Presentation MP -11a

ГЕНЕРИСАЊЕ ФОКАЛНО-ДИРЕКТРИСНИХ ГЕОМЕТРИЈСКИХ ФОРМИ

КАО ОБРАСЦА ЗА ОБЛИКОВАЊЕ АРХИТЕКТОНСКО-УРБАНИСТИЧКОГ

ПРОСТОРА

мр Маја М. Петровић

јули 2о16. Београд

докторска дисертација

УВОД

Истраживањем различитих типова равних кривих и површи које су генерисанекао геометријско место тачака (ГМТ) са константном сумом/производомрастојања до фокуса, показано је да постоје и такве геометријске форме којенастају као ГМТ са константном сумом/производом растојања до директриса

Захваљујући оваквој генези, добијена је веза фокалних и директриснихгеометријских форми са Паладијевим пропорционалним системом, али и саФерма-Веберовим скупом тачака, тј. са Веберовим локацијским проблемом

Такође, анализирањем ових елемената уочила се њихова повезаност са некимгеометријским неједнакостима многоугла, и на основу тога, формиран јепрелазни тип. Прелазни тип је назван фокално-директрисно генерисаниелемент (фокално-директрисна крива и фокално-директрисна површ)

На почетку рада, извршена је генерализација прелазног типа равних кривих саконстантном сумом растојања, односно дефинисана је Веберова фокално-директрисна крива. Прелазни тип кривих са константним призводом растојањапредстављен је као Веберова фокално-директрисна крива Касинијевог типа

У простору, генерисање је извршено на основу три геометријска појма (тачка –фокус; права – директриса и раван – директрисна раван).

Архитектонски факултет Београд, 2о16.

КАРАКТЕРИСТИКЕ ФОКАЛНО-ДИРЕКТРИСНО

ГЕНЕРИСАНИХ ЕЛЕМЕНАТА

Употреба математике у естетске сврхе да се постигнепропорцијски склад, посебан изглед или визуелни ефекатархитектонских објеката, датире још из доба Ренесансе.Пропорционални системи који су коришћени у делимаархитеката тога доба Леона Батисте Албертија и АндрееПаладија базирани су на:

- аритметичкој средини (Ас),- геометријској средини (Гс),

- хармонијској средини (Хс) или- Фибоначијевом низу (Фн).

Ови истакнути представници италијанске Ренесансеразвили су систем архитектонских пропорција на основупропорција које су својствене у музичкој скали (Табела 1 - 1и Табела 1 - 2).



Нумеричка веза и поређење између консонантних интервала у систему музичке хармоније и

архитектонских пропорција (дужина - ширина собе) јесте

честа тема данашњих истраживања

Табела 1 - 1: Пропорције изведене из Албертијеве приоритетне размере

Табела 1 - 2: Пропорције изведене из Паладијеве приоритетне размере

КА

РАК

ТЕ

РИС

ТИ

КЕ

ФО

КА

ЛН

О -

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О

ГЕН

ЕРИ

СА

НИ

ХЕЛ

ЕМ

ЕН

АТА

Такође, приликом дефинисања висине идеалне собе, Паладио у својојкњизи Четири књиге Архитектуре (The Four Books of Architecture, 1570.)у Поглављу XXIII истиче три алтернативна правила:

а) б) Ас в) Гс г) Хс разлика растојања између дужине собе и висине треба да буде једнака разлици

висине и ширине. Другим речима, висина собе треба да буде половина збираширине и дужине, тј.

аритметичка средина (Ас) однос дужине собе према висини треба да буде исти као однос висине према

ширини. Другим речима, висина собе је једнака корену производа дужине иширине собе, тј.

геометријска средина (Гс) количник разлике дужине собе и висине и разлике висине и ширине треба да

буде једнак количнику дужине и ширине. Другим речима висина собе је одређенагеометријским правилом за хармонијску средину, тј.

