of 39/39
Matematika 1 Primjene trigonometrije Katedra za matematiku, FSB Zagreb, 2015. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijeˇ cnja 2016. 1 / 31

Primjene trigonometrije - fsb.unizg.hr · PDF fileMatematika 1 Primjene trigonometrije Katedra za matematiku, FSB Zagreb, 2015. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijeˇcnja

  • View
    226

  • Download
    8

Embed Size (px)

Text of Primjene trigonometrije - fsb.unizg.hr · PDF fileMatematika 1 Primjene trigonometrije Katedra...

  • Matematika 1Primjene trigonometrije

    Katedra za matematiku, FSB

    Zagreb, 2015.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 1 / 31

  • Ciljevi ucenja

    Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Pojam realne funkcije-definicija, graf, oznakeDomena funkcije, slika funkcijePregled karakteristicnih primjeraGeneriranje funkcija-osnovne operacije s funkcijama,komponiranjePojam inverzne funkcije-algebarska i graficka interpretacija

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 2 / 31

  • Sadrzaj

    Sadrzaj:

    1 Primjene trigonometrijskih funkcijaPrimjene pravokutnog trokutaKosi hitacHarmonijski oscilator

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 3 / 31

  • Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

    Primjene pravokutnog trokuta

    Trigonometrijske funkcije omogucavaju da rijesimo trokut tj. da iz dvijeod velicina na slici odredimo preostale dvije:

    yz

    x

    Diferencijalni i integralni racun omogucava to i kada su sve te velicineovisne, npr., o vremenu t :

    x = x(t), y = y(t), z = z(t), = (t).

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 4 / 31

  • Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

    Primjene pravokutnog trokuta

    Trigonometrijske funkcije omogucavaju da rijesimo trokut tj. da iz dvijeod velicina na slici odredimo preostale dvije:

    yz

    x

    Diferencijalni i integralni racun omogucava to i kada su sve te velicineovisne, npr., o vremenu t :

    x = x(t), y = y(t), z = z(t), = (t).

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 4 / 31

  • Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

    Primjer 1.Avion leti na visini od 10 km konstantnom brzinom, horizontalno, iznadpromatraca na zemlji. U trenutku u kojem promatrac vidi avion podkutem od 60 u odnosu na horizontalu, izmjerio je da se kut smanjujeza 2 u sekundi. Kolika je brzina aviona?

    Rjesenje.

    x

    10km

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 5 / 31

  • Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

    Primjer 1.Avion leti na visini od 10 km konstantnom brzinom, horizontalno, iznadpromatraca na zemlji. U trenutku u kojem promatrac vidi avion podkutem od 60 u odnosu na horizontalu, izmjerio je da se kut smanjujeza 2 u sekundi. Kolika je brzina aviona?

    Rjesenje.

    x

    10km

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 5 / 31

  • Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

    Rjesenje.ddt

    = 2 =

    90[rad/s]. Trazimo

    dxdt

    =30

    .

    dxdt

    =ddt

    (10tg) =10

    cos2 ddt

    dxdt

    =30

    =10

    cos2(30)

    90=

    427

    [km/s] 0.47[km/s] = 1675[km/h]

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 6 / 31

  • Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

    Rjesenje.ddt

    = 2 =

    90[rad/s]. Trazimo

    dxdt

    =30

    .

    dxdt

    =ddt

    (10tg) =10

    cos2 ddt

    dxdt

    =30

    =10

    cos2(30)

    90=

    427

    [km/s] 0.47[km/s] = 1675[km/h]

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 6 / 31

  • Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

    Zadatak 1.U jednoj filmskoj sceni kamera prati jureci automobil. Udaljenostkamere od ceste je d , dok automobil juri konstantnom brzinom v .Kojom se brzinom okrece kamera? Kada je ta brzina najveca?

    Rjesenje.

    kamera

    automobilx

    d

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 7 / 31

  • Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

    Zadatak 1.U jednoj filmskoj sceni kamera prati jureci automobil. Udaljenostkamere od ceste je d , dok automobil juri konstantnom brzinom v .Kojom se brzinom okrece kamera? Kada je ta brzina najveca?

    Rjesenje.

    kamera

    automobilx

    d

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 7 / 31

  • Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

    Rjesenje-nastavak.Neka vrijeme mjerimo tako da je t = 0 za x = 0.tg =

    xd = arctg x

    d.

    dxdt

    = v x = v t = arctg(

    v td

    )

    Kutna brzina kamere:

    ddt

    =1

    1+ v2d2 t2

    vd

    Brzina je najveca za t = 0 i iznosiddt

    =vd.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 8 / 31

  • Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

    U primjenama su cesta kruzna gibanja:

    x = r cos = r cos(t)y = r sin = r sin(t)

    v =st=

    rtt

    = r

    T = 2, T = 1

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 9 / 31

  • Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

    Primjer 2.Istocno od zida, na udaljenosti od 10m, nalazi se stup visok 10m.Kojom se brzinom skracuje sjena sto je stup baca na zid?

