Premiere Techno Projet Prog 2010 Maths-STD2A 150035

Projet de programme de la classe depremire de la voie technologique

Mathmatiques enseignement obligatoiresrie :Sciences et technologies du design et des arts appliqus

L'organisation de la consultation des enseignants est confie aux recteurs,entre le jeudi 9 septembre et le jeudi 21 octobre 2010.Paralllement au dispositif mis en place dans les acadmies par les IA-IPR, lescontributions peuvent tre envoyes depuis eduscol.education.fr/consultation

Version du 10 septembre 2010

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Programme de mathmatiques 1e STD2A

MATHMATIQUES

Cycle terminal de la srie technologique STD2A Lenseignement des mathmatiques au collge et au lyce a pour but de donner chaque lve la culture mathmatique indispensable sa vie de citoyen et les bases ncessaires son projet de poursuite dtudes. Le cycle terminal de la srie STD2A permet lacquisition dun bagage mathmatique qui favorise une adaptation aux diffrents cursus accessibles aux lves, en dveloppant leurs comptences mathmatiques lies aux enseignements technologiques et aux arts appliqus. Ce bagage ne saurait se limiter lapprentissage dune liste de recettes dpendantes de contextes spcifiques ; bien au contraire, il sinsre dans un largissement culturel dont les lves auront besoin pour aborder lenseignement suprieur dans de bonnes conditions. Lapprentissage des mathmatiques cultive des comptences qui facilitent une formation tout au long de la vie et aident mieux apprhender une socit en volution. Au-del du cadre scolaire, il sinscrit dans une perspective de formation de lindividu.

Objectif gnral Outre lapport de nouvelles connaissances, le programme vise le dveloppement des comptences suivantes :

mener des raisonnements ; acqurir et dvelopper une comprhension raisonne des objets dans le plan et dans lespace ; mener une ralisation de faon autonome ; avoir une attitude critique vis--vis des rsultats obtenus ; communiquer lcrit et loral.

Mise en uvre du programme Le programme sen tient un cadre et un vocabulaire thorique modestes, mais suffisamment efficaces pour ltude de situations usuelles et assez riches pour servir de support une formation solide. Les enseignants de mathmatiques doivent tablir des liens forts entre la formation mathmatique et les formations dispenses dans les enseignements en arts appliqus et en sciences physiques et chimiques. Ces liens doivent permettre de :

prendre appui sur les situations rencontres dans les enseignements darts appliqus et de sciences physiques et chimiques ;

connatre les logiciels qui y sont utiliss et lexploitation qui peut en tre faite pour illustrer les concepts mathmatiques ;

prendre en compte les besoins mathmatiques des autres disciplines.

La collaboration avec les enseignements en arts appliqus est en particulier attendue propos de diverses situations tudies dans le programme ; les courbes, les polygones rguliers, frises, solides et leurs reprsentations en perspectives fournissent de telles occasions.

Utilisation doutils logiciels Lutilisation de logiciels enrichit lenseignement en permettant laccs la visualisation et la construction de diffrents objets difficilement accessibles par dautres moyens. Les possibilits de dplacement et danimation des objets, comme le changement des angles de vue, permettent de dvelopper trs efficacement la comprhension et la vision de lespace. Ces outils sont largement utiliss dans les domaines professionnels, ce qui modifie le rapport des utilisateurs aux mathmatiques. Les comptences mathmatiques prennent de limportance dans ce contexte.

Ministre de l'ducation nationale - Direction gnrale de l'Enseignement scolaire Projet de programme de mathmatiques, srie STD2A

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Programme de mathmatiques 1e STD2A Lutilisation de ces outils intervient selon trois modalits : par le professeur, en classe, avec un dispositif de visualisation collective ; par les lves, sous forme de travaux pratiques de mathmatiques ; dans le cadre du travail personnel des lves hors de la classe.

Raisonnement et langage mathmatiques Lacquisition et la matrise du vocabulaire et du langage mathmatiques dans les domaines lis la gomtrie participent la familiarisation avec les codes descriptifs et perspectifs qui sont en usage en arts appliqus. En prolongement du programme de Seconde, les capacits dargumentation et de logique font partie intgrante des exigences du cycle terminal mais sont spcifiquement adaptes au contexte de la filire STD2A ; en particulier, les concepts et mthodes relevant de la logique mathmatique sinsrent naturellement dans les activits danalyse et de construction graphiques.

