Presentación de PowerPointºmeros...operaciones que hemos aprendido desde nuestros estudios primarios. Operar con naturales, decimales exactos, enteros, de igual y distintos signos,

Matemática de 3er Año con Tu Profesor Virtual

Kharla Mérida

Operaciones en los Reales

Estudiar las operaciones en este campo de numeración es en realidad repasar las operaciones que hemos aprendido desde nuestros estudios primarios. Operar con naturales, decimales exactos, enteros, de igual y distintos signos, fracciones y decimales periódicos, nos ha preparado para agregar sólo los decimales irracionales que completan el campo de los Números Reales. Más que aprender una nueva operación o forma de efectuar una operación, aquí organizamos y revisamos todo lo aprendido durante nuestra formación primaria y la parte de secundaria que hasta

ahora llevamos, de tal manera que no tengamos dificultades para efectuar cálculos con números reales en matemática, física y química.

1

Cada situación vivida es una oportunidad de aprender, de ser mejores y de hacer cosas mejores. Si asumimos esto como parte de nuestra naturaleza y sentir, seremos parte de las soluciones.

3.1 Operaciones y Propiedades. Suma,

Resta, Multiplicación, División y

Potenciación con exponente Entero.

Descripción

3 3ra Unidad


https://t.me/kharlamerida


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NÚMEROS REALES. Operaciones y Propiedades

Manejar con destreza las Operaciones aritméticas.

Operaciones de las Propiedades, Suma y Propiedades, Multiplicación y Propiedades, Potenciación y Propiedades

2

Contenido

Conocimientos Previos Requeridos

Videos Disponibles


https://guao.org/docentes/tercer_ano/matematica/tercer_ano/matematica/operaciones_y_propiedades_en_los_reales-operaciones_y_propiedades_en_los_numeros_reales











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NÚMEROS REALES. Operaciones y Propiedades

Este conjunto de numeración hereda las operaciones y propiedades de los conjuntos que lo componen. Aquí se habla de Suma Algebraica, multiplicación, división, potenciación y ahora radicación.

Se tiene definido que la resta es la operación contraria de la suma, la división es la operación contraria de la multiplicación, y la radicación es la operación contraria de la potenciación.

Directas Inversas

Suma Resta

Multiplicación División

Potenciación Radicación

3

Guiones Didácticos

5 + 7 = 12 12 – 7 = 5

9 · 4 = 36 36 4 = 9

43 = 64 3 64 = 4

Como los números Reales contemplan Números Enteros, Racionales e Irracionales, las operaciones contemplan: • Operaciones entre números enteros, • Operaciones entre números fraccionarios

• Operaciones entre números decimales (ya sea exactos, periódicos o no periódicos)




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En las lecciones de números enteros aprendimos a efectuar todas las operaciones entre números enteros en la sección de números racionales aprendimos a efectuar las operaciones entre números fraccionarios, y en educación básica aprendimos a

sumar, restar y dividir entre números decimales

Y las propiedades de los números reales se heredan de las propiedades de los Números que los conforman entonces, tenemos dos grupos de propiedades y una propiedad que conecta dos operaciones. Un grupo para la suma algebraica y un grupo para la multiplicación y la propiedad que conecta estas dos operaciones.

4

Se Heredan las Propiedades de las Operaciones de los Números que lo conforman

En la suma algebraica tenemos: • Propiedad Conmutativa, • Propiedad Asociativa, • Elemento Neutro y

• Elemento Opuesto

En la Multiplicación tenemos: • Propiedad Conmutativa, • Propiedad Asociativa, • Elemento Neutro o Identidad Multiplicativa y • Elemento Simétrico o Inverso.

Y la propiedad conectiva es la Propiedad Distributiva de la multiplicación respecto a la suma algebraica



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NÚMEROS REALES. Aproximaciones por defecto y por exceso.

