Embed Size (px)
DESCRIPTION
PRESEKI RAVNIN. UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA ARHITEKTURO. OPISNA GEOMETRIJA. MENTOR: DOC. DR. DOMEN KUŠAR AVTORICA: KATJA CENTRIH. PRESEKI RAVNIN. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
PRESEKI RAVNIN
UNIVERZA V LJUBLJANIFAKULTETA ZA ARHITEKTURO
MENTOR: DOC. DR. DOMEN KUŠAR AVTORICA: KATJA CENTRIH
OPISNA GEOMETRIJA
PRESEKI RAVNIN
Presek dveh ravnin je premica, na kateri ležijo točke, ki so skupne obema ravninama. To premico imenujemo presečnica. Če torej določimo vsaj 2 skupni točki danih ravnin, dobimo presečnico.
Če sta e1 in e2 slednici ravnine E, f1 in f2 pa slednici ravnine Φ, sta točki 1(v kateri se sekata e1 in f1) in 2 (v kateri se sekata e2 in f2) skupni točki obeh ravnin. Premica p (1, 2) je tako presečnica ravnin E in Φ.
X
e1’
e2’’
E0Φ0
f2’’
f1’
2’’
2’
1’
1’’
p’
p’’
PRESEK DVEH RAVNIN, PODANIH S SLEDNICAMA
z
y
X1,2
PODATKI:
Ravnina E (-3, 5/2, 7/2) Ravnina Φ (6, 3, 5)
V koordinatni sistem vrišemo podatke – slednici ravnine E – e1’ in e2’’ in nato še slednici ravnine Φ - f1’ in f2’’.
V sečišču slednic e1’ in f1’ dobimo prvo točko presečnice obeh ravnin – S1’, ki jo prenesemo tudi v narisno ravnino - S1’’.
V sečišču slednic e1’’ in f1’’ dobimo drugo točko presečnice obeh ravnin – S2’’, ki jo nato prenesemo še v tlorisno ravnino – S2’.
Točki S1’ in S2’ povežemo in s tem dobimo presečnico p’ ravnin E in Φ v tlorisni ravnini. Povežemo tudi točki S1’’ in S2’’, s čimer dobimo presečnico p’’ obeh ravnin v narisni ravnini.
e1’
e2’’
0
f2’’
f1’
S1’
p’
p’’
S1’’
S2’’
S2’ Točki S1 in S2 sta hkrati sledišči presečnice.
PRESEK SPLOŠNE RAVNINE Φ S PRVO PROJICIRNO RAVNINO E
PODATKI:
Ravnina Φ je podana z vzporednicamaa [A(-4, 4, 1), B(1, 0, 4)] in b [C(0, 4, 1)]
Projicirna ravnina E (-3, 2, ∞)
V koordinatni sistem vrišemo podatke – vzporednici a in b, ki določata ravnino Φ in nato še prvo projicirno ravnino E, ki je podana s slednicama e1’ in e2’’.
Ker je ravnina E prva projicirna ravnina, sta prebodišči, ki določata presečnico s, v tlorisu neposredno dani.
Kjer slednica e1’ seka premico a’, dobimo prvo prebodišče 1’. Kjer slednica e1’ seka drugo premico b’, dobimo drugo prebodišče 2’. Slednica e1’ je torej tudi presečnica ravnin E in Φ (e1’ = s’).
Točki 1’ in 2’ prenesmo v narisno ravnino.Prebodišče 1’’ leži na premici a’’, prebodišče 2’’ pa na drugi premici b’’. Točki povežemo in tako dobimo presečnico s’’ ravnin E in Φ v narisni ravnini.
a’
z
y
X1,2
e1’
0
e2’’
A’’
B’’
A’
B’
C’
C’’
b’
a’’
b’’
1’
2’s’
2’’
1’’
s’
PRESEK DVEH RAVNIN, PODANIH S SEČNICAMA
PODATKI:Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]
DOLOČITEV PRESEČNICE -s pomočjo risanja slednic
z
y
X1,2
P’’
R’
S’
S’’
R’’
P’
1’’
1’
2’’
2’
4’
4’’
c3’
c3’’
Ex
Ez
Ey
p’
p’’
r’’
r’e1’
e2’’
J’’
J’
L’
L’’
K’’
K’
7’
7’’
5’’
5’
8’
8’’
6’’
6’Φy
ΦX
ΦZ
f2’’
f1’
V koordinatni sistem vrišemo podatke – ravnino E, ki je podana s sečnicama p in r, ter ravnino Φ, ki je podana s sečnicama m in n.
