PRIMJENA GRAFIČKE METODE U LINEARNOM PROGRAMIRANJU

Embed Size (px)

Citation preview

PRIMJENA GRAFIKE METODE U LINEARNOM PROGRAMIRANJU SEMINARSKI RAD

I

SADRAJSADRAJ.................................................................................................................................II ..................................................................................................................................................II UVOD.........................................................................................................................................1 1. STANDARDNI PROBLEM MINIMUMA.........................................................................2Formulacija zadatka...................................................................................................................2 Tabelarni prikaz zadatka...........................................................................................................2 Matematiki model problema....................................................................................................3 Rjeavanje modela elementarnom metodom.............................................................................3 1.5. Grafiki prikaz zadatka.......................................................................................................4 1.6. Interpretacija dobivenog rjeenja.......................................................................................6

2. STANDARDNI PROBLEM MAKSIMUMA.....................................................................72.1. Formulacija zadatka............................................................................................................7 2.2. Tabelarni prikaz zadatka.....................................................................................................7 2.3. Matematiki model problema..............................................................................................8 2.4. Rjeavanje modela elementarnom metodom......................................................................8 2.5. Grafiki prikaz zadatka.......................................................................................................9 2.6. Interpretacija dobivenog rjeenja.....................................................................................11

3. MODEL TRANSPORTA...................................................................................................123.1. Formulacija zadatka..........................................................................................................12 3.2. Tabelarni prikaz zadatka...................................................................................................12 3.3. Matematiki model problema............................................................................................12 3.4. Rjeavanje modela elementarnom metodom....................................................................14 3.5. Grafiki prikaz zadatka.....................................................................................................15 3.6. Interpretacija dobivenog rjeenja.....................................................................................17

ZAKLJUAK...........................................................................................................................18

II

UVODLinearno programiranje je najstarija i jedna od metoda operacijskih istraivanja koja se najee primjenjuje u praksi. Linearno programiranje je metoda kojom se odreuje optimalna vrijednost (minimum ili maksimum) funkcije cilja s odreenim brojem strukturnih varijabli x1, x2,,xn meusobno povezanih linearnim vezama, tj. ogranienjima u obliku linearnih jednadbi ili nejednadbi. Svrha i cilj ovog seminarskog rada je primijeniti grafiku metodu na standardni problem minimuma, maksimuma, te primijeniti grafiku metodu na problem transporta. Sve to potrebno je prikazati kroz pet temeljnih faza rjeavanja problema, te faze su sljedee: formulacija zadatka, tabelarni prikaz zadatka, matematiki model problema, rjeavanje modela elementarnom metodom, te interpretacija dobivenog rjeenja. Matematike metode koritene pri pisanju ovog seminarskog rada su sljedee: elementarna i grafika metoda. Seminarski rad sastoji se od tri poglavlja koji se odnose na primjenu grafike metode u linearnom programiranju. U prvom je poglavlju seminarskog rada kroz pet temeljnih faza rijeen je standardni problem minimuma. Drugo poglavlje obuhvaa standardni problem maksimuma, dok je u treem poglavlju rijeen transportni problem.

1

1. STANDARDNI PROBLEM MINIMUMA Formulacija zadatka1. Formulacija zadatka Dva prehrambena artikla mogu se kupiti na tritu. Ti artikli sadre 3 sastojka vana za ishranu ljudi, i to: jedna jedinica artikla A (prosjeno) sadri 3 jedinice ugljikohidrata, 1 jedinice vitamina, i 4 jedinica proteina; jedna jedinica artikla B (prosjeno) sadri 5 jedinicu ugljikohidrata, 4 jedinice vitamina, i 7 jedinica proteina. Jedinica artikla A na tritu kota 4 kune, a jedinica artikla B 6 kuna. Nabavkom odreene koliine artikala A i B traimo da u dnevnom obroku bude sadrano najmanje 8 jedinica ugljikohidrata, 7 jedinica vitamina i 11 jedinica proteina. Koju koliinu prehrambenih artikala A i B valja kupiti pa da, uz zahtjev za minimalnom koliinom potrebnih sastojaka, trokovi nabavke tih artikala budu najmanji?.

