Embed Size (px)
Citation preview
Ecuatia sine-Gordon
Octavian G. Mustafa∗
e-mail address: [email protected]
PrefataIn aceasta lucrare sunt prezentate: ecuatia cu derivate partiale a marimii
unghiului ω(u, w) facut de liniile asimptotice, reparametrizate natural, aleunei suprafete hiperbolice de curbura gaussiana constanta, si anumeωuw =
−K · sinω, respectiv principiul de superpozitie neliniar al acestei ecuatii(teorema de permutabilitate a lui L. Bianchi). In ıncheiere, este descrisa lati-cea Bianchi.
CuprinsEcuatiile Peterson-Mainardi-Codazzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Teorema de permutabilitate (L. Bianchi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Surse bibliografice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1 Ecuatiile Peterson-Mainardi-Codazzi1.1 Formula lui K.F. Gauss
Fie sistemul de referinta R = (O,−→B ), unde B = i, j, k este baza
canonica a spatiului fizic (SF), vezi [7, p. 30], si S = γ(U) o suprafata netedasimpla data de parametrizarea globala γ : U → E3 cu formula
Oγ(u, w) = x(u, w)i+ y(u, w)j + z(u, w)k
= σ(u, w), (u, w) ∈ U,
∗Acest eseu nu a fost raportat vreunui referent. In consecinta, continutul sau trebuieconsiderat ”ca atare.” Autorul va asteapta comentariile la adresa de e-mail de mai sus siva multumeste anticipat pentru efortul depus.
1
unde U ⊆ R2 este o multime deschisa si simplu conexa, iar
∂σ
∂u(u, w)× ∂σ
∂w(u, w) = 0, (u, w) ∈ U.
Au loc relatiile
σuu = Γ111σu + Γ2
11σw + Ln,σuw = Γ1
12σu + Γ212σw +Mn,
σww = Γ122σu + Γ2
22σw +Nn,(1)
respectiv nu = aσu + bσw,nw = cσu + dσw,
(2)
unde Γkij =
12gkα(∂igjα + ∂jgiα − ∂αgij) — sumare Einstein dupa α — si(
a cb d
)=
1
W 2
(FM −GL FN −GMFL− EM FM −EN
), W =
√EG− F 2,
cf. [7, pg. 32–35].In cele ce urmeaza, identitatile
(σuu)w = (σuw)u, (σww)u = (σuw)w, (nu)w = (nw)u (3)
vor fi rescrise cu ajutorul relatiilor (1), (2).Astfel, prima identitate devine
0 = (Γ111σu + Γ2
11σw + Ln)w − (Γ112σu + Γ2
12σw +Mn)u
= −Γ112σuu + (Γ1
11 − Γ212)σuw + Γ2
11σww
+ [(Γ111)w − (Γ1
12)u]σu + [(Γ211)w − (Γ2
12)u]σw
+ (Lw −Mu)n−Mnu + Lnw,
de unde
0 = [−Γ212Γ
112 + Γ2
11Γ122 + (Γ1
11)w − (Γ112)u −Ma + Lc]σu
+ [Γ211(Γ
222 − Γ1
12) + Γ212(Γ
111 − Γ2
12) + (Γ211)w − (Γ2
12)u −Mb+ Ld]σw
+ [−Γ112L+ (Γ1
11 − Γ212)M + Γ2
11N + Lw −Mu]n.
Coeficientul vectorului σu ne conduce la
Ma− Lc = −F LN −M2
EG− F 2= −FK
= −Γ212Γ
112 + Γ2
11Γ122 + (Γ1
11)w − (Γ112)u, (4)
2
undeK reprezinta curbura gaussiana a suprafetei S, vezi [7, p. 48]. Coeficien-tul vectorului σw fiind nul, deducem ca
Mb − Ld = EK
= Γ211(Γ
222 − Γ1
12) + Γ212(Γ
111 − Γ2
12) + (Γ211)w − (Γ2
12)u. (5)
In sfarsit, coeficientul vectorului n ne conduce la
Lw −Mu = Γ112L− (Γ1
11 − Γ212)M − Γ2
11N. (6)
Cea de-a doua identitate (3) se rescrie drept
0 = [Γ122Γ
111 + (Γ2
22 − Γ112)Γ
112 − Γ2
12Γ122 + (Γ1
22)u − (Γ112)w +Na−Mc]σu
+ [Γ122Γ
211 − Γ1
12Γ212 + (Γ2
22)u − (Γ212)w +Nb −Md]σw
+ [Γ122L+ (Γ2
22 − Γ112)M − Γ2
12N +Nu −Mw]n.
Coeficientii vectorilor σu si σw ne conduc la
Mc−Na = GK
= Γ122Γ
111 + (Γ2
22 − Γ112)Γ
112 − Γ2
12Γ122 + (Γ1
22)u − (Γ112)w, (7)
respectiv
Md−Nb = −FK= Γ1
22Γ211 − Γ1
12Γ212 + (Γ2
22)u − (Γ212)w. (8)
Coeficientul vectorului n fiind nul, ajungem la
Mw −Nu = Γ122L+ (Γ2
22 − Γ112)M − Γ2
12N. (9)
Prin calcul direct, via reprezentarea Liouville a curburii gaussiene [11, p.19, ecuatia (1.13)], [7, p. 50], se stabileste identitatea
K =1
W
[(W
EΓ211
)w
−(W
EΓ212
)u
](10)
= W 2(−2Eww + 4Fuw − 2Guu)
+ 4FFuFw + EG2u +GE2
w − 2GEuFw − FEwGu
− 2FEwFw − 2FFuGu +GEuGu + FEuGw
+ EEwGw − 2EFuGw.
3
Afirmam ca relatiile (4), (5), (7), (8) sunt echivalente cu (10). Acest faptse probeaza scriind curbura K din fiecare dintre aceste formule sub forma
K = a11Euu + a12Euw + a13Eww
+ b11Fuu + b12Fuw + b13Fww
+ c11Guu + c12Guw + c13Gww
+ d11E2u + d12EuEw + d13E
2w
+ e11F2u + e12FuFw + e13F
2w
+ f11G2u + f12GuGw + f13G
2w
+ g11EuFu + g12EuFw + g13EuGu + g14EuGw
+ h11EwFu + h12EwFw + h13EwGu + h14EwGw
+ i11FuGu + i12FuGw
+ j11FwGu + j12FwGw.
