24
UNIVERSITATEA POLITEHNICA BUCURESTI - 2012 -

Prelucrari de Date experimentale

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Teoria necesara pentru prelucrarea datelor experimentale.

Citation preview

Page 1: Prelucrari de Date experimentale

UNIVERSITATEA POLITEHNICA BUCURESTI- 2012 -

Page 2: Prelucrari de Date experimentale

Datele experimentale sunt rezultatele numerice ale cercetarii experimentale.

Cercetarea experimentala reprezinta principalul mod de abordare a problemelor de analiza stiintifica fundamentala sau aplicativa si urmareste verificarea adevarului teoriilor si ipotezelor care au stat la baza studiilor referitoare la procesele cercetate.

Cercetarile experimentale permit analizarea unor fenomene pentru care nu se pot obtine rezultate ce pot fi puse in practica pe cale teoretica, datorita complexitatii acestora sau necunoasterii unor legi care determina evolutia fenomenului cercetat.

Toate cercetarile experimentale presupun masurarea unor marimi fizice mecanice sau de alta natura, in regim static sau dinamic, folosind aparatura si mijloacele de masurare adecvate, prelucrarea datelor obtinute si la final, stabilirea concluziilor pe baza carora se poate trece la valorificarea rezultatelor.

INTRODUCERE

Page 3: Prelucrari de Date experimentale

1.PRELUCRAREA SIRURILOR DE DATE IN FUNCTIE DE O VARIABILA INDEPENDENTA

1.1. Reprezentarea datelor experimentale

1.2. Evaluarea constantelor arbitrare. Metoda celor mai mici patrate

Page 4: Prelucrari de Date experimentale

1.1. Reprezentarea datelor experimentale

În general, rezultatele cercetărilor experimentale se concretizează: sub formă de tabele; sub formă grafică; sub formă matematică (de funcţie).

Fiecare din aceste modalităţi de prezentare poate fi utilizată în diferite stadii ale cercetării, după cum urmează:

pentru prelucrare primară prin folosirea tabelelor; pentru prelucrarea rezultatele obţinute în urma măsurătorilor – se pot trasa

grafice de dependenţă ale mărimilor studiate; pentru stabilirea funcţiilor de dependenţă între aceste mărimi.

Reprezentarea datelor prin tabele prezinta urmatoarele avantaje: simplitatea si usurinta intocmirii tabelelor, pastrarea datelor sub forma compacta, usurinta gasirii si compararii lor.

Page 5: Prelucrari de Date experimentale

In functie de relatiile dintre marimile ce sunt reprezentate in tabel se deosebesc urmatoarele clase:

clasa calitativa de tabele (stabilesc relatii calitative); clasa statistica de tabel (unele variabile sunt exprimate cantitativ); clasa functionala de tabele (exprima relatii de forma f = f(x)).

Intocmirea unor tabele corecte presupune respectarea urmatoarelor reguli:

Titlul sa fie scurt, complet si clar si sa descrie sumar continutul; Coloanele sa aiba titluri semnificative pentru toate elementele din coloana

respectiva: corecte, fara simboluri si sa cuprinda unitatile de masura ale valorilor ce se inscriu;

Valorile numerice inscrise in coloana sa fie aranjate astfel incat virgulele si cifrele cu aceeasi semnificatie (sute, zeci, unitati, zecimi, sutimi, etc.) sa fie aliniate vertical, iar lipsa unei valori nu se va marca cu zero, ci prin necompletarea randului respectiv.

1.1. Reprezentarea datelor experimentale

Page 6: Prelucrari de Date experimentale

Reprezentarea grafică permite depistarea cu uşurinţă a maximelor şi minimelor, a punctelor de inflexiune, a caracteristicilor de periodicitate, usureaza compararea valorilor, da o imagine calitativa a dependentei f = f(x) , etc.

La intocmirea unui grafic cantitativ se va tine seama de urmatoarele recomandari:

hartia aleasa sa fie corespunzatoare scopului urmarit iar liniatura (milimetrica, log-log, semilog, etc.) sa fie suficient de deasa pentru a usura citirea;

scarile pentru variabile sa fie alese astfel incat curba rezultata sa se plaseze in zona centrala a graficului;

daca pe acelasi grafic se reprezinta mai multe siruri de date, punctele ce marcheaza valorile se vor diferentia corespunzator (cerc, cruce, triunghi, etc.);

trasarea curbei care să reprezinte fenomenul studiat se va face cu mare grijă, acordând tuturor punctelor ponderi egale, căutând ca aceasta să treacă printr -un număr cât mai mare de puncte şi în acelaşi timp curba să fie cât mai netedă.