Če želimo določiti presečnico s ravnin E in Φ, moramo najti vsaj dve skupni točki obeh ravnin. V ta namen pa moramo najprej določiti slednici obeh ravnin.
Kjer premica p’’ seka koordinatno os x, dobimo točko 1’’, ki jo prenesemo v tlorisno ravnino na ustrezno premico (1’ leži na p’). Kjer premica r’’ seka koordinatno os x, dobimo točko 2’’, ki jo prenesemo na tlorisno projekcijo premice r (2’ leži na r’).
Točki 1’ in 2’ povežemo in tako dobimo prvo slednico e1’ ravnine E in s tem tudi dve sledišči te ravnine - Ex in Ey.
Kjer premica p’ seka koordinatno os x, dobimo točko 3’, ki jo prenesemo na narisno projekcijo premice p. Kjer premica r’ seka koordinatno os x, dobimo točko 4’, ki jo prav tako prenesemo v narisno ravnino, in sicer na premico r’’. Točki v narisni ravnini 3’’ in 4’’ povežemo in tako dobimo še drugo slednico e2’’ ravnine E, ter sledišče ravnine Ez.
Za določitev obeh slednic druge ravnine Φ, je postopek enak.
m’
n’
m’’
n’’
X1,2
S1’
S2’’
z
y
P’’
R’
S’
S’’
R’’
P’
1’’
1’
2’’
2’
4’
4’’
c3’
c3’’
Ex
Ez
Ey
p’
p’’
r’’
r’e1’
e2’’
J’’
J’
L’
L’’
K’’
K’
7’
7’’
5’’
5’
8’
8’’
6’’
6’Φy
ΦX
ΦZ
f2’’
f1’
S1’’S2’
Presečišče prvih slednic obeh ravnin e1’ in f1’ je prva točka presečnice S1’, ki jo prenesemo še v narisno ravnino – točka S1’’.
Presečišče drugih slednic obeh ravnin e2’’ in f2’’ predstavlja drugo točko presečnice S2’’, ki jo nato prenesemo še v tlorisno ravnino – točka S2’. V tlorisni in narisni ravnini povežemo obe točki presečnice S1 in S2, dobljena premica je presečnica s ravnin E in Φ.
s’
s’’
m’
n’
m’’
n’’
PRESEK DVEH RAVNIN, PODANIH S SEČNICAMA
PODATKI:Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]
DOLOČITEV PRESEČNICE -s pomočjo risanja slednic
PRESEK DVEH RAVNIN, PODANIH S SEČNICAMA
PODATKI:Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]
DOLOČITEV PRESEČNICE - s pomočjo prebodov premic
z
y
P’’
R’
S’
S’’
R’’
P’p’
p’’
r’’
r’
J’’
J’
L’
L’’
K’’
K’
V koordinatni sistem vrišemo podatke – točke P, R, S, ki določajo presečnici p in r (ravnina E), in točke J, K, L , ki določajo presečnici m in n (ravnina Φ).
Kjer premica n’’ ravnine Φ (v narisu) seka premico p’’ ravnine E, dobimo točko 1’’. Kjer n’’ seka drugo premico r’’ ravnine E, dobimo točko 2’’. Točki 1’’ in 2’’ prenesemo v tlorisno ravnino na ustrezni premici (točka 1’ leži na premici p’, točka 2’ leži na premici r’).
Točki 1’ in 2’ v tlorisni ravnini povežemo. Kjer premica 1’2’ seka premico n’ ravnine Φ, dobimo točko 3’, ki je tudi prvo prebodišče obeh ravnin. Točko 3’ prenesemo v narisno ravnino – 3’’ leži na premici n’’.
