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Presentación sobre el programa de calculo de estructuras SAP.
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“Métodos Avanzados de Cálculo de Estructuras Sismorresistentes
Utilizando Ordenadores”.
José María Ruiz Ruiz.
Universidad de OrienteFacultad de Construcciones
Departamento de Ingeniería Civil
FECHA Tema Objetivo Actividades de aprendizaje Indicador de logro.
E-1 Introducción. Historia de los programas de análisis y diseño de las estructuras. Conceptos básicos del análisis matricial de las estructuras.
Sistema de invariantes del proceso de modelación mecánica de las estructuras.
El software SAP 2000 características y potencialidades.
Definir los conceptos básicos del proceso de modelación mecánica de las estructuras como forma de obtención teórica del conocimiento.Definir el sistema de invariantes del proceso de modelación mecánica de las estructuras.
Conferencia problémica y trabajo en el laboratorio de computación, se aplica la teoría y las formulas en la solución y aplicación de problemas. Orientaciones del estudio independiente.
Resuelve el trabajo asignado sobre el modelo físico para el análisis de una estructura.
E-2 Modelación de la forma, elementos lineales planos, elementos lineales espaciales y elementos superficiales a través del Software. Características geométricas involucradas en el análisis. Opciones de edición del software.
Modelación de los materiales. Modelación de las condiciones
de apoyo y condiciones de compatibilidad de los desplazamientos.
Obtener el modelo geométrico para estructuras lineales planas y espaciales, así como elementos superficiales a través de elementos finitos. Definir el modelo de los materiales así como la modelación de las condiciones de apoyo y condiciones de compatibilidad de los desplazamientos.
Conferencia problémica y trabajo en el laboratorio de computación, se aplica la teoría y las formulas en la solución y aplicación de problemas. Orientaciones del estudio independiente.
Obtiene el modelo geométrico de una estructura plana y espacial, definiendo los materiales y las condiciones de apoyo.
E-3 Modelación de las cargas estáticas en estructuras lineales planas, lineales espaciales y superficiales.
Obtención de las características de la respuesta dinámica de las estructuras. Valores y formas propias.
Definir los estados de cargas estáticas sobre las estructuras lineales planas, lineales espaciales y superficiales.Definición de la masa de la estructura y obtención de las características dinámicas de los sistemas. Valores y formas propias.
Conferencia problémica y trabajo en el laboratorio de computación, se aplica la teoría y las formulas en la solución y aplicación de problemas. Orientaciones del estudio independiente.
Define los estados de cargas estáticas y se resuelve el problema de los valores propios de la estructura.
CALENDARIZACIÓN DE LA ASIGNATURA “CÁLCULO AUTOMATIZADO DE LAS ESTRUCTURAS”.Variante 6 encuentros.
E-4 Definición de estados de cargas sísmica a través del método del espectro de respuesta.
Introducción de la norma nicaragüense RNC-07.
Fórmulas de superposición modal.
Combinaciones de carga.
Definición de los estados de carga sísmica a través del método del espectro de respuesta y aplicación de la norma nicaragüense RNC-07. Uso de las fórmulas de superposición modal. Definición de las combinaciones de carga
Conferencia problémica y trabajo en el laboratorio de computación, se aplica la teoría y las formulas en la solución y aplicación de problemas.Orientaciones del estudio independiente.
Obtiene el modelo de la carga símica a través del método del espectro de respuesta haciendo uso de la norma RNC-07, así como las combinaciones de carga de la estructura.
E-5 Obtención de las características de la respuesta estructural, manejo de los resultados a través de herramientas informáticas.
Obtención y validación de los resultados, definición de las magnitudes de respuesta estructural
Conferencia problémica y trabajo en el laboratorio de computación, se aplica la teoría y las formulas en la solución y aplicación de problemas.Orientaciones del estudio independiente.
Obtiene las características de las magnitudes de respuesta estructural: reacciones, desplazamientos, fuerzas interiores, etc. Obtiene reportes y los vincula a otras herramientas informáticas.
E-6 Diseño asistido de elementos de hormigón armado.
Diseño asistido de elementos de acero.
Se obtienen los diseños de elementos de la estructura en hormigón armado y acero, en base a los códigos de diseño de la ACI y LRFD.
Conferencia problémica y trabajo en el laboratorio de computación, se aplica la teoría y las formulas en la solución y aplicación de problemas.Orientaciones del estudio independiente.
Realizan la revisión estructural de elementos estructurales de hormigón armado y acero de la estructura.
