Prezentacja danych liczbowych

Wykład 2

dr Małgorzata Radziukiewicz

Prezentacja danych liczbowych

• Materiał liczbowy zebrany w trakcie badania statystycznego może być przedstawiony na trzy sposoby:

• 1. tabelarycznie• 2. graficznie• 3. parametrycznie

• Podstawowym narzędziem opisu badanej populacji jest tzw. szereg statystyczny (szereg liczbowy, szereg empiryczny)

• Szczególną rolę wśród szeregów statystycznych odgrywa szereg rozdzielczy - Szereg rozdzielczy rozdziela całą populację na grupy według wariantów badanej cechy

- Zazwyczaj szeregi rozdzielcze przedstawiamy w formie tablic

Zestawienie danych w tablicę statystyczną• Tablica statystyczna składa się z 2-óch kolumn

- 1-a kolumna – podajemy warianty badanej cechy w formie uporządkowanej, tzn. od najmniejszej do największej lub odwrotnie

- 2-ga kolumna – podajemy liczbę jednostek posiadających dany wariant cechy

Tablica 1. Schemat tablicy wynikowej

Poziomy cechy - x Liczba jednostek

x1 n1

… …

xk nk

Razem n

Przykład 1.

populacja – ludność Polski w 2000 roku wg. stanu na 31.06.2000 r. (38646 tys.)badana cecha – płećwarianty cechy – mężczyźni, kobiety

Płeć W tysiącach osób

Mężczyzna 18777

Kobieta 19869

Niekiedy zamiast liczebności przyporządkowanych poszczególnym wariantom cechy posługujemy się częstościami

Częstości to udziały liczebności poszczególnych grup w ogólnej liczebności całej populacji Tablica 2. Schemat tablicy wynikowej

Poziomy cechy

xi

Liczebności ni

Częstości

(odsetek ogółu) wi

x1 n1 w1

…xk

…nk

…wk

Razem n 1,00 lub 100%

Przykład 2.

populacja – ludność Polski w 2000 roku wg. stanu na 31.06.2000 r. (38646 tys.) badana cecha – miejsce zamieszkania warianty cechy – miasto (M), wieś (W)

Miejsce zamieszkania

Liczebności (w tys. osób)

Częstości

Miasto 23897 0,618 lub 61,8%

Wieś 14749 0,382 lub 38,2%

Razem 38646 1,000 lub 100%

Dwa podstawowe kanony szeregowania zbioru

• musi być ono rozłączne, tzn. poszczególne warianty cechy (grupy) nie mogą wzajemnie zachodzić na siebie (w przykładzie 1 osoba może być albo kobietą albo mężczyzną, w przykładzie 2 jedna i ta sama osoba może być mieszkańcem miasta albo wsi)

• musi być ono zupełne, tzn. warianty cechy muszą wyczerpać wszystkie jednostki wchodzące w skład populacji. ( z ogólnej liczebności 38646 tys. mieszkańców Polski przyporządkowano je w całości poszczególnym odmianom cechy)

Przykład 3

populacja –studenci statystyki WSMiZ w Sochaczewie

badana cecha – waga (w kg)

ilość wariantów cechy bardzo duża -68,63,67,65,69,72,62,64,66,68,66,62,60,70,71,63,67,63,66,65,69,67,72,68,74,65,66,61,64,61,62,64,65,65,71,64.

Komentarz: Przyglądając się powyższym liczbom bardzo

trudno określić jakieś wzory czy relacje między studentami.

Aby odkryć pewne relacje należy uporządkować liczby w następującej kolejności:

60,61,61,62,62,62,63,63,63,64,64,64,64,65,65,65,65,65,66,66,66,66,67,67,68,68,68,68,69,69,70,71,71,72,72,74.

Wartości te porządkujemy tak, aby xmin = x1 < x2 < … < xk = xmax , gdzie xmin oraz xmax oznaczają kolejno najmniejszą i największą

wartość cechy zaobserwowanej w badanej zbiorowości.

Komentarz:

Najmniejsza waga studenta to 60 kg, największa to 74 kg.

Różnica między maksymalną a minimalną wagą wynosi 14 kg.

Różnica powyższa jest znana w statystyce jako rozstęp.

Rozstęp = największa wartość cechy - najmniejsza wartość cechy

Komentarz: Studentów z najniższą wagą - 60 i 61 kg - jest niewielu, również niewielu jest studentów z wagą powyżej 70 kg. Najwięcej studentów ma wagę od 62 do 68 kg.

Pytanie?

Jak często dana miara występuje? Ilu studentów ma tę samą wagę?

Liczebność = liczba wystąpień pomiaru

Pokażemy liczbę występowania każdej z wag w tablicy 1.Tablica 1.

waga liczebność waga liczebność

60

61

62

63

64

65

66

67

1

2

3

3

4

5

4

2

68

69

70

71

72

73

74

4

2

1

2

2

0

1

Wadą tablicy 1 jest to, iż liczba poszczególnych miar wagowych jest duża, zaś częstość ich wystąpień niewielka. Np. waga równa 73 kg w ogóle nie występuje.

W tej sytuacji lepiej połączyć dane dotyczące wagi studentów w grupy lub klasy.

Np. możemy pogrupować je w następujące klasy: 60-62, 63-65, 66-68, 69-71, 72-74.

Powyższe liczby pokazują początek (x0i) i koniec każdej klasy (x1i) i znane są jako przedziały klasowe ( x0i - x1i ) dla i=1,2,…k gdzie k – liczba klas

Przedziały klasowe są najmniejszymi i największymi wartościami danych dla klasy

Obecnie możemy skonstruować tablicę 2, która powie nam ile zdarzeń jest w każdej klasie

Tablica 2.

