Primera Clase Teórica Primera Clase Teórica Programación LinealProgramación Lineal

Modelos de DecisiónModelos de Decisión

1.1. Empíricos No optimizadoresEmpíricos No optimizadores (Presupuesto Total): por simulación en (Presupuesto Total): por simulación en

un ejercicio productivo, se exploran un ejercicio productivo, se exploran alternativas, se seleccionan, se establece alternativas, se seleccionan, se establece “a priori” uno o varios plan/es de “a priori” uno o varios plan/es de producción producción meta ó estabilizado ó meta ó estabilizado ó mejoradomejorado de acuerdo a los objetivos y de acuerdo a los objetivos y recursos, seleccionando el mejor posible.recursos, seleccionando el mejor posible.

1.1. OptimizadoresOptimizadores (Programación lineal):(Programación lineal): Se obtiene un plan Se obtiene un plan

óptimo mediante un proceso que óptimo mediante un proceso que selecciona la combinación de actividades. selecciona la combinación de actividades.

PLAN OPTIMOPLAN OPTIMO de Producciónde Producción

Método que permite obtener:Método que permite obtener:

Máx. valor = M.B.Máx. valor = M.B.

Min. Valor = CostoMin. Valor = CostoOBJETIVOOBJETIVO

ACTIVIDADESACTIVIDADES posiblesposibles

RESTRICCIONESRESTRICCIONES limitan expansión actividadeslimitan expansión actividades

Optimizar uso Optimizar uso RecursosRecursos

Alternativas Alternativas PosiblesPosibles

MAXIMIZAR EL RESULTADOMAXIMIZAR EL RESULTADO

Se busca:Se busca:

Contribución Contribución económica: económica:

resultadoresultadoLimitantesLimitantes

Se expresaSe expresa

Se respetanSe respetan

CompitenCompiten

ACTIVIDADES: P1 P2 Pj ACTIVIDADES: P1 P2 Pj Pn Pn

C1 C2 Cj C1 C2 Cj Cn Cn

b1b1

b2b2

bibi

bnbn

ContribuciónContribuciónObjetivoObjetivo

RESTRICCIONERESTRICCIONESS aijaij

Matriz Coeficientes Matriz Coeficientes TécnicosTécnicos

Planteo de un problema de optimizaciónPlanteo de un problema de optimización

ActividadesActividadesGanaderaGanadera

(x1)(x1)AgrícolasAgrícolas

(x2)(x2)

RecursosRecursosUnidade

s HectáreaHectárea HectáreaHectáreaRestriccióRestricció

nn

Tierra Tierra (t)(t) Hectárea 11 11 500500

Max. Cabezas Max. Cabezas (h)(h) Cabezas 1,21,2 00 450450

Cap. Circulante Cap. Circulante (c)(c) Pesos 3030 5050 20.00020.000

Uso tractor Uso tractor (u)(u) Horas 11 22 1.0001.000

Cap. Silo Cap. Silo (s)(s)

Quintales 00 2020 6.0006.000

Margen BrutoMargen Bruto PesosPesos 5050 150150

DisponibilidadDisponibilidad

Compiten por Compiten por los recursoslos recursos

Genera un Genera un resultadoresultado

Pj =Pj = Actividades Actividades

Cj =Cj = Contrib. económica Contrib. económica actividadactividadxj =xj = Dimensión actividad Dimensión actividad

Z =Z = Función Objetivo Función Objetivo

Linealidad:Linealidad: Las relaciones Insumo/Producto Las relaciones Insumo/Producto (Coeficientes técnicos) son fijos y constantes, y no (Coeficientes técnicos) son fijos y constantes, y no dependerían de la dimensión (escala) de la actividad. dependerían de la dimensión (escala) de la actividad. 

Aditividad:Aditividad: Los efectos de las actividades se suman en Los efectos de las actividades se suman en forma algebraica, lo que implicaría que no hay forma algebraica, lo que implicaría que no hay complementariedad sino competencia entre actividades complementariedad sino competencia entre actividades 

No negatividadNo negatividad de actividades. Un requisito obvio pero de actividades. Un requisito obvio pero no redundante desde el punto de vista matemático. no redundante desde el punto de vista matemático. 