хармонијска средина (Хс)


КА

РАК

ТЕ

РИС

ТИ

КЕ

ФО

КА

ЛН

О -

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О

ГЕН

ЕРИ

СА

НИ

ХЕЛ

ЕМ

ЕН

АТА

У складу са претходно наведеним правилима у дизајну Паладијеве собе, овајрад има за циљ да пружи визуелни приказ проширења фамилије фокално идиректрисно генерисаних геометријских форми које у себи садрже правилоаритметичке и геометријске средине, а затим да се дефинише нови прелазнитип фокално-директрисно генерисани 2D и 3D елементи са константном илипроменљивом сумом/производом растојања до фокуса и дирекриса којитакође садрже поменута правила.

Један од циљева је и да се из ових фамилија са разноврсним облицимапронађу такве геометријске форме које својом флексибилношћу могу да сеприлагоде потребама пројектног задатка.


КА

РАК

ТЕ

РИС

ТИ

КЕ

ФО

КА

ЛН

О -

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О

ГЕН

ЕРИ

СА

НИ

ХЕЛ

ЕМ

ЕН

АТА

Примена елиптичких, параболичких и хиперболичкихоблика у архитектури

Примена конусних пресека у архитектури :

а) Колосеум, Рим, Италијаб) Хол Терезијанског колеџа,

Барселона, Шпанијав) Саграда Фамилиа, Барселона,

Шпанијаг) Кућа са елипсастом основом,

Буонас Ајрес, Аргентинад) Катедрала са параболичним

луковима, Цилан, Чилеђ) Катедрала са хиперболичким

луковима, Бразилија, Бразил

ФОКАЛНО-ДИРЕКТРИСНО ГЕНЕРИСАНИ 2D ЕЛЕМЕНТИ КАО

ПРЕЛАЗНИ ТИП ИЗМЕЂУ ФОКАЛНО И ДИРЕКТРИСНО ГЕНЕРИСАНИХ 2D EЛЕМЕНАТА

Да би се што детаљније извршила анализа и конструктивно-геометријска поставка фокално, затим директрисногенерисаних елемената, а онда и њиховог прелазног типафокално-директрисно генерисаних 2D елементата, кренуће сеод једног познатог геометријског проблема који је поставиофранцуски математичар Пјер де Ферма у XVII веку:

„Пронаћи тачку у троуглу такву да је сумањеног растојања до три темена полазногтроугла минимална“

Геометријско решење овог проблема први је дао италијанскифизичар и математичар Еванђелиста Торичели, 1640. године.

Торичелијево решење се састојало у конструисању триједнакостранична троугла на странама полазног троугла и триописана круга око њих. Пресек описаних кругова даје решењеФермаовог проблема, тј. Ферма-Торичелијеву тачку F .

Ова тачка је у литератури позната као пета значајна тачкатроугла и прва тачка у троуглу која је откривена наконвремена доминације Грка везана за геометријска открића.


Графички приказ Торичелијеве конструкција Фермаове тачке


Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 2

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 2

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

А Шкотски физичар и математичар Џејмс Кларк Максвел је свој први научнирад написао из области механичког значења цртања математичких кривих:елипса-крива са два фокуса и кривих са више од два фокуса. Максвел уводитрифокалну елипсу са следећом једначином

где су

Еуклидска растојања тачке T(x,y) до фокуса A(xA,yA), B(xB,y B) и C(xC,y C)и задати параметар S > 0

Математички гледано, Максвелова трифокална елипсасадржи пропорционални склад попут Паладијевог, јерсе по својој генези може повезати са аритметичкомсредином.

Трифокална елипса представља и добар геометријски модел за решавање Ферма-Торичелијевог проблема, наиме Ферма-Торичелијева тачкаје одређена са минималном вредношћу параметра

Ако је трифокална елипса не постоји, а заје недегенерисана јајаста крива. У том случају,

за ову криву користе се следећи називи: еглипса,трисоид, полиелипса, трифокална крива, мултифокалназатворена криваГрафички приказ трифокалних кривих

где су wA, wB и wC позитивни реални бројеви, Веберови тежински фактори (коефицијенти).


Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 2

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 2

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

А Почетком XX века, аустријски економиста Алфред Вебер уопштава Фермаовпроблем, тј. дефинише тежински проблем са три тачке. Веберово проширењеФермаовог проблема гласи:

„Наћи локацију фабрике тако да су минимизирани транспортни трошкови од фабрике до три групе снабдевача сировинама, уколико се одговарајућа растојања множе са тежинама посматраних објеката који мере њихов значај“

ВЕБЕРОВА ФОКАЛНА КРИВА представља геометријско место тачака (ГМТ) у равни чија је сума скалираних растојања до k фиксираних тачака (фокуса) константна:

где су R1, R2, … , Rk Еуклидска растојања од тачке T(x,y) до фокуса F1 , F2 , … , Fk ,респективно, а фактори скалирања су Веберови тежински коефицијенти и

Ако су фактори скалирања јединични и једнаки: тада се крива назива k -ФОКАЛНА КРИВА

Фермаов скуп тачака за k линија дефинисао је Рој Барбара


Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 2

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 2

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

А Геометријски посматрано, у равни је тачка дуална правој и обрнуто. Ако узмемо уобзир ову чињеницу, тада се аналогно Фермаовом проблему за темена троугла, можедефинисати следећи проблем:

„пронаћи тачку у равни троугла такву да је сума њеног растојања до трификсиране праве (директрисе) које пролазе кроз темена полазног троугла минимална“

и тада крива дефинисана изразом се назива тридиректрисна крива.

ВЕБЕРОВА ДИРЕКТРИСНА КРИВА представља геометријско место тачака (ГМТ) у равни чија је сума скалираних растојања до k фиксираних правих (директриса) константна:

где су r1, r2, … , rk Еуклидска растојања од тачке T(x,y) до директриса d1 , d2 , … , dk ,респективно, а фактори скалирања су Веберови тежински коефицијенти и

Ако су фактори скалирања јединични и једнаки: тада се крива назива k -ДИРЕКТРИСНА КРИВА


Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 2

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 2

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

А Последње године прошлог века, амерички математичар Џејмс Паркс у свомраду са називом: „Решавање геометријских проблема у свакодневном животу“ ,поставља следећи проблем:

„ Који скуп путева/комуникационих линија је бржи/краћи?“

који се своди на Ердеш-Морделову неједнакост:Парксов проблем повезује претходна два:

• Фермаов проблем за три тачке и •Веберов проблем за три праве.

ЕРДЕШ-МОРДЕЛОВА КРИВА представља геометријско место тачака (ГМТ) у равни чија је сума растојања до 3 фокуса једнака двострукој суми растојања до 3 директрисе:


Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 2

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 2

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

АВЕБЕРОВА ФОКАЛНО-ДИРЕКТРИСНА КРИВА представља ГМТ у равни чија је сума скалираних растојања до m фокуса и n директриса константна:

где су R1, R2, … , Rm и r1, r2, … , rn Еуклидска растојања од тачке T(x,y) до фокуса F1 , F2 , … , Fm и до директриса d1 , d2 , … , dn, респективно, а фактори скалирања

су Веберови тежински коефицијенти (бар један коефи-цијент не сме да буде нула) и

• Ако су сви Веберови тежински фактори јединични тада свепретходно дефинисане криве садрже пропорционални склад попутПаладијевог, јер се по својој генези могу повезати сааритметичком средином растојања свих тачака до фокуса и додиректриса.

• Аналогно, можемо дефинисати фокалне криве које садрже другопропорционално правило (геометријска средина). Ове фокалнекриве је први разматрао Ђовани Доменико Касини, 1675. године


Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 2

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 2

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

Аk-ФОКАЛНА КАСИНИЈЕВА КРИВА представља ГМТ у равни чији је производ растојања до k фиксираних тачака константан. Tачка Т испуњава дефинициони услов за генерализовану Касинијеву криву:

где су R1, R2, … , Rk Еуклидска растојања од тачке T(x,y) до фокуса F1 , F2 , … , Fkреспективно и

k-ДИРЕКТРИСНА КРИВА КАСИНИЈЕВОГ ТИПАпредставља ГМТ у равни чији је производ растојања до k фиксираних правих константан. Tачка Т испуњава дефинициони услов за генерализовану Касинијеву криву:

