Prednapregnute Konstrukcije Program(2013)

Građevinski fakultet u Sarajevu

Odsjek za konstrukcije

Predmet: Spregnute i prednapregnute konstrukcije

ISPITNI ZADATAK

Predmetni nastavnik: Student:

Prof.dr.ing. Muhamed Zlatar Hasić Faruk

Sarajevo, Novembar 2013.g.

Prednapregnute konstrukcije | Hasić Faruk 1235/K

1

UVOD

U ovome zadatku će se izvršiti dimenzioniranje glavnog prednapregnutog krovnog nosača

industrijske hale. Nosač se radi na stazi za prednaprezanje. Prednaprezanje se vrši prije

očvršćavanja betona (trenutni spoj). Opterećenje je pretežno mirno. Sva horizontalna dejstva se

prenose direktno na stubove, tako da se nosač proračunava samo na dejstvo vertikalnog

opterećenja. Nosač se postavlja na odgovarajuća elastomer ležišta pri čemu je otpor trenja

zanemarivo mali. Kako zadatkom nisu definisani posebni uslovi okoline, pretpostavlja se da se

nosač nalazi u suhoj sredini bez agresivnih uticaja. Cijeli proračun se provodi prema EC-2

propisima.

Literatura: a) „Betonske konstrukcije I i II“ (Hasanović-Zlatar)

b) „Prednapregnuti beton“ (Zlatar)

d) „Proračun AB konstrukcija prema EC-2“ (Hasanović)

c) EC-2

1. MATERIJALI

1.1. BETON

Zadatkom je zadan kvalitet betona C50/60.

Osnovne karakteristike betona C50/60 („Prednapregnuti beton“, str.16.):

fck = 50,0N mm2⁄ – karakteristična vrijednost čvrstoće betona na pritisak (cilindar 15 30⁄ , fraktil

5%)

fctm = 4,10N mm2⁄ – srednja vrijednost čvrstoće betona na zatezanje

fctk0,05 = 2,90N mm2⁄ – 5% fraktilna vrijednost čvrstoće na zatezanje (donja fraktilna vrijednost)

fctk0,95 = 5,30N mm2⁄ – 95% fraktilna vrijednost čvrstoće na zatezanje (gornja fraktilna

vrijednost)

Ecm = 37000,0N mm2⁄ – srednja vrijednost modula elastičnosti

Klasa agresivnosti sredine 1 („Prednapregnuti beton“, str.14.-tabela 1)

maxw c⁄ = 0,60 – maksimalni vodocementi faktor

Pored ovoga EC-2, tačnije ENV 206 (evropski predstandard), zahtjeva ispunjenje još nekih zahtjeva

u pogledu spravljanja betonske mješavine.

Za suhu okolinu (klasa agresivnosti sredine 1) vrijedi da je maksimalni vodocementi faktor

maxw c⁄ = 0,60 te da je minimalna količina cementa za spravljanje betonske smjese 300kg.


2

1.2. BETONSKI ČELIK

Zadatkom je zadan čelik S500.

fyk = 500,0N mm2⁄ – karakteristična vrijednost napona čelika na granici tečenja

Es = 200 000,0N mm2⁄ – modul elastičnosti

1.3. ČELIK ZA PREDNAPREZANJE

Zadatkom je zadan čelik: 𝐒𝐭 𝟏𝟓𝟕𝟎/𝟏𝟕𝟕𝟎

dp = 12,5mm (prečnik jednog užeta)

Ap = 93mm2 (površina jednog užeta)

} → uže sa 7 žica

Osnovne karakteristike čelika St 1570/1770:

fpk = 1770,0N mm2⁄ – karakteristična vrijednost čvrstoće čelika za prednaprezanje na granici

kidanja

fp0,2k = 1570,0N mm2⁄ – karakteristična vrijednost čvrstoće čelika za prednaprezanje na granici

tečenja (napon pri trajnoj deformaciji 0,2%)

fp0,1k = 0,86 ∙ fpk = 0,86 ∙ 1770,0 = 1520,0N mm2⁄ – tehnička granica tečenja (prema EC-2)

Ep = 195 000,0N mm2⁄ – modul elastičnosti

Klasa relaksacije 2 (užad) („Prednapregnuti beton“, str.22.-slika 3.)

2. PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI

2.1. GRANIČNO STANJE NOSIVOSTI (ULS)

Osnovna kombinacija (kombinacija za samo jedno promjenjivo dejstvo):

S[Σ(γG,i ∙ Gk,i + γP,i ∙ Pk + 1,5 ∙ Qk,1)]

⇓računska vrijednost djestava Sd

(uzrok naprezanja)

≤

R [fckγc;fyk

γs; 0,9 ∙

fpk

γs]

⇓računska vrijednost otpornosti presjeka Rd

(naprezanja)

γG – parcijalni koeficijenti sigurnosti za stalna dejstva

γG,sup = 1,35 ⟶ nepovoljno dejstvo

γG,inf = 1,00 ⟶ povoljno dejstvo


3

γP – parcijalni koeficijenti sigurnosti za djelovanje prednaprezanja

γP = 1,00

γQ – parcijalni koeficijenti sigurnosti za djelovanje promjenljivih dejstava

γQ,sup = 1,50 ⟶ nepovoljno dejstvo

γQ,inf = 0,00 ⟶ povoljno dejstvo

γc , γs – parcijalni koeficijenti sigurnosti za materijale (beton i čelik)

γc = 1,50 → za čelik

γs = 1,15 → za beton

2.2. GRANIČNO STANJE UPOTREBLJIVOSTI (SLS)

Za kontrolu graničnog stanja upotrebljivosti potrebno je napraviti nekoliko kombinacija

opterećenja i to:

Rijetka kombinacija: S[ΣGk,i + Pk + Qk,1] ⇒ uprošteno za samo jedno promj. dejstvo

Česta kombinacija: S[ΣGk,i + Pk + ψ1,1 ∙ Qk,1 + Σψ2,1 ∙ Qk,i]

Kvazi-stalna kombinacija: S[ΣGk,i + Pk + Σψ2,1 ∙ Qk,i]

Koeficijenti sigurnosti:

ψ1,1 = 0,70

ψ2,1 = 0,50

3. SISTEM, DIMENZIJE, ZAŠTITNI SLOJ

3.1. RASPON


4

Prosta greda:

leff = 2200,0cm

ltot = leff + 2 ∙ 25,0cm = 2200,0 + 50,0 = 2250,0cm

3.2. MINIMALAN BROJ ELEMENATA ZA PREDNAPREZANJE

Prema EC-2 za pojedini konstruktivni element od prednapregnutog betona u prethodno

napregnutoj zategnutoj zoni, treba predvidjeti minimalan broj armature za prednaprezanje. Time

se osigurava da eventualno otkazivanje određenog broja žica ne prouzroči trenutni (nenajavljeni)

lom elementa.

Minimalna armatura: jedno uže – 7 žica ϕmin(žice) = 4,0mm.

3.3. ZAŠTITNI SLOJ

3.3.1. BETONSKI ČELIK

a) minimalna debljina zaštitnog sloja s obzirom na klasu agresivnosti sredine (zaštita od korozije):

cmin,1 = 15,0mm („Betonske konstrukcije II“,str. 197.-tabela 4.)

b) minimalna debljina zaštitnog sloja u zavisnosti od zahtijeva za prenošenjem sila spoja uz uslov

da je maskimalno zrno agregata d0 ≤ 32,0mm:

cmin,2 ≥ ∅ (≤ 40,0mm)

Pretpostavka: ∅w = 8,0mm (prečnik vilica)

∅2 = 16,0mm (prečnik podužne armature)

c) nominalna debljina pokrovnog sloja:

cnom = cmin + ∆h

∆h → veličina kojom se uzimaju u obzir moguća odstupanja i tolerancije

∆h ≤ 5,0mm (prefabrikovani elementi sa kontrolom prefabrikacije i kontrolom kvaliteta)

cnomw = max(cmin,1; cmin,2) + ∆h = 15 + 5 = 20,0mm

cnomL = cnom

w + ∅w = 20 + 8 = 28,0mm


5

USVOJENO:

3.3.2. ČELIK ZA PREDNAPREZANJE

a) minimalna debljina zaštitnog sloja s obzirom na klasu agresivnosti sredine:

cmin,1 = 25,0mm („Betonske konstrukcije II“,str. 197.-tabela 4.)

b) minimalna debljina zaštitnog sloja u zavisnosti od zahtijeva za prenošenjem sila spoja uz uslov

da je maksimalno zrno agregata d0 ≤ 32,0mm:

cmin,2 ≥ ∅p (≤ 40,0mm)

cmin,2 = 12,5mm (prečnik jednog užeta za prednaprezanje)

c) nominalna debljina pokrovnog sloja:

cp,nom = cmin,1 + ∆h = 25 + 3 = 28,0mm

∆h ≤ 5,0mm

4. KOMBINACIJE DEJSTAVA

4.1. GRANIČNO STANJE NOSIVOSTI (ULS)

S[Σ(γG,i ∙ Gk,i + γP ∙ Pk + 1,5 ∙ Qk,1)] − dejstva na konstrukciju

Površina betona:

