Priori y Posteriori

FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SISTEMAS E INFORMÁTICA

TOMA DE DECISIONES

DR. ALCIBIADES SOSA PALOMINO

Modelo que permite tomar decisiones cuando un decisor tiene:• diversas alternativas y

•eventos futuros inciertos

TOMA DEDECISIONES

MODELO DE DECISIONESLa estructura general del modelo es:

Sj

d(i)Estados de la naturaleza

S1 S2 ... Sj ... Sn

d1 V(d1;S1)d2

.di V(di ;Sj).

dm

p(Sj) p1 p2 ... pj ... pn

ARBOL DE DECISION

SOLUCIÓN DEL MODELOTOMA DE DESICIONES SIN PROBABILIDADESEL MÉTODO OPTIMISTA.

EL MÉTODO CONSERVADOR.

EL MÉTODO DE COSTO DE OPORTUNIDAD

“TOMA DE DECISIONES CON PROBABILIDADES A PRIORI”

CRITERIO DE PROBABILIDAD MÁXIMA

CRITERIO DE IGUAL PROBABILIDAD.

REGLA DE DECISIÓN DE BAYES

REGLA DE DECISION DE BAYES

Se considera el concepto de valor esperado o esperanza matemática:

ANALISIS DE SENSIBILIDADPara el caso con dos estados de la naturaleza , se puede realizar un análisis de sensibilidad utilizando un procedimiento gráfico; para ello se le asigna:

VALOR ESPERADO DE LA INFORMACION PERFECTA

APLICACIÓN La siguiente matriz representa la producción diaria de una pequeña empresa que

produce helados así como las posibles demandas ; también se muestra los pagos

correspondientes

DECISIÓN ESTADO DE NATURALEZA

S1(40) S2(80)

d1(40) 40 -10d2(50) 25 12d3(60) 8 22

P(sj ) 0,45 0,55

METODO PRÁCTICO (Sin Probabilidad)

METODO OPTIMISTA: MEJOR(MEJOR) Ó MAX(MAX)

40

25

22

Escogemos el mayor valor de cada fila, luego el Max(Max); en este caso 40(d1)

METODO PESIMISTA: MEJOR(PEOR) Ó MAX(MIN)

-10

12

8

Escogemos el menor valor de cada fila, luego el Max(Min); en este caso 12(d2)

METODO COSTO DE OPORTUNIDAD

0 32 32

15 10 15

32 0 32MIN(MAX) = 15 (d2)

METODO PRÁCTICO (Sin Probabilidad)

METODO PROBABILIDAD MAXIMA:

METODO PRÁCTICO (Con Probabilidad)

1. Se selecciona la mayor probabilidad2. Identificar el mejor valor de ese estado

P (0.55) 22 d3

METODO PROBABILIDADES IGUALES:

1. Se obtiene el promedio de cada fila.2. Identificar el mejor promedio

d1) (40+-10)/2=15d2) (25+12)/2=18.5d3) (8+22)/2=15

EL MEJOR PROMEDIO ES 18.5 (d2)

METODO ANALITICO (BAYES)

VE(D1) = = P(S1)V(D1,S1) + P(S2)V(D1,S2) = (0.45) (40) + (0.55) (-10) = 12.50

VE(D2) = = P(S1)V(D2,S1) + P(S2)V(D2,S2)

= (0.45) (25) + (0.55) (12) = 17.85

VE(D3) =

= P(S1)V(D3,S1) + P(S2)V(D3,S2) = (0.45) (8) + (0.55) (22)

= 15.70

ARBOL DE DECISIÓN 40

P (S2) = 0.55

VE (d1) = (0.45)40 + (0.55)-10 = 12.50

25

12 8

22

VE (d2) = (0.45)25 + (0.55)12 = 17.85

VE (d1) = (0.45)8 + (0.55)22 = 15.70

d1

d2

d3

P (S1) = 0.45

-10

P (S1) = 0.45

P (S2) = 0.55

P (S1) = 0.45

P (S2) = 0.55

VALOR ESPERADO CON INFORMACION PERFECTA:

=(0.45) x 40 + (0.55) x 22 = 30.1

= 30.1 – 17.85 = 12.25

VALOR ESPERADO DE INFORMACION PERFECTA:

M A R G E N D E U T I L I D A D

A D I C I O N A L

ANALISIS DE SENSIBILIDAD VE (d1) = 40P + (1-P )(-10)

