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PRINCIPIO DE BERNOULLI
HABID E. SANTIAGO MÉNDEZ
JHONATAN CHAVARRO
LAURA QUIROGA QUIROZ
YASSIR DOMÍNGUEZ
PROFESORA:
ING. ANA GARRIDO FLÓREZ
LABORATORIO MECÁNICA DE FLUIDOS
GRUPO AD
UNIVERSIDAD DE LA COSTA CUC
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
14 DE MAYO DE 2013
ÍNDICE PÁGS.
1. INTRODUCCIÓN………………………………………………………....…..1
2. OBJETIVOS……………………………………………………….…….……2
3. MARCO TEÓRICO…………………………………………………..……....3
4. EQUIPO…………………………………………………………………..…...8
5. TRABAJO PRE LABORATORIO………………………………………...…9
6. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Y MATEMÁTICO………………..10
7. DATOS EXPERIMENTALES Y RESULTADOS…………….…….…....20
8. ANÁLISIS DE RESULTADOS……………………………………….….…24
9. GUÍA DE SÍNTESIS………………………………………………….….....25
10. CONCLUSIONES…………………………………………………………...31
BIBLIOGRAFÍA
1
1. INTRODUCCIÓN
La Mecánica de Fluidos constituye un área de la ciencia que estudia el
comportamiento de los fluidos, ya sea en reposo o en movimiento, por lo cual
cabe destacar que para su estudio es fundamental la comprensión de las
propiedades físicas de los fluidos asociadas con aquellas que se pueden ver y
medir. En este sentido, en el presente informe liderado por un grupo de
estudiantes adscritos a la facultad de Ingeniería de la Universidad De la Costa
se efectúa el resultado obtenido a raíz de la experiencia de laboratorio sobre el
Principio de Bernoulli, en donde puntualmente se establece el análisis de la
velocidad para cada caso de caudal y se compara la altura total obtenida en el
manómetro.
Igualmente la ecuación de Bernoulli constituye uno de los pilares
fundamentales de la hidrodinámica, describiendo para ello un sin número de
aplicaciones en la ingeniería, diseño de tuberías para redes de alcantarillado,
entre otras disciplinas.
2
2. OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Determinar experimentalmente la veracidad de la ecuación de Bernoulli
aplicada a un flujo constante de agua cuando es conducido a través de un
conducto cónico.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Caracterizar cada una de las variables que intervienen en el Principio de
Bernoulli.
Identificar las líneas de presión y de energía que intervienen en la ecuación de
Bernoulli.
Contrastar los resultados experimentales obtenidos en la experiencia de
laboratorio con los valores teóricos establecidos para el Principio de Bernoulli.
3
3. MARCO TEÓRICO
La experiencia como tal se fundamenta en bases relacionadas con la mecánica
de fluidos, concretamente lo que se refiere al Principio de Bernoulli y
conservación de la energía mecánica para un flujo constante.
TEOREMA DE BERNOULLI
Este teorema puede ser considerado como la ecuación fundamental de la
hidrodinámica. Constituye una aplicación del principio de conservación de
energía.
Figura 1. Teorema de Bernoulli.
Considérese el tubo de líquido de la figura. Sean ΔS1 y ΔS2 las áreas
correspondientes a las secciones AB y CD. Después de un tiempo Δt las
partículas de fluido de la región ABCD pasan a ocupar la región A’B’C’D’;
siendo el fluido incompresible, esas dos regiones son iguales, por lo que en
4
definitiva, habiendo permanecido invariable la región A’B’CD, lo que ha ocurrido
equivale a transportar la masa de fluido de la región ABA’B’ a la región CDC’D’,
debiendo ser asimismo iguales, por la incompresibilidad del fluido en estas dos
regiones.
Se tiene entonces que en dinámica el trabajo absorbido o realizado por un
sistema se traduce en la variación de su energía cinética y potencial, es decir:
ΔW = ΔEc + ΔEp. Podemos entonces aplicar la ecuación a la masa de fluido
contenida, inicialmente, en la región ABA’B’.
