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Cátedra: Probabilidad y Estadística http://web.frm.utn.edu.ar/estadistica
EI-2
1.
Apellido y Nombres: Fecha:
Carrera: Calificación 1ª Parte:
Legajo: Calificación 2ª Parte:
DNI: Calificación Definitiva:
¡Atención! Para aprobar el examen se debe alcanzar una calificación de por lo menos cuatro puntos en cada una de las partes del examen. Si ambas partes resultan aprobadas, la calificación definitiva se obtendrá haciendo el promedio aritmético de las calificaciones de cada una de las partes.
Primera Parte
Responder verdadero (V) o falso (F) según corresponda
Para responder la Primera Parte NO se permite consultar ni tabla de fórmulas ni tablas estadísticas. 1. ____ La probabilidad de que una variable aleatoria que sigue una distribución gamma, de parámetros α =
3 y β = 5, asuma valores menores que el primer cuartil es igual a la probabilidad de que dicha variable asuma valores mayores que el percentil setenta y cinco.
2. ____ Para aplicar el teorema de Chebychev es condición necesaria que la variable en estudio esté distribuida normalmente.
3. ____ Para encontrar la probabilidad de que una persona que lanza una moneda legal obtenga la tercera cara en el cuarto lanzamiento, corresponde aplicar el modelo geométrico.
4. ____ Si X ~ binomial (x; n = 4, p = 0,05), la P(X ≤ 1) se la puede obtener, de un modo aproximado, como la P(Z ≤ 2,982).
5. ____ La probabilidad de que una persona muera cuando contrae cierta infección respiratoria es 0,002. Para calcular la probabilidad de que mueran al menos diez de los próximos 2000 infectados con este tipo de enfermedad, el número de infectados que mueren (en la muestra) sigue una distribución hipergeométrica.
6. ____ El parámetro de la distribución de geométrica puede asumir valores menores que cero. 7. ____ El ingeniero a cargo del control de calidad utiliza el criterio de seleccionar una muestra de 3 piezas
de cada lote de 20 para someterlas a un ensayo que es destructivo. Si no hay piezas defectuosas en la muestra aprueba el envío; caso contrario lo devuelve. El número de piezas defectuosas en la muestra sigue una distribución binomial.
8. ____ Es posible que al representar un conjunto de datos mediante un gráfico de caja la media caiga fuera de la caja.
9. ____ Dados dos eventos A y B definidos en el mismo espacio muestral, si P(A|B) = 4/5y P(A’) = 1/5 entonces los eventos A y B son independientes.
10. ____ Si una variable aleatoria continua X sigue una distribución uniforme en el intervalo [10; 50] la probabilidad de que se presenten datos apartados es nula.
11. ____ La curva de la función de distribución acumulada de una variable aleatoria normal, es simétrica respecto de un eje vertical que pasa por el valor de la media de dicha variable.
12. ____ Tanto en el caso de variables aleatorias discretas como continuas, la probabilidad de que la variable aleatoria X asuma el particular valor x, está dado por el valor de f(x).
13. ____ Si F(3) = 0,2 es la función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta X para el particular valor 3, se debe interpretar que la probabilidad de que la variable aleatoria X asuma valores iguales o menores a 3 es igual o menor a 0,2.
14. ____ La mediana de una variable aleatoria continua cualquiera X, se obtiene a partir de la función de distribución acumulada de dicha variable correspondiente al particular valor de x = 0,5.
15. ____ El valor esperado de la variable Y = 2X + 2 es cuatro veces mayor que el valor esperado de la variable aleatoria X.
16. ____ Si se define a la variable aleatoria X como la cantidad de lanzamientos que se deben hacer con un dado legal hasta que salga el tres, el E(X) = 6.
17. ____ La variable aleatoria de Poisson puede asumir valores menores que cero, sólo cuando su parámetro sea menor que la unidad.
18. ____ Es posible verificar que la distribución exponencial, que es un caso particular de la distribución gamma, tiende a la simetría a medida que el valor del parámetro aumenta.
Consignas
En la lista de arriba hay 18 afirmaciones que usted debe aceptar o rechazar colocando (V) o (F), respectivamente, a la derecha de la numeración correspondiente. La afirmación debe aceptarse o rechazarse en su totalidad. Para aprobar la evaluación debe responder correctamente por lo menos 12 afirmaciones. No es obligatorio justificar la respuesta; si tiene dudas de interpretación puede justificar su respuesta y se tomará como válida la justificación. La calificación de se obtendrá de acuerdo al siguiente cuadro:
Situación: No Aprobada Aprobada Respuestas correctas: 0–6 7–10 11 12 13 14 15 16 17 18
Calificación: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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2.