Límites:Límites: Toda variable debe estar limitada en forma Toda variable debe estar limitada en forma explícita o implícita. explícita o implícita. 

Continuidad:Continuidad: Las relaciones son continuas. Las variables Las relaciones son continuas. Las variables (x(x11,x,x22...x...xnn) (magnitudes de cada actividad o rubro ) (magnitudes de cada actividad o rubro productivo) y los recursos pueden tener valores productivo) y los recursos pueden tener valores continuos, es decir no solo enteros sino también continuos, es decir no solo enteros sino también fraccionarios. fraccionarios. 

Certeza de datos:Certeza de datos: Los datos empleados son ciertos y se Los datos empleados son ciertos y se les asigna seguridad de ocurrencia. les asigna seguridad de ocurrencia.

Supuestos del ModeloSupuestos del Modelo

Planteo de un problema de optimizaciónPlanteo de un problema de optimización

ActividadesActividadesGanaderaGanadera

(x1)(x1)AgrícolasAgrícolas

(x2)(x2)

RecursosRecursosUnidade

s HectáreaHectárea HectáreaHectáreaRestriccióRestricció

nn

Tierra Tierra (t)(t) Hectárea 11 11 500500

Max. Cabezas Max. Cabezas (h)(h) Cabezas 1,21,2 00 450450

Cap. Circulante Cap. Circulante (c)(c) Pesos 3030 5050 20.00020.000

Uso tractor Uso tractor (u)(u) Horas 11 22 1.0001.000

Cap. Silo Cap. Silo (s)(s)

Quintales 00 2020 6.0006.000

Margen BrutoMargen Bruto PesosPesos 5050 150150

DisponibilidadDisponibilidadCompiten por Compiten por los recursoslos recursos

Genera un Genera un resultadoresultado

Pj =Pj = Actividades Actividades

Cj =Cj = Contrib. económica Contrib. económica actividadactividadxj =xj = Dimensión actividad Dimensión actividad

Z =Z = Función Objetivo Función Objetivo

Si hay solo dos actividades, Si hay solo dos actividades, se puede resolver gráficamentese puede resolver gráficamente

00

100100

200200

300300

400400

500500

00 100100 200200 300300 375375 500500 600600 700700 800800 900900 10001000

Max. CabezasMax. CabezasTierraTierraCap. CirculanteCap. CirculanteUso tractorUso tractorCap. SiloCap. Silo

AA BB

CC

DD

EE

Área de Área de FactibilidadFactibilidad

Cada punto Cada punto extremo: extremo:

Solución FactibleSolución Factible

Las coordenadas en los vértices del área de Las coordenadas en los vértices del área de factibilidad son las dimensiones de xfactibilidad son las dimensiones de x1 y 1 y x x22 en cada en cada

combinacióncombinación

A)A) es el punto donde es el punto donde XX22= 300= 300 y X y X11 = 0 = 0

BB) es el punto donde s = c ) es el punto donde s = c

para el segmento s para el segmento s 0 + 20X 0 + 20X11 = 6000 = 6000 XX22= 300= 300

para el segmento cpara el segmento c 30 X30 X11 + 50 X + 50 X22 = 20.000 = 20.000

30 X30 X11 + 50 * 300 = 20.000 + 50 * 300 = 20.000

XX11 = 166,67 = 166,67  

C)C) es el punto donde c = t es el punto donde c = t

1 X1 X11 + 1 X + 1 X22 < < 500 X500 X22 = 500 - X = 500 - X11

Para el cPara el c 30 X30 X11 + 50 (500 - X + 50 (500 - X11) = 20.000) = 20.000

25.000 (30 - 50)X25.000 (30 - 50)X11 = 20.000 = 20.000

XX11 = 250 = 250 y y XX22 = 250 = 250

D)D) es el punto donde h = t es el punto donde h = t

parapara tt XX11 + X + X22 = 500 X = 500 X22 = 500 - X = 500 - X11

parapara h h 1,2 X1,2 X11 + 0 X + 0 X22 = 450 = 450

XX11 = 450/1,2 = 375 es decir = 450/1,2 = 375 es decir XX11 = 375 = 375 y y XX22 = 125 = 125

