Upload
phamphuc
View
302
Download
9
Embed Size (px)
Citation preview
Retele Petri si AplicatiiAsist. Dr. Oana Captarencu
http://www.infoiasi.ro/˜otto/pn.html
Retele Petri si Aplicatii – p. 1/45
Evaluare
Nota finala: 40% TS1 + 20% TS2 + 40%LSATS1, TS2 - teste scrise
Activitate laborator/seminar (LSA):lucrare (30%)proiect (50%)activitatea în timpul seminarului (20%)
Referat (optional): 2 puncte (se adauga la nota finala)
Conditii minimale: LSA ≥ 5, TS1 + TS2 ≥ 7
Nota finala: minim 5.
Retele Petri si Aplicatii – p. 2/45
Retele Petri
Retele Petri: o metoda formala (matematica) folosita pentrumodelarea si verificarea sistemelor (concurente/distribuite)
Retele Petri si Aplicatii – p. 3/45
Retele Petri
Retele Petri: o metoda formala (matematica) folosita pentrumodelarea si verificarea sistemelor (concurente/distribuite)Notiunea de sistem:
A regularly interacting or interdependent group of items forming a unified whole(Webster Dictionary)
A combination of components that act together to perform a function not possible
with any of the individual parts (IEEE Standard Dictionary of Electrical and
Electronic Terms)
Retele Petri si Aplicatii – p. 3/45
Retele Petri
Retele Petri: o metoda formala (matematica) folosita pentrumodelarea si verificarea sistemelor (concurente/distribuite)Notiunea de sistem:
A regularly interacting or interdependent group of items forming a unified whole(Webster Dictionary)
A combination of components that act together to perform a function not possible
with any of the individual parts (IEEE Standard Dictionary of Electrical and
Electronic Terms)
Sistemele:
alcatuite din componente care interactioneaza
îndeplinesc o anumita functionalitate
evenimente si stari
concurenta, comunicare, sincronizare
Retele Petri si Aplicatii – p. 3/45
Retele Petri
Exemple de sisteme:
sisteme automatizate de productie
sisteme de control al traficului aerian
sisteme de monitorizare si control în industrie
retele de comunicare
sisteme software distribuite
etc...
Retele Petri si Aplicatii – p. 4/45
Modelarea si verificarea sistemelor
Verificarea sistemelor reale: are drept scop verificarea unorproprietati dezirabile, înca din stadiul de proiectare
Un model surprinde caracteristici esentiale ale sistemului
Modele (formale) pentru verificarea sistemelor:automate/sisteme tranzitionalealgebre de proceselogici temporaleretele Petrietc...
Retele Petri si Aplicatii – p. 5/45
Retele Petri pentru modelarea sistemelor
Retele Petri:
Carl Adam Petri, 1962
Retele Petri si Aplicatii – p. 6/45
Retele Petri pentru modelarea sistemelor
Retele Petri:
Carl Adam Petri, 1962
grafuri bipartite
Retele Petri si Aplicatii – p. 6/45
Retele Petri pentru modelarea sistemelor
Retele Petri:
Carl Adam Petri, 1962
grafuri bipartite
reprezentare explicita starilor si evenimentelor dintr-unsistem
Retele Petri si Aplicatii – p. 6/45
Retele Petri pentru modelarea sistemelor
Retele Petri:
Carl Adam Petri, 1962
grafuri bipartite
reprezentare explicita starilor si evenimentelor dintr-unsistem
reprezentare grafica intuitiva
Retele Petri si Aplicatii – p. 6/45
Retele Petri pentru modelarea sistemelor
Retele Petri:
Carl Adam Petri, 1962
grafuri bipartite
reprezentare explicita starilor si evenimentelor dintr-unsistem
reprezentare grafica intuitiva
semantica formala
Retele Petri si Aplicatii – p. 6/45
Retele Petri pentru modelarea sistemelor
Retele Petri:
Carl Adam Petri, 1962
grafuri bipartite
reprezentare explicita starilor si evenimentelor dintr-unsistem
reprezentare grafica intuitiva
semantica formala
expresivitate (concurenta, nedeterminism,comunicare,sincronizare)
Retele Petri si Aplicatii – p. 6/45
Retele Petri pentru modelarea sistemelor
Retele Petri:
Carl Adam Petri, 1962
grafuri bipartite
reprezentare explicita starilor si evenimentelor dintr-unsistem
reprezentare grafica intuitiva
semantica formala
expresivitate (concurenta, nedeterminism,comunicare,sincronizare)
existenta metodelor de analiza a proprietatilor
Retele Petri si Aplicatii – p. 6/45
Retele Petri pentru modelarea sistemelor
Retele Petri:
Carl Adam Petri, 1962
grafuri bipartite
reprezentare explicita starilor si evenimentelor dintr-unsistem
reprezentare grafica intuitiva
semantica formala
expresivitate (concurenta, nedeterminism,comunicare,sincronizare)
existenta metodelor de analiza a proprietatilor
numeroase unelte software pentru editarea/verificareaproprietatilor retelelor Petri
Retele Petri si Aplicatii – p. 6/45
Retele Petri
Domenii de aplicabilitate:
Protocoale de comunicare, retele
Sisteme software si hardware
Algoritmi distribuiti
Protocoale de securitate
Biologie, Chimie, Medicina
Economie (fluxuri de lucru)
etc..
