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12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 1 / 33

Régulation automatique (REG)Chapitre 5 : Performances des systèmes asservis

Prof. Michel [email protected]

Haute Ecole d’Ingénierie et de Gestion du canton de Vaud (HEIG-VD)Département des Technologies Industrielles (TIN)

http://www.heig-vd.ch/tin

12 juin 2014

mailto:[email protected]

http://www.heig-vd.ch



Performances des systèmes asservis


1. Stabilité (notamment le degré de stabilité)2. Précision (notamment en régime permament)3. Rapidité4. Qualité

Stabilité

Performances dessystèmes asservis

StabilitéStabilité dessystèmes linéaires:définitionStabilité: critèremathématique

Mode apériodiqueCi · esi·t · ǫ(t)

Mode oscillatoire|Ci| · e

−δ·t ·sin (ω0 · t) · ǫ(t)

Conditionfondamentale destabilitéStabilité: propriétéintrinsèque dusystème

Exemple:asservissement deposition aveccontrôle decouple/courant(exercice 21):régulateur P

Exemple:asservissement deposition aveccontrôle decouple/courant(exercice 21):régulateur PD

Précision en


Stabilité des systèmes linéaires : définition


U ( s )

u ( t )

Y ( s )

y ( t )G ( s )f _ 0 5 _ 0 4 . e p s

t [ s ]0

u ( t )

t [ s ]0

i n s t a b l e

s t a b l e

y ( t )

m a r g i n a l e m e n t

s t a b l e



U ( s )

u ( t )

Y ( s )

y ( t )G ( s )f _ 0 5 _ 0 4 . e p s

t [ s ]0

u ( t )

t [ s ]0

i n s t a b l e

s t a b l e

y ( t )

m a r g i n a l e m e n t

s t a b l e

Un système dynamique linéaire est stable si, et seulement si, écarté de sa position

d’équilibre par une sollicitation extérieure, le système revient à cette position

d’équilibre lorsque la sollicitation a cessé.



u

xC a p t e u r

r é g u l a t e u r n u m é r i q u ei m p l a n t é d a n s u n P C

y

wDA

AD

j ( t )

r

F

i a

u a ( t )

L aR a

M

f _ 0 5 _ 2 0 . e p s

Stabilité : critère mathématique


U ( s )

u ( t )

Y ( s )

y ( t )G ( s )f _ 0 5 _ 0 5 . e p s

t [ s ]0

u ( t ) = d ( t )

t [ s ]0

y ( t )

?



U ( s )

u ( t )

Y ( s )

y ( t )G ( s )f _ 0 5 _ 1 5 . e p s

Y (s) = G(s) · U(s)︸︷︷︸

L{δ(t)}

= G(s)

G(s) est une fraction rationelle en s :

G(s) =Y (s)

U(s)=

bm · sm + bm−1 · sm−1 + . . .+ b1 · s+ b0

sn + an−1 · sn−1 + . . .+ a1 · s+ a0



G(s) =Y (s)

U(s)=

bm · sm + bm−1 · sm−1 + . . .+ b1 · s+ b0

sn + an−1 · sn−1 + . . .+ a1 · s+ a0

On admet pour ce qui suit que :

1. G(s) a plus de pôles que de zéros, i.e. son degré relatif d = n−m > 02. Tous les pôles s1, s2, . . . , sn de G(s) sont simples



La décomposition de G(s) en éléments simples prend la forme

Y (s) = G(s) =bm · sm + bm−1 · sm−1 + . . .+ b1 · s+ b0

sn + an−1 · sn−1 + . . .+ a1 · s+ a0

=C1

s− s1+

C2

s− s2+ . . .+

Cn

s− sn

=n∑

i=1

Ci

s− si

où C1 à Cn sont les résidus associés aux pôles s1 à sn.



On peut alors calculer la réponse y(t) à la sollicitation u(t) = δ(t) :

y(t) = L−1{Y (s)} = L−1

{C1

s− s1+

C2

s− s2+ . . .+

Cn

s− sn

}

= g(t) = C1 · es1·t · ǫ(t) + C2 · es2·t · ǫ(t) + . . .+ Cn · esn·t · ǫ(t)

=n∑

i=1

Ci · esi·t · ǫ(t)

La réponse impulsionnelle y(t) = g(t) est formée de n modes typeCi · esi·t · ǫ(t).A chaque pôle si est associé le mode temporel Ci · esi·t · ǫ(t).