где су r1, r2, … , rk Еуклидска растојања од тачке T(x,y) до директриса d1 , d2 , … , dk ,респективно и


Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 2

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 2

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

А

ВЕБЕРОВА ФОКАЛНО-ДИРЕКТРИСНА КРИВА КАСИНИЈЕВОГ ТИПАпредставља ГМТ у равни чији је збир производа скалираних растојања доm фокуса и n директриса константан. Tачка Т испуњава дефинициони

услов за Веберову фокално-директрисну криву Касинијевог типа

где су R1, R2, … , Rm и r1, r2, … , rn Еуклидска растојања од тачке T(x,y) до фокуса F1 , F2 , … , Fm и до директриса d1 , d2 , … , dn, респективно, а фактори скалирања

су Веберови тежински коефицијенти (бар један коефицијент не сме да буде нула) и

Неједнакост Чајлда за троугао

повезује трифокалну и тридиректрисну криву Касинијевог типа. Дефиниција и графички приказ Чајлдове криве


Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 2

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 2

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

АКонусни пресеци као фокално и фокално-директрисно генерисани 2D елементи

ЕЛИПСА ПАРАБОЛА

ХИПЕРБОЛА


Конусни пресеци као фокално и фокално-директрисно генерисани 2D елементи

ЕЛИПСА ХИПЕРБОЛА


Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 2

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 2

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

А

Директрисе - странице правилних полигона

Фокуси - темена правилних полигона


Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 2

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 2

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

А

k-ФОКАЛНА КРИВА


Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 2

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 2

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

А

k -ФОКАЛНА КРИВА КАСИНИЈЕВОГ ТИПА


Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 2

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 2

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

Аk-ДИРЕКТРИСНА КРИВА


Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 2

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 2

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

Аk -ДИРЕКТРИСНА КРИВА КАСИНИЈЕВОГ ТИПА


Веберове Ф-ДК (лево) и Ф-ДККТ (десно) за k = m = n и S > 0


Веберове Ф-ДК (лево) и Ф-ДККТ (десно) за k = m = n и S > 0

Веберове Ф-ДК (лево) и Ф-ДККТ (десно) за k = m = n и S = 0


Веберове Ф-ДК (лево) и Ф-ДККТ (десно) за k = m = n и S = 0



Примена фокално-директрисно генерисаних елемената у апроксимацији и реконструкцији контуре основе објекта

Анализа погодности облика фокално-директрисногенерисаних 2D елемената за примену у архитектури

б) Апроксимација основе контуре арене ДортонВебровом фокално-директрисном кривом

(два фокуса и три директрисе)

а) Колосеум, Рим, Италијаб) арена Дортон, Северна Каролина, УСА

а) Апроксимација основе контуре амфитеатра Колосеумтрифокалном кривом са константном сумом растојања


Примена геометрије фокално-директрисно генерисаних 2D елемената на решавање локацијских проблема

Анализа погодности облика фокално-директрисногенерисаних 2D елемената за примену у архитектури

•Ако се посматрају три дате локације (градови из идејног плана гасовода Јужни ток): Берегаја (Русија), Солун (Грчка) и Суботица (Србија), Ф-Т тачка би била близу града Плевен у Бугарској•Применом развијене апликације утврђено је да ако уместо локације Берегаја, изаберемо нову локацију тј. град Варна (Бугарска), Ф-Т тачка такође остаје близу града Плевен•Оптимална тачка у близини града Плевен се добија са вредностима тежинских фактора један, што доводи до закључка да су обе стране подједнако важне.