= 40P + 10P – 10 P=0, P=1 = 50P - 10

VE (d2) = 25P + (1-P )(12)= 25P -12P +12 P=0, P=1 = 13P + 12

VE (d3) = 8P + (1-P )(22)= 8P -22P +22 P=0, P=1 = -14P + 22

.5 1

10

20

40

30

-10

VE

P

VE(d1)

VE(d2)

VE(d3)

0.37 0.59

Si:P E [0 ; 0.37>P E [0.37 ; 0,59>P E [0.59 ; 1]

d3

d2

d1

La siguiente matriz representa las posibilidades de producción diaria de una

empresa que produce polos así como las posibles demandas ; también se muestra

los pagos correspondientes

APLICACIÓN

Decisiones S1(30) S2(100)d1 (30) 150 -10d2 (50) 80 200d3 (80) -20 300P(Sj) 0.7 0.3

Evaluar la matriz considerando las probabilidades a priori y sin ellas y determine cual es la decisión a tomar en cada caso.Hallar el valor esperado de la información perfectaRealice el análisis de sensibilidad e interprete sus resultados.

ESTADOS

FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SISTEMAS E INFORMÁTICA

TOMA DE DECISIONES CON

PROBABILIDADES A POSTERIORI

DR. ALCIBIADES SOSA PALOMINO


Son probabilidades asignadas a los estados previo análisis utilizando sustento tecnológico y científico lo cual genera un costo

P(Ik/Sj)

P(Sj / Ik)P(Ik)

FÓRMULAS DE BAYES

VEdeIM = VEconIM – VE*

E = VEdeIM/ VEdeIP

p( IK)

di

P (Sj / IK)

Existen situaciones en las que la alternativa de decisión con el mejor valor monetario esperado no es la decisión más deseable.

UTILIDAD ESPERADA UE(di)

Se asigna en primer lugar un valor utilitario a los posibles resultados mejor y peor de las situaciones de decisión.

U [min(di ; Sj)] = 0U[max(di ; Sj)] = 10

Se determina luego la utilidad correspondiente a cada uno de los resultados V(d i ; Sj) restantes.

U(di ; Sj) = p. U[max(di ; Sj)] +(1-p). U [min(di ; Sj)] U(di ; Sj) = 10p

1. Donde p es la preferencia que tiene el decisor al respecto al V(di ; Sj). (Obteniéndose la tabla mostrada en la siguiente diapositiva)

UTILIDAD Y PREFERENCIA EN LA TOMA DE DECISIONES

UTILIDAD ESPERADA UE(di)

La utilidad esperada se obtiene mediante:

La decisión elegida será aquella con el mejor UE(di )

En una empresa acaba de completarse la fase de diseño y prueba de un producto para la nueva línea de tractores para jardines y uso doméstico . La alta gerencia está tratando de decidir la estrategia de mercadotecnia y producción apropiadas para usarse con este producto. Se están considerando tres alternativas principales y el departamento de investigación de operaciones proporciona la siguiente información.

APLICACIÓN 1

ALTERNATIVAS DE PRODUCCIÓN

DEMANDA

S110

S220

d1 10 30 -8

d2 20 20 7

d3 30 5 15

P(Sj) 0.45 0.55

A demás una empresa especializada en mercadotecnia proporciona la siguientes probabilidades a posteriori:

FavorableI1

DesfavorableI2

S1 0.6 0.4

S2 0.3 0.7

• Cuál es la estrategia óptima de la empresa.• Cuál es el valor de la información muestral.• Elabore el árbol de decisiones para este

problema.• Cuál es la eficiencia de la información de la

encuesta.• Cuál es la utilidad esperada.

VALOR ESPERADOd(i) Estados de la naturaleza

VALOR ESPERADOS1 S2

d1 30 -8 9.1

d2 20 7 12.85

d3 5 15 10.5

P(Sj) 0.45 0.55

VE (d2) *

VALOR ESPERADO

VEconIP = ∑ p(Sj) . ( mejor valor en Sj) = 0.45(30) + 0.55(15) = 21.75

VEdeIP = VEconIP - VE* = 21.75 – 12.85 = 8.9

P( I1 ) = p(I1/ S1) p( S1 )+ p(I1/ S2) p (S2) P( I1 ) = 0.6(0.45)+0.3(0.55) = 0.435

P( I2 ) = 1 – 0.435 = 0.565

p(S1/ I1) = (I1/ S1) p ( S1 )/ p( I1 )= 0.6(0.45)/0.435=0.62 p(S2/ I1) = 1- 0.62 = 0.38

p(S1/ I2) = (I2/ S1) p ( S1 )/ p( I2 )= 0.4(0.45)/0.565=0.32 p(S2/ I2) = 1 – 0.32 = 0.68

