5/19/2018 Predavanja_4_iz_IM1_2013_-_2014_

1/21

IN E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1Izdrati, to je temeljvrline.

(BALZAK)

P r e d a v a n j a z a e t v r t u s e d m i c u n a s t a v e(u akademskoj 2011/2012. godini)

G L A V A 2

N I Z O V I I R E D O V I

2.1. Openito o nizovima

Osnova aritmetike i algebre sastoji se u brojenju, tj. u nizanju brojeva 1, 2, 3, 4, 5, 6,jednog za drugim ime se dobije niz( ili slijed) prirodnih brojeva

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, itd.Analogno moemo posmatrati i nizove raznih drugih (proizvoljnih) predmeta, npr. zgrada

neke ulice s jedne strane te ulice tako da znamo koja je kuaprva, koja do nje, koja opet doove, itd.

Jedan od najvanijih nizova u prirodi je prirodni niz hemijskih elemenata. U savremenojznanosti vani su npr. nizovi radioaktivnih elemenata.

Kako nastaje niz? Kod niza je vano da imaprviilipoetni lan, da ima drugi lan, tj. onaj koji je odmahiza prvoga (ako uopte postoji koji lan posmatranog niza osim prvoga), zatim, da ima lan koji dolazineposredno iza drugoga tzv. trei lan (ako niz ima uopte jo koji lan osim prva dva) itd.

Niz od jednog lanaje svaki mogui predmet, npr. broj 6, fakultet itd.

Brojevi 1, 2, 3, , n 1 , n ine specijalan niz od n lanova. No, svaki niz od nlanova nastaje tako dasvakom od tih n brojeva 1, 2, , n pridruimo odreen predmet. Tako dobijemo po redu predmete, odnosnoniz: a1, a2, , an -1, an , pri emu se predmeti a1, a2, , an - 1, an nazivaju lanovi niza, i to prvi, drugi, ,posljednji (n-ti) lan niza.

Ako niz ima n lanova, onda se n zove duinaili broj lanova niza.

Beskonani niz nastaje tako da svakom prirodnom broju pridruimo neki predmet (stvaran ili zamiljen).Ako broju n pridruimo predmet an, onda nastaje ovaj beskonani niz:

a1, a2, a3, , an, Takice tu oznaavaju da se niu sve novi i novi lanovi niza, tako da beskonani niz nema posljednjeg

lana. Pri tome se an zove opti lanniza.

Primijetimo da i svaki lan beskonanog niza ima svoj potpuno odreeni redni broj. Zato, npr. brojevi

52

0,...,2

1,...,

4

1,

2

1,1

n

5/19/2018 Predavanja_4_iz_IM1_2013_-_2014_

2/21

53

ne ine niz jer lan 0 nema tu svog rednog broja.Gornje opisne (intuitivne) definicije pojmova konanog i beskonanog niza mogu se precizirati koristei

pojam preslikavanja (funkcije).

Definicija 2.1.1. Konani niz elemenata (nepraznog) skupa X je svako preslikavanje(funkcija) x:MX, gdje je M neki konaan podskup skupa N.

Definicija 2.1.2. Beskonani niz ili, krae, niz u (nepraznom) skupu X je svakopreslikavanje x: NX, skupa prirodnih brojeva N u skup X. Vrijednost x(n)Xpreslikavanja x u taki nNzove se n-ti lantoga niza i obino se oznaava saxn, pa segovori o (beskonanom) nizu (xn, nN). Ako je specificirana zavisnost xnod n, onda se xnnaziva opti lanniza.

Najee emo umjesto (xn, nN) upotrebljavati oznaku ili (xn) a ponekad iduu oznaku (x1, x2, , xn, ) ili x1, x2, , xn, koja sugerie nizanje lanova nizajedan za drugim.

Uzimajui u prethodnoj definiciji 2.1.2 da je X skup R dobijemo niz (xn) realnihbrojeva(nizu R), dok za X : = C dobijemo niz (xn) kompleksnih brojeva. Ako je, pak,X skup nekih funkcija (npr. skup svih neprekidnihrealnih funkcijana segmentu [a, b]R,a

5/19/2018 Predavanja_4_iz_IM1_2013_-_2014_

3/21

54

Za (xn) kaemo da je aritmetiki nizakko vrijedixn+1 xn= d, (nN), (2.1.2)

gdje je d fiksan broj.

Iz (2.1.2) slijedi da je xn+1 xn=xn+2 xn+1, (nN), te da (nN) vrijedi

tj. svaki lan (izuzev prvog lana) aritmetikog niza je aritmetika sredina svojih neposrednih susjeda (otuda inaziv aritmetiki niz). Osim toga, iz (2.1.2) dobijemo :

x2 = x1+ d, x3 = x2 + d = x1+ 2 d, , xn=xn - 1 + d = = x1 + (n -1) d.Dakle,

xn=x1+ (n-1) d, (nN).

Osim toga, sumu od n prvih lanova aritmetikog niza (xn) moemo

napisati u bilo kojem od ova dva oblika:Sn=x1+ (x1+ d) + + [x1+ (n-1)d], Sn=xn+ (xn d) + (xn 2d) + + [xn- (n-1)d],

Odakle dobijemo (sabirajui) 2 Sn= n(x1+xn), tj. :

(2.1.3)

Niz brojevaa1, a2, a3, , an,

kod kojeg je svaki lan osim prvog jednak proizvodu prethodnog lana i stalnog broja q0, zove segeometrijski niz. Taj niz je, dakle, odreen formulom

an+1= anq, n= 1, 2, 3,

Broj q koji je jednak koliniku zove se kolinikgeometrijskog niza.