Diversit de lactivit de llve Les activits proposes en classe et hors du temps scolaire prennent appui sur la rsolution de problmes essentiellement en lien avec dautres disciplines. Il convient de privilgier une approche des notions nouvelles par ltude de situations concrtes. Lappropriation des concepts se fait dabord au travers dexemples avant daboutir des dveloppements thoriques, effectuer dans un deuxime temps. De nature diverse, les activits doivent entraner les lves : chercher, exprimenter, modliser, en particulier laide doutils logiciels ; choisir et appliquer des techniques de calcul ; reprsenter ou analyser des objets du plan ou de lespace ; raisonner et interprter, valider, exploiter des rsultats ; expliquer oralement une dmarche, communiquer un rsultat par oral ou par crit. Des lments dhistoire des mathmatiques, des arts et des techniques peuvent sinsrer dans la mise en uvre du programme. Connatre le nom de quelques savants clbres, la priode laquelle ils ont vcu et leur contribution, fait partie intgrante du bagage culturel de tout lve ayant une formation scientifique et technologique. Situer une invention dans le temps et la relier dautres lments de lhistoire des sciences, des arts et de la pense sont ncessaires pour permettre aux lves de faire face aux exigences des tudes suprieures en matire culturelle. Les travaux hors du temps scolaire sont impratifs pour soutenir les apprentissages des lves. Frquents, de longueur raisonnable et de nature varie, ces travaux sont essentiels la formation des lves. Ils sont conus de faon prendre en compte la diversit des aptitudes des lves. Les modes dvaluation prennent galement des formes varies, en phase avec les objectifs poursuivis. En particulier, laptitude mobiliser loutil informatique pour lanalyse et la ralisation dobjets du plan et de lespace est valuer.

Organisation du programme Le programme fixe les objectifs atteindre en termes de capacits. Il est conu pour favoriser une acquisition progressive des notions et leur prennisation. Son plan nindique pas la progression suivre, cette dernire devant sadapter aux besoins des autres enseignements.


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1. Analyse Le programme danalyse met en vidence lapport des fonctions et de leurs reprsentations graphiques dans des situations purement mathmatiques ou en lien avec les arts appliqus. Cette partie est organise selon trois objectifs principaux :

Consolider lensemble des fonctions mobilisables. On enrichit cet ensemble dune nouvelle fonction de rfrence, la fonction racine carre, et on poursuit le travail men en seconde sur les fonctions polynmes de degr 2, en sappuyant sur des registres diffrents : algbrique, graphique, numrique, gomtrique. Dans ce cadre, on ractive les notions sur les fonctions installes dans les classes antrieures.

Dcouvrir la notion de nombre driv. Lacquisition des concepts de nombre driv et de tangente la courbe reprsentative dune fonction est un point fondamental du programme de premire ; la notion de fonction drive sera aborde en classe de terminale. Les fonctions tudies sont toutes rgulires.

Dcouvrir les problmes de raccordement de deux courbes. Lide est dexploiter les connaissances sur les fonctions mises en place au cours de lanne pour rsoudre des problmes de raccordement, notamment en lien avec les arts appliqus.

En relation avec les enseignements darts appliqus, lappropriation des connaissances sur les fonctions se fait essentiellement partir dun travail sur les reprsentations graphiques. Inversement, ces connaissances savrent tre un outil efficace dans la conception graphique.

CONTENUS CAPACITS ATTENDUES COMMENTAIRES

Fonctions polynmes de degr 2 Courbe reprsentative dune fonction polynme de degr 2 : axe de symtrie et sommet de la parabole.

Construire le tableau de variation dune telle fonction en association avec la courbe reprsentative.

quation du second degr, discriminant. Signe du trinme.

Rsoudre une quation du second degr. Dterminer le signe dune fonction polynme de degr 2.

La mise sous forme canonique nest pas un attendu du programme. On procde par des changements dclairage entre laspect algbrique et laspect graphique.

Fonctions de rfrence Fonction racine carre.

Connatre la reprsentation graphique de cette fonction.

On fait observer que la courbe reprsentative de la fonction racine carre est une demi-parabole.

Comparer les rels x, x2 et x pour un rel x de [0 ; 1].

On illustre cette comparaison avec les positions relatives des courbes reprsentatives des fonctions x x, x x2, x x . On fait aussi le lien avec lintensit lumineuse (ramene un nombre rel de [ ]0;1 ) et les dgrads de gris.


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Tangente une courbe et nombre driv Tangente la courbe reprsentative dune fonction en un point.

Lire le coefficient directeur dune tangente une courbe sur un graphique.

La tangente une courbe en un point est introduite comme position limite dune scante cette courbe lorsque cette scante pivote autour du point. Lutilisation des outils logiciels facilite lintroduction de la tangente et du nombre driv.