El trabajo de las fuerzas de presión hidrostática es:
ΔW = ( p1 * ΔS1)*AA’- ( p2 * ΔS2) * CC’
Lo cual indica la diferencia entre el trabajo (fuerza por espacio) absorbido por
esa masa de fluido y el realizado por la misma. Se tiene entonces que los
volúmenes de las regiones ABA’B y CDC’D’ son iguales, por lo que deberá ser:
ΔV = ΔS1 * AA’ = ΔS2 * CC’
Dónde, ΔW = ( p1 - p2) * ΔV
Si la densidad del líquido es y si y son las velocidades en AB y CD, la
variación de la energía cinética de la masa de fluido que se está considerando
corresponderá:
5
(
)
Por tanto su energía potencial corresponderá entonces:
( )
Haciendo y simplificando el factor , se obtiene:
(
) ( )
Podemos reescribir la ecuación:
La anterior corresponde a la ecuación fundamental de la hidrodinámica, que se
reduce a la de la hidrostática si .
PRINCIPIO DE BERNOULLI
El fluido hidráulico en un sistema contiene energía en dos formas: energía
cinética en virtud del peso y de la velocidad y energía potencial en forma de
6
presión. Daniel Bernoulli, un científico Suizo demostró que en un sistema con
flujos constantes, la energía es transformada cada vez que se modifica el área
transversal del tubo.
El principio de Bernoulli dice que la suma de energías potencial y cinética, en
los varios puntos del sistema, es constante, si el flujo es constante. Cuando el
diámetro de un tubo se modifica, la velocidad también se modifica. La energía
cinética aumenta o disminuye.
En tanto, la energía no puede ser creada ni tampoco destruida, por lo que el
cambio en la energía cinética necesita ser compensado por la reducción o
aumento de la presión.
ECUACIÓN DE BERNOULLI
Denota la conservación de la energía mecánica para un flujo constante. Se
expresa:
Dónde:
7
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
La ecuación de continuidad traduce, en flujo de fluido incompresible el principio
de conservación de la masa.
Figura 2. Ecuación de continuidad.
8
4. EQUIPO
Para la correcta realización de la experiencia se dispuso de los siguientes
equipos e instrumentos.
Banco hidráulico F1 -10
Aparato de Bernoulli
Tubo de Venturi
Cronómetro
Figura 3. Aparto de Bernoulli empleado en la experiencia de laboratorio
9
5. TRABAJO PRE LABORATORIO
La experiencia de laboratorio sobre el principio de Bernoulli supuso la
necesidad de tener en cuenta los conceptos preliminares acerca del
comportamiento de los fluidos líquidos y de las propiedades físicas que
describen cuando son conducidos a través de un conducto, específicamente el
agua y el comportamiento que ésta evidencia cuando fluye a través de un
conducto cónico, hecho observable en el aparato de Bernoulli empleado en la
experiencia de laboratorio.
De la misma forma, se debe disponer para la realización de la experiencia
claridad acerca de los registros de los datos a obtener, su organización y su
previo significado, con el fin único de contemplar exitosamente el desarrollo de
la práctica de laboratorio y poder contrastar satisfactoriamente los resultados
obtenidos con los establecidos teóricamente para el teorema de Bernoulli.
En última instancia, el punto importante antes de realizar la experiencia
correspondería con la disposición de los estudiantes y la previa concertación de
los procedimientos a emplear; añadiendo la disponibilidad de los equipos, de
los instrumentos y la guía del docente.
10
6. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Y MATEMÁTICO
Para la realización de la experiencia sobre el principio de Bernoulli se dispuso
del siguiente procedimiento en el laboratorio.
1) Disposición del equipo de laboratorio, banco hidráulico.
2) En el tubo de Venturi, tomar los registros de la altura de presión del
líquido. Respectivamente se tomarán los datos correspondientes a la
altura h del líquido en los tubos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8.
3) Considerar los diámetros establecidos por el fabricante del equipo para
cada uno de los tubos.
4) Dirigiéndonos a la base del banco hidráulico, registramos el volumen
recolectado para un volumen previamente establecido en litros.