Za odreivanje n-tog lana an niza (pomou prvog lana a1, kolinika q i broja n) vrijedi formulaan = a1q

n-1. (2.1.4)Zbir Sn od n prvih lanova geometrijskog niza odreuje se po formuli:

(2.1.5)

ako je q1, a ako je q = 1, tada je, oito,Sn= na1.

Ove formule lako se dokazuju matematikom indukcijom.

Primjer 2.1.2. Koje uslove moraju zadovoljavati brojevi a, b i c da bi jednovremeno bili tri uzastopnalana aritmetikog i geometrijskog niza?

Rjeenje: Jasno je, da brojevi a, bi c moraju biti razliiti od 0 (u protivnom se ne bi moglo govoriti okoliniku geometrijskog niza). Na osnovu pretpostavke brojevi a, b i c moraju zadovoljavati sljedei sitemjednaina:

b a= c b(= d),

Iz prve jednaine sistema slijedi da je

Iz druge jednaine sistema slijedi da je b2= ac.Znai, svaki lan geometrijskog niza (osim prvog) je geometrijska sredina njemu dva susjedna, pa i uoptesimetrina, lana. Odatle dolazi i naziv za geometrijski niz.

Otuda je (a c)2= 0, tj. a = c, pa je i b= c. Prema tome, brojevi a, b i c su tri uzastopna lana iaritmetikog i geometrijskog niza ako je

a= b= c0.

=

=n

i

in xS1

:

[ ] .)1(22

)(2

11 dnxn

xxn

S nn +=+=

n

n

a

a 1+

1

11

=

q

qaS

n

n

.2

cab

+=

( ).b c

qa b

= =

,2

21

++

+= nnn

xxx

5/19/2018 Predavanja_4_iz_IM1_2013_-_2014_

4/21

55

Zadatak 2.1.1.Niz realnih brojevan

x je definiran rekurzivno kako slijedi: 0 1,x x su proizvoljni pozitivni

realni brojevi, a1

2

1, ( 0,1, 2, ...).

n

nn

xx n

x

+

+

+= = Nai

1998 2010

,x x ,2050

x . (Rezultat. 0 11998 0 1

1.

x xx

x x

+ += )

2.2. Pojam i osnovna svojstva granine vrijednosti niza

Pojmovi niza i njegove konvergencije i granine vrijednosti jedni su od najvanijih matematikih pojmovakoji svoju primjenu imaju u raznim podrujima matematike kao to su npr. diferencijalnii integralni raun.

Za niz realnih brojeva konvergencija i granina vrijednost definiraju se na sljedei nain.Definicija 2.2.1. Za niz (an) u R kaemo da je konvergentan(u R) ako postoji realni

broj a(R) takav da za svaki realan broj > 0 postoji prirodan broj n0 takav da za sveprirodne brojeve n vee od n0 vrijedi

an a< . (2.2.1)U tom sluaju broj a zovemo granina vrijednost ( ili limes*), granica ) niza (an) i

piemo ( ili ili, krae, lim an= a ).Takoe tada jo kaemo da niz (an) konvergira ka a ili da tei ka a kad(a) n

i piemo an a (n ). Za niz koji nije konvergentan kaemo da jedivergentanili da divergira.

Kada konvergentnom nizu (an) pridruujemo graninu vrijednost a, govorimo davrimo granini prelaz/ prijelaz.

Definicija 2.2.2. Kaemo da niz (an) u R ima graninu vrijednost + (ili dakonvergira ka beskonanosti) i piemo ako za svaki broj MR+postoji prirodan broj n0, takav da je an>M za svaki prirodan broj n vei od n0.

Slino se definira i granina vrijednost . U ovim sluajevima kae se i daje niz (an) odreeno divergentan ili da divergira ka beskonanosti.

U skladu sa optom definicijom specijalnih tipova podskupova ureenog skupa, pod(otvorenim) intervalomsa krajevima a i b (a, bR, a < b) podrazumijevamo skup

(a, b) : = {xRa 0 okolinu takex0datu sa(x0 , x0 + ) = {x0R: xx0< }zovemo - okolinatakex0.__________________*)limes (lat.) granica

aan =)(lim

+= nn alim

= nn alim

aann

=

lim

5/19/2018 Predavanja_4_iz_IM1_2013_-_2014_

5/21

56

Oito je da svaka okolina take x0 sadri neku njenu - okolinu, pa je u radu saokolinama uvijek dovoljno posmatrati - okoline.

Take skupa R razliite od i + , tj. sve take skupa R, zovemo konanim, doktake i + zovemo beskonanim takama skupa .

Okoline (u R ) taaka u R se definiraju analogno kao i okoline (u R) taaka u R. No,esto se posmatraju okoline taaka koje ne ukljuuju take i + , tj.

posmatraju se okoline u Rtaaka iz R . Naime, tada se pod okolinama take , odnosnotake + , podrazumijevaju skupovi oblika

( , a) = {xR :x < a } i ( , a] = {xR :x a}, (*)odnosno

(b, + ) = {xR :x > b } i [b, + ) = {xR :x b }. (**)

Primijetimo da se tada malo odstupa od opte definicije okoline, jer se take neukljuuju u sopstvene okoline. Mi se pridravamo opte definicije pojma okoline i za take, tj. pod okolinom take podrazumijevat emo skupove oblika [ , a] : =

{x R : x a } i [ , a) : = {x R : x < a }; ( < a +),a pod okolinom take + skupove oblika [b, + ] : = {x R : b x + } i(b, + ] : = {x R : b

5/19/2018 Predavanja_4_iz_IM1_2013_-_2014_

6/21

57

Iz definicije limesa niza slijedi da niz (an) tei ka a ako su mu lanovi anproizvoljnoblizu taki a im je n dovoljno velik. U tom sluaju se jo kae da se u svakoj okolinitake a nalaze svi lanovi niza poev od nekog ili skoro svi lanovi niza (tj. svi osim,eventualno, njih konano mnogo).