Retele Petri si Aplicatii – p. 7/45
Retele de tip P/T
Definitie
Regula de producere a tranzitiilor (comportament)
Proprietati
Retele Petri si Aplicatii – p. 8/45
Retele de tip P/T - Definitie
Definitie 1 O retea Petri este un 4-uplu N = (P, T, F,W ) astfelîncât :
1. P multime de locatii, T multime de tranzitii, P ∩ T = ∅;
2. F ⊆ (P × T ) ∪ (T × P ) relatia de flux;
3. W : (P × T ) ∪ (T × P ) → N ponderea arcelor(W (x, y) = 0 ddaca (x, y) 6∈ F ).
P = {p1, p2, p3}
T = {t1, t2, t3}
F = {(p1, t1), (t1, p2), (t1, p3),
(p3, t3), (t3, p1), (p2, t2)}
W (p1, t1) = 1, W (t1, p2) = 1,W (t1, p3) = 1, W (p3, t3) = 1,
W (t3, p1) = 1,W (p2, t2) = 2
p1 t1 p2
t2
2
p3t3
Retele Petri si Aplicatii – p. 9/45
Retele de tip P/T
Daca x ∈ P ∪ T , atunci:
- Premultimea lui x: •x = {y|(y, x) ∈ F};
- Postmultimea lui x: x• = {y|(x, y) ∈ F} .
p1 t1 p2
t2
2
p3t3
- •t1 = {p1}, •t2 = {p2}, •t3 = {p3}
- t1• = {p2, p3}, t2• = ∅, t3• = {p1}
- •p1 = {t3}, •p2 = {t1}, •p3 = {t1}
- p1• = {t1}, p2• = {t2}, p3• = {t3}
Retele Petri si Aplicatii – p. 10/45
Retele de tip P/T
Definitie 2 O retea este pura daca, pentru orice x ∈ P ∪ T ,•x ∩ x• = ∅.
2
p1
t2
p2t1
Definitie 3 O retea este fara elemente izolate, daca, pentruorice x ∈ P ∪ T , •x ∪ x• 6= ∅
Retele Petri si Aplicatii – p. 11/45
Marcare a unei retele de tip P/T
Definitie 4 (Marcare, retele marcate)
Fie N = (P, T, F,W ) o retea P/T. O marcare a lui N este ofunctie M : P → N.
Fie N = (P, T, F,W ) o retea P/T si M0 : P → N. Atunci(N,M0) se numeste retea Petri marcata.
p1 t1 p2
t2
2
p3t3M = (1, 0, 0)
Distributia punctelor în locatiile unei retele = marcarearetelei (starea sistemului modelat)
Retele Petri si Aplicatii – p. 12/45
Retele Petri
Tranzitii: reprezinta actiuni sau evenimente din sistemulmodelat
Punctele din locatii: pot modela resurse/valori booleene
Locatiile input: contin resurse (reprezentate de punctele dinlocatie) care vor fi folosite de catre actiune, preconditiipentru producerea unui eveniment
Ponderea unui arc input: câte resurse de un anumit tip suntnecesare producerii actiunii
Ponderea unui arc output: numarul de resurse de un anumittip rezultate prin producerea actiunii
Retele Petri si Aplicatii – p. 13/45
Exemplu
Model producator consumator:
Producatorul (P) poate produce câte un produs (într-unbuffer)
Un consumator (C) preia câte doua produse din buffer
Stari producator: producator activ (pregatit sa produca),producator în repaus.
Evenimente: P produce un produs, C consuma produse, Predevine activ
Retele Petri si Aplicatii – p. 14/45
Exemplu
Model producator consumator:
Producatorul (P) poate produce câte un produs (într-unbuffer)
Un consumator (C) preia câte doua produse din buffer
Stari producator: producator activ (pregatit sa produca),producator în repaus.
Evenimente: P produce un produs, C consuma produse, Predevine activ
p1 t1 p2
t2
2
p3t3
buffer
consuma
producatorin repaus
revine
producator activ produce
Retele Petri si Aplicatii – p. 14/45
Regula de producere a tranzitiilor
Fie N = (P, T, F,W ) o retea Petri, M o marcare a lui N si t ∈ T
o tranzitie a lui N .
Retele Petri si Aplicatii – p. 15/45
Regula de producere a tranzitiilor
Fie N = (P, T, F,W ) o retea Petri, M o marcare a lui N si t ∈ T
o tranzitie a lui N .
Tranzitia t este posibila la marcarea M (M [t〉N ) dacaW (p, t) ≤ M(p), pentru orice p ∈ •t.
Retele Petri si Aplicatii – p. 15/45
Regula de producere a tranzitiilor
Fie N = (P, T, F,W ) o retea Petri, M o marcare a lui N si t ∈ T
o tranzitie a lui N .
Tranzitia t este posibila la marcarea M (M [t〉N ) dacaW (p, t) ≤ M(p), pentru orice p ∈ •t.
Daca t este posibila la marcarea M , atunci t se poateproduce, rezultând o noua marcare M ′ (M [t〉NM ′), undeM ′(p) = M(p)−W (p, t) +W (t, p), pentru toti p ∈ P .
