Predavanje - Redovi cekanja

34457Informacijske mreže

5. Predavanje – Redovi čekanja

Ak.god. 2010./2011.

Prof.dr.sc. Mladen Kos

Informacijske mrežeTeme

� Redovi čekanja

� Red M/M/1

� PASTA

� Redovi M/M/*

2

� Erlangovi modeli

Informacijske mrežeRed M/M/1

� Dolazni proces: Poisson s parametrom λ

� Vrijeme posluživanja: iid, eksponencijalna razdioba s parametrom µ

� Vremena posluživanja i međudolazna vremena: nezavisni

Jedan poslužitelj

3

� Jedan poslužitelj

� Beskonačni prostor čekanja

� N(t): broj korisnika u sustavu u trenutku t (stanje)

0 1 n+1n2

λ

µ

λ

µ

λ

µ

λ

µ

Informacijske mrežeEksponencijalne slučajne varijable

Primjer: Zadane su s.v. X i Y:

� X: eksponencijalna s.v. s parametrom λ

� Y: eksponencijalna s.v. s parametrom µ

� X, Y: nezavisne s.v.

� Dokaz:

( )

( )

{min{ , } } { , }

{ } { }

{min{ , } } 1

t t t

t

P X Y t P X t Y t

P X t P Y t

e e e

P X Y t e

λ µ λ µ

λ µ

− − − +

− +

> = > > == > > =

= = ⇒

≤ = −

4

X, Y

Dokazati:

1. min{X, Y}: eksponencijalna s.v.s parametrom λ + µ

2. P{X<Y} = λ/(λ + µ)

Ovaj rezultat koristimo za opis reda

M/M/1 pomoću vremenski-

kontinuiranog Markovljevog lanca

0 0

0 0

0 0

0

( )

0 0

{ } ( , )

(1 )

( )

1

y

XY

yx y

yy x

y y

y y

P X Y f x y dx dy

e e dx dy

e e dx dy

e e dy

e dy e dy

λ µ

µ λ

µ λ

µ λ µ

λ µ

µ λ

µ

µµ λ µ

λ µµ λ

λ µ λ µ

∞

∞− −

∞− −

∞− −

∞ ∞− − +

< = =

= ⋅ =

= =

= − =

= − + =+

= − =+ +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

Informacijske mrežeRed M/M/1: Markovljev lanac

� Prijelazi u skupu {N(t): t ≥ 0} su potaknuti dolascima i odlascima

{N(t): t ≥ 0} može skakati samo u susjedna stanja

Pretpostavljamo da je proces u trenutku t u stanju i: N(t) = i ≥ 1

� Xi: vrijeme do sljedećeg dolaska – eksponencijalno s parametrom λ

: vrijeme do sljedećeg odlaska – eksponencijalno s parametrom

5

� Yi: vrijeme do sljedećeg odlaska – eksponencijalno s parametrom µ

� Ti = min{Xi,Yi}: vrijeme provedeno u stanju i

� Ti : eksponencijalno s parametrom v = λ + µ (prethodna stranica)

� Pi,i+1 = P{Xi < Yi} = λ/(λ+µ), Pi,i-1 = P{Yi < Xi} = µ/(λ+µ)

� P01=1, a T0 eksponencijalno s parametrom λ

{N(t): t ≥ 0} vremensko-kontinuirani Markovljev lanac:

, 1 , 1

, 1 , 1

, 0

, 1

0, | | 1

i i i i i

i i i i i

ij

q P i

q P i

q i j

ν λ

ν µ+ +

− −

= = ≥

= = ≥

= − >

Informacijske mreže

� Proces rađanja i umiranja → JLRp pµ λ= ⇒

Red M/M/1: stacionarne razdiobe

0 1 n+1n2

λ

µ

λ

µ

λ

µ

λ

µ

6

� Normalizacijska konstanta

� Stacionarna razdioba

1

1 1 0...

n n

n

n n n

p p

p p p p

µ λλ

ρ ρµ

−

− −

= ⇒

= = = =

0 0

0 1

1 1 1 1 , 1 za n

n

n n

p p pρ ρ ρ∞ ∞

= =

= ⇔ + = ⇔ = − <

∑ ∑

(1 ), 0,1,...n

np nρ ρ= − =

Informacijske mrežeRed M/M/1 (nast.)

� Prosječni broj korisnika u sustavu

1

0 0 0 0

2

(1 ) (1 ) (1 )

1 1(1 ) (1 )

1 (1 ) 1

n n n

n

n n n n

N np n nρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρρ

ρ λρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ µ λ

∞ ∞ ∞ ∞−

= = = =

∂ = = − = − = − ∂

∂= − = − = =

∂ − − − −

∑ ∑ ∑ ∑

7

� Primjenom Littleovog teorema dobivamo prosječno kašnjenje po korisniku (čekanje+posluživanje)

� Prosječno vrijeme čekanja i broj korisnika u redu (nije uključeno posluživanje)

1 (1 ) 1ρ ρ ρ ρ µ λ∂ − − − −

λµλµ

λ

λλ −=

−==

11NT

21

i 1

QW T N Wρ ρ

λµ µ λ ρ

= − = = =− −

Informacijske mreže

� ρ = λ/µ: iskoristivost

� Dugoročno gledajući ρ je udio vremena zauzeća poslužitelja 4

6

8

10

N

Red M/M/1 (nast.)

