MATRIKS MOORE-PENROSE INVERS

( MATRIKS INVERS SEMU )

Disusun Oleh:ERNAWATI

140110060039

LATAR BELAKANG

Salah satu pembahasan dalam teori matriks adalah matriks invers. Matriks invers biasanya dikaitkan untuk mendapatkan penyelesaian dari sistem persamaan linier. Suatu matriks pada sistem persamaan linier tidak selamanya matriks persegi nonsingular, supaya mendapatkan penyelesaian dari sistem persamaan linier dengan matriks persegi panjang dan matriks persegi yang singular, maka diperlukan pengertian baru matriks invers dari matriks tersebut, yaitu Moore-Penrose invers ( invers semu )

IDENTIFIKASI MASALAH

Selama ini matriks invers hanya dikaitkan dengan matriks persegi nonsingular, terutama aplikasinya untuk menyelesaikan sistem persamaan linier . Dengan menggunakan Singular Value Decomposition ( SVD ) akan ditunjukkan bahwa untuk setiap matriks hingga ( persegi / persegi panjang ) memiliki moore-penrose invers ( invers semu ).

PEMBATASAN MASALAH

Dalam makalah ini penulis lebih menekankan pada pencarian matriks invers semu pada matriks persegi panjang dan matriks singular dengan menggunakan Singular Value Decomposition ( SVD ).

MAKSUD DAN TUJUAN PENELITIAN

• Maksud dari penulisan makalah ini adalah untuk memperkenalkan Moore-Penrose Invers.

• Sedangkan tujuannya adalah untuk memperlihatkan bahwa setiap matriks hingga ( persegi / persegi panjang ) memilki invers semu ( moore-penrose invers ).

MANFAAT PENELITIAN Menambah pengetahuan tentang matriks

Moore-Penrose Invers. Mengetahui bagaimana mengkonstruksi

matriks Moore-Penrose Invers dengan Singular Value Decomposition ( SVD ).

METODOLOGI PENELITIAN

SISTEMATIKA PENULISAN

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

n nA

•Nilai Eigen dan Vektor Eigen

•Matriks

Ax x

nxjika terdapat vektor tak nol sedemikian sehingga

maka disebut nilai eigen,

x disebut vektor eigen dari

BAB II

Jika , matriks persegi sedemikian sehingga A B AB BA I A

B

maka

disebut

disebut invers dari A

A

nonsingulir dan dinotasikan dengan

1A

•Transpose dari matriks dinotasikan dengan adalah matriks TA m n A n m

Baris pertama dari

A adalah kolom pertama dari

TA dan seterusnya.

•Balikan dan Transpose

MATRIKS ORTOGONAL

n nA

1TA A

1 1

2 21 1

2 2

A

1

1 1

2 21 1

2 2

TA A

Definisi Suatu matriks persegi disebut

maka Contoh :

ortogonal jika

SINGULAR VALUE DECOMPOSITION ( SVD )

n nA rank A rTA A

1 2 1 0r r n

2i i 1 i n .A

• Definisi Diketahui matriks dengan

Diketahui juga nilai eigen dari matriks adalah sebagai berikut:

Bilangan , untuk setiap disebut nilai singular dari

matriks

m nA TA U V

U TAA

V TA A A

Definisi ( Singular Value Decomposition )

dapat dinyatakan sebagai

, matriks ortogonal yang dibentuk oleh vektor ortonormal matriks

Dengan :

, matriks ortogonal yang dibentuk oleh vektor ortonormal matriks

, matriks diagonal yang entri-entrinya adalah nilai singular matriks

Bentuk (2.1) disebut dengan bentuk Singular Value Decomposition(SVD).

Setiap matriks

(2.1)

MOORE-PENROSE INVERS

A

AXA AAXA X

TAX AX

TXA XAk kA XA A k

Pada tahun 1955, Penrose menunjukkan bahwa untuk setiap matriks

(persegi/persegi panjang) dari elemen real, terdapat matriks

tunggal X sehingga memenuhi persamaan sebagai berikut :

bilangan bulat positif.dengan

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

hingga

matriks yang memenuhi persamaan (a), (b), (c), (d) disebut moore-

Penrose invers. Dinotasikan dengan

†A khusus untuk matriks persegi

dilengkapi dengan persamaan (e).

BAB IIIMOORE-PENROSE INVERS ( INVERS SEMU )

MENENTUKAN INVERS SEMU SUATU MATRIKSm nA A TA U V

† † TA V U † m nijd

1,2,3,...,i m 1,2,3,...,j n †klf 1

ii iif d

0iid 0klf †A A

Definisi Misalkan dengan SVD dari adalah

Definisikan dimana adalah transpos dari

dan

dengan dimana jika dan

untuk yang lainnya. disebut moore-penrose inverse dari .

.

Menentukan Moore-Penrose Invers : a. Matriks persegi singular

b. Matriks persegi panjang

BAB IVKESIMPULAN DAN SARAN

KESIMPULANa. Dengan SVD kita dapat mengkonstruksi Moore-

Penrose Invers ( invers semu ) dari suatu matriks.b. Setiap matriks hingga ( persegi / persegi panjang )

yang singular maupun non singular memiliki Moore-Penrose Invers sedangkan untuk matriks persegi yang non singular invers semu adalah invers matriksnya.

SARANa. Bagi penelitian selanjutnya diharapkan dapat

mengkonstruksi matriks Moore-Penrose Invers dengan metode yang lain, misalnya dengan OBE.

b. Diharapkan dilakukan penelitian mengenai aplikasi dari Moore-Penrose Invers, misalnya dalam kriptografi.