Cuando trabajamos con números reales debemos estar preparados para operar con números decimales que tienen infinitas cifras decimales, ya sea que estas sean

periódicas, como en los racionales, o no, como en los irracionales. En cualquiera de los casos se hace necesario entonces poner un tope a las cifras de estos decimales para operar con una cantidad específica de cifras. Es así como se establece un método que satisface esta necesidad, conscientes de que su uso está condicionado y aplica a casos o situaciones en las que el margen de error es casi nulo.

Aproximación. Es un método que consiste en obtener un decimal exacto lo más cercano posible a un decimal de infinitas cifras, para poder operar y efectuar cálculos con él.

Como puedes observar, colocamos 3 opciones de aproximaciones en cada ejemplo. Esto se debe a que las aproximaciones se pueden hacer a 1 cifra decimal, a 2 cifras decimales, a 3, o a las que desees o las exija la situación de estudio.

La aproximación o redondeo sigue dos criterios: aproximación o redondeo por defecto y redondeo por exceso.

Ejemplos

Decimal con Infinitas Cifras

15,70368154…

Decimal Exacto Aproximado

15,7037 ó 15,704 ó 15,70

3,14159… 3,1416 ó 3,142 ó 3,14

Redondeo por Defecto: el decimal exacto es menor que el decimal de infinitas cifras.

Entonces en el 1er ejemplo tenemos:

15,70368154… Decimal dado 15,7037 aproximación a 4 cifras decimales 15,704 aproximación a 3 cifras decimales 15,70 aproximación a 2 cifras decimales

Redondeo por Exceso: el decimal

exacto es mayor que el decimal de infinitas cifras.

3,14159… Decimal dado 3,1416 aproximación Por Exceso 3,142 aproximación Por Exceso 3,14 aproximación Por Defecto

En el 2do ejemplo tenemos:

Antes de presentar los criterios de aproximación, establezcamos los elementos a considerar. Cifra Base. Es la cifra a la que queremos aproximar, es decir, es la última cifra del decimal exacto que queremos obtener.

, …

Cifra Base

Decimal de Infinitas Cifras

Parte Entera



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Cifra de Referencia. Es la cifra a la que observamos para establecer el tipo de aproximación.

, …

Cifra Base

Parte Entera

Cifra de Referencia

Criterio de Aproximación: • Si la cifra de referencia es menor que 5, la cifra base se deja igual. • Si la cifra de referencia es igual o mayor que 5, la cifra base se aumenta una

unidad.

Nuevamente en el 1er ejemplo tenemos:

15,70368154… Decimal dado

Para redondear a 5 cifras

… , 15 7 0 3 6 8 1 La cifra de referencia vale 1, menor que 5.

Entonces dejamos igual la cifra base.


… , 15 7 0 3 6 8 La cifra de referencia vale 8, mayor que 5. Entonces aumentamos una unidad la cifra base.

15,70368 Decimal aproximado



… , 15 7 0 3 6 La cifra de referencia vale 6, mayor que 5. Entonces aumentamos una unidad la cifra base.



… , 15 7 0 3 La cifra de referencia vale 3, menor que 5. Entonces queda igual la cifra base.


Para redondear a 1 cifra

… , 15 7 0 La cifra de referencia vale 0, menor que 5. Entonces queda igual la cifra base.


¿Cómo queda el número 756,4851… aproximado a 2 cifras?

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NÚMEROS REALES. La Naturaleza de los Números y Sus Operaciones.

Cuando hablamos de La Naturaleza de los Números enteros, sabemos que sólo estamos contemplando

números y operaciones enteras y exactas. Por ejemplo, sabemos que la suma, resta o multiplicación de números enteros resulta en números enteros.

Cuando hablamos de La Naturaleza de “algo” nos referimos a todas las cualidades o propiedades que lo hacen ese “algo” de forma específica. Cuando decimos La Naturaleza Humana, nos referimos a todo lo que nos diferencia de los otros seres vivos. Por ejemplo, la capacidad de desarrollar tecnología, de crear una sociedad regida por leyes e intereses adecuados a los grupos que las establecen.