De exemplu, pentru a verifica echivalenta dintre (4) si (10), se folosescidentitatile
−Γ212Γ
112 =
1
4W 4(FGE2
w − F 2EwGu −EGEwGu + EFG2u)
si
Γ211Γ
122 =
1
4W 4(−2FGEuFw + FGEuGu + F 2EuGw + 4EGFuFw
− 2EGFuGu − 2EFFuGw − 2EGEwFw + EGEwGu + EFEwGw),
respectiv
(Γ111)w =
1
4W 4[−2F 2EuGw + 2GW 2Euw − 4(EG+ F 2)FwFu − 4FW 2Fuw
+ 2(EG+ F 2)FwEw + 2FW 2Eww − 2G2EuEw + 4FGEuFw
+ 4FGFuEw + 4FEFuGw − 2FGE2w − 2FEEwGw]
si
−(Γ112)u =
1
4W 4[2(EG+ F 2)FuGu + 2FW 2Guu + 2F 2GuEw
− 2GW 2Euw − 2FGEuGu − 2FEG2u + 2G2EuEw
− 4FGEwFu].
Mai departe,(W
EΓ211
)w
=1
4W 3E2[−2E2GFwEu − 2EFW 2Euw − 2E2GEwFu
4
+ 4E2W 2Fuw − 2E2W 2Eww + E2GE2w
− (3FEG− 2F 3)EuEw + E2FEuGw
− 2E3FuGw + 4E2FFuFw
+ E3EwGw − 2E2FEwFw]
si
−(W
EΓ212
)u
=1
4W 3E2[2E2GFuEw + 2EFW 2Euw + E2GEuGu
− 2E2W 2Guu + (2F 3 − 3FEG)EuEw − FE2EwGu
+ E3G2u − 2E2FFuGu].
De asemeni, echivalenta relatiilor (4) si (8) se reduce la identitatea
(Γ111 + Γ2
12)w = (Γ112 + Γ2
22)u. (11)
Cum
Γ111 + Γ2
12 =∂u(EG−F 2)2(EG−F 2)
= ∂u(lnW ),
Γ112 + Γ2
22 =∂w(EG−F 2)2(EG−F 2)
= ∂w(lnW ),(12)
relatia (11) devine [(lnW )u]w = [(lnW )w]u.Scrierea curburii K cu ajutorul marimilor E, F , G si a derivatelor aces-
tora sub forma sumei algebrice cu paisprezece termeni din identitatea (10)constituie formula lui Gauss, cf. [3, p. 234].
1.2 Reformularea relatiilor (6), (9)Avem egalitatile (
LW
)w− (M
W
)u= − L
WΓ222 + 2M
WΓ212 − N
WΓ211,(
NW
)u− (M
W
)w= − L
WΓ122 + 2M
WΓ112 − N
WΓ111.
(13)
Intr-adevar, plecand de la (6) si tinand seama de (12), deducem ca
Lw −Mu = L
(Ww
W− Γ2
22
)+M
(2Γ2
12 −Wu
W
)−NΓ2
11,
respectiv
Lw −Mu
W+ L
(−Ww
W 2
)−M
(−Wu
W 2
)= − L
WΓ222 + 2
M
WΓ212 −
N
WΓ211.
Cealalta relatie se obtine ın mod identic din (9).
5
1.3 Identitati auxiliareAu loc urmatoarele egalitati
W(EW
)u= 2FΓ2
11 + E(Γ111 − Γ2
12),
W(EW
)w= 2FΓ2
12 + E(Γ112 − Γ2
22),
W(
FW
)u= GΓ2
11 + EΓ112,
W(
FW
)w= GΓ2
12 + EΓ122,
W(
GW
)u= 2FΓ1
12 +G(Γ212 − Γ1
11),
W(
GW
)w= 2FΓ1
22 +G(Γ222 − Γ1
12).
(14)
Intr-adevar, prin calcul direct stabilim ca
W(EW
)α= 1
2W 2 [(EG− 2F 2)Eα + 2EFFα −E2Gα],
W(
FW
)α= 1
2W 2 (−FGEα + 2EGFα − FEGα),
W(
GW
)α= 1
2W 2 [−G2Eα + 2FGFα + (EG− 2F 2)Gα],
unde α ∈ u, w.
1.4 Relatiile de compatibilitate ale suprafetelorContinuam calculul scriind cea de-a treia identitate (3) ca o combinatie
liniara nula a vectorilor σu, σw, n.Coeficientii vectorilor σu si σw ne conduc la
aw − cu = cΓ111 + (d− a)Γ1
12 − bΓ122, (15)
respectiv la
bw − du = cΓ211 + (d− a)Γ2
12 − bΓ222. (16)
Coeficientul vectorului n produce urmatoarea identitate
−cL+ (a− d)M + bN = 0. (17)
Afirmam ca relatiile (15), (16) sunt echivalente cu egalitatile (13).Pentru a proba acest lucru, plecand de la (15), scriem ca
aw − cu = ∂w
(FM −GL
W 2
)− ∂u
(FN −GM
W 2
)
6
= − G
W
[(L
W
)w
−(M
W
)u
]− F
W
[(N
W
)u
−(M
W
)w
]
− L
W
(G
W
)w
+M
W
[(F
W
)w
+
(G
W
)u
]− N
W
(F
W
)u
(via (13)) = L
[F
W 2Γ122 +
G
W 2Γ222 −
1
W
(G
W
)w
]
+ M
[−2
F
W 2Γ112 − 2
G
W 2Γ212 +
1
W
(F
W
)w
+1
W
(G
W
)u
]
+ N
[F
W 2Γ111 +
G
W 2Γ211 −
1
W
(F
W
)u
]
(via (14)) = L
(G
W 2Γ112 −
F
W 2Γ122
)+M
(− G
W 2Γ111 +
E
W 2Γ122
)
+ N
(F
W 2Γ111 −
E
W 2Γ112
).
In mod analog,
bw − du =F
W
[(L
W
)w
−(M
W
)u
]+E
W
[(N
W
)u
−(M
W
)w
]
+L
W
(F
W
)w
− M
W
[(E
W
)w
+
(F
W
)u
]+N
W
(E
W
)u
= L
(G
W 2Γ212 −
F
W 2Γ222
)+M
(− G
W 2Γ211 +
E
W 2Γ222
)
+ N
(F
W 2Γ211 −
E
W 2Γ212
).
In concluzie, din cele noua relatii scalare produse de identitatile (3), sianume (4) – (9), (15) – (17), numai trei sunt independente: formula curburiigaussiene (10) si setul (6), (9) — ori, ın reformulare, (13) —. Aceste treiegalitati constituie relatiile de compatibilitate ale suprafetei S, cf. [3, p. 235].
Formulele (6), (9) se mai numesc si ecuatiile Peterson-Mainardi-Codazzi,cf. [11, p. 19].
2 Teorema de permutabilitate (L. Bianchi)2.1 Sistemul diferential al lui Bianchi
Vom presupune ın cele ce urmeaza ca suprafata S este hiperbolica: K < 0,cf. [7, p. 43]. Atunci, exista o reparametrizare a sa, notata tot cu σ = σ(u, w)
7
= OM , astfel ıncat — vezi [3, pg. 160, 164] —
L = N ≡ 0.