CALCULOS:

P(I1)= 0.435

P(I2)= 0.565

d1

d2

d3

d1

d2

d3

P(S1/I1)=0.62

P(S2/I1)=0.38

30

-8

VE(d1/I1)= 15.56

P(S1/I1)=0.62

P(S2/I1)=0.38

20

7

VE(d2/I1)= 15.06

P(S1/I1)=0.62

P(S2/I1)=0.38

5

15

VE(d2/I1)= 8.8

P(S1/I2)=0.32

P(S2/I2)=0.68

30

-8

VE(d1/I2)=4.16

P(S1/I2)=0.32

P(S2/I2)=0.68

20

7

VE(d2/I2)= 11.16

P(S1/I2)=0.32

P(S2/I2)=0.68

5

15

VE(d2/I2)=11.8

SE ELIGE EL MAYOR

VE

SE ELIGE EL MAYOR

VE

VE conIM =∑p(Ik)(mejor valor esperado de cada

rama)

= (0.435)15,56 + (0.565)11,8 = 13.4356

VE deIM =VEconIM – VE*

= 13.4356 – 12.85 = 0.5856

EFICIENCIA

E = VE deIM / VE deIPE = 0.5856/8.9 = 0.0658

EFICIENCIA

E = VE deIM / VE deIPE = 0.5856/8.9 = 0.0658

UTILIDAD ESPERADA

Utilidades (ganancia) S/. Probabilidad de indiferencia

preferenciaV ( d1 , S1) 30 1V ( d2 , S1) 20 0.8V ( d3 , S2) 15 0.6V ( d2 , S2) 7 0.3V ( d3 , S1) 5 0.2V ( d1 , S2) -8 0

Se multiplica por 10p

TABLA DE UTILIDADES

UE(d1)=0.45(10) +0.55(0) = 4.5UE(d2)=0.45(8) +0.55(3) = 5.25 Entonces UE(d2) es la mejor Utilidad EsperadaUE(d3)=0.45(2) +0.55(6) = 4.2

di S1 S2

d1 10 0d2 8 3d3 2 6P(Sj)

0.45 0.55

APLICACIÓN 2

La panadería Mi Perú, se caracteriza por la elaboración de sus deliciosos panes, panetones, tortas, entre otros productos, pero por motivos de la gran acogida que esta obteniendo entre sus consumidores, se ha optado producir tortas en tres diferentes tamaños: pequeño, mediano y grande. Dicha panadería considera como posible demanda 150 y 300 tortas hasta fin de año. A continuación se muestra la matriz de utilidades por cada tamaño de la torta:

PRODUCCION S1 (150) S2 (300)

D1 (100) 1000 2000

D2 (200) 2250 3000

D3 (300) 2000 4000

Probabilidad 0.6 0.4

DEMANDA


Se pide:1. Hallar el valor esperado de la información muestral, la eficiencia y

cuanto pagaría a la empresa por la información.2. Evalúe la utilidad esperada asignando preferencia a sus resultados.

Se brinda además la siguiente información:

P(Ik/Sj)

I1 I2

S1 0.7 0.3

S2 0.2 0.8

SOLUCIÓN: Hallar el valor esperado de la información muestral, la eficiencia y

cuanto pagaría a la empresa por la información.

Valor Esperado:

VE (d1) = 0,60 (1000) + 0,40 (2000) = 600 + 800 = 1400

VE (d2) = 0,60 (2250) + 0,40 (3000) = 1350 + 1200 = 2250

VE (d3) = 0,60 (2000) + 0,40 (4000)= 1200 + 1600 = 2800

VALOR ESPERADO

Hallar el valor esperado de la información muestral, la eficiencia y cuanto pagaría a la empresa por la información.

Valor Esperado con Información Perfecta:

VE con IP = (0,60) (2250) + (0,40) (4000) = 1350 + 1600

VE con IP = 2950

VE de IP = 2950 – 2800VE de IP = 150

VALOR ESPERADO CON INFORMACIÓN PERFECTA

VALOR ESPERADO DE INFORMACIÓN PERFECTA

Hallar el valor esperado de la información muestral:Aplicamos la ley de Bayes para hallar Ik (I1, I2, I3)

