Predavanja

http://www.chem.bg.ac.rs/~mario/THV/

Veza modela atoma i dualisti čke prirode materije

Pri susretu dva talasa koja putuju žicom, amplitude im se sabiraju dajući rezultantni oblik talasa. Ako su talasi jednake amplitude a putuju suprotnim stranama žice, zbir njihovih amplituda u mestu susreta je nula, odnosno žica će se izravnati (A). Ako su talasi jednake amplitude a putuju istom stranom žice, zbir njihovih amplituda je udvostručena vrednost pojedinačne amplitude (B).

Elektron može da se posmatra kao stojeći talas. U atomu je takođe moguća konstruktivna ili destruktivna

interferencija elektronskog (stojećeg) talasa.

Samo određene vrednosti talasne dužine elektronskog talasa(primer levo) zadovoljavaju uslov stojećeg talasa i nema

destruktivne interferencije. Sve ostale vrednosti λ dovode do postepenog poništavanja talasa zbog destruktivne interferencije

Princip neodre đenosti1927. - Werner Karl Heisenberg (1901.-1976.) uvodi princip neodređenosti prema kom je proizvod neizvesnosti položaja (∆x). i neizvesnosti količine kretanja (∆p) čestice može biti približno jednak ili veći od h. (Neizvesnost položaja elektrona određena je njegovom talasnom dužinom)

Navedeni princip se može matematički uobličiti:

Taj princip pokazuje da, bez obzira koliko postupak merenja bio usavršen, nije moguće istovremeno odrediti tačan položaj i moment kretanja (a s tim i brzinu) čestice.

Jedna od zanimljivih posledica principa neodređenosti je činjenica da atomi u kristalima na 0 K moraju da vibriraju bar toliko (nulta energija vibracije)

da se preciznost kojom možemo izmeriti njihov položaj ograniči na <100%.

mvqpx

22

1 h

h ≥∆×∆⇒≥∆×∆

Primena principa neodre đenostiKoloidna čestica prečnika 1000 nm i mase 6ˣ10-16

Tačnost merenja položaja 1 nm (rezolucija el. mikroskopa 10-9 m)

Koja je granica neizvesnosti brzine kretanja čestice?

S tom neizvesnošću brzine, položaj čestice nakon 1s bi bio bi neodrediv u okviru 2×10-10 m ili 0.2 nm, samo 0.02% prečnika.Princip neodređenosti ne predstavlja problem za određivanje veličine takvih čestica. Za molekulske čestice, neodređenost postaje znatno veći problem pri određivanju veličine.

110916

1234

ms10m10kg10614,34

)smkgs(J10626,6

4

2

−−−−

−−

=××××

××=××=∆×××

≥∆

≥∆×∆

qm

hv

mvq

π

h

Šredingerova ma čkaMisaoni eksperiment koji opisuje na neki način suštinu kvantne teorije.

Postoji talasna funkcija psi (ψ) koja opisuje stanje u kome je mačka i živa i mrtva, tj. Superponira događaje.

Kopenhagenska interpretacija: posmatrač utiče na događaj.

Hju Everet: paralelni svetovi, posmatrač u momentu opservacije deli već podeljen sistem (mrtva/živa mačka) na dva sveta.

Još o ma čkama

Zašto elektron ne padne na jezgro?Prostor oko jezgra možemo zamisliti kao izuzetno mali levak čije stranice odgovaraju području elektrostatičkog privlačenja. Da bi elektron izleteo iz tog prostora mora da ga savlada. Kad je elektron privučen prema jezgru kulonovim silama, zapremina u kojoj može da se kreće naglo se smanjuje i zbog toga je poboljšano naše poznavanje njegovog položaja.

Heisenbergov princip kaže da poboljšavanjem poznavanja položaja elektronu raste neizvesnost brzine njegova kretanja (raste raspon njegove kinetičke energije). Zbog levkastog izgleda prostora u kom je lociran elektron, kinetička energija mu raste brže nego što mu pada potencijalna energija (zbog privlačenja s jezgrom suprotnog naelektrisanja). Uodređenom trenutku elektron će biti odbačen u prostor minimalne dozvoljene kinetičke energije koja je izjednačena s njegovom potencijalnom energijom. Taj prostor odgovara orbitali najstabilnije ljuske čiji je n = 1.

Oni koji nisu šokirani kada se prvi

put susretnu sa kvantnom teorijom

sigurno je nisu razumeli!

Niels Bohr

Schro edingerova jedna čina

Erwin Schro edinger 1926

Quantisirung als Eigenvertproblem, Annalen der Phys ik, 79(1926) 361,489; 80 (1926) 417; 81 (1926) 109

Zadatak: prona či jedna činu koja opisuje talase materije!