In particular, curbele de coordonate ζu,w : Iu,w → E3 cu formulele
ζu(q) = γ(u+ q, w), ζw(q) = γ(u, w + q), q ∈ Iu,w,
unde Iu,w = (−q0, q0) si q0 = q0(u, w), sunt linii asimptotice ın punctul M lasuprafata S. Vezi Figura 1, unde dreptele t1, t2 au ca vectori directori direc-tiile principale t1, t2 iar a1, a2 sunt generate de directiile asimptotice.
Figura 1
Conform formulei lui Euler, directiile asimptotice fac cu directia princi-pala t1 unghiurile ±ψ, unde
tan2 ψ = −k1k2.
Vezi [10, p. 242, Lemma 6.4], [7, p. 45, ecuatia (85)].Intr-adevar, daca η : I → γ(U) este o curba neteda biregulara simpla
data de formulele
r(t) = σ(u(t), w(t)) = σ(U(s(t)),W (s(t))), t ∈ I ⊆ R,
unde s = s(t) desemneaza reparametrizarea naturala a curbei, atunci are locrelatia
..r · n = [
.s (t)]2kn (18)
= (.s)2 ( dU
dsdWds
)Hσ
(dUds
dWds
)= 2(
.s)2
dU
ds
dW
ds(σuw · n),
cf. [7, p. 43, ecuatia (83)]. In cazul curbei ζu0, unde (u0, w0) ∈ U , avem
u(q) = U(s(q)) = u0 + q, w(q) = W (s(q)) = w0,
8
respectiv dWds
≡ 0.Introducem functia neteda ρ : U → (0,+∞) cu ajutorul formulei
K =LN −M2
EG− F 2= −M
2
W 2= − 1
ρ2.
Notam cu ω = ω(u, w) unghiul liniilor asimptotice ζu si ζw:
cosω =σu · σw|σu||σw| =
F√EG
, sinω =
√1− F 2
EG=
W√EG
.
Introducem functiile netede a, b : U → (0,+∞) cu ajutorul formulelor
E = (ρa)2, G = (ρb)2.
Evident,
W =√EG sinω = ρ2ab sinω,
F = ρ2ab cosω,M = W
ρ= ρab sinω.
(19)
Ecuatiile Peterson-Mainardi-Codazzi (13) se rescriu ca −ρw + 2Γ112ρ = 0,
−ρu + 2Γ212ρ = 0.
(20)
Avem
Γ112 =
GEw − FGu
2W 2=
(ρa)w − (ρb)u cosω
ρa sin2 ω,
respectiv
Γ212 =
−FEw + EGu
2W 2=
(ρb)u − (ρa)w cosω
ρb sin2 ω,
ceea ce ne permite sa rescriem sistemul (20) drept(ρb)u − (ρa)w cosω = bρu
2sin2 ω,
(ρa)w − (ρb)u cosω = aρw2
sin2 ω.(21)
Extragem marimea (ρa)w din cea de-a doua dintre ecuatiile (21) si o intro-ducem ın prima ecuatie:
(1− cos2 ω)(ρb)u − aρw2
sin2 ω cosω =bρu2
sin2 ω.
9
Am obtinut relatia
(ρb)u − b
2ρu − a
2ρw cosω = 0. (22)
Introducand marimea (ρb)u din egalitatea (22) ın cea de-a doua ecuatie(21), ajungem la
(ρa)w − b
2ρu cosω − a
2ρw = 0. (23)
Calculam ın continuare expresia din formula (10) a curburii gaussiene:
W
EΓ112 =
ρ2ab sinω
ρ2a2· (ρb)u − (ρa)w cosω
ρb sin2 ω
(via (21)) =ρu2ρ
· basinω,
respectiv
2W 2Γ211 = −FEu + 2EFu − EEw
= −ρ2ab cosω · 2ρa(ρa)u + 2ρ2a2(ρa · ρb · cosω)u− ρ2a2 · 2ρa(ρa)w= 2ρ3a3 · (ρb)u cosω − 2ρ4a3b sinω · ωu − 2ρ3a3(ρa)w
(via (21)) = 2ρ3a3[(ρa)w − aρw
2sin2 ω
]− 2ρ4a3b sinω · ωu − 2ρ3a3(ρa)w
= −ρ3a4ρw sin2 ω − 2ρ4a3b sinω · ωu,
de unde, tinand seama de (19), obtinem ca
W
EΓ211 = − a
2b· ρwρ
sinω − ωu.
In sfarsit,
K = − 1
ρ2
=1
ρ2ab sinω
[−1
2
(aρwbρ
sinω
)w
− ωuw −(bρuaρ
sinω
)u
],
de unde
ωuw +1
2
(aρwbρ
sinω
)w
+1
2
(bρuaρ
sinω
)u
− ab sinω = 0. (24)
10
Desfacand parantezele ın (22), (23) si tinand seama de (24), ajungem lasistemul diferential al lui L. Bianchi:
aw + ρw2ρa− ρu
2ρb cosω = 0,
bu +ρu2ρb− ρw
2ρa cosω = 0,
ωuw + 12
(aρwbρ
sinω)w+ 1
2
(bρuaρ
sinω)u− ab sinω = 0,
(25)
cf. [11, p. 21].Daca marimea ρ este constanta, atunci sistemul diferential Bianchi devine
aw = bu = 0, ωuw − ab sinω = 0,
de unde a = a(u), b = b(w). De asemeni, E = (ρ0a)2 = E(u) si G =
(ρ0b)2 = G(w), asadar curbele de coordonate formeaza o retea Cebasev, pe
care o reparametrizam natural — vezi [3, p. 100, Exercises 7, 8] —:
u′ =∫ √
E(u)du, w′ =∫ √
G(w)dw. (26)
Ecuatia cu derivate partiale a marimii ω se rescrie ca
ωu′w′ =1
ρ20sinω (= −K sinω) (27)
si este denumita ın literatura ecuatia sine-Gordon cf. [11, p. 21], [3, p. 237,Exercise 5].
