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CARLOS GIRALDO OSPINA Lic. Matemáticas, USC, Cali, Colombia MATEMÁTICA INSÓLITA Derechos de Autor Reistrados ! Reser"ados ################################################################### $%iste& co&'eturas (ue se resiste& a ser demostradas, debido a su escaso rado de u&a de ellas es la co&'etura de los *rimos emelos, de&omi&aci+& dada *or Paul St actible (ue dicha co&'etura ha!a *odido ser demostrada silos a&tes si, desde u& hubiese *la&teado la de los *rimos -melli/os, *ro*uesta e& 0123 *or Al*ho&se Poli La co&'etura de los *rimos emelos es u& as*ecto *articular de la co&'etura de lo -melli/os4 los matemáticos se co&ce&traro& e& la *articularidad de los emelos ! co&du'o a *erma&ecer atados a la +rbita *robabil5stica. La e&eralidad de la co&'etura de los *rimos -melli/os *ermite demostrar la co&'e *rimos emelos de ma&era cualitati"a, si& acudir a la teor5a de *robabilidades. PRIMOS GEMELOS Y KMELLIZOS Demostrar (ue la ca&tidad de *rimos emelos es i& i&ita, o re utar ta co&stituido u&o de los sue6os de todo matemático creati"o4 e& realidad, la demost sido reali/ada media&te la teor5a de *robabilidades) si& embaro, dicha clase de &o *arece satis acer las e%*ectati"as de u& si&i icati"o sector de los *ro esio cie&cia de los &7meros... el sector re&ue&te a co& iar e& demostracio&es basadas *robabilidades a irma8 9 probabilidad es probabilidad… certeza absoluta es asunt Primos emelos so& *ares de *rimos de la orma ; < , = + p p , es decir *rimos cu!a di ere&cia e&tre ellos es <) e& e&eral, *rimos -melli/os so& *are'as de *rimos de la orma ; , = k p p + sie&do, &aturalme&te, - &7mero *ar cual(uiera, cada - de i&e u&a clase de *rimos $& e&eral, se de i&e como *rimos -melli/os de orde& - a toda *are'a di ere&cia sea -8 Primos -melli/os de orde& < so& los de&omi&ados *rimos emelos, -melli/os de orde& 2 so& los *ares de *rimos cu!a di ere&cia es 2 ! as5 sucesi"am Demostrar la e%iste&cia de i& i&itas *are'as de *rimos emelos e(ui"ale e%iste&cia de i& i&itos *ares de *rimos -melli/os de cada clase. Por ra/o&es de isomor ismo, demostrar la i&itud del co&'u&to de *rimo e(ui"ale&te a demostrar la i&itud de cada u&a de las clases de *rimos -melli/os, o totali/adas. 0 9>melli/os: ¡Infinitos! ¿Gemelos? ¿Un parcito? ¿Kmellizos?

Primos Gemelos, Demostracion Kmelliza

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documento donde se presentan distintas actividades con números primos gemelos

Text of Primos Gemelos, Demostracion Kmelliza

PRIMOS GEMELOS, DEMOSTRACION KMELLIZA

CARLOS GIRALDO OSPINA

Lic. Matemticas, USC, Cali, Colombia

MATEMTICA INSLITA Derechos de Autor Registrados y Reservados===================================================================

Existen conjeturas que se resisten a ser demostradas, debido a su escaso grado de generalidad; una de ellas es la conjetura de los primos gemelos, denominacin dada por Paul Stkel. Es factible que dicha conjetura haya podido ser demostrada siglos antes si, desde un principio, se hubiese planteado la de los primos kmellizos, propuesta en 1849 por Alphonse Polignac. La conjetura de los primos gemelos es un aspecto particular de la conjetura de los primos kmellizos los matemticos se concentraron en la particularidad de los gemelos y ello los condujo a permanecer atados a la rbita probabilstica. La generalidad de la conjetura de los primos kmellizos permite demostrar la conjetura de los primos gemelos de manera cualitativa, sin acudir a la teora de probabilidades.PRIMOS GEMELOS Y KMELLIZOSDemostrar que la cantidad de primos gemelos es infinita, o refutar tal posibilidad, ha constituido uno de los sueos de todo matemtico creativo en realidad, la demostracin ha sido realizada mediante la teora de probabilidades; sin embargo, dicha clase de demostracin no parece satisfacer las expectativas de un significativo sector de los profesionales de la ciencia de los nmeros... el sector renuente a confiar en demostraciones basadas en la teora de probabilidades afirma: probabilidad es probabilidad certeza absoluta es asunto diferente! Primos gemelos son pares de primos de la forma , es decir primos cuya diferencia entre ellos es 2; en general, primos kmellizos son parejas de primos de la forma siendo, naturalmente, k nmero par cualquiera, cada k define una clase de primos kmellizos.

