L’energia cinetica

( )=f

i

x

x

dxxFL

2

2

1mvK =

energia cinetica

KL =

teorema delle forze vive

l’energia è la capacità di compiere un lavoro

ifff

f

f

mvmvivv

mdd

ivvmFdL

d

ivvmmaF

d

ivva

222222

22

22

2

1

2

1

22

2

2

−=−

=−

==

−==

−=

Energia cinetica e teorema delle forze vive

Calcola l'energia cinetica di una automobile di 900 kg che viaggia alla velocità

di 110 km/h. Se da questa velocità le occorrono 80 m per fermarsi, quanta

forza riescono ad esercitare i suoi freni?

110 km/h / 3,6 = 30 m/s.

La sua energia cinetica è:

Ki = ½ 900 kg • (30,55 m/s)2 = 420.139 J

La forza esercitata dai freni è:

F = L/s= 420.139 J / 80 m = -5252 N

KL =

L= Fdcosq=Fscos180°

3

Assumendo il verso dello

spostamento come positivo

Calcolare il lavoro compiuto dal motore di un'auto che ha

massa m=950kg per passare da 36 a 90 km/h.

JKKKL iF 24937547500296875 =−=−==

JmvKi 47500109502

1

2

1 22 ===

JmvKF 296875259502

1

2

1 22 ===

P

Lt

t

LP =

= ; Maggiore la potenza e minore sarà il tempo per

svolgere il lavoro e quindi per raggiungere la stessa

velocità

4

Vi trovate in una miniera profonda 150 m con hanno

infiltrazioni d'acqua per un totale di 600 l al minuto. Quale

deve essere la potenza minima del motore di una pompa

Permettervi di salvarvi?

1 l =1 dm3=10-3 m3

Densità dell’acqua 1000 Kg/m3

la potenza minima richiesta deve essere

in grado di sollevare l’acqua con la

stessa frequenza con cui si infiltra

(=1minuto=60 s)

P = 600 kg • 9,8 m/s2 • 150 m / 60 s =

14.700 W

t

LP

=

Come funziona l’airbag?

6

E uno starnuto?

=

B

A

dsFL

se L1 L2 L3 forza non

conservativa

se L1 = L2 = L3 forza

conservativa

se le forze sono conservative il lavoro

lungo un percorso chiuso è nullo

A

B

1

2

3

LAA = L1 + (-L2) = 0

Forze conservative e forze non conservative

Energia Associata a forze che dipendono dalla posizione o

dalla loro configurazione

Esempio

Forza gravitazionale → dipende dalla posizione

Forza Elastica → dipende dalla configurazione della molla

Energia Potenziale

8

Lavoro compiuto per sollevare il masso=

Lest=Fd=fdcos0=mgh=mg(y2-y1)

Lavoro compiuto dalla forza di gravità=

LG=Fd=fdcos180=-mgh=-mg(y2-y1)

Se si solleva il masso senza accelerare

gh

hs

gs

2v

0v

2vv

2

f

0

2

0

2

f

=

=

=

+=mghghmmvK === 2

2

1

2

1 2

9

Definiamo

Ug=mgy [U] = [ML2T-2]

Lavoro compiuto per sollevare il masso=

Lest=mg(y2-y1)=U2-U1=U

Lavoro compiuto dalla forza di gravità=

LG=-mg(y2-y1)=-(U2-U1)=-U

• Energia potenziale appartiene al sistema, non ad un

singolo oggetto (vedi concetto campo di forza)

• Ciò che è importante ai fini del lavoro (e quindi

importante da un punto di vista fisico) non è il valore

dell’energia potenziale, ma la sua variazione

10

( ) ( ) BABBBAAAAB UUzyxUzyxUL −=−= ,,,,

( )zyxU ,,Energia Potenziale

ABAB LUUU −=−=

se UB = 0 LAB = UA B posizione di riferimento

U(x,y,z) è definita a meno di

una costante additiva

BAAB UUL −=

AC

B

LAC = UA – UC

LCB = UC – UB

LAB = LAC + LCB = UA –UC + UC – UB = UA – UB

L’energia potenziale in un punto è il lavoro svolto dalle forze del campo

per spostare il corpo da quel punto alla posizione di riferimento.

[U] = [ML2T-2]

(ovvero funzione della posizione)

11

esempio: il campo gravitazionale è conservativo

mghU

mghLL

mghdsenmgmgddPL

LLL

ABCB

AC

CBACAB

−=

==

===•=

+=

0

cos

energia potenziale

gravitazionale

−=−=−=

B

A

ymgmgdyLU

mghhPLAB ==

A

B C

P = mg

c

a

bh

d

y

O

Proiezione della forza peso su AC

12

13

esempio: il campo dovuto all’azione di una

forza elastica è conservativo kxF −=

( )22

2

1fi xxkL −=

( ) 2

2

1kxxU = energia potenziale elastica

se xi = xf (ciclo) L = 0 Fel è conservativa

l’energia è la capacità di compiere un lavoro

)(2

1 22if xxkLU −=−=

se xi = 0

14

Teorema dell’energia cineticaKL =

In generale avremo Lc e LNC

L= Lc + LNC

Quindi

KLLL NCc =+=

cNC LKL −=

CLU −= UKLNC +=

15

ipotesi: campo conservativo, sistema isolato

UUUL fi −=−=

EUK

UKUK

KKUU

ffii

iffi

=+

+=+

−=−

E = energia meccanica totale

in un sistema isolato in cui agiscano solo forze

conservative l’energia meccanica totale si conserva16

Principio di conservazione dell’energia meccanica

UKLNC +=

UKLNC +== 0

esempio: moto di un grave

ffii mgymvmgymv +=+ 22

2

1

2

1

se U(yf) = 0 e vi = 0

g

vy

mgymv

f

i

fi

2

2

1

2

2

=

=

esempio: sistema massa molla

2222

2

1

2

1

2

1

2

1ffii kxmvkxmv +=+

se U(xi) = 0 e vf = 0

k

mvx

kxmv

if

fi

22

22

2

1

2

1

=

=

17

Determinare la costante di una molla che immagazzina 25 J di energia

potenziale elastica quando viene compressa di 7.5 cm rispetto alla sua

posizione di equilibrio.

Nel momento in cui la molla viene rilasciata, la sua energia potenziale si

trasforma in cinetica del corpo eventualmente ad essa attaccato.

)(2

1 22

if xxkLU −=−=

assumiamo come zero, il potenziale nella posizione di

equilibrio, si ha

2

2

1fkxU = 22 075.0

2522 =

=

fx

Uk

18

Un pezzo di ghiaccio è lasciata scivolare dal bordo in un bicchiere

semisferico di raggio 22 cm, priva di attrito. Determinare la velocità

che possiede li pezzo di ghiaccio quando arriva in fondo alla coppa

In questo caso, rispetto alla posizione più bassa a potenziale

nullo, il dislivello è pari al raggio; tutta l'energia potenziale si

trasforma in energia cinetica, cioè

2

2

1fi mvmgy =

if gyv 22 =

19

r

V in A?

V in B?

V in C?

0=+ UK

ffii UKUK +=+

20

…e se c’è attrito?

(forze dissipative)

UKLNC +=

UKdFatt +=−

Fatt=dN

21