Upload
bimo-rahmad
View
215
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Ariil
Citation preview
BARISAN DAN DERET
1.1. Barisan dan Limit Barisan
Barisan (sequence) pada himpunan S adalah suatu fungsi dengan domain ℕ dan
mempunyai range dalam S. Pada subbab ini akan dibahas mengenai barisan di ℝ dan konvergensi dari suatu barisan.
Dengan kata lain, barisan dalam ℝ mengawankan setiap bilangan asli
n 1, 2,3,... kepada suatu bilangan real. Jika X :ℕℝ merupakan barisan, maka
biasanya dituliskan dengan nilai dari X pada n dengan notasi xn . Barisan sering
dinotasikan dengan X atau atau xn: nℕ atau atau . Apabila
diketahui suatu barisan Y, artinya .
Contoh 1.1.2.
(a) Barisan dengan adalah barisan
.
(b) Barisan dengan .
(c) Barisan konstan dengan adalah 3,3,3,3,.... .
1
Definisi 1.1.1. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi yang didefinisikan padahimpunan ℕ dengan range dalam ℝ .
(d) Barisan .
Sebagai catatan, notasi Kdigunakan untuk menekankan bahwa
pilihanK bergantung pada nilai . Oleh karenanya sering ditulis K daripada
K.Dalam banyak kasus, nilai yang kecil memerlukan nilai K yang besar
untuk menjamin bahwa jarak |xnx| antara xn dan x kurang dari
Jika x adalah limit suatu barisan , maka dikatakan konvergen ke
x, atau mempunyai limit x. Dalam hal ini ditulis atau
atau . Jika tidak konvergen, maka dikatakan divergen.
2
Definisi 1.1.3. Diberikan barisan bilangan real dan , dan ℝ. Maka dapat didefinisikan(i)
(ii)
(iii)
(iv) , asalkan
Definisi 1.1.4. (Limit Barisan) Diketahui barisan bilangan real. Suatu bilangan real x dikatakan limit barisan jika untuk setiap
terdapat sedemikian hingga untuk setiap dengan berlaku .
Teorema 1.1.5. Jika barisan konvergen, maka mempunyai paling banyak satu limit (limitnya tunggal).
Bukti. Andaikan dan dengan . Maka untuk sebarang
terdapat Ksedemikian hingga untuk setiap , dan terdapat
sedemikian hingga untuk setiap . Dipilih .
Menggunakan Ketaksamaan Segitiga, maka untuk n K diperoleh
Karena berlaku untuk setiap , maka yang berarti .
Kontradiksi dengan pengandaian. Jadi, terbukti bahwa limitnya tunggal.
Theorem
Let ⟨sn⟩ be a real sequence.
Then ⟨sn⟩ can have at most one limit.
Proof 1
3
Suppose that ⟨sn⟩ converges to l and also to m.
That is, suppose limn→∞ xn = l and limn→∞ xn=m.
Assume that l≠m, and let:
ϵ = |l−m| / 2
As l≠m, it follows that ϵ > 0.
Therefore, since ⟨sn⟩→l:
∃N1 ∈ N : ∀n ∈ N : n > N1 : |sn−l| < ϵ
Similarly, since ⟨sn⟩→m:
∃N2 ∈ N : ∀n ∈ N : n > N2 : |sn−m|<ϵ
Now set N = max{N1,N2}.
We have:
|l−m|
=
|l−sN+sN−m|
≤
|l−sN|+|sN−m|
by the Triangle Inequality
< 2ϵ
= |l−m|
This constitutes a contradiction.
Therefore, it must be that l=m.
Theorem
Let (X,d) be a metric space.
4
Let ⟨xn⟩ be a sequence in (X,d).
Then ⟨xn⟩ can have at most one limit.
Proof
Suppose limn→∞ xn = l and limn→∞ xn = m.
Let ϵ > 0.
Then, provided n is sufficiently large:
d(l,m)
≤
d(l,xn)+d(xn,m)
Triangle Inequality
< ϵ+ϵ by definition of limit
= 2ϵ
So 0≤d(l,m) / 2 < ϵ.
This holds for any value of ϵ > 0.
Thus from Real Plus Epsilon it follows that d(l,m) / 2 = 0, that is, that l=m.
5
Theorem
Let T=(S,τ) be a Hausdorff space.
Let ⟨xn⟩ be a convergent sequence in T .
Then ⟨xn⟩ has exactly one limit.
Proof
From the definition of convergent sequence, we have that ⟨xn⟩ converges to at least one limit.
Suppose limn→∞ xn = l and limn→∞ xn = m such that l≠m.
As T is Hausdorff, ∃U ∈ τ : l ∈ U and ∃V ∈ τ : m ∈ V such that U∩V=∅.
Then, from the definition of convergent sequence:
∃NU ∈ R :
n > NU
⟹
xn ∈ U
∃NV ∈ R :
n > NV
⟹
xn ∈ V
Taking N=max{NU,NV} we then have:
∃N ∈ R : n > N ⟹ xn ∈ U, xn ∈ VBut U∩V=∅.
From that contradiction we can see that there can be no such two distinct l and m.
6
KESIMPULAN
Definisi 1.1.1. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi yang didefinisikan padahimpunan ℕ dengan range dalam ℝ .
Definisi 1.1.3. Diberikan barisan bilangan real dan , dan ℝ. Maka dapat didefinisikan(i)
(ii)
(iii)
(iv) , asalkan
Definisi 1.1.4. (Limit Barisan) Diketahui barisan bilangan real. Suatu bilangan real x dikatakan limit barisan jika untuk setiap terdapat
sedemikian hingga untuk setiap dengan berlaku .
Teorema 1.1.5. Jika barisan konvergen, maka mempunyai paling banyak satu limit (limitnya tunggal).
7