de otra escala conveniente
- La incertidumbre de una escala es inversamente proporcional a su longitud fiacutesica
- La incertidumbre relativa de una escala logariacutetmica es constante
- La funcioacuten incertidumbre maacutexima absoluta de una operacioacuten con RC sin lectura
intermedia de valores estaacute dada solamente por la incertidumbre de la escala de
lectura final multiplicada por la cantidad de estimaciones 119951 Esta conclusioacuten es vital
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 147
porque nos permite prescindir del anaacutelisis de incertidumbre de las escalas que no son
las que usamos para leer el resultado
- Esta funcioacuten incertidumbre se evaluacutea simplemente en el punto de lectura del
resultado final (teniendo en cuenta los cambios de deacutecada pertinentes)
- La incertidumbre estadiacutestica en caacutelculos complejos seraacute menor a la maacutexima y variacutea
seguacuten el factor radic119951
- El nuacutemero 119951 de estimaciones suele ser un factor de gran influencia sobre la
incertidumbre producida en caacutelculos complejos por lo que es muy importante su
reduccioacuten
- Si la operacioacuten contiene lecturas intermedias el caacutelculo de la incertidumbre total no es
directo y debe realizarse agregando la propagacioacuten claacutesica de incertidumbre a traveacutes
de foacutermulas para los valores intermedios leiacutedos y recolocados
- La incidencia de las lecturas y colocaciones de valores intermedios en la
incertidumbre de un caacutelculo complejo puede ser muy importante y en general
conviene que estas operaciones sean evitadas cuando sea posible
- Queda suficientemente claro que las dificultades del problema de la precisioacuten superan
ampliamente la tiacutepica definicioacuten popular de ldquotres diacutegitos significativosrdquo Aunque
por supuesto no queda invalidada como una raacutepida aproximacioacuten al promedio de
precisioacuten para una regla estaacutendar
- Conclusiones Operativas expuestas como ejemplo
Las reglas con escala P son las maacutes precisas para las funciones trigonomeacutetrisas
directas e inversas
Las reglas con escalas trigonomeacutetricas diferenciales mejoran la precisioacuten de
una regla tiacutepica con escala S para las funciones inversas pero son
praacutecticamente ideacutenticas para las funciones directas
Para operaciones como z = radica ∙ b es algo maacutes preciso multiplicar sobre las
escalas cuadraacuteticas A B y leer la raiz en D
7 Agradecimientos
Deseo agradecer al Ing Santiago Higuera de Frutos por su estiacutemulo y apoyo para la
realizacioacuten del presente artiacuteculo y su ayuda para la revisioacuten y presentacioacuten del mismo
Tambieacuten quiero agradecer a los miembros de la agrupacioacuten ARC ldquoAmigos de las reglas de
caacutelculordquo y especialmente a su fundador Jorge Faacutebregas Zazza por su inmensa y desinteresada
tarea
8 Lectura Introductoria
HIGUERA DE FRUTOS Santiago Reglas de Caacutelculo Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Vol
VI Nuacutem 2 Octubre 2016
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
148 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
httpwwwreglasdecalculocom Web de Jorge Faacutebregas Zazza donde se expone su
vasta coleccioacuten de reglas de caacutelculo y manuales en espantildeol y cantidad de recursos uacutetiles
y links para interesados y coleccionistas particularmente un cursillo introductorio sobre
su uso en httpwwwreglasdecalculocomteoriaypracticahtm
Referencias
[1] TAYLOR John Robert An introduction to error analysis 2nd edition caps 3 y 5 University
Science Books California 1997
[2] LINDBERG Vern Uncertainties and error propagation httpsgooglzz0QuJ
Sobre el autor
Nombre Jorge Luis Victoria
Correo Electroacutenico jorgeluisvictoriaricogmailcom
Profesioacuten Profesional Autoacutenomo
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
136 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
IS = ln 10
L ∙ tg XS [
rad
mm] [ 13 ]
Lo que muestra a simple vista la tendencia a infinito de la incertidumbre de la escala de
senos al acercarnos a 90ordm
424 Incertidumbre intriacutenseca de escalas LogLog
Para la escala LogLog se deduce de igual manera
LL2 (e01 x) rarr ILL3
= ln 10
L ∙ 10
pL
- 1 ∙ e 10 pL - 1
LL3 (ex) rarr ILL3
= ln 10
L ∙ 10
pL ∙ e 10
pL
Etc
425 Graacuteficos de Incertidumbre de algunas escalas comunes
Figura 3 Incertidumbre escalas usuales
Figura 4 Incertidumbre escalas trigonomeacutetricas
En el graacutefico de la incertidumbre absoluta se aprecia la constancia de la escala logariacutetmica
(que resulta lineal en la regla) Tambieacuten vemos la linealidad de la incertidumbre en la escala
logariacutetmica base C
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 137
Figura 5 Incertidumbre relativa escalas usuales
Figura 6 Incertidumbre relativa esc trigonomeacutetricas
Observamos especialmente la ya sentildealada constancia de la incertidumbre relativa de las
escalas logariacutetmicas la base C y la B que la duplica
43 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones
De la misma manera que para las escalas podemos elaborar un iacutendice que valore coacutemo la
RC propicia el error cuando se ejecuta una operacioacuten dada En este caso la incertidumbre
estaraacute dada por las estimaciones sucesivas de valores en las escalas en combinacioacuten con las
operaciones realizadas recordando que todas las incertidumbres son funciones de la posicioacuten
dentro la escala
431 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones unitarias
Este es el caso de operaciones directas como ser hallar el cuadrado o la raiacutez de un
nuacutemero o el seno de un aacutengulo
Tomemos este uacuteltimo caso Hallar el seno de un aacutengulo implica colocar el valor del aacutengulo
en la escala S y luego leer el seno en la escala base Por ende tendremos que combinar la
incertidumbre de la escala S con la de la escala C
Llamaremos 119868119878119862 a la Incertidumbre de la escala de Senos leiacutedos en la escala C y para
encontrarlo proyectaremos la Incertidumbre de la escala S sobre la escala C y la sumaremos a
la Incertidumbre propia de la escala C para la lectura De igual manera encontraremos la
Incertidumbre de la escala C leiacuteda en la escala S de senos 119868119862119878 para el caso inverso de hallar un
aacutengulo
ISC = IS partXC
partXS + IC y ICS = IC
partXS
partXC + IS
Reemplazando y operando veremos que los iacutendices de incertidumbre tanto para leer
senos como para leer aacutengulos combinando ambas escalas son exactamente el doble de los
iacutendices sencillos de la escala de lectura (En completa concordancia con el anaacutelisis geomeacutetrico
de la acumulacioacuten de los errores de posicionamiento)
ISC = 2 IC y ICS = 2 IS
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138 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
La Incertidumbre intriacutenseca de una operacioacuten unitaria estaacute dada soacutelo por la
Incertidumbre de la escala de lectura multiplicada por dos
432 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones encadenadas
Veremos queacute sucede con la incertidumbre al realizar operaciones matemaacuteticas En
primera instancia lo haremos sobre la misma escala para lo cual tomemos por caso una simple
multiplicacioacuten 119911 = 119909 ∙ 119910 Tendremos dos elementos baacutesicos en la Incertidumbre final La
Incertidumbre de la propia multiplicacioacuten dada por la colocacioacuten de los factores y la
Incertidumbre en la lectura del resultado
IM = Ixy + Iz
IM = part(xy)
partp+ Iz = y
partx
partp+ x
party
partp+ Iz
Reemplazando x e y seguacuten [ 2 ]
IM = (10 pYL )
partx
partp+ (10
pXL )
party
partp + Iz
Al trabajar sobre la misma escala CD la funcioacuten de Incertidumbre y su derivada seraacute la
misma para las tres variables Entonces reemplazando las derivadas
IM = (10 pYL )
ln 10
L ∙ (10
pXL ) + (10
pXL )
ln 10
L ∙ (10
pYL ) + Iz
IM = ln 10
L (10
pYL ) (10
pXL ) + (10
pXL ) (10
pYL ) + Iz
IM = 2 ln 10
L (10
pX+ pY
L ) + Iz
Siendo pX
+ pY
= pZ
por el funcionamiento de la RC al multiplicar dos valores (suma de sus
segmentos logariacutetmicos) podemos escribir
IM = 2 ln 10
L (10
pZ
L ) + Iz = 2 Iz + Iz
IM = 3 Iz
Por lo tanto la Incertidumbre intriacutenseca de una multiplicacioacuten queda
determinada uacutenicamente por la Incertidumbre de la escala CD en el punto de
obtencioacuten del resultado multiplicado por el nuacutemero de estimaciones (n)
En general aunque intervengan escalas diferentes (como las escalas LL) la
funcioacuten Incertidumbre intriacutenseca de una operacioacuten estaraacute dada por la
Incertidumbre intriacutenseca de la escala de resultado (IE) multiplicada por la
cantidad de estimaciones (n)
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IOp(p) = n ∙ IE(p) [ 14 ]
Habraacute expresiones equivalentes en funcioacuten de los valores XE de la escala
Esta conclusioacuten estaacute en total concordancia con el anaacutelisis geomeacutetrico de los
desplazamientos de la reglilla con sus correspondientes errores de
posicionamiento
433 Incertidumbre de operaciones con transferencia
Para poder comparar meacutetodos de caacutelculo en general nos faltariacutea analizar los meacutetodos que
incluyen la lectura de un resultado intermedio en una escala y su recolocacioacuten en otra escala
para continuar
Estas operaciones por su variedad deben analizarse caso por caso Entonces en este
artiacuteculo desarrollaremos un caso a modo de ejemplo y de paso analizaremos la conveniencia
de dos meacutetodos alternativos de realizar el mismo caacutelculo Calcularemos con la RC
z = radica ∙ b
Recordemos que las escalas A y B son ideacutenticas entre siacute asiacute como las C y D
Meacutetodo 1
Multiplicar en las escalas de cuadrados AB y leer el resultado directamente en C
+ Gran economiacutea de estimaciones y movimientos
- Operar la multiplicacioacuten en escalas menos precisas
Figura 7Meacutetodo 1 Raiz ( 215 x 240 ) = 227 (sin lectura del producto)
Meacutetodo 2
Multiplicar y leer el producto en las escalas CD
Luego colocar el producto en la escala de cuadrados A y leer el resultado en D
+ Multiplicamos con mayor precisioacuten
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- La lectura intermedia es incoacutemoda y podriacutea empeorar la precisioacuten
Figura 8Meacutetodo 2 Primer Paso 215 x 240 = 516
Figura 9Meacutetodo 2 Segundo Paso Raiz (516) = 227
El meacutetodo 1 es una sencilla operacioacuten encadenada que consta de 3 estimaciones leyendo
finalmente sobre la escala C Su funcioacuten de incertidumbre seraacute seguacuten la expresioacuten [ 14 ]
ajustada para valores de escala y 119899 = 3
IM1(XC) = 3 ∙ IC(XC)
Reemplazando XC=z (resultado final) en [ 10 ] resulta para el meacutetodo 1
IM1(z) = 3 ∙ ln 10
L ∙ z [ 15 ]
Para el meacutetodo 2 primero tendremos que obtener la incertidumbre de la multiplicacioacuten en
la escala C incluyendo la lectura Esta incertidumbre se transfiere a la escala A y luego
debemos propagarla sobre la escala C en su punto de aplicacioacuten Y finalmente agregar la
incertidumbre de la colocacioacuten del valor en A y de la lectura de la raiacutez en la escala C
Para la multiplicacioacuten tendremos 3 estimaciones y para la raiacutez tendremos 2 La
proyeccioacuten se hace sobre el punto XC y la funcioacuten incertidumbre de la multiplicacioacuten se
evaluacutea en XC2 Entonces
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 141
IM2(XC) = partXC
partXA ∙ 3 IC(XC
2) + 2 IC(XC)
Siendo Xc = radicXA y IC(XC) = ln 10
L ∙ XC
IM2(XC) = ln 10
L∙ (3 ∙
1
2 radicXA XC
2 + 2 XC)
IM2(XC) = ln 10
L ∙ (
3
2 XC + 2 XC )
IM2(z) = 35 ∙ ln 10
L ∙ z [ 16 ]
Comparando [ 15 ] y [ 16 ] quedan definitivamente zanjadas las subjetividades sobre cuaacutel
meacutetodo es preferible El meacutetodo 1 ademaacutes de ser maacutes coacutemodo raacutepido y seguro tambieacuten es
algo maacutes preciso (14)
44 Incertidumbre Estadiacutestica de los caacutelculos
En todo lo hecho hasta aquiacute consideramos incertidumbres maacuteximas absolutas lo cual en
la praacutectica no sucede
Para obtener un valor maacutes realista de la incertidumbre y del peso relativo del nuacutemero de
estimaciones sobre el mismo se debe tener en cuenta el concepto estadiacutestico del error Por lo
tanto la estimacioacuten de valores en la regla seguiraacute en cada caso una distribucioacuten normal
centrada en el valor exacto y el error en cada paso seraacute en algunos casos aumentado y en
otros reducido (Suponiendo razonablemente que el operador no lee con sesgos)
El enfoque estadiacutestico queda fuera del alcance de este texto pero utilizando ciertas
simplificaciones podemos asumir que
IEst = radic ( partf
partx)
2
∙ (dx)2 + ( partf
party)
2
∙ (dy)2+hellip
Operando llegamos a que en operaciones encadenadas el factor a aplicar para encontrar
la incertidumbre estadiacutesticamente esperable seraacute radic119951 en lugar de n Tendremos entonces para
un caacutelculo encadenado
IEst = radic n ∙ IE
Siendo n el nuacutemero de estimaciones e IE la funcioacuten de Incertidumbre intriacutenseca de la
escala de lectura Asiacute en la praacutectica se disminuye ligeramente la influencia de la cantidad de
caacutelculos encadenados respecto de la incertidumbre final
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5 Evaluacioacuten comparativa de Escalas y Meacutetodos
La Incertidumbre Intriacutenseca de escalas y meacutetodos es una valoracioacuten objetiva que nos
permite determinar la conveniencia en cuanto a su precisioacuten posible de un meacutetodo de caacutelculo
y sus escalas asociadas
Haremos un ejemplo de evaluacioacuten de meacutetodos y escalas para hallar senos de aacutengulos y
reciacuteprocamente usando los tres meacutetodos maacutes frecuentes encontrados en las RC Con escalas S
y C con escalas S y P y con la menos usual escala trigonomeacutetrica diferencial de senos Sd y C
51 Senos con escalas usuales (S y C)
Ya hemos visto la evaluacioacuten del procedimiento usando la escala S de senos (aacutengulos)
estaacutendar en 431
Para facilitar la evaluacioacuten expresaremos la incertidumbre de la escala C [ 10 ] en funcioacuten
de XS recordando que 119883119888 = 10 ∙ sen XS
IC = ln 10
L ∙ 10 ∙ sen XS [ 17 ]
52 Senos con escala pitagoacuterica adicional (S y P)
La escala pitagoacuterica expresa la funcioacuten radic 1 - X2 Por lo tanto si colocamos en la escala C
el valor correspondiente al coseno de un aacutengulo obtendremos en P el valor del seno del
mismo aacutengulo en virtud de la relacioacuten pitagoacuterica Esto es muy uacutetil porque permite hallar con
mayor precisioacuten senos de aacutengulos grandes para los cuales la precisioacuten de la escala C decae
mucho Para hallar el seno de 70ordm por ejemplo indicamos 30ordm en la escala de senos (aacutengulos) y
luego leemos cos(30ordm) = sin(70ordm) en la escala P
Para la escala pitagoacuterica seguimos el mismo proceso que con las escalas anteriores
comenzando con la expresioacuten de la escala P respecto de la escala CD
XP = radic 1 - ( XC
10 )
2
rarr XC = 10 radic 1 - XP2
La posicioacuten sobre la regla seguacuten [ 1 ] p = L ∙ log XC
p = L ∙ (1 + log (1-XP
2)
2)
XP = radic 1- 10 2 ∙ ( p L
- 1)
IP = partXP
part p =
- ln 10
L∙
10 2 ∙ ( p L
- 1)
radic1 - 10 2 ∙ ( p L - 1)
[ 18 ]
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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Mejor expresarlo en funcioacuten de XC que es seguacuten [ 2 ] XC = 10 p
L y tambieacuten podemos
descartar el signo que no nos interesa
IP= ln 10
L∙
( XC 10
)2
radic 1 - ( XC 10
)2
[ 19 ]
Todaviacutea seriacutea mejor dado que comparamos la performance para la obtencioacuten de senos de
aacutengulos expresar 119816119823 en funcioacuten del aacutengulo complementario
Siendo XC
10= sen XS = cos Xcomp
IP = ln 10
L ∙
cos2 Xcomp
sin Xcomp [ 20 ]
Figura 10 Escala Pitagoacuterica Seno(80ordm) = P(10ordm) = 09848
53 Senos con escalas trigonomeacutetricas diferenciales (Sd y C)
La escala diferencial de senos se construye seguacuten la expresioacuten
Sd = X
sen X
Luego para obtener el seno de un aacutengulo se despeja
sen x = X
Sd
Siendo expresado X en grados sexagesimales
Lo interesante del meacutetodo es que la misma escala D se aprovecha de 1 a 9 con factor 10
para representar aacutengulos de 10ordm a 90ordm y simultaacuteneamente de 1 a 10 para representar los senos
de 01 a 1 (para la deacutecada base)
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Figura 11 Escala de Senos Diferenciales Seno(30ordm) = 05
Para operar se coloca el aacutengulo en grados sobre D luego se divide (resta de segmentos)
por el valor en la escala Sd muy convenientemente colocada en la reglilla para facilidad
operativa Y finalmente se lee el sen X en la misma escala D sobre el iacutendice de la reglilla
Y ahora es doacutende viene lo maacutes praacutectico de nuestras conclusiones Como hemos deducido
en iexclError No se encuentra el origen de la referencia la incertidumbre intriacutenseca de una
operacioacuten sin lecturas intermedias soacutelo depende de la escala de lectura final y no de la de
colocacioacuten del aacutengulo De esta forma no necesitamos preocuparnos de la incoacutemoda funcioacuten
Sd para nada soacutelo nos interesa la escala D ya estudiada Usaremos pues la expresioacuten [ 17 ]
Sin embargo vemos que hay de por medio otra operacioacuten de colocacioacuten de valor en la
escala Sd por lo que aquiacute 119847 seraacute igual a 3 en lugar de 2 empeorando potencialmente la
precisioacuten del valor obtenido
54 Comparacioacuten de los tres meacutetodos de obtencioacuten de Senos de aacutengulos
En el siguiente graacutefico comparamos la Incertidumbre de los tres meacutetodos seguacuten [ 17 ] con
119899 = 2 para S y con 119899 = 3 para Sd y seguacuten [ 20 ] con 119899 = 2 para P
En la Figura 12 vemos claramente que el meacutetodo con escalas S y P se comporta mucho
mejor para aacutengulos grandes que el meacutetodo usual con las escalas S y C Incluso globalmente
logramos algo maacutes de precisioacuten para estos aacutengulos que para los aacutengulos pequentildeoshellip
La posicioacuten de equilibrio se alcanza exactamente para los 45ordm aacutengulo a partir del cual es
conveniente usar la escala P con el aacutengulo complementario
En relacioacuten con el meacutetodo de trigonomeacutetricas diferenciales vemos que la precisioacuten
alcanzable es menor que con las escalas tradicionales debido a la introduccioacuten de la operacioacuten
de divisioacuten (salvo el pequentildeo entorno entre 57ordm y 10ordm que se obtiene en la deacutecada anterior a la
normal resultando maacutes preciso)
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Figura 12 Incertidumbre estadiacutestica para hallar sen(x) por distintos meacutetodos usuales
55 Comparando meacutetodos de obtencioacuten de aacutengulos dado su seno
Para el caso estaacutendar tenemos simplemente la funcioacuten de incertidumbre de la escala S [ 13
] con 119899 = 2
Para el caacutelculo con escala P la ecuacioacuten y 119899 seraacuten los mismos aplicada sobre los aacutengulos
complementarios
Para el caacutelculo con escala inversa Sd (ISd) los aacutengulos se leen tambieacuten sobre la escala C
por lo que corresponde evaluar la incertidumbre de la escala C transformada en escala de
aacutengulos y con 119899 = 3
Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordm
Operacioacuten Con ayuda del cursor se alinea el valor del seno en la escala D y el mismo
valor del seno en la escala ISd como en una divisioacuten (resta de segmentos) el iacutendice de la escala
C apunta al aacutengulo sobre la escala D (multiplicar por 10 en esta deacutecada)
En la Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordmtambieacuten observamos el
aacutengulo 30ordm alineado con 05 en la escala S standard La mayor incertidumbre de la escala S se
ve muy claramente para el intervalo 80ordm - 90ordm en ambas escalas (marcados en verde)
Graficando la incertidumbre para los tres meacutetodos obtenemos la Figura 14
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Figura 14 Incertidumbre estadiacutestica para hallar el arcoseno() por distintos meacutetodos
Vemos claramente que la menor alinealidad de la escala C por siacute sola permite al meacutetodo
de escala inversa de senos diferenciales tener resultados mejores que una regla estaacutendar al
momento de hallar aacutengulos por sus senos Especialmente para aacutengulos grandes y a pesar de
la penalizacioacuten de un 119899 = 3
Sin embargo siempre una regla con escalas S y P produce mejores resultados que las
demaacutes
6 Conclusiones
El meacutetodo de anaacutelisis de las escalas y operaciones a traveacutes de la incertidumbre intriacutenseca
resulta muy uacutetil para evaluar objetivamente la conveniencia de unas escalas y meacutetodos sobre
otros alternativos para mejorar la precisioacuten A su vez el meacutetodo nos permitioacute demostrar
algunos supuestos muy difundidos sobre las RC y rebatir otros con facilidad Entre las
conclusiones notables se destacan
- La incertidumbre intriacutenseca es una funcioacuten que variacutea a lo largo de la escala y puede
escribirse en funcioacuten de la posicioacuten geomeacutetrica de los valores de la escala o de los
valores de otra escala conveniente
- La incertidumbre de una escala es inversamente proporcional a su longitud fiacutesica
- La incertidumbre relativa de una escala logariacutetmica es constante
- La funcioacuten incertidumbre maacutexima absoluta de una operacioacuten con RC sin lectura
intermedia de valores estaacute dada solamente por la incertidumbre de la escala de
lectura final multiplicada por la cantidad de estimaciones 119951 Esta conclusioacuten es vital
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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porque nos permite prescindir del anaacutelisis de incertidumbre de las escalas que no son
las que usamos para leer el resultado
- Esta funcioacuten incertidumbre se evaluacutea simplemente en el punto de lectura del
resultado final (teniendo en cuenta los cambios de deacutecada pertinentes)
- La incertidumbre estadiacutestica en caacutelculos complejos seraacute menor a la maacutexima y variacutea
seguacuten el factor radic119951
- El nuacutemero 119951 de estimaciones suele ser un factor de gran influencia sobre la
incertidumbre producida en caacutelculos complejos por lo que es muy importante su
reduccioacuten
- Si la operacioacuten contiene lecturas intermedias el caacutelculo de la incertidumbre total no es
directo y debe realizarse agregando la propagacioacuten claacutesica de incertidumbre a traveacutes
de foacutermulas para los valores intermedios leiacutedos y recolocados
- La incidencia de las lecturas y colocaciones de valores intermedios en la
incertidumbre de un caacutelculo complejo puede ser muy importante y en general
conviene que estas operaciones sean evitadas cuando sea posible
- Queda suficientemente claro que las dificultades del problema de la precisioacuten superan
ampliamente la tiacutepica definicioacuten popular de ldquotres diacutegitos significativosrdquo Aunque
por supuesto no queda invalidada como una raacutepida aproximacioacuten al promedio de
precisioacuten para una regla estaacutendar
- Conclusiones Operativas expuestas como ejemplo
Las reglas con escala P son las maacutes precisas para las funciones trigonomeacutetrisas
directas e inversas
Las reglas con escalas trigonomeacutetricas diferenciales mejoran la precisioacuten de
una regla tiacutepica con escala S para las funciones inversas pero son
praacutecticamente ideacutenticas para las funciones directas
Para operaciones como z = radica ∙ b es algo maacutes preciso multiplicar sobre las
escalas cuadraacuteticas A B y leer la raiz en D
7 Agradecimientos
Deseo agradecer al Ing Santiago Higuera de Frutos por su estiacutemulo y apoyo para la
realizacioacuten del presente artiacuteculo y su ayuda para la revisioacuten y presentacioacuten del mismo
Tambieacuten quiero agradecer a los miembros de la agrupacioacuten ARC ldquoAmigos de las reglas de
caacutelculordquo y especialmente a su fundador Jorge Faacutebregas Zazza por su inmensa y desinteresada
tarea
8 Lectura Introductoria
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vasta coleccioacuten de reglas de caacutelculo y manuales en espantildeol y cantidad de recursos uacutetiles
y links para interesados y coleccionistas particularmente un cursillo introductorio sobre
su uso en httpwwwreglasdecalculocomteoriaypracticahtm
Referencias
[1] TAYLOR John Robert An introduction to error analysis 2nd edition caps 3 y 5 University
Science Books California 1997
[2] LINDBERG Vern Uncertainties and error propagation httpsgooglzz0QuJ
Sobre el autor
Nombre Jorge Luis Victoria
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Profesioacuten Profesional Autoacutenomo
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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Figura 5 Incertidumbre relativa escalas usuales
Figura 6 Incertidumbre relativa esc trigonomeacutetricas
Observamos especialmente la ya sentildealada constancia de la incertidumbre relativa de las
escalas logariacutetmicas la base C y la B que la duplica
43 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones
De la misma manera que para las escalas podemos elaborar un iacutendice que valore coacutemo la
RC propicia el error cuando se ejecuta una operacioacuten dada En este caso la incertidumbre
estaraacute dada por las estimaciones sucesivas de valores en las escalas en combinacioacuten con las
operaciones realizadas recordando que todas las incertidumbres son funciones de la posicioacuten
dentro la escala
431 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones unitarias
Este es el caso de operaciones directas como ser hallar el cuadrado o la raiacutez de un
nuacutemero o el seno de un aacutengulo
Tomemos este uacuteltimo caso Hallar el seno de un aacutengulo implica colocar el valor del aacutengulo
en la escala S y luego leer el seno en la escala base Por ende tendremos que combinar la
incertidumbre de la escala S con la de la escala C
Llamaremos 119868119878119862 a la Incertidumbre de la escala de Senos leiacutedos en la escala C y para
encontrarlo proyectaremos la Incertidumbre de la escala S sobre la escala C y la sumaremos a
la Incertidumbre propia de la escala C para la lectura De igual manera encontraremos la
Incertidumbre de la escala C leiacuteda en la escala S de senos 119868119862119878 para el caso inverso de hallar un
aacutengulo
ISC = IS partXC
partXS + IC y ICS = IC
partXS
partXC + IS
Reemplazando y operando veremos que los iacutendices de incertidumbre tanto para leer
senos como para leer aacutengulos combinando ambas escalas son exactamente el doble de los
iacutendices sencillos de la escala de lectura (En completa concordancia con el anaacutelisis geomeacutetrico
de la acumulacioacuten de los errores de posicionamiento)
ISC = 2 IC y ICS = 2 IS
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La Incertidumbre intriacutenseca de una operacioacuten unitaria estaacute dada soacutelo por la
Incertidumbre de la escala de lectura multiplicada por dos
432 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones encadenadas
Veremos queacute sucede con la incertidumbre al realizar operaciones matemaacuteticas En
primera instancia lo haremos sobre la misma escala para lo cual tomemos por caso una simple
multiplicacioacuten 119911 = 119909 ∙ 119910 Tendremos dos elementos baacutesicos en la Incertidumbre final La
Incertidumbre de la propia multiplicacioacuten dada por la colocacioacuten de los factores y la
Incertidumbre en la lectura del resultado
IM = Ixy + Iz
IM = part(xy)
partp+ Iz = y
partx
partp+ x
party
partp+ Iz
Reemplazando x e y seguacuten [ 2 ]
IM = (10 pYL )
partx
partp+ (10
pXL )
party
partp + Iz
Al trabajar sobre la misma escala CD la funcioacuten de Incertidumbre y su derivada seraacute la
misma para las tres variables Entonces reemplazando las derivadas
IM = (10 pYL )
ln 10
L ∙ (10
pXL ) + (10
pXL )
ln 10
L ∙ (10
pYL ) + Iz
IM = ln 10
L (10
pYL ) (10
pXL ) + (10
pXL ) (10
pYL ) + Iz
IM = 2 ln 10
L (10
pX+ pY
L ) + Iz
Siendo pX
+ pY
= pZ
por el funcionamiento de la RC al multiplicar dos valores (suma de sus
segmentos logariacutetmicos) podemos escribir
IM = 2 ln 10
L (10
pZ
L ) + Iz = 2 Iz + Iz
IM = 3 Iz
Por lo tanto la Incertidumbre intriacutenseca de una multiplicacioacuten queda
determinada uacutenicamente por la Incertidumbre de la escala CD en el punto de
obtencioacuten del resultado multiplicado por el nuacutemero de estimaciones (n)
En general aunque intervengan escalas diferentes (como las escalas LL) la
funcioacuten Incertidumbre intriacutenseca de una operacioacuten estaraacute dada por la
Incertidumbre intriacutenseca de la escala de resultado (IE) multiplicada por la
cantidad de estimaciones (n)
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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IOp(p) = n ∙ IE(p) [ 14 ]
Habraacute expresiones equivalentes en funcioacuten de los valores XE de la escala
Esta conclusioacuten estaacute en total concordancia con el anaacutelisis geomeacutetrico de los
desplazamientos de la reglilla con sus correspondientes errores de
posicionamiento
433 Incertidumbre de operaciones con transferencia
Para poder comparar meacutetodos de caacutelculo en general nos faltariacutea analizar los meacutetodos que
incluyen la lectura de un resultado intermedio en una escala y su recolocacioacuten en otra escala
para continuar
Estas operaciones por su variedad deben analizarse caso por caso Entonces en este
artiacuteculo desarrollaremos un caso a modo de ejemplo y de paso analizaremos la conveniencia
de dos meacutetodos alternativos de realizar el mismo caacutelculo Calcularemos con la RC
z = radica ∙ b
Recordemos que las escalas A y B son ideacutenticas entre siacute asiacute como las C y D
Meacutetodo 1
Multiplicar en las escalas de cuadrados AB y leer el resultado directamente en C
+ Gran economiacutea de estimaciones y movimientos
- Operar la multiplicacioacuten en escalas menos precisas
Figura 7Meacutetodo 1 Raiz ( 215 x 240 ) = 227 (sin lectura del producto)
Meacutetodo 2
Multiplicar y leer el producto en las escalas CD
Luego colocar el producto en la escala de cuadrados A y leer el resultado en D
+ Multiplicamos con mayor precisioacuten
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- La lectura intermedia es incoacutemoda y podriacutea empeorar la precisioacuten
Figura 8Meacutetodo 2 Primer Paso 215 x 240 = 516
Figura 9Meacutetodo 2 Segundo Paso Raiz (516) = 227
El meacutetodo 1 es una sencilla operacioacuten encadenada que consta de 3 estimaciones leyendo
finalmente sobre la escala C Su funcioacuten de incertidumbre seraacute seguacuten la expresioacuten [ 14 ]
ajustada para valores de escala y 119899 = 3
IM1(XC) = 3 ∙ IC(XC)
Reemplazando XC=z (resultado final) en [ 10 ] resulta para el meacutetodo 1
IM1(z) = 3 ∙ ln 10
L ∙ z [ 15 ]
Para el meacutetodo 2 primero tendremos que obtener la incertidumbre de la multiplicacioacuten en
la escala C incluyendo la lectura Esta incertidumbre se transfiere a la escala A y luego
debemos propagarla sobre la escala C en su punto de aplicacioacuten Y finalmente agregar la
incertidumbre de la colocacioacuten del valor en A y de la lectura de la raiacutez en la escala C
Para la multiplicacioacuten tendremos 3 estimaciones y para la raiacutez tendremos 2 La
proyeccioacuten se hace sobre el punto XC y la funcioacuten incertidumbre de la multiplicacioacuten se
evaluacutea en XC2 Entonces
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IM2(XC) = partXC
partXA ∙ 3 IC(XC
2) + 2 IC(XC)
Siendo Xc = radicXA y IC(XC) = ln 10
L ∙ XC
IM2(XC) = ln 10
L∙ (3 ∙
1
2 radicXA XC
2 + 2 XC)
IM2(XC) = ln 10
L ∙ (
3
2 XC + 2 XC )
IM2(z) = 35 ∙ ln 10
L ∙ z [ 16 ]
Comparando [ 15 ] y [ 16 ] quedan definitivamente zanjadas las subjetividades sobre cuaacutel
meacutetodo es preferible El meacutetodo 1 ademaacutes de ser maacutes coacutemodo raacutepido y seguro tambieacuten es
algo maacutes preciso (14)
44 Incertidumbre Estadiacutestica de los caacutelculos
En todo lo hecho hasta aquiacute consideramos incertidumbres maacuteximas absolutas lo cual en
la praacutectica no sucede
Para obtener un valor maacutes realista de la incertidumbre y del peso relativo del nuacutemero de
estimaciones sobre el mismo se debe tener en cuenta el concepto estadiacutestico del error Por lo
tanto la estimacioacuten de valores en la regla seguiraacute en cada caso una distribucioacuten normal
centrada en el valor exacto y el error en cada paso seraacute en algunos casos aumentado y en
otros reducido (Suponiendo razonablemente que el operador no lee con sesgos)
El enfoque estadiacutestico queda fuera del alcance de este texto pero utilizando ciertas
simplificaciones podemos asumir que
IEst = radic ( partf
partx)
2
∙ (dx)2 + ( partf
party)
2
∙ (dy)2+hellip
Operando llegamos a que en operaciones encadenadas el factor a aplicar para encontrar
la incertidumbre estadiacutesticamente esperable seraacute radic119951 en lugar de n Tendremos entonces para
un caacutelculo encadenado
IEst = radic n ∙ IE
Siendo n el nuacutemero de estimaciones e IE la funcioacuten de Incertidumbre intriacutenseca de la
escala de lectura Asiacute en la praacutectica se disminuye ligeramente la influencia de la cantidad de
caacutelculos encadenados respecto de la incertidumbre final
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5 Evaluacioacuten comparativa de Escalas y Meacutetodos
La Incertidumbre Intriacutenseca de escalas y meacutetodos es una valoracioacuten objetiva que nos
permite determinar la conveniencia en cuanto a su precisioacuten posible de un meacutetodo de caacutelculo
y sus escalas asociadas
Haremos un ejemplo de evaluacioacuten de meacutetodos y escalas para hallar senos de aacutengulos y
reciacuteprocamente usando los tres meacutetodos maacutes frecuentes encontrados en las RC Con escalas S
y C con escalas S y P y con la menos usual escala trigonomeacutetrica diferencial de senos Sd y C
51 Senos con escalas usuales (S y C)
Ya hemos visto la evaluacioacuten del procedimiento usando la escala S de senos (aacutengulos)
estaacutendar en 431
Para facilitar la evaluacioacuten expresaremos la incertidumbre de la escala C [ 10 ] en funcioacuten
de XS recordando que 119883119888 = 10 ∙ sen XS
IC = ln 10
L ∙ 10 ∙ sen XS [ 17 ]
52 Senos con escala pitagoacuterica adicional (S y P)
La escala pitagoacuterica expresa la funcioacuten radic 1 - X2 Por lo tanto si colocamos en la escala C
el valor correspondiente al coseno de un aacutengulo obtendremos en P el valor del seno del
mismo aacutengulo en virtud de la relacioacuten pitagoacuterica Esto es muy uacutetil porque permite hallar con
mayor precisioacuten senos de aacutengulos grandes para los cuales la precisioacuten de la escala C decae
mucho Para hallar el seno de 70ordm por ejemplo indicamos 30ordm en la escala de senos (aacutengulos) y
luego leemos cos(30ordm) = sin(70ordm) en la escala P
Para la escala pitagoacuterica seguimos el mismo proceso que con las escalas anteriores
comenzando con la expresioacuten de la escala P respecto de la escala CD
XP = radic 1 - ( XC
10 )
2
rarr XC = 10 radic 1 - XP2
La posicioacuten sobre la regla seguacuten [ 1 ] p = L ∙ log XC
p = L ∙ (1 + log (1-XP
2)
2)
XP = radic 1- 10 2 ∙ ( p L
- 1)
IP = partXP
part p =
- ln 10
L∙
10 2 ∙ ( p L
- 1)
radic1 - 10 2 ∙ ( p L - 1)
[ 18 ]
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Mejor expresarlo en funcioacuten de XC que es seguacuten [ 2 ] XC = 10 p
L y tambieacuten podemos
descartar el signo que no nos interesa
IP= ln 10
L∙
( XC 10
)2
radic 1 - ( XC 10
)2
[ 19 ]
Todaviacutea seriacutea mejor dado que comparamos la performance para la obtencioacuten de senos de
aacutengulos expresar 119816119823 en funcioacuten del aacutengulo complementario
Siendo XC
10= sen XS = cos Xcomp
IP = ln 10
L ∙
cos2 Xcomp
sin Xcomp [ 20 ]
Figura 10 Escala Pitagoacuterica Seno(80ordm) = P(10ordm) = 09848
53 Senos con escalas trigonomeacutetricas diferenciales (Sd y C)
La escala diferencial de senos se construye seguacuten la expresioacuten
Sd = X
sen X
Luego para obtener el seno de un aacutengulo se despeja
sen x = X
Sd
Siendo expresado X en grados sexagesimales
Lo interesante del meacutetodo es que la misma escala D se aprovecha de 1 a 9 con factor 10
para representar aacutengulos de 10ordm a 90ordm y simultaacuteneamente de 1 a 10 para representar los senos
de 01 a 1 (para la deacutecada base)
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Figura 11 Escala de Senos Diferenciales Seno(30ordm) = 05
Para operar se coloca el aacutengulo en grados sobre D luego se divide (resta de segmentos)
por el valor en la escala Sd muy convenientemente colocada en la reglilla para facilidad
operativa Y finalmente se lee el sen X en la misma escala D sobre el iacutendice de la reglilla
Y ahora es doacutende viene lo maacutes praacutectico de nuestras conclusiones Como hemos deducido
en iexclError No se encuentra el origen de la referencia la incertidumbre intriacutenseca de una
operacioacuten sin lecturas intermedias soacutelo depende de la escala de lectura final y no de la de
colocacioacuten del aacutengulo De esta forma no necesitamos preocuparnos de la incoacutemoda funcioacuten
Sd para nada soacutelo nos interesa la escala D ya estudiada Usaremos pues la expresioacuten [ 17 ]
Sin embargo vemos que hay de por medio otra operacioacuten de colocacioacuten de valor en la
escala Sd por lo que aquiacute 119847 seraacute igual a 3 en lugar de 2 empeorando potencialmente la
precisioacuten del valor obtenido
54 Comparacioacuten de los tres meacutetodos de obtencioacuten de Senos de aacutengulos
En el siguiente graacutefico comparamos la Incertidumbre de los tres meacutetodos seguacuten [ 17 ] con
119899 = 2 para S y con 119899 = 3 para Sd y seguacuten [ 20 ] con 119899 = 2 para P
En la Figura 12 vemos claramente que el meacutetodo con escalas S y P se comporta mucho
mejor para aacutengulos grandes que el meacutetodo usual con las escalas S y C Incluso globalmente
logramos algo maacutes de precisioacuten para estos aacutengulos que para los aacutengulos pequentildeoshellip
La posicioacuten de equilibrio se alcanza exactamente para los 45ordm aacutengulo a partir del cual es
conveniente usar la escala P con el aacutengulo complementario
En relacioacuten con el meacutetodo de trigonomeacutetricas diferenciales vemos que la precisioacuten
alcanzable es menor que con las escalas tradicionales debido a la introduccioacuten de la operacioacuten