  

E)E) es el punto donde X es el punto donde X22 = 0 = 0 XX11 = =450/1,2450/1,2 XX11 = 375 = 375

El punto de optimización (responder la El punto de optimización (responder la pregunta qué producir y cuánto de cada pregunta qué producir y cuánto de cada actividad, ganadería y agricultura) se actividad, ganadería y agricultura) se encuentra en el punto encuentra en el punto BB donde donde

xx1 1 = 166.67 has y = 166.67 has y XX2 2 = 300 has = 300 has y su MB total = y su MB total = 166,67 has * 50 $/ha + 300 has * 150 $/ha =166,67 has * 50 $/ha + 300 has * 150 $/ha =

= = $ 53.333,50$ 53.333,50

De esta solución concluimos que el óptimo De esta solución concluimos que el óptimo económicoeconómico no necesariamente implica el uso no necesariamente implica el uso absoluto de todos los recursos; en este caso absoluto de todos los recursos; en este caso sobraría sobraría tierratierra porque el recurso porque el recurso capacidad del capacidad del silosilo ha sido más limitante para la expansión de ha sido más limitante para la expansión de la actividad agrícolala actividad agrícola

Resolución matemática: es imprescindible Resolución matemática: es imprescindible cuando hay más de dos variables (actividades)cuando hay más de dos variables (actividades)

1.1. Se establece un sistema de inecuacionesSe establece un sistema de inecuaciones

2.2. Que debe ser compatible y determinadoQue debe ser compatible y determinado– Se agregan actividades de disponibilidad Se agregan actividades de disponibilidad

(pasando las restricciones como variables) (pasando las restricciones como variables) que utilizan los recursos sobrantes. que utilizan los recursos sobrantes.

– Se resuelve con submatrices cuadradas Se resuelve con submatrices cuadradas con igual cantidad de variables que de con igual cantidad de variables que de ecuaciones. Cada una es una solución ecuaciones. Cada una es una solución básica factiblebásica factible

1.1. Se establece un sistema de inecuacionesSe establece un sistema de inecuaciones

2.2. Que debe ser compatible y determinadoQue debe ser compatible y determinado– Se agregan actividades de disponibilidad Se agregan actividades de disponibilidad

(pasando las restricciones como variables) (pasando las restricciones como variables) que utilizan los recursos sobrantes. que utilizan los recursos sobrantes.

– Se resuelve con submatrices cuadradas Se resuelve con submatrices cuadradas con igual cantidad de variables que de con igual cantidad de variables que de ecuaciones. Cada una es una solución ecuaciones. Cada una es una solución básica factiblebásica factible

sujeto a:

Max Min Zj

j

n

jc x/

1

a x bij jj

n

i 1

y x j 0

donde:donde:ccjj: : aporte a la función objetivo de Ajaporte a la función objetivo de Aj AAjj: : actividades posibles, con j = 1,2...nactividades posibles, con j = 1,2...nxxjj: : dimensión de la A jdimensión de la A jbbii: : cantidad del recurso i disponible cantidad del recurso i disponible aaijij: : cantidad del recurso i aportado/requerido por A jcantidad del recurso i aportado/requerido por A j

Planteo MatemáticoPlanteo Matemático

Segunda Clase Teórica Segunda Clase Teórica Programación LinealProgramación Lineal

ACTIVIDADES: P1 P2 Pj ACTIVIDADES: P1 P2 Pj Pn Pn

C1 C2 Cj C1 C2 Cj Cn Cn

b1b1

b2b2

bibi

bnbn

ContribuciónContribuciónObjetivoObjetivo

RESTRICCIONERESTRICCIONESS aijaij

Matriz Coeficientes Matriz Coeficientes TécnicosTécnicos

ACTIVIDADES: P1 P2 ACTIVIDADES: P1 P2 Pj Pj Pn PnCualquier Proceso que se pueda desarrollar en la empresaCualquier Proceso que se pueda desarrollar en la empresa

