Preparação para o teste intermédio

de Matemática 8º ano

Conteúdos do 7º ano

Conteúdos do 8º ano

Conteúdos do 8º Ano

Teorema de Pitágoras

Funções

Semelhança de triângulos

Ainda os números

Lugares geométricos

Estatística

Conteúdos do 7º Ano

Do Espaço ao Plano

Semelhança de Figuras ( está abordado nos

conteúdos do 8º ano)

Conhecer melhor os números

Conjuntos e operações

Equações

Proporcionalidade direta

Estatística (está abordado nos conteúdos do 8º ano)

Teorema de Pitágoras

Teorema:

Num triângulo retângulo, o quadrado da

hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos

catetos.

a

b

c

C2= a2+b2

Determinação da hipotenusa

h2 = 52 + 122

h2 = 25 + 144 h2 = 169 h = 13 cm

15 2 = c2 + 92

225 = c2 + 81 225 - 81 = c2

C2 = 144 C = 12

Determinação de um cateto

9 cm5 cm

12 cmc

15 cmh

Semelhança de triângulos

Critérios de semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes se:

Tiverem dois ângulos geometricamente iguais

Tiverem os três lados correspondentes diretamente proporcionais

Tiverem dois lados diretamente proporcionais e o ângulo por eles formado for igual

Aplicação dos critérios de semelhança de triângulos

Semelhança de triângulos

1. Determina a altura da árvore.

• Serão os triângulos [ABE] e [CDE] semelhantes?

Sim, porque tem dois ângulos geometricamente iguais, o de 90º e o ângulo AEB.

• Determinação da altura da árvore.

5,2 = h h = 5,2 x 0,8 : 1,6

1,6 0,8

h = 5,2 x 0,8 : 1,6

h = 2,6 m

A altura da árvore é de 2,6 metros.

3,6 + 1,6 = 5,2 m

Semelhança de triângulos

Relação entre perímetros e áreas de figuras semelhantes

Se dois polígonos A e B são semelhantes e a razão de semelhança de A para B é r, então:

• A razão entre os perímetros de A e B é r.

• A Razão entre as áreas de A e B é r2.

PB:PA= r

AB:AA =r2

Funções

Definição : Uma função é uma correspondência entre A e B

Formas de definir uma função:

•Por um diagrama

•Por uma tabela

•Por uma expressão analítica

•Por um gráfico

Funções definidas por um diagrama

Ex. Não são funçõesEx. Funções

1234

-1-2-3

1

2

-1

2

1

2

3

-1-7-2-4-3

A B

Df = {1;2,3}

D’f = {-1;-2,-3}

Objetos: 1;2,3

Imagens: -1;-2;-3

A – Conjunto de Partida

B – Conjunto de chegada

f ( 2 ) = -2

f ( x ) = -x

f

Funções definidas por uma Tabela

Df = {1;2,3;4}

D’f = {4;8;12;16}

Objetos: 1;2,3;4

Imagens: 4;8;12;16

Variável independente: Lado do quadrado

Variável dependente: Perímetro do quadrado

f ( 2 ) = 8

f ( x ) = 4x

Seja a função f definida pela tabela seguinte

Lado de um quadrado (L) 1 2 3 4

Perímetro do quadrado (P) 4 8 12 16

Funções definidas por uma expressão analítica

Seja a função f definida pela seguinte expressão analítica

f(x ) = 2x -1

•Calcular a imagem sendo dado o objeto

f(3) = 2 x 3 -1 f(3) = 5

•Calcular o objeto sendo dada a imagem

f(x) = 152x – 1 = 15 2x = 15 + 1 2x = 16 x = 8

(3;5) e (8;15)pertencem á reta que é gráfico da função f.

Funções definidas por um gráfico

•Variável independente: Peso

•Variável dependente: Custo

•F( … ) = 12

•F(1) = …..

•Tipo de função: Linear

•Expressão analítica: f(x) = 6x

Ainda os Números

oMúltiplos e divisores

oPotências

oNotação cientifica

Múltiplos e divisores ( m.m.c)

1º processoM12 = {0;12;24;36;48;60…}

M30 = {0;30;60…}

m.m.c = {60}

Determina o m.m.c(12;30)

2º processo12 2 30 26 2 15 33 3 5 51 1

12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5

m.m.c = 22 x 3 x5 = 60

Produto dos fatores primos comuns e não comuns elevados ao maior expoente

Múltiplos e divisores ( M.d.c)

1º processoD12 = {1;2;3;4;6;12}

D30 = {1;2;3;5;6;10;15;30}

M.d.c = {6}

Determina o m.d.c(12;30)