de divisioacuten (salvo el pequentildeo entorno entre 57ordm y 10ordm que se obtiene en la deacutecada anterior a la
normal resultando maacutes preciso)
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Figura 12 Incertidumbre estadiacutestica para hallar sen(x) por distintos meacutetodos usuales
55 Comparando meacutetodos de obtencioacuten de aacutengulos dado su seno
Para el caso estaacutendar tenemos simplemente la funcioacuten de incertidumbre de la escala S [ 13
] con 119899 = 2
Para el caacutelculo con escala P la ecuacioacuten y 119899 seraacuten los mismos aplicada sobre los aacutengulos
complementarios
Para el caacutelculo con escala inversa Sd (ISd) los aacutengulos se leen tambieacuten sobre la escala C
por lo que corresponde evaluar la incertidumbre de la escala C transformada en escala de
aacutengulos y con 119899 = 3
Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordm
Operacioacuten Con ayuda del cursor se alinea el valor del seno en la escala D y el mismo
valor del seno en la escala ISd como en una divisioacuten (resta de segmentos) el iacutendice de la escala
C apunta al aacutengulo sobre la escala D (multiplicar por 10 en esta deacutecada)
En la Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordmtambieacuten observamos el
aacutengulo 30ordm alineado con 05 en la escala S standard La mayor incertidumbre de la escala S se
ve muy claramente para el intervalo 80ordm - 90ordm en ambas escalas (marcados en verde)
Graficando la incertidumbre para los tres meacutetodos obtenemos la Figura 14
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Figura 14 Incertidumbre estadiacutestica para hallar el arcoseno() por distintos meacutetodos
Vemos claramente que la menor alinealidad de la escala C por siacute sola permite al meacutetodo
de escala inversa de senos diferenciales tener resultados mejores que una regla estaacutendar al
momento de hallar aacutengulos por sus senos Especialmente para aacutengulos grandes y a pesar de
la penalizacioacuten de un 119899 = 3
Sin embargo siempre una regla con escalas S y P produce mejores resultados que las
demaacutes
6 Conclusiones
El meacutetodo de anaacutelisis de las escalas y operaciones a traveacutes de la incertidumbre intriacutenseca
resulta muy uacutetil para evaluar objetivamente la conveniencia de unas escalas y meacutetodos sobre
otros alternativos para mejorar la precisioacuten A su vez el meacutetodo nos permitioacute demostrar
algunos supuestos muy difundidos sobre las RC y rebatir otros con facilidad Entre las
conclusiones notables se destacan
- La incertidumbre intriacutenseca es una funcioacuten que variacutea a lo largo de la escala y puede
escribirse en funcioacuten de la posicioacuten geomeacutetrica de los valores de la escala o de los
valores de otra escala conveniente
- La incertidumbre de una escala es inversamente proporcional a su longitud fiacutesica
- La incertidumbre relativa de una escala logariacutetmica es constante
- La funcioacuten incertidumbre maacutexima absoluta de una operacioacuten con RC sin lectura
intermedia de valores estaacute dada solamente por la incertidumbre de la escala de
lectura final multiplicada por la cantidad de estimaciones 119951 Esta conclusioacuten es vital
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porque nos permite prescindir del anaacutelisis de incertidumbre de las escalas que no son
las que usamos para leer el resultado
- Esta funcioacuten incertidumbre se evaluacutea simplemente en el punto de lectura del
resultado final (teniendo en cuenta los cambios de deacutecada pertinentes)
- La incertidumbre estadiacutestica en caacutelculos complejos seraacute menor a la maacutexima y variacutea
seguacuten el factor radic119951
- El nuacutemero 119951 de estimaciones suele ser un factor de gran influencia sobre la
incertidumbre producida en caacutelculos complejos por lo que es muy importante su
reduccioacuten
- Si la operacioacuten contiene lecturas intermedias el caacutelculo de la incertidumbre total no es
directo y debe realizarse agregando la propagacioacuten claacutesica de incertidumbre a traveacutes
de foacutermulas para los valores intermedios leiacutedos y recolocados
- La incidencia de las lecturas y colocaciones de valores intermedios en la
incertidumbre de un caacutelculo complejo puede ser muy importante y en general
conviene que estas operaciones sean evitadas cuando sea posible
- Queda suficientemente claro que las dificultades del problema de la precisioacuten superan
ampliamente la tiacutepica definicioacuten popular de ldquotres diacutegitos significativosrdquo Aunque
por supuesto no queda invalidada como una raacutepida aproximacioacuten al promedio de
precisioacuten para una regla estaacutendar
- Conclusiones Operativas expuestas como ejemplo
Las reglas con escala P son las maacutes precisas para las funciones trigonomeacutetrisas
directas e inversas
Las reglas con escalas trigonomeacutetricas diferenciales mejoran la precisioacuten de
una regla tiacutepica con escala S para las funciones inversas pero son
praacutecticamente ideacutenticas para las funciones directas
Para operaciones como z = radica ∙ b es algo maacutes preciso multiplicar sobre las
escalas cuadraacuteticas A B y leer la raiz en D
7 Agradecimientos
Deseo agradecer al Ing Santiago Higuera de Frutos por su estiacutemulo y apoyo para la
realizacioacuten del presente artiacuteculo y su ayuda para la revisioacuten y presentacioacuten del mismo
Tambieacuten quiero agradecer a los miembros de la agrupacioacuten ARC ldquoAmigos de las reglas de
caacutelculordquo y especialmente a su fundador Jorge Faacutebregas Zazza por su inmensa y desinteresada
tarea
8 Lectura Introductoria
HIGUERA DE FRUTOS Santiago Reglas de Caacutelculo Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Vol
VI Nuacutem 2 Octubre 2016
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
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httpwwwreglasdecalculocom Web de Jorge Faacutebregas Zazza donde se expone su
vasta coleccioacuten de reglas de caacutelculo y manuales en espantildeol y cantidad de recursos uacutetiles
y links para interesados y coleccionistas particularmente un cursillo introductorio sobre
su uso en httpwwwreglasdecalculocomteoriaypracticahtm
Referencias
[1] TAYLOR John Robert An introduction to error analysis 2nd edition caps 3 y 5 University
Science Books California 1997
[2] LINDBERG Vern Uncertainties and error propagation httpsgooglzz0QuJ
Sobre el autor
Nombre Jorge Luis Victoria
Correo Electroacutenico jorgeluisvictoriaricogmailcom
Profesioacuten Profesional Autoacutenomo
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La Incertidumbre intriacutenseca de una operacioacuten unitaria estaacute dada soacutelo por la
Incertidumbre de la escala de lectura multiplicada por dos
432 Incertidumbre Intriacutenseca de operaciones encadenadas
Veremos queacute sucede con la incertidumbre al realizar operaciones matemaacuteticas En
primera instancia lo haremos sobre la misma escala para lo cual tomemos por caso una simple
multiplicacioacuten 119911 = 119909 ∙ 119910 Tendremos dos elementos baacutesicos en la Incertidumbre final La
Incertidumbre de la propia multiplicacioacuten dada por la colocacioacuten de los factores y la
Incertidumbre en la lectura del resultado
IM = Ixy + Iz
IM = part(xy)
partp+ Iz = y
partx
partp+ x
party
partp+ Iz
Reemplazando x e y seguacuten [ 2 ]
IM = (10 pYL )
partx
partp+ (10
pXL )
party
partp + Iz
Al trabajar sobre la misma escala CD la funcioacuten de Incertidumbre y su derivada seraacute la
misma para las tres variables Entonces reemplazando las derivadas
IM = (10 pYL )
ln 10
L ∙ (10
pXL ) + (10
pXL )
ln 10
L ∙ (10
pYL ) + Iz
IM = ln 10
L (10
pYL ) (10
pXL ) + (10
pXL ) (10
pYL ) + Iz
IM = 2 ln 10
L (10
pX+ pY
L ) + Iz
Siendo pX
+ pY
= pZ
por el funcionamiento de la RC al multiplicar dos valores (suma de sus
segmentos logariacutetmicos) podemos escribir
IM = 2 ln 10
L (10
pZ
L ) + Iz = 2 Iz + Iz
IM = 3 Iz
Por lo tanto la Incertidumbre intriacutenseca de una multiplicacioacuten queda
determinada uacutenicamente por la Incertidumbre de la escala CD en el punto de
obtencioacuten del resultado multiplicado por el nuacutemero de estimaciones (n)
En general aunque intervengan escalas diferentes (como las escalas LL) la
funcioacuten Incertidumbre intriacutenseca de una operacioacuten estaraacute dada por la
Incertidumbre intriacutenseca de la escala de resultado (IE) multiplicada por la
cantidad de estimaciones (n)
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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IOp(p) = n ∙ IE(p) [ 14 ]
Habraacute expresiones equivalentes en funcioacuten de los valores XE de la escala
Esta conclusioacuten estaacute en total concordancia con el anaacutelisis geomeacutetrico de los
desplazamientos de la reglilla con sus correspondientes errores de
posicionamiento
433 Incertidumbre de operaciones con transferencia
Para poder comparar meacutetodos de caacutelculo en general nos faltariacutea analizar los meacutetodos que
incluyen la lectura de un resultado intermedio en una escala y su recolocacioacuten en otra escala
para continuar
Estas operaciones por su variedad deben analizarse caso por caso Entonces en este
artiacuteculo desarrollaremos un caso a modo de ejemplo y de paso analizaremos la conveniencia
de dos meacutetodos alternativos de realizar el mismo caacutelculo Calcularemos con la RC
z = radica ∙ b
Recordemos que las escalas A y B son ideacutenticas entre siacute asiacute como las C y D
Meacutetodo 1
Multiplicar en las escalas de cuadrados AB y leer el resultado directamente en C
+ Gran economiacutea de estimaciones y movimientos
- Operar la multiplicacioacuten en escalas menos precisas
Figura 7Meacutetodo 1 Raiz ( 215 x 240 ) = 227 (sin lectura del producto)
Meacutetodo 2
Multiplicar y leer el producto en las escalas CD
Luego colocar el producto en la escala de cuadrados A y leer el resultado en D
+ Multiplicamos con mayor precisioacuten
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- La lectura intermedia es incoacutemoda y podriacutea empeorar la precisioacuten
Figura 8Meacutetodo 2 Primer Paso 215 x 240 = 516
Figura 9Meacutetodo 2 Segundo Paso Raiz (516) = 227
El meacutetodo 1 es una sencilla operacioacuten encadenada que consta de 3 estimaciones leyendo
finalmente sobre la escala C Su funcioacuten de incertidumbre seraacute seguacuten la expresioacuten [ 14 ]
ajustada para valores de escala y 119899 = 3
IM1(XC) = 3 ∙ IC(XC)
Reemplazando XC=z (resultado final) en [ 10 ] resulta para el meacutetodo 1
IM1(z) = 3 ∙ ln 10
L ∙ z [ 15 ]
Para el meacutetodo 2 primero tendremos que obtener la incertidumbre de la multiplicacioacuten en
la escala C incluyendo la lectura Esta incertidumbre se transfiere a la escala A y luego
debemos propagarla sobre la escala C en su punto de aplicacioacuten Y finalmente agregar la
incertidumbre de la colocacioacuten del valor en A y de la lectura de la raiacutez en la escala C
Para la multiplicacioacuten tendremos 3 estimaciones y para la raiacutez tendremos 2 La
proyeccioacuten se hace sobre el punto XC y la funcioacuten incertidumbre de la multiplicacioacuten se
evaluacutea en XC2 Entonces
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 141
IM2(XC) = partXC
partXA ∙ 3 IC(XC
2) + 2 IC(XC)
Siendo Xc = radicXA y IC(XC) = ln 10
L ∙ XC
IM2(XC) = ln 10
L∙ (3 ∙
1
2 radicXA XC
2 + 2 XC)
IM2(XC) = ln 10
L ∙ (
3
2 XC + 2 XC )
IM2(z) = 35 ∙ ln 10
L ∙ z [ 16 ]
Comparando [ 15 ] y [ 16 ] quedan definitivamente zanjadas las subjetividades sobre cuaacutel
meacutetodo es preferible El meacutetodo 1 ademaacutes de ser maacutes coacutemodo raacutepido y seguro tambieacuten es
algo maacutes preciso (14)
44 Incertidumbre Estadiacutestica de los caacutelculos
En todo lo hecho hasta aquiacute consideramos incertidumbres maacuteximas absolutas lo cual en
la praacutectica no sucede
Para obtener un valor maacutes realista de la incertidumbre y del peso relativo del nuacutemero de
estimaciones sobre el mismo se debe tener en cuenta el concepto estadiacutestico del error Por lo
tanto la estimacioacuten de valores en la regla seguiraacute en cada caso una distribucioacuten normal
centrada en el valor exacto y el error en cada paso seraacute en algunos casos aumentado y en
otros reducido (Suponiendo razonablemente que el operador no lee con sesgos)
El enfoque estadiacutestico queda fuera del alcance de este texto pero utilizando ciertas
simplificaciones podemos asumir que
IEst = radic ( partf
partx)
2
∙ (dx)2 + ( partf
party)
2
∙ (dy)2+hellip
Operando llegamos a que en operaciones encadenadas el factor a aplicar para encontrar
la incertidumbre estadiacutesticamente esperable seraacute radic119951 en lugar de n Tendremos entonces para
un caacutelculo encadenado
IEst = radic n ∙ IE
Siendo n el nuacutemero de estimaciones e IE la funcioacuten de Incertidumbre intriacutenseca de la
escala de lectura Asiacute en la praacutectica se disminuye ligeramente la influencia de la cantidad de
caacutelculos encadenados respecto de la incertidumbre final
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
142 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
5 Evaluacioacuten comparativa de Escalas y Meacutetodos
La Incertidumbre Intriacutenseca de escalas y meacutetodos es una valoracioacuten objetiva que nos
permite determinar la conveniencia en cuanto a su precisioacuten posible de un meacutetodo de caacutelculo
y sus escalas asociadas
Haremos un ejemplo de evaluacioacuten de meacutetodos y escalas para hallar senos de aacutengulos y
reciacuteprocamente usando los tres meacutetodos maacutes frecuentes encontrados en las RC Con escalas S
y C con escalas S y P y con la menos usual escala trigonomeacutetrica diferencial de senos Sd y C
51 Senos con escalas usuales (S y C)
Ya hemos visto la evaluacioacuten del procedimiento usando la escala S de senos (aacutengulos)
estaacutendar en 431
Para facilitar la evaluacioacuten expresaremos la incertidumbre de la escala C [ 10 ] en funcioacuten
de XS recordando que 119883119888 = 10 ∙ sen XS
IC = ln 10
L ∙ 10 ∙ sen XS [ 17 ]
52 Senos con escala pitagoacuterica adicional (S y P)
La escala pitagoacuterica expresa la funcioacuten radic 1 - X2 Por lo tanto si colocamos en la escala C
el valor correspondiente al coseno de un aacutengulo obtendremos en P el valor del seno del
mismo aacutengulo en virtud de la relacioacuten pitagoacuterica Esto es muy uacutetil porque permite hallar con
mayor precisioacuten senos de aacutengulos grandes para los cuales la precisioacuten de la escala C decae
mucho Para hallar el seno de 70ordm por ejemplo indicamos 30ordm en la escala de senos (aacutengulos) y
luego leemos cos(30ordm) = sin(70ordm) en la escala P
Para la escala pitagoacuterica seguimos el mismo proceso que con las escalas anteriores
comenzando con la expresioacuten de la escala P respecto de la escala CD
XP = radic 1 - ( XC
10 )
2
rarr XC = 10 radic 1 - XP2
La posicioacuten sobre la regla seguacuten [ 1 ] p = L ∙ log XC
p = L ∙ (1 + log (1-XP
2)
2)
XP = radic 1- 10 2 ∙ ( p L
- 1)
IP = partXP
part p =
- ln 10
L∙
10 2 ∙ ( p L
- 1)
radic1 - 10 2 ∙ ( p L - 1)
[ 18 ]
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 143
Mejor expresarlo en funcioacuten de XC que es seguacuten [ 2 ] XC = 10 p
L y tambieacuten podemos
descartar el signo que no nos interesa
IP= ln 10
L∙
( XC 10
)2
radic 1 - ( XC 10
)2
[ 19 ]
Todaviacutea seriacutea mejor dado que comparamos la performance para la obtencioacuten de senos de
aacutengulos expresar 119816119823 en funcioacuten del aacutengulo complementario
Siendo XC
10= sen XS = cos Xcomp
IP = ln 10
L ∙
cos2 Xcomp
sin Xcomp [ 20 ]
Figura 10 Escala Pitagoacuterica Seno(80ordm) = P(10ordm) = 09848
53 Senos con escalas trigonomeacutetricas diferenciales (Sd y C)
La escala diferencial de senos se construye seguacuten la expresioacuten
Sd = X
sen X
Luego para obtener el seno de un aacutengulo se despeja
sen x = X
Sd
Siendo expresado X en grados sexagesimales
Lo interesante del meacutetodo es que la misma escala D se aprovecha de 1 a 9 con factor 10
para representar aacutengulos de 10ordm a 90ordm y simultaacuteneamente de 1 a 10 para representar los senos
de 01 a 1 (para la deacutecada base)
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
144 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
Figura 11 Escala de Senos Diferenciales Seno(30ordm) = 05
Para operar se coloca el aacutengulo en grados sobre D luego se divide (resta de segmentos)
por el valor en la escala Sd muy convenientemente colocada en la reglilla para facilidad
operativa Y finalmente se lee el sen X en la misma escala D sobre el iacutendice de la reglilla
Y ahora es doacutende viene lo maacutes praacutectico de nuestras conclusiones Como hemos deducido
en iexclError No se encuentra el origen de la referencia la incertidumbre intriacutenseca de una
operacioacuten sin lecturas intermedias soacutelo depende de la escala de lectura final y no de la de
colocacioacuten del aacutengulo De esta forma no necesitamos preocuparnos de la incoacutemoda funcioacuten
Sd para nada soacutelo nos interesa la escala D ya estudiada Usaremos pues la expresioacuten [ 17 ]
Sin embargo vemos que hay de por medio otra operacioacuten de colocacioacuten de valor en la
escala Sd por lo que aquiacute 119847 seraacute igual a 3 en lugar de 2 empeorando potencialmente la
precisioacuten del valor obtenido
54 Comparacioacuten de los tres meacutetodos de obtencioacuten de Senos de aacutengulos
En el siguiente graacutefico comparamos la Incertidumbre de los tres meacutetodos seguacuten [ 17 ] con
119899 = 2 para S y con 119899 = 3 para Sd y seguacuten [ 20 ] con 119899 = 2 para P
En la Figura 12 vemos claramente que el meacutetodo con escalas S y P se comporta mucho
mejor para aacutengulos grandes que el meacutetodo usual con las escalas S y C Incluso globalmente
logramos algo maacutes de precisioacuten para estos aacutengulos que para los aacutengulos pequentildeoshellip
La posicioacuten de equilibrio se alcanza exactamente para los 45ordm aacutengulo a partir del cual es
conveniente usar la escala P con el aacutengulo complementario
En relacioacuten con el meacutetodo de trigonomeacutetricas diferenciales vemos que la precisioacuten
alcanzable es menor que con las escalas tradicionales debido a la introduccioacuten de la operacioacuten
de divisioacuten (salvo el pequentildeo entorno entre 57ordm y 10ordm que se obtiene en la deacutecada anterior a la
normal resultando maacutes preciso)
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Figura 12 Incertidumbre estadiacutestica para hallar sen(x) por distintos meacutetodos usuales
55 Comparando meacutetodos de obtencioacuten de aacutengulos dado su seno
Para el caso estaacutendar tenemos simplemente la funcioacuten de incertidumbre de la escala S [ 13
] con 119899 = 2
Para el caacutelculo con escala P la ecuacioacuten y 119899 seraacuten los mismos aplicada sobre los aacutengulos
complementarios
Para el caacutelculo con escala inversa Sd (ISd) los aacutengulos se leen tambieacuten sobre la escala C
por lo que corresponde evaluar la incertidumbre de la escala C transformada en escala de
aacutengulos y con 119899 = 3
Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordm
Operacioacuten Con ayuda del cursor se alinea el valor del seno en la escala D y el mismo
