Polovodiče

KOV POLOVODIČIZOLANT

EgZakázaný pás energií

To jestli nazýváme danou látku polovodičem, závisí především na jejích vlastnostech ve

zvoleném teplotním oboru. Obecně jsou to látky s 0 eV < Eg < 2 eV.

𝑑𝑛 = 𝑓𝐷 𝐸, 𝑇 𝑔 𝐸 𝑑𝐸

Základními parametry polovodiče je koncentrace elektronů ve

vodivostním pásu a její změna s teplotou. Koncentrace elektronů dn

odpovídající rozmezí energií E až E +dE

𝑔 𝐸 =1

2𝜋22𝑚𝑒ℏ2

32

𝐸12

𝑑𝑛 = 𝑓𝐷 𝐸, 𝑇 𝑔 𝐸 𝑑𝐸

𝑓𝐹𝐷 𝐸, 𝑇 =1

𝑒𝐸−𝜇𝑘𝑇 + 1

F.-D. pro degenerované

polovodiče a M.-B. pro

nedegenerované (𝐸 − 𝜇 ≫ 𝑘𝑇)

𝑓𝑀𝐵 𝐸, 𝑇 = 𝑒−𝐸−𝜇𝑘𝑇

Pro parabolický pás

𝑛 = 𝐸𝐶

∞

𝑓𝑀𝐵 𝐸, 𝑇 𝑔 𝐸 𝑑𝐸

𝑛 ≈ 22𝜋𝑚𝑒

∗𝑘𝐵 𝑇32

ℎ3𝑒−𝐸𝑐−𝜇𝑘𝐵𝑇

(4/12)

Celkový počet stavů k dispozici teplotní závislost q

EKoncentrace elektronů ve

vodivostním pásu:

(4/14)

= 𝑁𝐶 𝑒−𝐸𝑐−𝜇𝑘𝐵𝑇

q

E𝑝 ≈ 22𝜋𝑚ℎ

∗𝑘𝐵 𝑇32

ℎ3𝑒−𝜇−𝐸𝑉𝑘𝐵𝑇

Pro díry platí:

𝑝 = −∞

𝐸𝑉

(1 − 𝑓𝑀𝐵) 𝐸, 𝑇 𝑔 𝐸 𝑑𝐸

𝑛𝑝 ≈ 𝑁𝐶𝑁𝑉𝑒−𝐸𝑔𝑘𝐵𝑇 = 𝐶𝑇3𝑒

−𝐸𝑔𝑘𝐵𝑇

= 𝑁𝑉 𝑒−𝜇−𝐸𝑉𝑘𝐵𝑇

𝜎 𝑇 =𝑛 𝑇 𝑒2𝜏

𝑚𝑒

Koncentrace děr ve valenčním pásu:

Exponenciální závislost koncentrace

nositelů na teplotě je hlavním důvodem

podobné závislosti elektrické vodivosti

polovodičů.

Koncentrace elektronů nebo děr na teplotě u intrinzického/ vlastního polovodiče

𝑛𝑖 = 𝑛 = 𝑝 = 𝐶12𝑇32𝑒−𝐸𝑔2𝑘𝐵𝑇

Intrinzická koncentrace VNP

Změna chemického potenciálu s teplotou

𝑁𝐶𝑁𝑉= 𝑒

−2𝜇−𝐸𝐶−𝐸𝑉

𝑘𝐵𝑇

𝑔 𝐸 𝑑𝐸 =1

2𝜋22𝑚𝑒ℏ2

32

𝐸12𝑑𝐸

𝑁𝐶𝑁𝑉=

𝑚𝑒∗

𝑚ℎ∗

32

𝜇 =1

2𝐸𝐶 + 𝐸𝑉 +

3

4𝑘𝐵 𝑇 𝑙𝑛

𝑚ℎ∗

𝑚𝑒∗

ni nebo ni2 = np lze považovat za rovnovážnou

konstantu nezávislou na koncentraci donorů a

akceptorů. Má to svá omezení, viz. níže

pro 𝑛 = 𝑝 platí

𝑛 = 𝑁𝐶 𝑒−𝐸𝑐−𝜇𝑘𝐵𝑇

𝑝 = 𝑁𝑉 𝑒−𝜇−𝐸𝑉𝑘𝐵𝑇

Pro parabolické pásy

Extrinzická koncentrace VNP

Cizí atomy v hostitelské struktuře

Pokud zavedeme do hostitelské struktury cizí atomy, tyto mohou vytvářet donorové, nebo