2.2 Derivarea bazelor ortonormateFie C = i1, j1, k1 o baza ortonormata mobila a spatiului liniar TR3, cf.
[7, p. 26]. Au loc relatiile
∂u
i1j1k1
= ω ×
i1j1k1
, ∂w
i1j1k1
= Ω×
i1j1k1
,
unde — vezi [7, p. 27] —
ω =1
2
∑i1 × ∂ui1, Ω =
1
2
∑i1 × ∂wi1. (28)
Identitatile ∂w(∂up) = ∂u(∂wp), unde p ∈ C, ne conduc la relatiile decompatibilitate
(ω × p)w = (Ω× p)u, p ∈ C. (29)
11
In cele ce urmeaza, vom proba identitatile (29) tinand seama de (28) side egalitatile
(a× b) · (c× d) =
∣∣∣∣ a · c a · db · c b · d
∣∣∣∣ , (30)
cf. [7, p. 47], respectiv identitatea lui Jacobi [2, p. 68, Example 3.2]
a× (b× c) + b× (c× a) + c× (a× b) = 0. (31)
Ne rezumam la cazul p = i1. Astfel, avem relatiile(i1 × ∂αi1)× i1 = ∂αi1,(q × ∂αq)× i1 = −(i1 · ∂αq)q,
unde α ∈ u, w si q ∈ j1, k1.Egalitatea (29) se rescrie ca
(∂wi1 · ∂uj1)j1 + (i1 · ∂uj1)∂wj1 + (∂wi1 · ∂uk1)k1 + (i1 · ∂uk1)∂wk1= (∂ui1 · ∂wj1)j1 + (i1 · ∂wj1)∂uj1 + (∂ui1 · ∂wk1)k1 + (i1 · ∂wk1)∂uk1,
respectiv
(∂wi1 · ∂uj1 − ∂ui1 · ∂wj1)j1 + (∂wi1 · ∂uk1 − ∂ui1 · ∂wk1)k1= −[(i1 · ∂uj1)∂wj1 + (i1 · ∂uk1)∂wk1] + [(i1 · ∂wj1)∂uj1 + (i1 · ∂wk1)∂uk1]= −Ω× [(i1 · ∂uj1)j1 + (i1 · ∂uk1)k1] + ω × [(i1 · ∂wj1)j1 + (i1 · ∂wk1)k1]= −Ω× [(−∂ui1 · j1)j1 + (−∂ui1 · k1)k1] + ω × [(−∂wi1 · j1)j1+(−∂wi1 · k1)k1] = Ω× ∂ui1 − ω × ∂wi1
= Ω× (ω × i1) + ω × (i1 × Ω) = −i1 × (Ω× ω), (via (31))
de unde — conform (30) —
(Ω× ω)× i1
= (∂wi1 · ∂uj1 − ∂ui1 · ∂wj1)j1 + (∂wi1 · ∂uk1 − ∂ui1 · ∂wk1)k1=
(∣∣∣∣Ω · ω Ω · j1i1 · ω 0
∣∣∣∣−∣∣∣∣ ω · Ω ω · j1i1 · Ω 0
∣∣∣∣)j1
+
(∣∣∣∣Ω · ω Ω · k1i1 · ω 0
∣∣∣∣−∣∣∣∣ ω · Ω ω · k1i1 · Ω 0
∣∣∣∣)k1
= [(Ω · i1)(ω · j1)− (Ω · j1)(ω · i1)]j1+[(Ω · i1)(ω · k1)− (Ω · k1)(ω · i1)]k1=
∣∣∣∣Ω · i1 Ω · j1ω · i1 ω · j1
∣∣∣∣ j1 +∣∣∣∣Ω · i1 Ω · k1ω · i1 ω · k1
∣∣∣∣ k1= [(Ω× ω) · (i1 × j1)]j1 + [(Ω× ω) · (i1 × k1)]k1
= (k1 × j1)× (Ω× ω).
12
Identitatea (29) este, asadar, probata.
2.3 Transformarea Backlund a ecuatiei (27)In continuare, suprafata hiperbolica S este considerata pseudosferica:
K = − 1
ρ20< 0 (= constant) (32)
iar parametrizarea globala σ = σ(u, w) are proprietatea ca ζu,w sunt parame-trizate natural — vezi (26) —. In particular, E = σ2
u = 1, G = σ2w = 1,
respectiv — via (19) —
F = cosω, W = |σu × σw| = sinω, M =sinω
ρ0.
Figura 2
Introducem o baza ortonormata D = i1, j1, k1 a spatiului liniar TR3 cuformulele
i1 = σu, j1 = k1 × i1, k1 = n =σu × σwsinω
.
Evident, (M,−→D ) reprezinta triedrul Darboux al curbei de coordonate ζu, cf.
[7, p. 43].Fie L ∈ (0, ρ0] fixat si M
′ ∈ TM astfel ıncat |MM ′| = L. Vezi Figura 2.Afirmam ca punctul M ′ se gaseste pe suprafata pseudosferica S ′, iar curburagaussiana a acesteia este data de (32) (Bianchi).
13
Pentru a proba aceasta, ıncepem prin a rescrie ecuatiile (1), (2):
σuu = ωucotanω · σu − ωucosecω · σw,σuw = sinω
ρ0n,
σww = −ωwcosecω · σu + ωwcotanω · σw,respectiv
nu = cotanωρ0
σu − cosecωρ0
σw,
nw = − cosec ωρ0
σu +cotan ω
ρ0σw.
Cum
j1 = n× i1 =1
sinω[(σu × σw)× σu] =
1
sinω(−Fσu + σw)
= −cotanω · σu + cosecω · σw, (33)
obtinem ca — [11, p. 23, ecuatia (1.29)] —
∂u
i1j1k1
=
0 −ωu 0ωu 0 1
ρ0
0 − 1ρ0
0
i1j1k1
= ω ×
i1j1k1
, (34)
unde ω = 1ρ0i1 − ωuk1, respectiv
∂w
i1j1k1
=
0 0 sinωρ0
0 0 − cosωρ0
− sinωρ0
cosωρ0
0
i1j1k1
= Ω×
i1j1k1
,
unde1
Ω = −cosω
ρ0i1 − sinω
ρ0j1 = − 1
ρ0σw. (35)
Observam ca
(ω × i1)w = −ωuwj1 − ωu∂wj1 = −ωuwj1 − ωu(Ω× j1)
= −ωuwj1 +ωu cosω
ρ0k1
si
(Ω× i1)u =ωu cosω
ρ0k1 +
sinω
ρ0∂uk1 =
ωu cosω
ρ0k1 +
sinω
ρ0(ω × k1)
= −sinω
ρ20j1 +
ωu cosω
ρ0k1,
1Avem σw ·(n×σu) = (n, σu, σw) = (σu, σw, n) = (σu×σw)· σu×σw
|σu×σw | = |σu×σw| = sinω.
14
adica identitatea (29) este echivalenta cu ecuatia sine-Gordon.Introducem functia neteda Φ : U → R cu formula
MM ′ = L(cos Φi1 + sinΦj1). (36)
Atunci, cu notatia OM ′ = σ′(u, w), deducem ca
σ′u = σu + ∂u(MM ′)
= [1− L sinΦ · (Φu − ωu)]i1 + [L cosΦ · (Φu − ωu)]j1 +L
ρ0sinΦk1,
respectiv — via (35) —
σ′w = σw − L sinΦ · Φwi1 + L cosΦ · Φwj1 +
L
ρ0sin(ω − Φ)k1
= (cosω − L sinΦ · Φw)i1 + (sinω + L cos Φ · Φw)j1
− L
ρ0sin(ω − Φ)k1.
