Prefácio - mozambique-no-kai.netmozambique-no-kai.net/works/PedraPedraConstruindoMatematica.pdf · Prefácio Até agora, a estratégia metodológica do ensino de Matemática em Moçambique

Prefácio Até agora, a estratégia metodológica do ensino de Matemática em Moçambique tem

sido baseada em ditar apontamentos e mostrar as fórmulas. Obrigando, assim, o aluno a memorizar as fórmulas. Qual é o resultado que se espera desse aluno no processo de ensino e aprendizagem da Matemática? Nossa opinão é aqui se segue: Sem pensar em nada, o aluno somente copia do quadro para caderno e escreve o

apontamento que o seu professor dita. Neste caso ele fica feliz, mas não entende o significado do que escreveu. Depois, tenta memorizar as fórmulas ou resoluções de exercícios que não entende, além de que existem maiores probabilidades de esquecer. Assím, quando for a precisar dos conhecimentos anteriores, já não terá. Caro leitor, qual é a sua opinião? Fundamentalmente, o objectivo de Matemática não deve ser a memorização. O

objectivo real é o pensamento lógico (PL), como ampilhando as coisas certas em cima da coisa certa. Desta forma, podemos encontrar soluções certas. Então, o início do PL deve ser a definição, porque a definição é 1ª coisa certa e tudo deve ser provado a partir da definição. Isso é PL e faz parte da essência de Matemática. Quem pensa logicamente não deve ter o problema acima. Então, neste livro, colecionamos os capítulos que geralmente o aluno tem muita

dificuldade. E, iniciamos da definição exacta em cada capítulo, depois provamos as fórmulas passo a passo. Em seguida, tem os exemPLos concretos e no final os exercícios. No fim tem a parte de soluções dos exercícios. Mas, as resoluções dos exercícios estão consigo, escreve individualmente a sua resposta de cada exercício no caderno como os exemPLos,e como exPLicar aos outros. Isso é bom treino único da aprendizagem do PL. Acredito que o PL pode apoiar absolutamente no ensino de Matemática e o leitor

deste livro vai apanhar o senso de consecução e conpreenção em Matemática real. Mas, os conteúdos deste livro ainda não são suficientes. Por isso, solicito que os

colegas produzam mais livros que sucedam o PL. Finalmente, agradeço muito ao apoio do Ministério de Educação e Cultura, Direcção

Provinicial Educação e Cultura de Gaza, Escola Secundária Joaquim Chissano (ESJS) e Agência Japonesa de Cooperação Internacional (JICA) que me ajudaram na produção deste Manual.

Dezembro de 2007

Índice

Capítulo 1 Função da recta § 1 Função da recta axy = -------------------------------------------------------------- 1 § 2 Função reduzida da recta baxy += -------------------------------------------- 5 § 3 Movimento de gráficos ; )( 11 xxayy -=- ---------------------------------------- 6 § 4 Aplicação de )( 11 xxayy -=- ------------------------------------------------------- 9 § 5 Distância de um ponto a uma recta ---------------------------------------------- 12 § 6 Função da mediactriz ---------------------------------------------------------------- 15

Capítulo 2 Inequação do 1º grau § 1 Definição de inequações -------------------------------------------------------------- 16 § 2 Recta numérica ------------------------------------------------------------------------- 16 § 3 Operações em inequações ------------------------------------------------------------ 18 § 4 Solução impossível --------------------------------------------------------------------- 23 § 5 Solução universal --------------------------------------------------------------------- 23 § 6 Sistema de inequações -------------------------------------------------------------- 24 Capítulo 3 Desenvolvimento § 1 acabcba +=+ )( ----------------------------------------------------------------------- 27 § 2 bdbcadacdcba +++=++ ))(( ------------------------------------------------------- 28

§ 3 abxbaxbxax +++=++ )())(( 2 ------------------------------------------------------- 29

§ 4 aaxxax 222 2)( +±=± ---------------------------------------------------------------- 30

§ 5 axaxax 22))(( -=-+ ------------------------------------------------------------------- 31

§ 6 Exercícios superiores ---------------------------------------------------------------- 32

§ 7 axaaxxax 32233 33)( +++=+ ------------------------------------------------------- 33

Capítulo 4 Factorização

§1 Factores ---------------------------------------------------------------------------------- 34 §2 )( cbaacab +=+ ------------------------------------------------------------------------- 34

§3 ))((22 axaxax -+=- ------------------------------------------------------------------- 34

§4 )(2 222 axaaxx ±=+± ------------------------------------------------------------------- 35

§5 ))(()(2 bxaxabxbax ++=+++ ------------------------------------------------------- 36

§6 ))(()(2 dbxcaxcdxbcadabx ++=+++ ---------------------------------------------- 37

§7 Exercícios superiores ---------------------------------------------------------------- 38

§8 Factorização do tipo ax 33 + ------------------------------------------------------- 40

Capítulo 5 Equação do 2º grau §1 Método de factorização -------------------------------------------------------------- 41 §2 Método de raiz quadrada ------------------------------------------------------------ 43 §3 Fórmula resolvente ------------------------------------------------------------------ 48 §4 Número de soluções ------------------------------------------------------------------- 51 §5 Relação entre as duas soluções ----------------------------------------------------- 53

Capítulo 6 Função Exponencial §1 Definição de Expoente -------------------------------------------------------------- 55 §2 Expansão de Expoente -------------------------------------------------------------- 57 §3 Cálculos de Expoente ---------------------------------------------------------------- 59

§4 Gráfico de axy = ---------------------------------------------------------------- 61

§5 Equação Exponencial )0( >= aba x -------------------------------------------- 63

§6 Equação Exponencial 02 =++ mlaka xx ---------------------------------------- 64

§7 Inequação Exponencial -------------------------------------------------------------- 65

Capítulo 7 Função logarítmica §1 Definição da função logarítmica --------------------------------------------------- 67 §2 Propriedades logarítmicas ---------------------------------------------------------- 68 §3 Exercícios de cálculos logarítmicos ---------------------------------------------- 70 §4 Gráfico da função logarítmica --------------------------------------------------- 72 §5 Equação logarítmica ------------------------------------------------------------------- 73 §6 Inequação logarítmica ------------------------------------------------------------ 76

Capítulo 8 Trigonometria §1 Definição trigonométrica ------------------------------------------------------------ 68 §2 Triângulos rectângulos especiais ------------------------------------------------- 80 §3 Teoremas trigonométricos ---------------------------------------------------------- 81 §4 Expansão de ângulos trigonométricos ------------------------------------------ 82 §5 Os gráficos trigonométricos ------------------------------------------------------- 87 §6 Equações trigonométricas --------------------------------------------------------- 95 §7 Inequações trigonométricas ------------------------------------------------------- 99

Capítulo 9 Conjunto §1 Noção de Conjuntos ------------------------------------------------------------------ 101 §2 Diagrama de Venn --------------------------------------------------------------------- 101 §3 Símbolos ---------------------------------------------------------------------------------- 102 §4 Tipos de conjuntos --------------------------------------------------------------------- 105

※ Transformação à forma de ba ----------------------------------------------------- 107

§5 Operações de conjuntos -------------------------------------------------------------- 109 §6 Número de elementos de conjuntos -------------------------------------------- 110

Capítulo 10 Sucessão §1 Definições de sucessões -------------------------------------------------------------- 113 §2 Termo geral ------------------------------------------------------------------------------ 113 §3 Progressão Aritmética (PA) ------------------------------------------------------- 114 §4 Termo geral de uma PA -------------------------------------------------------------- 114 §5 Soma de termos de uma PA ------------------------------------------------------- 117 §6 Progressão Geométrica (PG) e Termo geral de uma PG ------------------- 122 §7 Soma de termos de uma PG ------------------------------------------------------- 124 §8 Monotonia -------------------------------------------------------------------------------- 127 §9 Limite de sucessões ------------------------------------------------------------------- 129 §10 Representação gráfica de sucessões -------------------------------------------- 131

Soluções dos Exercícios ------------------------------------------------- 133

Escola Secundária Joaquim Chissano Autor: Norifumi Otsuka

- 1 -

Função da recta Introdução

A forma da equação da recta é 0=++ cbyax . E a função da recta é baxy += . Realmente, essas duas formas são congruentes. Porque podemos transformar

0=++ cbyax para bcxb

ay --= . Neste caso, sejam bcbeb

aa == '' , vai ser

'' bxaybcxb

ay +=Û--= . (☜ a forma da função da recta)

Por Exemplo: 101 --=Û=++ xyyx Equação ; 01=++ yx Função ; 1--= xy

Portanto, a diferença entre equação e função está só na forma. Neste manual,

usamos a função da recta para esboçar os gáficos, porque será mais fácil perceber.

§1 axy= ( 0=b em baxy += ) ⅰ) Coordenadas do gráfico Em primeiro, vamos procurar os pares dos valores de x e y em xy =

( Rx Î ). x … 3- 2- 1- 0 1 2 3 … y … 3- 2- 1- 0 1 2 3 …

Mas esta tabela não está completa. Porque contém só os números naturais, não

contém os racionais ou irracionais. Mas não é possível enumerar todos os pares, porque temos infinitos pares em Rx Î . Neste caso, usamos a boa maneira chamada “as coordenadas”, para facilitar a sua

representação no gráfico.. Então, preparámos a recta numérica horizontal, cujo

sentido positivo é para direita, e a recta vertical, cujo sentido positivo é para cima. E mais, cruzámos as rectas no ponto do valor 0 de cada, chamado “ponto de origem”. Agora, definindo que a recta horizontal seja para os valores

de x , e a recta vertical seja para os valores de y , escrevémos o par de ax = e by = como );();( bayx = , e marcámos o ponto deste par como se ilustra à direita. Neste caso, a recta horizontal chama-se “eixo de x ” , a recta vertical chama-se “eixo

de y ”, e esta ilustração chama-se “as coordenadas”


- 2 -

Agora, marcando os pontos da tabela de xy = nas coordenadas, aparecem os pontos numa recta como se ilustra à direita. Realmente, a linha construida por esses pontos todos chama-se “gráfico”.

(Exercício 1) Esboce os gráficos das seguintes funções segundo a tabela abaixo.

x 3- 2- 1- 0 1 2 3 y

a) xy 3= b) xy 21= c) xy -= d) xy 2-=

ⅱ) Declive Para medir o ângulo de uma recta com o eixo de x , podemos usar a unidade de graus.

Então neste caso, temos que usar trigonometria (tangente), mas normalmente usamos

a outra unidade, chama-se “declive”, e define-se xy

DD

(D significa variação ou acréscimo e lê-se “ Delta”) Agora xD positivo significa quantas unidades a variável x deslocou-se para direita, e

yD positivo significa quantas unidades a variavél y deslocou-se para cima. Em resumo,

o declive xy

DD significa quantas unidades desloca-se para cima por quantas unidades

desloca-se para direita. (Exemplo 1) xy 2= x … 3- 2- 1- 0 1 2 3 … y … 6- 4- 2- 0 2 4 6 … Na deslocação de )2;1( para )4;2( , a deslocação da variável x é 1 unidade de 1 para 2 . ( 112 =-=xD ) Então dizendo “chegada” a 1 e “partida” a 2 , o cálculo da variação vai ser PartidaChegada -

Por isso, 224 =-=yD . Portanto o declive é 212 ==x

yDD

(Exercício 2) Determine o declive em cada um dos seguintes casos : a) )0;0( para )6;3( b) )2;1( -- para )4;2( c) )4;2( para )6;3( --


- 3 -

Então, vamos pensar no cálculo do declive em xy 2= de )2;( aa para )2;( bb :

abx -=D , )(222 ababy -=-=D Û 2)(2 =--= ab

abxy

DD

Este cálculo significa que o declive de xy 2= é constante 2 em qualquer intervalo. Porque usamos as incógnitas para os dois pontos arbitrários. Agora vamos determinar o declive de axy = .

Nos dois pontos arbitrátrios que estão nesta reta, );( ammA e );( annB , temos:

mnx -=D , )( mnaamany -=-=D .

Portanto, o declive é: amnmna

xy =

--= )(

DD

Por isso, o declive de axy = é constante a em qualquer

intervalo. Isto significa que sobe-se a unidades e desloca-se para 1 unidade à direita. : a2 por 2 , a- por 1- …

Agora, vamos pensar a situação cujo declive não é constante.

(Exemplo 2) Dados 4 pontos )1;3(-A , )3;1(B , )1;5( -C , )2;1(-D

O declive de AB é : 21

)3(113 =---=x

yDD

O declive de BC é : 11531 -=

---=x

yDD

O declive de AD é : 21

)3(112 =---

-=xy

DD

Os declives de AB e BC são diferentes. Neste caso, temos um ângulo ABCÐ , e duas rectas diferentes AB e BC . Mas, o declive de AB é igual a AD .

Neste caso, o ponto D está na recta AB , em outras palavras, os pontos DeBA , estão na mesma recta.

Resumo do declive de axy = 1. Constante em qualquer intervalo Û O gráfico de axy = é uma linha recta. 2. O valor do declive é a 3. Desloca-se a unidades de y para cima por 1 unidade de x para direita :

xyaa

DD== 1

(Exercício 3) Dados 3 pontos )3;2(-A , )3;1( --B , )1;1(C a) Determine o declive de AB e BC. b) Diga se os 3 pontos estão na mesma recta ou não. c) Em AB, quando se deslocou 2 unidades à direita, quantas unidades sobe ou baixa ?


- 4 -

ⅲ) Esboço do gráfico de axy= Vamos esboçar o gráfico de axy = sem tabela de pontos.

Agora, no ponto 0=x , temos : 00 =´= ay . Por isso, axy = sempre passa pelo ponto de origem )0;0(

Portanto, marcando )0;0( , vamos deslocar 1 unidade à direita, e depois vamos deslocar a unidades para cima. Neste caso, já fizemos o declive a , e marcamos o ponto da chegada. Depois esboçamos a recta que passa por esses dois pontos que marcámos.

O gráfico de axy = aparece como se ilustra à direita. (Exemplo 4) Esboce os gráficos de:

a) xy 3= b) xy 21= c) xy -= d) xy 2-=

☆Obs : b) 2,121 ==Û= xyx

y DDDD c)

ïî

ïí

ì

-==Û-

=-=Û-

=-=1,11

1

1,111

1xy

xy

xy

DD

DD

DD

Propriedades da função da recta axy =

ⅰ) Sempre passa pelo ponto de origem (0.0) ⅱ) Se a>0, o gráfico vai subir a direita. ⅲ) Se a<0, o gráfico vai baixar a direita.

a1> a2 >0 a1< a2 <0

(Exercício 4) Esboce os seguintes gráficos :

a) xy 32= b) xy 4

3-=

xay 2=

xay 1=

xay 2= xay 1=


- 5 -

§2 Função reduzida da recta baxy += Quando esboçamos o gráfico pela primeira vez, sempre usamos a tabela. Depois, marcamos esses pontos nas coordenadas.

(Exemplo 5) Esboce o gráfico de 1+= xy ( 1,1 == ba ) X … 3- 2- 1- 0 1 2 3 … y … 2- 1- 0 1 2 3 4 … Então, marcando os pontos, este gráfico também vai ser uma recta. Agora investigando o declive : De ( 2;3 -- ) para ( 3;2 )

5)3(2,5)2(3 =--==--= xy DD

Por isso, 155 ==x

yDD

Realmente, De ( 1; +mm ) para ( 1; +nn ) mnxmnmny -=-=+-+= DD ,)1()1(

1=--=\ mn

mnxy

DD

Por isso, o declive de 1+= xy é também constante, e o valor é igual a 1 em qualquer intervalo. E mais, comparando xy = e 1+= xy , todos os pontos de

xy = sobem 1 unidade de y para ser 1+= xy . (Exemplo 6) Esboce o gráfico de 22 += xy

Resolução

Marcando ( 2;0 ), fazemos o declive 2

xy

DD=

--== 1

2122

Podemos achar que o declive é igual a 12 ou

12

-- .

Portanto, o gráfico é como se ilustra à direita. (Exercício 5) Esboce cada gráfico das seguintes funções.

a) 3+= xy b) 2--= xy c) 12 --= xy

De ( 0;1- ) para ( 4;3 )

1)1(3

04 =---=

xy

DD

Resumo de baxy += a) O gráfico de baxy += é axy = subindo b unidades de y. b) O declive é constante, e o valor é a c) O gráfico de baxy += sempre passa por ( b;0 ) d) baxy += chama-se função reduzida da recta


- 6 -

§3 Movimento de gráficos ; )( 11 xxayy -=- ⅰ) Significado de incógnita

O número desconhecido chama-se incógnita , e escreve-se por quaisquer variáveis.

Por isso, o número da incógnita pode ser qualquer, por exemplo : 1, 2- , 21 , 3 .

ⅱ) Sobre yy 1- e xx 1-

Em yy 1- , y é incógnita, mas y1 é um número constante. Agora, yy 1- vai ser um número constante ou não? Por exemplo, 2-y sempre vai ser 1? A resposta certa é não. 2-y pode ser qualquer número, dependendo do valor de y .

Por isso 2-y é também uma variável. Assim podemos substituir a outra incógnita por 2-y : 2-= yY

Como também podemos substituir a outra incógnita Y por yy 1-

yyY 1-= Pela mesma razão : xxX 1-=

Por isso : )( 11 xxayy -=- aX Y =Û

Isto significa que o gráfico é uma linha recta e passa pelo ponto de origem; 0);(0Y);(X =

ⅲ) O gráfico de )( 11 xxayy -=-

O gráfico de aX Y = , nas coordenadas de X e Y , vai ser como se ilustra à direita. Mas queremos esboçar o gráfico nas coordenadas de x e y . Assim, vamos repor X e Y para x e y como a seguir: No ponto de origem 0);0( de Y);X( , 0)Y,0X( ==Û

por X = xx 1- e Y = yy 1- , temos:

0 = xx 1- ⇔ xx 1= 0 = yy 1- ⇔ yy 1=

Por isso, o ponto de origem 0);0( de Y);X( tem

que ser ( yx 11 ; ) de );( yx

Resumo

)( 11 xxayy -=- é o gráfico

cujo declive é a , e que passa por );( 11 yx

⇔ axy = translada-se x1 para direita e y1 para cima.


- 7 -

(Exemplo 7) baxy += Podemos transformar baxy += a axby =- . Agora, comparando )( 11 xxayy -=- e axby =- temos 0, 11 == xby . Por isso, axby =- é o gráfico que

axy = transladou-se 0 para direita (mantem-se) b para cima

(Exemplo 8) 21 -=- xy Este é o gráfico que xy = translada-se 2 para direita

e 1 para cima . ☆Obs. 21 -=- xy 1-=Û xy Os esboços dos gráficos de 21 -=- xy ou 1-= xy são congruentes.

(Exercício 6) Esboce cada gráfico das seguintes funções.

a) )1(21 -=- xy b) )1(22 +-=+ xy c) )3(211 --=+ xy

(Exemplo 9) Determine a função reduzida da recta que passa por )3;2( e cujo

declive é 2 . Depois esboce o seu gráfico.

Resolução

)( 11 xxayy -=- é a recta que passa por );( 11 yx e cujo declive é a . Por isso obtemos :

21 =x , 31 =y e 2=a Portanto 12)2(23 -=Û-=- xyxy Depois, marcamos )3;2( , fazemos o declive 2 e traçamos a recta que passa pelos dois pontos como se ilustra à direita. (Exercício 7) Determine cada uma das seguintes funções reduzidas da recta.

a) Declive 2- b) Declive 43

- c) Declive 3

Passa por )3;1(- Passa por )1;4(- Passa por )1;3(-


- 8 -

(Exemplo 10) Determine a função da recta que passa pelos pontos )3;1( e )0;2(- .

Resolução

Dos dois pontos pelos quais o gráfico da recta passa, determinamos o seu declive.

133

1230 =

--=

---=

DD

xy

Então, no Exemplo 2, para determinar a função da recta, nós ja aprendemos que basta encontrar o seu declive, e só um ponto pelo qual o gráfico passa. Mas agora temos o valor do seu declive, e dois pontos pelos quais o gráfico passa. Por isso, podemos escolher um ponto destes dois para aplicar )( 11 xxayy -=- Escolhendo )3;1(

)1(13 -´=- xy

2+=\ xy

E escolhendo )0;2(- : [ ])2(10 --´=- xy

2+=\ xy

Como assim,temos que obter o mesmo resultado. Por isso, basta escolher um ponto. Exercício 8) Determine cada uma das funções reduzidas da recta que passa pelos

seguintes pontos.

a) )1;3( -- e )5;0( - b) )3;2( e )4;1( c) )1;2( - e )3;3( -

<N.B> Este teorema da transladação é útil para

quaisquer gráficos. Por exemplo, )2(1 2-=- xy :

Sejam 1-= yY e 2-= xX , temos XY 2= Deste modo, o gráfico de XY 2= vai ser a parábola que passa pelo ponto de origem como se ilustra à direita em linhas tracejadas.

Agora, no ponto de origem )0;0( de );( YX é 0=X e 0=Y .

Substituindo 0=X 0=Y em 2-= xX e 1-= yY : 220 =Þ-= xx 110 =Þ-= yy

Então, )0;0( de );( YX desloca-se para )1;2( de );( yx

Portanto, )2(1 2-=- xy é xy 2= transladando 2 para direita

e 1 para cima .


- 9 -

§4 Aplicação de )( 11 xxayy -=- ⅰ) Rectas paralelas

As rectas que não se cruzam, em outras palavras, as rectas cujas inclinações são iguais chamam-se “rectas paralelas”.

Agora, o valor que expressa a inclinação é o declive. Portanto, a condição para ser em rectas paralelas é terem o mesmo declive. (Exemplo 11) Determine a função da recta que passa por )2;1( - e é paralela a 42 += xy

Resolução O gráfico é paralelo a 42 += xy . Por isso, o declive da recta deve

ser igual ao declive de 42 += xy , é 2. Então, a função da recta cujo declive é 2 e que passa por )2;1( - é :

42)1(2)2( -=Û-=-- xyxy

E representação gráfica se ilustra à direita. (Exercício 9) Determine cada uma das seguintes funções da recta. a) Passa por )6;1( b) Passa por )2;1( -- c) Passa por )2;1( -

Paralela a 42 +-= xy Paralela a 121

+= xy Paralela a 1032

--= xy

(Exemplo 11) Determine a equação geral da recta que passa por )2;3( - e é paralela a 0123 =++ yx

Resolução

Transformando 0123 =++ yx para a forma da função:

21

231320123 --=Û--=Û=++ xyxyyx

Por isso, o declive de 0123 =++ yx é 23- e o declive da função que é paralelo a

0123 =++ yx também é 23- . Assim, usando a fórmula )( 11 xxayy -=- obtemos:

)3(232 --=+ xy

Agora, a forma que queremos é equação. Portanto,

0523)3(342)3(232 =-+Û--=+Û--=+ yxxyxy Sol: 0523 =-+ yx


- 10 -

N.B Transformando 0=++ cbyax para a forma da função:

bcxb

aycaxbycbyax --=Û--=Û=++ 0

Por isso, o declive de 0=++ cbyax é ba- .

A equação da recta para ser paralela a 0123 =++ yx deve ter o mesmo declive 2

3- .

Agora, o declive de 0=++ cbyax é ba- . Assim b

a- deve ser 23- para ser peralela.

Por isso, obtemos : 2,323 ==Û-=- bab

a

Então, 0=++ cbyax que é paralela a 0123 =++ yx é 023 =++ cyx E, 023 =++ cyx passa por )2;3( - , em outras palavras,

)2;3();( -=yx satisfaz 023 =++ cyx . Por isso, obtemos: 50490)2(233 -=Û=+-Û=+-´+´ ccc

Portanto, encontramos a solução deste exemplo: 0523 =-+ yx

Obs) Comparando 0123 =++ yx e 0523 =-+ yx , têm-se C diferente e ba, iguais.

N.B

A equação que é paralela a 0=++ cbyax é: 0'=++ cbyax (Exercício 10) Determine as seguintes equações gerais da recta:

a) Passa por )1;2(- b) Passa por )1;3( --

Paralela a 0232 =-+- yx Paralela a 0142 =-+ yx

ⅱ) Rectas perpendiculares Agora, temos duas linhas rectas L1 e L2 que são

perpendiculares como se ilustra à direita. E, marcamos o ponto A na L1e o ponto C na L2

sendo OCOA = E mais, de A e deC , traçamos a recta perpendicular ao eixo de x, e marcamos os pontos B e D nos pés. Neste momento, temos °=Ð+Ð+Ð 180CODAOCAOB .


- 11 -

E, por °=Ð 90AOC , °=°-°=Ð-°=Ð+Ð 9090180180 AOCCODAOB Então. sejam aAOB =Ð e bCOD =Ð , temos: abba -°=Û°=+ 9090 Agora, por que △OAB é triânglo rectângulo com °=Ð 90ABO , temos :

baaABOAOBOAB =-°=°+-°=Ð+Ð-°=Ð 90)90(180)(180 bOAB =Ð\ Pela mesma razão, temos aOCD =Ð Por isso, vão ser OCDAOB Ð=Ð , OCDABO Ð=Ð e OCOA = Portanto vai ser △ @BAO △ CDO . Por isso temos : ODBA = e CDBO = Então, determinando ODBA ==α e CDBO ==β , temos );( abA e );( ba-B .

Então, o declive de

βα=L1 , e o declive de

αβ-=L2

Fórmula para ser perpendicular O declive de L1 × O declive de 12 -=L ( 1)( -=-´Û

αβ

βα )

(Exemplo 12) Determine a função da recta que passa por )2;1(

e que é perpendicular a 12 += xy

Resolução

Seja o declive desta recta igual a a , tem que ser 2112 -=Û-=´ αα

Por isso, a função da recta é : 25

21)1(2

12 +-=Û--=- xyxy

(Exercício 11) Determine a função da recta que :

a) Passa por )1;2( b) Passa por )2;1(- c) Passa por ÷øöç

èæ - 2

1;32

Perpendiclar a 1+-= xy Perpendiclar a 323 --= xy Perpendiclar a 7

534 +-= xy

☆Aplicação da equação geral 0=++ cbyax para ser perpendicular

O declive de 0=++ cbyax é ba- . Agora seja o declive que queremos igual a a ,

obtemos : ab

ba =Û-=´- aa 1 .

Então a função da recta cujo declive é ab é : 'cxa

by += ( 'c :número constante)


- 12 -

Transformando 'cxaby += para a equação geral:

0''' =+-Û+=Û+= acaybxacbxaycxaby

Agora, a e 'c são números constantes. Por isso, 'ac também é número constante. Assim, seja Cac =' , obtemos : 0=+- Caybx

N.B

A equação que é perpendicular a 0=++ cbyax é: 0=+- Caybx

(Exemplo 13) Determine a equação da recta que passa por )2;3(-

e que é perpendicular a 0232 =++ yx

Resolução

Para ser perpendicular a 0232 =++ yx , a equação que queremos deve ser: 023 =+- Cyx

Agora, esta equação passa por )2;3(- . Por isso obtemos: 13022)3(3 =Û=+´--´ CC 01323 =+-\ yx

(Exercício 12) Determine as seguintes equações gerais da recta.

a) Passa por )1;2(- b) Passa pelo )1;3( -- Perpendicular a 0142 =-+ yx Perpendicular a 0232 =-+- yx

§5 Distância de um ponto a uma recta A definição da “distância do ponto A à recta L” é o

comprimento de AH como se ilustra à direita. ( H é o ponto do pé da linha perpendicular a L de A ) Porque, se se definisse a distancia como o comprimento do

segmento de A com um ponto arbitrário que está na recta L como B ou C , a distância poderia ser qualquer valor, dependendo da posição desse ponto, e não seria valor único. Mas, AH é o segmento mínimo único entre A e L . Portanto, define-se que a distância é o comprimento de AH .

(Exemplo 14) Dado o ponto )3;1(A e dada a recta L1 : 1-= xy , determine a distância do ponto A à recta L1 .


- 13 -

Resolução Esboçando a recta L2 que passa por A , e é perpendicular a L1 , marcamos o ponto

H que é o ponto de interssecção entre L1 e L2 . Neste momento, a distância é o comprimento de AH.