Schro edingerova jedna čina

Osnovni postulat kvantne mehanike koji opisuje kretanje, ekvivalentno Njutnovom zakonu o očuvanju energije.

Diferencijalna jednačina stajaćeg talasa.

ℌℌℌℌΨ = E Ψ

Rešavanjem Šredingerove jednačine dobijaju se talasne funkcije koje sadrže potpun opis sistema.

Za stacionarne sisteme, stabilne atome i molekule, koristi se vremenski nezavisna talasna funkcija

Kvantnomehaničkioperator energijeHAMILTONIJAN

Talasnafunkcijasistema

Energija sistemaopisanog funkcijom Ψ

Šredingerova jedna čina(vremenski zavisna i vremenski netavisna)

Vremenski nezavisna jednačina koristi de Broljovu relaciju:

Vremenski zavisna jednačina polazi od de Broljeve i Ajnštajnove relacije

E = hν

p

h=λ

X

Y

Z

Klasi čna mehanikaČestica u trodimenzionalnom prostoru ima slede će atribute

masa pozicija

brzina

m rr

dtrdv /rr =

Brzina promene mesta u vremenu

Izraz za totalnu energiju

ET = Ekin + Epot

E = T + V

Kinetička energija je posledica kretanja.

Potencijalna energija se javlja zbog uticaja sila.

Impuls i kineti čka energija

Kinetička energija se može napisati i kao:

Ili, koristeći izraz za impuls:

2

2mvEk =

vmprr =

m

pEk 2

2

=

Potencijalna energija i sila

V(x)

X

F=-dV/dxSile koje deluju u smeru smanjenja potencijalne energije

Sila po jednoj dimenziji

Sila F

Potencijalna energija VSila ima smer u kome se najbrže smanjuje(steepest descent)

gradVVF

edzdVedydVedxdVF zyx

−=∇−=

−−−=rr

rrrr

)/()/()/(

Klasi čni Hamiltonijan

Izraz za ukupnu energiju dat vrednostima potencijalne i kinetičke energije izražene kroz impuls zove se Hamiltonijan.

Za sisteme sa više čestica ukupna energija je zbir hamiltonovih funkcija, pri čemu član potencijalne energije mora da sadrži opis međusobnih interakcija čestica u sistemu.

fpotkin HrVm

pEEE =+=+= )(

2

2r

X

Y

Z

Kvantna mehanika

masa pozicija

impuls

m rr

vmprr =

Polazeći od klasične mehanike, posmatramo česticu mase m, pozicije ri impulsa (linearnog momenta kretanja) p=mv.

Čestica se kreće u potencijalu V(x,y,z)

Klasi čni Hamiltonijan(kompletno opisuje kretanje čestice ili sistema čestica)

H(q,p,t)

),,()(2

1

)(2

1)(

2

1

222

2

zyxVpppm

H

rVpm

rVppm

H

zyx +++=

+=+∗= rrrr

Kvantnomehani čki HamiltonijanKlasični Hamiltonijan H se transformiše u kvantnomehanički Ĥna sledeći način:

)ˆ,ˆ,ˆ()ˆˆˆ(2

1ˆ 222 zyxVpppm

HH zyxklas +++=→

Klasična mehanika Kvantna mehanika

x px

y py

z pz

xipxx x δ

δh→→ ˆ;ˆ

yipyy y δ

δh→→ ˆ;ˆ

zipyz z δ

δh→→ ˆ;ˆ

Jsh 341005457.1

2−×==

πh

),,(2

1

)ˆ,ˆ,ˆ()ˆˆˆ(2

1ˆ 222

zyxVziziyiyixixim

zyxVpppm

H yyx

+

×+

×+

×=

=+++=

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ hhhhhh

m

h

mxxixi 2

22

2

22

82 πδδ

δδ

δδ −=−−=× h

h

hh

),,(2

ˆ2

2

2

2

2

22

zyxVzyxm

H +

++−=

δδ

δδ

δδh

∑ +

++−=

iiii

iiii

zyxVzyxm

H ),,(2

ˆ2

2

2

2

2

22

δδ

δδ

δδh

Totalni drugi izvod se naziva Laplasov operator, ∇

),,(2

ˆ 2

2

2

2

2

2

22

zyxVm

H

zyx

+∇−=

++=∇

h

δδ

δδ

δδ

Postulat kvantne mehanike je da rešenja talasne funkcije ψ(x,y,z) u Šredingerovoj jednačini sadrže sve kinetičke informacije o čestici koja se kreće u potencijalu V(x,y,z).