Primjer 2.2.1. Niz je konvergentan i vrijedi jer na osnovuArhimedovog aksioma za svaki > 0 postoji n0N takav da je , pa je timprije za svaki n> n0.

Primjer 2.2.2. Ispitajmo konvergenciju niza ( q n ), (qR).1) Ako je q= 0, onda je qn= 0 za svaki n, pa je Neka je 0 < q < 1.

Tada je q= 1/(1+h) za neki hR+. Prema Bernoullijevoj nejednakosti imamo

odakle, slino kao u primjeru 2.2.1., slijedi da je Sluaj 1 < q < 0 razmatrase analogno. Dakle, ako je |q|< 1.

2) Za q= 1 je qn= 1 za svaki nN, pa je3) Ako je q>1, onda je 0< 1/q< 1. Neka je MR+ proizvoljan realan broj. Na

osnovu 1) je 0 < (1/q)n< 1/M za sve dovoljno velike prirodne brojeve n, pa je qn>Mza dovoljno velike n, tj. tada prema definiciji beskonane granine vrijednosti niza imamoda je

4) Za q= 1 dobijemo niz 1, 1, 1, 1, 1, 1, . lanovi niza s parnim indeksomsu 1, a lanovi s neparnim indeksom su 1. U svakoj - okolini broja 1 nalaze se svilanovi niza s neparnim indeksom, a u svakoj - okolini broja 1 nalaze se svi lanovi nizas parnim indeksom. Zato lim (1)n ne postoji, pa je niz (1)ndivergentan u irem smislu

(oscilirajui).5) Ako je q < 1, onda za sve parne n vrijedi q n>M, a za sve neparne n je qn< M,

gdje je M ( > 0) proizvoljan realan broj, a n dovoljno veliki prirodni broj. To znai da

postoji beskonano lanova niza ( qn ) van svake okoline bilo kog elementa a R pa tajniz nema limes.

Definicija 2.2.4. Za niz (n) u Rkaemo da je nula nizili beskonano mala veliina(ili infinitezimala) u odnosu na n kad n + ako je

Npr. su nula nizovi.

Za niz (a

n) kaemo da jeogranien odozgo

[ogranien odozdo

] ako je skup{a

n:nN

}ogranien odozgo (odozdo). Za niz koji je ogranien i odozdo i odozgo kaemo da jeogranien.

Jednostavno se dokazuju sljedea osnovna svojstva graninih vrijednosti nizova u R:(i)

Ako niz ima graninu vrijednost, ona je jednoznano odreena.

(ii)

Svaki konvergentan niz je ogranien.

(iii)

Jednakost , gdje je a R, vrijedi akko an= a+ n, pri emu je(n) nula niz.

(iv)

Zbir i razlika dva nula niza su nula nizovi.

(v)

Proizvod ogranienog niza i nula niza je nula niz.

n

1 ,01

lim =n

n1

0

0n

< +=

1); 5. 0

!lim =

n

an

n (aC) ;

6.

n

n n

+

11lim =

11

1lim

+

+

n

n n: = e ),3,2(

n

n

+

11 < e 0 za n>1.Koristei se binomnim razvojem u kojem su svi sabirci pozitivni, dobijemo

Otuda je 0 < an2< (n), pa vrijedi an

20 (n), odakle je tj.

Zadatak 2.2.1. Izraunati limes niza (an) ako je :

a) b) c) d)

2.3. Podnizovi. Take gomilanja

Definicija 2.3.1. Neka je n: NN, k a nk, niz prirodnih brojeva takav da jen1< n2< < nk<

i neka je a: NA niz elemenata proizvoljnog skupa A(). Tada za niz a n: NA

sa lanovima nk

a (kN) kaemo da je podniz(ili djelimini niz) niza (an).

Iz ove definicije neposredno slijedi injenica da ako niz (an) u R ima graninvrijednost

a, onda i bilo koji njegov podniz ( nk

a ) ima graninu vrijednost a.

No, primjer niza ((- 1)n) pokazuje da mogu postojati konvergentni podnizovi niza kojinema graninu vrijednost.

.1lim =n

n n .1: =n

n na

2

0

( 1)(1 ) .

2

n k

n n n

n

k

n n nn a a a

k= = + = >

01

2

n,0lim =na .1lim =

n n

.!3

!2;

2

3;

3

2;

2

24

3

4

3

4

3

4

3

nn

nna

n

na

n

na

n

na nn

n

nn

n

nn

n

n+

=

+

=

+

=

+

=

5/19/2018 Predavanja_4_iz_IM1_2013_-_2014_

9/21

60

Definicija 2.3.2. Za taku a R kaemo da je taka gomilanja (ili takanagomilavanja) skupa A (R) ako u svakoj okolini take a postoji bar jedna taka skupa

A razliita od same take a.Lako se vidi da se taka gomilanja skupa A (R) moe ekvivalentno definirati i kao

taka a R u ijoj svakoj okolini postoji beskonano mnogo taaka skupa A.Primjenom Cantorovog aksioma i Arhimedovog aksioma, dokazuje se sljedea teorema.Teorema 2.3.1. (Bolzano*) Weierstrassova**)teorema za skupove).Svaki beskonani

ogranieni skup u Rima bar jednu taku gomilanja u R. Svaki beskonani skup u Rima barjednu taku gomilanja u R.

Definicija 2.3.3. Za taku a R kaemo da je taka gomilanja (ili takanagomilavanja) niza an u R ako postoji podniz ( ) tog niza koji tei ka a kad k .