Então, para determinar AH, precisam-se as coordenadas de H para usar o teorema de Pitágoras .

Agora, H é o ponto de interssecção entre L1 e L2 . Assim, resolvemos o sistema de equações de L1 e L2 . Por isso, também precisamos a função de L2 Então, o declive de L1 é 1, por isso, o declive de L2 é 1- , e obtemos L2 : 4)1(3 +-=Û--=- xyxy

Agora resolvendo :

1-= xy ･･･ L1

4+-= xy ･･･ L2

Usando metodo de substituição, obtemos :

255241 =Û=Û+-=- xxxx ,

23=y

Depois, usando o teorema de Pitágoras, obtemos :

223

2322

323

23312

5 22222=÷

øöç

èæ´=÷

øöç

èæ+÷

øöç

èæ=÷

øöç

èæ -+÷

øöç

èæ -=AH

(Exercício 13) Determine a distância do ponto A à recta L1 em cada um dos

seguintes casos.

a) )1;2(A e L1 : 2-= xy b) )2;1( -A e L1 : 12 +-= xy c) )3;1( --A e L1 : 121 --= xy

※Demonstração da fórmula da distância de um ponto a uma recta. Dado um ponto );( nmA e uma equação geral da recta L1 ; 0=++ cbyax , obtemos a equação geral da reta L2 que é perpendicular a L1 e passa por );( nmA :

L2 : 0=+-- anbmaybx Depois, resolvemos o seguinte sistema de equações

îíì

=+--=++

LanbmaybxLcbyax

2

1

00


- 14 -

Eliminando a incógnita x

)

babcnaabmy

bcnaabmyba

naabmbcyba

aLnaabmyaabxbLbcybabx

22

2

222

222

222

12

)(

0)(

0

0

+-+-

=

-+-=+

=-+++

´=+---

´=++

Eliminando a incógnita y

)

baacabnmbx

abnmbacxba

abnmbacxba

bLabnmbabyxb

aLacabyxa

22

2

222

222

222

12

)(

0)(

0

0

+--=

-+-=+

=+-++

´=+--+

´=++

Assim, obtemos as coordenadas de H : ÷øö

çèæ

+-+-

+--

babcnaabm

baacabnmbH 22

2

22

2;

Usando o teorema de Pitágoras, obtemos AH :

÷÷ø

öççè

æ

+-+--+÷÷

ø

öççè

æ

+---=

babcnaabmn

baacabnmbmAH 22

222

2 22

Então, este cálculo é complicado. Por isso, calculamos cada parte como se seguem :

bacbnama

baacabnma

baacabnmbbam

baacabnmbm 22

)(22

222

)2()22(22

2

+++=

+++=

+---+=

+---

bacbnamb

babcabmnb

babcnaabmban

babcnaabmn 22

)(22

222

)2()22(22

2

+++=

+++=

+-+--+=

+-+--

Portanto, substituindo os resultados destes cálculos, obtemos :

)22(

)(

)22(

)(22

)(22

)(2

22

2

2222

ba

cbnamb

ba

cbnamaba

cbnambba

cbnamaAH+

++++

++=÷÷ø

öççè

æ

++++÷÷

ø

öççè

æ

+++=

)()22(

)( 222

2ba

ba

cbnam ++

++=ba

cbnam22

2)(+++=

ba

cbnam22 +

++=

Fórmula

A distância de );( nmA a L1 ; 0=++ cbyax é : ba

cbnam22 +

++

<N.B>

xx =2 Exemplo, 333)3( 22 -===-


- 15 -

(Exemplo 15) Dado o ponto )3;1(A , e dada a recta L1 : 01 =-- yx , temos os valores das incógnitas constantes : 31,1,1,1 ==-=-== nemcba

Portanto, a distância de A a L1 é : 223

23

11131

)1(1

1311122

=-

=+

--=

-+

-´-´

(Exercício 14) Determine a distância de A a L1 dos casos seguintes.

a) )3;2(A b) )2;1(-A c) )3;2( --A

022:1 =-+ yxL 0122:1 =--- yxL 52:1 -= xyL

§6 Função da mediactriz

Quando saber as coordenadas de M que é a metade de

AB , podemos expressar a função da mediactriz de AB .

(Exemplo 16) Deternine a função da mediactriz L1 entre )2;1(A e )8;5(B ,

Resolução

As coordenadas de M que é a matade de AB :

( )5;32

82;2

51 =÷øöç

èæ ++M

E, o declive de AB é : 23

46

1528 ==

--=x

yDD

Por isso, o declive da L1 é 32

- .

Agora, já sabemos o seu diclive, e que L1 passa por M.

Portanto, obtemos a função da mediatriz L1 :

732)3(3

25 +-=Û--=- xyxy

(Exercício 15) Determine a função da mediactriz dos seguintes casos:

a) )3;2(-A e )5;4( -B b) )2;3( -A e )2;1(-B c) ÷øöç

èæ -

31;

23A e ÷

øöç

èæ

37;2

1B

Definição da mediactriz A recta L1 que passa pela metade de AB , e que é perpendicular a AB , chama-se “Mediactriz”

Fórmula da metade

2baM +=

<Prova > Pela ilustração indicada acima:

22baabaM +=-+=

Expandindo esta fórmula para plano, dados os pontos );( baA e );( dcB , M é :

÷øöç

èæ ++

2;2dbcaM


16

Inequação do 1º grau O símbolo “ = ” significa que o valor do membro esquerdo é mesmo do direito.

E a equação 0)( =xf significa qual é o valor de x que satisfaz 0)( =xf

Neste capítulo,vamos aprender inequações. Tenha cuidado com as equações.

§1 Definição de inequações 1-1) Definição dos símbolos de desigualdade Inequação define-se com uma expressão, comparando dois valores. Para expressar

essa comparação, usam-se os símbolos abaixo, de desigualdade. “ ba < ” …a é menor que b . “ ba > ” …a é maior que b .

“ ba £ ” …a é menor ou igual a b . “ ba ³ ” …a é maior ou igual a b .

(Exemplo 1) a) 63 < significa que 3 é menor que 6 . b) 21 -> significa que 1 é maior que 2- . Então, no exemplo acima, usamos números conhecidos (concretos), agora, usando uma

variável, vamos aprender qual é o significado da inequação que vai ter: 1-2) Definição de 0>x Segundo a definição dos símbolos de desigualdade, 0>x pode significar

normalmente o valor de x que é maior que 0 . Mas, o número x é uma variável (incógnita). Não é um número exacto como etc32,1 , é um número arbitrário que pode

ser 10,25,2,1 - etc.

Em resumo, 0>x significa só um número arbitrário que é maior de 0 .

Por exemplo, em 0>x , x pode ser 1025,2,1 ou etc (um número qualquer que é

maior de 0 ), mas não pode ser 271,0 -- ou etc. Então esse intervalo dos números

pertecentes a 0>x chama-se “ domínio “.

§2 Recta numérica 2-1) Noção de recta numérica Entre dois números arbitrários diferentes, temos uma relação de maior ou menor.

Então, colocando todos os números na recta horizontal como o número maior estará à direita do número menor, por exemplo, colocando 2 à direita de 1, construimos a recta numérica como à direita .


17

2-2) Sentido da recta numérica Na recta numérica, colocamos o número maior à direita do número menor. Por isso, os números vão crescendo se for à direita na recta. Portanto, a recta numérica tem o sentido direito para número crescente, chamado “ sentido positivo ” Na recta, expressamos o sentido com seta. Por outro lado, se for à esquerda, número vai decrescer. Por isso, o sentido esquerdo na recta chama-se “sentido negativo”. Mas normalmante, não colocamos a seta para o sentido negativo, porque esse é o contrário do positivo. Então colocando-se só o sentido positivo, já se pode saber o negativo. 2-3) Módulo

A definição de Módulo é a distância do ponto de origem( Quantas unidades a partir do

ponto de origem) e módulo de x escreve-se x .

(Exemplo 2)

2 significa a distânsia entre ponto de 2 e o ponto de origem,e quantas unidades do

ponto de origem para 2 são duas unidades.

Portanto, 22 =

Geralmente, para o número arbitrário maior ou igual a 0 , o módulo desse número vai

ser o seu número. Matemáticamente escreve-se : Se 0³x , vai ser xx =

(Exercício 1) Determine cada um dos seguintes módulos.

a) 3 b) 4 c) 32

2-4) Números negativos

O número que está à direita de 0 na recta numérica chama-se “ número positivo”. E o número que está à esquerda de 0 na recta numérica chama-se “ número negativo”.

Agora, dado um número positivo )0( >xx , o número negativo, cuja distância de 0 na recta numérica é igual a x , mas está à esquerda de 0 . Este número escreve-se x- . (Exemplo 3) a) 1- é o número que tem uma unidade à

esquerda de 0 na recta. Portanto,

111 ==-

b) 3- é o número negativo cuja distância de 0 é 3


18

Resumo Dado um número positivo arbitrário )0( >xx ,

a) Recta numérica é como á direita

b) xxx ==- ex) 222 ==-

c) 00 = porque 0 é ponto de origem.

(Exercício 2) Determine cada um dos seguintes módulos.

a) 3- b) 4- c) 35-

2-5) Método de expressar o domínio na recta numérica Como aprendémos até agora, inequação significa a comparação de dois números. Mas,

quando tiver uma variável numa inequação, significa o domínio da variável. (Exemplo 4)

2>x significa uma união dos números maiores de 2 . Estes números estão à direita de 2 na recta numérica. Portanto, o domínio de 2>x vai ser como à direita.

Agora, 2>x não contém 2 . Neste caso, usamos “ ○ “ para marcar 2 . ☆Observação A noção da palavra “ união” é do capítulo de Conjuntos. Por isso, expressando o

domínio de 2>x com método de Conjuntos, vai ser : ] [¥Î ;2x Então, 2>x e ] [¥Î ;2x são iguais. (Exemplo 5) ] ] )2;(2 -¥-ÎÛ-£ xx

2-£x contém os números menores ou iguais a 2- . Portanto, o domínio vai ser a esquerda de 2- como à

direita. Agora 2-£x contém 2- também, neste caso usamos “ ● ” para marcar 2-

(Exemplo 6) [ ])2;2(22 -ÎÛ££- xx 22 ££- x lê-se “ 2- é menor ou igual a x , e x é menor ou igual a 2 . Por outras palavras, x está no intervalo de [ ]2;2- . ☆Observação Se for 22 <£- x , não contém o extremo direito 2 . Por isso, temos que marcar com “ ○ “ (Exemplo 7) ] ] [ [ );22;(22 ¥È¥-ÎÛ³Ú-£ xxx Este domínio contém dois espaços de 2-£x e 2³x .


19

Assim, temos um intervalo saltado entre 2- e 2 . (Exemplo 8) ] [);( ¥¥-ÎÛÎ xRx

RxÎ significa que x é u, número real. Assim, o domínio de RxÎ vai ser toda a recta numérica. Este caso

chama-se Solução universal. (Exemplo 9) φÎx

f é símbolo chamado conjunto vazio, significa que não existe elemento. Este caso

chama-se Solução impossível.

§3 Operações em inequações 3-1) Adição e Subtracção

Na recta numérica temos dois pontos A e B ( BA < ). Agora, CA + significa que o ponto A desloca-se C

unidades para direita, e CB + também. Neste momento, a relação de maior ou menor mantém-se.

CBCABA +<+Û< E mais, CA - significa que o ponto A desloca-se C

unidades para a esquerda. Neste momento também, a relação de maior ou menor mantém-se.

CBCABA -<-Û< (Exemplo 10) Resolva cada uma das seguintes inequações

a) 72 £-x b) 53 <+x

Resoluções Para inequações de uma variável, respondemos o domínio dessa variável que satisfaz

a inequação dada. Assim, queremos deixar só a variável no membro esquerdo. a) Para anular 2- , adicionando 2 a ambos membros, mantem-se o símbolo anterior.

272)2( +£+-x 9£x

Este resultado significa que x deve ser menor ou igual a 9 para satisfazer

72 £-x .

b) Para anular 3 , subtraimos 3 em ambos membros e mantemos o símbolo anterior.

353)3( -<-+x 2<x

Este resultado significa que x deve ser menor que 2 para satisfazer 53 <+x .


20

☆Método de transposição ao outro membro. Em CBA £+ , subtraindo B para anular B ,

BCBBA -£-+ )(

BCA -£ Por isso, temos:

BCACBA -£Û£+

Em CBA £- , adicionando B para anular B- , BCBBA +£+- )(

BCA +£ Por isso, temos:

BCACBA +£Û£-

N.B Assim, em ambos resultados, quando o termo B se transpõe ao outro

membro, muda o sinal ao contrário e o símbolo de desigualdade mantém-se.

(Exercício 3) Resolva cada uma das seguintes inequações e represente o domínio na recta numérica.

a) 41£+x b) 321 <-x c) 510 >-x d)

43

31 ³-x

3-2) Multiplicação e divisão

Entre três números ba , e 0 ( ba < ), temos três casos seguintes de posição: I. ba <<0 II. ba << 0 III. 0<< ba Agora, em cada caso, vamos pensar na multiplicação por k se k for positivo ( 0>k ). (CasoⅠ : ba <<0 )

ba <<0 ⇔ ba 220 << (a desigualdade mantem-se) (Exemplo 11) 4221 <Û< multiplicando por 2 para ambos membros, não se muda. (CasoⅡ: ba << 0 )

ba << 0 ⇔ ba 202 << (a desigualdade mantem-se) (Exemplo 12) 4221 <-Û<-

Multiplicando 2 para ambos membros

⇔


⇔


21

(CasoⅢ: 0<< ba )

0<< ba ⇔ 022 << ba (a desigualdade mantem-se) (Exemplo 13) 2412 -<-Û-<-

Assim, multiplicando por )0( >kk para ambos membros, a desigualdade mante-se.

Então, se k for número negativo ( 0<k ), o que acontece?

vamos considerar o caso de 1-=k ( CasoⅠ: ba <<0 )

ba <<0 ⇔ 0<-<- ab (a desigualdade ficou ao contrário)

(Exemplo 14) 2121 ->-Û< (multiplicando por 1- , muda-se ao contrário.) ( CasoⅡ : ba << 0 )

ba << 0 ⇔ ab -<<- 0 (a desigualdade ficou ao contrário) (Exemplo 15) 2121 ->Û<- ( CasoⅢ : 0<< ba )

0<< ba ⇔ ab -<-<0 (a desigualdade ficou ao contrário) (Exemplo 16) 1212 >Û-<-

⇔

⇔

ba < ⇔ kbka < )0( >k


Multiplicando 1- para ambos membros


⇔


⇔


22

Assim, multiplicando por )0( <kk para ambos membros, a desigualdade muda-se.

(Exemplo 17) Resolva as seguintes inequações.

a) 42 £x b) 221

-<x c) 62 >- x d) 231

-³- x

Resoluções As inequações perguntam o domínio de x . Assim, deixamos x no membro esquerdo. a) 42 £x significa que duas vezes x é menor ou igual a 4 . Então qual é o domínio de x ?

De x2 para x , dividimos por 2 Û multiplicamos por 21 ÷

øö

çèæ > 0

21

Por isso, a desigualdade não se muda. Então vai ser : 242 £Û£ xx (O domínio de x é menor ou igual a 2 )

b) Para fazer só x de x21 , multiplicamos por 2 ( )02 > . Assim, a desigualdade mantem-se.

4221

-<Û-< xx

c) Para fazer só x de x2- , dividimos por 2- Û multiplicamos por 21

- ÷øö

çèæ >- 0

21

Assim, a desigualdade muda-se ao contrário. 362 -<Û>- xx

d) Para fazer só x de x31

- , multiplicamos por 3- ( )03 >-

Assim, a desigualdade muda-se ao contrário.

6231

£Û-³- xx

B

ABA 1´=¸ Assim, dividindo por um número negativo, também muda-se à inversa.

ba < ⇔ kbka > )0( <k Multiplicando k (que é número negativo), a desigualdade muda-se à

<N.B>


23

(Exercício 4) Resolva as seguintes inequações.

a) 33 ³x b) 131

-<x c) 34 <- x d) 232

-£- x (Exemplo 18) Resolva as seguintes inequações.

a) 823 ³+x b) 2131

-<-x c) 422 ->+- xx d) 2211

32

-£+- xx

Resoluções Deixam-se os termos com x no membro direito e os termos dos números no esquerdo. a) 263283823 ³Û³Û-³Û³+ xxxx

b) 313112

3121

31

-³Û-³Û+-³Û-³- xxxx

c) 263242422 £Û-³-Û--³--Û-³+- xxxxxx d) Será mais fácil eliminar o denominador, multiplicando pelo seu M.M.C.

7887623423642

211

32

£Û-³-Û--³--Û-³+-Û-³+- xxxxxxxx (Exercício 5) Resolva as seguintes inequações.

a) 532 £+x b) 3221

>-x c) 623 -<-- xx d) 3251

43

-³+- xx §4 Solução impossível

(Exemplo 19) Resolva a inequação de xx £+ 3 Resolução

3033 -£Û-£-Û£+ xxxx Então, a solução significa que 0 é menor ou igual a 3- . Mas, 0 é maior de 3- . Então, esta solução é contraditória. Neste caso, chamamos a solução impossível e representamos φxÎ . (Exercício 6) Resolva as seguintes inequações

a) xx 212 £+ b) )5(2)1(3 xxx -->+ §5 Solução universal (Exemplo 20) Resolva a inequação de xx £- 3

Resolução 3033 £Û£-Û£- xxxx

Então, a solução significa que 0 é menor ou igual a 3 , e é verdadeira. Neste caso, dissermos a solução universal e escrevemos RxÎ para a solução.


24

(Exercício 7) Resolva as seguintes inequações. a) )3(212 +£+ xx b) )3(25)1(3 xxx -+>+

(Exercício 8) Resolva as seguintes inequações.a) 48 -£x b) 52 >- x c) 0>- x d) 347 -³+x

e) 2534 +>- xx f) xx -£+ 9)3(2 g) )61(2910 aa -³- h) 4

362

1 -£

+ zz

i) 3)3(5

211 -->-- yyy j)

323

414 +£

- xx k) 3

132

32 +>

- xx

§6 Sistema de inequações (Exemplo21) Rsolva os seguintes sistemas de inequações

a)îíì

>+<+

3665

xx b)

îíì

>+<+-

48)2(81373

xx c)

ïî

ïíì

£-

<+

925

81121

x

x d) ïî

ïíì

>+

£-

36

12

1

x

x

Resoluções

O sistema de inequações pergunta o domínio de x que satisfaz ambas inequações.

Assim, resolvendo cada inequação, considera a intersecção dos domínios. a) Resolvendo 65 <+x , obtemos o domínio 1<x , e resolvendo 36 >+x , obtemos 3->x . Portanto, a intersecção dos domínios é 13 <<- x

b) îíì

>+

<+-

②

①

48281373

)(xx

Sobre ① Sobre ②

263

1373

-><-

<+-

xxx

462

4828

>>+

>+

xx

)(x

Portanto a solução do sistema de inequações é 4>x

c) ïî

ïíì

£-

<+

②

①

925

81121

x

x

Portanto a solução do sistema de inequações é fÎx

Dividimos ambos por 8

Sobre ① Sobre ②

61622

81121

-<<+

<+

xx

x

2

42925

-³£-£-

xx

x


25

(d) ïî

ïí

ì

£-

£-

②

①

327

121

xx

x

A intersecção dos domínios é só 3=x , portanto a solução é 3=x ( { }3Îx )

(Exercício 9) Resolva cada um dos sistemas de inequações que se seguem:

a) îíì

>+<-12

352x

x b) îíì

<->+26853

xx c)

îíì

-£+-³+

)2(3325

xxxx d)

ïî

ïíì

>-

+>+

227

65xx

xx

e) ïî

ïíì

<-

-£-

-

30)21(5

)21(52

11

x

xx f)

ïî

ïí

ì

-£+-

£+--

12)1(35

031

214

x

xx

g) ïî

ïíì

-£

-£--

25

44

7)1(1xx

x

h) ïî

ïíì

³-

£+

123

13

12

x

x i)

ïî

ïí

ì

--³+

+<-+

41)1(622

36

543

)1(23

xx

xx

(Exemplo 22) Sabendo que o comprimento do perímetro do rectângulo da figura à direita não excede a 42cm, determine o domínio de x .

Resolução

Não excede a 42cm significa que é menor de ou igual a 42cm. Assim, obtemos a inequação sobre o perímetro :

[ ] 422)1( £´++ xx ① E, o segmento tem que ser maior de 0 (número positivo).

Por isso, obtemos îíì

>+>

010

xx 0>Û x ②

Assim, resolvendo o sistema de inequações:

[ ]îíì

>£´++

0422)1(

xxx

Então, resolvendo ①, [ ] 102022112422)1( £Û£Û£+Û£´++ xxxxx ･･･ ①’

Assim, juntando com ②, obtemos a solução : 100 £< x ou ] ]10;0Îx

x

1+x

Sobre① Sobre ②

321

12

1

££-

£-

xx

x

3217

6213

27

³-£-£-

£-

xx

xx

xx


26

Exercício 10) Sabendo que a área do triângulo ABC é superior a 24 , mas é menor que 48 a) Construa o sistema de inequações deste caso. b) Resolva o domínio de x .

Intervalo de cáfe (Representação gráfica da inequação) Por exemplo, 422 -<+- xx :

Podemos separar os membros como :

îíì

-=

+-=

･･･②

･･･①

422

xyxy

Porque, substituindo 22 +- x a y em ①, Obtemos 422 -=+- xx . Por isso, 422 -<+- xx

significa graficamente o domínio de x em que 22 +-= xy está em baixo de 4-= xy como se ilustra à direita.

Então, o domínio da solução deve ser à direita da intersecção das duas rectas. Por isso, queremos saber o valor de x da intersecção

resolvendo o sistema da equações das duas rectas:

îíì

-=

+-=

･･･②

･･･①

422

xyxy 2224 =Û+-=-Û xxx

Portanto, o domínio da solução é a direita do ponto 2=x , Por outras palavras, 2>x ( ] [¥Î ;2x )


- 27 -

Desenvolvimento Introdução Este capítulo não é só para cálculo de produtos dos polinómios, o básico de solução de factorizações. Assim, é muito útil, e temos que nos acostumar às seguintes fórmulas:

§1 acabcba +=+ )( (Propriedade distributiva) Demonstração

Usando o significado de multiplicação:

)()()()()( cbcbcbcbcba ++++++++=+

a vezes

)()( ccccbbbb +++++++++=

a vezes a vezes

acab+= ☆Outra maneira Pensando na área como se ilustra à direita,

EFCDABFEABCD += acabcba +=+\ )(

(Exemplo 1) Desenvolva )3(2 +a

Resolução

62322)3(2 +=´+=+ aaa

(Exercício 1) Desenvolva as seguintes expressões a) )2(3 +a b) )1( +ba c) )2(3 －－ a d) )3(2 a－－

(Exemplo 2) Desenvolva )32(2 cba ++

Resolução

cbacbacba 64232222)32(2 ++=´+´+´=++

(Exercício 2) Desenvolva as seguintes expressões a) )1(3 ++ba b) )12( +- cba c) )122(3 －－ yx + d) )33(2 yx -－－

Ilustração

N.B O significado de multiplicação nm´ é Repetir m vezes adicionar n

nnnnnnnm +++++=´

m vezes


- 28 -

Realmente, todos os produtos dos polinómios podem ser desenvolvidos, usando só esta fórmula. Mas, isso pode nos levar muito tempo. Assim vamos aprender os casos especiais (notáveis).

§2 bdbcadacdcba +++=++ ))(( Demonstração

Seja )( dcA += bAaAbaAdcba +=+=++ )())((

Voltamos A a )( dc + )()( dcbdcabAaA +++=+

bdbcacac +++=

bdbcadacdcba +++=+´+ )()(

(Exemplo 3) Desenvolva )2)(1( ++ ca

Resolução 22)2)(1( +++=++ caacca

(Exercício 3) Desenvolva cada um dos seguintes produtos. a) )5)(6( ++ yx b) )2)(3( +- ba c) )3)(( -- cba d) )7)(12( -+ yx (Exemplo4) Desenvolva )5)(6( +++ zyx

Resolução Seja 6+= xA

)5()5)(6( ++=+++ zyAzyx )6(5)6()6(5 +++++=++= xxzxyAzAyA

30566 +++++= xzxzyxy ( 30665 +++++= zyxxzxy ) (Exercício 4) Desenvolva cada um dos seguintes produtos. a) )132)(3( +++ zyx b) )23)(6( --- zyx c) )2)(32( --+- xzy (Exemplo 5) Desenvolva )1)(5)(6( +++ zyx

Resolução [ ] )1)(3065()1()5)(6()1)(5)(6( ++++=+++=+++ zyxxyzyxzyx

30653065 +++++++= yxxyzyzxzxyz (Exercício 5) Desenvolva cada um dos seguintes produtos

a) )1)(3)(2( -+- cba b) )2)(1)(3( +-+ zyx

Ilustração

① ②

③

④


- 29 -

§ 3 abxbaxbxax +++=++ )())(( 2 Demonstração

Usando a fórmula de § 2 teremos abaxbxxbxax +++=++ 2))(( termos comuns abxbax +++= )(2 soma produto (Exemplo 6) Desenvolva )2)(3( ++ xx

Resolução

Sempre obtemos termos comuns de x . Por isso, somando esses coeficientes ao mesmo tempo que desenvolvem os, podemos chegar à solusão mais rápida e certamente. E, essa fórmula é muito útil para a factorização. Temos que nos acostumar a ela. (Exercício 6) Desenvolva cada um dos seguintes produtos. a) )2)(1( ++ xx b) )4)(2( ++ xx c) )2)(1( +- xx d) )2)(1( -- xx e) )4)(3( -- xx f) )4)(2( -- aa g) )7)(5( +- aa h) )8)(3( -+ aa (Exemplo 7) Caso que tenha o coeficiente de x2

Fórmula

bdxbcadxabdcxbax +++=++ )())(( 2 (Exercício 7) Desenvolva cada um dos seguintes produtos. a) )2)(12( ++ xx b) )32)(23( ++ xx c) )23)(14( +- xx d) )23)(12( -- xx e) )43)(3( -- xx f) )43)(23( -- aa g) )75)(5( +- aa h) )74)(52( -+ aa

＊sempre obtem 2 termos comuns de x !


- 30 -

§4 aaxxax 222 2)( ++=+ ou aaxxax 222 2)( +-=+ Demonstração

Usando a fórmula de §3, teremos:

aaxxaxaxax 222 2))(()( ++=++=+ ou aaxxaxaxax 222 2))(()( +-=--=-

Essa fórmula é do tipo especial de §3 e com ela obtemos os mesmos coeficientes dos termos comuns de x . Por isso, sempre o coeficiente de x vai ser a2 ou a2- .

(Exemplo 8) Desenvolva )5( 2+x

Resolução

(Exercício 8) Desenvolva cada um dos seguintes produtosa) )1( 2+x b) )2( 2+x c) )3( 2+x d) )4( 2+x e) )5( 2-x f) )6( 2-x g) )7( 2-x h) )8( 2+x (Exemplo 9) Caso que tenha o coeficiente de x

Resolução

(Exercício 9) Desenvolva cada um dos seguintes produtos.a) )12( 2+x b) )13( 2+x c) )43( 2+x d) )52( 2+x e) )52( 2-x f) )65( 2-x g) )73( 2-x h) )32( 2x-

babxaxbax 222 2)()( +±=±

Fórmula


- 31 -

§5 axaxax 22))(( -=-+ Demonstração

Usando a fórmula da § 3, temos :

Essa fórmula é também do tipo especial da § 3. Neste caso, os termos de x são

simetricos. Por isso, os termos de x se anulam e obtemos só dois termos ax 22 - (Exemplo 10) Desenvolva )1)(1( -+ xx

Resolução

＊Não é necessário escrever sempre o caminho para a solução. Podemos omiti-lo. (Exercício 10) Desenvolva cada um dos seguintes produtos. a) )2)(2( -+ xx b) )3)(3( -+ xx c) )4)(4( -+ xx d) )5)(5( xx -+ e) )6)(6( +- xx f) )7)(7( +- xx g) )8)(8( +- xx h) )2)(2( -+ xx (Exemplo 11) Caso que tenha o coeficiente de x

Resolução

(Exercício 11) Desenvolva cada um dos seguintes produtos. a) )32)(32( -+ xx b) )34)(34( +- xx c) )43)(43( +- xx d) )25)(25( xx +- e) )56)(56( xx -+ f) )72)(27( +- xx g) )38)(83( xx -+ h) )23)(23( +- xx

Fórmula

bxabaxbax 222))(( -=-+ (Demonstração)

babxabxxabaxbax 222))(( --+=-+

bxa 222 -=

Neste caso também os termos x se anulam.