1.1. Reprezentarea datelor experimentale

Page 7: Prelucrari de Date experimentale

1.1. Reprezentarea datelor experimentale

Folosirea datelor experimentale este mult usurata daca pe baza dependentei y = f(x) rezultata din masurari se gaseste o expresie analitica. Aceasta este o forma compacta, usor de retinut, se pot face interpretari, derivari, integrari necesare aprofundarii studiului fenomenului pe care-l modeleaza.

Ecuatiile obtinute pe baza datelor experimentale se numesc ecuatii empirice spre deosebire de ecuatiile rationale obtinute prin deductii matematice.

In principiu, problema gasirii unei ecuatii empirice care sa reprezinte un sir de date experimentale se reduce la:

gasirea unei forme potrivite de ecuatie; calcularea valorilor constantelor arbitrare.

Page 8: Prelucrari de Date experimentale

1.1. Reprezentarea datelor experimentale

a) Alegerea formei adecvate pentru ecuatiile empirice. Criterii de concordanta.

O ecuatie empirica este ideala cand reprezinta cat mai exact datele experimentale si contine un numar cat mai mic de constante arbitrare, doua caracteristici contrare.

Pentru gasirea tipului de ecuatie, se reprezinta, la o scara convenabila, graficul y = f(x) descris de datele experimentale si prin comparatie cu curbele etalon se apreciaza forma ecuatiei. Se urmareste modul in care ecuatia aleasa concorda cu sirul de date prin aplicarea unui criteriu de concordanta. Daca ecuatia propusa este nesatisfacatoare se repeta operatiunea cu o alta forma de ecuatie.

Criteriul grafic de concordanta se poate aplica formelor de ecuatii care se pot liniariza si care contin maximum doua constante arbitrare.

Criteriul tabelar de concordanta se recomanda formelor de ecuatii care contin mai mult de doua constante arbitrare si consta in intocmirea unei tabele corecte cu datele experimentale (cu diferenta comuna x = constant), calcularea anumitor diferente tabelare succesive si verificarea constantei sirului final de diferente tabelare.

Page 9: Prelucrari de Date experimentale

1.1. Reprezentarea datelor experimentale

Tabelul 1.2 – Criteriile de concordanta tabelara pentru cateva tipuri de ecuatii

Page 10: Prelucrari de Date experimentale

1.2. Evaluarea constantelor arbitrare. Metoda celor mai mici patrate

Metoda generala de calcul pentru determinarea constantelor este metoda celor mai mici patrate. Volumul mare de lucru cerut de aceasta metoda, in conditiile in care nu se dispune de mijloace de calcul si de programe adecvate, determina folosirea unor metode simplificate. Dintre acestea, cea mai usor de utilizat este metoda “punctelor alese”, care consta in alegerea din tabelul cu date experimentale a unui numar de perechi de date (xi, yi ), egal cu numarul de constante continut de ecuatia propusa si inlocuirea lor in ecuatie. Se obtine astfel un sistem compatibil de an ecuatii cu an necunoscute, in care an este numarul de constante continute in ecuatie. Rezolvarea sistemului duce la determinarea valorilor constantelor.

Metoda celor mai mici patrate se bazeaza pe principiul cu acelasi nume sau principiul probabilitatii maxime care stabileste ca pentru un sir de perechi de valori (xi, yi ) determinate experimental, ecuatia analitica care descrie cel mai satisfacator procesul dat, este aceea pentru care suma patratelor abaterilor valorilor rezultate experimental fata de valorile calculate cu relatia respectiva este minima.

Page 11: Prelucrari de Date experimentale

1.2. Evaluarea constantelor arbitrare. Metoda celor mai mici patrate

Metoda se aplica pentru cateva functii uzuale : Functia liniara : - Dreapta de forma: y = a x + b ,

- Dreapta ce trece prin origine: y = a x Functia putere: y = b xa. Functia exponentiala : y = b eax Functia logaritmica: y = b+a ln x Functia polinom: y = a 1x m + a 2x m-1+….+ a mx + a m+1

Determinarea valorilor constantelor prin metoda celor mai mici patrate, pe baza algoritmelor prezentate pentru functiile tratate anterior, se poate face prin folosirea unui program adecvat cu ajutorul calculatorului ( Turbo Pascal, EXCEL).

