Upload
doanngoc
View
219
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Review Analisis Kompleks
Sebuah Fungsi Kompleks disebut Analitik dalam domain tertentu, jika fungsi tersebut dapat diturunkan (differentiable) dalam domain tersebut.
Fungsi kompleks bersifat analitik dalam domain D, jikadan hanya jika memenuhi Persamaan Cauchy-Riemann.
Pendahuluan
Integral Kompleks merupakan salah satu bahasan yang menarikdalam Analisis Kompleks
Alasan Utama mengapa Integral Kompleks sangat penting adalahkarena integral ini dapat digunakan untuk mengevaluasi Integral Ril tertentu yang muncul dalam aplikasi namun tidak dapatdianalisis menggunakan metode kalkulus Integral Ril.
Integral Kompleks
Integral Kompleks sering juga disebut sebagai Integral GarisKompleks (atau Integral Garis), karena karakteristik Integral Kompleks memiliki kesamaan dalam pengerjaan Integral Garis
Integrand
“kurva” ataujalur integrasi
dapat dinyatakan dalampersamaan parametrik
Integral Kompleks
Biasanya dituliskan dalam bentuk:
atau
C adalah kurvadengan jalur tertutup
Asumsi UmumSemua jalur dalam Integral Kompleks dianggap sebagai“potongan yang halus” (piecewise smooth).
Integral Kompleks – Fungsi Analitik
Jika adalah fungsi analitik, maka akan terdapatsehingga , maka Integral Kompleks dapatdievaluasi sebagai berikut:
Integral kompleks pada kurva tertentu tidak hanya tergantungpada titik awal dan titik akhir dari kurva, namun jugadipengaruhi oleh bentuk kurva tersebut.
Contoh
Hitunglah integral kompleks berikut ini:
Apakah fungsi analitik?Apakah ada sebuah fungsi ) sehingga jika diturunkan
Hitung integral kompleks menggunakan rumus integral
Persamaan Parametrik
Kadang kala untuk mengerjakan Integral Kompleks, diperlukanpersamaan parametrik untuk menguraikan kurva C
Persamaan Parametrik
Hubungan antaradan terlihat “jelas”
Substitusi nilai kedalam persamaan kurva
Hubungan antara dantidak terlihat “jelas”
Persamaan Parametrik
Tidak terlihat “jelas” hubungan antara dan
GarisLurus
Lingkaran
Ellips
parameter
Cauchy’s Integral Theorem (CIT)
Integral fungsi kompleks tidak hanya dipengaruhi oleh titik-titikujungnya, melainkan juga bentuk kurva C
Simple Closed Path(jalur tertutup sederhana)
Simply Connected Domain(domain terhubung sederhana)
Cauchy’s Integral Theorem (CIT)
Jika bersifat analitik di dalam domain terhubung sederhanamaka untuk semua jalur tertutup sederhana di dalam , berlaku:
Jika bersifat analitik di dalam domain terhubung sederhanamaka integral bersifat bebas jalur (independent path)
Tidak adaPole di
dalam atau“pas” di C
Arah (+) BerlawananJarum Jam
Cauchy’s Integral Theorem (CIT)
Principle of Deformation of Path (PDP)(Prinsip Deformasi /Pengubahan Jalur)
Sepanjang jalur “alternatif” yang dapat dibentuk tetap beradadalam daerah terhubung sederhana (simply connected domain) , dan bersifat analitik, maka hasil integralnya akan selalu sama.
Cauchy’s Integral Theorem
Dapatkan diterapkan jika Domain yang ditinjau tidak Simply Connected Domain?
Perlu Trik Khusus….
Cauchy’s Integral Formula (CIF)
Cauchy’s Integral Theorem dikembangkan lagi menjadi Cauchy’s Integral Formula.
Bagaimana jikaada Pole di
dalam kurva C
Diketahui bersifat analitik di dalam domain terhubungsederhana . Maka untuk sebarang titik di dalam sertakurva sederhana melingkupi , berlaku:
Cauchy’s Integral Formula (CIF)
PERHATIKAN kedua Integral Cauchy berikut
Cauchy’s Integral Theorem Cauchy’s Integral Formula
Pengertian yang berbeda
SeluruhIntegrand
(fungsi)
Hanya bagianyang tidak ada
Pole
Derivative of Analytic Functions
Jika adalah fungsi analitik di dalam domain , maka akanmemiliki turunan semua orde di dalam (yang juga bersifat analitik). Nilai turunan pada titik di dalam adalah:
Derivative of Analytic Functions
Dapat pula “ditulis” ulang sebagai
Pengembangan lebih lanjut dari CIF
Morera’s Theorems
Teorema ini merupakan “kebalikan” dari Cauchy’s Integral Theoram (CIT)
Jika adalah fungsi yang kontinu di dalam domain terhubung sederhana (simply connected domain) , dan jika
untuk setiap jalur tertutup di dalam ,maka bersifat analitik di dalam