Tabelarni prikaz zadatkaMinimalne koliine sastojaka u dnevnom obroku 8 7 11

NUTRITIVNI SASTOJCI Ugljikohidrati Vitamini Proteini Jedinina cijena Nepoznata koliina artikala u obroku

Artikal A 3 1 4 4 x1

Artikal B 5 4 7 6 x2

2

Matematiki model problemaVrijednost funkcije cilja: min f (x1, x2) = z = 4x1 + 6x2 Ogranienja: 3x1 + 5x2 8 x1 + 4x2 7 4x1 + 7x2 11 Uvjet nenegativnosti: x1, x2 0

Rjeavanje modela elementarnom metodomPrvo ogranienje (I): 3x1 + 5x2 = 8 Za x1 = 0 x2 = 8/5 = 1.6 Za x2 = 0 x1 = 8/3 = 2.66 Drugo ogranienje (II): x1 + 4x2 = 7 Za x1 = 0 x2 = 7/4 = 1,75 Za x2 = 0 x1 = 7 Tree ogranienje (III): 4x1 + 7x2 = 11 Za x1 = 0 x2 = 11/7 = 1,57 Za x2 = 0 x1 = 11/4 = 2,75

3

1.5. Grafiki prikaz zadatka

4

4x1 + 6x2 = f (x1, x2) = z = 4 6 = 24 4x1 + 6x2 = 24 Za x1 = 0 x2 = 4 Za x2 = 0 x1 = 6 Dobiveni pravac se translatira (pomie paralelno sa samim sobom) sve dok ne dotakne jedan od vrhova poliedra koji je najblii ishoditu. Toka koju taj pravac dotakne, predstavlja rjeenje naeg problema. U ovom sluaju to je toka C. Rjeenje zapravo predstavlja koordinate te toke. Te koordinate moemo izraunati numerikim putem kao rjeenje sustava od dviju jednadbi s dvije nepoznanice: 2x1 + 5x2 = 8 / (-2) 4x1 + 7x2 = 11____________________

-4x1 - 10x2 = -16 4x1 + 7x2 = 11____________________

-3x1 = - 4 x2 = 4/3 2x1 + 5 4/3 = 8 2x1 + 20/3 = 8 2x1= 8 20/3 2x1 = 4/3 / :2 x1 = 2/3 Rjeenje tog sustava je x1* = 2/3 , x2* = 4/3 Vrijednost funkcije cilja za dobivene vrijednosti nepoznanica glasi: min f (x1, x2) = z* = 4x1 + 6x2 = 4 2/3 + 6 4/3 = 8/3 + 8 = 32/3 = 10,66

5

1.6. Interpretacija dobivenog rjeenjaZa na dnevni obrok potroit emo najmanje, i to 10,66 kuna, ako kupimo 0,66 (2/3) jedinice artikla A i 1,3 (4/3) jedinicu artikla B. U tom obroku se nalazi tono minimalno potrebita koliina dvaju sastojaka, i to ugljikohidrata 8 jedinica i proteina 11 jedinice.

6

2. STANDARDNI PROBLEM MAKSIMUMA 2.1. Formulacija zadatkaNeka tvornica proizvodi dva proizvoda A i B. Te proizvode dobiva obradom nekih sirovina na strojevima S1, S2, S3. Za proizvodnju jedinice proizvoda A potrebito je: 5 sati rada stroja S1 6 sata rada stroja S2 12 sata rada stroja S3.

Proizlazi da je ukupno potrebno 23 sati za proizvodnju jedne jedinice proizvoda A. Za proizvodnju jedinice proizvoda B potrebito je: 3 sata rada stroja S1 7 sati rada stroja S2 4 sata rada stroja S3

Proizlazi da je ukupno potrebno 11 sati za proizvodnju jedne jedinice proizvoda B.