- 32 -

§6 Exercícios superiores (Exemplo 12) Desenvolva a seguinte expressão.

)23)(14()12( 2 +--+ xxx

38)2512()144( 222 +--=-+-++= xxxxxx Então, é melhor calcular cada um, porque será muito difícil calcular como

2512)23)(14( 2 +--=+-- xxxx por causa do problema de sinais.

Neste caso, calculando cada um como )2512()144( 22 -+-++ xxxx , acha os termos

comuns de x2 como xx 22 124 - . Já vai acabar o cálculo dessa parte. Depois disso, calcula em cada parte, os termos comuns de x e de números:

xxx -=- 54 e 3)2(1 =-- Há-de conseguir calcular rapida e certamente. (Exercício 12) Desenvolva cada um dos seguintes produtos. a) )42)(23()73( 2 +++- xxx b) )2)(12()23)(1( --++- xxxx c) )52()32)(32( 2+--+ xxx d) )12)(2()3)(12( ----+ xxxx (Exemplo 13) Desenvolva o seguinte produto que tem 3 factores.

úûù

êëé +++=+++ )3)(2()12()3)(2)(12( xxxxxx

)65)(12( 2 +++= xxx )65()65(2 22 +++++= xxxxx

617112 23 +++= xxx

Os parenteses representam um número. Por isso, este é o mesmo cálculo de )43(24)32(432 ´´=´´=´´ . Pode calcular livremente, juntando 2 factores. Neste

momento, as fórmulas que aprendemos até agora neste capítulo serão muito úteis. Se consegue, há-de ser um campeão de cálculo!

(Exercício 13) Desenvolva cada um dos seguintes produtos. a) )2)(23)(1( -+- xxx b) )12)(13)(3( -+- xxx c) )23)(32)(1( +++ xxx


- 33 -

§7 aaxaxxax 32233 33)( +++=+

Demonstração

Transformando: )()()( 23 axaxax ++=+ , já sabemos aaxxax 222 2)( ++=+ . Por isso:

axaxaxaxaxa

xaxaxaxaaxxax 3223 332

)()2()(322

223223 +++=

+++

++=+++=+

Agora, em )( 3ax - , pensando [ ])()( 33 axax -+=- para usar a fórmula acima, vai ser :

[ ] aaxaxxaaxaxxaxax 3223322333 33)()(3)(3)()( -+-=-+-+-+=-+=-

N.B(Produto cúbico)

1, aaxaxxax 32233 33)( +++=+ 2, aaxaxxax 32233 33)( -+-=-

※Obs: Basta dominar a 1ª fórmula, porque a 2ª pode se derivar da 1ª . (Exemplo 14) Desenvolva os seguintes produtos:

a) )1( 3+x b) )2( 3yx - c) )32( 3+x d) )23( 3-x

Resoluções

a) 133)1( 233 +++=+ xxxx

b) yyxyxxyyxyxxyx 8126)2()2(3)2(3)2( 322332233 -+-=-+-+-+=-

c) 275436833)2(33)2(3)2()32( 2332233 +++=+´+´+=+ xxxxxxx

d) 8365427)2()2()3(3)2()3(3)3()23( 2332233 -+-=-+-+-+=- xxxxxxx (Exercício 14) Desenvolva os seguintes produtos:

a) )3( 3+x b) )3( 3yx - c) )23( 3+x d) )52( 3x-

※ Para desenvolver )( ax n+ , podemos usar o método de decomposição . Por exemplo:

axaxaxaxaxaxaxaxaxaxax 4322343223 464))(33()()()( 34 ++++=++++=++=+

axaxaxaxax

axaxaxaxaxaxaxax54233245

432234

510105

))(464()()()( 45

+++++=

+++++=++=+


- 34 -

Factorização Introdução Factorização é um tipo de transformação de polinómio para produto. Por isso, a factorização é a transformação inversa do desenvolvimento. E esta é muito útil para resolver as equacões de maior ou igual ao 2º grau.

§1 Factores Os elementos que constroem um produto chamam-se factores. Por exemplo, em x2 ,

temos os factores de 2 e x . Então, num polinómio, os factores que estão em cada termo chamam-se factores comuns. Por exemplo, dado o polínomio yx 22 + , temos o factor comum 2 . E mais, em yx 42 + , também temos o factor comum 2 , Porque

yxyx ´´+´=+ 22242

(Exercício 1) Indique os factores comuns nas seguintes expressões. a) yx 33 + b) yx 63 - c) ayax + d) zyx 222 -+ e) zyx 963 +-

§2 )( cbaacab +=+ (Exemplo1) Factorize yx 22 +

Resolução Em yx 22 + ,temos o factor comum 2. Neste caso, tira-se este, depois coloca-se à

esquerda dos parênteses. E deixa os termos tirados do factor comun nos parênteses: )(222 yxyx +=+

Neste momento, esta transformação chama-se “evidenciar” e o 2 em )(2 yx + chama-se “evidência”. Então, cuida-se os 1º e 2º membros. Têm que ser idênticos. Por isso, vai desenvolver

o 2ºmembro para se confirmar se o 2º membro desenvolvido é idêntico ao 1º ou não. Se é idêntico, está certo. Se é diferente, está errado.

(Exercício 2) Factorize as seguintes expressões. a) yx 33 + b) yx 63 - c) ayax + d) zyx 222 -+ e) zyx 963 +-

§3 ))((22 axaxax -+=- (Exemplo 2) )1)(1(11 222 -+=-=- xxxx

Esta é a fórmula inversa da § 5 de desenvolvimento. Sempre tem 2 termos que são números quadrados. Neste caso, mete as raízes quadradas desses 2 números e os sinais diferentes em cada parênteses.


- 35 -

(Exercício 3) Factorize as seguintes expressões.

a) 42 -x b) 92 -x c) 252 -x d) 364 2 -x e) 499 2 -x §4 )(2 222 axaaxx +=++ ou )(2 222 axaaxx -=+-

Demonstração Esta é a fórmula inversa da § 4 de desenvolvimento. Sempre o 1º e o último termos

são números quadrados.

1ºprocesso : Ponha as raizes quadradas desses dois números

dentro de parênteses ao quadrado: )( 2ax

2º : Copie o sinal do termo de x dentro de parenteses: )( 2ax +

3º : Desenvolva esses parênteses com atenção ao termo de x para a confirmação. Se obtiver a expressão dada, está certo.

☆ Se fosse aaxx 22 2 +- a expressão dada, seria )( 2ax - . A diferença é só do sinal.

(Exemplo 3) Factorize 442 ++ xx . Resolução

Em 442 ++ xx , temos x2 no 1º termo e 22 no último.

Então, ponha as raizes quadradas desses dois números nos parênteses ; )2( 2x .

Copie o sinal de x24 dentro dos parênteses : )2( 2+x

Desenvolva )2( 2+x para a confirmação : 44)2( 22 ++=+ xxx

Está certo. Se fosse 442 +- xx , seria )2(44 22 -=+- xxx

(Exemplo 4) Factorize 9102 ++ xx . Resolução

Temos x2 no 1º termo e 32 no último. Assim, factorizando )3( 2+x , vai ter problema.

Porque 96)3( 22 ++=+ xxx , não é 9102 ++ xx . Assim, se tiver os números quadrados

nos 1º e último termo, há os casos que não são deste tipo. São do próximo tipo.


- 36 -

(Exercício 4) Factorize as seguintes expressões se for este tipo. a) 962 ++ xx b) 1662 -+ xx c) 25102 +- xx d) 36122 +- xx e) 9124 2 ++ xx f) 25204 2 +- xx g) xx 21025 ++ h) 36132 +- xx

§5 ))(()(2 bxaxabxbax ++=+++ (Exemplo 5) Esta é a fórmula inversa da § 2 de desenvolvimento. Então tem os números

quadrados no 1º e último termo, mas não é o tipo da § 5 . Neste caso, factoriza-se segundo os seguintes processos: 1º- Faça dois parênteses e ponha x e o sinal “－“ em cada parênteses

s ⇒ ))(( -- xx ☆ Já fizemos a parte de x2 ☆ O sinal “－“ é temporário, porque se quiser “＋“, aumenta “|” a “－“ para ser “＋“. 2º- Procure os pares cujo produto é 9. ⇒ )9;1( , )9;1( -- )3;3( , e )3;3( -- 3º- Nestes pares, procure números cuja soma é 10 ⇒ )9;1( 4º- Ponha 1 e 9 nos parênteses mudando os sinais para “＋“ ⇒ )9)(1( ++ xx Então, se procurasse os pares cuja soma é 9 em primeiro, obteria os muitos. Por

exemplo, ･･･ )1;8( , )2;7( , )3;6( , )4;5( , )9;0( , )10;1( - , )11;2( - ･･･ É difícil procurar o par, cujo produto é 9 destes, porque temos alternativas sem limite. Mas os pares cujo produto é 9 são só )9;1( , )9;1( -- , )3;3( , )3;3( -- . É mais facíl apanhar números cujo produto da soma é 9. (Exemplo 6) 1º- Faça dois parênteses e ponha x e o sinal “－“ ⇒ ))(( -- xx 2º- Procure os pares cujo produto é 35- ⇒ )35;1( - , )35;1( - , )7;5( - , )7;5( - 3º- Procure números cuja soma é 2 ⇒ )7;5( - 4º- Ponha 5 e 7- nos parênteses achando os sinais ; )5)(7( -+ xx


- 37 -

(Exercício 5) Factorize as seguintes expressões. a) 232 ++ xx b) 652 ++ xx c) 2142 -- xx d) 1662 -- xx e) 2092 ++ xx f) 422 -+ xx g) 6322 -- xx h) 5432 -- xx §6 ))(()(2 dbxcaxcdxbcadabx ++=+++ (Exemplo 7) Factorize 1252 2 -- xx

Resolução 1º- Procure os pares cujo produto é 2 para coeficiente de x2 . ⇒ )1;2(

2º- Ponha x2 e x nos parênteses ⇒ ))(2( -- xx ☆Fizemos a parte de x22

3º- Procure os pares cujo produto é 12- . ⇒ )1;12( - , )1;12( - , )2;6( - , )2;6(- , )3;4( - , )3;4(-

☆Fizemos a parte de 12- . Falta a parte de x5- 4º- Escolha um destes pares, depois coloque esses números atrás do termo de x

dentro de parênteses para fazer a soma 5- :

Neste tipo de exercício, podemos apanhar algumas falhas. Mas, não se preocupe,

porque pode-se anular essas alternativas falsas. Continuando a anular, logo pode obter o par certo, porque tem um limite de alternativas. (Exemplo 8) Factorize 294 2 ++ xx

Resolução 1º- Procure os pares cujo produto é 4 . ⇒ )2;2( e )1;4( 2º- Escolha um desses pares para colocar dentro de parênteses. ⇒ )2)(2( -- xx ou ))(4( -- xx

3º- Procure os pares cujo produto é 2 . ⇒ )1;2( , )1;2( -- 4º- Escolha um destes pares, depois coloque esses números atrás do termo de x

dentro de parênteses, para obter a soma 9 . Agora temos as 8 alternativas. ⇒ )12)(22( ++ xx e )22)(12( ++ xx têm o coeficiente 6 do termo de x …errado ⇒ )12)(22( -- xx e )22)(12( -- xx têm o coeficiente 6- do termo de x …errado ⇒ )1)(24( ++ xx tem o coeficiente 6 do termo de x ... errado ⇒ )2)(14( ++ xx tem o coeficiente 9 do termo de x ... certo Já achamos. Então não é necessário analisar )1)(24( -- xx e )2)(14( -- xx

)1)(24(294 2 --=++\ xxxx


- 38 -

(Exercício 6) Factorize as seguintes expressões. a) 6113 2 ++ xx b) 62 2 -+ xx c) 2156 2 -- xx d) 8314 2 -- xx e) 20173 2 ++ xx f) 42296 2 -+ xx g) 362 2 -- xx h) 10116 2 -- xx

§7 Exercícios superiores A partir da § 2 até §6 são os básicos. A ordem de pensar a factorização é a seguinte;

1º- §2 ; Evidenciar factor cumum 2º- §3 ; O tipo de ))((22 axaxax -+=- 3º- §4 ; O tipo de )(2 222 axaaxx ±=+± 4º- §5 ; O tipo de ))(()(2 bxaxabxbax -+=+++ 5º- §6 ; O tipo de ))(()(2 dbxcaxcdxbdacxab -+=+++ 6º- Na parte de poder factorizar, factoriza por uma tentativa. Então, temos que repetir a factorização até não podermos mais. Se não consegue

factorizar segundo esta ordem, ja não se pode factorizar mais. (Exemplo 9) Factorize 82 2 -x

Resolução

1º- Tem o factor comum 2. Evidencia ⇒ )4(282 22 -=- xx

2º- Dentro dos parênteses 42 -x é o tipo da § 3 ⇒ )2)(2(42 -+=- xxx

Já não podemos fatorizar mais. )2)(2(2)4(282 22 +-=-=-\ xxxx

(Exemplo 10) Factorize a) 12123 2 +- xx b) 642 2 -- xx

Resoluções

a) 1º- Tem o factor comum 3. Evidencia ⇒ )44(312123 22 +-=+- xxxx

2º- Dentro dos parênteses 442 +- xx é o tipo da § 4 ⇒ )2(44 22 -=+- xxx

Não podemos fatorizar mais. )2(3)44(312123 222 -=+-=--\ xxxxx

b) 1º- Tem o factor comum 2. Evidencia ⇒ )32(2642 22 --=-- xxxx

2º- Dentro dos parênteses 322 -- xx é o tipo da § 5 ⇒ )3)(1(322 -+=-- xxxx

Não podemos fatorizar mais. )1)(3(2)32(2642 22 +-=--=--\ xxxxxx


- 39 -

(Exercicio 7) Factorize as seguintes expressões. a) 123 2 -x b) 882 2 ++ xx c) 63336 2 -- xx d) 364 2 -x

e) 633 2 +-- xx f) 1222 2 ++- xx g) 325

21 2 ++ xx

(Exemplo 11) Factorize a) 9)2( 2 -+x b) 10)2(3)2( 2 -+-+ xx

Resoluções a) 1º- Seja )2( += xA , fica 99)2( 22 -=-- Ax . Este é o tipo da § 3

2º- )3)(3(92 -+=- AAA . Daqui, voltamos a A que é 2+x .

3º- [ ][ ] )1)(5(3)2(3)2()3)(3( -+=-+++=-+ xxxxAA

)5)(1(9)2( 2 +-=-+\ xxx b) 1º- Seja )2( += xA , fica 10310)2(3)2( 22 --=---- AAxx . Este é o tipo da § 5

2º- )2)(5(1032 +-=-- AAAA . Daqui voltamos a A que é 2+x .

3º- [ ][ ] )4)(3(2)2(5)2()2)(5( +-=++-+=+- xxxxAA

)4)(3(10)2(3)2( 2 +-=-+-+\ xxxx (Exercicio 8) Factorize as seguintes expressões.

a) 4)1( 2 --x b) 25)3( 2 -+x c) 32)3(2 2 --x

d) 8)3(2 2 ++- x e) 28)1(3)1( 2 ---- xx f) 2)2(3)2( 2 ++++ xx (Exemplo 14) Factorize 22 +++ baab

Resolução

1º- Agora não há termos comuns e não é o tipo da § 1 até §6 . Neste caso, nas partes em que se pode factorizar, fazêmo-lo por tentativa .

2º- Em 22 +++ baab , na parte de aab + , tem o factor comum a e na parte de 22 +b , tem o factor comum 2

)1(2)1(22 +++=+++ bbabaab 3º- Seja 1+= bA , fica : )2(2)1(2)1( +=+=+++ aAAaAbba 4º- Voltamos a A que é 1+b : )2)(1()2( ++=+ abaA

)1)(2(22 ++=+++\ babaab

(Exercicio 9) Factorize as seguintes expressões.

a) 33 +++ yxxy b) 6342 +++ yxxy c) 4669 -++- yxxy


- 40 -

§8 Factorização do tipo ax 33+ (Exemplo 15) Factorize ax 33 +

Resolução

Em primeiro, pensamos no desenvolvimento de )( 3ax+ : axaxaxax 32233 33)( +++=+ .

Porque é impossível começar de ax 33 + para factorizar ax 33 + , usando os processos de §7.

Agora, transformando axaxaxax 32233 33)( +++=+ à forma de =+ ax 33 , temos :

)33()( 22333 xaxaaxax +-+=+

Mas, aqui, não é possível factorizar usando os processos de §7 até 5º. Assim, usamos o

6º processo. Fatorizamos só a parte que podemos : )33( 22 xaxa + .

)(333 22 axaxxaxa +=+ ←Evidenciamos ax3 .

Por isso obtemos )(3)( 333 axaxaxax +-+=+ .

Neste caso, aparece o factor comum de ax + em )(3)( 3 axaxax +-+ . Por isso, evidenciamos:

]3)()[()(3)( 23 axaxaxaxaxax -++=+-+

Caluculando a parte de ]3)([ 2 axax -+ : aaxxaxaaxxaxax 22222 323)( +-=-++=-+

Portanto, obtemos a fórmula de : ))(( 2233 aaxxaxax +-+=+

Exercício 10) Factorize ax 33 - Exercício 11) Factorize as seguintes expressões.

a) 13 +x b) 83 +x c) 273 -x d) 643 -x

e) 278 3+x f) 881 3 -x g) x3271- h) xy 33

2718 +


- 41 -

Equação do 2º grau Introdução Para resolver as equações do 2º grau, temos dois métodos. O primeiro é o método de raiz quadrada. A fórmula resolvente, que é mais famosa em Moçambique, pertence a este método. O segundo é método da factorização. Então, cada um tem boas características. Por isso será melhor escolher um método dependendo dos casos. É possível mas não é bom sempre usar a fórmula resolvente.

§1 Método de factorização

Esta N.B é claro. Por exemplo, se 022 =´Û= BA , tem que ser 0=B ,

se 033 =´Û= AB , tem que ser 0=A Então, os parênteses também representam um número. Por exemplo, (x+a) é um

número. Portanto, podemos colocar uma incógnita aos parênteses . Por isso, se 0))(( =-- bxax , tem que ser 0)( =- ax ou 0)( =-bx Daqui teremos as soluções de ax = ou bx = . Então, desenvolvendo ))(( bxax -- , achamos a expressão abxbax ++- )(2 . Esta é do 2º grau. Por isso, 0))(( =-- bxax é uma equação do 2º grau e temos as duas soluções de ax = ou bx = . (Exemplo 1) Resolva as seguintes equações.

a) 0)2)(1( =-- xx b) 0)1)(3( =+- xx c) 0)21)(3

2( =-+ xx

Resoluções a) 0)2)(1( =-- xx

0)1( =-x ou 0)2( =-x ∴ 1=x ou 2=x

b) 0)1)(3( =+- xx

0)3( =-x ou 0)1( =+x ∴ 3=x ou 1-=x

c) 0)21)(3

2( =-+ xx

0)32( =+x ou 0)

21( =-x

∴32-=x ou

21=x

N.B (Lei do anulamento de produto) Dados os números arbitrários A e B, Se 0=´ BA , tem que ser 0=A ou 0=B


- 42 -

(Exercício 1) Resolva as seguinte equações. a) 0)3)(2( =-- xx b) 0)2)(1( =++ xx c) 04

354 =÷

øöç

èæ -÷øöç

èæ + xx

Então, no exemplo 1, os primeiros membros estão factorizados. Por isso, quando

conseguimos factorizar as equações dadas para 0))(( =-- bxax , teremos as duas soluções de ax = ou bx =

Então, na matemática temos o símbolo ”Ú ” com significado de “ou”. Vamos usar: (Exemplo 2) Resolva as seguintes equações. a) 0232 =+- xx b) 0822 =-- xx c) 01452 =-+ xx d) 024822 =-- xx

Resoluções

a) 0232 =+- xx

0)1)(2( =-- xx 12 =Ú=\ xx

b) 0822 =-- xx 0)2)(4( =+- xx 24 -=Ú=\ xx

c) 01452 =-+ xx 0)2)(7( =-+ xx 27 =Ú-=\ xx

d) 024822 =-- xx 01242 =-- xx 0)2)(6( =+- xx 26 -=Ú=\ xx

Em quaisquer equações, pode-se fazer a mesma operação a ambos membros. Por isso,

primeiro, procura-se factor comum. Se achar, vai dividir pelo factor de ambos membros. (Exercício 2) Resolva as seguinte equações. a) 0122 =-- xx b) 0902123 =-+ xx c) 024102 =-- xx d) 0842622 =++ xx (Exemplo 3) Resolva as seguinte equações. a) 012 =-x b) 0122 =+- xx c) 0122 =-- xx d) 0202 =-+- xx

Resoluções

a) 012 =-x

0)1)(1( =-+ xx 11 =Ú-=\ xx

b) 0122 =+- xx

0)1( 2 =-x

1=\ x

c) 0122 =-- xx 0)1)(12( =-+ xx

121 =Ú-=\ xx

d) 0202 =-+- xx 0202 =+- xx 0)5)(4( =-+ xx 54 =Ú-=\ xx

(Exercício 3) Resolva as seguintes equações. a) 042 =-x b) 05022 =-x c) 025102 =+- xx d) 0722422 =++ xx e) 01223 =-- xx f) 0122226 =++ xx g) 0523 2 =-+ xx h) 01832 =++- xx

N.B Apanhando 0)( 2 =-ax , teremos só uma solução ax = . Chama-se “solução dupla”. Além disso, apanhando 0))(( =-- bxax , teremos 2 soluções bxax =Ú=


- 43 -

Agora, deveria ter conseguido compreender o método de factorização a 0))(( =-- bxax para resolver a equação 2º grau. Então, se não for 02 =++ cbxxa , não pode usar este método. Neste caso, transformando a 02 =++ cbxxa , vai usar. (Exemplo 4) Resolva as seguintes equações. a) 512 +=- xx b) 3)2)(32( =-- xx c) 63)1)(2( +=-+ xxx

Resoluções

a) 512 +=- xx 062 =-- xx 0)3)(2( =-+ xx

32 =Ú-=\ xx

b) 3)2)(32( =-- xx 3672 2 =+- xx 0372 2 =+- xx 0)3)(12( =-- xx

321 =Ú=\ xx

c) 63)1)(2( +=-+ xxx 6322 +=-+ xxx

0822 =-- xx 0)2)(4( =+- xx

24 -=Ú= xx

(Exercício 4) Resolva as seguintes equações.

a) 52332 +=++ xxx b) 13)5)(1( +-=-+ xxx

c) 72)3)(12( 2 ++=+- xxx x d) 321623 =-+ xx

Obs) O método de factorização é util só aos casos das equações, cujas soluções sejam números racionais. Veja os exercícios ou exemplos até aqui. Realmente existem as equações que têm as soluções de números irracionais. Por

exemplo : 0122 =-+ xx . Neste caso, não podemos usar o método da factorização, usamos o método de raiz quadrada.

§2 Método de raiz quadrada i) kxkx ±=Û=2 Definição da raiz quadrada O número cujo quadrado é k e expressa-se : k , e lê-se raiz quadrada de k . Por exemplo, o número cujo quadrado é 2, e expressa-se : 2 . Pela definição, é claro que 2)2(

2 = . E mais, segundo a kk 22)( =- , temos:

2)2(2)2()2(222 =±Û==-

N.B

kk =± )(2


- 44 -

Então, a equação kx =2 está a perguntar quais são os números, cujo quadrado é k . Portanto, as soluções de kx =2 são k± N.B Dada equação kx =2 se 0³k , teremos as soluções k± .

Mas, Se 0<k , as soluções não existem. (Exemplo 5) Resolva as seguintes equações. a) 32 =x b) 42 =x c) 22 -=x

Resoluções a) 32 =x

3±=x

b) 42 =x 4±=x 2±=x

c) 22 -=x Não existem soluções, porque, os números

quadrados são positivos. (Exercício 5) Resolva as seguintes equações. a) 52 =x b) 62 =x c) 92 =x d) 162 =x e) 32 -=x f) 42 -=x ⅱ) kaxkax ±=Û=- )( 2

Demonstração Agora, x é uma incógnita que representa um número desconhecido. Então, ax -

também é um número desconhecido. Por isso, podemos colocar outra incógnita A para ax - ; axA -= . Então :

kaxkaxkAkAkax ±=Û±=-Û±=Û=Û=- 22)(

(Exemplo 6) Resolva as seguintes equações.

a) 2)1( 2 =-x b) 3)1( 2 =+x c) 4)1( 2 =+x d) 3)1( 2 -=+x

Resoluções

a) 2)1( 2 =-x

21 ±=-x

21±=x

b) 3)1( 2 =+x

31 ±=+x

31±-=x

c) 4)1( 2 =+x

241 ±=±=+x

21±-=x 31 -=Ú= xx

d) 3)1( 2 -=+x

Não tem Solução.


- 45 -


a) 2)2( 2 =-x b) 5)3( 2 =-x c) 3)2( 2 =+x d) 7)6( 2 =+x

e) 9)2( 2 =-x f) 25)3( 2 =+x g) 4)1( 2 -=+x h) 3)2( 2 -=+x (Exemplo 6) Resolva as seguintes equações.

a) 3)1( 22 =-x b) 2)1( 23 =+x c) 2)2( 22 =-x

Resoluções

a) 3)1( 22 =-x

23)1( 2 =-x

26

231 ±=±=-x

262±=x

b) 2)1( 23 =+x

32)1( 2 =+x

36

321 ±=±=+x

263±-=x

c) 2)2( 22 =-x

1)2( 2 =-x

12 ±=-x 13 =Ú= xx

☆Outra resolução de c) As soluções racionais 13 =Ú= xx significam que podemos factorizar.

2)2( 22 =-x Û 1)2( 2 =-x Û 1442 =+- xx Û 0342 =+- xx

Û 0)1)(3( =-- xx Û 31Ú=x


a) 5)3( 23 =+x b) 3)2( 22 -=+- x c) 7)6( 2 =+- x d) 12)3( 23 =-x

ⅲ) Quadrado perfeito

O objectivo daqui é a resolução de 02 =++ cbxxa (equação geral do 2º grau).Então,

nós já aprendemos a resolução das equações de cbxa =- )( 2 . Por isso, se conseguimos

transformar para cbxa =- )( 2 a partir de 02 =++ cbxxa , podemos resolver todas as

equações do 2º grau. Então, esta transformação é “O quadrado perfeito”.


- 46 -

(Exemplo 7) Transforme xx 22 + para a forma de )( 2ax± .

Resolução

Por aaxxax 222 2)( +±=± , obtemos aaxaxx 222 )(2 -±=± . Esse a2 significa o

coeficiente do termo de x . Por isso, em xx 22 + , o coeficiente do termo de x é 2

122 =Û=\ aa

Portanto, 1)1(1)1(2 2222 -+=-+=+ xxxx ( ⇦ Quadrado perfeito)

(Exemplo 8) Faça o quadrado perfeito em xx 82 +

Resolução (Exercício 8) Faça o quadrado perfeito de cada um das seguintes expressões.

a) xx 62 + b) xx 102 + c) xx 22 - d) xx 42 - e) xx 32 + f) xx 52 -

(Exemplo 9) Faça o quadrado perfeito nas seguintes expressões.

a) 262 ++ xx b) xx 232 + c) xx 42 2 -

N.B


- 47 -

Resoluções

a) O termo de x2 e o termo de x são importantes para o quadrado perfeito.