Ψ=Ψ+

Ψ+Ψ+Ψ∇−

Ψ=Ψ+Ψ∇−

Ψ=Ψ

EzyxVzyxm

rErrVrm

zyxEzyxH

),,(2

)()()()(2

),,(),,(ˆ

2

2

2

2

2

22

2

22

δδ

δδ

δδh

rrrrh

Šta sada znamo?

Umesto da česticu opisujemo položajem u prostoru (koordinatama) i momentom kretanja

(brzinom), mi je opisujemo TALASNOM FUNKCIJOM

koja predstavlja funkciju svih koordinata čestice i vremena.

ΨΨΨΨ=ΨΨΨΨ(x,y,z,t)

Šta smo (nadam se) do sada nau čili?

Definicije:

- linearnog momenta kretanja (impulsa, pm)

- kinetičke energije (p2/2m)

- potencijalne energije

Vezu između sile F i potencijalne energije V

Definiciju Hamiltonijana H kao sume kinetičke i potencijalne energije, sa potencijalnom energijom datom preko linearnog momenta kretanja

Za jednu česticu:

)( VF ∇−=rr

)(2

2

rVm

pH

r+=

Fizičko značenje talasne funkcije

Fizičko značenje se pripisuje kvadratu talasne funkcije.

Po Bornu se Ψ2 (ili Ψ∗Ψ za kompleksne funkcije) tumači kao raspodela verovatno će za česticu tako da je verovatnoća nalaženja čestice u malom elementu prostora dv srazmerna sa Ψdv.

Odavde proizilazi važan granični uslov:

Njegovo značenje je da za datu česticu postoji matematička izvesnost da će se naći negde u celokupnom prostoru.

Ψ(x)∗Ψ(x) je po Bornu najjednostavnija realna veličina.

∫ =Ψ 12dvNormiranje talasne funkcije!

Talasna funkcija nije merljiva fizi čka veli čina

Ψp(x) opisuje česticu tačnog impulsa p. Ψ-p(x) opisuje česticu tačnogimpulsa -p. Obe funkcije su kompleksne.

Funkcije Ψ1(x) i Ψ2(x) su realne. Ali svaka od njih opisuje česticu u „šizofreničnom“ stanju, u kome ona ima istovremeno impuls p i –p. U klasičnoj teoriji takvo stanje je nemoguće.

Kompleksnost funkcije Ψ je njeno fundamentalno stanje, i zato Ψ ne može da predstavlja merljivu veličinu.

h

xpi

p ex =Ψ )( h

xpi

p ex−

− =Ψ )(

hh

xpix

xpx pppp cos2)()( cos2)( 21 −=Ψ−Ψ=Ψ=Ψ+Ψ=Ψ −−

xx

λ λ

h

xpxcos

2cos1 =

=Φλπ

h

xpxsin

2sin2 =

=Φλπ

Obe talasne funkcije predstavljaju talas talasne dužine λ.Svaka linearna kombinacija Φ1 i Φ2 takođe predstavlja talas talasne

dužine λ i impulsa p.

Koju linearnu kombinaciju treba uzeti?

Iz vremenskog razmatranja se dobija:

h

xpi

p eix =Φ+Φ=Ψ 21)( h

xpi

p eix−

− =Φ−Φ=Ψ 21)(

Ψp predstavlja talas koji se kreće na desno (talasne dužine λ i impulsa p)Ψ-p predstavlja talas koji se kreće na levo (talasne dužine λ i impulsa -p)

Talasna jednačina?

p>0

Obe jednačine možemo da zapišemo kao:

)()( xpxdx

di pp Ψ=Ψ− h )()( xpx

dx

di pp −− Ψ−=Ψ− h

Ψ=Ψ→←−= ppdx

dip ˆ impulsaoperator ˆ h

Jednačina sopstvenih vrednosti za operator impulsa

)()(ˆ xpxp pp Ψ=Ψ

dx

dip h−=ˆ

sopstvena vrednost operatora impulsaoperator impulsa sopstvena funkcija

operatora impulsa

h

xpi

p ex =Ψ )(

ΨΨΨΨp(x) je funkcija koja predstavlja česticu u stanju (tačnog!) impulsa p (i u stanju potpuno neodre đenog položaja!).

To je kompleksna funkcija!

Ako je A linearni operator vektorskogprostora V nad poljem k, vektor x∈V (x≠0)

nazivamo sopstveni vektor linearnogoperatora. Ako postoji skalar x∈k takav da je

Ax=λx skalar λ naziva se odgovarajućasopstvena vrednost.