Ac = 95 ∙ 16 + 15 ∙ 40 + 2 ∙1

2∙ 5 ∙ 12 = 2180,0cm2

γc = 25,0 kN m3⁄ − zapreminska težina betona

cw,nom = 30,0mm


6

Opterećenje:

a) vlastita težina nosača: Ac ∙ γc = 0,218 ∙ 25,0 = 5,45 kN m′⁄

b) težina pokrova: 3,50 kN m′⁄

c) promjenljivo opterećenje: 5,50 kN m′⁄

I) Stalno opterećenje: Gk,1 = 5,45 kN m′⁄

Gk,2 = 3,50 kN m′⁄

II) Promjenljivo opterećenje: Qk,1 = 5,50 kN m′⁄

Koeficijenti sigurnosti: γG,sup = 1,35

γQ,sup = 1,50

γP = 0,00

SULS = γG ∙ (Gk,1 + Gk,2) + γQ ∙ Qk,1 = 1,35 ∙ (5,45 + 3,50) + 1,5 ∙ 5,50 = 20,33 kN m′⁄

4.2. GRANIČNO STANJE UPOTREBLJIVOSTI (SLS)

Koeficijenti sigurnosti:

ψ1,1 = 0,70

ψ2,1 = 0,50

a) Rijetka kombinacija

Ova kombinacija je potrebna za proračun napona usljed ukupnog opterećenja.

Srijetka = (Gk,1 + Gk,2) + Qk,1 = (5,45 + 3,50) + 5,50 = 14,45 kN m′⁄

b) Česta kombinacija

Ova kombinacija je potrebna za dokaz naprslina i dekompresije.

Sčesta = (Gk,1 + Gk,2) + ψ1,1 ∙ Qk,1 = (5,45 + 3,50) + 0,70 ∙ 5,50 = 12,80 kN m′⁄


7

c) Kvazi-stalna kombinacija

Ova kombinacija je potrebna za dokaz napona u stanju eksplotacije i za proračun progiba.

Skvazi−stal. = (Gk,1 + Gk,2) + ψ2,1 ∙ Qk,1 = (5,45 + 3,50) + 0,50 ∙ 5,50 = 11,70 kN m′⁄

4.3. FAZE OPTEREĆENJA

Faza I : prije ugradnje (montaže) (opterećenje od vlastite težine + prednaprezanje)

Sd = ΣγGj ∙ Gk,j + γp ∙ Pk

ΣγGj ∙ Gkj = 1,35 ∙ 5,45 = 7,36 kN m⁄

Faza II : poslije ugradnje (preostalo opterećenje stalnog karaktera + pokretno opterećenje)

[ΣγGj ∙ Gkj + γp ∙ Pk + 1,5 ∙ Qk,1]

ΣγGj ∙ Gkj = 1,35 ∙ (5,45 + 3,5) = 12,80 kN m⁄

1,50 ∙ Qk,1 = 1,50 ∙ 5,50 = 8,25 kN m⁄

[ΣγGj ∙ Gkj + γp ∙ Pk + 1,5 ∙ Qk,1] = 12,08 + 8,25 + γp ∙ Pk = 20,33 + γp ∙ Pk


8

5. PRESJEČNE SILE USLJED DJELOVANJA VANJSKOG OPTEREĆENJA

5.1. PRESJEČNE SILE U STANJU GRANIČNE NOSIVOSTI (ULS)

Faza I

Msd,ULSI = SULS ∙

leff2

8= 7,36 ∙

22,02

8= 445,28kNm

Vsd,ULSI = SULS ∙

leff2= 7,36 ∙

22,0

2= 80,96kN

Faza II

Msd,ULSII = SULS ∙

leff2

8= 20,33 ∙

22,02

8= 1229,96kNm

Vsd,ULSII = SULS ∙

leff2= 20,33 ∙

22,0

2= 233,63kN

5.2. PRESJEČNE SILE U STANJU GRANIČNE UPOTREBLJIVOSTI (SLS)

a) RIJETKA KOMBINACIJA

Msdrijetka = Srijetka ∙leff

2

8= 14,45 ∙

22,02

8= 874,22kNm

Vsdrijetka = Srijetka ∙leff2= 14,45 ∙

22,0

2= 158,95kNm

b) ČESTA KOMBINACIJA

Msdčesta = Sčesta ∙leff

2

8= 12,80 ∙

22,02

8= 774,40kNm

Vsdčesta = Sčesta ∙leff2= 12,80 ∙

22,0

2= 140,80kNm

c) KVAZI-STALNA KOMBINACIJA

Msdkvazi−stalna = Skvazi−stalna ∙leff

2

8= 11,70 ∙

22,02

8= 707,85kNm

Vsdkvazi−stalna = Skvazi−stalna ∙leff2= 11,70 ∙

22,0

2= 128,70kNm


9

Proba 1

6. KARAKTERISTIKE POPREČNOG PRESJEKA

6.1. ARMATURA ZA PREDNAPREZANJE

∅p = 12,50mm

Ap1 = 93,0mm2

αp =Ep

Ecm=195000

37000= 5,27

(odnos modula elastičnosti armature za prednaprezanje i betona)

Pretpostavka: 6∅p

Ap = 6 ∙ Ap1 = 5,58cm2

6.2. OBIČNA ARMATURA

Pretpostavka: 12∅16 S500

As1 = 12 ∙1,62 ∙ π

4= 24,13cm2

αs =EsEcm

=200000

37000= 5,40

(odnos modula elastičnosti obične armature i betona)

6.3. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE BETONSKOG PRESJEKA

Ac = 2180,0cm2

zcd =

16 ∙ 95 ∙ 47,5 + 15 ∙ 40 ∙ 102,5 + 2 ∙12 ∙ 12 ∙ 5 ∙ 93,3

16 ∙ 95 + 15 ∙ 40 + 2 ∙12 ∙ 12 ∙ 5

=139300,0

2180,0= 63,90cm

Ic =40 ∙ 153

12+ 40 ∙ 15 ∙ 38,62 +

12 ∙ 53

36∙ 2 + 2 ∙

5 ∙ 12

2∙ 29,432 +

16 ∙ 953

12+ 16 ∙ 95 ∙ 16,42 =

Ic = 2509262,69cm4


10

Geometrijske karakteristike betonskog presjeka dobijene pomoću AutoCAD-a

Površina betonskog presjeka: Ac = 2180,0cm2 = 0,218m4

Težište: zcd = 63,90cm

zcg = 46,10cm

Moment inercije: Ic = 2509274,46cm4

6.4. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE SPREGNUTOG PRESJEKA

Ap = 5,58cm2 αp = 5,27

As = 24,13cm2 αs = 5,40

Ac = 2180,0cm2

Površina idealiziranog poprečnog presjeka:

Ai = Ac + (αp − 1) ∙ Ap + (αs − 1) ∙ As = 2180 + (5,27 − 1) ∙ 5,58 + (5,40 − 1) ∙ 24,13 =

Ai = 2310,0cm2


11

Položaj težišta idealizirane površine u odnosu na težište betonskog presjeka

∆z =(αp − 1) ∙ Ap ∙ zcp + (αs − 1) ∙ As ∙ zcs

Ai

ycp = 14,05cm → udaljenost težišta armature za prednaprezanje od donjeg ruba

ycs = 15,10cm → udaljenost težišta betonske armature od donjeg ruba

Udaljenost težišta betonskog dijela presjeka i armature za prednaprezanje:

zcp = zcd − ycp = 63,90 − 14,05 = 49,85cm

Udaljenost težišta betonskog dijela presjeka i betonske armature:

zcs = zcd − ycs = 63,90 − 15,10 = 48,80cm

Odstojanje težišta idealizirane površine presjeka u odnosu na težište betonskog presjeka:

∆z =(5,27 − 1) ∙ 5,58 ∙ 49,85 + (5,40 − 1) ∙ 24,13 ∙ 48,80

2310,0= 2,76cm

Težište idealiziranog presjeka u odnosu na donji rub:

zid = zc

d − ∆z = 63,90 − 2,76 = 61,14cm

Udaljenost težišta idealiziranog presjeka i armature za prednaprezanje:

zi,p = zid − ycp = 61,14 − 14,05 = 47,09cm

Udaljenost težišta idealiziranog presjeka i betonske armature:

zi,s = zid − ycs = 61,14 − 15,10 = 46,04cm


12

Moment inercije idealiziranog presjeka:

Ii = Ic + Ac ∙ ∆z2 + (αp − 1) ∙ Ap ∙ zcp ∙ zi,p + (αs − 1) ∙ As ∙ zcs ∙ zi,s =

Ii = 2509274,46 + (5,27 − 1) ∙ 5,58 ∙ 49,85 ∙ 47,09 + (5,4 − 1) ∙ 24,13 ∙ 48,8 ∙ 46,04 =

Ii = 2805613,27cm4

7. DEJSTVO PREDNAPREZANJA

7.1. VOĐENJE ARMATURE ZA PREDNAPREZANJE I KARAKTERISTIČNE VRIJEDNOSTI POSTUPKA

PREDNAPREZANJA

Kako se radi o prednaprezanju sa trenutnim spojem, kablovi za prednaprezanje se vode paralelno

sa osovinom nosača. Prednaprezanje se vrši na stazi za prednaprezanje tako da se prvo postavi

kalup, a zatim se vrši zatezanje kablova i nakon toga betoniranje. Nakon očvršćavanja betona sila

prednaprezanja se prenosi na betonski element kada se otpusti kabl sa anker bloka.