2)6(26 22 ++=++ xxxx ← Dá atenção aos os termos de x2 e x

2}9)3{( 2 +-+= x ← Faça o quadrado perfeito aos termos de x2 e x

7)3(29)3( 22 -+=+-+= xx

b) 169

43

23 2

2 -÷øöç

èæ +=+ xxx ← A metade de

23 é

43 e 16

943 2

=÷øöç

èæ

c) )2(242 22 xxxx -=- ← Quando tem o coeficiente de x 2 , factorizamos

[ ]1)1( 22 --= x ← Fazemos o destacamento dentro dos parênteses.

2)1(2 2 --= x ← Desenvolvemos os parênteses retos.

(Exercício 9) Faça o quadrado perfeito nas seguintes expressões.

a) 442 -- xx b) 522 -+ xx c) 2352 ++ xx

d) 1472 ++ xx e) 362 2 +- xx f) 543 2 +- xx


a) 0262 =++ xx b) 0242 2 =++ xx

Resoluções

a) 0262 =++ xx ← Faça o quadrado perfeito no 1º membro.

07)3( 2 =-+x ← Transfira 7- para o 2º membro.

7)3( 2 =+x ← Adota a raiz quadrada nos 1º e 2º membro

73 ±=+x ← Transfira 3+ para o 2º membro. 73±-=x ← Solução


- 48 -

b) 0142 2 =-+ xx ← Evidencie 2 em xx 42 2 +

01)2(2 2 =-+ xx ← Faça o quadrado perfeito

01]1)1([2 2 =--+x ← Desenvolva os parênteses retos

012)1(2 2 =--+x ← Transfira 3- para o 2º membro

3)1(2 2 =+x ← Divida por 2

23)1( 2 =+x ← Adota a raiz quadrada nos 1º e 2º membro

231 ±=+x ← Racionalize e transfira 1 para o outro membro.

261±-=x ou

262 ±-

=x ← Solução


a) 0142 =-- xx b) 0232 =-+ xx c) 0362 2 =+- xx d) 0243 2 =-+ xx

§3 Fórmula resolvente A maneira do quadrado perfeito é útil à qualquer equação do 2º grau. Mas, os processos

são sempre mesmos. Por isso, vamos fazer uma fórmula para resolver 02 =++ cbxxa

usando o quadrado perfeito. Essa maneira chama-se “fórmula resolvente”.

Dedução da fórmula resolvente

02 =++ cbxxa ← Evidencie a

0)( 2 =++ cxab

xa ← Faça o quadrado perfeito dentro dos parênteses

022

22

=+úúû

ù

êêë

é÷øöç

èæ-÷

øöç

èæ + ca

ba

bxa ←Desenvolva os parênteses rectos calculando a

ba

b2

22

42 =÷øöç

èæ

0422

2

=+-÷øöç

èæ + ca

ba

bxa ← Transfira cab +- 42

ao 2º membro e depois calcule cab -42


- 49 -

aacbca

ba

bxa 442

42

2

2 -=-=÷øöç

èæ + ← Divida por a em ambos membros.

aacb

abx 2

2

44

2

2 -=÷øöç

èæ + ← Adota a raiz quadrada nos 1º e 2º membro

aacb

aacb

abx 2

42442

22 -±=-±=+ ← Transfira a

b2+ ao 2º membro

aacbbx 2

42 -±-= ← A fórmula resolvente

Fórmula resolvente versão 1

Dada equacão de 02 =++ cbxxa , a solução é aacbbx 2

42 -±-=

Então, a fórmula resolvente veio do quadrado perfeito. Por isso, se esquecemos a

fórmula, podemo-nos lembrar desta do destacamento. (Exemplo 11) Resolva as seguintes equações, aplicando a fórmula resolvente.

a) 0232 =-+ xx b) 0142 =+- xx c) 0252 2 =++ xx

Resoluções

a) 0232 =-+ xx

2)2(1433 2 -´´-±-

=x

2893 +±-=x

2173±-=x

ïïî

ïïí

ì

±-=

±-=Û

2173

2173

2

1

x

x

b) 0142 =+- xx

211444 2 ´´-±

=x

2124±=x ← 3212 2´=

2324 ±=x ← simplifique

Û±= 32xïî

ïíì

-=

+=

32

32

2

1

xx

c) 0252 2 =++ xx

2222455 2

´´´-±-

=x

495±-=x

435±-=x

ïî

ïí

ì

-=--=

=+-=Û

2435

21

435

2

1

xx


- 50 -

N.B Como c) do exemplo 11, as equações do 2º grau que têm as soluções de números

racionais podem-se factorizar, usando números inteiros.

Por exemplo: 0)2)(12(0252 2 =++Û=++ xxxx

22102012 -=Ú-=Û=+Ú=+Û xxxx

Não é obrigatório usar fórmula resolvente. Podemos usar o método da factorização, ou podemos escolher um dos dois métodos.

(Exercício 11) Resolva as seguintes equações, aplicando a fórmula resolvente.

a) 0432 =-+ xx b) 0252 =-+ xx c) 0352 =+- xx d) 0362 =+- xx

e) 0153 2 =++ xx f) 0232 =++ xx g) 0232 2 =-+ xx h) 0342 2 =-+ xx

Quando o coeficiente do termo de x seja número par, usando da fórmula resolvente, versão 1, encontramos a simplificação nas soluções. Portanto, temos a fórmula resolvente simplificada (versão 2) .

Demonstração

022 =++ ckxxa ⇔ aackk

x 24)2(2 2 -±-

= ⇔ a

ackkx2

442 2 -±-=

⇔ a

ackkx

2)(42 2 -±-

= ⇔ a

ackkx222 2 -±-

= ⇔ aackkx -±-

=2

Fórmula resolvente versão 2

Dada a equação 022 =++ ckxxa , no caso que o coeficiente do termo de x seja par,

temos solução de aackkx -±-= 2 . (Já está simplificada)

(Obs) a) Número par expressa-se k2 ( Nk Î ) =k2 2 , 4 , 6 , 8 …

1=k 2=k 3=k 4=k b) k é sempre a metade do coeficiente do termo de x .


- 51 -

(Exemplo 12) Resolva as seguintes equações, aplicando a versão 2..

a) 0162 =+- xx b) 0242 =-+ xx c) 0522 2 =-- xx d) 0483 2 =++ xx

Resoluções a) Por xk 62 -= , 3-=k ,

111)3()3( 2 ´--±--

=x 83±=

223±=\ x

b) Por 42 =k , 2=k

1)2(122 2 -´-±-

=x

62±-=\ x

c) Por 22 -=k , 1-=k

2)5(2)1()1( 2 -´--±--

=x

2111±=\ x

d) Por 82 =k , 4=k

34344 2 ´-±-

=x3

44±-=

ïî

ïíì

-=

-=Û

ïî

ïí

ì

--=

+-=Û

2232

1

324

2

324

1

x

x

x

x

(Exercício 12) Resolva as seguintes equações, aplicando a versão 2.

a) 0222 =-- xx b) 0342 =-+ xx c) 0162 2 =-- xx d) 0283 2 =++ xx

§4 Número de soluções Fórmula resolvente (Versão 1) 02 =++ cbxxa ⇔ a

acbbx 242 -±-=

Então, essa solucão tem 2 casos; aacbb

x 242

1-+-= , a

acbbx 2

422

---=

Agora, acb 42 - tem o domínio da existência assim;

caso 1 caso 2 caso 3

042 >- acb 042 =- acb 042 <- acb

acb 42 - Existe 00 = Não existe

Por isso, esse número de soluções depende dos casos.


- 52 -

Caso 1; se 042 >- acb , acb 42 - existe, por isso, xx 21, também existem.

Então, temos 2 soluções ; xx 21 ,

Caso 2 ; se 042 =- acb , fica assim;

ab

ab

ab

ab

ab

acb xxx

222

022

0042

2

1-=Û

ïî

ïí

ì

-=--=

-=+-=Û=-

Por isso, temos só 1 solução (solução dupla) ; abx 2-= .

Caso 3 ; se 042 <- acb , acb 42 - e aacbbx 2

42 -±-= não existem.

Neste caso não tem nenhuma solução.

N.B

0>D 0=D 0<D Solução 2 1 0

usando a versão 2 , no caso de 022 =++ ckxxa , expressamos ack -= 24

D

04 >D 04 =D 04 <D

Solução 2 1 0

(Exemplo 13) a) Dada a equação 022 =-- xx

)2(14)1(4 22 -´´--=-= acbD 0981 >=+=

Por isso, tem 2 soluções.

b) Dada a equação 0144 2 =++ xx

044142422 =-=´-=-= ackD

Por isso, tem 1 solução.

c) Dada a equação 0432 2 =++ xx , temos : 42434 22 ´´-=-= acbD 023329 <-=-=

Por isso, não tem solução (N.T.S)

★ acb 42 -=D

D é um caracter grego correspondente ao D do alfabeto (Determinação das soluções)

★ ack -= 24

D

Substituindo kb 2= a acb 42 -=D , ackacb 4)2(4 22 -=-=D

)(444 22 ackack -=-= ackack -=Û-= 22

4)(4 DD


- 53 -

(Exercício 13) Quantas soluções existem nas seguintes equações ?

a) 0132 2 =+- xx b) 0442 =+- xx c) 0443 2 =+- xx d) 0532 =-+ xx

§5 Relação entre as duas soluções

A diferença entre as duas soluções da equação do 2º grau é só do sinal de acb 42 - .

Por isso, temos as propriedades entre as duas soluções de 02 =++ cbxxa :

Temos as soluções aacbbx 2

421

-+-= e aacbbx 2

422

---= .

Por isso,

aacbbacbb

aacbb

aacbbxx 2

)42(422

422

4221

---+-+-=---+-+-=+

ab

ab -=-=

22

aa

acbbacbb

aacbb

aacbbxx 22

4242

242

242

21 ´

÷øöç

èæ ---´÷

øöç

èæ -+-

=---

´-+-

=´

ac

aac

aaacbb ==

´--= 24

422

)42(2

Resumo

abxx -=+ 21 (Soma das duas soluções),

acxx =´ 21 (Produto das duas soluções)

Então, usando esse conhecimento, podemos saber a soma e o produto das duas

soluções sem resolver a equação dada. (Exemplo 14)

Dada a equação 0152 2 =+- xx , supondo que x1 e x2 sejam soluções da equação,

Soma ; 25

25

21 =--=-=+abxx e Produto ;

21

21 ==´acxx

Realmente, temos as soluções 4

1751

+=x e 4

1752

-=x . Portanto;

a soma ; 25

410

4175175

4175

4175

21 ==-++=-++=+ xx

o produto; 21

168

161725

44)175()175(

4175

4175

21 ==-=´

-´+=-´+=´ xx


- 54 -

(Exercício 14) Resolva a soma e o produto das duas soluções nas seguintes equações.

a) 0452 2 =++ xx b) 0163 2 =++ xx c) 0152 2 =-- xx d) 482 +=+- xxx

(Exemplo 15) Resolva a equação cuja soma das duas soluções é 3 e cujo produto é 2 .

Resolução

Determinando x1 e x2 para 2 soluções da equação, a equação deve ser 0))(( 21 =-- xxxx .

Então, transformando como xxxxxxxxxx 212121 )())(( 2 ´++-=-- , obtemos 0232 =+- xx .

Portanto, soluções são : 0232 =+- xx Û 0)2)(1( =-- xx Û 11 =x e 22 =x .

(Exercício 15) Diga os dois números:

a) cuja soma é 5 e cujo produto é 4 b) cuja soma é 3- e cujo produto é 18- ?

Tempo de cáfe Dada a equação 0422 =+- xx , temos 03414 <-=-=D

Por isso, não tem solução nesta equação. Mas, podemos encontrar a soma e produto das duas soluções que não deveriam existir : a soma é 2 , o produto é 4 .

Porque ?

Então, definindo o número i como : 12 -=i Û 1-=i , chama-se número complexo.

Neste caso, obtemos as soluções de 0422 =+- xx : 311 +=x i e 312 -=x

(Porque ; 3113131131 ±=-´±=´-±=-±=x i ) Agora, calculando xx 21+ e xx 21´

( ) ( ) 2313121 =-++=+ iixx ( )( ) ( ) 43131313131 22

21 =+=-=-=-+=´ iiiixx Mas, número complexo não é número real, e não aprendemos no ensino secundário.


- 55 -

Função exponencial §1 Definição de expoente Expoente n significa quantas vezes multiplicar o mesmo número.

aaaaaaan ´´´´´´=

repete-se n vezes multiplicar a Podemos conduzir todos os teoremas de expoente desta definição

Propriedades do expoente

Determinando Nnm Î, e 0¹a , temos:

1. aaa nmnm +=´

2. baba nnn ´=´ )(

3. aa nmm n ´=)(

4. aaa nmnm -=¸

Demonstração

1, )()( aaaaaaaaaaaaaa nm ´´´´´´´´´´´´´=´

Então, quantas vezes repete-se a multiplicação a na sua totalidade?

aaaaaaaaa nmnm +=´´´´´´=´\

(Exemplo 1) Calucule as seguintes expressões.

a) 33 32´ b) 2 53 +

Resoluções

a) 2433333 53232 ===´ + b) 25632825232 53 =´=´=+ (Exercício 1) Calucule as seguintes expressões.

a) 22 23´ b) 44 24´ c) )3()3( 34 -´-

m vezes multiplicar a n vezes multiplicar a

m+n vezes multiplicar a


- 56 -

2, )()()()()()()( bababababababa n ´´´´´´´´´´´´=´

)()( bbbbbbaaaaaa ´´´´´´´´´´´´´=

ba nn´=


a) )32( 3´ b) 34 22´

Resoluções

a) 216327832)32( 333 =´=´=´ b) 14412)34(34 2222 ==´=´ (Exercício 2) Calucule as seguintes expressões.

a) )24( 2´ b) 52 33´ c) )23(2)3( 222 ´´´-

3, aaaaaaa mmmmmmm n ´´´´´´= )(

a mmmmmm ++++++= a mm´=


a) )2( 2 3 b) 3 32 ´

Resoluções

a) 6422)2( 6322 3 === ´ b) 7299)3(3 32 332 ===´

(Exercício 3) Calucule as seguintes expressões.

a) )3( 3 2 b) 2 23 ´ c) )24()23(34´

4, )()( aaaaaaaaaaaaaa nm ´´´´´´¸´´´´´´=¸

a nm-=

n vezes adiciona Þm nm´

n vezes multiplicar )( ba ´

n vezes multiplicar a n vezes multiplicar b

☆Simplificar n vezes a , temos quantos a ? Þ nm -

n vezes multiplicar a

m vezes multiplicar a


- 57 -


a) 22 35 ¸ b) 33 46 ¸

Resoluções

a) 42222 23535 ===¸ - b) 93333 24646 ===¸ -


a) 22 24 ¸ b) 222 523 ¸´ c) )2()2( 23

34¸

(Exercício 5 ) Calucule as seguintes expressões.

a) )22( 32 2´ b) )33( 35 3

¸ c) )23( 22 3´ d) )24( 43 2

¸

Resoluções

a) 102422)2()22( 102532 232 2 ====´ ´+ b)

72993)3()3( )33( 362 335 335 3 =====¸ -

c) 466562366])23([)23( 666322 322 3 =´===´=´ ´

d) 1622)2(]2)2([)24( 42246 242 3 2

43 2 ====¸=¸ ´-

Muitas vezes, os números exponenciais tornam-se grandes valores. Por exemplo,

1024210 = ou 4665666 = . Neste caso podemos terminar 210 ou 66 .


a) )( 22 42 3´ b) )( 53 22 3

´ c) )( 55 35 2¸ d) )( 48 32 2

¸

§2 Expansão de exponente Até agora, pensamos em NnÎ ),4,3,2,1( =n para expoente. Mas, se fosse só NnÎ , teriamos inconveniências na função exponencial, porque queremos definir a função em

RnÎ (números reais). Por isso, acrescentamos as três propriedades seguintes, mantendo-se as quatro propriedades básicas de expoente que já aprendemos.

11 =n e 00 =n porque 111111 =´´´´= n e 000000 =´´´´= n N.B


- 58 -

Ⅰ, aa n

n 1=- Demonstração

Ⅰ, Em a nmanam -=¸

1º membro : anamanam 1´=¸

☆ 0¹a : o denominador não pode ser 0

2º membro : a nama nma nm -´=-+=- )(

Assim, deve ser : a namanam -´=´ 1

porque 1º e 2º membros são idênticos.

Portanto: a nan

-=1


a) 2 322 -´ b) 3 235 -´

Resoluções

a) 212 12 322 322 =-=-=-´ b) 27333 253 235 ==-=-´

(Exercício 6) Calucule as seguintes expressões. a) 3 234 -´ b) 2 245 -´

Ⅱ, 10 =a Demonstração

Ⅱ, Em a nmanam -=¸ ,

seja mn = , temos :

1º membro : 11 =´=¸amamamam

☆ 0¹a : o denominador não pode ser 0

2º membro : aa mmamam 0=-=¸

Assim, deve ser 10 =a

(Exemplo 6) Os valores das seguintes expressões são 1.

a) 120 = b) 130 = c) 132 0

=÷øöç

èæ


- 59 -

Ⅲ, n mnm aa =

Demonstração Seja a n

mt = ,

elevando n para ambos membros,

aaa nm n

t mnnm

n ==÷÷ø

ö

ççè

æ= ´

n mtat amn =Û=

Voltando t para a nm

, termos:

n mnm aa =

(Exemplo 7) Transforme as seguintes expressões em radicais

a) 2 32

b) 3 45

Resoluções a) 33 23

2422 == b) 44 54

53333 ==


a) 3 43

b) 2 45

§3 Cálculos de expoente (Exemplo 8) Calucule as seguintes expressões. a) ( )3 3

2 b) 22 43

2 -´ c) ( ) ( ) 2332 4 334 3 ¸¸´

d) ( ) ( ) 3221

6 3 24 24 ¸¸´ e) ( ) ( ) 34128 3

23 33

32

-- ¸¸´

Propriedades expandidas do expoente

Ⅰ, aa n

n 1=- Ⅱ, 10 =a Ⅲ, n mnm aa =

Mas, em ⅠeⅡ , temos a condição 0¹a


- 60 -

Resoluções

a) 222 313 2 3

31

33

==÷÷ø

öççè

æ=÷

øöç

èæ ´ b) 44 54

5432

43

22222222 ====´ --

c) 24 334 23

33

¸÷øöç

èæ¸´÷

øöç

èæ

2332 21

43

43

3 ¸¸´= ← Transformamos em parênteses

32 433

21

43

-´= - ← Agrupamos factores com a mesma base

32 49

41´= ← Calculamos M.M.C no expoente

4 394 2 ´= ← Transformamos em radicais

4 329 ´= 4 69= ← Solução

d) 33 2214 6

22

4 ¸÷øöç

èæ¸´÷

øöç

èæ

( ) ( ) 322232 21

32

21

42

¸¸´´=

3 21

21

2 321

21 -´-+=

2 67

=

6 22=

e) ( ) 3 323 4

412 3

8 32 -¸÷

øöç

èæ¸´

( ) ( ) 3 32

4 31

32 31

2 32 4

23 ´÷÷

ø

öçç

è

æ´´´=

-

3 32

4 34

3 31

2 32

22 ´-´´´=

3 32

31

2 38

322 +´-+=

32´= 6=

(Exercício 8) Calcule as seguintes expressões.

a) ÷øöç

èæ4 4

2 b) 42 4

32 -´ c) 23 2734 4

23

3¸÷

øöç

èæ¸´÷

øöç

èæ

d) úû

ùêë

é´÷

øöç

èæ¸´÷

øöç

èæ 163 642

34 822

32 e) ( ) 48 233 9123

143

3 -´÷

øöç

èæ¸¸ - f) 2328 4

321

41 -¸

-´

N.B 2 Se tiver muitos factores exponenciais

ou radicionais, será melhor usar números primos para bases.

N.B 1

bababa 11 -´=´=¸

bab

aba ´=´=¸ --

11 1


- 61 -

§4 Gráfico de axy =

Pelas propriedades da função exponencial, temos que pensar no gráfico, separando os seguintes intervalos da base a .

a) Se a >1

Por exemplo, determinando 2=a ; 2xy = , podemos

esboçar o gráfico à direita segundo a seguinte tabela.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 b) Se 0<a <1,

Por exemplo, determinando 21

=a ; ÷÷ø

öççè

æ= 2

1 x

y ,

fazendo a tabela abaixo, o gráfico se ilustra à direita.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8

Se a >1, torna-se 0 <a1 <1. E, por aa

11 -= , fica aay x

x-=÷

øö

çèæ=

1 .

Por isso, ay x-= e ay x= são simétricos do eixo de Y.

c) Se a <0 ,

Por exemplo, se 2-=a ; )2(-= xy

Substituindo concretamente os números, construimos a tabela. Em ZxÎ , os valores de y serão positivos, se o expoente for par e negativos se for

ímpar. E, no caso de nmx = (m ; número ímpar, n ; número par), os valores de y não

existem se n for par.

1/5 1/4 1/3 1/2

115 -=- 4 1- : Não existe 113 -=- 1- : Não existe

O gráfico tende ao eixo de x , mas não interceta.

N.B

x 3- 2- 1- 0 1 2 3

y 81-

41 2

1- 1 2- 4 8-


- 62 -

Assim, o gráfico vai ser união dos pontos discretos, não uma linha, como se ilustra à direita. d) Se 01 oua =

Primeiro, se 1=a , torna-se 11 == xy .

Por isso, o valor de y não depende de x , é constante 1.

Pela mesma razão, se 0=a , 00 == xy

Mas, se 0=x , 00 não existe.

Porque, )( 0000 00 ¹=-= mmm .

Este valor não existe. E, se 0<x ,

01

010 ==x

x , também não existe.

Assim, ambos gráficos são as linhas horizontais (as rectas constantes).

Então estes dois casos c) e d) não são convenientes matematicamente. Assim,

definimos axy = como a seguir :

Geralmente, axy = tem as condições de

a >0 e 1¹a .

E o grafico de axy = é

como se ilustra à direita (Exercício 9) Esboce cada um dos seguintes gráficos.

a) 3xy = b) 3 xy -= c) ÷øöç

èæ= 4

1 xy d) ÷

øöç

èæ=

-

41 x

y

Gráfico de )( 2-= xy

N.B


- 63 -

§5 Equação exponencial )1,0( ¹>= aabax N.B (Significado de bax = )

bax = significa o valor de x da intersecção de ay x= com by = . Então, se 1>a , o gráfico de ay x= é monótono crescente, se 10 << a , o gráfico é monótono decrescente, e 0>ax . Por isso, se 0>b ,temos só um valor de t que satisfaz ba t = .

txbtax =Û= Exemplo 9) Resolva as seguintes equações

a) 42 =x b) 421 =÷øöç

èæ

x

Resoluções

a) 242 2==x

2=\ x Então, se 0<b em bx <2 não tem a intercessão de

2xy = com by = , Por isso, na equação de

)0(2 <= bbx , não tem solução.

Exemplo 10) Resolva 421 =÷øöç

èæ

x

Resolução 1

22 2=- x

2=- x 2-=x

Resolução 2

÷øöç

èæ=÷

øöç

èæ

-

21

21 2x

2-=x

(Exercício 10) Resolva as seguintes equações

a) 82 =x b) 412 =x c)

814 =x d)

2719 =-x e) 66 =x f) 273 -=x


- 64 -

Exemplo 10) Resolva ( )101.052 1 5-´=´ xxx

Resolução

Calculando só o 1º membro

10)52(52 xxxx =´=´

2º membro

( ) 1010101.0 )1(511 5 --- ´=´ xx

1010 65155 --- == xx

Por isso, dada a equação fica

1010 65 -= xx

65 -= xx

xx 23=

(Exercício 11) Resolva as seguintes equações

a) 2455 11 =- -+ xx b) 02883232 1133 =+´-´ +- xxxx

§6 Equação exponencial 02 =++ malak xx Por ( )aa xx 22 = , substituindo at x= , dada a equação torna-se 02 =++ mlttk . Então,

esta é a equação do 2º grau. Exemplo 11) Resolva as seguintes equações. a) 042522 =+´- xx b) 0224 =-- xx c) 04292 12 =+´++ xx

Resoluções

a) Por ( )2222 xx = , substituindo 2xt = ,

04504252 22 =+-Û=+´- ttxx

140)1)(4( Ú=Û=-- ttt Agora, voltamos t para 2x

42 =x ou 12 =x 02 =Ú= xx

b) Por ( ) ( )22242xxx == , substituindo 2xt = ,

020224 2 =--Û=-- ttxx 120)1)(2( -=Ú=Û=+- tttt

mas, por 02 >x , tem que ser 0>t Por isso, 2=t Então, 122 =Û= xx

c) 04292 12 =+´++ xx Por 222 212 xx ´=+ , seja 2xt = ,

049204292 212 =++Û=+´++ ttxx

04292 12 =+´++ xx 221 -Ú-=t

Mas, 0>t , portanto, N.T.S.


- 65 -

Exercício 12) Resolva as seguintes equações.

a) 02234 52 =+´- +xx b) 093632 =+´- xx c) 0639 =-- xx d) 03392 22 =++´ +xx

§7 Inequação exponencial

N.B )()( xgxf > significa o domínio de x cujo gráfico de )(xfy = está em cima de )(xgy = .

Exemplo 12) Resolva as seguintes inequações.

a) 42 >x b) 421 >÷øöç

èæ

x

Resoluções

a) A inequação significa que o domínio de

x cujo gráfico de 2xy = está em cima

de 4=y . Por isso, esse domínio é à

direita do ponto de 242 =Û= xx

Então, a solução é 2>x

b) Esse domínio é à esquerda do ponto de

2421 -=Û=÷øöç

èæ x

x

Então, a solução é 2-<x

N.B

Se 1>a , txaa tx >Û> txaa tx <Û<

Se 10 << a , txaa tx <Û> txaa tx >Û<


- 66 -

(Exercíco 13) Resolva as seguintes inequações.

a) 82 £x b) 93 2 >+x c) 42 1 £+-x d) 331 1

>÷øöç

èæ

--x

(Exemplo 13) Resolva 33222 24247 +++++ -£-- xxxxx

Resolução

Separando o 1º do 2º membro para calcular,

)122(2222 252247 --=-- ++++ xxxx

23227)1432(2 2322 +++ ´=´=--= xxx

)13(333 2224 -=- +++ xxx

3238)19(3 2322 +++ ´=´=-= xxx

Por isso, dada a inequação torna-se:

3223 2323 ++ ´£´ xx

32 11 -- £ xx

132

1

1£-

-

x

x

132 1

£÷øöç

èæ

-x

01³-x 1³x

(Exercíco 14) Resolva as seguintes inequações.

a) 223233 36324 +++++ -£´+- xxxxx b) 333222 3244272 +++++ -+´£+ xxxxx


- 67 -

Função logarítmica §1 Definição da função logarítmica Seja 0>a , ay x= expressa-se yx alog= .

yaxaxy log=Û=

Neste caso, yalog lê-se logarítmo de y na base a . E y chama-se logaritmando.

Na outra maneira de dizer, yalog significa que o valor de x vai ser yax = .

Então, quando definimos a função de ay x= , determinamos 0>a . Por isso, na função

logarítmica também determinamos 0>a . E mais, por 0>a x , deve ser 0>y em

ay x= . Por isso, em yx alog= também deve ser 0>y .

Isto chama-se teorema de logaritmando. (Exemplo 1) Qual é o valor de 4log2 ?

Resolução

4log2 significa o valor de x que vai ser 42 =x . por isso, 242 =Û= xx .

Portanto 24log2 = (Exrcício 1) Qual é o valor das seguintes expressões ?

a) 2log2 b) 21log2 c) 9log3 d) 64log4

(Exemplo 2) Qual é o valor de 8log4 ?

Resolução

Seja 8log4=x , torna-se 84 =x segundo a definição.

Então, por ( ) 224 22 xxx == e 28 3= ,

fica 2332228 32 =Û=Û=Û= xxx x , Portanto, 2

38log4 =


- 68 -

(Exercício 2) Qual é o valor das seguintes expressões ?

a) 32log4 b) 3log9 c) 81log4 d) 2

1log8

N.B 1

Temos o seguinte teorema ; tata

=log

(Prova; Determinando ata

x log= , teremos txaa tx =Û= )

§2 Propriedades logarítmicas Segundo a definição da função logarítmica, podemos deduzir as seguintes propriedades.