Oba talasa Ψp (čestica se kreće na desno) i Ψ-p (čestica se kreće na levo) imaju istu kinetičku energiju. T=p2/2m

Svaka linearna kombinacija Ψp i Ψ-p predstavlja talas čestice koja ima kinetičku energiju T.

hh

xpi

xpi

T beaex−

+=Ψ )(

proizvoljne konstante

ψT(x) zadovoljava jednačinu operator kinetičke energije

)()(ˆ xTxT TT Ψ=Ψ2

222

22

ˆˆdx

d

mm

pT

h−==

Jednačina sopstvenih vrednosti za operator kineti čke energije

Čestica tačnog impulsa p ima tačnu kinetičku energiju T=p2/2m.

Ove veličine predstavljaju opservable.

To su linearni hermitski operatori.

)()(ˆ xTxT pp Ψ=Ψ )()(ˆ xTxT pp −− Ψ=Ψoperator kinetičke energije

2

222

22

ˆˆdx

d

mm

pT

h−==

Opservabla sistema je osobina stanja sistema koja se može odrediti nekom sekvencom fizičkih operacija.Na primer, ove operacije mogu podrazumevati

podrvgavanje sistema različitim elektromagnetnim poljima i očitavanje vrednosti.

Operator A je Hermitski ako A=AT. Hermitski operator zadovoljava uslov <y|A|f>=<f|A|y>*.

)()(ˆ xpxp pp Ψ=Ψdx

dip h−=ˆ Operator impulsa

2

222

22

ˆˆdx

d

mm

pT

h−== Operator kinetičke energije)()(ˆ xTxT TT Ψ=Ψ

Ako je A linearni operator vektorskogprostora V nad poljem k, vektor x∈V (x≠0)

nazivamo sopstveni vektor linearnogoperatora. Ako postoji skalar x∈k takav da je

Ax=λx skalar λ naziva se odgovarajućasopstvena vrednost.

Ψ=Ψ aA

jednačinesopstvenih

vrednosti

Linearni (hermitski) operator (opservabla)

Sopstvena funkcija(stanje sistema)

Sopstvena vrednost (iznos opservable)

Eigenfunkcija - sopstvena (svojstvena) funkcijaEigenvrednost - sopstvena (svojstvena) vrednost

Eigenfunkcija operatora Ȃ je funkcija f takva da primena Ȃ na f daje opet f pomnoženo nekom konstantom.

Ȃ f= kfGde je k konstanta zvana eigenvrednost . Lako je pokazati da, ako je Ȃ linearni

operator sa eigenfunkcijom g, tada je umnožak g takođe eigenfunkcija Ȃ. Kada je sistem u eigenstanju opservable A (npr. kada je eigenfunkcija operatora Ȃ talasna

funkcija), onda je očekivana vrednost A eigenvrednost talasne funkcije.

Ψ=Ψ aA

stanje sistema

opservabla

Ovo je isto za svaku opservablu, pa tako i za energiju:E = T + V = (p2/2m) + V(x)

kinetička energija potencijalna energija

)(2

)ˆ(2

ˆ2

222

xVdx

d

mxV

m

pH +−=+= h

Operator energije (Hamiltonijan ) Operator prostora

HΨ = E ΨHamiltonijan sistema Energija sistema

Šredingerova jedna čina

U slučaju jedne čestice u jednoj dimenziji

Šredingerova jednačina za jednočestični jednodimenzionalni sistem:

)(2 2

22

xVdx

d

mH +−= h

)()()(2 2

22

xExxVdx

d

mΨ=Ψ

+− h

Šredingerova jedna čina u više dimenzijai sa više čestica

Jedna čestica u tri dimenzije (u prostoru):

)()()(2

22

rrr Ψ=Ψ

+∇− EV

m

h

Operator kineti čkeenergije

Šredingerova jedna čina za jednu česticu u tri dimenzije (u prostoru)

( )yzx ,,≡r

22

2

2

2

2

2

22222

222

ˆˆˆˆ ∇−≡

∂∂+

∂∂+

∂∂−=

++=

mzyxmm

pppT zyx hh

zip

yip

xip zyx ∂

∂−=∂∂−=

∂∂−= hhh ˆ,ˆ,ˆ

Operatori komponentiimpulsa

211, ∇r 2

22 , ∇r 2, ii ∇r

Više čestica:

prva čestica druga čestica i-ta čestica

21

1

2

1 2ˆ ∇−=

mT

h

22

2

2

2 2ˆ ∇−=

mT

h 22

2ˆ

ii

i mT ∇−= h

.......