akceptorové hladiny. V závislosti na (energetické) pozici cizího atomu v rámci pásové struktury

hostitele a jeho valenčních schopnostech, mluvíme o donoru nebo akceptoru, mělkém , nebo

hlubokém. Cizí atom může také vytvářet rezonanční hladinu. Při vysoké koncentraci mohou cizí

atomy vytvořit pás.

Poruchy hostitelské struktury jako zdroj VNP

Pokud připustíme poruchy vlastní hostitelské struktury, tyto mohou rovněž vytvářet donorové,

nebo akceptorové hladiny. Mluvíme o tzv. nativních/přirozených defektech. Jsou to především

vakance, antistrukturní defekty a intersticiální atomy.

VÝKLAD NA TABULI

I pro dopované vzorky zůstává rovnovážná konstanta v platnosti ni2 = np .

V takovém případě mluvíme o minoritních a majoritních VNP. Výjimku

tvoří vysoce dopované polovodiče, u kterých se 𝜇 dostane mimo zakázaný

pás energií. Takový polovodič se označuje jako degenerovaný a chová se v

podstatě jako kov. Rovnovážná konstanta už neplatí.

𝑛𝑝 = 𝐶𝑇3𝑒−𝐸𝑔𝑘𝐵𝑇

Pokud hledáme koncentraci n a p, (minoritní/majoritní) vycházíme ze dvou rovnic:

𝑛 − 𝑝 = 𝑁𝐷 −𝑁𝐴

Koncentrace donorů a akceptorů

V případě významné koncentrace obou druhů VNP dochází k modifikaci výrazů

pro transportní koeficienty (vodivost , Hallův koeficient, …)

Typický průběh koncentrace VNPn (

cm-3

)

1000/T (K-1)

1018

1017

1016

1015

0 5 10 15 20

saturace

intrinzický režim

excitace pás-pás

𝜎 = 𝑛𝑒𝜇𝑒 + 𝑝𝑒𝜇ℎ

𝑅𝐻 = −1

𝑒

𝑝𝜇ℎ2 − 𝑛𝜇𝑒

2

𝑛𝜇𝑒 + 𝑝𝜇ℎ2

Přítomnost obou typů VNP se projeví modifikací vztahů pro transportní koeficienty

Rozptylové mechanizmy-teplotní závislost pohyblivosti

𝜎 𝑇 =𝑛𝑒2𝜏 𝑇

𝑚𝑒= 𝑛𝑒𝜇 𝑇

• Rozptyl elektron-elektron je relativně nedůležitý a málo pravděpodobný

(počáteční i konečný stav obou elektronů (E a q) musí být poblíž Fermiho hodnot,

obě veličiny se musí rovněž zachovávat). Výjimku tvoří hodně komplikované

Fermiho plochy popřípadě velmi vysoké hustoty stavů (d- a f-prvky) – sloučeniny

s těžkými elektrony. 𝜇 𝑇 ∝ 𝑇−2

• Rozptyl bodových defektech je výrazný u silně dotovaných materiálů a projevuje

se hlavně při nižších teplotách, než ho při vyšších teplotách překryje rozptyl na

fononech. 𝜇 𝑇 ∝ 𝑇3

2

• Rozptyl na fononech roste se zvyšující se teplotou. Pro 𝑇 ≫ 𝑇𝐷 má rozhodující

vliv. 𝜇 𝑇 ∝ 𝑇−3

2 Výjimku tvoří vysoce neuspořádané systémy, kde převládá

transport pomocí hoppingu.

