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Conceptos básicos El concepto de probabilidad se encuentra con frecuencia en situaciones de la vida cotidiana. En un sorteo, José tiene un 1,8% de probabilidad de ganarse un auto. Ejemplo: En el ejemplo, se da el “valor” de la posibilidad de que ocurra un evento (ganarse un auto) y esta se expresa mediante un porcentaje entre 0 y 100, o con un número entre 0 y 1. Intuitivamente, podemos observar que cuanto más probable es que ocurra un evento, su medida de ocurrencia estará más próximo a 100% (o a 1), y cuando menos probable, más se aproximará a 0.

Presentación de PowerPoint · 2017. 11. 3. · En un sorteo, José tiene un 1,8% de probabilidad de ganarse un auto. Ejemplo: En el ejemplo, se da el “valor” de la posibilidad

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Conceptos básicos

El concepto de probabilidad se encuentra con frecuencia en

situaciones de la vida cotidiana.

En un sorteo, José tiene un 1,8% de probabilidad de ganarse un auto.

Ejemplo:

En el ejemplo, se da el “valor” de la posibilidad de que ocurra un

evento (ganarse un auto) y esta se expresa mediante un porcentaje

entre 0 y 100, o con un número entre 0 y 1.

Intuitivamente, podemos observar que cuanto más probable es que

ocurra un evento, su medida de ocurrencia estará más próximo a 100%

(o a 1), y cuando menos probable, más se aproximará a 0.

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Espacio muestral

Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un

experimento.

Ejemplos:

1. Al realizar el experimento “lanzar un dado común” el espacio

muestral tiene 6 elementos:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. Al realizar el experimento “lanzar una moneda y un dado común” el

espacio muestral tiene (2 · 6) = 12 elementos:

E = {c1, c2, c3, c4, c5, c6, s1, s2, s3, s4, s5, s6}

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Evento o suceso

Corresponde a un subconjunto de un espacio muestral, asociado a un

experimento aleatorio.

Ejemplo:

Experimento: lanzar un dado de seis caras.

Espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Para este espacio muestral, se puede definir el siguiente suceso:

A: Obtener un número par.

Es decir, A = {2, 4, 6}.

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Probabilidad clásica

Casos posibles

Casos favorables P(A) = Cardinalidad del espacio muestral.

La cardinalidad corresponde a la cantidad de

elementos de un conjunto. Ejemplos:

1. Si se lanza una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener una cara?

Casos posibles : 2 {Cara, Sello}

Casos favorables : 1 {Cara}

Cardinalidad del evento o suceso A.

Casos posibles

Casos favorables P(Cara) =

1

2 =

Al realizar un experimento, la probabilidad de que ocurra el evento o

suceso A es:

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Probabilidad clásica

Para trasformar a porcentaje se

multiplica por 100%.

2. Si se lanza un dado común, ¿cuál es la probabilidad de obtener un

número mayor que 4?

Casos posibles : 6 {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Casos favorables: 2 {5, 6}

Casos posibles

Casos favorables P(Número mayor que 4) = (Reemplazando)

2

6 P(Número mayor que 4) = (Simplificando)

1

3 P(Número mayor que 4) =

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Tipos de eventos

Evento seguro

Es aquel que siempre sucederá. Si se tiene certeza absoluta de que

un evento A ocurrirá, entonces:

P(A) = 1

Ejemplo:

La probabilidad de obtener un número natural al lanzar un dado común

es 1 (6 de 6).

6

6 = = 1

Casos posibles : 6 {1,2,3,4,5,6}

Casos favorables: 6 {1,2,3,4,5,6}

Casos posibles

Casos favorables P(Natural) =

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Tipos de eventos

Evento imposible

Es aquel que nunca sucederá. Si se tiene certeza absoluta de que un

evento A jamás ocurrirá, entonces:

P(A) = 0

Ejemplo:

La probabilidad de obtener un número mayor que 6 al lanzar un dado

común es 0 (0 de 6).

0

6 = = 0

Casos posibles : 6 {1,2,3,4,5,6}

Casos favorables: 0

Casos posibles

Casos favorables P(Mayor que 6) =

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¿Cuál es la alternativa

correcta?

ejemplo

5. Una caja contiene 6 esferas, todas de igual peso y tamaño, con las

letras de la palabra TEATRO. Si se extrae una esfera al azar, ¿cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de sacar una T es .

II) La probabilidad de NO sacar una consonante es .

III) La probabilidad de sacar una E es igual a la probabilidad de

sacar una O.