STRUCTURAL ENGINEERING IS
THE ART OF USING MATERIALSThat Have Properties Which Can Only Be Estimated
TO BUILD REAL STRUCTURESThat Can Only Be Approximately Analyzed
TO WITHSTAND FORCESThat Are Not Accurately Known
SO THAT OUR RESPONSIBILITY WITH RESPECT TO PUBLIC SAFETY IS SATISFIED.
My freshman Physics instructor dogmatically warned the class “do not use an equation you cannot derive.”
The same instructor once stated that “if a person had five minutes to solve a problem, that their life depended upon, the individual should spend three minutes reading and clearly understanding the problem."
With respect to modern structural engineering, one can restate these remarks as “do not use a structural analysis program unless you fully understand the theory and approximations used within the program” and “do not create a computer model until the loading, material properties and boundary conditions are clearly defined.”
Cualquier proyecto de estructuras, antes de ser analizado y
diseñado debe ser previamente modelado.
En la etapa de creación del modelo, se representa la
estructura real por medio de una representación simplificada
de los elementos que la conforman. Es muy importante que
se entienda el comportamiento de éstos a fin de evitar que
se utilicen más elementos de los que se necesitan mediante
refinamientos innecesarios que retrasan el análisis.
En general, los programas de análisis de estructuras
permiten desarrollar el modelo de una estructura a través de
una interface o editor gráfico, el procesamiento numérico de
los datos y el análisis de los resultados por medio de las
etapas de pre procesamiento, procesamiento y post
procesamiento, respectivamente.
Actualmente, el proceso de obtención del modelo de una
estructura por medio de estos programas no es
complicado, pues en su etapa de pre procesamiento se
cuenta con diversas herramientas que facilitan el dibujo y
la visualización del mismo.
Posteriormente a la fase de obtención del modelo físico, se
deben determinar y analizar las solicitaciones, los
desplazamientos y deformaciones en la estructura. Para
ello se utilizan técnicas de análisis matricial de las
estructuras (AME) y análisis por el método de elementos
finitos (MEF), que involucran una gran cantidad de
modelos matemáticos y métodos numéricos, para los
cuales han sido desarrollados las rutinas que constituyen
los programas de cómputo.
En vista de la importancia que tienen actualmente estos
programas en el análisis de las estructuras es que se ha
preparado este curso, el cual está sustentado en la Modelación
Mecánica de las Estructuras a través de Software Profesiones,
específicamente el SAP 2000, por medio de la explicación de
las facilidades que ofrece en sus etapas de pre procesamiento,
procesamiento y post procesamiento.
Este programa, está orientado al análisis y diseño de
estructuras en general y para ello presenta un entorno
especializado.
El curso se desarrollara a través de la solución de estructuras,
cuyo nivel de complejidad irá aumentando gradualmente, de
manera que vayan siendo incorporados los conceptos durante
el proceso de obtención del modelo para el análisis de la
estructura.
Antes del desarrollo de los software de análisis estructural,
los ingenieros analizaban las estructuras como un conjunto
de pórticos planos empleando métodos aproximados como
el de Cross, portal, voladizo o Muto, utilizando para las
operaciones numéricas manualmente, usando reglas de
cálculo o calculadoras de mano.
En 1970, el Dr. Edward L. Wilson, lanzó en EE.UU el
primer programa completo de análisis estructural, llamado
SAP, el cual representaba para su época el estado del arte
de los procedimientos numéricos para la ingeniería
estructural. En esa época, el programa era utilizado en
computadoras de gran tamaño, por lo que estuvo
restringido a las organizaciones gubernamentales y a las
grandes compañías.
Los programas elaborados a inicios de los 70s tenían una serie
de limitaciones, como: una capacidad muy reducida de análisis,
un complicado proceso de ingreso de datos (que se realizaba a
través de tarjetas perforadas, cintas perforadas y otras) y una
laboriosa lectura de los resultados, los cuales se obtenían en
papel impreso.
Estas desventajas iniciales, que demandaban un gran cuidado
en el ingreso de los datos y en la lectura de los resultados, se
fueron reduciendo con el tiempo debido al aumento en la
capacidad de almacenamiento de datos, memoria de las
computadoras, velocidad de los procesadores numéricos y
flexibilidad de los dispositivos periféricos de las nuevas
computadoras, la implementación de nuevos métodos
numéricos, la invención de nuevos algoritmos, lenguajes de
programación y sistemas operativos con entornos gráficos más
avanzados.