Retele Petri si Aplicatii – p. 15/45
Exemplu
o tanzitie este posibila daca locatiile input contin suficientepuncte:
p1
p2
t1
t2
p3
p4
t3 p52
3
2
2
Retele Petri si Aplicatii – p. 16/45
Exemplu
o tanzitie este posibila daca locatiile input contin suficientepuncte:
p1
p2
t1
t2
p3
p4
t3 p52
3
2
2
Retele Petri si Aplicatii – p. 16/45
Exemplu
o tanzitie este posibila daca locatiile input contin suficientepuncte:
p1
p2
t1
t2
p3
p4
t3 p52
3
2
2
Producerea unei tranzitii modifica marcarea retelei
Retele Petri si Aplicatii – p. 16/45
Exemplu I
Model producator consumator:
Retele Petri si Aplicatii – p. 17/45
Exemplu I
Model producator consumator:
p1 t1 p2
t2
2
p3t3
buffer
consuma
producatorin repaus
revine
producator activ produce
Retele Petri si Aplicatii – p. 17/45
Exemplu I
Model producator consumator:
p1 t1 p2
t2
2
p3t3
buffer
consuma
producatorin repaus
revine
producator activ produce
Retele Petri si Aplicatii – p. 17/45
Exemplu I
Model producator consumator:
p1 t1 p2
t2
2
p3t3
buffer
consuma
producatorin repaus
revine
producator activ produce
Retele Petri si Aplicatii – p. 17/45
Exemplu I
Model producator consumator:
p1 t1 p2
t2
2
p3t3
buffer
consuma
producatorin repaus
revine
producator activ produce
Retele Petri si Aplicatii – p. 17/45
Exemplu I
Model producator consumator:
p1 t1 p2
t2
2
p3t3
buffer
consuma
producatorin repaus
revine
producator activ produce
Retele Petri si Aplicatii – p. 17/45
Exemplu I
Model producator consumator:
p1 t1 p2
t2
2
p3t3
buffer
consuma
producatorin repaus
revine
producator activ produce
Retele Petri si Aplicatii – p. 17/45
Exemplu I
Model producator consumator:
p1 t1 p2
t2
2
p3t3
buffer
consuma
producatorin repaus
revine
producator activ produce
Retele Petri si Aplicatii – p. 17/45
Exemplu II
Automat care furnizeaza produse
Retele Petri si Aplicatii – p. 18/45
Exemplu II
Automat care furnizeaza produse
produse
produse consumate
C introduce moneda
monezi acceptate
ofera produs
reincarca monezi introduse
A accepta moneda
A respinge moneda
A repaus
Retele Petri si Aplicatii – p. 18/45
Exemplu II
Automat care furnizeaza produse
produse
produse consumate
C introduce moneda
monezi acceptate
ofera produs
reincarca monezi introduse
A accepta moneda
A respinge moneda
A repaus
Retele Petri si Aplicatii – p. 18/45
Exemplu II
Automat care furnizeaza produse
produse
produse consumate
C introduce moneda
monezi acceptate
ofera produs
reincarca monezi introduse
A accepta moneda
A respinge moneda
A repaus
Retele Petri si Aplicatii – p. 18/45
Exemplu II
Automat care furnizeaza produse
produse
produse consumate
C introduce moneda
monezi acceptate
ofera produs
reincarca monezi introduse
A accepta moneda
A respinge moneda
A repaus
Retele Petri si Aplicatii – p. 18/45
Exemplu II
Automat care furnizeaza produse
produse
produse consumate
C introduce moneda
monezi acceptate
ofera produs
reincarca monezi introduse
A accepta moneda
A respinge moneda
A repaus
Retele Petri si Aplicatii – p. 18/45
Exemplu II
Automat care furnizeaza produse
produse
produse consumate
C introduce moneda
monezi acceptate
ofera produs
reincarca monezi introduse
A accepta moneda
A respinge moneda
A repaus
Retele Petri si Aplicatii – p. 18/45
Exemplu II
Automat care furnizeaza produse
produse
produse consumate
C introduce moneda
monezi acceptate
ofera produs
reincarca monezi introduse
A accepta moneda
A respinge moneda
A repaus
Retele Petri si Aplicatii – p. 18/45
Exemplu II
Automat care furnizeaza produse
produse
produse consumate
C introduce moneda
monezi acceptate
ofera produs
reincarca monezi introduse
A accepta moneda
A respinge moneda
A repaus
Retele Petri si Aplicatii – p. 18/45
Exemplu II
Automat care furnizeaza produse
produse
produse consumate
C introduce moneda
monezi acceptate
ofera produs
reincarca monezi introduse
A accepta moneda
A respinge moneda
A repaus
Retele Petri si Aplicatii – p. 18/45
Secvente de aparitie a tranzitiilor
Regula de producere a tranzitiilor se poate extinde la secventede tranzitii:
Definitie 5 (secvente de aparitie)
Fie σ = t1t2 . . . tk ∈ T ∗ si M o marcare. σ se numeste secventafinita de aparitie, posibila la M, daca exista marcarileM1,M2, . . . ,Mk astfel încât:
M [t1〉M1[t2〉M2 . . .Mk−1[tk〉Mk
Se mai noteaza: M [σ〉Mk.
Secventa vida de tranzitii, notata cu ǫ, este secventa de aparitieposibila la orice marcare M a retelei, si are loc: M [ǫ〉M .
O secventa infinita de tranzitii σ = t1, t2, . . . este secventa infinitade aparitie, posibila la marcarea M , daca: M [t1〉M2[t2〉M3 . . ..
Retele Petri si Aplicatii – p. 19/45
Notatii
Fie γ = (N,M0) o retea P/T marcata . Se definesc urmatoarelefunctii:
t− : P → N, t−(p) = W (p, t),∀p ∈ P
t+ : P → N, t+(p) = W (t, p),∀p ∈ P
∆t : P → Z, ∆t(p) = W (t, p)−W (p, t)
Daca σ ∈ T ∗ este o secventa de tranzitii, se defineste∆σ : P → Z:
Daca σ = ǫ, atunci ∆σ este functia identic 0.
Daca σ = t1, . . . , tn, atunci ∆σ =∑n
i=1∆ti.
