Embed Size (px)
DESCRIPTION
Furijeove transformacije
Citation preview
① Funkciju f(x)= { ( )
[ ] razviti u red po:
a) Po sinusima
b) Po cosinusima
Rešenje:
a) Da bi ovu funkciju razvili po sinusima, moramo je dodefinisati do neparne funkcije.
F(x)= { [ ]
( )
[ ]
Sada dodefinisana funkcija izgleda kao na slici:
Sada su a
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
∫
∫ ( )
Napomena :
=1,2,3,...
∫
(
)
(
)
(
)
∫
-x
∫
U= x
dv =
v=
∫ ( )
(
)
(
) (
)
(
)
∫( )
∫
∫
(
)
Dakle posle dugog računanja dobili smo da je
Sada razmotrimo vrednosti funkcije
za
različite vrednosti n=1,2,...
Za n = 1
=
Za n = 2
=
Za n = 3
=
Za n = 4
=
Za n = 5
=
Za n = 6
= Na osnovu ovoga možemo zaključiti {
( )
( )
K = 0,1,2,3...
Sada je : f(x) =
∑
( )
( )
( )
( ]
F(x) =
∑
( )
( )
( )
[ ]
b) Za razvoj po kosinusima moramo dodefinisati funkciju do parne na slededi način:
F(x)= { [ ]
| | ( )
[ ]
Sada je a izračunavamo
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( ) ∫ ( )
∫
∫( )
| |
|
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
+∫ ( )
(
)
+ (
)
=(
) (
) + (
)
(
) (
)
( )
( )
∫
∫
u = x
du = dx
dv=cos
∫
∫
smena:
∫( )cos
∫
∫
=
Za n=1 cos
0
Za n=2 cos
Za n=3 cos
0
Za n=4 cos
Za n=5 cos
Za n=6 cos
Na osnovu ovoga ako je n neparan broj n=2k+1 tada je
Razmotrimo sada dva slučaja kada je n paran broj i to n = 4k ili n = 4k+2 za k=0,1,2,3,...
n = 4k
( )
( )
( ) ( )
( )
Napomena: cos2k
n = 4k+2
( )
( )
( )
( ) ( ( ) )
Kako je ( )
( )
( )
Posle dugog i napornog rada dolazimo do sledećeg rešenja:
f(x) =
∑
( )
( ) ( ]
F(x) =
∑
( )
( ) [ ]