In EXCEL, pe baza datelor experimentale se determina ecuatia care reprezinta aceste date pentru o anumita forma (functie) aleasa. In plus acest program permite calcularea “coeficientului de concordanta” intre datele experimentale si ecuatia determinata, notat cu R. Cu cat valoarea lui R este mai apropiata de 1 cu atat forma de ecuatie aleasa reprezinta mai bine datele experimentale.

Page 12: Prelucrari de Date experimentale

1.2. Evaluarea constantelor arbitrare. Metoda celor mai mici patrate

In acest sens programul EXCEL se poate folosi si pentru gasirea formei de ecuatie care reprezinta cel mai fidel un anumit sir de date. Astfel, daca pentru acelasi sir de date se presupun mai multe forme de ecuatie (liniara, exponentiala, logaritmica, polinom, etc.) ecuatia pentru care coeficientul R este mai mare reprezinta cel mai corect sirul respectiv.

Programul EXCEL permite si reprezentarea grafica a ecuatiei determinate.

Page 13: Prelucrari de Date experimentale

Functia liniara y = 0,5491x + 1,432

R2 = 0,9991

012345678

0 5 10 15

Series1

Linear(Series1)

Functia putere y = 3,4075x1,9413

R2 = 0,9976

0

50

100

150

200

250

300

350

0 5 10 15

Series1

Power(Series1)

Graficul functiei liniare – reprezentat cu programul EXCEL

Graficul functiei putere – reprezentata cu programul EXCEL

1.2. Evaluarea constantelor arbitrare. Metoda celor mai mici patrate

Page 14: Prelucrari de Date experimentale

1.2. Evaluarea constantelor arbitrare. Metoda celor mai mici patrate

Functia logaritmicay = 3,002Ln(x) + 3,9897

R2 = 0,9996

0

2

4

6

8

10

12

0 5 10 15

Series1

Log. (Series1)

Functia polinomy = -1E-08x3 + 1E-05x2 +

0,0541x + 0,0079

R2 = 1

01020304050607080

0 500 1000 1500 2000

Series1

Poly. (Series1)

Graficul functiei logaritmice – reprezentat cu programul EXCEL

Graficul functiei polinom – reprezentata cu programul EXCEL

Page 15: Prelucrari de Date experimentale

2. REPREZENTAREA PRIN ECUATII A FUNCTIILOR DE MAI MULTE VARIABILE

In cercetarea experimentala se intalnesc si situatii in care variabila dependenta y este, in acelasi timp, functie de mai multe variabile independente.

Apare astfel necesitatea determinarii unei expresii analitice de forma:

y = f(xi, a0, ai, aii, aij) ,

care sa exprime dependenta functiei y de variabilele independente xi si de constantele a0, ai, aii, aij.

Pentru rezolvarea acestei probleme complexe este necesar a se parcurge mai multe etape, si anume:

Intocmirea unui program de organizare a experientelor; Determinarea valorilor constantelor; Testarea semnificatiei variabilelor; Testarea adecvantei formei functiei.

Page 16: Prelucrari de Date experimentale

2.1. Structura programului de incercari experimentale

Programul de incercari experimentale reprezintă strategia de programare a încercărilor în vederea obţinerii unor rezultate utile şi cu un nivel de încredere satisfăcător.

Programul de incercari experimentale este utilizat de mai bine de jumătate de secol şi a fost folosit pentru prima dată de agronomi. Cu toate acestea, metoda planificării ştiinţifice a experienţelor este puţin cunoscută şi este puţin folosită atât în mediul industrial cât şi în laboratoarele universitare. Aplicarea metodei programării experimentului se realizează în următoarele etape:

– stabilirea ipotezelor, rezonabil de formulat, cu privire la factorii ce intervin în model, interacţiunile dintre factori şi efectele acestora;

– definirea obiectivelor de studiat prin stabilirea parametrilor importanţi şi studiul interacţiunilor dinte parametri;

– stabilirea programului de încercări;– analiza statistică a rezultatelor experimentărilor care constă în deducerea

ecuaţiei de răspuns, analiza varianţei modelului şi optimizarea modelului;– interpretarea şi validarea fenomenologică a rezultatelor astfel obţinute.

Page 17: Prelucrari de Date experimentale

2.1. Structura programului de incercari experimentale

Metoda programării experimentelor permite determinarea factorilor semnificativi, a interacţiunilor semnificative dintre factori şi asigură obţinerea relaţiei ce caracterizează fenomenul în, funcţie de efectele reţinute ca fiind influente.

În funcţie de numărul de experienţe, planurile de experimentare pot fi complete sau incomplete.

