Embed Size (px)
Citation preview
1
1
Savijanje nosa�a
a) Naprezanja (σ i τ)
b) Deformacije – progib (w)
2
Štap optere�en na savijanje nazivamo nosa� ili greda.
Os štapa se kod savijanja zakrivljuje –to je elasti�na ili progibna linija nosa�a.
3
Savijanje ravnog štapa prizmati�nog popre�nog presjeka
a) �isto savijanje
b) Savijanje silama
c) Koso savijanje
00 ≠≠ zT i yM
0== zT i .konstM y
00 ≠≠ zy MM i
4
a) �isto savijanje
00 ≠≠ zT i yMb) Savijanje silama
0== zT i konst.yM
elasti�na linija w=f(x)
5
c) Koso savijanje
00 ≠≠ zy MM i
zy MMM +=
Koso savijanje nastaje kad vektor rezultiraju�eg
momenta savijanja vanjskih sila ne djeluje samo
oko jedne od glavnih osi tromosti popre�nog
presjeka štapa.
6
c) Koso savijanje
→→→→→→→→→→→→
→→→→→→→→→→→→
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====
++++====
klFjlFM
MMM
yzA
AzAyA
→→→→→→→→→→→→
++++==== zy FFF
2
7
VAŽNO
Dimenzioniranje:
• �isto savijanje• Savijanje silama
8
KONZOLA
Statika
9
tσ
vσ
��
���
�=σ
±=
3y
y
cmkNcm
W
M
2h
z za +
zI
M
y
y ⋅=σ
dop
ypot ydop
y
y MW
W
M
σ≥�σ≤=σDimenzioniranje:
10
22A
y
.ekst y
A
hb
lF6
6hb
MW
M
lFM
⋅⋅=
⋅==σ
⋅=
Konzola: SAVIJANJE SILAMA
11
zI
M
y
y ⋅=σOd momenta savijanja My:
Od popre�ne sile Tz:yy
yz
bI
ST
⋅⋅
=τ12
dop
ypot.y dop
y
y MW
W
M
σ=�σ≤=σ1. Dimenzioniranje:
3. Kontrola naprezanja za odabrani profil:
dopyy
yz
dopy
y
bI
ST
W
M
τ≤⋅⋅
=τ
σ≤=σ
2. Odaberemo profil: Wy ; Iy ; Sy i by - poznato
3
13
Povijesni razvoj teorije savijanja nosa�a
a) Galilejevo rješenje: pretpostavka o jednolikojraspodjeli vla�nih naprezanja po visini σmax
(1638.)
14
a) Moment vanjske sile F jednak je momentu unutarnje sile F1
2max
max11
A
hb
lF2
hbF 02h
FlF
0M
⋅⋅=σ
⋅⋅σ==⋅−⋅
=�
152max
max11
A
hb
lF3
hb2
F 03
h2FlF
0M
⋅⋅=σ
⋅⋅σ
==⋅⋅−⋅
=�
b) Trokutna raspodjela naprezanja vla�nih naprezanja po visini presjeka (Mariotte 1690.)
16
c) Parent i Coulomb (1713.) – u presjeku nosa�a javlja se vla�no σmax (σvl) i tla�no -σmax (σtl) naprezanje
2max
max211
A
hb
lF6
2h
b2
FF 03
h2FlF
0M
⋅⋅=σ
⋅⋅σ
===⋅⋅−⋅
=�
17
a) �isto savijanje 0== zT i .konstM y
Pretpostavke:
1. Kod �isto savijanja presjeci i nakon deformiranja ostaju ravni i okomiti na elasti�nu liniju – Bernoullijeva hipoteza (elasti�na linija je kružnica).
2. Sve komponente naprezanja osim σx su jednake nuli.
18
0== zT i .konstM y
Ograni�enja:1.Visina presjeka štapa je mala u usporedbi s
rasponom nosa�a, tj. i pri tome �e greška biti u granicama oko 2%.
2. Maksimalni nagib tangente na elasti�nu liniju je tako�er mali, tj.
4
19
Izvod1. Geometrijska analiza2. Hookeov zakon3. Uvjeti ravnoteže
Nedeformirano stanje
Deformirano stanje
ρ – polumjer zakrivljenosti elasti�ne linije 20
1. Geometrijska analiza
( )
( )
ρε
αραραρε
ε
αραρ
z
dddz
EFEFFE
lll
ll
dzFE
ddxEF
x
x
x
=
⋅⋅−⋅+=
−=−=∆=
⋅+=
⋅==
111
11
21
2. Hookeov zakon:
3. Uvjeti ravnoteže:
zE
z
E
E
x
xx
⋅=⋅=
⋅=
ρρσ
εσ
00
0
0
==
====
zz
yy
x
M M 3.3.
M M M 3.2.
0N F 3.1.