8

poslužitelja

� ρ = 1 − p0: vrijedi za svakiM/G/1

� Uvjet stabilnosti: ρ < 1

Brzina dolazaka λ mora biti manja od brzine posluživanja µ

0

2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

ρ

Informacijske mrežeRed M/M/1: vremensko-diskretni pristup

� Promatramo vremenske trenutke 0, δ, 2δ,… (δ je proizvoljno mali)

� Za proces diskretan u vremenu Nk = N(kδ) stacionarne vjerojatnosti su

�Prijelazne vjerojatnosti su

lim { ( ) } lim { }kt k

P N t n P N n→∞ →∞

= = =

001 ( )P λδ ο δ= − +

9

� Vremensko-diskretni Markovljev lanac (zanemareni o(δ))

00

, 1

, 1

1 ( )

1 ( ), 1

( ), 0

( ), 0

( ), | | 1

ii

i i

i i

ij

P

P i

P i

P i

P i j

λδ ο δ

λδ µδ ο δ

λδ ο δ

µδ ο δ

ο δ

+

−

= − +

= − − + ≥

= + ≥

= + ≥

= − >

0 1 n+1n2

λδ

µδ

λδλδ

µδ

λδ

µδµδ1 λδ µδ− − 1 λδ µδ− − 1 λδ µδ− −1 λδ−

Informacijske mrežeRed M/M/1: vremensko-diskretni (nast.)

� Vremensko-diskretni proces rađanja i umiranja → JLR:

0 1 n+1n2

λδ

µδ

λδλδ

µδ

λδ

µδµδ1 λδ µδ− − 1 λδ µδ− − 1 λδ µδ− −1 λδ−

10

� Vremensko-diskretni proces rađanja i umiranja → JLR:

� Uzmimo limes δ→0:

Gotovo!

1

1 0

[ ( )]π [ ( )]π

( ) ( )π π π

( ) ( )

n n

n

n n

µδ ο δ λδ ο δ

λδ ο δ λδ ο δ

µδ ο δ µδ ο δ

−

−

+ = + ⇒

+ += = = + +

�

0 00 0 0

( )lim π lim lim π

( )

n n

n np p

δ δ δ

λδ ο δ λ

µδ ο δ µ→ → →

+= ⇒ = +

Informacijske mrežePrijelazne vjerojatnosti

� Ak: broj korisnika došlih u sustav u intervalu Ik=(kδ, (k+1)δ]

� Dk: broj korisnika otišlih iz sustava u intervalu Ik=(kδ, (k+1)δ]

� Prijelazne vjerojatnosti Pij ovisne o uvjetnim vjerojatnostima:

Q(a,d | n) = P{Ak=a, Dk=d | Nk-1=n}

� Izračunati Q(a,d | n) pomoću statistike dolazaka i odlazaka

11

� Izračunati Q(a,d | n) pomoću statistike dolazaka i odlazaka

� Koristiti Taylorov razvoj: e-λδ = 1 – λδ + o(δ) i e-µδ = 1 – µδ + o(δ)

� Poissonovi dolasci: P{Ak ≥ 2} = o(δ)

� Vjerojatnost 0 dolaska i 0 odlaska u Ik je e-λδ e-µδ = 1 – λδ – µδ +

o(δ)

� Vjerojatnost više od 1 dolaska (odlaska) u Ik je o(δ)

�Pokazati: vjerojatnost pojave više od jednog događaja (dolazaka ili odlazaka) u Ik je o(δ)

☺ Detaljnije u navedenim knjigama

Informacijske mrežePrimjer: usporavanje

/

1 1 /

/

N N

N mT mT

m

ρ λ µ λ

ρ λ µ µ λ

λ µ λ

′′ = = = =

′− − −

′′ = = =

−

λµ

/ mλ/ mµ

/

1 1 /

1

N

NT

ρ λ µ λ

ρ λ µ µ λ

λ µ λ

= = =− − −

= =−

12

� M/M/1: usporavanje dolazaka i brzine posluživanja za faktor m > 1

� Faktori iskoristivosti ρ za oba su sustava isti ⇒ stacionarne

razdiobe su jednake, prosječni broj paketa u sustavu ostaje isti

� Kašnjenje u sporijem sustavu je m puta veće

� Iako je prosječni broj paketa u sustavu jednak, paketi se u prvom sustavu brže kreću

/

( / )

/ /

m

mW mW

m m

λ µ λ

ρ λ µ

µ λ µ λ

−

′′ = = =

− −

/W

λ µ λ

ρ λ µ

µ λ µ λ

−

= =− −

Informacijske mrežePrimjer: ubrzavanje

/

1 1 /

1/

( )

N N

NT T k

k k

ρ λ µ λ

ρ λ µ µ λ

λ µ λ

′′ = = = =

′− − −

′′ = = =

−

λµ

kλkµ

/

1 1 /

1

N

NT

ρ λ µ λ

ρ λ µ µ λ

λ µ λ

= = =− − −

= =−

13

� M/M/1: ubrzavanje dolazaka i brzine posluživanja za faktor k > 1

� Faktori iskoristivosti ρ za oba su sustava isti ⇒ stacionarne

razdiobe su jednake, prosječni broj paketa u sustavu je jednak

� Kašnjenje u bržem sustavu je k puta manje

� Iako je prosječni broj paketa u sustavu jednak, paketi se u drugom sustavu kreću brže

( )

//

( )

k k

W W kk k k

λ µ λ

ρ λ µ

µ λ µ λ

−

′′ = = =

− −

/W

λ µ λ

ρ λ µ

µ λ µ λ

−

= =− −

Informacijske mrežePrimjer: statistički MUX vs. TDM

mT mT′ = =

λµ

/ mλ/ mµ

/ mλ/ mµ

m

14

� Prijenosi se m iid Poissonova toka brzine λ/m; link kapaciteta 1; duljine paketa iid, eksponencijalna razdioba s parametrom (prosječno trajanje prijenosa) 1/µ. Kad se tokovi stope u jedan Poissonov tok (stat-mux) brzine λ, prosječno kašnjenje po paketu jeT = 1/(µ − λ)