7.2. DEJSTVO PREDNAPREZANJA U GRANIČNOM STANJU UPOTREBLJIVOSTI

Djelovanje prednaprezanja se može odrediti kao srednja vrijednost sile prednaprezanja Pm,t i to za

nepovoljno djelovanje sile prednaprezanja kao Pk,sup = rsup ∙ Pm,t ; rsup = 1,10 i za povoljno

djelovanje sile prednaprezanja kao Pk,inf = rinf ∙ Pm,t ; rinf = 0,90 .

Sila prednaprezanja za prednaprezanje sa trenutnim spojem

Pm0(x) = P0 − ∆Pc − ∆Pμ(x) − ∆Pir → sila prednaprezanja neposredno poslije završetka postupka

prednaprezanja (t = t0)

Pm0(x) ≤ Pm0 = Ap ∙ σp,m0

Pmt(x) = P0 − ∆Pc − ∆Pμ(x) − ∆Pt(t) − ∆Pir → sila prednaprezanja u vremenu t = tn

Pm0(x) – vrijednost sile prednaprezanja u presjeku „x“ u vremenu t = t0 ;

Pmt(x) – srednja vrijednost sile prednaprezanja u vremenu t = tn u presjeku „x“ ;

P0 – sila prednaprezanja na kraju elementa za prednaprezanje neposredno nakon završetka

postupka prednaprezanja ;

∆Pc – gubitak sile prednaprezanja usljed elastične deformacije elementa kod unošenja sile

prednaprezanja ;

∆Pμ(x) – gubitak sile prednaprezanja usljed djelovanja trenja ;

∆Pir – gubitak sile prednaprezanja usljed kratkotrajne relaksacije armature za prednaprezanje ;


13

∆Pt(t) – gubitak sile prednaprezanja usljed efekata puzanja, skupljanja i relaksacije ;

7.2.1. POČETNA SILA PREDNAPREZANJA P0

To je sila prednaprezanja na kraju elementa za prednaprezanje neposredno nakon završenog

postupka prednaprezanja.

7.2.1.1. DOPUŠTENE VRIJEDNOSTI SILE PREDNAPREZANJA

a) Maksimalna vrijednost sile prednaprezanja ostvarena u armaturi nakon istezanja

P0 = Ap ∙ σ0,max

σ0,max – maksimalni mogući napon ostvaren u čeliku nakon istezanja (EC-2) koji se dobije

usvajanjem manje vrijednosti od sljedeće dvije:

1) σ0,max = 0,8 ∙ fpk = 0,8 ∙ 1770,0 = 1416,0N mm2⁄

2) σ0,max = 0,9 ∙ fp0,1𝑘 = 0,9 ∙ 1520,0 = 1368,0N mm2⁄

Mjerodavna vrijednost: σ0,max = 1368,0N mm2⁄

b) Dopuštena vrijednost sile prednaprezanja Pm,0 = Ap ∙ σpm,0 koja se unosi u betonski element

neposredno nakon utezanja (računajući i sve gubitke), ima vrijednost definiranu na osnovu

napona σpm,0 , čija je mjerodavna vrijednost manja od sljedeće dvije:

1) σpm,0 = 0,75 ∙ fpk = 0,75 ∙ 1770,0 = 1327,50N mm2⁄

2) σpm,0 = 0,85 ∙ fp0,1𝑘 = 0,85 ∙ 1520,0 = 1292,0N mm2⁄

Mjerodavna vrijednost: σpm,0 = 1292,0N mm2⁄

P0,max = Ap ∙ σ0,max = 5,58 ∙ 1368,0 ∙ 10−1 = 763,34kN

Pm,0 = Ap ∙ σpm,0 = 5,58 ∙ 1292,0 ∙ 10−1 = 720,94kN

Napomena: Gubitak sile prednaprezanja usljed djelovanja trenja ∆Pμ(x) i gubitak sile

prednaprezanja usljed kratkotrajne relaksacije armature za prednaprezanje ∆Pir se

zanemaruju.


14

7.2.2. GUBITAK SILE PREDNAPREZANJA USLJED ELASTIČNIH DEFORMACIJA ELEMENTA - ∆PC

Napon u vlaknu betona na nivou armature za prednaprezanje, kao rezultat elastičnog skraćenja

betona usljed sile prednaprezanja je:

∆σp,c = Pm ∙ cosφi ∙ (1

Ai+zip2

Ii)

Napon u armaturi za prednaprezanje:

∆σp,c = −αp ∙ Pm ∙ cosφi ∙ (1

Ai+zip2

Ii)

(„Prednapregnuti beton“, str. 32.)

Pm = P0,max = Ap ∙ σ0,max = 763,34kN

∆σp,c = −5,27 ∙ 763,34 ∙ 1,0 ∙ (1

2310,0+

47,092

2805613,27) = −4022,8 ∙ (0,0004329 + 0,00079)

∆σp,c = −4,92 kN cm2⁄

∆Pc = Ap ∙ ∆σp,c

∆Pc = 5,58 ∙ 4,92 = 27,46kN

7.2.3. ODREĐIVANJE SILE PREDNAPREZANJA Pm,t(x) ZA VRIJEME t = tn

Sila prednaprezanja Pm,t(x) se određuje kao početna vrijednost Pm,0 sa gubitcima, umanjena za

vrijednost sile ∆Pt(t) nastalu kao rezultat skraćenja armature za prednaprezanje usljed dejstava

skupljanja, puzanja betona i relaksacije armature za prednaprezanje.

Pm,t = Pm,0 − ∆Pt(t)

∆Pt(t) = Ap ∙ ∆σp,c+s+r

∆σp,s+c+r =εs(t,t0) ∙ Ep + ∆σpr + αp ∙ φ(t,t0) ∙ (σcg + σcp0)

1 + αp ∙ApAc∙ (1 +

AcIc∙ zcp2 ) ∙ (1 + 0,8 ∙ φ(t,t0))

∆σp,s+c+r → promjena napona u armaturi za prednaprezanje usljed uticaja puzanja, skupljanja i

relaksacije na mjestu „x“ u vremenu „t“

εs(t,t0) → procjenjena mjera skupljanja betona (konačna mjera) („Prednapregnuti beton“,str. 25.)


15

a) εs(t, t0) – procjenjena konačna mjera skupljanja betona

Efektivna debljina elementa:

deff =2 ∙ AcU

=2 ∙ 2180

90 ∙ 2 + 16 + 2 ∙ 13 + 2 ∙ 15 + 40=4360

292= 14,93cm

Iz tabele deformacije skupljanja betona, prema EC-2, slijedi da je za:

deff ≤ 150,0mm , suhu sredinu (≈ 50% vlažnosti) i t = 28 dana

εs(t, t0) = −60 ∙ 10−3 ; φ = 2,5

b) ∆σpr – promjena napona u armaturi za prednaprezanje usljed relaksacije (pad napona pri

konstantnim deformacijama u vremenu)

∆σpr – promjena napona u armaturi za prednaprezanje na mjestu „x“ usljed relaksacije

(„Prednapregnuti beton“, str.22.)

σp = σp,g0 − 0,3 ∙ ∆σp,c+s+r ili približno σp ≈ 0,85 ∙ σp,g0

σp – krajnji napon u čeliku za prednaprezanje

σp,g0 – početni napon u čeliku za prednaprezanje usljed djelovanja sile prednaprezanja i stalnog

opterećenja

σp,g0 =P0

A0− ∆σcp + αp ∙ σcg = σ0,max − ∆σcp + αp ∙ σcg

σ0,max = 0,9 ∙ fp0,1k = 1368,0N mm2⁄

σcg – napon u betonu u visini armature za prednaprezanje od vlastitog opterećenja i od ostalih

opterećenja stalnog karaktera

αp ∙ σcg =αp

Ii∙ (MGk1 +MGk2) ∙ zi,p

MGk1 =Gk1 ∙ leff

2

8=5,45 ∙ 22,02

8= 329,725kNm

MGk2 =Gk2 ∙ leff

2

8=3,50 ∙ 22,02

8= 211,75kNm

αp ∙ σcg =5,27

2805613,27∙ (329,725 + 211,75) ∙ 47,09 ∙ 103 =

134374764,30

2805613,27=

αp ∙ σcg = 47,89N mm2⁄


16

σp,g0 = 0,90 ∙ fp0,1k − ∆σpc + αp ∙ σcg = 1368,0 − 49,2 + 47,89 = 1366,69N mm2⁄

σp ≈ 0,85 ∙ 1366,69 = 1161,69N mm2⁄

Za očitavanje vrijednosti gubitka napona usljed relaksacije potrebni su podaci

σp

fpk=1161,69

1770,0= 0,656 ∙ (100) = 65,60%

klasa relaksacije 2

}∆σpr,1000

σp⁄ = 1,75%

(„Prednapregnuti beton“,str.22.)