Mode apériodique Ci · esi·t · ǫ(t)


Un mode apériodique est un mode associé à un pôle réel.

Ci

s− si−→ Ci · esi·t · ǫ(t)

On voit qu’il s’agit d’un mode ayant l’allure d’une exponentielle paramétréepar le pôle lui-même.



0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

g(t)

Mode apériodique

0 1 2 3 4 50

0.5

1

g(t)

0 1 2 3 4 50

5

10

t [s]

g(t)

−10 −5 0−5

0

5Configuration pôle−zéro

Re

Im

−10 −5 0−5

0

5

Re

Im

−10 −5 0−5

0

5

Re

Im

f_mode_rap_1.eps

T_K.sq T_K.sq.exe

php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ra//chap_02/sysquake/T_K.exe



0 1 2 3 4 50

0.5

1

g(t)

Mode apériodique

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

g(t)

0 1 2 3 4 50

50

100

150

t [s]

g(t)

−2 0 2

−10

0

10

Configuration pôle−zéro

Re

Im

−2 0 2

−10

0

10

Re

Im

−2 0 2

−10

0

10

Re

Imf_mode_exp_1.eps

Mode oscillatoire |Ci| · e−δ·t · sin (ω0 · t) · ǫ(t)


Un mode oscillatoire est associé à une paire de pôles complexes :

Ci

(s− si)+

Ci

(s− si)−→ |Ci| · e−δ·t · sin (ω0 · t) · ǫ(t)

où {−δ = ℜ{si}ω0 = ℑ{si}

Le mode oscillatoire est constitué d’un terme sinusoïdal pondéré par uneexponentielle.



0 1 2 3 4 5−5

0

5

g(t)

Mode sinusoïdal

0 1 2 3 4 5−10

−5

0

5

10

g(t)

0 1 2 3 4 5

−20

−10

0

10

20

t [s]

g(t)

−1.5 −1 −0.5 0 0.5

−20

−10

0

10

20

0.05

0.05


Re

Im

−1.5 −1 −0.5 0 0.5

−20

−10

0

10

20

0.05

0.05

Re

Im

−1.5 −1 −0.5 0 0.5

−20

−10

0

10

20

0.05

0.05

Re

Imf_moderap2_1.eps

zeta_wn_K.sq zeta_wn_K.sq.exe

php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ra//chap_02/sysquake/zeta_wn_K.exe



0 1 2 3 4 5−10

−5

0

5

10

g(t)

Mode sinusoïdal

0 1 2 3 4 5−20

−10

0

10

20

g(t)

0 1 2 3 4 5−2000

−1000

0

1000

t [s]

g(t)

−2 0 2

−10

0

10


Re

Im

−2 0 2

−10

0

10

Re

Im

−2 0 2

−10

0

10

Re

Imf_mode_sin_1.eps

Condition fondamentale de stabilité


Un système dynamique linéaire est stable si et seulement si tous les pôles

de sa fonction de transfert sont à partie réelle négative :

ℜ{si} < 0 [s−1]

R e0

s

I m

z o n e i n s t a b l e

( d e m i - p l a n c o m p l e x e

d r o i t )

z o n e s t a b l e

( d e m i - p l a n c o m p l e x e

g a u c h e )

f _ 0 5 _ 0 6 . e p s

Stabilité : propriété intrinsèque du système


m~F (t)

Rf

x(t)

~v(t) system_Rf_m_0(.mp)

Modélisation (Newton) m · dvdt

= F (t)−Rf · v(t)Fonction de transfert (c.i. nulles) m · s · V (s) = F (s)−Rf · V (s)

=⇒ G(s) = Y (s)U(s) =

1m·s+Rf

=1

Rf

1+s· mRf

=1

Rf

1+s·τ



m~F (t)

Rf

x(t)

~v(t) system_Rf_m_0(.mp)

Fonction de transfert (c.i. nulles)

=⇒ G(s) = Y (s)U(s) =

1m·s+Rf

=1

Rf

1+s· mRf

=1

Rf

1+s·τ

Pôle de G(s) s1 = −Rf

m= − 1

τ

=⇒ Le pôle s1, et par suite la stabilité de G(s), ne dépend que desparamètres du système représenté par G(s).