ΣΣΣ
22
000
0
0
0
=�≠≠�=⋅
=⋅⋅
=⋅⋅
=⋅=
yy
A
S;ES
dAz
dAz
dA
0 E
E
E
N 3.1.
A
A
x
ρρ
ρ
ρ
σ
To zna�i da neutralna os (gdje je σx = 0) prolazi
kroz težište popre�nog presjeka nosa�a.
23
.konstIE
IE
dAzE
dAzE
z
dAz
y
y
A
A
Ax
=⋅
=
⋅=
⋅=
⋅⋅⋅=
⋅=
y
y
y
y
y
M
M
M
M
M 3.2.
ρ
ρ
ρ
ρ
σ
1
2
linije neutralne ostzakrivljen ρ1→
24
0 0;E
M 3.3. z
00
0
0
0
=�≠≠�=⋅−
=⋅⋅⋅−
=⋅⋅⋅−
=⋅−=
yzyz
A
A
Ax
IIE
dAzyE
dAzE
y
dAy
ρρ
ρ
ρ
σ
Centrifugalni (devijatorski) moment tromosti Iyz
Osi y je jedna od glavnih osi tromosti !!
5
25
Normalno naprezanje σx
zI
M
zIE
ME
zE
IE
M
y
y
x
y
y
x
x
y
y
⋅=
⋅⋅
⋅=
⋅=
⋅=
σ
σ
ρσ
ρ
2. ad
1 3.2. ad.
=σtl
=σvl 26
Dijagram normalnih naprezanja σx
zI
M
y
yx ⋅=σ
Linearna raspodjela naprezanja po visini presjeka:
=σtl
=σvl
27
Dijagram normalnih naprezanja σx
Presjek nosa�a nesimetri�an je obzirom na os y - y pa je i dijagram naprezanja σ nesimetri�an.
vσ=
=tσ
28
• Izraz:
predstavlja krutost nosa�a na savijanje ili savojnu odnosno fleksijsku krutost nosa�a.Savojnu krutost izražavamo u (Nm2).
Ponavljanje: - aksijalna krutost štapa E.A- krutost štapa na uvijanje G.Io
y
y
IE
M linije neutralne ostzakrivljen
⋅=→
ρ1
yIE ⋅
29
Gornji rub
Donji rub
a) �isto savijanje – konzola na slobodnom kraju
optere�ena momentom M = My
30
b) Savijanje silama
00 ≠≠ zT i yM
6
31
• Kod savijanja silama, u popre�nom presjeku prizmati�nog štapa uz moment savijanja My djeluje i popre�na sila Tz.
• U popre�nom presjeku optere�enog nosa�a pojavit �e se normalno naprezanje i posmi�no naprezanje , tako da je
⋅=A
xy zdAM σ
=A
xzZ dAT τ32
⋅==
==
====
Axzzz
zz
yy
x
dAT F 3.4.
M M 3.3.
M M M 3.2.
0N F 3.1.
τΣ
ΣΣΣ
0
00
0
0Izvod:
33
Unutarnje sile na elementu štapa dx kod savijanja silama
RA RB
Tz
Tz
34
35
( )
dAzI
dMMdAdAz
I
M
zI
Muz dxbA ; AA
dAddAdA
F
A y
yy
Azx
A y
y
y
yx213
Axx
Azx
Ax
x
0
0
0
121
321
121
321
= ⋅
�
�
�
�⋅
++ ⋅− ⋅⋅−
⋅=⋅==
= ⋅++ ⋅− ⋅−=�
τ
σ
σστσ
36
bI
ST
bI
ST
T dx
Md :tika Sta
bI
S
d
dM
dAz S dAzI
dMdxb
dAzI
dMdA
y
yzxzzx
y
yzzx
zy
y
y
x
yzx
Ay
Ay
yzx
A y
y
Azx
⋅⋅
==
⋅⋅=
=⋅
⋅=
⋅= ⋅=⋅⋅
⋅⋅= ⋅
ττ
τ
τ
τ
τ
11
12
11
12
7
37
��
���
�
⋅⋅=
⋅⋅
=cmcm
cmkNcmkN
bI
ST2
y
yzzx 4
3
τ
( )parabolezakonu po promjena
zfzhb
S y
−
=�
� �
�−= 22
2
42
�
� �
�−⋅⋅
⋅= 2
2
42z
hbbI
T
y
zzxτ
38
yy
yz
bI
ST
⋅⋅
=τOd popre�ne sile Tz:
( )3y
y
y
cm hb
S
zhb
S
parabola - )z(fS
8
422
22
2
⋅=
�
� �
�−⋅=
=Stati�ki moment površine popre�nog presjeka:
by – širina popre�nog presjeka za položaj neutralne osi
(os kroz težište presjeka; σ = 0)
39
yy
yz
bI
ST
⋅⋅
=τ
ebrar širinabb
pojasa širinabb
ry
py
−=
−=
Dijagram posmi�nih naprezanja
40
Deplantacija presjeka
Tz
Tz
41
=σt
=σv 42
8
43
τ44
b)
Azekst
Ayekst
RTT
MMM
:Ekstremi
==
==
45
zI
M
y
y ⋅=σOd momenta savijanja My:
Od popre�ne sile Tz: yy
yz
bI
ST
⋅⋅
=τ
46
b) Savijanje silama – konzola na slobodnom kraju
optere�ena silom F
47
Glavna naprezanja
- gornji rub σ1 (vla�no); σ2=0
- donji rub σ2 (tla�no); σ1=0
- sredina štapa: �isto smicanje τ ; σ1 = τ σ2= - τ 48
- od gornjeg ruba do sredine
- od sredine do dornjeg ruba
9
49
Trajektorije naprezanja
Izostati�ke linije – tangente na krivulje podudaraju se s pravcima glavnih naprezanja
50
Nesimetri�an popre�ni
presjek nosa�a
σv =
= σt
51
dop
ypot.y dop
y
y MW
W
M
σσσ =�≤=1. Dimenzioniranje:
3. Kontrola naprezanja za odabrani profil:
dopyy
yz
dopy
y
bI
ST
W
M
τ≤⋅⋅
=τ
σ≤=σ
2. Odaberemo profil: Wy ; Iy ; Sy i by - poznato
0. �elik S !!! dopuštena naprezanja σdop. i τdop.