A finales de los años 70, aparecieron las computadoras
personales, lo cual hizo que los programas de análisis también se
volvieran populares en las pequeñas compañías y entre muchos
usuarios individuales.
En el año 1980, se desarrolló la primera aplicación para análisis
estructural en 3D para computadoras personales.
Actualmente, los programas de análisis y diseño de estructuras
permiten realizar rápidamente la creación del modelo de análisis a
través de interfaces gráficas por medio de opciones de dibujo de
un conjunto de objetos que poseen propiedades (dimensiones,
material, sección transversal, etc.) y que representan a los
elementos de la estructura. Éstos cuentan también con
herramientas de edición, como cortar, copiar y pegar; opciones
para obtener la geometría global de la estructura a través de
plantillas o mediante la importación de archivos de dibujo de CAD.
Asimismo, cuenta con opciones de visualización del
modelo (3d, planta, elevaciones), opciones de
visualización de resultados (en pantalla o archivos de
texto), los cuales pueden ser exportados a las diversas
aplicaciones de Windows (Excel, Word, Access, etc.).
En estos programas, el proceso de obtención del
modelo para el análisis, el procesamiento numérico de
los datos y la visualización de los resultados, se realiza
en entornos de trabajo perfectamente definidos, que
corresponden a las etapas de pre procesamiento,
procesamiento y post procesamiento, respectivamente.
La obtención del conocimiento científico es posible por dos
vías, la experimental y la analítica.
La vía experimental está sustentada en la observación y
procesamiento de experimentos a distintas escalas y
soportadas en la estadística como herramienta
matemática.
La vía analítica se fundamenta en el nivel de conocimiento
que sobre un determinado fenómeno se tiene en un
momento histórico concreto.
Esta vía analítica es la que caracteriza el modo de actuar
del ingeniero en la solución de los problemas del análisis y
diseño de las estructuras.
Se pude representar este procedimiento de obtención del
conocimiento por la vía analítica de la siguiente manera,
como se ve en el esquema.
Fenómeno Físico Real
Modelo Físico para el Análisis
Modelo Matemático
Método Matemático de Solución
Obtención de la Solución
Validación de los Resultados
El Fenómeno Físico Real: es el fenómeno en sí, con
todas sus características y propiedades que lo distinguen y
lo definen. Es una realidad objetiva que existe en el tiempo
y el espacio. Se destaca el hecho de que un fenómeno
físico observado como objeto de estudio en el caso
particular de la ingeniería, está vinculado a un proceso
mediante el cual el hombre pretende conocer para con ello
transformar, inventar, adaptar, perfeccionar y/o utilizar
dicho fenómeno para un fin dado.
Es importante recordar que el ingeniero es el hombre que
concibe y dirige, a través de las matemáticas aplicadas,
obras como los puentes, las carreteras, canales, edificios,
etc.
El Modelo Físico para el Análisis: es una
representación simplificada del fenómeno físico real,
en la cual se reflejan, dentro de las infinitas
propiedades del fenómeno, un número finito de ellas,
que son las que están más estrechamente ligadas al
objetivo del investigador y las que determinan las
magnitudes de respuesta del sistema desde el punto
de vista del campo de la ciencia en que se desarrolla
el análisis. Por supuesto que también está
condicionado por el grado de desarrollo de la ciencia
en un momento histórico dado.
El Modelo Matemático: es el conjunto de correlaciones que
describen los procesos que ocurren en el modelo físico y las
ecuaciones que determinan las condiciones de borde del
problema dado. A cada modelo físico pueden corresponder
varios modelos matemáticos. En el caso de los problemas de
la Ingeniería Civil, un modelo físico dado puede ser
matemáticamente descrito a través de modelos energéticos,
dinámicos, etc.
El Método Matemático de Solución: conjunto de procesos y
procedimientos con la ayuda de los cuales se pueden
obtener, a partir de modelo matemático, las funciones y/o
valores numéricos de las magnitudes de respuesta que
describen al modelo físico.
Obtención de la Solución: es el tránsito desde el
modelo matemático y a través del método matemático
seleccionado hasta los valores concretos de las
características y/o propiedades de respuestas
buscadas.
Validación de los Resultados: es importante esta
etapa, ya que es la que permite validar si las
características encontradas y que describen la
respuesta obtenida, como solución matemática del
modelo matemático, del modelo físico de análisis,
describen de manera satisfactoria lo observado en el
fenómeno físico real.