ContribuciónContribución económicaeconómica

al menos unaal menos unarestricciónrestricción

yy

Actividades TerminalesAportan un producto para la ventaAportan un producto para la venta

Proceso productivoProceso productivocompletocompleto

- Trigo- Trigo

Proceso final de unProceso final de unproceso completoproceso completo

- Invernada- Invernadade un C.C.de un C.C.- Vta. trigo- Vta. trigo

Actividades IntermediasAportan un recurso a otra actividadAportan un recurso a otra actividad

De un procesoDe un procesoproductivo a otroproductivo a otro

(Final ó Intermedio)(Final ó Intermedio)

- Producción- Producciónde forrajede forraje

- Producción- Producciónde ternerosde terneros

- Venta de productos Venta de productos - RotaciónRotación- Un cultivoUn cultivo

- Compra de un insumo Compra de un insumo - Costo de un cultivoCosto de un cultivo- Producción de alimentosProducción de alimentos

ACTIVIDADES: P1 P2 ACTIVIDADES: P1 P2 PjPj Pn Pn

Actividades Actividades agregadasagregadas

Actividades Actividades desagregadasdesagregadas

FORMULACIÓNFORMULACIÓN

MODELOSMODELOSAGREGADOSAGREGADOS

MODELOSMODELOSDESAGREGADOSDESAGREGADOS

- Proveerse de un insumo de diferentes formasProveerse de un insumo de diferentes formas- Diferentes destino de un mismo recurso ó insumoDiferentes destino de un mismo recurso ó insumo

Facilita la modificación de datos yFacilita la modificación de datos yreduce la cantidad de cálculosreduce la cantidad de cálculos

ACTIVIDADES: P1 P2 ACTIVIDADES: P1 P2 PjPj Pn Pn

C1 C2 C1 C2 Cj Cj Cn Cn

ContribuciónContribuciónObjetivoObjetivo

Positiva (+)Positiva (+)- Margen Bruto Completo- Margen Bruto Completo- Margen Bruto Incompleto- Margen Bruto Incompleto- Ingreso Bruto (Venta Neta)- Ingreso Bruto (Venta Neta)

Negativa (-)Negativa (-)- Costo Directo Completo- Costo Directo Completo- Costo Directo Incompleto- Costo Directo Incompleto- Precio de Compra- Precio de Compra- Amortización- Amortización

Cero (0)Cero (0) - No origina Costo ni Ingreso- No origina Costo ni Ingreso

ACTIVIDADES: P1 P2 ACTIVIDADES: P1 P2 PjPj Pn Pn

C1 C2 C1 C2 CjCj Cn Cn

b1b1

b2b2

bibi

bnbn

ContribuciónContribuciónEconómicaEconómica

RESTRICCIONESRESTRICCIONESMedio en el cual se desarrolla Medio en el cual se desarrolla

la producciónla producción(Condición que se debe (Condición que se debe

respetar)respetar)

-Disponibilidad inicial de Disponibilidad inicial de recursosrecursos

- Recursos aportados por Recursos aportados por actividades intermediasactividades intermedias

-Gustos del productorGustos del productor

Expresión de la restricciónExpresión de la restricción

De máxima De máxima ≤ ≤ bibi

De mínima De mínima ≥ ≥ bibi

De igual De igual = = bibi

ACTIVIDADES: P1 P2 ACTIVIDADES: P1 P2 Pj Pj Pn Pn

C1 C2 C1 C2 CjCj Cn Cn

b1b1

b2b2

bibi

bnbn

ContribuciónContribuciónEconómicaEconómica

RESTRICCIONERESTRICCIONESS

aijaij

Relación entre actividades y recursosRelación entre actividades y recursosRelación Insumo/Producto

Matriz: Coeficientes TécnicosMatriz: Coeficientes Técnicos

De máxima De máxima ≤ bi De mínima De mínima ≥ bi De igual De igual = bi

Signo (+) Signo (+) =REQUIERE=REQUIERESigno (-) = APORTASigno (-) = APORTA

Act.Act. Tri s/Tri s/MzMz MzMz PPPP CNCN CríaCría Vta.Vta.