Ponavljanje
52
Dimenzionirajte nosa� prikazan na slici. Odabrati IPN profil, �elik S 235 (Mehanika I - primjer 2).
53
• Statika:3
54
Reakcije:
( )( )
0
032,,
06qFRR F Kontrola
azadovoljen F .
kN ,R ,qFR M .
kN 9,36 R ,qFR M .
BAz
x
AAB
BBA
=+−=⋅++−−
=⋅++−−=Σ=Σ
==+⋅⋅−⋅−⋅=Σ==+⋅⋅−⋅−⋅=Σ
158158
680363964118
0
03
641180516391102
30512321101
kN,RT
kN,,,FqFRT
kN,,FRT
kN,RT
kN,RT
BB
A
Ad
Al
AA
3639
363978806411832680641183
64388064118
64118
64118
2
1
1
−=−=−=−−=⋅−−=−⋅−−=
=−=−=
==
==Popre�ne sile Tz:
Dijagrami:
U to�ci 1 se popre�na sila ne poništava pa tražimo mjestoekstrema momenta savijanja���������aka 1 i 2.
10
55
0
20236117240205935132638056411851335
282372641182
0
2
1
==−−=⋅⋅−⋅−⋅=⋅⋅−⋅−⋅=
=⋅=⋅==
B
A
A
A
M
kNm,,,,,qFRM
kNm,,RM
M
Momenti savijanja My:
( ) ( ) ( )
( )2Ay
Ay
2x2q
2FxFxRM
22x
2xq2xFxRMza
−⋅−⋅+⋅−⋅=
−⋅−⋅−−⋅−⋅=<<
vrijedim 5x2
( )
m49,3249,1226
8064,1182
qFR
0q2xqFR
012x22q
FRdx
dM
0dx
dMMjesto
AA
Ay
y
x
ekstrema
=+=+−=+−=�=⋅+⋅−−
=⋅−⋅⋅−−=
=
( ) ( ) ( )
kNm ,,,,,
,,,,M
xxqxFxRM
maks
Ay
99265862820119054142491
491264918049364118
22
22
=−−=⋅⋅−⋅−⋅=
−⋅−⋅−−⋅−⋅=
56
1. Ekstremi unutrašnjih sila
kNcm kNm ,MMM maksy 26599992653 ====kN ,TTT Aeksz 64118===
zI
M
y
y ⋅±=σ
yy
yz
bI
ST
⋅⋅
=τ
2. Materijal: �elik S 235- dopušteno normalno naprezanja �dop= 14,5 kN/cm2
- dopušteno posmi�no naprezanja �dop= 7,5 kN/cm2
3. Naprezanja:normalno naprezanje od momenta savijanja:
posmi�no naprezanje od popre�ne sile:
57
4. Dimenzioniranje:
bI
ST
W
Mdop
yy
yzdop
y
y ττσσ ≤⋅⋅
=≤=
cm 1,62 mm 16,2db
cm 1200S
cm 45850I
cm 2040W
y
3y
4y
3y
===
=
=
=profil IPN 450
3
dop
ypot y cm
,
MW 1835
51426599 ==≥
σ
58
kN/cm 7,5kN/cm 1,9,
,bI
ST
kN/cm 14,5kN/cm 13,0W
M
2dop
2
yy
yz
2dop
2
y
y
=τ≤=⋅⋅=
⋅⋅
=τ
=σ≤===σ
62145850120064118
204026599
5. Kontrola naprezanja:
Odabrano: IPN 450 , S 235
