Pieralberto Marchetti

Universita’ di Padova

Dipartimento G. Galilei di Fisica e Astronomia

PADOVA, Master 2014

Galilei a Padova, 1592-1610 - "Li diciotto anni migliori di tutta la mia età".

Introduzione

• La relatività speciale è la teoria fisica che soggiace alla concezione attuale della meccanica e dell’elettromagnetismo classici

• Combinata con la meccanica quantistica fornisce il paradigma attuale per la fisica delle particelle elementari

• Essa ha modificato in profondità la nostra concezione dello spazio e del tempo

• E’ associata in modo essenziale a una quantità fisica: la velocità della luce

• Referenza: Einstein ‘’Relatività, esposizione divulgativa’’Boringhieri

La velocità della luce: esperimenti • Forse il primo esperimento

per verificare se la velocità fosse finita o no fu dovuto a Galileo (1638) ma fu inconclusivo

• La prima determinazione di una velocità finita (1676) è dovuta a Roemer, osservando le eclissi di un satellite di Giove ottenendo ≈ 220.000 km/s

• La velocità della luce è ora denotata con

c (forse dal latino celeritas=velocità) e c ≈ 300.000 km/s

L’importanza della velocità della luce • Ma l’importanza della velocità della luce va al di là della luce

stessa…per capirlo in profondità torniamo all’origine della Fisica…

• Aristotele, probabilmente motivato dal comportamento delle navi a remi (…se i rematori smettevano di remare la nave perdeva velocità, con il doppio di rematori la velocità era doppia…) aveva ipotizzato che la forza (F) causa del moto fosse proporzionale alla velocità (v): F ≈ v → sistemi di riferimento con velocita’ diverse descrivevano moti differenti di un corpo, perché con F diversa…

• Quando Galileo sostenne la tesi di Copernico che la Terra orbita attorno al Sole (e si muove quindi alla velocità di 30 km/s- allora stimata 1.5 km/s) , gli aristotelici del tempo obbiettarono che in tal caso avremmo dovuto vedere cadere i sassi non in verticale….

La relatività galileiana • Galileo rispose a questa obiezione con un colpo di

genio…immaginò degli esperimenti eseguiti sottocoperta in una nave che si muovesse di moto rettilineo con velocità uniforme arbitraria: …le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto…il fumo vedrassi ascender in alto, trattenervesi e indifferentemente muoversi non più verso questa che quella parte…(Dialogo sopra i massimi sistemi 1632)

• Trasse la conclusione: in tutti i sistemi di riferimento in moto relativo rettilineo e uniforme le leggi della fisica hanno la stessa forma (relatività galileiana)→ i corpi cadono verticalmente anche se la Terra si muove

• Ma allora non può essere F ≈ v ma F ≈ a (accelerazione)

infatti Galileo (Padova 1607) scrive …a principiar il moto è ben necessario il movente, ma a continuarlo basta il non haver contrasto…

Addizione delle velocità • Relatività galileiana → il moto di un punto P é lo stesso in un sistema (inerziale) S1 e in uno S2 che si muove rispetto ad esso con velocità uniforme V Assumendo inoltre il tempo assoluto e invarianza della lunghezza ->

x1(t) = x2(t) + v t (trasformazioni di Galileo) e derivando («dividendo») rispetto a t :

v1(t)=v2(t)+V ( addizione delle velocità) Disegno con spazio a 2 dimensioni

a tempo fissato

Perciò non c’è un sistema con una velocità privilegiata. Per disegnare un sistema generico osserviamo che in quello con assi ortogonali l’asse temporale è parallelo alla linea di moto del corpo fermo in esso mentre l’asse spaziale descrive punti simultanei nel tempo.

Disegno con spazio a 1 dimensione per sistemi S e S’

L’etere • Quando con l’esperimento di

interferenza di Young si concluse che la luce non era fatta di particelle, come suggerito nell’antichità e ripreso in modo matematizzato da Newton, ma era un fenomeno ondulatorio, come proposto da Hooke e Huygens, si pensò necessaria l’esistenza di un mezzo in cui le onde luminose si propagavano. Tale mezzo fu chiamato etere e si assunse che c fosse la velocità di propagazione della luce nell’etere

Crepe nella relatività galileiana • Per la legge di addizione delle velocita’ ad

esempio se una palla si muove a una velocita’ v rispetto al pavimento di un treno che viaggia a velocita’ u, l’osservatore fermo sulla banchina vede la palla muoversi a velocita’ u+v. Analogamente se da un razzo che si muove con velocita’ v rispetto all’etere viene emesso in avanti un raggio di luce che ha velocita’ c nell’etere , un osservatore solidale al razzo vedra’ la luce viaggiare a velocita’ c-v. Questa “ovvia” proprieta’ fu dimostrata errata dall’esperimento (Michelson-Morley 1887)

L’esperimento di Michelson-Morley • Che ‘razzo’ usarono? La Terra che si

muove a una velocità di 30km/s rispetto al Sole!

