Curs de Prelucrarea Digitală a Semnalelor Prof. Victor-Emil Neagoe

Structura cursului

1. Semnale în timp discret

2. Sisteme în timp discret

3. Transformarea ―Z‖

4. Eşantionarea semnalelor continue

5. Sisteme discrete liniare şi invariante în timp

6. Structura sistemelor în timp discret

7. Filtre digitale cu răspuns finit la impuls (FIR) şi filtre digitale cu răspuns infinit la impuls (IIR)

8. Filtre adaptive

9. Transformarea Fourier discretă

10. Transformarea Fourier rapidă

11. Analiza spectrală a semnalelor

12. Aplicaţii

Bibliografie:

Oppenheim, et al – ―Discrete Time Signal Processing―, ed.Prentice-Hall, ISBN 0-13-754920-2, 2000

Noţiuni introductive:

Prelucrarea semnalelor – reprezentarea, transformarea şi manipularea semnalelor şi a informaţiei pe care acestea o conţin

Tipuri de prelucrări ale semnalelor prelucrarea semnalelor

prelucrarea semnalelor în timp discret

prelucrarea digitală a semnalelor(P.D.S.) prelucrări speciale:

CCD — Charge-Coupled Devices

SAW — Surface Acoustic Waves

CTD — Charged Transport Devices

Cursul 1

Definiţii introductive

Semnal = entitate fizică, purtătoare de informaţie (se referă la descrierea unui sistem fizic şi la realizarea unei comunicări între persoane şi/sau sisteme).

Din punct de vedere matematic, semnalul se poate reprezenta printr-o funcţie de una sau mai multe variabile:

s = g(t) –> de exemplu semnal vocal s = g(x,y) –> de exemplu semnal imagine(monocromă şi fixă) s = g(x,y,z) –> de exemplu semnal secvenţă de imagine(monocromă)

Pentru imagine policromă: {groşu(x,y);gverde(x,y);galbastru(x,y)} {groşu(x,y,t);gverde(x,y,t);galbastru(x,y,t)} –> secvenţă de imagini policrome

Semnalele ca funcţii unidimensionale: s = g(t) continuă: x(t) semnale analogice t – variabilă independentă discretă: x[n] semnale digitale continuă: x(t) semnale analogice amplitudinea semnalului discretă: x[n] semnale digitale

Capitolul 1: Semnale în timp discret (secvenţe) xa(t)

x = {x[n]}; secvenţa = x[n]; n T Uneori x[n] = xa(nT)

x[n] = xa(nT)

Secvenţe de bază şi operaţii cu secvenţe

x[n] secvenţa întârziată, y[n] = x[n-n0]; n0

Impulsul unitate:

00

0,1

npentru

npentrun

Orice secvenţă se poate scrie în funcţie de impulsul unitate:

k

knkxnx ][][][

Treapta unitate:

00

01

npentru

npentrunu

-2

1

2 -1 1

-2

1

2 -1 1

Consecinţe:

1.

0k

knnu ;

2. [n] = u[n] - u[n - 1].

Exponenţială discretă: nAnx ][ ; A, C (nZ)

A, R; A > 0 şi (0,1) secvenţa descrescătoare de tip progresie geometrică

Exemplu:

1,0;0;00

0

An

nAnx

n

– se mai scrie: x[n] = A n u[n]

Secvenţă sinusoidală:

x[n] = Acos(0n+); A, R

Exponenţială discretă (complexă):

x[n] = An, A, C; A = |A|e

j , = ||e

j0

x[n] = A∙n = |A|.e

j∙||

n∙e

jn0 = |A|∙||n∙e

j(+n0) = |A|∙||

n∙[cos(0n+)+j∙sin(0n+)]

dacă || > 1 anvelopa este crescătoare

dacă || < 1 anvelopa este descrescătoare

dacă || = 1 secvenţă exponenţială complexă (armonică)

x[n] = |A|[cos(0n+)+j∙sin(0n+)]

0 – frecvenţa sinusoidei complexe [rad/eşantion] şi – faza sinusoidei complexe

x[n] = Aej(0+2)n

= Aej0n

ej2n

= Aej0n

; x[n] = Aej(0+2)n

= Aej0n

(poate fi reprezentată doar pentru

=1 0(-,) sau 0(0,2))

Definiţie: O secvenţă este periodică dacă x[n] = x[n+N].

Exemplul 1: x[n] = A cos(0n+) – deduceţi condiţia ca această secvenţă să fie periodică şi cât este perioada.

R: A cos(0n+) = A cos(0n+0N+)

din condiţia 0N = 2k N = (2k)/0

Exemplul 2: x[n] = cos(n/4) – deduceţi perioada, N = ?.

R: N/4 = 2k N = 8 (pentru k = 1 – cea mai mică perioadă)

Sau: x[n] = x[n+N] cos(n/4) = cos[(n+N)/4] = cos(n/4+N/4)

din condiţia N/4 = 2k N = 8 (k = 1).

