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UNIDAD 4

FUNCIONES EXPONENCIALE Y LOGARITMICAS

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FUNCION EXPONENCIALUna función exponencial es una función de la forma f (x)=bx

donde la base es b> 0, el dominio son todos los números reales y el ámbito son todos los números reales positivos.

☺EJEMPLO. Trazar las graficas de las funciones 3x y (1/3)x

☺SOLUCIONSe elaborara la tabla de valores para la primera función con

ayuda de la calculadora

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Figura 4.1 grafica de la función x3

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Se elabora la tabla de valores para la segunda función, con ayuda de la calculadora.

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En la figura 4.2 se muestra la grafica de la función xxf )3/1()(

PROPIEDADES DE LA FUNCION EXPONENCIAL

Para toda b>0, la función f(x)=bx se llama función exponencial con base b. la función tiene las siguientes propiedades :

1. El dominio son todos los números reales2. El ámbito o rango son todos los números reales

positivos3. Si b>1, cuando aumenta x aumenta, f(x) aumenta4. Si 0<b<1, cuando x aumenta, f(x) disminuye5. Si b=1, f(x) es la función constante f(x)=1

Para comprender esto podríamos responder la pregunta ¿Cuál es la potencia x de b?. Así evaluar y=37 equivale a determinar que y= 2187; lo cual se puede hacer mediante la calculadora

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☺El uso mas común de la función exponencial es el estudio del crecimiento y decaimiento exponenciales. Por ejemplo, la expresión “la población crece exponencialmente” puede ser expresada en forma matemática por medio de la función:

☺F=F(t)=FobK

☺ Donde:☺b> 1☺Fo= Cantidad presente en el tiempo t=0

☺K es una cantidad positiva que depende de la tasa de crecimiento

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Ejemplos de poblaciones que crecen de manera exponencial son las siguientes:

El crecimiento de una población de bacterias esta dado por:

B(t) = 2t

El crecimiento de la población del mundo (en billones) se puede expresar como:

P(t)= 4(2)t/35

El crecimiento de los costos de los artículos, si se tiene una tasa anual del 12%, se expresa como, al considerar un costo inicial de algún articulo de 100 pesos; C(t)= 100 (1.2)t

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♥EJEMPLO Algunas cuentas de ahorros pagan 5.5% de interés

capitalizable trimestralmente, ¿Cuál será la tasa de porcentaje anual efectiva en tal

cuenta?SOLUCIÓN

Si se depositan 100 pesos en una cuenta de ahorros de este tipo y calculamos el monto al final del año, se puede determinar la tasa de porcentaje anual.

P=100(1+0.055/4)4=105.61

Por lo tanto, la tasa de porcentaje anual es 5.61%

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☻ LA BASE NATURALLa base natural de la función que mas frecuentemente se encuentra en las aplicaciones es un numero irracional. Para ver como ocurre esto, consideremos la formula para determinar el monto acumulado en una cuenta con interés compuesto, la cual esta dada por.

At= P (1+I/n)nt

DONDE I= tasa de interés. t= numero de años, n= numero de

veces al año en que se compone el interés, P= capital y A= monto acumulado después de t años.

Para simplificar el problema considere que se invirtió $1 por un año a una tasa de interés del 100%; es decir, P= I t= 1. Por lo que, la expresión anterior se reduce:

A=(1+1/n)n

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☺¿Qué ocurre cuando n aumenta?

☺ Esto es, si invertimos $1 durante un año al 100%

☺¿Cuánta diferencia hay en que tan a menudo se capitaliza el interés?

☺Se encontrara la cantidad redituada si el interés se compone anualmente, semestralmente, semanalmente, etc., hasta llegar a horas; esto se logra haciendo n=1,2,4,12,52,380,8640. En la siguiente tabla se encontrara la información .

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N 1+1/n (1+1/n)n

1 2 2

2 1.5 2.25

4 1.25 2.44

12 1.083 2.61

52 1.019 2.69

360 1.0027 2.715

8640 1.0001157 2.7181

518400 1.000001929 2.71826

31104000 1.0000000321 2.7182818

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♥Observe que se reciben aumentos sustanciales hasta los cálculos semanales (52) o diarios (360) y después los aumentos son insignificantes. De hecho no importa que tan a menudo se capitalice el interés, el monto acumulado no excede un numero que es aproximadamente 2.7182818 y se denota por el símbolo e

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La base natural tiene muchas aplicaciones ya que describe el crecimiento continuo. Si el interés se capitalizara continuamente, se podría escribir la formula de interés compuesto como la función:

At=Pelt

Ejemplo:

El municipio de Llera de Juárez en Tamaulipas tenia una población de 15000 habitantes en 1980 y crece de acuerdo a la función y=y0e0.04t donde t esta dado en años ¿cuál será su población en el año 2000?

Solución

Utilizando la función se tiene;Y=15000 e0.04(20)= 33383 habitantes, t=20

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4.5 FUNCIONES LOGARITMICAS

Para cada b> 1 existe una función llamada la función logaritmo en la base b.La aseveración , es equivalente

a la aseveración . Note que en el exponente es y, donde .

