PRINCIPE FONDAMENTALDE LA STATIQUE

Si un système matériel est en équilibre, l'effort résultant et lemoment résultant par rapport à n'importe quel point du système(y compris les couples) doivent être nuls simultanément.

Si la somme des forces est nulle,alors aucune translation n'est

possible(les forces « se compensent »)

Si la somme des moments et couplesest nulle, alors aucune rotation n'est

possible(les moments et couples « se

compensent »)

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1. RESOLUTION D’UN PROBLEME DE STATIQUEUn « problème de statique » est l’étude :

d’un solide (une poutre par exemple) statique (c’est-à-dire sans mouvement, ce qui est, sauf exception,

recherché en Génie Civil) en vue de déterminer les réactions d’appui.

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PLAN TYPE DE RESOLUTION7 étapes à retenir

1. Déterminer le système isolé de solide(s)

2. Bilan des actions exercées sur le système :• à distance• charges• actions aux appuis

en définissant pour chacune le point d'application, la direction,le sens et la valeur (intensité)

3. Représenter les résultats du bilan sur un schéma de calculcôté, sans oublier de définir le repère de sens d'orientationpour les composantes des forces et pour les moments (etcouples).

4. Écrire les 3 équations du PFS• somme des projections horizontales des forces = 0• somme des projections verticales des forces = 0• somme des moments (par rapport à un point

quelconque du système) et des couples = 0

5. Résoudre le système de 3 équations à 3 inconnues

6. Déterminer les valeurs, directions et sens des forcesinclinées à partir des composantes trouvées

7. Représenter les résultats sur un schéma récapitulatif.

APPLICATION

Le solide considéré est un IPE 220 (profilé métallique en I de hauteur d'âme 220mm) dans la configuration suivante :

Sa fixation sur les HEA 300 se fait par des boulons, à droite sans jeu, à gauche partrous oblongs. Le poids par mètre du profilé est de 26,2 daN.A mi-portée de la poutre est supporté un groupe de climatisation, de poids = 50 kNmodélisé par une force ponctuelle.Déterminer les actions aux appuis.

Etape 1Le système isolé est constitué de___________________________________

Etape 2Bilan des actions extérieures exercées sur le système isolé.

Action à distance :• au point ___ on a la force ___ de direction ____________ orientée vers

________ et dont l'intensité est de ______________________=________KN

Charge(s) :• ___________________________________________________________

___________________________________________________________KN• ___________________________________________________________

___________________________________________________________KN

Appuis :

• A l'appui A de type ______________________ on a _____________________________________________________________________________________________________________________________________________

• A l'appui B de type _______________________ on a ____________________________________________________________________________________________________________________________________________

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Etape 3L’IPE est modélisé par un simple trait, qui est en fait sa ligne moyenne.

Schéma et repère :

Etape 4

➔ Somme des composantes horizontales des forces = 0

Equation 1 _______________________________________________________ = 0

➔ Somme des composantes verticales des forces =0

Equation 2 _______________________________________________________ = 0

➔ Somme des moments des forces par rapport à l'appui fixe (point choisipar libre choix) = 0

Equation 3 _______________________________________________________ = 0

soit en simplifiant :___________________________________________ = 0

Etape 5

La résolution de l'équation 1 donne :

___________________________________________________________________

La résolution de l'équation 3 donne :

___________________________________________________________________

La résolution de l'équation 2 donne, en remplaçant une inconnue par la valeurtrouvée précédemment :

___________________________________________________________________

Récapitulatif des résultats pour les composantes des forces à déterminer :• ____________________________________________________• ____________________________________________________• ____________________________________________________

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Etape 6

Action à l'appui A

point d'application : ______________________________

valeur : ______________________________

direction (angle par rapport à l'axe Ox) :

______________________________

sens : ______________________________

Action à l'appui B

point d'application : ______________________________

valeur : ______________________________

direction (angle par rapport à l'axe Ox) :

______________________________

sens : ______________________________

Etape 7

Schéma récapitulatif final :

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2. EXERCICESPour chacun des cas suivant, déterminer les actions aux appuis.

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Pour chacun des cas suivant, déterminer les actions aux appuis.

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Pour chacun des cas suivant, déterminer les actions aux appuis.

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Pour chacun des cas suivant, déterminer les actions aux appuis.

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Déterminer les actions aux appuis.

Exercice A

Exercice B

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Vérifier les actions aux appuis du modèle ci-dessous.

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3. SYSTEME ISOTATIQUE OU HYPERSTATIQUE ?

On dit d’un système qu’il est isostatique vis-à-vis de l’extérieur,lorsque les réactions d’appui sont au nombre de 3 exactement.

Exemple 1 : La poutre suivante est isostatique vis-à-vis de l’extérieur

Car si l’on fait le schéma en remplaçant les appuis par leurs réactions :

On totalise 3 réactions d’appui (1 en A, 2 en B).

Equilibre :

Exemple 2 : Cas de moins de 3 réactions d’appui

Equilibre :

Exemple 3 : Cas de plus de 3 réactions d’appui

Un système ayant plus de 3 inconnues aux appuis est dit « hyperstatique » de degré i,

avec i = (nombre d'inconnues – 3)

Par exemple dans notre cas, le système est dit hyperstatique d'ordre 112 / 13

Déterminer le degré d’hyperstaticité vis-à-vis de l’extérieur dessystèmes suivants :

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