Para I1:P(I1) = P(I1/S1)P(S1) + P(I1/S2)P(S2) P(I1) = (0.7)(0.6) + (0.2)(0.4) P(I1) = 0.5

Para I2:P(I2) = P(I2/S1)P(S1) + P(I2/S2)P(S2) P(I2) = (0.3)(0.6) + (0.8)(0.4) P(I2) = 0.5

Hallamos el valor esperado de la información muestral mediante la siguiente fórmula:

P (S1/I1) =

P (S2/I1) =

P (S1/I2) =

P (S2/I2) =

= 0.84

= 0.16

= 0.36

= 0.64

ARBOL DE DECISIÓNRealizamos el análisis bayesiano a través de un árbol de decisión:

P(S1/I1) 1000

D1

P(S2/I1) 2000

P(S1/I1) 2250

I1 D2

P(S2/I1) 3000

P(S1/I1) 2000

D3

P(S2/I1) 4000

P(S1/I2) 1000

D1P(S2/I2) 2000

P(S1/I2) 2250

I2 D2P(S2/I2) 3000

P(S1/I2) 2000

D3P(S2/I2) 4000

VE = 0.84(1000)+0.16(2000)VE = 840 + 320VE(D1/I1) = 1160

VE = 0.84(2250)+0.16(3000)VE = 1890 + 480VE(D2/I1) = 2370

VE = 0.84(2000)+0.16(4000)VE = 1680 + 640VE(D3/I1) = 2320

VE = 0.36(1000)+0.64(2000)VE = 360 + 1280VE(D1/I1) = 1640

VE = 0.36(2250)+0.64(3000)VE = 810 + 1920VE(D2/I1) = 2730

VE = 0.36(2000)+0.64(4000)VE = 720 + 2560VE(D3/I1) = 3280

VALOR ESPERADO CON INFORMACIÓN MUESTRAL

VALOR ESPERADO DE LA INFORMACIÓN MUESTRAL

VE con IM = (0.5) (2370) + (0.5)(3280)

VE con IM = 1185 + 1640 = 2825

VE de IM = 2825 - 2800VE de IM = 25

Hallamos la eficiencia para evaluar que tan mejor es la probabilidad a priori con respecto a la posteriori:

E =

UTILIDAD Y PREFERENCIA Se establece para cada alternativa su preferencia

V(Di;Sj) Preferencia(P)

4000 1

3000 0.8

2250 0.6

2000 0.5

1000 0

Elaborando nueva tabla con preferencias (10p)

S1 S2 d1 0 5

0 .5d2 6 8

.6 .8

d3 5 10 .5 1

P(s) 0.6 0.4

UTILIDAD Y PREFERENCIA Se establece para cada alternativa su preferencia

U(di,sj) = 10p Como la mayor utilidad esperada es generada por la alternativa de decisión 3, se escoge la alternativa 3 como la mejor de todas, es decir, que nos brindará el mayor beneficio.

Utilidad esperada:UE(d1) : 0(0.6) + 5 (0.4) =2UE(d2) : 6(0.6) + 8(0.4) = 6.8UE(d3) : 5(0.6) + 10(0.4) = 7

S1 S2 d1 0 5

0 .5d2 6 8

.6 .8

d3 5 10 .5 1

P(s) 0.6 0.4

APLICAC IÓN

Una cooperativa agraria que cuenta con 100 hectáreas disponibles de tierras cultivables debe decidir entre 2 cultivos para la próxima temporada . Para cada cultivo ha obtenido las siguientes estimaciones sobre la cosecha con diferentes condiciones de clima y las utilidades por tonelada:

Utilizando el criterio de valor esperado hallar la mejor alternativa y el valor óptimoPara las siguientes probabilidades de indiferencia

Obtenga la decisión preferible utilizando el método de la utilidad esperada.

ClimaTon. Por hectárea

P(Sj)

Cultivo 1

Cultivo 2

Seco 6 2 0.4Húmedo 3 5 0.6Ingreso por ton.

200 100

Utilidad Probabilidad de indiferencia

3 0.65 0.7

TALLER 6La siguiente tabla presenta la información de una empresa; donde la matriz de resultados representa utilidad y está en soles:

Una empresa de mercado brinda la siguiente información:

•Hallar el valor esperado de la información muestral, la eficiencia y cuanto pagaría a la empresa por la información.•Evalúe la utilidad esperada asignando preferencia a sus resultados.

S1 S2 S3d1 400 200 -100d2 300 -50 200d3 -100 600 500

P(Sj) 0.70 0.20 0.10

P(Ik/Sj)I 1 I 2 I 3

S1 0.6 0.3 0.1S2 0.4 0.2 0.4S3 0.1 0.4 0.5

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