Kjer premica m’ ravnine Φ (v tlorisu) seka premico p’ ravnine E, dobimo točko 4’. Kjer m’’ seka drugo premico r’ ravnine E, dobimo točko 5’. Točki 4’ in 5’ prenesemo v narisno ravnino na ustrezni premici (točka 4’’ leži na p’’, točka 5’’ leži na r’’).
V tlorisu in narisu povežemo prebodišči 3 in 6, s tem pa dobimo presečnico s ravnin Φ in E.
m’
n’
m’’
n’’
1’’
2’’
2’
1’
3’
3’’
4’’
4’
5’
5’’
6’’
6’Točki 4’’ in 5’’ v narisni ravnini povežemo. Kjer premica 4’’5’’ seka premico m’’, dobimo drugo prebodišče ravnin E in Φ - točko 6’’. Točko prenesemo v tlorisno ravnino – 6’ leži na premici m’.
s’
s’’
PRESEK RAVNIN DVEH RAVNINSKIH LIKOVPODATKI:Ravnina Φ paralelograma ABCDΦ [A (2, 6, ½), B (6, 3, 9/2), C (1, 0, 7), D]Ravnina E trikotnika JKL E [J (-1, 7, 7), K (9/2, 0, 2), L (-3, 9/2,0)] V koordinatni sistem vrišemo podatke – točke
paralelograma A, B, C. Ker ima paralelogram po dve stranici vzporedni, dobimo tako tudi točko D. Točke ABCD določajo ravnino Φ. Narišemo še točke trikotnika J, K, L, ki določajo ravnino E.
Kjer stranica Δ J’’K’’ v narisu seka stranico paralelograma A’’B’’ dobimo točko 1’’, ki jo prenesemo v tloris na stranico A’B’ – točka 1’. Kjer J’’K’’ seka stranico C’’D’’, dobimo točko 2’’, ki jo prav tako prenesemo v tloris na stranico C’D’ - točka 2’.
Točki 1’ in 2’ v tlorisni ravnini povežemo. Kjer premica 1’2’ seka stranico Δ J’K’ dobimo točko 3’, ki je tudi prvo prebodišče obeh ravnin. Točko 3’ prenesemo v narisno ravnino – 3’’ leži na stranici J’’K’’.
V tlorisni ravnini narišemo še točko 4’ (presečišče stranic J’K’ in A’D’ ter točko 5’ (presečišče stranic K’L’ in A’D’. Obe točki prenesemo v narisno ravnino na ustrezni stranici.
V narisni ravnini povežemo točki 4’’ in 5’’. Kjer premica 4’’5’’ seka stranico paralelograma A’’D’’, dobimo drugo prebodišče ravnin – točka 6’’. Točko prenesemo v tlorisno ravnino – 6’ leži na stranici A’D’.
z
y
X1,2
0
B’’
A’
A’’
B’
C’
C’’
J’
J’’
K’
K’’
L’
L’’
D’
D’’
2’’
1’’
1’
2’
3’
3’’
5’
4’
6’
6’’
5’’
4’’
s’
s’
V tlorisu in narisu povežemo prebodišči 3 in 6, s tem pa dobimo presečnico s ravnin Φ in E.
PRESEK RAVNIN DVEH RAVNINSKIH LIKOV
z
y
X1,2
0
B’’
A’
A’’
B’
C’
C’’
J’
J’’
K’
K’’
L’
L’’
D’
D’’
2’’
1’’
1’
2’
3’
3’’
5’
4’
6’
6’’
5’’
4’’
s’
s’PRI RISANJU PAZIMO NA VIDNOST!
PODATKI:Ravnina Φ paralelograma ABCDΦ [A (2, 6, ½), B (6, 3, 9/2), C (1, 0, 7), D]Ravnina E trikotnika JKL E [J (-1, 7, 7), K (9/2, 0, 2), L (-3, 9/2,0)]