Cerem ca (σ′u)
2 = 1, ceea ce ne conduce la ecuatia algebrica
[(Φ− ω)u]2 − 2
sinΦ
L· (Φ− ω)u +
sin2Φ
ρ20= 0,
de unde
(Φ− ω)u =sinΦ
L
(1±
√1− L2
ρ20
), (37)
respectiv (σ′w)
2 = 1, de unde
Φ2w − 2
sin(Φ− ω)
L· Φw +
sin2(Φ− ω)
ρ20= 0
si
Φw =sin(Φ− ω)
L
(1±
√1− L2
ρ20
). (38)
Din cele patru posibilitati oferite de solutiile (37), (38), alegem o perechecare sa satisfaca relatia de compatibilitate (Φu)w = (Φw)u:
Φu = ωu +βρ0sin Φ,
Φw = 1βρ0
sin(Φ− ω),(39)
15
unde β = ρ0L
(1−
√1− L2
ρ20
), cf. [11, p. 24, ecuatia (1.35)]. Astfel, plecand de
la prima dintre ecuatiile (39), stabilim ca
Φuw = ωuw +β
ρ0cosΦ · 1
βρ0sin(Φ− ω)
(via (27)) =1
ρ20[sinω + cosΦ sin(Φ− ω)]
=1
ρ20sinΦ cos(Φ− ω)
=1
βρ0cos(Φ− ω) · (Φ− ω)u = ∂u
(1
βρ0sin(Φ− ω)
).
In particular, ecuatia sine-Gordon este echivalenta cu conditia de compatibili-tate a relatiilor (39).
Asadar,
σ′u =
(1− Lβ
ρ0sin2Φ
)i1 +
Lβ
ρ0sin Φ cosΦj1 +
L
ρ0sin Φk1
si
σ′w =
[cosω − L sinΦ
βρ0sin(Φ− ω)
]i1 +
[sinω +
L cosΦ
βρ0sin(Φ− ω)
]j1
− L
ρ0sin(Φ− ω)k1.
Mai departe,
σ′u · σ′
w = cosω −(L
βρ0+Lβ
ρ0
)sinΦ sin(Φ− ω)
= cosω − 2 sinΦ sin(Φ− ω) = cos(2Φ− ω)
si
|σ′u × σ′
w|2 = (σ′u)
2(σ′w)
2 − (σ′u · σ′
w)2 = 1− cos2(2Φ− ω)
= sin2(2Φ− ω). (40)
Apoi,
σ′u × σ′
w = c1i1 + c2j1 + c3k1,
unde
c1 = − L
ρ0
[(Lβ
ρ0+
L
βρ0
)sinΦ cosΦ sin(Φ− ω) + sinΦ sinω
]
= − L
ρ0sinΦ sin(2Φ− ω),
16
respectiv
c2 =L
ρ0[sin(Φ− ω) + sinΦ cosω]− L
ρ0
(Lβ
ρ0+
L
βρ0
)sin2Φ sin(Φ− ω)
=L
ρ0cosΦ sin(2Φ− ω)
si
c3 = sinω +L
βρ0cosΦ sin(Φ− ω)− Lβ
ρ0sinΦ cos(Φ− ω)
= sinω +
(2− Lβ
ρ0
)cosΦ sin(Φ− ω)− Lβ
ρ0sin Φ cos(Φ− ω)
=
(1− Lβ
ρ0
)sin(2Φ− ω).
Tinand seama de (40), obtinem
n′ =σ′u × σ′
w
|σ′u × σ′
w|= − L
ρ0sinΦi1 +
L
ρ0cosΦj1 +
(1− Lβ
ρ0
)k1, (41)
cf. [11, p. 25, ecuatia (1.41)].Apoi,
n′u = −L cos Φ
ρ0(Φ− ω)ui1 −
[L sinΦ
ρ0(Φ− ω)u +
1
ρ0
(1− Lβ
ρ0
)]j1
+L cos Φ
ρ20k1
(via (39)) = −Lβρ20
sin Φ cosΦi1 +
(− 1
ρ0+Lβ
ρ20cos2Φ
)j1 +
L cosΦ
ρ20k1
si
n′w = −
[L cosΦ
ρ0Φw +
(1− Lβ
ρ0
)sinω
ρ0
]i1
+
[−L sinΦ
ρ0Φw +
(1− Lβ
ρ0
)cosω
ρ0
]j1 −
L
ρ20cos(Φ− ω)k1
=
[− L
βρ20cosΦ sin(Φ− ω)− sinω
ρ0+
1
ρ0
(2− L
βρ0
)sinω
]i1
+
[− L
βρ20sinΦ sin(Φ− ω) +
cosω
ρ0− 1
ρ0
(2− L
βρ0
)cosω
]j1
17
− L
ρ20cos(Φ− ω)k1
=
(sinω
ρ0− L
βρ20sinΦ cos(Φ− ω)
)i1 (42)
+
[−cosω
ρ0+
L
βρ20(cosω − sin Φ sin(Φ− ω))
]j1 (43)
− L
ρ20cos(Φ− ω)k1 (44)
=
[L
2βρ20sin(ω − 2Φ) +
1
ρ0
(1− L
2βρ0
)sinω
]i1
+
[L
2βρ20cos(ω − 2Φ)− 1
ρ0
(1− L
2βρ0
)cosω
]j1 −
L
ρ20cos(Φ− ω)k1,
cf. [11, p. 25, ecuatiile (1.42), (1.43)].Au loc relatiile
σ′u · n′
u = −σ′uu · n′ = −L′
=Lβ
ρ20
(L
βρ0+Lβ
ρ0− 2
)sin Φ cosΦ = 0,
respectiv — tinand seama de (42) – (44) —
σ′w · n′
w = −σ′ww · n′ = −N ′
=L
βρ20sin 2(ω − Φ) +
L2
β2ρ30sin(Φ− ω) cos(Φ− ω)
+L2
ρ30sin(Φ− ω) cos(Φ− ω)
=L
βρ20sin 2(ω − Φ)
+L
βρ20
(Lβ
ρ0+
L
βρ0
)sin(Φ− ω) cos(Φ− ω)
=L
βρ20[sin 2(ω − Φ) + sin 2(Φ− ω)] = 0
si
σ′u · n′
w = −σ′uw · n′ = −M
=1
ρ0
(sinω − L
βρ0sinΦ cos(Φ− ω)
)
− Lβ
ρ20(sin2Φ sinω + sin Φ cosΦ cosω)
18
+L2
ρ30[sin3Φcos(Φ− ω) + sinΦ cosΦ cosω
− sin2ΦcosΦ sin(Φ− ω)− sinΦ cos(Φ− ω)]
=1
ρ0(sinω − 2 sinΦ cos(Φ− ω))
+Lβ
ρ20[sin Φ cos(Φ− ω)− sin2Φ sinω − sin Φ cosΦ cosω]
=1
ρ0sin(ω − 2Φ).