Na strani 22., skripte za Prednapregnuti beton, na slici 3. za klasu relaksacije 2 (odnosno užad)

imamo:

∆σpr,1000 = (1 +1,5

10∙ 6,56) ∙ 1161,69 ∙ 10−2 = 23,05N mm2⁄

∆σpr,1000 =1,75

100∙ σp → gubitak napona usljed relaksacije za t = 1000h

∆σpr,1000 =1,75

100∙ 1161,69 = 20,33N mm2⁄

Trajni gubitak za t = ∞:

∆σpr = 3 ∙ ∆σpr,1000 = 3 ∙ 23,05 = 69,15N mm2⁄

c) σcp0 – početna vrijednost napona betona u visini armature za prednaprezanje usljed djelovanja

sile prednaprezanja

φ(t,t0) – koeficijent puzanja

Efektivna debljina elementa: deff = 149,30mm

Starost betona u trenutku opterećenja je 28 dana.

Vlažnost je 𝟓𝟎% .

φ(∞,t0) = 2,5% – konačna vrijednost koeficijenta puzanja („Prednapregnuti beton“, str. 17.)

σcp,0 =Ncp,0

Ai+Mcp,0

Ii∙ zip

Ncp,0 = −σpm,0 ∙ Ap = −1292,0 ∙ 10−1 ∙ 5,58 = −720,94kN


17

Mcp,0 = Ncp,0 ∙ zip = −720,94 ∙ 0,4709 = −339,49kNm

σcp,0 =−720,94 ∙ 103

2310,0 ∙ 102+

−339,49 ∙ 106

2805613,27 ∙ 104∙ 47,09 ∙ 10 = −3,12 − 5,70 = −8,82N mm2⁄

(σcg + σcp,0) = 9,09 − 8,82 = 0,267N mm2⁄

∆σp,c+s+r =εs(t, t0) ∙ Ep + ∆σpr + αp ∙ φ(t, t0) ∙ (σcg + σcp,0)

1 + αp ∙ApAc∙ (1 +

AcIc∙ zcp2) ∙ (1 + 0,8 ∙ φ(t, t0))

∆σp,c+s+r =−60 ∙ 10−5 ∙ 195000 − 69,15 + 5,27 ∙ 2,5 ∙ (0,267)

1 + 5,27 ∙5,582180 ∙ (1 +

21802509274,46

∙ 49,852) ∙ (1 + 0,8 ∙ 2,5)=−182,63

1,128=

∆σp,c+s+r = −161,92N mm2⁄

Konačna vrijednost napona prednaprezanja za t = ∞ iznosi:

σpm,∞ = σpm,0 − ∆σp,c − ∆σp,c+s+r = 1292,0 − 49,2 − 161,92 = 1080,88N mm2⁄

Ukupni gubitak sile prednaprezanja:

∆σp(t) =∆σpc + ∆σp,c+s+r

σpm,0=49,2 + 161,92

1292,0∙ 100% = 16,34%

7.3. DEJSTVO PREDNAPREZANJA U GRANIČNOM STANJU NOSIVOSTI

Kod dokaza graničnog stanja nosivosti za savijanje sa normalnom silom, dejstvo prednaprezanja će

se uzeti na strani djelovanja vanjskih sila.

8. KONTROLA NAPREZANJA I DOKAZ NOSIVOSTI PRESJEKA U STANJU GRANIČNE OTPORNOSTI

8.1. KONTROLA NAPREZANJA PREDNAPREGNUTIH NOSIVIH ELEMENATA NEPOSREDNO NAKON

UTEZANJA (Pm,0) I U TOKU EKSPLOTACIJE (Pm,∞)

Potrebno je dokazati da pri djelovanju sile prednaprezanja Pm,0 za t = t0 naponi zatezanja u

gornjem rubu vlakna idealiziranog poprečnog presjeka u stanju eksplotacije nisu prekoračili

vrijednost čvrstoće betona na zatezanje za MG,min:

𝛔𝐜𝟐 ≤ 𝐝𝐨𝐩𝛔𝐜𝐭


18

Također, treba dokazati da naponi pritiska u prethodno napregnutoj zategnutoj zoni (donje rubno

vlakno) nisu prekoračili dozvoljenu vrijednost čvrstoće betona na pritisak za MG,min:

𝛔𝐜𝟏 ≤ 𝐝𝐨𝐩𝛔𝐜

Ovim dokazom ispunjeni su kriteriji za ograničeno prednaprezanje. U ovoj zoni potrebno je još

ispitati i napone usljed ukupnog stalnog i korisnog opterećenja M(G+Q) (ako se radi o ograničenom

prednaprezanju), tj. :

𝛔𝒄𝟏 ≤ 𝐝𝐨𝐩𝛔𝐜𝐭 za MG+Q

Mjerodavne presječne sile za dokaz napona:

MG,min = MGk1 =Gk,1 ∙ leff

2

8=5,45 ∙ 22,02

8= 329,725kNm

MG+Q = MGk1 +MGk2 +MQk1 = 329,725 + 211,75 +5,50 ∙ 22,02

8= 874,225kNm

a) Neposredno nakon prednaprezanja za MG,min

σc2 = −Pm,0

0,95 ∙ Ac−Pm,0 ∙ zcp

0,95 ∙ Wc2−

MG,min0,95 ∙ Wc2

≤ σc = 0,6 ∙ fck

σc1 = −Pm,0

0,95 ∙ Ac−Pm,0 ∙ zcp

0,95 ∙ Wc1+

MG,min0,95 ∙ Wc1

≤ σct = fctm

Pm,0 = Ap ∙ σpm,0 = 5,58 ∙ 1292,0 ∙ 10−1 = 720,94kN

Ac = 2180,0cm2

zcp = 49,85cm

Wc2 =Icyc2=2509274,46

63,90= 39268,77cm3

Wc1 =Icyc1=2509274,46

46,1= 54413,12cm3

Kontrola napona u prethodno napregnutoj zategnutoj zoni:

σc2 = −720,94 ∙ 103

0,95 ∙ 2180,0 ∙ 102−720,94 ∙ 49,85 ∙ 10

0,95 ∙ 39268,77+329,725 ∙ 103

0,95 ∙ 39268,77=

σc2 = −3,48 − 9,63 + 8,84 = −4,27N mm2⁄

σc2 = |−4,27|N mm2 < 0,60 ∙ fck = 0,60 ∙ 50,0 = 30,0N mm2⁄⁄


19

Kontrola napona u gornjem rubnom vlaknu presjeka:

σc1 = −720,94 ∙ 103

0,95 ∙ 2180,0 ∙ 102+720,94 ∙ 49,85 ∙ 10

0,95 ∙ 39268,77−329,725 ∙ 103

0,95 ∙ 39268,77=

σc1 = −3,48 + 9,63 − 8,84 = −2,69N mm2⁄

σc1 = |−2,69|N mm2 < 0,60 ∙ fck = 30,0N mm2⁄⁄

b) Za opterećenje u eksplotaciji MG+Q

MG+Q = 874,225kNm

Ai = 2310,0cm2

Wc2,i =Iiyc2,i

=2805613,27

61,14= 45888,34cm3

Wc1,i =Iiyc1,i

=2805613,27

48,86= 57421,47cm3

Pm,∞ = Pm,0 − ∆σp,c+s+r ∙ Ap = 720,94 − 161,92 ∙ 5,58 ∙ 10−1 = 630,59kN

Kontrola napona u prethodno napregnutoj zategnutoj zoni:

σc2 = −Pm,∞Ai

−Pm,∞ ∙ zip

Wc2,i+MG+Q

Wc2,i≤ σct = fctm

σc2 = −630,59 ∙ 10

2310,0−630,59 ∙ 47,09 ∙ 10

45888,34+874,225 ∙ 103

45888,34= −2,73 − 6,47 + 19,05 =

σc2 = 9,85N mm2 > σct = fctm = 4,10N mm2⁄⁄

To je područje djelimičnog prednaprezanja jer će se pojaviti naprsline.