Calcular las sumas:

Pero si intentamos dividir el número 8 entre 3, sabemos que no encontraremos número entero que represente el resultado de esa división.

Entonces podemos decir que en Los Enteros:

• La Adición de cualquier par de enteros resulta un entero. • La Sustracción de cualquier par de enteros resulta un entero. • La Multiplicación de cualquier par de enteros resulta un entero. • La División de cualquier par de enteros no siempre tiene solución en los enteros.

Ahora, ¿qué sucede si operamos números reales de distinta naturaleza?

4 + 7

2-5 + 3 +

42

3 + 7 2

4 + 7

2

4 es un número entero, por lo que conocemos su valor exacto. 7 medios es un número racional, su valor es 3,5. Efectuamos 4 + 3,5 = 7,5 El valor obtenido es un decimal exacto, es decir, un número racional.

En general, La suma de un número entero con un número racional es un número racional.

-5 es un número entero, por lo que conocemos su valor exacto. Raíz de 3 es un número irracional, su valor es 1,73205... Aproximamos por defecto tenemos 1,732 y efectuamos: -5 + 1,732 = -3,268

En general, La suma de un número entero con un número irracional es un número irracional.

-5 + 3

El valor obtenido es un decimal Aproximado. Se trata un número irracional.

7



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es un número racional, su valor es 1,333...

En general, La suma de un número racional con un número irracional es un número irracional.

+ 4

23

El valor obtenido es un decimal Aproximado, que provienen de números con infinitas cifras decimales. En uno las cifra se repiten, en el otro no. Lo que significa que en la suma, las infinitas cifras no se repiten. Se trata de un número irracional.

Los valores de ambos números son decimales con infinitas cifras decimales. Aproximamos ambos números a dos cifras y efectuamos: 1,33 + 1,41 = 2,74

4

3

es un número irracional, su valor es 1,4142135... 2

+ 7 2 ¿Qué tipo de número obtenemos de esta suma?

Efectúa la suma de estos dos números irracionales, aproximando como hemos aprendido en este objetivo.

En general, para la adición, sustracción, multiplicación y división: • Las operaciones entre números Racionales resultan en Números Racionales. • Las Operaciones entre Números Irracionales resultan en Números Irracionales.

Nota: Existe una restricción importante cuando se trata de la división, y es que el divisor debe ser distinto de cero, porque No existe la División entre Cero.

Ahora debemos estudiar la Potenciación de forma particular. Considerando dos casos: • De números reales con exponente entero. • De números reales con exponente fraccionario. En la siguiente lección estudiaremos el 1er caso, y dejaremos el estudio detallado

del 2do caso para la próxima Unidad.

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NÚMEROS REALES. Potencias con exponentes enteros.

Para los números reales aplican las mismas propiedades de las potencias estudiadas en los enteros y racionales. Veamos:

1. Potencia con Exponente Cero: toda potencia con exponente cero es igual a uno.

a0 = 1

2. Potencia con Exponente Uno: toda potencia con exponente uno es igual a la base.

a1 = a

4. Multiplicación de Potencias con Igual Base: Cuando se multiplican potencias de igual base, se coloca la misma base y se suman los exponentes.

am· an = am+n

3. Potencia con Exponente Negativo: toda potencia con exponente negativo es igual al inverso con exponente positivo.

-n

n

1a

a

5. División de Potencias con Igual Base: Cuando se dividen potencias de igual base, se coloca la misma base y se restan los exponentes.

mm-n

n

aa

a

7. Potencia de un Cociente: La potencia de un cociente es el cociente de las potencia.

n na a

b nb

6. Potencia de un Producto: La potencia de un producto es igual al producto de las potencias.

(a· b)n = an· bn

Nota: Importante considerar dos casos: Exponente Mayor en el Numerador: la potencia resultante queda en el numerador con exponente positivo. Exponente Mayor en el Denominador: la potencia resultante queda en el denominador con exponente positivo, o en el numerador con exponente negativo.