In concluzie, pentru orice (u, w) ∈ U , avem
E ′ = G′ = 1, F ′ = cos(2Φ− ω), L′ = N ′ = 0, M ′ =sin(2Φ− ω)
ρ0.
Conform teoremei lui O. Bonnet [3, p. 236], exista suprafata parametri-zata neteda γ′ : U → E3 caracterizata de — [7, p. 31] —
Gσ′ =
(1 cos(2Φ− ω)
cos(2Φ− ω) 1
), Hσ′ =
(0 sin(2Φ−ω)
ρ0sin(2Φ−ω)
ρ00
).
Astfel, conform (40),
K ′ =L′N ′ − (M ′)2
E ′G′ − (F ′)2= − 1
ρ20= K.
Via (18), curbele de coordonate (ζ ′)u,w sunt linii asimptotice, ın parame-trizare naturala, ale supratei simple S ′ = γ′(U). Vezi Figura 2.
Atunci, marimea ω′ = 2Φ− ω a unghiului facut de liniile asimptotice ınM ′ ale suprafetei S ′ va satisface ecuatia sine-Gordon
(ω′)uw =1
ρ20sinω′. (45)
In concluzie, daca ω este o solutie a ecuatiei sine-Gordon iar ω′ o functieneteda care satisface relatiile (39):
(Bβ)
(ω′−ω
2
)u= β
ρ0sin ω′+ω
2,(
ω′+ω2
)w= 1
βρ0sin ω′−ω
2,
(46)
atunci ω′ este si ea solutie a ecuatiei sine-Gordon (45).
19
Sistemul (46) desemneaza transformarea A.V. Backlund de parametru βa ecuatiei (27), cf. [11, p. 26, ecuatia (1.47)]. Tinand seama de (33), relatia(36) ne conduce la — ω′ = 2Φ− ω —
σ′ = σ +L
sinω
[sin
(ω − ω′
2
)σu + cos
(ω + ω′
2
)σw
].
Aceasta expresie justifica formula transformarilor Lie-Backlund, vezi [8, p.23, ecuatia (54)], [1, pg. 9, 17–18, 47], [6, pg. 253–254]. O critica a termi-nologiei poate fi citita ın [9, pg. 286, 375].
In teoria sistemelor integrabile este utilizata si ecuatia sinh-Gordon
ωzz = − sinhω (∆ω + sinhω coshω = 0),
cf. [4, p. 55]. O transformare Backlund pentru ecuatia sinh-Gordon se gaseste ın
[5, p. 101 si urm.].
Plecand de la formula (41), putem stabili semnificatia parametrului β.Vezi Figura 3.
Figura 3
Astfel, cos ζ = n′ · n = 1− Lβρ0
=√
1− L2
ρ20, de unde
β =ρ0L
(1−
√1− L2
ρ20
)=
Lρ0
1 +√
1− L2
ρ20
=sin ζ
1 + cos ζ= tan
ζ
2,
cf. [11, p. 26], [1, p. 16].
2.4 Teorema de permutabilitate a ecuatiei (27)Fie ω o solutie a ecuatiei sine-Gordon si ω1, ω2 doua functii netede obtinute
aplicandu-i acesteia transformarile Backlund Bβ1 , Bβ2 , unde β1, β2 > 0. Vezi
20
Figura 4. Atunci, aplicand transformarea Bβ2 functiei ω1 ajungem la acceasifunctie Ω la care s-ar ajunge daca am aplica transformarea Bβ1 functiei ω2.Acesta este continutul teoremei de permutabilitate a lui Bianchi.
Demonstratia teoremei2 se realizeaza ın doi pasi. Mai ıntai stabilim for-mula prezumtivei solutii Ω, si anume
Ω = ω + 4 · arctan(β2 + β1β2 − β1
tanω2 − ω1
4
). (47)
La pasul al doilea verificam ca functia Ω din (47) satisface ecuatia sine-Gordon:
Ωuw =1
ρ20sinΩ.
Figura 4
Asadar, au loc relatiile
(ω1)u = ωu +2β1
ρ0sin ω1+ω
2,
(ω2)u = ωu +2β2
ρ0sin ω2+ω
2,
respectiv
Ωu = (ω1)u +2β2
ρ0sin Ω+ω1
2,
Ωu = (ω2)u +2β1
ρ0sin Ω+ω2
2.
De aici,
0 = (ω2 − ω1)u +2β1ρ0
sinΩ + ω2
2− 2β2
ρ0sin
Ω + ω1
2
=2β1ρ0
(sin
Ω + ω2
2− sin
ω1 + ω
2
)− 2β2
ρ0
(sin
Ω + ω1
2− sin
ω2 + ω
2
)2Probarea teoremelor de permutabilitate prin metode de scattering invers este discutata
ın [6, p. 247].
21
si
0 = β1 sin(Ω− ω) + (ω2 − ω1)
4− β2 sin
(Ω− ω)− (ω2 − ω1)
4.
Desfacand parantezele, obtinem
0 = (β1 − β2) sinΩ− ω
4cos
ω2 − ω1
4+ (β1 + β2) cos
Ω− ω
4sin
ω2 − ω1
4,
respectiv
tanΩ− ω
4=β2 + β1β2 − β1
tanω2 − ω1
4,
cf. [11, p. 29].Incepem pasul al doilea cu estimarile auxiliare
(ω2 − ω1)u(ω2 − ω1)w
=4
ρ20
(β2 sin
ω2 + ω
2− β1 sin
ω1 + ω
2
)
×(
1
β2sin
ω2 − ω
2− 1
β1sin
ω1 − ω
2
)
=2
ρ20
cosω ·
[2−
(β2β1
+β1β2
)cos
ω2 − ω1
2
]
+ sinω ·(β2β1
− β1β2
)sin
ω2 − ω1
2
+ cosω2 + ω1
2·(β2β1
+β1β2
− 2 cosω2 − ω1
2
). (48)
Fie γ = β2+β1
β2−β1. Atunci,
β2β1
+β1β2
= 2 · γ2 + 1
γ2 − 1. (49)
Conform (47), avem
Ωuw =1
ρ20· 1(
1 + γ2 tan2 ω2−ω1
4
)2 · (c1 sinω + c2 cosω + c3), (50)
unde
c1 =
(1 + γ2 tan2 ω2 − ω1
4
)2
− γ(γ2 − 1) tanω2 − ω1
4
×(1 + tan2 ω2 − ω1
4
)(β2β1
− β1β2
)sin
ω2 − ω1
2,
22
respectiv
c2 = −γ(γ2 − 1) tanω2 − ω1
4
(1 + tan2
ω2 − ω1
4
)
×[2−
(β2β1
+β1β2
)cos
ω2 − ω1
2
]
si
c3 = γ
(1 + tan2 ω2 − ω1
4
)(1 + γ2 tan2 ω2 − ω1
4
)(sinω2 − sinω1)
− γ(γ2 − 1) tanω2 − ω1
4
(1 + tan2 ω2 − ω1
4
)
×(β2β1
+β1β2
− 2 cosω2 − ω1
2
)cos
ω2 + ω1
2.