Kontrola napona u gornjem rubnom vlaknu presjeka:

σc1 = −Pm,∞Ai

+Pm,∞ ∙ zip

Wc1,i−MG+Q

Wc1,i≤ σc = 0,6 ∙ fck

σc1 = −630,59 ∙ 10

2310,0+630,59 ∙ 47,09 ∙ 10

57421,47+874,225 ∙ 103

57421,47= −2,73 + 5,17 − 15,22 =

σc1 = |−12,78|N mm2 < 0,60 ∙ fck = 30,0N mm2⁄⁄


20

8.2. DOKAZ NOSIVOSTI PRESJEKA U GRANIČNOM STANJU OTPORNOSTI (ULS)

8.2.1. MJERODAVNE PRESJEČNE SILE OD OPTEREĆENJA

Msd,max = 1229,96kNm

Vsd,max = 223,63kN

8.2.2. MJERODAVNE PRESJEČNE SILE OD PREDNAPREZANJA

Ncp = Ap ∙ σpd – uticaj prednaprezanja kao vanjsko opterećenje

Mcp = Ncp ∙ zip – moment savijanja od sile prednaprezanja s obzirom na težište idealiziranog

presjeka

Vpd = 0,00kN

σpd = Ep ∙ (rinf ∙ εpm + ∆εp) ≤ 0,9 ∙ fpd = 0,9 ∙ fpk γs = 0,9 ∙1770,0

1,15= 1385,22N mm2⁄⁄

εpm =σpm,∞

Ep=(σpmo − ∆σp,s+c+r)

Ep=(1292,0 − 161,92)

195000∙ 1000(⋅ ⋅⋅⁄ ) = 5,79 ⋅ ⋅⋅⁄

εpm → srednja deformacija armature za prednaprezanje usljed sile Pm,t

rinf → donja karakteristična vrijednost prednaprezanja

rinf = 0,90

εpm,0 = rinf ∙ εpm = 0,9 ∙ 5,79 = 5,21⋅ ⋅⋅⁄

εpm,0 → računska vrijednost predistezanja

∆εp → dilatacija armature za prednaprezanje od ukupnog stalnog opterećenja

εp0,1k → trajna deformacija 0,10 ⋅ ⋅⋅⁄

εp0,1k =fp0,1kEp

=1520,0

195000,0∙ 1000(⋅ ⋅⋅⁄ ) = 7,79 ⋅ ⋅⋅⁄

∆εp = αp ∙σcg

Ep= 5,27 ∙

9,09

195000,0∙ 1000 ⋅ ⋅⋅⁄ = 0,256 ⋅ ⋅⋅⁄

Pretpostavka: ∆εp = 19,00⋅ ⋅⋅⁄

σpd = (5,21 + 19,0) ∙ 195000,0 = 4720,95N mm2 > fpd =0,9 ∙ 1770,0

1,15⁄ = 1385,22N mm2⁄

⇒ σpd = fpd = 1385,22N mm2⁄

Ncp = Ap ∙ σpd = 5,58 ∙ 1385,22 ∙ 10−3 = 772,95kN

Mcp = Ncp ∙ zip = 772,95 ∙ 0,4709 = 363,98kNm


21

8.2.3. KARAKTERISTIKE MATERIJALA MJERODAVNE ZA DIMENZIONIRANJE

a) Beton C50 60⁄

fcd =fckγc=50

1,50= 33,30N mm2⁄

b) Čelik S500

fyd =fyk

γs=500

1,15= 434,78N mm2⁄

c) Čelik za prednaprezanje St 1570 1770⁄

0,9 ∙ fcd = 0,9 ∙fpk

γs= 0,90 ∙

1770

1,15= 1385,22N mm2⁄

8.2.4. DIMENZIONIRANJE NA MOMENAT I NORMALNU SILU

Karakteristike presjeka mjerodavne za dimenzioniranje

Uticaj prednaprezanja se uzima na strani dejstva – otpornost čini AB presjek.

I) Mjerodavne sile za dimenzioniranje:

Msd,max = Msd −Mcp = 1229,96 − 363,98 = 865,98kNm

Nsd,max = Ncp = 772,95kN

Redukcija sila u odnosu na težište zategnute armature:

Ms,ds = Msd,max + Nsd ∙ zc1 = 865,98 + 772,95 ∙ 0,488 = 1243,18kNm

Nsd = 772,95kN


22

beff = 40,0cm

II) Sudjelujuća širina pritisnute zone presjeka:

𝐛𝐞𝐟𝐟 = 𝐛𝐰 +𝟏

𝟓∙ 𝐥𝟎 ≤ 𝐛𝟏 + 𝐛𝐰 + 𝐛𝟐

(„Proračun AB konstrukcija prema EC-2“)

bw = 16,0cm → širina rebra

l0 = l = 22,0m → razmak nultih tačaka momenata savijanja

b1 = b2 = 12,0cm → polovina svijetlog razmaka rebara lijevo,

odnosno desno od posmatranog presjeka

beff = 16 +1

5∙ 2200,0 = 456,0cm > 12 + 16 + 12 = 40,0cm

USVOJENO:

Relativni računski moment savijanja sa obzirom na težište zategnute armature:

μsds =Msds

beff ∙ d2 ∙ fcd

Pretpostavka: d1 = 15,10cm (položaj zategnute armature)

d = h − d1 = 110,0 − 15,10 = 94,90cm

μs,ds =1243,18 ∙ 100

40 ∙ 94,92 ∙ 3,33= 0,104

beff bw = 40 16⁄ = 2,5⁄

hf d⁄ = 15 94,9⁄ = 0,158 }

⇒1000 ∙ ω = 107ξ = 0,16

ξ =x

d= 0,16

x = 0,16 ∙ 94,9 = 15,18cm ≈ hf = 15,0cm → pritisnuta zona je pravougaonog oblika

hf → debljina ploče

μs,ds = 0,104tabelarno→

ωs,ds = 0,1069

|εc2| = 3,50⋅ ⋅⋅⁄

ξs1 = 19,03⋅ ⋅⋅⁄ ≈ ∆εp = 19,0

⋅ ⋅⋅⁄

potAs1 = ωs,ds ∙ b ∙ d ∙fcdfyd−Nsdfyd

potAs1 = 0,1069 ∙ 40 ∙ 94,90 ∙33,3

434,78−772,95

43,478= 31,08 − 17,78 = 13,30cm2

potAs1 = 13,30cm2 < pretp. As1 = 24,13cm

2


23

12∅16

S500

USVOJENO:

stvAs1 = 24,13cm2

Minimalna površina armature:

As1 = {

0,60 ∙ bw ∙ d

fyk=0,60 ∙ 16 ∙ 94,9

500= 1,82cm2

0,0015 ∙ bw ∙ d = 0,0015 ∙ 16 ∙ 94,9 = 2,28cm2

8.2.5. DIMENZIONIRANJE NA POPREČNE SILE

8.2.5.1. ODREĐIVANJE DEJSTAVA (Sd)

Karakteristična vrijednost poprečne sile koja je mjerodavna za dimenzioniranje:

Vsd = V0d − Vpd

V0d → mjerodavna vrijednost poprečne sile na odstojanju „d“ od unutrašnjeg ruba oslonca

(direktno oslonjen nosač opterećen ravnomjerno podjeljenim opterećenjem)

Vpd → skretne sile usljed kosog vođenja armature za prednaprezanje

Nagib armature za prednaprezanje: ψ = 0,0

Mjerodavna vrijednost poprečne sile kod direktnog oslanjanja nosača opterećenog ravnomjerno

podjeljenjim opterećenjem definiše se na odstojanju d od unutrašnjeg ruba oslonca:

V0d = [ΣγGj ∙ Gkj + 1,5ΣQkj] ∙ [leff 2⁄ − d −a

2] = 20,33 ∙ [

22,0

2− 0,949 −

0,3

2] = 201,28kN

Vpd = 0,0 → Vsd = V0d = 201,28kN

8.2.5.2. ODREĐIVANJE KAPACITETA NOSIVOSTI PRESJEKA (Rd)

Računska čvrstoća pri smicanju za elemente bez smičuće armature za klasu betona C50 60⁄ iznosi:

τRd = 0,48N mm2⁄

k → koeficijent korekcije kojim se uzima u obzir uticaj rasporeda podužne armature na nosivost

poprečne sile (k > 1,0)

k = 1,6 − d = 1,6 − 0,949 = 0,651 < 1,0 ⇒ k = 1,0

ρ1 → koeficijent armiranja podužnom zategnutom armaturom u posmatranom presjeku

ρ1 =As1bw ∙ d

≤ 0,02


24

∅8 20𝑐𝑚⁄

S500

As1 → armatura koja se vodi i sidri do krajnjeg oslonca

(As1 = 24,13cm2⟹ sva armatura se vodi do oslonca)

bw → minimalna širina presjeka između neutralne linije i težišta zategnute armature

d → statička visina presjeka

ρ1 =24,13

16 ∙ 94,9= 0,016 ≤ 0,02

σcp → srednji napon pritiska od prednaprezanja i opterećenja (pozitivan ako je pritisak)

σcp =NsdAc=772,95 ∙ 10

2180,0= 3,55N mm2⁄

Računska vrijednost presjeka na poprečne sile u elementima bez smičuće armature iznosi:

VRd1 = [τRd ∙ k ∙(1,2 + 40 ∙ ρ1) + 0,15 ∙ σcp] ∙ bw ∙ d

(„Proračun AB konstrukcija prema EC-2“, str. 118.)