Retele Petri si Aplicatii – p. 20/45
Secvente de aparitie
p1
p2
p3
t1
3
2
t−1(p1) = 2, t−
1(p2) = 1, t−
1(p3) = 0
t+
1(p1) = 1, t+
1(p2) = 3, t+
1(p3) = 1
∆t1(p1) = −1,∆t1(p2) = 2,∆t1(p3) = 1
Retele Petri si Aplicatii – p. 21/45
Secvente de aparitie
p1
p2
p3
t1
3
2
t−1(p1) = 2, t−
1(p2) = 1, t−
1(p3) = 0
t+
1(p1) = 1, t+
1(p2) = 3, t+
1(p3) = 1
∆t1(p1) = −1,∆t1(p2) = 2,∆t1(p3) = 1
Propozitie 1 Fie t o tranzitie, σ ∈ T ∗ si M,M ′ marcari.
Daca M [t〉M ′, atunci M ′ = M +∆t.
Daca M [σ〉M ′, atunci M ′ = M +∆σ
Retele Petri si Aplicatii – p. 21/45
Marcari accesibile
Definitie 6 Fie γ = (N,M0) o retea P/T marcata.
O marcare M ′ este accesibila din marcarea M , daca existao secventa finita de aparitie σ astfel încât: M [σ〉M ′.
Retele Petri si Aplicatii – p. 22/45
Marcari accesibile
Definitie 6 Fie γ = (N,M0) o retea P/T marcata.
O marcare M ′ este accesibila din marcarea M , daca existao secventa finita de aparitie σ astfel încât: M [σ〉M ′.
Marcarea M este accesibila în γ, daca M este accesibiladin marcarea initiala M0.
Retele Petri si Aplicatii – p. 22/45
Marcari accesibile
Definitie 6 Fie γ = (N,M0) o retea P/T marcata.
O marcare M ′ este accesibila din marcarea M , daca existao secventa finita de aparitie σ astfel încât: M [σ〉M ′.
Marcarea M este accesibila în γ, daca M este accesibiladin marcarea initiala M0.
Multimea marcarilor accesibile dintr-o marcare M , în γ, senoteaza [M〉γ ([M〉 când este clar despre ce retea estevorba).
Retele Petri si Aplicatii – p. 22/45
Marcari accesibile
Definitie 6 Fie γ = (N,M0) o retea P/T marcata.
O marcare M ′ este accesibila din marcarea M , daca existao secventa finita de aparitie σ astfel încât: M [σ〉M ′.
Marcarea M este accesibila în γ, daca M este accesibiladin marcarea initiala M0.
Multimea marcarilor accesibile dintr-o marcare M , în γ, senoteaza [M〉γ ([M〉 când este clar despre ce retea estevorba).
[M0〉γ se numeste multimea marcarilor accesibile în reteauaγ.
Retele Petri si Aplicatii – p. 22/45
Proprietati pentru secvente de aparitie
Propozitie 2 Fie M o marcare si σ o secventa finita deaparitie, astfel încât M [σ〉M ′. Daca σ′ este o secventa deaparitie (finita sau infinita) posibila la marcarea M ′, atunciσσ′ este secventa de aparitie posibila la M .
Retele Petri si Aplicatii – p. 23/45
Proprietati pentru secvente de aparitie
Propozitie 2 Fie M o marcare si σ o secventa finita deaparitie, astfel încât M [σ〉M ′. Daca σ′ este o secventa deaparitie (finita sau infinita) posibila la marcarea M ′, atunciσσ′ este secventa de aparitie posibila la M .
Propozitie 3 O secventa infinita de aparitie σ este posibilala o marcare M ddaca orice prefix finit al lui σ este posibil laM .
Retele Petri si Aplicatii – p. 23/45
Proprietati pentru secvente de aparitie
Propozitie 2 Fie M o marcare si σ o secventa finita deaparitie, astfel încât M [σ〉M ′. Daca σ′ este o secventa deaparitie (finita sau infinita) posibila la marcarea M ′, atunciσσ′ este secventa de aparitie posibila la M .
Propozitie 3 O secventa infinita de aparitie σ este posibilala o marcare M ddaca orice prefix finit al lui σ este posibil laM .
Propozitie 4 Fie M si M marcari, σ o secventa de aparitieposibila atât la M cât si la M , astfel încât: M [σ〉M ′ si
M [σ〉M′. Atunci M ′(p)−M(p) = M
′(p)−M(p), pentru
orice locatie p ∈ P .
Retele Petri si Aplicatii – p. 23/45
Proprietati pentru secvente de aparitie
Propozitie 5 Fie M , M ′ si L marcari, σ ∈ T ∗ o secventa detranzitii, posibila la M .
Daca σ finita si M [σ〉M ′, atunci (M + L)[σ〉(M ′ + L).
Daca σ infinita si M [σ〉, atunci (M + L)[σ〉
Demonstratie:
σ finita: inductie dupa |σ| = n.
σ infinita: se arata ca orice prefix finit al lui σ este posibil la M + L.
M = (2, 1, 1, 0)[t1t2〉(1, 0, 1, 2) = M ′
(3, 2, 2, 0)[t1t2〉?
Retele Petri si Aplicatii – p. 24/45
Proprietati pentru secvente de aparitie
Definitie 7 Fie M si M ′ doua marcari.
M ≥ M ′ ddaca M ′(p) ≥ M(p), ∀p ∈ P .
M > M ′ ddaca M ≥ M ′ si ∃p ∈ P : M(p) > M ′(p).
Propozitie 6 Fie M si M ′ doua marcari astfel încât M ≥ M ′.Atunci orice secventa de aparitie posibila la marcarea M esteposibila si la marcarea M ′.