Primijetimo da postoji razlika izmeu pojma limesa i pojma take gomilanja nekog niza,te da imamo i vanu razliku izmeu pojma take gomilanja niza (an) i take gomilanja skupanjegovih vrijednosti {an|nN}. Tako, npr., niz (( 1)

n) ima dvije take gomilanja i to 1 i 1, a skup njegovih vrijednosti {( 1)n|nN}={ 1, 1} je konaan pa nema taakagomilanja.

Sljedea teorema daje jednostavan odgovor na pitanje o egzistenciji taaka gomilanja nizova realnih brojeva, a dokazujese na osnovu teoreme 2.3.1. (ili neposredno po analogiji kao i ta teorema).

Teorema 2.3.2.(Bolzano Weierstrassova teorema za nizove).(i)

Svaki ogranien niz realnih brojeva ima bar jednu taku gomilanja u R.(ii) Svaki niz realnih brojeva ima bar jednu taku gomilanja u R.

Lako se zakljuuje da vrijedi sljedei stav :Stav 2.3.1. Skup T(an) taaka gomilanja niza (an) realnih brojeva ima maksimum i

minimum u R.Definicija 2.3.4. Najvea (najmanja) taka gomilanja niza (an) realnih brojeva zove se

gornji limes ili limes superior (donji limesili limes inferior) niza (an) i oznaava saili ( ili ).

Primijetimo da pojmove iz definicije 2.3.4. treba razlikovati od pojmova

sup{an|nN} i inf {an|nN}.Lako se dokazuju sljedee jednostavne injenice:

( i ) Niz (an) ima graninu vrijednost akko , tj. akko ima samo jednu taku

gomilanja.( ii) Niz (an) konvergira akko je konaan broj.(iii) Niz (an) ima graninu vrijednost akko svaki njegov podniz ima graninu vrijednost

Primjer 2. 3.1. Niz (an) iji je opti lan ima dvije take gomilanja, tj.T(an) ={0, 1}. Ovdje se radi o nizu 0, 1, 0, 1, 0, 1, , tj. a2k = 1 i a2k 1 = 0 za svaki

kN. Svakoj - okolini take 0 pripadaju svi lanovi niza s neparnim indeksom, a usvakoj - okolini take 1 nalaze se svi lanovi niza s parnim indeksom. Otuda je

pa ne postoji.

kna

,1lim =na,0lim =na

nn alim nn asuplim nn alim nn ainflim

nn aa limlim =

nn aa limlim =

2

1 ( 1):

n

na + =

nn alim

5/19/2018 Predavanja_4_iz_IM1_2013_-_2014_

10/21

61

Zadatak 2.3.1. Za sve R, odredite , i (u sluajevima kadapostoji) ako jeniz (an) zadan optim lanom

Zadatak 2.3.2.Za sve R, odredite(ako postoji) limes niza

(Rezultat: l() = 0 za < 1. )

Zadatak 2.3.3. Neka je (an) niz koji divergira ka + , a (bn) niz iji je opti lanzadan formulom

Ustanovite da je niz (bn) infinitezimala.

2.4. Cauchyjev princip konvergencije. Monotoni nizovi. Broj e

esto je od interesa ispitivanje konvergencije niza bez efektivnog nalaenja njegovog limesa. A ustanovitida li neki niz konvergira je od fundamentalnog znaaja u raznim oblastima primjene teorije nizova, kao to sunumerika analiza, automatsko upravljanje, obrada signala, teorija sistema i dr. Jedan od naina za ispitivanjekonvergencije nizova, koristei se samo poznavanjem samog niza, a ne znajui unaprijed kojoj bi to graninojvrijednosti on konvergirao, daje Cauchyjev kriterij konvergencije.

Definicija 2.4.1.Za niz (an) u R kaemo da je Cauchyjev ilifundamentalanako za svaki> 0 postoji indeks n0N takav da je |am an|< im su indeksi m i n vei od n0.

Lako se dokazuje da Cauchyjevi nizovi imaju ova svojstva:(i) Svaki konvergentan niz je Cauchyjev.(ii) Svaki Cauchyjev niz je ogranien.(iii) Ako Cauchyjev niz ima konvergentan podniz, on je i sam konvergentan.

No, vrijedi i obrat izjave (i), tj. vrijedi sljedea teorema koja se naziva Cauchyjevimprincipom konvergencije*).

Teorema 2.4.1. Svaki Cauchyjev niz u Rje konvergentan (u R).Dokaz: Neka je (an) Cauchyjev niz u R. Tada je on ogranien, pa iz Bolzano

Weierstrassove teoreme slijedi da postoji podniz ( ) tog niza koji konvergira u R. Naosnovu svojstva (iii) Cauchyjevog niza slijedi da je niz (an) konvergentan (u R), to jetrebalo i dokazati.

Primjer 2.4.1.Primjenom Cauchyjevog kriterijuma dokaimo da je niz (an)

divergentan ako je

Dovoljno je dokazati da taj niz nije Cauchyjev, tj. dovoljno je dokazati logiku negaciju uslova iz definicijeCauchyjevog niza:

(an) nije Cauchyjev (>0)(n0N) (m, nN) (m, nn0 i |am an|).U naem primjeru stavimo = , m= 2n. Tada je za svaki nN, pa niz (an) nije Cauchyjev.

_____________________*) Umjesto ovog teorema esto se daje Cauchyjev kriterij konvergencije za nizove u Rkoji glasi : Niz (an) uRje konvergentan u R akko je Cauchyjev.

nn alimcos ( 1)

: .

n

n

n na n

+ =

( )cos( ) : lim .