TernTern

RecríRecríaa

TernTern

InvInvNovNov

RHSRHSC. Ec.

+ + - 0 - + + +

RESTRICCIONESRESTRICCIONES Unid. Ha Ha Ha Ha Cab Cab Cab Cab

Suelo AgrícolaSuelo Agrícola Ha 11 11 11                ≤ ≤ 300300

Suelo GanaderoSuelo Ganadero Ha          11             ≤ ≤ 150150

Transf. ForrajeTransf. Forraje Ev       -1,8-1,8 -0,8-0,8 11    0,80,8 1,21,2 ≤ ≤ 00

Transf. CabezasTransf. Cabezas Cab             -0,85-0,85 11 11 11 ≤ ≤ 00

  11   -1-1                   ≤ ≤ 00Transf. TierraTransf. Tierra Ha

La solución de un planteo de PL La solución de un planteo de PL Ofrece:Ofrece:

El valor óptimo de la El valor óptimo de la Función ObjetivoFunción Objetivo (por lo general el (por lo general el Max MB global). Max MB global).

Las Las actividadesactividades que han sido seleccionadas, con su que han sido seleccionadas, con su magnitudes. 23 ha trigo, 40 ha girasol, 120 vacunos de magnitudes. 23 ha trigo, 40 ha girasol, 120 vacunos de cría, 45 ha pastura perenne, etc. Que dan lugar al MB cría, 45 ha pastura perenne, etc. Que dan lugar al MB óptimo óptimo

El El costo de sustitucióncosto de sustitución de las de las actividadesactividades no no seleccionadas seleccionadas

El El costo de oportunidadcosto de oportunidad de los de los recursos recursos queque impusieron impusieron límites a la expansión de las actividades. (limitantes)límites a la expansión de las actividades. (limitantes)

Los Los rangos dentro de los cuales la solución rangos dentro de los cuales la solución no variaría no variaría

Resultados adicionales Resultados adicionales RecursosRecursos

Costo de oportunidadCosto de oportunidad:: cuanto cuanto

aumentaría la aumentaría la Función ObjetivoFunción Objetivo con un con un

incremento unitario de un recurso incremento unitario de un recurso (bi)(bi)

totalmente utilizado.totalmente utilizado.

Rango de validezRango de validez de los costos de de los costos de

oportunidad indica los límites dentro de oportunidad indica los límites dentro de

los cuales no cambia su valor.los cuales no cambia su valor.

Resultados adicionales Actividades

Costo de SustituciónCosto de Sustitución:: de las actividades no de las actividades no seleccionadas seleccionadas

Rango:Rango: limites del valor de la Contribución limites del valor de la Contribución Económica (Cj) sin que se modifique el Económica (Cj) sin que se modifique el planplan

MB + CSMB + CS = rango superior de actividad no = rango superior de actividad no seleccionadaseleccionada

Resultados de la soluciónResultados de la soluciónValor total de la Función Objetivo

Plan: Actividades seleccionadas y su

magnitud

Recursos o insumos: cantidades sobrantes (y

carácter obligatorio u optativo).

Resultados Adicionales

De las actividades

De los recursos

Son los elementos fundamentales del

análisis de la estabilidad de la solución

Análisis sensibilidad posterior: Análisis sensibilidad posterior: Parametrización Parametrización

Cambio de Cambio de un solo valor a la vezun solo valor a la vez: en la matriz, ya : en la matriz, ya sea ensea en contribución económica actividadescontribución económica actividades, en la , en la disponibilidad de losdisponibilidad de los recursos limitantesrecursos limitantes o en los o en los coeficientes técnicoscoeficientes técnicos..

Para realizar este análisis tiene gran utilidadPara realizar este análisis tiene gran utilidad

• En la matriz, tener En la matriz, tener desagregadas desagregadas las actividadeslas actividades

• En los resultados, observar losEn los resultados, observar los C. SustituciónC. Sustitución de de las Actividadeslas Actividades y dey de C. OportunidadC. Oportunidad de los de los recursosrecursos