Са развојем технике и технологије крајем ХХ и почетком ХХI века,коришћење алгебарских површи другог и виших редова удизајнирању архитектонских објеката је учестала

Због своје једноставне геометријске конструкције, али и сведенеестетике и елеганције, цилиндар, конус, хиперболоид, параболоид,сфера, само су неке од површи које привлаче пажњу уистраживањима, како математичара, тако и архитеката

Примена ових форми у архитектури је значајна због њихове ергономије и аеродинамике

У наредном делу рада дефинисане су површи другог реда каоповрши генерисане помоћу основних геометријских појмова:

• тачка,• права и• раван

ФОКАЛНО-ДИРЕКТРИСНО ГЕНЕРИСАНИ 3D ЕЛЕМЕНТИ КАО

ПРЕЛАЗНИ ТИП ИЗМЕЂУ ФОКАЛНО И ДИРЕКТРИСНО ГЕНЕРИСАНИХ 3D EЛЕМЕНАТА



Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 3

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 3

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

А

Модерни архитектонски објекти са обликом алгебарских површи другог и виших редова


Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 3

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 3

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

А

ВЕБЕРОВА ПОВРШпредставља ГМТ у простору чија је сума скалираних растојања до mфиксираних тачака, n фиксираних правих и l фиксираних равниконстантна. Tачка Т испуњава дефинициони услов за Веберову површ:


Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 3

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 3

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

АГенерисани 3D елементи са константном сумом растојања

где су R1, R2, … , Rm , r1, r2, … , rn и 1, 2, … , l Еуклидска растојања од тачкеT(x,y,z) до фокуса F1, F2, … ,Fm, до директриса d1, d2, … , dn и до директриснихравни D1 , D2 , … , Dl респективно, а фактори скалирања

су Веберови тежински коефицијенти(бар један коефицијент не сме да буде нула) и

Геометријске форме које настају само помоћу фокуса, разматране су ураду аутора Ј. Ние, П. Парило и Б. Штурмфелс. Они дефинишуm –елипсоид (алгебарска површ вишег реда) као природно проширењеm - елипсе у тродимензионални простор.

Мултифокалне површи са константном сумом или производом растојања(тродимензионалне елипсе и лемнискате) и алгоритме за њиховоприказивање анализирао је В. Пипер у свом раду.

Све остале геометријске форме се први пут дефинишу у овом раду.

где су 1, 2, … , k Еуклидска растојања од тачке T(x,y,z) до директрисних равни D1 , D2 , … , Dk респективно, а фактори скалирања су Веберови тежински коефицијенти и

где су r1, r2, … , rk Еуклидска растојања од тачке T(x,y,z) до директриса d1 , d2 , … , dkреспективно, а фактори скалирања су Веберови тежинскикоефицијенти и


Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 3

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 3

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

АВЕБЕРОВА ФОКАЛНА ПОВРШпредставља ГМТ у простору чија је сума скалираних растојања до kфиксираних тачака константна. Tачка Т испуњава дефинициони услов заВеберове фокалне површи:

где су R1, R2, … , Rk Еуклидска растојања од тачке T(x,y,z) до фокуса F1 , F2 , … , Fkреспективно, а фактори скалирања су Веберови тежинскикоефицијенти иВЕБЕРОВА ДИРЕКТРИСНА ПОВРШпредставља ГМТ у простору чија је сума скалираних растојања до kфиксираних правих константна. Tачка Т испуњава дефинициони услов заВеберове директрисне површи:

ВЕБЕРОВА ДИРЕКТОРНА ПОВРШпредставља ГМТ у простору чија је сума скалираних растојања до kфиксираних равни константна. Tачка Т испуњава дефинициони услов заВеберове директорну површи:

где су r1, r2, … , rn и 1, 2, … , l Еуклидска растојања од тачке T(x,y,z) до директриса d1 , d2 , … , dn и до директрисних равни D1 , D2 , … , Dl респективно, а фактори скалирања

су Веберови тежински коефицијенти (бар један коефицијент не сме да буде нула) и

где су R1, R2, … , Rm и 1, 2, … , l Еуклидска растојања од тачке T(x,y,z) до фокуса F1, F2,…,Fmи до директрисних равни D1 , D2 , … , Dl респективно, а фактори скалирања су Веберови тежински коефицијенти (бар један коефицијент не сме да буде нула) и


ВЕБЕРОВА ФОКАЛНО-ДИРЕКТРИСНА ПОВРШпредставља ГМТ у простору чија је сума скалираних растојања до m фокуса и n директрисаконстантна. Tачка Т испуњава дефинициони услов за Веберову фокално-директриснуповрш:

где су R1, R2, … , Rm и r1, r2, … , rn Еуклидска растојања од тачке T(x,y,z) до фокуса F1, F2,…,Fmи до директриса d1 , d2 , … , dn респективно, а фактори скалирања су Веберови тежински коефицијенти (бар један коефицијент не сме да буде нула) иВЕБЕРОВА ФОКАЛНО-ДИРЕКТОРНА ПОВРШпредставља ГМТ у простору чија је сума скалираних растојања до m фокуса и l фиксиранихравни константна. Tачка Т испуњава дефинициони услов за Веберове фокално-директорнуповрши:

ВЕБЕРОВА ДИРЕКТРИСНО-ДИРЕКТОРНА ПОВРШпредставља ГМТ у простору чија је сума скалираних растојања до n директриса и lфиксираних равни константна. Tачка Т испуњава дефинициони услов за Вебероведиректрисно-директорну површи:

ВЕБЕРОВА ПОВРШ КАСИНИЈЕВОГ ТИПАпредставља ГМТ у простору чија је сума скалираних производа растојања до mфиксираних тачака, n фиксираних правих и l фиксираних равни константна. TачкаТ испуњава дефинициони услов за Веберову површ Касинијевог типа:


Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 3

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 3

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

АГенерисани 3D елементи са константним производом растојања

где су R1, R2, … , Rm , r1, r2, … , rn и 1, 2, … , l Еуклидска растојања од тачкеT(x,y,z) до фокуса F1, F2, … , Fm, до директриса d1, d2, … , dn и до директриснихравни D1 , D2 , … , Dl респективно, а фактори скалирањасу Веберови тежински коефицијенти (бар један коефицијент не сме да буде нула)и

Подгрупе Веберових површи Касинијевог типа су са следећим називима:k -ФОКАЛНА ПОВРШ КАСИНИЈЕВОГ ТИПАk -ДИРЕКТРИСНА ПОВРШ КАСИНИЈЕВОГ ТИПАk -ДИРЕКТОРНА ПОВРШ КАСИНИЈЕВОГ ТИПАВЕБЕРОВА ФОКАЛНО-ДИРЕКТРИСНА ПОВРШ КАСИНИЈЕВОГ ТИПАВЕБЕРОВА ФОКАЛНО-ДИРЕКТОРНА ПОВРШ КАСИНИЈЕВОГ ТИПАВЕБЕРОВА ДИРЕКТРИСНО-ДИРЕКТОРНА ПОВРШ КАСИНИЈЕВОГ ТИПА


Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 3

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 3

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

А

Директрисе - ивице призме са основом правилног полигона

Фокуси - темена правилних полиедара

Фокуси - темена правилних полигона

ФП.1.ФПКТ.1.

ФП.2.ФПКТ.2.

Директрисе - странице правилних полигона

ДП.1.ДПКТ.1.

ДП.2.ДПКТ.2.

Директрисе - мимоилазне праве

Директрисе - ивице правилних полиедара

ДП.4.ДПКТ.4.

ДП.3.ДПКТ.3.

Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 3

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 3

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

А


ФП.1.

ФП.2. k=3 k=4 k=5 k=6

k=4 k=6

ГЕНЕРИСАЊЕ ФОКАЛНИХ ГЕОМЕТРИЈСКИХ ФОРМИ


Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 3

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 3

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

АФПКТ.1. k=5


Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 3

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 3

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

АФПКТ.2.


ФПКТ.2.


ДП.1.ГЕНЕРИСАЊЕ ДИРЕКТРИСНИХ ГЕОМЕТРИЈСКИХ ФОРМИ

ДПКТ.1.

k=3 k=4 k=5 k=6


ДП.2. ДПКТ.2.


ДП.3.

ДПКТ.3.

k=3 k=4 k=5 k=6


ДПКТ.4.


