Princpios Estatica Resist en CIA Materiales

8/14/2019 Princpios Estatica Resist en CIA Materiales

1/66

FSICA ESTTICA RESISTENCIA - GASES 95

95

PRINCIPIOS DE ESTTICA Y RESISTENCIADE MATERIALES

Equilibrio del cuerpo rgido sometido a fuerzasSe ha visto hasta ahora que un sistema de fuerzas que actan sobre uncuerpo rgido es equivalente a una resultante cuyo mdulo es el de lasuma vectorial de las componentes. La recta de accin de esa resultantedebe pasar por el punto para el cual se anula la suma de los momentos deprimer orden de todas las componentes.

Si ese punto no puede hallarse es porque adems de las fuerzas, acta

sobre el cuerpo rgido un par de fuerzas paralelas de igual intensidad ysentido contrario, que no es reducible a una sola fuerza: se trata de unacupla, caracterizada por su momento.

Para que haya equilibrio esttico de fuerzas (sin movimiento) sobre uncuerpo rgido, deben ser nulos la resultante y el momento de todas lasfuerzas con respecto a cualquier punto del plano en el caso de fuerzas queresiden en un plano (coplanares).

Otra condicin de equilibrio equivalente a la anterior es que sean nulos los

momentos resultantes de todas las acciones con respecto a tres puntos noalineados pertenecientes al plano. Se comprende que esta ltima condicingarantiza que la resultante sea nula. En efecto, si no lo fuera y dos de lospuntos cayeran sobre su recta de accin, daran momento nulo, dando lasensacin de equilibrio; sin embargo, el tercero no alineado acusara unmomento no nulo, poniendo de manifiesto as una resultante distinta de cero.

Un sistema en el espacio sometido a fuerzas no coplanares, se puede re-solver proyectando las fuerzas sobre tres planos no paralelos (por ejemplouno (X,Z) vertical, otro (X,Y) horizontal y un tercero (X,Z) perpendicular a los

otros dos, correspondientes a una vista en elevacin de frente, otra en plantay una tercera en profundidad) y buscando la resultante en cada proyec-cin, que sern componentes de la resultante en el espacio.

El equilibrio en este caso exige resultante nula (las tres proyecciones nulas)y momento nulo. Con respecto al momento, recordemos que es un vector,resultado del producto de la fuerza por la distancia. Ese vector es libre, esdecir no tiene punto de aplicacin ni recta de accin. Slo direccin. En unsistema de fuerzas en el plano es perpendicular al mismo. En el caso defuerzas en el espacio el momento es un vector espacial, es decir que tiene

tres componentes o proyecciones una en cada uno de los ejes coordenados.


2/66


96

En la figura se ven dosvectores en el espacio:

el rojo A y el azul B.Son alabeados, esdecir que no se cortan.Por lo tanto no puedentener como resultanteslamente una fuerza,sino adems un mo-

mento, resultado de trasladar la recta de accin de una cualquiera de lasfuerzas (en el dibujo la B) sobre la de la otra. El momento de traslacin MMser perpendicular al plano de traslacin (sombreado en celeste).

Estabilidad de sistemas cargados

Esttica

La esttica es la parte de la mecnica que plantea y resuelve las condicio-nes de equilibrio en reposo de sistemas de cuerpos en base a las accio-nes que obran sobre ellos (fuerzas y momentos). Los cuerpos que integranlos sistemas en estudio no estn libres en general, sino vinculados entre sy con la tierra a travs de diversos rganos de unin llamados vnculos.

Por ejemplo, para construir un edificio se trabaja con un modelo grfico a escala delmismo y se fijan los diversos vnculos al terreno y eventualmente a otras estructuras.Luego se supone uno o varios estados de carga: peso propio, peso de personas yobjetos fijos y en movimiento, empuje del viento, posible accin ssimica, etc., Secalculan luego las reacciones de vnculo y los esfuerzos en los elementos de la es-tructura necesarios para que todo el sistema est en equilibrio. Con estos esfuerzos sedimensionan o verifican las vigas, columnas , losas, cimientos y en general elementosestructurales del edificio, de acuerdo a la resistencia caracterstica de los materialesque se van a emplear.

VnculosUn vnculo es un rgano de unin entre cuerpos de un sistema, que imponeuna limitacin caracterstica a la posibilidad de movimiento relativo entre loscuerpos a los que se aplica.

Por ejemplo:

Articulacin o apoyo fijo, materializada por un perno fijo a un cuerpodentro de un gorrn o cojinete solidario al otro o a la base del sistema.Cuerpos vinculados con articulaciones pueden girar uno con respecto al

otro pero no pueden alterar la posicin relativa del eje de giro. En el

MM

R

Composicin de dos fuerzasalabeadasA+B= R ; MM

A

A

B B

x

z

y

z

y

x


3/66


97

cuerpo humano, los codos, las rodillas y los tobillos son articulaciones. Rtula: cuando la articulacin permite giros fuera del plano, es decir en

tres dimensiones, se llama rtula (el fmur est articulado a la caderapor una rtula). En vez de un eje cilndrico rodeado de una pista tambin

cilndrica, una rtula est materializada por una terminacin esfricaalojada en una cavidad tambin esfrica) Apoyo mvil o deslizante, que puede ser un patn fijo a un cuerpo, que

se desliza por una pista plana solidaria a otro cuerpo o a la base. Estetipo de vnculo no permite giro ni desplazamiento fuera de la direccinespecificada.

Apoyo articulado: es una combinacin de los dos anteriores, por ejem-plo el tobillo sobre un pi con un patn.

Empotramiento, que es cualquier vnculo que impida la rotacin y eldesplazamiento. Por ejemplo, una varilla hundida en la tierra est em-

potrada en ella. Dos apoyos mviles con pistas no paralelas aplicadasen el mismo punto tambin son un empotramiento. Un empotramientopuede considerarse como una fusin en uno slo de los dos cuerpos alos que est aplicado.

Grados de libertadAl restringir los movimientos de los puntos del cuerpo donde estn aplicados,los vnculos limitan los grados de libertad del sistema, que son los par-metros independientes necesarios para definir unvocamente la posicin delslido en el espacio. Un cuerpo rgido en elplano (una placa indeformable)

tiene tres grados de libertad: dos coordenadas para un punto cualquiera y ladireccin de una recta trazada sobre su superficie (medida por el ngulo queforma con alguno de los dos ejes). En el espacio, un cuerpo rgido tiene seisgrados de libertad: tres coordenadas que definen la posicin de uno de suspuntos, dos ngulos que definen la orientacin de un eje de referencia en elespacio y un tercer ngulo para definir la posible rotacin alrededor de eseeje1. Al aplicar un vnculo, por ejemplo una articulacin en un punto del cuer-po, fijamos su posicin y restamos dos grados de libertad al sistema en elplano o tres en el espacio.

Los vnculos producen reacciones que equilibran la acciones aplicadas alsistema de fuerzas, de tal manera que la resultante entre acciones exterioresy reacciones de vnculo es nula cuando el sistema est en equilibrio. Lasreacciones tienen caractersticas impuestas por el tipo de vnculo: por ejem-plo, un apoyo mvil slo puede generar una reaccin perpendicular al planode apoyo, y un empotramiento en cambio puede producir fuerzas en cual-quier direccin y adems absorber momentos.

1

Para fijar la posicin de un slido en el espacio hay que definir la posicin de trespuntos, lo cual da nueve coordenadas. Sin embargo, por ser indeformable, las tres

distancias entre puntos son fijas, lo que reduce el nmero de variables a seis. Pienseel lector cmo demostrar que este razonamiento es equivalente al expuesto en el texto


4/66


98

Sistemas isostticos e hiperestticosSi la cantidad y calidad de vnculos impuestos al sistema restringe menosde los grados de libertad que ste posee, el sistema no tendr asegurado

su equilibrio, aunque pueda eventualmente presentar ese aspecto a travsde un estado de equilibrio indiferente o inestable. Estado indiferente es elde una viga horizontal (tres grados de libertad) apoyada en sus extremos ensendos apoyos mviles sin rozamiento (dos grados de libertad), que puedeestar en equilibrio slamente si se carga con fuerzas verticales.

En cambio, se mover ante fuerzas queden una resultante inclinada, ya queninguno de los dos apoyos podr equili-brar la componente horizontal de dicha

resultante. Una rueda libre (tres gradosde libertad) sobre un plano horizontal,que le restringe la coordenada vertical desu centro y la posicin del punto de con-tacto con el plano sobre el que puederodar, queda con un grado de libertad ytambin presenta equilibrio indiferente.

En cambio, esa rueda en la cima de una loma est en equilibrio inestable,ya que una mnima accin la colocar sobre un plano inclinado, que no pue-de absorber su peso vertical.

Cuando la cantidad y calidad de los vnculos impuestos a un sistema restrin-ge exactamente su nmero de grados de libertad, sus reacciones equilibranlas acciones imperantes en forma unvoca. Se dice que el sistema est est-ticamente determinado o es isosttico. Una viga con un apoyo mvil y otrofijo puede equilibrar la resultante de las cargas impuestas de una sola forma:con una reaccin perpendicular al apoyo mvil y otra en cualquier direccinque pasa por el apoyo fijo.

Cuando un sistema est vinculado de ma-nera sobreabundante, es decir con msrestricciones que grados de libertad, sellama hiperesttico. El caso de la viga dela figura, vinculada con dos apoyos fijos, esun sistema hiperesttico cuya solucinrequiere que las reacciones de vnculopasen por los dos apoyos. Hay infinitassoluciones si consideramos que la fuerza

puede moverse a lo largo de la recta de accin, como se hace para el cuerporgido. En cambio, la solucin es nica cuando fijamos un punto P de aplica-cin de la fuerza. Esto significa que la solucin unvoca de sistemas hipe-restticos requiere que se consideren cuerpos en los que interviene el punto

estado de equilibrioconenerga mnima

equilibrioindiferente

equillibrioinestable

P


5/66


99

de aplicacin de la fuerza, as como las deformaciones producidas por lasmismas.

Muchos sistemas reales son hiperestticos: edificios, puentes y otras es-

tructuras slidas y reticuladas. Por ejemplo, las vigas de los edificios, empo-tradas en ambos extremos a las columnas y a las vigas contiguas, tienenrestringidos seis grados de libertad en el plano. La solucin de tales sistemasse hace con mtodos especiales de los que daremos luego algunas pautas.

Principio de los trabajos virtualesUn sistema en equilibrio est en elestado de energa mnima. Por lotanto cualquier desplazamiento haciaun lado o hacia el otro de esa posicin

de equilibrio significar un estado deenerga mayor que la que tiene. Esamayor energa es a costa del trabajode las fuerzas exteriores aplicadas. Secomprende que en estado de energamnima, un pequesimo cambio hacia

un lado o hacia el otro significar, como en el caso de la bola en la concavi-dad, un desplazamiento perpendicular al peso y a su reaccin, es decir detrabajo nulo.