Planurile de experimentare complete combină toate nivele factorilor consideraţi. Dacă factorii controlaţi (factorii de intrare) au numere diferite de nivele avem de-a face cu planuri factoriale. Dacă factorii controlaţi au acelaşi număr de nivele, întâlnim:

– planuri factoriale la două nivele, cunoscute şi ca planuri de tip 2nşi– planuri factoriale la trei nivele sau planuri 3n.

Page 18: Prelucrari de Date experimentale

2.1. Structura programului de incercari experimentale

Scopul unui experiment este să găsească o combinaţie de factori care să asigure:

– costuri scăzute;– productivitate;– eficienţă;– fiabilitate.

În practică, cele mai uzuale metode de experimentare sunt:– experimentări care se efectuează variind un singur factor o dată;– experimentări cu un plan factorial complet;– experimentări cu un plan factorial fracţionat.

Page 19: Prelucrari de Date experimentale

3. DEPENDENTA STOHASTICA A DOUA SAU MAI MULTE VARIABILE

3.1. Corelatia liniara intre doua variabile

3.2. Corelatia liniara multipla

3.3. Corelatia neliniara

Page 20: Prelucrari de Date experimentale

3.1. Corelatia liniara intre doua variabile

Corelatia intre doua variabile x si y este liniara daca ambele functii de regresie sunt liniare. In acest caz curbele de regresie sunt drepte de regresie. Pantele acestor drepte se exprima prin coeficientul de corelatie care este masura dependentei liniare dintre marimile x si y.

Coeficientul de corelatie

Pentru studiul corelatiei intre doua variabile x si y se efectueaza un numar n de experiente (observatii, incercari) independente.

Eliminarea datelor afectate de erori grosolane

Daca printre datele experimentale se descopera una “suspecta” ce difera mult de celelalte se pune problema daca aceasta valoare trebuie sau nu eliminata. Pentru eliminarea acestei date, ce difera mult de celelalte, se calculeaza dispersiile empirice si coeficientul de corelatie corespunzatoare tuturor valorilor S x

2 ,S y2, r si aceeasi parametri pentru toate valorile cu exceptia

celei suspecte (pentru n - 1 valori).

Page 21: Prelucrari de Date experimentale

3.2. Corelatia liniara multipla

Daca valoarea R calculata este mai mica decat valoarea critica admisibila R(P,n) atunci valoarea “suspecta” se considera a fi afectata de erori grosolane si se elimina. In caz contrar se pastreza pentru prelucrare.

Notiunea de corelatie liniara intre doua variabile tratata anterior poate fi extinsa la cazul unui numar de mai multe variabile.

In cele ce urmeaza se trateaza cazul a trei variabile x, y si z facandu-se referinta numai la regresia empirica a variabilei z asupra variabilelor x si y.

Coeficientul multiplu de corelatie R este intodeauna cuprins intre 0 si 1. Daca variabila z nu depinde de variabilele x si y, valoarea teoretica a coeficientului R este zero.

Coeficientul multiplu de corelatie este egal cu unu daca si numai daca toate datele experimentale se situeaza in planul de regresie (exista o dependenta functionala liniara a variabilei z si y).

Page 22: Prelucrari de Date experimentale

3.2. Corelatia liniara multipla

Coeficientul multiplu de corelatie R este intodeauna cuprins intre 0 si 1. Daca variabila z nu depinde de variabilele x si y, valoarea teoretica a coeficientului R este zero.

Coeficientul multiplu de corelatie este egal cu unu daca si numai daca toate datele experimentale se situeaza in planul de regresie (exista o dependenta functionala liniara a variabilei z si y).

Pentru studiul influentei numai a unuia dintre factori, de exemplu a factorului caracterizat de variabila x asupra celui exprimat prin variabila z, adica pentru studiul corelatiei dintre x si z dupa inlaturarea variatiei determinate de influenta variabilei y, se introduce coeficientul de corelatie partial al variabilelor x si z in raport cu variabila y.

Page 23: Prelucrari de Date experimentale

3.3. Corelatia neliniara

In cazul corelatiei neliniare, drept masura a dependentei, adica drept masura a concentrarii punctelor experimentale in jurul curbelor de regresie se ia raportul de corelatie y/x pentru dependenta lui y in functie de x sau x/y pentru dependenta lui x in functie de y.

Construirea curbelor de regresie se face prin metoda celor mai mici patrate. De obicei problema se limiteaza la considerarea unei dependente parabolice de grad mic, adica se apreciaza ca expresiile analitice ale curbelor de regresie sunt polinoame de gradul doi sau trei.

Page 24: Prelucrari de Date experimentale

VA MULTUMESC!