Capitolul 2: Sisteme în timp discret x[n] y[n]

Un sistem discret în timp, este definit din punct de vedere matematic, ca o transformare sau un operator care transformă secvenţa de intrare, x[n] în secvenţa de ieşire y[n]:

T{}

y[n]=T{x[n]}

Exemplul 1: Sistem de întârziere ideală este un sistem caracterizat prin: y[n] =

= x[n-nd]; ndZ.

Dacă nd > 0 întârziere (propriu-zisă)

Dacă nd < 0 predicţie

Exemplul 2: Sistem cu medie mobilă (―moving averige‖) este caracterizat prin:

211

21

21

...1...11

1

1

1 2

1

MnxnxnxMnxMnxMM

knxMM

nyM

Mk

(centrat pe n)

Uneori M1 = M2 = M : ….. ….. n-M, n-1, n, n+1, n+M-1,n+M

Definiţie: Sistem fără memorie, caracterizat prin: y[n] = T{x[n]} (eşantionarea lui y[n], depinde numai de secvenţa x[n].

Aplicaţie: Care din următoarele relaţii reprezintă un sistem fără memorie?

a) y[n] = a∙x[n];

b) y[n] = (x[n])2;

c) y[n] = x[n]-x[n-1].

Sistem liniar

Fie y1[n] = T{x1[n]} şi y2[n] = T{x2[n]} şi a – constantă, aC

Spunem că sistemul caracterizat prin operatorul T este liniar, dacă şi numai dacă sunt îndeplinite următoarele proprietăţi:

1) pentru x[n] = x1[n]+x2[n] T{x[n]} = y1[n]+y2[n] (aditivitate)

2) T{ax1[n]} = ay1[n] (omogenitate)

Sau sistemul are proprietatea:

dacă x[n] = a1x1[n]+a2x2[n] y[n] = a1y1[n]+a2y2[n] = T{x[n]}; a1, a2C

Consecinţă – se poate generaliza pentru n semnale, adică:

Dacă T este liniar, atunci:

k

kk nxanx ][ şi yk[n] = T{ xk[n]} y[n] = T{x[n]} =akyk[n]

Exemplul 4: Acumulator:

n

k

kxny ][][

Verificăm dacă este sau nu liniar:

Presupunem că:

n

k

n

k

kxnynx

kxnynx

222

111

Avem nxanxanx 2211

n

k

n

k

n

k

nyanyakxakxakxakxany 221122112211 .

Exemplul 5: y[n] = log10x[n] este liniar, sau nu?

Invarianţa în timp: y[n] = T{x[n]}; sistemul este invariant în timp

00 nnynnx (la o translaţie a intrării, avem şi o translaţie a ieşirii).

Exemplul 6: Demonstraţi că acumulatorul este un sistem discret, invariant în timp.

01 nnxnx şi

n

k

n

k

nkxkxny 011

...

;

11

100 deq

nxTnyDar

nynnxnnykxnyn

k

n

k

Exemplul 7: y[n] = x[M∙n] – compresor; MZ+. Demonstraţi că y[n] nu este invariant în timp.

Cauzalitatea: Un sistem discret este cauzal dacă pentru orice n0Z, secvenţa de

ieşire, y[n = n0], depinde numai valoarea secvenţei de intrare pentru n n0 (adică de x[n]

pentru n n0).

Un sistem cauzal este neanticipativ.

Temă: Analizaţi în ce condiţii media mobilă este cauzală sau nu.

Aceeaşi cerinţă pentru y[n] = (x[n])2.

Exemplul 8: Diferenţă înainte: y[n] = x[n+1]-x[n] – necauzal

Exemplul 9: y[n] = x[n]-x[n-1] – cauzal

Stabilitatea (in sens BIBO = bounded input, bounded output = intrare limitată,

ieşire limitată): dacă x[n] Bx(<) By, a.î. y[n] By(<).

Exemplul 10: stabilitatea pentru :

a) y[n] = (x[n])2

x[n] Bx y[n]=x[n]2Bx

2(=By) < stabil;

b) y[n] = x[k]

contraexemplu: x[n] = u[n] nu este stabil;

c) y[n] = log10x[n]

dacă x[n] → 0 y[n] → nu este stabil.

Sisteme discrete liniare şi invariante în timp (SLIT):

(satisfac şi proprietatea de liniaritate şi cea de invarianţă în timp)

00

0,1

npentru

npentrun

x[n] = [n]

y[n] = T{x[n]} = h[n]

(h[n] – răspunsul la impulsul unitar, [n])

Notăm hk[n] – răspunsul sistemului la [n-k]

n

k k

k

k

k nhkxknTkxny

knkxTnxTny

knkxnx

][][][][][

][][]}[{][

][][

- avem SLIT şi aplicând principiul superpoziţiei

- dacă h[n] = T{[n]} h[n-k] = T{[n-k] hk[n] = h[n-k]

k

knhkxny ][][ (relaţia

de intrare – ieşire) (valabilă numai pentru SLIT)

Relaţia se mai scrie:

Exemplul 11: Fie

]1,0[0

]1,0[1][

Nnpentru

Nnpentrunh şi fie x[n] = a

nu[n]. Aflaţi y[n].

11

1

]1,0[1

100

][

1

1

Nna

aa

Nna

an

ny

NNn

n

y[n]=x[n]*h[n]