Precisamente, el principio de los trabajos virtuales (o infintesimales) afirmaque es nulo el trabajo de las fuerzas exteriores al sistema en equilibrio frentea un desplazamiento infinitamente pequeo y lento compatible con los vn-culos.

Cada tipo de vnculo admite un tipo de desplazamiento compatible con l:por ejemplo, un apoyo mvil permite slo un desplazamiento sobre el planode deslizamiento del patn. Un apoyo fijo permite una rotacin. Un empotra-miento permite slamente una flexin manteniendo la direccin de la tan-gente.

Ejemplo: Equilibrio en el plano inclinado: El peso P de la vagoneta que puede rodarsin resistencia por el plano inclinado, est equilibrado por la composicin de la reac-cin del plano |R|= |Pcos | y la fuerza de traccin |F| = |P.sen |que hace eloperario Celestino a travs de la soga paralela al piso inclinado.

Aplicando el principio de los trabajos virtuales podemos hacer el siguiente razona-miento para averiguar al incgnita, que es el mdulo de la fuerza F:

En un desplazamiento OO muy pequeo y hecho muy lentamente sobre el plano(compatible con el vnculo) ser nula la suma del trabajo suministrado por Celestino yel trabajo resistido por la vagoneta, que se empea en ir cuesta abajo. Expresando

ambos trabajos por los respectivos productos escalares entre fuerza y distancia, nos

P

F = -P.sen ())

P.cos ())

O'

/2/2EQUILIBRIO EN UN PLANO INCLINADO

O


6/66


100

queda:F.OO + P.OO = 0

Resulta que F.OO= F.OO y tambin P.OO= P.OO.cos (/2-) = P.OO.sen ()

Entonces es F.OO + P.OO.sen () = 0 de donde F = -P.sen ()

La aplicacin del principio de los trabajos virtuales es parti-cularmente til en los casos en que se desea poner demanifiesto el esfuerzo resistente de un vnculo que mantie-ne el equilibrio.

En el caso estudiado, se debe considerar que Celestinorecibe un esfuerzo de traccin F a travs de la soga. Eseesfuerzo se compone con el peso G de nuestro amigo,

dando una resultante R que se transmite al suelo. El exce-lente calzado antideslizante que usa nuestro amigo se

adhiere al piso con una fuerza de rozamiento T, la que compuesta con la reaccin delsuelo N equilibra la fuerza R

2

RozamientoYa habamos visto que el fenmeno delrozamiento o friccin era tpico de sis-temas no conservativos.

El motivo del rozamiento o friccin entredos objetos puede entenderse con unavisin microscpica del contacto entredos cuerpos slidos, en los que sus su-perficies rugosas tienden a engranarse o compenetrarse. Como resultadoaparece: Una fuerza que se opone al deslizamiento de una superficie sobre la

otra (rozamiento de resbalamiento o deslizamiento), o bien : Otra fuerza menor que se opone a que una superficie ruede sobre la

otra (rozamiento de rodadura)

Rozamiento de deslizamiento

El fenmeno obedece a una ley lineal, que asigna al rozamiento una fuerzatangente Fr a la superficie de contacto que se opone al movimiento relativolineal.

2

Como se ver al tratar el tema del rozamiento, la fuerza T es proporcional a la fuerza

normal N a travs de un coeficiente que depende del tipo y estado de los materialesen contacto; (por ejemplo para goma seca y cemento alisado, T/N 1)

G

-F

R

T

N

G

-F

N

T

R

Fr

P Fr

V=cte

Determinacin experimental del

coeficiente de rozamiento en movimiento

m=Fr/P


7/66


8/66


102

Pero la fuerza Fno est equilibrada por ninguna otra, por lo que produciruna aceleracin en la direccin del plano inclinado igual a:a=F/m = g [cos () sen ()]

Segn sea el corchete de la anterior negativo, nulo o positivo, pueden darseen teora los tres correspondientes casos, que pasamos a interpretar:

1. [cos () sen ()] < 0 , de donde > tg () (a 0 , de donde < tg () (a>0)

Primer caso: Si la pendiente es menor que el coeficiente, no hay desliza-miento. En cambio NO puede concluirse que, impulsado por una accin

exterior el cuerpo se frene debido a la desaceleracin (a


9/66


103

El momento resistente total M rM r es la suma de los escalares mide maneraque M rM r = . r . ni . Pero ni es una suma de mdulos representado por lalongitud del arco, mayor que la suma de vectores elementales N=ni (verfigura). As, el momento resistente creado por las fuerzas de rozamiento dedeslizamiento en el cojinete es M rM r = cr. r . P donde 1


10/66


104

temperatura generalmente termina disipndose en el ambiente a travs deun proceso de transmisin de calor, que es netamente irreversible.

Problema:

Cul ser el peso mnimo P necesario para que comience el deslizamiento delbloque de ladrillos de peso P sobre la rampa de hormign inclinada en un ngulo con respecto a la horizontal?

Planteo: En la figura, el equilibrio de fuerzaslleva a plantear las siguientes ecuaciones:Fr= r.N= r.P.cos ()P= P.sen () + Fr = P.[sen () +r cos ()]

P = P + r, siendo r la resistencia en el ejer de la polea ms el rozamiento r soga-polea distribudo en la garganta, sobre elarco =(+/2)=(+/2) de contacto entre ambas.

El rozamiento r en el eje de la polea deradio se gobierna por la frmula ya vistaM r = c r. . R = .r de donde r = c.r.RConsideraremos que el rozamiento r de lasoga sobre la garganta de la polea es derodadura por lo que, segn lo ya visto esMM rod=jj.R = .r de donde r=.R/

La fuerza de la soga P y el peso P sesuponen aplicados en el centro de gravedadG, no as la fuerza de rozamiento Fr , cuyarecta de accin se ubica en el plano dedeslizamiento, que es la base del bloque.Aparece as un momento Fr.dque se equilibra con el corrimiento de la reaccin -Ndelplano en una distancia dtal que N.d= Fr.d

Solucin para :=30 (0,52), =+/2=2,09P=1 Kgf =98 Nr=0,7(ladrillo/hormign)r=0,2(hierro/bronce)c=/2=0,005 m (camo/hierro)

P= P.sen () + Fr = P.[sen () +r cos ()] = 98.[0,5+0,7.0,866]=108,41 NComo no conocemos an R estimamos su valor para el prximo clculo en 2P.cos() =2.108,41.0,866=187,67Nr = c.r.R = /2.0,2.187,67=60Nr = r=.R/ = 0,005.187,67/0,1 = 9,38N

Respuesta : P = P + r + r = 98+60+9,38 = 167,38N

PFr

P=

P+r

r

- P

P

P

R

P-P

r-R

G

-N

NFr

P

d

d

=+/2=+/2

=(/2)/2=(/2)/2


11/66


105

Equilibrio de cuerpos elsticos sometidos a esfuer-zos

Sea una viga horizontal depeso propio despreciable apo-yada en sus extremos A y Bcon una carga P concentradaen un punto S de la misma. Lacarga Pest equilibrado por lasreacciones de los apoyos RA yRB de acuerdo a lo que yasabemos.

Para saber que pasa adentrodel cuerpo rgido sometido aesfuerzos, en este caso la viga,imaginemos que la cortamos enuna seccin intermedia SSperpendicular a su eje. Paraevitar que el equilibrio se rompay todo se venga abajo, se po-dra mantener aqul trasladan-do todas las fuerzas a SS, loque equivale a ejercer sobre lacara izquierda de la viga sec-cionada un momento de traslacinRA.ll1-P.ll3 , y sobre la cara derecha otromomento igual RB.ll2 (Ntese que el equilibrio de momentos exige que RA.l1-P.l3=RB.l2). Adems sobre la cara izquierda actan las fuerzas trasladadasRA-P = -RB, que se equilibra con +RB, de la derecha.

Ahora bien: si la viga entera est en equilibrio es porque estas accionesexisten en su interior antes de seccionarla, y estn ejercidas por fuerzasinternas anlogas a la que resiste el pegamento con el que eventualmente

arreglramos el supuesto corte.

Ese pegamento, que hemos representado con una masa elstica verde queune ambas partes, soporta un efecto de flexin que aprieta la parte de arribay tira de la de abajo. Adems soporta el esfuerzo de deslizamiento o cortehacia abajo de la parte izquierda y hacia arriba, de la parte derecha de laviga.(las dos partes de la viga actan sobre la goma como las dos hojas deuna tijera)

Decimos as que la seccin de la viga SS est solicitada por un momento de

flexin o momento flector (que trata de flexionarla) igual al momento de

AB

P

RA RB

RA

RB

P

S

S

l 1 l 2

l 3

AB

ESFUERZO DE CORTE Y

MOMENTO DE FLEXIN EN LASECCIN SS


12/66


106

todas las fuerzas situadas a la izquierda de la seccin SS considerada (o a laderecha, con signo contrario). Adems, acta sobre ella el esfuerzo de cor-te, igual a la suma de todos las fuerzas trasladadas desde la izquierda odesde la derecha.

El momento flector y el esfuerzo de corte son las acciones principales quedeterminan el estado interno de tensin y deformacin en los cuerpos elsti-cos, es decir aquellos cuerpos que, contrariamente a los rgidos, se defor-man ms o menos bajo las acciones exteriores, equilibrando as sus efectos.

Es fcil ver que el momento flector est representado por la ordenada delpolgono funicular y el esfuerzo de corte tiene una intensidad dada por lasuma de las cargas situadas a la izquierda, llamada funcin de corte.

El esfuerzo de flexin que resiste una seccin de la viga es, como ya se dijo, igual almomento de todas las fuerzas que actan a la izquierda de dicha seccin, o al mo-mento de las de la derecha con signo opuesto, condicin que exige el equilibrio pro-puesto para la pieza. Por convencin, los ingenieros suelen tomar como positivo elmomento que tiende a hacer girar la pieza en el sentido horario. As, en caso de pie-zas apoyadas en sus extremos y cargadas verticalmente hacia abajo entre apoyos, elmomento crece hacia la derecha desde cero en el apoyo izquierdo, donde reside unafuerza de reaccin hacia arriba. Este crecimiento se mantiene hasta el punto de apli-cacin de la fuerza, donde el momento flector presenta un valor mximo. De all haciala derecha comienza a disminuir su valor hasta llegar al apoyo derecho, lugar en quellega a cero. La razn de que en los apoyos la flexin deba ser nula se comprendeteniendo en cuenta que este tipo de vnculo no resiste momento. Por otra parte, el

momento en cualquier seccin intermedia es la suma de momentos de todas las fuer-zas situadas a la izquierda. Momento es el resultado del producto escalar fuerza pordistancia, igual al valor del rea del rectngulo cuya altura es la fuerza y cuya base esla distancia. Esto hace que cada una de las fuerzas que vamos encontrando en nues-tro viaje por la viga desde la izquierda hacia la derecha (cuya resultante vertical es elesfuerzo de corte) nos va dejando un rea que se suma o se resta segn que el senti-do de la fuerza sea respectivamente hacia abajo o hacia arriba. De tal manera, el reaentre la funcin de corte y el eje de la viga hasta la seccin considerada representa elmomento flector.