8. Potencia de una Potencia: en la potencia de una potencia se coloca la misma base y se multiplican los exponentes.

(am)n = am·n

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9. Potencia con Exponente Par: Toda potencia con exponente par resulta positiva.

10. Potencia con Exponente Impar: Toda potencia con exponente impar resulta con signo igual al de la base.

Vamos a mostrar con ejemplos cómo aplican estas propiedades para números reales.

En cada caso aplique propiedades de la potenciación y simplifique:

3

0

2

51.

Esto es una potencia de base un irracional y exponente

cero. Aplica la 1ra propiedad, Potencia con exponente cero.

3

0

21

5Toda Potencia con exponente cero es igual a 1.

Nota: aplicar esta propiedad no depende del valor de la base, es decir, ya sea que la base se trate de un número entero, un decimal, una fracción, o un irracional, si el exponente es cero la potencia es igual a 1.

1

15272. Esto es una potencia de base racional y exponente uno.

Aplica la 2da propiedad, Potencia con exponente uno.

1

1 15 527 27 Toda Potencia con exponente uno es igual a la base.

3

173. Esto es una potencia de base entera y exponente negativo. Aplica la 3ra propiedad, Potencia con exponente negativo.

3

3

117

17

Toda Potencia con exponente negativo es igual al inverso con exponente positivo.

Nota: Hay dos maneras de escribirlo. Cualquiera de las formas es válida.

33 1

1717

¿Recuerdas que es el inverso de un número?

Este concepto fue estudiado en los Números Racionales. A medida que avanzamos se hace necesario cada pieza de conocimiento asimilado con anterioridad. Si tienes dificultades para entender o para operar en este nivel, es necesario que revises los temas que no recuerdes y acudas a la guía adecuada para poder lograr este objetivo.

10



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-3 5 11

2 2 2 2 4. Esto es una multiplicación de 4 potencias, todas con la misma base. Aplica la 4ta propiedad, multiplicación de

potencias con igual base.

Cuando se multiplican potencias de igual base, se coloca la misma base y se suman los exponentes.

-3 5 11 -3 5 11 1+ + +

2 2 2 2 2=

Nota: el exponente de la 4ta potencia es 1, recuerda que

6

115.

Esto es una división de 2 potencias, ambas con la misma base. Aplica la 5ta propiedad, división de potencias con igual base.

Cuando se dividen potencias de igual base, se coloca la misma base y se restan los exponentes.

6

6 11 5

11

Podemos dejar -5 como resultado, o podemos aplicar la

propiedad de la potencia con exponente negativo para dejar el resultado con exponente positivo.

5

5

1

214

-3 5 11

2 2 2 2 2 14

2 3ab7

6. Esto es una potencia que tiene como base un producto. Aplica la 6ta propiedad, potencia de un producto.

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias.

7 77 7 72 3 2 3ab a b

6

5

11

6

11 5

1

56

11

1

7

7 7 7= 2 3 a b2 3ab7

5

2 5

37.

Esto es una potencia que tiene como base un cociente. Aplica la 7ma propiedad, potencia de un cociente.


55

5

2 52 5

3 3

2 21

¿Qué tenemos en el numerador y en el denominador?

11



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En el numerador tenemos potencia de un producto, y en el denominador una potencia sencilla.

5

5

2 5

3


5 55 5

5 5

2 5 2 5

3 3

5 55 52 5 2 5

55 5 5

5

2 52 5

3 3

3

2 53x y8. Esta potencia tiene como base un producto. Aplica la 6ta propiedad, potencia de un producto.


3 3 3 35 2 523x y 3 x y=

3 3

2 5 6 153x y 3 x y

Tenemos dos potencias cuyas bases son potencias. Aplica la 8va propiedad, potencia de potencia.

3

2 3 5 33 x= y Cuando se tiene potencia de una potencia se coloca la misma base y se multiplican los exponentes

3

6 15= 3 x y

3

-2 7

2

9. Tenemos una potencia cuya base es una potencia. Aplica la 8va propiedad, potencia de potencia.

Cuando se tiene potencia de una potencia se coloca la misma base y se multiplican los exponentes

3 3 2

-2 7 -2= 7

2

Ahora tenemos una potencia cuya base es negativa y cuyo exponente es Par. Aplica la 9na propiedad, potencia con exponente par.

