Prezentare Curs 01

CERM Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.ro

Prof..dr.ing. Marius Bulgaru TEORIA PROBABILITATILOR

ELEMENTE DE TEORIA

PROBABILITATILOR

Cursul 1



Continut:

- Notiuni fundamentale: experiment, eveniment;

- Cimp de evenimente;

- Tipuri de evenimente: compatibile/incompatibile; dependente independente

- Algebra evenimentelor: Reuniunea, Intersectia

- Definitia probabilitatii;

- Principiul certitudinii practice;

- Formula probabilitatii totale;

- Teorema ipotezelor

- Aplicatii



Experimentul reprezintă realizarea unui ansamblu de condiţii conform unui criteriu de cercetare;

Evenimentul reprezintă rezultatul unui experiment.



Aplicaţia 2.1: Apariţia cifrei 3 la aruncarea zarului. Conform definiţiei experimentul este reprezentat de realizarea tuturor condiţiilor, respectiv: zarul este simetric şi omogen, masa pe care se aruncă este plană şi cu un coeficient de frecare uniform. Apariţia unei cifre este un eveniment.Aplicaţia 2.2: Extragerea unei bile albe dintr-o urnă în care se găsesc bile albe şi negre. Acest tip de experiment este în corespondenţă cu extragerea unei piese defecte dintr-un lot de fabricaţie, lot în care se găsesc piese bune (bile albe) şi piese defecte (bile negre). Realizarea condiţiilor conform unui criteriu de cercetare impune ca bilele să fie toate de aceeaşi mărime, uniform amestecate, observatorul care face extragerea să nu poată observa culoarea bilelor. Apariţia unei bile de culoare albă reprezintă un eveniment.



Evenimentul imposibil Ø - este evenimentul cere nu se realizează niciodată în cadrul unui experiment.

Evenimentul aleator A, X, -este evenimentul care se poate produce în cadrul unui experiment.

Evenimentul sigur E -este evenimentul care se produce în mod obligatoriu într-un experiment.

Câmp de evenimente reprezintă totalitatea evenimentelor care pot avea loc în cadrul unui experiment. In el sunt incluse evenimentul sigur, evenimentul imposibil şi toate evenimentele aleatoare care pot avea loc.



Aplicaţia 2.3: In cadrul experimentului aruncarea zarului apar următoarele evenimente:- apariţia cifrei 8 - este un eveniment imposibil - apariţia cifrei 3 - este un eveniment aleator- apariţia unui număr par sau impar - este un eveniment sigur

A=Ø B={3} C=E

Câmp de evenimente reprezintă totalitatea evenimentelor care pot avea loc în cadrul unui experiment. In el sunt incluse evenimentul sigur, evenimentul imposibil şi toate evenimentele aleatoare care pot avea loc.



COMPATIBILE

DEPENDENTE

INCOMPATIBILE

INDEPENDENTE

EVENIMENTE

TIPURI DE EVENIMENTE



Evenimente compatibile sunt două sau mai multe evenimente care pot avea loc “simultan” în cadrul unui experiment.Evenimente incompatibile sunt evenimentele care nu pot avea loc simultan în cadrul unui experiment. In cazul în care realizarea unui eveniment exclude posibilitatea de realizare a altui eveniment cele două poartă denumirea de evenimente contrarii X=ĀEvenimente dependente sunt două sau mai multe evenimente a căror realizare depind de realizarea unui alt eveniment. Evenimente independente sunt evenimentele a căror realizare nu depind de realizarea unui alt eveniment.



Aplicaţia 2.4: Considerăm experimentul în care este aruncată o monedă o singură dată. Fie A evenimentul apariţiei coroanei şi B evenimentul apariţiei pajurii. Deoarece aruncarea monedei se face o singură dată din cele două evenimente nu poate avea loc decât unul singur. Deci cele două evenimente sunt incompatibile, mai mult ele se exclud reciproc deci sunt evenimente contrarii. Dacă experimentul ar presupune aruncarea monedei de trei ori cele două evenimente se pot desfăşura “simultan” în cadrul experimentului şi deci ele ar fi compatibile.A={cap}; B={pajura} B= Ā

Aplicaţia 2.5: Considerăm experimentul în care se extrag consecutiv două piese dintr-un lot de fabricaţie. Fie A evenimentul prima piesă extrasă este rebut şi B evenimentul a doua piesă extrasă este rebut. Cel de-al doilea eveniment depinde de primul deoarece în urma extragerii unei piese rebut la prima extragere compoziţia lotului se modifică. Din punct de vedere al compatibilităţii sau incompatibilităţii cele două evenimente sunt compatibile deoarece se pot desfăşura “simultan” în cadrul experimentului.