2.2. Tabelarni prikaz zadatkaSTROJEVI S1 S2 S3 Ukupan broj sati Koliina proizvoda Proizvod A 5 6 12 23 (x1) Proizvod B 3 7 4 11 (x2) Kapaciteti strojeva 500 1000 2000

7

2.3. Matematiki model problemaVrijednost funkcije cilja: max f (x1, x2) = 23x1 + 14x2 Ogranienja: 5x1 + 3x2 500 6x1 + 7x2 1000 12x1 + 4x2 800 Uvjet nenegativnosti: x1, x2 0

2.4. Rjeavanje modela elementarnom metodomPrvo ogranienje (I): 5x1 + 3x2 = 500 Za x1 = 0 x2 = 166,66 Za x2 = 0 x1 = 100 Drugo ogranienje (II): 6x1 + 7x2 = 1000 Za x1 = 0 x2 = 142,85 Za x2 = 0 x1 = 166,66 Tree ogranienje (III): 12x1 + 4x2 = 800 Za x1 = 0 x2 = 200 Za x2 = 0 x1 = 66,66

8

2.5. Grafiki prikaz zadatka

9

23x1 + 14x2 = f (x1, x2) = z = 23 14 = 322 23x1 + 14x2 = 322 Za x1 = 0 x2 = 23 Za x2 = 0 x1 = 14 Kako su dobivene toke preblizu ishoditu, na osnovu ve izreenog pravila dobivene vrijednosti nepoznanica se pomnoe na primjer s 10, pa konano imamo: Za x1 = 0 x2 = 230 Za x2 = 0 x1 = 140 Dobiveni pravac se pomie paralelno sa samim sobom sve dok ne dotakne jedan od vrhova poliedra koji je najudaljeniji od ishodita. Toka koju taj pravac dotakne, predstavlja rjeenje naeg problema. U ovom sluaju to je toka B. Rjeenje zapravo predstavlja koordinate te toke. Te koordinate moemo izraunati numerikim putem kao rjeenje sustava od dviju jednadbi s dvije nepoznanice: 6x1 + 7x2 = 1000 / (-2) 12x1 + 4x2 = 800____________________

-12x1 14x2 = -2000 12x1 + 4x2 = 800____________________

-10x2 = - 1200 x2 = 120 6x1 + 7 120 = 1000 6x1+ 840 = 1000 6x1 = 1000 840 6x1 = 160 x1 = 26,66

10

Rjeenje tog sustava je x*1 = 26,66, x*2 = 120 Vrijednost funkcije cilja za dobivene vrijednosti nepoznanica glasi: max f (x1, x2) = z* = 23x1 + 14x2 = 23 26,66 + 14 120 = 2293,18

2.6. Interpretacija dobivenog rjeenjaNajveu iskoristivost ukupno raspoloivih kapaciteta rada svih strojeva od 2293,18 sati ostvarit e uz proizvodnju od 26,66 jedinica proizvoda A i 120 jedinica proizvoda B. Budui da je ukupni kapacitet svih strojeva 2300 sati, proizlazi da je ostalo neiskoriteno 6,82 sati. Uvrtavanje dobivenih vrijednosti za nepoznanice x1 i x2 u ogranienja pokazuje: Za stroj S1 5x1 + 3x2 = 500 5 26,66 + 3 120 = 133,3 + 360 = 493,3 to daje 500 493,3 = 6,7 neiskoritenih, tj. slobodnih sati na stroju S1 Za stroj S2 6x1 + 7x2 1000 6 26,66 + 7 120 = 999,96 to daje 1000 999,96 = 0,04 neiskoritenih, tj. slobodnih sati na stroju S2 Za stroj S3 12x1 +4 x2 800 12 26,66 + 4 120 = 799,92 to daje 800 799,92 = 0,08 neiskoritenih, tj. slobodnih sati na stroju S3

11

3. MODEL TRANSPORTA 3.1. Formulacija zadatkaU dva skladita I1 i I2 nalazi se spremljena istovrsna roba i to u sljedeim koliinama: u I1 20 jedinica, a u I2 takoer 20 jedinica. Tu robu valja transportirati u tri prihvatna sredita O1, O2 i O3 i to: O1 15 jedinice, O2 15 jedinice i O3 10 jedinice. Cijena transporta od svakog skladita do svakog sredita iznosi I1 O1 8, I1 O2 6, I1 O3 2, I2 O1 3, I2 O2 4, I2 O3 3 novanih jedinica. Valja odrediti koliko robe valja prevoziti iz svakog skladita u svako odredite na nain da ukupna cijena transporta bude minimalna?

