Métodos Matemáticos

Devolver em 01/09/2015

1. Mostre que se λ~v = ~0, então λ = 0 ou ~v = ~0.

2. Prove que o conjunto gerado por uma coleção de vetores é um subspaçovetorial.

3. Mostre que a norma euclidiana possui as seguintes propriedades

(a) ||~v|| ≥ 0∀~v ∈ E;

(b) ||~v|| = 0⇔ ~v = ~0

(c) ||a~v|| = |a| ||~v||,∀ ~v ∈ E,∀ a ∈ <

4. Lei do Paralelograma. Mostre que para todo ~u,~v ∈ E

||~u+ ~v||2 + ||~u− ~v||2 = 2(||~u||2 + ||~v||2)

5. Mostre que qualquer sistema ortogonal E é linearmente independente.

6. Processo de ortonormalização Gram-Schmidt. Seja G = {~u1, · · · , ~uk}uma coleção de vetores linearmente independentes. Seja, também,O = {~v1, · · · , ~vk} uma nova coleção de vetores de�nidos recursivamentepor

~v1 = ~u1

~vj = ~uj −j−1∑i=1

~vi(~vi, ~uj)

||~vi||2, 2 ≤ j ≤ k,

e seja ainda a coleção B = {e1, · · · , ek} de�nida por

ei =~vi||~vi||

.

Mostre que: a) O é um sistema ortogonal e b) B é um sistema ortonor-mal.

7. Teorema de Pitagoras. Mostre que se ~u⊥~v, então

||~u+ ~v||2 = ||~u||2 + ||~v||2.

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8. Seja B = {e1, · · · , en} uma base ortogonal em E. Mostre que paraqualquer vetor ~v ∈ E

~v =n∑

i=1

ei(ei, ~v)

e

||~v||2 =n∑

i=1

(ei, ~v)2.

9. Mostre que a intersecção de subconjuntos ortogonais de um espaçoeuclidiano ou é vazio ou consiste apenas do vetor nulo. Isto é, paradois subconjuntos A e B, se A⊥B, então A ∩B = ~0 or ∅.

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