VRd1 =[0,48 ∙ 1,0 ∙ (1,2 + 40 ∙ 0,016) + 0,15 ∙ 3,55] ∙ 16,0 ∙ 94,9 ∙ 10−1 = 214,96kN

VRd1 = 214,96kN > V0d = 201,28kN → potrebna je minimalna smičuća armatura.

As,wmin = ρmin ∙ sw ∙ bw ∙ sinα („Proračun AB konstrukcija prema EC-2“,str. 132.)

ρmin → minimalni geometrijski stepen smičuće armature

za C 50 60⁄S500

} ⇒ ρmin = 0,0013

sw → najveći razmak vilica u pravcu podužne armature

α = 90° → nagib smičuće armature

As,wmin = 0,0013 ∙ 100 ∙ 16 ∙ sin90° = 2,08 cm2 m′⁄

USVOJENE DVOSJEČNE VILICE

stvAsw = 5,02 cm2 m′⁄


25

9. PRORAČUN DUŽINE SIDRENJA ARMATURE

9.1. BETONSKA ARMATURA

Sila zatezanja na krajnjem osloncu iznosi:

Fs = Vsd ∙ald+ Nsd

Vsd = 201,85kN

Veličina pomjeranja prema standardnom postupku:

al = z ∙1 − cot α

2≥ 0

al = 0,9 ∙ 95,1 ∙1 − cot 90°

2= 42,80cm

Nsd = −772,95kN

Fs = 201,28 ∙42,80

95,10− 772,95 < 0 ⟹ nije potrebna armatura za preuzimanje sile Fs

Osnovna mjera dužine sidrenja

lbo =∅

4∙fyd

fbd

Napon spoja u graničnom stanju nosivosti:

C50 60⁄ → {fbd

I = 4,3N mm2⁄ (bolji uslovi sidrenja)

fbdII = 0,70 ∙ 4,3N mm2 = 3,01N mm2⁄⁄ (lošiji uslovi sidrenja)

fyd =fyk

γs=500

1,15= 435,0N mm2 → računska vrijednost napona čelika na granici tečenja⁄

Glavna podužna armatura ∅16 :

lbo =16

4∙435,0

4,3= 404,60mm

Potrebna dužina sidrenja na krajnjem osloncu:

lpot =2

3∙ lb,net

Pošto je As = 0 jer je Fs < 0 za lb,net se uzima mjerodavna vrijednost:

lb,min = 0,3 ∙ lb ≥ {10∅10,0cm

Minimalna dužina sidrenja:

lbmin = {

0,30 ∙ lbo = 0,30 ∙ 404,65 = 121,40mm

10 ∙ ∅ = 10 ∙ 16 = 160,0mm100,0mm

potlb,A =2

3∙ 160,0 = 107,0mm


26

USVOJENO:

Sva armatura se vodi od oslonca do oslonca. Za konstruktivnu armaturu (∅12) se usvaja sidrenje

pravim krajem lb = 250,0mm .

9.1.2. NASTAVLJANJE ARMATURNIH ŠIPKI PREKLAPANJEM

ls = α1 ∙ αA ∙ lbo ∙potAsstvAs

→ potrebna dužina preklapanja

α1 ⇒ koeficijent za dužinu nastavaka koji zavisi od procenta nastavaka i razmaka „a“ i „b“.

Procenat nastavljanja šipki preklapanjem u jednom presjeku > 50% .

a < 10∅b < 5∅

} ⇒ α1 = 2,0

ls = 2,0 ∙ 1,0 ∙ 435 ∙13,77

24,13= 496,47mm

Minimalna dužina preklapanja:

lsmin = {

0,3 ∙ α1 ∙ αA ∙ lbo = 0,3 ∙ 2,0 ∙ 1,0 ∙ 435,0 = 261,0mm

15∅ = 15 ∙ 16 = 240,0mm200,0mm

USVOJENO:

Iz konstruktivnih razloga,za betonsku armaturu, je usvojeno ls = 129,0cm. Za konstruktivnu

armaturu je usvojeno ls = 79,0cm.

9.2. ARMATURA ZA PREDNAPREZANJE

lb = 360,0mm

(sidrenje pravim krajem)

ls = 700,0mm


27

σp → napon u prednapregnutom čeliku

Razlikuje se sljedeće:

a) Dužina uvođenja sile prednaprezanja, gdje se sila prednaprezanja 𝑃𝑜 uvodi u punom iznosu u

beton;

b) Dužina područja lpeff u kojem se naponi betona linearno raspodjeljuju u betonski presjek;

c) Dužina sidrenja lbp potrebna za usidrenje armature za prednaprezanje u stanju granične

otpornosti;

Na rastojanju lbp od kraja nosača sila prednaprezanja je u potpunosti uvedena u betona. U tom

području deformacije betona nisu još uvijek linearno raspoređene po visini presjeka. Tek nakon

dužine lpeff može se računati sa linearnom raspodjelom deformacija po visini presjeka.

lp,eff = √lbpd2 + d2

fctk0,05 = 2,90N mm2⁄

σtd = 1,512N mm2 < fctk0,05 = 2,90N mm2 → područje bez naprslina⁄⁄

Računska dužina uvođenja sile prednaprezanja u beton lbp:

lbp =α1 ∙ Ap ∙ σpmo

π ∙ dp ∙ η1 ∙ fbp

α1 = 1,25 → koeficijent kod naglog uvođenja sile prednaprezanja

α1 = 1,00 → koeficijent kod stepenastog uvođenja sile prednaprezanja

fbp → srednja vrijednost napona spoja

Ap = 93,0mm2 → površina užeta

dp = 12,50mm → nominalni prečnik užeta ili žice

σpmo = 1292,0N mm2⁄

η1 = 1,0 → koeficijent za normalni beton

fbp = 5,00N mm2 →⁄ srednja vrijednost napona spoja u funkciji čvrstoće betona na pritisak i vrste

armature za prednaprezanje (za normalnu (nezbijenu) užad sa površinom

Ap ≤ 150mm2, fbp se dobija iz opita) („Prednapregnuti beton“,str. 5. i str.

6.)

lbp =1,25 ∙ 0,93 ∙ 129,2

π ∙ 1,25 ∙ 1,0 ∙ 0,50=150,195

1,963= 76,49cm


28

U graničnom stanju nosivosti naponi u armaturi za prednaprezanje rastu, pa je potrebna veća

dužina da bi se maksimalna sila prednaprezanja usidrila u potpunosti. Približno za tu dužinu

sidrenja lb,a iznosi:

lb,a = lbpd +Ap

π ∙ d+σpd − σpm,t

fbp ∙ ηp

Računska vrijednost dužine sidrenja uzimajući u obzir rasipanje vrijednosti pojedinih parametara

od uticaja na spoj:

lbpd ≥ {0,8 ∙ lbp = 0,8 ∙ 76,5 = 61,20cm → donja vrijednost

1,20 ∙ lbp = 1,2 ∙ 76,5 = 91,80cm → gornja vrijednost

(mjerodavna je nepovoljnija vrijednost)

ηp = 0,50 → užad i profilisane žice

lpeff = √lbpd2 + d2 = √918,02 + 951,02 = 1321,79mm

lba = 91,80 +0,93

π ∙ 1,25+136,8 − 108,09

0,5 ∙ 0,5= 91,8 + 0,237 + 28,71 = 120,75cm

U slučaju kada su glavni naponi zatezanja betona σc2 veći od fctk0,05 (stadij II), tada treba dokazati

da je na rastojanju „x“ od oslonca stvarna sila zatezanja FEdeff(x) manja od one koju može preuzeti

armatura u tom presjeku.

σc2 = 9,85N mm2⁄

fctk0,05 = 2,90N mm2 → donja fraktilna vrijednost čvrstoće na zatezanje⁄

σc2 = 9,85N mm2 > fctk0,05⁄ = 2,90N mm2⁄

𝐅𝐄𝐝𝐞𝐟𝐟(𝐱) =𝐌𝐄𝐝(𝐱)

𝐳+𝟏

𝟐∙ 𝐕𝐄𝐝(𝐱) ∙ (𝐜𝐨𝐭 𝛉 − 𝐜𝐨𝐭 𝛂) ≤ 𝐅𝐩𝐱 + 𝐅𝐬𝐝

Nosivost obične armature:

Fsd = As ∙ fyd = 24,13 ∙500

1,15∙ 10−1 = 1049,13kN


29

Nosivost prednapregnute armature:

Fpx = Ap ∙fp0,1kγs

= 5,58 ∙1520,0

1,15∙ 10−1 = 737,53kN

x =l

2=22,0

2= 11,0m

MEd(l 2⁄ ) = 20,33 ∙22,02

8= 1229,97kNm

VEd(l 2⁄ ) = 0,0

θ = 45° → nagib pritisnutih betonskih dijagonala

α = 90° → nagib poprečne armature

FEdeff(l 2⁄ ) =1229,97

0,9 ∙ 0,951= 1437,05kN < Fpx + Fsd = 1786,66kN

(„Prednapregnuti beton“, str. 9.)