3.2. Tabelarni prikaz zadatkaO1 7 4 12 O2 6 5 16 O3 2 3 10 ponuda ai 25 13

I1 I2 potranja bj

3.3. Matematiki model problemaDa bi se dobio matematiki model, moe se poi od sljedeeg razmatranja: Iz bilo kojeg ishodita poalje se neka koliina robe x1 i x2 u bilo koja dva odredita. Preostale potrebe odredita se rjeavaju od realizirane potranje i isporuene robe iz prethodnog koraka. To se tabelarno moe prikazati na nain da se u bilo koja dva polja u jednom redu u tabeli stave nepoznate koliine robe x1 i x2, na primjer u prva dva polja u prvom redu. Ostala polja u tabeli se popunjavaju na sljedei nain: Polje (1,3) e se popuniti tako da se od ponude prvog ishodita I1 oduzme ve dostavljena koliina robe (x1 + x2), to jest 25 (x1 + x2) = 25 x1 x2. Polje (2,1) e se popuniti tako da se od potranje prvog odredita O1 oduzme ve dostavljena koliina robe x1, to jest 12 x1. Polje (2,2) e se popuniti tako da se od potranje drugog odredita O2 oduzme ve dostavljena koliina robe x2, to jest 16 x2.

12

Polje (2,3) e se popuniti tako da se od potranje treeg odredita O3 oduzme ve dostavljena koliina robe 13 x1 x2, to jest 10 (13 x1 x2) = x1 + x2 3. 7 x1 4 12 x1 12 6 x2 5 16 x2 16 2 25 x1 x2 3 x1 + x2 3 10 25 13

a) Uvjet nenegativnosti x1 0, x2 0 25 x1 x2 0 12 x1 0 16 x2 0 x1 + x2 3 0 b) Ogranienja x1 + x2 20 x1 12 x2 16 x1 + x2 3 c) Funkcija cilja min f (x1, x2) = min z = 7x1 + 6x2 + 2 (25 x1 x2) + 4 (12 x1) + 5 (16 x2) + + 3 (x1 + x2 - 3) Kada se dobiveni izraz sredi po nepoznanicama dobijemo: min z = 4x1 + 3x2 + 169 (2) (3)

d) Formulacija cjelovitog modela x1 0, x2 0 13

x1 + x2 25 x1 12 x2 16 x1 + x2 3 Funkcija cilja: f (x1, x2) = z = 169 + 4x1 + 2x2

3.4. Rjeavanje modela elementarnom metodomPrvo ogranienje (I): x1 + x2 = 25 Za x1 = 0 x2 = 25 Za x2 = 0 x1 = 25 Drugo ogranienje (II): x1 = 12 Tree ogranienje (III): x2 = 16 etvrto ogranienje (IV): x1 + x2 = 3 Za x1 = 0 x2 = 3 Za x2 = 0 x1 = 3

14

3.5. Grafiki prikaz zadatka

15

Prostor moguih rjeenja je poliedar ABCDEF. Sljedei korak je da se nacrta pravac funkcije cilja. z1 = 4x1 + 2x2 z1 = 4 2 = 8 4x1 + 2x2 = 8____________________