• Tempi per la luce previsti con l’addizione delle velocità: v=velocità della Terra

t||≈ (2d/c )(1+v2/c2) t ≈ (2d/c )(1+v2/2c2)

• cioè t||≠ t

• Ma trovarono t||=t

•

• Come soluzione Einstein (ma similmente Poincaré) propose (1905) oltre all’equivalenza tra sistemi inerziali

• Il postulato della Relativita’ Ristretta:

la velocita’ della luce e’ sempre la stessa c≈300000km/s qualunque sia la velocita’ del sistema ( inerziale) in cui la si osserva (la luce emessa da un razzo con velocita’ v rispetto alla Terra, dalla Terra viene vista viaggiare a velocita’ c e non c-v come ci si aspetta, quindi in MM i tempi sono uguali come in un sistema in quiete)

• Una conseguenza e’ che il tempo non è assoluto (già Poincaré 1902) e quello di un sistema in moto rispetto a noi viene visto trascorrere piu’ lentamente.

c come costante della Natura

Conseguenza: il tempo rallenta con V • Orologio luce: scandisce il tempo con un raggio

riflesso, quando il raggio ritorna al punto di emissione segna l’unità di tempo

lunghezza l, idealmente l l = 150.000 km -> orologio fermo t=2l/c =1 s • Consideriamo ora un orologio-luce fermo su un razzo

che viaggia con velocità V, ortogonale a l, rispetto alla Terra. Sulla lunghezza l entrambi i sistemi concordano perché possono V -> confrontarla direttamente essendo ortogonale a V

il tempo rallenta con V • Consideriamo ora il tempo del razzo (tr = 2l/c)

visto dalla Terra (tT)

• Poiché la velocità della luce è c in tutti e due i sistemi, ma la luce deve percorrere una distanza più lunga rispetto a quella nel razzo (2 l) impiegherà un tempo maggiore tT>tr Pitagora: ct=(l2 +V2t2)1/2

tT=2t = 2 l/ (c2 -V2)1/2 -> t = l / (c2 -V2)1/2

= tr/ (1 -V2/ c2)1/2

Quindi non c’è un tempo assoluto e poiché tT>0, V<c, ossia c è la velocità massima dei sistemi

Verifica sperimentale • Una delle prime verifiche della dilatazione del

tempo relativistica fu basata sui raggi cosmici: vi sono particelle elementari (muoni) create da urti nell’alta atmosfera (≈ 5-10 Km) e che viaggiano verso la superfice terrestre a velocita’ prossime a c, piu’ precisamente (1-v2 /c2)-1/2 ≈10 (si puo’ verificare tramite rivelatori) . Quando esse sono ferme (si possono produrre in

laboratorio) esistono solo per un tempo (medio) t ≈ 2· 10-6 s, quindi in fisica classica potreb- bero percorrere (in media) 600 m. Eppure sono osservate sulla superfice terrestre, cio’ e’ possibile solo se il loro tempo e’ dilatato, e il fattore di dilatazione relativisti- co (1-v2 /c2)-1/2 ≈10 e’ in accordo con i dati sperimentali.

c e la relatività della simultaneità • Poiché c è la stessa in tutti i sistemi inerziali, invece di t

possiamo usare ct e per un raggio di luce si ha x=ct

• In sistema S1 , O equidistante da A e B , tutti fermi, emette luce verso entrambi e si muove con velocità v rispetto a S2. Come vede il fenomeno S2?

Relativistico

Non relativistico

In relatività la luce raggiunge simultaneamente A e B in S1 ma non in S2!

Sistemi di riferimento relativistici • In S1 vediamo che l’asse temporale

è parallelo alle linee che descrivono il moto di A O B e l’asse spaziale è parallelo alla linea di simultaneità • Possiamo allora vedere con questa informazione

come S2 vede gli assi di S1

• Vediamo che la traiettoria della luce biseca l’angolo tra gli assi.