M ′ ≥ M =⇒ ∃L marcare astfel încât M ′ = M + L
σ infinita: M [σ〉 =⇒ M ′ = (M + L)[σ〉
σ finita: M [σ〉M si M ′ = (M + L)[σ〉(M + L)
Retele Petri si Aplicatii – p. 25/45
Proprietati pentru secvente de aparitie
Lema 1 Fie N o retea oarecare, U, V ⊆ T astfel încâtV • ∩ • U = ∅. Daca σ ∈ (U ∪ V )∗ astfel încât M [σ〉M ′, atunciM [σ|Uσ|V 〉M
′.
t1 p t2
UV
t1 ∈ V si t2 ∈ U .t1 • ∩ • t2 = ∅M [t1t2〉M
′, atunci:M [t2t1〉M
′
Retele Petri si Aplicatii – p. 26/45
Proprietati pentru secvente de aparitie
Lema 1 Fie N o retea oarecare, U, V ⊆ T astfel încâtV • ∩ • U = ∅. Daca σ ∈ (U ∪ V )∗ astfel încât M [σ〉M ′, atunciM [σ|Uσ|V 〉M
′.
Demonstratie:Fie N o retea oarecare, t1, t2 ∈ T astfel încât t1 ∈ V si t2 ∈ U . Deci t1 • ∩ • t2 = ∅.Se arata ca:
M [t1〉M2[t2〉M ′ =⇒ M [t2〉M ′2[t1〉M ′
M [t2〉 (adica ∀p ∈ •t2 : W (p, t2) ≤ M(p)).
Fie M [t2〉M ′2. Se arata ca M ′
2[t1〉.
Se arata ca M [t2〉M ′2[t1〉M ′.
Retele Petri si Aplicatii – p. 26/45
Exemplu
U = {t1, t2}, V = {t3, t4} M = (0, 1, 0, 1, 0)
Retele Petri si Aplicatii – p. 27/45
Exemplu
U = {t1, t2}, V = {t3, t4} M = (0, 1, 0, 1, 0)
p1
p2 p3 p4 p5
t1
t2 t3 t4
2
Retele Petri si Aplicatii – p. 27/45
Exemplu
U = {t1, t2}, V = {t3, t4} M = (0, 1, 0, 1, 0)
p1
p2 p3 p4 p5
t1
t2 t3 t4
2
Retele Petri si Aplicatii – p. 27/45
Exemplu
U = {t1, t2}, V = {t3, t4} M = (0, 1, 0, 1, 0)
p1
p2 p3 p4 p5
t1
t2 t3 t4
2
Retele Petri si Aplicatii – p. 27/45
Exemplu
U = {t1, t2}, V = {t3, t4} M = (0, 1, 0, 1, 0)
p1
p2 p3 p4 p5
t1
t2 t3 t4
2
Retele Petri si Aplicatii – p. 27/45
Exemplu
U = {t1, t2}, V = {t3, t4} M = (0, 1, 0, 1, 0)
p1
p2 p3 p4 p5
t1
t2 t3 t4
2
Retele Petri si Aplicatii – p. 27/45
Exemplu
U = {t1, t2}, V = {t3, t4} M = (0, 1, 0, 1, 0)
σ = t2t4t3t1t4M = (1, 0, 1, 0)[t2t4t3t1t4〉(0, 0, 2, 0, 2) = M ′
M [t2t1t4t3t4〉M′
p1
p2 p3 p4 p5
t1
t2 t3 t4
2
Retele Petri si Aplicatii – p. 27/45
Exemplu
U = {t1, t2}, V = {t3, t4} M = (0, 1, 0, 1, 0)
σ = t2t4t3t1t4M = (1, 0, 1, 0)[t2t4t3t1t4〉(0, 0, 2, 0, 2) = M ′
M [t2t1t4t3t4〉M′
p1
p2 p3 p4 p5
t1
t2 t3 t4
2
Retele Petri si Aplicatii – p. 27/45
Exemplu
U = {t1, t2}, V = {t3, t4} M = (0, 1, 0, 1, 0)
σ = t2t4t3t1t4M = (1, 0, 1, 0)[t2t4t3t1t4〉(0, 0, 2, 0, 2) = M ′
M [t2t1t4t3t4〉M′
p1
p2 p3 p4 p5
t1
t2 t3 t4
2
Retele Petri si Aplicatii – p. 27/45
Exemplu
U = {t1, t2}, V = {t3, t4} M = (0, 1, 0, 1, 0)
σ = t2t4t3t1t4M = (1, 0, 1, 0)[t2t4t3t1t4〉(0, 0, 2, 0, 2) = M ′
M [t2t1t4t3t4〉M′
p1
p2 p3 p4 p5
t1
t2 t3 t4
2
Retele Petri si Aplicatii – p. 27/45
Exemplu
U = {t1, t2}, V = {t3, t4} M = (0, 1, 0, 1, 0)
σ = t2t4t3t1t4M = (1, 0, 1, 0)[t2t4t3t1t4〉(0, 0, 2, 0, 2) = M ′
M [t2t1t4t3t4〉M′
p1
p2 p3 p4 p5
t1
t2 t3 t4
2
Retele Petri si Aplicatii – p. 27/45
Exemplu
U = {t1, t2}, V = {t3, t4} M = (0, 1, 0, 1, 0)
σ = t2t4t3t1t4M = (1, 0, 1, 0)[t2t4t3t1t4〉(0, 0, 2, 0, 2) = M ′
M [t2t1t4t3t4〉M′
p1
p2 p3 p4 p5
t1
t2 t3 t4
2
Retele Petri si Aplicatii – p. 27/45
Exemplu
U = {t1, t2}, V = {t3, t4} M = (0, 1, 0, 1, 0)
σ = t2t4t3t1t4M = (1, 0, 1, 0)[t2t4t3t1t4〉(0, 0, 2, 0, 2) = M ′
M [t2t1t4t3t4〉M′
p1
p2 p3 p4 p5
t1
t2 t3 t4
2
Retele Petri si Aplicatii – p. 27/45
Proprietatea de marginire
Fie γ = (M,M0) o retea Petri marcata.