1, cabacba logloglog +=´

Demonstração Sejam cbX a ´= log , bB alog= e cC alog= ,

tornam-se cba x ´= , baB = e caC = . Substituindo baB = e caC = em cba x ´= , deve ser aaacba CBCBx +=´=´= .

Por isso, cbcbCBX aaa logloglog +=´Û+=

Dado um logarítmo, decompondo o logaritmando de um produto, transforma-se a soma de cada logarítmo, cujo logaritmando é um factor do produto que tem a mesma base. (Exemplo3) Decomponha os seguintes logarítmos.

a) 6log2 b) ÷øöç

èæ

23log2

Resoluções a) 3log13log2log32log6log 22222 +=+=´=

b) 3log121log3log2

13log23log 22222 +-=+=÷

øöç

èæ ´=÷

øöç

èæ

(Exercício 3) Decomponha cada um dos seguintes logarítmos.

a) 10log2 b) 45log3 c) ÷øöç

èæ

45log2 d) ÷

øöç

èæ

37log7

(Exercício 4) Demonstre a propriedade de cbcb

aaa logloglog -=


- 69 -

2, bacbca loglog ´=

Demonstração

Seja bt alog= , teremos bat = segundo a definição do logarítmo.

Por isso, ficará bcctaatb act

ac

ac

a loglog)(loglog ´====

Então se ab = , ficará caca ac

a =´= loglog . Isto é mesma solução de N.B 1. (Exemplo 4) Transforme cada um dos seguintes logarítmos para o logaritmando ser

número primo.


èæ

278log2

Resoluções

a) 3log23log9log 22

22 ==

b) ( ) 3log333log2log332log33

2log278log 2222

3

22 -=-=÷øöç

èæ=÷

øöç

èæ=÷

øöç

èæ

(Exercício 5) Transforme cada um dos seguintes logarítmos para o logaritmando ser

número primo..


èæ

161log3 c) ÷

øöç

èæ169log2 d) ÷

øöç

èæ

97log7

3, ac

bcba logloglog = (Expressão de mudanças de base)

Demonstração

Sejam bt alog= , aA clog= e bB clog= ,

teremos bat = …① acA = …② e bcB = …③. Então, substituindo ② e ③ em ①,

fica : ( ) ABtBAtccccA BAtBt =Û=Û=Û= . Portanto, a

bb

c

ca log

loglog =

Então, esta propriedade é util para mudar a base à mais simples (números primos).


- 70 -

(Exemplo 5) Mude a base para 2 em cada um dos seguintes logarítmos. a) 2log3 b) 6log4 c) 9log6

Resoluções

23log1

4log6log

6logb)

3log1

3log2log

2loga)

2

2

24

22

23

+==

==

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

+==

+==

2log12

6log9log

9log

3

3log13log2

6log9log

9logc)

33

36

2

2

2

26

parabaseaMudando

(Exercício 6) Mude a base para número primo em cada um dos seguintes logarítmos a) 3log4 b) 9log16 c) 8log9 d) 8log12 e) 27log6 f) 32log6

(Exercício 7) Demonstre ab

ba log

1log =

Propriedades logarítmicosSe 0 dologaritman e11 >¹¹ aec

1, cbcb aaa logloglog +=´

1’, cbcb

aaa logloglog -=

2, bcb ac

a loglog ´=

3, ab

bc

ca log

loglog =

3’ abb

a log1log =

§3, Exercícios de cálculos logarítmicos

(Exemplo 6) Calcule 54log2

152log 22 +

Resolução No caso que tenha vários termos, será melhor analisar cada termo, e depois juntar.

5log2115log15log2log52log52log 22

122222 +=+=+=´=

5log25log2log5log4log54log 22

22222 -=-=-=


- 71 -

Juntando os dois termos:

25log2115log2

11)5log2(21)5log2

11(54log2

152log 222222 =-++=-++=+

(Outro caminho)

24log5452log5

4log52log54log2

152log 222222 ==´=+=+ Então, os caminhos para essas soluções dependem das pessoas que calculam. Se não

existir nenhum erro em qualquer caminho diferente, havemos-de chegar a uma solução certa, e todos esses caminhos vão estar também certos.

(Exercício 8) Calcule as seguintes expressões. a)

35log245log 55 + b)

52log10log 55 - c) 4log

32log

3

3 d) 12log27log6log 422 +-

(Exemplo 7) Sendo 2log10=a e 3log10=b , expresse as seguintes expressões,

usando a e b .

a) 98log10 b) 5log10 c) 6.0log10 d) 18log4

Resoluções

a) ba 233log22log39log8log98log 1010101010 -=-=-=

b) a-=-== 12log1210log5log 101010

c) 113log2log10log6log106log6.0log 101010101010 -+=-+=-== ba

d) aab

a 22

22log3log2

2log229log

4log18log

18log 1010

10

10

10

104

+=+

=´

==

Exercício 9) Sendo 2log10=a e 3log10=b , expresse as seguintes expressões,

usando a e b .

a) 274log10 b) 15log10 c) 6,3log10 d) 5log3


- 72 -

§4 Gráfico da função logarítmica Para esboçar gráficos, temos o método de fazer a tabela para marcar os pontos por

onde passa o gráfico. Mas este pode ficar trabalhoso dependendo do tipo de gráfico. Então, a função logarítmica tem uma propriedade especial para esboçar o seu gráfico. Revisão da definição da função logarítmica

yxy axa log=Û=

Segundo a definição,

os gráficos de yx alog= e axy = são iguais.

Mas, normalmente, a função logarítmica

não é yx alog= , é xy alog= .

Tem que começar de y . Por isso, vamos substituir x a y por

construir xy alog= .

Para ser isso, basta trocar os valores de x para y .

Graficamente, basta virar o eixo de x para vir à posição do eixo de y , e o eixo de y vai à posição do eixo de x ; como se ilustra no gráfico à direita de cima para baixo.

N.B (Propriedades de gráfico de xy alog= ) a) Sempre passa por )0;1(),( =yx b) Se ,1>a o gráfico é monótono cresente. c) Se 10 << a o gráfico é monótono decresente. d) 0>x (Teorema de logaritmando)

(Exercício 10) Esboce os seguintes gráficos.

a) xy log2= b) xy log3= c) xy log21= d) xy log

31=


- 73 -

§5 Equação logarítmica

Segundo a definição : xbxa ab =Û= log , transformando a equação logarítmica para

exponencial, podemos resolver a equação logarítmica. (Exemplo 8) Resolva as seguintes equações.

a) 4log2 =x b) 2log2 -=x c) 31log3 =x d)

21log3 -=x

Resoluções

a) Segundo a definição,

xx =Û= 24log 42

16=\ x

b) xx =Û-= -22log 22

41

=\ x

c) xx =Û= 331log 3

13

3 3=\ x

d) xx =Û-= -321log 2

13

31

=\ x


a) 1log2 =x b) 0log2 =x c) 2log4 =x d) 31log6 -=x


a) 3)1(log2 =+x b) 1)2(log2 =-x

Resoluções

a) 123)1(log 32 +=Û=+ xx

Por isso, 81=+x 7=\ x

b) 221)2(log 12 =-Û=- xx

4=\ x


a) 1)2(log2 =+x b) 2)4(log3 =-x c) 1)4(log4 =+x


- 74 -

☆ Teorema de )1(log >= axy a

No gráfico de )1(log >= axy a , marcando

os pontos diferentes );( 11 YXA e );( 22 YXB , se XX 21 < , deve ser YY 21 < .. Porque o gráfico é monótono crescente.

N.B Se 0>a , 0>b e 1>c

baba cc loglog =Û= Usando este conhecimento, também podemos resolver a equação logarítmica. Exemplo 10) Resolva 2log3 =x

Resolução

Por 9log3log3log22 32

33 === , obtemos: 99loglog2log 333 =Û=Û= xxx

※Basta adotar a mesma base. Exercício 13) Resolva as seguintes equações. a) 3loglog 22 =x b) 3log3 =x c) 2log2 =x d) 2log4 =x

Exemplo 11) Resolva 32 =x

Resolução Adotando o logarítmo na base 2 em ambos membros como se segue :

3log2log32 22 =Û= xx

Porque, os logaritmandos são positivos : 02 >x e 03 > .

Agora, por xx =2log2 , a solção é : 3log3log2log 222 =Û= xx

Exercício 14) Resolva as seguintes equações.

a) 43 =x b) 34 =x c) 521 =÷øöç

èæ

x d) 63 =-x


- 75 -

Então, em ba x= ( 0>a e 0>b ) , adotando logb nos 1º e 2º membros;

axbabxa bx

bb logloglog =Û=Û=

Obtemos o teorema de b aba log= .

(Exemplo 12) ==== 5log4log3log2 252423

(Exemplo 13) Resolva as seguintes equações..

a) 2)2(log)1(log 22 =-++ xx b) )32(loglog3 22 +=+ xx

Resoluções

Em primeiro, tem que lembrar do teorema de logaritmando ;

dado um logarítmo xy alog= , tem que ser 0>x .

a) Segundo o teorema de logaritmando em )1(log2 +x e )2(log2 -x ,

temos a condição : îíì

>-

>+

②

①

0201

xx

Assim resolvendo este sistema de inequações, obtemos ③2>x .

Então, por )2)(1(log)2(log)1(log 222 -+=-++ xxxx e 4log2 2= , dada a equação fica : 2)2(log)1(log 22 =-++ xx 2)2)(1(log2 =-+Û xx 4)2)(1( =-+Û xx

062 =--Û xx 0)2)(3( =+-Û xx 23 -Ú=Û x

Mas, por ③, a solução deve ser maior que 2. Por isso a solução é 3=x . b) Por teorema de logaritmando, temos

îíì

>+>

0320

xx

Resolvendo este sistema de inequações, obtemos 0>x . Agora, transformando a equação dada:

3log)32(log)32(loglog3 2222 =-+Û+=+ xxxx

Por xxxx 32loglog)32(log 222+=-+ e 8log3 2= , obtemos:

218328328log32log3log)32(log 2222 =Û=+Û=+Û=+Û=-+ xxxx

xx

xxx


- 76 -


a) 2)5(log2log 1010 =-+ xx b) )3(log1log 22 -+= xx

c) )6(log3log 33 --= xx d) )103(loglog 42 += xx

§6 Inequação logarítmica N.B (Significado de inequações) )()( xgxf > : qual é o domínio de x cujo gráfico de )(xfy =

está a cima de )(xgy = ? (Exemplo 14) Resolva as seguintes inequações. a) 1log2 >x b) 1log2 <x c) 1log

21 >x d) 1log

21 <x

Resoluções

a) Devemos responder ao domínio de x , cujo gráfico de xy log2= está a cima de 1=y . Então, 21log2 =Û= aa . Por isso, a solução é 2>x b) Segundo o teorema de logaritmando, deve ser 0>x . E mais, o domínio de x , cujo gráfico de xy log2= está em baixo de 1=y é ax < . Então, 21log2 =Û= aa Por isso, a solução é 20 << x . c) O gráfico de xy log

21= é simétrico a xy log2= para o eixo de x .

por isso, o gráfico é como ilustra à direita.

Então, 211log

21 =Û= aa

Por isso, a solução é 210 << x .

d) De Ex 3), 211log

21 >Û< xx .


- 77 -

N.B

Se 1>a , temos axbx ba >Û>log e axbx b

a <<Û< 0log (mesmo símbolo)

a) Se 10 << a , temos axbx ba <<Û> 0log e axbx b

a >Û<log (símbolo inverso)

＊ Está juntado com o teorema de logaritmando (Exercício 16) Resolva as seguintes inequações.

a) 2log3 <x b) 21log3 >x c) 2log

31 ->x d) 2log

31 <x

(Exemplo 15) Resolva as seguintes inequações. a) xx log1)3(log 22 +£- b) 1)3(log)5(log

31

31 -³-+- xx

Resoluções a) Segundo o teorema de logaritmando em )3(log2 x- e xlog2 , temos:

303 <Û>- xx ① e 0>x ② Por isso, obtemos 30 << x ③ Então, por 2log1 2= , transformando : xxx 2loglog2loglog1 2222 =+=+ , obtemos:

④1232log)3(loglog1)3(log 2222 ³Û£-Û£-Û+£- xxxxxxx Por ③ e ④, obtemos a solução : 31 <£ x b) Segndo o teorema de logaritmando em )5(log

31 -x e )3(log

31 -x , obtemos:

505 >Û>- xx ① e 303 >Û>- xx ② . Por isso, obtemos 5>x ③ Então, resolvendo a inequação :

3)3)(5(3log)3)(5(log1)3(log)5(log31

31

31

31 £--Û³--Û-³-+- xxxxxx

④620)2)(6(01282 ££Û£--Û£+-Û xxxxx

Por ③ e ④, obtemos a solução : 65 £< x (Exercício 17) Resolva as seguintes inequações. a) xx log1)3(log 22 +³+ b) )1(log)53(log

31

31 +³- xx c) )32(loglog3 22 +£+ xx


- 78 -

Trigonometria §1 Definição trigonométrica a) A semelhança do triângulo rectângulo

Num triângulo rectângulo, se conhecemos um dos ângulos agudos, 3º ângulo é determinado automaticamente. Por exemplo, dado △ABC que satisfaz °=Ð 90ACB e αABC =Ð , será determinado

automaticamente αBAC -°=Ð 90 . (☆Ð : ânguloÛ ∡) Neste caso, já está completo o conhecimento da forma de △ABC. Agora

determinando o comprimento dos três lados de △ABC como cbaABCABC :::: = , ampliamos 2 vezes △ABC como △A’B’C ;

Neste caso, pelas razões de cbaABCABC :::: = e cbaBAACCB ::'':'':'' = , Amplicando ou reduzindo △ABC, não se mudam as razões de cba :: .(Mantêm-se as mesmas.) Porém, muda se o valor do ângulo ABCÐ , consequentemente, vai mudar a forma do △ABC e também os valores das razões dos lados. Por isso, esses valores das razões dependem desse ângulo ABCÐ . Portanto, podemos definir as “funções trigonométricas” entre o ângulo e as

razões. E usando os pares das três razões : );( ba , );( cb e );( ac , defenimos funções trigonometricas como a seguir;

Definição de funções trigonométricas Colocando o ângulo a à esquerda do ângulo recto, definimos;

sen lê-se “seno” cos lê-se “co-seno” tg lê-se “tangente”

☆ Em inglês, expressamos assim: sinÞsen , coscos Þ , tanÞtg

＊ O simbolo de “∽” significa a semelhança ; ampliado ou reduzido B C

A

c b

a

cbaABCABC :::: =

C’ B’

A’

2b

2a

2c

cbacbaBAACCB ::::'':'':'' == 222

a

a-°90 ∽

B

A

a

b c

);( cb Þ cb

ABACsen ==a

);( ac Þ ca

ABBC ==acos

);( ba Þ ab

BCACtg ==a


- 79 -

(Exemplo 1) Determine os valores de Asen , Acos e Atg em cada um dos seguintes triângulos rectângulos indicados ;

a) b) c)

Resoluções a) Pelo teorema de Pitágoras : 32=BC

Por isso, 23

432 ==Asen , 2

142cos ==A , 32

32 ==Atg b) Pelo teorema de Pitágoras,

5=BC Colocando A à esquerda de °90 ,

135=Asen , 13

12cos =A

125=Atg

c) Pelo teorema de Pitágoras, 5=AB

Colocando A à esquerda de °90 ,

52=Asen ,

51cos =A

212 ==Atg

N.B 1

Realmente, as frações encontradas de cada combinação não são as únicas.

Por exemplo, em );( cb , fizemos )( αsencb = , mas também b

c que é função inversa

de )( asencb = . Então, b

c chama-se “cossecante”

e a notação é asec . Portanto, αsenαec 1cos =

Pela mesma razão, temos ;

αα cos1sec = αtgα 1cotg =

＊ sec chama-se “secante” e cotg chama-se “cotangente” Mas, a determinação de αcosec , αsec e αcotg depende da determinação de

αsen , αcos e αtg . Por isso, basicamente, tratamos só αsen , αcos e αtg . Por exemplo, em a) de Ex 1),

321sec ==

AsenA , 2

cos1cose ==

AA e

311cotg == AtgA

B A

C

4

2

C

A B

1 2 B

A C

13

12

B

A C

13

12

2

B

A C 1

B C

A

a

b c

a


- 80 -

§2 Triângulos rectângulos especiais Realmente, são muito raros os casos que o ângulo a e as razões trigonométrias sejam simples.

Por exemplo; em b) do Ex 1), os valores trigonométricos são simples como abaixo :

135=Asen ,

1312cos =A ,

125=Atg

Mas, o ângulo de A é 24,624---º .

Mas temos só dois tipos de triângulos rectângulos que têm o ângulo e as razões trigonométricas simples. Esses triângulos estão a baixo. N.B 2

a) Triângulo rectângulo de 60º (30º) 3:2:1:: =ACBACB

2360 =°sen ,

2160cos =° ,

360 =°tg

Virando o triângulo para colocar 30º à esquerda de 90º,

2130 =°sen ,

2330cos =° ,

3130 =°tg

b) Triângulo rectângulo de 45º 2:1:1:: =BACBAC

2

145 =°sen ,

2145cos =° ,

145 =°tg

B

A C

13

12

B

A

C60º

2

1

3

30º

2B

CA

1

Û

3

＊ Este triângulo rectângulo de 45º é isósceles de

CBAC = Porque °=Ð=Ð 45BACABC

E, pelo teorema de Pitágoras

211 22 =+=AB

Marcando o ponto K na intersecção de AC e a bissectriz de ABCÐ , e mais o ponto H no pé da linha perpendicular ao segmento AB do ponto K, ficará △ =BKC △ =BKH △ AKH . Por isso, AB = 2BC porque BC=BH=HA

B

A

H

C

K

2

1

3

45º

45º

1

1

2

B

A

C


- 81 -

§3 Teoremas trigonométricos Ⅰ) Sobre α-°90 Em △ABC à direita

ABACαsen = , AB

BCα =cos , þýü= BC

ACαtg ①

Então, virando △ABC para colocar o ângulo de )( AÐ-°Ð a90 à esquerda de

)(90 CÐ°Ð , as razões trigonométricas serão seguintes :

ABBCαsen =-° )90( , AB

ACα =-° )90cos( e þýü=-° AC

BCαtg )90( ②

Então, comparando ① e ②, podemos descobrir os seguintes teoremas;

ααsen cos)90( =-° , αsenα =-° )90cos( , ) cotg(1)90( ααtgαtg ==-° (Exemplo 2) a) °=°-°=° 30cos)3090(60 sensen

b) °=°-°=° 20)2090cos(70cos sen

c) °

=°-°=° 371)3790(53 tgtgtg

Ⅱ) ααsenαtg cos=

Demonstração Em △ABC à direita

ABACαsen = ① AB

BCα =cos ② BCACαtg = ③

Por ① e ②, αABsenAC = ①’ αABBC cos= ②’ Substituindo ①’ e ②’ em ③

ααsen

αABαABsen

BCACαtg coscos ===

Ⅲ) 1cos22 =+ ααsen

Demonstração Pelo teorema de Pitágoras.

ACBCAB 222 += ④ Substituindo ①’ e ②’ em ④

)cos()( 222 αABαABsenAB +=

αABαsenABAB cos22222 += Dividindo 1º e 2º membros por AB2 ,

1cos22 =+ ααsen

(Exercício 1) Usando os teoremas de Ⅱ) e Ⅲ), demonstre;

ααtg

cos11 2

2 =+

a-°90 a

C B

A

Þ

a C B

A

a

B

a-°90 A C


- 82 -

§4 Expansão de ângulos trigonométricos Ⅰ) Ângulo : °<<° 900 α Até aqui, definimos trigonometria em triângulos rectângulos. Por isso, devia ser °<<° 900 α . Porque a soma dos ângulos deve ser °180 . Mas, definindo como a seguir, podemos expandir o domínio de α . Então, fixando que o comprimento da hipotenusa OB seja r , circulamos a hipotenusa a α graus nas coordenadas de eixo de x . Depois, tomamos o ponto A no pé da linha perpendicular ao eixo de x do ponto B para fazer triângulo rectângulo OAB . E determinamos as coordenadas de B como );( ba . Neste caso, as razões trigonométicas ficam definidas da seguinte maneira:

rbαsen = , r

aα =cos , abαtg =

N.B 3 αsen depende do valor de x . αcos depende do valor de y . Ⅱ) Ângulo : °<<° 18090 α Circulando OB a α : °<<° 18090 α

para fazer △OAB como abaixo , o ponto B ficará no 2º quadrante. Por isso, vai ser );( baB - . Agora virando △OAB para BOAÐ vir para esquerda de )90( °=ÐBAO , podemos definir as razões trigonométricas :

rbαsen = , r

aα -=cos , abαtg -=

N. B 4

Se °<<° 18090 α ,

)180( αsenαsen -°= )180cos(cos αα -°-= )180( αtgαtg -°-=

A( a ; 0 )α

B( a ; b )

O

r

x

y

A

B

O

r

a-

b

x

y

r

A

B

O

r

a-

b

a-°180

a-°180 a

O );( 0aA -

);( baB -


- 83 -

(Exemplo 3) Ângulo : °120 Segundo a ilustração da direita.

23120 =°sen

21120cos -=°

3120 -=°tg (Exercício 2) Determine os valores de αsen , αcos e αtg nos casos seguintes.

a) °= 135α b) °= 150α Ⅲ) Ângulo : °=90α Neste caso, o ponto B fica no eixo de y . Por isso, vai ser );0( rB , mas △OAB não é triângulo rectângulo. Mas, segundo a N.B 3,

1== rrαsen , 00cos == rα ,

αtg não existe ( 01=αtg ),

Ⅳ) Ângulo : °=180α Neste caso, o ponto B fica no eixo de x . Por isso, vai ser );( 0rB - , Por tanto, vão ser ;

00 == rαsen , 1cos -=-= rrα , 00 =

-= rαtg

Ⅴ) Ângulo : °£<° 270180 a Na mesma maneira, circulando a hipotenusa OB

a esse ângulo α , o ponto B vai situar-se no 3º quadrante. Por isso, será ),( baB -- . Então, tomamos o ponto )0;( aA - no pé da linha

perpendicular de B ao eixo de x para fazer o triângulo rectângulo △OAB . Por tanto, vão ser ;

rbαsen -= , r

aα -=cos , abαtg =

x

y

O

°120 °60

B

A

C60º

2 3

1

x

y

O

);( rB 0

A

a

°180

);( 0aA -

O x

y

O x

y

);( 0rB -

a


- 84 -

N.B (Exemplo 4) Determine os valores de αsen , αcos e αtg nos seguintes ângulos.

a) °= 210α b) °=270α

Resoluções a) 2

130)180210(210 -=°-=°-°-=° sensensen

2330cos210cos -=°-=°

3130210 =°=° tgtg

b) 190)180270(270 -=°-=°-°-=° sensensen

090cos210cos =°-=° °=° 90270 tgtg

portanto, esse valor não existe ( 01=αtg ) .

Exercício 3) Determine os valores de αsen , αcos e αtg nos

seguintes ângulos. a) °= 225α b) °= 240α Ⅵ) Ângulo : °£<° 360270 α

xO

B

O x

y

A

B A

B

O °-180a

Na ilustração, por °-=Ð 180αBOA , vão ser ;

)180( °--= αsenαsen )180cos(cos °--= αα

)180( °-= αtgαtg Só o valor de atg tem que ser

positivo.

Neste caso, vai ser °-°=Ð αBOA 360 em △OAB . E, o ponto B está no 4º quadrante. Por isso, as coordenados de B são ),( ba - .

Por tanto; )360( °-°-= αsenαsen

)360cos(cos °-°= αα )360( °-°-= αtgαtg

Só o valor de αcos vai ser positivo.

°210

°270

α-°360


- 85 -

(Exemplo 5) Determine os valores de αsen , αcos e αtg nos seguintes ângulos

a) °=300α b) °=315α

Resoluções

a) 2360)300360(300 -=°-=°-°-=° sensensen

2160cos300cos =°=°

360300 -=°-=° tgtg b)

2145)315360(315 -=°-=°-°-=° sensensen

2145cos315cos =°=°

145315 -=°-=° tgtg (Exercício 4) Determine os valores de αsen , αcos e αtg nos seguintes ângulos

a) °= 330α b) °= 360α Ⅶ) Ângulo : °>360α

Circulando a hipotenusa OB a °> 360α , vai ficar a mesma situação de Ⅰ) e Ⅵ). Porque circular a °360 significa dar uma volta para °0 . Por exemplo, o caso de °<<° 450360 α , a hipotenusa OB vai ficar no 1º quadrante como Ⅰ) da ilustrção à direita. Por isso, seja °= 390α , a hipotenusa OB vai ficar no mesmo lugar de °= 30α ( °-°Ü 360390 ) Portanto, os valores serão os seguintes.

2130390 =°=° sensen 2

330cos390cos =°=° 3

130390 =°=° tgtg

A( a ; 0 )α

B( a ; b )

O

r

x

y

x

y

x

y


- 86 -

(Exemplo 6) Determine os seguintes valores.

a) °480sen b) °690cos c) °585tg

Resoluções

a) )360480(480 °-°=° sensen23120 =°= sen

b) )360690cos(690cos °-°=° 23330cos =°=

c) )360585(585 °-°=° tgtg 1225 =°= tg

(Exercício 5) Determine os seguintes valores.

a) °420sen b) °720cos c) °510tg

Então na mesma razão, cilcular a °720 significa duas voltas para o ponto de °0 , e circular a °1080 significa três voltas. Por isso, determinando °<£° 3600 α e kαβ ´°+= 360 ):( voltasdenúmerok , temos : RβÎ (Exemplo7) Determine os seguintes valores.

a) °780sen b) °1200cos c) °1665tg

Resoluções

a) °+°=° 72060780 236060 ´°+°=

2360720 =°=°\ sensen

b) 33601201200 ´°+°=°

21120cos1200cos -=°=°\

c) 43602251665 ´°+°=° 12251665 =°=°\ tgtg

(Exercício 6) Determine os seguintes valores.

a) °870sen b) °1320cos c) °1035tg < Resumo : Tabela de trigonometria >

°0 °30 °45 °60 °90 °120 °135 °150 °180

sen 0 21

21

23 1

23

21

21 0

cos 1 23

21

21 0

21

- 2

1-

23

- 1-

tg 0 3

1 1 3 3- 1- 31

- 0


- 87 -

°210 °225 °240 °270 °300 °315 °330 °360

sen 21

- 2

1-

23

- 1- 23

- 2

1-

21

- 0

cos 23

- 2

1-

21

- 0 21

21

23 1

tg 3

1 1 3 3- 1- 31

- 0

§5 Os gráficos trigonométricos Ⅰ) Introdução Na definição trigonométrica, fazemos o triângulo

rectângulo com circulo cuja a hipotenusa é de comprimento r . Agora, seja 1=r , marcando o ponto P , circulamos a

hipotenusa como se ilustra à direita. Neste momento, em △OPH , teremos;

PHPHOPPHθsen === 1

Ü valor de y

OHOHOPOHθ === 1cos Ü valor de x

Portanto, vai ser );(cos θsenθP .

E, este círculo de 1=r chama-se “Círculo trigonométrico”. Ⅱ) θseny = Na introdução acima, o valor de y tem sido θsen . Portanto, colocando o círculo trigonométrico á esquerda, e as coordenadas de θ e y á direita ao mesmo nível, marcamos um ponto nas coordenadas, correspondente com a altura da hipotenusa circulada em θ graus, como se ilustra acima. Continuando a marcar esses pontos, o gráfico de θseny = vai aparecer como se

ilustra abaixo.