Entre los grficos de carga, de esfuerzo de corte y de momento flector existe

una relacin funcional: el grfico de momento flector da el rea que encierrala funcin de corte desde un extremo hasta la seccin considerada, por con-vencin positiva arriba del eje de la viga y negativa abajo de ste. A su vez,el momento de corte representa el rea del diagrama de cargas, es decir quees proporcional al rea que delimitan las cargas con el eje de la viga hasta laseccin considerada. Desde el punto de vista matemtico, esto significa quela funcin de momento flector es la integral de la funcin de corte y sta a suvez es la integral del diagrama de cargas. O lo que es equivalente, que eldiagrama de cargas marca la derivada del esfuerzo de corte y ste repre-senta la derivada o pendiente del momento flector.


13/66


107

Caso de cargas distribudasVimos ya que una carga concentrada en un punto es una aproximacinpara una carga distribuda en un rea muy pequea, y que en la realidadtodo esfuerzo est aplicado sobre un rea finita del cuerpo solicitado. Cuan-

do el problema se puede representar en dos dimensiones, por ser constantela tercera (caso de la profundidad de una barra o placa), se trabaja con ladistribucin de la carga en la dimensin en la que vara, por ejemplo la lon-gitud. El cociente entre fuerza y superficie o entre fuerza y longitud caracteri-za a una carga distribuda, y se representa respectivamente con una diagra-ma en tres o dos dimensiones cuyas ordenadas son ese cociente, con absci-sas en el eje de la pieza solicitada.

En la figura, vemos a una viga delongitud L con una carga lineal-

mente distribuda perpendicular-mente sobre su eje, caracterizadapor un valor constante q [Kg/m],comparada con la misma viga car-gada con una fuerza equivalenteconcentrada en el medio, igual aP=q.L

Los diagramas superpuestosmuestran que la carga distribuda

produce esfuerzos de corte linea-les, en vez de los escalonados quecrea la carga concentrada. Esto es as porque a medida que nos movemoshacia la derecha vamos sumando esfuerzos infinitsimos graduales ofinitos abruptos, segn sean las fuerzas respectivamente distribudas oconcentradas.

De la misma manera, el momento flector vara linealmente para el caso decarga concentrada, ya que el rea debajo del esfuerzo de corte rectangularcrece proporcionalmente a la distancia al apoyo y a la magnitud del esfuerzode corte, que es constante hasta la seccin de aplicacin de una fuerza. Allel momento flector es mximo y vale MM mx = RA.L/2 = P.L/4

Las rectas de crecimiento y decrecimiento son en realidad las direcciones enlas que el polgono funicular descompone a la fuerza concentrada en loapoyos. (ver figura).

En el caso de carga distribuda, el rea crece con la abscisa y con la orde-nada, la que a su vez es linealmente dependiente de esa abscisa: en conse-cuencia la funcin momento flector vara con el cuadrado del rea de la or-

denada de corte, dando una parbola de la mitad de la altura que el trin-

Comparacin entre carga concentradaycarga dsitribuda

carga dsitribudaq

carga concentradaF=q.L-->

Esfuerzo de corte

Momento flector


14/66


108

gulo del caso de fuerzas concentradas. Los lados de este tringulo son tan-gentes a la parbola en los apoyos.

Resulta as que en caso de fuerzas distrubudas en forma constante el mo-

mento de las fuerzas que obran hasta la mitad de la viga es :MM mx = RA.L/2-{o

L/2q.l .l .dll} = PL/4-qL2/8 = P.L/8

Deformacin de la materia debida a esfuerzos

La materia slida opone esfuerzos a la compresin, traccin y corte, defor-mndose respectivamente en forma proporcional a dichas acciones dentrode ciertos lmites. Es decir que en esos lmites existe un campo potencialde esfuerzos que transforman el trabajo de deformacin en energa potencialde forma, la que se recupera al cesar la accin. Si se supera el lmite deproporcionalidad, parte del trabajo produce una deformacin permanente atravs de un aumento de la energa interna del sistema, con la consiguienteelevacin de la temperatura de la materia. Por ltimo, si los esfuerzos decompresin, traccin o corte llegan ms all de las deformaciones perma-nentes, a ciertos valores crticos caractersticos de cada material, se produ-ce la rotura del cuerpo por aplastamiento, estiramiento o desgarramientorespectivamente.

Ensayos de materialesSi sometemos a una barra de hierro a la traccin en una mquina de ensayos comola representada, que va registrando el esfuerzo en funcin del alargamiento, obtene-

mos una curva como la de la figura. Enella se ve una zona de proporcionalidadentre esfuerzos y alargamientos, hastaque se llega a un punto en la que elmaterial se alarga en forma no lineal.Aumentando an ms el esfuerzo, elmaterial se estira an sin aumentar elesfuerzo, en un estado llamado fluencia(de fluir). Despus de haber alcanzado lafluencia, el material se fortalece y co-mienza nuevamente a presentar resisten-

cia. Esto se prolonga hasta el punto demximo esfuerzo, en que la seccin de labarra traccionada comienza a estrecharseen una zona, y no es capaz de sostenerel esfuerzo (pendiente negativa de lacurva). De este estado, la barra pasarpidamente a la rotura, que se opera enla zona en que comenzara el estrecha-miento.

zonadefluencia

zonanoproporcional

zonaproporcional

probeta a ensayar extensmetro

manmetro

bomba

Fuerza

Alargamiento

Puntode

mximoesfuerzo

Puntoderotura

registrador

pistn


15/66


109

Ley de Hooke

Se admite que hasta el lmite de proporcionalidad, los materiales se defor-man de acuerdo con las siguientes leyes lineales, planteadas por primeravez por el fsico ingls Robert Hooke, contemporneo de Isaac Newton

(1635-1703)

La ley que gobierna la compresin o traccin de una barra homognea deseccin constante s es:==.E donde =P/s es el esfuerzo de compresin o traccin por unidad desuperficie resistente y =l/ ll/ l es la correspondiente variacin relativa de

longitud. La constante de propor-cionalidad E se llama mdulo deelasticidad por compresin/tracciny su valor depende del material.

El hierro y en general los metalesposeen igual resistencia a la traccinque a la compresin. En cambio mu-chos otros materiales resisten mejor untipo de esfuerzo que el otro. La madera,por ejemplo, resiste mejor a la traccinque a la compresin. El hormign, en

cambio, posee mucha mejor resistencia a la compresin que a la traccin. Esta ltimase desprecia en los clculos de estructuras, colocando barras de hierro en las seccio-nes traccionadas de los elementos (losas, vigas), que se hacen cargo de los esfuerzos

correspondientes. (Fundamento del hormign armado).

TABLA DE PARMETROS DE RESISTENCIA DE MATERIALESMATERIAL prop.

[N/m2]mx.

[N/m2]E [N/m2] prop

[N/m2]mx

[N/m2]G [N/m2]

Acero 0,1%C 1,4x108 3,7x108 2,2 x 1011 1,1 x 108 3,4x108 8 x 109

Bronce de Sn 1,3x108 4 x108 2 x 1011 1,2 x 108 3,6x108 8,2 x 109

Madera de pino7

compresintraccin 1,5x10

73 x 107

6 x 107

1 x 1010

6 x 106

Hormigncompresintraccin

5 x 1066 x 105

1,5 x 1010

La ley que gobierna la deformacin por esfuerzo de corte o deslizamientode una pieza en forma de paraleleppedo es = G donde =F/S es el es-fuerzo de corte por unidad de superficie resistente desarrollado sobre lascaras8, y es el ngulo de deformacin. La constante de proporcionalidad G7

Datos con esfuerzos paralelo a las fibras del listn.8

Ntese que el esfuerzo de corte se desarrolla tanto en las caras horizontales delparaleleppedo, como en las verticales contiguas, como lo requiere el equilibrio del

s

l

l

-P

s

l

l

P


16/66


110

que depende del material,se llama mdulo de elasticidad de deslizamiento omdulo de torsin, ya que el esfuerzo de torsin sobre la pieza se equilibratambin por los esfuerzos de corte o deslizamiento, como se ver luego.

FlexinLa viga resiste al momento de flexin oponiendo un momento equilibrantea la flexin de acuerdo con la resistencia que opone el material de la viga dela parte inferior de la seccin a estirarse y el de la parte superior a compri-mirse9. Entre la parte inferior estirada y la superior comprimida hay unacapa horizontal o una lnea (segnconsideremos el problema en tres odos dimensiones) sin traccin nicompresin, que mantiene la lon-gitud original de la pieza. En esa

capa neutra no se desarrollanesfuerzos de compresin ni trac-cin a lo largo de la pieza cargada.Partiendo de ella crece linealmenteel acortamiento de las capas haciael borde superior y el alargamientode las inferiores hacia abajo.En los grficos se representan las tensiones y compresiones en una seccinperpendicular al eje de la viga en funcin de la distancia a la capa neutra:

Las resultantes de los esfuerzos distribudos en la seccin se sitan en elbaricentro de los correspondientes tringulos o figuras representativas10, acuyas reas son proporcionales. Si sobre la viga obran slamente fuerzasperpendiculares a su eje, como es el caso de la figura, no hay esfuerzosnormales a las secciones consideradas y por lo tanto las resultantes de lastensiones y compresiones son iguales en valor absoluto y de signo contrario.Esto se reconoce en que los correspondientes diagramas tienen reasiguales a un lado y al otro de la capa neutra y generan un momento queequilibra el momento flector. En la seccin de la mitad de la viga resulta quedicho momento vale MM = F.d = P.L/4 para una fuerza P concentrada en el

punto medio. Ya vimos que en el caso de que esa fuerza se distribuya uni-formemente a lo largo de la viga con un valor q=P/L, el momento flectormximo, tambin en el medio de la pieza, toma un valor igual a la mitad delanterior.

elemento de volumen considerado. De tal manera es = F/S = F/S9

Se supone, como en el dibujo, una viga horizontal cargada con una fuerza verticaldirigida hacia abajo.10

El centro de gravedad de un tringulo est en la interseccin de las medianas, que

por una propiedad geomtrica est a una distancia de dos tercios de la longitud de lamediana desde el vrtice correspondiente.