En el campo de ingeniería estructural existe lo que es
conocido como el sistema de invariantes del proceso
de modelación mecánica de las estructuras, que no
es más que el conjunto de propiedades del fenómeno
que son consideradas esenciales para el ingeniero,
estas son:
Forma o geometría. Materiales. Condiciones de A poyo. Cargas.
Forma o geometría. Establece la manera en que la geometría del
sistema debe ser tenida en cuenta en el análisis. Existen por la
forma, distintos tipos de modelos, como partícula o como cuerpo y
como sistema de partículas o sistema de cuerpos. Como partícula
significa que la forma y dimensiones del cuerpo no influyen
significativamente en le respuesta observada, sin embargo, como
cuerpo, significa que la forma y las dimensiones tienen influencia
significativa en la respuesta y, por tanto, tiene que ser considerada
ya sea de forma exacta o aproximada.
Los cuerpos pueden ser lineales, superficiales o volumétricos, en
dependencia de la relación existente entre las dimensiones que
determinan el volumen del cuerpo.
Los cuerpos lineales son aquellos que una de sus dimensiones el
significativamente mayor que las otras dos, en este caso el cuerpo
se modela como una línea cuya forma se corresponde con la
dimensión predominante y la influencia de las otras dos
dimensiones se mide a través de las características geométricas
de la sección transversal del cuerpo (área, centroide, momentos
de inercia, etc.)
Los cuerpos superficiales son aquellos en los que dos de sus
dimensiones son significativamente mayores que la tercera,
estos se modelan como una superficie media con las
dimensiones predominantes y se considera la influencia de la
otra dimensión a través del espesor de la pieza.
Materiales. Los materiales de los que están hechos los elementos
de las estructuras son decisivos en la forma en que estas se
desempeñan ante las acciones que se presentan durante su tiempo
de vida útil. Los modelos adoptados para los materiales dependerá
en esencia a la relación entre tensiones y deformaciones que estos
manifiestan, así se tiene: materiales elásticos, plásticos y elasto-
plásticos.
Los materiales elásticos son aquellos en los que existe una relación
lineal entre tensiones y deformaciones, es decir, cumplen con la ley
de Hooke. Los plásticos son los que a valores de tensiones dados,
las deformaciones ocurren sin recuperación posterior. Los elasto-
plásticos poseen ambos tipos de comportamiento en diferentes
intervalos de tensiones. Existen diversos modelos para los
materiales plásticos y elasto-plásticos.
- Condiciones de apoyo. A través de las condiciones de
apoyo se expresa en el modelo físico de la estructura la
manera en que están vinculados los elementos que la
componen y a su vez también la manera en que la
estructura es sustentada por el medio, es decir, los
apoyos a tierra. Los modelos de condiciones de apoyo
están asociados a los grados de libertad que están
restringidos y por tanto las fuerzas interiores que tienen
capacidad de ser desarrolladas y transmitidas entre los
elementos y a tierra según corresponda.
Las Cargas. Se entiende por carga a toda acción que sea capaz de
generar un estado tensional y/o deformacional en los elementos de la
estructura, es decir, las fuerzas, que son una medida de interacción
mecánica entre los cuerpos necesariamente son cargas, pero otras
acciones, que no son modeladas como fuerzas, también pueden
constituir cargas, como el caso de las variaciones de temperatura y los
corrimientos en los apoyos.
Las cargas que son modeladas como fuerzas podrán ser concentradas
o distribuidas y estas a su vez pueden ser linealmente superficialmente
distribuidas. El modelo adoptado dependerá de la relación existente
entre las dimensiones área a través de la cual se transmite la acción y
las dimensiones del cuerpo sobre el que actúa la misma. A su vez las
cargas distribuidas linealmente y superficialmente puedes responder a
diversas leyes matemáticas, como uniformemente distribuidas,
linealmente variables u otras funciones.
Resumiendo se puede decir que el modelo
físico de una estructura es la representación
simplificada de la misma, donde aparecen
todos los elementos del sistema de
invariantes, es decir, la forma o geometría,
los materiales, las condiciones de apoyo y las
cargas.
Requisitos de una Estructura Funcional:
Resistente.
Estable.
Suficientemente Rígida.
Duradera.
Económica.
Fundamentos del análisis matricial de las estructuras.