10. DOKAZ GRANIČNOG STANJA UPOTREBLJIVOSTI (SLS)

10.1. OGRANIČENJE NAPONA U STANJU UPOTREBLJIVOSTI

Dokaz 1: Ograničenje napona pritiska betona za kvazi-stalnu kombinaciju opterećenja;

σc ≤ 0,45 ∙ fck

Dokaz 2: Ograničenje dopuštenih napona u armaturi za prednaprezanje za rijetku kombinaciju

opterećenja;

σp ≤ 0,75 ∙ fpk

Dokaz 3: Dokaz napona pritiska u betonu, prethodno napregnute zategnute zone za kombinaciju

stalnog opterećenja i prednaprezanja;

10.1.1. Dokaz napona pritiska u betonu za kvazi-stalnu kombinaciju

Dokaz za gornji rub presjeka:

Skvazi−stalna = (Gk1 + Gk2) + ψ2,1 ∙ Qk1 = (5,45 + 3,50) + 0,50 ∙ 5,50 = 11,70kN

Msdkvazi−stalna =11,70 ∙ 22,02

8= 707,85kNm

Pm,t = Np = −630,59kN

Mpt = Mp = −Np ∙ zip = −630,59 ∙ 0,4709 = −296,94kNm


30

σc1 = −Pm,tAi+Mp,t

Wc1,i−Msdkvazi−stal.Wc1,i

≤ 0,45 ∙ fck

σc1 = −630,59 ∙ 10

2310,0+296,94 ∙ 103

57421,47−707,85 ∙ 103

57421,47= −2,73 + 5,17 − 12,33 = −9,89N mm2⁄

σc1 = |−9,89|N mm2 < 0,45 ∙ fck = 0,45 ∙ 50,0 = 22,50N mm2⁄⁄

Dokaz za donji rub presjeka:

σc2 = −Pm,tAi−Mp,t

Wc2,i+Msdkvazi−stal.Wc2,i

≤ fctm = 4,10N mm2⁄

σc2 = −630,59 ∙ 10

2310,0−296,94 ∙ 103

45888,34+707,85 ∙ 103

45888,34= −2,73 − 6,47 + 15,42 = 6,22N mm2⁄

σc2 = 6,22N mm2 > fctm = 4,10N mm2 ⇒ pojaviće se naprsline!⁄⁄

10.1.2. Dokaz napona u elementima za prednaprezanje

Kako je to naglašeno (skripta „Prednapregnuti beton“, str. 50.), rijetka kombinacija se, između

ostalog, koristi i za ograničenje napona u armaturi za nosive strukture u visokogradnji. Napon u

armaturi za prednaprezanje ne smije biti veći od 𝟕𝟓% čvrstoće na zatezanje, odnosno 𝟖𝟓%

tehničke granice velikih izduženja.

Napon u elementu za prednaprezanje u polovini raspona, uzimajući u obzir početne gubitke,

iznosi:

σpm = σpm,0 − ∆σpc = 1292,0 − 49,20 = 1242,80N mm2⁄

Pod pretpostavkom da se u vremenu, kada je došlo do djelovanja ukupnog pokretnog opterećenja,

ostvarilo 30% vremenskih gubitaka, napon u elementima za prednaprezanje iznosi:

∆σp,c+s+r = 161,92N mm2⁄

σpm1 = σpm − 0,30 ∙ ∆σp,c+s+r = 1242,80 − 0,3 ∙ 161,92 = 1194,22N mm2⁄

Potrebno je odrediti porast napona u armaturi od djelovanja vanjskog opterećenja:


31

∆σp =

Msz − Pm,t

Ap + As

Ms = Msdrijetka +Mp − Np ∙ (zid − d1)

Msdrijetka =14,45 ∙ 22,02

8= 874,225kNm

d1 = 14,90cm → zajedničko težište armature za prednaprezanje i obične armature

d1 =24,13 ∙ 15,10 + 5,58 ∙ 14,05

24,13 + 5,58= 14,90cm

zid = 61,14cm

Ms = 874,225 − 296,94 + 630,59 ∙ (0,6114 − 0,149) = 868,87kNm

dm → zajednička statička visina obične armature i armature za prednaprezanje

dm = 110,0 − 14,90 = 95,10cm

z = 0,9 ∙ dm = 0,95 ∙ 95,10 = 85,59cm

∆σp =

Msz− Pm,t

Ap + As=

868,870,8559

− 630,59

5,58 + 24,13=384,56

29,71= 12,94 kN cm2⁄

σp = σpm,1 + ∆σp = 1194,22 + 129,44 = 1323,66N mm2⁄

σp = 1323,66N mm2 < 0,75 ∙ fpk = 0,75 ∙ 1770,0 = 1327,50N mm2⁄⁄

10.2. ODREĐIVANJE STEPENA PREDNAPREZANJA (ϰ)

Presječne sile od prednaprezanja u vremenu t = ∞ u stanju eksplotacije:

Pm,∞ = Pm,0 − ∆σp,c+s+r ∙ Ap = 720,94 − 161,92 ∙ 5,58 ∙ 10−1 = 630,59kN

Ncp+φ = Pm,∞ = 630,59kN

Mcp+φ = Pm,∞ ∙ zip = 630,59 ∙ 0,4709 = 296,94kNm

Naponi betona na pritisak od uticaja prednaprezanja na rubu prethodno napregnute zategnute

zone u stadiju I, uzimajući u obzir sve gubitke sile, iznose:

σc1,p+φ =Ncp+φ

Ac+Mcp+φ

Wc2=630,59 ∙ 10

2180,0+296,94 ∙ 103

39628,77= 2,89 + 7,49 = 10,38N mm2⁄


32

Moment dekompresije usljed sile prednaprezanja:

Mod = −σc1,p+φ ∙ Wc2 = 10,38 ∙ 39628,77 ∙ 10−3 = 411,47kNm

Momenat od uticaja vanjskog opterećenja u stanju eksplotacije (česta kombinacija):

MG+Q = 874,225kNm

Vrijednost stepena prednaprezanja iznosi:

ϰ =ModMG+Q

=411,47

874,225= 0,471 < 0,75 ⇒ slučaj djelimičnog prednaprezanja

10.3. OGRANIČENJE NAPRSLINA BEZ DIREKTNOG PRORAČUNA

Prema EC-2 ovaj dokaz se provodi kroz ograničenje maksimalnog prečinka šipki. Pri tome se

podrazumijeva da naprsline ne prelaze ograničenu širinu i razmak.

Potrebno je odrediti napone u čeliku za čestu kombinaciju opterećenja u presjeku u sredini nosača.

σs = (Msz− rsup ∙ Pm,∞) ∙

1

Ap + As

Msdčesta =12,80 ∙ 22,02

8= 774,40kNm

prednaprezanje sa trenutnim spojemklasa agresivnosti sredine = 1

} ⇒ wk = 0,2mm → dopuštena širina naprslina

(„Proračun AB konstrukcija EC-2“,str. 184.)

Promjena napona ∆σp usljed vanjskog opterećenja ostaje zanemarljivo mala, te se ne uzima u

obzir.

10.3.1. Gornji rub presjeka za t = 0

h = 110,0cm

d = h −dpl

2= 110,0 −

15,0

2= 102,50cm → pretp. težište armature u gornjoj zoni nosača

Pm,0 = 720,94kN

Mp0 = −Pm,0 ∙ zip = 720,94 ∙ 0,4709 = 339,49kNm

Np,0 = Pm,0 = −720,94kN

Ms = −Msdčesta + rsup ∙ Mp,0 + rsup ∙ Pm,0 ∙ (d − zcd)


33

Ms → moment savijanja u odnosu na težište armature u gornjoj zoni za čestu kombinaciju

opterećenja i djelovanje prednaprezanja

Ms = −774,40 + 1,1 ∙ 339,49 + 1,1 ∙ 720,94 ∙ (1,025 − 0,639) = −94,85kNm

Ms = −94,85kNm ⟹ σs =1

Ap + As∙ (Msz− rsup ∙ Pm,t) < 0

Obzirom da momenat 𝑀𝑠 vrši pritisak na gornji rub nosača, kao i normalna sila, u tom dijelu

nosača neće doći do pojave zatežućih napona a samim time ni do naprslina.