� TDM ili FDM: podijeliti link na m kanala svaki kapaciteta 1/m idodijeliti po jedan kanal svakom prometnom toku

� Kašnjenje u svakom “redu” M/M/ 1 postaje m puta veće

Koje su prednosti TDM ili FDM nad statističkim multipleksiranjem?

mT mT

µ λ′ = =

−

Informacijske mrežeSvojstvo PASTA

� Markovljev lanac je “stacionaran” ili je u “stacionarnom stanju”:

� Proces starta uz stacionarnu razdiobu, ili

� Proces se odvija kroz beskonačno vrijeme t→∞

Vjerojatnost da je u nekom trenutku t proces u stanju i jednaka je stacionarnoj vjerojatnosti

( )T t

15

� Pitanje: Za red M/M/1 zadani t je vrijeme dolaska: kolika je vjerojatnost da je N(t) = i?

Odgovor: PASTA - Poisson Arrivals See Time Averages!

☺ PASTA je jedno od najvažnijih svojstava redova čekanja. Akronim PASTA treba pisati velikim, a ne malim slovima; pasta (talijanskog porijekla) je posebno važna u kulinarskim znanostima!

( )lim { ( ) } lim i

it t

T tp P N t i

t→∞ →∞= = =

Informacijske mrežeSvojstvo PASTA (nast.)

� Stacionarne vjerojatnosti:

� Stacionarne vjerojatnosti zauzeća do dolaska:

� Trenutak t- označava trenutak “točno prije t” (neposredno prije t)

Pretpostavka LAA (Lack of Anticipation Assumption): buduća

lim { ( ) }nt

p P N t n→∞

= =

lim { ( ) | }dolazak un

ta P N t tn

→∞

−= =

16

� Pretpostavka LAA (Lack of Anticipation Assumption): buduća međudolazna vremena i vremena posluživanja prethodno pristiglih korisnika su neovisna

Teorem: Sustav posluživanja zadovoljava LAA:1. Ako je dolazni proces Poissonov:

2. Poissonov proces je jedini proces s tim svojstvom(nužan i dovoljan uvjet)

, 0,1,...n n

a p n= =

Informacijske mrežeSvojstvo PASTA (nast.)

Može li se PASTA primijeniti na sve procese?

Primjer:

� Deterministički dolasci svakih 10 s

� Determinističko posluživanja trajanja 9 s

Do dolaska: sustav je uvijek prazan a = 0

17

Do dolaska: sustav je uvijek prazan a1= 0

Prosječno vrijeme s jednim korisnikom u sustavu: p1= 0.9

� “Korisnički” prosjeci nisu jednaki vremenskim prosjecima (a1≠p1)

� Ništa ne pomaže, proces mora biti Poissonov!

1

0 109 20 30 40 49

Informacijske mrežeSvojstvo PASTA: dokaz

� Definiramo A(t, t+δ): dolazak se zbio u intervalu [t, t + δ)

� Ako korisnik dolazi u t, vjerojatnost da će naći sustav u stanju n:

� A(t, t+δ) je nezavisan od stanja sustava prije vremena t, N(t-)

� N(t-) određen vremenom dolazaka < t, i korespondentnim vremenima

0{ ( ) | } lim { ( ) | ( , )}P N t n t P N t n A t t

δδ− −

→= = = +dolazak u

18

� N(t ) određen vremenom dolazaka < t, i korespondentnim vremenima posluživanja

� A(t, t+δ) nezavisan od dolazaka < t [Poisson]

� A(t, t+δ) nezavisan od vremena posluživanja pridošlih korisnika < t [LAA]

0 0

0

{ ( ) , ( , )}( ) lim { ( ) | ( , )} lim

{ ( , )}

{ ( ) } { ( , )}lim { ( ) }

{ ( , )}

n

P N t n A t ta t P N t n A t t

P A t t

P N t n P A t tP N t n

P A t t

δ δ

δ

δδ

δ

δ

δ

−−

→ →

−−

→

= += = + =

+

= += = =

+

lim ( ) lim { ( ) }n n n

t ta a t P N t n p

−

→∞ →∞= = = =

Informacijske mrežeSvojstvo PASTA: intuitivni dokaz

� ta i tr: slučajno odabrano vrijeme dolaska i vrijeme promatranja

� Dolazni procesi prije ta i tr su stohastički identični procesi� Obje razdiobe vjerojatnosti vremena prvog dolaska prije ta i prije tr su

eksponencijalne s parametrom λ

� Poopćenjem na ostale dolaske (drugi, treći,…) prije ta i tr daje isti rezultat

19

� Stanje sustava u nekom trenutku t ovisi samo o dolascima (i pripadnim vremenima posluživanja) prije t

Budući da su dolazni procesi prije vremena dolaska ta i prije slučajnog vremena promatranja tr identični, oni jednako “vide” stanje sustava

☺Za rigorozni dokaz vidjeti navedenu literaturu!