1

𝜏=

1

𝜏1+ 1

𝜏2+ 1

𝜏3

Při současném působení více rozptylových

mechanizmů platí Matthiasenovo pravidlo

(

-1 c

m-1

)

1000/T (K-1)

104

103

102

101

0 5 10 15 20

Typický průběh elektrické vodivosti vliv 𝜏 𝑇vliv 𝑛 𝑇

𝜎 𝑇 =𝑛 𝑇 𝑒2𝜏 𝑇

𝑚𝑒

𝐿0 =𝜅𝑒𝜎𝑇=𝜋2

3

𝑘2

𝑒2

Elektronová složka tepelné vodivosti

T ⟺TD

Wiedemann – Franz

Lorenzovo číslo:

Matthiasenovo pravidlo1

𝜏=

1

𝜏1+ 1

𝜏2+ 1

𝜏3

Závisí to na teplotě

Abychom mohli provést analýzu mřížkové tepelné vodivosti, musíme od celkové vodivosti odečíst elektronovou část.

𝜅𝑒 =𝑛𝜋2𝑘2𝑇𝜏𝜅

3

Kinetická teorie:

𝜎 =𝑛𝑒2𝜏𝜎𝑚∗

Neplatí přesně pokud

=f(q) nebo 1 2

𝜏 pochází z různých procesů (elektrické vs. teplotní pole). Předpoklad, že

vzhledem k vysoké tepelné rychlosti elektronů jsou obě 𝜏 stejná, nemusí být

splněn - je třeba vyšetřit, kdy můžeme krátit a kdy ne !

Lorenzovo číslo - analýza

𝜏𝜎

1) T TD𝑞𝑓𝑜𝑛𝑜𝑛 qF

𝜏𝜅fFD

E

fFD

E

𝑗

𝑄

𝜏𝜎 , 𝜏𝜅 1

𝑛𝑓𝑜𝑛𝑜𝑛ů

1

𝑇

2) TTD𝑞𝑓𝑜𝑛𝑜𝑛 ≪ qF 𝜏𝜎 , 𝜏𝜅

1

𝑛𝑑𝑒𝑓𝑒𝑘𝑡ů

fonony

3) TTD𝑞𝑓𝑜𝑛𝑜𝑛 < qF 𝜏𝜎 𝜏𝜅

L L0

L = L0

L = L0

teplo chladno

𝐿 < 𝐿0

Charakterizace pásové struktury - efektivní hmotnost VNP

Landauovy hladiny

Při aplikaci magnetického pole dochází ke kvantování původně kvazi-spojitého

spektra energií VNP. Počet stavů zůstává zachován, ale jejich energie je omezená na

určité hladiny a jejich hustota je na těchto hladinách vyšší.

𝐸 =ℏ2𝑞𝑥

2

2𝑚𝑥+ℏ2𝑞𝑦

2

2𝑚𝑦+ℏ2𝑞𝑧

2

2𝑚𝑧𝐸 = 𝑙 +

1

2ℏ𝜔 +

ℏ2𝑞𝑧2

2𝑚𝑧Bz

kde 𝜔 = 𝜔𝑐 =𝑒𝐵𝑧

𝑚𝑥𝑚𝑦

12

Δ𝐸 = ℏ𝜔𝑐

• Energie elektronu je ve směru kolmém na B kvantována. Energetické hladiny jsou nazývány

Landauovy hladiny.

• Energetický rozdíl hladin je úměrný B.

• Pohyb elektronu ve směru B je nedotčen.

Cyklotronová rezonance

IR laser = 50 – 1000 m

cívka

vzorekT

ransm

ise

%

100

50

B=2T B=10T

Energie záření

monokrystal GaAs

Abso

rpce

E=0,1 meV

(=12.5 mm)

B (T)

monokrystal Ge

dír

y

dír

y

elektrony

ℏ𝜔𝑐 =ℏ𝑒𝐵𝑧𝑚𝑐

Při nízkých teplotách

kvůli rozmývání Fermiho meze

Šubnikov - deHaasův jev

Oscilace elektrické vodivosti (odporu) se změnou magnetického pole B

El.

odpor

()

100

50

T=2K

Magnetické pole B (T)50

𝐸 = 𝑙 +1

2ℏ𝜔Kvazi-Kontinuum

- pás

B

Charakterizace pásové struktury - poznámky

Měření efektivní hmotnosti (i její anizotropie) a zjišťování druhů VNP lze provádět

pouze při velmi nízkých teplotách. Důvodem je rozmývání

Landauových hladin a Fermiho meze.

TT

Fourierova analýza

1/B (T-1)

El.

odpor

()

F1, F2, …

m1, m2, …