Segunda Parte
Definir eventos/variables, según corresponda. Identificar, cuando corresponda, la distribución de probabilidad de la variable y sus parámetros Plantear la solución del problema utilizando el lenguaje simbólico apropiado. Realizar los cálculos necesarios para arribar a la solución del problema. Interpretar la solución encontrada para responder la consigna en el contexto del problema.
Escala de calificación Puntos entre 0 20 40 55 61 68 75 82 89 96 19 39 54 60 67 74 81 88 95 100 Calificación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 No aprobada Aprobada 1. 100 p
El Ing. Nicolás Falasca es el gerente de planta de VIÑEDOS S.A. En la última semana, la empresa para la que trabaja, adquirió una máquina embotelladora de última generación y él ha estado ocupado en la calibración de la misma. Ha logrado que el volumen medio despachado por la máquina sea de 780 mililitros, con una desviación estándar de 4 mililitros. Su investigación revela, también, que el volumen despachado por la máquina está distribuido normalmente.
a) Las especificaciones establecen que la máquina debe estar calibrada de modo tal que el volumen despachado se encuentre comprendido entre 768 y 792 mililitros. Si se selecciona una muestra aleatoria de 36 botellas despachadas por la máquina para su control, ¿cuál es la probabilidad de encontrar, en la muestra, al menos una botella que no cumpla las especificaciones? ...................................................................................... (45p)
b) VIÑEDOS S.A. tiene la oportunidad de exportar sus productos. El embarque se realiza en lotes de 40 botellas y el procedimiento de muestreo de su cliente, en el exterior, prevé seleccionar una muestra aleatoria de cinco botellas, someterlas a seis ensayos de distinto tipo y aceptar el lote si se aprueban todos los ensayos. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo lote enviado se acepte, si se sabe que sólo el 97,5% de las veces el producto pasa las seis pruebas? ................................................................................ (30p)
c) En el procedimiento de muestreo del ítem b), ¿cuál es la probabilidad de que recién la última botella, de la muestra aleatoria seleccionada, sea la que no apruebe todos los ensayos? ................................................................................................................... (25p)
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3.
Respuestas
Primera Parte 1V/2F/3F/4F/5F/6F/7F/8V/9V/10V/11F/12F/13F/14F/15F/16V/17F/18F Segunda Parte 1. a) Con binomial: 0,09273808 (exacto). Con Poisson: 0,09261883 (aprox.); e =+0,01% b) (0,875) c) (0,025)
EI-2: Evaluación Integradora Nº 2 – Fecha: 17/10/09 – TEMA 1 (2ª Parte) Tema 1 – Pág. 1
Tema 1 – Pág. 2
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1..
Apellido y Nombres: Fecha:
Carrera: Calificación 1ª Parte:
Legajo: Calificación 2ª Parte:
DNI: Calificación Definitiva:
¡Atención! Para aprobar el examen se debe alcanzar una calificación de por lo menos cuatro puntos en cada una de las partes del examen. Si ambas partes resultan aprobadas, la calificación definitiva se obtendrá haciendo el promedio aritmético de las calificaciones de cada una de las partes.
Primera Parte
Responder verdadero (V) o falso (F) según corresponda
Para responder la Primera Parte NO se permite consultar ni tabla de fórmulas ni tablas estadísticas. 1. ____ El parámetro de la distribución de geométrica no puede asumir valores menores que cero. 2. ____ Para aplicar el teorema de Chebychev es condición necesaria que la variable en estudio esté
distribuida normalmente. 3. ____ Para encontrar la probabilidad de que una persona que lanza una moneda legal obtenga la tercera
cara en el cuarto lanzamiento, corresponde aplicar el modelo geométrico. 4. ____ Si el valor esperado del resultado obtenido al lanzar un dado legal es 3,5 debe interpretarse que los
resultados que más se repiten son el 3 y el 4. 5. ____ La probabilidad de que una persona muera cuando contrae cierta infección respiratoria es 0,002.
Para calcular la probabilidad de que mueran al menos diez de los próximos 2000 infectados con este tipo de enfermedad, el número de infectados que mueren (en la muestra) sigue una distribución hipergeométrica.
6. ____ La probabilidad de que una variable aleatoria que sigue una distribución de Weibull, de parámetros α = 7 y β = 12, asuma valores menores que el percentil veinticinco es igual a la probabilidad de que dicha variable asuma valores mayores que el cuartil superior.
7. ____ El ingeniero a cargo del control de calidad utiliza el criterio de seleccionar una muestra de 3 piezas de cada lote de 20 para someterlas a un ensayo que es destructivo. Si no hay piezas defectuosas en la muestra aprueba el envío; caso contrario lo devuelve. El número de piezas defectuosas en la muestra sigue una distribución binomial.
8. ____ Es posible que al representar un conjunto de datos mediante un gráfico de caja la media caiga fuera de la caja.