Za x1 = 0 x2 = 4 Za x2 = 0 x1 = 3 Da bi se nala minimalna vrijednost funkcije cilja, valja pomicati dobiveni pravac koji predstavlja funkciju cilja paralelno sa samim sobom do toke (ili stranice) poliedra koja je najblia ishoditu. Odgovarajua je toka vrh poliedra A, s koordinatama x1 = 0, x2 = 3. Koordinate tog vrha mogu se dobiti i rjeenjem sljedeeg sustava: x1 + x2 = 3 x2 = 3 Rjeenje tog sustava je: x*1 = 0, x*2 = 3 Uvrtavanjem tih vrijednosti u izraz za funkciju cilja problema transporta dobivamo: min z = z* = 169 + 4x1 + 2x2 = 169 + 4 0 + 2 3 = 175 Nadalje, dobivena rjeenja za x1 i x2 ubacujemo za izraze za nepoznate koliine u tabeli matematikog modela problema, pa imamo: x1 = 0 x2 = 3 25 x1 x2 = 25 0 3 = 22 12 x1 = 15 3 = 12 16 x2 = 16 3 = 13 x1 + x2 3 = 0 + 3 3 = 0

16

Kako svaka od tih vrijednosti predstavlja nepoznatu koliinu robe koja se iz nekog ishodita prevozi u neko odredite, konano imamo: x*11 = 0, x*12 = 3, x*13 = 22, x*21 = 12, x*22 = 13, x*23 = 0 Ako te vrijednosti uvrstimo u sljedei izraz za funkciju cilja: z = 7x11 + 6x12 + 2x13 + 4x21 + 5x22 + 3x23 dobivamo: min z = z* = 7 0 + 6 3 + 2 22 + 4 12 + 5 13 + 3 0 = 175 tj. istu vrijednost kao i u prethodnom razmatranju.

3.6. Interpretacija dobivenog rjeenjaMinimalne ukupne transportne trokove u iznosu od 175 novane jedinice dobivamo tako da prevezemo 3 jedinica te robe iz I1 O2, 22 jedinice robe iz I1 O3, 12 jedinica robe iz I2 O1, te konano 13 jedinice robe iz I2 O2. Podatak da su nepoznanice x11 i x23 jednake nuli, znai da su iz skladita I1 ne prevozi roba u odredite O1, te da se iz skladita I2 ne prevozi roba u O3.

17

ZAKLJUAKLinearno programiranje je grana matematike koja se bavi problemom optimizacije sustava unutar zadanih ogranienja. Uveo ju je Leonid Kantorovi kasnih 1930-ih godina kao metodu rjeavanja problema planiranja proizvodnje. U SAD-u je linearno programiranje razvijeno tijekom Drugog Svjetskog rata prvenstveno za probleme vojne logistike, kao to je optimiziranje prijevoza vojske i opreme konvojima. Vaan je i doprinos ekonomista Tjallinga Koopmansa (roen u Nizozemskoj, 1940. preselio u SAD). Linearno programiranje promatra probleme u kojima se linearna funkcija cilja mora optimizirati (maksimizirati ili minimizirati) uz uvjete ili ogranienja dana u obliku jednadbi ili/i nejednadbi i uz nenegativne varijable odluivanja. To je formalni postupak optimizacije sustava kod kojih se funkcija cilja i ogranienja mogu izraziti linearnim kombinacijama promjenljivih veliina Kod cjelobrojnog su programiranja varijable odluivanja cjelobrojne. Linearno programiranje je matematika metoda za odreivanje naina za postizanje najboljih rezultata. Linearno programiranje je tehnika za optimizaciju za linearne funkcije cilja, u skladu s linearnim jednakostima i nejednakostima i linearnim ogranienjima. Proizvoa eli odrediti kako iskoristiti ograniene koliine sirovina uz najvei profit, poslovoa kako rasporediti zadani posao izmeu svojih zaposlenika tako da bude napravljen u najkraem moguem vremenskom roku... Cilj ovih problema je optimizacija, maksimiziranje korisnosti ili minimiziranje trokova uz zadana ogranienja to se rjeavalinearnim programiranjem. Podruje primjene linearnog programiranja je iroko: proizvodnja, transport i distribucija, marketing, telekomunikacije, financijsko ulaganje iplaniranje, raspored zaposlenika,

Problemi linearnog programiranja, tonije standardni problem maksimuma i minimuma, te transportni problem, u ovom seminarskom radu prikazani su grafikom metodom. Iz primjene takve metode mogu se uoiti brojne prednosti ali ujedno i njezini nedostaci.

18

19