.......operatori kineti čkihenergija čestica

operator ukupne kineti čkeenergije n čestica nTTTT ˆˆˆˆ

21 +++= K

[ ] ),,(),,(),,(ˆ212121 KKK rrrrrr Ψ=Ψ+ EVT

Ukupni potencijal (zavisi od svih čestica)

Ukupna talasna funkcija (zavisi od svih čestica)

Vremenski za visna Schrödingerova jednačina

Koristimo Ajnštajnovu relaciju

Talasna funkcija Hamiltonijan sistema(stanje sistema) (operator energije sistema)

νhE =

),(),( txHtxt

i Ψ=Ψ∂∂

h

Heuristi čki izvod(heuristi čki metod – upotreba iskustveno baziranih tehnika za

rešavanje problema, u čenje i otkrivanje zadooljavaju ćeg rešenja)

Stanje sistema čiste energije E zadovoljava HΦΦΦΦ(x) = EΦΦΦΦ(x) Stanje energije E ima frekvenciju ν = E/h. To je opisano:

Dakle:

Stanje energije E i frekvencije νννν ! Zadovoljava vremenski zavisnu Schrödingerovu jedna činu!

Svaka linearna kombinacija takvih stanja tako đe zadovoljava tu jednačinu!

h/2)( iEtt eet −− == πνϕ

hiEtextx −⋅Φ=Ψ )(),(

Vremenski za visna Schrödingerova jednačina

Postulira se:Svako rešenje te jednačine je moguće stanje sistema!

Svako moguće stanje sistema je rešenje te jednačine!

Uopšteno:

ak su proizvoljni koeficjenti

Funkcije Φk zadovoljavaju:

),(),( txHtxt

i Ψ=Ψ∂∂

h

∑−

Φ=Ψk

tEi

kk

k

exatx h)(),(

kkk E Φ=ΦH

Stacionarna stanjahiEtextx −⋅Φ=Ψ )(),(

),(),(),( txtxtx ΨΨ≡ ∗ρ

Gustina verovatno će nalaska čestice na mestu x u čas t!U gornjem slu čaju je:

)()(),( xxtx kk ΦΦ≡ ∗ρ

To ne zavisi od vremena! Važi za svaku observablu (ne samo za ρρρρ)Gornje stanje je stacionarno stanje!

Stanje Ψ(Ψ(Ψ(Ψ(x,t) je stacionarno stanje!

∑−

Φ=Ψk

tEi

kk

k

exatx h)(),(

Opšte stanje je oblika:

To je linearna kombinacija stacionarnih stanja!U kvantnoj teoriji svako dinamičko (vremenski promenljivo)

stanje je linearna kombinacija stacionarnih (vremenski nepromenljivih) stanja!

Svako stanje kretanja je kombinacija

dva ili više stanja mirovanja!

Razlika klasi čnih i kvantnih stacionarnih stanja

Po definiciji, stacionarno stanje sistema je ono stanje koje se u vremenu ne menja.

Sva rešenja vremenski nezavisne Schrödingerove jednačine su stacionarna stanja!

Stanje sistema u kome sistem ima tačno određen impuls p. ΨΨΨΨp se ne menja u vremenu. Dakle, to je stacionarno stanje!

U klasičnoj teoriji čestica impulsa p se kreće i vremenom menja svoj položaj. Dakle, to je vremenski promenljivo stanje!

ppp pdx

dip Ψ=Ψ−≡Ψ hˆ h

xpi

p ex =Ψ )(

Razlika klasi čnih i kvantnih stacionarnih stanja (nastavak)

Čestica tačno odre đenog impulsa u klasičnoj teoriji se nalazi u dinamičkom (vremenski promenljivom) stanju. U kvantnoj teoriji čestica tačno odre đenog impulsa se nalazi u stacionarnom stanju!

Čestica tačno odre đenog impulsa je takođe i čestica ta čno određene energije . Uopšteno, čestica tačno odre đene energije u kvantnoj teoriji se nalazi u stacionarnom stanju. U klasičnoj teoriji čestica tačno odre đene energije može biti i u stacionarnom i u dinamičkom (vremenski promenljivom) stanju.

Stacionarna stanja u klasi čnoj i u kvantnoj teoriji se suštinski razlikuju!

Upitamo li se, na primer, da li položajelektrona ostaje isti, moramo da kažemo“ne”; ako pitamo da li se položaj elektronamenja u vremenu, moramo da kažemo “ne”; pitamo li da li se kreće, moramo reći “ne”.