ℜ{si} < 0 [s−1]

La stabilité d’un système dynamique linéaire ne dépendant que des pôles de

sa fonction de transfert, elle est donc une propriété intrinsèque au système, i.e.elle ne dépend que de ses paramètres (Ra, J , CL, etc) mais aucunement del’excitation u(t).

Il est donc faut de dire "le signal d’excitation a rendu le système instable".

Exemple : asservissement de position avec contrôlede couple/courant (exercice 21) : régulateur P


Σ

−

Kwi KT Σ

+

Kmθw(t) y(t)

ia(t) Tem(t) ω(t) θ(t)

Trés(t)

Kp

u(t)Temc(t)e(t)

1

s·J1

s

ex_ra_21_1(.mp)



Σ

−

Kwi KT Σ

+

Kmθw(t) y(t)


Trés(t)

Kp

u(t)Temc(t)e(t)

1

s·J1

s

ex_ra_21_1(.mp)

Σ

e(t)

w(t) y(t)Ka

s2Kp

ex_ra_21_4(.mp)



Σ

e(t)

w(t) y(t)Ka

s2Kp

ex_ra_21_4(.mp)

Σ

e(t)

w(t) y(t)Ko

s2

ex_ra_21_5(.mp)



Σ

e(t)

w(t) y(t)Ko

s2

ex_ra_21_5(.mp)

Fonction de transfert en boucle ouverte Go(s) =Ko

s2

(Go(s) est instable !)Fonction de transfert en boucle fermée (régul. de correspondance)

Gyw(s) =Y (s)W (s) =

Go(s)1+Go(s)

=Kos2

1+Kos2

= Ko

s2+Ko

Pôles en boucle fermée s2 +Ko = 0 =⇒ sf1,2 = ±j ·√

Ko

(Gyw(s) est marginalement stable !)

Exemple : asservissement de position avec contrôlede couple/courant (exercice 21) : régulateur PD


Kp · (1 + s · Td)Σ

−

Kwi KT Σ

+

Kmθw(t) y(t)


Trés(t)

1

s·J1

s

u(t)Temc(t)e(t)

ex_ra_21_3(.mp)



Kp · (1 + s · Td)Σ

−

Kwi KT Σ

+

Kmθw(t) y(t)


Trés(t)

1

s·J1

s

u(t)Temc(t)e(t)

ex_ra_21_3(.mp)

Σ

e(t)

w(t) y(t)Ka

s2Kp · (1 + s · Td)

ex_ra_21_6(.mp)



Σ

e(t)

w(t) y(t)Ka

s2Kp · (1 + s · Td)

ex_ra_21_6(.mp)

Σ

e(t)

w(t) y(t)Ko ·1+s·Td

s2

ex_ra_21_7(.mp)



Σ

e(t)

w(t) y(t)Ko ·1+s·Td

s2

ex_ra_21_7(.mp)

Fonction de transfert en boucle ouverte Go(s) = Ko · 1+s·Td

s2

(Go(s) est instable !)Fonction de transfert en boucle fermée (régul. de correspondance)

Gyw(s) =Y (s)W (s) =

Go(s)1+Go(s)

=Ko·

1+s·Tds2

1+Ko·1+s·Td

s2

= . . . = 1+s·Td

1+s·Td+s2· 1Ko

Pôles (complexes) en boucle fermée

1 + s · Td + s2 · 1Ko

= 0 =⇒ sf1,2 = −Td

2± j ·

√4Ko

− Td

2

(ℜ{sf1,2} = −Td

2 < 0 =⇒ Gyw(s) est stable !)

Précision en régime permanent


Stabilité

Précision enrégime permanent


Précision enrégime permanent(rég. corresp.)