Informacijske mrežeSvojstvo PASTA nije ispunjeno

Primjer 1: Dolasci nisu Poissonovi� Međusobno nezavisna (iid) međudolazna vremena, ravnaju se po

jednolikoj razdiobi između 2 i 4 s� Vrijeme posluživanja je determinističko: 1 s

Neposredno prije dolaska: sustav je uvijek prazan, a1 = 0

λ = 1/3, T = 1 → N = Tλ = 1/3 → p1 = 1/3

20

1

Primjer 2: LAA nije zadovoljen� Poissonovi dolasci, međudolazna vremena Ti

� Vrijeme posluživanja korisnika i: Si = αTi+1, α < 1 Do dolaska: sustav je uvijek prazan, a1 = 0

Prosječno vrijeme u kojem je u sustavu jedan korisnik: p1 = α

☺ Ovo su primjeri svojstva poznatog pod imenom anti-PASTA. I ovdje, akronim anti-PASTA ne treba miješati s talijanskim izrazom antipasto(predjelo) iz kulinarskih znanosti!

Informacijske mrežeSvojstvo PASTA: razdiobe odlaska

� Stacionarne vjerojatnosti broja korisnika u sustavu neposrednonakon odlaska:

� Uz vrlo općenite pretpostavke:

� N(t) se mijenja za jedinične inkremente (to je uvije ispunjeno kod stabilnog reda M/M/1, ρ < 1)

lim { ( ) | }odlazak u n

td P t tX n+

→∞= =

21

kod stabilnog reda M/M/1, ρ < 1)

� Postoji limes za an i dn

an = dn, n=0,1,… (npr. jedan ode ⇒ jedan dođe)

U stacionarnom stanju, sustav izgleda stohastički identičan za dolazećeg i odlazećeg korisnika

� Poissonovi dolasci + LAA: u stacionarnom stanju sustav je stohastički identičan i za dolazećeg i za odlazećeg korisnika, a jednako ga vidi i promatrač koji ga promatra u nekom proizvoljnom vremenu

Informacijske mrežeRedovi M/M/*

� Poissonov dolazni proces� Međudolazna vremena: iid, eksponencijalna

� Vremena posluživanja: iid, eksponencijalna

� Vremena posluživanja i međudolazna vremena: nezavisna

22

nezavisna

� N(t): broj korisnika u sustavu u t (stanje)

{N(t): t ≥ 0} može se modelirati kao vremensko-kontinuirani ili vremensko-diskretni Markovljev lanac

Brzine prijelaza između stanja ovise o svojstvima sustava

Svojstvo PASTA je uvijek zadovoljeno

Informacijske mrežeRed M/M/1/K: sustav s gubicima

� M/M/1 s konačnim prostorom za čekanje� Najviše K korisnika istovremeno u sustavu

0 1 KK-12

λ

µ

λ

µ

λ

µ

λ

µ

23

� Najviše K korisnika istovremeno u sustavu

� Korisnik koji dolaskom nalazi K korisnika u sustavu je odbačen


� Uvjet stabilnosti: uvijek stabilan – čak i kad je ρ ≥ 1

� Vjerojatnost gubitka – pomoću svojstva PASTA:

0

0 1

, 1, 2,...,

1

1

n

n

K

p p n K

p

ρρ

ρ +

= =

−=

−

1

(1 ){ } { ( ) }

1gubitak

K

KP P N t K

ρ ρ

ρ +

−= = =

−

Informacijske mrežeRed M/M/1/K (dokaz)

� Isto kao i kod M/M/1:

0 1 KK-12

λ

µ

λ

µ

λ

µ

λ

µ

, 1,2,...,n

p p n Kρ= =

24

� Normalizacijska konstanta:

Generalizacija: tzv. okrnjeni Markovljev lanac

1

0 0

0 1

0 1

11 1 1

1

1

1

KK Kn

n

n n

K

p p p

p

ρρ

ρρ

ρ

+

= =

+

−= ⇒ = ⇒ =

−−

⇒ =−

∑ ∑

0, 1,2,...,

n

np p n Kρ= =

Informacijske mrežeOkrnjeni Markovljev lanac

� {X(t): t ≥ 0} vremenski-kontinuirani Markovljev lanac sastacionarnom razdiobom {pi: i = 0,1,…}

� S podskup od {0,1,…}: skup stanja; promatramo samo proces u S

� Eliminirati sva stanja koja nisu u S

� Staviti 0, ,ji ijq q j S i S= = ∈ ∉� �

25

� Staviti

� {Y(t): t ≥ 0}: rezultirajući okrnjeni proces; ako je ireducibilan:

� Vremensko-kontinuirani Markovljev lanac


U nekim slučajevima treba provjeriti ovisnost o sustavu

0

za

za

j

ij

i S

pj S

pp

j S

∈

∈

=

∉

∑�

0, ,ji ijq q j S i S= = ∈ ∉� �

Informacijske mrežeOkrnjeni Markovljev lanac (nast.)

� Mogući dovoljni uvjet

� Provjera razdiobe okrnjenog procesa

1. Zadovoljava JGR

( ) ( )

j i

j ji i ij j ji i ij ji ij

p pp q p q p q p q q q

p S p S= ⇒ = ⇒ =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

,j ji i ij

i S i S

p q p q j S∉ ∉

= ∈∑ ∑

26

2. Zadovoljava normalizacijski zakon:

Dovoljni uvjet: bolje je koristiti JLR!