Nombre driv. Le nombre driv dune fonction f en a, not f (a), est le coefficient directeur de la tangente la courbe reprsentative de la fonction f au point dabscisse a.

Nombre driv en un point des fonctions de rfrence : x x, x x2, x x

et x

x 1 .

Pour la courbe reprsentative de la fonction carr, on peut montrer que la scante aux points dabscisses a h et a + h est parallle la tangente au point dabscisse a.

Nombre driv en un point des fonctions f + g et kf, les fonctions f, g tant connues et k tant un rel.

Calculer le nombre driv en un point dune fonction simple.

On se limite aux fonctions dduites des fonctions de rfrence par addition et multiplication par un scalaire. Dans dautres cas o il serait utile, le nombre driv est fourni.

Tracer une tangente connaissant le nombre driv.

Une quation de la tangente nest pas un attendu du programme.

Fonctions satisfaisant des contraintes Raccordement des courbes reprsentatives de deux fonctions.

Dterminer, sur des exemples simples, des fonctions satisfaisant des contraintes.

Les contraintes sont lies des valeurs prises par la fonction ou certains de ses nombres drivs.

Traiter des situations simples de raccordement de deux courbes.

On peut aborder des situations de modlisation gomtrique amenant raccorder deux arcs de courbes, et notamment tudier des fonctions affines par morceaux. Ces fonctions apparaissent naturellement lors de lusage de logiciels de dessin vectoriel et ltude de frises.


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2. Gomtrie plane Le programme de gomtrie plane permet dexpliciter et denrichir les liens entre des notions purement mathmatiques et des situations concrtes des arts appliqus. Il est organis selon deux objectifs principaux :

Consolider et exploiter les connaissances sur les transformations du plan. On enrichit les acquis antrieurs par la notion de rotation. On part de lobservation pour analyser et construire des compositions gomtriques planes rpondant des critres ou des contraintes de rptition dun motif initial. Les allers-retours entre lobservation de divers objets et les formalisations mathmatiques associes sont ici essentiels. On privilgie les supports rels et varis, comportant des motifs rguliers et rpts, tels que tissus, rosaces, mosaques, objets dcoratifs, structures architecturales, etc. Il ne doit pas sagir dun travail acadmique mais dun dialogue constant entre observation, analyse et cration.

Exploiter les outils de calcul vectoriel du plan. Le travail sur les translations permet llve de rinvestir les notions sur les vecteurs vues en classe de seconde. La dcouverte du produit scalaire dans le plan constitue une introduction au chapitre de calcul vectoriel de lespace ainsi quune premire approche des mthodes utilises en infographie.


Figures rgulires Transformations simples : translation, symtrie axiale et rotation.

Reconnatre des transformations simples laissant une figure donne invariante. Connatre des grandeurs invariantes par ces transformations : distances et angles. Caractriser la compose de deux translations. Caractriser la compose de deux symtries axiales.

Par convention, une rotation est dfinie par son centre, son angle en degrs et son sens (horaire ou antihoraire).

Exemples de polygones rguliers.

Exemples de frises. Exemples de pavages.

Analyser et construire diffrents polygones rguliers laide dun motif lmentaire et de transformations du plan.

Calculer des distances, des angles, des aires et des primtres associs aux polygones rguliers.

Crer une figure par rptition dune ou de deux transformations simples.

On peut dans un deuxime temps sappuyer sur des rosaces, plus complexes. Selon les cas, la maille lmentaire peut tre prise sous la forme dun triangle rectangle ou isocle, ou dun rectangle. La classification des types de frises et de pavages nest pas un attendu du programme.

Produit scalaire Produit scalaire de deux vecteurs.

Calculer le produit scalaire de deux vecteurs selon deux mthodes : analytiquement ; laide des normes et dun angle.

On exploite des situations issues des domaines technologiques et artistiques.

Applications du produit scalaire.

Calculer des angles et des longueurs.

Le signe du produit scalaire permet de positionner un point par rapport une droite.