Schémafonctionneluniversel

Calcul de l’erreurPrécision enrégime permanent

Cas particulier:erreur statiqueE∞

Tableau deserreurspermanentes

Rapidité dessystèmes derégulationautomatique

Qualité

Pôles dominants12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 12 / 33



Gc(s)e(t) y(t)

Ga1(s) Ga2(s)

y(t)

u(t)Σ Σ

−

w(t)

v(t)

reg_05_1_2(.mp)

Ep = limt→∞

e(t) = limt→∞

(w(t)− y(t))

Précision en régime permanent (rég. corresp.)


t [ s ]0

w ( t )y a ( t ) , e r r e u r s t a t i q u e n u l l e

y b ( t ) , e r r e u r s t a t i q u e n o n - n u l l e

R é g i m e t r a n s i s t o i r e R é g i m e p e r m a n e n t

R é g i m e p e r m a n e n t c o n s t a n t

= > e r r e u r d ' o r d r e 0 o u e r r e u r s t a t i q u e

f _ 0 5 _ 1 6 . e p s



y b ( t ) , e r r e u r e n v i t e s s e n o n - n u l l e

0

w ( t )

t [ s ]

y c ( t ) , e r r e u r e n v i t e s s e i n f i n i e

y a ( t ) , e r r e u r e n v i t e s s e n u l l e

R é g i m e p e r m a n e n t v a r i a b l e d ' o r d r e 1

= > e r r e u r d ' o r d r e 1 o u e r r e u r e n v i t e s s e

f _ 0 5 _ 1 7 . e p s




0

w ( t )

t [ s ]

y c ( t ) , e r r e u r e n a c c é l é r a t i o n i n f i n i e

y b ( t ) , e r r e u r e n a c c é l é r a t i o n n o n - n u l l ey a ( t ) , e r r e u r e n a c c é l é r a t i o n n u l l e

R é g i m e p e r m a n e n t v a r i a b l e d ' o r d r e 2

= > e r r e u r d ' o r d r e 2 o u e r r e u r e n a c c é l é r a t i o n

f _ 0 5 _ 1 8 . e p s




0 0.5 1 1.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t [s]

θ(t)

Déplacement de position angulaire de 1 [rad]

f_demo_bb_3.eps



0 0.5 1 1.50

0.5

1θ

Déplacement élémentaire de position angulaire de 1 [rad]

0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

ω

0 0.5 1 1.5−4

−2

0

2

4

t [s]

α

f_demo_bb_1.eps



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.5

1θ

Déplacement élémentaire de position angulaire de 1 [rad]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.2

0.4

0.6

0.8

ω

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−4

−2

0

2

4

t [s]

α

f_demo_bb_2.eps



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t [s]

θ(t)

Déplacement de position angulaire de 1 [rad]

f_demo_bb_4.eps



Gc(s)e(t) y(t)

Ga1(s) Ga2(s)

y(t)

u(t)Σ Σ

−

w(t)

v(t)

reg_05_1_2(.mp)Forme des fonctions de transfert (forme de Bode) :

Ga1(s) =Ka1

sαa1·Ra1(s)

Ga2(s) =Ka2

sαa2·Ra2(s)

Gc(s) =Kc

sαc·Rc(s)

Go(s) =Ko

sα·Ro(s)

avec Ko = Kc ·Ka1 ·Ka2 =Kp

Ti︸︷︷︸

gain permamentdu régulateur

·Ka1 ·Ka2



Kp ·

1+s·Tis·Ti

e(t) y(t)Ka1

1+s·τ1

Ka2s

·

11+s·τ2

y(t)

u(t)Σ Σ

−

w(t)

v(t)

reg_05_1_31(.mp)



Kp ·

1+s·Tis·Ti

e(t) y(t)Ka1

1+s·τ1

Ka2s

·

11+s·τ2

y(t)

u(t)Σ Σ

−

w(t)

v(t)


Ga1(s) =Ka1

sαa1·Ra1(s) = Ka1 ·

1

1 + s · τ1Ra1(0) = 1

Ga2(s) =Ka2

sαa2·Ra2(s) =

Ka2

s· 1

1 + s · τ2Ra2(0) = 1

Gc(s) =Kc

sαc·Rc(s) =

Kc

s· (1 + s · Ti) Rc(0) = 1

Go(s) =Ko

sα·Ro(s) =

Ko

s2· 1

(1 + s · τ1) · (1 + s · τ2)Ro(0) = 1


Ti︸︷︷︸


·Ka1 ·Ka2



Gc(s)e(t) y(t)

Ga1(s) Ga2(s)

y(t)

u(t)Σ Σ

−

w(t)

v(t)