En general, se define como primos kmellizos de orden k a toda pareja de primos cuya diferencia sea k: Primos kmellizos de orden 2 son los denominados primos gemelos, primos kmellizos de orden 4 son los pares de primos cuya diferencia es 4 y as sucesivamente.

Demostrar la existencia de infinitas parejas de primos gemelos equivale a demostrar la existencia de infinitos pares de primos kmellizos de cada clase. Por razones de isomorfismo, demostrar la finitud del conjunto de primos gemelos sera equivalente a demostrar la finitud de cada una de las clases de primos kmellizos, por separado o totalizadas.En otro documento se plante que la posibilidad de una demostracin cualitativa de la existencia de primos gemelos era remota, aunque no nula, en esta ocasin se acomete la tarea de la demostracin cualitativa de infinitud del conjunto de primos gemelos.Ejemplo sencillo para comprender la demostracin acerca de la infinitud kmelliza. Si para se pretendiera demostrar que no existen pares de kmellizos de orden , se empezara por demostrar que no existen primos entre 100 y 200, o entre 100 y 115, intervalo : no se requiere saber cules son dichos primos he ah la importancia del Teorema del intervalo dobleTeorema del intervalo doble

El teorema del intervalo doble indica que la cantidad de primos en cualquier intervalo se distribuye equitativamente, desde el centro del intervalo hacia los extremos del mismo y, por tanto, resuelve uno de los famosos interrogantes acerca de la distribucin de los primos en el conjunto de los naturales.Nota: c es una funcin

Teorema

Demostracin

1. . funcin prima2. .. segn 1.

3. . Segn 2.

4. segn 3. hqd.TEOREMA PRIMO GEMELAR. El conjunto de primos gemelos es infinito

Demostracin kmelliza1. Supngase que no existen kmellizos de orden a partir de .2. La cantidad de primos en el intervalo tiende a ser la misma del intervalo Teorema del intervalo doble.3. En el intervalo existen, al menos, dos primos segn 2.4. La diferencia entre dos nmeros del intervalo es .5. En el intervalo existe, al menos, una pareja de kmellizos de orden segn 3. y 4.

6. A partir de existe, al menos, un par de kmellizos de orden segn 5.

7. La conclusin del numeral 6. contradice la suposicin 1.

8. Por tanto, ninguna clase de kmellizos puede ser finita segn 7. hqd.

MIRADA A TRAVES DE LA FASE 7, TGPPara el objetivo de la tarea se recuerda que la denominada fase 7 del TGP (Teorema Generatriz de Primos), o dispersin de funciones generadoras de primos, es la siguiente:

El cuadro anterior indica que los primos gemelos, en la fase 7 del TGP, se generan a travs de tres pares de funciones disjuntas:

, y .Ciertos valores de n definen los gemelos, mediante los pares de funciones generadoras, en algunos casos simultneamente en dos de ellos; es conjeturable que solo n = 0 define, simultneamente, primos gemelos en las tres parejas de funciones.El siguiente cuadro muestra los primeros pares de primos gemelos, para cada par de funciones generadoras de la Fase 7 del TGP. (Nmeros en rojo son compuestos)

Refutar la infinitud del conjunto de gemelos equivale a demostrar la imposibilidad de primos simultneos, para cada pareja de funciones, a partir de algn hipottico valor de n.Considrense las funciones , , y , , y de la Fase 7 del TGP, las mencionadas funciones generan posibles kmellizos de orden 2, 4, 6, 8, , 24 para cada valor de n. Supngase que dichas clases de kmellizos son finitas