5) Registrar cada uno de los datos obtenidos, a modo que se pueda iniciar
el respectivo análisis matemático.
11
PROCEDIMIENTO MATEMÁTICO
El procedimiento matemático asociado a la experiencia de laboratorio sugiere
el uso de fórmulas establecidas para la aplicación del principio de Bernoulli y el
principio de la conservación de la energía.
Datos obtenidos a partir de la experiencia de laboratorio:
DATOS EXPERIMENTALES
MANÓMETRO VOLUMEN (lt) TIEMPO (seg) LECTURA MANÓMETRO (mm)
H1 5 44 195
H2 5 44 200
H3 5 44 165
H4 5 44 140
H5 5 44 85
H6 5 44 125
H8 5 44 235
Consideramos los factores de conversión para las unidades.
Volumen
Lectura manómetro H1
12
Lectura manómetro H2
Lectura manómetro H3
Lectura manómetro H4
Lectura manómetro H5
Lectura manómetro H6
Lectura manómetro H8
Por tanto se tiene:
DATOS EXPERIMENTALES
MANÓMETRO VOLUMEN
( )
TIEMPO (seg)
LECTURA MANÓMETRO (m)
H1 0,005 44 0,195
H2 0,005 44 0,20
H3 0,005 44 0,165
H4 0,005 44 0,14
H5 0,005 44 0,085
H6 0,005 44 0,125
H8 0,005 44 0,235
13
Podemos considerar entonces los datos establecidos para el equipo en cuanto
al diámetro y el área transversal de la sección.
DATOS DEL EQUIPO
MANÓMETRO DIÁMETRO (m) ÁREA TRANSVERSAL ( )
A 0,025 0,000490875
B 0,0139 0,000151747
C 0,0118 0,000109359
D 0,0107 0,0000899
E 0,01 0,00007854
F 0,025 0,000490875
Procedemos entonces a calcular el caudal , el cual viene dado por la fórmula:
Dónde:
Considerando ahora el volumen y el tiempo establecido calculamos:
⁄
14
Consideramos el caudal calculado para todas las secciones de la tubería;
posteriormente, teniendo en cuenta el conocimiento del área transversal, así
mismo como el caudal, procedemos a hallar la velocidad, expresada mediante
la fórmula:
Dónde:
Por tanto,
H1
⁄
⁄
H2
⁄
⁄
15
H3
⁄
⁄
H4
⁄
⁄
H5
⁄
⁄
16
H6
⁄
⁄
Ahora podemos calcular entonces la cabeza dinámica, haciendo uso de la
fórmula:
Dónde:
H1
( ⁄ )
⁄
17
H2
( ⁄ )
⁄
H3
( ⁄ )
⁄
H4
( ⁄ )
⁄
18
H5
( ⁄ )
⁄
H6
( ⁄ )
⁄
En última instancia podemos proceder a calcular la cabeza total haciendo
uso de la fórmula:
Dónde:
19
H1
( ⁄ )
⁄
H2
( ⁄ )
⁄
H3
( ⁄ )
⁄
H4
( ⁄ )
⁄
20
H5
( ⁄ )
⁄
H6
( ⁄ )
⁄
7. DATOS EXPERIMENTALES Y RESULTADOS
Datos obtenidos a partir de la experiencia de laboratorio:
DATOS EXPERIMENTALES
MANÓMETRO VOLUMEN (lt) TIEMPO (seg) LECTURA MANÓMETRO (mm)
H1 5 44 195
H2 5 44 200
H3 5 44 165
H4 5 44 140
H5 5 44 85
H6 5 44 125
H8 5 44 235
21
CONVERSIÓN
En la siguiente tabla se muestran las especificaciones para el aparato de
Bernoulli empleado en la experiencia.