ГЕНЕРИСАЊЕ ФОКАЛНО-ДИРЕКТОРНИХ ГЕОМЕТРИЈСКИХ ФОРМИ


Варијација форме фокално-директрисно генерисаних3D елемената у зависности од полазних параметара


Варијација форме фокално-директрисно генерисаних3D елемената у зависности од полазних параметара


Анализа погодности форме фокално-директрисно генерисаних 3D елемената за примену у архитектури

Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 3

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 3

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

А

•Анализа геометријских својстава у генерисању фокално-директрисно

генерисаних елемената као архитектонских форми (симетрија,

униформност елемената)•Триангулација фокално-директрисно генерисаних елемената и погодности извођења у диагрид конструктивном

систему

Огледалска симетрија

1/4 k - ти део фокалне површи (k = 3 )1/2 k - ти део директрисне површи (k = 6 )


Ф-Д

ГЕ

НЕ

РИС

АН

И 3

D Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

АО

П

РЕЛ

АЗН

ИТ

ИП

ИЗМ

ЕЂ

У Ф

ОК

АЛ

НО

И

ДИ

РЕК

ТРИ

СН

О Г

ЕН

ЕРИ

СА

НИ

Х 3

DE

ЛЕ

МЕ

НАТ

ААнализа погодности форме фокално-директрисно генерисаних 3D елемената за примену у архитектури

•Обликовање архитектонских простора коришћењем фокално-директрисно генерисаних 3D елемената ради постизања акустичних и оптичких ефекатаПознат је ефекат да у грађевинама са специјалним акустичнимкарактеристикама, долази до преноса звука путем рефлексије,на такав начин да се на веће удаљености може пренети и звуквеома ниског интензитета, практично без слабљења. Например, једна особа може чути шапат који је изговорила друга,удаљена, особа ако се ове две особе налазе на одређенимпозицијама у просторији. Овакве просторије се често називају„галеријама шапата“, а најпознатија просторија овог типа јесвакако галерија катедрале Светог Павла у Лондону

Елипсоидни свод и његове акустичне карактеристике

Модели Декартовог конуса (Веберова двофокална површ)

Рене Декарт је захваљујући свом истраживању из области оптике генерисао овал за који важи


Дијаграм подела Веберових површи

Дијаграм подела Веберових кривих

ФОКАЛНО-ДИРЕКТРИСНО ГЕНЕРИСАНИ ЕЛЕМЕНТИ КАО ГРАФИЧКЕ ИНТЕРПРЕТАЦИЈЕ

ГЕОМЕТРИЈСКИХ НЕЈЕДНАКОСТИ МНОГОУГЛА Проширење Ердеш-Морделове неједнакости до Ердеш-Морделове криве као фокално-директрисно генерисаног 2D елемента


Ердеш-Морделова неједнакост за троугао

Ердеш-Морделова крива за троугао и област ЕПроширење ΔABC до области M ⊆ E


Просторна интерпретација Ердеш-Морделове неједнакости троугла

•Ердеш-Морделова неједнакост за троугао када сеинтерпретира као Ферма-Торичели-Веберов проблемима следећу формулацију: трифокална сума већа јеили једнака двострукој вредности тридиректриснесуме (фокуси су темена, а директрисе стране троугла).

Ердеш-Морделове површи за троугао

МОГУЋНОСТИ ПРИМЕНЕ ФОКАЛНО-ДИРЕКТРИСНО ГЕНЕРИСАНИХ ЕЛЕМЕНАТА У ОБЛИКОВАЊУ

АРХИТЕКТОНСКО-УРБАНИСТИЧКОГ ПРОСТОРА


Потенцијал примене ових форми се огледа у њиховој генези игеометријским својствима. Мењањем малог броја параметара (положајафокуса и/или директриса) може се знатно утицати на промену обликагенерисаног елемента, па се ове фигуре могу подешавати, прилагођавати итрансформисати према жељеним захтевима архитектонског задатка.

Архитектонскa просторна структура (4-фокалнe површи)


Због геометријски одредивих форми, флексибилностиоблика и морфолошке компатибилности са изводљивимструктурама којима су наклоњени актуелни трендови упројектовању, Веберове површи дају основ заистраживање њихове погодности за примену уобликовању архитектонско-урбанистичког простора.

Архитектонски факултет Београд, 11. јули 2о16.

Documents

Presentation MP -11a