PERSAMAAN DIFFERENSIAL SIMULTANOleh :

Agung Surancoyo

BIODATA MAHASISWA

NAMA: AGUNG SURANCOYO KELAS : A”ANGKATAN IV” P. STUDI : MATEMATIKA MAKUL : KOLOKIUM DOSEN : Drs. Jefferson R. Watulingas,MM

PENGERTIAN Persamaan diferensial (PD) adalah

persamaan yang melibatkan turunan (derivatif) dari suatu fungsi yang tak diketahui dan juga fungsi itu sendiri. Persamaan differensial yang mengandung beberapa variabel terikat (lebih dari satu) tetapi memiliki satu variabel bebas, sulit untuk diselesaikan secara langsung. Persamaan seperti itu membentuk suatu sistem persamaan yang simultan atau bisa di sebut Persamaan Diferensial Simultan.

METODE PENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL SIMULTAN

1. Metode Eliminasi dan Subtitus2. Metode Matriks dan Determinan

BENTUK UMUM PERSAMAAN DIFFERENSIAL SIMULTAN

solusi) konstanta 2 2(punya tingkat sistem

),,(

),,(

2

1

yxtfdt

dy

yxtfdt

dx

solusi) konstanta 3 3(punya tingkat sistem

),,,(

),,,(

2

1

zyxtfdt

dy

zyxtfdt

dx

METODE ELIMINASI DAN SUBTITUSI

Langkah-langkah penyelesaian Menghilangkan salah satu variabel terikat

dan turunannya Menyelesaikan persamaan differensial yang

tertinggal Di subtitusikan kembali ke dalam persamaan

semula agar mendapatkan jawaban variabel yang tereliminasi

CONTOH SOAL

Berikut adalah sistem persamaan differensial :

1.

2.

Prinsip : x dan y disubtitusikan (y di turunkan sehingga dapat

disubtitsikan)

yxdt

dx4

xydt

dy2

dx

dy

Masih ada y (subtitusikan lagi)

Di subtitusikan antara lain

dt

dy

dt

dx

dt

xd4

2

2

)2(42

2

xydt

dx

dt

xd

yxdt

dx4 x

dt

dxy 4

Kembali ke Persamaan yang tadi

)2(42

2

xydt

dx

dt

xd x

dt

dx

dt

xd2) (4

2

2

xdt

dx4

0652

2

xdt

dx

dt

xd Persamaan homogen tingkat n

0)65( xDD

Persamaan karakteristik

Solusi untuk x

065 0)3)(2( 3 2 21

tt ececx 32

21

tt

tttt

ececy

ececececy

xdt

dxy

32

21

32

21

32

21

2

)(432

4

Solusi untuk y

Back

METODE MATRIKS DAN DETERMINAN

Metode ini menggunakan operator differensial dalam membentuk matrik dan determinan untuk mendapatkan jawaban umum dan setiap variabel terikat sebagai fungsi variabel bebasnya.

BENTUK UMUM METODE MATRIKS DAN DETERMINAN

)(bxaadt

y (1) 212

2

212

2

xhybdt

dy

dt

yd

dt

dxd

)(dxccdt

x (2) 212

2

212

2

xhyddt

dy

dt

yd

dt

dxd

(D2 + a1 D + a2) x + (D2 + b1 D + b2) y = h(x)

(D2 + c1 D + c2) x + (D2 + d1 D + d2) y = g(x)

)(bxaadt

y (1) 212

2

212

2

xhybdt

dy

dt

yd

dt

dxd

)(dxccdt

x (2) 212

2

212

2

xhyddt

dy

dt

yd

dt

dxd

Dari kedua persamaan tadi dapat dibuat matriks

Dengan metode cramer dapat diubah menjadi:

)(

)(

)()(

)()(

212

212

212

212

xg

xh

y

x

ydDdDcDcD

ybDbDaDaD

DetA

DetA

ydDdDcDcD

ybDbDaDaD

ydDdDxg

ybDbDxh

tx 1

212

212

212

212

212

212

)()(

)()(

)()(

)()(

)(

DetA

DetA

ydDdDcDcD

ybDbDaDaD

xgcDcD

xhaDaD

ty 2

212

212

212

212

212

212

)()(

)()(

)()(

)()(

)(

Bila det A1=0, det A2=0

Maka akan di peroleh persamaan differensial yang homogen.

Contoh :Tentukan jawaban dari persamaan :

41479x3dt

y 2 (1)

2

2

2

2

ydt

dy

dt

yd

dt

dxd

teydt

dtd 282xdt

x (2)

Persamaan dibuat menjadi persamaan Differensial

1. (2D2 + 3D -9) x + (D2 + 7D -14) y = 42. (D+1) x + (D+2) y = -82t

Bentuk matriks utamnya

DetA =(2D2+3D-9)(D+2)-(D2+7D-14)(D+1)=(2D3+2D2-9D+4D2+4D2+6D-18-

(D3+7D2-14D+D2+7D-14)= D3-D2+4D-4= D(D2+4)(D2+4)=(D-1)(D2+4)

ty

x

DD

DDDD2

22

8

4

)2()1(

)147()932(

DetA1 = 4(D+2)+8e2t(D2+7D-14)

= 4D+8+D28e2t+7D8e2t+112e2t

= 8+32e2t+112e2t-112e2t

=32e2t+8

DetA2 = -8e2t(2D2+3D-9)-4(D+1)

= -16e2e2t-24De2t-72e2t-D4-4= -64e2t-48e2t+72e2t-4= -40e2t-4

Penyelesaian untuk bentuk x=f(t)

(D-1)(D2+4)x=32e2t+8Fungsi komplementer(m-1)(m2+4)=0

fungsi komplementer dalam bentuk x=f(t)

xc=c1et+c2cos2t+c3sin2t

)4)(1(

832)(

2

2

DD

etx

t

im

m

2

1

2

1

Penyelesaian untuk bentuk y=f(t)

(D-1)(D2+4)y=-40e2t-8Fungsi komplementer(m-1)(m2+4)=0

fungsi komplementer dalam bentuk y=f(t)

yc=c1cos2t+c2sin2t+c3et-5e2t+1

)4)(1(

440)(

2

2

DD

ety

t

im

m

2

1

2

1

SEKIAN &

TERIMAKASIH

End