Klasai

Przedziały klasowex0i – x1i

Liczebność ni

1 60 – 62 6

2 63 – 65 12

3 66 – 68 10

4 69 – 71 5

5 72 - 74 3

• Tablica 2 pokazuje nam jak miary wagowe są rozłożone i jaką mają rozpiętość.

• Tablicę 2 nazywamy tablicą rozkładu liczebności lub prościej rozkładem liczebności.

Uwaga!!! • Rozkład liczebności (częstości absolutnych) możemy

skonstruować dla każdego zbioru danych wcześniej porządkowanego rosnąco lub malejąco.

Przy konstrukcji tablicy rozkładu liczebności należy uwzględnić:• rozkład liczebności powinien zawierać minimum 5 klas i nie

przekraczać 20. Dane o niewielkiej liczebności powinny zawierać od 5 do 10 klas. Dla dużych zbiorów danych przyjmuje się liczbę klas nie większą niż 20.

• każda miara może trafić tylko do jednej klasy.

• największa wartość w klasie powinna być o 1 mniejsza od najmniejszej wartości w następnej klasie. Jeśli w danej klasie nie występują żadne wartości (zerowa liczebność), wtedy klasa ma zerową częstość.

• poszczególne klasy powinny mieć tę samą rozpiętość. Rozpiętość przedziału klasowego możemy obliczyć następująco:

rozpiętość klasy = (max – min) / liczba klas

Przy konstrukcji tablicy rozkładu liczebności należy uwzględnić:

• jeżeli z obliczeń nie otrzymamy liczby całkowitej, zwykle zaokrąglamy do kolejnej liczby całkowitej (w naszym przypadku (74-60) / 5 = 2,8 3 )

• czasami pożądane jest aby przedział pierwszy miał tylko górną granicę, a przedział ostatni tylko dolną granicę ( np. „poniżej 60” i „powyżej 74” )

• czasami pożądana jest znajomość częstości względnych (stosunkowych) tj. udziału części do całości zbiorowości.

W naszym przypadku w pierwszym przedziale klasowym znalazło się 6 studentów na ogólną ich liczbę 36 ( wagę od 60 do 62 kg miało 6-iu spośród 36 studentów). Obliczamy to następująco: 6 / 36 = 0,167 = 16,7% 17%. Wartość 0,167 lub 16,7% jest częstością względną dla pierwszej klasy.

Częstość względna klasy = liczebność klasy / liczebność ogółu zbiorowości

Tablica 3

Klasai

Przedziały klasowex0i – x1i

Liczebność ni

Częstości względne wi

(wskaźnik struktury)

1 60 – 62 6 6/36 = 0,167

2 63 – 65 12 12/36 = 0,333

3 66 – 68 10 10/36 = 0,278

4 69 – 71 5 5/36 = 0,139

5 72 - 74 3 3/36 = 0,083

Częstości względne wi mogą być podane w %

Tablica 4.

Klasai

Przedziały klasowex0i – x1i

Liczebność ni

Częstości względne wi

(struktura w %)

1 60 – 62 6 16,7%

2 63 – 65 12 33,3%

3 66 – 68 10 27,8%

4 69 – 71 5 13,9%

5 72 - 74 3 8,3%

● tablica rozkładu liczebności może zawierać również kolumnę pokazującą skumulowane liczebności dla wszystkich klas● końcowa wartość skumulowanych liczebności jest dokładnie równa całkowitej liczebności badanej zbiorowościTablica 5

Klasai

Przedziały klasowex0i – x1i

Liczebność ni

Skumulowane liczebności

1 60 – 62 6 6

2 63 – 65 12 18

3 66 – 68 10 28

4 69 – 71 5 33

5 72 - 74 3 36

● tablica rozkładu liczebności może zawierać również kolumnę pokazującą skumulowane częstości dla wszystkich klas● suma względnych częstości nie jest zawsze dokładnie równa 1 (100%). Dlatego powinniśmy oczekiwać przybliżonych wartości dla częstości względnychTablica 6

Klasai

Przedziały klasowex0i – x1i

Częstości względne

wi

Skumulowane częstości względne

1 60 – 62 0,167 0,167

2 63 – 65 0,333 0,500

3 66 – 68 0,278 0,778

4 69 – 71 0,139 0,917

5 72 - 74 0,083 1,000

• Wybór co do liczby klas jest zawsze subiektywny.

• Brak jest zasad dotyczących stosowanych granic przedziałów klasowych, ale zawsze pożądana jest ta sama rozpiętość przedziałów klasowych.

• Jeśli rozpatrzymy tę samą zbiorowość danych i uporządkujemy je według innych granic przedziałów klasowych to rezultaty będą zupełnie inne.

• Przykład 3 c.d.

populacja – studenci statystyki WSMiZ w Sochaczewie (36 studentów)

badana cecha – waga (w kg)

ilość wariantów cechy bardzo duża -68,63,67,65,69,72,62,64,66,68,66,62,60,70,71,63,67,63,66,65,69,67,72,68,74,65,66,61,64,61,62,64,65,65,71,64.

Dla powyższego zestawu danych zbudować rozkład częstości dla k=8 klas.

Tablica 7.rozpiętość przedziałów klasowych - (74-60)/8= 1,75 ≈ 2

Klasai

Przedziały klasowex0i – x1i

Liczebność ni

1 60-61 3

2 62-63 6

3 64-65 9

4 66-67 7

5 68-69 5

6 70-71 3

7 72-73 2

8 74-75 1