NUMERIČKE METODE I

MATEMATIČKO MODELIRANJE

8. PREDAVANJE

NUMERIČKA INTERPOLACIJA, EKSTRAPOLACIJA I PRILAGODBA

PODATAKA ANALITIČKIM FUNKCIJAMA

INTERPOLACIJA I EKSTRAPOLACIJA

l  numerička interpolacija i ekstrapolacija su među najčešće korištenim numeričkim metodama u fizici

l  npr. zadana je funkcija f na skupu točaka x1,…,xn, međutim, analitički oblik funkcije za proizvoljni x nije poznat

l  funkcija f može reprezentirati neke eksperimentalne podatke ili može biti rezultat složenog numeričkog proračuna neke fizikalne veličine, što se ne može jednostavno izraziti u analitičkom obliku

l  kada se želi odrediti vrijednost funkcije f za argument x koji nije unutar zadanog skupa točaka x1,…,xn , onda se primjenjuje interpolacija

l  ako je x izvan skupa točaka na kojem je funkcija zadana, onda treba provesti numeričku ekstrapolaciju (problematičnija metoda)

l  osnovne metode interpolacije: → polinomna interpolacija → metoda kubičnog “spline-a”

spline → klin, savitljiva šipka, utor za klin, uzak drven ili

kovinski klin

INTERPOLACIJA I EKSTRAPOLACIJA

l  metoda polinomne interpolacije → pretp. skup N+1 točaka

gdje su vrijednosti međusobno različite

POLINOMNA INTERPOLACIJA

l  potrebno je odrediti polinom stupnja n takav da je

(za sve točke gdje je funkcija definirana)

l  polinom koji ispunjava ovoj uvjet može se zapisati kao

l  uvrstimo x0,x1,…,xN u izraz za PN(x), dobije se skup jednadžbi trokutastog oblika:

l  iz gornjeg sustava jednadžbi redom se određuju koeficijenti l  klasičnu formulu za interpolaciju odredio je Lagrange,

POLINOMNA INTERPOLACIJA

l  za samo dvije točke, iz interpolacijske formule slijedi

l  u slučaju tri točke (parabolična aproksimacija)

POLINOMNA INTERPOLACIJA

l  kubična “spline” interpolacija je jedna od najčešće korištenih metoda za interpolaciju između točaka podataka čiji argumenti su uređeni kao uzlazni nizovi

l  “spline” funkcija sastoji se od polinoma definiranih na podintervalima, funkcije su povezane preko granica intervala koristeći različite relacije neprekidnosti

l  Pretp. točaka koje su uređene tako da je

(ove točke zovemo čvorovi)

KUBIČNA “SPLINE” INTERPOLACIJA

l  “spline” funkcija stupnja sa čvorova definirana je na sljedeći način:

- na svakom podintervalu , je polinom stupnja - ima neprekidnih derivacija na cijelom intervalu

KUBIČNA “SPLINE” INTERPOLACIJA

l  Primjer: “spline” funkcija stupnja definirana je kao

l  u ovom slučaju, polinomi se sastoje od niza ravnih linija koje su međusobno spojene preko svakog čvora

l  Ovdje je broj neprekidnih derivacija k-1=0

l  najčešće korištene “spline” funkcije su za , tzv. kubične “spline” funkcije

l  pretp. čvorova, niz vrijednosti funkcija

l  prema definiciji interpolacije

l  ukupno postoji polinoma tipa

l  treba odrediti koeficijenata l  svaki podinterval određuje uvjete

KUBIČNA “SPLINE” INTERPOLACIJA

ai3

l  dodatni zahtjev je da su i neprekidne na čvorovima

l  iz gornjih jednadžbi definiraju se dvije vrijednosti druge derivacije u čvorovima:

l  povlačenjem ravne linije između i dobiva se izraz za općeniti x u intervalu

KUBIČNA “SPLINE” INTERPOLACIJA

l  integriranjem dva puta po x dobije se

l  koristeći uvjete i mogu se odrediti konstante i , odatle slijedi

KUBIČNA “SPLINE” INTERPOLACIJA

?

l  kako odrediti vrijednosti drugih derivacija, i ? l  koristi se uvjet neprekidnosti prvih derivacija za

l  razlika između dva čvora definirana je kao

l  uvrštavanjem prethodnog izraza za slijedi

l  uvedimo notaciju za

KUBIČNA “SPLINE” INTERPOLACIJA

l  Problem se svodi na problem rješavanja sustava linearnih jednadžbi koristeći npr. Gaussovu eliminaciju

l  iz ove jednadžbe određuju se druge derivacije koje sada samo treba uvrstiti u prethodno dani izraz za

l  ovime je određena interpolirana funkcija na svakom intervalu za proizvoljni argument

KUBIČNA “SPLINE” INTERPOLACIJA

KUBIČNA “SPLINE” INTERPOLACIJA

l  ova interpolacija može se izvesti koristeći funkcije iz Numerical Recipes: i

l  prvo treba pozvati funkciju

l  ulazne vrijednosti su čvorovi koji su zadani kao polja i , osim njih treba zadati i prve derivacije f(x) na i

l  n odgovara broju čvorova

l  funkcija vraća polje koje sadrži druge derivacije u svakoj točki

l  za računanje interpolirane vrijednosti funkcije za proizvoljni argument x, koristi se funkcija:

l  ovdje se kao ulazne vrijednosti koriste polja

l  i polje drugih derivacija koje je dobiveno funkcijom “spline”

l  funkcija vraća interpoliranu vrijednost y za odgovarajući x

KUBIČNA “SPLINE” INTERPOLACIJA

ZADATAK 8

l  Napišite program koji izvodi kubičnu “spline” interpolaciju za proizvoljni (netrivijalni) skup podataka od 30 čvorova. Dozvoljeno je korištenje funkcija iz Numerical Recipes. Grafički prikažite odabrani skup podataka i interpolacijsku krivulju koja ih povezuje.