Para cada los octetos generados por las funciones de la Fase 7, TGP, solo pueden contener, mximo, un primo; supuesta la finitud de todos los conjuntos de kmellizos de orden . Si nos concentramos en se observa que no pueden aparecer series sucesivas de octetos con la primera componente prima, dado que entre y la diferencia es 6, e igual para cualquier par de filas sucesivas de octetos tampoco deben aparecer series sucesivas de octetos con la primera componente prima para y . , por ser las diferencias Agregue las restricciones que imponen los valores de n para celdas mltiplos de 7 y las que obligan a que todas las componentes de los octetos sean compuestas para posibles valores de Agregarle orden y( o caos al caos?Notas: Si usted aplica la metodologa anterior a la totalidad de las funciones generadoras de primos Fase 7, TGP, quedar sin primos a partir de algn hipottico n. El trabajo es dispendioso y carece de importancia a menos que desee realizarlo.

Una demostracin ms dispendiosa, quiz solo comprensible para matematicos encumbrados, lo llevara a la inslita conclusin de que solo 2 y 3 son primos y, finalmente, a la inexistencia de primos.

DEMOSTRACION GEMELAR INFANTILTeorema. El conjunto de primos gemelos es infinito

Demostracin1. A todo primo se le puede restar 2

2. genera infinitos primos Teorema de la serie de primos.3. 2 = segn 1.4. genera infinitos primos. Teorema de la serie de primos.5. = 2 segn 3.

6. Existen infinitos pares de primos cuya diferencia es 2 segn 2. 4. y 5.7. El conjunto de primos gemelos es infinito segn 6.EL ABUELO, RHOTHOR Y LOS GEMELOS Existen razones lgicas que invaliden la demostracin gemelar infantil? S abuelo, las hay.

Cules?

Lo lgico es que las demostraciones las realicen los matemticos.

Y qu es lo ilgico?

Que un escolar demuestre una conjetura que no ha podido ser demostrada por los matemticos. Hay ms razones?

La demostracin gemelar infantil la realiz mi gemelo

Dnde se encuentra tu gemelo?

Desde nio desapareci, pero su presencia se siente en el cuarto contiguo.

En el segundo intervalo se transforma para sentir la tuya a travs de otro...

Pareces leer mi pensamientoACOTACION. Es posible que a usted, al igual que a muchos matemticos, le parezca sencillo lo aportado en www.matematicainsolita.8m.com y en www.numerosprimos.8m.com; felicitaciones si ese es su concepto. Sin embargo, llegar a los resultados plasmados en los diferentes archivos de los mencionados portales no ha sido tarea fcil. Buscar y hallar el camino ms sencillo para resolver problemas, que durante siglos se han resistido a las tentativas de matemticos de talento, constituye parmetro prioritario en la labor del autor de estas lneas: demostrar una conjetura, o crear un algoritmo, es trabajo que se puede realizar siguiendo diferentes caminos

Esta pgina Web es alrgica a viajar por caminos ininteligibles para la mayora de los aficionados y profesionales de la ciencia de los nmeros... Trabajo correcto e incomprensible viaja al cesto de la basura algunas exigencias de rigor se sacrifican el lector que lo desea puede agregarlas EL TGP perfecciona la famosa y rudimentaria Criba de Eratstenes, eliminando nmeros compuestos hacia el infinito para todos los primos menores que el indicado por la fase correspondiente lo mismo que usted hace cuando solo escribe los impares en su intento de aplicacin de la famosa criba (mtodo numrico de masacre generalizada) Qu explicacin tiene el uso rudimentario de la famosa criba, aun en la actualidad?... Pereza para tratar de comprender el secreto total de tan prodigioso algoritmo, perfeccionarlo y dar las gracias pstumas a Eratstenes?INTERVALO MINIMO DE BREUSCH Cul es el intervalo, variable, de menor longitud que garantiza la existencia de, al menos, un primo para todo n?

o intervalo de Breusch, al parecer, es el menor intervalo variable de menor longitud conocido; sin embargo, dicho intervalo es reducible a su mnima expresin:

Intervalo mnimo de Breusch:

Ejemplo: , cantidad muy cercana a los 57 primos existentes en dicho intervalo. Desea realizar el proceso que permite obtener la frmula de aproximacin a la cantidad de primos contenidos en el intervalo mnimo de Breusch?