Relacija s pojmom “reverzibilnost”

Ispunjeno za multidimenzionalne lance

( ) ( )

,

j ji i ij j ji i ij ji ij

i i i S i S i S i S

j ji i ij j ji i ij

i S i S i S i S

p S p S

p q p q p q p q j S

∈ ∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈ ∈

⇒ = ⇒ = ∈

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑� � � � � �

( )1, ( )

( ) ( )

ii i

i S i S i S

p p Sp p S p

p S p S∈ ∈ ∈

= = = ≡∑ ∑ ∑�

Informacijske mrežeRed M/M/1: sustav s promjenljivim brzina

� Međudolazna vremena: neovisna, eksponencijalna, s parametrom λn

0 1 n+1n2

0λ

1µ

nλ

1nµ +

1λ

2µ

1nλ −

nµ

27

� Međudolazna vremena: neovisna, eksponencijalna, s parametrom λn

kad se nalazi u stanju n

� Vremena posluživanja: neovisna, eksponencijalna, s parametrom µn

kad se nalazi u stanju n

� Vremena posluživanja i međudolazna vremena: neovisna

{N(t): t ≥ 0} je proces rađanja i umiranja

Stacionarna razdioba:1

1 1

0 0

0 1 01 1

, 1 1n n

i i

n

i n ii i

p p n pλ λ

µ µ

−− ∞ −

= = =+ +

= ≥ = +

∏ ∑∏

Informacijske mrežeRed M/M/c

� Poissonovi dolasci brzine λ

� Eksponencijalna vremena posluživanja s parametrom µ

0 1 c+1c2

λ

µ

λ

cµ

λ

2µ

λ

cµ

28

µ

� c poslužitelja (kanala u kontekstu npr. prijenosnih mreža)

� Pridošli korisnik nalazi n korisnika u sustavu, pa vrijedi� n < c: on se uputi na neki slobodni poslužitelj

� n ≥ c: on se uključi u red čekanja – svi poslužitelji su zauzeti

Proces rađanja i umiranja s brzinom umiranja ovisnom o stanju

[Vrijeme provedeno u stanju n prije skoka u stanje n − 1 je minimum odBn= min{n,c}, eksponencijalno s parametrom µ]

, 1

,n

n n c

c n c

µµ

µ

≤ ≤=

≥

Informacijske mrežeRed M/M/c (nast.)

0 1 c+1c2

λ

µ

λ

cµ

λ

2µ

λ

cµ

� Jednadžbe lokalne ravnoteže

1 ( )1 : ,

n ncn c p p p p p

λ λ λ λ λ ρ λρ

≤ ≤ = = = = = ≡� �

29

� Normalizacija

1 0 0 0

0 0 0

1 ( )1 : ,

( 1) ! !

1 ( ) :

! ! !

n n

n c c n c nc n

n c

cn c p p p p p

n n n n n c

c cn c p p p p p

c c c c c c

λ λ λ λ λ ρ λρ

µ µ µ µ µ µ

λ λ λ λ ρ

µ µ µ µ

−

− −

≤ ≤ = = = = = ≡

−

> = = = =

� �

1 11 1

0

0 1 0

( ) ( ) ( ) ( ) 11 1

! ! ! ! 1

k c k cc ck c

n

n k k c k

c c c cp p

k c k c

ρ ρ ρ ρρ

ρ

− −∞ − ∞ −

−

= = = =

= ⇒ = + + = + −

∑ ∑ ∑ ∑


� Vjerojatnost čekanja – pridošli korisnik nalazi zauzete sve poslužitelje

� Erlang-C formula: koristi se u telefoniji (komutacija kanala)

0 0

( ) ( ) 1{ }

! ! 1

c cn c

Q n

n c n c

c cP P p p p

c c

ρ ρρ

ρ

∞ ∞−

= =

= = = =−

∑ ∑čekanje u redu

30

� Erlang-C formula: koristi se u telefoniji (komutacija kanala)

� Pozivi dolaze brzinom λ; vrijeme zauzeća (trajanje) poziva je eksponencijalno sa srednjim trajanjem 1/µ

� c raspoloživi broj kanala (npr. prijenosnog sustava)

� Poziv koji naiđe na zauzeta c kanala, neprestano pokušava pronaći slobodni kanal – “ostaje u redu”

� Red M/M/c/c: sustav s gubicima - kasnije ćemo detaljnije izučavati

� Poziv koji nalazi zauzeta c kanala je blokiran i odbačen (nema čekanja)

� Erlang-B formula: koristi se u telefoniji


� Očekivani broj korisnika u redu čekanja – nisu na posluživanju

� Srednje vrijeme čekanja (u redu)

0 0 2

2

( ) ( )( ) ( )

! ! (1 )

(1 )(1 ) 1

c c

n c

Q nn c n c

Q Q

c cN n c p p n c p

c c

P P

ρ ρ ρρ

ρρ ρ

ρρ ρ

∞ ∞ −

= == − = − =

−

= − =− −

∑ ∑

31

� Srednje vrijeme čekanja (u redu)

� Srednje vrijeme boravka u sustavu (čekanje + posluživanje)

� Očekivani broj korisnika u sustavu

(1 )

Q

Q

NW P

ρ

λ λ ρ= =

−

1 1 1

(1 )

Q

Q

PT W P

c

ρ

µ µ λ µ λ ρ µ= + = + = +

− −

1

Q

Q

PN T P c

c

λ λ ρλ ρ

µ λ µ ρ= = + = +

− −

Informacijske mrežeRed M/M/c: primjer – opet stat-MUX

� Komunikacijski link poslužuje c Poissonovih tokova ukupne brzine λ. Link je podijeljen na c odvojenih kanala pri čemu je svakom kanalu pridružen pojedini tok.

� Ako u nekom prometnom toku nema paketa koji čekaju na prijenos, onda se njemu pripadni kanal koristi za prijenos paketa iz nekog drugog toka.

� Prijenosno vrijeme paketa u svakom kanalu ravna se po

32

� Prijenosno vrijeme paketa u svakom kanalu ravna se po eksponencijalnoj razdiobi sa srednjom vrijednosti 1/µ.