Compresin

Traccin

Capa de fibras neutras

con Ec=Et=constantes

con Ec>Etconstantes

con Ec=Etvariables

F

F

P

L

P/2 P/2

d


17/66


111

Dentro de los lmites de proporcionalidad, y para materiales con igualesmdulos de elasticidad en compresin y traccin, las tensiones correspon-dientes a esas deformaciones tendrn tambin una variacin lineal con la

distancia al eje neutro. En cambio, cuando se rebasa el lmite de propor-cionalidad, las tensiones crecen menos que las deformaciones, correspon-diendo a este caso grficos de tensiones no lineales. Si los mdulos a latraccin y a la compresin son diferentes, la igualdad de reas en los dia-gramas exige que la lnea neutra se desplace desde el centro de gravedadde la seccin hacia la zona de mayor resistencia absoluta (comprimida otraccionada, segn los casos).

En el caso general de la figura en que laseccin de altura total H tenga forma

cualquiera, de ancho a variable con laaltura, se verifica que el momento resis-tente que equilibra al momento flectorresulta:M = E.mx.JXX /H , de dondemx = MM /(EJ).H

Deformacin del eje de una viga sometida a flexin. Lnea elstica. Fle-cha mximaDos secciones paralelas de una viga sin carga, separadas por una longitud

dl , pasan a formar con la carga un ngulo d proporcional a dl tal qued=.dll/H = MM /E/J.dll ,De tal manera entre dos secciones de abscisas x1 y x2 el ngulo que forman

ser = 1/E/J x1x2 M .dl, funcin

que es proporcional al rea encerra-da por la funcin momento flectorentre x1 y x2

Si las deformaciones son pequeas,

se puede tomar el ngulo prctica-mente igual a su tangente, la que a su vez coincide con el valor de la deriva-da, vale decir que tg = dy/dx, de donde la ordenada y de la viga defor-mada tiene como expresin en funcin de la abscisa x la siguiente ecuacin,llamada de la lnea elstica:

y(x) =1/E/J (x1x2MM .dx).dx

Es decir que la posicin de la viga deformada sale de integrar dos veces lafuncin momento flector. Como sta a su vez se obtiene de integrar dosveces el diagrama de carga, la lnea elstica es proporcional a integrar

cuatro veces sucesivas la funcin del diagrama de carga a lo largo del eje

h

dha

= = mx.h/H

MM = .a.h.dh=E.mx./H.a.h2.dh=mx.JXX /H

H

mx=mx/E

X X

El ngulo es proporcional al rea sombreada de momentos

x


18/66


112

de la viga, entre el extremo izquierdo hasta la abscisa correspondiente a laseccin en cuestin. La constante de proporcionalidad vale 1/E/J . Cuandose integra sucesivamente, hay que tener en cuenta las constantes de inte-gracin , que tienen el valor de la funcin en el origen.

Por ejemplo, sea una viga de L=10 m de longitud, de seccin rectangular de anchob=15 cm y altura h=10 cm, de acero comn (de peso especfico=79000 N/m3 ymdulo de elasticidad E= 2.1011 N/m2), se sostiene apoyada en sus extremos.

Hallar la tensin mxima mxdel material y la deformacin o flecha (as llamada poranaloga con la flecha de un arco de circunferencia) en el medio de la pieza (que es laseccin ms comprometida).

La carga q en este caso es el peso propio de la viga por metro de longitud, o seaq = b.h.= 0, 15 . 0, 1 . 79000 = 1185 N/m

Vimos que M =q.L2

/8 = 1185.100/8 = 14812,5 N.m

Tambin sabemos que MM = mx.JXX/(h/2) de donde la tensin mxima que soportar

el material ser mx. = MM / [JXX/(h/2)]

Jxx es el momento de inercia de la seccin con respecto al eje neutro, que para unrectngulo de base b y altura h vale :

Jxx = 2.b oh/2 y2.dy = b.h3/12 = 1,25.10-5 m4

As es mx. = M / [JXX/(h/2)] = 14812,5/(1,25.10-5).0,05 = 59 250 000 N/m2

El lmite de proporcionalidad para el acero es de prop=140 000 000 N/m2, de manera

que el material est solicitado bastante por debajo de aqul.

De acuerdo a lo anterior, para obtener la deformacin en el punto medio se debecomenzar por integrar cuatro veces la funcin de carga, as que:

I1 (primera integral) = (q.dx).= q.x+c1I2 (segunda integral) = (I1.dx).= (q.x2/2+c1.x+c2)I3 (tercera integral) = (I2.dx).= (q.x3/6+c1.x2/2+c2.x+c3)I4 (cuarta integral) = (I3.dx).= (q.x4/24+c1.x3/6+c2.x2/2+c3.x+c4)

donde las constantes de integracin tienen el siguiente significado:c1 es la carga acumulada en el apoyo (x=0), es decir c1=-qL/2c2 es el momento cuando x=0. Por el tipo de vnculo (apoyo simple) ese momento esnulo.c3 es el valor de la inclinacin de la seccin en el apoyo, que como es mvil admiteuna rotacin igual a la mitad del ngulo /2 entre las secciones extremas de la pieza.Ya habamos calculado que (L) = 1/E/J o

LM .dx = 1/E/J 0L (q.L/2.x - q.x2 /2) dx =

q/E/J.( L.x2/4-x3/6)de donde c3=(L)/2= q.(L3/8-L3/12) = q.L3/24 . As resulta c3=q.L3/24c4 es el valor de la posicin y en el apoyo, que no permite corrimiento alguno, As quec4=0


19/66


113

Entonces queda que la ecuacin de la elstica es:y(x) = q/E/J . [x4/24 - L/12.x3 + L3/24.x]

Para x=L/2 resulta y(L/2) = q/E/J [L4/384 L4/96+ L4/48] = (5/384).q/E/J.L4 =

5/384.1185 N/m / 2.1011 N/m2/0.0000125 m4.(10m)4 = 0,062 m

Corte

El esfuerzo de corte se equilibra por laresistencia del material al desgarramientoen el plano de la seccin considerada ytambin en el plano perpendicular, es decirsegn el eje de la pieza solicitada. Para elcaso de la viga anterior, el momento de

corte cambia bruscamente de signo en la seccin de aplicacin de la fuerzaP en caso de fuerza concentrada, siendo en cambio la variacin lineal encaso de carga distribuda.

El esfuerzo de corte es digno de considerar en piezas cortas sometidas afuerzas generalmente concentradas.

Ejemplos:En la viga y con el estado de carga anterior, Cul es el esfuerzo de corte en la sec-cin ms comprometida?Respuesta: las secciones que soportan el mayor esfuerzo al corte estn sobre los

apoyos, donde el filo de la cuchilla tiende a cortar el material de la viga. El esfuerzode corte en tales secciones vale T = q.L/2/F = 1185 N/m.10m/2/0,1m/0,15m = 395000N/m2 , menor que el 1% del valor admisible (ver tabla).En cambio, una viga muy cargada de pequea longitud, gran momento de inercia y

pequea seccin puede no verificar al corte y si a laflexin. Por ejemplo, tomemos una viga de una seccindel mismo valor pero diferente forma que la anterior, demanera de tener momento de inercia mayor. Esto selogra aprovechando el mismo material distribudo enzonas ms alejadas del eje de flexin xx. Se usan en la

prctica secciones en doble T como la de la figura, cuyo momento de inercia vale:Jxx=2(hb

3/72+ b.h/3.(bh/12)2 +.b.h3/71)= 2bh.[(b2/72)+(1/432)+(h2/71)]Para b=0,15 m y h=0,15 m resulta Jxx= 8,8x10-5 m4 (ms de siete veces el momento deinercia de la configuracin anterior).Tomemos una viga con esta seccin de longitud L=0,15m con una carga concentradaP=3000000 N aplicada en el medio.Ser M = P.L/4 = 112500 Nmmx. = M / [JXX /(h/2)] = 112500/(8,8.10

-5).(0,15/2+0,1/3)0,05 = 1,38.106 N/m2adm=1,40.108 NmT = P/2/F = 3000000 N/m/2/0,015m2 = 108 N/m2admEs decir que la pieza est prcticamente trabajando al lmite de proporcionalidad tantoen traccin como en corte.

Esfuerzo de corte T con carga distribuda q

x

q

T

b

hb/2+h/6

h/3

b/2x x


20/66


114

TorsinEn la figura se ve un elemento de longituddll de una barra cilndrica de longitud total

L y radio R, empotrada en un extremo ysometida en el otro a un momento MM Latorsin produce una deformacin quetransforma una generatriz del cilindro enuna hlice. El ngulo entre ambascaracteriza esa deformacin, que vale =ds/dll == R.d/dll = R /L , siendo el ngulo que gira el extremos de la barraopuesto al empotramiento. La deformacin es resistida por los esfuerzos decorte que se desarrollan en la seccin, y que van creciendo desde el centro

(r=0) hasta el borde (r=R) de tal manera que =/R.r , para =G.= G.R /LSe cumple as que el momento resistido en cada seccin de la pieza vale laintegral de los momentos elementales:

MM = 2r.r..dr = 2/Rr3dr = 2T/R.R4/4 = T/2 R3 = [.G.R4/2/L].

y resulta que el momento es funcin del ngulo que gira el extremo. Laconstante de proporcionalidad que figura entre corchetes contiene el mo-mento de inercia de la seccin con respecto al eje de rotacin, que ya vimos

que vale J0 = /2.R4

de donde MM = [J0.G/L].

Ejemplo:Una varilla cilndrica de hierro de R=3 cm de radio y L=6 m de longitud, empotrada enun extremo y libre en el otro, se torsiona all hasta la rotura. Cuntas vueltas se habrretorcido su extremo libre?Respuesta: Si la varilla se ha roto es porque ha llegado al lmite de esfuerzo de cortedel material max = 3,4x10

8 N/m2

Como vimos es =G.= G.R /L= 8.109.0,03./6 = 3,4x108 N/m2 de donde= 6.3,4.108/0,03/8.109 = 8,5 radianes = 1,35 vueltasDiscusin del resultado: El nmero 1,35 sale de considerar un modelo lineal, pero la

rotura se alcanza fuera del intervalo de proporcionalidad, as que el nmero de vueltasque realmente corresponden para alcanzar tal estado es necesariamente mayor.

MM

dd ll

dR

ds

r


21/66


115

MECNICA DE LOS FLUDOS

Fludos

GeneralidadesA diferencia de los slidos, los fludos son sustancias que carecen de ener-ga potencial de forma, es decir que no se necesita efectuar trabajo paracambiar su forma mientras no haya cambio de volumen (compresin o ex-pansin), y siempre que el cambio de forma se realice de manera suficien-temente lenta11.

Son fludos los lquidos y los gases, sustancias que por su estructura nopresentan resistencia a los esfuerzos de corte. La diferencia fundamentalentre el estado lquido y el gaseoso reside en que entre las molculas de ungas existen fuerzas de atraccin, llamadas de cohesin, que tiende a mante-nerlas unidas (formacin de gotas, fenmenos de adherencia). Los gases encambio no presentan fuerzas de atraccin o cohesin entre sus molculas,tendiendo a expandirse hasta los lmites del recipiente que los contiene.