• -> Sistemi relativistici con varie velocità relative

Velocità della luce e causalità • Nella zona in grigio una particella si muove con

v(uniforme)<c (interno del cono di luce), in quella in nero con v>c

• Vediamo che D ,che è all’interno del cono di luce di A, per tutti i sistemi è successivo ad A, ma B, raggiungibile da A solo con v>c, è simultaneo ad A nel sistema verde, successivo nel sistema rosso e precedente nel sistema blu (ordine temporale relativo). Dunque se v>c la causalità è violata: in un sistema di riferimento…una particella con v>c potrebbe arrivare prima di partire…

Assoluto e relativo • Durate temporali (e lunghezze spaziali longitudinali) sono

dunque relative al sistema di riferimento (inerziale), rimane assoluta di un corpo la sua immagine nello spazio-tempo. Ad esempio se abbiamo una sbarra solidale al sistema S’, la sua imma- gine spazio-temporale (area tratteggiata nella figura) è la stessa per tutti gli osservatori, ma il mo- do in cui è divisa in spazio e tempo (le linee del

tratteggio indicano punti simultanei nel sistema) dipendono dal sistema.

• Il tempo acquista un carattere relativo analogo allo spazio galileiano; lo spazio non è più legato al tempo in modo assoluto come un fibrato (come per Galileo-Newton) ma forma un tuttuno inscindibile (varietà in linguaggio matematico) detto spazio-tempo di Minkowski. Citando proprio lui (1908) «Henceforth space by itself, and time by itself, are doomed to fade away into mere shadows, and only a kind of union of the two will preserve an independent reality.»

Perché percepiamo un tempo assoluto? • Forse la ragione sta nell’enorme valore della velocità

della luce c , 3000000000 su scale umane (m/s) [in un secondo dalla Terra raggiunge la Luna]. Vediamo infatti che se iniziamo a riscalare gli assi in modo da avere come unità m e s, gli assi spaziali si avvicinano e tendono a coincidere definendo un tempo assoluto. [nella figura l’asse temporale invece di essere c s come nella precedente è (c/10) s, dovremmo ancora ridurlo di un fattore 3 milioni!]

Massa = Energia • Un altro effetto della Relativita’ e’ che un corpo fermo

ha energia per il solo fatto di avere massa: la celebre E= m c2

Consideriamo due corpi (1 e 2) di ugual massa m (non-relativistica ) in una scatola con massa totale M. Il corpo 2 ha energia che 1 2 trasferisce a 1 tramite radiazione di energia E a cui è associato un impulso p=E/c (teoria elett-magn.) Sotto effetto di p la scatola si muove, ma quando l’energia della radiazione è stata assorbita da 2, avendo (non-relativ.) 2 la stessa massa il baricentro del sistema sembra si sia mosso senza l’azione di forze esterne. Il problema si risolve se l’assorbimento di E ha variato la massa di δm, corrispondente, poiché la radiazione si muove con velocità c, a un impulso δm c= p =E/c,

-> E= δm c2

Energia e velocità della luce • La formula E=mc2 e’ valida pero’ solo se la particella di

massa m e’ in quiete; se si muove con velocita’ v la formula diventa

E= mc2/(1-v2/c2)1/2

che per v/c piccolo diventa E≈mc2+(1/2)m v2 (energia di massa+cinetica)

• Da qui si vede che puo’ essere ammessa , per E>0, massa m=0 solo se v=c (lo 0 del numeratore e’ compensato dallo 0

del denominatore) , e in effetti particelle che hanno massa nulla (come le particelle quantistiche di cui é fatta microscopicamente la luce, i fotoni) si muovono sempre a velocita’ c

massa( ) ≠ massa ( )

• Inoltre poiche’ nei sistemi (isolati) l’energia si conserva ma non la massa , compaiono fenomeni impossibili nella meccanica Newtoniana

Creazione e decadimenti di particelle • Nuove particelle possono crearsi

in un urto di altre particelle, ad esempio due protoni all’accele - ratore LHC del CERN di Ginevra, verifica continua della Relatività

• Decadimenti: una particella di massa M puo’ decadere (“trasformarsi”) in altre particelle di massa m1, m2 ,… purche’ M>m1+m2+…

(ad esempio un neutrone isolato decade in media in 15

minuti in un protone un elettrone e un antineutrino) Ma per capire come sia possibile occorre anche la Meccanica Quantistica, particelle relativistiche classiche non possono “sparire” e “trasformarsi”…