valor del seno en la escala ISd como en una divisioacuten (resta de segmentos) el iacutendice de la escala
C apunta al aacutengulo sobre la escala D (multiplicar por 10 en esta deacutecada)
En la Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordmtambieacuten observamos el
aacutengulo 30ordm alineado con 05 en la escala S standard La mayor incertidumbre de la escala S se
ve muy claramente para el intervalo 80ordm - 90ordm en ambas escalas (marcados en verde)
Graficando la incertidumbre para los tres meacutetodos obtenemos la Figura 14
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
146 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
Figura 14 Incertidumbre estadiacutestica para hallar el arcoseno() por distintos meacutetodos
Vemos claramente que la menor alinealidad de la escala C por siacute sola permite al meacutetodo
de escala inversa de senos diferenciales tener resultados mejores que una regla estaacutendar al
momento de hallar aacutengulos por sus senos Especialmente para aacutengulos grandes y a pesar de
la penalizacioacuten de un 119899 = 3
Sin embargo siempre una regla con escalas S y P produce mejores resultados que las
demaacutes
6 Conclusiones
El meacutetodo de anaacutelisis de las escalas y operaciones a traveacutes de la incertidumbre intriacutenseca
resulta muy uacutetil para evaluar objetivamente la conveniencia de unas escalas y meacutetodos sobre
otros alternativos para mejorar la precisioacuten A su vez el meacutetodo nos permitioacute demostrar
algunos supuestos muy difundidos sobre las RC y rebatir otros con facilidad Entre las
conclusiones notables se destacan
- La incertidumbre intriacutenseca es una funcioacuten que variacutea a lo largo de la escala y puede
escribirse en funcioacuten de la posicioacuten geomeacutetrica de los valores de la escala o de los
valores de otra escala conveniente
- La incertidumbre de una escala es inversamente proporcional a su longitud fiacutesica
- La incertidumbre relativa de una escala logariacutetmica es constante
- La funcioacuten incertidumbre maacutexima absoluta de una operacioacuten con RC sin lectura
intermedia de valores estaacute dada solamente por la incertidumbre de la escala de
lectura final multiplicada por la cantidad de estimaciones 119951 Esta conclusioacuten es vital
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 147
porque nos permite prescindir del anaacutelisis de incertidumbre de las escalas que no son
las que usamos para leer el resultado
- Esta funcioacuten incertidumbre se evaluacutea simplemente en el punto de lectura del
resultado final (teniendo en cuenta los cambios de deacutecada pertinentes)
- La incertidumbre estadiacutestica en caacutelculos complejos seraacute menor a la maacutexima y variacutea
seguacuten el factor radic119951
- El nuacutemero 119951 de estimaciones suele ser un factor de gran influencia sobre la
incertidumbre producida en caacutelculos complejos por lo que es muy importante su
reduccioacuten
- Si la operacioacuten contiene lecturas intermedias el caacutelculo de la incertidumbre total no es
directo y debe realizarse agregando la propagacioacuten claacutesica de incertidumbre a traveacutes
de foacutermulas para los valores intermedios leiacutedos y recolocados
- La incidencia de las lecturas y colocaciones de valores intermedios en la
incertidumbre de un caacutelculo complejo puede ser muy importante y en general
conviene que estas operaciones sean evitadas cuando sea posible
- Queda suficientemente claro que las dificultades del problema de la precisioacuten superan
ampliamente la tiacutepica definicioacuten popular de ldquotres diacutegitos significativosrdquo Aunque
por supuesto no queda invalidada como una raacutepida aproximacioacuten al promedio de
precisioacuten para una regla estaacutendar
- Conclusiones Operativas expuestas como ejemplo
Las reglas con escala P son las maacutes precisas para las funciones trigonomeacutetrisas
directas e inversas
Las reglas con escalas trigonomeacutetricas diferenciales mejoran la precisioacuten de
una regla tiacutepica con escala S para las funciones inversas pero son
praacutecticamente ideacutenticas para las funciones directas
Para operaciones como z = radica ∙ b es algo maacutes preciso multiplicar sobre las
escalas cuadraacuteticas A B y leer la raiz en D
7 Agradecimientos
Deseo agradecer al Ing Santiago Higuera de Frutos por su estiacutemulo y apoyo para la
realizacioacuten del presente artiacuteculo y su ayuda para la revisioacuten y presentacioacuten del mismo
Tambieacuten quiero agradecer a los miembros de la agrupacioacuten ARC ldquoAmigos de las reglas de
caacutelculordquo y especialmente a su fundador Jorge Faacutebregas Zazza por su inmensa y desinteresada
tarea
8 Lectura Introductoria
HIGUERA DE FRUTOS Santiago Reglas de Caacutelculo Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Vol
VI Nuacutem 2 Octubre 2016
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
148 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
httpwwwreglasdecalculocom Web de Jorge Faacutebregas Zazza donde se expone su
vasta coleccioacuten de reglas de caacutelculo y manuales en espantildeol y cantidad de recursos uacutetiles
y links para interesados y coleccionistas particularmente un cursillo introductorio sobre
su uso en httpwwwreglasdecalculocomteoriaypracticahtm
Referencias
[1] TAYLOR John Robert An introduction to error analysis 2nd edition caps 3 y 5 University
Science Books California 1997
[2] LINDBERG Vern Uncertainties and error propagation httpsgooglzz0QuJ
Sobre el autor
Nombre Jorge Luis Victoria
Correo Electroacutenico jorgeluisvictoriaricogmailcom
Profesioacuten Profesional Autoacutenomo
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 139
IOp(p) = n ∙ IE(p) [ 14 ]
Habraacute expresiones equivalentes en funcioacuten de los valores XE de la escala
Esta conclusioacuten estaacute en total concordancia con el anaacutelisis geomeacutetrico de los
desplazamientos de la reglilla con sus correspondientes errores de
posicionamiento
433 Incertidumbre de operaciones con transferencia
Para poder comparar meacutetodos de caacutelculo en general nos faltariacutea analizar los meacutetodos que
incluyen la lectura de un resultado intermedio en una escala y su recolocacioacuten en otra escala
para continuar
Estas operaciones por su variedad deben analizarse caso por caso Entonces en este
artiacuteculo desarrollaremos un caso a modo de ejemplo y de paso analizaremos la conveniencia
de dos meacutetodos alternativos de realizar el mismo caacutelculo Calcularemos con la RC
z = radica ∙ b
Recordemos que las escalas A y B son ideacutenticas entre siacute asiacute como las C y D
Meacutetodo 1
Multiplicar en las escalas de cuadrados AB y leer el resultado directamente en C
+ Gran economiacutea de estimaciones y movimientos
- Operar la multiplicacioacuten en escalas menos precisas
Figura 7Meacutetodo 1 Raiz ( 215 x 240 ) = 227 (sin lectura del producto)
Meacutetodo 2
Multiplicar y leer el producto en las escalas CD
Luego colocar el producto en la escala de cuadrados A y leer el resultado en D
+ Multiplicamos con mayor precisioacuten
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140 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
- La lectura intermedia es incoacutemoda y podriacutea empeorar la precisioacuten
Figura 8Meacutetodo 2 Primer Paso 215 x 240 = 516
Figura 9Meacutetodo 2 Segundo Paso Raiz (516) = 227
El meacutetodo 1 es una sencilla operacioacuten encadenada que consta de 3 estimaciones leyendo
finalmente sobre la escala C Su funcioacuten de incertidumbre seraacute seguacuten la expresioacuten [ 14 ]
ajustada para valores de escala y 119899 = 3
IM1(XC) = 3 ∙ IC(XC)
Reemplazando XC=z (resultado final) en [ 10 ] resulta para el meacutetodo 1
IM1(z) = 3 ∙ ln 10
L ∙ z [ 15 ]
Para el meacutetodo 2 primero tendremos que obtener la incertidumbre de la multiplicacioacuten en
la escala C incluyendo la lectura Esta incertidumbre se transfiere a la escala A y luego
debemos propagarla sobre la escala C en su punto de aplicacioacuten Y finalmente agregar la
incertidumbre de la colocacioacuten del valor en A y de la lectura de la raiacutez en la escala C
Para la multiplicacioacuten tendremos 3 estimaciones y para la raiacutez tendremos 2 La
proyeccioacuten se hace sobre el punto XC y la funcioacuten incertidumbre de la multiplicacioacuten se
evaluacutea en XC2 Entonces
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 141
IM2(XC) = partXC
partXA ∙ 3 IC(XC
2) + 2 IC(XC)
Siendo Xc = radicXA y IC(XC) = ln 10
L ∙ XC
IM2(XC) = ln 10
L∙ (3 ∙
1
2 radicXA XC
2 + 2 XC)
IM2(XC) = ln 10
L ∙ (
3
2 XC + 2 XC )
IM2(z) = 35 ∙ ln 10
L ∙ z [ 16 ]
Comparando [ 15 ] y [ 16 ] quedan definitivamente zanjadas las subjetividades sobre cuaacutel
meacutetodo es preferible El meacutetodo 1 ademaacutes de ser maacutes coacutemodo raacutepido y seguro tambieacuten es
algo maacutes preciso (14)
44 Incertidumbre Estadiacutestica de los caacutelculos
En todo lo hecho hasta aquiacute consideramos incertidumbres maacuteximas absolutas lo cual en
la praacutectica no sucede
Para obtener un valor maacutes realista de la incertidumbre y del peso relativo del nuacutemero de
estimaciones sobre el mismo se debe tener en cuenta el concepto estadiacutestico del error Por lo
tanto la estimacioacuten de valores en la regla seguiraacute en cada caso una distribucioacuten normal
centrada en el valor exacto y el error en cada paso seraacute en algunos casos aumentado y en
otros reducido (Suponiendo razonablemente que el operador no lee con sesgos)
El enfoque estadiacutestico queda fuera del alcance de este texto pero utilizando ciertas
simplificaciones podemos asumir que
IEst = radic ( partf
partx)
2
∙ (dx)2 + ( partf
party)
2
∙ (dy)2+hellip
Operando llegamos a que en operaciones encadenadas el factor a aplicar para encontrar
la incertidumbre estadiacutesticamente esperable seraacute radic119951 en lugar de n Tendremos entonces para
un caacutelculo encadenado
IEst = radic n ∙ IE
Siendo n el nuacutemero de estimaciones e IE la funcioacuten de Incertidumbre intriacutenseca de la
escala de lectura Asiacute en la praacutectica se disminuye ligeramente la influencia de la cantidad de
caacutelculos encadenados respecto de la incertidumbre final
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5 Evaluacioacuten comparativa de Escalas y Meacutetodos
La Incertidumbre Intriacutenseca de escalas y meacutetodos es una valoracioacuten objetiva que nos
permite determinar la conveniencia en cuanto a su precisioacuten posible de un meacutetodo de caacutelculo
y sus escalas asociadas
Haremos un ejemplo de evaluacioacuten de meacutetodos y escalas para hallar senos de aacutengulos y
reciacuteprocamente usando los tres meacutetodos maacutes frecuentes encontrados en las RC Con escalas S
y C con escalas S y P y con la menos usual escala trigonomeacutetrica diferencial de senos Sd y C
51 Senos con escalas usuales (S y C)
Ya hemos visto la evaluacioacuten del procedimiento usando la escala S de senos (aacutengulos)
estaacutendar en 431
Para facilitar la evaluacioacuten expresaremos la incertidumbre de la escala C [ 10 ] en funcioacuten
de XS recordando que 119883119888 = 10 ∙ sen XS
IC = ln 10
L ∙ 10 ∙ sen XS [ 17 ]
52 Senos con escala pitagoacuterica adicional (S y P)
La escala pitagoacuterica expresa la funcioacuten radic 1 - X2 Por lo tanto si colocamos en la escala C
el valor correspondiente al coseno de un aacutengulo obtendremos en P el valor del seno del
mismo aacutengulo en virtud de la relacioacuten pitagoacuterica Esto es muy uacutetil porque permite hallar con
mayor precisioacuten senos de aacutengulos grandes para los cuales la precisioacuten de la escala C decae
mucho Para hallar el seno de 70ordm por ejemplo indicamos 30ordm en la escala de senos (aacutengulos) y
luego leemos cos(30ordm) = sin(70ordm) en la escala P
Para la escala pitagoacuterica seguimos el mismo proceso que con las escalas anteriores
comenzando con la expresioacuten de la escala P respecto de la escala CD
XP = radic 1 - ( XC
10 )
2
rarr XC = 10 radic 1 - XP2
La posicioacuten sobre la regla seguacuten [ 1 ] p = L ∙ log XC
p = L ∙ (1 + log (1-XP
2)
2)
XP = radic 1- 10 2 ∙ ( p L
- 1)
IP = partXP
part p =
- ln 10
L∙
10 2 ∙ ( p L
- 1)
radic1 - 10 2 ∙ ( p L - 1)
[ 18 ]
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Mejor expresarlo en funcioacuten de XC que es seguacuten [ 2 ] XC = 10 p
L y tambieacuten podemos
descartar el signo que no nos interesa
IP= ln 10
L∙
( XC 10
)2
radic 1 - ( XC 10
)2
[ 19 ]
Todaviacutea seriacutea mejor dado que comparamos la performance para la obtencioacuten de senos de
aacutengulos expresar 119816119823 en funcioacuten del aacutengulo complementario
Siendo XC
10= sen XS = cos Xcomp
IP = ln 10
L ∙
cos2 Xcomp
sin Xcomp [ 20 ]
Figura 10 Escala Pitagoacuterica Seno(80ordm) = P(10ordm) = 09848
53 Senos con escalas trigonomeacutetricas diferenciales (Sd y C)
La escala diferencial de senos se construye seguacuten la expresioacuten
Sd = X
sen X
Luego para obtener el seno de un aacutengulo se despeja
sen x = X
Sd
Siendo expresado X en grados sexagesimales
Lo interesante del meacutetodo es que la misma escala D se aprovecha de 1 a 9 con factor 10
para representar aacutengulos de 10ordm a 90ordm y simultaacuteneamente de 1 a 10 para representar los senos
de 01 a 1 (para la deacutecada base)
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Figura 11 Escala de Senos Diferenciales Seno(30ordm) = 05
Para operar se coloca el aacutengulo en grados sobre D luego se divide (resta de segmentos)
por el valor en la escala Sd muy convenientemente colocada en la reglilla para facilidad
operativa Y finalmente se lee el sen X en la misma escala D sobre el iacutendice de la reglilla
Y ahora es doacutende viene lo maacutes praacutectico de nuestras conclusiones Como hemos deducido
en iexclError No se encuentra el origen de la referencia la incertidumbre intriacutenseca de una
operacioacuten sin lecturas intermedias soacutelo depende de la escala de lectura final y no de la de
colocacioacuten del aacutengulo De esta forma no necesitamos preocuparnos de la incoacutemoda funcioacuten
Sd para nada soacutelo nos interesa la escala D ya estudiada Usaremos pues la expresioacuten [ 17 ]
Sin embargo vemos que hay de por medio otra operacioacuten de colocacioacuten de valor en la
escala Sd por lo que aquiacute 119847 seraacute igual a 3 en lugar de 2 empeorando potencialmente la
precisioacuten del valor obtenido
54 Comparacioacuten de los tres meacutetodos de obtencioacuten de Senos de aacutengulos
En el siguiente graacutefico comparamos la Incertidumbre de los tres meacutetodos seguacuten [ 17 ] con
119899 = 2 para S y con 119899 = 3 para Sd y seguacuten [ 20 ] con 119899 = 2 para P
En la Figura 12 vemos claramente que el meacutetodo con escalas S y P se comporta mucho
mejor para aacutengulos grandes que el meacutetodo usual con las escalas S y C Incluso globalmente
logramos algo maacutes de precisioacuten para estos aacutengulos que para los aacutengulos pequentildeoshellip
La posicioacuten de equilibrio se alcanza exactamente para los 45ordm aacutengulo a partir del cual es
conveniente usar la escala P con el aacutengulo complementario
En relacioacuten con el meacutetodo de trigonomeacutetricas diferenciales vemos que la precisioacuten
alcanzable es menor que con las escalas tradicionales debido a la introduccioacuten de la operacioacuten
de divisioacuten (salvo el pequentildeo entorno entre 57ordm y 10ordm que se obtiene en la deacutecada anterior a la
normal resultando maacutes preciso)
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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Figura 12 Incertidumbre estadiacutestica para hallar sen(x) por distintos meacutetodos usuales
55 Comparando meacutetodos de obtencioacuten de aacutengulos dado su seno
Para el caso estaacutendar tenemos simplemente la funcioacuten de incertidumbre de la escala S [ 13
] con 119899 = 2
Para el caacutelculo con escala P la ecuacioacuten y 119899 seraacuten los mismos aplicada sobre los aacutengulos
complementarios
Para el caacutelculo con escala inversa Sd (ISd) los aacutengulos se leen tambieacuten sobre la escala C
por lo que corresponde evaluar la incertidumbre de la escala C transformada en escala de
aacutengulos y con 119899 = 3
Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordm
Operacioacuten Con ayuda del cursor se alinea el valor del seno en la escala D y el mismo
valor del seno en la escala ISd como en una divisioacuten (resta de segmentos) el iacutendice de la escala
C apunta al aacutengulo sobre la escala D (multiplicar por 10 en esta deacutecada)
En la Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordmtambieacuten observamos el
aacutengulo 30ordm alineado con 05 en la escala S standard La mayor incertidumbre de la escala S se
ve muy claramente para el intervalo 80ordm - 90ordm en ambas escalas (marcados en verde)
Graficando la incertidumbre para los tres meacutetodos obtenemos la Figura 14
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
146 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
Figura 14 Incertidumbre estadiacutestica para hallar el arcoseno() por distintos meacutetodos
Vemos claramente que la menor alinealidad de la escala C por siacute sola permite al meacutetodo
de escala inversa de senos diferenciales tener resultados mejores que una regla estaacutendar al
momento de hallar aacutengulos por sus senos Especialmente para aacutengulos grandes y a pesar de
la penalizacioacuten de un 119899 = 3
Sin embargo siempre una regla con escalas S y P produce mejores resultados que las
demaacutes
6 Conclusiones
El meacutetodo de anaacutelisis de las escalas y operaciones a traveacutes de la incertidumbre intriacutenseca
resulta muy uacutetil para evaluar objetivamente la conveniencia de unas escalas y meacutetodos sobre
otros alternativos para mejorar la precisioacuten A su vez el meacutetodo nos permitioacute demostrar
algunos supuestos muy difundidos sobre las RC y rebatir otros con facilidad Entre las
conclusiones notables se destacan
- La incertidumbre intriacutenseca es una funcioacuten que variacutea a lo largo de la escala y puede
escribirse en funcioacuten de la posicioacuten geomeacutetrica de los valores de la escala o de los
valores de otra escala conveniente
- La incertidumbre de una escala es inversamente proporcional a su longitud fiacutesica
- La incertidumbre relativa de una escala logariacutetmica es constante
- La funcioacuten incertidumbre maacutexima absoluta de una operacioacuten con RC sin lectura
intermedia de valores estaacute dada solamente por la incertidumbre de la escala de
lectura final multiplicada por la cantidad de estimaciones 119951 Esta conclusioacuten es vital
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 147
porque nos permite prescindir del anaacutelisis de incertidumbre de las escalas que no son
las que usamos para leer el resultado
- Esta funcioacuten incertidumbre se evaluacutea simplemente en el punto de lectura del
resultado final (teniendo en cuenta los cambios de deacutecada pertinentes)
- La incertidumbre estadiacutestica en caacutelculos complejos seraacute menor a la maacutexima y variacutea
seguacuten el factor radic119951
- El nuacutemero 119951 de estimaciones suele ser un factor de gran influencia sobre la