El análisis estructural es el estudio de las estructuras como sistemas
discretos. La teoría de las estructuras se basa esencialmente en los
fundamentos de la mecánica con los cuales se formulan los distintos
elementos estructurales. Las leyes o reglas que definen el equilibrio y la
continuidad de estructura se pueden expresar de distintas maneras, por
ejemplo ecuaciones diferenciales parciales de un medio continuo
tridimensional, ecuaciones diferenciales ordinarias que definen a una barra
o a las distintas teorías de vigas, o llanamente ecuaciones algebraicas
para una estructura discretizada. Mientras más se profundiza en la física
del problema, se van desarrollando teorías que más apropiadas para
resolver ciertos tipos de estructuras y que demuestran ser más útiles para
cálculos prácticos. Sin embargo, en cada nueva teoría se hacen hipótesis
acerca de cómo se comporta el sistema o el elemento. Por lo tanto,
debemos estar siempre conscientes de estas hipótesis cuando se evalúen
resultados fruto de las teorías que aplicamos o desarrollamos.
El análisis estructural puede abordarse utilizando dos
enfoques principales: los sustentados en el método de las
fuerzas y los basados en el método de los desplazamientos.
Estos últimos son los que mayor auge han tenido debido a
han dado la posibilidad de que sus formulaciones haya sido
posible su sistematización y formulación matemática
haciendo uso del algebra matricial, han permitido desarrollar
formulaciones algebraicas a problemas complejos del
análisis matemático, el uso de métodos numéricos para
resolver ecuaciones complejas y sobre todo, además, el
desarrollo de rutinas que han sido posibles de utilizar a
través de las modernas técnicas de la informática.
Principio de continuidad: en todo elemento o estructura, los
desplazamientos deben poder representarse por funciones continuas.
Se expresan a través de las relaciones entre los desplazamientos y
las deformaciones:
Donde u, v y w son los corrimientos o desplazamientos en el punto
en el espacio y las y son las deformaciones unitarias.
Ecuaciones que pueden ser escritas matricialmente de la siguiente manera:
De forma más general, las ecuaciones de continuidad se pueden expresar
matricialmente como:
Donde los vectores y , que representan las deformaciones y los
desplazamientos, respectivamente, están relacionados por la matriz , que es
la matriz continuidad.
Modelos constitutivos: Son las ecuaciones que expresan la
relación entre las tensiones y las deformaciones en base a un
modelo constitutivo adoptado de la respuesta del material, que
puede ser elástico o inelástico y para este último en
dependencia de la las características de las cargas, si estáticas
o dinámicas, si son de corta o larga duración. Acá se ilustra el
modelo constitutivo más empleado en la práctica de la
ingeniería que corresponde a un material elástico, conocido
como Ley de Hooke.
Ecuaciones físicas o constitutivas del
estado tensional 3D
Matricialmente pueden ser escritas de la siguiente manera:
De forma más general, las ecuaciones constitutivas se pueden escribir
como:
Donde los vectores y , que representan las deformaciones y las tensiones,
respectivamente, están relacionados por la matriz , que es la matriz
constitutiva de flexibilidad, la cual es no singular, y, por tanto, existe .
Luego:
Donde la matriz es conocida como la matriz rigidez y se demuestra que:
[𝑘 ]= 𝐸(1+𝑣 )(1−2𝑣) [
(1−𝑣) 𝑣 𝑣 0 0 0𝑣 (1−𝑣 ) 𝑣 0 0 0𝑣 𝑣 (1−𝑣) 0 0 0
0 0 0(1−2𝑣)2
0 0
0 0 0 0(1−2𝑣)2
0
0 0 0 0 0(1−2𝑣 )2
]Donde la matriz es conocida como la matriz rigidez y se demuestra
que:
Principio del equilibrio: Expresan el estado de equilibrio
necesario en la estructura en su conjunto y en cada punto de ella
entre las fuerzas interiores y las acciones externas que actúan
sobre la misma.
Donde las componentes Fx, Fy y Fz son las fuerzas de cuerpo en
las direcciones X, Y y Z, respectivamente.
Estas ecuaciones matricialmente pueden ser escritas como:
En forma compacta se puede escribir como:
Formulación Matricial del problema en 2D
1. Formación del vector de fuerzas aplicadas en los nudos o vector
de fuerzas nodales. Expresado en sistema de coordenadas
generales X, Y y Z. Donde
2. Formación del vector de desplazamientos de los nudos o vector
de desplazamientos nodales. Donde
3. Formación del vector de fuerzas interiores en los extremos
de los elementos. Expresadas en ejes locales. Para cada
una de las barras de la estructura.==
4. Formación del vector de desplazamientos en los
extremos de los elementos. Expresadas en ejes locales.