Aplicaţia 2.6: In cazul experimentului aruncării unui zar de două ori, fie evenimentele A=3 şi B=4. Evenimentele sunt independente deoarece apariţia cifrei patru nu depinde dacă la aruncarea anterioară a fost sau nu obţinută cifra 3. Din punct de vedere al compatibilităţii sau incompatibilităţii cele două evenimente sunt compatibile deoarece se pot desfăşura “simultan” în cadrul experimentului (zarul este aruncat de două ori). Dacă zarul ar fi fost aruncat o singură dată ar fi fost posibil un singur eveniment şi deci cele două evenimente menţionate ar fi fost incompatibile.



Algebra evenimentelor

Reuniunea evenimentelor

BAS n

1iin21 AAAA ...S

Intersectia evenimentelor

BAI n

1iin21 AAAA ...I



E n u nţ R e laţ i i C o n tr a r iu l u n u i e v e n im e n t s ig u r e s t e u n e v e n im e n tim p o s ib i l (ş i in v e rs ) EE

R e u n iu n e a s a u in t e rs e cţ ia u n u i e v e n im e n t A c u e lîn s uş i e s t e e g a lă c u a c e la ş i e v e n im e n t

AAA

AAA

R e u n iu n i le ş i in t e rs e c ţ i ile s u n t c o m u t a t iv e

ABBA

ABBA

R e u n iu n i le ş i in t e rs e c ţ i ile s u n t a s o c ia t iv e

)CB(AC)BA(

)CB(AC)BA(

I n t e rs e cţ ia î n r a p o r t c u r e u n iu n e a ş i r e u n iu n e a î nr a p o r t c u in t e rs e cţ ia s u n t a s o c ia t iv e

)CA)BA()CB(A

)CA()BA()CB(A

R e u n iu n e a e v e n im e n t e lo r c o n tr a r e e s t e u ne v e n im e n t s ig u r EAA

I n t e rs e cţ ia a d o u ă e v e n im e n t e in c o m p a t ib i le e s t eu n e v e n im e n t im p o s ib il AA

D a că E e s t e u n e v e n im e n t s ig u r , e s t e u ne v e n im e n t im p o s ib i l ş i A u n e v e n im e n t a le a t o r , e x is t ăr e laţ i i le

EEE

AAEEA

C o n s id e r â n d e v e n im e n t e le A ,B ş i c o n tr a r ii le B,Ae x is tă u r m ă t o a r e le r e la ţ ii

BABA

BABA



Definiţia probabilităţii

posibileegallorevenimentenumarul

favorabilelorevenimentenumarul

n

m)A(P

incercaridetotalnumarul

Aluievenimentualeaparitiidenumarul

n

m)A(P

)A(P1)A(P

1)E(P

0)(P

1)A(P0



Aplicaţia 2.7 Probabilitatea aparitiei cifrei 4 la aruncarea zarului.

M - numarul cazurilor favorabile {1}

n - numarul cazurilor egal posibile {6}

P(x=4)=1/6

Probabilitatea extragerii unei piese defecte dintr-un lot este egala cu coeficientul de rebut

Aplicaţia 2.8 Intr-un lot format din 100 de bucati exista 4 piese defecte. Care este probilitatea extragerii unei piese defecte?

A={piesea defecta} P{A}=?

m - numarul cazurilor favorabile {4}

n - numarul cazurilor egal posibile {100}

P(A)=4/100=0,04=4%

Coeficientul de rebut “p” p=4/100=0,04=4%



Principiul certitudinii practice

•Evenimente aproape imposibile

•Evenimente aproape sigure

dacă probabilitatea unui eveniment oarecare A într-un experiment este foarte mică putem fi aproape siguri că dacă experimentul se repetă o singură dată evenimentul A nu va avea loc.



Restricii - probabilitate de 99%- 4 zile pe an nu am avea apa- in fiecare zi 15 minute nu am avea curet- la un film de 90 minute ar lipsi un minut- la un milion de automobile zece mii ar fi defecte- la 100 de retete una ar fi necorespunzatoare si pacientul ar muri

Restricii - probabilitate de 99,9%

- in fiecare luna pentru o ora apa ar fi infectata- 1 problema/zi la aterizare/decolare pe aeroportul din Frankfurt- 1900 de scrisori/ora pierdute la Deutsche Post- 20 000 de retete gresite intr-un an- 500 de operatii gresite/saptamina- 22 000 de operatii bancare/ora gresite

Sursa:QFM Erlangen 2002



ETAPE IN REZOLVAREA UNEI APLICATII

1. Stabilirea tuturor evenimentelor care ar putea avea loc în cadrul experimentului

2. Determinarea relaţiilor de legătură între acestea (algebra evenimentelor)

3. Stabilirea proprietăţilor evenimentelor (compatibilitate/incompatibilitate şi dependenţă/independenta)

4. Aplicarea relaţiilor referitoare la reuniunea şi intersecţia evenimentelor,



Proprietãţile evenimentului

Definiţia evenimentului

Relaţii de calcul

Compatibile şi dependente

A Aii

n

Reuniunea

)()()()(

1)()1( 1..)(

1)()()