1sin

n

n nl

n

+=

1: sin cos .

n

n

b na

=

nk

a

1

1.

n

n

ia

i==

nnalim nn alim

5/19/2018 Predavanja_4_iz_IM1_2013_-_2014_

11/21

62

Definicija 2.4.2. Za niz (an) u Rkaemo da je neopadajuiako je an an+1za svakinN, a da je rastui(strogo rastui) ako je an< an+1 za svaki nN. Analogno se definiranerastui i opadajui (strogo opadajui) nizovi. Jednim imenom nizove navedena etiritipa zovemo monotoni nizovi.

Za monotone nizove vai sljedei veoma jednostavan kriterij konvergencije : Svaki monoton i ogranien nizu Rje i konvergentan u R. Zapravo, vrijedi sljedea teorema:

Teorema 2.4.2.(i)Neka je (an) neopadajui niz u R. Tada (an) konvergira u Rakko je ogranien odozgo.(ii) Svaki neopadajui niz u Rima graninu vrijednost u R.

Analogne izjave vrijede i za nerastue nizove.

Dokaz: (i) Dovoljno je dokazati da neopadajui i odozgo ogranien niz (an) u Rima konanu graninuvrijednost. Prema teoremi o supremumu postoji a: = sup{an|nN}< + , odakle slijedi da za svaki > 0

postoji n0 N takav da je a- n0, tj. |an a|< za svaki n>n0, pa je niz (an) konvergenatn i lim an= a.

(ii) Ako neopadajui niz (an) nije ogranien, to znai da se za svaki MRmoe nai n0N takav da je>M. No, zbog svojstva monotonosti; otuda slijedi da je takoe an> M za svaki n>n0. Time je pokazano da

niz (an) u Rima graninu vrijednost u R i lim an= + .Primjer 2.4.2. Dokaimo da je niz (an) realnih brojeva definiran optim lanom

an: = , (nN), konvergenatn. U tu svrhu dovoljno je dokazati da je ovaj niz

(strogo) rastui i ogranien odozgo.Na osnovu Bernulijeve nejednakosti imamo (za svaki n 2):

tj.

odakle slijedi da je niz (an) (strogo) rastui.Dokaimo da je niz (an) ogranien odozgo. Za n2 primjenom Newtonove binomne

formule dobijemo

Iz nejednakosti k! 2k-1, (k2), i formule za zbir prvih n lanova geometrijskogniza dobijemo

tj. niz (an) je ogranien odozgo.

0na

n

n

+

11

,1

11

1

11

11

,1

11

11

1

1

111

22

=

+=

=

>

+=

=>

n

nnnn

n

n

ann

n

nna

nn

n

n

( ) ( )

0 2

2

1 ... 11 11 1 1

!

1 1 2 12 1 1 ... 1 .

!

n k k

n n n

k k

n

k

n n n n k a

kn n k n

k

k n n n

= =

=

+ = + = = + + =

= +

1

1 2 1

1

2 2 2

11

1 1 1 1 1 1 21 1 1 1 1 1 1

1! 2 2 2 2 2 12

13 3,

2

n

kn

n k n

n

n n

k k k

ak

= = =

< + + + + = = + + + + + = + =

= 1). Tada sesuma reda anoznaava sa odnosno

Nadalje emo se (ako drugaije ne naznaimo) ograniiti na redove u R (redove realnihbrojeva, redove s konstantnim lanovima).

Ako niz (sk) parcijalnih suma reda an u Rima konaan ili beskonaan limes s, ondase kae da taj red ima sumui da mu je suma suma jednaka s. Ako niz (sk) nema limesa u

R, onda se kae da red an nema sume (ni konane ni beskonane). U skladu sadefinicijom 2.5.2., za red an se kae da je konvergentan (u R) ako ima konanu sumu, au suprotnom se kae da je red an (anR) divergentan (u R). Prema tome, red an u Rje divergentan (u R) u sljedea dva sluaja: 1Red an ima sumu s ali je s= ili + i tada jo kaemo da je red odreeno divergentan ili divergentan u uem smislu; 2Red an nema nikakvu sumu (ni u R) i tada jo kaemo da je red oscilirajui ili da jedivergentan u irem smislu._____________________*)Grko slovo je poetno slovo latinske rijei suma. Prva upotreba oznake za sumaciju pripisuje se Euleru.U narednim odjeljcima (paragrafima) ovog poglavlja ipak esto, umjesto an, koristimo simbol(posebno u sluajevima kada je n01, n0N0).

kk ss = lim:

.1

=

=n

nas

=1n na

=0,

n na .

=rn na

n

n

n

n

n aaa

1

0 ,an n =

5/19/2018 Predavanja_4_iz_IM1_2013_-_2014_

15/21

66

Ako je red an konvergentan, onda suma prvih p lanova sp predstavlja priblinu vrijednost zasumu s toga reda. Zapravo, iz , imamo da za svaki > 0 postoji prirodan broj n0(= n0())

takav da je |s sp|< za svaki p n 0 , pa se suma konvergentnog reda moe izraunati s proizvoljnim

stepenom tanosti pomou parcijalnih suma reda.

Ako je red an konvergentan, onda se lako vidi da je konvergentan i redan+ p (2.5.9)

za svaki pN i vrijedi jednakost Za sumukae se da je ostatak reda an poslije p-tog lana. No, i za sam red (2.5.9), bez obzira dali je red an konvergentan ili divergentan, kae se da je ostatak reda an poslije p-toglana ili p-ti ostatak reda an, to emo i mi govoriti. Obrnuto, ako red an+ pkonvergira za neki pN, onda konvergira i red an.Zapravo, vrijedi sljedea tvrdnja:

Tvrdnja 2.5.1.(i) Neka je p proizvoljan fiksiran prirodan broj. Tada red an konvergira ako i samo

ako konvergira red an+p, tj. red an i njegov ostatak an+psu ekvikonvergentni(obareda su ili konveregntna ili divergentna). Osim toga, u sluaju konvergencije ovih redova zanjhove sume si rp, respektivno, vrijedi s= sp+ rp, gdje je spp-ta parcijalna suma reda an.