Sustav se može modelirati kao red M/M/c. Prosječno kašnjenje po paketu je

Pogledajmo sada stat-MUX s jednim kanalom koji ima c puta veći kapacitet. Njega možemo modelirati kao red M/M/1 iste dolazne brzine λ i brzine posluživanja cµ. Prosječno kašnjenje po paketu je sada

1QP

Tcµ λ µ

= +−

Informacijske mrežeRed M/M/c: primjer (nast.)

Kad je ρ puno manji od 1 (slabo opterećen sustav) imamo :

1QP

Tc cµ λ µ

= +−

0, 0Q QP P≅ ≅

Tc

T≅

33

Kad je ρ samo neznatno manji od 1 (jako opterećen sustav) imamo

:

Kod slabog opterećenja: stat-MUX s c kanala daje gotovo c puta veće kašnjenje od stat-MUX koji kombinira c kanala u jedan veliki (kao kod sustava TDM). Kod velikog opterećenja: kašnjenja kod oba sustava su podjednaka.

1, 1, 1/ 1/( )Q QP P cµ µ λ≅ ≅ −�

1T

T≅

Informacijske mrežeRed M/M/∞

� Beskonačni broj poslužitelja ⇒ nema čekanja u redu

Red M/M/c uz c = ∞ ⇒ JLR + normalizacija

0 1 n+1n2

λ

µ

λ

( 1)n µ+

λ

2µ

λ

nµ

34

� Red M/M/c uz c = ∞ ⇒ JLR + normalizacija

� Stacionarna razdioba:

Poisson brzine λ/µ (= a ≡ ponuđeni promet)

� Prosječni broj korisnika i prosječno kašnjenje:

Rezultat vrijedi i za red M/G/∞

/( / ), 0,1,...

!

n

np e nn

λ µλ µ −= =

1,

NN T

λ

µ λ µ= = =

Informacijske mrežeRed M/M/c/c

� c poslužitelja, nema prostora za čekanje

� Pridošli korisnik je, kad naiđe na zauzete sve poslužitelje, blokiran (i odbačen)

0 1 c2

λ

µ

λ

2µ

λ

cµ

35

odbačen)

� Stacionarna razdioba za vjerojatnosti stanja:

� Vjerojatnost blokiranja (svojstvo PASTA) - Erlang-B formula:

� Erlang-B formula se koristi u telefoniji i komutaciji kanala

Rezultat vrijedi i za red M/G/c/c

1

0

( / ) ( / ), 0,1,...,

! !

n kc

n

k

p n cn k

λ µ λ µ−

=

= =

∑

1

0

( / ) ( / )

! !

c kc

c

k

pc k

λ µ λ µ−

=

=

∑

Informacijske mrežeM/M/∞ i M/M/c/c (dokazi)

� Jednadžbe lokalne ravnoteže:

( )n p p p p p pλ λ λ λ λ λ

µ λ⋅

= ⇒ = = = =�

�

0 1 n+1n2

λ

µ

λ

( 1)n µ+

λ

2µ

λ

nµ

36

� Normalizacija:

� Obično se koristi oznaka: a = λ/µ – ponuđeni promet

1 1 2 0

0

( )( 1) ( 1)

( / ), 0,1,...

!

n n n n n

n

n

n p p p p p pn n n n n

p p nn

µ λµ µ µ µ µ µ

λ µ

− − −= ⇒ = = = =− ⋅ −

⇒ = =

��

�

1

0

0

( / ),

!

kc

k

pk

λ µ−

=

= ∑ za M /M / c / c

1

/

0

0

( / ),

!

k

k

p ek

λ µλ µ−

∞−

=

= = ∞ ∑ za M /M /

Informacijske mrežeZbroj eksponencijalnih slučajnih varijabli

� X1, X2,…, Xn: iid, eksponencijalne s.v. s parametrom λ

� T = X1 + X2 +…+ Xn

Funkcija gustoće vjerojatnosti za T:

[Gama razdioba s parametrima (n, λ)]

1( )

( ) , 0( 1)!

nt

T

tf t e t

n

λλλ

−−= ≥

−

37

[Gama razdioba s parametrima (n, λ)]

Ako je Xi vrijeme između dolazaka i - 1 i i, tada je Tvrijeme do n-tog događaja

Za proizvoljno mali δ:

(Kumulativna) funkcija razdiobe:

1( )

{ [ , )} ( )( 1)!

nt

T

tP n t t f t e

n

λλδ δ λδ

−−+ = =

−- ti dolazak u

1

0

( ){ } 1 { }

( 1)!

nt

s

n

sP t t e ds P n t

n

λλλ

−−≤ = = −

−∫ - ti dolazak nakon

Informacijske mrežeZbroj eksponencijalnih s.v. (nast.)

Primjer: Poissonovi dolasci brzine λ

� τ1: vrijeme do dolaska prvog korisnika

� τi: i-to međudolazno vrijeme

� τ1, τ2,…, τn: iid, eksponencijalne s.v. s parametrom λ

� tn= τ1+ τ2+…,+τn: vrijeme dolaska n-tog korisnika

38

� tn= τ1+ τ2+…,+τn: vrijeme dolaska n-tog korisnika

tn se ravna po gama-razdiobi s parametrima (n, λ)

Za proizvoljno mali δ :

1 1

0

( ) ( )( ) , 0; { }

( 1)! ( 1)!

n nt

t t

n

t tf t e t P t t e dt

n n

λ λλ λλ λ

− −− −= ≥ ≤ =

− −∫

1( )

{ [ , )} ( )( 1)!

nt

T

tP n t t f t e

n

λλδ δ λδ

−−+ = =

−- ti dolazak u

Informacijske mrežeRed M/M/1: vrijeme boravka

� Red M/M/1 – disciplina posluživanja FCFS

� Ti: vrijeme koje korisnik i provede u sustavu(čekanje + posluživanje) – vrijeme boravka ili

kašnjenje

T : eksponencijalna razdioba s parametrom µ - λ

39

� Ti: eksponencijalna razdioba s parametrom µ - λ

� Dokaz 1: direktno izračunavanje funkcije razdiobe vjerojatnosti

� Dokaz 2: korištenjem neke od transformacija (2. predavanje)

☺ Dokaz 3: intuitivno – provedite sami!