DATOS DEL EQUIPO
MANÓMETRO DIÁMETRO (m) ÁREA TRANSVERSAL ( )
A 0,025 0,000490875
B 0,0139 0,000151747
C 0,0118 0,000109359
D 0,0107 0,0000899
E 0,01 0,00007854
F 0,025 0,000490875
DATOS EXPERIMENTALES
MANÓMETRO VOLUMEN
( )
TIEMPO (seg)
LECTURA MANÓMETRO (m)
H1 0,005 44 0,195
H2 0,005 44 0,20
H3 0,005 44 0,165
H4 0,005 44 0,14
H5 0,005 44 0,085
H6 0,005 44 0,125
H8 0,005 44 0,235
22
RESULTADOS OBTENIDOS A PARTIR DEL PROCEDIMIENTO
MATEMÁTICO ESPECIFICADO PARA LA EXPERIENCIA
Datos calculados a partir del procedimiento matemático descrito.
DATOS CALCULADOS
MANÓMETRO
CAUDAL
⁄ VELOCIDAD
(m/s)
CABEZA DINÁMICA
(m)
CABEZA TOTAL (h0)
SONDA DE LECTURA (hg)
H1 0,000113636 0,231497558 0,002733962 0,197733962
0,235
H2 0,000113636 0,748854103 0,028608431 0,228608431
H3 0,000113636 1,039113046 0,055083967 0,220083967
H4 0,000113636 1,264030741 0,08151075 0,22151075
H5 0,000113636 1,446859736 0,106795383 0,191795383
H6 0,000113636 0,231497558 0,002733962 0,127733962
DATOS CALCULADOS
POSICIÓN
CAUDAL
⁄ VELOCIDAD
(m/s)
CABEZA DINÁMICA
(m)
CABEZA TOTAL (h0)
SONDA DE LECTURA
(hg)
A 0,000113636 0,231497558 0,002733962 0,197733962
0,235
B 0,000113636 0,748854103 0,028608431 0,228608431
C 0,000113636 1,039113046 0,055083967 0,220083967
D 0,000113636 1,264030741 0,08151075 0,22151075
E 0,000113636 1,446859736 0,106795383 0,191795383
F 0,000113636 0,231497558 0,002733962 0,127733962
23
GRÁFICAS
Podemos entonces a través de las gráficas comparar para la experiencia la
velocidad (v), cabeza dinámica y cabeza total para cada línea A – F del
equipo considerado en la experiencia.
POSICIÓN VELOCIDAD (m/s) CABEZA
DINÁMICA (m) CABEZA TOTAL
(h0)
1 - A 0,231497558 0,002733962 0,197733962
2 - B 0,748854103 0,028608431 0,228608431
3 - C 1,039113046 0,055083967 0,220083967
4 - D 1,264030741 0,08151075 0,22151075
5 - E 1,446859736 0,106795383 0,191795383
6 - F 0,231497558 0,002733962 0,127733962
Figura 4. Comparación entre los valores correspondientes para la velocidad, cabeza dinámica y cabeza
total.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1 2 3 4 5 6
VELOCIDAD 0,23149756 0,7488541 1,03911305 1,26403074 1,44685974 0,23149756
CABEZA DINÁMICA 0,00273396 0,02860843 0,05508397 0,08151075 0,10679538 0,00273396
CABEZA TOTAL 0,19773396 0,22860843 0,22008397 0,22151075 0,19179538 0,12773396
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8. ANÁLISIS DE RESULTADOS
De acuerdo al desarrollo de la experiencia encontramos entre otros aspectos
que para un fluido líquido, en este caso el agua, se establecen propiedades
físicas que lo distinguen de otros fluidos. Por consiguiente, estas mismas
propiedades son las que permiten caracterizar el comportamiento del fluido
cuando es conducido a través de un conducto del tipo cónico, tal como se
evidenció en el tubo de Venturi.
Igualmente, efectuando el análisis matemático correspondiente, para la fórmula
del caudal se establece que éste guarda una relación directamente
proporcional conforme al volumen establecido; y al mismo tiempo una relación
inversamente proporcional al tiempo considerado en la experiencia, traducido
en que al establecimiento de un caudal mayor, se establecerá igualmente una
velocidad mayor, por tanto el tiempo disminuiría.