9. ____ Dados dos eventos A y B definidos en el mismo espacio muestral, si P(A|B) = 4/5y P(A’) = 1/5 entonces los eventos A y B son independientes.
10. ____ Si una variable aleatoria continua X sigue una distribución uniforme en el intervalo [10; 50] la probabilidad de que se presenten datos apartados es mayor de 0,10.
11. ____ Tanto en el caso de variables aleatorias discretas como continuas, la probabilidad de que la variable aleatoria X asuma el particular valor x, está dado por el valor de f(x).
12. ____ Si F(3) = 0,2 es la función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta X para el particular valor 3, se debe interpretar que la probabilidad de que la variable aleatoria X asuma valores iguales o menores a 3 es igual o menor a 0,2.
13. ____ La curva de la función de distribución acumulada de una variable aleatoria normal, es simétrica respecto de un eje vertical que pasa por el valor de la media de dicha variable.
14. ____ La mediana de una variable aleatoria continua cualquiera X, se obtiene a partir de la función de distribución acumulada de dicha variable correspondiente al particular valor de x = 0,5.
15. ____ La varianza de la variable Y = 2X + 2 es cuatro veces mayor que la varianza de la variable aleatoria X.
16. ____ Si se define a la variable aleatoria X como la cantidad de lanzamientos que se deben hacer con un dado legal hasta que salga el seis, el E(X) = 6.
17. ____ La variable aleatoria de Poisson puede asumir valores menores que cero, sólo cuando su parámetro sea menor que la unidad.
18. ____ La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua X, f(x), puede asumir valore mayores que la unidad.
Consignas
En la lista de arriba hay 18 afirmaciones que usted debe aceptar o rechazar colocando (V) o (F), respectivamente, a la derecha de la numeración correspondiente. La afirmación debe aceptarse o rechazarse en su totalidad. Para aprobar la evaluación debe responder correctamente por lo menos 12 afirmaciones. No es obligatorio justificar la respuesta; si tiene dudas de interpretación puede justificar su respuesta y se tomará como válida la justificación. La calificación de se obtendrá de acuerdo al siguiente cuadro:
Situación: No Aprobada Aprobada Respuestas correctas: 0–6 7–10 11 12 13 14 15 16 17 18
Calificación: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Cátedra: Estadística Técnica http://web.frm.utn.edu.ar/estadistica
EI-2
2..
Segunda Parte
Definir eventos/variables, según corresponda. Identificar, cuando corresponda, la distribución de probabilidad de la variable y sus parámetros Plantear la solución del problema utilizando el lenguaje simbólico apropiado. Realizar los cálculos necesarios para arribar a la solución del problema. Interpretar la solución encontrada para responder la consigna en el contexto del problema.
Escala de calificación Puntos entre 0 20 40 55 61 68 75 82 89 96 19 39 54 60 67 74 81 88 95 100 Calificación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 No aprobada Aprobada 1. 100 p
El Ing. Nicolás Falasca es el gerente de planta de VIÑEDOS S.A. En la última semana, la empresa para la que trabaja, adquirió una máquina embotelladora de última generación y él ha estado ocupado en la calibración de la misma. Su objetivo es lograr que el volumen medio despachado por la máquina sea de 760 mililitros, con una desviación estándar que no supere los 5 mililitros y que el volumen despachado por la máquina esté distribuido normalmente. Si Nicolás lograra su objetivo y teniendo en cuenta que la etiqueta del producto envasado indica que el contenido neto de las botellas es 750 mililitros:
a) Determine la probabilidad de que, recién el cuarto cliente que compre una de tales botellas sea el primero que esté en condiciones de realizar una denuncia a Defensa al Consumidor ....................................................................................................................... (25p)
b) Determine la probabilidad de que ninguno, de los próximos 12 clientes que compren una de tales botellas, esté en condiciones de realizar una denuncia a Defensa al Consumidor. ............................................................................................................ (35p)
c) Calcule la probabilidad de que, de los próximos 260 clientes que compren una de tales botellas, menos de cuatro estén en condiciones de realizar una denuncia a Defensa al Consumidor. ........................................................................................................... (40p)
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Respuestas
Primera Parte 1V/2F/3F/4F/5F/6V/7F/8V/9V/10F/11F/12F/13F/14F/15V/16V/17F/18V Segunda Parte 1. a) (0,0212) b) (0,7587) c) (El valor exacto por binomial con Excel es 0,1558425. El valor aproximado por Normal es 0,15866; e = +1,81%. El valor aproximado por Poisson es 0,1589516; e = +2,00%)
EI-2: Evaluación Integradora Nº 2 – Fecha: 17/10/09 – TEMA 2 (2ª Parte) Tema 2 – Pág. 1
Tema 2 – Pág. 2