１θ

O

１

x

y

)0;(cosqH

１

-１

-１

A coordenada de x é θcos A coordenada de y vai ser θsen ,


- 88 -

E, circulando a hipotenusa no círculo até ao infinito para o sentido positivo e negativo,

vai se repetir, passando pelos mesmos pontos. Portanto, o gráfico completo é :

Ⅲ) θy cos= Na ilustração da introdução, o valor de x do ponto P tem sido θcos . Por isso, no

círculo trigonométrico, para um valor de θcos corresponder com a altura da hipotenusa circulada em θ graus, virando o círculo para o eixo de x vir à vertical, marcamos um ponto correspondente com a altura da hipotenusa nas coordenadas de y e θ , como se ilustra abaixo.


- 89 -

Então, continuando a marcar esses pontos, o gráfico de θy cos= é: Ⅳ) Propriedades entre os gráficos de θseny = e θy cos= a) Em Ⅱ) Ⅲ), marcamos os pontos correspondentes com as alturas do extremo da

hipotenusa circulada com θ graus, nas coordenadas para esboçar ambos os gráficos de θseny = e θy cos= fazendo quase da mesma maneira. Por isso as figuras dos gráficos têm que ser exactamente mesmas. Assim, a linha dos gráficos de θseny = e

θy cos= tem nome especial que se chama “a curva de seno” b) A diferença é a posição do ponto de origem na curva de seno. Porque, no gráfico de

θy cos= , os eixos do círculo foram virados em °90 para o sentido positivo da posição de θseny = .

Por isso, o ponto de origem de θy cos= tem que estar em °= 90θ de θseny = como se segue:

＊ Pelo conhecimento do movimento de gráfico, teremos a seguinte fórmula:

)90(cos °+== θsenθy


- 90 -

c) Contradomínio de θseny = e θy cos= é [ ]1;1- .

[ ] [ ]1;1cos,1;11cos1,11 -Î-ÎÛ££-££- θθsenθθsen

Por outras palavras, a amplitude de θseny = e θy cos= é de unidade1 .

Ⅴ) θtgy = Na ilustração da introdução de Ⅰ), não apareceu o valor de θtg . Porque, usamos outra técnica . No círculo trigonométrico, traçando a linha perpendicular ao eixo de x no ponto

)0;1(A , marcamos T no ponto da intersecção da linha com a recta da hipotenusa com θ graus, como se ilustra á direita. Neste caso, o valor de θtg aparece à altura do triângulo rectângulo △OAT .

Porque : ATATOAATθtg === 1 .

Assim, teremos );1( θtgT .

Então, nas coordenadas de θ e y , marcando os pontos correspondentes com este círculo , o gráfico de θtgy = é : ＊Aparecem as assimptotas nos pontos de hθ ´°+°= 18090

( ZhÎ ) ＊ O contradomínio de θtgy = é R

Ⅵ) Função periódica Nos gráficos de θseny = e θy cos= aparecem repetidamente as figuras congruentes

em °360 . E, no gráfico de θtgy = aparece repetidamente a figura congruente em °180 .


- 91 -

Então, escrevem-se matematicamente estes fundamentos como:

)360( kθsenθsen ´°+= )360cos(cos kθθ ´°+= )180( kθtgθtg ´°+= Zk Î Geralmente, )(xfy = que satisfaz )()( kpxfxf ´+= , chama-se “ função periódica ”, e P chama-se “ período da função “ .

),0,( ZkpRx Î¹Î (Exemplo 8)

θseny = e θy cos= são funções periódicas, cujo período é °360 θtgy = é a função periódica cujo período é °180 .

Ⅶ) Paridade de funções Definição da paridade de funções )(xfy = que satisfaz )()( xfxf =- chama-se “ função par “

)(xfy = que satisfaz )()( xfxf -=- chama-se “ função impar “ )( RxÎ

(Exemplo 9) Na ilustração à direita, temos:

);(cos θsenθP , [ ])();cos(' θsenθP -- , HOPOPH 'DD = Por isso, HPPH '= e OH são os lados comuns entre OPHD e HOP 'D . Assim, o ponto P é simétrico ao ponto 'P

no eixo de x . Por isso, obtemos );(cos' θsenθP - . N.B

θθθsenθsen cos)cos(,)( =--=-

Portanto, descobrimos que θseny = é função impar, e θy cos= é função par. Ⅷ) Transformação e transladação de gráficos trigonométricos a) θsenky ´= e θky cos´= (Exercício 7) Preencha os valores nas tabelas abaixo.

θ °0 °30 °45 °60 °90 θsen θsen2

y

q-q

H

),(cos qq senP

O

[ ])(,)cos(' qq -- senP

x


- 92 -

θ °0 °30 °45 °60 °90 θcos θcos2

Assim, podemos dizer que :

θsenky ´= significa θseny = ampliado k vezes a amplitude. E, θky cos´= é θy cos= ampliado k vezes a amplitude.

(Exemplo 9) O gráfico de θseny 2= é : (Exercício 8) Esboce o gráfico de θy cos2= b) )( θhseny = e )cos( θhy = (Exercício 9) Preencha os valores nas tabelas abaixo.

θ °0 °30 °45 °60 °90 θsen θsen2

θ °0 °30 °45 °60 °90 θcos θ2cos

Assim, podemos dizer que : Se 1>h , )( θhseny = é θseny = reduzido o período em h vezes.

E, )cos( θhy = é θy cos= reduzido o período em h vezes.


- 93 -

(Exemplo 10) O gráfico de θseny 2= é : (Exercício 10) Preencha os valores nas tabelas abaixo.

θ °0 °60 °90 °120 °180 θsen θsen 2

1

θ °0 °60 °90 °120 °180 θcos θ2

1cos

Assim, podemos dizer que : Se 10 << h , )( θhseny = é θseny = ampliado o peíodo por h vezes.

E, )cos( θhy = é θy cos= ampliado o peíodo por h vezes. (Exemplo 11) O gráfico de θy 2

1cos= é : (Exercício 11) Esboce o gráfico de θseny

21=


- 94 -

c) )( lθseny -= e )cos( lθy -= (Exercício 12) Preencha os valores nas tabelas abaixo.

θ °0 °30 °60 °90 °120 °150 °180 θsen

)30( °-θsen

θ °0 °30 °60 °90 °120 °150 °180 θcos

)60cos( °+θ N.B

Os gráficos de )( lθseny -= e )cos( lθy -= são os seus normais θseny = , θy cos= que se transladam l graus de ângulo para o sentido Positivo.

Os gráficos de )( lθseny += e )cos( lθy += são os seus normais θseny = , θy cos= que se transladam l graus de ângulo para o sentido Negativo.

(Exemplo 12) O gráfico de )30( °-= θseny é θseny = que se translada °30 para o sentido positivo (direita) como se ilustra abaixo: (Exercício 13) Esboce os seguintes gráficos.

a) )30cos( °-= θy b) )60( °+= θseny d) )]([ lθhsenky -´= e )](cos[ lθhky -´= ☆ Rlhk Î,, Estes tipos são agrupamentos dos casos a), b) e c). Pode parecer que são complicados,

mas tratando cada parte, há-de conseguir esboçar os gráficos.


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Resumo de [ ])( lθhsenky -´= e [ ])(cos lθhky -´= k : ampliar a amplitude em k . h : reduzir o período em h . l : transladar l unidades para o sentido positivo.

(Exemplo 14) O gráfico de )302(2 °-= θseny é θseny = que se amplia a sua amplitude por 2 , se reduze o seu período por 2 , se translada °30 para a sentido positivo.

como se ilustra abaixo:

(Exercício 14) Esboce o gráfico de cada um das seguintes funções.

a) [ ])30(2cos2 °-= θy b) úûù

êëé °+= )60(21

21 θseny

§6 Equações trigonométricas Ⅰ) Introdução Provavelmente, o leitor já conhece o metódo para resolver os vários tipos de equações.

Todos esses metódos de resolver as equações vêm da definição a baixo. Definição da equação cxf =)( ( c é número constante.) cxf =)( significa o valor de x cujo )(xfy = é igual a c .

Assim, as equações trigonométricas também têm significado gráfico )(xfy = .

Portanto, se tiver dificuldade em entender, tem que voltar aos conteúdos dos gráficos.


- 96 -

Ⅱ) Resolução de equações trigonométricas (Exemplo 15) Resolva 2

1=θsen

Resolução

Segundo a definição da equação a cima, 21=θsen está a perguntar o valor de θ cujo

valor de θseny = vai ser igual a 21 .

Assim, colocando P e 'P nos pontos de interceção entre o círculo trigonométrico e

21=y , POHÐ e

''OHPÐ vão ser as soluções desta equação e vai ser △ =POH △ ''OHP . Agora, tirando △ POH para fora como ilustra o

triângulo abaixo, vai ser OPPHθsen == 2

1 . Por isso, △ POH é o esquadro de °=Ð 30POH . Agora, por △ =POH △ ''OHP , vai ser °=Ð=Ð 30''OHPPOH . Então °=Ð-°= 150''180' OHPθ Finalmente, pensando na repetição de circular a hipotenusa sem limite, as soluções vão ser:

kθ ´°+°= 36030 e kθ ´°+°= 360150' ( Zk Î ) (Referência) Aproveitando o gráfico de θseny = , vai ser como abaixo: (Observação) a) Nos exercícios escolares, o leitor deve encontrar só os ângulos dos esquadros

( °°° 60,45,30 ). Não vai encontrar outros ângulos. b) Se não tiver o intervalo de θ , deve considerar a repetição de circular a hipotenusa

sem limite. ( k´°+ 360 Zk Î ) (Exercício 15) Resolva as seguintes equações.

a) 23=θsen b)

21-=θsen


- 97 -

(Exemplo 16) Resolva 21cos =θ

Resolução

No círculo trigonométrico, θcos vai ser o valor de x no ponto P . Então, P deve estar na recta 2

1=x , por isso marcando P e 'P como se ilustra à direita, temos: △ =POH △ ''OHP , OHPPOH 'Ð=Ð .

Agora, considerando o sentido positivo e negativo de circluar, vai ser; θOHP -=Ð ' Então, tirando △ POH para fora, por

21cos == PO

OHθ , △ POH será o esquadro de °60 . Portanto, koukθ ´°+°-´°+°= 3606036060 ( Zk Î ) (Exercício 16) Resolva as seguintes equações.

a) 23cos =θ b)

21cos -=θ

(Exemplo 17) Resolva

31=θtg

Resolução

No círculo trigonométrico, traçando 1=x , marcamos o ponto T no ponto de intersecção entre

31=y e 1=x como se

ilustra à direita. Porque, 3

1=TG . Neste caso, temos:

31

21 == θtgθtg

Então o período de qtgy = é °180 , por isso: °+= 18012 θθ

Assim, resolvendo 3

1=θtg , obtemos kθθ ´°+= 1801

Agora, em △OTG , temos 1=OG , 3

1=TG .

Então, pansando as razões de: 31 :: =OGTG Assim, △OTG deve ser esquadro de °=Þ° 3030 1θ Portanto,a solução é kθ ´°+°= 18030

(Exercício17) Resolva as seguintes equações.

a) 1=θtg b) 3-=θtg


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N.B Nas equações trigonométricas, é importante saber em que quadrante está o

esquadro que satisfaz as equações dadas. Porque o quadrante determina o sinal do valor trigonométrico.


a) 23=θsen b) 3cos2 -=θ c) 1-=θtg

Resoluções

a) θseny = positivo está no 1º e 2º quadrante.

E, o esquadro que tem 23=θsen é de °60 .

Porque: 2323 ==Þ== OPePHOP

PHθsen

Então,a solução é : koukθ ´°+°´°+°= 36012036060

b) 23cos3cos2 -=Û-= θθ

θy cos= negativo está no 2º e 3º quadrante

E, o esquadro que tem 23cos =θ é de °30 .

Porque: 2,323cos ==Þ== OPOHOP

OHθ Então, a solução é : koukθ ´°+°´°+°= 360210360150

c) Por 1-=θtg , o esquadro deve estar no 2º ou 4º quadrante E, o esquadro que tem 1=θtg é de °45 como se ilustra △ POH à direita.

1,1111 ==Þ=== OHPHOH

PHθtg Portanto, a solução é k´°+° 180125

(Exercício 18) Resolva cada uma das seguintes equações

a) 32 -=θsen b) 1cos2 -=θ c) 13 -=θtg

θy cos=

θtgy =

θseny =


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§7 Inequações trigonométricas

Ⅰ) Introdução

Os metódos para resolver todos os tipos de inequação vêm da definição. Definição da Inequação cxf >)( ( c é número constante.) cxf >)( significa o domínio de x cuja parte de )(xfy = está em cima de cy = . ☆ cxf ³)( : )(xfy = está em cima de cy = ou igual a cy = . cxf <)( : )(xfy = está em baixo de cy =

cxf £)( : )(xfy = está em baixo de cy = ou igual a cy =

Ⅱ) Resolução de Inequações trigonométricas

(Exemplo 19) Resolva 21>θsen

Resolução

21>θsen significa o domínio de θ cujo θseny = está em cima de 2

1=y . Assim, basta responder ao domínio de q correspondente com o arco que está em

cima de 21=y no círculo trigonométrico como se ilustra á direita.

Porque qseny = significa a altura da hipotenusa circulada em θ . Por isso, o resultado deve ser a partir de θ correspondente a P até 'q correspondente a 'P . Então, resolvendo

21

=θsen :

)(36015036030 Zkkoukθ Î´°+°´°+°=

Portanto, a solução é:

] [ )(360150;3603036015036030 Zkkkθkθk Î´°+°´°+°ÎÛ´°+°<<´°+°

(Exercício 19) Resolva cada uma das seguintes inequações.

a)

21£θsen b) 2

3-<θsen c) 2

1-³θsen

☆Graficamente


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(Exemplo 20) Resolva 21cos ³θ

Resolução

θcos aparece no eixo de x . Por isso, o domínio de q

que satisfaz 21cos ³θ deve ser a mais direita de

21=x , incluindo os pontos P e 'p .

( )limite o se-inclue " = " , cos para direita"" significa maior"" θ

Então, resolvendo 21cos =θ :

kθ ´°+°= 36060 ou kθ ´°+°-=- 36060 . Assim, a solução é :

)(3606036060 Zkkθk Î´°+°££´°+°- (Exercício 20) Resolva cada uma das seguintes inequações. a) 2

1cos £θ b) 23cos -<θ c)

21cos -³θ

(Exemplo 21) Resolva 3-³θtg

Resolução

O gráfico de θtgy = é crescente no intervalo de ] [kk ´°+°´°+°- 18090;18090 . Resolvendo 3-=θtg , obtemos:

kθ ´°+°-= 18060 . Portanto, a solução é :

)(1809018060 Zkkθk Î´°+<£´°+°- (Atenção: Não se incluem as assimptotas)

(Exercício 21) Resolva as seguintes inequações.

a) 1£θtg b) 3-<θtg c) 3

1³θtg


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Conjuntos §1 Noção de Conjuntos

Determinando o conjunto A que tem uma condição, já podemos indicar os elementos

pertencentes a A . Neste caso, expressa-se oconjunto A como se segue; { })(condiçãoxA =

Ou, expressa-se concretamente os elementos : { }¼= xxxxA 4321 ,,,

(Exemplo1) a) O conjunto A cuja condição é número par é ;

{ }parnúmeroéxxA = ou { }8,6,4,2=A

b) O conjunto B cuja condição é vogal é ;

{ }vogaléxxA = ou { }uoieaA ,,,,=

c) Dado o conjunto { }10,4,3,1=C , não tem condição entre os elementos. Mas C é uma união dos elementos. Portanto, podemos dizer que C é conjunto.

(Exercício 1) Responda os elementos que pertencem aos seguintes conjuntos.

a) { }15, £= xprimonúmeroéxxA b) { }15, £= ximparnúmeroéxxA

Obs : O conjunto é uma união de elementos arbitrários, e não contém ordem nos elementos. Assim, Dado o conjunto { }uoieaA ,,,,= , podemos expressar livremente :

{ }euaoiA ,,,,= , { }ouaieA ,,,,= , { }ueoiaA ,,,,= --- Porém, normalmente tratamos os números ou alfabetos para nomear os elementos em

Matemática. Assim, levantamos os elementos em ordem, mas não tem o significado de ordem. §2 Diagrama de Venn Dado o conjunto { }xxxxA 4321 ,,,= ,podemos esboçar o diagrama para

expressar os elementos como se ilustra à direita. Este chama-se “Diagrama de Venn”. E podemos colocar os

elementos livremente dentro do círculo A .

Definição de Conjuntos Uma união de elementos chama-se Conjunto. Normalmente , os conjuntos têm condições para determinar os elementos. Mas, existem os conjuntos sem nenhuma condição.


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§3 Símbolos A) Pertencente Î, Ï

Quando um elemento x pertence a um conjunto A , este expressa-se AxÎ .

E, quando x não pertence a A , expressa-se AxÏ .

(Exemplo 2) Em { }vogaléxxA = ( { }uoieaA ,,,,=Û ), expressa-se Aa Î , AbÏ

(Exercício 2) Seleccione uma alternativa certa nos seguintes casos:

a) Dado o conjunto { }5436 epordivisívelnúmerouméxxA =

ⅰ) AÎ9 ⅱ) AÎ12

b) Dado o conjunto { }10, £= xparnúmeroéxxA

ⅰ) AÏ5 ⅱ) AÎ14 B) Conter ËÉÌ ,,

Dados os conjuntos: { }9,8,7,6,5,4,3,2,1=A , { }5,4,3,2,1=B

todos os elementos de B pertencem a A . Neste caso, expressamos:

AB Ì (Lê-se B está contido em A ), ou BA É (Lê-se A contém B )

Também, dizemos que B é Subconjunto de A . E, ilustra-se no diagram de Venn à direita. Os elementos pertencentes a A mas não a B estão fora de B , mas dentro de A . Agora, dado mais { }8,6,4,2=C , B contém só os elementos de C : 2 e 4 , não todos os

elementos de C . Neste caso, expressamos: BC Ë (Lê-se C não está contido em B )

Então a diferença entre AB Ì e BA É é só do sujeito, e os significados são iguais. Por isso, dependendo do assunto,podemos usar ambas maneiras.

N.B Os símbolos de Î e Ï são para elementos por conjuntos. E os símbolos Ì e Ë são para conjuntos entre si.


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(Exercício 3) Indique a relação entre os seguintes conjuntos. a) { }7,5,3,2=A , { }7,3=B b) { }uoieaA ,,,,= , { }wueB ,,=

C) Igualdade de conjuntos BA=

Dados os conjuntos A e B , sabendo que BA Ì e AB Ì , dizemos que os

elementos de A e B são iguais e expressamos: BA =

(Exemplo 3) Dados dois conjuntos { }2£= xxA e { }42£= xxB , justifique BA = .

Resolução No conjunto A , temos os elementos que satisfazem 2£x . Resolvendo a equação

modular 2£x , obtemos : [ ] )2;2(222 -ÎÛ££-Û£ xxx

Por isso, A é congruente ao conjunto cujos elementos pertencem a [ ]2;2- :

{ } [ ]{ }2;22 -Î=£= xxxxA

Agora, considerando x2 sabendo [ ]2;2-Îx , obtemos [ ]4;02Îx . Este resultado

satisfaz a condição de B , 42 £x . Assim, obtemos BA Ì

Em B , resolvendo a inequação 42 £x , obtemos a solução [ ]2;2-Îx .

Por isso, todos os elementos de B satisfazem a condição de A . Assim, obtemos AB Ì . Então, já provamos BA Ì e AB Ì . Portanto, podemos dizer BA =

Exercício 4) Indique a igualdade entre os seguintes conjuntos. a) { }parnúmeroéxxA = b) { }naturaisnúmerossãoinversonúmeroseuoexxA =

{ }naturalnúmeroéxxB = { }012 =-= xxB


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D) Intersecção de conjuntos Ç

(Exemplo 4) Dados os conjuntos { }4,3,2,1=A e { }8,6,4,2=B . Os elementos pertencentes A e B são 2 e 4 , por isso obtemos:

{ }4,2=Ç BA E mais, no diagrama de Venn, estes elementos

devem estar dentro de A e B , no espaço cruzado pelos conjuntos A e B , como se ilustra à direita. (Exercício 5) Indique os elementos de BAÇ nos

seguintes conjuntos A e B .

a) { }6,5,4,2,1=A e { }9,8,6,5,1=B b) { }edcbaA ,,,,= e { }igecaB ,,,,= E) Reunião de conjuntos ∪

(Exemplo5) a) Em { }4,3,2,1=A e { }8,6,4,2=B ,

temos { }8,6,4,3,2,1=È BA Obs : Os elementos 2 e 4 pertencem a ambos

conjuntos A e B . Neste caso, não escrevemos duas vezes 2 e 4 , basta escrever uma vez.

Definição de intersecção de A e B Dados os conjuntos A e B , se existirem os elementos que pertencem a A e B ,

expressa-se BAÇ e lê-se A intersecção com B .

{ }BxeAxxBA ÎÎ=Ç

Definição do conjunto da reunião entre A e B Dados os conjuntos A e B ,

O conjuto que tem os elementos pertencentes a A ou B .

expressa-se BAÈ e lê-se A reunião com B .

{ }BxouAxxBA ÎÎ=È


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b) Em { }3,2,1=A e { }8,6,4=B , temos { }8,6,4,3,2,1=È BA Obs : Não existem os elementos comum. Neste

caso, os diagramas não se cruzam, e os elementos de BAÈ ficam juntos.

c) Em { }5,4,3,2,1=A e { }4,3,2=B ,

temos { },5,4,3,2,1=È BA Obs : A tem todos os elementos de B (Û AB Ì ) Neste caso, os elementos de BAÈ são de A .

E, os elementos de BAÇ são de B

N.B Dados os conjuntos A e B ,

Se AB Ì , temos ABA =È , BBA =Ç

(Execício 6) Indique os elementos de BAÈ nos seguintes casos:

a) { }dcbaA ,,,= e { }ecaB ,,=

b) { }naturalnúmeroéxxA = e { }imparnúmeroéxxB =

§4 Tipos de conjuntos

a) Conjunto universal Numa condição, o conjunto que tem todos os elementos na sua condição, chama-se

conjunto universal , e expressa-se .

Obs : O conjunto universal determina o maior conjunto numa condição, e contém todos os conjuntos que satisfazem essa condição.

(Exemplo 6) a) Quando jogamos o dado, o dado tem 6 aspectos escritos de 1 a 6.

Neste caso, temos { } { }6,5,4,3,2,1== dadodoaspectosemescritonúmeroéxx

E, podemos formar { }3,2,1=A , { }3,2=B , { }6,5,4,1=C .

Estes conjuntos estão contidos em : ÌA , ÌB , ÌC b) Nos aspectos de uma moeda, temos aspectos de número e Símbolo (frente e tás).

Por isso, obtemos { }trásfrente,=


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b) Conjunto vazio O conjunto que não tem nenhum elemento, chama-se conjunto vazio , e expressa-se .

(Exemplo 7) Dados os conjuntos { }3,2,1=A e { }5,4=B , temos =Ç BA

Porque não existe nenhum elemento pertencente ao A e B Neste caso, dizemos que os conjuntos A e B são independentes.

c) Conjunto complementar “ ‾ ”

Dados os conjuntos arbitrários e A , o conjunto cujos elementos não pertencem

a A , chama-se conjunto complementar de A , expressa-se A .

{ }AxxA Ï=

Portanto, =È AA e =Ç AA (Exemplo 8) Dados os conjuntos { }5,4,3,2,1= e { }3,2,1=A ,

temos { }5,4=A

Assim, { } ==È 5,4,3,2,1AA e =Ç AA

d) Conjuntos numéricos Em matemática, temos os símbolos especiais pelos conjuntos numéricos.

1, { }naturalnúmeroéxx=

O número positivo que não tem décimas chama-se número natural.

{ },4,3,2,1=

2, { }eironúmeroéxx int=

O número que não tem décimas chama-se número inteiro.

{ } ,3,2,1,0,1,2,3, ---=

Obs : é o conjunto de números inteiros negativos: { }1,2,3, ---=

é o conjunto de números inteiros positivos, significa


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(Execício 7) Prove Ì

3, { }racionalnúmeroéxx=

O número fraccionário, ba chama-se número racional. ( Îa e Îb ) .

Assim, o número que se pode transformar em ba é também número racional.

(Exemplo 9)

a) Î31 b)

133 = , portanto Î3 c)

2063

10031515,3 -=-=- , portanto Î- 15,3

※ Transformação à forma de ba

A) Número decimal finito Expressa-se número decimal finito arbitrário como xxxxx n321, , Îx , significa a parte do númerio inteiro desse decimal. Îxn , 9£xn , xn significa o número em casa decimal de ordem n .

Neste caso, basta pôr o decimal dado no numerador, tirando a vírgula, chama-se

ponto decimal, e 10n no denominador : 10

, 321321 n

nn

xxxxxxxxxx

= , é número

racional. (Porque já é número fraccionário.) (Exemplo 10) a) No número 123,10 temos 3 casas decimais. Por isso, obtemos:

100010123

1010123123,10 3 == Assim, Î123,10

b) No número 1234,0 , temos 4 casas decimais. Por isso, obtemos:

5000617

100001234

1012341234,0 4 === (O resultado está na forma simplificada)

Assim, Î1234,0 (Execício 8)

Transforme os seguintes números decimais para a forma de ba (Fracção)

a) 21,3 b) 321,4 c) 4326,5


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(Exercício 9) Prove Ì B) Número decimal periódico infinito Dado o número decimal periódico infinito arbitrário xxxxxxxxx nn 321321, , escreve-se : ),(, 321 xxxxx n . Îx , também significa a parte do númerio inteiro deste decimal.

Îxn , 9£xn , ( )xxxx n321 significa a parte dos números periódicos.

Neste caso, seja ( )xxxxxA n321,= , preparamos o valor de An´10 :

( )xxxxxxxxxA nnn 321321 ,10 =´

Agora, resolvendo o seguinte sistema de equações:

( )) ( )

110

)110(

,,10

321

321

321

321321

--

=

-=-

=-=´

nn

nn

n

nnn

xxxxxxA

xxxxxxA

xxxxxAxxxxxxxxxA

※ Elimina-se a parte de ( )xxxx n321

Portanto, o número decimal periódico infinito também é número racional.

(Exemplo 11)

a) 232323,1)23(,1 = . Seja )23(,1=A preparando )23(,123100102 ==´ AA

Resolvemos a seguinte sistema de equações:

)

9912212299

)23(,1)23(,123100

=

=

=-=

A

AAA

Portanto, 99122)23(,1 = , Î)23(,1

(Execício 10) Prove que os seguintes números pertencem ao conjunto

a) )3(,0 b) )12(,2- c) )32(1,32

4, { } { }Ï== xxirracionalnúmeroéxx

O número que não é fraccionário, em outras palavras, o número decimal infinito não periódico chama-se número irracional.


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(Exemplo 12)

a) 41421356,12 = , não é decimal periódico. Assim, Î2

b) 14592653,3=π , também não é decimal periódico. Por isso, Îπ

5, { }realnúmeroéxx=

O número real significa número racional ou irracional.

{ }ÎÎ= xouxx

Assim, é claro que é Ì e Ì . Portanto, os diagramas dos conjuntos númericos ilustram-se à direita

§5 Operações de conjuntos Conjunto representa união de elementos, não são números. Por isso, não existem operações de ¸´-+ ,,, em conjuntos. Estas são para os números. Agora, usando os símbolos de reunião ∩, intersecção ∪ e complementar ‾ , vamos

aprender os métodos para expressar de conjuntos no diagrama de Venn. (Exemplo 13) Dados os conjuntos { }3,2,1=A e { }5,4,3=B em { }7,6,5,4,3,2,1= .

Indique os seus elementos e pinte o domínio de BAÇ no diagrama de Venn.

Resolução

temos { }7,6,2,1=B .

Assim, os elementos comuns entre A e B são 2,1 .

Portanto, obtemos { },2,1=Ç BA

E, o domínio de BAÇ está pintado no diagrama à direita.


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(Exercício 11) Dados os conjuntos { }3,2,1=A e { }5,4,3=B em { }7,6,5,4,3,2,1= , Indique os seus elementos e pinte no diagrama de Venn o domínio dos seguintes conjuntos:

a) BAÇ b) BAÈ c) BAÇ

d) BAÇ e) BAÈ C)Lei de De-Morgan No Exercícios 11, temos os resultados iguais entre b), d) e c), e).

