Stabilnost konstrukcija, predavanja dr Ratko Salati 1 3. STABILNOST TAPA 3.1 TEORIJE LINIJSKIH NOSAA

Teorija prvog reda (Linearna teorija) Teorija drugog reda

Linearizovana teorija drugog reda Teorija konanih deformacija

Teorija I reda (Linearna teorija) primenjuje se pri proraunu konstrukcija kod kojih su pomeranja i deformacije male veliine (masivne konstrukcije). Teorija II reda primenjuje se pri proraunu konstrukcija, kod kojih su male veliine deformacija (vitke konstrukcije). Teorija konanih deformacija primenjuje se kad se trai odgovor konstrukcije na dejstvo optereenja veeg od kritinog optereenja , odreenog po teoriji drugog reda. 3.2 PRETPOSTAVKE TEHNIKE TEORIJE SAVIJANJA TAPA U RAVNI

ravan tap - Jedna od glavnih osa inercije poprenog preseka tapa lei zajedno sa osom tapa u jednoj ravni, ravni tapa.

ravna deformacija tapa Pomeranja taaka tapa su u ravni koje su paralelne ravni tapa.

konzervativno optereenje Optereenje iji rad pri deformaciji ne zavisi od putanje napadnih taaka sila, ve samo od poetnog i krajnjeg poloaja tih taaka.

mrtvo optereenje Konzervativno optereenje koje pri deformaciji ne menja ni pravac ni intenzitet, pa se moe smatrati da je optereenje zadato po jedinici nedeformisanog tapa.

fizika linearnost problema - veze izmeu napona i deformacija su linearne tj. vai Hook-ov zakon .

linearna raspodela temperature Temperatura se linearno menja po visini preseka, da bi deformacija usled temperature bila afina sa deformacijom usled optereenja.

male deformacije (geometrijska linearnost problema) Deformacije su male veliine, pa se mogu zanemariti kvadrati i vii stepeni deformacijskih veliina, kao i kvadrati i vii stepeni njihovih izvoda. Posledica pretpostavke je da su veze izmeu pomeranja i deformacija linearne.

mala pomeranja (statika linearnost problema) Pomeranja su male veliine, pa se mogu zanemariti kvadrati i vii stepeni pomeranja, kao i kvadrati i vii stepeni njihovih izvoda. Posledica pretpostavke je da se uslovi ravnotee mogu postaviti na nedeformisanom tapu.

linearizovana teorija drugog reda Proizvod statike i deformacijske veliine po Teoriji II reda priblino je jednak je proizvodu istih nepoznatih, gde je statiki nepoznata odreena po Teoriji I reda:

tap prav pre deformacije ; 0; 0) zanemaruje se uticaj transverzalnih sila na deformaciju Klizanje tapa je 0 .

2 Stabilnost konstrukcija, predavanja dr Ratko Salati

Slika 3.1 Pomeranje i deformacija elementa tapa

Slika 3.2 Ravnotea elementa tapa

Tabela 3.1 Pregled osnovnih pretpostavki po teorijama tapa 3.3 OSNOVNE JEDNAINE TEHNIKE TEORIJE TAPA Nepoznate veliine u teoriji tapa:

tri statike veliine: , , dva translatorna pomeranja i obrtanje ose stapa: , , tri deformacijske veliine: , ,

Polazei od pretpostavke fizike linearnosti problema:

za tap koji je bio prav i horizontalan pre deformacije: ; 0; 0

jednaine se mogu grupisati u tri grupe po tri jednaine: veze izmeu pomeranja i deformacija (1,2,3)

1 1 cos 2 1 sin 3

uslovi ravnotee elementa tapa (4,5,6)

4 0 5 0 6 0

Teorija tapa Vae pretpostavke

Teorija velikih (konanih) deformacija A - - -

Teorija II reda A B - -

Linearizovana teorija II reda A B - D

Teorija I reda A B C - A - pretpostavka o linearno - elastinom ponaanju materijala B - pretpostavka o malim deformacijama C - pretpostavka o malim pomeranjima D - pretpostavka linearizacije teorije drugog reda

Stabilnost konstrukcija, predavanja dr Ratko Salati 3

Slika 3.3 Spoljne sile na element tapa

uz pretpostavku "mrtvog optereenja" 1 , jednaine postaju:

4 0 5 0 6 0

veze izmeu deformacijskih veliina, temperaturnih promena i sila u preseku (7,8)