Adicionalmente cabe destacar que en el tubo de Venturi, tal cual se evidenció
en la práctica, cuando está a nivel, no se presenta variación de energía
potencial gravitacional, por lo cual la energía total del agua en cualquier punto a
lo largo del tubo corresponde a la suma de las energías cinética y potencial de
presión. Se tiene entonces que para que la energía total permanezca intacta,
en los puntos en donde se incremente la energía cinética, habrá entonces una
disminución de la energía potencial debida a la presión, igual ocurriría en caso
contrario. De esto analizamos que donde la velocidad de un fluido es alta, su
presión es baja, y donde la velocidad es baja, la presión es alta.
25
9. GUÍA DE SÍNTESIS
Investigar la aplicación del teorema de Bernoulli en la hidráulica de tuberías y
canales.
APLICACIONES DEL TEOREMA DE BERNOULLI EN LA PARTE
HIDRÁULICA EN CANALES Y TUBERÍAS
Las aplicaciones del teorema de Bernoulli en canales como podemos ver
abarca mucho sobre todo lo que sea de canales y tuberías ya que el teorema
de Bernoulli contiene toda relación con la energía de los fluidos como son:
APLICACIONES DEL TEOREMA DE BERNOULLI EN LA HIDRÁULICA EN
CANALES
Ecuación de la energía
Ecuación del impulso
Distribución de velocidades
Distribución de presiones
Principio del flujo repentinamente variado
Consideraciones sobre la energía profundidad critica
Condiciones de control para el flujo en canales
Consideraciones sobre el impulso (salto hidráulico)
Energía en escurrimientos en canal abierto
Energía especifica
Criterio para el estado crítico del flujo
26
Energía en canales no prismáticos
Fuerzas especificas
DISTRIBUCIONES DE VELOCIDADES
Debido a la presencia de la superficie libre y a la fricción a lo largo de las
paredes del canal, las velocidades no están uniformemente distribuidas en su
sección. Para el estudio de la distribución de las velocidades se consideran dos
secciones
Sección transversal
Sección longitudinal
DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES
Una condición importante para la aplicación de la ecuación de la energía de
acuerdo con la ecuación es disponer las secciones límites del volumen de
control en zonas de distribución hidrostática de presiones. Sin la consideración
de esta limitación se requiere otro coeficiente en la deducción de la ecuación
de la energía el cual sería una función de la profundidad y de la corriente
27
PRINCIPIO DEL FLUJO REPENTINAMENTE VARIADO
El flujo a través de un canal abierto cuya no uniformidad obedece a variaciones
de la sección transversal o a cambio de profundidad en tramos cortos(o en
forma más general debido a grandes aceleraciones o desaceleraciones).
CONSIDERACIÓN SOBRE EL IMPULSO
La velocidad de propagación de las ondas es una función de su amplitud
cuanto mayor sea la amplitud de la onda tanto mayor será la velocidad de
propagación de tal manera sea la amplitud de la onda de mayor altura puede
desplazarse hacia aguas arriba incluso para flujo supercrítico.
La pérdida de energía en el salto hidráulico es originada en exclusiva por
fuerzas que son efecto de los vórtices turbulentos en el interior de la masa
liquida y que no necesitan ser tomadas en cuenta en su calidad de fuerzas
internas dentro de la ecuación de impulso
APLICACIONES DEL TEOREMA DE BERNOULLI EN LA HIDRÁULICA EN
TUBERÍAS
Tipos de flujos
Resistencia al flujo en conductos circulares
Perdidas de energía por fricción
Interacción flujo pared solida
Distribución de esfuerzos en tuberías circulares
Distribución de velocidades
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Perfiles de velocidad
Diseño de tuberías simples
Diseño de redes (acueducto, alcantarillado)
TIPOS DE FLUJO
Los flujos se clasifican en:
Uniformes
No uniformes
Permanentes
Estacionarios
No permanentes
El flujo en un canal o tubería se puede determinar mediante las siguientes
cantidades físicas
Desplazamiento de una partícula de fluido
Velocidad de una partícula de fluido en un punto del campo de flujo
Aceleración de una partícula en un punto del campo de flujo
PÉRDIDAS DE ENERGÍA POR FRICCIÓN
Relacionar el tipo de flujo con las pérdidas de energía que se presentan cuando
un fluido se mueve a través de un ducto Reynolds comprendió que para
cuantificarlas su experimento de la tinta no era el más adecuado. Se sabía que
29
las pérdidas por unidad de longitud se comportaban en forma diferente para
flujo laminar y para flujo turbulento.