Ga1(s) =Ka1

sαa1·Ra1(s) Ra1(0) = 1

Ga2(s) =Ka2

sαa2·Ra2(s) Ra2(0) = 1

Gc(s) =Kc

sαc·Rc(s) Rc(0) = 1

Go(s) =Ko

sα·Ro(s) Ro(0) = 1


Ti︸︷︷︸


·Ka1 ·Ka2 Rk(s) (Ra1(s), Ra2(s),

Rc(s) et Ro(s)) sont des fractions rationnelles en s de forme

Schéma fonctionnel universel


Désignation des intégrateurs des fonctions de transfert :

nombre d’intégrateurs situés avant l’introductiondes perturbations

α1

nombre d’intégrateurs situés après l’introductiondes perturbations

α2

nombre total d’intégrateurs de la boucle α = α1 + α2

Gc(s)e(t) y(t)

Ga1(s) Ga2(s)

y(t)

u(t)Σ Σ

−

w(t)

v(t)

α1 α2

α = α1 + α2

reg_05_1_32(.mp)

Schéma fonctionnel universel


Désignation des intégrateurs des fonctions de transfert :

nombre d’intégrateurs situés avant l’introductiondes perturbations

α1 = 1

nombre d’intégrateurs situés après l’introductiondes perturbations

α2 = 1

nombre total d’intégrateurs de la boucle α = α1 + α2 = 1 + 1 = 2

Kp ·

1+s·Tis·Ti

e(t) y(t)Ka1

1+s·τ1

Ka2s

·

11+s·τ2

y(t)

u(t)Σ Σ

−

w(t)

v(t)

reg_05_1_31(.mp)

Calcul de l’erreur


Gc(s)e(t) y(t)

Ga1(s) Ga2(s)

y(t)

u(t)Σ Σ

−

w(t)

v(t)

reg_05_1_2(.mp)

Expression de l’erreur :e(t) = w(t)− y(t)

Dans le domaine de Laplace :

E(s) = W (s)− Y (s)

= W (s)− [Gc(s) ·Ga(s) · E(s)−Ga2(s) · V (s)]︸︷︷︸

Y (s)

Calcul de l’erreur


Expression de l’erreur :e(t) = w(t)− y(t)

Dans le domaine de Laplace :

E(s) = W (s)− Y (s)

= W (s)− [Gc(s) ·Ga(s) · E(s)−Ga2(s) · V (s)]︸︷︷︸

Y (s)

E(s) · (1 +Gc(s) ·Ga(s)) = W (s) +Ga2(s) · V (s)

E(s) =1

1 +Gc(s) ·Ga(s)·W (s) +

Ga2(s)

1 +Gc(s) ·Ga(s)· V (s)

E(s) =1

1 +Go(s)·W (s) +

Ga2(s)

1 +Go(s)· V (s)



E(s) =1

1 +Go(s)·W (s) +

Ga2(s)

1 +Go(s)· V (s)

En régime permanent (théorème de la valeur finale) :

Ep = limt→∞

e(t) = lims→0

s · E(s)

= lims→0

[s

1 +Go(s)·W (s)

]

+ lims→0

[s ·Ga2(s)

1 +Go(s)· V (s)

]

= lims→0

[

s

1 + Ko

sα·Ro(s)

·W (s)

]

+ lims→0

[

s · Ka2sαa2 ·Ra2(s)

1 + Ko

sα·Ro(s)

· V (s)

]

= lims→0

[sα+1

sα +Ko·W (s)

]

+ lims→0

[Ka2 · sα−αa2+1

sα +Ko· V (s)

]

= lims→0

[sα+1

sα +Ko·W (s)

]

+ lims→0

[Ka2 · sα1+1

sα +Ko· V (s)

]



E(s) =1

1 +Go(s)·W (s) +

Ga2(s)

1 +Go(s)· V (s)

Gc(s)e(t) y(t)

Ga1(s) Ga2(s)

y(t)

u(t)Σ Σ

−

w(t)

v(t)

reg_05_1_2(.mp)

Ep = limt→∞

e(t) = lims→0

s · E(s) = lims→0

[sα+1

sα +Ko·W (s)

]

+lims→0

[Ka2 · sα1+1

sα +Ko· V (s)

]

Cas particulier : erreur statique E∞


■ w(t) = ǫ(t)■ v(t) = ǫ(t)

(w(t) et v(t) constantes pour t → ∞)Ep est l’erreur statique ou erreur d’ordre 0.