En vez del fenmeno de corte, los fludos presentan el fenmeno viscoso,

que se manifiesta por la propiedad de arrastrar en su movimiento a porcio-nes vecinas. Se reconoce y cuantifica este fenmeno con un parmetrollamado viscosidad, igual a la fuerza tangencial por unidad de superficieentre dos capas que se deslizan a velocidades diferentes separadas porcierta distancia. La viscosidad se manifiesta tanto en lquidos como en ga-ses, caracterizando sobre todo la movilidad y el escurrimiento del fludo.(Comprese melaza con agua).

Para estudiar los fenmenos en los que intervienen fludos, se empleanmodelos de fludos ideales, que al igual que en el caso de los slidos, po-

seen propiedades ideales que simplifican el estudio. Por ejemplo, se recor-dar que el cuerpo rgido es una idealizacin de un cuerpo real casi indefor-mable. Tambin as se consideran segn los casos, lquidos incompresibles,sin viscosidad, o gases ideales, todos ellos entelequias a las que se aproxi-man los fludos reales en ciertas condiciones lmite.

La mecnica de los fludos se divide en dos partes: la que estudia los fludos

11

Aunque no retenga energa potencial, el cambio de forma de un fludo con una

evolucin que no sea extremadamente lenta significa la aparicin de fuerzas de inerciay de rozamiento que aumentan la energa interna del mismo.


22/66


116

en reposo o hidrosttica y la que trata con fludos en movimiento, o hidro-dinmica 12

Hidrosttica

Presin en un punto de una masa fludaLa hidrosttica considera a los fludos como continuos, sin atender a que enrealidad estn formados por partculas. Para que una porcin de fludo esten equilibrio, las fuerzas que actan sobre l deben dar resultante nula. As,considerando una porcin de fludo en el seno de una masa en equilibriolimitada por un pequeo poliedro, se deduce de tal condicin que el cocienteentre fuerza y rea de cada cara deba ser igual.

A este cociente P=F/S se lo llama presin, y de la condicin de equilibrio sededuce que es independiente de la orientacin de la cara, es decir que sepuede representar en los fludos por una magnitud escalar dependiente delpunto considerado.

Por ejemplo, en el prisma de la figura, que delimita unaporcin de fludo en equilibrio, se cumplir que la sumade las proyecciones horizontales y verticales de lasfuerzas actuantes debe ser nula.Considerando las proyecciones horizontales es :F1 - F3 . cos () =0 de donde

P1.S1 = P3.S3.cos ()Pero S3.cos () = S1, de donde P3=P1Con idntico razonamiento se deduce para la proyec-ciones horizontales que:

F2-F3.sen()=0 y entonces P3.S3.sen()=P2.S2, y como S3.sen() = S2 resulta queP3=P2. Queda demostrado as que P1=P2=P3

Cuestin: En los slidos la fuerza por unidad de superficie no puede representarsepor un escalar, ya que depende de la orientacin de la superficie. Por ejemplo, en unabarra comprimida segn su eje, la tensin es mxima segn aqul y nula en la direc-cin perpendicular. Resulta as que en los slidos, la tensin ni siquiera es represen-

table por un vector de direccin normal a la superficie considerada, sino en general loes por una funcin vectorial dependiente de la direccin llamada tensor. As comolos vectores tienen componentes escalares, los tensores son magnitudes cuyascomponentes son vectores.

Teorema general de la hidrostticaReza este principio que la diferencia de presin entre dos puntos de un lqui-

12

En rigor debera hablarse de hidrosttica e hidrodinmica para lquidos y neomost-

tica y neumodinmica para gases. Sin embargo esta divisin no se usa, englobandoen los primeros dos trminos a lquidos y gases.

F1

F2

F3


23/66


117

do en equilibrio sometido a la gravedad es igual a la diferencia de alturamultiplicada por el peso especfico. Vimos ya que el peso especfico deuna sustancia es el cociente (escalar) entre el peso P y el volumen ocupadoV, vale decir que es la densidad multiplicada por la gravedad g . As enton-

ces==.g

Demostracin: considrese dentro de la masa de liquido en equilibrio unaporcin cilndrica vertical de base b y altura h. Si el contenido del tubo esten equilibrio es porque su peso P, que vale P=b.h. se equilibra con unafuerza neta hacia arriba F, que proviene de la diferencia de presin entre elextremo inferior pi y el superior ps, e igual a F=b.(pi-ps). De la igualdad b.(pi-ps) = b.h. surge que pi-ps = h.

Cuestin: Lo anterior es cierto si el peso especfico es constante y en particular no

depende de la presin (o la altura), es decir cuando el fludo no cambia de volumencon acciones exteriores. Se dice de un fludo tal que es incompresible. La incompre-sibilidad absoluta no se da en los lquidos reales, los que en pequea medida aumen-tan su densidad con la presin. Sin embargo, en la mayora de los casos, en los queestn en juego presiones moderadas, los lquidos corrientes pueden suponerse in-compresibles. La razn entre variacin de volumen y de presin -dv/dp se llama coefi-ciente de compresibilidad. Los gases, al contrario que los lquidos, son muy compre-sibles. El coeficiente de compresibilidad de los gases es proporcional a la temperaturae inversamente proporcional al cuadrado de la presin, como se ver ms adelante.

Ejemplo: calcular la fuerza F con que

debe sujetarse la tapa rectangular delados a y b del tanque de agua de lafigura.Solucin: la presin sobre la tapa vadesde un valor ps=h1. en su parte supe-rior hasta un valor pi=h2. en su partems baja. Sobre la tapa acta una cargatrapecial, cuyo centro de gravedad estms cerca de la parte inferior (centro depresin). All debe aplicarse una fuerza

igual a F=pm.S , donde pm=(ps+pi)/2 es la presin media que soporta yS=a.b es el rea de la tapa.

Resulta as F = pm.S= .[(h1+h2)/2].a.b= .[h1+b/2.sen()].a.b

Para a=1m , b=2 m , h1=3m , a=45 , agua=9800 N/m3 es

F= 9800 N/m3 . (3+3/4).2 m3 = 67287 N

b

h1

F

h2


24/66


25/66


119

Principio de Arqumedes

Los cuerpos sumergidos en un lquido en equilibrio reciben un empuje verti-cal hacia arriba igual al peso del volumen desalojado. Este aserto, debido almatemtico y fsico Arqumedes de Siracusa (Sicilia) 290-280 AC , se pue-

de entender considerando que la presin hidrosttica sobre la superficie delcuerpo sumergido tiene una resultante no nula, ya que aumenta con la pro-fundidad de la regin considerada.

Por ejemplo, sobre un cuerpocualquiera podemos trazar dia-gramas de presiones sobre susparedes, que nos muestrancmo es el empuje total.

Sin hacer ningn clculo, slocon una experiencia mental,podemos darnos cuenta que laresultante de todas las presio-

nes sobre un cuerpo dentro de un fludo debe ser una fuerza vertical contra-ria al peso del medio desalojado, que acta en el centro de gravedad de laparte sumergida. En efecto, imaginando a sta sustituda por una igual por-cin de lquido, se tendr una masa fluda en equilibrio. Tal estado puedeinterpretarse como resultante nula entre peso del lquido y empuje sobre elvolumen considerado. Resultan as que ambas son fuerzas de igual valor y

sentido contrario.

Cuerpos flotantes

Para un cuerpo en el seno de un lquido se pueden dar tres posibilidades: La densidad del cuerpo es mayor que la del lquido: en este caso el

cuerpo se hunde, pues el empuje es menor que el peso. La densidad del cuerpo es igual a la del lquido: en este caso el cuerpo

se mantiene en el seno del lquido ya que el empuje equilibra al peso. La densidad del cuerpo es menor que la del lquido: el cuerpo no est

en equilibrio en el seno del lquido ya que sobre l acta una resultantehacia arriba. El equilibrio se alcanza cuando slo una parte del cuerpoest sumergida, igualando su empuje al peso. El cuerpo flota en la su-perficie.

Lo dicho vale para cuerpos homogneos o no. En este ltimo caso, se debetomar la densidad promedio del cuerpo.

Estabilidad de cuerpos flotantes - MetacentroUn cuerpo que flota en un lquido est en equilibrio si el centro de gravedad yel centro de empuje determinan una vertical.

Ese equilibrio ser estable si un pequeo desplazamiento que aparte al

E

F4 F3

F2

F1

Origen del empuj e hidrostt ico


26/66


120

cuerpo de esa posicin conduce a un sistema cuerpo/lquido con mayorenerga potencial. Eso significa que el sistema estaba antes del desplaza-

miento en un estado de energamnima, que caracteriza a la con-

dicin de equilibrio.

En el caso del barco de la figura,cuando una accin exterior13 hacerotar el casco en sentido horario,

el baricentro G se desplaza un poco hacia la derecha hasta G, pero menosque el centro de empuje E , que lo hace en mayor grado tambin a la dere-cha, hasta la posicin E . Como consecuencia, el empuje y el peso (quetienen igual intensidad) producen una cupla en sentido antihorario que tiendea volver al casco a su posicin anterior. Un pequeo desplazamiento de la

posicin de equilibrio lleva a que la recta de la fuerza de empuje corte al ejede simetra del casco en un punto M, llamado metacentro, que debe estarpor encima del baricentro para que el equilibrio sea estable

Visto desde otro punto de vista, el de la variacin de energa potencial delsistema, el estudio de las condiciones de equilibrio de los cuerpos flotanteslleva consideraciones equivalentes:

La rotacin hace que el baricentro G cambie de nivel de hG a hG, variando laenerga potencial del slido. Pero al mismo tiempo, la posicin del centro de

empuje E tambin cambia de nivel, desde hEa hE . Que el trabajo de lasfuerzas exteriores sea positivo indica que la energa del sistema barco/aguaha aumentado, cosa que se cumple cuando d=(hG-hE) > d=(hG-hE) (de-mustrese).

Como corolario se deduce que en el estado de equlibrio, los cuerpos flotan-tes presentan mnima distancia entre centro de empuje y baricentro.

Algunas consecuencias del teorema general de la hidrosttica En una masa fluda homognea en equilibrio, los planos horizontales

son planos de igual presin. La presin que un lquido en equilibrio ejerce sobre la pared del vasoque lo contiene no depende de la forma ni orientacin de ste.

La superficie libre de un lquido en equilibrio es una superficie de nivelconstante.

La presin sobre el fondo de un recipiente que contiene un lquido enequilibrio es independiente de la forma y cantidad de lquido contenido.Depende slamente de la profundidad a la que est el fondo desde lasuperficie libre y de la presin en sta (normalmente la presin atmosf-

13 Por ejemplo un golpe de viento sobre el velamen (no dibujado).

EG

E

Gd d

MhG

hE

hG

hE


27/66


121

rica). La resultante de todas las presiones que actan sobre la superficie que

delimita una cierta porcin de fludo es igual al peso de dicha porcin,est aplicada en su baricentro, es vertical y dirigida hacia arriba.