incertidumbre producida en caacutelculos complejos por lo que es muy importante su
reduccioacuten
- Si la operacioacuten contiene lecturas intermedias el caacutelculo de la incertidumbre total no es
directo y debe realizarse agregando la propagacioacuten claacutesica de incertidumbre a traveacutes
de foacutermulas para los valores intermedios leiacutedos y recolocados
- La incidencia de las lecturas y colocaciones de valores intermedios en la
incertidumbre de un caacutelculo complejo puede ser muy importante y en general
conviene que estas operaciones sean evitadas cuando sea posible
- Queda suficientemente claro que las dificultades del problema de la precisioacuten superan
ampliamente la tiacutepica definicioacuten popular de ldquotres diacutegitos significativosrdquo Aunque
por supuesto no queda invalidada como una raacutepida aproximacioacuten al promedio de
precisioacuten para una regla estaacutendar
- Conclusiones Operativas expuestas como ejemplo
Las reglas con escala P son las maacutes precisas para las funciones trigonomeacutetrisas
directas e inversas
Las reglas con escalas trigonomeacutetricas diferenciales mejoran la precisioacuten de
una regla tiacutepica con escala S para las funciones inversas pero son
praacutecticamente ideacutenticas para las funciones directas
Para operaciones como z = radica ∙ b es algo maacutes preciso multiplicar sobre las
escalas cuadraacuteticas A B y leer la raiz en D
7 Agradecimientos
Deseo agradecer al Ing Santiago Higuera de Frutos por su estiacutemulo y apoyo para la
realizacioacuten del presente artiacuteculo y su ayuda para la revisioacuten y presentacioacuten del mismo
Tambieacuten quiero agradecer a los miembros de la agrupacioacuten ARC ldquoAmigos de las reglas de
caacutelculordquo y especialmente a su fundador Jorge Faacutebregas Zazza por su inmensa y desinteresada
tarea
8 Lectura Introductoria
HIGUERA DE FRUTOS Santiago Reglas de Caacutelculo Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Vol
VI Nuacutem 2 Octubre 2016
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
148 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
httpwwwreglasdecalculocom Web de Jorge Faacutebregas Zazza donde se expone su
vasta coleccioacuten de reglas de caacutelculo y manuales en espantildeol y cantidad de recursos uacutetiles
y links para interesados y coleccionistas particularmente un cursillo introductorio sobre
su uso en httpwwwreglasdecalculocomteoriaypracticahtm
Referencias
[1] TAYLOR John Robert An introduction to error analysis 2nd edition caps 3 y 5 University
Science Books California 1997
[2] LINDBERG Vern Uncertainties and error propagation httpsgooglzz0QuJ
Sobre el autor
Nombre Jorge Luis Victoria
Correo Electroacutenico jorgeluisvictoriaricogmailcom
Profesioacuten Profesional Autoacutenomo
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
140 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
- La lectura intermedia es incoacutemoda y podriacutea empeorar la precisioacuten
Figura 8Meacutetodo 2 Primer Paso 215 x 240 = 516
Figura 9Meacutetodo 2 Segundo Paso Raiz (516) = 227
El meacutetodo 1 es una sencilla operacioacuten encadenada que consta de 3 estimaciones leyendo
finalmente sobre la escala C Su funcioacuten de incertidumbre seraacute seguacuten la expresioacuten [ 14 ]
ajustada para valores de escala y 119899 = 3
IM1(XC) = 3 ∙ IC(XC)
Reemplazando XC=z (resultado final) en [ 10 ] resulta para el meacutetodo 1
IM1(z) = 3 ∙ ln 10
L ∙ z [ 15 ]
Para el meacutetodo 2 primero tendremos que obtener la incertidumbre de la multiplicacioacuten en
la escala C incluyendo la lectura Esta incertidumbre se transfiere a la escala A y luego
debemos propagarla sobre la escala C en su punto de aplicacioacuten Y finalmente agregar la
incertidumbre de la colocacioacuten del valor en A y de la lectura de la raiacutez en la escala C
Para la multiplicacioacuten tendremos 3 estimaciones y para la raiacutez tendremos 2 La
proyeccioacuten se hace sobre el punto XC y la funcioacuten incertidumbre de la multiplicacioacuten se
evaluacutea en XC2 Entonces
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 141
IM2(XC) = partXC
partXA ∙ 3 IC(XC
2) + 2 IC(XC)
Siendo Xc = radicXA y IC(XC) = ln 10
L ∙ XC
IM2(XC) = ln 10
L∙ (3 ∙
1
2 radicXA XC
2 + 2 XC)
IM2(XC) = ln 10
L ∙ (
3
2 XC + 2 XC )
IM2(z) = 35 ∙ ln 10
L ∙ z [ 16 ]
Comparando [ 15 ] y [ 16 ] quedan definitivamente zanjadas las subjetividades sobre cuaacutel
meacutetodo es preferible El meacutetodo 1 ademaacutes de ser maacutes coacutemodo raacutepido y seguro tambieacuten es
algo maacutes preciso (14)
44 Incertidumbre Estadiacutestica de los caacutelculos
En todo lo hecho hasta aquiacute consideramos incertidumbres maacuteximas absolutas lo cual en
la praacutectica no sucede
Para obtener un valor maacutes realista de la incertidumbre y del peso relativo del nuacutemero de
estimaciones sobre el mismo se debe tener en cuenta el concepto estadiacutestico del error Por lo
tanto la estimacioacuten de valores en la regla seguiraacute en cada caso una distribucioacuten normal
centrada en el valor exacto y el error en cada paso seraacute en algunos casos aumentado y en
otros reducido (Suponiendo razonablemente que el operador no lee con sesgos)
El enfoque estadiacutestico queda fuera del alcance de este texto pero utilizando ciertas
simplificaciones podemos asumir que
IEst = radic ( partf
partx)
2
∙ (dx)2 + ( partf
party)
2
∙ (dy)2+hellip
Operando llegamos a que en operaciones encadenadas el factor a aplicar para encontrar
la incertidumbre estadiacutesticamente esperable seraacute radic119951 en lugar de n Tendremos entonces para
un caacutelculo encadenado
IEst = radic n ∙ IE
Siendo n el nuacutemero de estimaciones e IE la funcioacuten de Incertidumbre intriacutenseca de la
escala de lectura Asiacute en la praacutectica se disminuye ligeramente la influencia de la cantidad de
caacutelculos encadenados respecto de la incertidumbre final
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
142 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
5 Evaluacioacuten comparativa de Escalas y Meacutetodos
La Incertidumbre Intriacutenseca de escalas y meacutetodos es una valoracioacuten objetiva que nos
permite determinar la conveniencia en cuanto a su precisioacuten posible de un meacutetodo de caacutelculo
y sus escalas asociadas
Haremos un ejemplo de evaluacioacuten de meacutetodos y escalas para hallar senos de aacutengulos y
reciacuteprocamente usando los tres meacutetodos maacutes frecuentes encontrados en las RC Con escalas S
y C con escalas S y P y con la menos usual escala trigonomeacutetrica diferencial de senos Sd y C
51 Senos con escalas usuales (S y C)
Ya hemos visto la evaluacioacuten del procedimiento usando la escala S de senos (aacutengulos)
estaacutendar en 431
Para facilitar la evaluacioacuten expresaremos la incertidumbre de la escala C [ 10 ] en funcioacuten
de XS recordando que 119883119888 = 10 ∙ sen XS
IC = ln 10
L ∙ 10 ∙ sen XS [ 17 ]
52 Senos con escala pitagoacuterica adicional (S y P)
La escala pitagoacuterica expresa la funcioacuten radic 1 - X2 Por lo tanto si colocamos en la escala C
el valor correspondiente al coseno de un aacutengulo obtendremos en P el valor del seno del
mismo aacutengulo en virtud de la relacioacuten pitagoacuterica Esto es muy uacutetil porque permite hallar con
mayor precisioacuten senos de aacutengulos grandes para los cuales la precisioacuten de la escala C decae
mucho Para hallar el seno de 70ordm por ejemplo indicamos 30ordm en la escala de senos (aacutengulos) y
luego leemos cos(30ordm) = sin(70ordm) en la escala P
Para la escala pitagoacuterica seguimos el mismo proceso que con las escalas anteriores
comenzando con la expresioacuten de la escala P respecto de la escala CD
XP = radic 1 - ( XC
10 )
2
rarr XC = 10 radic 1 - XP2
La posicioacuten sobre la regla seguacuten [ 1 ] p = L ∙ log XC
p = L ∙ (1 + log (1-XP
2)
2)
XP = radic 1- 10 2 ∙ ( p L
- 1)
IP = partXP
part p =
- ln 10
L∙
10 2 ∙ ( p L
- 1)
radic1 - 10 2 ∙ ( p L - 1)
[ 18 ]
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 143
Mejor expresarlo en funcioacuten de XC que es seguacuten [ 2 ] XC = 10 p
L y tambieacuten podemos
descartar el signo que no nos interesa
IP= ln 10
L∙
( XC 10
)2
radic 1 - ( XC 10
)2
[ 19 ]
Todaviacutea seriacutea mejor dado que comparamos la performance para la obtencioacuten de senos de
aacutengulos expresar 119816119823 en funcioacuten del aacutengulo complementario
Siendo XC
10= sen XS = cos Xcomp
IP = ln 10
L ∙
cos2 Xcomp
sin Xcomp [ 20 ]
Figura 10 Escala Pitagoacuterica Seno(80ordm) = P(10ordm) = 09848
53 Senos con escalas trigonomeacutetricas diferenciales (Sd y C)
La escala diferencial de senos se construye seguacuten la expresioacuten
Sd = X
sen X
Luego para obtener el seno de un aacutengulo se despeja
sen x = X
Sd
Siendo expresado X en grados sexagesimales
Lo interesante del meacutetodo es que la misma escala D se aprovecha de 1 a 9 con factor 10
para representar aacutengulos de 10ordm a 90ordm y simultaacuteneamente de 1 a 10 para representar los senos
de 01 a 1 (para la deacutecada base)
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
144 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
Figura 11 Escala de Senos Diferenciales Seno(30ordm) = 05
Para operar se coloca el aacutengulo en grados sobre D luego se divide (resta de segmentos)
por el valor en la escala Sd muy convenientemente colocada en la reglilla para facilidad
operativa Y finalmente se lee el sen X en la misma escala D sobre el iacutendice de la reglilla
Y ahora es doacutende viene lo maacutes praacutectico de nuestras conclusiones Como hemos deducido
en iexclError No se encuentra el origen de la referencia la incertidumbre intriacutenseca de una
operacioacuten sin lecturas intermedias soacutelo depende de la escala de lectura final y no de la de
colocacioacuten del aacutengulo De esta forma no necesitamos preocuparnos de la incoacutemoda funcioacuten
Sd para nada soacutelo nos interesa la escala D ya estudiada Usaremos pues la expresioacuten [ 17 ]
Sin embargo vemos que hay de por medio otra operacioacuten de colocacioacuten de valor en la
escala Sd por lo que aquiacute 119847 seraacute igual a 3 en lugar de 2 empeorando potencialmente la
precisioacuten del valor obtenido
54 Comparacioacuten de los tres meacutetodos de obtencioacuten de Senos de aacutengulos
En el siguiente graacutefico comparamos la Incertidumbre de los tres meacutetodos seguacuten [ 17 ] con
119899 = 2 para S y con 119899 = 3 para Sd y seguacuten [ 20 ] con 119899 = 2 para P
En la Figura 12 vemos claramente que el meacutetodo con escalas S y P se comporta mucho
mejor para aacutengulos grandes que el meacutetodo usual con las escalas S y C Incluso globalmente
logramos algo maacutes de precisioacuten para estos aacutengulos que para los aacutengulos pequentildeoshellip
La posicioacuten de equilibrio se alcanza exactamente para los 45ordm aacutengulo a partir del cual es
conveniente usar la escala P con el aacutengulo complementario
En relacioacuten con el meacutetodo de trigonomeacutetricas diferenciales vemos que la precisioacuten
alcanzable es menor que con las escalas tradicionales debido a la introduccioacuten de la operacioacuten
de divisioacuten (salvo el pequentildeo entorno entre 57ordm y 10ordm que se obtiene en la deacutecada anterior a la
normal resultando maacutes preciso)
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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Figura 12 Incertidumbre estadiacutestica para hallar sen(x) por distintos meacutetodos usuales
55 Comparando meacutetodos de obtencioacuten de aacutengulos dado su seno
Para el caso estaacutendar tenemos simplemente la funcioacuten de incertidumbre de la escala S [ 13
] con 119899 = 2
Para el caacutelculo con escala P la ecuacioacuten y 119899 seraacuten los mismos aplicada sobre los aacutengulos
complementarios
Para el caacutelculo con escala inversa Sd (ISd) los aacutengulos se leen tambieacuten sobre la escala C
por lo que corresponde evaluar la incertidumbre de la escala C transformada en escala de
aacutengulos y con 119899 = 3
Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordm
Operacioacuten Con ayuda del cursor se alinea el valor del seno en la escala D y el mismo
valor del seno en la escala ISd como en una divisioacuten (resta de segmentos) el iacutendice de la escala
C apunta al aacutengulo sobre la escala D (multiplicar por 10 en esta deacutecada)
En la Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordmtambieacuten observamos el
aacutengulo 30ordm alineado con 05 en la escala S standard La mayor incertidumbre de la escala S se
ve muy claramente para el intervalo 80ordm - 90ordm en ambas escalas (marcados en verde)
Graficando la incertidumbre para los tres meacutetodos obtenemos la Figura 14
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Figura 14 Incertidumbre estadiacutestica para hallar el arcoseno() por distintos meacutetodos
Vemos claramente que la menor alinealidad de la escala C por siacute sola permite al meacutetodo
de escala inversa de senos diferenciales tener resultados mejores que una regla estaacutendar al
momento de hallar aacutengulos por sus senos Especialmente para aacutengulos grandes y a pesar de
la penalizacioacuten de un 119899 = 3
Sin embargo siempre una regla con escalas S y P produce mejores resultados que las
demaacutes
6 Conclusiones
El meacutetodo de anaacutelisis de las escalas y operaciones a traveacutes de la incertidumbre intriacutenseca
resulta muy uacutetil para evaluar objetivamente la conveniencia de unas escalas y meacutetodos sobre
otros alternativos para mejorar la precisioacuten A su vez el meacutetodo nos permitioacute demostrar
algunos supuestos muy difundidos sobre las RC y rebatir otros con facilidad Entre las
conclusiones notables se destacan
- La incertidumbre intriacutenseca es una funcioacuten que variacutea a lo largo de la escala y puede
escribirse en funcioacuten de la posicioacuten geomeacutetrica de los valores de la escala o de los
valores de otra escala conveniente
- La incertidumbre de una escala es inversamente proporcional a su longitud fiacutesica
- La incertidumbre relativa de una escala logariacutetmica es constante
- La funcioacuten incertidumbre maacutexima absoluta de una operacioacuten con RC sin lectura
intermedia de valores estaacute dada solamente por la incertidumbre de la escala de
lectura final multiplicada por la cantidad de estimaciones 119951 Esta conclusioacuten es vital
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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porque nos permite prescindir del anaacutelisis de incertidumbre de las escalas que no son
las que usamos para leer el resultado
- Esta funcioacuten incertidumbre se evaluacutea simplemente en el punto de lectura del
resultado final (teniendo en cuenta los cambios de deacutecada pertinentes)
- La incertidumbre estadiacutestica en caacutelculos complejos seraacute menor a la maacutexima y variacutea
seguacuten el factor radic119951
- El nuacutemero 119951 de estimaciones suele ser un factor de gran influencia sobre la
incertidumbre producida en caacutelculos complejos por lo que es muy importante su
reduccioacuten
- Si la operacioacuten contiene lecturas intermedias el caacutelculo de la incertidumbre total no es
directo y debe realizarse agregando la propagacioacuten claacutesica de incertidumbre a traveacutes
de foacutermulas para los valores intermedios leiacutedos y recolocados
- La incidencia de las lecturas y colocaciones de valores intermedios en la
incertidumbre de un caacutelculo complejo puede ser muy importante y en general
conviene que estas operaciones sean evitadas cuando sea posible
- Queda suficientemente claro que las dificultades del problema de la precisioacuten superan
ampliamente la tiacutepica definicioacuten popular de ldquotres diacutegitos significativosrdquo Aunque
por supuesto no queda invalidada como una raacutepida aproximacioacuten al promedio de
precisioacuten para una regla estaacutendar
- Conclusiones Operativas expuestas como ejemplo
Las reglas con escala P son las maacutes precisas para las funciones trigonomeacutetrisas
directas e inversas
Las reglas con escalas trigonomeacutetricas diferenciales mejoran la precisioacuten de
una regla tiacutepica con escala S para las funciones inversas pero son
praacutecticamente ideacutenticas para las funciones directas
Para operaciones como z = radica ∙ b es algo maacutes preciso multiplicar sobre las
escalas cuadraacuteticas A B y leer la raiz en D
7 Agradecimientos
Deseo agradecer al Ing Santiago Higuera de Frutos por su estiacutemulo y apoyo para la
realizacioacuten del presente artiacuteculo y su ayuda para la revisioacuten y presentacioacuten del mismo
Tambieacuten quiero agradecer a los miembros de la agrupacioacuten ARC ldquoAmigos de las reglas de
caacutelculordquo y especialmente a su fundador Jorge Faacutebregas Zazza por su inmensa y desinteresada
tarea
8 Lectura Introductoria
HIGUERA DE FRUTOS Santiago Reglas de Caacutelculo Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Vol
VI Nuacutem 2 Octubre 2016
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httpwwwreglasdecalculocom Web de Jorge Faacutebregas Zazza donde se expone su
vasta coleccioacuten de reglas de caacutelculo y manuales en espantildeol y cantidad de recursos uacutetiles
y links para interesados y coleccionistas particularmente un cursillo introductorio sobre
su uso en httpwwwreglasdecalculocomteoriaypracticahtm
Referencias
[1] TAYLOR John Robert An introduction to error analysis 2nd edition caps 3 y 5 University
Science Books California 1997
[2] LINDBERG Vern Uncertainties and error propagation httpsgooglzz0QuJ
Sobre el autor
Nombre Jorge Luis Victoria
Correo Electroacutenico jorgeluisvictoriaricogmailcom
Profesioacuten Profesional Autoacutenomo
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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IM2(XC) = partXC
partXA ∙ 3 IC(XC
2) + 2 IC(XC)
Siendo Xc = radicXA y IC(XC) = ln 10
L ∙ XC
IM2(XC) = ln 10
L∙ (3 ∙
1
2 radicXA XC
2 + 2 XC)
IM2(XC) = ln 10
L ∙ (
3
2 XC + 2 XC )
IM2(z) = 35 ∙ ln 10
L ∙ z [ 16 ]
Comparando [ 15 ] y [ 16 ] quedan definitivamente zanjadas las subjetividades sobre cuaacutel
meacutetodo es preferible El meacutetodo 1 ademaacutes de ser maacutes coacutemodo raacutepido y seguro tambieacuten es
algo maacutes preciso (14)
44 Incertidumbre Estadiacutestica de los caacutelculos
En todo lo hecho hasta aquiacute consideramos incertidumbres maacuteximas absolutas lo cual en
la praacutectica no sucede
Para obtener un valor maacutes realista de la incertidumbre y del peso relativo del nuacutemero de
estimaciones sobre el mismo se debe tener en cuenta el concepto estadiacutestico del error Por lo
tanto la estimacioacuten de valores en la regla seguiraacute en cada caso una distribucioacuten normal
centrada en el valor exacto y el error en cada paso seraacute en algunos casos aumentado y en
otros reducido (Suponiendo razonablemente que el operador no lee con sesgos)
El enfoque estadiacutestico queda fuera del alcance de este texto pero utilizando ciertas
simplificaciones podemos asumir que
IEst = radic ( partf
partx)
2
∙ (dx)2 + ( partf
party)
2
∙ (dy)2+hellip
Operando llegamos a que en operaciones encadenadas el factor a aplicar para encontrar