Ep = limt→∞

e(t) = lims→0


[sα+1

sα +Ko·W (s)

]

+lims→0

[Ka2 · sα1+1

sα +Ko· V (s)

]



Ep = limt→∞

e(t) = lims→0


[sα+1

sα +Ko·W (s)

]

+lims→0

[Ka2 · sα1+1

sα +Ko· V (s)

]

1. Si α = 0 (aucune intégration dans la boucle, α1 = α2 = 0) :

Ep = E∞ = lims→0

sα+1

sα +Ko·

W (s)︷︸︸︷

1

s

+ lims→0

Ka2 · sα1+1

sα +Ko·

V (s)︷︸︸︷

1

s

= lims→0

[s0

s0 +Ko

]

+ lims→0

[Ka2 · s0s0 +Ko

]

=

[1

1 +Ko

]

+

[Ka2

1 +Ko

]

= E∞w︸︷︷︸

6=0

+E∞v︸︷︷︸

6=0



Ep = limt→∞

e(t) = lims→0


[sα+1

sα +Ko·W (s)

]

+lims→0

[Ka2 · sα1+1

sα +Ko· V (s)

]

2. Si α = 1, α1 = 1, α2 = 0 (une intégration dans la boucle, intégrateursitué avant le point d’introduction des perturbations) :


[sα+1

sα +Ko· 1s

]

+ lims→0

[Ka2 · sα1+1

sα +Ko· 1s

]

= lims→0

[s1

s1 +Ko

]

+ lims→0

[Ka2 · s1s1 +Ko

]

= [0] +[0]

= E∞w +E∞v



3. Si α = 1, α1 = 0, α2 = 1 (une intégration dans la boucle, intégrateursitué après le point d’introduction des perturbations) :


[sα+1

sα +Ko· 1s

]

+ lims→0

[Ka2 · sα1+1

sα +Ko· 1s

]

= lims→0

[s1

s1 +Ko

]

+ lims→0

[Ka2 · s0s1 +Ko

]

= [0] +

[Ka2

Ko

]

= E∞w︸︷︷︸

=0

+E∞v︸︷︷︸

6=0



Gc(s)e(t) y(t)

Ga1(s) Ga2(s)

y(t)

u(t)Σ Σ

−

w(t)

v(t)

α1 α2

α = α1 + α2

reg_05_1_32(.mp)

Pour annuler une erreur statique, il faut une intégration dans la boucle, celle-ci devant

impérativement se situer en amont du point d’introduction des perturbations si l’on

veut annuler l’effet de ces dernières.

Tableau des erreurs permanentes


Erreur statique Erreur en vitesse Erreur en accélération(erreur d’ordre 0) (erreur d’ordre 1) (erreur d’ordre 2)

E∞ Ev Eaα1 α2 α

E∞w E∞v Evw Evv Eaw Eav

0 0 0 11+Ko

Ka21+Ko

∞ ∞ ∞ ∞0 1 1 0 Ka2

Ko

1Ko

∞ ∞ ∞1 0 1 0 0 1

Ko

Ka2Ko

∞ ∞1 1 2 0 0 0 Ka2

Ko

1Ko

∞2 0 2 0 0 0 0 1

Ko

Ka2Ko

2 1 3 0 0 0 0 0 Ka2Ko

Tableau des erreurs permanentes


En résumé :

1. Mettre le schéma du système de régulation automatique sous forme deschéma fonctionnel universel

Gc(s)e(t) y(t)

Ga1(s) Ga2(s)

y(t)

u(t)Σ Σ

−

w(t)

v(t)

reg_05_1_2(.mp)

2. Mettre les fonctions de transfert Gc(s), Ga1(s), Ga2(s) et Go(s) sousforme de Bode : en déduire les gains permanents Ka2 et Ko

3. Identifier le nombre d’intégrateurs α1 de Gc(s) et Ga1(s) réunis, α2 deGa2(s) et α = α1 + α2 de Go(s)

4. Utiliser le tableau des erreurs permanentes pour calculer les erreursstatiques E∞w en régulation de correspondance et E∞v en régulation demaintien :

