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Matricesdefinición, tipos especiales de matrices, operaciones, ejercicios y aplicaciones.
•Define e identifica los tipos de matriz y realiza operaciones.
•Usa las matrices para resolver problemas referentes a la ingeniería.
•Muestra habilidad para identificar los tipos de matrices y realizar operaciones.
•Usa los conocimiento de matrices para resolver los problemas de matrices referidos a la ingeniería.
Semana 10
Determinantes•Determinantes: definición, matriz inversa y ejercicios.
•Resolución de sistemas de ecuaciones usando el método de cramer y sarrus.
•Define, ejemplifica y calcula determinantes.
•Resuelve sistemas de ecuaciones usando el método de cramer, muchas veces estos sistemas son la formulación matemática de un problema referido a la ingeniería.
•Observa que muchos problemas del mundo real se pueden formular en lenguaje matemático para luego hallar su solución.
DETERMINANTESDeterminante de 1er. Orden:Llamamos así una determinante de una matriz de orden 1. El valor del determinante coincide con el valor de único elemento que posee la matriz.Para la matriz : A=EJEMPLO.- Dada la matriz: A=[-2], su determinante:Se denota así: |A|=|-2|, y su valor correspondiente es |A|=-2
Sea la matriz cuadrada : A=
Su determinante se denota así :|A|=
El valor de este determinante se calcula según el siguiente algoritmo:
|A|=.
DETERMINANTES DE SEGUNDO ORDEN
DETERMINANTE DE 3ER ORDEN
Sea la matriz: A = , su determinante se denota así:
|A| =
El valor de esta determinante se calcula según “La Regla de Sarrus”
REGLA DE CRAMERSirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. 1. El primer paso es hallar la s, para eso extraemos los coeficientes
de las ecuaciones lineales y lo colocamos en una matriz.2. Luego en la parte inferior de la matriz agregamos las dos
primeras filas, y aplicamos el método de Sarrus y asi hallaremos la s.
3. Luego tendremos que hallar la x, y, z .
4. Para hallar la x colocamos el Termino Independiente y lo reemplazamos en la columna “x” y en la parte de la derecha colocamos las dos primeras columnas y nuevamente usamos el método de Sarrus.
5. Para la y se aplica lo mismo.
6. Y en la z se aplica lo mismo que para hallar la s.
PROPIEDADES
1) |A + B| |A| + |B|2) |A . B| = |A| . |B|3) |A| = |AT|4) |An| = |A|n ; n
5) Si B = . A = |B| = |k . A| = kn . |A| ; donde k es un escalar y n el orden de la matriz A
6) Si los elementos de dos filas, o, columnas son proporcionales entre si, entonces el determinante de la matriz es igual a cero.
7) Si todos los elementos de una fila, o, columna son ceros, el determinante de la matriz es igual a cero.
8) Si todos los elementos de una fila, o, columna se multiplican por un mismo número “k”; el
9) Si se cambia dos filas, (o dos columnas) el determinante cambia de signo
10) El determinante no varia si todos los elementos de una de sus filas, (o columnas), se le suma el múltiplo de otra fila, o, columna.
Observaciones1ra. El determinante de las siguiente matrices : triangular superior, triangular inferior y diagonal; es igual a producto que se obtiene al multiplicar todos los elementos de su diagonal principal.2da. Teniendo en cuenta la definición de una determinada, se podrá determinar dos matrices cuadradas especiales más:
a) Matriz Singular. Es aquella, cuyo determinante es igual a cero, es decir: Si |A| = 0 A es singular
b) Matriz No Singular. También llamada : Matriz Regular; es aquella cuyo determinante es diferente de cero, es decir: Si |A| 0 A es no singular
1. Si: A+B=C, calcula << x.y >>, donde:
A=, B=, C=Resolución
La matriz A+B viene dad por:
A+B= = =
A+B =
Por condición A+B=C, es decir: =
De donde tenemos:y-1= 11 → y=12
Asi mismo se cumple:y+1 = x+4 →
x=9Por lo tanto
x.y = 108
2._ Dado las siguientes matrices resolver:
2 13 -1 0 -2
A= 03B= -2 0 C= 3 -5
AB-C
resolver el factor AB puesto que es una multiplicación lo que hacemos después es:
Resolverlo de esta manera:
AB=(2*3)+(1*(-2)) (2*(-1))+(1*0)(0*3)+(3*(-2)) (0*(-1))+(3*0)
AB= 4 -1 -6 0
Una vez obtenido este resultado procedemos a resolver toda la expresión inicial. AB-C
AB-C = 4+0 -1+2 = 4 1 -6-3 0+5 -9 5
EXPRESA Y RESUELVE EL SIGUIENTE SISTEMA DE FORMA MATRICIAL:
42
1
022
yx
zyx
zyx
3.-Expresa y resuelve el siguiente sistema de forma matricial:
Solución:
Utilizando determinantes:Expresamos el sistema en forma matricial:Si llamamos:
CAX
z
y
x
C
z
y
x
XA
4
1
0
012
111
221
4
1
0
;;
012
111
221
Para resolverlo, despejamos X multiplicando por la izquierda por A -1:
CAXCAAXACAX 111
: hallamos y 01 que sComprobamo 1 AA
153
142
021
110
542
321
tAAdjAAdj
Obtenemos X:
1
0
2
4
1
0
153
142
0211CAX
Por tanto, la solución del sistema es:x = - 2, y = 0, z = 1
1A
41
53A
4._Encontrar
SOLUCION:Primero encuentro el determinante de A:
75121543 A
41
53A
411 A
112 A
521 A
322 A
Segundo calculo la adj A Cofactores de A
TB adjA
35
14B adjABT
31
54
Tercero con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo
que es la
.
2212
21111 1
AA
AA
AA
7
3
7
17
5
7
4
31
54
7
11A
Cuarto aplicas el teorema
AAIAA 12
1
10
01
7
3
7
17
5
7
4
41
53
17
7
7
5
7
12
7
15
7
4311
a
07
0
7
15
7
15
7
35
7
5312
a
07
0
7
4
7
4
7
14
7
4121
a
17
7
7
12
7
5
7
34
7
5122
a
Comprobamos la respuesta:
5._
6._
7._