J. Robert Oppenheimer,Science and Common Understanding

Zaklju čak• Svako stanje sistema opisuje se talasnom

funkcijom ΨΨΨΨ• Talasna funkcija Ψ Ψ Ψ Ψ daje potpun opis

sistema

• Talasna funkcija Ψ Ψ Ψ Ψ je neprekidna (u svim varijablama), i svi njeni izvodi su neprekidni

• Dinami čke veli čine (p, x, T, E,...) se opisuju linearnim Hermitskim operatorima

Osnovno pridruživanje dinami čkih veli čina:

xipp xx ∂

∂−=→ hˆy

ipp yy ∂∂−=→ hˆ

zipp zz ∂

∂−=→ hˆ

yyy =→ ˆxxx =→ ˆ zzz =→ ˆ

složeno pridruživanje:

)(2

)(2

ˆ)(2 2

2222

xVxm

xVm

pHExV

m

pE xx +

∂∂−=+==→+= h

2

2222

22

ˆˆ2 xmm

pT

m

pT x

xx

x ∂∂−==→= h

Sve dinami čke veli čine mogu imati ta čno odre đenevrednosti (kao u klasi čnoj teoriji), ali tako đe i neodre đene

“razmazane” vrijednosti!

operator energije u jednoj dimenziji

operator kineti čke energije u jednoj dimenziji

Svakoj dinamičkoj veličini A odgovara jednačina sopstvenih vrednosti:

- operator koji predstavlja dinamičku veličinu A(linearni hermitski operator) - je opservabla!

ai – sopstvene vrednosti operatora Fi – sopstvene funkcije (vektori) operatora

i – indeks, numeriše različite moguće sopstvene funkcije i sopstvene vrijednosti

Ako se sistem nalazi u stanju Φi tada merenje veličine A daje tačnu vrednost ai

iii aA Φ=Φˆ

A

A

Posebnu ulogu ima jednačina sopstvenih vrednosti operatora energije H (Hamiltonijan sistema). To je (vremenski nezavisna) Schrödingerova jednačina

Ψ – sopstvena funkcija Hamiltonijana; opisuje stacionarno (vremenski nepromenljivo ) stanje sistema

Ei – sopstvena vrednost Hamiltonijana; energija koju ima sistem kad se nalazi u stanju Ψ

Za jednu česticu u jednoj dimenziji je:

Ψ nije merljiva fizička veličina!

iii EH Ψ=Ψ

)(2

ˆˆ2

xVxm

VT +∂∂−≡+= h

H

Šredinger - ΨΨΨΨ = $ = = $ = = $ = = $ = €€€€

Kvantifikovanje enegije i Šredingerova jedna čina

Kvantiranost energije iz Šredingerove jednačine

Čestica u kutiji – jednodimenzionalniprostor konstantne energije sa granicama beskonačne potencijalne energije. Potencijalna energija čestice V0 = 0

Klasično rešenje je jednostavno.

Rešenje Šredingerove jednačine pokazuje njeno kvantno ponašanje. Ono proizilazi iz početnih uslova.

Vremenski nezavisna Šredingerova jednačina: )()()(

2)(

2

22

xxVxdx

d

mxE Ψ+Ψ−=Ψ h

U kutiji nema potencijala, (V(x)=0, a za x=0 i x=L V(x)=∞), pa

Jednačina ima opšte rešenje oblika:

Gde A i B mogu biti bilo koji kompleksni brojevi, dok k mora biti realan broj jer je E realan broj. Da bi našli rešenje, moramo definisati granične uslove (naći A i B koji te uslove zadovoljavaju).

Za x = 0 i x = L, Ψ(x) = 0 jer se čestica odbija od zidova kutije (visoki potencijal), odnosno verojatnoća da je tu nađemo je beskonačno mala, odnosno 0 = |Ψ(x)|2. To je jedino moguće ako Ψ(0) = 0 i Ψ(L) = 0.

)(2

)(2

22

xdx

d

mxE Ψ−=Ψ h

m

kEkxBkxA

2 i )cos()sin(

22h=+=Ψ

Uz ove uslove, za x = 0 mora da važi B = 0 jer cos(0) ≠ 0, pa talasna funkcija ima oblik:

Ψ(x) = A sin(kx)

pa za x = L važi Ψ(L) = A sin (kL) = 0

Jedno od rešenja za taj slučaj je A = 0, ali bi to rešenje značiloda je Ψ = 0 svuda u kutiji, da je čestica izbačena iz kutije.

Ako je A ≠ 0, onda mora da važi da je sin(kL) = 0. Ova jednakost važi samo za k = nπ/L.