Erreur statique

E∞α1 α2 α

E∞w E∞v

0 0 01

1+Ko

Ka2

1+Ko

0 1 1 0Ka2

Ko

1 0 1 0 0

Rapidité des systèmes de régulation

automatique


Stabilité




Cas particulier:Gyw(s) d’ordre 1fondamentalCas particulier:Gyw(s) d’ordre 2fondamentalSystèmes à tempsmort

Qualité

Pôles dominants


Rapidité des systèmes de régulation automatique


T 1 0 %

T 9 0 %

D

T d é pT m

T r e g + / - 5 %f _ 0 5 _ 0 7 . e p s

t [ s ]0

¥y¥× y0 5.1

¥× y9 5.0

La durée de réglage Trég est la durée mesurée entre l’instant d’application dusaut de consigne w(t) et l’instant où la grandeur réglée y(t) ne s’écarte plusd’une bande de tolérance de ±5% tracée autour de sa valeur finale y∞.

Rapidité des systèmes de régulation automatique


T 1 0 %

T 9 0 %

D

T d é pT m

T r e g + / - 5 %f _ 0 5 _ 0 7 . e p s

t [ s ]0

¥y¥× y0 5.1

¥× y9 5.0

Le temps de montée Tm est la durée que met le signal y(t) pour passer de10 à 90% de sa valeur finale y∞.

Cas particulier : Gyw(s) d’ordre 1 fondamental


Si, en régulation de correspondance, on a

Gyw(s) =Y (s)

W (s)=

Kyw

1 + s · τf=

Kyw

τf· 1

s− (− 1τf)=

kyw

s− sf

alors y(t) = γ(t) = Kyw ·(

1− e− t

τf

)

· ǫ(t).




Gyw(s) =Y (s)

W (s)=

Kyw

1 + s · τf=

Kyw

τf· 1

s− (− 1τf)=

kyw

s− sf


1− e− t

τf

)

· ǫ(t). Donc :

y(Trég) = 0.95 · y∞ = 0.95 ·Kyw = Kyw ·(

1− e−

Trégτf

)




Gyw(s) =Y (s)

W (s)=

Kyw

1 + s · τf=

Kyw

τf· 1

s− (− 1τf)=

kyw

s− sf


1− e− t

τf

)

· ǫ(t). Donc :

y(Trég) = 0.95 · y∞ = 0.95 ·Kyw = Kyw ·(

1− e−

Trégτf

)

Trég = −τf · log (1− 0.95) ≈ 3 · τf

Trég = 3 · τf =3

|sf |=

3

|ℜ{sf}|



0R e

I m

s

s f 2 = - 1 / T f 2

f _ 0 5 _ 0 8 . e p s

s f 1 = - 1 / T f 1

1. Gyw1(s) =Y (s)W (s) =

Kyw1

1+s·τf1

2. Gyw2(s) =Y (s)W (s) =

Kyw2

1+s·τf2



0R e

I m s

f _ 0 5 _ 0 9 . e p s

+ j w 0

- j w 0

- d

wn

■ Gyw(s) =Y (s)W (s) =

Kyw

1+ 2·ζωn

·s+ 1

ω2n·s2

=kyw

(s+δ)2+ω20

■ Pôles : sf1,2 = −δ ± j · ω0



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Réponse indicielle d’un système fondamental d’ordre 2 G2(s)=Y(s)/U(s)=1/(1+s ⋅ 2 ⋅ ζ /ω

n 1+s2/ω

n2)=k

2/((s+δ)2+ω

02)

t [s]

f_sys_fond_02_1.eps

Réponse indicielle de Gyw(s) :

y(t) = γ(t) = Kyw ·

1− 1√

1− ζ2· e−δ·t︸︷︷︸

enveloppe

· sin (ω0 · t+ ϕ)

· ǫ(t)



0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Réponses indicielles d’un système fondamental d’ordre 2 G2(s)=Y(s)/U(s)=1/(1+s ⋅ 2 ⋅ ζ /ω

n 1+s2/ω

n2)=k

2/((s+δ)2+ω

02)

t [s]

δ=1 [s−1]=const

ω0 variable

f_sys_fond_treg_01_1.eps

Trég ≈ 3

δ=

3

|ℜ{sf}|

Systèmes à temps mort


T rt [ s ]0

u ( t )

y ( t )

f _ 0 5 _ 1 0 . e p s

Un temps mort, ou retard pur, est l’intervalle de temps Tr compris entrel’instant où l’on provoque une variation de la grandeur d’entrée u(t) d’unsystème et celui où débute la variation corrélative de la grandeur de sortie y(t).

