8/19/2019 Predavanje 8 Matematika 03.10

1/3

1

DIFERENCIJABILNOST

FUNKCIJE

 x

 y x f 

 x ∆

∆=′

→∆ 00 lim)(

 Izraz diferencijabilnosti:

 x

 x f  x x f 

 x ∆

−∆+=

→∆

)()(lim 00

0

• Neprekidnost f je nužan uslov diferencijabilnosti ali ne i dovoljan

2

Posmatrajmo funkciju

12)(   +−==  x x f  y

2

2lim

2

112lim

2

)2()(lim

222 −

−=

−

−+−=

−

−

→→→  x

 x

 x

 x

 x

 f  x f 

 x x x

Prvo, x=2 je u domenu funkcije.

Drugo,

Treće, dobija se da je f(2)=1.

1limlim22

==−+

→→

 y y x x

a)Neprekidnost

Funkcija je neprekidna.

11lim2

2lim

2

2lim

222==

−

−=

−

−

+→→→  ++  x x x  x

 x

 x

 x1)1(lim

2

)2(lim

2

2lim

222−=−=

−

−−=

−

−

−−−→→→  x x x  x

 x

 x

 x

b) Diferencijabilnost

Funkcija nije diferencijabilna.

3

Tangentom krive K u tački M0 zovemo granični položaj

sječice M0M kad se tačka M neograničeno približava tački

M0 (ukoliko takav položaj postoji) (sl. 1.).

Posmatrajmo K grafik funkcije y = f(x) (sl. 2.).

Slika. 1. Slika. 2.  4

Zadatak:

Odrediti koeficijent pravca tangente u tački M0(x0,y0)

grafika funkcije y = f(x).

Rješenje: Ako je k t koeficijent pravca tangente i k skoeficijent pravca sječice M0M, onda je, prema definiciji

tangente, k k tM M

s=→

lim0

0

0

000

0

0

0

lim0a , x

 yk  x M  M 

 x

 yk 

 xt s

∆

∆=⇒→∆⇔→

∆

∆=

→∆

Određivanje koeficijenta pravca tangente se, dakle, svodi na

određivanje granične vrijednosti (prvog izvoda funkcije y u

tački x0). Znači, prvi izvod u tački, geometrijski, predstavlja

koeficijent pravca tangente krive y u toj tački.

5

Ekonomske funkcije

• Osnovne ekonomske veličine (kategorije)

• Cijena

• Tražnja• Ponuda

• Proizvodnja

• Prihod

• Troškovi

• Dobit

6

• Pretpostavka

• sa rastom cijene tražnja opada; najvećuvrijednost, max, ima pri cijeni p = 0, doknajmanju vrijednost dostiže ili nedostiže zavisnood toga da li je u pitanju luksuzni proizvod(cigareta, automobil) ili proizvod od vitalnog

značaja (hljeb, lijek)

8/19/2019 Predavanje 8 Matematika 03.10

2/3

7

• Ponuda sa cijenom raste. Proizvod se nudipri cijeni pri kojoj se traži, pa su oblastidefinisanosti ponude i tražnje iste.

Iz pretpostavke o neprekidnosti funkcije tražnje iponude nekog proizvoda i monotonosti tih funkcija

slijedi da postoji neka vrijednost p0 argumenta p zakoju se te funkcije izjednačavaju. Tu vrijednost

argumenta p zovemo ravnotežnom cijenom. 8

• Troškovi T rastu sa proizvodnjom. Pri proizvodnjix = 0 troškovi takođe postoje (na primjer, zbogamortizacije) i te troškove zovemo fiksnim(oznaka Tf) za razliku od varijabilnih Tv nastalihzbog proizvodnje. (Ukupni) troškovi su zbirfiksnih i varijabilnih troškova

9

•  Prosječni troškovi pri proizvodnji x sutroškovi po jedinici proizvodnje: T

T

x=

Prihod je jednak proizvodu cijene itražnje (proizvodnje). Pretpostavljamoda, do određene cijene, prihod raste, azatim opada. Pri cijeni p = 0 i prihod jeP = 0

10

• Dobit D(x) pri proizvodnji x je razlikaodgovarajućih prihoda i troškova:D(x) = P(x) - T(x).

x

DIntervalproizvodnje nakome je dobitpozitivna zove seintervalrentabiliteta, anjegovi krajevi sudonja i gornjagranica

rentabiliteta.