Da bi čestica bila u kutiji (Ψ2 > 0) mora da bude ispunjeno da je n > 0 (inače joj je Ψ = 0).

n je pozitivan ceo broj, negativne vrednosti n se ne uzimaju u obzir jer daju iste funkcije kao i pozitivne vrednosti uz fizički nevažnu promenu znaka.

Opšta jednačina (u stvarnosti jednačinu bi trebalo pomnožiti sa određenom vrednosti A) koja određuje talasnu česticu u kutiji ima oblik:

Odnos energija prve 4 talasne funkcije je:

L

xnx πλπ

sin2

sin ==Ψ

Neke putanje čestice u kutiji.A - prema Njutnovim zakonima klasične mehanikeB-F - prema Šredingerovoj jednačini kvantne mehanikeKod B-F horizontalna osa je položaj, a vertikalna predstavlja realan (plavo) ili imaginaran (crveno) deo talasne funkcije. Stanja B, C i D su svojstvena (eigen), dok E i F nisu.

Za česticu u 2D “bunaru” pri n=4 imamo npr.

Da bi pronašli stvarnu vrednost A, talasnu funkciju normalizujemouslovom da je verovatnoća nalaženja čestice u kutiji 100% (čestica ne može biti izvan kutije), odnosno integral |Ψ(x)|2 za svevrednosti x mora biti jednak 1:

Celobrojna konstanta n osigurava stabilnost talasa pridruženog toj talasnojfunkciji.

Za n = 1 talasna funkcija je pozitivna, postaje 0 na zidovima (x = 0 i x = L).

Za n = 2 talasna funkcija je pozitivna za 0 < x < ½L, a negativna ½L < x < L, prolazi kroz 0 u tački koja polovi kutiju. Ova tačka se zove čvor, a zatrodimenzionalne talasne funkcije čvorna ravan (veći broj čvornih ravni ukazuje na veću frekvenciju talasa, odnosno kraću talasnu dužinu).

LA

LAdxkxAdxx

L

2

2)(sin)(1

0

2222

=

⇓

==Ψ= ∫∫∞

∞−

Prvih pet (n=1-5) normalizovanih talasnih funkcija začesticu u kutiji. Svaka Ψ je stajaći talas, a u svakojsledećoj Ψ postoji jedan polutalas više dok im je

λ (=2L/n) je kraća.

Talasni paketTalasni paket predstavlja dinamičko, vremenski promenljivo stanje sistema. To stanje nema tačnu energiju, lokalizovano je u prostoru, i linearna je kombinacija stanja tačne energije.

Talasni paket kao superpozicija stanja tačne energije. Realna komponenta talasnog paketa (u t=0) koji je superpozicija svih ravnih talasa ΨΨΨΨp(x,t)=exp(ixp/ ħ) exp(-iE pt/ħ) impulsa p u intervalu od (p0-∆∆∆∆p/2) do (p0+∆∆∆∆p/2). Uzeli smo da je ∆∆∆∆p=p0/4. Kod slobodne čestice koja se kreće u jednoj dimenziji bez uticaja potencijala (V=0) ravni talas ΨΨΨΨp(x,t ) ima tačnu energiju Ep=p2/2m.

Talasni paketU fizici, talasni paket je kratak izboj talas koji putuju kao jedinica. Može biti rastavljen na (ili sastavljen od) bekonačan broj sinusoidnih talasa različitog talasnog broja, sa fazama koje su takve da konstruktivno interferiraju samo u malom delu prostora. Kvantna mehanika ga opisuje kao talas verovatnoće koji opisuje verovatnoću da će čestice ili čestica u određenom stanju imati određenu poziciju i moment, slično kao talasna funkcija.

TUNELSKI EFEKTDe Broljeva ideja materije kao talasa sugeriše postojanje ovog važnog efekta dok ga Šredingerova jednačina prikazuje.

Za razliku od klasične mehanike, kvantna mehanika dopušta talasima/česticama da se pojave i sa druge strane potencijalne barijere. Zid je npr. “zid potencijala”, svaka čestica mora imati energiju veću od izvesne veličine da bi prešla kroz i pojavila se na drugoj strani. Ali čak i kada je energija čestice manja od toga, može proći kroz barijeru, pojavljujući se na drugoj strani kao talas, pošto oscilacija može proći kroz “zid”.

Heisenberg -ov princip

Ako naša merenja traju neko vreme ∆∆∆∆t, onda ne možemo odrediti energiju bolje od ∆∆∆∆E

� Normalno, kola mogu doći samo do tačke C, pre nego

što padnu nazad.

� Ali fluktuacije u energiji ih mogu prevesti preko barijere

do E.

Zamislite tobogan...

Početna pozicija sa brzinom 0.