Todo cuerpo sumergido en un lquido recibe un empuje vertical haciaarriba igual al peso del volumen de lquido desalojado (principio de Ar-qumedes)

En virtud del principio de accin y reaccin, el de Arqumedes permiteproponer este otro: El cuerpo sumergido produce sobre la masa fludaun empuje vertical hacia abajo igual al peso del volumen de lquido de-salojado.

Algunas mquinas hidrulicas:Prensa hidrulica frenos hidrulicos

Un lquido incompresible confinado en un sis-tema rgido que posea dos mbolos de dife-rente dimetro sirve para transformar peque-os esfuerzos con gran recorrido en grandesfuerzas con pequeo recorrido o a la inversa.La prensa hidrulica se usa como tal paraprensar fardos, empujar o subir pesos, ensayarmateriales, etc. Una aplicacin muy usada del

principio de la prensa hidrulica se encuentra en el freno de los automotores.En el dispositivo hay un cilindro con un pistn o mbolo de pequea seccin

s sobre el que se aplica una fuerza F. La presin F/s se transmite a travsde un sistema de conductos de acero de pequeo dimetro, llenos de unlquido casi incompresible abase de glicoles de altopunto de ebullicin, a loscilindros de mayor dimetromontados en una robustapinza fija sita a horcajadasde los discos en las ruedas.Los pistones o mbolos de

mayor dimetro, general-mente dos por rueda, sonlos encargados de aplicarla presin de frenado a losdiscos solidarios a stas, atravs de pastillas de acerorecubiertas de materialresistente a la friccin y a la temperatura14, que se produce en cada frenada.

14

Antiguamente se usaba en cintas y pastillas de freno una resina con amianto, hoyreemplazado por fibras menos contaminantes.

Principio de la prensa hidrulica

pinza fija

pedal

bomba

depsito de lquido de frenos

disco

solidario a

la rueda delvehculo

cubetas

mbolos

Freno hidrulicode disco

Ll

pastillas


28/66


122

Las pastillas rozan ligeramente los discos, sin hacer fuerza mientras que nohaya presin en el sistema hidrulico. La carrera del mbolo de la bomba esde unos pocos centmetros, ya que los pistones del freno estn casi rozandolos discos. As, cuando se pisa el pedal recorren slo distancias del orden

del milmetro, necesitando muy poco desplazamiento del fludo. El conjuntopermite una gran multiplicacin de la fuerza F del pi del conductor sobre elpedal, an en los sistemas sin servomecanismo15.

Algunos clculos:La primera multiplicacin (mecnica) se logra en base a la palanca del pedal queposee L=30 cm de largo, y que acciona al mbolo de la bomba de freno a escasos l=3cm del extremo. Con ello se logra que la fuerza sobre l sea de 30/3 = 10 veces la dela pisada. El pistn de la bomba de freno tiene un dimetro del orden de 1 cm, mien-tras que los pistones de las cubetas de frenos sobre las ruedas son de 4 cm, y soncuatro por rueda. Esto multiplica la fuerza en relacin a las superficies entre los pisto-

nes, o sea 4x16=64veces. En definitiva, si el conductor aplica una fuerza de 5 Kg =49 N en el pedal, sobre los patines de freno actuar una fuerza 640 veces mayor,esto es 31360 N. Si el coeficiente de rozamiento entre pastillas y disco es de 0,3, lafuerza de frenado por rueda ser de 9408 N, que aplicada a unos 15 cm del eje de girorepresenta un momento de frenado MM f=1411 Nm. Si el auto marcha a v=60 Km/h,cada rueda (que supondremos de 15=0,381 m de radio) girar a una velocidad angu-lar de =v/r = 60000/3600/0,381 = 44 rad/s , y si se aplican los frenos con los datosapuntados antes, la potencia de frenado ser de Pf=MM f.=62092 W. (del mismo ordenque la potencia nominal del motor del auto). Considerando que slamente frenan lasrueda delanteras, se tendr una fuerza total de frenado Ff aplicada sobre el pavimentoigual a la correspondiente al doble del momento de frenado dividido el radio de la

rueda, esto es Ff =2 x 1411 / 0,381 = 7366 N (740 Kg). El vehculo, de masa m=1000Kg, se detendr en un tiempo t tal que m.v = Ff. t .As resulta t=1000.60000/3600/7366=2.26 s . El espacio recorrido en este tiemposer e= a t2 = v.t = x16,66x2.26 = 19 m

Balanza hidrosttica de MohrEste dispositivo mide densidades de lquidos y slidos atravs del empuje que reciben los cuerpos sumergidos.Consiste en una balanza generalmente de brazos desi-guales que se lleva a equilibrio antes y despus de su-

mergir un cuerpo de masa m y volumen V en una cubetade lquido. Sean las lecturas en ambos casos m y mrespectivamente, y las densidades del slido y del lquido s y lSe cumple que m = V.s y adems m = V.s -V.l = V.(s-l) , entonces es m-m= V.l y adems m/m = 1-l/s

Ejemplo: Un cilindro de cobre acusa una masa de m=50 g y al sumergirlo en un lqui-do desconocido resulta una lectura m= 45 g. Qu densidad tiene el lquido, sabiendo

15

Si, como en la mayora de los vehculos modernos, existe un servo-freno, ste

suma a la fuerza del pi la de un pistn accionado por la succin del motor, haciendoan menos esforzada la frenada.


29/66


123

que el cobre posee s=8 g/cm3 .

Respuesta:l=(1-m/m).s=0,8 g/cm3

Neumosttica

Gases generalidadesLos gases son fludos compresibles, que disminuyen su volumen con lapresin, y que tienden a expandirse hasta ocupar todo el volumen del reci-piente que los contiene.

La experiencia demuestra que todos los gases conocidos se lican someti-dos a presin por debajo de una cierta temperatura crtica. El gas considera-do como proveniente de un lquido se llama vapor. El vapor puede estar

saturado, cuando est en equilibrio con la fase lquida, o sobrecalentadocuando est a temperatura y presin superiores a las de condensacin.

Ecuacin de estado de gases idealesLejos de estas condiciones de licuacin, o sea bien por encima de la tempe-ratura crtica y a bajas presiones, los gases reales responden con gran apro-ximacin a un modelo de gas ideal, que cumple las siguientes leyes:

A temperatura constante, la presin es inversamente proporcional al volu-men ocupado, es decir p = k1/v, o si se prefiere p.v=k1

Esta expresin es atribuda por los ingleses al fsico ingls Robert Boyle (1627-1691) ypor los franceses al fsico francs Edmundo Mariotte (1620, 1684). Se la conoce comoecuacin de Boyle-Mariotte. Se la expresa usualmente diciendo que a temperaturaconstante, el producto de la presin por el volumen es constante.

Asimismo se cumple que cuando el volumen v se mantiene constante, lapresin p es directamente proporcional a la temperatura absoluta T, que salede sumar una constante a la escala termomtrica usual. Es decir que a vo-

lumen constante es p= k2.T

Tambin se cumple que cuando la presin p se mantiene constante, el vo-lumen ocupado v es directamente proporcional a la temperatura absoluta T,con la misma constante de proporcionalidad k2 que en el caso del volumen. osea que a presin constante vale v = k2.T

Termmetros absolutos

Las leyes anteriores nos autorizan a construir termmetros absolutos, co-


30/66


124

nectando un medidor de presin a una botella cerrada con un gas cualquieraen su interior (volumen constante), o bien un medidor de volumen conectadoa un sistema que se puede expandir sometido a presin constante (porejemplo contra la atmsfera, suponiendo que se mide durante un lapso en

que la presin atmosfrica sea sensiblemente constante). En ambos casos,la medicin ser proporcional a la temperatura absoluta.

Se repite la historia de la puja entre ingleses y francesescon las leyes citadas, que relacionan volumen a presinconstante o presin a volumen constante. Los britnicosla adjudican al ingls Charles (1787) y los galos a sucompatriota Jos Gay-Lussac.

Cuando varan presin y temperatura simult-neamente, se puede hallar el volumen aplicando

el principio de superposicin, ya que se trata deleyes lineales. Se considera primero un aumentode temperatura de T1 a T2 y el correspondienteaumento de presin de p1 al estado intermedio p1a volumen v1 constante. Despus se supone el

aumento de volumen a de v1 a v2 a temperatura T2 constante, que lleva a lapresin al valor final p2

Resulta as:Aumento de presin a volumen v1 constante p1/p1=T1/T2

Aumento de volumen a temperatura T2 constante p1.v1=p2.v2Multiplicando miembro a miembro es p1.v1=p2.v2.T1/T2O sea: p1.v1/T1=p2.v2/T2=k

Quiere decir que para una misma masa MG de gas en equilibrio el productode la presin por el volumen ocupado, dividido la temperatura absoluta tomaun valor constante k. Esa constante depende de la naturaleza del gas encuestin y es proporcional a la masa M de gas considerada, o sea que po-demos poner p.v/T = MG.RG , que resume las leyes de Boyle-Mariotte yCharles-Gay Lussac.

Qu significa la constante R? Sus dimensiones son energa por unidad detemperatura y por unidad de masa: es una constante que depende de laenerga especfica del gas en cuestin.

Si el peso molecular del gas es M, ser MG=n.M , para n = nmero de molesdel gas en cuestin, la anterior puede escribirse como p.v/T = n.M.RG , sien-do M.RG independiente del gas y slamente dependiente del nmero demolculas encerradas en el volumen v. Esta constante R=M.RG tiene unvalor universal para cualquier gas , de 8,31 J/K/mol

Termmetro de gas


31/66


125

Veremos a continuacin cmo esta frmula encaja dentro de un modelo degas descripto como teora cintica de los gases.

La teora cintica de los gasesYa en 1738, el mdico, matemtico y fsico suizo Daniel Bernoulli, miembrode una clebre familia de cientficos encabezada por Jacobo Bernoulli, des-criba en una famosa tesis a una masa de gas como un conjunto de peque-as partculas (tomos o molculas) que interaccionan entre s con choquesperfectamente elsticos, que se ajustan a las leyes de la mecnica deNewton. La presin del gas contra las paredes del recipiente se explica,como se ver a continuacin, por la accin promedio de innumerables cho-ques de estas molculas contra esas superficies. La energa cintica prome-dio de las molculas (energa interna) se mide a travs de una variableestadstica que coincide con la variable macroscpica llamada temperaturaabsoluta. Las leyes experimentales que relacionan presin a volumenconstante y volumen a presin constante junto con la hiptesis aventuradapor Amadeo Avogadro en 1811, de que todos los gases poseen la mismacantidad de molculas en el mismo volumen a la misma presin, se combi-nan naturalmente con esta teora, cuyo tratamiento estadstico fu desarro-llado por el escocs James Clerck Maxwell y el austraco Ludwig E.Boltzmann a mediados del siglo XIX, dando como resultado lo que se cono-ce como la teora cintica de los gases

Presin sobre las paredes del recipienteVeremos, siguiendo los razonamientos de Daniel Bernoulli, cmo la presinque ejercen los gases sobre las paredes del recipiente se explica segn elmodelo cintico por la accin de innumerables choques por unidad de tiempode un enjambre de molculas que se mueven caticamente. Tambin vere-mos cmo se puede caracterizar ese caos con indicadores estadsticos talescomo su velocidad media y otros parmetros, y gracias a los trabajos deMaxwell y Boltzmann, por la distribucin estadstica de sus velocidades.