Desea hallar la longitud del intervalo mnimo de Breusch?

PRIMOS HERMANOS Y PRIMOS EXTICOSDenomnese primos hermanos a toda pareja de primos p, q tal que

Ejemplos de primos hermanos: (7, 13), (79, 157) (211, 421)Denomnese primos exticos a toda terna de primos p, q, r tal que p, q y q, r sean primos hermanos. Los primos exticos, a su vez, se subdividen (adems de la triada solitaria) en dos clases; resulta interesante el estudio de sus cualidades sociolgicas, desde la perspectiva de ciertos grupos humanos.

Ejemplos de primos exticos: (2, 3, 5), (19, 37, 73), (331, 661, 1321). La primera terna es la triada solitaria. Observe que en ninguna terna se cumple que los primos extremos sean primos hermanos. Cuntos padres y madres existen en el caso de los primos (2, 3, 5)?Conjetura de los primos hermanos: El conjunto de pares de primos hermanos es infinito.

Es ms difcil demostrar la conjetura de los primos hermanos que la de los primos gemelos? Intentara demostrar la conjetura de los primos hermanos?Conjetura de los primos exticos. El conjunto de ternas de primos exticos es infinito. Desea hacer el esfuerzo de demostrar, o refutar, la conjetura de los primos exticos? Ejercicio. Hallar las dos trilogas convenientes de funciones que determinen los primos exticos. Dichas funciones se relacionan con las cspides de las Torres de Collatz.PROBLEMA CURIOSO. En una familia hay tres primos exticos, dos pares de primos hermanos y dos primos gemelos; sin embargo, el total de individuos apenas es tres. Puede explicar la aparente paradoja?EXPANSION DEL CONCEPTO DE PRIMOS HERMANOSEl concepto de primos exticos constituye, simplemente, una expansin del concepto de primos hermanos; dicha expansin se puede ampliar de la siguiente manera:Primos hermanos:

Primos exticos:

Primos hermanos de orden 4.

Primos hermanos de orden e.

Los primos hermanos conforman duplas, los exticos ternas, los de orden 4 cuaternas, los de orden e e-plas. Qu primo genera la mayor expansin?Ejemplo de 5pla de primos hermanos:

Desea hallar un 6pla de primos hermanos?

Adelante y felicitaciones si la encuentra!

Aunque las funciones empleadas para definir las componentes de expansin de los primos hermanos son correctas, ellas no son las ms convenientes en el momento de emprender la bsqueda de las componentes primas de una determinada expansin. Solo hay una senda en la que la expansin se extiende; esta cualidad permite elegir los posibles candidatos de inicio; sin incurrir en escogencias absolutamente infructuosas.PROBLEMAS

Hallar, si existe, el menor nmero primo que genere una 10pla de primos hermanos. Si decide que no existe, demuestre que la decisin es correcta. Determine la funcin que define el trmino ensimo de cualquier expansin de primos hermanos.

Nota. Los primos de forma 2p 1 se denominan primos de Sopfie Germain, matemtica autodidacta que hizo importantes aportes en teora de nmeros, fsica matemtica, acstica y elasticidad en tiempos en que la mujer estaba relegada al trabajo hogareo.

COMPETENCIA DE ORDENADORESLos adictos a la programacin tienen la oportunidad de competir para hallar la mayor expansin de primos hermanos hasta que el siguiente adicto derrumbe el rcord impuesto a menos que sea imbatible Pueden avanzar hacia la mayor cantidad de familias en el rcord impuesto, si ste es imbatiblePROBLEMA DIFICILDemostrar que cualquier expansin de primos hermanos es, forzosamente, finita. La finitud significa que para ningn primo el orden , en el hipottico evento de hallar alguno que parezca interminable en la generacin de primos hermanos.OTRA FAMILIA INTERESANTE DE PRIMOSDenomnese primos tenorios a dos primos p, q tal que . Ejemplo: (2, 5)Al igual que en el caso de los primos hermanos, se puede expandir la familia de primos tenorios: (2, 5, 11, 23, 47)Familia de primos tenorios:

Ejemplo de una familia tenorio de 6 componentes:

Se pueden hacer, con respecto a la expansin de primos tenorios, los mismos interrogantes aplicados a la expansin de primos hermanos. Demuestre que la funcin define el trmino ensimo de cualquier familia de primos tenorios.