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

1

3

1

2

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Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolución:

I) Verdadera, ya que la palabra TEATRO tiene dos T. Entonces:

Casos posibles

Casos favorables P(T) =

Casos posibles: 6

Casos favorables: 2

2

6 =

1

3 =

II) Verdadera, ya que la palabra TEATRO tiene tres vocales. Entonces:

P(NO sacar una consonante) = P(Vocal)

Casos posibles

Casos favorables P(Vocal) =

Casos posibles : 6

Casos favorables: 3

3

6 =

1

2 =

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Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolución:

III) Verdadera, ya que la palabra TEATRO tiene una E y una O. Entonces,

para ambas letras ocurre que:

Casos posibles

Casos favorables P(E) = P(O) =

Casos posibles : 6

Casos favorables: 1

1

6 =

Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.

Habilidad: Análisis

E

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Variable aleatoria

Una variable aleatoria X es una función que asocia a cada suceso del espacio muestral E de un experimento Aleatorio, con un valor numérico real:

La variable aleatoria puede ser discreta o continua. Veremos el caso discreto, que es el conjunto de posibles valores numerables. Ejemplo: cantidad de hermanos, numero de puntos obtenidos al lanzar un dado

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Ejemplo de variable aleatoria discreta:

Número de caras al lanzar

3 monedas.

Elementos del espacio muestral +++ ++C +C+ C++ CC+ C+C +CC CCC

Nº reales (# de caras) 0 1 2 3 caras

Establecer una variable aleatoria

para un experimento aleatorio no

es más que una manera de asignar

de "manera natural" números a los

eventos.

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Función de probabilidad V.A.D

Es una función que asocia a cada valor xi de una variable

Aleatoria discreta su probabilidad de ocurrencia pi, es decir

f(xi)=P(X=xi):

La función de probabilidad debe cumplir:

1)(0)1 ixf

Si x1, x2, x3,…,xn es el recorrido de la

variable aleatoria x

2) f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+ f(xn)=1

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Función de probabilidad discreta

se define V A X : números de sellos obtenidos al lanzar dos monedas

Valores Probabilidad

0 1/4 = 0.25

1 2/4 = 0.50

2 1/4 = 0.25

S

S

S S

Además 0.25+0.5+0.25= 1

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Gráfico

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Ejemplo • Se define la variable aleatoria X:Número de caras

que se obtienen al lanzar 3 veces una moneda

normal.

• Complete la siguiente tabla y determine el valor de

a+b+c+d=

Resultados del

experimento

Valores de X f(xi)=P(X=xi)=

sss X1 f(X1= )=P(X=x1)=a

ssc scs css X2 f(X2= )=P(X=x2)=b

scc csc ccs X3 f(X3= )=P(X=x3)=c

ccc X4 f(X4= )=P(X=x4)=d

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Actividad

• Se define la variable aleatoria X: al lanzar

dos dados anotar la suma de sus

puntuaciones.

• Construir una tabla con el espacio

muestral, el recorrido de la VAX, la función

probabilidad y construir un grafico

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f(x)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

1/36

2/36

6/36

4/36

5/36

3/36

2/36

1/36

5/36

4/36

3/36

Gráfico

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Función de distribución acumulada de una V.A.D

Dada una variable aleatoria discreta X y su función de probabilidad

f(x)=P(X=x), se define la función de distribución acumulada como la función

Que asocia a cada valor xi la probabilidad acumulada hasta xi

F(xi)= P(X ≤ xi)= f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+ f(xi)

se de denota F(x)= P(X ≤ x)

)(F1)X(P1)X(P 4) aaa

aFbFbXaPentoncesbaSi

xFxFxXP

xF

ii

i

)()()(,)3

)()()()2

1)(0)1

1

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Ejemplo :

La siguiente tabla representa los valores de la función de distribución acumulada

Para la variable aleatoria X definida como el numero de caras que se obtiene al

lanzar tres veces una moneda

Resultados

del

experiment

o

Valores de X f(x)=P(X=x) F(x)=P(X ≤ x)

sss 0 F(0)=P(X ≤ 0)=

ssc scs css 1 F(1)=P(X ≤ 1)=

scc csc ccs 2 F(2)=P(X ≤ 2)=

ccc 3 F(3)=P(X ≤ 3)=

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La esperanza matemática o valor esperado de una

variable aleatoria discreta es la suma del producto

de la probabilidad de cada suceso por el valor de

dicho suceso.

El nombre de esperanza matemática y valor

esperado tienen su origen en los juegos de azar y hacen

referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador

cuando hace un gran número de apuestas.

Si la esperanza matemática es cero, E(x) = 0,

el juego es equitativo, es decir, no existe ventaja ni para el

jugador ni para la banca.

Esperanza matemática

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Varianza de una V.A.D

222 )( XEXEXV

Desviación estándar de una V.A.D

22)( XEXEXVS

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x p i

0 0,1

1 0,2

2 0,1

3 0,4

4 0,1

5 0,1

Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

Ejemplo

Calcular: Varianza Desviación estándar

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Ejercicio

CALCULAR

ESPERANZA

VARIANZA

DESVIACIÓN ESTÁNDAR