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 10 / 31

  • Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

    Rjesenje.

    10m

    x

    10m

    T = 24h

    =2T

    =

    12[rad/h]

    = t , x = 10tgx = 10tg

    ( 12

    t)

    dxdt

    =10

    cos2( 12 t)

    12=

    56cos2( 12 t)

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 11 / 31

  • Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

    Zadatak 2.Svjetionik je 500m udaljen od ravog obalnog zida, a okrece se stalnombrzinom od 2 okreta u minuti. Kojom se brzinom giba svjetlo sto gasvjetionik baca na obalni zid? Kada je ta brzina najmanja?

    Rjesenje.

    x

    500m

    Frekvencija rotacije: = 2[okreta/min]kutna brzina rotacije: = 4[rad/min] = t = 4t

    x = 500tg x = 500tg(4t)

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 12 / 31

  • Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

    Zadatak 2.Svjetionik je 500m udaljen od ravog obalnog zida, a okrece se stalnombrzinom od 2 okreta u minuti. Kojom se brzinom giba svjetlo sto gasvjetionik baca na obalni zid? Kada je ta brzina najmanja?

    Rjesenje.

    x

    500m

    Frekvencija rotacije: = 2[okreta/min]kutna brzina rotacije: = 4[rad/min] = t = 4t

    x = 500tg x = 500tg(4t)

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 12 / 31

  • Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

    Zadatak 2.Svjetionik je 500m udaljen od ravog obalnog zida, a okrece se stalnombrzinom od 2 okreta u minuti. Kojom se brzinom giba svjetlo sto gasvjetionik baca na obalni zid? Kada je ta brzina najmanja?

    Rjesenje.

    x

    500m

    Brzina svjetla na zidu:dxdt

    =2000

    cos2(4t)Najmanja brzina:

    za t = 0 tj. x = 0,dxdt

    = 2000

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 13 / 31

  • Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

    Primjer 3.Brzina bicikla je konstantnog iznosa v , polumjer kotaca je r iudaljenost macjeg oka od sredista kotaca je a. Opisite gibanje macjegoka, nadite njegovu brzinu i akceleraciju.

    Ako su (x ,y) koordinate macjeg oka, onda one ovise o vremenu t tj.x = x(t), y = y(t).Opisati gibanje macjeg oka znaci pronaci te funkcije.Brzina i akceleracija tog gibanja imaju komponente:

    dxdt

    ,dydt

    ,d2xdt2

    ,d2ydt2

    .

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 14 / 31

  • Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

    Primjer 3.Brzina bicikla je konstantnog iznosa v , polumjer kotaca je r iudaljenost macjeg oka od sredista kotaca je a. Opisite gibanje macjegoka, nadite njegovu brzinu i akceleraciju.

    Ako su (x ,y) koordinate macjeg oka, onda one ovise o vremenu t tj.x = x(t), y = y(t).Opisati gibanje macjeg oka znaci pronaci te funkcije.Brzina i akceleracija tog gibanja imaju komponente:

    dxdt

    ,dydt

    ,d2xdt2

    ,d2ydt2

    .

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 14 / 31

  • Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

    Rjesenje.y

    x

    (x, y)

    a

    s = r

    s = r

    a cos

    a sin

    r

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 15 / 31

  • Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

    Rjesenje-nastavak.

    s = r, s = vt = vr

    t

    x = vtasin(t)y = r acos(t)

    dxdt

    = v acos(t)dydt

    = asin(t)

    d2xdt2

    = a2 sin(t)

    d2ydt2

    = a2 cos(t)

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 16 / 31

  • Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

    Primjer 4.Korito je izradeno od ravnog lima sirine 3m, tako da je lim podijeljen natri pruge sirine 1m, pa su zatim rubne pruge podignute za kut . Za kojikut je volumen korita najveci?

    1m

    1m

    1mh

    x

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 17 / 31

  • Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

    Zadatak 4.Dva hodnika sirine a susrecu se pod pravim kutem. Koja je duljina dnajduze sipke koja se moze (horizonatlno) prenijeti kroz hodnik?

    Rjesenje.Medu svim sipkama koje dodiruju oba zida (vidi skicu) trazimo sipkunajmanje duljine jer svaka kraca sipka od te sigurno prolazi krozhodnik.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 18 / 31

  • Primj