Avem identitatile elementare
sin(4arctanx) =4x(1− x2)
(1 + x2)2, cos(4arctanx) =
x4 − 6x2 + 1
(1 + x2)2. (51)
Atunci,
sin Ω =1(
1 + γ2 tan2 ω2−ω1
4
)2 · (d1 sinω + d2 cosω), (52)
unde — via (51) —
d1 = γ4 tan4 ω2 − ω1
4− 6γ2 tan2 ω2 − ω1
4+ 1
si
d2 = 4γ tanω2 − ω1
4
(1− γ2 tan2 ω2 − ω1
4
).
Identitatea c1 = d1 se rescrie ca
8γ2 tan2ω2 − ω1
4= γ(γ2 − 1) tan
ω2 − ω1
4
(1 + tan2 ω2 − ω1
4
)
× β22 − β2
1
β1β2sin
ω2 − ω1
2,
respectiv ca
8γ tan x =4β2β1β2 − β1
· 1
cos2 x· β2 + β1β2β1
· sin 2x,
23
unde x = ω2−ω1
4.
Identitatea c2 = d2 este echivalenta cu — via (49) —
4(1− γ2 tan2 x) + (γ2 − 1)(1 + tan2 x)
(2− 2
γ2 + 1
γ2 − 1cos 2x
)= 0.
In sfarsit, identitatea c3 = 0 se rescrie ca
2 sin 2x · (1 + γ2 tan2 x)− (γ2 − 1) tanx ·(2γ2 + 1
γ2 − 1− 2 cos 2x
)= 0.
Estimarile (50), (52) arata ca functia Ω din (47) verifica ecuatia sine-Gordon.
Figura 5
2.5 Laticea BianchiTeorema de permutabilitate a lui Bianchi permite calculul unei familii
de solutii ale ecuatiei sine-Gordon prin mijloace pur algebrice (fara cuadra-turi). Vezi Figura 5, unde solutia Ω = ω123 a fost obtinuta prin aplicareatranformarilor Backlund de parametri β1, β2, β3 > 0.
Solutiile obtinute prin aplicari succesive ale teoremei de permutabilitatealcatuiesc laticea Bianchi, cf. [11, p. 30], [6, pg. 250–251].
2.6 Transformari Backlund: metoda ClairinFiind date solutiile z si z1 ale ecuatiei sine-Gordon
uxy = sin u,
24
cautam functiile netede f , g astfel ıncatzx = f(z, z1, z1x),
zy = g(z, z1, z1y).
Relatia de compatibilitate (zx)y = (zy)x ne conduce la
∂f
∂z· zy + ∂f
∂z1· z1y +
∂f
∂z1x· z1xy =
∂g
∂z· zx + ∂g
∂z1· z1x +
∂g
∂z1y· z1xy,
respectiv la
ψ = sin z1 ·(∂f
∂z1x− ∂g
∂z1y
)− ∂g
∂z1· z1x +
∂f
∂z1· z1y −
∂g
∂z· zx + ∂f
∂z· zy
= sin z1 ·(∂f
∂z1x− ∂g
∂z1y
)− ∂g
∂z1· z1x +
∂f
∂z1· z1y −
∂g
∂z· f +
∂f
∂z· g
= 0. (53)
Incercam, prin derivari succesive, sa eliminam prezenta explicita a can-titatii z1 din identitati, cf. [1, pg. 20–21]. Astfel,
∂ψ
∂z1x= sin z1 · ∂2f
∂(z1x)2− ∂g
∂z1+
∂2f
∂z1∂z1x· z1y −
∂g
∂z· ∂f∂z1x
+∂2f
∂z∂z1x· g
= 0 (54)
si
∂ψ
∂z1y= − sin z1 · ∂2g
∂(z1y)2− ∂2g
∂z1∂z1y· z1x +
∂f
∂z1− ∂2g
∂z∂z1y· f +
∂f
∂z· ∂g∂z1y
= 0, (55)
respectiv
∂2ψ
∂z1x∂z1y
= − ∂2g
∂z1∂z1y+
∂2f
∂z1∂z1x− ∂2g
∂z∂z1y· ∂f∂z1x
+∂2f
∂z∂z1x· ∂g∂z1y
= 0. (56)
Mai departe,
∂3ψ
∂z1x∂(z1y)
2= − ∂3g
∂z1∂(z1y)2− ∂3g
∂z∂(z1y )2· ∂f∂z1x
+∂2f
∂z∂z1x· ∂2g
∂(z1y)2= 0 (57)
si
∂3ψ
∂(z1x)2∂z1y
=∂3f
∂z1∂(z1x)2− ∂2g
∂z∂z1y· ∂2f
∂(z1x)2+
∂3f
∂z∂(z1x)2· ∂g∂z1y
= 0. (58)
25
In sfarsit,
∂4ψ
∂(z1x)2∂(z1y)
2= − ∂3g
∂z∂(z1y )2· ∂2f
∂(z1x)2+
∂3f
∂z∂(z1x)2· ∂2g
∂(z1y)2= 0.
Aceasta identitate arata ca expresiile implicate nu depind de z1x, z1y , adica
∂3g∂z∂(z1y)
2
∂2g∂(z1y)
2
=
∂3f∂z∂(z1x)
2
∂2f∂(z1x)
2
= h(z, z1),
unde functia h este neteda. Pentru simplitate, alegem h ≡ 0.Ecuatia liniara (
∂2f
∂(z1x)2
)z
= h(z, z1) · ∂2f
∂(z1x)2= 0
ne conduce la ∂2f/∂(z1x)2 = A0(z
1, z1x) pentru o functie neteda oarecare A0,de unde, prin integrari succesive, obtinem
f(z, z1, z1x) = A(z1, z1x) +B(z, z1)z1x + C(z, z1). (59)
In mod analog,
g(z, z1, z1y) = D(z1, z1y) + E(z, z1)z1y + F (z, z1). (60)
Introducem expresiile (59), (60) ın (57):
− ∂3D
∂z1∂(z1y)2+∂B
∂z· ∂2D
∂(z1y)2= 0,
de unde rezulta ca functia ∂B∂z
nu depinde de z, si anume(∂2D∂(z1y)
2
)z1
∂2D∂(z1y)
2
=∂B
∂z= G(z1).