11

7.1. PRAVILA DIFERENCIRANJA ZA FUNKCIJU JEDNE

PROMJENLJIVE

• Pravilo za izvod konstante (izvod konstante je 0)

Za f(x)=k → f !(x)=0

Dokaz:

Za funkciju f(x)=k  → f(N)=k za bilo koju vrijednost N . Prema tome,

00limlim)()(

lim)(   ==−

−=

−

−=′

→→→  N  x N  x N  x  N  x

k k 

 N  x

 N  f  x f  N  f 

Kako je N bilo koja vrijednost x →  f ’(x)=0.

12

Za funkciju y=f(x)=xn→ f ’’(x)=nxn-1

Primjer 1: Za n=1, f(x)=x → f’(x)=

Primjer 2: Izvod (derivacija) od y=x9

 je 9x8 

.

Primjer 3: Ako je y=1/x3 → y=x-3 → y=-3x-4.

Uopštenje: Ako je f(x)=cxn → f’(x)=cnxn-1.

( ) 1limlim00

'=

∆

−∆+=

∆

∆

→∆→∆

= x

 x x x

 x

 y x

 x x

8/19/2019 Predavanje 8 Matematika 03.10

3/3

13

7.2. Pravila difereciranja za dvije ili više funkcija iste

promjenljive

[ ] )()()()()()(  xg x f  xgdxd  x f 

dxd  xg x f 

dxd  ′±′=±=±

33 95  x x y   +=

 Izvod zbira i razlike

Izvod zbira (razlike) dvije funkcija jednak je zbiru (razlici) izvoda

tih funkcija:

Primjer:

222 422715  x x x y   =+=′

14

 Ekonomske implikacije:

• Fiksni troškovi preduzeća ne utiču na njegove granične troškove

(izvod konstante je nula).

Za kratkoročnu funkciju ukupnih troškova C=Q3-4Q2+10Q+75

funkcija graničnih troškova (za infinitezimalnu funkciju ukupnih

troškova) je: C’=3Q2

-8Q+10, a fiksni troškovi su 75.

Slijedi grafički prikaz ukupne funkcije i njene granične funkcije:

•  Zbog podudarnosti između derivacije funkcije i nagiba njene

krive, granična funkcija bi trebala da prikazuje nagib ukupne

funkcije za svaku vrijednost x.

15 16

[ ] )()()()()()()()()()(  x f  xg xg x f  x f dx

d  xg xg

dx

d  x f  xg x f 

dx

d ′+′=+=⋅

 Izvod proizvoda

Izvod proizvoda dvije diferencijabilne funkcija jednak je zbiru

proizvoda prve funkcije sa izvodom druge i proizvoda druge sa

izvodom prve:

Primjer:

Naći izvod funkcije y=(2x+3)(3x2).

( )( )[ ]   ( )( )   ( )( )  x x x x x x x x x xdx

d 18186181223632332 22222 +=++=++=+

17

)(

)()()()(

)(

)(2

 xg

 xg x f  xg x f 

 xg

 x f 

dx

d    ′−′=

22 )1(

5

)1(

)1)(32()1(2

1

32

+=

+

−−+=

  

  

+

−

 x x

 x x

 x

 x

dx

d 

 Izvod kolí č nika

Primjer 1:

Primjer 2:

2

2

2

2

2

22

)(

)(

)(

))(()(2

cx

bax

cx

baxc

cx

cbaxcxax

cx

bax

dx

d    −=

−=

+−=

 

  

    +