10.3.2. Donji rub presjeka za t = ∞

Pm,∞ = 630,59kN

Mp,∞ = −Pm,∞ ∙ zip = 630,59 ∙ 0,4709 = −296,94kNm

Np,∞ = −Pm,∞ = −630,59kN

Msdčesta = 774,40kNm

Ms = Msdčesta + rinf ∙ Mp,∞ − rinf ∙ Pm,∞ ∙ (zid − d1)

Ms → moment savijanja u odnosu na težište armature u donjoj zoni za čestu kombinaciju

opterećenja i djelovanje prednaprezanja

Ms = 774,40 + 0,90 ∙ 296,94 − 0,90 ∙ 630,59 ∙ (0,6114 − 0,149) = 779,22kNm

As = 24,13cm2

Ap = 5,58cm2

σs = (Msz− rinf ∙ Pm,∞) ∙

1

As + Ap= (779,22

0,8559− 0,90 ∙ 630,59) ∙ 10 ∙

1

24,13 + 5,58=

σs = 115,41N mm2⁄

Prema tabeli 27. iz knjige „Proračun AB konstrukcija prema EC-2“ (V.Hasanović), na str. 187.,

dobija se da je za ovu vrijednost napona i klasu agresivnosti okoline 1 (wk = 0,20mm) maksimalni

dopušteni prečnik 25,0𝑚𝑚.

wk = 0,20mm

σs = 115,0N mm2⁄} ⇒ ∅dop = 25,0mm („Proračun AB konstrukcija EC-2“)

∅dop = 25,0mm > ∅usv = 16,0mm

Dakle, nije potreban direktan proračun naprslina.


34

10.4. OGRANIČENJE UGIBA

Prema EC-2 formulisana su prosta pravila kada nije neophodno eksplicitno proračunavanje

progiba. Strožije provjere su potrebne za elemente koji se nalaze van takvih granica ili kada im

odgovaraju drugačije ugiba od onih koje su sadržane od uproštenih metoda.

U ovom zadatku približno će se odrediti progibi prednapregnutog nosača.

Mjerodavna je kvazi-stalna kombinacija opterećenja:

Skvazi−stalno = (Gk1 + Gk2) + ψ2,1 ∙ Qk,1 = (5,45 + 3,50) + 0,50 ∙ 5,50 = 11,70 kN m⁄

Uticaj puzanja se uzima preko smanjenog modula elastičnosti:

Ec,eff =Ecm1 + φm

=37000,0

1 + 2,5= 10571,43N mm2⁄

Uticaj skupljanja se zanemaruje za dokaz progiba.

Prednaprezanje se posmatra kao vanjsko dejstvo i iznosi:

Pm,t = Pm,0 − ∆Ppr − ∆Ppc → gubitak sile prednaprezanja usljed elastičnih deformacija elementa i

usljed relaksacije

Pm,t = Pm,0 − ∆σpr ∙ Ap − ∆σpc ∙ Ap = −720,94 + 6,915 ∙ 5,58 + 4,92 ∙ 5,58 = −654,90kN

Uticaj sile prednaprezanja:

8 ∙ 0,4709 ∙ 654,90

22,02= 5,10 kN m⁄

Računska vrijednost progiba, po teoriji elastičnosti, iznosi:

f =5

384∙q ∙ l4

EI=

5

384∙(11,70 − 5,10) ∙ 22,04

10571,43 ∙ 0,0280561327=4638268,80

113891,88= 40,73mm

f = 40,733mm < fdop =l

250=22000,0

250= 88,0mm


35

10.4.1. PROGIB PREDNAPREGNUTOG NOSAČA DIREKTNIM PRORAČUNOM

Progib prednapregnutog nosača određujemo direktnim proračunom

Mjerodavna je kvazi-stalna kombinacija opterećenja.

Skvazi−stal. = (Gk1 + Gk2) + ψ2,1 ∙ Qk1 = (5,45 + 3,50) + 0,5 ∙ 5,50 = 11,70 kN m′⁄

Kako je u tački 10.1.1., za donji rub presjeka, σc2 nešto veće od fctm , potrebno je odrediti

momenat inercije poprečnog presjeka u stadiju II.

xII = −r + √r2 + s

r =hf ∙ (beff − bw) + αs ∙ As + αp ∙ Ap

bw=15,0 ∙ (40 − 16) + 5,4 ∙ 24,13 + 5,27 ∙ 5,58

16,0= 32,48

s =hf2 ∙ (beff − bw) + 2 ∙ αs ∙ As ∙ ds + 2 ∙ αp ∙ Ap ∙ dp

bw=

s =15,02 ∙ (40 − 16) + 2 ∙ 5,4 ∙ 24,13 ∙ 94,9 + 2 ∙ 5,27 ∙ 5,58 ∙ 95,95

16,0= 2236,00cm

xII = −32,48 + √32,482 + 2236,0 = 24,88cm

III =beff ∙ xII

3 − (beff − bw) ∙ (xII − hf)3

3+ αs ∙ As ∙ (ds − xII)

2 + αp ∙ Ap ∙ (dp − xII)2=

III =40 ∙ 24,883 − (40 − 16) ∙ (24,88 − 15,0)3

3+ 5,4 ∙ 24,13 ∙ (94,9 − 24,88)2 + 5,27

∙ 5,58(95,95 − 24,88)2 = 985008,09cm4

III = 985008,09cm4

Uticaj sile prednaprezanja se uzima kao vanjsko opterećenje:

Pm,0 ∙ zip =q ∙ l2

8

q =Pm,0 ∙ 8 ∙ zip

l2=654,9 ∙ 8 ∙ 0,4709

22,02= 5,10 kN m′⁄

Msd1 = (Skvazi−stal. − q) ∙l2

8= (11,70 − 5,10) ∙

222

8= 399,30kNm

Napon u zategnutoj armaturi u stanju eksplotacije u stadiju II:

σs =Msd1As ∙ z

=399,30

24,13 ∙ 0,9 ∙ 94,9∙ 103 = 193,75N mm2⁄


36

Zakrivljenost usljed dugotrajnog opterećenja:

a) Stadij II:

1

rII=

εsd − x

=σsEs∙1

d − x=193,75

200000∙

1

(94,9 − 24,88) ∙ 10= 1,383 ∙ 10−6 1 mm⁄

b) Stadij I:

1

rI=

Msd1Eceff ∙ Ii

=399,30 ∙ 106

10571,43 ∙ 2805613,27 ∙ 104= 1,346 ∙ 10−6 1 mm⁄

Eceff =Ecm

1 + φ(∞,t0)=37000,0

1 + 2,50= 10571,43N mm2⁄

Moment nastajanja naprslina:

Msr = WI ∙ fctm

WI =Iizid=2805613,27

61,14= 45888,34cm3

Msr = 45888,34 ∙ 4,1 ∙ 10−3 = 188,14kNm

σsr =MsrAs ∙ z

=188,14 ∙ 106

24,13 ∙ 102 ∙ 0,9 ∙ 949= 91,29N mm2⁄

ξ = 1 − β1 ∙ β2 ∙ (σsrσs)2

→ koeficijent raspodjele između stadija I i stadija II

β1 = 1,0 → koeficijent adhezije između betona i armature

β2 = 0,50 → koeficijent kojim se uzima u obzir uticaj trajanja ili ponavljanja opterećenja

(„Proračun AB konstrukcija EC-2“,str. 198.)

ξ = 1 − 1,0 ∙ 0,50 ∙ (91,29

193,75)2

= 0,900

Srednja zakrivljenost (početna + puzanje betona):

1

rm=1

rII∙ ξ +

1

rI∙ (1 − ξ) = (1,383 ∙ 0,9 + 1,346 ∙ (1 − 0,9)) ∙ 10−6 = 1,38 ∙ 10−6 1 mm⁄

Zakrivljenost usljed deformacije skupljanja betona:

SI = 24,13 ∙ (61,14 − 14,9) = 1115,77cm3 → statički moment

SII = 24,13 ∙ (94,9 − 24,88) = 1689,58cm3

εcs → konačna mjera skupljanja („Proračun AB konstrukcija EC-2“,str. 200.)

εcs = −60 ∙ 10−5

1

rcs= εcs ∙ αs ∙

S

I


37

1

rcsI= 60 ∙ 10−5 ∙ 5,40 ∙

1115,77

2805613,27= 0,1288 ∙ 10−6 1 mm⁄

1

rcsII= 60 ∙ 10−5 ∙ 5,40 ∙

1689,58

985008,09= 0,5557 ∙ 10−6 1 mm⁄

Srednja zakrivljenost usljed deformacije skupljanja betona:

1

rcsm= (0,5557 ∙ 0,9 + (1 − 0,9) ∙ 0,1288) ∙ 10−6 = 0,513 ∙ 10−6 1 mm⁄

Ukupna srednja zakrivljenost:

1

rtot=1

rm+

1

rcsm= (1,38 + 0,513) ∙ 10−6 = 1,893 ∙ 10−6 1 mm⁄

Ugib nosača:

v = k ∙ l2 ∙1

rtot („Proračun AB konstrukcija EC-2“,str. 202.)

k =1

k1→ koeficijent koji zavisi od statičkog sistema i opterećenja

k1 = 9,60 („Proračun AB konstrukcija EC-2“,str. 203.)

v =1

9,60∙ 22,02 ∙ 106 ∙ 1,893 ∙ 10−6 = 95,44mm ≈ 95,0mm

Dopušteni ugib:

vdop =leff250

=22,0 ∙ 103

250= 88,0mm < v = 95,00mm

Documents

Prednapregnute Konstrukcije Program(2013)