1(

BAPBPAPAUBP

nAiPnn

kjiAkA jAiP

n n

jiA jAiPAiP

nAiP

Compatibile şi independente

n

1i

n

1i )A(P11)A(P

Incompatibile

)()()(

)1 1

()(

BPAPAUBP

n nAiPAiP

Compatibile şi dependente

)A/B(P)A(P)BA(P

)A/A(PA(P1i

1i

n

1i

n

1i

Compatibile dependente sau independente

A Ai

n

1

Intersecţia

1)B(P)A(P)BA(P

)1n()A(P)A(Pn

1i

n

1i

Compatibile şi independente

)B(P)A(P)BA(P

A(P)A(Pn

1i

n

1i



Aplicaţia 2.9: Dintr-o urnă în care se găsesc 30 bile albe şi 10 bile negre se extrage o bilă la care nu i se verifică culoarea şi se introduce într-o altă urnă în care se află 15 bile albe şi 25 bile negre. Se efectuează o extragere din a doua urnă. Care este probabilitatea ca bila extrasă să fie albă?

1. Evenimentele care ar putea avea loc sunt:A1 bila extrasă din prima urnă este albăN1 bila extrasă din prima urnă este neagrăA2 bila extrasă din urna a doua este albă

2. Pentru rezolvarea problemei trebuie avută în vedere algebra evenimentelor. Trebuie avut în vedere că poate să se producă evenimentul A1sau evenimentul N1 şi apoi evenimentul A2. Conform tabelului 2.1 aceste evenimente se pot exprima cu relaţia:

)21()21(2)11( ANAAANA



3. Evenimentele (A1∩ şi ∩ sunt incompatibile (deoarece A1 şi N1 nu pot avea loc “simultan” la aceeaşi extragere) şi independente. Evenimentul A2 este dependent de A1 (căci probabilitatea lui A2 se modifică dacă este introdusă o bilă albă în a doua urnă) şi este compatibil cu acesta. Evenimentul A2 este dependent de N1 (căci probabilitatea lui A2 se modifică dacă este introdusă o bilă neagră în a doua urnă) şi este compatibil cu acesta în consecinţă pe baza tabelului 2.2.

4.

160

63

40

15*

40

10

40

16*

40

30

)1/2*11/2*121212121

NAPNPAAPAPANPAAPANAAP



Aplicaţia 2.10: Se cunosc producţiile realizate de trei maşini şi procentele de rebut realizate pe fiecare maşină: - prima maşină 30 din totalul pieselor cu un procent de rebut de 2;- a doua maşină 20 din totalul pieselor cu un procent de rebut de 3;- a treia maşină 50 din totalul pieselor cu un procent de rebut de 1.Care este coeficientul de rebut al lotului obţinut prin amestecarea producţiilor obţinute de cele trei maşini?X1 evenimentul producerii pieselor la prima maşină P(X1)=30%X2 evenimentul producerii pieselor la a doua maşină P(X2)=20% X3 evenimentul producerii pieselor la a treia maşină P(X3)=50%

A evenimentul extragerii unei piese defecte - evenimentul se produce simultan cu unul dintre evenimentele X1, X2, X3, evenimentele sunt compatibile şi dependente.

A/X1 reprezintă evenimentul extragerii unei piese defecte de la prima maşinăP(A/X1)=2%

Similar se desfăşoară evenimentele A/X2 şi A/X3.

Formula probabilităţilor totale



Formula probabilităţilor totaleÎn cazul general se consideră un sistem complet de evenimente X1, X2, ...Xn. Fie un alt eveniment A care nu se poate realiza singur ci numai împreună cu unul din evenimentele Xi.

Xn

Xi

X3

X2

X1

A

AX iN

iP

n

iAX iPAP

n

iAX iA

111

1/* XAPX iPAX iP (Xi ∩ A), (Xj ∩ A),sunt incompatibile şi independente

Xi şi A sunt compatibile şi dependente

10000

170

100

1*

100

50

100

3*

100

20

100

2*

100

30

/*11

AP

X iAPX iN

iP

n

iAX iPAP



Teorema ipotezelor (Formula lui Bayes)In condiţiile desfăşurării experimentului conform aplicaţiei 2.10 ne interesează să calculăm care este probabilitatea ca o piesă extrasă din lot să provină de la

maşina Xi şi să fie defectă, respectiv P(Xi/A)=?.

7

2

1000

21100

3*

100

20

X/AP*XP

X/AP*XP

APX/AP*XP

A/XP

X/AP*XPA/XP*AP

AXPXAP

n

1iii

iiiii

iii

ii



Recapitulare

- Notiuni fundamentale: experiment, eveniment;

- Cimp de evenimente;

- Tipuri de evenimente: compatibile/incompatibile; dependente independente

- Algebra evenimentelor: Reuniunea, Intersectia

- Definitia probabilitatii;

- Principiul certitudinii practice;

- Formula probabilitatii totale;

- Teorema ipotezelor

Documents

Prezentare Curs 01