Portanto; BABA Ç=È , BABA È=Ç

Estas fórmulas chamam-se Lei de De-Morgan . (Exercício 12) Dados os conjuntos { }4,3,2,1=A e { }6,5,4,3=B em { }9,8,7,6,5,4,3,2,1= , ⅰ) Indique os elementos dos seguintes conjuntos. a) BAÇ b) BAÇ c) BAÈ d) BAÈ e) A f) B g) BAÈ ∪ h) BAÇ ⅱ) Diga, dos conjuntos acima, quais são os iguais. §6 Número de elementos de conjuntos

Obs : “ N ” de ( )AN representa “Números” (Exemplo 14) Dado o conjunto { }5,4,3,2,1=A . Os elementos são 5.

Por isso, obtemos ( ) 5=AN (Exercício 13) Resolva ( )φN (Exemplo 15) Numa turma, há 15 mulheres e 40 homens. Agora, determinando:

{ }mulheréxxA = e { }eméxxB hom=

Obtemos ( ) 15=AN e ( ) 40=BN . Mas, mulheres e homens são independentes. (Não existe uma pessoa feminina e

masculina) Portanto, temos =Ç BA Û 0)( =Ç BAN Û 554015)()()( =+=+=È BNANBAN

Defenição Dado um conjunto A ,

( )AN representa o número de elementos do conjunto A .


- 111 -

N.B Se =Ç BA , temos 0)( =Ç BAN e )()()( BNANBAN +=È (Exercício 14) Dado o conjunto { }4,3,2,1=A em { }7,6,5,4,3,2,1=

Resolva )(AN , )(AN e (N )

N.B

Por causa de =Ç AA , obtemos 0)( =Ç AAN

E, por causa de AAÈ= , obtemos (N ) )()()( ANANAAN +=È=

(N ) ()()()( NANANAN =Û+= ()()() NANAN =Û- )() AN-

(Exemplo 16) Numa turma temos 60 alunos. Tiveram dois cursos A e B e deverão escolher pelo menos um curso. No resultado, 40 alunos escolheram o curso A e 35 alunos escolheram o curso B . Quantos alunos escolheram os dois cursos?

Resolução A frase “alunos deverão escolher pelo menos um curso” significa que temos 3 casos :

1º : Alunos que escolheram só A Û { }AescolheuquealunoéxxA =

2º : Alunos que escolheram só B Û { }BescolheuquealunoéxxB =

3º : Alunos que escolheram A e B Û { }BeAescolheuquealunoéxxBA =Ç

Obs: Não existe aluno que não escolheu nada. Û BAÈ= Por isso, obtemos 60)( =È BAN , 40)( =AN e 35)( =BN . Neste caso, aluno que escolheu A e B foi incluído em A e B e foi contado duas vezes. Por isso, calculamos : )()()()( BANBNANBAN Ç-+=È

)()()()( BANBNANBAN È-+=ÇÛ 15603540 =-+=

N.B Dados os conjuntos A e B , temos: )()()()( BANBNANBAN Ç-+=È

)()()()( BANBNANBAN È-+=Ç

Sol; Alunos que escolheram A e B são 15


- 112 -

(Exercício 15) Um exame que tinha 2 questões A e B foi aplicado a 60 candidatos. Houve 40 candidatos que responderam acertadamente à questão A , 36 que responderam acertadamente à questão B e 6 que não conseguiram responder a nenhuma. Quantos candidatos responderam: a) Não acertadamente à questão A. b) Não acertadamente à questão B. c) Acertadamente às questões A e B. d) Acertadamente pelo menos a uma questão.

(Exemplo 17) Dados os conjuntos { }3pormúltiploéxxA = e { }4pormúltiploéxxB =

em Î£= xxx ,100{ }, Resolva:

a) )(AN e )(BN b) )( BAN Ç c) )( BAN È d) )( BAN È

Resolução a) { } { },9,6,33 == pormúltiploéxxA

Em 100 números naturais, a partir de 1, múltiplos de 3 são 33. Porque 1333100 =¸ , Trigésimo terço múltiplo de 3 é 99, falta 1 para 100. Por isso, 33)( =AN . Na mesma razão, 254100)( =¸=BN b) { } { }43 epormúltiploéxxBxeAxxBA =ÎÎ=Ç

{ } { }1243.. pormúltiploéxxedeCMMdemúltiploéxx ==

Portanto: 4812100)( =¸=Ç BAN Sol : 8)( =Ç BAN c) )()()()( BANBNANBAN Ç-+=È 5082533 =-+= Sol : 50)( =È BAN e) NBAN =È )( ( ) 5050100)( =-=È- BAN Sol : 50)( =È BAN (Exercício 16) Dados os conjuntos { }5pormúltiploéxxA = e { }7pormúltiploéxxB =

em Î£= xxx ,100{ }, Resolva:

a) )(AN e )(BN b) )( BAN Ç c) )( BAN È d) )( BAN È


- 113 -

Sucessão §1 Definições de sucessões Neste capítulo, estudamos filas numéricas colocadas em sequência e obedecendo a

uma certa regra. Esta fila numérica chama-se “Sucessão” . Cada número colocado

na sucessão chama-se “termo de Sucessão”, escreve-se { }aaa n21, e que n

é um número natural arbitrário, porque ele indica a ordem do termo. )( NnÎ （Exemplo 1) Determine a5 nas seguintes sucessões.

a) { }4,3,2,1 b) { }2,4,10,16 - c) { }16,8,4,2

Resoluções

a) Esta sucessão obedece a uma lei de formação em que os termos da sequência

encontram-se em ordem crescente. Os valores crescem sucessivamente em uma unidade . Portanto, temos 55 =a .

b) Os seus termos decrescem 6 unidades (Seja 16 para 10 ou 10 para 4 ou ･･･).

Agora, temos 24 -=a . Portanto, temos 862645 -=--=-= aa . 85 -=\a

c) Neste caso, cada termo obtem-se multiplicando por 2 a partir do 2º termo a2 .

Portanto, temos 321622 45 =´=´= aa . 325 =\a

(Exercício 1) Determine a5 nas seguintes sucessões.

a) { }7,5,3,1 b) { }27,9,3,1 c) { }2,4,6,8 §2 Termo geral A equação que expressa a regra que origina os termos da sucessão chama-se “termo

geral”. Por exemplo, quando tivermos o termo geral 12 -= nan , este n é um

número natural e indica a ordem. Se quisermos a1 , substituimos por 1 em n na expressão 12 -= nan :

11121 =-´=a Desta maneira, podemos determinar todos os termos da sucessão:


- 114 -

31222 =-´=a 51323 =-´=a

・・・・・・・ (Exercício 2) Determine do 1º ao 3º termo nas sucessões dadas pelos seguintes termos

gerais:

a) 13 += nan b) 32 +-= nan c) 12 += nan d) 12 -= nna

§3 Progressão Aritmética (PA) A sucessão, cuja distância entre dois termos consecutivos é constante,

chama-se ”Progressão Aritmética” (PA). E esta distância chama-se “Razão da PA” . Neste manual, escreve-se d (vem de distância constante)

(Exemplo 2) a) Na PA { }7,5,3,1 , a distância entre dois termos consecutivos é constante 2 ( 2=d ).

b) Na PA { }4,6,8,10 , a distância constante é 2- . ( 2-=d ).

N.B Se 0>d , PA é crescente.

Se 0<d , PA é decrescente Obs : 0=d significa que não tem distância. Assim , nesta sucessão, o primeiro

termo repete-se . veja : { } ,,,, 1111 aaaa Este tipo é muito especial. Por exemlo : 0=d e 31 =a , Û { } ,3,3,3,3

Não têm distância entre dois termos consectivos

§4 Termo geral de uma PA Na PA { }7,5,3,1 , tem distância constante 2+ entre os dois termos consecutivos.

Desta maneira, podemos expressar os termos como se seguem :

※Esta sucessão é crescente.

※Esta sucessão é decrescente.


- 115 -

725252323212

44

23

12

=+=+==+=+==+=+=

aaaaaa

・・・・・・・・・・・・ Agora, substituindo 212 += aa em 223 += aa , temos:

222)2( 113 ´+=++= aaa .

E mais, substituindo 2213 ´+= aa em 234 += aa , temos: 322)22( 114 ´+=+´+= aaa

Então, 2213 ´+= aa significa que temos duas repetições ao adicionar 2 ao 1º termo para encontrar a3 . E 3214 ´+= aa significa que temos três repetições ao adicionar 2 ao 1º termo para encontrar a4 . Assim, podemos descobrir a relação entre o número da sequência e quantas repetições serão para adicionar distância constante ao 1º termo:

termoaoadicionarparaserãorepetiçõesQuantassequênciadaN º121º =- Então, para encontrar an , repetimos 1-n vezes a adicionar 2 ao 11 =a . Portanto, o termo geral desta PA é : 12)1(21)1(21 -=-+=-+= nnnaan . Agora, substituindo d a 2 em )1(21 -+= naan , encontramos o termo geral da PA :

dnaan )1(1 -+=

N.B

Encontramos an repetindo 1-n vezes d adicionar ao 1º termo.

Entender o processo da dedução do termo geral da PA é melhor do que só decorar a fórmula, porque se esquecermos, podemos construir de novo.

（Exemplo 3) Determine o termo geral das seguintes PA.

a) { }11,8,5,2 b) { }4,6,8,10

Resoluções a)

Temos a distância constante 3 e 21 =a . Portanto, esta é PA , seu termo geral é:

13)1(32 -=-+= nnan 13 -=\ nan

(Confirmações) 21131 =-´=a , 51232 =-´=a , 81333 =-´=a

※d : distância constante


- 116 -

b) (Observação) Não só decorando a fórmula, devemos considerar o significado da mesma! (Exercício 3) Determine o termo geral das seguintes progressões:

a) { }15,11,7,3 b){ }6,3,0,3- c) { }5,10,15,20 d) { }12,9,6,3 ---- （Exemplo 4) Determine o termo geral, dados os termos seguintes de uma PA.

a) 75 =a e 199 =a b) 64 =a e 3=d

Resoluções a) O termo geral da PA é dnaan )1(1 -+= . Por isso, ①74)15( 115 =+=-+= dd aaa ②198)19( 119 =+=-+= dd aaa Resolvendo o sistema de equação entre ① e ②,

(Outra resolução)

De a5 a a9 , 4 vezes adicionamos d . 319474 95 =Þ=+Þ=+ ddd aa

b) 64 =a e 3=d

Segundo ao termo geral dnaan )1(1 -+= , 36)14(3 114 -=Þ=-+= aaa

Portanto, o termo geral é : 63)1(33 -=-+-= nnan

63 -=\ nan (Exercício 4) Determine o termo geral das seguintes progressoes.

a) 309 =a e 1813 =a b) 138 =a e 3-=d

Temos a distância constante e 2- e 101 =a . Portanto, esta é PA, seu termo geral é:

122)1(210 +-=--= nnan 122 +-=\ nan

(Confirmações) 1012121 =+´-=a , 812222 =+´-=a , 612323 =+´-=a

)

53124

198

74

1

1

1

-==-=-

=+

=+

-

a

aa

dd

dd

②

①

Portanto, o termo geral é : 83)1(35 -=-+-= nnan


- 117 -

(Exemplo 5) Dados os seguintes termos da PA : 163 =a e 106 =a , determine a

sequência e o valor do primeiro termo negativo.

Resolução Determinando an desta PA, determinamos n mínimo que satisfaz 0<an .

Então, Por 163 =a e 106 =a , aproveitando o exemplo 3, obtemos 222 +-= nan .

Agora, por 1102220 >Û<+-Û< nnan , n mínimo que satisfaz 0<an é 12

Portanto, obtemos 22212212 -=+´-=a . Sol: 212 -=a

※Se fosse 11=n , obteria 02211211 =+´-=a . Mas 0 não é negativo, nem positivo.

(Exercício 5) Determine a sequência e o valor do primeiro termo negativo

das seguintes PA

a) 204 =a e 117 =a b) 282 =a e 48 =a

§5 Soma de termos de uma PA Segundo o termo geral, podemos saber o valor de cada termo da PA. Agora, veja a

seguir a técnica do cálculo da soma de termos de uma PA. Então, dada uma PA arbitrária { }an , sabendo que au seja último termo desta PA: Temos :

dd aaaa uuuu -=Û+= -- 11 e ddd aaaaa uuuuu 21221 -=-=Û+= ---- Por isso, podemos expressar : Em outro lado, temos daa += 12 e dd aaa 2123 +=+= . Agora, fazendo os pares como se seguem : aa u+1 , aa u 12 -+ , aa u 23 -+


- 118 -

Calculando as somas de cada um dos pares. aaaaaa uuu dd +=-++=+ - 1112 )()( aaaaaa uuu dd +=-++=+ - 1123 )2()2(

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ Assim, todas as somas são aa u+1 . Porque a parte do produto de d num lado é simétrica ao outro lado. Por isso, as partes se eliminam. Então, temos u termos nesta PA, porque a ordem do último termo é u . E para fazer os pares, usamos dois termos. Por isso, o número dos pares tem que ser a metade do

número dos termos: 2u pares .

Assim, escrevendo-se S u à soma de { }au : aaaaaaS uuuu ++++++= -- 12321

Temos )(2 1 aaS uuu

+=

Então, segundo o termo geral da PA , dnaan )1(1 -+= , temos : duaau )1(1 -+=

Assim, podemos transformar a fórmula de S u como se segue:

[ ]{ } [ ] [ ]2

)1(2)1(22

)1(2

)(2

11111

duuduuduuu aaaaaaS uu-+

=-+=-++=+=

Observação Alguns autores apresentam as duas fórmulas para soma de n termos de uma PA.

2)( 1 aaS n

nn +

= ou { }2

)1(2 1 dnn aS n-+

=

Mas, os significados são iguais, e { }2

)1(2 1 dnn aS n-+

= vem de 2

)( 1 aaS nn

n += -

Portanto, nesta obra, usamos só 2

)( 1 aaS nn

n += , porque julgamos ser simples.

（Exemplo 6) Calcule a soma de termos da PA , sabendo que:

a) 51 =a , 4=d e temos 8 termos b) 11 =a , 3=d e 25=au .

Resoluções O processo é : determinamos o último termo au , e depois, calculamos S u .


- 119 -

a) Sendo 8 termos, o último termo é 33475)18(18 =´+=-+= daa .

Portanto, 1523842

)335(82

)(8 18 =´=

+=

+= aaS u

b) Por 11 =a e 3=d , determinemos o termo geral: 23)1(31)1(1 -=-+=-+= nndnaan Por isso, pode-se encontrar a equação sobre 25=au , como se segue:

92523 =Û=-= uuau

Assim, calculando S 9 : 1171392269

2)251(9

9 =´=´=+=S (Exercício 6) Calcule a soma de termos da PA , sabendo que:

a) 31 -=a , 4=d e temos 10 termos. b) 61 =a , 2-=d e 8-=au (Exemplo 7) Calcula a soma do a1 até an cada uma das seguintes PA .

a) { },6,4,2 b) { },4,7,10

Resoluções Este n de an é o número arbitrário da ordem do último termo.

a) Temos 1º termo 21 =a e a distância constante 2=d . Por isso, o termo geral é nnan 2)1(22 =-+= .

Então, 2

)22(2

)( 1 nnn aaS nn

+=

+=

2)1(2 nn +

=

nnnn2

)1(

+=

+=

b) Temos 101 =a e 3-=d . Por isso, o termo geral é 133)1(310 +-=--= nnan

Então, [ ]2

)233(2

)133(10 +-=+-= nnnnS n

2233 2 +-= n

2233 2 --= n

(Exercício 7) Calcula a expressão analítica de S n das seguintes PA

a) { },3,2,1 . b) { },5,3,1

Evidenciamos 2 de )22( n+

Podemos terminar em ambos casos, porque são iguais e simples

Podemos terminar de 2

233 2 +- n , mas,

normalmente, transformamos PAra 2

233 2 -- n .

Porque, o sinal da fração fica mais claro.


- 120 -

(Exemplo 8) Calcule a soma nas seguinte condições. a) Números naturais a partir de 101 a 200 b) Números ímpares a partir de 1 a 55

Resoluções a) Temos 1011 =a , 200=au , porque é a partir de 101 a 200 E mais, temos 1=d porque os números naturais crescem em cada unidade. Então, temos 1001)1(101)1(1 +=´-+=-+= nndnaan . E u de 200=au é : 100200100 =Û=+ nn

Portanto, a soma que queremos é : 15050301502)200101(100

2)( 1

100 =´=+=+

= aaS un

b) Pelo mesmo método, temos 11 =a , 55=au , 2=d , 12 -= nan e 28=u ※ Números ímpares crescem em cada 2.: 2)1(1 ´-+= nan

Portanto, a soma que queremos é : 78456142)551(28

28 =´=+=S

(Exercício8) Calcule cada uma das seguintes somas:

a) Números naturais a partir de 51 a 100 b) Números pares a partir de 10 a 60 (Exemplo 9) Em números naturais a partir de 100 a 200, a) Temos quantos múltiplos de 7. b) Calcule a soma dos mútiplos de 7.

Resoluções

a) Mútiplos de 7 são os números que crescem cada por 7. Por isso, temos 7=d . Agora temos os números naturais a partir de 100 a 200.

Nesta sucessão, temos 1051 =a . Assim, o termo geral é : 9877)1(105 +=´-+= nnan . Por isso, a sequência u do último termo é o máximo n que satisfaz 200987 £+n .

5.141027200987 £Û£Û£+ nnn Portanto, temos 14 mútiplos de 7 em números naturais a partir de 100 a 200.

b) 19698989814714 =+=+´== aau .

Portanto, a soma que queremos é: 210730172)196105(14

14 =´=+=S

(Exercício9) Em números naturais a partir de 50 a 100, a) Temos quantos múltiplos de 6. b) Calcule a soma dos mútiplos de 6.


- 121 -

(Exemplo 10) Determine S n da PA , sabendo 408 =S e 3015 -=S .

Resolução

A soma de termos de uma PA é 2)( 1 aaS n

nn +

= . Por isso, a soma de a1 a a8 é :

1040)(42)(8

818181

8 =+Û=+=+

= aaaaaaS

Do termo geral de termos de uma PA : dnaan )1(1 -+= Þ dd aaa 7)18( 118 +=-+= .

Obtemos : ①1072)7( 111818 =+=++=+= dd aaaaaS .

Pelo mesmo método, obtemos: dd aaa 14)115( 1115 +=-+= e [ ]

②2730)7(152)142(15

2)14(15

2)(15

11111151

15 -=+Û-=+=+

=++

=+

= dddd aaaaaaaS

Portanto, resolvendo o seguinte sistema de equações:

îíì

-=+

=+

②

①

271072

1

1

dd

aa ⇒ )

212

271072

1

1

1

-=Þ=

-=+

=+

-d

dd

aaa

②

①

Assim, 142)2()1(12)1(1 +-=-´-+=-+= nndnaan

Portanto, [ ] nnnnnnn aaS n

n 132)262(

2)142(12

2)( 21 +-=+-=+-+=

+=

(Exercício 10) Determine S n da PA sabendo que 126 =S a 6010 =S

(Exemplo 11) Determine S n da PA sabendo que 9010 =S ,e a soma de a8 a a12 é 70- .

Resoluções

Por 5010 -=S , obtemos: 1050)(52)(10

101101101

10 -=+Û-=+=+

= aaaaaaS

Substituindo daa 9110 += em 4101 =+aa , obtemos: ①1092 1 -=+ da Então, a soma de a8 a a12 é que ) a de soma(a) a de soma(a aaaa - 51121 . Porque:


- 122 -

Por isso, a soma de a8 a a12 é SS 712 - . Agora, por daa 617 += daa 11112 += ,

②70455)3(7)112(62)(5

2)(12

11171121

712 -=+=+-+=+

-+

=- ddd aaaaaaaSS

Agora, resolvendo o seguinte sistema de equações ① e ②:

îíì

-=+

-=+

②

①

704551092

1

1

dd

aa ⇒

)

4,29045

1409010504510

1

1

1

=-==-

-=+-

-=+

a

aa

dd

dd

②

①

Por isso, obtemos 4,2 1=-= ad e 62 +-= nan .

Portanto, nnnnnnS n 5)1(4(2))1(24(4( 2 +-=--=--+= .

(Exercício11) Determine S n da PA sabendo que 968 =S ,e a soma de a4 a a7 é 56 .

(Exemplo 12) Determine S n máximo da PA cujo termo geral é 314 +-= nan

Resolução Quando S n for máximo é quando n que satisfaz 0>an for máximo. Porque

adicionando um número negativo, essa soma diminui-se.

Então, resolvendo 0314 >+-= nan , obtemos 75,7431 =<n .

Por isso, o n máximo é 7 e obtemos 331747 =+´-=a .

Portanto, a solução é : 1203042)327(8

8 =´=+=S (Exercício12) Determine S n máximo da PA sabendo 175 =a ,e 1407 =S

§6 Progressão Geométrica (PG) e termo geral da PG

PG é um tipo de sucessões, cuja regra é o quociente constante entre dois

termos consecutivos, chamado “Razão da PG”.


- 123 -

Por exemplo , c) do （Exemplo 1):

Para encontrar o termo geral, veja o procedimento.

21 =a 4212 =´= aa

82222 22123 =´=´=´= aaa

162222 33134 =´=´=´= aaa

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ Verifica-se que a relação entre a sequência e o expoente da razão 2 é:

RazãodaExpoenteordemA =-1

Portanto, o termo geral desta PG é 222 1 nn-na =´= , a razão é 2.

(Exercício 13) Determine o termo geral das seguintes PG.

a) 10836,12,4 b) 2412,6,3 -- c) 422,2,2 --

Termo geral da PG q seja a razão(quociente costante), PG vai ser:

A relação entre a sequência e o expoente de q é:

qdeExpoentesequênciaA =-1

Portanto, o termo geral da PG é qaa nn

11

-´= .

Para ser an na PG, basta repetir 1-n vezes, o factor q a a1 .

qaa ´= 12

qq aaa 2123 ´=´=

qq aaa 3134 ´=´=

・・・・・・・・・・


- 124 -

Observação Temos a condição de 1¹q e 0¹q na PG.

Porque, se 1=q , seria aaa qnn 1

11 =´=

- { } { },,, 111 aaaan =Þ .

E se 0=q , seria 0=an { } { },,, 000=Þ an

Portanto, não se incluem estes casos na PG

(Exercício 14) Determine o termo geral e o 5º termo das PG, dados os elementos a seguir:

a) 21 =a e 3-=q b) 1001 =a e 21=q c) 31 -=a e 2-=q

(Exemplo 13) Determine a1 e o termo geral da PG sabendo 123 =a e 485 =a

Resoluções

O termo geral da PG é qnn aa 1

1-´= . Então, por 123 =a e 485 =a , obtemos:

①1221

1313 =´=´= - qq aaa e ②484

115

15 =´=´= - qq aaa

Resolvendo o sistema de equações entre ① e ②:

ïî

ïíì

=´

=´

②

①

48

124

1

21

q

q

aa ⇒

②

12①

21

em ' ossubstituim

,' para

ndoTransforma

①

①

qa = ⇒

4

4812

2

42

=

=´

q

qq ⇒

32

1 =

±=

aq

.

Portanto, obtemos o termo geral: 23 1-´= nna ou )2(3 1-´= -n

na

(Exercício 15) Determine a1 e o termo geral das seguintes PG:

a) 62 =a e 1625 =a b) 3=q e 813 =a

§7 Soma de termos de uma PG A fórmula da soma de termos de uma PG pode ser complexa. Mas, a técnica para

encontrar essa fórmula é simples. Não decora a fórmula, entenda os procedimentos!

Segundo o termo geral da PG arbitrária qnn aa 1

1-´= e expressando cada termo como :

qaa ´= 12 , qaa 213 ´= , qaa 3

14 ´= ,


- 125 -

temos a soma dos termos da PG a partir de 1º até a oredem de n abaixo :

① qqqqq nnn aaaaaaS 1

12

13

12

111-- ´+´+´+´+´+=

Neste caso, multiplicando ① por q , os termos deslocam uma posição à direita:

Agora, calculando q´-①① , eliminamos os termos simétricos:

Daí, conseguimos encontrar a soma da PG : ( )qq

qq nn

naaaS -

-=

-´-

=11

1111

(Exemplo 14) Determine S n de 8,4,2,1

Resolução Pode-se usar a fórmula. Mas aqui, vamos usar a técnica de cima.

Então, { }8,4,2,1 é PG cujo termo geral é: 2 1-= nna ( 11 =a , 2=q ) . Depois,

colocando 2221 12 -- ++++= nnnS , fazemos S n´2 , para deslocar cada termo.

)

21

2222

222112

12

2n

n

nnnn

nnn

SSS

-=-

++++=-

++++=

--

--

Então a solução é 12 -= nnS .

(Exercício 16) Determine S n das seguintes PG a) { }27,9,3,1 b) { }16,8,4,2 -- c) { }2,4,8,16 d) { }3,9,27,81 --


- 126 -

(Exemplo 15) Determine a expressão analítica de S n da PG

sabendo que 133 =S e 3646 =S .

Resolução

S n da PG é ( )q

qn

naS -

-=

111 . Por isso, obtemos :

( )①13

11 3

13 =

-

-=

qqaS e ( )

②3641

1 61

6 =-

-=

qqaS

Calculando ②÷①:

( ) ( ) ( ) ( )qqqq

qq

qq aa 36

3

631

61 128128

11

13364

11

11 -=-Û=

--

Û=--

¸--

( )( ) 012702728 3336 =--Û=+-Û qqqq

Por isso, 273 =q ou 13 =q Û 3=q ou 1=q

Mas, q da PG não pode ser 1 .

Portanto, obtemos 3=q ,e substituindo 3=q em ①, obtemos 11 =a .

Finalmente, substituindo 3=q e 11 =a em ( )q

qn

naS -

-=

111 , obtemos a solução:

( )2

133131

111 -=

--=

-

-=

nnn

n qqaS

213 -=\

n

nS

(Exercício 17) Determine a expressão analítica de S n da PG

sabendo que 73 =S e 315 =S (Exercício 18) Determine o índice n numa PG com alguns dos seus elementos,

dados : 31 =a , 2=q e 93=S n .


- 127 -

§8 Monotonia Existem dois tipos de monotonia : monotonia crescente ou decrescente.

Então, dada uma sucessão arbitrária { }an , se tiver a propriedade: <<< aaa 321 ,

dizemos que { }an é monótona crescente. E ao caso contrário, se tiver a propriedade:

>>> aaa 321 , ,dizemos que { }an é monótona decrescente. (Exemplo 16)

a) Termo geral da sucessão nan2= :

Entre dois termos arbitrários, o termo seguinte é sempre maior que o termo anterior. ⇒Monotonia crescente

b) Termo geral da sucessão nan1=

Entre dois termos arbitrários, o termo seguinte é sempre menor que o termo anterior. ⇒Monotonia decrescente

c) Termo geral da sucessão )2( 1-= -nna

Como assim, temos monotonia Cre ou Dec entre dois termos consecutivos arbitrários. Neste caso, dizemos que não tem monotonia. Ou seja a sucessão não é monótona. Obs : Exemplo 16 não tem provas exactas matemáticamente. Porque, somente

mostrou a monotonia de cada caso a partir de a1 a a4 . Mas monotonia singnifica uma

relação constante entre dois termos consecutivos arbitrários.

Portanto, devemos mostrar o resultado de aa nn -+1 .


- 128 -

N.B

Se 01 >-+ aa nn ⇒ Monotonia crescente

Se 01 <-+ aa nn ⇒ Monotonia decrescente

Se não podermos determinar 01 >-+ aa nn ou 01 <-+ aa nn ⇒Não tem monotonia.

Em a) de exemplo 12, o termo geral é nan2= , e temos )1( 2

1 +=+ nan . Por isso:

[ ][ ] 12)1()1()1( 221 +=++-+=-+=-+ nnnnnnnaa nn

Agora, sendo NnÎ , obtemos 012 >+n ⇒ 01 >-+ aa nn . Portanto esta sucessão é monótona crescente.