= -2 76

Toda potencia con exponente par resulta positiva. = 2 76

¿Qué tenemos ahora?

Llegamos a una potencia cuya base es un producto. Aplica la 6ta propiedad, potencia de un producto.

2 7 7= 26 6

6

3

-2 7 2 7

26

6

12



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3

- - 2 710. Tenemos la multiplicación de potencias cuyas bases se

diferencian en el signo. Aplicaremos la 9na y 10ma propiedad, potencias con exponente par e impar, para liberar las bases de los signos.

Toda potencia con exponente impar queda con el signo de la base.

3

- -= 3

Toda potencia con exponente par queda positiva.

2

- = 2

Nota: es importante que observes la diferencia entre (-)3 y -3.

En el caso (-)3 el signo menos le pertenece a la base y está afectado por el exponente. En el caso -3 el signo menos le pertenece a toda la potencia, no es afectado por el exponente.

3

-

- 3

3

- - 2 7 3 2 7

Tenemos multiplicación de potencias con la misma base. Aplicaremos la 4ta propiedad, multiplicación de potencias con igual base.

3 1 2 7

13

3

- - 2 7 13

13



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Emparejando el Lenguaje

Aproximación. Es un método que consiste en obtener un decimal exacto lo más cercano posible a un decimal de infinitas cifras, para poder operar y efectuar cálculos con él. Redondeo por Defecto: el decimal exacto es menor que el decimal de infinitas cifras. Redondeo por Exceso: el decimal exacto es mayor que el decimal de infinitas cifras.

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15

I. Halle las sumas dadas aproximando por defecto a la centésima.

A Practicar

1. 7

+ 54

2 9 2. 5

4 3.

17,93

74.

5. + 513

2 34

6. 8,5 12,65108...7. 11

4 33

8.

32

II. Halle las operaciones dadas aproximando por exceso a la milésima.

1.

57 11

3

2. 3

84

3. 4 5 3 4.

5. 2 13 6 2 3 136. 5

4 72

7. 8.

5 24

32

III. Verificar las propiedades correspondientes en cada caso.

1. Propiedad Conmutativa de la suma:

3 52. Propiedad Asociativa de la Multiplicación:

3 5 73. Propiedad Distributiva:

IV. Realice los cálculos correspondientes en cada caso:

1. ¿Cuál debe ser la longitud de una cinta para decorar un envase cilíndrico de 8cm de radio? Aproximando a la centésima.

2. Un cuadrado tiene 15cm2 de área, cuánto mide el lado del cuadrado. Aproximando a la centésima.

3. Hallar el área de un circulo de radio 2,37cm. Con aproximación de 3 cifras decimales.

4. Los lados de un rectángulo son y . Hallar el perímetro del rectángulo. 2 7 7 1

5. Luis cuenta con 7m2 de cerámica. Su habitación es cuadrada tiene 3m de lado. ¿Cuánto le hace falta para cubrir todo el piso de la habitación? ¿Cuánto deberían medir los lados de la habitación para que sea suficiente la cerámica que tiene?



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1. 3,98 7,592. 1,893. 6,794.

5. 5,37 1,666. 4,157. 5,608.

7,8551.

21,552

2. 5,1863. 7,215 4.

5. 1,212 1,2126. 32,4747. 8.

6,290

1. 50,24cm

5. Le hace falta 2m2 de cerámica para cubrir todo el piso de la habitación. Los Lados de la habitación deberían medir 2,65 metros para que sea suficiente la cerámica que tiene.

2. 3,87cm 3. 17,643cm 4. 6 7 2

I. Halle las sumas dadas aproximando por defecto a la centésima.

II. Halle las operaciones dadas aproximando por exceso a la milésima.

IV. Realice los cálculos correspondientes en cada caso:

Lo Hicimos Bien?


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