Kvantni tunelski efekt

Čestica ‘pozajmljuje’ energiju ∆∆∆∆E da bi prešla preko barijere

Ovo ne narušava princip neodređenosti, ako se ova energija „nadoknadi“ u vremenu∆∆∆∆t

Što je viša barijera, manje je verovatno da će doći do tuneliranja-.

Primer kvantnog tunelskog efekta:radioaktivnost

Privlačni nuklearniPotencijalni bunar Odbojni

elektrostatičkipotencijal

Energijaα-čestice

Alfa radioaktivnojezgro

Primene kvantnog tuneliranja

Scanning tunnelling microscope

Tunnel diode

Josephson junction

Scanning Tunnelling Microscope

Tungsten STM tip (photo taken with an SEM)

Atomi gvož đa na bakru

35 atoma ksenona na niklu

Da je Plankova konstanta mnogo veća...

Prevrnuta konzerva zbog kvantne fluktuacije položaja

Trebalo bi čekati 101033godina!!

Verovatnoća da se u toku vašeg života nađete teleportovani na Marsu i bar na momenat živi:

Kvantna teleportacija

1 od 101051

� Ali kvantna teleportacija je dostigunta za fotone

“Beam me up”

Posledice kvantnog čudaštvaAjnštajnov mesec

Šredingerova mačka

EPR paradoks

Ajnštajnov mesec

Postoji li mesec ako ga niko ne gleda?

Kopenhagenska interpretacija: NE! Mesec postoji samo u formi verovatnoće talasne funkcije.

Samo kad ga pogledamo, ove talasne funkcije kolabiraju na određeno, definisano stanje

Konflikt između subjektivne i objektivne realnosti.

Einstein -Podolsky -Rosen (EPR) paradoks

Raspad piona

Elektron i pozitron imaju suprotne spinove

EPR paradoks (cont’d)

Neka elektron i pozitron odlete jako daleko

Izmetite spin jednog, npr. elektrona

Ovo će istog momenta odrediti spin pozitrona

Eksperimentalno potvrđeno (Aspect, 1982)

Ne-lokalnost kvantne mehanike

Događaji u Regionu Bmomentalno

davise od događajau Regionu A

Događaji u Regionu Amomentalno

davise od događajau Regionu B

jako udaljeni prostori

Einstein: “Spooky action at a distance”

Da li je ovo kontradiktorno specijalnoj relativnosti?

Tj. možemo li ovo koristiti da šaljemo poruke brže od svetla?

NE! Jer ishod je potpuo probablilistički

Nikada ne bi unapred znali hoće li elektron imati spin na gore ili na dole

Niels Bohr:

“Anyone who is not shocked by quantum theory has not understood it.”

Richard Feynman:

“… I think I can safely say that nobody understandsquantum mechanics.”

Interpretacija elektronske talasne funkcije

ψ može da ima pozitivne i negativne vrednosti, a može biti realna ili kompleksna funkcija. Max Born je predložio interpretaciju talasne funkcije na sledeći način.

Interpretacija elektronske talasne funkcije

Ako je ψ realna, tada je vrednost ψ2dτ (dτ = dx dy dz) srazmerna verovatno ći da će se elektron naći u prostoru dτ. Ako je ψ kompleksna tada je vrednost ψψ* dτ srazmerna verovatno ći da će se elektron naći u prostoru dτ (ψ* je konjugovano kompleksna funkcija funkciji ψ, tj. to je ψ u kojoj je promenjen predznak svim članovima koji sadrže i = √-1).

Ako želimo da srazmernost talasne funkcije verovatnoći nalaženja elektrona u prostoru zamenimo sa stvarnom vrednošću verovatnoće nalaženja elektrona, talasnu funkciju treba normalizovati. Za to koristimo činjenicu da za ukupan prostor važi 100%-tna verovatnoća nalaženja elektrona, pa se integraljenjm po beskonačnim koordinatama dobija izraz:

Interpretacija elektronske talasne funkcije

Ako integral talasne funkcije u prostoru ne daje rezultat 1 nego neko b (∫ΦΦ*dτ = b), onda možemo da napišemo:

Nova talasna funkcija Ψ=Φ/√b je normalizovana talasna funkcija kojoj ΨΨ*dτ ispravno pokazuje verovatnoću nalaženja elektrona u ma kom delu prostora.

Prostor s 90%-tnom verovatnoćom nalaženja elektrona oko jezgra zove se atomska orbitala .

∫ ∫ ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

=ΨΨ=ΨΨ 1 ili 1 ** τddxdydz

1 odnosno 1**

=ΦΦ=ΦΦ∫ ∫ ττ d

bbd

b