Informacijske mrežeM/M/1: vrijeme boravka – 1. dokaz

0

{ ( ) ( ) }

( )(1 )

i i k

k

nkt k

P D t t D t k p

te

µ µρ ρ

∞

=

∞−

= + − ≤

= ⋅ −

∑

∑∑

(1)

(2)

0

{ } { | } { }i i i i

k

P T t P T t N k P N k∞

=

> = > = =∑

40

0 0

0

0 0

( )

( )(1 )

!

( )(1 )

!

( ) ( )

! !

t k

k n

nkt k

n k n

n nk kt n t

n n

t t t

te

n

te

n

t te e

n n

e e e

µ

µ

µ µ

µ λ µ λ

µρ ρ

µρ ρ

µ λρ

−

= =

∞−

= =

− −

= =

− − −

= ⋅ −

= −

= ⋅ =

= =

∑∑

∑ ∑

∑ ∑

(2)

(3)

(4)


� ti je vrijeme dolaska i-tog korisnika, a je broj korisnika u sustavu neposredno prije i-tog dolaska

� Jednadžba (1): i-ti korisnik će provesti vrijeme Ti u sustavu, znajući da je dolaskom u sustav naišao na prisutnih k korisnika, samo ako je broj odlazaka u intervalu (ti , ti + t) manji od k + 1. P{Ni = k} = pk

(PASTA)

( )i i

N N t−=

41

(PASTA)

� Jednadžba (2): tijekom tog intervala poslužitelj je uvijek zauzet, pa su vremena između odlazaka iid i eksponencijalna s parametrom µ:

� Jednadžba (3): zamjena redoslijeda sumacija

� Jednadžba (4): koristi se činjenica

( ){ ( ) ( ) } , 0

!

nt

i i

tP D t t D t n e n k

n

µ µ−+ − = = ≤ ≤

1

0 0

1 1

1 1 1

n nnk k k

k n k k

ρ ρρ ρ ρ

ρ ρ ρ

∞ ∞ −

= = =

−= − = − =

− − −∑ ∑ ∑


� Ni je broj korisnika u sustvu neposredno prije i-tog dolaska

� vrijeme boravka u sustavu i-tog korisnika, kad on nalazi kkorisnika već u sustavu

� je suma od k iid eksponencijalnih s.v.

( )k

iT

( )

1 1...

k

i i i i k i kT S S S R− − + −= + + + +

( )k

iT

( )k

iT

42

� Sj je vrijeme posluživanja korisnika j, a Ri-k preostalo vrijeme posluživanja upravo posluživanog korisnika

� Si,…, Si−k+1 : iid, eksponencijalne s.v. s parametrom µ

� Ri-k: eksponencijalna s.v. s parametrom µ, neovisna od Si,…, Si−k+1

� je suma slučajnih brojeva od iid eksponencijalnih s.v.

Koristiti funkciju izvodnicu momenata (2. predavanje, str. 2-47)

☺ Preporuča se studentu da za vježbu primjeni neku drugu transformaciju

i

( )iN

i iT T=


� s.v. je eksponencijalna s parametrom µ samo ako je njena funkcija izvodnica momenata µ /(µ – t)

( )

( )

0

0 0

( ) [ ] [ | ] { }

[ ] ( )

i i

i

ki

ki

tT tT

T i ik

tT

k kTk k

M t E e E e N k P N k

E e p M t p

∞

=

∞ ∞

= =

= = = =

= =

∑

∑ ∑

43

njena funkcija izvodnica momenata µ /(µ – t)

1

0 0

( ) (1 ) (1 )

1

( )1

i

k k

k

T

k k

M tt t t

t t

µ µ λρ ρ ρ

µ µ µ

µ λ µ λλµ µ λ

µ λ

+∞ ∞

= =

= − = −

− − −

− −= ⋅ =

− − −−−

∑ ∑

( )1 1

1

( ) ( ) ( )... ( ) ( )ki i i k i ki

k

S S S RTM t M t M t M t M t

t

µ

µ− − + −

+

= = −

Informacijske mrežeO Erlangovim formulama

� Interpretacija u telefoniji (red M/M/c/c):

� pn je dio vremena u kojem je n-ti kanal zauzet (stanje n).

� λ je prosječni broj poziva u jedinici vremena

� τ (= 1/µ) je srednje vrijeme zauzeća kanala.

� a = λτ = λ/µ je ponuđeni promet i brojčano se izražava u jedinicama erlang (erl) u čast A.K. Erlanga koji je 1917. prvi izveo formulu za pn.

44

erlang (erl) u čast A.K. Erlanga koji je 1917. prvi izveo formulu za pn.

� Stacionarne vjerojatnosti - sustav se nalazi u stanju n:

� Erlang-B formula - vjerojatnost blokiranja (n = c):

1

0

, 0,1,...,! !

n kc

n

k

a ap n c

n k

−

=

= =

∑

1

0! !

c kc

c

k

a ap

c k

−

=

=

∑

Informacijske mrežeO Erlangovim formulama (nast.)