(ii) Ako je red an konvergentan, onda suma rp njegovog p-tog ostatka tei ka nulikad p.

Dokaz:(i) Neka je sp p-ta parcijalna suma reda an. Oznaimo sa sn' n-tu parcijalnu sumu ostatka ap+n reda

an poslije p-tog lana, tj. sn' = ap+1+ ap+2+ + ap+n (nN). Tada oito vrijedi

sp+n= sp+ sn', odnosno sn' = sp+n sp , gdje je (*)

(Suma sn, p= sn' = sp+n sp ponekad se zove odreskom reda an. )Pretpostavimo sada da red an konvergira i da mu je suma jednaka s. Tada sp+ ns , (n), pa iz (*)slijedi da sn' = sn+ p sp s sp , (n). Znai, red (2.5.9) je konvergentan i suma mu je jednaka s sp.Ako tu sumu oznaimo sa rp, vrijedit e, dakle, rp= s sp, tj. s= sp+ rp (*)'. Pretpostavimo sada da je red(2.5.9) konvergentan sa sumom rp. To znai da sn' rp, (n). No, odavde i iz (*) slijedi da sp+ nsp+ rp , n. Prema tome, red an je konvergentan i vri jedi, ako mu sumu oznaimo sa s, da je s = sp+rp , tj. ponovo vrijedi (*)'.

(ii) Neka je red an konvergentan sa sumom s. Tada je i (2.5.9) konvergentan red. Ako mu sumuoznaimo sa rp, onda vrijedi s= sp+ rp. No, ovdje je pfiksiran ali proizvoljan prirodan broj. Ako pustimo dap dobit emo da sps. Iz s= sp+ rp sada slijedi rp= s sps s= 0, p , pa jedokaz tvrdnje 2.5.1. zavren.

Red (2.5.9) nastaje iz reda an odbacivanjem prvih p lanova. No, mi moemosmatrati da je red an nastao iz reda (2.5.9) tako to smo tom redu dodali p novih prvihlanova. Otuda na osnovu tvrdnje 2.5.1. slijedi da odbacivanje ili dodavanje konano mnogolanova reda ne utie na konvergenciju tog reda, ali u optem sluaju utie na njegovu sumu.

Iz tvrdnje 2.5.1. moe se zakljuiti da je red an konvergentan akko suma rp ostatkareda poslije p-tog lana tei nuli kad p + . To znai da se suma konvergentnog redamoe aproksimirati parcijalnim sumama, pri emu greka te aproksimacije tei nuli kada brojlanova koji se sumiraju raste.

Teorema 2.5.1. (Potreban uslov za konvergenciju,ili test n-tog lana).Ako je red an konvergentan, onda niz (an) njegovih lanova konvergira ka nuli, tj.

sspp =lim

1 1 1.

p

n n nn n n pa a a

+

= = == + 1 nn p a+

=

.0lim =

nn

a

.

1

+

=

+ =pn

i

inp as

5/19/2018 Predavanja_4_iz_IM1_2013_-_2014_

16/21

67

Dokaz: Neka je Na osnovu pretpostavke teoreme, imamo da postoji i da je

konana granina vrijednost S druge strane je sk sk 1= ak, (k > 1), pa je

Q.E.D.

Da navedeni neophodan uslov konvergencije reda nije i dovoljan, pokazuje sljedei primjer:

Primjer 2.5.1. Opti lan reda oito tei nuli kad n. Meutim, za

parcijalnu sumu vai relacija

Oigledno, + kad k+, pa je , tj. red divergira (u uem

smislu).Teorema 2.5.2. (Cauchyjev kriterijum za konvergenciju redova)*). Red an

konvergira ako i samo ako za svaki > 0 postoji n0N takav da iz n >n0 ,pNslijedi|an+1+ an+2+ + an+p|< . Simboliki,

an konvergira [(>0) (n0N) (n,pN) (n >n0 |an+1+ + an+p|< )].Dokaz:Slijedi neposredno iz Cauchyjevog principa konvergencije za nizove realnih brojeva (tj. iz injenice da je

svaki Cauchyjev niz u Rkonvergentan).Q.E.D.

Za date redove an i bn, red (an+ bn) naziva se njihovim zbirom, a red (anbn) razlikom tihredova.

Lako se vidi da vrijedi sljedea tvrdnja:Tvrdnja 2.5.2.(i) Ako red an konvergira, onda konvergira i red an, (R). Pri tome je suma

reda an jednaka proizvodu konstante i sume reda an , tj.

(ii) Ako redovi an i bn konvergiraju, onda konvergiraju i redovi (an+ bn) i(an bn) i njihove sume su jednake zbiru i razlici, respektivno suma redova an i bn.

Primjer 2.5.2. Red aqn-1 , (a0, q0), naziva se geometrijskim redom. Parcijalnasuma sk tog reda predstavlja sumu prvih k lanova geometrijske progresije i data je sa sk : =a+ aq+ + aqk-1, odnosno sa

__________________*) Opti Koi Bolzanov kriterij za konvergenciju redova, ili, princip konvergencije za redove.

Specijalno, za a= 1, q= 1 geometrijski red ima oblik 1 1 + 1 1 + . Za njegove parcijalne sumeimamo

ako je k neparan,

ako je k paran prirodan broj,pa dati red oscilira izmeu 0 i 1.