Para cada una de las barras de la estructura.
==
5. Formación de la matriz rigidez de cada una de las barras expresadas en ejes locales.
Que puede entenderse que tiene la siguiente estructura:
La matriz rigidez de la barra prismática y plana, empotrada – empotrada
es como sigue:
En la que el término:
Donde: y dx
6. Los, vectores desplazamientos y fuerzas interiores que están
expresados en ejes locales de las barras, al igual que la matriz rigidez
de cada barra, es necesario expresarlos respecto a los ejes generales
de referencia, para lo cual se define la matriz rotación de cada barra,
en base a los cosenos directores de los ejes locales respecto a los ejes
generales de referencia, que definen la matriz rotación de la barra, ,
dada como:
De forma que en coordenadas globales, el vector de fuerzas en los
extremos de las barras y los desplazamientos en los extremos de las
barras son:
Y para expresar la matriz rigidez de la barra en coordenadas globales, se
tiene que:
Donde:
Coseno director del eje local con el eje global X
Coseno director del eje local con el eje global Y
Coseno director del eje local con el eje global Z
Coseno director del eje local con el eje global X
Coseno director del eje local con el eje global Y
Coseno director del eje local con el eje global Z
Coseno director del eje local con el eje global X
Coseno director del eje local con el eje global Y
Coseno director del eje local con el eje global Z
De forma que en coordenadas globales, el vector de fuerzas en los
extremos de las barras y los desplazamientos en los extremos de
las barras son:
Y para expresar la matriz rigidez de la barra en coordenadas
globales, se tiene que:
7. Una vez obtenida la matriz rigidez de cada barra expresadas
respecto al sistema global, se procede al ensamblaje de la matriz
rigidez de la estructura, proceso que se realiza garantizando la
compatibilidad de la geometría de la estructura, asegurando que
en cada nudo estén acumulados todos los componentes de la
matriz rigidez de cada una de las barras que concurren a cada
uno de los nudos de la estructura.
8. Solución del sistema de ecuaciones del problema dado por:
9. Una vez obtenidos los desplazamientos en los nudos se
procede a obtener los valores de las fuerzas interiores en los
elementos de la estructura.
Ejemplo de Cálculo.
La estructura es una armadura simple en 2D, considere: las barras
son iguales, con A=5x10-3m2 y E=2x1011N/m2. La geometría es la
que se muestra.
Obtenga las fuerzas interiores en las barras, el desplazamiento del
nudo libre y las reacciones en los apoyos producidas por el
sistema de fuerzas exteriores mostrado.
Obtención de la matriz rigidez de cada barra para el caso de la
barra con solo carga axial (en ejes locales):
Para la barra 1:
Para la barra 2:
Obtención de la matriz rotación de cada una de las barras:
Para la barra 1:
Para la barra 2:
Obtención de la matriz rigidez de cada una de las barras expresadas en
ejes generales:
Para la barra 1:
Desarrollando:
Para la barra 2:
Desarrollando:
Ensamblaje de la matriz rigidez para toda la estructura:
Nudo 1 Nudo2 Nudo 3
Desarrollando queda la matriz rigidez de la estructura como sigue:
Formación del vector de fuerzas en los nudos y del vector de
desplazamientos en los nudos.
Vector de fuerzas en los nudos.
Nudo 1
Nudo 2
Nudo3
Vector de desplazamientos en los nudos.
Nudo 1
Nudo 2
Nudo3
Planteamiento de la ecuación general del método de los desplazamientos:
Sustituyendo:
x =103x
Solución del sistema de ecuaciones:
que son las reacciones en los apoyos del sistema.
que son las componentes del desplazamiento del nudo libre.
Cálculo de los desplazamientos en los extremos de las barras, en ejes
locales:Barra1:
Barra 2:
Cálculo de las fuerzas interiores en los extremos de las barras, en ejes
locales:
Barra 1:
Barra 2:
Fuerzas en los extremos de las barras de la estructura:
Desplazamientos del nudo libre y reacciones en los apoyos:
Desplazamientos en el nudo libre.
Fuerzas interiores en las barras
Reacciones en los apoyos
Trabajo Independiente.Resolver el ejemplo anterior para las condiciones siguientes:1. Considere que los elementos son del mismo material y
sección transversal.2. Considere como cargas una horizontal de 2500N hacia la
derecha y una vertical de 1000N hacia abajo.3. La geometría dada a continuación.