Definitie 8 (marginire)
Retele Petri si Aplicatii – p. 28/45
Proprietatea de marginire
Fie γ = (M,M0) o retea Petri marcata.
Definitie 8 (marginire)
O locatie p este marginita daca:
(∃ n ∈ N)(∀M ∈ [M0〉)( M(p) ≤ n)
Retele Petri si Aplicatii – p. 28/45
Proprietatea de marginire
Fie γ = (M,M0) o retea Petri marcata.
Definitie 8 (marginire)
O locatie p este marginita daca:
(∃ n ∈ N)(∀M ∈ [M0〉)( M(p) ≤ n)
Reteaua marcata γ este marginita daca orice locatie p ∈ P
este marginita.
Retele Petri si Aplicatii – p. 28/45
Proprietatea de marginire
Fie γ = (M,M0) o retea Petri marcata.
Definitie 8 (marginire)
O locatie p este marginita daca:
(∃ n ∈ N)(∀M ∈ [M0〉)( M(p) ≤ n)
Reteaua marcata γ este marginita daca orice locatie p ∈ P
este marginita.
Reteaua N este structural marginita, daca exista o marcareM astfel încât (N,M) este marginita.
Retele Petri si Aplicatii – p. 28/45
Proprietatea de marginire
Fie γ = (M,M0) o retea Petri marcata.
Definitie 8 (marginire)
O locatie p este marginita daca:
(∃ n ∈ N)(∀M ∈ [M0〉)( M(p) ≤ n)
Reteaua marcata γ este marginita daca orice locatie p ∈ P
este marginita.
Reteaua N este structural marginita, daca exista o marcareM astfel încât (N,M) este marginita.
Retele Petri si Aplicatii – p. 28/45
Marginire-exemple
p1 t1
p2t2
Retele Petri si Aplicatii – p. 29/45
Marginire-exemple
p1 t1
p2t2
reteaua este marginita: M(p) ≤ 1, ∀p ∈ P
Retele Petri si Aplicatii – p. 29/45
Marginire-exemple
p1 t1
p2t2
reteaua este marginita: M(p) ≤ 1, ∀p ∈ P
p1
p2t1
p3
t2
Retele Petri si Aplicatii – p. 29/45
Marginire-exemple
p1 t1
p2t2
reteaua este marginita: M(p) ≤ 1, ∀p ∈ P
p1
p2t1
p3
t2
reteaua este nemarginita:
p2 poate contine o infinitate de puncte!
Retele Petri si Aplicatii – p. 29/45
Proprietatea de marginire
Propozitie 7 O retea P/T marcata γ = (N,M0) estemarginita ddaca multimea [M0〉 este finita.
Retele Petri si Aplicatii – p. 30/45
Proprietatea de marginire
Propozitie 7 O retea P/T marcata γ = (N,M0) estemarginita ddaca multimea [M0〉 este finita.
(=⇒) Fie n astfel încât (∀M ∈ [M0〉)(∀p ∈ P )(M(p) ≤ n). Numarul maxim demarcari este (n+ 1)|P |.
(⇐=) Se considera n = max{M(p)|M ∈ [M0〉, p ∈ P}.
Retele Petri si Aplicatii – p. 30/45
Proprietatea de marginire
Propozitie 7 O retea P/T marcata γ = (N,M0) estemarginita ddaca multimea [M0〉 este finita.
(=⇒) Fie n astfel încât (∀M ∈ [M0〉)(∀p ∈ P )(M(p) ≤ n). Numarul maxim demarcari este (n+ 1)|P |.
(⇐=) Se considera n = max{M(p)|M ∈ [M0〉, p ∈ P}.
Propozitie 8 Daca γ = (N,M0) este marginita, nu existadoua marcari M1,M2 ∈ [M0〉 astfel încât M1[∗〉M2 siM2 > M1.
Retele Petri si Aplicatii – p. 30/45
Proprietatea de marginire
Propozitie 7 O retea P/T marcata γ = (N,M0) estemarginita ddaca multimea [M0〉 este finita.
(=⇒) Fie n astfel încât (∀M ∈ [M0〉)(∀p ∈ P )(M(p) ≤ n). Numarul maxim demarcari este (n+ 1)|P |.
(⇐=) Se considera n = max{M(p)|M ∈ [M0〉, p ∈ P}.
Propozitie 8 Daca γ = (N,M0) este marginita, nu existadoua marcari M1,M2 ∈ [M0〉 astfel încât M1[∗〉M2 siM2 > M1.
Daca M1[σ〉M2 si M2 > M1 =⇒ M2[σ〉M3 (prop. 6) si M3 > M2 (prop. 4). Deci
M3[σ〉M4, M4 > M3, etc.
Retele Petri si Aplicatii – p. 30/45
Proprietati: pseudo-viabilitate
Fie γ = (N,M0) o retea Petri marcata.
Definitie 9 (pseudo-viabilitate)
O tranzitie t ∈ T este pseudo-viabila din marcarea M ,daca exista o marcare M ′ ∈ [M〉 astfel încât M ′[t〉.
O tranzitie t ∈ T este pseudo-viabila daca estepseudo-vaibila din M0 (exista o marcare accesibilaM ∈ [M0〉 astfel încât M [t〉). O tranzitie care nu estepseudo-viabila se numeste moarta.
Reteaua marcata γ este pseudo-viabila daca toatetranzitiile sale sunt pseudo-viabile.