la incertidumbre estadiacutesticamente esperable seraacute radic119951 en lugar de n Tendremos entonces para
un caacutelculo encadenado
IEst = radic n ∙ IE
Siendo n el nuacutemero de estimaciones e IE la funcioacuten de Incertidumbre intriacutenseca de la
escala de lectura Asiacute en la praacutectica se disminuye ligeramente la influencia de la cantidad de
caacutelculos encadenados respecto de la incertidumbre final
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5 Evaluacioacuten comparativa de Escalas y Meacutetodos
La Incertidumbre Intriacutenseca de escalas y meacutetodos es una valoracioacuten objetiva que nos
permite determinar la conveniencia en cuanto a su precisioacuten posible de un meacutetodo de caacutelculo
y sus escalas asociadas
Haremos un ejemplo de evaluacioacuten de meacutetodos y escalas para hallar senos de aacutengulos y
reciacuteprocamente usando los tres meacutetodos maacutes frecuentes encontrados en las RC Con escalas S
y C con escalas S y P y con la menos usual escala trigonomeacutetrica diferencial de senos Sd y C
51 Senos con escalas usuales (S y C)
Ya hemos visto la evaluacioacuten del procedimiento usando la escala S de senos (aacutengulos)
estaacutendar en 431
Para facilitar la evaluacioacuten expresaremos la incertidumbre de la escala C [ 10 ] en funcioacuten
de XS recordando que 119883119888 = 10 ∙ sen XS
IC = ln 10
L ∙ 10 ∙ sen XS [ 17 ]
52 Senos con escala pitagoacuterica adicional (S y P)
La escala pitagoacuterica expresa la funcioacuten radic 1 - X2 Por lo tanto si colocamos en la escala C
el valor correspondiente al coseno de un aacutengulo obtendremos en P el valor del seno del
mismo aacutengulo en virtud de la relacioacuten pitagoacuterica Esto es muy uacutetil porque permite hallar con
mayor precisioacuten senos de aacutengulos grandes para los cuales la precisioacuten de la escala C decae
mucho Para hallar el seno de 70ordm por ejemplo indicamos 30ordm en la escala de senos (aacutengulos) y
luego leemos cos(30ordm) = sin(70ordm) en la escala P
Para la escala pitagoacuterica seguimos el mismo proceso que con las escalas anteriores
comenzando con la expresioacuten de la escala P respecto de la escala CD
XP = radic 1 - ( XC
10 )
2
rarr XC = 10 radic 1 - XP2
La posicioacuten sobre la regla seguacuten [ 1 ] p = L ∙ log XC
p = L ∙ (1 + log (1-XP
2)
2)
XP = radic 1- 10 2 ∙ ( p L
- 1)
IP = partXP
part p =
- ln 10
L∙
10 2 ∙ ( p L
- 1)
radic1 - 10 2 ∙ ( p L - 1)
[ 18 ]
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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Mejor expresarlo en funcioacuten de XC que es seguacuten [ 2 ] XC = 10 p
L y tambieacuten podemos
descartar el signo que no nos interesa
IP= ln 10
L∙
( XC 10
)2
radic 1 - ( XC 10
)2
[ 19 ]
Todaviacutea seriacutea mejor dado que comparamos la performance para la obtencioacuten de senos de
aacutengulos expresar 119816119823 en funcioacuten del aacutengulo complementario
Siendo XC
10= sen XS = cos Xcomp
IP = ln 10
L ∙
cos2 Xcomp
sin Xcomp [ 20 ]
Figura 10 Escala Pitagoacuterica Seno(80ordm) = P(10ordm) = 09848
53 Senos con escalas trigonomeacutetricas diferenciales (Sd y C)
La escala diferencial de senos se construye seguacuten la expresioacuten
Sd = X
sen X
Luego para obtener el seno de un aacutengulo se despeja
sen x = X
Sd
Siendo expresado X en grados sexagesimales
Lo interesante del meacutetodo es que la misma escala D se aprovecha de 1 a 9 con factor 10
para representar aacutengulos de 10ordm a 90ordm y simultaacuteneamente de 1 a 10 para representar los senos
de 01 a 1 (para la deacutecada base)
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
144 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
Figura 11 Escala de Senos Diferenciales Seno(30ordm) = 05
Para operar se coloca el aacutengulo en grados sobre D luego se divide (resta de segmentos)
por el valor en la escala Sd muy convenientemente colocada en la reglilla para facilidad
operativa Y finalmente se lee el sen X en la misma escala D sobre el iacutendice de la reglilla
Y ahora es doacutende viene lo maacutes praacutectico de nuestras conclusiones Como hemos deducido
en iexclError No se encuentra el origen de la referencia la incertidumbre intriacutenseca de una
operacioacuten sin lecturas intermedias soacutelo depende de la escala de lectura final y no de la de
colocacioacuten del aacutengulo De esta forma no necesitamos preocuparnos de la incoacutemoda funcioacuten
Sd para nada soacutelo nos interesa la escala D ya estudiada Usaremos pues la expresioacuten [ 17 ]
Sin embargo vemos que hay de por medio otra operacioacuten de colocacioacuten de valor en la
escala Sd por lo que aquiacute 119847 seraacute igual a 3 en lugar de 2 empeorando potencialmente la
precisioacuten del valor obtenido
54 Comparacioacuten de los tres meacutetodos de obtencioacuten de Senos de aacutengulos
En el siguiente graacutefico comparamos la Incertidumbre de los tres meacutetodos seguacuten [ 17 ] con
119899 = 2 para S y con 119899 = 3 para Sd y seguacuten [ 20 ] con 119899 = 2 para P
En la Figura 12 vemos claramente que el meacutetodo con escalas S y P se comporta mucho
mejor para aacutengulos grandes que el meacutetodo usual con las escalas S y C Incluso globalmente
logramos algo maacutes de precisioacuten para estos aacutengulos que para los aacutengulos pequentildeoshellip
La posicioacuten de equilibrio se alcanza exactamente para los 45ordm aacutengulo a partir del cual es
conveniente usar la escala P con el aacutengulo complementario
En relacioacuten con el meacutetodo de trigonomeacutetricas diferenciales vemos que la precisioacuten
alcanzable es menor que con las escalas tradicionales debido a la introduccioacuten de la operacioacuten
de divisioacuten (salvo el pequentildeo entorno entre 57ordm y 10ordm que se obtiene en la deacutecada anterior a la
normal resultando maacutes preciso)
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 145
Figura 12 Incertidumbre estadiacutestica para hallar sen(x) por distintos meacutetodos usuales
55 Comparando meacutetodos de obtencioacuten de aacutengulos dado su seno
Para el caso estaacutendar tenemos simplemente la funcioacuten de incertidumbre de la escala S [ 13
] con 119899 = 2
Para el caacutelculo con escala P la ecuacioacuten y 119899 seraacuten los mismos aplicada sobre los aacutengulos
complementarios
Para el caacutelculo con escala inversa Sd (ISd) los aacutengulos se leen tambieacuten sobre la escala C
por lo que corresponde evaluar la incertidumbre de la escala C transformada en escala de
aacutengulos y con 119899 = 3
Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordm
Operacioacuten Con ayuda del cursor se alinea el valor del seno en la escala D y el mismo
valor del seno en la escala ISd como en una divisioacuten (resta de segmentos) el iacutendice de la escala
C apunta al aacutengulo sobre la escala D (multiplicar por 10 en esta deacutecada)
En la Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordmtambieacuten observamos el
aacutengulo 30ordm alineado con 05 en la escala S standard La mayor incertidumbre de la escala S se
ve muy claramente para el intervalo 80ordm - 90ordm en ambas escalas (marcados en verde)
Graficando la incertidumbre para los tres meacutetodos obtenemos la Figura 14
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
146 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
Figura 14 Incertidumbre estadiacutestica para hallar el arcoseno() por distintos meacutetodos
Vemos claramente que la menor alinealidad de la escala C por siacute sola permite al meacutetodo
de escala inversa de senos diferenciales tener resultados mejores que una regla estaacutendar al
momento de hallar aacutengulos por sus senos Especialmente para aacutengulos grandes y a pesar de
la penalizacioacuten de un 119899 = 3
Sin embargo siempre una regla con escalas S y P produce mejores resultados que las
demaacutes
6 Conclusiones
El meacutetodo de anaacutelisis de las escalas y operaciones a traveacutes de la incertidumbre intriacutenseca
resulta muy uacutetil para evaluar objetivamente la conveniencia de unas escalas y meacutetodos sobre
otros alternativos para mejorar la precisioacuten A su vez el meacutetodo nos permitioacute demostrar
algunos supuestos muy difundidos sobre las RC y rebatir otros con facilidad Entre las
conclusiones notables se destacan
- La incertidumbre intriacutenseca es una funcioacuten que variacutea a lo largo de la escala y puede
escribirse en funcioacuten de la posicioacuten geomeacutetrica de los valores de la escala o de los
valores de otra escala conveniente
- La incertidumbre de una escala es inversamente proporcional a su longitud fiacutesica
- La incertidumbre relativa de una escala logariacutetmica es constante
- La funcioacuten incertidumbre maacutexima absoluta de una operacioacuten con RC sin lectura
intermedia de valores estaacute dada solamente por la incertidumbre de la escala de
lectura final multiplicada por la cantidad de estimaciones 119951 Esta conclusioacuten es vital
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 147
porque nos permite prescindir del anaacutelisis de incertidumbre de las escalas que no son
las que usamos para leer el resultado
- Esta funcioacuten incertidumbre se evaluacutea simplemente en el punto de lectura del
resultado final (teniendo en cuenta los cambios de deacutecada pertinentes)
- La incertidumbre estadiacutestica en caacutelculos complejos seraacute menor a la maacutexima y variacutea
seguacuten el factor radic119951
- El nuacutemero 119951 de estimaciones suele ser un factor de gran influencia sobre la
incertidumbre producida en caacutelculos complejos por lo que es muy importante su
reduccioacuten
- Si la operacioacuten contiene lecturas intermedias el caacutelculo de la incertidumbre total no es
directo y debe realizarse agregando la propagacioacuten claacutesica de incertidumbre a traveacutes
de foacutermulas para los valores intermedios leiacutedos y recolocados
- La incidencia de las lecturas y colocaciones de valores intermedios en la
incertidumbre de un caacutelculo complejo puede ser muy importante y en general
conviene que estas operaciones sean evitadas cuando sea posible
- Queda suficientemente claro que las dificultades del problema de la precisioacuten superan
ampliamente la tiacutepica definicioacuten popular de ldquotres diacutegitos significativosrdquo Aunque
por supuesto no queda invalidada como una raacutepida aproximacioacuten al promedio de
precisioacuten para una regla estaacutendar
- Conclusiones Operativas expuestas como ejemplo
Las reglas con escala P son las maacutes precisas para las funciones trigonomeacutetrisas
directas e inversas
Las reglas con escalas trigonomeacutetricas diferenciales mejoran la precisioacuten de
una regla tiacutepica con escala S para las funciones inversas pero son
praacutecticamente ideacutenticas para las funciones directas
Para operaciones como z = radica ∙ b es algo maacutes preciso multiplicar sobre las
escalas cuadraacuteticas A B y leer la raiz en D
7 Agradecimientos
Deseo agradecer al Ing Santiago Higuera de Frutos por su estiacutemulo y apoyo para la
realizacioacuten del presente artiacuteculo y su ayuda para la revisioacuten y presentacioacuten del mismo
Tambieacuten quiero agradecer a los miembros de la agrupacioacuten ARC ldquoAmigos de las reglas de
caacutelculordquo y especialmente a su fundador Jorge Faacutebregas Zazza por su inmensa y desinteresada
tarea
8 Lectura Introductoria
HIGUERA DE FRUTOS Santiago Reglas de Caacutelculo Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Vol
VI Nuacutem 2 Octubre 2016
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
148 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
httpwwwreglasdecalculocom Web de Jorge Faacutebregas Zazza donde se expone su
vasta coleccioacuten de reglas de caacutelculo y manuales en espantildeol y cantidad de recursos uacutetiles
y links para interesados y coleccionistas particularmente un cursillo introductorio sobre
su uso en httpwwwreglasdecalculocomteoriaypracticahtm
Referencias
[1] TAYLOR John Robert An introduction to error analysis 2nd edition caps 3 y 5 University
Science Books California 1997
[2] LINDBERG Vern Uncertainties and error propagation httpsgooglzz0QuJ
Sobre el autor
Nombre Jorge Luis Victoria
Correo Electroacutenico jorgeluisvictoriaricogmailcom
Profesioacuten Profesional Autoacutenomo
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
142 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
5 Evaluacioacuten comparativa de Escalas y Meacutetodos
La Incertidumbre Intriacutenseca de escalas y meacutetodos es una valoracioacuten objetiva que nos
permite determinar la conveniencia en cuanto a su precisioacuten posible de un meacutetodo de caacutelculo
y sus escalas asociadas
Haremos un ejemplo de evaluacioacuten de meacutetodos y escalas para hallar senos de aacutengulos y
reciacuteprocamente usando los tres meacutetodos maacutes frecuentes encontrados en las RC Con escalas S
y C con escalas S y P y con la menos usual escala trigonomeacutetrica diferencial de senos Sd y C
51 Senos con escalas usuales (S y C)
Ya hemos visto la evaluacioacuten del procedimiento usando la escala S de senos (aacutengulos)
estaacutendar en 431
Para facilitar la evaluacioacuten expresaremos la incertidumbre de la escala C [ 10 ] en funcioacuten
de XS recordando que 119883119888 = 10 ∙ sen XS
IC = ln 10
L ∙ 10 ∙ sen XS [ 17 ]
52 Senos con escala pitagoacuterica adicional (S y P)
La escala pitagoacuterica expresa la funcioacuten radic 1 - X2 Por lo tanto si colocamos en la escala C
el valor correspondiente al coseno de un aacutengulo obtendremos en P el valor del seno del
mismo aacutengulo en virtud de la relacioacuten pitagoacuterica Esto es muy uacutetil porque permite hallar con
mayor precisioacuten senos de aacutengulos grandes para los cuales la precisioacuten de la escala C decae
mucho Para hallar el seno de 70ordm por ejemplo indicamos 30ordm en la escala de senos (aacutengulos) y
luego leemos cos(30ordm) = sin(70ordm) en la escala P
Para la escala pitagoacuterica seguimos el mismo proceso que con las escalas anteriores
comenzando con la expresioacuten de la escala P respecto de la escala CD
XP = radic 1 - ( XC
10 )
2
rarr XC = 10 radic 1 - XP2
La posicioacuten sobre la regla seguacuten [ 1 ] p = L ∙ log XC
p = L ∙ (1 + log (1-XP
2)
2)
XP = radic 1- 10 2 ∙ ( p L
- 1)
IP = partXP
part p =
- ln 10
L∙
10 2 ∙ ( p L
- 1)
radic1 - 10 2 ∙ ( p L - 1)
[ 18 ]
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 143
Mejor expresarlo en funcioacuten de XC que es seguacuten [ 2 ] XC = 10 p
L y tambieacuten podemos
descartar el signo que no nos interesa
IP= ln 10
L∙
( XC 10
)2
radic 1 - ( XC 10
)2
[ 19 ]
Todaviacutea seriacutea mejor dado que comparamos la performance para la obtencioacuten de senos de
aacutengulos expresar 119816119823 en funcioacuten del aacutengulo complementario
Siendo XC
10= sen XS = cos Xcomp
IP = ln 10
L ∙
cos2 Xcomp
sin Xcomp [ 20 ]
Figura 10 Escala Pitagoacuterica Seno(80ordm) = P(10ordm) = 09848
53 Senos con escalas trigonomeacutetricas diferenciales (Sd y C)
La escala diferencial de senos se construye seguacuten la expresioacuten
Sd = X
sen X
Luego para obtener el seno de un aacutengulo se despeja
sen x = X
Sd
Siendo expresado X en grados sexagesimales
Lo interesante del meacutetodo es que la misma escala D se aprovecha de 1 a 9 con factor 10
para representar aacutengulos de 10ordm a 90ordm y simultaacuteneamente de 1 a 10 para representar los senos
de 01 a 1 (para la deacutecada base)
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Figura 11 Escala de Senos Diferenciales Seno(30ordm) = 05
Para operar se coloca el aacutengulo en grados sobre D luego se divide (resta de segmentos)
por el valor en la escala Sd muy convenientemente colocada en la reglilla para facilidad
operativa Y finalmente se lee el sen X en la misma escala D sobre el iacutendice de la reglilla
Y ahora es doacutende viene lo maacutes praacutectico de nuestras conclusiones Como hemos deducido
en iexclError No se encuentra el origen de la referencia la incertidumbre intriacutenseca de una
operacioacuten sin lecturas intermedias soacutelo depende de la escala de lectura final y no de la de
colocacioacuten del aacutengulo De esta forma no necesitamos preocuparnos de la incoacutemoda funcioacuten
Sd para nada soacutelo nos interesa la escala D ya estudiada Usaremos pues la expresioacuten [ 17 ]
Sin embargo vemos que hay de por medio otra operacioacuten de colocacioacuten de valor en la
escala Sd por lo que aquiacute 119847 seraacute igual a 3 en lugar de 2 empeorando potencialmente la
precisioacuten del valor obtenido
54 Comparacioacuten de los tres meacutetodos de obtencioacuten de Senos de aacutengulos
En el siguiente graacutefico comparamos la Incertidumbre de los tres meacutetodos seguacuten [ 17 ] con
119899 = 2 para S y con 119899 = 3 para Sd y seguacuten [ 20 ] con 119899 = 2 para P
En la Figura 12 vemos claramente que el meacutetodo con escalas S y P se comporta mucho
mejor para aacutengulos grandes que el meacutetodo usual con las escalas S y C Incluso globalmente
logramos algo maacutes de precisioacuten para estos aacutengulos que para los aacutengulos pequentildeoshellip
La posicioacuten de equilibrio se alcanza exactamente para los 45ordm aacutengulo a partir del cual es
conveniente usar la escala P con el aacutengulo complementario
En relacioacuten con el meacutetodo de trigonomeacutetricas diferenciales vemos que la precisioacuten
alcanzable es menor que con las escalas tradicionales debido a la introduccioacuten de la operacioacuten
de divisioacuten (salvo el pequentildeo entorno entre 57ordm y 10ordm que se obtiene en la deacutecada anterior a la
normal resultando maacutes preciso)
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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Figura 12 Incertidumbre estadiacutestica para hallar sen(x) por distintos meacutetodos usuales
55 Comparando meacutetodos de obtencioacuten de aacutengulos dado su seno
Para el caso estaacutendar tenemos simplemente la funcioacuten de incertidumbre de la escala S [ 13
] con 119899 = 2
Para el caacutelculo con escala P la ecuacioacuten y 119899 seraacuten los mismos aplicada sobre los aacutengulos
complementarios
Para el caacutelculo con escala inversa Sd (ISd) los aacutengulos se leen tambieacuten sobre la escala C
por lo que corresponde evaluar la incertidumbre de la escala C transformada en escala de
aacutengulos y con 119899 = 3
Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordm
Operacioacuten Con ayuda del cursor se alinea el valor del seno en la escala D y el mismo
valor del seno en la escala ISd como en una divisioacuten (resta de segmentos) el iacutendice de la escala
C apunta al aacutengulo sobre la escala D (multiplicar por 10 en esta deacutecada)
En la Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordmtambieacuten observamos el
aacutengulo 30ordm alineado con 05 en la escala S standard La mayor incertidumbre de la escala S se
ve muy claramente para el intervalo 80ordm - 90ordm en ambas escalas (marcados en verde)
Graficando la incertidumbre para los tres meacutetodos obtenemos la Figura 14
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Figura 14 Incertidumbre estadiacutestica para hallar el arcoseno() por distintos meacutetodos