2º processo12 2 30 26 2 15 33 3 5 51 1

12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5

M.d.c = 2 x 3 = 6

Produto dos fatores primos comuns elevados ao menor expoente

Potências

Regras operatórias das potências

•Multiplicação

•Com a mesma base

2-2 x 27 = 25

•Com o mesmo expoente

(-2)3 x (-7)3 = 143

•Divisão

•Com a mesma base

2-2 : 27 = 2-9 =

•Com o mesmo expoente

(-24)3 : (-6)3 = 43

•Potencia de potência(23)5 = 215

3)2(

•Potencia de expoente inteiro negativo5-1 = 1

5

Potencia de expoente nulo50 = 1

Notação Científica

Definição: Diz-se que um número está escrito em notação

cientifica se está escrito na forma de um produto de um número a entre 1 e 10 e uma potência de base 10, e escreve-se:

a x 10n , com 1≤a<10

Ex: Escreve os seguintes números em notação cientifica

253 x 10 -3 6769800 0,0000008 76,9 x 105

Operações com números escritos em notação científica

• Multiplicação

(2,1 x 10-3) x (2 x108) = (2,1 x2) x (10-3 x 108) = 4,2 x 105

• Divisão

(8,04 x 10-7) : ( 4,02 x 105) = 2,02 x 10-12

Lugares geométricos

Uma circunferência é o lugargeométrico dos pontos do plano quesão equidistantes de um ponto fixo

chamado centro da circunferência.

O círculo é o lugar geométrico dos pontos pertencentes a uma circunferência ou ao seu interior.

exterior de uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam do centro da circunferência mais do que o seu raio.

Lugares geométricos

Coroa circular:

É o conjunto dos pontos do plano que se encontram a uma distancia maior ou igual a r1 e menor ou igual a r2 de um ponto C.

r1

r2

Mediatriz de um segmento de reta

É o lugar geométrico dos pontos do plano que estão á mesma distância dos extremos do segmento de reta [AB]

Lugares geométricos

Bissetriz de um ângulo A bissetriz é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos lados de um ângulo.

•circuncentro – Ponto de intersecção das mediatrizes dos lados de um triangulo.

•Incentro - Ponto de intersecção das bissetrizes dos lados de um triangulo.

•Baricentro – Ponto de intersecção das medianas de um triângulo

Lugares geométricos no espaçoSuperfície esférica e esfera

Ao lugar geométrico dos pontos do espaçoequidistantes de um ponto fixo chamadocentro, dá-se o nome de superfícieesférica.

A esfera é o lugar geométrico de todos os pontos do espaço que se encontram a igual ou menordistância de um ponto fixo chamado centro.

Lugares geométricos no espaçoPlano mediador

O plano mediador de umsegmento de reta é o lugargeométrico dos pontos do espaçoequidistantes dos extremos dosegmento de reta.

O plano mediador é perpendicularao segmento de reta e contém oponto médio desse segmento dereta.

Estatística

oRecolha de dados

oTabelas de frequências

oGráficos

oMedidas de tendência CENTRAL

qualitativos

Representam a informação que não suscetível de ser medida, mas de ser classificação.

Exemplos:

-Cor dos olhos dos alunos de uma turma . Podem ser castanhos, azuis ou verdes.

Representam a informação que pode ser medida, apresentando-se com diferentes intensidades, que podem ser de natureza discreta ou contínua.

Exemplo

quantitativos

Notas de Matemática, do 7ºF, no final do 2º período.

Exemplo

Altura dos jogadores da equipa de futebol do FCP.

Estatística – Recolha de dados

Tipo de dados

Estatística - Contagem dos dados

36

37

38

39

40

total

1

2

2

7

3

18

41

42

2

1

Que número calças?

37;41;38;39;42;37;

40;39;41;39;39;40;

39;39;40;39;38;36

Frequência absoluta (f)

Frequência relativa (fr)

Fr em percentagem

6 %

11 %

11 %

39 %

16 %

11 %

X 100%

1 : 18 = 0,06

2 : 18 = 0,11

2 : 18 = 0,11

7 : 18 = 0,39

3 : 18 = 0,16

1,00

36

37

38

39

40

total

41

42

1

2

2

7

3

18

2

1

2 : 18 = 0,11

1 : 18 = 0,06 6 %

100 %

Estatística - Tabelas de frequências

Estatística - Gráficos de barras

Número do sapato dos alunos de uma turma

12 2

7

32

1

0

2

4

6

8

36 37 38 39 40 41 42

nº do sapato

frequ

enc

ia a

bso

luta

Pictograma= 1 aluno

Número do sapato dos alunos do 7º F

36

37

38

39

40

41

42

nº do sapato

Estatística - Pictograma

Estatística - Gráficos circulares

Frequência absoluta (f)