Denomnese primos manitos a dos primos p, q tal que . Intente hallar una familia de primos manitos que tenga 9 componentes.

EXPANSIONES PRIMAS EULERIANAS

La funcin parablica da la impresin de tener su origen en intentos de Euler de responder la inquietud planteada por Goldbach, acerca de que todo par mayor que 2 se puede expresar como la suma de dos primos.

origina primos para todo natural, desde 1 hasta para algunos valores de p; dichos primos aparecen por partida doble, en el correspondiente intervalo, dado que la funcin que los origina es una parbola. Denomnese continuidad prima euleriana a los primos generados por la funcin para los valores de p que la hagan verdadera; en particular, denomnese primos de Euler a todo primo de forma .Conjetura de continuidad prima euleriana. Solamente genera primos , mediante

Observacin: si son primos consecutivos de la continuidad prima euleriana.

Desea refutar, o demostrar, la Conjetura de continuidad prima euleriana?RECORRIENDO LA MISMA SENDA DE

La funcin recorre, respectivamente, la misma serie continua de primos que , cuando . La razn de que ambas funciones produzcan la misma serie continua de primos se debe a que, simplemente, se ha efectuado un traslado de al lugar de . Es decir, se puede trasladar a y generar con sta ltima funcin la misma serie continua de primos que . Ejemplos: y producen la misma serie de primos que . Qu clase de funcin genera la mayor serie continua de primos?Resulta sorprendente que Edgar Karst afirme que genera primos para todo ; se reconoce que dicha funcin posee alta frecuencia en la generacin de primos. , , la unidad es anmala si considera como primo; todo primo tiene, exactamente, dos divisores en el conjunto de los naturales.

produce ms de 40 nmeros compuestos si y ni siquiera genera una serie continua de 20 primos Total el rcord de 40 primos impuesto por Euler, con , contina imbatible para funciones polinmicas CONTINUIDADES EN PRIMOS DE EULEREs relativamente fcil hallar funciones que generen largas series de primos de Euler; aunque probablemente ninguna supere 40 primos seguidos. Ejemplo. genera primos de Euler. 40 primos en serie y en serio! ... Es decir, la famosa funcin de Euler no es la nica que produce una seguidilla de 40 primos!

y generan 32 y 30 primos de Euler en serie, respectivamente. Existir la funcin polinmica que supere el rcord euleriano?Sea una expansin prima tal que

Ejemplo: Cul ser el orden de la mayor expansin?

EXPANSIONES PRIMAS DE MERSENNESean p, q primos tal que , p define un primo de Mersenne.

Es primo o compuesto? Cul ser la mayor expansin prima de Mersenne? Excelente trabajo para los programadores! El mayor primo de Mersenne descubierto es pequeito con respecto al factible candidato a sexta componente de

Es primo o compuesto?EXPANSIONES PRIMAS DE FERMAT

Fermat conjetur que todos los nmeros de forma son primos, conjetura refutada por Euler al verificar, sin calculadora, la falsedad para . El autor de este documento supone que Fermat, luego de agotar una buena cantidad de divisores primos, decidi que el riesgo de trabajar en vano era superior al riesgo de que alguien verificara la posible falsedad de su conjetura; en aquellos tiempos era impensable la llegada de los cerebros electrnicos.Aventurarse a verificar la conjetura para implica la posibilidad de recorrer infructuosamente todos los primos menores que 65536; aunque Fermat ide un mtodo para factorizar nmeros largos, parece que no le fue de utilidad. Euler, 100 aos despus, decidi aventurarse y hall que al llegar al primo 641 se incumple lo postulado por Fermat; Es posible que haya empleado el mtodo de factorizacin ideado por Fermat? Existe un teorema de Euler que permite averiguar si un nmero inmenso es primo o compuesto siempre y cuando se agreguen otras arandelas.Tributo a la memoria de Fermat.