� Erlang-B formula susreće se pod različitim imenima: Erlangova formula gubitaka (ili blokiranja), Erlangova prva formula,…Također se koriste i različite oznake za pc: � U Europi: E1,c(a) ili Ec(a) ili E(c,a)

� U SAD: B(c,a) ili B

� Izraz za pn zove se i “okrnjena” Poissonova razdioba, Erlangova razdioba gubitaka,…

45

razdioba gubitaka,…� a/c je ponuđeni promet po poslužitelju (kanalu) i često se zove

intenzitet prometa (= ρ)� Obavljeni ili preneseni promet a* je općenito definiran za

stacionarno stanje kao srednji broj zauzetih poslužitelja (kanala):

Prva suma odnosi se na korisnike koji se poslužuju (n < c), a druga suma govori o činjenici da su svi poslužitelji zauzeti samo ako je najmanje c korisnika u sustavu. (Intuitivno je jasno: a = a*+ apc ili pc = (a – a*)/a, što je i prirodna definicija za pc).

1

1

c

n n

n n c

a np c p− ∞

∗

= =

= +∑ ∑


� Ako sada uzmemo da je disciplina posluživanja takva da se blokirani korisnici i odbace (pn = 0 za n > c), uvrštavanjem izraza za pn u izraz za a*, nakon nekih pojednostavljenja (obavite to sami!), dobivamo:

Dakle, ponuđeni promet a bit će ujedno i obavljeni promet a* samo

[1 ]ca a p∗ = −

46

Dakle, ponuđeni promet a bit će ujedno i obavljeni promet a* samo ako je broj poslužitelja beskonačan. U stvarnosti je obavljeni promet točno onaj dio ponuđenog prometa koji nije blokiran (izgubljen) od strane sustava

� Zauzetost poslužitelja (faktor iskoristivosti) ρ je definirana kao obavljeni promet po poslužitelju u stacionarnom stanju

U telefoniji je zauzetost ρ mjera stupnja iskorištenja skupine poslužitelja (npr. pretplatničke grupe u komutacijskom sustavu)

a

cρ

∗

=


Vidimo: ako c raste, a a* raste tako da pc ostaje konstantan, tada i ρ raste ⇒ velike grupe poslužitelja (kanala) su efikasnije od malih. U praksi je taj rezultat obično oslabljen (prvenstveno zbog hardverskih ograničenja): velike jako opterećene grupe poslužitelja su ranjivije na degradaciju posluživanja (tijekom prometnog preopterećenja) od malih grupa poslužitelja s istim blokiranjem pc ali nižom zauzetosti ρ

Primjer: slučaj za c = 1: poslužitelj alternira između stanja´zauzet` i

47

� Primjer: slučaj za c = 1: poslužitelj alternira između stanja´zauzet` i ´slobodan`; svako stanje zauzetosti traje prosječno τ (= 1/µ), a svaki slobodni interval prosječno 1/λ. Jedan ciklus se sastoji od slobodnog intervala i susjednog zauzetog intervala pa je njegova prosječna duljina 1/λ + τ, a omjer τ /(1/λ + τ) = a /(1 + a) je Erlang-B formula za c

= 1. Dakle, omjer srednjih vrijednosti τ /(1/λ + τ) pokazuje udio vremena u kojem je poslužitelj zauzet

Za izračunavanja Erlang-B formule pc= B(c,a), koristi se rekurzija:

( 1, )( , ) , (0, ) 1

( 1, )

aB c aB c a B a

c aB c a

−= =

+ −


� Erlang-C formula: pridošli korisnik nalazi zauzete sve poslužitelje i stane u red čekanja, tj. blokirani korisnik je zakašnjen. Vjerojatnost da su svi poslužitelji zauzeti je PQ (vidi str. 4-27 do 4-31), te ako stavimo a = cρ = λ/µ u formule za red M/M/c imamo:

{ }čekanje u reduc

aP P p p

∞

= = =∑

48

� Erlang-C formula susreće se pod različitim imenima: Erlangova formula kašnjenja, Erlangova druga formula,…Također se koriste i različite oznake za pQ:

� U Europi: E2,c(a)

� U SAD: C(c,a)

0

11

0

0

{ }( 1)!( )

, 0! ( 1)!( )

čekanje u reduQ n

n c

k cc

k

P P p pc c a

a ap a c

k c c a

=−

−

=

= = =− −

= + ≤ <

− −

∑

∑


� Za razliku od Erlang-B formule, Erlang-C formula ne vrijedi za proizvoljnu funkciju razdiobe vremena posluživanja

Opet, za razliku od Erlang-B formule, Erlang-C formula vrijedi samo u slučaju kad je ponuđeni promet a manji od broja poslužitelja c (ili ekvivalentno ρ < 1)

Erlang-C formula se ne može primijeniti kad je red čekanja (tj.

49

Erlang-C formula se ne može primijeniti kad je red čekanja (tj. spremnik) konačan. Naime, u tom slučaju, ako korisnik naiđe na puni red čekanja (puni spremnik) on će biti odbačen i izgubljen

Na osnovu definicije prenesenog prometa vidimo da je a* = a, ili ekvivalentno: iskoristivost ili zauzetost poslužitelja ρ = a*/c jednaka je intenzitetu prometa a/c (=ρ ): to je intuitivno jasno jer u Erlangovom modelu kašnjenja svi blokirani korisnici idu u red čekanja (koji je beskonačan) i na kraju su svi posluženi

Za numerička izračunavanja korisna je formula:

( , )( , )

[1 ( , )]

cB c aC c a

c a B c a=

− −

Documents

Predavanje - Redovi cekanja