Sea un pedazo de pared vertical de superficie

S que limita un volumen V=S.X lleno de ungas que tiene en promedio N molculas todasellas iguales de masa m , que tienen veloci-dades de componentes vxi vyi vzi , parai=1,2,3...n.

En el anlisis siguiente admitiremos que lascomponentes de la velocidad de las molcu-las segn los tres ejes x,y,z son absoluta-mente equivalentes e independientes entre s,

por lo que el razonamiento siguiente en la

S

v

x

z

vx

vz

vy

y

X


32/66


126

direccin x se podr aplicar a las otras dos. En el intervalo de tiempo t=X/vxchocarn contra la pared un nmero de molculas nvx igual a la mitad de lasque se encuentran en el volumen considerado V=S.X que tienen velocidadesvx, ya que las de la mitad restante se alejarn de ella, sin producir accin

alguna. La fuerza que produce cada molcula que choca elsticamente con-tra la pared cuya componente de velocidad segn el eje x valga vxiest dadapor la variacin de la cantidad de movimiento en un tiempo t=X/vxi,que vale

Fvxi = (mi.vxi)/t = mi.(vxi-(-vxi))/t = 2.mi.vxi/t = 2.mi.vxi2/X.

Ahora bien, la fuerza total producida por la mitad de todas las molculas queestn en el volumen V=SX ser la fuerza de cada molcula 2.mi.vxi

2 por lamitad del nmero nvxi de ellas que tienen esa velocidad, extendiendo esaoperacin a todas las velocidades posibles. Se supone que el intervalo posi-

ble de velocidades queda cubierto con la serie vx1, vx2,...vxn , de manera quese puede poner:

Fx = . nvxiFxi= (m1.nvx1.vx12+ m2. nvx2.vx2

2+...+ mn. nvxn.vxn

2)/X ,

Como m1 = m2 =...= mn = m (las masas de todas las molculas son iguales),la anterior resulta:

Fx = m nvxivxi2/X

La presin es fuerza / superficie, o seap=Fx/S= m nvxivxi2/(X.S) = m nvxivxi

2/V

De acuerdo a la ley de los gases es p.V = M.RG.T y entoncesM.RG.T= m nvxivxi

2pero como la masa de gas M=N.m resulta:RG.T= 1/N (nvxivxi

2)

Energa cintica media de las molculasLas molculas de velocidad vitienen una energa cintica media de i = mvi

2 , siendo vi2=vxi

2 + vyi2 + vzi

2 . Considerando que la energa se debe re-

partir estadsticamente en partes iguales para las tres direcciones, resultaque la energa cintica media del gas ser la suma de energas extendida atodas las velocidades posibles:

Ec = m (nvxivxi2 + nvyivyi

2 + nvzivzi2) = N.m . [3/N nvxivxi

2] = M c2

El significado matemtico de 3/N (nvxi.vxi2)= 1/N nv.v

2 es el de un prome-dio ponderado del cuadrado de las velocidades de las molculas, llamadocuadrado de la velocidad media cuadrtica, simbolizado por c2 , por lo queRG.T= 1/3 c

2o lo que es igual M.RG.T = R.T = 1/3 M.c2 = 2/3 Ec


33/66


127

La velocidad media cuadrtica es la que deberan tener las molculas de unestado ideal del gas (no posible por lo improbable estadsticamente, aunqueimaginable) en que los mdulos de sus velocidades fueran todos iguales,para poseer la misma energa cintica interna que el estado real.

Veremos que en el estado real (de mxima probabilidad) las molculas po-seen una distribucin de velocidades de acuerdo a ciertas pautas estadsti-cas que veremos en seguida.

Asimismo, el significado estadstico de la temperatura absoluta de un gas esuna medida de la energa cintica media de sus molculas.

Por ejemplo, cul ser la velocidad cuadrtica media de las molculas de nitrgeno(M=0,028 Kg/mol) del aire a 15C = 288 K ( absolutos)?Resulta entonces quec = (3.R.T/M) = (3 . 8,31 J/K/mol . 288K /0,028 Kg/mol) = 506 m/s

Qu energa cintica tiene un mol de N2 en las condiciones anteriores?Respuesta: Ec=3/2.R.T = 3590 J/mol

Distribucin de las velocidadesSin hacer ningn clculo, es imaginable que en una masa de algunos litrosde gas, donde billones de molculas chocan por doquier, habr sin embargoun equilibrio estadstico dentro de ese caos, y que si bien no podemos ase-gurar el estado actual de una molcula particular ni su futuro, ser posibleestablecer categoras probables entre ellas. Supongamos que pudiramostomar una foto instantnea del conjunto de molculas donde aparezcan

stas y sus velocidades en mdulo. Como en los censos de poblacin, elresultado de los datos se podra resumir en indicadores tales como la veloci-dad media (momento de primer orden) cuadrtica media, mxima, mnima,dispersin de velocidades (momento de segundo orden) y en general unatabla de cuntos individuos tienen velocidades v1, v2, v3,...vn, o sea la for-ma de la funcin de distribucin de velocidades que cubra todas las veloci-dades posibles. Gracias a ingeniosas experiencias, se ha podido censar unapoblacin de molculas viajeras a travs de una muestra extrada de unestado gaseoso. Esta experiencia, que relataremos brevemente a continua-cin, vino a confirmar los resultados deducidos por Maxwell y Boltzmann

muchos aos antes.La experiencia de ZartmanEn 1931, el fsico Zartman realiz una experiencia para hallar la distribucinde velocidades en un gas, clasificando las molculas del total por intervalosestrechos de velocidad vx1, vx2,..., vxn. La experiencia se basa en que si deun gas confinado en equilibrio se deja escapar un chorro muy fino hacia unespacio vaco durante un tiempo determinado, las molculas que salen se-gn esa direccin no interaccionan entre si y se van distanciando del orificiode salida segn sus velocidades. Si la muestra que escap es suficiente-

mente grande como para representar al gas interior confinado, la cantidad


34/66


128

de molculas en funcin del tiempo que van llegando a un punto alejado dela fuente representar la proporcin de molculas en funcin de la velocidadque posean en la fuente.

Es de esperar que, como en elcaso de una maratn, lleguenprimero unos pocos atletas ex-cepcionales, luego cada vez ms juntos los buenos corredoreshasta llegar a un mximo el flujode participantes medianos. Lafrecuencia de llegada ir luegodisminuyendo con los ms lentosy habr que esperar bastante

tiempo para ver la llegada de losms rezagados. Es probable en una prueba sin lmite de tiempo en la queparticipen muchos corredores, haya algunos pocos con un retraso enorme.

Si representamos grficamente la frecuencia de llegada en funcin del tiem-po obtendremos una curva acampanada con el mximo ms cerca del prin-cipio que del final, con una larga cola hacia atrs. Esto es precisamente loque ocurre con las molculas de nuestro chorro gaseoso, que se produce enun horno al vaco con un metal de bajo punto de fusin y buena difusibilidad(por ejemplo bismuto). El vapor confinado escapa por un orificio estrecho del

horno, se transforma en un haz gracias a un diafragma colimador y es re-cortado durante un instante por un obturador tipo fotogrfico, que limita elpaso de una porcin de molculas hacia la meta. La columna de molculascon muy poca interaccin entre ellas, ya que tienen velocidades principal-mente orientadas en la direccin de avance, se estratifica por el caminosegn la rapidez de sus integrantes. En la llegada son recibidos por unasuperficie fra que se desplaza (una placa transparente arrollada en un cilin-dro que gira), quedando incrustados prximos los de igual categora de rapi-dez. La placa presenta una franja con una densidad de metal depositadoproporcional a la frecuencia de llegada de las molculas. Examinado el de-psito de metal condensado por transparencia o medido su espesor al mi-croscopio, arroja los resultados que se han exagerado en el dibujo: un dep-sito que empieza en un punto, aumenta su densidad y se esfuma en unalarga cola.

La distribucin de Maxwell-BoltzmannDijimos que el resultado experimental vino a confirmar la frmula de distribu-cin terica que independientemente Maxwell (1831-1879) y Boltzmann(1844-1906), dedujeran muchos aos antes.

Explicaremos el camino seguido para deducir la frmula, debido a la impor-tancia del mtodo y sus conclusiones, aplicables ambos a otros gases no

horno

obturador

rpido

diafragma

colimador

metal

vaporizado

espesor del depsito de metalcondensado

cilindro

giratorio

Experiencia para obtener la distribucin de

velocidades moleculares de un gas


35/66


129

moleculares, como los de electrones y fotones. Los que no tengan el nivelmatemtico requerido tienen las siguientes opciones: Adquirir dichos conocimientos de clculo (se recomienda) Creer en los resultados y profundizar luego sus fundamentos (una op-

cin intermedia) Pasar por alto el captulo (desaconsejada)

En un gas en equilibrio el promedio vectorial de velocidades debe ser nulo siadmitimos que su centro de gravedad est en reposo. Las molculas cam-bian incesantemente su velocidad a travs de innumerables interaccionesentre s y contra las paredes del recipiente. Cada molcula tiene un com-portamiento impredecible en forma particular, porque est ligado al de unagran cantidad de otras molculas. Sin embargo se pueden encontrar indica-dores estadsticos que caractericen el movimiento global del conjunto. Ya

vimos la velocidad media cuadrtica como uno de ellos. Se trata ahora debuscar la distribucin de las velocidades de las molculas en mdulo, esdecir su intensidad prescindiendo de su sentido. La distribucin da el nmerode molculas que en todo momento estn en un determinado nivel de ener-ga cintica, o de su equivalente velocidad.

Modelo de Boltzmann Estado y complexinPara tal anlisis, siguiendo la idea de Bolzmann, se asimila un botelln degas a una urna con bolillas que van cayendo a un clasificador en cuyos casi-lleros pueden disponerse el total de las bolillas de cualquier manera. As

como todas las molculas de una masa de gas podran concebirse con unestado instantneo de velocidades iguales, el modelo urna-casilleros lasrepresentara con todas las bolillas en un slo casillero. Se postula que elestado real del gas en equilibrio, caracterizado por cuntas molculas hayen cada categora de velocidad o energa, ser de configuracin tal quetenga la mxima probabilidad entre todos los arreglos posibles. Estos arre-glos o complexiones, como los llama Boltzmann, se caracterizan al contra-rio de los estados, por identificar cules molculas (adems de cuntas) hayen cada categora de energa o velocidad, admitiendo que las molculas sepueden identificar, as como las bolillas tienen un nmero impreso. Un esta-

do estable en equilibrio debe imaginarse como un trnsito incesante entrecomplexiones equivalentes, en el que las bolillas o las molculas intercam-bian sus lugares o energas, pero donde lugares o energas conservan sudistribucin sobre diferentes individuos.