Pentru simplitate, luam G ≡ 0. Astfel,
B(z, z1) = B(z1), D(z1, z1y) = H(z1y) + I(z1)z1y + J(z1).
Luand J ≡ 0 si E ≡ 0 ın (60), obtinem urmatoarea formula pentru functiag:
g(z, z1, z1y) = H(z1y) + I(z1)z1y + F (z, z1). (61)
26
In mod analog, via (58), gasim formula functiei f :
f(z, z1, z1x) = J(z1x) +K(z1)z1x + C(z, z1), (62)
cf. [1, p. 22, ecuatiile (7.17), (7.18)].Introducand formulele (61), (62) ın (56), respectiv (55), obtinem ca
−I ′ +K ′ = 0 (63)
si
− sin z1 ·H ′′ + (−I ′ +K ′) · z1x +∂C
∂z1+∂C
∂z(H ′ + I) = 0.
Ultima relatie se rescrie — via (63) — drept
− sin z1 ·H ′′ +∂C
∂z·H ′ = − ∂C
∂z1− ∂C
∂z· I. (64)
Cum expresia din dreapta nu depinde de z1y , deducem ca nici expresia dinstanga nu poate depinde de z1y , adica H
′ = H ′′ ≡ 0. Pentru simplitate, luamH ≡ 0. Am ajuns la formula
g(z, z1, z1y) = I(z1)z1y + F (z, z1). (65)
In mod asemanator, pe baza relatiei (54), deducem ca
f(z, z1, z1x) = K(z1)z1x + C(z, z1). (66)
In plus, — reamintesc partea dreapta a relatiei (64) — au loc ecuatiileauxiliare
∂C∂z1
+ ∂C∂z
· I = 0,
∂F∂z1
+ ∂F∂z
·K = 0.(67)
Luand −I = K ≡ 1, ecuatiile anterioare au solutiile generale
C(z, z1) = C(z + z1), F (z, z1) = F (z − z1).
Identitatea (53) ne conduce la — pe baza (67) —
0 = 2 sin z1 − C · ∂F∂z
+ F · ∂C∂z
− z1x
(∂F
∂z1+∂F
∂z
)+ z1y
(∂C
∂z1− ∂C
∂z
)= 2 sin z1 + ∂z1 [F (z − z1) · C(z + z1)], (68)
27
respectiv la
0 = ∂2zz1[F (z − z1) · C(z + z1)]
= F (z − z1)C ′′(z + z1)− F ′′(z − z1)C(z + z1).
Identitatea
C ′′(z + z1)
C(z + z1)=F ′′(z − z1)
F (z − z1)
implica, ın urma transformarilor z = z1 si x = z1
2, egalitatea
C ′′(x)C(x)
= c ∈ R, x ∈ R.
De asemeni, transformarile z1 = −z si x = z2ne conduc la
F ′′(x)F (x)
= c, x ∈ R.
Astfel,
C ′′(z + z1)
C(z + z1)=F ′′(z − z1)
F (z − z1)= c. (69)
Daca avem c = L2, unde L > 0, atunci identitatea (68) se rescrie ca
0 = 2 sin z1 + 2L(c1 · e2Lz1 − c2 · e−2Lz1), ci ∈ R,
adica am ajuns la o contradictie. Cazul L = 0 se elimina ın mod analog.In concluzie, am obtinut formulele marimilor C, F — aici, c = −L2, unde
L > 0 —C(z + z1) = c11 cosL(z + z1) + c12 sinL(z + z1),F (z − z1) = c21 cosL(z − z1) + c22 sinL(z − z1),
cij ∈ R.
Identitatea (68) devine
2 sin z1 − L(c11c21 + c12c22) sin(2Lz1)− L(c11c22 − c12c21) cos(2Lz
1) = 0,
ceea ce ne permite sa alegem marimea L si coeficientii cij astfel:
L =1
2, c11 = c21 = 0, c12 = 2β, c22 =
2
β, β > 0.
28
In concluzie, am obtinut formulele urmatoare pentru functiile f , g:
f(z, z1, z1x) = z1x + 2β sin z+z1
2,
g(z, z1, z1y) = −z1y + 2βsin z−z1
2.
Aceasta este metoda lui J. Clairin (1903) de constructie a transformarilorBacklund, cf. [6, p. 253], [1, p. 20].
In literatura clasica, transformarile Backlund sunt expresii de forma
f(x, y, z, zx, zy, x1, y1, z1, z1x1 , z
1y1) = 0
care fac legatura ıntre “elementele de suprafata”
(x, y, z, zx, zy) si (x1, y1, z1, z1x1 , z1y1).
Aici, ecuatia curburii este — scrisa ın harta Monge x = u, y = w, z = Z(u,w), cf.[10, p. 231, Exercise 2] —
K = − 1
ρ20=
LN −M2
EG− F 2=
ZuuZww − Z2uw
1 + Z2u + Z2
w
,
vezi [1, pg. 13, 17].
L. Bianchi a generat suprafata S ′ considerand MM ′ = L = ρ0, respectivβ = 1 — adica, ζ = 900 —. S. Lie a observat ca, data fiind invarianta ecuatieisine-Gordon ωuw = −K sinω la dilatarea
u → βu, w → w
β, β > 0, (70)
orice transformare Backlund Bβ a acesteia este o compunere ıntre (70) sitransformarea lui Bianchi B1, cf. [11, p. 26], [1, p. 17].
Surse bibliografice[1] Anderson, R. L.; Ibragimov, N. H., Lie-Backlund transformations
in applications, SIAM, Philadelphia, 1979
[2] Baker, A., Matrix groups. An introduction to Lie group theory,Springer-Verlag, London, 2002
[3] do Carmo, M. P., Differential geometry of curves and surfaces,Prentice-Hall, New Jersey, 1976
29
[4] Guest, M. A., Harmonic maps, loop groups, and integrable systems,LMS 38, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997
[5] Helein, F., Constant mean curvature surfaces, harmonic maps andintegrable systems, Birkhauser, Basel, 2001
[6] Lamb Jr., G. L., Elements of soliton theory, Wiley & Sons, New York,1980
[7] Mustafa, O. G., Curbe si suprafete, DAL, 2009. On-line la adresa:http://inf.ucv.ro/~octavian/cartan.pdf
[8] Mustafa, O. G., Heat Lie: un fel de intro..., DAL, 2009. On-line laadresa: http://inf.ucv.ro/~octavian/lie.pdf
[9] Olver, P. J., Applications of Lie groups to differential equations,Springer-Verlag, 2000
[10] O’Neill, B., Elementary differential geometry, Elsevier, Amsterdam,2006
[11] Rogers, C.; Schief, W. K., Backlund and Darboux transformations.Geometry and modern applications in soliton theory, CambridgeUniv. Press, Cambridge, 2002
30