Retele Petri si Aplicatii – p. 31/45
Exemple
p1
p2
p3
p4
p5t1
t2
t3
Retele Petri si Aplicatii – p. 32/45
Exemple
p1
p2
p3
p4
p5t1
t2
t3
t1 este tranzitie moarta
t2 pseudo-viabila
t3 este tranzitie moarta
Retele Petri si Aplicatii – p. 32/45
Proprietati: blocaje
Fie γ = (N,M0) o retea Petri marcata.
Definitie 10 (blocaje)
O marcare M a retelei marcate γ este moarta daca nuexista o tranzitie t ∈ T astfel încât M [t〉.
Reteaua γ este fara blocaje, daca nu exista marcariaccesibile moarte.
Retele Petri si Aplicatii – p. 33/45
Exemple
p1
p2
p3
p4
p5t1
t2
t3
Retele Petri si Aplicatii – p. 34/45
Exemple
p1
p2
p3
p4
p5t1
t2
t3
Marcarea (0,0,0,1,0) este moarta, deci reteaua are blocaje.
Retele Petri si Aplicatii – p. 34/45
Proprietati: viabilitate
Definitie 11 (viabilitate)Fie N = (P, T, F,W ) o retea de tip P/T si γ = (N,M0) o reteaPetri marcata.
O tranzitie t ∈ T este viabila daca ∀M ∈ [M0〉, t estepseudo-viabila din M (∃M ′ ∈ [M〉 astfel încât M ′[t〉).
Reteaua marcata γ este viabila daca orice tranzitie t ∈ T
este viabila.
reteaua N este structural viabila daca exista o marcare M
astfel încât (N,M) este viabila.
Retele Petri si Aplicatii – p. 35/45
Exemple
2
2
p1 t1 p2
t2p3t3
Retea pseudo-viabila, viabila si fara blocaje.
Retele Petri si Aplicatii – p. 36/45
Exemple
Retele Petri si Aplicatii – p. 37/45
Exemple
t1,t2,t3: nu sunt viabile
t4,t5: viabile
reteaua este pseudo-viabila
Retele Petri si Aplicatii – p. 37/45
Reversibilitate
Definitie 12 Reteaua marcata γ este reversibila daca marcareasa initiala este accesibila din orice marcare M ∈ [M0〉.
Retele Petri si Aplicatii – p. 38/45
Reversibilitate
Definitie 12 Reteaua marcata γ este reversibila daca marcareasa initiala este accesibila din orice marcare M ∈ [M0〉.
2
2
p1 t1 p2
t2p3t3
Retele Petri si Aplicatii – p. 38/45
Proprietati ale retelelor Petri
Fie γ = (N,M0) o retea Petri marcata.
Propozitie 9 Orice retea marcata viabila este sipseudo-viabila.
Retele Petri si Aplicatii – p. 39/45
Proprietati ale retelelor Petri
Fie γ = (N,M0) o retea Petri marcata.
Propozitie 9 Orice retea marcata viabila este sipseudo-viabila.
Propozitie 10 Orice retea marcata viabila, având cel putino tranzitie, este fara blocaje.
Retele Petri si Aplicatii – p. 39/45
Proprietati ale retelelor Petri
Fie γ = (N,M0) o retea Petri marcata.
Propozitie 9 Orice retea marcata viabila este sipseudo-viabila.
Propozitie 10 Orice retea marcata viabila, având cel putino tranzitie, este fara blocaje.
Propozitie 11 Daca o retea fara locatii izolate este viabila,atunci orice locatie poate fi marcata, din orice marcareaccesibila.
Retele Petri si Aplicatii – p. 39/45
Proprietati ale retelelor Petri
Fie γ = (N,M0) o retea Petri marcata.
Propozitie 9 Orice retea marcata viabila este sipseudo-viabila.
Propozitie 10 Orice retea marcata viabila, având cel putino tranzitie, este fara blocaje.
Propozitie 11 Daca o retea fara locatii izolate este viabila,atunci orice locatie poate fi marcata, din orice marcareaccesibila.
Propozitie 12 O retea marcata reversibila este viabiladdaca este pseudo-viabila.
Retele Petri si Aplicatii – p. 39/45
Proprietati ale retelelor Petri
Fie γ = (N,M0) o retea Petri marcata.
Propozitie 9 Orice retea marcata viabila este sipseudo-viabila.
Propozitie 10 Orice retea marcata viabila, având cel putino tranzitie, este fara blocaje.
Propozitie 11 Daca o retea fara locatii izolate este viabila,atunci orice locatie poate fi marcata, din orice marcareaccesibila.
Propozitie 12 O retea marcata reversibila este viabiladdaca este pseudo-viabila.
Propozitie 13 O retea marcata reversibila este fara blocaje.
Retele Petri si Aplicatii – p. 39/45
Exemple
Q: orice retea pseudo-viabila este si viabila?
Q: orice retea pseudo-viabila este si fara blocaje?
Q: orice retea viabila este si reversibila ?
Retele Petri si Aplicatii – p. 40/45
Exemple
Q: orice retea pseudo-viabila este si viabila?
Q: orice retea pseudo-viabila este si fara blocaje?
Q: orice retea viabila este si reversibila ?
p1 p2
p3
p4
t1 t2
Retele Petri si Aplicatii – p. 40/45
Exemple
Q: orice retea pseudo-viabila este si viabila?
Q: orice retea pseudo-viabila este si fara blocaje?
Q: orice retea viabila este si reversibila ?
p1 p2
p3
p4
t1 t2
Retele Petri si Aplicatii – p. 40/45
Exemple
Q: orice retea pseudo-viabila este si viabila?
Q: orice retea pseudo-viabila este si fara blocaje?