Vemos claramente que la menor alinealidad de la escala C por siacute sola permite al meacutetodo
de escala inversa de senos diferenciales tener resultados mejores que una regla estaacutendar al
momento de hallar aacutengulos por sus senos Especialmente para aacutengulos grandes y a pesar de
la penalizacioacuten de un 119899 = 3
Sin embargo siempre una regla con escalas S y P produce mejores resultados que las
demaacutes
6 Conclusiones
El meacutetodo de anaacutelisis de las escalas y operaciones a traveacutes de la incertidumbre intriacutenseca
resulta muy uacutetil para evaluar objetivamente la conveniencia de unas escalas y meacutetodos sobre
otros alternativos para mejorar la precisioacuten A su vez el meacutetodo nos permitioacute demostrar
algunos supuestos muy difundidos sobre las RC y rebatir otros con facilidad Entre las
conclusiones notables se destacan
- La incertidumbre intriacutenseca es una funcioacuten que variacutea a lo largo de la escala y puede
escribirse en funcioacuten de la posicioacuten geomeacutetrica de los valores de la escala o de los
valores de otra escala conveniente
- La incertidumbre de una escala es inversamente proporcional a su longitud fiacutesica
- La incertidumbre relativa de una escala logariacutetmica es constante
- La funcioacuten incertidumbre maacutexima absoluta de una operacioacuten con RC sin lectura
intermedia de valores estaacute dada solamente por la incertidumbre de la escala de
lectura final multiplicada por la cantidad de estimaciones 119951 Esta conclusioacuten es vital
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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porque nos permite prescindir del anaacutelisis de incertidumbre de las escalas que no son
las que usamos para leer el resultado
- Esta funcioacuten incertidumbre se evaluacutea simplemente en el punto de lectura del
resultado final (teniendo en cuenta los cambios de deacutecada pertinentes)
- La incertidumbre estadiacutestica en caacutelculos complejos seraacute menor a la maacutexima y variacutea
seguacuten el factor radic119951
- El nuacutemero 119951 de estimaciones suele ser un factor de gran influencia sobre la
incertidumbre producida en caacutelculos complejos por lo que es muy importante su
reduccioacuten
- Si la operacioacuten contiene lecturas intermedias el caacutelculo de la incertidumbre total no es
directo y debe realizarse agregando la propagacioacuten claacutesica de incertidumbre a traveacutes
de foacutermulas para los valores intermedios leiacutedos y recolocados
- La incidencia de las lecturas y colocaciones de valores intermedios en la
incertidumbre de un caacutelculo complejo puede ser muy importante y en general
conviene que estas operaciones sean evitadas cuando sea posible
- Queda suficientemente claro que las dificultades del problema de la precisioacuten superan
ampliamente la tiacutepica definicioacuten popular de ldquotres diacutegitos significativosrdquo Aunque
por supuesto no queda invalidada como una raacutepida aproximacioacuten al promedio de
precisioacuten para una regla estaacutendar
- Conclusiones Operativas expuestas como ejemplo
Las reglas con escala P son las maacutes precisas para las funciones trigonomeacutetrisas
directas e inversas
Las reglas con escalas trigonomeacutetricas diferenciales mejoran la precisioacuten de
una regla tiacutepica con escala S para las funciones inversas pero son
praacutecticamente ideacutenticas para las funciones directas
Para operaciones como z = radica ∙ b es algo maacutes preciso multiplicar sobre las
escalas cuadraacuteticas A B y leer la raiz en D
7 Agradecimientos
Deseo agradecer al Ing Santiago Higuera de Frutos por su estiacutemulo y apoyo para la
realizacioacuten del presente artiacuteculo y su ayuda para la revisioacuten y presentacioacuten del mismo
Tambieacuten quiero agradecer a los miembros de la agrupacioacuten ARC ldquoAmigos de las reglas de
caacutelculordquo y especialmente a su fundador Jorge Faacutebregas Zazza por su inmensa y desinteresada
tarea
8 Lectura Introductoria
HIGUERA DE FRUTOS Santiago Reglas de Caacutelculo Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Vol
VI Nuacutem 2 Octubre 2016
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
148 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
httpwwwreglasdecalculocom Web de Jorge Faacutebregas Zazza donde se expone su
vasta coleccioacuten de reglas de caacutelculo y manuales en espantildeol y cantidad de recursos uacutetiles
y links para interesados y coleccionistas particularmente un cursillo introductorio sobre
su uso en httpwwwreglasdecalculocomteoriaypracticahtm
Referencias
[1] TAYLOR John Robert An introduction to error analysis 2nd edition caps 3 y 5 University
Science Books California 1997
[2] LINDBERG Vern Uncertainties and error propagation httpsgooglzz0QuJ
Sobre el autor
Nombre Jorge Luis Victoria
Correo Electroacutenico jorgeluisvictoriaricogmailcom
Profesioacuten Profesional Autoacutenomo
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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Mejor expresarlo en funcioacuten de XC que es seguacuten [ 2 ] XC = 10 p
L y tambieacuten podemos
descartar el signo que no nos interesa
IP= ln 10
L∙
( XC 10
)2
radic 1 - ( XC 10
)2
[ 19 ]
Todaviacutea seriacutea mejor dado que comparamos la performance para la obtencioacuten de senos de
aacutengulos expresar 119816119823 en funcioacuten del aacutengulo complementario
Siendo XC
10= sen XS = cos Xcomp
IP = ln 10
L ∙
cos2 Xcomp
sin Xcomp [ 20 ]
Figura 10 Escala Pitagoacuterica Seno(80ordm) = P(10ordm) = 09848
53 Senos con escalas trigonomeacutetricas diferenciales (Sd y C)
La escala diferencial de senos se construye seguacuten la expresioacuten
Sd = X
sen X
Luego para obtener el seno de un aacutengulo se despeja
sen x = X
Sd
Siendo expresado X en grados sexagesimales
Lo interesante del meacutetodo es que la misma escala D se aprovecha de 1 a 9 con factor 10
para representar aacutengulos de 10ordm a 90ordm y simultaacuteneamente de 1 a 10 para representar los senos
de 01 a 1 (para la deacutecada base)
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
144 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
Figura 11 Escala de Senos Diferenciales Seno(30ordm) = 05
Para operar se coloca el aacutengulo en grados sobre D luego se divide (resta de segmentos)
por el valor en la escala Sd muy convenientemente colocada en la reglilla para facilidad
operativa Y finalmente se lee el sen X en la misma escala D sobre el iacutendice de la reglilla
Y ahora es doacutende viene lo maacutes praacutectico de nuestras conclusiones Como hemos deducido
en iexclError No se encuentra el origen de la referencia la incertidumbre intriacutenseca de una
operacioacuten sin lecturas intermedias soacutelo depende de la escala de lectura final y no de la de
colocacioacuten del aacutengulo De esta forma no necesitamos preocuparnos de la incoacutemoda funcioacuten
Sd para nada soacutelo nos interesa la escala D ya estudiada Usaremos pues la expresioacuten [ 17 ]
Sin embargo vemos que hay de por medio otra operacioacuten de colocacioacuten de valor en la
escala Sd por lo que aquiacute 119847 seraacute igual a 3 en lugar de 2 empeorando potencialmente la
precisioacuten del valor obtenido
54 Comparacioacuten de los tres meacutetodos de obtencioacuten de Senos de aacutengulos
En el siguiente graacutefico comparamos la Incertidumbre de los tres meacutetodos seguacuten [ 17 ] con
119899 = 2 para S y con 119899 = 3 para Sd y seguacuten [ 20 ] con 119899 = 2 para P
En la Figura 12 vemos claramente que el meacutetodo con escalas S y P se comporta mucho
mejor para aacutengulos grandes que el meacutetodo usual con las escalas S y C Incluso globalmente
logramos algo maacutes de precisioacuten para estos aacutengulos que para los aacutengulos pequentildeoshellip
La posicioacuten de equilibrio se alcanza exactamente para los 45ordm aacutengulo a partir del cual es
conveniente usar la escala P con el aacutengulo complementario
En relacioacuten con el meacutetodo de trigonomeacutetricas diferenciales vemos que la precisioacuten
alcanzable es menor que con las escalas tradicionales debido a la introduccioacuten de la operacioacuten
de divisioacuten (salvo el pequentildeo entorno entre 57ordm y 10ordm que se obtiene en la deacutecada anterior a la
normal resultando maacutes preciso)
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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Figura 12 Incertidumbre estadiacutestica para hallar sen(x) por distintos meacutetodos usuales
55 Comparando meacutetodos de obtencioacuten de aacutengulos dado su seno
Para el caso estaacutendar tenemos simplemente la funcioacuten de incertidumbre de la escala S [ 13
] con 119899 = 2
Para el caacutelculo con escala P la ecuacioacuten y 119899 seraacuten los mismos aplicada sobre los aacutengulos
complementarios
Para el caacutelculo con escala inversa Sd (ISd) los aacutengulos se leen tambieacuten sobre la escala C
por lo que corresponde evaluar la incertidumbre de la escala C transformada en escala de
aacutengulos y con 119899 = 3
Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordm
Operacioacuten Con ayuda del cursor se alinea el valor del seno en la escala D y el mismo
valor del seno en la escala ISd como en una divisioacuten (resta de segmentos) el iacutendice de la escala
C apunta al aacutengulo sobre la escala D (multiplicar por 10 en esta deacutecada)
En la Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordmtambieacuten observamos el
aacutengulo 30ordm alineado con 05 en la escala S standard La mayor incertidumbre de la escala S se
ve muy claramente para el intervalo 80ordm - 90ordm en ambas escalas (marcados en verde)
Graficando la incertidumbre para los tres meacutetodos obtenemos la Figura 14
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
146 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
Figura 14 Incertidumbre estadiacutestica para hallar el arcoseno() por distintos meacutetodos
Vemos claramente que la menor alinealidad de la escala C por siacute sola permite al meacutetodo
de escala inversa de senos diferenciales tener resultados mejores que una regla estaacutendar al
momento de hallar aacutengulos por sus senos Especialmente para aacutengulos grandes y a pesar de
la penalizacioacuten de un 119899 = 3
Sin embargo siempre una regla con escalas S y P produce mejores resultados que las
demaacutes
6 Conclusiones
El meacutetodo de anaacutelisis de las escalas y operaciones a traveacutes de la incertidumbre intriacutenseca
resulta muy uacutetil para evaluar objetivamente la conveniencia de unas escalas y meacutetodos sobre
otros alternativos para mejorar la precisioacuten A su vez el meacutetodo nos permitioacute demostrar
algunos supuestos muy difundidos sobre las RC y rebatir otros con facilidad Entre las
conclusiones notables se destacan
- La incertidumbre intriacutenseca es una funcioacuten que variacutea a lo largo de la escala y puede
escribirse en funcioacuten de la posicioacuten geomeacutetrica de los valores de la escala o de los
valores de otra escala conveniente
- La incertidumbre de una escala es inversamente proporcional a su longitud fiacutesica
- La incertidumbre relativa de una escala logariacutetmica es constante
- La funcioacuten incertidumbre maacutexima absoluta de una operacioacuten con RC sin lectura
intermedia de valores estaacute dada solamente por la incertidumbre de la escala de
lectura final multiplicada por la cantidad de estimaciones 119951 Esta conclusioacuten es vital
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 147
porque nos permite prescindir del anaacutelisis de incertidumbre de las escalas que no son
las que usamos para leer el resultado
- Esta funcioacuten incertidumbre se evaluacutea simplemente en el punto de lectura del
resultado final (teniendo en cuenta los cambios de deacutecada pertinentes)
- La incertidumbre estadiacutestica en caacutelculos complejos seraacute menor a la maacutexima y variacutea
seguacuten el factor radic119951
- El nuacutemero 119951 de estimaciones suele ser un factor de gran influencia sobre la
incertidumbre producida en caacutelculos complejos por lo que es muy importante su
reduccioacuten
- Si la operacioacuten contiene lecturas intermedias el caacutelculo de la incertidumbre total no es
directo y debe realizarse agregando la propagacioacuten claacutesica de incertidumbre a traveacutes
de foacutermulas para los valores intermedios leiacutedos y recolocados
- La incidencia de las lecturas y colocaciones de valores intermedios en la
incertidumbre de un caacutelculo complejo puede ser muy importante y en general
conviene que estas operaciones sean evitadas cuando sea posible
- Queda suficientemente claro que las dificultades del problema de la precisioacuten superan
ampliamente la tiacutepica definicioacuten popular de ldquotres diacutegitos significativosrdquo Aunque
por supuesto no queda invalidada como una raacutepida aproximacioacuten al promedio de
precisioacuten para una regla estaacutendar
- Conclusiones Operativas expuestas como ejemplo
Las reglas con escala P son las maacutes precisas para las funciones trigonomeacutetrisas
directas e inversas
Las reglas con escalas trigonomeacutetricas diferenciales mejoran la precisioacuten de
una regla tiacutepica con escala S para las funciones inversas pero son
praacutecticamente ideacutenticas para las funciones directas
Para operaciones como z = radica ∙ b es algo maacutes preciso multiplicar sobre las
escalas cuadraacuteticas A B y leer la raiz en D
7 Agradecimientos
Deseo agradecer al Ing Santiago Higuera de Frutos por su estiacutemulo y apoyo para la
realizacioacuten del presente artiacuteculo y su ayuda para la revisioacuten y presentacioacuten del mismo
Tambieacuten quiero agradecer a los miembros de la agrupacioacuten ARC ldquoAmigos de las reglas de
caacutelculordquo y especialmente a su fundador Jorge Faacutebregas Zazza por su inmensa y desinteresada
tarea
8 Lectura Introductoria
HIGUERA DE FRUTOS Santiago Reglas de Caacutelculo Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Vol
VI Nuacutem 2 Octubre 2016
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
148 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
httpwwwreglasdecalculocom Web de Jorge Faacutebregas Zazza donde se expone su
vasta coleccioacuten de reglas de caacutelculo y manuales en espantildeol y cantidad de recursos uacutetiles
y links para interesados y coleccionistas particularmente un cursillo introductorio sobre
su uso en httpwwwreglasdecalculocomteoriaypracticahtm
Referencias
[1] TAYLOR John Robert An introduction to error analysis 2nd edition caps 3 y 5 University
Science Books California 1997
[2] LINDBERG Vern Uncertainties and error propagation httpsgooglzz0QuJ
Sobre el autor
Nombre Jorge Luis Victoria
Correo Electroacutenico jorgeluisvictoriaricogmailcom
Profesioacuten Profesional Autoacutenomo
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
144 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
Figura 11 Escala de Senos Diferenciales Seno(30ordm) = 05
Para operar se coloca el aacutengulo en grados sobre D luego se divide (resta de segmentos)
por el valor en la escala Sd muy convenientemente colocada en la reglilla para facilidad
operativa Y finalmente se lee el sen X en la misma escala D sobre el iacutendice de la reglilla
Y ahora es doacutende viene lo maacutes praacutectico de nuestras conclusiones Como hemos deducido
en iexclError No se encuentra el origen de la referencia la incertidumbre intriacutenseca de una
operacioacuten sin lecturas intermedias soacutelo depende de la escala de lectura final y no de la de
colocacioacuten del aacutengulo De esta forma no necesitamos preocuparnos de la incoacutemoda funcioacuten
Sd para nada soacutelo nos interesa la escala D ya estudiada Usaremos pues la expresioacuten [ 17 ]
Sin embargo vemos que hay de por medio otra operacioacuten de colocacioacuten de valor en la
escala Sd por lo que aquiacute 119847 seraacute igual a 3 en lugar de 2 empeorando potencialmente la
precisioacuten del valor obtenido
54 Comparacioacuten de los tres meacutetodos de obtencioacuten de Senos de aacutengulos
En el siguiente graacutefico comparamos la Incertidumbre de los tres meacutetodos seguacuten [ 17 ] con
119899 = 2 para S y con 119899 = 3 para Sd y seguacuten [ 20 ] con 119899 = 2 para P
En la Figura 12 vemos claramente que el meacutetodo con escalas S y P se comporta mucho
mejor para aacutengulos grandes que el meacutetodo usual con las escalas S y C Incluso globalmente
logramos algo maacutes de precisioacuten para estos aacutengulos que para los aacutengulos pequentildeoshellip
La posicioacuten de equilibrio se alcanza exactamente para los 45ordm aacutengulo a partir del cual es
conveniente usar la escala P con el aacutengulo complementario
En relacioacuten con el meacutetodo de trigonomeacutetricas diferenciales vemos que la precisioacuten
alcanzable es menor que con las escalas tradicionales debido a la introduccioacuten de la operacioacuten
de divisioacuten (salvo el pequentildeo entorno entre 57ordm y 10ordm que se obtiene en la deacutecada anterior a la
normal resultando maacutes preciso)
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410 Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo | 145
Figura 12 Incertidumbre estadiacutestica para hallar sen(x) por distintos meacutetodos usuales
55 Comparando meacutetodos de obtencioacuten de aacutengulos dado su seno
Para el caso estaacutendar tenemos simplemente la funcioacuten de incertidumbre de la escala S [ 13
] con 119899 = 2
Para el caacutelculo con escala P la ecuacioacuten y 119899 seraacuten los mismos aplicada sobre los aacutengulos
complementarios
Para el caacutelculo con escala inversa Sd (ISd) los aacutengulos se leen tambieacuten sobre la escala C
por lo que corresponde evaluar la incertidumbre de la escala C transformada en escala de
aacutengulos y con 119899 = 3
Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordm
Operacioacuten Con ayuda del cursor se alinea el valor del seno en la escala D y el mismo
valor del seno en la escala ISd como en una divisioacuten (resta de segmentos) el iacutendice de la escala
C apunta al aacutengulo sobre la escala D (multiplicar por 10 en esta deacutecada)
En la Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordmtambieacuten observamos el
aacutengulo 30ordm alineado con 05 en la escala S standard La mayor incertidumbre de la escala S se
ve muy claramente para el intervalo 80ordm - 90ordm en ambas escalas (marcados en verde)
Graficando la incertidumbre para los tres meacutetodos obtenemos la Figura 14
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Figura 14 Incertidumbre estadiacutestica para hallar el arcoseno() por distintos meacutetodos
Vemos claramente que la menor alinealidad de la escala C por siacute sola permite al meacutetodo
de escala inversa de senos diferenciales tener resultados mejores que una regla estaacutendar al
momento de hallar aacutengulos por sus senos Especialmente para aacutengulos grandes y a pesar de
la penalizacioacuten de un 119899 = 3
Sin embargo siempre una regla con escalas S y P produce mejores resultados que las
demaacutes
6 Conclusiones