INTERACCIÓN FLUJO PARED SÓLIDA
Siempre un fluido en movimiento interactúa con una pared solida el esfuerzo
cortante que se genera afecta principalmente una zona de dicho flujo esta zona
recibe el nombre de capa limite lo cual puede ser laminar o turbulenta.
DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN TUBERÍAS CIRCULARES
Estas pérdidas son consecuencia del esfuerzo cortante que existe entre el
fluido en movimiento y la pared sólida para encontrar la distribución de este
esfuerzo en la sección transversal del fluido se debe tomar el fluido contenido
en un tramo de tubería e indicar todas sus fuerzas que actúan en él.
OTRAS APLICACIONES
En síntesis el principio de Bernoulli nos ayuda a comprender algunos procesos
necesarios en la agricultura, por ejemplo en la imagen se observa que en la
parte hundida del surco el viento viaja más lentamente que en la parte elevada,
lo cual origina presiones diferentes que favorecen su aereación.
30
SUSTENTACIÓN DE AVIONES
Quizás muchas veces nos preguntemos ¿Por qué se pueden elevar los
aviones? Pues, este fenómeno es un tanto complejo, pero simplificadamente,
en el diseño de las alas de los aviones se aplica el principio de Bernoulli, pues
están construidas de tal forma que las líneas de aire que vienen en contra,
cuando el avión se desplaza, conocidas como líneas de flujo, se juntan más en
la parte superior del ala, porque ahí la velocidad del aire es mayor, y con ello
disminuye la presión en esta área, dando como resultado una fuerza de empuje
hacia arriba en la parte inferior de las alas.
ATOMIZADOR O ROCIADOR
La presión del aire soplado a alta velocidad sobre el tubo vertical del
atomizador es menor que la presión atmosférica que actúa sobre la superficie
del líquido, por lo cual el líquido se empuja hacia arriba a través del tubo
vertical, a causa de su menor presión de la parte superior. Ahí las gotas de
líquido son esparcidas por el mismo aire soplado.
31
10. CONCLUSIONES
Podemos concluir entonces de acuerdo a la experiencia de laboratorio que
cuando un fluido viaja por un tubo de una sección angosta, su rapidez se
incrementa, evidenciado en la experiencia a través del tubo de Venturi el
aumento de rapidez del flujo de agua en la parte más estrecha. Igualmente el
fluido debe aumentar su rapidez en la región estrecha para que el flujo se
constante.
Por otra parte se tiene que cuando el fluido se desplaza, la energía está
presente en diferentes formas; por lo cual se establece que si la tubería es
horizontal, su energía potencial gravitacional no cambia, una parte se almacena
en la presión de un fluido y otra parte como energía cinética en el respectivo
movimiento. Ahora, si la rapidez dentro del tubo se incrementa
sorpresivamente, habrá más energía cinética que antes; lo cual es posible
debido a que la presión en el interior del fluido debe descender drásticamente,
de forma tal que la energía total permanezca constante.
BIBLIOGRAFÍA
FERNÁNDEZ BONO, Juan F y MARCO SEGURA, Juan B. Apuntes de
Hidráulica Técnica. Universidad Politécnica de Valencia. Departamento de
Ingeniería Hidráulica y Medio Ambiente. Servicio de Publicaciones: España.
1992.
POTTER, Merle C, WIGGERT, David C. Mecánica de fluidos 2da Edición,
Editorial Prentice Hall México.
SOTELO ÁVILA, Gilberto. Hidráulica General. Volumen 1. Editorial Limusa.
1980.
