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8/19/2019 Presentacion p-valor
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P-Valor
Iván Aliaga
Resumen
Definición
Definición formal
Otra definición
Resumen final
Referencia
8.3.4 P-Valor
Statistical InferenceGeorge Casella, R. Berger
Iván Y. Aliaga Casceres
Universidad del Bio Bio
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Contenido
1 Resumen
2 Definición
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3 Otra definición
4 Resumen final
5 Referencia
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Definición
(Definición 8.3.26)
Un p-valor p (X) es un test estadı́stico que satisface 0 ≤
p (x) ≤ 1 para cada punto muestral x, pequeños valores de p (X) dan evidencia de que H 1 es verdadera. Un p-valor esválido si, para todo θ ∈Θ0 y para todo 0 ≤ α ≤ 1.
Pθ ( p (X) ≤ α ) ≤ α . (1)
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Referencia
Si p (X) es un p-valor, es f ́acil construir una prueba de ni-vel α basado en p (X). La prueba rechaza H 0 si y sólo si p (X) ≤ α a un nivel de significación α debido a (8,3,8).Una ventaja para informar de un resultado de la prueba
a través de un p-valor es que cada experimentador puede
considerar un valor α apropiado y luego se puede compa-
rar p (X) y α y saber si estos datos llevan a la aceptación orechazo de H 0. Además, cuanto menor sea el p-valor, más
fuerte es la evidencia para rechazar H 0. Por lo tanto, un
valor de p reporta los resultados de una prueba en una es-
cala más continua, en lugar de sólo la decisión dicotómicaAceptar H 0 o Rechazar H 0. La forma más común para de-
finir un p-valor válido es dada en el teorema 8.3.27.
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Definición formal
(Definición 8.3.27)
Sea W (X) una estadı́stica de prueba de tal manera que los
valores grandes de W dan evidencia de que H 1 es verdade-ro. Para cada punto de la muestra x, se define.
p(x) = supθ ∈Θ0
Pθ (W (X) ≥W (x)). (2)
Entonces, p(X) es un p-valor válido.
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Prueba
Demostración.
Como θ ∈Θ0. Sea F θ (w) denota la función dedistribución acumulada de −W (X).
pθ (x) = Pθ (W (X) ≥W (x))
= Pθ (−W (X) ≤−W (x))
= F θ (−W (x))
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Nota
La variable aleatoria pθ (x) es igual a F θ (−W (X)).
La distribución de pθ (x) es estocásticamente mayor o iguala una distribución uniforme en (0, 1), es decir, para cada0≤α ≤ 1, Pθ ( p(X)≤α )≤α . Porque p(x) = sup
θ ∈Θ0
pθ (x)≥
pθ (x) para todo x.
Pθ ( p(X) ≤ α ) ≤ Pθ ( pθ (X) ≤ α ) ≤ α . (3)
Esto es cierto para cada θ ∈ Θ0 y para toda 0 ≤ α ≤ 1; p(X) es un p-valor válido.
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Ejemplos
Ejemplo 8.3.28. p-valor de dos lados normales
Sea X 1, X 2, . . . , X n una muestra aleatoria de una población
n(µ ,σ 2), se considera la prueba. H 0 : µ = µ 0 vs H 1 : µ =
µ 0
Ejemplo 8.3.29 p-valor de un lado normal
Sea X 1, X 2, . . . , X n una muestra aleatoria de una población
n(µ ,σ 2), se considera la prueba. H 0 : µ ≤ µ 0 vs H 1 : µ > µ 0
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Otra forma de definición
Sea W (X) un estadı́stico para los que valores grandes danevidencia de que H 1 es cierta, entonces para punto muestral
se define.
p(x) = P(W (X) ≥W (x)|S = S (x)) (4)
Argumentando en el teorema 8.3.27, pero tomando en
cuenta sólo la simple distribución que es la distribución
condicional de X dado S = s, se observa que, paracualquier 0 ≤ α ≤ 1.
P( p(X) ≤ α |S = s) ≤ α (5)
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Entonces para todo θ ∈Θ0, incondicionalmente se tiene.
Pθ ( p(X) ≤ α ) = ∑s
P( p(X) ≤ α |S = s)Pθ (S = s)
≤ ∑s
α Pθ (S = s)
≤ α
Por tanto p(X) definido anteriormente en (4) (8.3.10 Case-lla) es un p-valor válido, las sumas pueden ser reemplaza-
das por integrales para S contı́nuo.
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Ejemplo
Sea S 1 y S 2 observaciones independientes con S 1 ∼ Bin(n1, p1y S 2 ∼ Bin(n2, p2), se considera la prueba, H 0 : p1 = p2versus H 0 : p1 > p2
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Para Resumir
Sobre α Sobre p
1 Es un número pequeño
preelegido al diseñar el
experimento2 Conocido α se sabe to-
do sobre la región crı́tica
1 Es conocido tras realizar
el experimento
2 Conocido p sabemos to-do sobre el resultado del
experimento.
Criterio de rechazo
Contraste significativo = p menor que α
P V l
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Referencias
George Casella, Roger L. Berger. (2002)
Statistical Inference
2nd ed , 397 – 399.
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Gracias...
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