Em b), o termo geral é nan1= , e temos 1

11 +=+ nan . Por isso:

nnnnnn

nnaa nn )1(1

)1()1(1

11

1 +-=

++-=-

+=-+

Agora, sendo NnÎ , obtemos 0)1( >+ nn ⇒ 0)1(1 >+ nn ⇒ 0)1(

1 <+

- nn ⇒ 01 <-+ aa nn

Portanto, esta sucessão é monótona decrescente.

Em c), o termo geral é )2( 1-= -nna , e temos )2(1 -=+

nna . Por isso:

)2(3)12()2()2()2( 1111 --=---=---=- ---+

nnnnnn aa

Agora, se 1-n for número par ( n for ímpar), 0)2( 1 >- -n ,

se 1-n for número ímpar ( n for par), 0)2( 1<- -n ,

Portanto, esta sucessão não é monótona. (Obs: neste caso, dizemos que esta sucessão é oscilante)

(Exercício 19) Averigue a monotonia das seguintes sucessões. a) 32 -= nan b) 22 +-= nan c) )1(-= n

na d) 11+

= nan


- 129 -

§9 Limite de sucessões

annlim

¥® significa o limite de { }an , quando n tende ao infinito e lê-se assim mesmo.

Neste momento, se { }an tender a um valor constante C , diz-se que a sucessão { }an

é convergente para C , e escreve-se Cann

=¥®

lim . Mas, se for ao número infinito

positivo ou negativo, diz-se que { }an é divergente para o infinito positivo ou negativo, e escreve-se ±¥=

¥®an

nlim . E mais, se os termos ficarem positivos ou negativos em troca,

dependendo de n , diz- se que a sucessão é vibrante, e annlim

¥® não existe.

(Exemplo 17) Verifique a convergência e determine o limite de cada uma das sucessões

do Exercício 16).

Resoluções a) 32 -= nan ⇒{ } { }53,1,1-=an . Assim, esta sucessão(PA) é monótona crescente

infinita. Então, escrevemos : ¥=-=¥®¥®

32limlim nn

nn

a , e esta sucessão é divergente.

b) 22+-= nan ⇒ { } { }147,2,1 ---=an . Assim, esta sucessão é monótona

decrescente infinita. Então, escrevemos : -¥=+-=¥®¥®

2limlim 2nn

nn

a

Então, esta sucessão é também divergente.

c) )1(-= nna ⇒{ } { }1,1,1,1 --=an Assim, aparecem 1- e 1 em troca.

Então esta sucessão é vibrante, e annlim

¥® não existe.

d) 1

1+

= nan ⇒{ }þýü

îíì=

51,

41,

31,

21an Assim, esta sucessão é monótona decrescente,

mas é convergente para 0 . Então 0lim =¥®an

n

(Exercício 20) Indique a convergência e o limite as sequintes sucessões.


- 130 -

a) 53 -= nan b) 22 +-= nan c) )2(-= nna d) nan

1=

(Exemplo 18) Dada a sucessão þýü

îíì ,

2013,

149,

85,

21

a) Determine o termo geral. b) Verifique a convergência e determine o limite da sucessão.

Resoluções

a) Na determinação do termo geral da sucessão fraccionária, analisamos separando o

numerador e denominador. Numerador : ,13,9,5,1 ⇒ 34 -= nan Denominador : ,20,14,8,2 ⇒ 46 -= nan

Portanto, o termo geral da sucessão dada é: 4634

--= n

nan

b) 12181

32

)46(31

32

4634

-+=

-+=

--= nnn

nan (Transformação idêntica)

Agora, seja 1218

1-

= nbn , obtemos 0lim =¥®bnn

.

Então, lim¥®n

é uma encomenda para n . Por isso, lim¥®n

não tem nenhuma

influência para o termo que não inclui n como números constantes. Portanto, obtemos:

32

12181lim3

21218

132limlim =

-+=

-+=

¥®¥®¥® nn nnn

na

Assim, esta sucessão é convergente para 32 .

(Exercício 21) Dada a sucessão þýü

îíì ,

47,

35,

23,1

a) Determine o termo geral. b) Verifique a convergência e determine o limite da sucessão.

(Refere-se ao Exame da 1ª Epoca de 2004, 12ª classe)

※ Acha : 111=


- 131 -

Tempo de cáfe Temos outra resolução de b) do exemplo 14 :

3264

46

34lim

1

1

4634lim46

34limlim

=

=

-

-=

´--=

--=

¥®

¥®¥®¥®

n

n

n

nnn

nn

n

nnn

na

Realmente, no capítulo do Cálculo de Limites de função, havemos-de encontrar esta técnica, outra vez. Porém há uma diferença no significado gráfico entre função e sucessão, mas não há nenhuma diferença entre o cálculo de limite de função e sucessão. Isso há-de ser muito claro depois de aprender a secção seguinte. Assim, saltando esta técnica, depois vamos aprendê-la. Aqui, basta entender o significado de an

nlim

¥®:

Se n tende ao infinito, qual é o valor para que an tende ?

§10 Representação gráfica de sucessões

Em sucessões, cujo termo geral é a n , n tem sido um número natural. Então,

substituindo x a n em a n , RxÎ , a n vai ficar uma função. Por exemplo:

Na PA 12 -= nan , substituindo x a n , obtemos 12 -= xax . Para pôr o significado da função, vamos escrever 12)( -= xxf . Agora, 12)( -= xxf é a função linear, Rx Î . No outro lado, o conjunto de números naturais é uma parte (subconjunto) do conjunto

de números reais, RN Ì . Dizendo concretamente, n significa os pontos dos números naturais na recta numérica.

Por 11

1=

n

n , obtemos :

n

nnn

nn

nn

1

1

4634146

344634 ´

--=´

--=

--

Porque 04lim3lim ==¥®¥® nn nn


- 132 -

Por isso, a sucessão 12 -= nan é o conjunto dos pontos da função 12)( -= xxf nos números naturais do eixo do x como se ilustra à direita.

N.B Geralmente, uma secessão an é o conjunto

dos pontos da função axxf =)( nos números naturais do eixo de x

Então, o limite duma sucessão an significa o ponto que esteja à direita infinita no

gráfico da função axxf =)( . Portanto, temos : )(limlim xfx

nn

a¥®¥®

= , as técnicas do

cálculo de annlim

¥® utiliza-se no cálculo de )(lim xf

x ¥®, e cálculo de )(lim xf

x ¥® também

utiliza-se no cálculo de annlim

¥®.

(Exercício 22) Represente graficamente cada uma das seguintes sucessões:

a) 12 +-= nan b) 12 += nan c) nan1=


- 133 -

Soluções


- 134 -

Capítulo 1 Exercício 1 Referem-se os gráficos estão no exemplo 4 Exercício 2 a) 2 b) 2 c) 2 Exercício 3 a) 2:7: BCAB - b) Não estão na mesma recta c) 14 unidades baixa Exercício 4 a) b) Exercício 5 a) b) c) Exercício 6 a) b) c) Exercício 7

a) 12 +-= xy b) 103 += xy c) 243 --= xy

Exercício 8 a) 52 += xy b) 5+-= xy c) 32 +-= xy


- 135 -

Exercício 9

a) 82 +-= xy b) 23

21

-= xy c)34

32

--= xy Exercício 10 a) 0732 =-+- yx b) 01042 =++ yx Exercício 11

a) 1-= xy b) 38

32

+= xy c) 143

-= xy Exercício 12 a) 01024 =+- yx b) 01123 =++ yx Exercício 13

a) 22 b) 5

5 c) 5 Exercício 14

a) 13135 b) 5

53 c) 1313

6 Exercício 15

a) 47

43

-= xy b) 1-= xy c) 85

83

+= xy

Capítulo 2

Exercício 1

a) 33 = b) 44 = c) 32

32 =

Exercício 2

a) 3 b) 4 c) 35

Exercício 3

a) 3£x b) 27<x c) 15>x d)

1213³x

Exercício 4

a) 1³x b) 3-<x c) 43

->x d) 3³x

Exercício 5

a) 1£x b) 10>x c) 1>x d) 1316

£x


- 136 -

Exercício 6 a) fÎx b) fÎx Exercício 7 a) RxÎ b) RxÎ Exercício 8

a) 21-£x b)

25-<x c) 0<x d) 1-³x

e) 5-<x f) 1£x g) 34³a h)

45³z

i) 21>y j) RxÎ k) fÎx Exercício 9

a) 41 << x b) 4>x c) 43

23 ££- x d) fÎx

e) 197

25 £<- x f) fÎx g)

3145 ££- x h) 1=x i) RxÎ

Exercício 10

a) ÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

<¸+<

-

ïî

ïí

ì

>¸+

<¸+

4821)2(624242

1)2(6

4821)2(6

x

escreversePode

x

x b) 146 ££ x

Capítulo 3

Exercício 1 a) 63 +a b) aab + c) 63 +a－ d) 62 －a Exercício 2 a) 333 ++ ba b) aacab +- 2 c) 366 +- yx－ d) yx 626 ++－ Exercício 3 a) 3065 +++ yxxy b) 632 --+ baab c) bbcaac 33 +-- d) 7142 -+- yxxy Exercício 4 a) 39632 +++++ zyxxzxy b) 126182 ++--- zyxxzxy c) 63242 +--++- xzxzyxy Exercício 5 a) 662323 +-+--+- cbabcacababc b) 636232 --+--++ zyxxzyzxyxyz Exercício 6 a) 232 ++ xx b) 862 ++ xx c) 22 -+ xx d) 232 +- xx e) 1272 +- xx f) 862 +- xx g) 3522 -+ aa h) 2452 -- aa


- 137 -

Exercício 7 a) 252 2 ++ xx b) 6136 2 ++ xx c) 2512 2 -+ xx d) 276 2 +- xx e) 12133 2 +- xx f) 8189 2 +- xx g) 35185 2 -- xa h) 3568 2 -+ aa Exercício 8 a) 122 ++ xx b) 442 ++ xx c) 962 ++ xx d) 1682 ++ xx e) 25102 +- xx f) 36122 +- xx g) 49142 +- xx h) 64162 ++ xx Exercício 9 a) )12( 2+x b) )13( 2+x c) )43( 2+x d) )52( 2+x e) )52( 2-x f) )65( 2-x g) )73( 2-x h) )32( 2x- Exercício 10 a) 42 -x b) 92 -x c) 162 -x d) x225- e) 362 -x f) x249- g) 642 -x h) 22 -x Exercício 11 a) 94 2 -x b) 916 2 -x c) 169 2 -x d) x2425- e) x22536- f) x2449- g) x2964- h) 29 2 -x Exercício 12 a) 572615 2 +- xx b) xx 65 2 - c) 3420 -- x d) 5- Exercício 12 a) 473 23 +- xx b) 32196 23 ++- xxx c) 619196 23 +++ xxx

Capítulo 4 Exercício 1 a) 3 b) 3 c) a d) 2 e) 3 Exercício 2 a) )(3 yx + b) )2(3 yx - c) )( yxa + d) )(2 zyx -+ e) )32(3 zyx +- Exercício 3 a) )2)(2( -+ xx b) )3)(3( -+ xx c) )5)(5( -+ xx d) )62)(62( -+ xx e) )73)(73( -+ xx Exercício 4

a) )3( 2+x b) tipoesteéNão c) )5( 2-x d) )6( 2-x e) )32( 2+x f) )52( 2-x g) )25( 2+x h) tipoesteéNão Exercício 5 a) )1)(2( ++ xx b) )3)(2( ++ xx c) )7)(3( -+ xx d) )2)(8( +- xx e) )5)(4( ++ xx f) )6)(7( -+ xx g) )7)(9( +- xx h) )9)(6( -+ xx


- 138 -

Exercício 6 a) )3)(23( ++ xx b) )32)(2( -+ xx c) )32)(73( +- xx d) )8)(14( -+ xx e) )4)(53( ++ xx f) )76)(6( -+ xx g) )4)(92( +- xx h) )23)(52( +- xx Exercicio 7

a) )2)(2(3 -+ xx b) )2(2 2+x c) )7)(32(3 -+ xx d) )3)(3(4 -+ xx

e) )2)(1(3 +-- xx f) )3)(2(2 -+- xx g) )2)(3(21 ++ xx

Exercicio 8 a) )1)(3( +- xx b) )2)(8( -+ xx c) )7)(1(2 -+ xx d) )5)(1(2 ++- xx e) )3)(8( +- xx f) )3)(4( ++ xx Exercicio 9 a) )3)(1( ++ yx b) )2)(32( ++ yx c) )32)(23( yx -- ou )23)(23( --- yx Exercicio 10

)(3)()33()(33)( 32233332233 axaxaxxaxaaxaxaxaxaxax -+-=-+-=-Û-+-=-

))((]3))[(( 222 aaxxaxaxaxax ++-=+--= Portanto, obtemos : ))(( 2233 aaxxaxax ++-=- Exercicio 11

a) )1)(1( 2 +-+ xxx b) )42)(2( 2 +-+ xxx c) )93)(3( 2 ++- xxx

d) )164)(4( 2 ++- xxx e) )9124)(32( 2 +++ xxx f) ÷øöç

èæ ++÷

øöç

èæ - 44

1221 2 xxx

g) )931)(31( 2xxx ++- h) ÷øöç

èæ +-÷

øöç

èæ + xxyyxy 22

91

3243

12

Equação do 2º grau Exercicio 1

a) 2=x ou 3=x b) 1-=x ou 2-=x c) 54-=x ou

43=x

Exercicio 2 a) 34 -=Ú= xx b) 103 -=Ú= xx c) 212 -=Ú= xx d) 76 -=Ú-= xx Exercicio 3 a) 22 -=Ú= xx b) 55 -Ú=x c) 5=x d) 6-=x

e) 131 =Ú-= xx f) 33

2 -=Ú-= xx g) 135 =Ú-= xx h) 36 -=Ú= xx


- 139 -

Exercicio 4 a) 21 -=Ú= xx b) 23 -=Ú= xx c) 52 -=Ú= xx d) 42 -=Ú= xx Exercicio 5 a) 5±=x b) 6±=x c) 3±=x d) 4±=x e) não existe f) não existe Exercicio 6 a) 22±=x b) 53±=x c) 32±-=x d) 76±-=x e) 15 -=Ú= xx f) 82 -=Ú= xx g) Não existe h) Não existe Exercicio 7

a) 3159 ±-=x b) 2

64±-=x c) Não existe d) 15 =Ú= xx Exercicio 8

a) 9)3( 2 -+x b) 25)5( 2 -+x c) 1)1( 2 --x d) 4)2( 2 --x

e) 49

23 2

-÷øö

çèæ +x f) 4

2525 2

-÷øö

çèæ -x

Exercicio 9

a) 8)2( 2 -+x b) 6)1( 2 -+x c) 3647

65 2

+÷øö

çèæ +x d)

6415

87 2

+÷øö

çèæ +x

e) 23

232

2

-÷øö

çèæ -x f) 3

1343

2-÷

øöç

èæ +x

Exercicio 10

a) 52 ±=x b) 2

173±-=x c)

233±

=x d) 3

102 ±-=x

Exercicio 11

a) 14 =Ú-= xx b) 2

335±-=x c) 2

135±=x d) 63±=x

e) 6

135±-=x f) 12 -=Ú-= xx g) 212 =Ú-= xx h)

2102±-=x

Exercicio 12

a) 31±=x b) 72 ±-=x c) 2

113±=x d)

3104 ±-

=x


- 140 -

Exercicio 13

a) 01 >=D ; 2 soluções b) 04 =D ; 1 solução

c) 084 <-=D ; não existe d) 029 >=D ; 2 soluções Exercicio 14

a) soma ; 25

- produto ; 2 b) soma ; 2- produto ; 31

c) soma ; 25 produto ;

21

- d) soma ; 2 produto ; 4 Exercicio 15 a) 14 e b) 36 e-

Função Exponencial Exercício 1

a) 3225 ou b) 204846 ou c) 2187)3( 7 -- ou Exercício 2

a) 6482 ou b) 1000103 ou c) 129664 ou Exercício 3

a) 72936 ou b) 644,8 32 ou c) 1677721688 ou Exercício 4

a) 422 ou b) 2 c) 6426 ou Exercício 5

a) 218 b) 156 c) 54 d) 1 Exercício 6 a) 32 b) 28 Exercício 7

a) 44 3 273 ou b) 4 22 Exercício 8

a) 2 b) 2 c) 6 d) 8 e) 6 f) 21


- 141 -

Exercício 9 a) e b) c) e d) Exercício 10

a) 3=x b) 2-=x c) 23

-=x d) 23

=x e) 21

=x f) N.T.S

Exercício 11 a) 1=x b) 2=x Exercício 12 a) 32 =Ú= xx b) 1=x c) 1=x d) N.T.S Exercício 13 a) 3£x b) 0>x c) 1-³x d) 2>x Exercíco 14 a) 2-£x b) 0£x

Função logarítmica Exercíco 1 a) 1 b) 1- c) 2 d) 3 Exercíco 2

a) 25 b)

21 c)

23- d) 3

1- Exercíco 3

a) 5log1 2+ b) 5log2 3+ c) 5log2 2+- d) 3log1 7- Exercíco 4

Sejam cbX alog= , bB alog= e cC alog= , tornam-se c

baX = , baB = e caC = .

Substituindo baB = e caC = em cbaX = , deve ser aaa

aaa CBCB

C

BX -=¸== .

Portanto, cbcbCBX aaa logloglog -=Û-=


- 142 -

Exercíco 5

a) 5log2 2 b) 2log4 3- c) 3log24 2+- d) 3log21 7- Exercíco 6

a) 3log21

2 b) 3log21

2 c) 2log23

3 d) 3log23

2+

e) 2log13

3+ f) 3log1

52+

Exercício 7

aab

bbb

ba log

1loglog

log ==

Exercício 8

a) 3 b) 23 c)

25 d) 2

Exercício 9

a) ba 32 - b) 1+- ab c) 21-+ ba d)

ba

21-

Exercício 10 a) b)

c) d)

Exercício 11

a) 2=x b) 1=x c) 16=x d) 3 61

=x Exercício 12 a) 0=x b) 13=x c) 4-=x


- 143 -

Exercício 13 a) 3=x b) 27=x c) 4=x d) 16=x Exercício 14

a) 4log3=x b) 3log21

2=x c) 5log2-=x d) 2log1 3--=x Exercício 15 a) 10=x b) 6=x c) 9=x d) 5=x Exercício 16

a) 90 << x b) 3>x c) 90 << x d) 91

>x Exercício 17

a) 30 £< x b) 335

£< x c) 210 £< x

Trigonometria Exercício 1

αααsenα

ααsen

ααsenαtg

cos1

coscos2

cos1cos11 22

2

2

222 =+=+=÷

øöç

èæ+=+

Exercício 2

a) 2

1135 =°sen , 2

1135cos -=° , 1135 -=°tg

b) 23150 =°sen , 2

1150cos -=° , 3150 -=°tg Exercício 3

a) 1225,2

1225cos,2

1225 =°-=°-=° tgsen b) 3240,21240cos,2

3240 =°-=°-=° tgsen Exercício 4

a) 21330 -=°sen , 2

3330cos =° , 3

1330 -=°tg

b) 0360 =°sen , 1360cos =° , 0360 =°tg Exercício 5

a) 23420 =°sen b) 1720cos =° c)

31510 -=°tg


- 144 -

Exercício 6

a) 21870 =°sen b) 2

11320cos -=° c) 11035 -=°tg

Exercício 7

θ °0 °30 °45 °60 °90

θsen 0 21

21

23

1

θsen2 0 1 2 3 2

θ °0 °30 °45 °60 °90

θcos 1 23

21

21

0

θcos2 2 3 2 1 0 Exercício 8

Exercício 9

θ °0 °30 °45 °60 °90

θsen 0 21

2

1

23

1

θsen2 0 23

1 23

0


- 145 -

θ °0 °30 °45 °60 °90

θcos 1 23

21

21

0

θ2cos 1 21

0 21

- 1-

Exercício 10

θ °0 °60 °90 °120 °180

θsen °0 23

1 23

°0

θsen21 °0

21

2

1

23

1

θ °0 °60 °90 °120 °180

θcos 1 21

0 21

- 1-

θ21cos 1

23

21

21

0

Exercício 11 Exercício 12

θ °0 °30 °60 °90 °120 °150 °180

θsen 0 21

23

1 23

21

0

)30( °-θsen 21

- 0 21

23

1 23

21


- 146 -

θ °0 °30 °60 °90 °120 °150 °180

θcos 1 23

21

0 23

- 21

- 1-

)60cos( °+θ 21

0 23

- 21

- 1- 21

- 23

-

Exercício 13 a) )30cos( °-= θy

b) )60( °+= θseny

Exercício 14

a) [ ])30(2cos2 °-= θy


- 147 -

b) úûù

êëé °+= )60(21

21 θseny

Exercício 15 a) koukθ ´+°´°+°= 36012036060 b) koukθ ´+°´°+°= 360315360225 )( Zk Î Exercício 16 a) koukθ ´+°-´°+°= 3603036030 b) koukθ ´+°-´°+°= 360125360125 ( Zk Î ) Exercício 17 a) kθ ´°+°= 18045 b) kθ ´°+°= 180120 ( Zk Î ) Exercício 18 a) koukθ ´°+°´°+°= 360300360240 b) koukθ ´°+°´°+°= 360240360120 c) kθ ´°+°= 180150 ( Zk Î ) Exercício 19 a) kθk ´°+°<<´°+°- 36030360210 b) kθk ´°+°<<´°+° 360300360240 c) kθk ´°+°<<´°+°- 36022536045 )( ZkÎ Exercício 20 a) kθk ´°+°<<´°+° 36030036060 b) kθk ´°+°<<´°+° 360210360150 c) kθk ´°+°<<´°+°- 360135360135 )( Zk Î Exercício 21 a) kθk ´°+°£<´°+°- 1804518090 b) kθk ´°+°<<´°+° 18012018090 c) kθk ´°+°<£´°+° 1809018030 )( ZkÎ

Conjunto Exercício 1 a) { }13,11,7,5,3,2=A b) { }15,13,11,9,7,5,3,1=A Exercício 2 a) ⅰ) b) ⅰ) Exercício 3 a) AB Ì ou BA É b) AB Ë


- 148 -

Exercício 4 a) BA¹ porque BA Ì mas AB Ë b) BA = porque BA Ì e AB Ì Exercício 5 a) { }5,1=Ç BA b) { }ecaBA ,,=Ç Exercício 6 a) { }edcbaBA ,,,,=È b) ABA =È Exercício 7

é o subconjnto de e é . Portanto Ì . Exercício 8

a) 100321 b) 1000

4321 c) 500027163

Exercício 9 Îx , 1xx = . Por isso Îx . Portanto, Ì .

Exercício 10

a) 31 b) 33

70- c) 99031811

Exercício 11 Elementos

a) { }6,5,4=Ç BA b) { }7,6,5,4,2,1=È BA c) { }7=Ç BA

d) { }7,6,5,4,2,1=Ç BA e) { }7=È BA

Diagrama a) b) c) d) e)


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Exercício 12

ⅰ) a) { }4,3=Ç BA b) { }9,8,7,6,5,2,1=Ç BA c) { }6,5,4,3,2,1=È BA

d) { }9,8,7=È BA e) { }9,8,7,6,5=A f) { }9,8,7,2,1=B

g) { }9,8,7,6,5,2,1=È BA h) { }9,8,7=Ç BA

ⅱ) b) e g) , d) e h) Exercício 13 (N 0) =

Exercício 14 4)( =AN , 3)( =AN , (N 7) = Exercício 15 a) 20 b) 24 c) 22 d) 6 Exercício 16

a) 20)( =AN , 14)( =BN b) 2)( =Ç BAN c) 32)( =È BAN d) 68)( =È BAN

Sucessões Exercício １ a) 95 =a b) 815 =a c) 05 =a Exercício 2 a) 10,7,4 321 === aaa b) 3,1,1 321 -=-== aaa c) 10,5,2 321 === aaa d) 8,3,1 321 === aaa Exercício 3 a) 14 -= nan b) 63 -= nan c) 255 +-= nan d) nan 3-= Exercício 4 a) 573 +-= nan b) 373 +-= nan Exercício 5 a) 111 -=a b) 410 -=a Exercício 6

a) 15010 =S b) 88 -=S

Exercício 7

a) 22 nnS n+= b) nS n

2=


- 150 -

Exercício 8

a) 377550100 =-SS b) 910430 =-SS Exercício 9 a) 68 pormúltiplos b) 600 Exercício 10

a) nnS n 42 -= Exercício 11

a) nnS n 42 += Exercício 12

a) 15510 =S Exercício 13

a) 2 1+= nna b) )2(3 1--= n

na c) )2(2 1--= nna

Exercício 14

a) )3(2 1-´= -nna , 1625 =a b) ÷

øöç

èæ´=

-

21100

1n

na ,425

5 =a c) )2(3 1-´-= -nna , 485 -=a

Exercício 15

a) 32,2 11

-´== nnaa b) 3,9 1

1+== n

naa Exercício 16

a) 2132 -=S n b) 3

)2(22 -´-=n

nS c) ÷øöç

èæ-=

-

2132

5n

nS d) 431243

5÷øöç

èæ-+

=

-n

nS Exercício 17

a) 12 -= nnS

Exercício 18 a) 5=n Exercício 19 a) Crescente b) Decrescente c) Não tem monotonia d) Decrescente


- 151 -

Exercício 20 a) ¥=

¥®an

nlim , Divergente b) -¥=

¥®an

nlim , Divergente

c) ann ¥®lim não existe, Não tem covergência (É oscilante.) d) 0lim =

¥®an

n, Convergênte

Exercício 21

a) nnnan

1212 -=-= b) 2lim =¥®

ann

, Convergente Exercício 22 a) b) c)

Ficha Técnica

Título Pedra à Pedra Construíndo Matemática

Autor Norifumi Otsuka

Colaboradores

António Cuinica Rafael Baptista Januário Olrando Maraido Justino Langa

Revisão linguística Pedro Monteiro

Capa Germano Manuel Mausse Parruque

Composição e Arranjo Gráfico Norifumi Otsuka

Paginação Norifumi Otsuka Rafael Baptista Januário

Impressão ML Graphics, Lda

Patrocínios Ministerio de Educação e Cultula Direcção Provincial de Educação e Cultura de Gaza Escola Secundária Joaquim Chissano de Xai-Xai Agência Japonesa de Cooperação Internacional ( )

Dezembro, 2007 em Xai-Xai

Apresentação dos Elementos

Norifumi Otsuka (Autor) Licenciado em Matemática, em Ensino de Matemática pela Universidade Gakushuin, também em Ensino de Informática pela Universidade Bukkyo, no Japão. É Voluntário Japonês em Moçambique desde 2005, Leccionando a Disciplina de Matemática e Informátca na Escola Secundária Joaquim Chissano.

António Cuinica (Colaborador) Licenciado em Ensino de Matemática e Física pela Universidade Pedagógica em 2003. Professor de Matemática desde 1984, no Ensino Secundário. Actualmente Docente de Matemática na Escola Secundária Joaquim Chissano onde cumulativamente é Director Adjunto Pedagógico para Ⅱ ciclo.

Rafael Baptista Januário (Colaborador) Licenciado em Economia na Universidade del Pinar del Rio, Cuba em 2001. Professor de Matemática desde 2003, é também Docente de Noções de Empreendedorismo na Escola Secundária Joaquim Chissano.

Orlando M. Justino Langa (Colaborador) Bacharel em Engenharia de Máquinas Marítimas pelo Instituto Superior de Ciências Náuticas. É Professor de Matemática e Química na Escola Secundária Joaquim Chissano, desde 2005. Leccionando também na Escola 1º de Janeiro da Capital de Gaza.

Germano Parruque (Capa) Professor Médio, Formado em Educação Visual e Tecnológica, pelo Centro de Formação de Professores de Chibututuine, Maputo. Actualmente Professor de Desenho na Escola Secundária Joaquim Chissano, desde 2004, Leccionando também na Escola Secundária Tavene em Xai-Xai, Gaza.

Documents

Prefácio - mozambique-no-kai.netmozambique-no-kai.net/works/PedraPedraConstruindoMatematica.pdf · Prefácio Até agora, a estratégia metodológica do ensino de Matemática em Moçambique