7

8

9

gde je , a za komponente presenih sila vai:

cos sin cos sin

Devet uslovnih jednaina (1-9) sa devet nepoznatih veliina jednoznano definiu problem tehnike teorije savijanja tapa u ravni. Teorija konanih deformacija

Jednaine Teorije konanih deformacija usvajujui i pretpostavku o zanemarljivim uticajima transver-zalnih sila na deformaciju 0, glase:

1 1 cos 2 1 sin 3 4 0 5 0 6 0 7

8

4 Stabilnost konstrukcija, predavanja dr Ratko Salati Teorija drugog reda

Usvajajui pretpostavku malih deformacija obrtanje ima male vrednosti, odnosno da vai:

0 cos 1;sin jednaine Teorije drugog reda mogu se napisati u obliku:

1 2 3 4 0 5 0 6 0 7

8 Moe se uvesti i pretpostavka zanemarljivog uticaja dilatacije na veliinu pomeranja, odnosno 0. Broj nepoznati veliina se smanjuje na est, a jednaine dobijaju jednostavniji oblik:

1 2 3 0 4 0 5 0 6

Linearizovana teorija drugog reda

Linearizovana teorija drugog reda uvodi pretpostavku da je proizvod statike i deformacijske veliine po Teoriji drugog reda jednak je proizvodu istih nepoznatih, gde je statiki nepoznata odreena po Teoriji prvog reda reda:

1 2 3 0 4 0 5 0 6

gde su i veliine odreene po Teoriji prvog reda. Nakon uvoenja svih navedenih pretpostavki, jednaine Linearizovane teorije drugog reda razlikuju se od jednaina Teorije prvog reda samo u jednaini (5) i to za lan .

Stabilnost konstrukcija, predavanja dr Ratko Salati 5 3.4 DIFERENCIJALNA JEDNAINA PRAVOG TAPA PO TEORIJI DRUGOG REDA Eliminisanjem odreenih nepoznatih iz sistema jednaina (1)-(6) Teorije drugog reda dobija se:

4

5

6,2

1 Ako se uvedu oznake:

sledi jednaina:

3.1 Na osnovu prethodnih razmatranja problem od est nepoznatih veliina sa est uslovnih jednaina sveden je u jednu jednainu sa jednom nepoznatom, vertikalnim pomeranjem ose tapa , tj. dobijena je jedna diferencijalna jednaina pravog tapa po teoriji drugog reda (3.1) (Slika 3.4a).

Uvoenjem dodatnih pretpostavki:

tap je konstantnog poprenog preseka 1.0 aksijalna sila konstantna du celog tapa 0 1.0 nema temperaturnog optereenja 0

sledi oblik jednaine pravog tapa, konstantnog poprenog preseka, po Teoriji drugog reda, optereenog konstantnom aksijalnom silom, bez temperaturnog optereenja (Slika 3.4b):

3.2 Za sluaj pritisnutog tapa u jednaini (3.2) vai znak plus (+), dok za sluaj zategnutog tapa vai znak minus (-).

Slika 3.4 a) Razmatrani proizvoljni prav tap ik b) tap ik sa usvojenim pretpostavkama

6 Stabilnost konstrukcija, predavanja dr Ratko Salati Reenje diferencijalne jednaine Za razmatrani problem dobijena je obina nehomogena diferencijalna jednaina etvrtog reda sa konstantnim koeficijentima. Ako je tap optereen silom pritiska (znak plus u jednaini 3.2), reenje diferencijalne jednaine je:

sin cos U sluaju zategnutog tapa (znak minus u jednaini 3.2), reenje je:

sh ch 3.4 PRIMER IZ TEORIJE KONANIH DEFORMACIJA Primenjujui teoriju konanih deformacija odrediti deformisan ravnoteni poloaj i izraunati moment ukljetenja konzole ako je 1.21 1

Primenie se jednaine teorije konanih deformacija za prav tap sa zanemarenjem uticaja transferzalnih sila na deformaciju:

1 1 cos 2 1 sin d 3 04 05 06 7 1 cos sin

U prethodnih sedam jednaina postoji sedam nepoznatih veliina: , , , , , i . Odreenim transformacijama moe se problem smanjiti na manji broj jednaina i nepoznatih.

6

8

1 , 2 , 5 , 8 1 cos 1 sin 0

9 1 cos sin 0