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3. Gomtrie dans lespace Le programme de gomtrie dans lespace est mener en liaison troite avec lenseignement des arts appliqus. Il est organis selon deux objectifs principaux :

Renforcer la vision dans lespace et matriser les codes perspectifs. La perspective parallle est un mode de reprsentation conventionnel frquemment utilis en mathmatiques et ailleurs (architecture, design, industrie...). Son tude assure le passage de la vision la construction, prpare celle de la perspective centrale, qui sera vue en classe terminale, et facilite la comprhension des coordonnes. Laptitude reprsenter des objets en perspective et celle analyser les implicites dune reprsentation sont des comptences fondamentales que llve doit acqurir en mathmatiques et rinvestir dans les autres enseignements. Exploiter les outils de reprage et de calcul vectoriel. Il est essentiel davoir une bonne familiarit avec les mthodes de la gomtrie analytique qui permettent une rsolution efficace de problmes. Les logiciels informatiques ont intgr largement ces mthodes, ncessitant une bonne comprhension du reprage par les lves.

Le modle conceptuel du cube est fondateur de lensemble de la gomtrie dans lespace et doit sous-tendre cette partie : reprsent en perspective, il sert de support la visualisation, peru comme forme de base, il conduit la construction dobjets plus complexes, en tant quobjet abstrait, il mne la discussion sur les synthses des couleurs ; enfin, il est la base du reprage cartsien. La manipulation des logiciels de gomtrie dynamique et de dessin en 3D permet de dvelopper efficacement une bonne comprhension des concepts fondamentaux. Inversement, les concepts mathmatiques clairent le fonctionnement des logiciels de modlisation volumique et aident en analyser certains aspects. Les comptences ainsi dveloppes doivent faire lobjet dune valuation en situation dutilisation de logiciels.

CONTENUS CAPACITS ATTENDUES COMMENTAIRES Perspective parallle Projection sur un plan paralllement une droite.

Une tude des proprits de lombre au soleil porte sur un plan constitue une approche adapte.

Proprits conserves ou non par cette projection.

Connatre les proprits usuelles : conservation des milieux, des rapports et des contacts ; mais non des longueurs ou des angles (sauf exception).

Ces proprits apparaissent comme des proprits gomtriques et non comme de simples conventions de dessin. Aucun dveloppement thorique nest attendu. La notion dorthogonalit dune droite et dun plan est introduite cette occasion.

Image dun quadrillage. Image dun cube. Cas particulier de la perspective cavalire.

Utiliser limage dun quadrillage ou dun cube pour raliser une reprsentation en perspective.

Au sujet de la perspective cavalire, on insiste sur limportance du choix du plan frontal.

Reprsentation des solides simples (cube, prisme et pyramide).

Reprsenter en perspective des scnes ou des objets composs de solides simples. Concevoir un patron de solide simple partir de sa reprsentation en perspective.


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CONTENUS CAPACITS ATTENDUES COMMENTAIRES Section dun solide simple (cube, prisme et pyramide) par un plan.

Reprsenter en perspective ou en vraie grandeur des sections planes.

Pour aborder ces problmes, les lves manipulent des solides et utilisent des logiciels de gomtrie ou de dessin en 3D. On voque les sections du cube des couleurs , couramment utilis en infographie.

Section dun cylindre de rvolution par un plan ; ellipse. Reprsentation dun cylindre de rvolution. Aspect des cercles en perspective parallle. Reprsentation dun cne de rvolution.

Construire la section dun cylindre de rvolution par un plan. Construire un paralllogramme circonscrit une ellipse. Construire limage perspective dun cercle partir dun carr circonscrit au cercle.

Lordre de prsentation de ces notions nest pas impos.


Reprage et calcul vectoriel Coordonnes dun point dans un repre orthonormal de lespace. Coordonnes dun vecteur.

Reprer un point donn de lespace. Calculer les coordonnes du milieu dun segment et la distance entre deux points.

On fait le lien avec laffichage des coordonnes dans les logiciels de conception volumique, ainsi quavec le choix dune couleur dans un logiciel de dessin.

Translation. Vecteur de lespace associ une translation.

Les notions de vecteur et de translation associe, introduites en classe de Seconde dans le cadre du plan, stendent naturellement lespace.

Somme de deux vecteurs. Produit dun vecteur par un nombre rel.

Calculer les coordonnes du vecteur somme, du produit dun vecteur par un nombre rel.

On peut utiliser avec intrt le travail effectu sur les frises et pavages pour illustrer les oprations sur les vecteurs dans le plan, avant de reprendre ces situations dans lespace.

Produit scalaire de deux vecteurs de lespace.

Calculer le produit scalaire de deux vecteurs selon deux mthodes : analytiquement ; laide des normes et dun angle.

On exploite des situations issues des domaines technologiques et artistiques.

Applications du produit scalaire.

Calculer des angles et des longueurs.

En infographie, le positionnement de la camra par rapport un plan, permettant notamment de dterminer les faces visibles dun solide, se fait en tudiant le signe dun produit scalaire.


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