.:1

=

=k

n

nk as

.:lim sskk

=

.0limlim)(limlim 11 ====

ssssssa kk

kk

kkk

kk

n

1

=

=k

n

kn

s

1

1:

.11111

2

11 k

kk

kkkksk ==++++++=

k +=+

kk

slim n

1

1 1

.n n

n n

a a

= =

=

(1 ), 1

,1

, 1.

k

k

a qq

s q

ak q

= =

=+=,0

,11...111 44 344 21

jedinicak

ks ,0lim =

k

kq

5/19/2018 Predavanja_4_iz_IM1_2013_-_2014_

17/21

68

Za |q |1, a divergentan ako je 1.Ovaj red se naziva hiperharmonijski red. Ako je = 1, dobijemo tzv. harmonijski red.

Stavovi o konvergenciji pozitivnih redova dobijeni poreenjem redova

Posmatrajmo sada dva pozitivna reda red (2.6.1) (tj. red an) i redbn. (2.6.2)

Prvi kriterij uporeivanja dat emo u obliku sljedee teoreme:

.11211 +++ +=++++= nnnS

nn aSaaaaS

n

44 344 21

1( )n nS

=

lim .nn S = +

.1

+==n na

n

1

kk qlim

,

1

lim

q

ass k

k

==

5/19/2018 Predavanja_4_iz_IM1_2013_-_2014_

18/21

69

Teorema 2.6.1. Pretpostavimo da postoji prirodni broj n0, takav da za lanove redova(2.6.1) i (2.6.2) vae nejednakosti *) an bn za sve n n0 . Tada iz konvergencije reda(2.6.2) slijedi konvergencija reda (2.6.1), a iz divergencije reda (2.6.1) slijedi divergencijareda (2.6.2)

(U ovom sluaju kaemo da je red bn majorantareda an, a da je red anminorantareda bn.)

Dokaz: Na osnovu tvrdnje 2.5.1. bez ogranienja optosti, moemo pretpostaviti da je n0= 1.Parcijalne sume reda (2.6.1), odnosno reda (2.6.2), oznaimo sa sn', odnosno sn''. Neka je

R. Iz nejednakosti anbn (nN) slijedi da je sn' sn'' s''. Dakle, niz (sn' ) jeneopadajui i ogranien odozgo, te postoji .

Drugo tvrenje teoreme je ekvivalentno prvom, kao njegova kontrapozicija.

Teorema 2.6.2. Neka postoji 0 K , gdje su ani bn lanovi redova(2.6.1) i (2.6.2). Ako je K < , onda iz konvergencije reda (2.6.2) slijedi konvergencija reda

(2.6.1). Ako je K> 0, iz divergencije reda (2.6.2) slijedi divergencija reda (2.6.1).(Ako je an= O(bn) i bn= O(an) (n+) ili an~bn (n+) ili ako postoji

0 < K< + , onda se redovi an i bn ekvikonvergentni.)*)

Teorema 2.6.3.Neka za lanove redova (2.6.1) i (2.6.2) za neki n0Nvae nejednakosti:za nn0.

Tada iz konvergencije reda (2.6.2) slijedi konvergencija reda (2.6.1), a iz divergencije reda (2.6.1) slijedidivergencija reda (2.6.2).

Kriterijumi konvergencije pozitivnih redova

Osim gornjih stavova, u cilju ispitivanja konvergencije redova s pozitivnim lanovima koriste se i nekistavovi koji daju dovoljne uslove za konvergenciju, odnosno divergenciju, tzv. kriterijumi (testovi)konvergencije. Naveemo nekoliko takvih kriterijuma, koji se izvode iz poredbenih kriterijuma (osnovnihkriterijuma konvergencije) i koji su esto efikasniji u primjenama.

Stav 2.6.2. (Dalamberov**)kriterijum) /Cauchy-Del. ratio test/.1(Jaa forma kriterija). Ako za red (2.6.1) postoji n0N i qR, tako da je

za nn0,

onda on konvergira. Ako pak postoji n0'N, tako da je za n n0', onda red(2.6.1) divergira.

2(Slabija / granina forma kriterija). Neka za lanove reda (2.6.1) postoji

_____________

*)Ako vrijedi onda za p >1 pozitivni red an konvergira, a za p 1 isti red

divergira. Napomenimo da (openito) zapis f(x) = O* (g(x)) (x a) (gdje je a ) oznaava da za

funkcije f i g vrijedi

**) J. le R. DAlembert (1717 1783) - francuski matematiar i filozof.

n

n

n

n

b

b

a

a 11 ++

11

5/19/2018 Predavanja_4_iz_IM1_2013_-_2014_

19/21

70

. Tada za l1 on divergira. (Za

l= 1 ovaj kriterijum je neodluiv.)

3 (Najjaa forma kriterija). Ako je onda red (2.6.1) konvergira, aako je red (2.6.1) divergira.*)

Dokaz:1 Iz nejednakosti nn0, dobijemo

Kako red konvergira, to konvergira i red . Dakle, konvergira i red(2.6.1).

Ako je za svaki nn0', onda opti lan an ne tei ka nuli, pa red

(2.6.1) divergira na osnovu teoreme 2.5.1.

2Neka je i 0 < < 1 l. Oznaimo q: = l+ . Tada postoji n0N

tako da je za svaki nn0. Na osnovu dokazanog dijela 1ovog stava dobijemo da red

(2.6.1) konvergira.

Ako je , tada je poev od nekog n0'N, pa tvrenje ponovo

slijedi iz prvog dijela stava.

3 Neka je >0, takav da je < 1 q. Tada postoji n0= n0()N, takav da vrijedi

Otuda je

Kako red (q+)n konvergira, to konvergira i red an.

Primjer 2.6.3.