Sean p, q, r primos tal que q, r sean primos de Fermat. Existir una tripleta ?. Las componentes de la tripleta deben ser todas impares, dado que no es posible para el primo par.

No es factible responder el interrogante, mediante ejemplo concreto, sin la honorable ayuda de un supercomputador. Partiendo de , se debe averiguar si el numerito es primo o compuesto; el siguiente primo que genere una tripleta debe ser mayor que 20, dado que 5, 7, 19 son rechazables por no generar primos de Fermat. En definitiva, existirn interrogantes cuya respuesta exige inteligencia quedando por fuera la ayudita del sumiso autmata a menos que se transforme en un superautmataCHISTE ROHTHORISTA Conoces los nicos tres primos cuya suma de cuadrados es un primo? Listo abuelo, deben ser , si solo existen tres. Puedes demostrar el hecho de que sean los nicos? Fcil abuelo: , cualquier otra terna de primos impares implica que la suma de sus cuadrados es mltiplo de 3, dado que 15 es mltiplo de 3.Aunque la demostracin dada por Rohthor es bromista, ella contiene la propiedad de la suma de los cuadrados de cualquier terna de primos impares diferente de . Usted, como matemtico serio, queda invitado a realizar la demostracin. CONJETURA PRIMA 5La manera ms sencilla, aunque no convincente, de parecer matemtico invencible es resolver alguna o varias conjeturas ante las que hayan sucumbido los predecesores, aducir que se carece de inters en otras no resueltas y evitar producir alguna que lo obligue a reconocer su propia incapacidad para demostrarla o refutarla he aqu una nueva:Conjetura prima 5. Existen infinitos grupos de 5 primos sucesivos tales que su suma equivale a un primo e igual sucede con la suma de sus cuadrados.Primos sucesivosSuma de primosSuma de cuadrados

5, 7, 11, 13, 1753653

29, 31, 37, 41, 431816701

31, 37, 41, 43, 471998069

53, 59, 61, 67, 7131119541

107, 109, 113, 127, 13158769389

127, 131, 137, 139, 14968393581

La suma de los cuadrados de los primeros 5 primos impares es un primo, pero no lo es la suma de stos.

[email protected] master: Wailly Giraldo Len

[email protected]+7

30n+11

30n+31

30n+29

30n+23

30n+19

30n+17

30n+13

Estas tres parejas de funciones generan los primos gemelos

TGP. Fase 7: Eliminacin de los mltiplos de 2, 3 y 5

El TGP es perfeccionamiento de la Criba de Eratstenes hacia el infinito

31

29

30n+ 31

30n+ 29

30n+ 23

30n+ 19

30n+17

30n+ 13

30n+ 11

30n+ 7

23

19

17

13

11

7

61

59

53

49

47

43

41

37

91

89

83

79

77

73

71

67

121

119

113

109

107

103

101

97

151

149

143

139

137

133

131

127

181

179

173

169

167

163

161

157

211

209

203

199

197

193

191

187

5

4

3

2

1

0

n

6

+2

npnpnpnp015231011320503302693112931171216413130112109712472279732334739111341239713337014743145324116334407355931583251373354463646116131261601364871734717197271847375297825118281282111385741917319383292393396203

Teoremas

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

+4

Continuidad prima euleriana EMBED Equation.3

+10

+6

+8

Kmellizos?

Un parcito?

Gemelos?

Infinitos!

Kmellizos!

TEOREMA FACILITO

Para p, q, r primos, tal que

EMBED Equation.3

solo existen EMBED Equation.3

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agradece sus comentarios y sugerencias

Tabla peridica FASE 7, TGP: Celdas rosadas corresponden a mltiplos de 7

.

217m + 2

217m + 1

217m

n

30n +31

30n +29

30n +23

30n +19

30n +17

30n +13

30n +11

30n +7

PAGE 5

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