Graus

20º

40º

40º

140º

60º

360º

18 1

360

x

360

18 x 20x

36

37

38

39

40

total

41

42

1

2

2

7

3

18

2

1

40º

20º

18 2

360

x

360x2

18 x 40x

720

18 x

18 7

360

x

360x7

18 x 140x

2520

18 x

18 3

360

x

360x3

18 x 60x

1080

18 x

Número do sapato dos alunos

38%

17%

11%

6% 6%11%

11%

36

37

38

3940

41

42

Estatística - Gráficos circulares

Estatística – Medidas de tendência central

Frequência absoluta (f)

36 1

37 2

38 2

39 7

40 3

41 2

42 1

Total 18

36 1 +37 2 +38 2 +39 7 +40 3+42 1

18

X

36 +74 +76 +273 +120+82+42

18X

703

18X 39,1X

Média

A média do número do sapato dos alunos é 39,1

Estatística – Medidas de tendência central

Frequência absoluta (f)

36 1

37 2

38 2

39 7

40 3

41 2

42 1

Total 18

Moda - É o valor que surge com mais

frequência se os dados são discretos.

Neste caso a moda é 39.

Mediana - Ordenados os elementos, a mediana é o valor que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana.

36;37;37;38;38;39;39;39;39;39;39;39;40;40;40;41;41;42

(39 + 39) : 2 = 39

EQUAÇÃO: é uma igualdade entre duas expressões onde, pelo menos numa delas, figura uma ou mais letras .

3x+5=2-x+4

Sou equação

3+(5-2-4) = 3+1

Não sou equação

xxx 4322

3

1º membro 2º membro

• termos: ; -2 ; 3x ; - 4 ; - x

• incógnita: x

• termos com incógnita: 3x ; - x ;

• termos independentes: -2 ; -4

x2

3

x2

3

Equações

Solução de uma equação: é um número que colocado no lugar da incógnita transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira

183 x

6 SOLUÇÃO

verdadeiraproposição1863

127 x 1520 x

5 SOLUÇÃO 5 SOLUÇÃO

Equações equivalentes: 127 x 1520 xMesmo conjunto solução

Equações

Equações sem parênteses e sem denominadores

4365 xx•Resolver uma equação é

determinar a sua solução.

102 x

•efetuamos as operações.

2

10

2

2

x

•Dividimos ambos os membros

pelo coeficiente da incógnita.

Conjunto solução 5

5x

•Determinamos a solução.

4635 xx

•Numa equação podemos mudar

termos de um membro para o

outro, desde que lhes

troquemos o sinal

•Num dos membros ficam os

termos com incógnita e no

outro os termos independentes

EQUAÇÕES COM PARÊNTESES

• simplificação de expressões com parênteses:

•Sinal menos antes dos parênteses: Tiramos os parênteses

trocando os sinais dos

termos que estão dentro 53225322 xxxx

•Sinal mais antes dos parênteses: Tiramos os parênteses

mantendo os sinais que

estão dentro. 15231523 xxxx

•Número antes dos parênteses: Tiramos os parênteses,

aplicando a propriedade

distributiva. 22661332 xxxx

8625312 xxx

Como resolver uma equação com parênteses.

•Eliminar

parênteses.8661512 xxx

•Agrupar os

termos com

incógnita.

8661152 xxx

•Efetuar as

operações

312 x

•Dividir ambos os membros

pelo coeficiente da incógnita

12

3

12

12

x

4

1x •Determinar a solução, de

forma simplificada.C.S =

4

1

EQUAÇÕES COM DENOMINADORES

436 3

3

4

2

2

1 xx

•Começamos por reduzir todos os

termos ao mesmo denominador.

12

412

12

6

12

6 xx

12

412

12

66 xx

•Duas frações com o mesmo

denominador são iguais se os

numeradores forem iguais. xx 41266

•Podemos tirar os

denominadores desde que sejam

todos iguais.

12646 xx

182 x

92

18x

Esta fração pode

ser apresentada da

seguinte forma 2

3

2

5

2

2

2

3

xx

Sinal menos antes de uma fração

2

3523

xx •O sinal menos que se encontra antes da

fração afeta todos os termos do numerador.

1(2) (6) (3) (3)

22

18

3

21 xx

7

43

7

43437

348234

334842

xxx

xx

xx

2

18

3

21 xx

•Começamos por “desdobrar” a

fração que tem o sinal menos

antes.(atenção aos sinais!)

•Reduzimos ao mesmo

denominador e eliminamos os

denominadores.

EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES

•Devemos começar por eliminar os parênteses e depois os denominadores

3

12

22

13

xxx

3

1

3

2

22

3

2

3

xxx

(3) (3) (3) (2) (2)

24399 xxx 29439 xxx

112 x 2

11

2

11

xx

C.S.=

2

11

Proporcionalidade direta

Dados dois números a e b (com 0b ), a razão entre a e

b representa-se por:

:a b ou a

b (ler: razão de a para b ).

Termos

a antecedente

b consequente

•Razão

GRANDEZAS DIRECTAMENTE PROPORCIONAIS

Exemplo 3

A tabela seguinte relaciona o número de iogurtes com o respectivo custo.

Número de iogurtes 1 2 3 4 ...

Preço (em €) 0,50 1 1,50 2 ...

Observa a variação destas duas grandezas. Verificas que quanto maior é o número de

iogurtes comprados, maior é o seu custo; correspondendo ao dobro do número de iogurtes o dobro

do custo, ao triplo do número de iogurtes o triplo do custo, etc.

Número de iogurtes 1 2 3 4 ...

Custo (em €) 0,50 1 1,50 2 ...

Diz-se por isso, que o custo é directamente proporcional ao número de iogurtes.

3

2

3

2

PROPORCIONALIDADE DIRECTA E TABELAS. CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE

Número de iogurtes 1 2 3 4 ...

Custo (em €) 0,50 1 1,50 2 ...

Na prática, como reconhecer se uma tabela traduz uma situação de proporcionalidade

directa?

Observa a tabela e completa:

0,5

1 ;

1

2 ;

1,5

3 ;

2

4 ; ...

Logo,

0,5 1 1,5 2...

1 2 3 4

Custo

Número de iogurtes =

ou seja,

o quociente entre o custo e o número de iogurtes é constante, pois é sempre igual a .

0,5 0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

Sendo assim, diz-se que:

O custo é directamente proporcional ao número de iogurtes.

Ao quociente constante chama-se constante de proporcionalidade

e representa o preço de 1 iogurte.

De um modo geral,

Se numa tabela cada

valor de uma linha se

obtém multiplicando

(ou dividindo) o valor

correspondente da

outra linha sempre

pelo mesmo número,

então as grandezas

nela representadas

são directamente

proporcionais.

A grandeza y é directamente proporcional à grandeza x

se existe um número k, de modo que:

y

kx ou y kx ;

se y é zero, x também é zero.

Ao número k chama-se constante de proporcionalidade.

Preço(em €)

n.º iogurtes1 2 3

O,5

1

1,5

PROPORCIONALIDADE DIRECTA E GRÁFICOS CARTESIANOS

Número de iogurtes 1 2 3 4 ...

Custo (em €) 0,50 1 1,50 2 ...

Exercício 1

Com base na tabela, constrói um gráfico cartesiano que relacione o preço com a quantidade

de iogurtes.

Percentagens

5 % de 120 chocolates são _______ 0,05 x 120 = 6

6 chocolates em 50 são ___%50------- 100% x = 6 x 100 : 50

6 -------- x

150 acrescidos de 10% são ____

150 + 10% de 150 = 150 +15 = 165

500 com um desconto de 20% ____500 - 20% de 500 = 500-100 = 400

Resolução de problemas envolvendo Percentagens

1- O preço de um sofá é de 300€, sem IVA.

Sabendo que o IVA é 21%, quanto é o valor, em euros, do

IVA deste sofá? Qual é o preço final do sofá?

21% de 300 = 300 x 21% = 63

300 + 63 = 363

O preço final do sofá é 363 euros.

2- Uma camisola custava 56 euros e a Ana que era amiga da dona da loja, comprou-a por 42 euros. Qual foi a percentagem de desconto?

Euros %56 -------------------------- 10042 --------------------------- x x = 42 x 100 : 56 = 75%100 – 75 % = 25 % O desconto foi de 25%.

Conjuntos numéricos

IN

Q

Z

IN0

-3 -56

-12 -4

0

4

1

3

14

9

6

IN - Conjunto dos números Naturais

IN = {1;2;3;4;5;6…}

IN0 - Conjunto dos números Inteiros

IN0 ={0;1;2;3;4;5;6…}

Z - Conjunto dos números Inteiros

relativos

Z= {… -3;-2;-1;0;1;2;3;…}

Q- Conjunto dos números racionais

Q = z U { números fracionários}

Completa com os símbolos ; ; ; -1 ….. N 1,4 ….. Z -3 …… Z- 0 …… N 3 …… N 4 …… Z- N…… Z 2,3 …… Q