1 Red konvergira, jer je

2 Harmonijski red divergira, a red konvergira. Za oba reda je

pa se o njihovoj konvergenciji na osnovu Dalamberovog kriterijuma ne moe rei nita. (U takvim sluajevimaovaj kriterijum je neodluiv / red moe da konvergira ili da divergira /. )

Analogno se dokazuje da vrijedi i sljedei kriterij:Stav 2.6.3. (Koijev/ korijeni/ kriterijum) /Root test/, (1821).1 Ako za red (2.6.1) postoji n0N i qR, tako da je za nn0, onda

_____________________*) U sluajevima, kada Dalamberov i Koijev kriterijum ne daju odgovor, onda primjenjujemo preciznijekriterijume, koji se zasnivaju na uporeivanju reda kojeg ispitujemo sa drugim poznatim redovima (kao to suharmonijski i hiperharmonijski, pomou kojih se moe dobiti i, npr., Rabeov i logaritamski kriterij) ija jekonvergencija sporija od geometrijske progresije. Inae, za red an kaemo da je sporije konvergentannegored an' ako za sumu rnostatka reda ani za sumu rn' ostatka reda an' vrijedi relacijaon konvergira. Ako postoji n0'N tako da je za nn0' , onda red (2.6.1) divergira.

,1lim 1 >+n

nn

a

a

1lim 1

5/19/2018 Predavanja_4_iz_IM1_2013_-_2014_

20/21

71

2 Neka postoji Tada za l < 1 red (2.6.1) konvergira, a za l> 1 ondivergira.

3 Ako je onda l< 1 an konvergira, a l> 1

(najoptiji oblik Cauchyjevog kriterijuma korijena)*).

Primjer 2.6.4.

1 Red konvergira jer je

2 Slino kao u primjeru 2.6.3. pokazuje se da u sluaju da je ne moemo nita rei okonvergenciji reda (2.6.1) na osnovu Koijevog kriterijuma. (U ovom sluaju Cauchyjev kriterijum korijena jeneodluiv.)

Dokazuje se da vae i sljedea tri kriterija za pozitivne redove.*)

1) Ako, poevi od nekog n, vai nejednakost odnosno

onda red (2.6.1) konvergira, odnosno divergira. Ako je onda red

(2.6.1) konvergira, odnosno divergira, za r>1, odnosno r1)

konstante, a (n) je ogranien niz u R. Tada:a)

Za > 1 (odnosno < 1) red (2.6.1.) konvergira (odnosno divergira) (to slijedineposredno iz Dalamberovog kriterijuma).

b)

Za = 1, > 1 (odnosno = 1, < 1) red (2.6.1.) konvergira (odnosno divergira) (toslijedi neposredno iz Rabeovog kriterijuma).

c) Za = 1, = 1, red (2.6.1.) divergira (ovo se dokazuje na osnovu tzv. Kummerovogkriterijuma, iju formulaciju ovdje neemo navoditi).Ovo je tzv. Gausov ***) kriterijum, koji se obino koristi ako je = 1, jer za 1

konvergencija reda se moe ispitati Dalamberovim ili Koijevim korijenim kriterijumom. Onima iroku oblast primjene, ali on ipak nije univerzalan, jer razvoj (2.6.3.) ne mora uvijekda postoji (nije uvijek mogu).________________*)Raabeov i Gaussov kriterij, a i neki drugi kriteriji (kao to je Bertrandov kriterij), izvode se iz Kummerovogkriterijuma, koji predstavlja jedan opti kriterij (pa kao takav ima teorijski znaaj).**) J. L. Raabe (1801 1859) - vajcarski matematiar.***)C. F. Gauss (1777 1855), njemaki matematiar, fiziar i astronom (koji je prvi dokazao osnovni teoremalgebre u svojoj doktorskoj disertaciji i to kao mladiod 22 godine; po mnogima Gaus je najvei matematiarsvih vremena).

+

= +=

1n na

=

+1 12

1n

n

n

n.

2

1

12

1lim =

+

n

n

nn

n

,1lim =n

nn a

,111

>

+

ra

an

n

n ,111

+n

n

a

an

,1lim1

ra

an

n

nn =

+

1+n

n

a

a

,1

nna

a n

n

n ++=+

( )

++=

+

nn

Ona

a

n

n ,11

.:lim lan nn =

,:lim lan nn =

5/19/2018 Predavanja_4_iz_IM1_2013_-_2014_

21/21

72

3) (Integralni kriterijum).Neka je f(x) nenegativna i nerastua realna funkcija na [a, + )(R) za neki a > 0 i neka je an=f(n). Tada red n(a)an konvergira ako i samo akokonvergira nesvojstveni integral*)

tj. ovaj red i ovaj integral su ekvikonvergentni.

Zadatak 2. 6.1.**

a) Pokaite da red na konvergira te izraunajte sumu2

n

n

a

= , gdje je

1

43

5

n

n na

+

=

( "n N0).

b) Pokaite da red0

2 3

4

n n

n nn

a

=

++

, (za an iz a)), konvergira, a zatim naite

njegovu sumu .

Zadatak 2. 6. 2.** a)Dokaite da red( )

1

1n n + konvergira.

b)Izraunajte sumu1

( 1)n kn n

= + , gdje je ksuma svih cifara vaeg matinog broja.

c)Pokaite da vrijedi2

1 1,

( 1) ( 1)n n n

+ +

za svaki nN.

d) Pokaite usporednim kriterijem da red( )

+

21

1

n konvergira.

e)Ustanovite na osnovu d) da je red 21

n konvergentan. ( Dokazuje se da za

pripadnu sumu ovog reda vrijedi:2

21

1

6n n

=

= .)

_______________*) Pojam nesvojstvenog integralaemo uvesti pri kraju ovog kursa.**) Zadatak zadavan za domau zadau (DZ) i (parcijalni i/ili integralni) pismeni ispit iz Inenjerske

matematike 1 (IM1) na Elektrotehnikom fakultetu Univerziteta u Sarajevu.

( ) ,a

f x dx