Q: orice retea viabila este si reversibila ?
p1 p2
p3
p4
t1 t2
Retea pesudo-viabila (toate tranzitiile pseudo-viabile).Reteaua are blocaje (marcarea (0, 0, 1, 1) este moarta).Reteaua nu este viabila!
Retele Petri si Aplicatii – p. 40/45
Exemple
Retea viabila, care nu este reversibila:
p1
t1
p2
t2 p3 t3 p4
(1, 0, 0, 0)[t2〉(0, 1, 1, 0)[t1〉(1, 0, 1, 0)[t3〉(1, 0, 0, 1).Marcarea initiala (1, 0, 0, 0) nu este accesibila din (1, 0, 0, 1).
Retele Petri si Aplicatii – p. 41/45
Exemple
Q: Exista o relatie între proprietatea de marginire si cea deviabilitate?
Retele Petri si Aplicatii – p. 42/45
Exemple
Q: Exista o relatie între proprietatea de marginire si cea deviabilitate?
p1 t1
p2t2
Retele Petri si Aplicatii – p. 42/45
Exemple
Q: Exista o relatie între proprietatea de marginire si cea deviabilitate?
p1 t1
p2t2
(1, 0)[t1〉[t2〉(0, 1)[t1〉[t2〉(0, 1)...
Retea marginita si este viabila
Retele Petri si Aplicatii – p. 42/45
Exemple
Q: Exista o relatie între proprietatea de marginire si cea deviabilitate?
p1 t1
p2t2
(1, 0)[t1〉[t2〉(0, 1)[t1〉[t2〉(0, 1)...
Retea marginita si este viabila
p1
p2t1
p3
t2
Retele Petri si Aplicatii – p. 42/45
Exemple
Q: Exista o relatie între proprietatea de marginire si cea deviabilitate?
p1 t1
p2t2
(1, 0)[t1〉[t2〉(0, 1)[t1〉[t2〉(0, 1)...
Retea marginita si este viabila
p1
p2t1
p3
t2Retea nemarginita, este viabila
Retele Petri si Aplicatii – p. 42/45
Exemple
Q: Exista o relatie între proprietatea de marginire si cea deviabilitate?
p1 t1
p2t2
(1, 0)[t1〉[t2〉(0, 1)[t1〉[t2〉(0, 1)...
Retea marginita si este viabila
p1
p2t1
p3
t2Retea nemarginita, este viabila
Retele Petri si Aplicatii – p. 42/45
Exemple
t1
t2
p2 t3 t4
p3
p5
t5 p4p1
Retele Petri si Aplicatii – p. 43/45
Exemple
t1
t2
p2 t3 t4
p3
p5
t5 p4p1
Retele Petri si Aplicatii – p. 43/45
Exemple
t1
t2
p2 t3 t4
p3
p5
t5 p4p1
Retele Petri si Aplicatii – p. 43/45
Exemple
t1
t2
p2 t3 t4
p3
p5
t5 p4p1
Retele Petri si Aplicatii – p. 43/45
Exemple
t1
t2
p2 t3 t4
p3
p5
t5 p4p1
Retele Petri si Aplicatii – p. 43/45
Exemple
t1
t2
p2 t3 t4
p3
p5
t5 p4p1
Retele Petri si Aplicatii – p. 43/45
Exemple
t1
t2
p2 t3 t4
p3
p5
t5 p4p1
Retea nemarginita (locatia p4), neviabila (M = (0, 0, 0, 2, 1) si t1)
Retele Petri si Aplicatii – p. 43/45
Exemple
t1
t2
p2 t3 t4
p3
p5
t5 p4p1
Retea nemarginita (locatia p4), neviabila (M = (0, 0, 0, 2, 1) si t1)
Retele Petri si Aplicatii – p. 43/45
Marginire si viabilitate
Teorema 1 Orice retea conexa (fara elemente izolate) marginitasi viabila este tare conexa.
Retele Petri si Aplicatii – p. 44/45
Marginire si viabilitate
Teorema 1 Orice retea conexa (fara elemente izolate) marginitasi viabila este tare conexa.
Demonstratie: Se arata ca pentru orice (x, y) ∈ F , exista un drum de la y la x.
Caz 1: x ∈ P, y ∈ T .Fie V = {t ∈ T |exista drum de la y la t} (y ∈ V )U = {t ∈ T |nu exista drum de la y la t}
V • ∩ • U = ∅.
x y
VU
Retele Petri si Aplicatii – p. 44/45
Marginire si viabilitate
Teorema 1 Orice retea conexa (fara elemente izolate) marginitasi viabila este tare conexa.
Demonstratie: Se arata ca pentru orice (x, y) ∈ F , exista un drum de la y la x.
Caz 1: x ∈ P, y ∈ T .Fie V = {t ∈ T |exista drum de la y la t} (y ∈ V )U = {t ∈ T |nu exista drum de la y la t}
V • ∩ • U = ∅.
x y
VU
Retele Petri si Aplicatii – p. 44/45
Marginire si viabilitate
Teorema 1 Orice retea conexa (fara elemente izolate) marginitasi viabila este tare conexa.
Demonstratie: Se arata ca pentru orice (x, y) ∈ F , exista un drum de la y la x.
Caz 1: x ∈ P, y ∈ T .Fie V = {t ∈ T |exista drum de la y la t} (y ∈ V )U = {t ∈ T |nu exista drum de la y la t}
V • ∩ • U = ∅.
x y
VU
t
Retele Petri si Aplicatii – p. 44/45
ExempleReteaua nu este tare conexa ⇒ nu este viabila sau marginita:
p1
t1
t2
t3
p2
Reciproca teoremei nu este adevarata: reteaua este tare conexa, dar nu este viabila.
p1
t2
t3
p2
2
Retele Petri si Aplicatii – p. 45/45