El meacutetodo de anaacutelisis de las escalas y operaciones a traveacutes de la incertidumbre intriacutenseca
resulta muy uacutetil para evaluar objetivamente la conveniencia de unas escalas y meacutetodos sobre
otros alternativos para mejorar la precisioacuten A su vez el meacutetodo nos permitioacute demostrar
algunos supuestos muy difundidos sobre las RC y rebatir otros con facilidad Entre las
conclusiones notables se destacan
- La incertidumbre intriacutenseca es una funcioacuten que variacutea a lo largo de la escala y puede
escribirse en funcioacuten de la posicioacuten geomeacutetrica de los valores de la escala o de los
valores de otra escala conveniente
- La incertidumbre de una escala es inversamente proporcional a su longitud fiacutesica
- La incertidumbre relativa de una escala logariacutetmica es constante
- La funcioacuten incertidumbre maacutexima absoluta de una operacioacuten con RC sin lectura
intermedia de valores estaacute dada solamente por la incertidumbre de la escala de
lectura final multiplicada por la cantidad de estimaciones 119951 Esta conclusioacuten es vital
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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porque nos permite prescindir del anaacutelisis de incertidumbre de las escalas que no son
las que usamos para leer el resultado
- Esta funcioacuten incertidumbre se evaluacutea simplemente en el punto de lectura del
resultado final (teniendo en cuenta los cambios de deacutecada pertinentes)
- La incertidumbre estadiacutestica en caacutelculos complejos seraacute menor a la maacutexima y variacutea
seguacuten el factor radic119951
- El nuacutemero 119951 de estimaciones suele ser un factor de gran influencia sobre la
incertidumbre producida en caacutelculos complejos por lo que es muy importante su
reduccioacuten
- Si la operacioacuten contiene lecturas intermedias el caacutelculo de la incertidumbre total no es
directo y debe realizarse agregando la propagacioacuten claacutesica de incertidumbre a traveacutes
de foacutermulas para los valores intermedios leiacutedos y recolocados
- La incidencia de las lecturas y colocaciones de valores intermedios en la
incertidumbre de un caacutelculo complejo puede ser muy importante y en general
conviene que estas operaciones sean evitadas cuando sea posible
- Queda suficientemente claro que las dificultades del problema de la precisioacuten superan
ampliamente la tiacutepica definicioacuten popular de ldquotres diacutegitos significativosrdquo Aunque
por supuesto no queda invalidada como una raacutepida aproximacioacuten al promedio de
precisioacuten para una regla estaacutendar
- Conclusiones Operativas expuestas como ejemplo
Las reglas con escala P son las maacutes precisas para las funciones trigonomeacutetrisas
directas e inversas
Las reglas con escalas trigonomeacutetricas diferenciales mejoran la precisioacuten de
una regla tiacutepica con escala S para las funciones inversas pero son
praacutecticamente ideacutenticas para las funciones directas
Para operaciones como z = radica ∙ b es algo maacutes preciso multiplicar sobre las
escalas cuadraacuteticas A B y leer la raiz en D
7 Agradecimientos
Deseo agradecer al Ing Santiago Higuera de Frutos por su estiacutemulo y apoyo para la
realizacioacuten del presente artiacuteculo y su ayuda para la revisioacuten y presentacioacuten del mismo
Tambieacuten quiero agradecer a los miembros de la agrupacioacuten ARC ldquoAmigos de las reglas de
caacutelculordquo y especialmente a su fundador Jorge Faacutebregas Zazza por su inmensa y desinteresada
tarea
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httpwwwreglasdecalculocom Web de Jorge Faacutebregas Zazza donde se expone su
vasta coleccioacuten de reglas de caacutelculo y manuales en espantildeol y cantidad de recursos uacutetiles
y links para interesados y coleccionistas particularmente un cursillo introductorio sobre
su uso en httpwwwreglasdecalculocomteoriaypracticahtm
Referencias
[1] TAYLOR John Robert An introduction to error analysis 2nd edition caps 3 y 5 University
Science Books California 1997
[2] LINDBERG Vern Uncertainties and error propagation httpsgooglzz0QuJ
Sobre el autor
Nombre Jorge Luis Victoria
Correo Electroacutenico jorgeluisvictoriaricogmailcom
Profesioacuten Profesional Autoacutenomo
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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Figura 12 Incertidumbre estadiacutestica para hallar sen(x) por distintos meacutetodos usuales
55 Comparando meacutetodos de obtencioacuten de aacutengulos dado su seno
Para el caso estaacutendar tenemos simplemente la funcioacuten de incertidumbre de la escala S [ 13
] con 119899 = 2
Para el caacutelculo con escala P la ecuacioacuten y 119899 seraacuten los mismos aplicada sobre los aacutengulos
complementarios
Para el caacutelculo con escala inversa Sd (ISd) los aacutengulos se leen tambieacuten sobre la escala C
por lo que corresponde evaluar la incertidumbre de la escala C transformada en escala de
aacutengulos y con 119899 = 3
Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordm
Operacioacuten Con ayuda del cursor se alinea el valor del seno en la escala D y el mismo
valor del seno en la escala ISd como en una divisioacuten (resta de segmentos) el iacutendice de la escala
C apunta al aacutengulo sobre la escala D (multiplicar por 10 en esta deacutecada)
En la Figura 13 Escala Inversa de Senos Diferenciales arcseno(05) = 30ordmtambieacuten observamos el
aacutengulo 30ordm alineado con 05 en la escala S standard La mayor incertidumbre de la escala S se
ve muy claramente para el intervalo 80ordm - 90ordm en ambas escalas (marcados en verde)
Graficando la incertidumbre para los tres meacutetodos obtenemos la Figura 14
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
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Figura 14 Incertidumbre estadiacutestica para hallar el arcoseno() por distintos meacutetodos
Vemos claramente que la menor alinealidad de la escala C por siacute sola permite al meacutetodo
de escala inversa de senos diferenciales tener resultados mejores que una regla estaacutendar al
momento de hallar aacutengulos por sus senos Especialmente para aacutengulos grandes y a pesar de
la penalizacioacuten de un 119899 = 3
Sin embargo siempre una regla con escalas S y P produce mejores resultados que las
demaacutes
6 Conclusiones
El meacutetodo de anaacutelisis de las escalas y operaciones a traveacutes de la incertidumbre intriacutenseca
resulta muy uacutetil para evaluar objetivamente la conveniencia de unas escalas y meacutetodos sobre
otros alternativos para mejorar la precisioacuten A su vez el meacutetodo nos permitioacute demostrar
algunos supuestos muy difundidos sobre las RC y rebatir otros con facilidad Entre las
conclusiones notables se destacan
- La incertidumbre intriacutenseca es una funcioacuten que variacutea a lo largo de la escala y puede
escribirse en funcioacuten de la posicioacuten geomeacutetrica de los valores de la escala o de los
valores de otra escala conveniente
- La incertidumbre de una escala es inversamente proporcional a su longitud fiacutesica
- La incertidumbre relativa de una escala logariacutetmica es constante
- La funcioacuten incertidumbre maacutexima absoluta de una operacioacuten con RC sin lectura
intermedia de valores estaacute dada solamente por la incertidumbre de la escala de
lectura final multiplicada por la cantidad de estimaciones 119951 Esta conclusioacuten es vital
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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porque nos permite prescindir del anaacutelisis de incertidumbre de las escalas que no son
las que usamos para leer el resultado
- Esta funcioacuten incertidumbre se evaluacutea simplemente en el punto de lectura del
resultado final (teniendo en cuenta los cambios de deacutecada pertinentes)
- La incertidumbre estadiacutestica en caacutelculos complejos seraacute menor a la maacutexima y variacutea
seguacuten el factor radic119951
- El nuacutemero 119951 de estimaciones suele ser un factor de gran influencia sobre la
incertidumbre producida en caacutelculos complejos por lo que es muy importante su
reduccioacuten
- Si la operacioacuten contiene lecturas intermedias el caacutelculo de la incertidumbre total no es
directo y debe realizarse agregando la propagacioacuten claacutesica de incertidumbre a traveacutes
de foacutermulas para los valores intermedios leiacutedos y recolocados
- La incidencia de las lecturas y colocaciones de valores intermedios en la
incertidumbre de un caacutelculo complejo puede ser muy importante y en general
conviene que estas operaciones sean evitadas cuando sea posible
- Queda suficientemente claro que las dificultades del problema de la precisioacuten superan
ampliamente la tiacutepica definicioacuten popular de ldquotres diacutegitos significativosrdquo Aunque
por supuesto no queda invalidada como una raacutepida aproximacioacuten al promedio de
precisioacuten para una regla estaacutendar
- Conclusiones Operativas expuestas como ejemplo
Las reglas con escala P son las maacutes precisas para las funciones trigonomeacutetrisas
directas e inversas
Las reglas con escalas trigonomeacutetricas diferenciales mejoran la precisioacuten de
una regla tiacutepica con escala S para las funciones inversas pero son
praacutecticamente ideacutenticas para las funciones directas
Para operaciones como z = radica ∙ b es algo maacutes preciso multiplicar sobre las
escalas cuadraacuteticas A B y leer la raiz en D
7 Agradecimientos
Deseo agradecer al Ing Santiago Higuera de Frutos por su estiacutemulo y apoyo para la
realizacioacuten del presente artiacuteculo y su ayuda para la revisioacuten y presentacioacuten del mismo
Tambieacuten quiero agradecer a los miembros de la agrupacioacuten ARC ldquoAmigos de las reglas de
caacutelculordquo y especialmente a su fundador Jorge Faacutebregas Zazza por su inmensa y desinteresada
tarea
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vasta coleccioacuten de reglas de caacutelculo y manuales en espantildeol y cantidad de recursos uacutetiles
y links para interesados y coleccionistas particularmente un cursillo introductorio sobre
su uso en httpwwwreglasdecalculocomteoriaypracticahtm
Referencias
[1] TAYLOR John Robert An introduction to error analysis 2nd edition caps 3 y 5 University
Science Books California 1997
[2] LINDBERG Vern Uncertainties and error propagation httpsgooglzz0QuJ
Sobre el autor
Nombre Jorge Luis Victoria
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Figura 14 Incertidumbre estadiacutestica para hallar el arcoseno() por distintos meacutetodos
Vemos claramente que la menor alinealidad de la escala C por siacute sola permite al meacutetodo
de escala inversa de senos diferenciales tener resultados mejores que una regla estaacutendar al
momento de hallar aacutengulos por sus senos Especialmente para aacutengulos grandes y a pesar de
la penalizacioacuten de un 119899 = 3
Sin embargo siempre una regla con escalas S y P produce mejores resultados que las
demaacutes
6 Conclusiones
El meacutetodo de anaacutelisis de las escalas y operaciones a traveacutes de la incertidumbre intriacutenseca
resulta muy uacutetil para evaluar objetivamente la conveniencia de unas escalas y meacutetodos sobre
otros alternativos para mejorar la precisioacuten A su vez el meacutetodo nos permitioacute demostrar
algunos supuestos muy difundidos sobre las RC y rebatir otros con facilidad Entre las
conclusiones notables se destacan
- La incertidumbre intriacutenseca es una funcioacuten que variacutea a lo largo de la escala y puede
escribirse en funcioacuten de la posicioacuten geomeacutetrica de los valores de la escala o de los
valores de otra escala conveniente
- La incertidumbre de una escala es inversamente proporcional a su longitud fiacutesica
- La incertidumbre relativa de una escala logariacutetmica es constante
- La funcioacuten incertidumbre maacutexima absoluta de una operacioacuten con RC sin lectura
intermedia de valores estaacute dada solamente por la incertidumbre de la escala de
lectura final multiplicada por la cantidad de estimaciones 119951 Esta conclusioacuten es vital
Precisioacuten en las Reglas de Caacutelculo Jorge Luis Victoria
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porque nos permite prescindir del anaacutelisis de incertidumbre de las escalas que no son
las que usamos para leer el resultado
- Esta funcioacuten incertidumbre se evaluacutea simplemente en el punto de lectura del
resultado final (teniendo en cuenta los cambios de deacutecada pertinentes)
- La incertidumbre estadiacutestica en caacutelculos complejos seraacute menor a la maacutexima y variacutea
seguacuten el factor radic119951
- El nuacutemero 119951 de estimaciones suele ser un factor de gran influencia sobre la
incertidumbre producida en caacutelculos complejos por lo que es muy importante su
reduccioacuten
- Si la operacioacuten contiene lecturas intermedias el caacutelculo de la incertidumbre total no es
directo y debe realizarse agregando la propagacioacuten claacutesica de incertidumbre a traveacutes
de foacutermulas para los valores intermedios leiacutedos y recolocados
- La incidencia de las lecturas y colocaciones de valores intermedios en la
incertidumbre de un caacutelculo complejo puede ser muy importante y en general
conviene que estas operaciones sean evitadas cuando sea posible
- Queda suficientemente claro que las dificultades del problema de la precisioacuten superan
ampliamente la tiacutepica definicioacuten popular de ldquotres diacutegitos significativosrdquo Aunque
por supuesto no queda invalidada como una raacutepida aproximacioacuten al promedio de
precisioacuten para una regla estaacutendar
- Conclusiones Operativas expuestas como ejemplo
Las reglas con escala P son las maacutes precisas para las funciones trigonomeacutetrisas
directas e inversas
Las reglas con escalas trigonomeacutetricas diferenciales mejoran la precisioacuten de
una regla tiacutepica con escala S para las funciones inversas pero son
praacutecticamente ideacutenticas para las funciones directas
Para operaciones como z = radica ∙ b es algo maacutes preciso multiplicar sobre las
escalas cuadraacuteticas A B y leer la raiz en D
7 Agradecimientos
Deseo agradecer al Ing Santiago Higuera de Frutos por su estiacutemulo y apoyo para la
realizacioacuten del presente artiacuteculo y su ayuda para la revisioacuten y presentacioacuten del mismo
Tambieacuten quiero agradecer a los miembros de la agrupacioacuten ARC ldquoAmigos de las reglas de
caacutelculordquo y especialmente a su fundador Jorge Faacutebregas Zazza por su inmensa y desinteresada
tarea
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httpwwwreglasdecalculocom Web de Jorge Faacutebregas Zazza donde se expone su
vasta coleccioacuten de reglas de caacutelculo y manuales en espantildeol y cantidad de recursos uacutetiles
y links para interesados y coleccionistas particularmente un cursillo introductorio sobre
su uso en httpwwwreglasdecalculocomteoriaypracticahtm
Referencias
[1] TAYLOR John Robert An introduction to error analysis 2nd edition caps 3 y 5 University
Science Books California 1997
[2] LINDBERG Vern Uncertainties and error propagation httpsgooglzz0QuJ
Sobre el autor
Nombre Jorge Luis Victoria
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porque nos permite prescindir del anaacutelisis de incertidumbre de las escalas que no son
las que usamos para leer el resultado
- Esta funcioacuten incertidumbre se evaluacutea simplemente en el punto de lectura del
resultado final (teniendo en cuenta los cambios de deacutecada pertinentes)
- La incertidumbre estadiacutestica en caacutelculos complejos seraacute menor a la maacutexima y variacutea
seguacuten el factor radic119951
- El nuacutemero 119951 de estimaciones suele ser un factor de gran influencia sobre la
incertidumbre producida en caacutelculos complejos por lo que es muy importante su
reduccioacuten
- Si la operacioacuten contiene lecturas intermedias el caacutelculo de la incertidumbre total no es
directo y debe realizarse agregando la propagacioacuten claacutesica de incertidumbre a traveacutes
de foacutermulas para los valores intermedios leiacutedos y recolocados
- La incidencia de las lecturas y colocaciones de valores intermedios en la
incertidumbre de un caacutelculo complejo puede ser muy importante y en general
conviene que estas operaciones sean evitadas cuando sea posible
- Queda suficientemente claro que las dificultades del problema de la precisioacuten superan
ampliamente la tiacutepica definicioacuten popular de ldquotres diacutegitos significativosrdquo Aunque
por supuesto no queda invalidada como una raacutepida aproximacioacuten al promedio de
precisioacuten para una regla estaacutendar
- Conclusiones Operativas expuestas como ejemplo
Las reglas con escala P son las maacutes precisas para las funciones trigonomeacutetrisas
directas e inversas
Las reglas con escalas trigonomeacutetricas diferenciales mejoran la precisioacuten de
una regla tiacutepica con escala S para las funciones inversas pero son
praacutecticamente ideacutenticas para las funciones directas
Para operaciones como z = radica ∙ b es algo maacutes preciso multiplicar sobre las
escalas cuadraacuteticas A B y leer la raiz en D
7 Agradecimientos
Deseo agradecer al Ing Santiago Higuera de Frutos por su estiacutemulo y apoyo para la
realizacioacuten del presente artiacuteculo y su ayuda para la revisioacuten y presentacioacuten del mismo
Tambieacuten quiero agradecer a los miembros de la agrupacioacuten ARC ldquoAmigos de las reglas de
caacutelculordquo y especialmente a su fundador Jorge Faacutebregas Zazza por su inmensa y desinteresada
tarea
8 Lectura Introductoria
HIGUERA DE FRUTOS Santiago Reglas de Caacutelculo Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Vol
VI Nuacutem 2 Octubre 2016
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
148 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
httpwwwreglasdecalculocom Web de Jorge Faacutebregas Zazza donde se expone su
vasta coleccioacuten de reglas de caacutelculo y manuales en espantildeol y cantidad de recursos uacutetiles
y links para interesados y coleccionistas particularmente un cursillo introductorio sobre
su uso en httpwwwreglasdecalculocomteoriaypracticahtm
Referencias
[1] TAYLOR John Robert An introduction to error analysis 2nd edition caps 3 y 5 University
Science Books California 1997
[2] LINDBERG Vern Uncertainties and error propagation httpsgooglzz0QuJ
Sobre el autor
Nombre Jorge Luis Victoria
Correo Electroacutenico jorgeluisvictoriaricogmailcom
Profesioacuten Profesional Autoacutenomo
Jorge Luis Victoria Historias de Matemaacuteticas
148 | Revista ldquoPensamiento Matemaacuteticordquo Volumen VII Nuacutemero 1 Abrrsquo17 ISSN 2174-0410
httpwwwreglasdecalculocom Web de Jorge Faacutebregas Zazza donde se expone su
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Referencias
[1] TAYLOR John Robert An introduction to error analysis 2nd edition caps 3 y 5 University
Science Books California 1997
[2] LINDBERG Vern Uncertainties and error propagation httpsgooglzz0QuJ
Sobre el autor
Nombre Jorge Luis Victoria
Correo Electroacutenico jorgeluisvictoriaricogmailcom
Profesioacuten Profesional Autoacutenomo