Consideremos un modelo sencillo, con cinco bolillas y dos casilleros. El orden dentrode un mismo casillero no reviste inters en este modelo, ya que la energa o velocidaddel casillero es la misma para todos los elementos que estn en l. Comencemos poranalizar las diferentes maneras de ubicar las bolillas, numeradas de uno a cinco,dentro de los casilleros primero y segundo.

As, por ejemplo, habr diez complexiones posibles para un estado de


36/66


130

cinco bolillas en dos casilleros, con dos bolillas en el primer casillero y tresbolillas en el segundo, a saber:

1,23,4,5 1,32,4,5 1,42,3,5 1,52,3,42,3-1,4,5 2,4-1,3,5 2,5-1,3,4 3,4-1,2,53,5-1,2,4 4,5-1,2,3

Con idntico razonamiento podemos afirmar que hay otras diezcomplexiones para elestado tres-dos , cinco complexiones para el estado uno-cuatro y otras cincocomplexiones para el estado cuatro-uno. Debemos considerar posible los estadoscero-cinco y cinco-cero?. Claro, eso suma otras dos complexiones posibles.En total hay 1+1+5+5+10+10 = 32 complexiones posibles.

Se demuestra que n molculas en m casilleros pueden disponerse de mn manerasposibles. En nuestro caso es 25=32, como lo acabamos de ver.

Tambin se demuestra que el nmero de complexiones para un estado dado es menorque el nmero de maneras en que se puede ordenar la poblacin. Una serie de Nelementos se puede ordenar de diferentes maneras, cambiando el orden o sea per-mutando su ubicacin en la serie. El nmero total de permutaciones posibles de Nelementos est dado por una operacin llamada factorial de N representado por N! ofact(N) , igual al producto N.(N-1).(N-2)....hasta llegar a la unidad.

El nmero de permutaciones totales de los N elementos (N!) se divide por las permu-taciones dentro del casillero, puesto que como dijimos, no representan otra variante atomar en cuenta en nuestro anlisis por categoras. As resulta:

Nmero decomplexiones de cinco elementos con tres en el primer casilleroy dos enel segundo casillero = 5!/3!/2! = 5.4.3.2/3.2/2=10

Cul ser el estado de mxima probabilidad para este gas de cinco molculas?

Se define probabilidad matemtica como el cociente entre casos favorables y casosposibles.

De tal manera, podremos hacer la siguiente tabla:

Estado Probabilidad

cero-cinco 1/32uno-cuatro 5/32dos-tres 10/32tres-dos 10/32cuatro-uno 5/32cinco-cero 1/32

Hay pus dos estados posibles de mxima probabilidad: el dos-tres y el tres-dos.Quiere decir que segn el modelo, un gas de cinco molculas con dos niveles posiblesde energa tiene mayor probabilidad de existir con una distribucin dos-tres o tres-dos,que cualquier otra.


37/66


131

Por supuesto que llevar este razonamiento an a una pequea burbuja degas, que contiene una millonsima de mol, con 6 x 1017 molculas , eligiendouna particin de mil intervalos de velocidades posibles, entre cero y 10000m/s, para abarcar un rango lgico, dara un menudo trabajo....imposible an

para un ejrcito de calculistas.

Deduccin de la ley de distribucin de velocidades16

Otro es el mtodo de Boltzmann, mucho ms eficiente, que analiza la funcin que dalos casos favorables (ya que el denominador, que representa el nmero de casosposibles es siempre el mismo). A esta cantidad llama Boltzmann probabilidad ter-modinmica

17 variable de estado ligada a los procesos de transformacin de siste-

mas estudiados por la termodinmica.

La probabilidad termodinmica de un estado, o sea los casos posibles para N mol-

culas que se distribuyen con n1 molculas en el casillero N1, n2 en el N2,...y nmmolculas en el casillero emsimo resulta, segn lo ya visto, el cociente entre todaslas permutaciones posibles de la serie de N elementos dividido las permutacionesdentro del mismo casillero, esto es :

P(n1,n2,...nm) = N!/(n1! n2! n3!...nm!)

Esta probabilidad es mxima cuando el denominador se hace mnimo, ya que elnumerador es constante para un nmero de elementos dado. La condicin de denomi-nador mnimo es pus la clave para encontrar el estado de mxima probabilidad, quecorresponder al estado de equilibrio.

El mnimo o el mximo de una funcin continua est en los puntos donde se anula supendiente (cimas o valles). La pendiente est representada por su funcin derivada, laque igualada a cero determina una ecuacin diferencial que se satisface para valoresde pendiente horizontal. Pero el denominador en cuestin no es una funcin derivableen forma sencilla. Hay que transformarla para que lo sea. Primeramente se le aplicalogaritmos. El logaritmo del denominador sigue las variaciones de su argumento, o seaque es mximo cuando el denominador es mximo, y mnimo cuando el denominadores mnimo. Adems transforma el producto en suma. Queda entonces:ln(D) = ln (n1!) + ln (n2!) + ln (n3!) +...+ ln (nm!) [1]

Luego se reemplaza el logaritmo natural del factorial por una aproximacin atribuida almatemtico escocs James Stirling (1692-1770 pero que en realidad pertenece almatemtico francs Abraham De Moivre (1667-1754):

ln (n!) n.ln(n)-n , frmula aproximadamente vlida para n>>1 [2]

16

Es equivalente hablar de energas o velocidades. Trabajando con volmenes ga-seosos de poco espesor h podemos despreciar la energa potencial m.g.h , y con-siderar que una molcula puntual de masa m que se desplaza a velocidad v poseenicamente energa cintica E = Ec= m v

2.17

La probabilidad termodinmica es una variable que no tiene como lmite superior launidad, como ocurre con una probabilidad matemtica.


38/66


39/66


133

ni = exp (-B/A.i) = 1 / [exp(B/A)]18

[10]

La [10] expresa que la cantidad de molculas en cada categora o casillero de ener-

ga decrece exponencialmente con esa energa; puede ponerse bajo la forma:n() = exp (1/A) exp (-B.) = K. exp (-B.) [11]

El significado de K se obtiene haciendo =0 con lo que la exponencial es la unidad yentonces n(0)=K, es decir que la constante K representa la cantidad de molculas quetienen energa nula en el la categora considerada.Se muestra en la figura la representacin de la funcin n() para un intervalo o catego-ra de energa i . La subtangente en un punto cualquierade la curva representa la constante de decrecimiento A/B.

Ahora bien, pasemos a trabajar en todo el intervalo posiblede energas, o sea desde cero a infinito, puesto que nopodemos descartar que siempre haya alguna molcula deenerga ms alta que el lmite impuesto. A lo sumo pode-mos concebir de antemano que esas molculas muy rpi-das sern muy escasas, como lo muestra el escaso espe-sor del metal condensado en el comienzo de la tira de la experiencia de Zartman.

La energa de una molcula puntual de masa m es la suma de su energa cintica detraslacin c = m v

2 y de su energa potencial p=m.g.z, para v2 = vx

2 + vy2 + vz

2 dedonde d=m.v.dv+m.g.dz. En el anlisis siguiente despreciaremos la variacin enaltura y consecuentemente permanecer constante la energa potencial p

Cambiando de la variable energa a la variable velocidad v a travs de las frmulasya vistas, la [11] puede ponerse bajo la forma:n(vi) = K. exp (-B/2.vi

2) [12]

Sumando todos los elementos se obtiene el nmero total de molculas N:N(v) = n(vi) [13]

Si en vez de usar intervalos discretos de velocidad vi (i=1,2,3..n) trabajamos consaltos diferenciales en mdulo dV tendientesa cero, el nmero de molculas N(v) porintervalo de velocidad pasa a ser un cociente

incremental que tiene el significado de den-sidad de nmero de molculas por unidadde intervalo de velocidad dV (se usa V ma-yscula para designar un espacio de veloci-dad, cuyo mdulo est entre v y v+dv).

Entonces, la [13] junto con la [14] nos da:dN(v)/dV = n(vi) =K exp (-B/2.vi

2) [14]o sino tambin:

18

Por comodidad tipogrfica se expresa en este prrafo la exponencial e

x

comoexp(x), para e=2,7182818...(base de los logaritmos naturales)

n()

K

A/B

Cantidad de molculas por casil lero

v

dN/dV

Densidad de molculas por intervalo de velocidad

K


40/66


134

dN() = K exp (B/2.m.v2) dV [15]

En cada casillero o nivel de energa dV (V mayscula) entrarn todas las molculasque tengan el mismo mdulo de velocidad v . La densidad o probabilidad de encontraruna cantidad n de molculas de velocidad determinada dentro de un casillero o cate-gora de velocidad expresada en la [14] es una campana de Gauss, como se muestraen la figura adjunta.

Lo mismo que la exponencial vista anteriormente en el caso de las energas, indicaque la cantidad de molculas que probablemente se encuentren en un casillero esmxima para la categora de velocidad nula y disminuye para categoras de velocida-des crecientes.

Sin embargo, la velocidad es un vector, y la [15] slo contempla la variacin de lavelocidad en sentido positivo y negativo en forma unidimensional.

Para extender el anlisis a todas las direcciones posibles en el espacio, las categorasde igual mdulo pueden representarse como el lugar geomtrico de los vectores velo-cidad de igual longitud v, esto es una esfera de radio v , en un espacio donde lasdimensiones son velocidades.

Para integrar la expresin [15] a toda esa esfera conviene usar en vez de coordenadascartesianas vx vy vz , otras ms cmodas: las coordenadas esfricas en el espacio delas velocidades, a saber:

v (mdulo de la velocidad), (acimut)

(altura)De acuerdo a la figura, el elemento de volu-men de velocidad que en coordenadascartesianas vale dV = dvx.dvy.dvz , resultaen coordenadas esfricas igual al productode los tres lados de una especie de caladurade sanda que se puede aproximar a unparaleleppedo de lados: [dv] [v.cos .d]] [v.d]]Por lo tanto el elemento de volumen encoordenadas esfricas resulta:dV = [dv].[v.cos .d]].[v.d]] = v2.cos,

dv.d.d

Entonces la [15] queda:d3N(v,,,) = n(v) = K exp (B.m.v2/2) v2.cos.d.d..dv [15]

Dejando slamente como variable la velocidad, podemos integrar a la [15]

Documents

Princpios Estatica Resist en CIA Materiales