El echo de que el logaritmo, es un exponente. Es la potencia a la cual la base b debe ser elevada para obtener x . Analice los datos de la sig. Tabla:

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Proposición logarítmica

Proposición exponencial

Ejemplo: despejar x de (a), (b) y (c) solución: (a) (b) (c)

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X 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27

-3 -2 -1 0 1 2 3

Ejemplo: trazar la grafica de la función solución: para obtener los valores de esta grafica se elaborara la tabla siguiente:

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En la figura 4.3 se presenta la grafica de la función

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PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARITMO

☺1 L(1)=0, para cualquier b>1.☺2 El dominio de L(x) son todos los números reales positivos☺3 El ámbito o rango de L(x)son todos los números reales☺4 A medida que x aumenta, L(x) aumentaLa relación entre la función exponencial y la

función logaritmo es la misma que la que hay entre la función de elevar al cuadrado y la raíz cuadrada aplicada a números positivos.

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☺Cuando elevamos al cuadrado un numero positivo c, se obtiene . Si luego se extrae la raíz cuadrada de se regresa a c.

☺Por ejemplo: si se considera b=3 y x=9, entonces se eleva el 3 a la novena potencia y se obtiene 19638. después, obteniéndose el logaritmo de 19638 en base 3, se regresa al 9. alternativamente si tomamos el logaritmo de 9 en la base 3 se tiene 2; si después se eleva 3 a la segunda potencia se regresa al 9.

2c

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PRINCIPIOS DE LOS LOGARITMOSPara localizar los logaritmos de números

pequeños y grandes que se pueden expresar en notación científica, se usan los principios algebraicos de los logaritmos que se derivan de las exponenciales y que a continuación se presentan .

Para cualquier base b>1 y cualesquiera números reales positivos r y s;

12 3

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Ejemplo: utilizando los principios anteriores despejar la variable x de:

Log (x+3) + log(x)=1Solución: log (x+3) + log (x) = 1 por el principio 1 se

puede expresar como:Log(x(x+3))=1 por la definición de logaritmo se tiene

factorizando se obtendra:

se toma solo el valor positivo ya que no se puede obtener el log de un valor negativo X=2

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Ejemplo: calcular el valor deSolución: se toma

entoncesLogLogLogLog log10=1LogLogEn general, si el numero real x se expresa en

notación científica:Entonces:

el entero c se llama la característica de x y log m se llama la mantisa de c

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Crecimiento logarítmico.Algunas cantidades carecen en forma logaritmica. El ejemplo tipico que presenta en este caso es el del sonido en el cual se señala que la intensidad del sonido es directamente proporcional al logaritmo de la potencia del sonido. Es decir:

N=N(I)=10log(I/Io)Donde:N=numero de decubeles (intensidad del sonido)I=potencia del sonido en watts por cm cuadradoIo=constante que presenta la potencia del sonido justo

por debajo del umbral de audicion ( aproximadamente watts por centimetro cuadrado).

La grafica de N=10log(I/Io)se presenta en la figura 4.4

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Figura 4.4 grafica de la función N=10log(I/Io)

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ECUACIONES EXPONENCIALE S Y LOGARITMICASexisten algunas aplicaciones que requieren la

solucion de una ecucion que incluye una funcion logaritmica o exponencial, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo: La poblacion mundial en en 1975 fue de cerca de 4 billones y se ha duplicado cada 35 años. Suponiendo que esta tasa de crecimiento continua, estimas el año en el cual la poblacion mundial alcanzara: (a)32 billones, (b)37 billones.

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Solucion: Si P(y) representa la poblacion del año, entonces:P(y)= Por lo que:32=

3=(y-1975)/352080=y

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Por lo tanto, la población alcanzara los 32 billones en el año 2080 y los 37 billones en el año de 2087.33, si continua la tasa de crecimiento señalada.

Ejemplo:Los materiales traslucidos tienen la propiedad de reducir la

intensidad de la luz que pasa atraves de ellos, 1 hoja de un mm de espesor de un cierto plástico translucido reduce la intensidad de la luz en 8%. ¿Cuántas hojas de este tipo se necesitan para reducir la intensidad de un haz de luz a un 25% de su valor original?

Solución: cada hoja de plástico reduce la intensidad de luz al 92% de su valor original. Por lo que:

Por lo tanto con 17 hojas seria suficiente

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ejersicios1.- Resuelva mediante la calculadora: A) 54.37 B)(-3.25)101 C) (2)102 x (5)3.15

2.- trazar las siguientes graficas de las funciones exponenciales:

A) Y=4 B) Y=2-3 C) Y=1+33.- Una hoja de papel tiene 0.076 mm de espesor. Doblándola

una vez da un espesor de dos hojas ¿Qué espesor tendrá la hoja si se doblo 20 veces?

4.- Si se depositan 1500 en una cuenta de ahorros ¿Cuánto tendrá al final de 5 años si el interés es:

A) 5.25% capitalizable trimestralmente B)5% capitalizable semestralmente

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5.- Usted compro un anillo por $200, ¡Cuánto valdra este anillo en 10 años si:

a)El valor aumenta 12% cada año?b)Su valor después de t años esta dado por

?6.- despeje x sin calculadora:(a) (b) (c)7.-despeja x usando la calculadora:(a) (b) (c)8.-trace las graficas de las siguientes funciones:(a)y=log x (b)y=Ln x (c)y=4+log x (d)

2log8 x 3)1024(log8 x 38log x

x24.329log xx 21015.5log xx 1110329log

xx 1110329log

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9.- un temblor de tierra registro 8.7 en la escala de Richter, ¿Cuántas veces es mas fuerte este que uno de 5.5 en la misma escala?

10.-¿en que año la población mundial llegara a los 25 billones y en cual a los 50 billones de habitantes, de acuerdo con el ejemplo mostrado en paginas anteriores?