L{x(t− Tr)} = X(s) · e−s·Tr e−s·Tr

Qualité


Stabilité



Qualité

Qualité

Pôles dominants


Qualité


T r e g + / - 5 %f _ 0 5 _ 1 1 . e p s

t [ s ]0

y 1 ( t )

y 2 ( t )

Qualité


T r e g + / - 5 %f _ 0 5 _ 1 1 . e p s

t [ s ]0

y 1 ( t )

y 2 ( t )

ISE : "integral of square of error"

JISE =

∫ Trég

0e(τ)2 · dτ

Qualité


T r e g + / - 5 %f _ 0 5 _ 1 1 . e p s

t [ s ]0

y 1 ( t )

y 2 ( t )

"ITSE" : integral of time multiplied by square of error

JITSE =

∫ Trég

0τ · e(τ)2 · dτ

Qualité


T r e g + / - 5 %f _ 0 5 _ 1 1 . e p s

t [ s ]0

y 1 ( t )

y 2 ( t )

Prise en compte de l’énergie nécessaire

J = q ·∫ Trég

0e(τ)2 · dτ

︸︷︷︸

JISE

+r ·∫ Trég

0u(τ)2 · dτ

︸︷︷︸

JISU

Pôles dominants


Stabilité



Qualité

Pôles dominants

Pôles dominantsℜ{Pôles dominants}des systèmesasservisPôles dominantscomplexesconjugés

ℑ{Pôles dominants}des systèmesasservisCourbes équi-amortissement


Pôles dominants

12 juin 2014 Régulation automatique (REG) – 29 / 33mod_dom.m

Pôles dominants


0

0.5

1

−5

0

5

0.5

0.5

Im

0

0.5

1

−5

0

5

0.5

0.5

Im

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

t [s]−10 −5 0

−5

0

5

0.5

0.5

Re

Im

f_mode_dom_02_1.eps

Pôles dominants


0

0.5

1

−10

−5

0

5

10

0.5

0.5

Im

0

0.5

1

−10

−5

0

5

10

0.5

0.5

Im

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

t [s]−20 −15 −10 −5 0

−10

−5

0

5

10

0.5

0.5

Re

Im

f_mode_dom_03_1.eps

ℜ{Pôles dominants} des systèmes asservis


La partie réelle des pôles dominants impose la durée de réglage Trég :

Trég ≈ 3

|ℜ {sf}|=

3

δ

■ Position du pôle dominant (système à 1 seul pôle dominant, réel) :

sf = − 3

Trég

■ Partie réelle de la paire de pôles dominants (système à1 paire de pôles dominants complexes conjugés )

ℜ{sf1,2} = − 3

Trég

Pôles dominants complexes conjugés


0R e

I m s

f _ 0 5 _ 1 2 . e p s

+ j w 0

- j w 0

- d = - 3 / T r e gw

n

Y = a r c si n ( z )

ℑ{Pôles dominants} des systèmes asservis


La partie imaginaire ω0 des pôles impose le taux d’amortissement ζ :

sf1,2 = −δ ± j · ω0 = −ζ · ωn ± j · ωn ·√

1− ζ2

d’où :

ζ =δ

ωn=

δ√

δ2 + ω20

−→ courbes équi-amortissement

ζ = δ√δ2+ω2

0

= δωn

= sin (Ψ) = const.0

R e

I m s

f _ 0 5 _ 1 2 . e p s

+ j w 0

- j w 0

- d = - 3 / T r e g

wn

Y = a r c si n ( z )

Courbes équi-amortissement


0 R e

I m s

f _ 0 5 _ 1 3 . e p s

z = 1 . 0

z = 0 . 7 0 7

z=0.0

z=0 . 5

Y =4 5 [

d e g ]

Y =3 0 [ d

e g ]

Courbes équi-amortissement


−3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2

2

0.9

0.8

0.7

0.60.5

0.4 0.3 0.2 0.1

0.9

0.8

0.7

0.60.5

0.4 0.3 0.2 0.1

Re

Im

Plan complexe

f_exemple_sgrid_1.eps

sgrid([0:0.1:1.0],[],’new’)

Documents

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